matemática ii aula 5

Matemática IIaula 5

Profª Débora Bastos

Derivada da função ImplícitaO que é uma função implícita?É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x.

É o oposto a função explícita:y = 3x2+5x+1 explícitaxy + y6 = x6 – seny implícitaCalculo da função implícita:Considere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar siga os seguintes passos:1- Derive cada termo como algo independente, considerando y=f(x);2- Separe o que tiver no 1º membro da equação e o que não tiver no 2º membro.3-Coloque em evidência no 1º membro da equação;

4- Isole na equação e teremos a derivada de f.

dx

dyxf )('

dx

dy

dx

dy

dx

dy

Derivada da função ImplícitaObservação: Provavelmente a derivada também será uma função implícita, ou seja,

Exemplo: Encontre para a equação abaixo:

xy + y6 = x6 – seny

dx

dy

),( yxgdx

dy

dx

dy

produtou.v

un

xn

senu

dx

dyyx

dx

dyyy

dx

dyx cos661. 55

yxdx

dyy

dx

dyy

dx

dyx 55 6cos6

Derivada da função Implícita

Exercícios:Considere y=f(x) derivável em D(f), determine para:

(a) 3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y(b) (x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4

(c) xcosy + ycosx = 1

yxyyxdx

dy 55 6cos6

yxdx

dyy

dx

dyy

dx

dyx 55 66cos

yyx

yx

dx

dy

cos6

665

55

dx

dy

Problemas de Taxa de variaçãoInterpretação geométrica de f ’:

Taxa de variação:(a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a,b] é:

ou )()(

x

y

ab

afbftvm

)(')()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

ytg

xx

x

xfxxf

x

ytg

)()(

x

y

x

xfxxftvm

)()(

Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) e f(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m). Determine o taxa de variação média do deslocamento em t [2,5]?

Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação ao tempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado.

v média = 7 m/s

smff

t

f/7

3

21

3

930

25

)2()5(

Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação ao tempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média da variação de velocidade em relação ao tempo para t [1.3].

Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração média no intervalo calculado.

amédia = 3m/s2

(b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor x se x 0, ou seja, aplicando o limite quando x 0.

2/32

6

2

1723

13

)1()3(sm

vv

t

v

)(')()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

yxx

Problemas de Taxa de variaçãoA taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por :

f ’(x0)

Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100 pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t (s) é dado por h(t) = 16t2 + 100. Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, a velocidade instantânea do objeto quando t = 1s.

h’(t) = 32t h’(1) = 32 pés/s.

Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está se deslocando para baixo.

A

Problemas de Taxa de variaçãoAs aplicações das taxas de variação não são exclusividade do campo da física. É possível obter uma taxa de variação instantânea (ou média) desde que se tenha a expressão que determine o que se quer investigar.

Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como taxas de variação do lucro, receita e custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas.P é lucro : lucro marginal

R é receita: receita marginal

C é custo: custo marginal

dx

dP

dx

dR

dx

dC

Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de um artigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x.(a) Ache o lucro marginal para um nível de produção

de 50 unidades.(b) Comparar com o aumento do lucro decorrente do

aumento de produção de 50 para 51 unidades.

(a)

$11,50 por unidade

10²0006,0 xdx

dP

50,1110²500006,0 dx

dP

Problemas de Taxa de variação(b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53

(quando xaumenta de 50 para 51 unidades) pode ser

aproximado pelo lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50).

Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação da oferta:

px – 20p – 3x + 105 = 0Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma

taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?

Problemas de Taxa de variaçãox – fornecimento de caixas (milhares) por dia;p – preço por caixa;t – dias; - variação de caixas fornecidas

por dia;

- variação do preço por dia;x= 5 (mil)Se x = 5, então p.5 – 20.p – 3.5 + 105 = 0 logo p =

6.Calculando a derivada (implícita) da função oferta:

Substituindo as informações:

4

1

1000

250

dt

dx

dt

dP

0320 dt

dx

dt

dP

dt

dxP

dt

dPx

04

1320

4

1.65

dt

dP

dt

dP

Problemas de Taxa de variação

Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a uma taxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas.

Exercícios:1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Sua função posição é h = 16t2 + 16t + 32, onde t é tempo (s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge a água? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P é pressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e está crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da pressão neste instante.

20

1

)15(4

33

4

115

dt

dP

dt

dP

dt

dP