anÁlise de processos resumo 24 de setembro de 2008
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ANÁLISE DE PROCESSOSANÁLISE DE PROCESSOS
RESUMORESUMO
24 DE SETEMBRO DE 2008
PROCESSO
Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de matérias primas em produtos de interesse industrial.
ENGENHARIA DE PROCESSOS
Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos
PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS
É o conjunto de ações desenvolvidas
DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico
AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.
A Engenharia de Processos surgiu com a “Fertilização” da Eng. Química tradicional com elementos de:
Resultando:
Utilização mais organizada e mais eficiente dos conhecimento específicos da Engenharia Química no Projeto de Processos:
- Projeto mais rápido e mais eficiente.
- Processos mais econômicos, seguros e limpos.
CIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
ENG. DE PROCESSOS
Engenharia de Sistemas:No tratamento de conjuntos complexos de elementos interdependentes
Inteligência Artificial:Na resolução de problemas combinatórios
1.3 SISTEMAS 1.3.1 Conceito
(b ) cuja finalidade é executar uma ação complexa resultante da combinação das ações dos seus elementos.
Sistema: denominação genérica aplicada a organismos, dispositivos ou instalações, com as seguintes características:
21
3 4
5
7
6
(a) são conjuntos de elementos interdependentes (através de conexões), cada qual capaz de executar uma ação específica.
e interdependentes (através das correntes)
O Processo Químico é um SISTEMA
Um conjunto de elementos especializados (equipamentos)
reunidos para um determinado fim (produção de um produto).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
extrato
águaágua
vapor
EVAPORADOR
EXTRATOR
CONDENSADORRESFRIADORMIS
TU
RA
DO
R
alimentação
bombaDECANTADOR
20 HP
rafinadoproduto
W11
T11
W6
T6
W4
T4
f14
f24x14
W7
T7
T3
W1
T1x11
f11
f21
T2
f12
Ar
Ae
Vlt
r
f32
f23
Ac
W8
T8
W15
T15
W13
T13
W14
T14
W12
T12
W10
T10
W9
T9
W5
T5
f13
ENGENHARIA DE SISTEMAS
Campo do conhecimento que estuda Sistemas de uma forma genérica, independentemente da finalidade e da natureza dos
seus elementos.
Vantagem em considerar Processos como Sistemas:
Poder utilizar o arsenal de procedimentos da Engenharia de Sistemas para estudar os Processos Químicos
É a base da Engenharia de Processos
e do surgimento da área:
Engenharia de Sistema de Processos
PSE: Process System Engineering
1.3.2 Estrutura de Sistemas
1 2
acíclica
1 2
cíclica
1
2
com convergência
Exemplos de Estruturas de Sistemas
É a forma como as conexões interligam os elementos do sistema.
21
3 4
5
7
6
complexa
com bifurcação
1
2
1.3.3 Projeto de Sistemas
(a) previsão do desempenho do sistema.(b) avaliação do desempenho do sistema.
(a) escolha de um elemento para cada tarefa.(b) definição da estrutura do sistema.
PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE
Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema.
Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem:
SÍNTESE
ANÁLISE
1.3.4 Síntese
(a) escolha de um elemento para cada tarefa.(b) definição da estrutura do sistema.
No Projeto: é a etapa criativa
Genericamente: síntese significa compor um todo a partir de suas partes
Equipamentos disponíveis para a geração de fluxograma de um determinado Processo Ilustrativo
RM
Reator demistura
RT
Reator tubular
DS
Coluna de destilaçãosimples
DE
Coluna de destilaçãoextrativa
A
Aquecedor
R
Resfriador
T
Trocador deIntegração
A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.
SÍNTESE: responsável por disponibilizar todas as soluções.
Fluxogramas Plausíveis para a Processo Ilustrativo
DS
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
(7)
RM
A,B
P,A
DS
P
A
T
(8)
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
DE
(9) DSRT RAA,B A,P
P
A
(11)
Gerados ao Acaso
RM
A,B
P,A
P
A
T DE
(10)
DSRT A,P
P
A
T
A,B
(12)
RT RAA,B A,P
P
A
DE
(13)
RT A,P
P
A
T
A,B
DE
(14)
Um problema com multiplicidade de soluções
EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!
1.3.5 Análise
Genericamente análise significa:
- decompor um todo em suas partes,
- compreender o comportamento das partes e, a partir daí,
- compreender o comportamento do todo.
Para cada solução alternativa gerada na Síntese:
(a) previsão do desempenho do sistema.
(b) avaliação do desempenho do sistema.
Principais dimensões dosequipamentos
Consumo de utilidadesmatérias primas e insumos
Especificaçõesde projeto
Modelo Matemático
previsão
Principais dimensões dosequipamentos
Consumo de utilidadesmatérias primas e insumos
Modelo Econômico
avaliaçãoLucro
No caso de processos químicos:
ANÁLISE: responsável pela avaliação de cada solução.
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES NA ANÁLISE
Cada par (x1,x2) é uma solução viável
À luz desses conceitos, as atividades do Projeto ficam melhor organizadas
Estabelecer o número
e o tipo dos reatores
Definir o número e o tipo dos separadores
Definir o número e o tipo de trocadores de
calor
Estabelecer malhas
de controle
Definir o fluxogramado processo
Investigar mercado para o produto
Investigar disponibilidade
das matérias primas
Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados
Investigar reagentesplausíveis
SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS
SÍNTESE ANÁLISE
Calcular as dimensõesdos equipamentos
Calcular o consumo de matéria prima
Calcular o consumo de utilidades
Calcular o consumo dos insumos
Calcular a vazão dascorrentes
intermediárias
Avaliar a lucratividadedo processo
1.3.6 Otimização
Fonte da complexidade: multiplicidade de soluções nos níveis tecnológico, estrutural e paramétrico.
Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química.
Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.
Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.
O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.
Multiplicidade de Soluções
Exige a busca da
OtimizaçãoSolução Ótima
através da
Como resolver eficientemente um problema tão complexo?
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL !
Ramo da Ciência da Computação que estuda a forma como o homem utiliza intuitivamente Inteligência e Raciocínio na solução de problemas complexos, implementando-as em máquinas.
Estratégias básicas:
Decomposição e Representação
(a) decomposição:
- decompor um problema complexo em sub-problemas mais simples.- obter a solução do problema complexo resolvendo os
problemas mais simples de forma coordenada.
(b) representação
Organizar as soluções segundo uma representação que oriente a sua a resolução.
Essas duas estratégias são aplicadas ao Projeto de Processos
Exemplo: o problema de projeto pode ser decomposto nos sub-problemas tecnológico (rotas químicas), estrutural (síntese) e
paramétrico (análise).
Exemplo: representação de problemas por Árvore de Estados.
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Problema Complexo de Otimização em 3 Níveis: Busca orientada
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Decomposição e Representação do Problema de Projeto por Árvore de Estados
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
A+B P+CA,B P,C
??
1 PAB Cx
?
T D
2PA
B Cx
?T A
P3DE Fx
?
DM
PF
4DE x
?
M E
L
x
6 8
x o = 3x*
L
x
L
10
x o = 4x* xx o = 6x*
L
x
7
x o = 5x*
INTELIGÊNCIA ARTIFICIALDecomposição e Representação de problemas
A partir de elementos de
ENGENHARIA DE SISTEMASProjeto, Síntese, Análise e Otimização
É possível sistematizar o Projeto !
INTRODUÇÃO GERAL
1
INTRODUÇÃO À
SÍNTESE DE PROCESSOS
8
6
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE SEPARAÇÃO
7
SÍNTESE
SÍNTESE DE SISTEMAS DE
INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
INTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE PROCESSOS
2
ESTRATÉGIAS
DE CÁLCULO
3
OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
AVALIAÇÃOECONÔMICAPRELIMINAR
4 5
ANÁLISE
OBJETIVO DA ANÁLISE
Prever e Avaliar o desempenho físico e econômico de um processo já existente (em operação) ou ainda inexistente (em fase de projeto)
Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação.
BaseModelo Econômico
Prever e Avaliar o desempenho ECONÔMICO
Prever e Avaliar o desempenho FÍSICO
(a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto.
BaseModelo Matemático
(b) avaliar o comportamento de um processo dimensionado para certas especificações, quando submetido a outras condições operacionais.
Dimensionamento
(c) seleção de métodos para a estimativa das propriedades e dos parâmetros físicos e econômicos.
(b) modelagem matemática
(a) reconhecimento do processo
A Análise se inicia com as seguintes etapas preparatórias:
Seguidas das etapas executivas ligadas aos objetivos da análise:
Simulação
2.1.1 Reconhecimento do Processo
- equipamentos (tipo, condições operacionais, ...)
- correntes (origem e destino, vazão, temperatura, composição...)
- fluxograma do processo (estrutura: “by-passes”, reciclos, etc.).
Consiste em identificar
2.2.2 Modelagem Matemática
O Modelo do Processo é constituído pelos modelos dos equipamentos e pelo modelo do fluxograma.
Modelo do Fluxograma: matriz de conexões.
Sistemas de equações algébricas:
- balanços de massa e energia- relações de equilíbrio de fase- expressões para a estimativa de propriedades, taxas e coeficientes- equações de dimensionamento- restrições nas correntes multicomponentes
Modelos dos Equipamentos:
2.2.2 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos
Devem ser incluídas equações para a estimativa das propriedades físicas e dos coeficientes técnicos.
2.3 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO
Dimensionamento: fixam-se as metas estabelecidas para o equipamento/processo (saídas especificadas); determinam-se as dimensões e as vazões de entrada capazes de satisfazer as metas.
Simulação: fixam-se as dimensões que satisfazem as metas e alteram-se as vazões das entradas. As saídas terão valores diferentes das metas.
2.3.1 Informações Relevantes (a) Condições Conhecidas
Em todo problema de dimensionamento e de simulação algumas condições de correntes, especialmente de entrada, devem ser conhecidas.
No caso do dimensionamento, devem ser conhecidas:- a produção desejada ou a disponibilidade de matérias primas.- as condições da alimentação, das utilidades e dos insumos.
No caso da simulação, devem ser conhecidas as dimensões dos equipamentos, as vazões e as condições de todas as correntes de entrada
(b) Metas de Projeto e de Operação
Algumas variáveis têm os seus valores impostos por especificações de ordem técnica ou por restrições ambientais. Normalmente são condições de saída.
Fluxograma do ProcessoDimensionamento: condições conhecidas
W6
T*6
W10 T10
W13 T13
W11 T*
11
W8
T*8
W*1
x*1,1
T*1
f1,1
f3,1
W7 T7
W5 T5W3
x1,3
T3 f1,3 f2,3
W4 x1,4
T4 f1,4 f2,4
W12 T12
W9 T9
W14 T*
14
W2
x1,2
T2 f1,2 f3,2
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
VdAe
AcAr
r
Alimentação
Vapor
ÁguaÁgua
Benzeno
Produto
Condensado
Benzeno
W15 T15
Fluxograma do ProcessoSimulação: condições conhecidas
W*6
T*6
W10 T10
W13 T13 W*
11 T*
11
W*8
T*8
W*1
x*1,1
T*1
f1,1
f3,1
W7 T7
W5 T5W3
x1,3
T3 f1,3 f2,3
W4 x1,4
T4 f1,4 f2,4
W12 T12
W9 T9
W*14
T*14
W2
x1,2
T2 f1,2 f3,2
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
V*d
A*e
A*r
A*e
r
Alimentação
Produto
Condensado
Vapor
ÁguaÁgua Benzeno
Benzeno
W15 T15
Fluxograma do ProcessoDimensionamento: metas de projeto
W6
T6
W10 T10
W13 T13 W11
T11
W8
T8
W1
x1,1
T1
f1,1
f3,1
W7 T7
W5 T*
5W3 x1,3
T3 f1,3 f2,3
W4 x*
1,4
T4 f1,4 f2,4
W12 T*
12
W9
T*9
W14 T14
W2
x1,2
T*2
f1,2 f3,2
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
VdAe
AcAr
* r*
Benzeno
Benzeno
Alimentação
Produto
Vapor
ÁguaÁgua
W15 T15
Condensado
Fluxograma do ProcessoDimensionamento: condições conhecidas + metas de projeto
W6
T*6
W10 T10
W13 T13 W11
T*11
W8
T*8
W*1
x*1,1
T*1
f1,1
f3,1
W7 T7
W5 T*
5W3 x1,3
T3 f1,3 f2,3
W4 x*
1,4
T4 f1,4 f2,4
W12 T*
12
W9 T*
9
W14 T*
14
W2
x12
T*2
f12 f32
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
VdAe
AcAr
* r*
AlimentaçãoProduto
Vapor
Benzeno
Benzeno
Água Água
W15 T15
Condensado
2.3.2 Balanço de Informação
O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdadedo problema: G = V – N - E (E = C + M).
Em função dos Graus de Liberdade, o problema pode ser:
- inconsistente (G < 0 : sem solução) - consistente
- determinado (G = 0 : solução única)- indeterminado (G > 0 : infinidade de soluções otimização)
Problemas de dimensionamento podem ser determinados (G = 0) ou indeterminados (G > 0, otimização).
Problemas de simulação são determinados (G = 0).(se impomos as entradas, a natureza não nos dá liberdade de escolha das saídas).
(a) Dimensionamento G = 0 (solução única)
INCÓGNITASPARÂMETROS
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
W4,W6,W8,W11,W14
MODELOMATEMÁTICO
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
W1x1,1,x1,4
T1,T2,T5,T6,T8,T9,T11,T12,T14, r,
2.3.3 Execução
(b) Otimização Dimensionamento com G > 0
incógnitas
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
variáveis de projeto
r,T9,T12OTIMIZAÇÃO
W4,W6,W8,W11,W14
MODELOMATEMÁTICO
variáveis especificadas
W1x11,x14
T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,
r, T9, T12
?
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
INCÓGNITASPARÂMETROS
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
W1,T1,x11,T5,W6,T6,W8,T8,W11,T11,W14,T14
T2, W4, T4, x14, T9, T12, r, MODELOMATEMÁTICO
(c) Simulação G = 0
2.3.4 Módulos Computacionais
A análise de um processo exige três ações:- resolução do modelo matemático do processo- avaliação econômica- otimização
que devem ser executadas por módulos computacionais integrados num programa de computador. Essas ações serão detalhadas nos próximos Capítulos.
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
INCÓGNITAS
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
VARIÁVEIS DE PROJETO
r,T9,T12 OTIMIZAÇÃO
MODELOMATEMÁTICO
A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma
Estratégia de Cálculo
Fontes de complexidade:
Em geral, os modelos de processos são muito complexos.
(c) presença de reciclos nos processos
(b) não-linearidades em muitas equações
(a) grande número de equações e de variáveis
Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como fazê-lo da forma mais eficiente possível?
MODELOFÍSICO
MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro
Objetivo de uma Estratégia de Cálculo
minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).
Métodos de Aproximações Sucessivas
Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares.
Métodos deRedução de Intervalos
Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
Partem de um intervalo inicial.(limites inferior e superior)
Partem de um valor inicial.
3.1.2 Resolução de equações não-lineares
ex: Método da Bisseção ex: Método da Substituição Direta
1 2 3x x
1x
2x
30
Estrutura Acíclica
1 2 3x0
x1
x2
x3
x3
Estrutura Cíclica
Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo).
Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).
3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação
Estrutura
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 0 1 1 0 0 0 0 0 03 0 0 1 1 0 0 1 0 04 0 0 0 1 1 0 0 0 05 0 0 0 0 1 1 0 0 06 0 0 0 0 0 1 1 0 07 0 0 0 0 0 0 1 1 08 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Matriz Incidência (Numérica)
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 * *2 * *3 * * *4 * *5 * *6 * *7 * *8 * *
Matriz Incidência (Gráfica)
Matrizes Esparsas !
1. f1(xo*,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Representação Matricial
x
x1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
Estrutura
1. f1(xo*,x1) = 0
2. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Representação Gráfica (Grafo)
Ciclo !
3.2.2 Resolução
Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos
Todas as variáveis são alteradas simultaneamente. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...
- método seqüencial
Aproveita-se do conhecimento da estrutura do sistema para minimizar o esforço computacional.
Elementos importantes do método seqüencial:
(a) Partição(b) Abertura(c) Algoritmo de Ordenação de Equações
x
x*1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
Decomposição em sub-sistemas
PARTIÇÃO
1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Uma estratégia para resolver o Sistema
1, 2 [ 3, 4 , 5 ,6 7, 8[ ] ] [ ]
Parte CíclicaParte Acíclica Parte Acíclica
xo* x2 x6 x8
Resolução seqüencial dos sub-sistemas solução do Sistema
É um algoritmo de atribuição de tarefas: a cada equação é atribuída a tarefa de calcular uma das variáveis do sistema.
3. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo.
1. Organiza as equações segundo a seqüência lógica, minimizando o esforço computacional seqüência de cálculo.
2. Efetua naturalmente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos.
Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.)
Propriedades do Algoritmo
4. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.
ELEMENTOS BÁSICOS DO ALGORITMO
Equações de Incógnita Única (EIU)
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Ciclos
Equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma!
Pela lógica: as primeiras a serem resolvidas.
Variáveis que pertencem a uma só equação.
Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equações e depois de todas que as antecedem.
Conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma.
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações
Enquanto houver equações com incógnita única (EIU)
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (VFU)
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.Se ainda houver equações
(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.
(a) Bisseção
x6a
3 4 5 6
x6a
x2 x3 x4 x5 x6
BISS
(b) Substituição Direta
x6c
3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6
SDx6a
Exemplo de esquemas de resolução do subsistema cíclico por abertura
Situações típicas que podem ocorrem ao aplicar o algoritmo de ordenação de equações em
Sistemas de Engenharia de Processos.
PROCESSO
OTIMIZAÇÃO
*LEE x
13 2 1
x4
x3
x2
x1
x2
x3
x
x
5 5
4
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
PROCESSO
OTIMIZAÇÃO
*LEE x
13 21
x4
x3
x
2x
1
x2x
3x
x
5 5
4
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
PROCESSO*
LEE x14 3 2 1
x4
x3
x2
x1
x2
x3
x4
AVALIAÇÃO
ECONÔMICASol.únicasem ciclo
Otimizaçãocom ciclo
Sol.únicacom ciclo
Otimizaçãosem ciclo
PROCESSO*
LEE x1
4 3 21x
4x
3x
2
x1
x 2 x 3 x4
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DOALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
- Variáveis discretas- Variáveis de cálculo direto e iterativo- Variáveis limitadas- Ciclos múltiplos- Variáveis de abertura e de projeto- Eliminação de ciclos.
Variáveis Discretas
Seus valores são limitados a um conjunto finito.
Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores.- diâmetros comerciais de tubos.- número de estágios.
Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto.Assim:
- assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador.- não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.
Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo
Exemplo
43
21
4321
TT
TTln
)TT(TT
Nesta equação:
- é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas)- qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais T’s)
As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.
Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.
Varáveis Limitadas
Os seus valores variam entre limites bem definidos.
Exemplos:- frações mássicas ou molares- temperaturas em trocadores de calor
Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de
projeto.
Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo
para que essa preferência seja concretizada.
Ciclos Múltiplos em Seqüência
f1(xo,x1,x3) 0
f2(x1,x2) 0
f3(x2,x3) 0
f4(x3,x4) 0
f5(x4,x5,x7) 0
f6(x5,x6) 0
f7(x6,x7) 0
=
=
=
=
=
=
=
1
2
4
5
6
1. x
2. x
3. final
4. x
5. x
6. x
7. final
x3
x7
Primeira entrada de x7: eq. 5
Primeira entrada de x3: eq. 1
Fechar o ciclo com a final mais próxima
0
0
0
0
f x x x
f x x x
f x x x
f x x
f x x x
f x x x
f x x
1 o 1 7
2 1 2 6
3 2 3 5
4 3 4
5 3 4 5
6 5 6 7
7 6 7
0
0
0
( , , )
( , , )
( , , )
( , )
( , , )
( , , )
( , )
=
=
=
=
=
=
=
X4
X7
1. x1
4. x3
6. x5
3. x2
5. final
7. x6
2. final
Ciclos Múltiplos Aninhados
Primeira entrada de x7: eq. 7
Primeira entrada de x4: eq. 4
Fechar o ciclo com a final mais próxima
Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas
(a)
1. x1
2. x2
4. x4
6. x 6
3. x 3
x7
x5
5. final
7. x8
Escolha ConvenienteCiclo com 3 equações
1. x1
2. x2
4. x4
6. x 6
3. x 3
x7
x5
5. final
(b)
7. x8
Escolha InconvenienteCiclo com 4 equações
Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o
menor número de equações.
Eliminação de Ciclos
31= 1 - X
1131. X
32= 1 - X
12
13= k X
12 / [1 + (k - 1) X
12]
3= W
1X11
r / X13
01. W2
= W1X31
/ X32
32. X
23= 03. W
15
=
2 =
T3
=
=
02'.X12
= X11
(1 - r) / [X31
+ X11
(1 - r)]
07. W
06. T
05. Vd
08.
04. X
33. X
31= 1 - X
1131. X
32= 1 - X
12
13= k X
12 / [1 + (k - 1) X
12]
3= W
1X11
r / X13
01. W2
= W1X31
/ X32
02. W1*X
11* - W
2X12
- W3
X13
= 0
32. X
23= 03. W
15
=
2 =
T3
=
=
X12
07. W
06. T
05. Vd
08.
04. X
33. X
Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x12 como incógnita.Explicitando x12, resulta 02’, localizada logo depois de 31. A seqüênciafica sem ciclo.
3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
Existem duas estratégias básicas:
- Estratégia GlobalTodas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos e que pertencem.O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado.É a estratégia mais indicada para dimensionamento.
- Estratégia ModularUtiliza módulos criados previamente para cada equipamento.Cada módulo contém as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação. Os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Reciclos correntes de abertura.A estratégia é indicada para simulação.
Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
EXTRATOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
CONDENSADOR
EVAPORADOR
SS
18. W10
20. Qc
19. c
22'. T9
21. W8
17. W9
24. W13
23. W12
25'. Qr
28. T13
27. T12
26. r
29. W15
30. T15
02. f23
32. f11
31. f31
03. f32
05. T2
07. 06. T3
01' f12
04. f13
08. r
W1
T1
x11
f11
f31
W15
T15
W45
T14
W13
T13
W10
T10
f13
f23
T3
W4
T4
x14
f14
f24
09. f14
13. T4
16. e
15. Qe
12. W6
14. W5
10. f24
11. W7
33. W4
34. x14
T5
T2
f12
f32
W5a
W5c
Repetição até convergir :
|W5c – W5a| / W5a
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
Procedimento:(a) identificação dos ciclos.(b) seleção das correntes de abertura(c) construção do algoritmo de simulação
(a) Identificação dos Ciclos
O procedimento é o de Traçado de Percursos (labirinto)Trabalha-se com uma Lista Dupla: corrente e equipamento de destino.O resultado é lançado na Matriz Ciclo-Corrente (correntes que participam de cada ciclo).
Corrente: Destino :
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
C: D:
3 4 5 6 711*
22 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
814
11
22
33
541
22
33
541
C: 1 2 3 5D: 1 2 3 4
765
86
1110 4
765
86
1110 4
7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8
13 2
7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7
1295
86
1110 4
C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7
1295
86
1110 4
12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8
13 2
12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8
13 2
(b) Seleção das Correntes de Abertura
Matriz Ciclo - Corrente
ALGORITMOCalcular os elementos de CRepetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1
1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C
000000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1
1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C
000000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C
300000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 0 0 03 0 0 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C
380000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C
300000
A
(c) Construção do Algoritmo de Simulação
1 2 3 4 5 6 7 81* 2
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
143
Abrir C3
REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)
REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)
ATÉ Convergir C8
Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)
ATÉ Convergir C3
Abrir C8
Corrente 1: única conhecida
3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Fontes de incerteza:
(a) modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes...
A análise de processos é executada em ambiente de muita incerteza.
A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através daAnálise de Sensibilidade
(b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis).
(b) questionamento do desempenho futuro. Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto ?
(a) questionamento do próprio dimensionamento.Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ?
A Análise de Sensibilidade consiste de dois questionamentos óbvios efetuados ao final do dimensionamento, realizado em ambiente de incerteza.
Fazem parte da Análise de Sensibilidade:
- as variáveis características do dimensionamento: dimensões.
- as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto).
- os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros Controle).
Conveniência: usar variáveis adimensionais F / F* e i / i*
Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais
)(F
)(F
)/(
)](F/)(F[)/;F/F(S
*
i
*
i
*ii
i
1
*
ii
*
ii*
ii
*
Vantagens:(a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros.(b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau.
Sensibilidade Adimensional:
: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos.
F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros .
S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza
de 1% em i
|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida
)*
i
*
i
*
i*
ii
*
F(
)F(ξ)ξF(1,01100)/ξ;S(F/F
Cálculo aproximado da sensibilidade adimensional
diante de uma incerteza de 1% em i
4. AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE PROCESSOS
Objetivo: avaliação do desempenho econômico de um processo.
Critério adotado (Rudd & Watson)
Happel: Venture Profit Lucro do Empreendimento (LE)
É o Lucro Relativo ao proporcionado por um investimento “padrão”
Lucro do Empreendimento: LE = L1 - L0
O projeto é economicamente vantajoso se LE 0
L0: Lucro proporcionado por um investimento com: - retorno garantido i ($/a) /($ investido) - sem risco comercial.
L1: Lucro previsto para o processo, com: - retorno estimado j ($/ano) / ($ investido) - com risco comercial.
Sejam:
Lucro do Empreendimento
Fluxograma Ilustrativo do Lucro do Empreendimento
InstalaçõesFísicas
Lucro Bruto
ReceitaR $/a
Custo Total
LB = R - Ctotal $/a
Lucro LíquidoApós o I.R.
Imposto de RendaIR = t (LB - D) $/a
t
LD = LA - IR $/a
Lucro LíquidoApós o Risco
LL = LD - CR $/a
hi
Retorno garantidosobre o
investimento
RI = i Itotal $/a
Compensaçãopelo Risco
CR = h Itotal $/a
Lucro Líquidoantes do I.R.
LA = LB - D $/a
Ctotal $/a
ee
DepreciaçãoD = e Idireto $/a
Lucro do Empreendimento: LE = LB - (D + IR ) - RIR $/a
Lucro doEmpreendimento
Retorno sobre o Investimento + RiscoRIR = (i + h) Itotal = im Itotal $/a
RIR
Itotal $Itotal
$
4.2.1 ESTIMATIVA DOS CUSTOS
Segue resumo adaptado de Peters & Timmerhaus, utilizando valores médios das faixas lá apresentadas. Detalhes: Tabela 4.3 do Livro.
LE = (1- t) (R – Ctotal – e Idireto) – im Itotal $/a
LE = LB - D - IR – RIR $/a LB = R – Ctotal
D = e Idireto
IR = t (LB - D) RIR = RI + CR = (i + h) Itotal = im Itotal
Ctotal ??? Idireto??? Itotal ???
Ctotal = (Cmatprim + Cutil) + 0,076 Ifixo + 0,27 Ctotal + 0,025 R $/a
Ctotal = 1,37 (Cmatprim + Cutil) + 0,104 Ifixo + 0,034 R $/a
Ctotal = Cprod + Cgerais $/a
Cprod = Cdiretos + Cfixos
Cdiretos = (Cmatprim + Cutil) + Cmanut + Csupr + (Cmobra + Cadm + Clab) + Croy
Cdiretos = (Cmatprim + Cutil) + 0,046 Ifixo + 0,27Ctotal
Cfixos = Cimpost + Csegur + Calug + Cjur
Cfixos = 0,03 Ifixo
Cprod = (Cmatprim + Cutil) + 0,076 Ifixo + 0,27 Ctotal
Cgerais = 0,025 R
Ctotal
Itotal = Ifixo + Igiro + Ipartida $
4.2.2 ESTIMATIVA DO INVESTIMENTO
Itotal = 2,34 ISBL $
Igiro = 0,15 Itotal
Ipartida = 0,10 Ifixo
Ifixo = 1,81 ISBL
Iindireto = 0,25 Idireto
Idireto = 1,45 ISBL
OSBL = 0,45 ISBL (custo de investimento "Outside Battery Limits")
ISBL: custo instalado dos equipamentos diretamente envolvidos na produção ("Inside Battery Limits")
Idireto = ISBL + OSBL
Ifixo = Idireto + Iindireto
LE = 0,48 R - 0,68 (Cmatprim + Cutil) - 0,05 Ifixo – 0,05 Idireto- 0,15 Itotal $/a
Ifixo = 1,81 ISBLIdireto = 1,45 ISBLItotal = 2,34 ISBL
LE = 0,48 R - 0,68 (Cmatprim + Cutil) - 0,46 ISBL $/a
ISBL ???
Os coeficientes dependem das correlações utilizadas intermediariamente que dependem da experiência do avaliador e da
região em que se desenvolve o projeto.
LE = 0,5 R - 0,7 (Cmatprim + Cutil) - 0,5 ISBL $/a
LE = 0,5 (R - Cmatprim - Cutil – ISBL) $/a
Aproximação prática para a discriminação de muitos fluxogramas alternativos gerados na Síntese, com um mesmo nível de erro:
iM
bi
iEbiEi )
Q
Q(II
Q i: dimensão característica do equipamento i, calculada ou especificada.Qb i: valor-base da dimensão característica do equipamento i cujo custo
de investimento IEbi é conhecido.Mi : fator de escala para o equipamento i, válido para uma faixa de valores de Qi
IEi : custo de investimento do equipamento i para a dimensão Qi.
ISBL = fT fD fL IEi
IEbi, Qbi, Mi: gráficos (Guthrie) e tabelas.
ISBL = fT fD fL IEi
fT, fD, fL : fatores empíricos.
fL (fator de Lang): transforma preço de compra em custo instalado. (inclui estrutura, pintura, instalação elétrica, instrumentação,...)
fD : transforma preço de compra levantado no ano A no preço de compra no ano em que está sendo executado o projeto. (utiliza Índices de Preços. Ex.: Ch.Eng. Cost Index) f D = IC a / IC b (a: ano da avaliação; b: ano da tabela) Exemplo: em 1960: 1.350 $ em 2000: 1.350 x (IC2000 / IC1960) = 1.350 (394/102) = 5.215 $
fT: transforma o preço de compra na região em que foi levantado no preço de compra na região em que será construída a planta. (considera frete, armazenamento, alfândega, etc.)
4.2 ESTIMATIVAS ECONÔMICAS
Estimativa aproximada: correlações e fatores empíricos. Uso emestágios preliminares do projeto (erros até 35%).
- Receita (R)- Custos de matérias primas (Cmatprim), e de utilidades (Cutil) - Custos de Investimento (I)
LE = aR - b(Cmatprim + Cutil) - c I
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquerque seja a sua área de aplicação.
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima.
Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.
Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto
O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.
VARIÁVEIS DE PROJETO
Lr,T9,T12
OTIMIZAÇÃO
INCÓGNITAS
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
W4,W6,W8,W11,W14
MODELOMATEMÁTICO
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
W1x11,x14
T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,
A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.
O critério mais comum é econômico:
5.2.2 Critério
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
Maximização do Lucro
x7o
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
R
C
L
Minimização do Custo(produção fixa Receita constante)
x7o
5.2.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade: côncava ou convexa.
É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema.
A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização.
(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta.
Pode ser classificada quanto à:
(b) Modalidade: unimodal, multimodal.
Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aosseus Valores Característicos, que são as raízes da sua Equação Característica.
ji xx
f
2
ijff
11f
12H(x) =
f21
f22
Exemplo: para uma função qualquer de duas variáveis, existem:
Matriz Hessiana:
f11
f12
f21
f22
-
- = 0det
Equação Característica:
Os Valores Característicos são as raízes desta equação.
2 – (f11 + f22) + (f11f22 – f12f22) = 0
-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,00,20,40,60,81,0
f
X2
X1
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,0
0,20,4
0,60,8
1,0
f
X2
X1
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0
-0,8
-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
f
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,0
0,20,4
0,60,8
1,0
f
-1,0-0,8-0,6
-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0-1,0
-0,8-0,6
-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
0
-0,80-0,50
-0,20
-0,20
-0,50
0,10
0,10
-0,80-1,1
-1,1
0,40
0,40
-1,4
-1,4
0,70
0,70
-1,7-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x 2
X1
estritamente convexa
convexa
estritamente côncava
côncava
ponto de sela
1 ,
2H ( x ) f ( x )
1
> 0 , 2
> 0 positiva definida
1 > 0 ,
2 = 0 positiva semi-definida
1
< 0, 2
< 0 negativa definida
1
< 0, 2
= 0 negativa semi-definida
1
> 0 , 2
< 0 indefinida
5.2.3 Restrições
São os limites impostos pelas leis naturais ou estabelecidos às variáveis do processo.
(b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto
(a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático.
Há dois tipos de restrições:
5.2.4 Região Viável
h(x) = 0
g(x) 0
x1
x2
x3
Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)
Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.
Max f(x) {x}
s.a.: h(x) = 0 g(x) 0
5.3 Localização da Solução Ótima
Condição para a otimalidade SEM restrição:
• Condição necessária de segunda ordem:Para que x* seja um mínimo local da função f(x), duas vezes diferenciável em x*, é necessário que a condição de primeira ordem seja satisfeita e que a matriz Hessiana H(x*) = 2f(x*) seja positiva semi-definida (ou negativa semi-definida para máximo).
• Condição necessária de primeira ordem:Para que x* seja um mínimo (ou máximo) local da função f(x), diferenciável em x*, é necessário que:
f(x*) = 0
• Condição suficiente de segunda ordem:Seja f(x) duas vezes diferenciável em x* tal que:f(x*) = 0 eH(x*) seja positiva definidaentão x* é um mínimo local estrito de f (ou máximo se negativa definida).
Condição para a otimalidade SEM restrição:
Condição para a otimalidade COM restrição:
• Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) diferenciáveis em x*, é necessário que:os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g(x*), e das restrições de igualdade, h(x*), sejam linearmente independentes, e que as seguintes condições sejam satisfeitas:
xL(x*, λ*, μ*) = S(x*) + (λ*)T h(x*) + (μ*)T g(x*) = 0h(x*) = 0g(x*) ≤ 0μj* gj(x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade)μ* ≥ 0
Condição para a otimalidade COM restrição:
• Condição necessária de segunda ordem de KKT:Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) duas vezes diferenciáveis em x*, é necessário que a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana dafunção de Lagrange, x
2L(x*, λ*, μ*), seja positiva semi-definida para todo vetor não nulo d tal que:
dT hi(x*) = 0 , i = 1, 2, ..., mdT gj(x*) = 0 para as gj(x*) ativas
isto é, dT x2L(x*, λ*, μ*) d ≥ 0.
(a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos
5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.
À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podemser classificados:
Os métodos de resolução podem ser classificados:
(a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis
Exemplo: dimensionamento do extrator
2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Seqüência de Cálculo
Restrições de Igualdade !!!
x y W
1 * * *2 * *
x y W
1 x x o2 x o
Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas :
2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W
= + =a Q p xp
kAB oB( ) 105
= =b p QAB 4000
= =cp Qx
kB o ,0 5
L = a - b x - c/x
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
x kgAB/kg A
L
C
R
xo =0, 01118
Lo = 15,6
Busca do ponto estacionário:
yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h
Solução completa do problema:
L = a - b x - c/x
x b
dL
dxb
cx
co= - + = || = =2
0 0 01118,
o
2
2 o 3
x
d L c= -2 < 0
dx (x )
Máximo!
1 2
Q = 10.000 kgA/h
x = 0,02 kgAB/kgAo
W1
kgB/hW2
kgB/h
y1
kgAB/kgBy2
kgAB/kgB
x1
x2
kgAB/kgAkgAB/kgA
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o
Modelo Matemático2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L
Buscando o ponto estacionário:
Solução completa:y1
o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h
y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2
o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h
L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
x2o = (d/b) x1
2 = 0,00921
L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)
2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25
Analisando o ponto estacionário:
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
x2o = (d/b) x1
2 = 0,00921
o
2 2
o 3 o 22 5 51 21 2 1o o
1 2 o 5 52 21
o 2 o 322 21 2 2 x
b dL L2
(x ) (x )x x x 4 10 2,95 10H(x ,x ) =
d d x 2,95 10 8,69 10L L2
(x ) (x )x x x
Máximo!
det(H - I) = 0 1 = -0,258106 e 2 = -1,011106
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
19,5
0,01357
0,00921
Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]
Método dos Multiplicadores de Lagrange
1. Formar o Lagrangeano do problema:
L(x, , , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) + j2]
i , j : multiplicadores de Lagrange (ou de Kuhn-Tucker) i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade)
2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano.
3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.
Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2
s.a.: g1 (x) = x12 + x2
2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0
0,5
0,5
restrição
curvas de nível da função objetivo
1
1 x1
x2
Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2
s.a.: g1 (x) = x12 + x2
2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0
Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2
L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) + j2]
L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2
2 – 0,25 + 2]
Formar o Lagrangeano:
L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2
2 – 0,25 + 2]
L / x1 = 2 x1 – 2 + 2 x1 = 0 x1 = 1/(1 + ) (1)L / x2 = 2 x2 – 2 + 2 x2 = 0 x2 = 1/(1 + ) (2) L / = x1
2 + x22 – 0,25 + 2 = 0 (3)
L / = 2 = 0 (4)
A Eq. (4) é satisfeita para:
0,5
0,5
restrição
x1
x2 curvas de nível da função objetivo
1
1
= 0 (solução irrestrita):
= 0 (folga zero, fronteira da região):
(1) x1 = 1 ; (2) x2 = 1 (viola a restrição!)
(1) e (2) em (3) x1 = x2 = 0,35
= 0,74
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
Os métodos podem ser:
- Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo.
- Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior).
São métodos de busca por tentativas.
Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:
- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.
- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.
Método da Seção Áurea
Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)
1
1- Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor,
resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original
618,0011
1 2
Razão Áurea
Problema de Mínimo
Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
Li Lsxs
Fs
xi
Fi
Li Lxs xi
Fs
Fi
s
0,618
Li xs
Fs
xi LsLsxs xi
Fi
Li
Li Lsxs xi
Fs
Fi
= L s - Li
xi = Lixs = Ls - 0,618
+ 0,618
Inicialização
0,618
IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
Procedimento Geral:
(c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.(a) seleção de um ponto inicial (base).
Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.
Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex (Poliedros Flexíveis)- Hooke & Jeeves
5.6.2 Problemas Multivariáveis
(d) finalização
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Senão: reduzir os incrementos
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão (proximidade do ótimo):
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Exploração
Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.
Base?- 1
?
- 2
?+ 1
?
+ 2
A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.
Do resultado, depreender a direção provável do ótimo
Exploração
BaseS- 1
I
- 2
S
+ 2
Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
S: SucessoI: Insucesso
buscando máximo
Sucesso
desnecessário
Exploração
BaseS- 1
I
- 2
S
+ 2
O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.
x1
x2
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão
15+110
Base
+ 2
18
+ 2 2
+2 1
25
+ 2 2
+2 1
22
Resultado da Exploração
Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso
Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão
Insucesso!Permanecer na Base (25)
Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .
A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?
Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar
Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.
Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
6
78
9 1011
12
1 4
5
X2
X1
23
13
Método dos poliedros flexíveis
É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide.
xn
x x j nj i j h ji
n
01
111 2, , , , ,
Centróide:
onde xh,j é o pior vértice.
Método dos poliedros flexíveis
O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas:
0 0
1 1
( ) , 0
( ) max ( ), , ( )
k k k kR h
k k kh n
x x x x
onde f x f x f x
Reflexão 1 1
0 0
1
1
( ) ( ) min ( ), , ( ) ,
( ) , 1
( ) ( ),
sen
1 ( 1)
k k k kR n
k k k kE R
k k k kE R h E
k kh R
Se f x f x f x f x
então x x x x
Se f x f x então x x
ão x x
k k ir para
onde x k é o melhor vértice.
Expansão
0 0
1
( ) ( ) , ( )
, 0 1
1 ( 1)
k k k k k kR i C h
k kh C
Se f x f x i h então x x x x
x x
k k ir para
Contração
1 1( ) ( ), ( )
21,2, , 1
1 ( 1)
k k k k k kR h i iSe f x f x então x x x x
i n
k k ir para
Redução
Método dos poliedros flexíveis
O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:
11 22
01
1( ) ( )
1
nk ki
i
f x f xn
DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS
EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS
Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.
Mas exige um procedimento de otimização:
- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas
- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos
Exemplo: Extrator
T oC
W = 3.750 kgB/h
rafinado
y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60
extrato W = 3.750 kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x* = 0,008 kgAB/kg A
alimentação
solvente
T oC
W = ??? kgB/h
rafinado
y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x = ??? kgAB/kg A
alimentação
solvente
FO = |x – 0,008|
Normal
Simulações Sucessivas
max L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2
{x1, x2}
s.a.: 0,80 x1 + 0,44 x2 24.000 0,05 x1 + 0,10 x2 2.000 0,10 x1 + 0,36 x2 6.000 x1 0 x2 0
Enunciado Formal do Problema
PROGRAMAÇÃO LINEAR
x2 = L/10,8 – (8,1/10,8) x1 (família de retas)
Função Objetivo
L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 (linear)
10 20 30 400
10
20
0
x1 (1.000 b/d)
x2
(1.000 b/d)L=81.000
L=162.000
L=243.000L=324.000
L=648.000
0,80 x1 + 0,44 x2 24.000 (gasolina)0,05 x1 + 0,10 x2 2.000 (querosene) 0,10 x1 + 0,36 x2 6.000 (combustível) x1 0x2 0
região convexa !
10 20 30 400
10
20
0
x1 (1.000 b/d)
x2
(1.000 b/d)
A
B
C
D
Egasolina
querosene
óleo
Qualquer ponto no interior ou sobre a fronteira da Região Viável é uma Solução Viável
3.7 REGIÃO VIÁVEL
Solução (C):(14.000, 13.000)
(L = 637.000)
10 20 30 400
10
20
0
x1 (1.000 b/d)
x2
(1.000 b/d)
A
B
C
D
E
óleo
querosene
gasolina
A Solução Ótima se localiza em pelo menos um dos Vértices da Região Viável
Como automatizar a busca pelo o vértice ótimo?
Busca Exaustiva
Método dos Conjuntos Ativos
Método do Ponto Interior
Métodos da busca exaustiva e dos conjuntos ativos
Ignorando os pontos interiores, restringindo a busca à fronteira da região viável e, na fronteira, restringindo a busca aos vértices.
10 20 30 400
10
20
0
x1 (1.000 b/d)
x2
(1.000 b/d)
A
B
C
D
E
óleo
querosene
gasolina
Solução:(26.207, 6.897)
(L=286.764)
81.000
162.000
243.000
324.000
0
(como???)
Para tanto, os passos são os seguintes:
1. Restringir a busca à fronteira da região viável
2. Restringir a busca, na fronteira, aos vértices
Transformando as restrições de desigualdade em restrições de igualdade variável de FOLGA
Busca exaustiva: examinar todos os vértices das restrições
explosão combinatória
Conjuntos Ativos: examinar os vértices da região viável
método Simplex
Max L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2
{x1, x2}s.a.: 0,80 x1 + 0,44 x2 24.000 (gasolina) 0,05 x1 + 0,10 x2 2.000 (querosene) 0,10 x1 + 0,36 x2 6.000 (combustível) x1 0 x2 0
Incorporando as folgas fi às restrições de desigualdade
Max L(x,f) = 8,1 x1 + 10,8 x2
{x1, x2}s.a.: 0,80 x1 + 0,44 x2 + 0,05 x1 + 0,10 x2 + 0,10 x1 + 0,36 x2 + x1 0 x2 0
f1f2
f3
= 24.000 (gasolina) = 2.000 (querosene) = 6.000(combustível)
O SIMPLEX parte da origem e visita vértices adjacentes na busca da solução ótima, invertendo sucessivamente o papel de 2 variáveis: uma do problema (básica) e uma de projeto (não-básica).
Inverter os papéis de duas variáveis, consiste em reescrever o sistema de equações em termos de uma outra base.
3.9 Algoritmo SIMPLEX (Dantzig, 1947)
x1 x2 f1 f2 f3 b
0,80 0,44 1 0 0 24.000
0,05 0,10 0 1 0 2.000
0,1 0,36 0 0 1 6.000
8,10 10,80 0 0 0 L
0,80 x1 + 0,44 x2 + 0,05 x1 + 0,10 x2 + 0,10 x1 + 0,36 x2 +
L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2
f1f2
f3
= 24.000 (gasolina) = 2.000 (querosene) = 6.000(combustível)
A mudança de base é executada aplicando o Algoritmo de Gauss-Jordan à Matriz Aumentada (Tableau) do sistema de
equações lineares.
O Lucro é incluído na matriz para que os seus coeficientes sofram as mesmas transformações e fique expresso automaticamente na nova
base.
Projeto Problema
Identifica-se a variável de projeto de maior coeficiente positivo na expressão do Lucro (a que mais contribui para o aumento do Lucro). OBS: coeficiente mais negativo no caso de minimização.
Problema Projeto
Identifica-se o menor valor positivo de b/a, sendo b o vetor dos termos independentes (coluna da direita) e a o vetor dos coeficientes na coluna da variável de projeto escolhida acima. (corresponde a restrição mais próxima ao aumentar a variável de projeto)
Critério para a troca de papéis (PIVOTAMENTO)
L(x) = 8,1 x1 + 10,8 x2 : x1 = x2 = 0 L = 0
aumento em x2 contribui mais para o aumento de L
x1 x2 f1 f2 f3
0 0 0,14 4,21 1 897
1 0 1,72 -7,59 0 26.207
0 1 -0,86 13,79 0 6.897
0 0 -4,66 -87,52 0 L - 286.765
Ponto D
Com f1 = f2 = 0 L = 286.765
Nenhuma para entrar FIM
Projeto Problema
Identifica-se a variável de projeto de maior coeficiente POSITIVO na expressão do Lucro (a que mais contribui para o aumento do Lucro)
0 0 0,14 4,21 1 x1 897
1 0 1,72 -7,59 0 x2 26.207
0 1 -0,86 13,79 0 f1 = 6.897
0 0 -4,66 -87,52 0 f2 L - 286.765
f3
Ponto D
Com f1 = f2 = 0
x1= 26.207x2 = 6.897
f3 = 897
L = 286.764
10 20 30 400
10
20
0
x1 (1.000 b/d)
x2
(1.000 b/d)
A
B
C
D
E
óleo
querosene
gasolina81.000
162.000
243.000
324.000
0
Solução: Ponto Dx1= 26.207x2 = 6.897
gasolina = 24.000 (f1 = 0)querosene = 2.000 (f2 = 0)
óleo = 5.103 (f3 = 897)
L = 286.764
x1 x2 f1 f2 f3
0 0 0,14 4,21 1 897
1 0 1,72 -7,59 0 26.207
0 1 -0,86 13,79 0 6.897
0 0 -4,66 -87,52 0 L - 286.765
Análise de Sensibilidade
Pode ser efetuada através dos valores implícitos (“shadow prices” ou “custos marginais”) dos produtos, que aparecem na última linha do Tableau Final, com sinal trocado. Corresponde aos multiplicadores de Lagrange das restrições ativas.
bL = -
Por ex.: um aumento de 100 b/d de gasolina (restrição ativa f1) implicaria em um aumento de 100 * 4,66 = 466 $/d no lucro da unidade.
Ou seja, cada b/d produzido de gasolina contribui internamente com 4,66 $/d para o lucro, enquanto que seu preço de venda no mercado externo é de 36 $/b.
Métodos do Ponto Interior
Restringe a busca aos pontos interiores da região viável.
10 20 30 400
10
20
0
x1 (1.000 b/d)
x2
(1.000 b/d)
A
B
C
D
E
óleoquerosene
gasolina
Solução:(26.207, 6.897)
(L=286.764)
81.000
162.000
243.000
324.000
0
(como???)
3.10 Algoritmo de Karmarkar (1984, Dikin, 1967)
max {f(x) = cT x} {x}sujeito a: A x b x 0
origem
d
dp
dr
Aplica uma projeção do vetor direção (d = f = c) no espaço nulo das restrições transformadas em igualdade.
A busca segue então na direção projetada até as proximidades de uma restrição, obtendo o ponto xk.
e reformulado para que o ponto de partida do próximo estágio esteja eqüidistante de todos os hiperplanos que formam o poliedro (ou seja, o centróide):
A x = A DD1 x = A D xk+1
f(x) = cT DD1 x = cT D xk+1
resultando no novo problema:
max f(x) = cT D x{x}sujeito a: A D x b
x 0
Repetindo o procedimento até a convergência.
O problema é então normalizado por:
xk+1 = D1 x , onde D = diag(xk)
Algoritmo de Karmarkar
Entrada: A, b, c, x0, critério de parada e
max {f(x) = cT x} {x}sujeito a: A x b x 0