listas modulo 1
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Universidade de BrasıliaDepartamento de Matematica
Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 1
1) Dizemos que um numero r e raiz de uma funcao f(x) quando f(r) = 0. Nesse exercıciovamos considerar um procedimento para obter uma raiz de uma funcao f por apro-ximacoes sucessivas, conhecido como metodo de Newton. Ele fornece, a partir de umadada aproximacao xn da raiz, uma nova aproximacao xn+1 dada pela intersecao do eixox com a reta tangente a f em xn.
xr
xn xn+1
f
a) Usando a equacao da reta tangente a f em xn, mostre que xn+1 = xn −f(xn)
f ′(xn).
b) Suponha que f(x) e f ′(x) sao funcoes contınuas. Mostre que, se limxn = r, entao re uma raiz de f .
c) Aplicando o primeiro item para a funcao f(x) = x2− 2, mostre que xn+1 =xn2
+1
xn.
Quais raızes que estamos aproximando nesse caso?
d) No item anterior, comecando da aproximacao inical x1 = 2, obtenha as 4 aproximacoesseguintes.
2) O objetivo desse exercıcio e mostrar que limn!
nn= 0.
a) Verifique quen!
nn=n
n
n− 1
n
n− 2
n· · · 3
n
2
n
1
n
b) Usando o item anterior, mostre que 0 <n!
nn≤ 1
n.
c) Usando o item anterior, mostre que limn!
nn= 0.
3) O objetivo desse exercıcio e mostrar que lim n√n = 1.
a) Verifique que log ( n√n) = log(n)
n.
b) Usando o item anterior, verifique que n√n = exp
(log(n)
n
).
c) Usando o item anterior, mostre que lim n√n = 1.
4) O objetivo desse exercıcio e mostrar que lim(1 + 1
n
)n= e.
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a) Verifique que log((
1 + 1n
)n)=
log(1+ 1n)
1n
.
b) Usando o item anterior, verifique que(1 + 1
n
)n= exp
(log(1+ 1
n)1n
).
c) Usando o item anterior, mostre que lim(1 + 1
n
)n= e.
5) (Desafio) A sequencia rn da razoes dos termos consecutivos da sequencia de Fibonaccisatisfazem r1 = 1 e a equacao de recorrencia
rn+1 = 1 +1
rn
Por outro lado, a razao aurea ϕ > 1 satisfaz uma equacao parecida
ϕ = 1 +1
ϕ
O objetivo desse exercıcio e mostrar que
limn→∞
rn = ϕ
a) Subtraindo as equacoes acima, mostre que
rn+1 − ϕ =ϕ− rnrnϕ
para todo n.
b) Usando o item anterior e que rn ≥ 1, mostre que
|rn+1 − ϕ||rn − ϕ|
≤ 1
ϕ
para todo n.
c) Usando o item anterior repetidas vezes, mostre que
|rn+1 − ϕ| ≤1
ϕn|r1 − ϕ|.
d) Utilizando o item anterior, conclua que lim rn = ϕ.
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Universidade de BrasıliaDepartamento de Matematica
Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 2
1) Vamos investigar a dinamica, num dado paıs, da relacao entre a renda Yn produzida noano n e o capital Kn acumulado ate o ano n atraves de um modelo bem simples. Temosque a renda anual cresce a uma taxa constante positiva g, de modo que
Yn+1 = (1 + g)Yn
e que o capital se acumula por uma taxa de poupanca contante positiva s e se depreciaa uma taxa constante positiva d, de modo que
Kn+1 −Kn = sYn − dKn
Denotando a razao capital pela renda no ano n por βn = Kn/Yn e o seu limite quando ntende por infinito por β, responda os seguintes itens.
a) Mostre que βn+1 =s
1 + g+
1− d1 + g
βn.
b) Use o item anterior para mostrar que
βm =s
1 + g
(1 +
1− d1 + g
+
(1− d1 + g
)2
+ · · ·+(
1− d1 + g
)m−1)
+
(1− d1 + g
)m
β0
c) Conclua que β =s
g + d.
2) Para cada serie telescopica abaixo, escreva a serie com a notacao de somatorio, encontreuma formula fechada para suas somas parciais e use-a para encontrar o valor da serie.
a)5
1 · 2+
5
2 · 3+
5
3 · 4+ · · ·+ 5
n(n+ 1)+ · · ·
b) log
(k
k + 1
)+ log
(k + 1
k + 2
)+ log
(k + 2
k + 3
)+ · · ·+ log
(n
n+ 1
)+ · · ·
3) Escreva as expressoes abaixo como series de potencias da forma∞∑n=0
cnxn, determinando
seus coeficientes cn.
a) A expressao (1− x)∞∑n=0
1
n!xn.
b) A expressao (1− x)∞∑n=0
(n+ 1)xn.
c) A expressao (1− x2)∞∑n=0
1
n!xn.
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d) A expressao (1− x2)∞∑n=0
(n+ 2)(n+ 1)xn.
4) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se a serie∞∑n=0
an converge, entao lim an = 0.
b) Se lim an = 0, entao a serie∞∑n=0
an converge.
c) Se as series∞∑n=0
an e∞∑n=0
bn divergem, entao∞∑n=0
(an + bn) diverge.
d) Se 0 ≤ an ≤ bn e a serie∞∑n=0
bn diverge, entao a serie∞∑n=0
an diverge.
5) (Desafio) O tapete de Sierpinski 1 e a figura geometrica S construıda a partir de umlimite passo-a-passo da seguinte maneira:
S0 S1 S2 S3 · · · S
S0 : Comecamos com um quadrado S0 de lado 1 (preenchido de preto).
S1 : Do centro do quadrado S0 retiramos um quadrado menor de lado 1/3 (preenchidode branco), obtendo assim a figura S1, formada por 8 quadrados (preenchidos depreto).
S2 : Do centro de cada um dos 8 quadrados de S1 retiramos um quadrado menor delado (1/3)2 = 1/9 (preenchidos de branco), obtendo assim a figura S2, formada por82 = 64 quadrados (preenchidos de preto).
S3 : Do centro de cada um dos 82 quadrados de S2 retiramos um quadrado menor delado (1/3)3 (preenchidos de branco), obtendo assim a figura S3, formada por 83
quadrados (preenchidos de preto).
· · ·
O tapete de Sierpinski S e a figura limite obtida ao final desse processo. Vamos mostrarque essa figura tem area 0 e perımetro infinito: e portanto uma regiao de area zero queprecisa de uma cerca de comprimento infinito para cerca-la. Observe que o perımetro deS e o comprimento da fronteira entre a regiao preenchida de preto e a regiao preenchidade branca, portanto e o perımetro do quadrado inicial somado aos perımetros de todosos quadrados retirados.
a) Mostre que o perımetro de S e dado pela soma infinita
P = 4 + 4(1/3) + 8 · 4(1/3)2 + 82 · 4(1/3)3 + 83 · 4(1/3)4 + · · ·1Matematico polones que inventou essa figura em 1915.
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b) Conclua que P =∞.
c) Mostre que a area de S e dada pela soma infinita
A = 1− [(1/3)]2 − 8[(1/3)2]2 − 82[(1/3)3]2 − 83[(1/3)4]2 − · · ·
d) Conclua que A = 0.
Observacao: podemos pensar que o tapete de Sierpinski e uma
maneira de, ocupando uma area pequena, descrever um perımetro
grande. Seu analogo tridimensional, o cubo de Sierpinski, e cons-
truıdo a partir de um cubo e possui volume zero e area da superfıcie
infinita. E uma maneira de, ocupando um volume pequeno, des-
crever uma area de superfıcie grande. Os galhos de uma arvore e
os alveolos de um pulmao, por exemplo, parecem seguir esse tipo
de figura para -ocupando o mınimo de volume no espaco- obter
uma grande superfıcie de absorcao de gases (e tambem de luz, no
caso da arvore). Esse tipo de figura e hoje conhecida como fractal.
Para mais sobre isso, leia o artigo “Intuicoes fractais”, de Joao
Moreira Salles na revista Piauı, Edicao 50, Novembro de 2010.
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Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 3
1) Para cada serie de potencias abaixo, expanda os primeiros quatro termos nao nulos edescubra para quais valores de x ∈ R a serie converge.
a)∞∑n=1
1
nxn.
b)∞∑n=0
1
n!xn.
c)∞∑k=0
(−1)k
(2k)!x2k.
d)∞∑k=0
(−1)k
(2k + 1)!x2k+1.
2) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se∞∑n=0
|an| converge, entao∞∑n=0
(an)2 tambem converge.
b) Se∞∑n=0
(an)2 converge, entao∞∑n=0
|an| tambem converge.
c) Se lim n√|an| < 1, entao lim an = 0.
d) Para cada x ∈ R, temos que limxn
n!= 0.
e) Se lim
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = 1, entao∞∑n=0
an converge.
f) Se lim
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = 1, entao∞∑n=0
an diverge.
g) Se o limite limx→c
∞∑n=0
cnxn existe, entao ele e igual a
∞∑n=0
cncn.
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Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 4
1) O objetivo desse exercıcio e descobrir para que valores de p a serie p-harmonica
∞∑n=1
1
np=∞∑n=1
(1
n
)p
converge ou diverge.
a) Mostre que, para qualquer p, o teste da raiz e o teste da razao sao inconclusivos.
b) Para p > 1, use o teste da integral para mostrar que a serie converge.
c) Para 0 < p ≤ 1, use o teste da integral para mostrar que a serie diverge. Essa e umaoutra forma de mostrar que a serie harmonica (p = 1) e divergente.
2) O objetivo desse exercıcio e apresentar series de potencias que possuem o mesmo raio deconvergencia, mas com domınios diferentes. Verifique as seguintes afirmacoes.
a) O domınio de∞∑n=0
1
2nxn e o intervalo aberto (−2, 2) com raio 2.
b) O domınio de∞∑n=1
1
n2nxn e o intervalo [−2, 2) com raio 2.
c) O domınio de∞∑n=1
(−1)n
n2nxn e o intervalo (−2, 2] com raio 2.
d) O domınio de∞∑n=1
1
n22nxn e o intervalo fechado [−2, 2] com raio 2.
e) O domınio de∞∑k=1
(−1)k
k4kx2k e o intervalo fechado [−2, 2] com raio 2.
3) O objetivo desse exercıcio e apresentar algumas series de potencias que naturalmentepossuem raio de convergencia diferente de zero, de um e de infinito.
a) Considere fn a sequencia de Fibonacci. Utilizando o teste da razao, mostre que o raiode convergencia de
∞∑n=1
fnxn
e igual dado por R = 1/φ, onde φ e a razao aurea.
b) Utilizando o teste da raiz, mostre que o raio de convergencia de
∞∑n=1
(1 +
1
n
)n2
xn
e dado por R = 1/e.
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c) Utilizando o teste da razao, mostre que o raio de convergencia de
∞∑n=1
nn
n!xn
e dado por R = 1/e.
4) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se an e positiva e a serie∞∑n=0
an converge, entao a serie∞∑n=0
(−1)nan converge.
b) Se a serie∞∑n=0
|an| diverge, entao a serie∞∑n=0
an diverge.
c) Toda serie alternada converge.
d) Todo polinomio e uma serie de potencias com raio de convergencia infinito.
e) Se uma serie de potencias∞∑n=0
cnxn tem raio de convergencia R = 1 entao seu domınio
e (−1, 1).
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Calculo 2Lista de Exercıcios – Modulo 1 – Lista 5
1) Considere as funcoes
y(x) =∞∑n=0
(−1)nxn
n!
e
z(x) =∞∑k=0
(−4)kx2k
(2k)!
definidas para todo x ∈ R.
a) Calcule y′(x).
b) Verifique que y′(x) + y(x) = 0.
c) Calcule z′′(x).
d) Verifique que z′′(x) + 4z(x) = 0.
2) Considere y(x) =∞∑n=0
cnxn e escreva as expressoes abaixo como series de potencias da
forma∞∑n=0
dnxn, determinando seus coeficientes dn.
a) A expressao −2xy′(x).
b) A expressao xy′′(x).
c) A expressao (1− x)y′′(x).
d) A expressao (1− x2)y′′(x).
3) O objetivo desse exercıcio e analisar as series de Taylor das funcoes seno e cosseno.
a) Mostre que
sen(n)(x) =
{(−1)k sen(x), n = 2k(−1)k cos(x), n = 2k + 1
e que
cos(n)(x) =
{(−1)k cos(x), n = 2k−(−1)k sen(x), n = 2k + 1
b) Determine as series de Taylor de sen(x) e de cos(x).
c) Sabendo que sen(x) e de cos(x) coincidem com suas series de Taylor, determine as
series de Taylor de
∫sen(x2) dx e de
∫cos(x2) dx.
4) O objetivo desse exercıcio e analisar as series de Taylor das funcoes seno e cosseno hi-perbolicos, dadas por
senh(x) =ex − e−x
2e cosh(x) =
ex + e−x
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a) Verifique quesenh(0) = 0 e cosh(0) = 1
e quesenh′(x) = cosh(x) e cosh′(x) = senh(x)
b) Mostre que
senh(n)(x) =
{senh(x), n = 2kcosh(x), n = 2k + 1
e que
cosh(n)(x) =
{cosh(x), n = 2ksenh(x), n = 2k + 1
c) Determine as series de Taylor de senh(x) e de cosh(x).
d) Sabendo que senh(x) e de cosh(x) coincidem com suas series de Taylor, determine as
series de Taylor de
∫senh(x2) dx e de
∫cosh(x2) dx.
5) O objetivo deste exercıcio e mostrar que uma serie de potencias que que define umafuncao par ou ımpar so possui, respectivamente, potencias pares ou ımpares.
Seja f(x) =∞∑n=0
cnxn uma serie de potencias com raio de convergencia R > 0.
a) Se f(x) e uma funcao par, isto e
f(−x) = f(x)
mostre que a serie de potencias so possui potencias pares.
b) Se f(x) e uma funcao ımpar, isto e
f(−x) = −f(x)
mostre que a serie de potencias so possui potencias ımpares.
6) Nos itens abaixo, determine se a afirmacao e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira,demonstre porque. Se for falsa, de um exemplo que prove sua falsidade.
a) Se o domınio de∞∑n=0
cnxn e (−1, 1], entao o domınio de
∞∑n=0
cnRn
xn e (−R,R].
b) Se∞∑n=0
cnxn converge para x = 2, entao tambem converge para x = −2.
c) Se∞∑n=0
cnxn converge para x = 2, entao tambem converge para x = −1.
d) Se a derivada de∞∑n=0
cnxn em x = c existe, entao ela e igual a
∞∑n=0
cnncn−1.
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