ga geometria analitica 3

CLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemtica Unesp/Bauru

CAPTULO 3

DEPENDNCIA LINEAR

1 Combinao Linear

Definio: Seja { }n21 v,...,v,vrrr

um conjunto com n vetores. Dizemos que um vetor

ur combinao linear desses n vetores, se existirem escalares n21 a,...,a,a

tais que nn2211 va...vavaurrrr

+++= , ou seja, =

=n

1iiivaurr

.

Exemplo (1): Considere os vetores )5,10,4(u =r

, )2,1,1(v1 =r

, )3,0,2(v2 =r

e

)3,2,1(v3 =r

.

a) Escrever, se possvel, o vetor ur como combinao linear dos vetores 1v

r, 2vr

e

3vr

.

b) Escrever, se possvel, o vetor ur como combinao linear dos vetores 2v

r e 3v

r.

Soluo:

a) Para que ur seja combinao linear dos vetores { }321 v,v,v

rrr, devem existir

escalares ,, tais que 321 vvvurrrr++= . Ento:

=++

=+

=+

++=

5332102

42)3,2,1()3,0,2()2,1,1()5,10,4( . Resolvendo o sistema

linear vamos obter: 4e1,2 === . Portanto: 321 v4vv2urrrr

+= .

b) Para que ur seja combinao linear dos vetores 2v

r e 3v

r, devem existir escalares

nem tais que 32 vnvmurrr

+= . Ento:

=+

=

=

+=

5n3m310n2

4nm2)3,2,1(n)3,0,2(m)5,10,4( . Da segunda equao obtemos

5n = . Substituindo nas outras duas obtemos 21m = e

310m = . O que uma

contradio. Logo o sistema linear impossvel e no admite soluo real. Portanto,

no existem escalares nem tais que 32 vnvmurrr

+= , ou seja, no possvel

escrever o vetor ur como combinao linear dos vetores 2v

r e 3v

r.

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2 Vetores LI e LD

Definio: Dizemos que os vetores n21 v,...,v,vrrr

so linearmente independentes

(vetores LI) se a expresso 0va...vava nn2211rrrr

=+++ se verifica somente se os

escalares n21 a,...,a,a forem todos nulos, ou seja, 0a...aa n21 ==== .

Definio: Dizemos que os vetores n21 v,...,v,vrrr

so linearmente dependentes

(vetores LD) se a expresso 0va...vava nn2211rrrr

=+++ se verifica somente se os

escalares n21 a,...,a,a forem no todos nulos, ou seja, pelo menos um dos

escalares deve ser diferente de zero.

Exemplo (2): Verificar a dependncia linear dos vetores abaixo:

a) )2,1,1(v1 =r

, )3,2,1(ve)3,0,2(v 32 ==rr

b) )2,1,1(v1 =r

, )5,2,8(ve)3,0,2(v 32 ==rr

Soluo:

a) Para verificar a dependncia linear entre esses vetores, devemos escrever a

expresso 0vcvbva 321rrrr

=++ e determinar os escalares. Ento:

=++

=+

=+

=++

0c3b3a20c2a

0cb2a)0,0,0()3,2,1(c)3,0,2(b)2,1,1(a . Resolvendo o sistema

linear homogneo vamos obter: 0ce0b,0a === , ou seja, os escalares todos

nulos. Portanto os vetores so LI.

b) Analogamente ao item (a), escrevemos a expresso 0vcvbva 321rrrr

=++ . Ento:

=++

=+

=++

=++

0c5b3a20c2a

0c8b2a)0,0,0()5,2,8(c)3,0,2(b)2,1,1(a . Resolvendo o sistema

linear homogneo vamos obter a soluo geral: == c,c3bec2a .

evidente que para c=0 segue que a=0 e b=0, mas no a nica soluo, ou seja,

existem infinitas solues onde os escalares no so todos nulos. Portanto os

vetores so LD.

Teorema (1): Os vetores n21 v,...,v,vrrr

so Linearmente Dependentes (LD) se, e

somente se um deles combinao linear dos demais.

OBS: este um teorema de condio necessria e suficiente; o termo "se, e

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somente se" significa que o teorema tem duas implicaes:

(1) "se um conjunto de vetores LD, ento um deles combinao linear dos

demais vetores", e (2) "se, em um conjunto de vetores, um deles combinao

linear dos demais, ento esses vetores so LD".

Assim, a demonstrao do teorema contm duas partes: uma para demonstrar a

condio necessria (1) e a outra para demonstrar a condio suficiente (2).

Demonstrao:

(1) Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD

Tese: um deles combinao linear dos demais vetores.

Se, por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LD, ento, existem escalares

n,...,, 21 , no todos nulos, tais que: 02211 =+++ nnv...vv .

Supondo, por exemplo, que 01 , pode-se escrever:

nn v...vvv

++

+

=

13

1

32

1

21

;

chamando:

1

22

= ;

1

33

= ; ... ;

1

nn = , vem:

nnvvvv +++= L33221 ,

e, portanto, o vetor 1v combinao linear dos demais vetores.

Observe-se que, assim como se sups que 01 e se mostrou que 1v

combinao linear dos demais vetores, pode-se supor que qualquer um dos

escalares ( )nii 1 diferente de zero e concluir-se que iv combinao linear

dos demais vetores.

(2) Hiptese: um dos vetores combinao linear dos demais vetores.

Tese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD

Por hiptese, um dos vetores combinao linear dos demais; pode-se supor, por

exemplo, que esse seja o vetor 1v . Isso significa que existem escalares

n,...,, 32 tais que:

nnvvvv +++= L33221 ;

pode-se escrever, equivalentemente:

( ) 01 33221 =++++ nnvvvv L .

Sendo o escalar que multiplica o vetor 1v no nulo, j que igual a -1, conclui-se

que os vetores nv,...,v,v 21 so LD.

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claro que, fazendo-se a suposio de que qualquer vetor ( )niv i 1 seja

combinao linear dos outros vetores, concluir-se-, de maneira anloga, que os

vetores nv,...,v,v 21 so LD.

Exemplo (3): Como vimos no exemplo (2) os vetores )2,1,1(v1 =r

, )3,0,2(v2 =r

e

)5,2,8(v3 =r

so LD. Logo, pelo Teorema (1), um deles combinao linear dos

demais. De fato. Suponhamos que 213 vnvmvrrr

+= . Ento:

)03,2(n)2,1,1(m)5,2,8( +=

+=

=

+=

n3m25m2

n2m8. Da segunda equao vem que 2m = .

Substituindo 2m = nas outras duas equaes vem que 3n = . Logo, existem os

escalares 2m = e 3n = tais que 213 v3v2vrrr

+= . Portanto, 3vr

combinao linear

dos vetores 1vr

e 2vr

.

Teorema (2): Considere n21 v,...,v,vrrr

, vetores LD, ento k desses vetores sero

LD, para k n.

Demonstrao:

Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD

Tese: os vetores kv,...,v,v 21 so LD, para todo nk

Por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LD; ento, existem escalares

n,...,, 21 , no todos nulos, tais que:

02211 =+++ nnv...vv .

A esse conjunto de n vetores, acrescentem-se mais ( )nknk vetores, isto ,

considere-se, agora, o conjunto:

{ }knnn v,,v,v,v,...,v,v L2121 ++ .

Escrevendo-se a equao:

022112211 =+++++++ ++++ kknnnnnn vvvv...vv L ,

conclui-se, a partir dela, que os vetores knnn v,,v,v,v,...,v,v L2121 ++ so LD,

pois, mesmo que os escalares knn ,...,, 21 ++ sejam todos nulos, entre os

escalares n,...,, 21 h pelo menos um deles que no nulo, j que os vetores

nv,...,v,v 21 so LD. Logo, o conjunto de vetores { }knnn v,,v,v,v,...,v,v L2121 ++

LD.

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Observaes:

1) Por esse teorema, conclui-se que, se um conjunto de vetores LD, aumentando-

se o nmero de vetores deste conjunto, o novo conjunto ser LD.

2) Observe-se que o teorema apenas de condio necessria, ou seja, a recproca

no verdadeira. Isso significa que, se um conjunto de n vetores nv,...,v,v 21

LD, isso no implica que o conjunto de vetores mv,...,v,v 21 LD, para nm .

Assim, quando se sabe que um conjunto de vetores LD, se forem retirados desse

conjunto um ou mais vetores, no se pode afirmar que o novo conjunto LD.

Teorema (3): Considere n21 v,...,v,vrrr

vetores LI, ento k desses vetores sero LI,

para k n.

Demonstrao:

Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LI

Tese: os vetores kv,...,v,v 21 so LI, para todo nk

Por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LI; ento, a equao

02211 =+++ nnv...vv

verdadeira somente se 021 ==== n... .

Tomando-se um ndice nk , considere-se o conjunto

{ } { }nk v,...,v,vv,...,v,v 2121 .

Da equao:

02211 =+++ kkv...vv ,

segue-se que 021 ==== k... , pois os vetores nv,...,v,v 21 so LI e os

vetores kv,...,v,v 21 esto entre eles. Portanto, conclui-se que os vetores

kv,...,v,v 21 so LI, o que demonstra o teorema.

OBS:

1) Por esse teorema, conclui-se que, se um conjunto de vetores LI, diminuindo-se

o nmero de vetores deste conjunto, o novo conjunto tambm ser LI.

2) O teorema apenas de condio necessria, isto , a recproca no

verdadeira. Isso significa que, se um conjunto de n vetores nv,...,v,v 21 LI, isso

no implica que o conjunto de vetores mv,...,v,v 21 LI, para nm . Assim,

quando se sabe que um conjunto de vetores LI, se forem acrescentados a esse

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conjunto um ou mais vetores, no se pode afirmar que o novo conjunto LI.

Conseqncias:

(a) As afirmaes abaixo so vlidas para vetores no 2.

1) O vetor nulo { }0r LD. 2) O { }vr , com 0v

rr , LI.

3) Dois vetores { }21 v,vrr

, com 0ve0v 21rrrr

, so LD se os vetores forem paralelos

(so mltiplos escalares). Caso contrrio so LI (no paralelos, no so

mltiplos).

4) Trs ou mais vetores { },...v,v,v 321rrr

so sempre LD.

(b) As afirmaes abaixo so vlidas para vetores no 3.

1) O vetor nulo { }0r LD. 2) O { }vr , com 0v

rr , LI.

3) Dois vetores { }21 v,vrr

, com 0ve0v 21rrrr

, so LD se os vetores forem paralelos

(so mltipos escalares). Caso contrrio so LI (no paralelos, no so

mltiplos).

4) Trs vetores { }321 v,v,vrrr

so sempre LD se forem coplanares. Caso contrrio

so LI (no coplanares).

5) Quatro ou mais vetores { },...v,v,v,v 4321vrrr

so sempre LD.

3 Base

Definio: Seja { }n21 v,...,v,vBrrr

= um conjunto de vetores de um espao qualquer

(2 ou 3). Dizemos que B uma base desse espao se:

a) B um conjunto LI.

b) B gera o espao.

OBS: Dizer que um conjunto { }n21 v,...,v,vBrrr

= gera o espao significa que qualquer

vetor ur, desse espao, se escreve como combinao linear dos vetores de B, ou

seja, existem escalares n21 a,...,a,a tais que nn2211 va...vavaurrrr

+++= .

Exemplo (4): Mostre que os conjuntos abaixo so bases dos respectivos espaos.

a) B = {(1,2), (-3,4)} base do 2.

b) B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} base do 3.

Soluo:

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a) Sejam )4,3(ve)2,1(v 21 ==rr

. Vamos mostrar que B um conjunto LI. Como

no existe uma proporcionalidade entre as coordenadas dos vetores eles no so

mltiplos, logo no so paralelos. Portanto so LI. Seja )y,x(u =r

um vetor qualquer

do 2. Vamos mostrar que ur se escreve como combinao linear dos vetores de B.

Ento

+=

=+==

b4a2yb3ax

)4,3(b)2,1(a)y,x(ur

. Resolvendo o sistema temos:

+=

+=

yex,

10yx2

b

10y3x4

a. Isso mostra que o sistema possvel e determinado. Logo

existem os escalares bea tais que )4,3(b)2,1(a)y,x(u +==r

, ou seja, o vetor

)y,x(u =r

se escreve como combinao linear dos vetores 21 vevrr

, mostrando que

B gera o 2. Portanto, B base do 2.

b) Utilizando a condio de coplanaridade entre trs vetores temos:

01001011111

= , ou seja, os vetores no so coplanares. Portanto, so LI.

Mostrando que B gera o 3. Seja )z,y,x(v =r

um vetor qualquer do 3. Ento:

=

+=

++=

++=

azbay

cbax)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( . Resolvendo temos a soluo

=

=

=

zey,x,yxczyb

za. Logo, existem escalares ceb,a tais que

)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ++= , ou seja, o vetor )z,y,x(v =r

se escreve como

combinao linear dos vetores de B, mostrando que B gera o 3. Portanto, B base

do 3.

Conseqncias

1) O 2 e o 3 possuem infinitas bases.

2) Qualquer base do 2 tem a mesma quantidade de vetores.

3) Qualquer base do 3 tem a mesma quantidade de vetores.

4) Das infinitas bases do 2, uma considerada a mais simples, chamada de Base

Cannica do 2. Ela constituda pelos vetores { }j,i rr , onde )0,1(i =r e )0,1(j =r . 5) Das infinitas bases do 3, uma tambm considerada a mais simples, chamada

de Base Cannica do 3. Ela constituda pelos vetores { }k,j,i rrr , onde )1,0,0(ke)0,1,0(j),0,0,1(i ===

rrr

.

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2) No 2, qualquer conjunto com dois vetores LI constitui uma base.

3) No 3, qualquer conjunto com trs vetores LI constitui uma base.

Exerccios Propostos

1) Verificar a dependncia linear dos vetores:

a)

=

=

23

,43

,81

ve6,3,21

urr

b) )2,1,3(ce)0,6,4(b),2,2,1(a ===rrr

c) )2,1,0(ce)1,3,2(b),1,2,1(a ===rrr

Resp: a) LD b) LD c)LI

2) Escrever o vetor )3,5,3(w =r

como combinao linear dos vetores

)1,3,2(b),1,2,1(a ==rr

e )2,1,0(c =r

Resp: c3b2awrrrr

++=

3) Verificar quais dos conjuntos abaixo uma base do 3.

a) )2,2,3(ce)1,3,2(b),2,0,1(a ===rrr

b) )2,6,1(we)1,3,2(v),0,0,1(u ===rrr

Resp: a) base b) no base

4) Determine m para que os vetores )4,3,1(we)0,m,3(v),2,m,2(u ===rrr

formem

uma base do 3. Resp: m -3

5) Determine os valores de m para que os vetores )8,m,2(u =r

, )3,1,4m(v +=r

e

)31,m4,7(w =r

sejam LD. Resp: m=-3 ou m=2

6) Prove: " }vu,vu{rrrr

+ so LI }v,u{rr

so LI".

7) Dados dois vetores }v,u{rr

LI, mostre que: "se wr

combinao linear de }v,u{rr

,

ento essa combinao linear nica".

COMENTRIOS IMPORTANTES

1) Cuidado com as definies de combinao linear e de vetores LI e LD. Elas so

muito parecidas e pode causar confuso.

2) Na prtica, discutir se um conjunto de vetores LI ou LD, quando usamos a

definio, sempre vamos resolver um sistema linear homogneo. Como os sistemas

homogneos so sempre possveis, esta discusso se resume em: se o sistema for

SPD (admite somente a soluo trivial, todos os escalares so nulos), ento os

vetores so LI; se o sistema for SPI (alm da soluo trivial admite outras

infinitas), ento os vetores so LD.

2) Como o prprio nome diz: vetores linearmente dependentes (LD) significa que

existe uma dependncia entre eles, ou seja, eles se relacionam de alguma forma.

Esta dependncia uma combinao linear que, geometricamente, significa que ou

dois vetores so paralelos ou trs vetores so coplanares. Caso os vetores sejam

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linearmente independentes (LI), isso quer dizer que no existe relao nenhuma

entre eles, ou seja, no so paralelos, no so coplanares.