resposta em frequência

IntroduçãoGráficos de resposta

Resposta em frequência

Guilherme Luiz Moritz1

1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná

04 de 2013

Moritz, G.L. Resposta em frequência

Introdução

Objetivos

Entender o conceito de resposta em frequênciaSaber interpretar alguns tipos de gráficos de resposta emfrequênciaSaber traçar o Diagrama de Bode

Introdução

Resposta em frequência

Resposta em regime estacionário de um sistemasubmetido a um sinal senoidal. (Nyquist, 1932. Bode,1945. Evans, 1953)

Figura : Harry Nyquist Figura : Hendrik Wade BodeMoritz, G.L. Resposta em frequência

Introdução

Metodologia

Varia-se a frequência de um sinal senoidal de entrada eestuda-se os efeitos resultantes.O sinal variará em amplitude e fase.Vantagens:

Análise de estabilidade através do critério de NyquistDeterminação experimental de funções de transferência viaanálise da resposta em frequênciaProjetos de sistemas de controle robusto a presença deruído

Introdução

Resposta em regime permanente

Considere o seguinte sistema:

A função de transferência é:

G(s) =Y (s)X (s)

Introdução

Num sistema estável, se a entrada for:

x(t) = Xsen(ωt) (2)

a saída será:y(t) = Ysen(ωt + φ) (3)

comY = X |G(jω)| (4)

Introdução

Neste caso, o ângulo da função de transferência é:

φ = ∠G(jω) = arctg[

Imag(G(jω))Real(G(jω))

Introdução

Resumindo

|G(jω)| = |Y (jω)||X (jω)|

e∠G(jω) = ∠

Y (jω)X (jω)

Desta maneira, para determinar-se a resposta em frequência,deve-se calcular:

G(jω) =Y (jω)X (jω)

(fazer s = jω na função de transferência)

Introdução

Definições

Atraso de fase: valor negativo de faseAvanço de fase: valor positivo de fase

Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode

Tipos de gráficos

Podemos traçar um gráfico representando a resposta emfrequência. Três diagramas são comumente utilizados:

Diagrama de BodeDiagrama de NyquistDiagrama de resposta logaritmica vs ângulo de fase(Nichols)

Diagrama de Bode

Apresenta dois gráficos (em função de log(ω)):Primeiro gráfico: Magnitude (logarítmica)→MdB(ω) = 20log|G(jω)|Segundo gráfico: Fase→ φ(ω) = ∠G(jω)

Exemplo

Determinar as expressões analíticas de magnitude e fase daresposta de frequencia de:

G(S) =1

(s + 2)(s + 4)(9)

Exemplo

M(ω) =1√

(8− ω2) + (6ω)2(10)

−arctg(

6ω8−ω2

)se ω <

−[π + arctg

8−ω2

)]se ω >

Exemplo

10−2

10−1

−180

−135

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Vantagens de utilizar-se a escala logarítmica

O gráfico de magnitude tem uma contribuição para cadapólo e zero, no caso de utilizarmos logaritmos, elas sesomam.

G(s) =K (s + z1)(s + z2) · · · (s + zk )

sm(s + p1)(s + p2) · · · (s + pk )(12)

|G(jω)| = K |(s + z1)| |(s + z2)| · · · |(s + zk )||sm| |(s + p1)| |(s + p2)| · · · |(s + pk )|

∣∣∣∣∣s=jω

Basta estudar o efeito de cada termo na contribuição totalde magnitude e fase

Ganho K

Magnitudes maiores que 1 possuem valores positivos emdBMagnitudes menores que 1 possuem valores negativos emdBG(jω) = 20log(K )

∠G(jω) = 0

Fatores integrativos

20log| 1jω |= −20log(ω) dB;

)= −90o

Uma oitava é o intervalo de frequência entre ω1 e 2ω1,sendo qualquer ω1

Uma década é o intervalo de frequência entre ω1 e 10ω1

A inclinação da reta é −20dB por década com ganho 0 emω = 1

Fatores derivativos

20log|jω|= 20log(ω) dB;∠ (jω) = 90o

A inclinação da reta é 20dB por década.E se houver mais de um termo?

20log|(jω)n|= n20log(ω) (14)

Resumo gráfico

Termos de primeira ordem

20log| 11+jωT |= −20log(

√1 + ω2T 2) dB;

ω << 1T :

−20log(√

1 + ω2T 2) = −20log(1) = 0 (15)

ω >> 1T :

−20log(√

1 + ω2T 2) = −20log(ωT ) = 0 (16)

Duas retas:0dB → 0 < ω < 1

−20dB/dec → 1T < ω <∞

Magnitude de 11+jωT

20log| 11+jωT |= −20log(

√1 + ω2T 2) dB;

ω << 1T :

−20log(√

1 + ω2T 2) = −20log(1) = 0 (17)

ω >> 1T :

−20log(√

1 + ω2T 2) = −20log(ωT ) = 0 (18)

Duas retas:0dB → 0 < ω < 1

−20dB/dec → 1T < ω <∞

Fase de 11+jωT

ω = 0o → φ = 0ω = 1

T → φ = arctan(1) = −45o

ω =∞→ φ = −90o

Três retas:0o → 0 < ω < 1

−45o/dec → 110T < ω < 10T

−90o → 10T < ω <∞

Resumo gráfico

Termos de primeira ordem - erros

Fizemos aproximações assintóticas para ω << 1T e 1

T << ω.E quando a aproximação não valer?

O valor máximo do erro é aproximadamente 3dB

Termos de primeira ordem - zeros

Mesma análise para os pólos, mas com sinal trocado:

Termos quadráticos

Termo na forma:

11 + 2ζ(j ω

ωn) + (j ω

ωn)2 (19)

Cuja resposta em frequência é:

−20log

∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ω

ωn) + (j ω

∣∣∣∣∣ = −20log

√(1− ω2

(20)ω << ωn:

−20log(1) = 0 (21)

A assíntota de baixa frequência é uma reta em 0dB

Termos quadráticos

Resposta em frequência (novamente):

−20log

∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ω

ωn) + (j ω

∣∣∣∣∣ = −20log

√(1− ω2

(22)ω >> ωn:

−20log(ω2

ω2n) = −40log(

ωn) (23)

A assíntota de alta frequência é uma reta com inclinaçãode 40dB/decada

Termos quadráticos

A fase é:

φ = ∠1

1 + 2ζ(j ωωn) + (j ω

ωn)2 = −arctg

2ζ ωωn

Resposta de termos quadráticos

Termos quadráticos - Erro

Observa-se que o erro assintótico torna-se elevadoquando o coeficiente de amortecimento é baixo.Soluções:

Utilizar tabelas de correçãoUtilizar computador para traçar o diagrama

Sumário das assíntotas

Exemplo 1

Esboce o diagrama de bode para a seguinte função detransferência:

G(s) = 100(s + 1)(s + 10)

= 10s + 1

( s10 + 1)

Exemplo

10−2

10−1

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Exemplo 2

Esboce o diagrama de bode para a seguinte função detransferência:

G(s) = 200(s + 1)

(s + 10)2 (26)

Exemplo 2

10−2

10−1

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Análise de estabilidade

K G(S)+-

U(S) Y(S)

A análise de estabilidade deve avaliar o ganho quando afase é −180o (inversão de fase)Ganhos maiores que 1 indicam instabilidade!

Margens do sistema

Margem de Ganho:Quanto de ganho quepode ser adicionado aosistema para que elecontinue estável.Margem de Fase:Quanto de fase faltapara levar um ganhopositivo a 180o

Exemplo 3

Determine as margens de fase e ganho para o sistema

G(s) =1000k

(s + 1)(s + 10)(s + 100)(27)

Exemplo 3

−150

−100

10−2

10−1

−270

−225

−180

−135

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Margens do sistema

Margem de Ganho:Quanto de ganho quepode ser adicionado aosistema para que elecontinue estável.Margem de Fase:Quanto de fase faltapara levar um ganhopositivo a 180o

Coeficiente de amortecimento e Kp

O coeficiente de amortecimento está relacionado àmargem de fase (consequentemente o sobresinal):

ζ ≈ MF100

A constante de erro de posição pode ser deduzida do valorde partida do diagrama já que Kp = limjω→0 G(S)

Outros diagramas

A interpretação dos diagramas de Nyquist e Nichols seráobservada no Matlab.

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