apoio calculo versao 2013 1

1

Clculo I Estudo da derivada

2

SUMRIO:

REVISO

1. Conjuntos numricos ..........................................................................................................

CAPTULO 1

1. Funes ................................................................................................................................. 2. Funo polinomial do 1 grau ............................................................................................ 3. Funo polinomial do 2 grau ............................................................................................ 4. Funo definida por partes ................................................................................................ 5. Funo raiz quadrada ........................................................................................................ 6. Funo raiz cbica .............................................................................................................. 7. Funo modular .................................................................................................................. 8. Funes trigonomtricas .................................................................................................... Exerccios ...................................................................................................................................

CAPTULO 2

1. Limites ................................................................................................................................. Exerccios ...................................................................................................................................

CAPTULO 3

1. Continuidade ...................................................................................................................... Exerccios ...................................................................................................................................

CAPTULO 4

1. Taxa de variao ................................................................................................................. Exerccios ...................................................................................................................................

CAPTULO 5

1. Derivada .............................................................................................................................. Exerccios ...................................................................................................................................

CAPTULO 6

1. Taxas relacionadas ............................................................................................................. Exerccios ...................................................................................................................................

CAPTULO 7

1. Funes crescentes e decrescentes .................................................................................... 2. Concavidade ....................................................................................................................... Exerccios ...................................................................................................................................

CAPTULO 8

1. Extremos relativos ............................................................................................................. 2. Extremos absolutos ............................................................................................................ Exerccios ..................................................................................................................................

CAPTULO 9

1. Problemas de otimizao e aplicaes de derivadas ........................................................ Exerccios ...................................................................................................................................

Respostas dos exerccios ..................................................................................................................

03

05

08

10

13

14

14

15

15

18

24

39

45

49

52

56

58

68

73

76

81

82

86

88

91

94

97

100

103

3

REVISO

1. CONJUNTOS NUMRICOS

1.1 Conjunto dos nmeros naturais (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

N* = {1, 2, 3, 4, ...}

1.2 Conjunto dos nmeros inteiros (Z) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}

Z - = {..., -3, -2, -1, 0}

1.3 Conjunto dos nmeros racionais (Q)

Q =

0,,,| bbab

axx

1.4 Conjunto dos nmeros reais (R) Se todos os nmeros racionais fossem listados em uma reta, essa reta no ficaria totalmente

preenchida. Os pontos dessa reta que no so nmeros racionais foram chamados de nmeros

irracionais.

So exemplos de nmeros irracionais: 2 , 3 , 3 5 , .

O conjunto dos nmeros reais fica definido, portanto, como as abcissas dos pontos (todos) de

uma reta.

Relao de ordem no conjunto R

Dados dois nmeros quaisquer a e b, somente uma das trs opes possvel:

a = b ou a > b ou a < b

A desigualdade representada por a < b significa que o nmero real a menor que o nmero

real b.

Geometricamente, se a < b, ento a est situado esquerda de b na reta real.

A desigualdade representada por a > b significa que o nmero real a maior que o nmero

real b.

Geometricamente, se a > b, ento a est situado direita de b na reta real.

Podemos escrever tambm a b (l-se: a menor ou igual a b) ou a b (l-se: a maior ou

igual a b).

Um nmero real c est entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos representar isso

com uma dupla desigualdade: a < c < b.

a b

a b

b a c

4

Intervalos

Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos nmeros reais. Assim, dados dois

nmeros reais a e b, com a < b, temos:

a) intervalo aberto

A bolinha indica que os extremos a e b no pertencem ao intervalo. Esse intervalo contm todos os nmeros reais compreendidos entre a e b, exclusive.

b) intervalo fechado

A bolinha indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contm todos os nmeros reais compreendidos entre a e b, inclusive.

c) intervalo semi-aberto direita

d) intervalo semi-aberto esquerda

Podemos ter ainda intervalos com as seguintes caractersticas:

ax|Rx ou (a, + )

ax|Rx ou [a, + )

ax|Rx ou (-, a)

ax|Rx ou (-, a]

Representao algbrica:

bxa|Rx ou (a, b) ou ]a, b[


bxa|Rx ou [a, b]


bxa|Rx ou [a, b) ou [a, b[


bxa|Rx ou (a, b] ou ]a, b]

5

CAPTULO 1

1. FUNES O conceito de funo um dos mais importantes da Matemtica. muito comum expressar

fenmenos fsicos, biolgicos, qumicos, sociais, etc por meio de funes, da a importncia de seu

estudo. A idia de funo est presente quando relacionamos duas grandezas variveis, uma delas

chamada dependente e a outra chamada independente.

Observe esses exemplos:

1) Complete a tabela abaixo que relaciona a medida do lado do quadrado e o seu respectivo permetro (P). Em seguida, d a lei matemtica que relaciona o permetro em funo do lado.

Perceba que o permetro depende da medida do lado do quadrado, portanto, nessa situao, o lado

a varivel independente e o permetro a varivel dependente.

lado () permetro (P)

1

2

2,5

4

2) Complete a tabela abaixo que relaciona o tempo t de durao de uma viagem de 360 km em funo da velocidade mdia (v) desenvolvida ao longo do trajeto. Em seguida, d a lei matemtica

que relaciona o tempo em funo da velocidade. Perceba que o tempo depende da velocidade,

portanto, nessa situao, a velocidade a varivel independente e o tempo a varivel dependente.

velocidade mdia (km/h) tempo (t)

10

40

60

90

120

v

Definio: Considere dois conjuntos: o conjunto A com elementos x e o conjunto B com elementos y.

Diz-se que temos uma funo de A em B (f: A B) quando existe uma relao entre os elementos desses dois conjuntos tais que para cada elemento de A h um, e apenas um, correspondente em B.

Seja f: A B, y = f(x) uma funo. Nesse esquema, A o conjunto domnio da funo, ou seja, o conjunto que contm todos os elementos x para os quais a funo definida; B o contra-

domnio da funo, ou seja, o conjunto que contm os elementos y que podem estar relacionados aos

elementos x; e y = f(x) a lei da funo, ou seja, a regra que associa os elementos x e y.

6

Nem toda relao entre 2 variveis chamada de funo. Numa funo, para todo valor

atribudo varivel independente (x) h em correspondncia APENAS UM valor da varivel

dependente (y). fcil perceber que na relao x2 + y

2 = 25, por exemplo, se x = 3 podemos ter y = 4

ou y = -4. Observe no grfico. Tal relao, portanto, NO uma funo.

1.1 Domnio e imagem de uma funo

Domnio (D) de uma funo o conjunto de valores que a varivel independente pode

assumir, enquanto que imagem (Im) o conjunto de valores que a varivel dependente pode assumir,

considerando a regra que associa as duas variveis. Geralmente no possvel listar todos esses

valores de modo explcito, o que torna necessrio o uso da representao por conjunto ou intervalos

numricos. Para tornar mais clara essa ideia, observe o exemplo abaixo:

Uma caixa sem tampa ser feita recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma

folha de papelo medindo 12cm por 12 cm e dobrando-se os lados para cima (figura abaixo).

A expresso que fornece o volume V da caixa em funo do lado x dos quadrados que foram

recortados V(x) = (12 2x)(12 2x)x. A pergunta : Quais os possveis valores de x (isso o domnio da funo)? Quais os possveis valores de V (isso a imagem da funo)?

Perceba que no possvel listar todos eles. necessrio apresentar a notao por intervalos,

que indica a variao possvel para a resposta.

No caso do domnio, x no pode ser zero nem 6, pois no existiria a caixa. Qualquer valor

entre esses nmeros permite que a caixa exista. Portanto, temos que representar o conjunto de nmeros

entre 0 e 6, excluindo esses extremos. A notao de intervalo adequada (0, 6).

No caso da imagem, o volume certamente ser maior do que zero, mas no cresce

indefinidamente. O mximo 128cm3 (verifique). Portanto, temos que representar o conjunto de

nmeros entre 0 e 128, excluindo o zero e incluindo o 128. A notao adequada (0, 128]. Percebeu a

diferena? O parntese exclui a extremidade, enquanto o colchete inclui.

O domnio de uma funo pode ser determinado diretamente pela lei da funo.

Exemplo:

1) Qual o domnio das funes representadas pelas leis abaixo? a) f(x) = x2

7

b) 16x4

8x2y

2

c) 1x3y

1.2 Grfico de uma funo Alm da lei matemtica, a associao entre as duas variveis de uma funo pode ser

representada por uma tabela, um diagrama ou um grfico.

Considere a primeira situao apresentada na introduo do captulo. A funo que relaciona o

lado de um quadrado com seu permetro P = 4. O grfico que representa essa lei matemtica pode ser construdo a partir de uma tabela. Observe:

lado Permetro

1

2

3

4

O domnio dessa funo representado pelo intervalo (0, +). Perceba que na representao grfica h uma bola vazada no ponto (0, 0), o que significa que esse ponto no faz parte da funo. No contexto, fcil compreender, pois no conseguimos desenhar um quadrado de lado zero.

1.3 Valor numrico da funo A partir da lei da funo, ou de seu grfico, podemos obter correspondncias entre as 2

variveis.

Exemplos:

1) Se f(x) = x2 4x, determine o que se pede abaixo:

a) f(2) =

b) f(4) =

c) f(10) =

d) D(f) =

8

2) Dada a funo y = f(x) representada pelo grfico abaixo, determine o que se pede:

1.4 Razes (ou zeros) de uma funo Chama-se raiz de uma funo y = f(x) o valor de x que anula a funo. Graficamente, as razes

indicam o ponto de interseco com o eixo x.

Exemplo: 1) Determine as razes da funo f(x) = x2 4x + 3.

2. FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU (Funo afim) Caracterstica: o grfico uma reta

Lei geral: y = mx + b, com m 0

O coeficiente m indica a taxa de variao da funo ou inclinao da reta.

O coeficiente b indica onde a funo intercepta o eixo y.

Em toda funo do 1 grau as variaes dos valores de y so diretamente proporcionais s

correspondentes variaes dos valores de x. O grfico abaixo representa a funo y = 2x 1.

a) f(4) =

b) f(0) =

c) f(-3) =

d) f(1) =

e) D(f) =

f) Im(f) =

Note que para cada variao de 2 unidades no eixo y h uma

variao de 1 unidade no eixo x. A taxa de variao dada,

portanto, por x

y

e corresponde ao coeficiente m da funo.

Como consequncia, se essa taxa positiva, a funo

crescente, se for negativa, decrescente.

Por outro lado, perceba que a funo intercepta o eixo y na

ordenada -1. Nesse ponto, x = 0. Temos, portanto, y = m.0 + b, o

que implica que y = b quando x = 0. No caso, b = -1.

9

Exemplos:

1) Represente graficamente as funes abaixo: a) y = 3x 1

b) f(x) = -2x + 3

2) Determine a lei da funo do 1 grau cujo grfico contm os pontos A(1, -2) e B(3, -1).

Escalas de temperatura

Trs escalas so comumente usadas para medir a temperatura Celsius, Kelvin e Fahrenheit. No Brasil adota-se a escala em graus Celsius, mas em pases de lngua inglesa a escala em graus

Fahrenheit utilizada. A escala Celsius aponta como temperatura de fuso da gua 0 e de ebulio

100 enquanto que esses pontos na escala Fahrenheit so 32 e 212, respectivamente. J a escala

Kelvin utilizada no meio cientfico. Nela a ausncia completa de vibrao das molculas denotada

como 0 K, o ponto de fuso da gua ocorre em 273 K e o de ebulio em 373 K. Tomadas duas a duas,

h uma correspondncia linear entre as trs escalas. Vamos determinar a funo que relaciona as

escalas Celsius e Fahrenheit.

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3. FUNO POLINOMIAL DO 2 GRAU (Funo quadrtica) Caracterstica: o grfico uma parbola

Lei geral: y = ax2 + bx + c, com a 0

a indica se a concavidade da parbola voltada para cima ou para baixo. a > 0: concavidade voltada para cima

a < 0: concavidade voltada para baixo

b indica se a parbola est subindo ou descendo, quando intercepta o eixo y. b > 0: a parte crescente da parbola intercepta o eixo y

b < 0: a parte decrescente da parbola intercepta o eixo y

c termo independente: como todos os termos independentes de funes polinomiais, o c indica o ponto de interseco do grfico com o eixo y.

c > 0: corta o eixo y acima da origem

c = 0: corta o eixo y na origem

c < 0: corta o eixo y abaixo da origem

Os grficos das funes quadrticas so parbolas cujas posies dependem dos coeficientes a,

b e c.

Vrtice

Vrtice de uma parbola o ponto de mximo quando a concavidade voltada para baixo e

ponto de mnimo quando a concavidade voltada para cima.

Sendo o vrtice um ponto, localizado no plano por um par de nmeros. Chamando esse

ponto de V, temos V(xv; yv), onde 2

"x'xx v

(x e x so as razes da funo) ou

a2

bx v . A

ordenada do vrtice (yv) pode ser determinada substituindo xv na funo.

11

Exemplos:

1) Dada a funo y = x2 4x + 3, determine as coordenadas do vrtice, as razes, domnio, imagem e esboo do grfico.

2) A porcentagem p de bactrias em uma certa cultura sempre decresce em funo do nmero t de segundos em que ela fica exposta radiao, segundo a relao p(t) = 100 15t + 0,5t2. a) Aps 5s de exposio, qual o percentual de bactrias existentes na cultura? b) Aps quantos segundos de exposio ocorre a eliminao de toda a cultura?

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3) Uma forma lquida de penicilina fabricada por uma firma farmacutica vendida granel a um preo de R$ 200,00 por unidade. Se o custo total de produo (em reais) para x unidades for

C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x2

e se a capacidade de produo da firma for de, no mximo 30.000 unidades em um tempo

especificado, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para

o lucro ser mximo?

4) Um canil retangular ser contrudo aproveitando-se o muro do quintal e um total de 8m de cerca que sobraram de uma reforma. Nessas condies, qual a rea mxima que esse canil pode ter?

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4. FUNO DEFINIDA POR PARTES Existem funes cuja lei de formao dada por uma sentena composta por duas ou mais

partes. Observe o exemplo a seguir:

Os clientes das companhias telefnicas Tchau tm a disposio o Plano 50, que consiste num

limite preestabelecido de 50min em ligaes ao custo mensal de R$ 30,00. Se esse limite

ultrapassado, cada minuto excedente tem um custo de R$ 1,20.

a) Qual ser o valor da conta de um cliente que usou 20min em ligaes?

b) Qual ser o valor da conta de um cliente que usou 60min em ligaes?

c) Expresse essa funo em forma de uma lei matemtica.

Outro exemplo:

Dada a funo definida por

0xse,1x

0xse,x)x(f

2

, pede-se:

a) f(4) =

b) f(1) =

c) f(0) =

d) f(-3) =

e) f(-10) =

f) Esboce o grfico desse funo

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5. FUNO RAIZ QUADRADA

A funo raiz quadrada tem equao x)x(f . Perceba que o domnio dessa funo o

conjunto dos nmeros reais no negativos.

O grfico pode ser feito igualmente atravs da associao entre as variveis.

Exemplo:

1) Faa o grfico da funo x1y .

6. FUNO RAIZ CBICA

A funo raiz cbica tem equao 3 x)x(f . Perceba, agora, que o domnio dessa funo o

conjunto dos nmeros reais j que a raiz cbica est definida tambm para os nmeros negativos.

O grfico pode ser feito igualmente atravs da associao entre as variveis.

Exemplo:

2) Faa o grfico da funo 3 xy .

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7. FUNO MODULAR Considere a reta real de origem O e um ponto P de abcissa x.

Chamamos mdulo, ou valor absoluto, de x, e indicamos por |x|, a distncia entre os pontos P

e O na reta real. Note que como mdulo uma distncia, ele ser sempre positivo ou nulo. Assim,

define-se mdulo do nmero x como:

0 xse x,-

0 xse ,x|x|

Exemplos:

a) |5| =

b) |7| =

c) |35| =

d) |25|

A funo modular pode ser apresentada como

0 xse x,-

0 xse ,x|x|)x(f .

Exemplo:

1) Faa o grfico da funo y = |x + 2| e indique domnio e imagem da funo.

8. FUNES TRIGONOMTRICAS Existem 6 razes trigonomtricas que so determinadas a partir de um tringulo retngulo. As

mais conhecidas so o seno, o cosseno e a tangente, mas temos as inversas cossecante, secante e

cotangente. Essas razes so definidas do seguinte modo:

(1) seno (sen) o nome atribudo razo entre o cateto oposto a um ngulo e a hipotenusa. (2) cosseno (cos) o nome atribudo razo entre o cateto adjacente a um ngulo e a hipotenusa. (3) tangente (tan ou tg) o nome atribudo razo entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um

ngulo.

(4) cossecante (csc ou cossec) o nome atribudo razo entre a hipotenusa e o cateto oposto a um ngulo.

(5) secante (sec) o nome atribudo razo entre a hipotenusa e o cateto adjacente a um ngulo. (6) cotangente (cot ou cotg) o nome atribudo razo entre o cateto adjacente e o cateto oposto a

um ngulo.

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As razes cossecante, secante e cotangente podem ser determinadas a partir do seno, cosseno e

tangente, a saber:

sen

1 csc

cos

1 sec

tan

1 cot

Existem trs unidades para medida de ngulo, sendo a mais conhecida o grau (), que ficou

definido como o ngulo central de uma circunferncia que foi dividida em 360 partes. Ainda h o

grado (g), que foi uma tentativa de dividir a circunferncia em 400 partes e que atualmente no

utilizado. A ltima o radiano (rad) que a medida de um arco cujo comprimento o prprio raio da

circunferncia que contm esse arco.

Sendo o comprimento da circunferncia de raio R igual a C = 2R, temos que cabem na

circunferncia 2 arcos de comprimento igual ao raio, o que equivale dizer que 2 rad correspondem a 360.

Programe sua calculadora na unidade adequada e inidique a resposta das razes pedidas abaixo:

a) sen 30 =

b) cos 200g =

c) tan 4

=

d) sec 60 =

e) csc 1 =

f) cot 20g =

(quando no aparecer unidade na razo trigonomtrica pedida, subentende-se radiano)

As funes trigonomtricas modelam fenmenos cclicos, como, por exemplo, a subida das

mars, o movimento de um pndulo, os batimentos cardacos, entre outros. importante conhecer as

caractersticas dos grficos dessas funes. Para constru-los, procedemos como nas outras funes, ou

seja, criamos uma tabela de pontos (x, y).

1) y = sen (x)

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2) y = cos (x)

Percebe-se que ambas as funes so contnuas em toda a parte, isto , no apresentam

interrupes. Em relao funo tangente, podemos fazer seu grfico diretamente a partir da tabela

de pontos (x, y) ou ainda lembrar que (x) cos

(x)sen (x) tan e fazer o seu grfico a partir dessa identidade.

Esse grfico, ao contrrio da funo seno e cosseno, no contnuo, pois quando )x( cos for zero

haver uma interrupo no grfico. A ttulo de conheimento, abaixo so mostrados os grficos das

demais funes trigonomtricas.

3) y = tan (x)

4) y = csc (x)

18

5) y = sec (x)

6) y = cot (x)

Exerccios:

1) Dada a funo representada pelo grfico ao lado,

determine:

a) f(-2) =

b) f(5) =

c) f(-3) =

d) D(f) =

e) Im(f) =

f) os valores de x em que f(x) > 0

g) os valores de x em que f(x) < 0

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2) Determine f(0), f(2), f(-2), f(3), f( 2 ) e f(5) nas funes abaixo:

(a) f(x) = 3x2 2

(b)

1 x3x,

1 x,x)x(f

2

3) Encontre o domnio das seguintes funes:

a) 3x

1)x(f

b) f(x) = 3 x

c) x3)x(f

d) 25x

x)x(g

2

e) h(x) = 3 + x

f) g(x) = x3 + 2

4) Para encher uma caixa dgua cilndrica so abertas duas torneiras que despejam gua razo constante. Represente um esboo do grfico que pode representar a altura (h) do nvel de gua na

caixa em funo do tempo (t) em que as torneiras ficam abertas.

5) Dada a funo f(x) = x3 1, determine seu domnio e faa o grfico.

20

6) Dada a funo real de varivel real, definida por 5x

3)x(f , determine:

a) D(f) =

b) f(1) =

c) o valor de x em que f(x) = 4

7) Faa o grfico das seguintes funes:

a) y = 2x 3

b) y = -x + 2

8) Determine a lei da funo polinomial do 1 grau cujo grfico passa pelos pontos A(-2, 3) e B(2, 0).

9) Atualmente as escalas de temperatura em uso so Celsius, Fahrenheit e Kelvin. Em 1731, o fsico

e inventor francs, Ren-Antoine Ferchault de Raumur desenvoleu a escala Raumur (R).

possvel estabelecer uma relao entre as escalas Celsius e Raumur, mostrada no grfico abaixo.

(a) Qual a lei matemtica que relaciona R em funo de C? (b) Se as escalas Celsius e Fahrenheit

se relacionam segundo a lei F = 1,8C + 32, qual funo relaciona as escalas F e R?

21

10) Em um dia de inverno, a temperatura T de uma regio do Rio Grande do Sul, em graus Celsius,

em funo do horrio x, no perodo das 5h s 11h, pde ser descrita pelo grfico abaixo. Qual a

lei matemtica que expressa a funo descrita pelo grfico nesse intervalo de tempo?

11) Durante um passeio noturno de barco, diverso preferida de um grupo de jovens, surgiu uma

situao de perigo, em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do

grupo que ficara no acampamento. A funo que descreve o movimento do sinal luminoso dada

pela expresso h(t) = 30t 3t2, onde h a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, desde o disparo at o momento em que o sinalizador cai na gua. (a) Qual a altura

mxima atingida pelo sinalizador? (b) Aps quantos segundos o sinalizador cai na gua?

12) Um projtil lanado do solo, verticalmente para cima. A funo que relaciona a altura, em

metros, e o tempo, em segundos, representada por h(t) = 80t 4t2. Nessas condies, aps quanto tempo o projtil atinge a altura mxima?

22

13) Uma pequena empresa de reciclagem tem seu lucro mensal dado por L(x) = -0,2x2 + 2x 0,5,

onde x representa a massa de produto reciclado, em dezenas de quilogramas, e L representa o

lucro, em milhares de reais. Qual o lucro mximo mensal possvel nessa empresa, segundo essa

funo?

14) Faa o grfico das seguintes funes, determinando as coordenadas do vrtice e as razes, caso

existam.

a) y = x2 5x + 6 b) y = 4x x2 c) y = -x2 + 4x 5

23

15) O programa de computador de uma empresa de transporte indica o preo P, em reais, dos fretes

de acordo com a lei matemtica

100d se 100),-2(d300

100d se ,d50,250P , onde d a distncia, em km.

A partir disso, pergunta-se::

a) Qual preo do frete para uma distncia de 120km.

b) O grfico dessa funo contnuo no seu domnio?

16) Uma empresa pblica de fornecimento de gua cobra R$ 60,00 a ttulo de taxa fixa, que d direito

ao usurio consumir mensalmente at 15m3 de gua. Alm desse volume, cobrado um

acrscimo de R$ 5,00 por m3 de excesso. (a) Se um usurio teve que pagar R$ 80,00, qual foi seu

consumo mensal de gua? (b) Crie uma lei matemtica que fornea o preo mensal P a pagar pela

conta de gua em funo do nmero x de m3 de gua consumidos.

17) Represente graficamente a funo

3 xse , 2

3x2 se , 4x

2 xse , x

)x(f 2 .

24

CAPTULO 2

1. LIMITES O conceito de limite fundamental no estudo que desenvolveremos a partir desse captulo:

taxas de variao. Em vrias situes do cotidiano usamos o conceito de limite sem nos darmos conta.

Por exemplo, um fio de nilon preso numa das pontas ao teto de uma casa; h um limite mximo de

massa que esse fio consegue suportar. A partir de um determinado peso, o fio no resiste e se parte. O mesmo ocorre num balo. A borracha se expande at um determinado limite. Ultrapassando

esse ponto, o balo estoura.

Considere o seguinte exempo:

O reservatrio de gua de uma cidade foi contaminado num acidente qumico com um

composto cancergeno. A empresa contratada para a descontaminao apresentou como custo do

processo uma lei matemtica que leva em considerao o percentual do agente txico que dever ser

removido. Tal custo expresso pela lei

x100

x5,0)xC(

onde representa o percentual do composto a ser removido e C(x) representa o custo, em

centenas de milhares de reais.

(a) Determine o custo da remoo para 50%, 80% e 90% do agente txico.

(b) Se a prefeitura dispuser de R$ 1.000.000,00 para o processo, qual percentual do agente txico consegue ser eliminado?

(c) O que ocorre medida que o percentual a eliminar do agente cancergeno se aproxima de 100%?

25

O uso mais bsico de limites consiste em determinar como uma funo se comporta medida

que aproximamos a varivel independente dessa funo de um determinado valor.

Vamos comear por exemplos simples:

Considere a funo f(x) = x2 x + 1.

Vejamos o que ocorre quando fazemos se aproximar de 2.

Aqui, percebemos que medida que se aproxima de , por valores menores do que , a funo

se aproxima de _____.

Dizemos que esse nmero o limite da funo quando tende a 2 pela esquerda e denotamos

)1xx(lim 22x

Aqui, percebemos que medida que se aproxima de 2, por valores maiores do que 2, a funo se

aproxima de _____.

Dizemos que esse nmero o limite da funo quando tende a pela direita e denotamos

)1xx(lim 22x

Observe o grfico:

Como tanto pela direita como pela esquerda do , nos aproximamos do mesmo valor da

funo, dizemos que o limite (limite bilateral) da funo quando se aproxima do 2 _____.

)1xx(lim 22x

Definio (Informal): Se est definida no intervalo e no necessariamente em .

Ento

pode ser lido como o limite (limite bilateral) de quando tende a e significa que podemos fazer os valores de ficam infinitesimalmente prximos a conforme toma

valores inifinitesimalmente prximos a .

26

Outro exemplo:

Considere a funo 4x

16x)x(f

2

.

Vejamos o que ocorre quando fazemos se aproximar de .

Note que a funo no est definida para x = 4, mas medida que se aproxima de 4 a funo

se aproxima de _____.

Denotamos

4x

16xlim

2

4x

Observe o grfico:

Finalmente, analisemos a funo

2x se ,x5

2x se ,1x)x(f .

A funo est definida para x = 2?

O que ocorre, nesse caso, medida que x se

aproxima de 2?

Observe o grfico:

Nesse caso, dizemos que )(lim2

xfx

NO

EXISTE, pois os limites laterais so diferentes.

27

Lxfkx

)(lim se, e somente se, Lxfxfkxkx

)(lim)(lim

Mais um exemplo:

Considere a funox

1)x(f .

Perceba que nesse caso, medida que aumentamos indefinidamente o valor de , tanto

positivo como negativo, o valor resultante na funo se aproxima cada vez mais de zero.

Quando tende a ou , tende a ______.

Graficamente:

1.1. Limites infinitos s vezes os limites laterais ou bilaterais no existem porque os valores da funo crescem ou

decrescem indefinidamente.

Considere novamente a funo x

xf1

)( .

Nessa situao, escreveremos:

)x(flim0x

)(lim0

xfx

)(lim0

xfx

)(lim xfx

)(lim xfx

28

importante uma distino. Nos trs casos acima o limite NO EXISTE, mas no primeiro e

no segundo damos como resposta e para diferenciar do terceiro, que escrevemos textualmente

no existe devido ao fato de os limites laterais serem diferentes.

Assntotas verticais

Do grego asymptotos, que significa que no pode atingir. Diz-se que a reta uma

assntota (vertical) quando

)(lim xfkx

ou

)(lim xfkx

. Assim, medida que se aproxima

de o valor da funo cresce ou decresce indefinidamente, nunca atingindo a reta . Os grficos

abaixo mostram exemplos de assntotas verticais.

importante ressaltar no terceiro grfico acima que, mesmo se , a reta

continuaria a ser uma assntota vertical do grfico, isto , a assintota vertical pode atingir o grfico em

um dos semi-planos definidos por ela.

Exemplos:

1) Para a funo cujo grfico est abaixo, determine:

a) f)

)x(flimx

b)

)x(flim2x

g)

)x(flimx

c)

)x(flim2x

h)

)x(flim0x

d)

)x(flim2x

e) f(0) =

Definio (Informal): Se est definida no intervalo e no necessariamente em .

Ento

significa que podemos fazer os valores de ficarem arbritrariamente grandes (tanto quanto

quisermos) por meio de uma escolha adequada de nas proximidades de .

29

2) Esboce um grfico de uma funo com as seguintes propriedades: i) o domnio de ii)

iii) 3)(lim2

xfx

iv) 0)(lim0

xfx

v) 1)(lim3

xfx

3) Dado o grfico da funo f abaixo, determine o que se pede:

4) 2x

6lim

2x

5)

5x3xlim 22x

a) f(0) = e) )2(f

b)

)(lim0

xfx

f)

)(lim2

xfx

c)

)x(flim0x

g)

)x(flim4x

d)

)x(flim0x

h)

)x(flimx

30

6) Esboce dois grficos de funes com as seguintes caractersticas: a) o domnio de cada funo . b)

c) uma assntota.

d) se

1.2. Limites tcnicas para calcular Na seo anterior, o clculo de limites foi feito por aproximao. No entanto essa tcnica

insuficiente para o clculo de limites em algumas funes. Considere

xseny , cujo grfico est

representado abaixo. Ao lado mostrada uma tabela com valores que faz o leitor chegar concluso

errada de que medida que se aproxima de zero a funo tambm se aproxima de zero. Nota-se,

pelo grfico, que a funo oscila cada vez mais rapidamente entre e medida que tende a zero,

portanto no se aproxima de nenhum limite.

Por isso, nessa seo aprenderemos tcnicas algbricas para o clculo de limites de funes.

Comeamos explorando os resultados em algumas funes, cujos grficos so mostrados.

1)

kax

lim

kxlim

kxlim

xseny

31

2)

xax

lim

xxlim

xxlim

3) xx

1lim

0

xx

1lim

0

xx

1lim

xx

1lim

Agora vamos considerar a funo e a funo . Se fazemos ,

temos que . Calculando o limite de cada uma dessas funo quando tende a , por

exemplo, temos:

(a) 2xlim)x(flim2x2x

(b) 33lim)x(glim2x2x

(limite de uma constante a prpria constante)

(c) 53limxlim)3x(lim)x(hlim2x2x2x2x

Teorema: Seja um nmero real e suponha que 1ax

L)x(flim

e 2ax

L)x(glim

,

ento: (a) 21axaxax

LL)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[ lim

(b) 21axaxax


(c) 21axaxax


(d)2

1

ax

ax

ax L

L

)x(glim

)x(flim

)x(g

)x(f lim

, (se L2 0)

(e) n 1nax

n

axL)x(flim)x(flim

(se for par, ).

32

Obs.:

1) Essas afirmaes tambm valem para os limites laterais quando ou .

2) Ainda que os resultados (a) e (c) tenham sido formulados para duas funes e , esses resultados

so vlidos para um nmero qualquer finito de funes.

No caso especial da parte (c) em que uma funo constante, temos

)(lim)(limlim))((lim xgkxgkxgkaxaxaxax

Ou seja, um fator constante pode ser removido do limite.

1.3. Limites de polinmios e funes racionais quando

Um polinmio de grau uma funo da forma

onde e . Dizemos que uma raz de se e nesse caso,

existe um polinmio de grau tal que .

Para qualquer polinmio n

n3

32

210 xCxCxCxCC)x(p e qualquer nmero real , temos que

)a(paC...aCaCCxC...xCxCClim nn2210nn2210ax

ou seja, para calcular o limite de um polinmio quando , podemos apenas substituir por .

Em relao s funes racionais )x(Q

)x(P)x(f , em que e so polinmios, para

calcular )(lim xfax

temos trs casos dependendo dos valores de e .

I. o limite do denominador no zero. Nesse caso, o limite pode ser obtido apenas substituindo a varivel independente, pois

numerador e denominador so polinmios.

Exemplo:

1)

1x3

1x3x4lim

2

2

1x

2)

1x

3xlim

21x

33

II. o limite do numerador e denominador so nulos.

Em matemtica, a frao b

a, quando a e b tendem a zero, chamada de indeterminao do

tipo 0

0. Como a e b se aproximam de zero, o resultado indeterminado. No clculo desse tipo de

limite, lanamos mo de algumas tcnicas algbricas.

Exemplos:

3)

2x2

1x3x4lim

2

2

1x

4)

12xx

8x2lim

24x

5)

4x

2xlim

4x

6)

1

1lim

3

1 x

x

x

34

III. somente o limite do denominador nulo. Nesse caso, o denominador se aproxima de zero enquanto o numerador no. Com isso, o limite

no existe e ocorre uma das trs situao a seguir:

a) o resultado cresce indefinidamente (limite tende a ) b) o resultado decresce indefinidamente (limite tende a ) c) o resultado cresce e decresce indefinidamente dependendo do lado da aproximao feita.

Nesse caso, dizemos textualmente que o limite no existe.

Os grficos abaixo mostram cada uma dessas situaes.

No clculo desse tipo de limite, o que precisa ser feito uma aproximao pela direita e pela

esquerda do nmero que queremos investigar.

Exemplos:

1)

8x2x

x2lim

24x

2)

8x2x

x2lim

24x

Logo, 8x2x

x2 lim

24x

35

1.4. Limites de (n natural) quando ou . Os grficos abaixo mostram claramente o comportamento no infinito dos polinmios do tipo

.

xx

lim

2 lim xx

3 lim xx

xx

lim

2 lim xx

3 lim xx

A multiplicao de um nmero por no afeta o limite se esse nmero for positivo, mas

inverte o sinal se o nmero for negativo.

Exemplos:

1)

67 lim xx

2)

52- lim xx

1.5. Limites de polinmios e funes racionais quando ou Devemos estar atentos ao termo de maior grau, pois o comportamento da funo est

diretamente relacionado ao seu comportamento quando ou .

Exemplo:

1)

345

xx8x9x2lim

Valor da funo

fcil perceber que o termo define o comportamento da funo no infinito. Assim, para o

clculo de limites no infinito de um polinmio precisamos considerar apenas o termo de maior grau.

Por exemplo1, 4

x

24

xx2lim7xx3x2lim

.

1 Essa equivalncia justificada matematicamente pela propriedade (c) dos limites. Tente desenvolver esse

raciocnio.

36

No caso de funes racionais, como se trata de uma razo entre polinmios, procedemos do

mesmo modo, apenas considerando o termo de maior grau tanto no numerador quanto no

denominador.

Exemplos:

1)

5x2

3x4 lim

x

2)

1x4

5xx2 lim

3

2

x

3)

5x3

xx2 lim

2

x

4) O custo mdio, em reais, de um produto dado pela funo x

3000 1,8 = )xC( , em que

representa a quantidade de produtos fabricados. Calcule )xC( limx

e interprete o resultado

obtido.

37

1.6. Limites envolvendo radicais

No clculo de limites envolvendo radicais, a propriedade nax

n

ax)x(flim)x(flim

nos permite o

uso da mesma estratgia anterior para limites no infinito envolvendo polinmios.

Exemplos:

1)

3

x 8x2

5x16 lim

2)

5x2

4x3 lim

2x

1.7. Limites de funes definidas por partes O clculo de limites em funes definidas por mais de uma sentena depende exclusivamente

do local onde se quer investigar o limite. O ponto mais importante aquele em que a funo muda de

sentena.

Exemplos:

1) Determine )( lim1

xhx

para

1x se ,x2

1x se ,x4)x(h

2

2

.

2) Determine )( lim0

xfx

para

0x se 2,

0x se |,x|)x(f .

38

1.8. Assntotas horizontais Anteriormente vimos que uma reta uma assntota vertical do grfico de uma funo

se tende a ou quando tende a pela esquerda ou direita.

Uma reta uma assntota horizontal do grfico de uma funo se tende a

quando tende a ou .

Exemplos:

1) Determine as assntotas da funo 4x2

2x6)x(f

, caso existam.

2) Determine as assntotas da funo 4x

2x)x(f

2

, caso existam.

3) Determine as assntotas da funo 4x

8x2)x(f

2

, caso existam.

39

Exerccios:

Obs.: As questes 1 a 8 tm como fonte:

ANTON, Howard. Clculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1. p.124.

1) Para a funo f (grfico abaixo), determine:

a) )xf( lim3x

b) )xf( lim3x

c) )xf( lim3x

d) f(3)

e) )xf( lim-x

f) )xf( limx


a) )xf( lim2x

b) )xf( lim2x

c) )xf( lim2x

d) f(2)

e) )xf( lim-x

f) )xf( limx


a) )xf( lim4x

b) )xf( lim4x

c) )xf( lim4x

d) f(4)

e) )xf( lim-x

f) )xf( limx


a) )xf( lim2x

b) )xf( lim2x

c) )xf( lim2x

d) f(-2)

e) )xf( lim-x

f) )xf( limx

40


a) )xf( lim2x

b) )xf( lim2x

c) )xf( lim2x

d) f(2)

e) )xf( lim-x

f) )xf( limx


a) )xf( lim4x

b) )xf( lim4x

c) )xf( lim4x

d) f(4)

e) )xf( lim-x

f) )xf( limx


a) )xf( lim0x

b) )xf( lim0x

c) )xf( lim0x

d) f(0)

e) )xf( lim-x

f) )xf( limx


a) )xf( lim0x

b) )xf( lim0x

c) )xf( lim0x

d) f(0)

e) )xf( lim-x

f) )xf( limx

9) Resolva os limites abaixo:

a)

2-xlim2x

b) 3x

1lim

3x

41

10) Faa o cesboo de um grfico em que:

i) )4,2()f(D

ii) 2)x(flim0x

iii) )x(flim0x

no existe

iv) 0)2(f

v) 2)x(flim4x

11) Faa o esboo de um grfico em que:

i) )4,2[)f(D

ii) 4x uma assntota

iii) )x(flim1x

no existe

iv) 1)2(f

v) 1 raiz

12) Um estudo dos nveis de formaldedo em casas indicou que a emisso de vrios produtos qumicos pode diminuir com o passar do tempo. Os nveis mdios de formaldedo (em partes por

milho) em uma casa so dados por

2t

26,0t055,0)t(f

)12t0(

onde t representa a idade da casa em anos.

a) Quando a casa nova, qual o nvel mdio emitido de formaldedo?

b) A longo prazo, qual o nvel de formol numa casa?

13) O nmero de bactrias numa cultura exposta a certas condies varia de acordo com a lei

1t

t2000100)t(N

em que t indica o tempo, em minutos.

a) Qual o nmero inicial de bactrias nessa cultura?

b) Qual a populao limite segundo essa lei matemtica?

42

14) Faa o esboo de um grfico em que:

i) )5,3()f(D

ii) )x(flim2x

existe no

iii) 5x uma assntota

iv)

)x(flim1x

15) Determine o valor dos limites pedidos. Se no existir, diga que no existe, justificando. Se o limite tender a ou , indique essa resposta.

(a) x

2)-x1)(x(lim

2x

(b) 4x

16xlim

16x

(c) 1x

6x8x2lim

2

2

1x

(d) 1x

6x8x2lim

2

2

x

(e) 21x )1x(

1xlim

(f) 1x

5xxlim

2

3 23

x

(g) xx

1x3lim

2x

(h) 3x

9xlim

9x

43

(i) 8x

xx3lim

2

4

x

(j) 4x3x

5x6xlim

2

2

1x

(k) x

xx

x

4

4lim

32

4

(l) xx

x2xlim

3

32

x

(m) 36y

6ylim

26y

(n) )x2(limx

(o) 3x

xlim

3x

(p) 2x x64

x5lim

(q) 1x

1x lim

2

1x

16) Um padeiro assa um po num forno a uma temperatura de . Seja a temperatura do po assado minutos depois de retirado do forno. A figura abaixo mostra a temperatura do po em

funo do tempo desde que foi retirado do forno, onde denota a temperatura ambiente.

(a) Qual o significado de )(lim0

tft

?

(b) Qual o significado de )(lim tft

?

44

17) Dada a funo

1 x se ,x2

1 x se ,x)x(f

2

, determine )( lim1

xfx

ou diga que no existe, justificando sua

resposta.

18) Dada a funo

1 x se 1,x3

1 x se , 2x)x(f

2

, determine )( lim1

xfx

.

19) Determine, se houver, as assntotas das funes:

a) 2x

3x6)x(f

b) 1x

8x2)x(f

2

c) 2x

4x)x(f

2

45

CAPTULO 3

1. CONTINUIDADE Nas funes, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, fenmenos fsicos. Num grfico,

por exemplo, do volume de combustvel no tanque em funo da distncia percorrida, uma possvel

representao aparece abaixo:

Note que as retas tracejadas indicam as paradas que o condutor fez para o reabastecimento do

veculo. Nesse momento ocorre uma interrupo no traado da funo. Essa interrupo chamada de

descontinuidade.

Intuitivamente, o grfico de uma funo pode ser descrito como uma curva contnua se no

apresentar quebras ou buracos. Para tornar essa idia mais precisa, precisamos entender quais

propriedades de uma funo podem causar quebras ou buracos.

Em I, ocorre uma descontinuidade do tipo bola. Note que a funo no est definida em c.

Em II, ocorre uma descontinuidade do tipo salto. Perceba que )x(flimcx

no existe.

Em III, ocorre uma descontinuidade do tipo fenda. Nesse caso

)x(flimcx

.

Em IV, o limite em c definido assim como f(c), mas )c(f)x(flimcx

.

I

IV III

II

46

Dizemos que uma funo contnua em se as seguintes condies estiverem satisfeitas:

i. est definida

ii. )(lim xfcx

existe, ou seja, )x(flim)x(flimcxcx

iii. )c(f)x(flimcx

Se uma ou mais das condies dessa definio falhar, ento dizemos que a funo tem uma

descontinuidade em

Exemplo:

1) Determine se as seguintes funes so contnuas. Se ocorrer descontinuidade, indique onde.

a) 1x

1x)x(f

2

b)

1x se 1,x

1x se ,2x

4x

)x(f

2

c)

2x se , 1x

2x se , 3x)x(f

2

1.1. Continuidade em um intervalo Se uma funo f for contnua em cada ponto do intervalo , ento dizemos que

contnua em . Quando for contnua em , dizemos que contnua em toda parte.

Exemplo:

Considere o grfico da funo ao lado e responda

s questes com SIM ou NO:

a) contnua em ?

b) contnua em ?

c) contnua em ?

d) contnua em ?

e) contnua em ?

47

Exemplos:

1) Determine os valores de nos quais a funo 9x

5x2x)x(f

2

23

contnua.

2) Verifique se a funo

0x,

1x

4x

0x,2x

)x(f

2

contnua em toda parte. Se no for, indique os

valores de onde h descontinuidade.

3) Encontre um valor constante , se possvel, que faa a funo

2x ,xk

2x ,2x4)x(f

2 ficar contnua

em toda parte.

1.2. Descontinuidade removvel

Diz-se que uma funo tem uma descontinuidade removvel em se )(lim xfcx

existe,

ou seja, )(lim)(lim xfxfcxcx

, mas no contnua em , ou porque no est definida em

ou porque difere do valor do limite.

Exemplos:

1) A funo 2

1

xy possui uma descontinuidade removvel?

2) A funo 3

32

x

xxy possui uma descontinuidade removvel?

48

1.3. Continuidade em funes trigonomtricas Percebemos pelos grficos de y = sen (x) e y = cos (x) que ambas so funes contnuas em

toda parte.

Assim )csen()xsen( limcx

e )ccos()x(coslimcx

. Como )xcos(

)xsen()x(tan , segue que:

),c(tg)ccos(

)csen(

)x(cos lim

)xsen(lim

)xcos(

)xsen( lim)x(tglim

cx

cx

cxcx

se .

Teorema: As funes trigonomtricas so contnuas em seu domnio.

Exemplos:

1) Encontre o limite

3x

9x coslim

2

3x ou diga que no existe, justificando.

2) Encontre o limite )xcossec(lim0x

ou diga que no existe, justificando.

3) Encontre o limite )xtg(lim2

x ou diga que no existe, justificando.

49

Exerccios: 1) Nas funes abaixo, determine os pontos de descontinuidade, se houver:

a)

1x,

x

2x

1x,2x

)x(f

2

b) 2|x|

|x|)x(f

c) 1x

x)x(f

2

d) 9x

3x)x(f

2

e)

0 xse,1x

3x

0 xse,2x

2x

)x(f

2

2

f)

3 xpara ,4x

42x

3 xe 0 xpara 1,-2x

0 xpara ,2x

)x(f

2

2

2) Considere a seguinte situao: Uma caixa dgua abastece uma residncia ao longo de uma semana. Nesse tempo, diversas vezes uma bomba acionada, levando gua do poo caixa. O

grfico que representa o nvel h de gua na caixa em funo do tempo t, ao longo dessa semana

representa uma funo contnua? Justifique.

50

3) Determine o valor de k, se possvel, que torne a funo contnua.

(a)

2x ,kx

2x ,x28)x(f

2

(b)

3x k,x2

3x , 2kx)x(f

4) O que significa o resultado dos limites encontrados abaixo?

(a) )xsen(2 lim 21x

(b)

x4x

x2x senlim

3

2

2x

(c)

4x

1x coslim

2x

(d) )xtg(lim0x

51

Obs.: As questes abaixo tm como fonte:


Nos Exerccios 5-8, seja f a funo cujo grfico mostrado. Em quais dos intervalos a seguir f

contnua?

(a) [1, 3] (b) (1, 3) (c) [1, 2]

(d) (1, 2) (e) [2, 3] (f) (2, 3)

Naqueles intervalos onde f no contnua, estabelea onde as descontinuidades ocorrem.

Diz-se que uma funo f tem uma descontinuidade removvel em x = c se f(x) limcx

existe, mas

)x(flim)c(fcx

ou porque f(c) indefinida ou o valor de f(c) difere do valor do limite. Esta

terminologia ser necessria no Exerccio 25.

9)

(a) Esboce o grfico de uma funo de descontinuidade removvel em x = c para a qual f(c) est

indefinida.

(b) Esboce o grfico de uma funo de descontinuidade removvel em x = c para a qual f(c) est

definida.

52

CAPTULO 4

1. TAXAS DE VARIAO Considere a situao de um aluno que vem de uma cidade distante para cursar a disciplina de

Clculo I aqui na Unisinos. Aps a aula, ele embarca no nibus e pergunta ao motorista qual a

quilometragem que o odmetro est registrando 63440km. Ao chegar no seu ponto de descida, questiona novamente o motorista 63560km. Se ele anotou que o nibus comeou seu deslocamento s 22h 40min e chegou ao seu destino s 0h 40min, qual foi a velocidade mdia desenvolvida nesse

trajeto?

O clculo da velocidade mdia, que a taxa de variao da distncia em relao ao tempo,

simples e faz parte do cotidiano. Ela calculada fazendo t

dVm

.

Agora, prestemos ateno em outra situao: o grfico abaixo mostra um exame corriqueiro

para muitos a curva glicmica. s 10h da manh, ao coletar sangue em jejum, o resultado apontou 77mg/dL de glicose. O paciente toma soluo com 75g de acar e aps 1h e 2h, so coletadas novas

amostras para o acompanhamento da evoluo glicmica. Os ndices so mostrados no grfico.

Qual foi a taxa de crescimento mdio do ndice glicmico entre o incio e o fim do exame?

O que podemos perceber que a informao que a taxa mdia de variao nos fornece muito

limitada. No 1 caso, o nibus em muitos momentos teve uma velocidade muito diferente da mdia de

60km/h. No 2, o crescimento de 18mg/dL a cada hora tambm uma informao que no leva a

concluses importantes. Em ambas as situaes, mais significativo seria a taxa de variao

instantnea, a qual pode trazer informaes muito mais relevantes.

No caso da velocidade instantnea num veculo, isso pode ser conseguido aps uma espiada

no velocmetro do carro ou no momento do registro da velocidade na lombada eletrnica.

Matematicamente, conseguimos a velocidade instantnea quando reduzimos a um instante a variao

de tempo. Ou seja:

t

dlimv

0tinst

53

Observe os grficos abaixo que mostram a reduo do intervalo de tempo at um nico

instante. Note que a reta que une o ponto inicial e final do trajeto considerado tem sua taxa de variao

calculada fazendo, genericamente, x

y

, conforme visto anteriormente. Nos cinco primeiros grficos, a

reta secante ao grfico d x t. Conforme o intervalo de tempo considerado diminui, a inclinao da

reta se modifica at que, quanto a variao de tempo tende a zero, a reta fica tangente ao ponto onde se

quer determinar a velocidade. Portanto, a velocidade instantnea, ou mais genericamente, a taxa de

variao instantnea, dada pela declividade2 da reta tangente ao instante considerado.

A figura abaixo3 nos ajuda a compreender melhor o conceito de taxas de variao. A taxa de

variao mdia dada pela declividade da reta secante, enquanto que a taxa de variao instantnea

dada pela declividade da reta tangente ao ponto onde se quer determinar a taxa.

2 A declividade de uma reta determina o ngulo dessa reta em relao ao eixo x, medido no sentido anti-

horrio do eixo para a reta. Na equao y = mx + b, declividade o coeficiente m da reta, chamado coeficiente

angular, onde m = tan . 3 Fonte: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Clculo. Porto Alegre: Bookman, 2007.

h

)x(f)xh(flim

xx

)x(f)x(flim

x

ylimtx

h

)x(f)xh(f

xx

)x(f)x(f

x

ytx

00

0h0

0

xx0xinst

00

0

0mdia

0

54

Exemplos:

1) Um projtil lanado do solo. Desprezando-se a resistncia do ar e o cano da arma, e admitindo-se conhecida a acelerao da gravidade, calculou-se a funo que relaciona o espao, em metros, e

o tempo, em segundos, representada pela igualdade f(t) = 80t 4t2. Nessas condies, determine: a) A velocidade vertical do projtil aps 5s do seu lanamento.

b) A velocidade vertical num instante t qualquer.

c) A velocidade no exato instante que o projtil toca o solo.

2) Encontre uma equao para a reta tangente parbola y = x2 no ponto (1, 1).

55

3) Encontre a taxa de variao de y em relao a x na funo y = 2x + 3.

4) Dada a funo y = x3, (a) encontre a taxa de variao mdia de y em relao a x no intervalo [0,5; 1,75].

(b) encontre a taxa de variao instantnea de y em relao a x em um ponto genrico x = x0.

(c) encontre a taxa de variao instantnea de y em relao a x em x = 1.

Em situaes-problema, as taxas de variao mdia e instantnea esto contextualizadas.

Assim, as respostas devem vir acompanhadas das respectivas unidades. Por exemplo:

a) se y estiver em C e x em horas, ento a unidade da taxa de variao deve ser C/h. b) se y estiver em m/s e x em segundos, ento a unidade da taxa de variao deve ser m/s2.

O estudo das taxas de variao esto presentes em muitas reas: um engenheiro pode

necessitar saber com que taxa um fio se dilata em funo da temperatura; um mdico pode estar

interessado na taxa com que o raio de uma artria muda em funo da quantidade de lcool na corrente

sangunea; um farmacutico necessita saber com que rapidez um antibitico age numa populao de

bactrias.

56

Exerccios: 1) Dada a funo y = x2 1,

(a) encontre a taxa de variao mdia de y em relao a x no intervalo [1; 3].

(b) encontre a taxa de variao instantnea de y em relao a x num ponto genrico x.

2) Encontre uma equao para a reta tangente parbola y = x2 1 no ponto (2, 3).



3) A figura em anexo mostra a curva de posio versus tempo para um elevador que se move para cima at 60m e, ento, descarrega seus passageiros .

(a) Estime a velocidade instantnea do elevador quando t = 10s. (b) Esboce uma curva de velocidade versus tempo para o movimento do elevador no intervalo

20t0 .

57

4) A figura em anexo mostra a curva de posio versus tempo para certa partcula movendo-se em linha reta.

(a) Onde a partcula se move mais rapidamente, em t0 ou t2 ? Explique. (b) Na origem, a tangente horizontal. Que informao sobre a velocidade inicial da partcula

isso nos d?

(c) A partcula est aumentando ou diminuindo sua rapidez em [t0, t1] ? Explique. (d) E no intervalo [t1, t2] sua rapidez est aumentando ou diminuindo ? Explique.

5) Um para-quedista cai verticalmente de um avio. A figura mostra o grfico da distncia s cada pelo para-quedista versus o tempo t desde o salto do avio.

(a) Use o segmento de reta que acompanha o grfico para estimar a velocidade escalar instantnea do para-quedista no instante t = 5s.

(b) Estime a velocidade escalar instantnea do para-quedista no instante t = 17,5s. O que parece estar ocorrendo com a velocidade escalar do para-quedista ao longo do tempo?

58

CAPTULO 5

1. DERIVADA O limite que usamos para determinar a inclinao da reta tangente tambm usado para

definir uma das operaes fundamentais do Clculo a diferenciao. A funo 'f definida pela frmula

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h

denominada derivada de f em relao a x. O domnio de 'f consiste em todos os valores de x do

domnio de f para os quais existe este limite. O termo derivada usado porque a funo 'f deriva da funo f por meio de um limite.

Quando a varivel independente for x, a operao de derivao pode ser denotada por

)]x(f[dx

d)x('f ou )]x(f[D)x('f x .

Quando tivermos y = f(x), a derivada costuma ser denotada por

)x('y)x('f ou dx

dy)x('f .

Se quisermos determinar o valor da derivada num ponto x0, podemos indicar

0xx

0 )]x(f[dx

d)x('f

ou 0xx

x0 )]x(f[D)x('f ou )x('y)x('f 00 ou 0xx

0dx

dy)x('f

.

Exemplo:

1) Encontre a derivada em relao a x de f(x) = x2 + 2x e use-a para encontrar a equao da reta tangente a f(x) em x = 1.

Como a derivada definida por um limite, esse limite pode existir ou no em determinados

pontos da funo. Isso significa que uma funo pode no ser diferencivel em toda a parte.

Na seo anterior, vimos que esse limite igual declividade da reta tangente num ponto. Se y

= mx + b a reta tangente num ponto x0, ento a derivada em x0 igual a m, que pode ser obtido

fazendo m = tan ( o ngulo de inclinao da reta tangente). Assim, a funo no ser diferencivel num local onde a reta tangente tiver um um ngulo de

inclinao de 90, pois tan 90 no est definida. Alm disso, quando a reta tangente pela esquerda de

um ponto tiver inclinao diferente da reta tangente visualizada pela direita desse ponto, a derivada no

ponto tambm no existir, visto que o limite bilateral no existe. Tal situao ocorre nitidamente

numa funo que apresenta bico. O exemplo abaixo ajuda a compreender essa ideia.

59

Exemplo:

1) Mostre que a funo y = |x 2| contnua em x = 2, mas no diferencivel quando x = 2.

Teorema:

Se f diferencivel no ponto x0, ento f contnua em x0.

Prova:

Supondo que f diferencivel no ponto x0, ento

h

)x(f)hx(flim)x('f 00

0h0 . (1)

Se f contnua em x0, devemos mostrar que )x(f)x(flim 0xx 0

, que equivalente a dizer que

0)x(f)x(flim 0xx 0

que implica em 0)x(f)x(flim 0xx 0

.

Usando h = x x0, devemos provar que 0)x(f)xh(flim 000h

.

Ora, )x(f)xh(flim 000h

pode ser escrito

h

h

)x(f)xh(flim 00

0h que equivalente a

hlimh

)x(f)xh(flim

0h

00

0h

. Segue que 00)x('f 0 , provando o teorema.

equivalente ao teorema acima a seguinte sentena:

Se f no contnua em x0, ento f no diferencivel em x0.

Como vemos, uma funo pode ser contnua em um ponto, mas no diferencivel. Contudo, se

a funo f diferencivel em x = xo, ento f contnua em x = xo.

Uma funo f no diferencivel em um ponto x = xo por uma das seguintes razes:

a funo f descontnua em xo.

a funo f contnua em xo e o seu grfico tem no ponto x = xo uma reta tangente vertical.

A funo f contnua em xo e o grfico de f no define uma nica reta tangente no ponto x = xo.

No caso de uma funo f ser definida num intervalo [a, b], ento 'f no est definida nos extremos desse intervalo, pois derivadas so limites bilaterais. Num caso assim, nomeamos derivada

pela esquerda e derivada pela direita, respectivamente:

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h

e

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h

.

60

Exemplos:

1) Considere a funo representada pelo grfico abaixo. Distribua em ordem crescente os nmeros zero, f(-5), f(2) e f(6).

2) Dado que f(2) = 1 e que f(2) = 3, encontre uma equao para a reta tangente ao grfico de y = f(x) no ponto de x = 2.

1.1. Tcnicas de diferenciao Todas as tcnicas de diferenciao sero aqui apresentadas sem prova, mas decorrem da

definio de derivada j estudada. Para visualizar tais demonstraes, consulte a bibliografia

recomendada.

1) Derivada de uma constante

2) Derivada de uma funo potncia

Se n qualquer nmero real, ento 1nn xn]x[dx

d .

Exemplos:

a) Se f(x) = x8, ento )x('f =

b) Se xy , ento 'y =

Uma funo constante tem o grfico representado por uma

reta horizontal. Em qualquer ponto do grfico, a declividade

da reta tangente zero, o que nos leva concluso que

0]c[dx

d .

Exemplos:

a) Se y = 3, ento y =

b) Se f(x) = -2, ento f(x) =

61

c) Se x)x(h , ento )x('h =

d) Se 2y)y(f , ento )y('f =

e) Se 3 5xy , ento y =

f) Se f(x) = x0,6, ento )x('f =

g) Se 9t

1)t(f , ento )(' tf =

3) Derivada de uma constante vezes uma funo

Se f uma funo diferencivel e c uma constante, ento )x(fdx

dc)]x(fc[

dx

d .

Exemplos:

a) Se g(x) = 3x4, ento )x('g =

b) Se 32

x9)x(h , ento )x('h =

c) Se x

2y , ento 'y

4) Derivada da soma ou diferena de 2 funes

A derivada de uma soma (ou diferena) de duas funes diferenciveis a soma (ou diferena) de

suas derivadas, ou seja,

)x(gdx

d)x(f

dx

d)]x(g)x(f[

dx

d

Exemplos:

a) Se f(s) = s3 4s + 5, ento )s('f

b) Se x2x32

x)x(g 3

4

, ento )x('g

c) Se 410

410 x10x

4x10x4y , y=

d) Em quais pontos o grfico de y = x3 3x + 4 tem uma reta tangente horizontal?

e) Se y = (3 2x2)(5x + 4x3), determine y.

62

5) Derivada do produto de 2 funes

O produto de duas funes diferenciveis f e g diferencivel. Alm disso, a derivada do produto

pode ser calculada pela expresso )x(gdx

d)x(f)x(f

dx

d)x(g)]x(g)x(f[

dx

d .

Exemplos:

a) Encontre a derivada de f(x) = (3x 2x2)(5 + 4x).

6) Derivada do quociente de 2 funes

O quociente f/g de duas funes diferenciveis f e g diferencivel em todos os pontos x para os

quais g(x) 0. Alm disso, a derivada de f/g dada por

2)]x(g[

)x(gdx

d)x(f)x(f

dx

d)x(g

dx

)]x(g/)x(f[d

.

Exemplos:

a) Encontre a derivada de 1x

2x5)x(f

2

.

b) Se f(x) = x

2x3 2 , determine f(2).

63

1.2. Derivadas de ordem superior A derivada de uma funo novamente uma funo, que pode ter sua prpria derivada. Se 'f

for diferencivel, ento sua derivada denotada po "f e chamada derivada segunda de f. Enquanto

tivermos diferenciabilidade, podemos continuar o processo de derivao para obter as derivadas

terceira, quarta, quinta, etc.

Notao:

Derivada segunda: 2

2

dx

yd , (x)f" , "y

Derivada terceira: 3

3'"

dx

yd , (x)f , '"y

Derivada quarta: 4

4(4))4(

dx

yd ),x(f ,y

Derivada n-sima: n

n(n))n(

dx

yd ),x(f ,y

E qual o significado de uma derivada segunda, por exemplo? Para entender isso mais

claramente, observe os grficos:

O grfico representa a funo posio de um mvel. Sabemos que a velocidade em um ponto

determinada pelo valor da derivada naquele ponto, ou t

Slimv

0tinst

, cuja unidade, nesse caso,

m/s. Ou seja, se determinarmos a velocidade em diferentes pontos, podemos esboar a curva v x t, que

o grfico da derivada da funo posio, mostrado abaixo.

Fazendo idntico raciocnio, derivando a funo v(t) em diferentes pontos, obtemos a segunda

derivada da funo S(t). Como unidade, temos m/s2, que fisicamente traduz a acelerao de um corpo.

Ou seja, a acelerao obtida pela derivada segunda da funo posio!

E podemos ir alm. Qual a acelerao da gravidade no planeta? Lembre que de 9,8m/s2, o

que significa que um corpo em queda livre, no vcuo, aumenta a velocidade de 9,8m/s a cada segundo.

Pois bem, chamando a acelerao de a, temos a = 9,8. Mas a = v(t) = 9,8; logo v(t) = 9,8t. Sabemos tambm que v(t) = S(t), ento S(t) = 4,9t2. Essa a equao da queda livre dos corpos, a qual podemos utilizar para determinar a distncia percorrida por um corpo em queda. Apesar de ela valer

apenas no vcuo, sem interferncia da resistncia do ar, portanto, para pequenas distncias o

comportamento em corpos densos muito semelhante.

64

Exemplo:

1) Um vaso largado do alto de um edifcio, de uma altura de 100m. Aps quanto tempo e com qual velocidade o vaso toca o solo?

1.3. Derivadas de funes trigonomtricas Consideremos a varivel independente x das funes trigonomtricas, quando se refere a

ngulo, medida em radianos. As frmulas de derivao so apresentadas abaixo.

1) xcos x]sen[dx

d

2) xens x][cosdx

d

3) xecs x][tandx

d 2

4) tan x xsec x][secdx

d

5) cot x xcsc x][cscdx

d

6) xcsc x][cotdx

d 2

Exemplos:

1) Se f(x) = x2 + 2 cos x, determine f(1).

2) Se x)x(senxy , determine dx

dy.

65

3) Sendo )x(sen 4)xcos(xy 2 , determine 2

2

dx

yd.

4) Encontre a equao da reta tangente ao grfico de y = sen x no ponto x = 0.

1.4. Regra da cadeia J vimos regras de derivao para alguns tipos de funes. No entanto, a derivada da funo f(x)

= (x2 + x)

10 pode ser bem trabalhosa de ser obtida pelos mtodos vistos. Um modo de resolver esse

problema seria fazer a expanso de (x2 + x)

10, o que invivel pela extenso dos clculos a fazer. Nessa

seo, nossa estratgia ser escrever f(x) como uma composta de funes mais simples que j sabemos

derivar.

Na funo y = (x2 + x)

10, podemos fazer u = x

2 + x, o que permite esvrever y = u

10. O que

queremos o resultado dx

dy, que podemos obter fazendo

dx

du

du

dy

dx

dy . As derivadas envolvidas que

nos fazem resolver o problema inicial so simples. Se y = u10

, ento 9u10du

dy e se u = x2 + x, ento

1x2dx

du . Resolvemos o problema inicial fazendo )1x2()xx(10)1x2.(u10

dx

dy 929 .

Teorema:

Se y = f(u) uma funo diferencivel de u e u = g(x) uma funo diferencivel de x, ento

))x(g(fy uma funo diferencivel de x e )x('g))x(g('f))]x(g(f[dx

d .

66

Dizemos regra da cadeia porque a derivada que queremos calcular obtida pelo encadeamento de duas ou mais funes como visto acima. Informalmente, a regra acima pode ser

expressa em palavras como sendo a derivada da funo externa multiplicada pela derivada da funo interna.

OBS: A regra da cadeia pode ser aplicada mais de uma vez na mesma funo, se necessrio.

Exemplos:

1) Determine a derivada das funes abaixo: (a) f(t) = (t3 + 2t)5

(b) y = cos (x3)

(c) f(x) = tan2 (4x)

(d)

3

2

y

5y2)y(f

(e) 22 )1x(

)x2(seny

67

1.5. Frmulas generalizadas de derivao Se usamos u e v como uma funo de x, ento as regras de derivao anteriormente vistas

podem ser expressas como mostradas abaixo:

1) 'unu]u[dx

d 1nn

2) 'uv'vu]vu[dx

d

3) 2v

'uv'vu

dx

]v/u[d

4) u'(u) cos]u sen[dx

d

5) u'(u) sen]u [cosdx

d

6) u'(u) sec]u [tandx

d 2

7) u'(u)tan u)sec(]u [secdx

d

8) u'(u)cot (u) csc]u [cscdx

d

9) u'(u) csc]u [cotdx

d 2

Exemplos:

1) Se 424 )]2x4sec(x[)x(f

2) Se )x2(sen1x2y

68

Exerccios:

1) A partir das funes abaixo, determine dx

dy.

(a) y = 3x3 2x-2 + 4x 2

(b) y = 6x2

7

(c) y = 3 x6x2

(d) )xx)(3x2(y 2

2) A partir das funes abaixo, determine f(2). (a) f(x) = (x3 + 7x2 8)(2x-3 + x-4)

(b) 4

2

x

3x)x(f

(c) x1

xx2)x(f

2

(d) )1x(x

2x3)x(f 5

69

3) A partir das funes abaixo, determine 2

2

dx

yd.

(a) y = (4x2 3x)(6x3 + 1)

(b) x

1xy

4) A partir das funes abaixo, determine )x('f .

(a) x sen 2x cos 4)x(f

(b) xcos x4)x(f 2

(c) xsen5

xcos5)x(f

(d) tan x2 x sec)x(f

(e) x tan xsec)x(f

70

5) Encontre as derivadas das funes abaixo:

(a) 323 )x2x(y

(b) 3 1x3y

(c) y = cos (2x)

(d) y = x3 sen (3x)

(e) 2x2

)3x2(y

4

(f) x2xy

71

(g) )x2( cos

)x3( seny

2

(h)

2

3

x

7x)x(f

(i) 32 )1x2-x3(

4)x(f

(j) x34)x(f

(k) y = cos3 (sen 2x)

72


ANTON, Howard. Clculo. v.1. Porto Alegre: Bookmann, 2007. 8.ed. p.187.

6) Ache g(4) dado que f(4) = 3 e f (4) = -5.

(a) )x(f x)x(g

(b) x

)x(f)x(g

7) Ache uma equao para a reta tangente ao grfico de y = f(x) no ponto onde x = -3 se f(-3) = 2 e f(-3) = 5.

8) Esboce o grfico de uma funo f para a qual f(0) = -1, f(0) = 0, f(x) < 0 se x < 0 e f(x) > 0 se x > 0.

9) Use o grfico abaixo de y = f(x) na figura abaixo para estimar o valor de )1('f , )3('f e )6('f .

73

CAPTULO 6

1. TAXAS RELACIONADAS O estudo da derivada importante na resoluo de uma quantidade muito grande de problemas

de diversas reas de conhecimento. Particularmente, a seco de taxas relacionadas utiliza a regra da

cadeia recentemente vista na resoluo de problemas. Considere o exemplo abaixo:

1) Um navio petroleiro sofre um acidente e o leo derramado atravs de uma ruptura no casco se espalha em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 m/s. Com que

velocidade a rea do derramamento estar crescendo quando seu raio for de 60m?

Precisamos obter a taxa de crescimento da rea A da mancha em funo do tempo t, ou seja,

dt

dA. Ora, sabemos que a expresso que fornece a rea de um crculo de raio R A = R2, e portanto a

taxa de crescimento da rea do crculo em funo do seu raio R2dR

dA , e que a taxa de crescimento

do raio R em funo do tempo t dado por s/m 2dt

dR . Finalmente, para descobrir a taxa

dt

dA quando

R = 60m, podemos fazer dt

dR

dR

dA

dt

dA , ou seja, s/m 6,75314,32402602

dt

dA 2

60R

, que

representa a taxa de crescimento quando o raio da mancha atinge 60m.

Outros exemplos:

2) Um balo esfrico inflado de modo que seu volume cresce a uma taxa de 3cm3/s. Com que rapidez o dimetro do balo estar crescendo quando o raio for de 1cm?

3) Uma escada de 3m de comprimento est apoiada em uma parede vertical. Se a base desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 10cm/s, quo rapido o topo da escada est escorregando para

baixo quando a base da escada est a 1m da parede?

74

Outros problemas envolvendo derivadas:

4) Um estudo realizado pela cmara de comrcio de uma cidade projetou que a populao da cidade

nos prximos trs anos crescer de acordo com a lei t20t3050000)t(P 23

onde P(t) denota a

populao daqui a t meses.

a) Em 2 anos, qual ser a populao da cidade? b) Determine a taxa de variao da populao em relao ao tempo nos prximos t meses. c) Em 16 meses, com que rapidez a populao dessa cidade estar crescendo? d) Entre o 1 e o 2 ano, qual foi a taxa mdia de crescimento populacional nessa cidade?

5) O percentual de jovens obesos entre 12 e 19 anos nos Estados Unidos cresceu drasticamente nos ltimos anos. O percentual de jovens obesos entre 1980 e 2000 aproximado pela funo

5t735,0t0105,0)t(P 2 ( 20t0 )

onde t medido em anos, com t = 0 correspondendo ao incio de 1980.

(a) Qual era o percentual de jovens obesos entre 12 e 19 anos no incio de 1980? E no incio de 1990?

(b) Com que rapidez o percentual de crianas obesas estava mudando no incio de 1985? (c) Em que ano o percentual de jovens obesos atingiu 10%?

75

6) O nmero de pessoas entre 18 e 64 anos recebendo benefcios por incapacidade do sistema de seguridade social entre 1990 e 2000 aproximado pela funo N(t) = 0,00037t

3 0,0242t2 + 0,52t

+ 5,3 )10t0( , onde N dado em milhes de habitantes e t medido em anos, com t = 0

correspondendo a 1990. Com que rapidez o nmero de beneficirios est aumentando em 1996?

7) A quantidade de nicotina, em mg, no corpo, t minutos depois de fumado um cigarro, dada por Q = f(t).

a) Interprete a afirmao f(20) = 0,36.

b) Interprete a afirmao 002,0)20('f .

8) O nmero de bactrias em uma cultura no instante t, em minutos, aps a aplicao de um bactericida experimental segue a regra

2000t1

10000)t(N

2

a) Qual o nmero inicial de bactrias?

b) Com que rapidez a populao da colnia est decrescendo aps 3min?

9) Um estudo de impacto ambiental conduzido por um orgo governamental numa determinada cidade indicou que o nvel de monxido de carbono (CO), em partes por milho, presente no ar

devido poluio por emisso de automveis daqui a t anos ser 32

)64t4t2,0(01,0)t(C 2 .

Determine a taxa com que a concentrao de CO estar mudando daqui a cinco anos.

76

Exerccios: 1) Uma carga de dinamite lana um bloco de rocha para cima. A rocha atinge uma altura conforme a

funo h = 160t 16t2, com t em segundos e h em metros. (a) Qual a altura mxima atingida pela rocha? (b) A rocha sobe, mas num determinado momento sua velocidade vertical se anula e

ela comea a descer. Em que instante ocorre isso? (c) Qual a velocidade da rocha no exato

instante que ela toca o solo?

2) A populao de uma espcie de tartaruga estava ameaada de extino porque traficantes estavam recolhendo carregamento de ovos de tartarugas para serem revendidos como afrodisacos. Aps a

implementao de medidas severas de conservao, espera-se que a populao de tartarugas

comporte-se de acordo com a lei

100t4t3t2)t(N 23 ( 10t0 )

onde N(t) denota a populao no ano t. No 3 ano, com que velocidade a populao de tartarugas

estava crescendo?

3) Um estudo dos nveis de formaldedo em 900 casas indicou que a emisso de vrios produtos qumicos pode diminuir com o passar do tempo. Os nveis mdios de formaldedo (em partes por

milho) em uma casa so dados por

2t

26,0t055,0)t(f

)12t0(

onde t representa a idade da casa em anos. Quando a casa est no incio de seu 4 ano, com que

rapidez o nvel mdio de formaldedo estar decrescendo?

77

4) O percentual de famlias constitudas por casais com filhos entre 1970 e 2000 aproximadamente

27,0t

6,49)t(P ( 4t1 )

onde t medido em dcadas, com t = 1 correspondendo dcada de 1970, t = 2 dcada de 1980,

e assim por diante.

a) Qual o percentual de famlias que eram constitudas por casais com crianas na dcada de 1990?

b) Com que rapidez o percentual de famlias que eram constitudas por casais com crianas estava variando em 1980?

5) A velocidade mdia de um veculo em um trecho de uma rodovia entre 6h e 10h da manh em um

tpico dia de semana dada aproximadamente pela funo 50t40t20)t(f , )4t0( ,

onde f(t) medido em km por hora e t medido em horas, com t = 0 correspondendo s 6h da

manh. As 10h da manh, qual a velocidade mdia dos carros que esto trafegando por essa

rodovia?

6) Projeta-se que a porcentagem da populao dos Estados Unidos com telefones celulares dada

pela equao 34,0t4,24P , )10t1( , onde t medido em anos, com t = 1 correspondendo ao

ano de 1998. Com que rapidez se espera que a porcentagem da populao dos Estados Unidos

com telefones celulares esteja variando em 2006?

78

7) Um automvel conduzido numa estrada de modo que ao longo dos primeiros 30 segundos sua posio dada por S(t) = 3t

2 + 2t, em que S a posio do automvel, em metros, e t representa o

tempo em segundos. Determine:

a) Qual a velocidade mdia do automvel entre 4s e 8s?

b) Qual a velocidade instantnea do automvel no instante t = 5s?

c) Aps quantos segundos a velocidade do automvel atinge 14m/s?

8) A parbola de equao y = x2 4x + 3 tem uma reta tangente cujo coeficiente angular 6. Determine o ponto (x, y) da curva no qual a reta a tangencia.

9) Uma bola de plstico cai num roseiral e um espinho a perfura de forma que o volume da bola decresce a uma taxa de 100cm

3 por segundo. No exato instante que o raio da bola atinge 20cm,

com que rapidez o raio estar decrescendo?

79

10) Um petroleiro sofre um acidente em alto mar e comea a perder leo por uma abertura no casco. Se o combustvel se espalha de forma circular de modo que o raio da mancha cresce a uma taxa

constante de 4m/s, com que velocidade a rea do derramamento est crescendo quando o raio da

mancha for de 100m?

11) Um balo esfrico esvaziado de tal forma que seu raio decresce a uma taxa constante de 10cm/min. Com que taxa o ar est sendo removido quando o raio for de 12cm?

12) Uma escada de 1,3m est apoiada em uma parede. Se seu topo desliza sobre a parede para baixo a uma taxa de 0,2m/s, com que rapidez a base da escada estar se afastando da parede quando o

topo estiver a 0,5m acima do solo?

13) Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estar variando a rea englobada pela onda crescente ao final de 10

segundos?

80

14) Pela ruptura de um tanque, uma mancha de leo espalha-se em forma de um crculo, cuja rea cresce a uma taxa constante de 6 km

2/h. Com que rapidez estar variando o raio da mancha

crescente quando a rea for de 9 km2?

15) Um balo esfrico inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m3/min. Com que rapidez o dimetro do balo estar crescendo quando o raio dor de 1 m?

16) Um foguete subindo verticalmente acompanhado por uma estao de radar no solo a 5 km da rampa de lanamento. Com que rapidez o foguete estar subindo quando a sua altura for 4 km e a

sua distncia da estao do radar estiver crescendo a uma taxa de 2000 km/h?

17) Gros caem de uma calha de escoamento a uma taxa de 8 m3/min, formando uma pilha cnica cuja altura sempre o dobro do seu raio. Com que rapidez a altura da pilha est crescendo no

momento em que a altura de 6 m?

81

CAPTULO 7

1. FUNES CRESCENTES E DECRESCENTES Os termos crescente, decrescente e constante so usados para descrever o comportamento de

uma funo em um intervalo medida que percorremos seu grfico da esquerda para a direita.

Definio: Seja f definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos do intervalo.

a) f crescente no intervalo I se f(x1) menor do que f(x2) para x1 < x2. b) f decrescente no intervalo I se f(x1) maior do que f(x2) para x1 < x2. c) f constante no intervalo I se f(x1) igual a f(x2) para todos os pontos x1 e x2.

O grfico abaixo mostra intervalos onde a funo crescente, decrescente e constante.

Perceba que qualquer reta tangente traada no intervalo (-, a) ou (b, c) tem declividade positiva; se pegarmos qualquer ponto no intervalo (a, b), a reta tangente a esse ponto tem declividade

negativa e no intervalo (c, +) qualquer reta tantenge tem declividade nula. Isso nos leva ao seguinte resultado:

Teorema:

Seja f uma funo contnua e diferencivel num intervalo I.

a) Se 0)x('f para todo valor de x em I, ento f crescente nesse intervalo.

b) Se 0)x('f para todo valor de x em I, ento f decrescente nesse intervalo.

c) Se 0)x('f para todo valor de x em I, ento f constante nesse intervalo.

Exemplos:

1) Determine os intervalos nos quais a funo f(x) = 4 3x x2 crescente ou decrescente.

2) Determine os intervalos nos quais a funo f(x) = x3 crescente ou decrescente.

82

3) A massa de uma cultura de bactrias tem seu crescimento representado pela funo M(t) = 20 + 60t 2,5t2, com t medido em horas e M medido em cm3. Para que valores de t temos que

0)t('M e 0)t('M . O que estaria ocorrendo com a massa bacteriana?

4) Determine os intervalos onde o grfico da funo 23 x2

3x)x(f crescente ou decrescente.

2. CONCAVIDADE Vamos primeiramente tornar mais claro o conceito de concavidade. Podemos definir uma

funo em cncava ou convexa dependendo do tipo de curvatura que seu grfico mostra.

O grfico abaixo mostra uma funo cncava. Perceba que se pegarmos dois pontos quaisquer

do grfico de f, esse segmento de reta (corda) est sempre acima do grfico nesse intervalo.

O grfico abaixo mostra uma funo convexa. Perceba que a corda agora fica sempre abaixo

do grfico no intervalo escolhido.

No entanto comum nos referirmos concavidade da funo usando cncava para cima ou

cncava para baixo. Assim, na Figura 1, dizemos que a funo cncava ou cncava para cima e, na

Figura 2, dizemos que a funo convexa ou cncava para baixo.

Figura 1

Figura 2

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A figura abaixo4 indica o que ocorre com as inclinaes das retas tangentes em cada tipo de

concavidade. Perceba que as derivadas, vistas da esquerda para a direita, so crescentes quando a

funo cncava para cima e decrescentes quando a funo cncava para baixo.

Portanto:

Se f diferencivel em um intervalo I, ento dizemos que f cncava para cima em I se 'f

crescente em I, e cncava para baixo em I se 'f decrescente em I. Usando este fato e o teorema que caracteriza crescimento e decrescimento (aplicado a f' no lugar de f), temos o seguinte resultado:

Teorema:

Seja f duas vezes diferencivel em um intervalo aberto I.

(a) Se 0)x("f para cada valor de x em I, ento f cncava para cima em I.

(b) Se 0)x("f para cada valor de x em I, ento f cncava para baixo em I.

Exemplos:

1) Determine os intervalos abertos nos quais as funes abaixo so crescente, decrescentes, cncavas para cima e cncavas para baixo.

a) f(x) = x2 4x + 3

b) y = x3

4 Fonte: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Clculo. 8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

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c) y = x3 4x

2.1. Ponto de inflexo Um ponto do grfico em que a concavidade muda recebe denominao prpria.

Definio: Se f contnua em um intervalo aberto contendo o ponto x e muda de concavidade no

ponto (x,f(x)), ento dizemos que o ponto x do domnio, ou o ponto (x,f(x)) do grfico, um ponto de

inflexo de f.

O grfico abaixo mostra o ponto de inflexo da funo em destaque.

Um ponto de inflexo sempre ocorre onde 0)x("f ou quando f(x) no est determinada,

mas nem sempre quando f(x) = 0 ou f(x) indeterminada temos um ponto de inflexo. Tome como exemplo a funo y = x

4, analisando a existncia ou no do ponto de inflexo.

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Exemplo:

1) Determine os intervalos abertos nos quais a funo f(x) = x3 3x2 + 1 crescente, decrescente, cncava para cima e cncava para baixo. Em seguida, verifique a existncia de pontos de inflexo,

indicado as coordenadas (x, y) em caso afirmativo.

2) O grfico abaixo representa a derivada de uma funo f. Assim, (a) para qual intervalo de x a funo f crescente? (b) Para qual intervalo de x a funo cncava para cima?

H um outro modo de perceber o significado do ponto de inflexo. J sabemos que eles indicam

o ponto do grfico onde as inclinaes das retas tangentes (derivadas) mudam de crescente para

decrescente, ou vice-versa. Podemos compreender melhor o seu significado abaixo.

Exemplo:

Num determinado pas, a desvalorizao de sua moeda foi mais acentuada no 1 semestre de

2010 do que no segundo. Isso fez com que o preo do dlar aumentasse mais no primeiro perodo do

ano, ao passo que no 2 semestre esse aumento foi menor.

O grfico abaixo mostra essa evoluo. O ponto assinalado (ponto de inflexo) mostra

justamente o momento que as taxas de variao do preo do dlar comearam a decrescer. Num

contexto assim, talvez seja mais significativo o conceito de ponto de inflexo.

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Exerccios:

1) Indique o sinal de 'y e "y em cada um dos pontos destacados na funo abaixo:

y' y"

A

B

C

2) Considere o grfico abaixo em que y = f(x). Em relao funo f, indique os intervalos para os quais ela crescente, decrescente, cncava para cima e cncava para baixo.

Obs.: As questes abaixo tm como fonte:

ANTON, Howard. Clculo. v.1. Porto Alegre: Bookmann, 2007. 8.ed. p.276.

3) Use o grfico da equao y = f(x) na figura abaixo para encontrar os sinais de dy/dx e d2y/dx2 nos pontos A, B e C.

4) Use o grfico de y = f(x) na figura abaixo para determinar as coordenadas x de todos os pontos de inflexo de f. Explique seu raciocnio.

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5) Em cada parte, use o grfico y =

apoio calculo versao 2013 1

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