mat 0002 aula 2
Post on 12-Dec-2015
243 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ConjuntosConjuntos:
◦ Definição: Coleção de objetos distintos (elementos)
Representação por:◦ Enumeração: S= {2,3,4};◦ Descrição: I = { x | x um inteiro positivo};
Diagrama de Venn
Pertinência (a um conjunto)
2 ∈ 𝑆𝑆; 1 ∉ 𝑆𝑆
23 4S
Relação entre conjuntosIgualdade
◦ A = {1,3,5}◦ B = { x | x é impar, positivo e menor do que 7}
Desigualdade◦ C = {9, 11, 13, ...}◦ D = { x | x é impar, positivo e maior ou igual a 7}
A = B
C ≠ D
Relação entre conjuntosUnião
◦ A = { 3,5,7}◦ B = {2,3,4,8}
Interseção◦ A = { 3,5,7}◦ B = {2,3,4,8}
A ∪ B ={x|x ∈ 𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜 x ∈ 𝐵𝐵} = { 2,3,4,7,8}
A ∩ B ={x|x ∈ 𝐴𝐴 𝑒𝑒 x ∈ 𝐵𝐵} = { 3 }
57
32
48
57
32
48
Relação entre conjuntosSubconjuntos
◦ A = { 3,5,7}◦ B = {1,2,3,4,5,6,7}
◦ A = {0,2,4}◦ B = {1,2,3,4,5}
Diferença◦ A = {0,2,4}◦ B = {1,2,3,4,5}
Complemento & Conjunto universal◦ Todos os números do conjunto universal U que não estão no conjunto A◦ A = { -4,-3,-2,-1,0}◦ B = {-2,-1,0}
5 73
2
4
1
))(( BxAxxBA ∈⇒∈∀⇔⊂
6)| BxAxBA ∉∈∃⇔⊄
}0{) |{ =∉∈=− BxeAxxBA
Observar que A-B={0} é diferente do conjunto
vazio
}3,4{):( −−=⊂−= ABCondiçãBABCA
Sistema dos Números Reais
ℚ ∪ 𝕀𝕀𝑅𝑅
Número Irracionais são números não exatos e nem periódicos: π=3,141592654...
Naturais ℕ Inteiros ℤ Racionais ℚ
Reais ℝ
Irracionais 𝕀𝕀𝑅𝑅ℕ = {0,1,2,3,4, … }
ℤ = {… ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, … }
ℚ = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 =𝑎𝑎𝑏𝑏
, 𝑎𝑎 ∈ ℤ 𝑒𝑒 𝑏𝑏 ∈ ℤ∗}
ℤ− = {… ,−4,−3,−2,−1,0}
Os números reais: A reta e o intervaloIntervalo limitado
Intervalo Ilimitado
Notação Tipo de intervalo Notação de desigualdade
]a, b [ aberto a < x < b
[𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ fechado à esquerda e aberto à direita
𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏
Notação Tipo de itervalo Notação de desigualdade
[𝑎𝑎, +∞[ Fechado 𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎]𝑎𝑎, +∞[ Aberto 𝑥𝑥 > 𝑎𝑎] −∞, 𝑏𝑏] Fechado 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏] −∞, 𝑏𝑏[ Aberto 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏
Propriedades básicasVariável : letra ou símbolo que representa um nº Real não especificado;
Constante: representa um número Real específico;
Expressão algébrica: variável + constante
Propriedade comutativa◦ Soma: a+b = b + a Multiplicação: a*b= b*a
Propriedade associativa◦ (a+b)+c = a + (b + c) a(bc) = (ab)c
Propriedade distributiva◦ a(b+ c) = ab+ ac
Propriedades básicasPropriedade reflexiva
◦ a = a
Propriedade simétrica◦ a = b, então b = a
Propriedade transitiva◦ Se a = b e b = c então a = c
Identidade Aditiva ◦ a + 0 = a
Identidade multiplicativa◦ a * 1 = 1
Propriedades básicasInversa
◦ Aditiva: a + ( -a ) = 0 Multiplicativa: a * (1/a) = 1
Multiplicativa de zero◦ a * 0 = 0
Produto de zero◦ Se a * b = 0, então, a = 0 e/ou b = 0
Propriedades básicas Cancelamento• Soma• Multiplicação
Não misturar os dois cancelamentos:
3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 𝑤𝑤 = 3𝑎𝑎≠
𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒘𝒘 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ⇔ 3 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑤𝑤 = 3𝑎𝑎 ⇔ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑤𝑤 = 𝑎𝑎
Regra do sinal
-(-a) (-a)(b) (-a)(-b) -(a+b)
Propriedades básicasPotenciação:
𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚 � 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚
𝑎𝑎𝑛𝑛
(𝑎𝑎𝑚𝑚)𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛
(𝑎𝑎𝑏𝑏)𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛
(𝑎𝑎𝑏𝑏
)𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏𝑛𝑛
Propriedades básicasExpressões radicais:
Em 𝑛𝑛 𝑥𝑥, é chamado de radical, n é o índice e x é o radicando
1. 𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑢𝑢
2.𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑢𝑢
=𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑢𝑢
3.𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑜𝑜 = 𝑛𝑛�𝑚𝑚 𝑜𝑜
4. 𝑛𝑛 𝑜𝑜 𝑛𝑛 = 𝑜𝑜
5. 𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 𝑜𝑜 𝑚𝑚
6. 𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑛𝑛 = 𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑛𝑛 í𝑚𝑚𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝
Propriedades básicasSoma de frações:◦ Mesmo denominador◦ Numerador diferente: usar o menor denominador comum
Produto de frações 𝑎𝑎𝑐𝑐� 𝑏𝑏𝑑𝑑
= 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑
Quociente de frações 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑
= 𝑎𝑎𝑐𝑐� 𝑑𝑑𝑏𝑏
Propriedades básicasRacionalização: processo de reescrever frações contendo radicais de forma que o denominador fique sem radicais
23
14 𝑥𝑥
5 𝑥𝑥2
𝑦𝑦3
Notação científica
1.500.000 = 1,5*105
0,0006 = 6*10-4
(50.000.000)(0,0000000006)20.000 3 = 5∗107 6∗10−10
2∗104 3 = 30∗10−3
8∗1012= 3,75 ∗ 10−15
PolinômiosÉ uma expressão que pode ser escrita com um termo ou a soma de termos da forma:
𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0
Grau de um termo◦ 3𝑥𝑥8; 12𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑧𝑧2; π
Grau de um polinômio◦ 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 − 250
PolinômiosAdição / Subtração
◦ 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 7 + −5𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥 + 3◦ 4𝑥𝑥5𝑦𝑦6 − 6𝑥𝑥5𝑦𝑦6
Multiplicação
𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 2
𝑥𝑥 + 3 � 𝑥𝑥 − 3
PolinômiosProdutos notáveis
Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas:
1.Produto de uma soma e uma diferença:◦ 𝑜𝑜 + 𝑢𝑢 𝑜𝑜 − 𝑢𝑢 = 𝑜𝑜2 − 𝑢𝑢2
2. Quadrado de uma soma de dois termos:◦ 𝑜𝑜 + 𝑢𝑢 2 = 𝑜𝑜2 + 2𝑜𝑜𝑢𝑢 + 𝑢𝑢2
3.Quadrado de uma diferença de dois termos◦ 𝑜𝑜 − 𝑢𝑢 2 = 𝑜𝑜2 − 2𝑜𝑜𝑢𝑢 + 𝑢𝑢2
4.Cubo de uma soma de dois termos◦ 𝑜𝑜 + 𝑢𝑢 3 = 𝑜𝑜3 + 𝑜𝑜2𝑢𝑢 + 3𝑜𝑜𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢3
5. Cubo de uma diferença de dois termos◦ 𝑜𝑜 − 𝑢𝑢 3 = 𝑜𝑜3 − 3𝑜𝑜2𝑢𝑢 + 3𝑜𝑜𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢3
PolinômiosDivisão
Se f(x) e g(x) são polinômios com g(x)≠0, então existem polinômios únicos q(x) e r(x) tais que:
f(x) = g(x)q(x) + r(x)
𝑥𝑥3−5𝑥𝑥2+7𝑥𝑥2−9𝑥𝑥−4
Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x-a) é o próprio valor numérico do polinômio para x=a, que indicamos por P(a)
PolinômiosFatoração “Desfazer a multiplicação”
◦ Fatoração algébrica envolve reescrever a soma de termos na forma de produto.
◦ Máximo Divisor Comum: Ex.: 8𝑥𝑥3𝑦𝑦4 + 12𝑥𝑥2𝑦𝑦5 + 20𝑥𝑥4𝑦𝑦3𝑧𝑧;
◦ Produtos notáveis: Ex.: 9𝑥𝑥4 − 25; 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1
◦ Fatoração de trinômios: 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ⇒ 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 14
top related