Electrónica Programada para TIC

2005, Paulo Alexandre Crisóstomo Lopes, ISCTE

Exercícios v1/2005

Sinais e sistemas no tempo

1) Para cada um dos seguintes sistemas determine se este é (1) estável (2) causal (3)

linear (4) invariante no tempo (5) sem memória.

a) com g[n] conhecido

b)

c)

d)

e)

Invariante no tempo

,

Donde resulta

f)

2) Quais dos seguintes sistemas são invariantes no tempo?

a)

b)

c)

d)

Resolução:

,

Donde resulta,

3) Quais dos seguintes sistemas são causais?

a)

b)

c)

d)

4) A notação x[((n))N ] é utilizada para definir,

em que n modulo N, é o resto da divisão inteira de n por N. Nomadamente temos ((3))8=3,

((12))8=4, ((-6))4=2. Se

,

represente x[((n))3] e x[((n-2))3].

5) Sendo, e determine para que valores de n é

que a convolução dos dois sinais é diferente de zero.

6) Por resolução directa da equação às diferenças determine a resposta impulsiva do

sistema (condições iniciais nulas):

7) Determine se os seguintes sinais são periódicos, e em caso afirmativo determine o seu

período.

a)

b)

c)

d)

e)

8) Dada a sequência

,

determinar,

a)

b)

9) Utilize uma combinação de funções de escalão unitário, u[n], para definir,

10) Considere o seguinte sistema,

,

a) O sistema é linear e invariante no tempo?

b) O sistema é causal?

c) O sistema é estável (Entrada Limitada Saída Limitada)

11) Para cada um dos seguintes sistemas determine se estes são estáveis:

a)

b)

c)

d)

e)

12) Considere as sequências,

determine q[n].

13) Determine a convolução linear das sequências x[n] e y[n],

a) x[n]= [n]+[n-1]+[n-2]; y[n]= [n]+[n-1]+[n-2]

b) x[n]= [n]+[n-1]+[n-2]; y[n]= [n]-[n-1]

c) x[n]= [n]+2[n-1]+3[n-2]; y[n]= 3[n]+2[n-1]+[n-2]

d) x[n]= [n]-[n-1]; y[n]= [n]+[n-1]+[n-2]

14) Determine a convolução de,

a) , com

b) , com

15) Obtenha a resposta impulsiva dos seguintes sistemas,

a)

b)

c)

Transformada de Fourier de Sinais Discretos (DTFT)

1) Determine a Transformada de Fourier da sequência usando a definição desta.

2) Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais,

a)

b)

c)

3) Determine a amplitude e a fase da resposta em frequência de um filtro de média

móvel,

4) Dado um sinal, x[n], cuja transformada de Fourier está representada na figura,

determine x[0].

5) Considere um sistema com a seguinte resposta em frequência,

,

determine a saída do sistema, y[n], quando a entrada do sistema é,

6) Considere o sistema LTI com resposta em frequência (para ) dada por,

.

Determine a saída do sistema, y[n], quando a entrada é dada por,

.

7) Considere o seguinte sistema, correspondente à ligação em cascata de dois sistemas

lineares e invariantes no tempo,

o primeiro sistema é descrito pelo equação,

e o segundo sistema é descrito por,

.

Determine a saída do sistema quando a entrada é,

.

O resultado deve ser obtido apenas por inspecção do sistema, usando as propriedades dos

sistema lineares e invariantes no tempo, não sendo necessário efectuar qualquer cálculo.

8) Determine a resposta impulsiva de um filtro passa-baixo, cuja resposta em frequência

é dada por,

9) Determine a resposta impulsiva de um filtro passa-alto, cuja resposta em frequência é

dada por,

10) Determine a resposta em frequência de um sistema com resposta impulsiva dada por,

11) Dado,

Calcule as seguintes quantidades sem calcular explicitamente .

a)

b)

c)

d)

Amostragem

1) O sinal contínuo,

foi amostrado com um período de amostragem T, de forma a obter o sinal discreto,

Determine qual foi o período de amostragem, T.

2) O sinal continuo,

foi amostrado com um período de amostragem T, de forma a obter o sinal discreto,

determine qual foi o período de amostragem, T.

3) Obtenha dois sistemas contínuos que quando amostrados com um período de

amostragem de T=1/10 000s, resultem no sistema discreto,

4) Um sinal continuo com uma transformada de Fourier dada por,

,

é amostrado com uma frequência de amostragem de 1000 Hz.

a) Qual é a resposta em frequência do sinal discreto resultante.

b) A energia do sinal contínuo é

determine a energia do sinal discreto

5) Considere o sistema na figura, em que o sistema discreto implementa um filtro passa

baixo ideal com uma frequência de corte de /8 rad/s.

a) Se xc(t) for limitado a 5 kHz, qual é o maior valor de T que ainda evita

sobreposição de espectro no conversor de analógico para digital?

b) Se 1/T=10 kHz, qual será a frequência de corte do filtro contínuo equivalente?

c) Repita a alínea b) para 1/T=20 kHz

6) Um sistema discreto tem uma resposta em frequência dada por,

.

Este é utilizado num sistema contínuo como o da figura, com um frequência de amostragem

de 1000 Hz. Determine a resposta em frequência do sistema resultante.

7) Dado um sinal analógico limitado na frequência pretendemos utilizar um sistema

discreto para remover uma interferência de 50 Hz. Sabendo que a frequência de

amostragem do sistema é de 1000 Hz, qual deve ser a frequência digital, , removida

pelo filtro.

8) Assumindo um sistema discreto de processamento de sinais contínuos, que

implementa um filtro passa baixo com uma frequência de corte , em que a

frequência de amostragem do conversor A/D é fa e a frequência de conversão do

conversor D/A é fb. Esboce o espectro do sinal de saída quando a entrada é um sinal

com transformada de Fourier representada na figura, em que .

a) fa=fb=10kHz

b) fa=fb=20kHz

c) fa=20kHz e fb=10kHz

9) Qual é o sinal discreto resultante da amostragem do sinal contínuo,

com um período T=1/5000 s.

10) Considere o sinal com espectro representado na figura,

em que N é dado por 2 1000 rad/s.

a) Esboce o espectro do sinal resultante da amostragem ideal deste sinal com um período

de amostragem, T, tal que 1/T=1000 Hz, sem dar importância à escala de amplitude.

b) Esboce o espectro do sinal discreto, x[n], resultante da conversão do sinal amostrado

num sinal digital.

11) Suponha que pretende implementar através de um sistema digital de processamento de

sinais um atraso, em que não é necessariamente um múltiplo da

frequência de amostragem, . Assumindo que o sistema utiliza filtros de anti-

sobreposição de espectro e de reconstrução pass-baixo ideais com frequência de corte

igual a , determine qual deve ser a resposta impulsiva do filtro digital

implementado, . Se os filtros não forem ide

12) ais, tendo resposta ao impulso e indique a resposta impulsiva de um

sistema discreto que implemente aproximadamente a atraso referido para frequências

dentro da banda de passagem dos filtros.

13) Suponha que pretende amostrar um sinal filtrado por um filtro passa banda entre os

4000Hz e os 5000Hz. Qual é a frequência de amostragem mínima que permite a

reconstrução do sinal? E se a banda de passagem do filtro passa banda for de 5000Hz

a 6500Hz?

A transformada Z

1) Determine a transformada Z (incluindo a ROC) para cada uma das seguintes

sequências.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2) Sem obter directamente X(z) determine a região de convergência das sequências.

a)

b)

c)

3) Considera a transformada Z, X(z), com um zero em -1 e três pólos em 1/3, 2 e 3.

a) Determine qual é a região de convergência de convergência de X(z) sabendo

que existe a transformada de Fourier.

b) Quantas sequências causais possíveis podem ter o mapa de pólos zeros

referido?

c) É possível que este mapa esteja associado com um sistema que é

simultaneamente estável e causal?

4) Para cada uma das transformadas Z referidas, determine a transformada inversa.

a)

b)

c)

d)

5) Determine a transformada Z inversa da função, por tabelas, pela expansão em série

utilizando divisão de polinómios e por resolução numérica da equação às diferenças.

a)

b)

6) Quais das seguintes transformadas Z podem corresponder à função de transferência de

sistemas causais e estáveis.

a)

b)

c)

d)

e)

7) Indique se os seguintes sistemas são invertíveis. Qual é a função de sistema do sistema

inverso.

a) b) c)

d)

8) A função de transferência de um sistema causal é dada por,

e a entrada do sistema é, .

a) Determine a saída do sistema, y[n]

b) O sistema é estável?

c) Um sistema linear e invariante no tempo tem uma função de transferência dada

por,

determine a saída do sistema quando a entrada é,

9) Quando a entrada de um sistema linear e invariante no tempo é,

,

a saída do sistema é,

.

Determine a função de sistema, .

10) O seguinte diagrama de blocos implementa um sistema linear e invariante no tempo.

a) Determine H(z), a função de sistema, a partir da equação às diferenças deste.

b) Determine quais os valores de k que mantêm o sistema estável. (sugestão:

verifique a posição dos pólos de H(z).

11) Determine a função de sistema, H(z), dos seguintes sistemas,

a)

b)

12) Determine a resposta impulsiva do sistema descrito pela seguinte equação ás

diferenças, com condições iniciais nulas.

a)

b)

13) Determine a resposta transitória às condições iniciais, quando a entrada é nula.

a)

b)

14) Dado um sistema com resposta impulsiva dada por, e entrada determine a

saída do sistema.

15) Dada a transformada Z de uma sequência ,

,

Determine o valor de .

16) Dado um sistema com transformada-Z dada por,

A resposta impulsiva do sistema inverso. Quanto deve atrasar a resposta impulsiva do

sistema inverso de forma que este fique causal, de tal forma que a resposta impulsiva

para tempo negativo se tenha reduzido até 1% do seu valor inicial.

Filtros digitais não recursivos

1) Qual é o atraso de grupo (em períodos de amostragem) um filtro FIR do tipo I

(h[n]=h[M-n], com M par) e de ordem M=32?

2) Suponha que pretende implementar um filtro passa-baixo ideal com uma resposta em

frequência dada por,

.

No entanto é apenas possível implementar o filtro,

,

em que w[n], e uma janela com uma resposta em frequência dada aproximadamente por,

.

Determine a resposta em frequência do filtro resultante, .

3) Suponha que pretende implementar um filtro passa-baixo ideal com uma resposta em

frequência dada por,

.

No entanto é apenas possível implementar o filtro,

,

Quais dos seguintes funções de transferência se aproxima mais do filtro resultante?

a) b)

c) d)

4) Suponha que pretende projectar um filtro passa-baixo tipo FIR com uma banda de

passagem que termina em p =0.1, com o início da banda de paragem em s =0.2 e

uma atenuação de 40 dB. Qual é a ordem, M, necessária para implementar um filtro

que cumpra estas especificações utilizando a janela de Kaiser?

5) Qual deve ser a frequência de corte do filtro ideal utilizado para projectar pelo método

das janelas um filtro passa-baixo em que os extremos da banda de passagem e de

paragem são P =0.01 e S =0.03.

6) Suponha que pretende projectar um filtro passa-alto tipo FIR com uma banda de

passagem que termina em p =0.9, com o início da banda de paragem em s =0.8 e

uma atenuação de 40 dB. Qual é a ordem, M, necessária para implementar um filtro

que cumpra estas especificações utilizando a janela de Kaiser?

7) Determina uma expressão para a resposta impulsiva de um filtro passa-baixo com

banda de passagem P =0.1 e S =0.2 e uma atenuação de -40dB. Para tal deve

determinar a frequência de corte do filtro ideal utilizando, a janela e a ordem do filtro

utilizado, e finalmente a expressão final.

8) Suponha que projectou dois filtros digitais passa baixo com uma frequência de corte

de e de ordem 64, pelo método das janelas. Para o primeiro filtro utilizou uma

janela rectangular e para o segundo uma janela de Hamming. Determine a energia da

diferença entre a resposta ideal do filtro e a resposta do filtro projectado quando o

sinal de entrada é:

a) Uma sinusóide de frequência .

b) Uma sinusóide de frequência .

9) Projecto um filtro passa-banda com banda de passagem de P1 =0.15 a P1 =0.3

com uma banda de paragem a partir de P1 =0.05 e de P2 =0.4. a) Determine a

qual deve ser a ordem e o parâmetro β de uma janela de kaiser que cumpra as

especificações. b) Indique agora qual deve ser a ordem do filtro equiriple para as

mesmas especificações. c) Escolha uma janela que não a de Kaiser, e determine a

expressão para os coeficientes do filtro, nomeadamente determine a ordem o filtro

ideal e a expressão final.

Filtros digitais recursivos

1) Suponha que vai converter um filtro analógico passa-baixo com o fim da banda de

passagem em, p = 2 1000 rad/s e com o inicio da banda de paragem em S = 2

1500 rad/s num filtro digital. Quais são os valores que obtêm para as frequências

normalizadas p e s se utilizar a transformação bilinear e um período de amostragem

dado por T = 1/10000 s.

2) Qual é a função de sistema H(z), do filtro digital que obtemos se aplicarmos a

transformação bilinear a um filtro passa-baixo contínuo de primeira ordem com uma

frequência de corte aos 3dB de c. Note que a função de sistema do filtro é dada por,

.

Assuma que o período de amostragem é T.

3) Qual é a função de sistema H(z), do filtro digital que obtemos se aplicarmos a

transformação bilinear a um filtro passa-alto contínuo de primeira ordem com uma

frequência de corte aos 3dB de c. Note que a função de sistema do filtro é dada por,

.

Assuma que o período de amostragem é T.

4) Obtenha a equação às diferenças que se obtêm pela aplicação da transformação

bilinear (período de amostragem T) a um integrador analógico, com uma função de

transferência dada por,

5) Indique os aproximadamente os valores da frequência para os quais ocorrem os

valores máximos e os zeros da função de transferência de um filtro de um filtro IIR

com o seguinte mapa de pólos e zeros.

6) Pretende-se projectar um filtro digital passa-baixo com uma banda de passagem de

e uma banda de paragem de . A oscilação na banda de paragem

é de e a atenuação é de, , donde resulta .

a) Determine a ordem necessária para cumprir as especificações, utilizando um

filtro IIR tipo Butterworth projectado a partir de um protótipo analógico com a

transformação bilinear. Note que a amplitude da resposta em frequência de um

filtro Butterworth de ordem N e frequência de corte é dada por,

Donde se pode tirar

e

para cortar e tirar o valor de N.

b) Determine agora a ordem necessária para cumprir as especificações utilizando

um filtro FIR e a janela de Kaiser.

c) Obtenha a função de sistema de um filtro butterworth de terceira ordem, que

cumpra as especificações para os valores , e (não é possível cumprir

as especificações para ). O protótipo analógico correspondente é dado por,

.

d) Obtenha a equação às diferenças que implementa o filtro referido. Quantas

multiplicações por amostra são necessárias para implementar este filtro num

processador de sinal utilizando uma implementação directa tipo II?

e) Obtenha a fórmula de cálculo dos coeficientes do filtro FIR que cumpra as

especificações mas utilizando uma janela de rectangular. Quantas

multiplicações por amostra são necessárias para implementar o filtro.

7) Considere o sistema,

.

Utilize a invariancia ao impulso para o obter o filtro discreto correspondente. Indique a

equação às diferenças que permite implementar o sistema.

8) Utilize a transformação bilinear para projectar um filtro passa-banda de segunda

ordem com banda de passagem entre e e uma oscilação na banda de

passagem de 3dB. Utilize a transformação passa-baixo passa-banda.

Projecto de filtros digitais para um Modem

Considere o diagrama de blocos apresentado, que representa um MODEM.

@sin_sinc

1500 Hz

+X

2500 Hz

100 Hz

buffer debits

Portadora desincronismo

Portadorade dados

Ritmo desimbolo

X

sinal desincronismo

sinal dedados

Canal

+

+

OSC1

OSC2

OSC3

@sin_dad

Figura 1 - Diagrama de blocos do modelador

sinal dedadosCanal |.|

|.| remoçãode média

remoçãode média

transiçãoneg-pos

amostrageme desisão

sinal desincronismo

deteção deenvolvente

deteção deenvolvente

1500 Hz

2500 Hz

100 Hz

100 Hz

bits buffer debits

Registo R3

Registo R4

FIR1

FIR2

FIR3

FIR4

Figura 2 - Diagrama de blocos do desmodelador

Os filtro F1 e F3 podem ser implementados através de uma função de sistemas da forma,

com e .

Tal corresponde a uma secção de segunda ordem, como pólos complexos conjugados em e

. O filtro resultante será um filtro passa-banda centrado em e com ganho de

aproximadamente um na banda de passagem. Para tal deve estar junto ao círculo de raio

unitário, ou seja deve ter-se , ou mais concretamente .

1) Considere o filtro F1 referido.

1ª) Mostre que para

1b) Determine o valor de para o filtro F1, de forma a que este tenha uma largura de

banda aos 3 dBs de 100 Hz. O filtro tem uma frequência central de 1500 Hz e a frequência

de amostragem é de 9.6 kHz.

1c) Determine a atenuação do filtro para .

1d) Determine a equação às diferenças que permite implementar o filtro.

1d) Se utilizarmos um filtro da forma,

Qual seria a equação às diferenças que permite implementar o filtro, utilizando aritmética

complexa? Assuma que utiliza os mesmos valores que os calculados na alínea anterior, já que

tal resulta no mesmo valor para a largura de banda. Escreva agora as equações que

implementam este filtro utilizando apenas aritmética real e compare o peso computacional

com o do filtro anterior.

2) Considere o filtro F3 referido.

2ª) Repita a pergunta 1b) mas para o filtro F3. Note que agora a frequência central do filtro

é de 2500 Hz.

2b) Determine a atenuação do filtro para .

3) Determine qual é a ordem necessária para implementar um filtro FIR, com uma banda de

transição de e um atenuação na banda de paragem de . Indique os

resultados para uma janela de Kaiser. Note que como a banda de transição é muito maior

que a banda de passagem temos,

Banda de transição = ,

em que é a largura do lóbulo principal da janela no domínio da frequência.

4) Os filtros F3 e F4, correspondem a filtros passa-baixo. Estes podem ser implementado por,

, com real e menor que um.

4-a) Determine “a” de forma que a largura de banda a 3 dB seja de 100 Hz.

5) Os filtros de remoção de média são filtros passa alto da forma apresentada, com a real

menor que um:

5-a) Mostre que para e que para e .

5-b) Determine “a” de forma que a largura de banda a 3 dB seja de 1 Hz.

5-c) O filtro pode ainda ser representada na forma,

ou seja o filtro passa alto pode ser implementado a custa de um filtro passa baixo e o sistema

identidade. Determine a resposta impulsiva do filtro passa baixo correspondente.

5-d) Determine a constante de tempo, , que lhe está associada. A constante de tempo deve

ser tal que a resposta impulsiva do filtro assuma a forma,

.

Compare este valor e o período da portadora do sinal de dados, .

6) Calcule o atraso de grupo dos filtros, F1, F2 no centro da banda de passagem e F3 e F4

para frequências nulas. Note que o atraso de grupo pode ser calculado de,

já que .

Transformada de Fourier Discreta (DFT)

1) Determine a DFT de 10 pontos dos sinais

a)

b)

c)

d)

2) Determine a convolução circular de quatro pontos das sequências

a) com

b) com

3) Dado um sistema com resposta impulsiva

,

e cuja resposta em frequência é . Suponha que a resposta em frequência é amostrada

resultando em

.

Determine a Transformada de Fourier Discreta Inversa de 16 pontos (IDFT16) de G[k].

4) Assuma que projecta um filtro FIR de 10 coeficientes passa-baixo utilizando uma

(IDFT10) de forma que,

caso contrário

Determine qual é a oscilação na banda de passagem do filtro, , a oscilação na banda de

paragem assumindo que a banda de transição é para k entre dois e três.

Solução: Como tem simetria par, isto é: então temos que é real.

Donde resulta que,

fica

com

-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

a oscilação será em geral mais forte junto da banda de transição. Podemos aproximar esta

valor por,

e

5) Determine a DFT de quatro pontos de {0, 1, 1, 0}. Determine a IDFT do resultado e

verifique que obtém o resultado inicial.

6) Considere e . Determine e , e

. Calcule agora utilizando a IDFT de e a convolução

circular entre e .

7) Calcule a FFT {0, 1, 1, 0}.

8) Calcule a FFT {0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0}.

9) Suponha que pretende implementar um filtro FIR de ordem 1024. Determine qual é o

número de operações de multiplicação por amostra que são necessárias utilizando: i)

uma implementação no domínio do tempo; ii) o Overlap and Add; iii) Overlap and

Save. Qual é a memoria necessária em cada um dos casos?

10) Suponha que pretende efectuar uma DFT de dimensão 8 com 8 bits de resolução.

Assumindo que o peso computacional de uma multiplicação é proporcional ao

quadrado do número de bits, (notar que, para um número elevado de bits é possível

tornar o peso computacional da multiplicação quase linear com o número de bits)

determine qual é o peso computacional utilizando a DFT e a FFT, garantindo os oito

bits de relação sinal ruído na saída. Assuma que no pior caso o ruído de quantificação

da FFT é N-1 vezes o ruído de quantificação de uma única multiplicação complexa.

11) Determine o valor transformada de Fourier para tempo discreto do sinal,

{0,0,0,0,0,1,1,0} para as frequências dadas por , com = 2 e 3.

12) Calcule a DFT de {1, 0, 1, 0} utilizando a FFT com divisão na frequência.

13) Utilizando as propriedades da DFT/DFS mostre que se com e

reais, temos que e que . Tal permite

efectuar uma FFT de dois sinais reais à custa de uma única FFT.