matematica financeira

ENGENHARIA ECONÔMICA I

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Prof. Edson de Oliveira PamplonaProf. José Arnaldo Barra Montevechi

Capacitar os participantes a analisar a viabilidade econômica e financeira de

Investimentos

OBJETIVO

1. Introdução

2. Matemática Financeira

3. Critérios de Decisão

4. Depreciação e Imposto de Renda

5. Financiamentos

6. Análise de Sensibilidade

7. Análise sob condições de inflação

6. Análise da Viabilidade de Projetos Industriais

SUMÁRIO

BIBLIOGRAFIA

1. HIRSCHFELD, Henrique Engenharia Econômica e Análise de Custos, 5_ ed. São Paulo: Atlas, 1992

2. CASAROTTO, Nelson; KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos, São Paulo: Atlas, 1995.

3. OLIVEIRA, J.A. N. - “Engenharia Econômica: Uma abordagem às decisões de investimento”, Mac Graw -Hill.

4. PAMPLONA, Edson O. e MONTEVECHI, J. A. B. Engenharia Econômica I Apostila preparada para cursos da EFEI e FUPAI, 1997.

5. REVISTAS: Engineering Economist, Industrial Engineering, HarvardBusiness Review e outras.

INÍCIO DOS ESTUDOS SOBRE ENGENHARIA

ECONÔMICAEstados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington

publicou seu livro: The Economic Theory of Railway

Location.

ENGENHARIA ECONÔMICA

• Importantes para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas;

• Fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais;

• Todo fundamento se baseia na matemática financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.

EXEMPLOS

• Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia transportadora;

• Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos de parede grossa ou fina;

• Substituição de equipamentos obsoletos;

• Comprar um carro a prazo ou à vista.

PRINCÍPIOS BÁSICOS

• Devem haver alternativas de investimento;

• As alternativas devem ser expressas em dinheiro;

• Só as diferenças entre alternativas são relevantes;

• Sempre será considerado o valor do dinheiro no tempo;

• O passado geralmente não é considerado.

CRITÉRIOS DE APROVAÇÃO DE UM PROJETO

1. Critérios financeiros: disponibilidade de recursos;

2. Critérios econômicos: rentabilidade do investimento;

3. Critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro;

2. Matemática Financeira

“Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam na mesma data”

JUROS - Pagamento pelo uso do capital no tempo

Trabalho

Capital

Fatores de ProduçãoSalário Aluguel

Juros Simples

• J : Juros

• i : Taxa de juros

• n : Número de Períodos

• P : Principal

• F : Valor Futuro

2. Matemática financeira

J = P . i . nF = P + J

F = P + P . i . n

F = P ( 1 + i . n )

P F F F

Juros compostos• J : Juros

• i : Taxa de juros

• n : Número de Períodos

• P : Principal

• F : Valor FuturoF1 = P ( 1 + i )F2 = F1 ( 1+ i ) = P ( 1 + i ) 2

F3 = P ( 1 + i ) 3

F = P ( 1 + i ) n

2. Matemática financeiraComparando juros Simples co Compostos:Suponha:Principal = R$ 100000Taxa de juros = 20% a. a.Número de períodos = 3 anos

100000

110000

120000

130000

140000

150000

160000

0 1 2 3

J. Simples

2. Matemática financeiraComparando juros Simples co Compostos:Suponha:Principal = R$ 100000Taxa de juros = 20% a. a.Número de periodos = 3 anos

0 1 2 3100000

110000

120000

130000

140000

150000

160000

170000

180000

0 1 2 3

J. SimplesJ. Compostos

Fluxo de Caixa

0 1 2 3 n

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Relação entre P e F

F = P ( 1 + i ) n = P ( F/P, i , n )

Relação entre P e F

P = F ( 1 + i ) - n = F ( P/F, i , n )

EXEMPLO II.2 Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 3,6 % para um período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação a poupança esta aplicação é interessante?

EXEMPLO II.2 SOLUÇÃO:

F = P ( 1 + i ) n = 30.000 ( 1 + 0,036 ) 1

F = 31.080 JUROS = F - P = 1.080

I.R. (15%) = 0,15 x 1.080 = 162

JUROS LIQUIDOS = 1.080 - 162 = 918

DE FATO TEMOS: F = 30.918

30.918 = 30.000 ( 1 + i) 1 i = 3,06%

EXEMPLO II.2 SOLUÇÃO:

F = P ( 1 + i 35 dias) 1 (1) F = P ( 1 + idiário)

35 (2)

(1) = (2)

P ( 1 + i 35 dias) 1 = P ( 1 + idiário)

( 1 + 0,0306) 1 = ( 1 + idiário) 35 idiário= 0,08615%

( 1 + i 30 dias) 1 = ( 1 + idiário)

30 imensal = 2,617%

Poupança para o dia 17/11 2,39633%

Relação entre P e A

A A A A AP

P = A ( 1 + i ) - 1 + A ( 1 + i ) - 2 + . . . + A ( 1 + i ) - n

P = A [ ( 1 + i ) - 1 + ( 1 + i ) - 2 + . . . + ( 1 + i ) - n ]

= A ( P/A , i , n )

= P ( A/P , i , n )

Relação entre P e A

P = A ( 1 + i ) 1( 1 + i ) i

A = P ( 1 + i ) i

( 1 + i ) - 1

Relação entre F e A

A A A A A

F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1

F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]

= A ( F/A , i , n )

= F ( A/F , i , n )

Relação entre F e A

F = A ( 1 + i ) 1

A = F i

( 1 + i ) - 1n

(n - 1) G

P = G ( P/G , i , n )A = G ( A/G , i , n )F = G ( F/G , i , n )

Séries em gradiente

0 n1 2

Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente

Equivalência entre Taxas Efetivas

F = P( 1 + i a ) 1

F = P( 1 + i m ) 12

( 1 + i a ) 1 = ( 1 + i m ) 12

( 1 + ia ) = ( 1 + i sem )2 = ( 1 + im )12 = ( 1 + i d )360

1 ano ou12 meses

SÉRIES PERPÉTUAS

P = A ( 1 + i ) 1

( 1 + i ) i

P = A ( 1 + i ) 1

( 1 + i ) in

nlim →∞−

P = A ( 1 + i )

( 1 + i ) i ( 1 + i ) in

n nlim → ∞−

P = A 1i

Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente

Taxa Nominal

O período de capitalização é diferente do expresso na taxa

Exemplos:• Poupança - 6 % aa com capitalização mensal = 0,5 % am• SFH - 12 % aa com capitalização mensal = 1 % am

12 % a.a.c.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m. = 12,68 % a.a.

Nominal Efetiva Efetiva

3. Análise de Alternativas de Investimentos

Critérios para Análise

Pay - Back

Benefício / Custo

Valor Presente Líquido

Valor Anual

Taxa Interna de retorno

EXATOS

CUIDADO

UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA NAS MAIORES EMPRESAS DO BRASIL

Utilização de Critérios de Engenharia Econômica

Para a maioria

dos projetos

Para todos os

projetos

Para poucos

ou nenhum

projeto

Para alguns

tipos de

projetos

Para projetos

acima de

determinado

Critério Principal utilizado

Outros

Urgência

Payback sem

atualização

Taxa de

retorno

contábil

Payback com

atualização

VPL ou

assemelhado

Critério Complementar utilizado

O u t r o s

U r g ê n c i a

P a y b a c k s e m

atua l ização

T a x a d e r e t o r n o

c o n t á b i l

7 , 5 % P a y b a c k c o m

atua l ização

V P L o u

a s s e m e l h a d o

Pay - Back

É o Tempo de Recuperação do Investimento

Exemplo

200300

500 500

T = 3 anos

Pay - BackErros

200 300500 500

T = 3 anos

200300

500 500

T = 3 anos

O segundo investimento é melhormas o método pay-back falha

Pay - BackOutro Erro

200 300500 500

T = 3 anos

200300

500 500

T = 3 anos

Aparentemente o primeiro investimentoé melhor mas o método pay-back falha

Taxa Mínima de Atratividade - TMA

É a taxa a partir da qual se aceita investir

Conceitos:

1. TMA- Maior taxa “sem risco” do mercado

2. TMA- Custo do Capital

Mais Aceito

Taxa Mínima de Atratividade - TMA

Permanente:Máq., Equip., VeículosTerrenos, Construções

Circulante:Disponível, Estoques,

Clientes

2. TMA- Custo do Capital

Passivo

Patrimônio Líquido:Capital,

Lucros Acumulados

Exigível a longo prazo:Financiamentos

Circulante:Fornecedores, Valoresa pagar a curto prazo

Taxas mínimas de atratividade adotadas

Média das respostas: TMA = 16% ao ano

T M A = 1 2 %

T M A = 1 0 %

T M A = 1 5 %

T M A = 2 0 %

Valor Presente Líquido

1 2 3 n

VPLSe VPL positivo:

ATRATIVO

Valor Presente Líquido - Exemplo

Reforma:Investimento = $ 10.000Redução de custos = $ 2.000n = 10 anos

Aquisição: Investimento = $ 35.000Venda Equip. = $ 5.000Ganhos = $ 4.700Valor Residual = $ 10.705

TMA= 8 %

VPL = - 10.000 + 2.000 (P/A, 8, 10) = 3420

VIÁVEL

4.70010.705

VPL = - 30.000 + 4.700 (P/A , 8%, 10) +10.705 (P/F, 8%, 10) = 6.496

VIÁVELMelhor opção

Valor Anual - Exemplo

10.000

VAnual = - 10.000(A/P, 8%, 10) + 2.000= 509,7

VIÁVEL

4.70010.705

30.000

VPL = - 30.000(A/P, 8%, 10) + 4.700 +10.705 (A/F, 8%, 10) = 968,1

VIÁVELMelhor opção

Taxa Interna de RetornoÉ a taxa que iguala o retorno ao investimentoÉ a taxa que iguala o Valor Presente a zero

1 2 3 n

VPL = - Invest. + Resultados (P/A, i, n)

Taxa Interna de Retorno - Exemplo

10.000

Reforma:

VPL = - 10.000 + 2.000 (P/A, i, 10) 0 = - 10.000 + 2.000 (P/A, i, 10) (P/A, i, 10) = 10.000 / 2.000(P/A, i, 10) = 5

Da tabela: TIR = 15,1 % > TMA

VIÁVEL

Aquisição: 4.70010.705

30.000

VPL = - 30.000 + 4.700 (P/A , i%, 10) +10.705 (P/F, i%, 10)

P/ i = 13 % VPL = - 1.343 P/ i = 11 % VPL = + 1.449P/ i = 12 % VPL = 3

TIR = 12 % > TMAVIÁVEL

Aquisição:4.700

10.705

30.000

10.000

Reforma:TIR = 15,1 %

TIR = 12 %

Qual a Melhor ?

VPL = 3420

VPL = 6496

Taxa Interna de Retorno -Análise Incremental

4.70010.705

30.000

Menos2.000

10.000

Aquisição - Reforma:

20.000

2.70010.705

TIR = 10,7 % > TMA

Melhor Opção:Aquisição

Taxa Interna de Retorno -Análise Incremental

Aquisição

Reforma

352015,1%

Ponto de Fischer

FLUXOS COM MAIS DE UMA INVERSÃO DE SINAL

1 2 3 n1 INVERSÃO DE SINAL

1 2 3 n2 INVERSÕES DE SINAL

TIR 1TIR 2

1 2 3 n3 INVERSÕES DE SINAL

TIR 2 TIR 3

QUAL TIR UTILIZAR?

OUTRO ASPECTO DA TIR QUE SE DEVE TER

CUIDADO!

2 INVERSÕES DE SINAL

10.000

0 = 1.600 - 10.000 x (1 + i)-1 + 10.000 x (1 + i)-2

i1 = 25% e i2 = 400%

10.000

-10.000 + 1.600 x (1 + 0,2) = -8.080

10.000

0 = -8.080 - 10.000 x (1 + i)-1

i = 23,8%

CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS

A. VIDAS DIFERENTES

B. VIDAS PERPÉTUAS

C. RESTRIÇÕES FINANCEIRAS

(MÚLTIPLAS ALTERNATIVAS)

EXEMPLO III.5

0 1 12

Máquina X

Máquina Y 18

VPX = -6000-4000(P/A, 12%,12)

VPX = -30777

VPY= -14000-2400(P/A, 12%,18)+2800(P/F,12%,18)

VPY= -31035

Seria a melhoropção!

A. Vidas Diferentes

EXEMPLO III.5MMC (12, 18) = 36

0 1 12

Máquina X24

VPX = -6000[1+(P/F,12%,12)+(P/F,12%,24)]-4000(P/A, 12%,36)

VPX = -40705

A. Vidas Diferentes

EXEMPLO III.5

Máquina Y 182800

240036

VPY= -14000[1+(P/F, 12%, 18)]-2400(P/A, 12%,36)++2800[(P/F,12%,18)+(P/F,12%,36)]

VPY= -35070

A. Vidas Diferentes

EXEMPLO III.5

0 1 12

Máquina X24

VPX = -40705

Máquina Y 182800

240036

VPY= -35070A melhor

opção!

A. Vidas Diferentes

B. Vidas Perpétuas

Exemplo:Suponha que um investimento de $ 100.000 gere retornos anuais de$ 25.000. Para uma taxa mínima de 20 % ao ano, qual o VPL para vida de:a) 10 anosb) 50 anosc) vida infinita

P = A ( 1 + i ) 1

( 1 + i ) in

nlim → ∞−

P = A ( 1 + i )

( 1 + i ) i ( 1 + i ) in

n nlim → ∞−

1P = A

B. Vidas Perpétuas

Solução: 25.000

100.000

A) 10 anos:VPL = -100.000 + 25.000 (P/A, 20%, 10) = 4811,80

B) 50 anos:VPL = -100.000 + 25.000 (P/A, 20%, 50) = 24.986,26

C) infinito:VPL = -100.000 + 25.000 x (1 / 0,2) = 25.000,00

Vida50

B. Vidas Perpétuas

Problema 6 (pág. III.17)

Alternativa InvestimentoInicial

BenefíciosAnuais

TIR VPL

A 10.000 1.628

B 20.000 3.116

C 50.000 7450

C. Restrições Financeiras

Alternativas mutuamente exclusivas• No sentido técnico• No sentido financeiro

Exemplo:

Vida esperada: 10 anosTMA: 6 % ao anoCapital disponível: $ 75.000

Pacote Alternativas Investimento VPL12345678

Solução

Nenhuma (75.000) Zero

A 10.000 1.982

B 20.000 2.934

C 50.000 4.832

A, B 30.000 4.916

A, C 60.000 6.814

B, C 70.000 7.766

A, B, C 80.000 9.748

Problema:Investimento Retorno

Departamento de Produção:E1 2000 275E2 4000 770

Departamento de qualidade:F1 4000 1.075F2 8000 1.750

Departamento de expedição:G1 4000 1.100

- 310731

26052753

Solução:a) Só as melhores: E1, F2, G1b)

Pacote123456

AlternativasE2, F1E2, F2F1, G1F2, G1

E2, F1, G1E2, F2, G1

Investimento8.00012.0008.00012.00012.00016.000

VPL3.3362.4845.3585.5126.0956.243

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