aula 7 mat

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AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU EM SUA DEFINIÇÃO MAIS SIMPLESE COMPREENSÍVEL, PODE SER DEFINIDA COMO TODA EQUALQUER SENTENÇA DA MATEMÁTICA QUE É ABERTA

POR UM SINAL DE DESIGUALDADE.

ax + b > 0ax + b < 0

ax + b >= 0ax + b <= 0

SENDO QUE: “a” E “b”, SÃO NÚMEROS REAIS E DIFERENTESDE ZERO (a E b ≠ 0), RESPECTIVAMENTE.

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AULA 7

EXEMPLOS

2x – 8 > 0

3x – 9 < 0

4x + 9 >= 0

5x + 1/3 <= 0

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AULA 7

O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.

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AULA 7

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

NAS INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax + b > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR UMCONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEIS VALORES

QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEIS QUEESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA

NO PROBLEMA.

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AULA 7

DETERMINE TODOS OS POSSÍVEIS NÚMEROS INTEIROSPOSITIVOS PARA AS QUAIS SATISFAÇA A INEQUAÇÃO:

3x + 5 < 17

VEJAOS SEGUINTES PASSOS PARA A SOLUÇÃO:

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APÓS FAZER OS DEVIDOS CÁLCULOS DA INEQUAÇÃOACIMA, PODE-SE CONCLUIR QUE A SOLUÇÃO

APRESENTADA É FORMADA POR TODOS OS NÚMEROSINTEIROS E POSITIVOS MENORES QUE O NÚMERO 4.

S = {1, 2, 3}

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EXEMPLOS

2 – 4x >= x + 17

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AULA 7

PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

1)ADICIONANDO UM MESMO NÚMERO A AMBOS OSMEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO, OU SUBTRAINDO UM

MESMO NÚMERO DE AMBOS OS MEMBROS, ADESIGUALDADE SE MANTÉM.

2) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DEUMA INEQUAÇÃO POR UM MESMO NÚMERO POSITIVO,

A DESIGUALDADE SE MANTÉM.

3) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO POR UM MESMO NÚMERONEGATIVO AMBOS OS MEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO DO

TIPO >, >=, < OU <=, A DESIGUALDADE INVERTE O SENTIDO.

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AULA 7

PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

É FÁCIL PERCEBER QUE A RESOLUÇÃO DE UMA INEQUA-ÇÃO DO 1º GRAU BASEIA-SE NOS MESMO PRINCÍPIOS DARESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU ATENTANDO

-SE AO ITEM 3 ANTERIORMENTE QUE DIFERENCIA. UMAINEQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA DA MESMA FORMA

QUE SE RESOLVE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU, SÓ QUEQUANDO O “x” É NEGATIVO, NO FINAL DA RESOLUÇÃOMULTIPLICA-SE AMBOS OS MEMBROS DA INEQUAÇÃO

POR (-1) E AÍ O SENTIDO SE INVERTE, SE É “>” FICA “<“,SE É “<“ FICA “>”, SE É “<=“ FICA “>=“ E

SE É “>=“ FICA “<=“.

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AULA 7

EXEMPLO

CONSIDERANDO COMO UNIVERSO O CONJUNTO DOSNÚMEROS NATURAIS, DETERMINE O CONJUNTO

SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO:

5x – 8 < 3x + 125x – 3x < 12 + 8

2x < 20x < 20/2x < 10

ASSIM O CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO É:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

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AULA 7

EXEMPLO

SE, O UNIVERSO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE OCONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, QUAL SERIA O

CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO?

NÃO É POSSÍVEL EXPLICITAR, UM A UM, TODOS OSNÚMEROS REAIS MENORES QUE 10. POR ISSO,REPRESENTA-SE O CONJUNTO SOLUÇÃO “S”

SIMPLESMENTE POR

S = {x/x є R / x < 10}

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AULA 7

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

QUANDO UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA,SÃO USADOS OS RECURSOS MATEMÁTICOS TAIS COMO:

SOMAR OU DIMINUIR UM VALOR IGUAL AOS DOISMEMBROS DA EQUAÇÃO OU MULTIPLICAR E DIVIDIROS MEMBROS DA EQUAÇÃO POR UM MESMO VALOR.

O MESMO CONCEITO SERVE PARA A RESOLUÇÃO DASINEQUAÇÕES DO 1º GRAU.

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AULA 7

RECURSO:

5 > 3 (SOMAR O VALOR 2)

5 + 2 > 3 + 2

7 > 5 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)

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AULA 7

RECURSO:

5 > 3 (SUBTRARIA O VALOR 1)5 – 1 > 3 – 1

4 > 2 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)

DESTA FORMA, É POSSÍVEL CONCLUIR QUE DE ACORDOCOM AS PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU,

PODEMOS USAR OS MESMOS RECURSOS MATEMÁTICOSDE SOMAR OU SUBTRAIR, UM MESMO VALOR AOS

MEMBROS DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU.

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AULA 7

RECURSO:

5 > 2 (MULTIPLICAR PELO VALOR NEGATIVO -2)5.(-2) > 2.(-2)

-10 > -4 (A INEQUAÇÃO NÃO É VERDADEIRA)

PARA QUE A INEQUAÇÃO ACIMA SE TORNE VERDADEIRAÉ PRECISO INVERTER O SINAL.

-10 < -4 (AGORA A INEQUAÇÃO É VERDADEIRA)

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AULA 7

PORTANTO, É PRECISO TER O MÁXIMO DE CUIDADO AOUTILIZAR O RECURSO MATEMÁTICO DE (MULTIPLICAR

OU DIVIDIR POR UM MESMO VALOR OS COMPONENTES DAINEQUAÇÃO) PARA RESOLVER UMA INEQUAÇÃO DO

PRIMEIRO GRAU. CASO ESTE VALOR SEJA UM NÚMERONEGATIVO, O SINAL DE DESIGUALDADE (INEQUAÇÃO)

DEVE SER INVERTIDO.

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AULA 7

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

DADAS AS FUNÇÕES f(x) E g(x), CHAMAMOS DE INEQUAÇÃO-PRODUTO TODA INEQUAÇÃO QUE PODE ASSUMIR UMA DAS

SEGUINTES FORMAS:

f(x).g(x) > 0

f(x).g(x) >= 0

f(x).g(x) < 0

f(x).g(x) <= 0

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AULA 7

A FORMA DA INEQUAÇÃO-PRODUTO PODE SER ESTENDIDAPARA MAIS DE DUAS FUNÇÕES.

(x – 1).(2x – 3).(x + 1) < 0

(x – 2).(-2x + 1).(4 – x) <= 0

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AULA 7

PARA RESOLVERMOS INEQUAÇÕES-PRODUTO, PRIMEIROESTUDAMOS O SINAL DE CADA FUNÇÃO QUE COMPÕE O

PRODUTO E, ENTÃO, DETERMINAMOS O SINAL DO PRODUTO.

(x – 1).(2x – 3) >= 0

f(x) = x – 1g(x) = 2x – 3

f(x) = 0x – 1 = 0

x = 1 (ZERO DA FUNÇÃO)

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AULA 7

COMO a = 1 > 0, VEM:

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AULA 6

g(x) = 02x – 3 = 0

2x = 3x = 3/2 OU x = 1,5

COMO a = 2 > 0, VEM:

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AULA 7

QUADRO DO PRODUTO

S = {x є R/ x <= 1 ou x >= 3/2}

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AULA 7

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU NA VARIÁVEL “x” É UMAEXPRESSÃO MATEMÁTICA DE DESIGUALDADE ESCRITA

NAS SEGUINTES FORMAS REDUTÍVEIS:

ax² + bx + c > 0ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c >= 0ax² + bx + c <= 0

SENDO QUE: “a”, “b” E “c” PERTENCEM AO CONJUNTO DOSNÚMEROS REAIS E a ≠ 0.

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AULA 7

EXEMPLOS

5x² + 2x – 8 > 0

2x² - 3x – 9 < 0

x² + 4x + 9 >= 0

x² - 5x + 1/3 <= 0

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AULA 7

O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.

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AULA 7

NAS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax² + bx + c > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR

UM CONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEISVALORES QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEISQUE ESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA

NO PROBLEMA.

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AULA 7

AS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU SÃO RESOLVIDASUTILIZANDO O TEOREMA DE BÁSKARA.

O RESULTADO DEVE SER COMPARADO AO SINALDA INEQUAÇÃO, COM O OBJETIVO DE FORMULAR

O CONJUNTO SOLUÇÃO.

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AULA 7

EXEMPLOa > 0

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AULA 7

EXEMPLOa < 0

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 3x - 4 > 0.

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AULA 7

EXEMPLO

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AULA 7

EXEMPLO

Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 OU x > 4, e o conjunto solução da

inequação é S = {x Є R / x < -1 ou x > 4}

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO 3x² + 10x + 7 < 0.

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EXEMPLO

S = {x Є R / –7/3 < x < –1}

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -2x² - x + 1 <= 0.

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AULA 7

EXEMPLO

S = {x Є R / x <= -1 ou x >= 1/2}

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 4x >= 0.

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AULA 7

EXEMPLO

S = {x Є R / x <= 0 ou x >= 4}

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 6x + 9 > 0.

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AULA 7

EXEMPLO

S = {x Є R / x < 3 ou x > 3} OU

S = {x Є R / x <> 3}

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 4 >= 0.

x’ = 2x” = -2

S = {x Є R / -2 <= x <= 2}

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 5x - 6 >= 0.

x’ = 2x” = 3

S = {x Є R / 2 <= x <= 3}

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 4x - 4 >= 0.x’ = x” = 2

S = {x Є R / x = 2}

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AULA 7

EXEMPLO

A FUNÇÃO ANTERIOR E TODA NEGATIVA, EXCETONO PONTO x = 2, ONDE ELA É NULA.

COMO, NO EXEMPLO, QUEREMOS SABER ONDE AFUNÇÃO É POSITIVA OU NULA (>= 0), O ÚNICOPONTO QUE FAZ PARTE DA SOLUÇÃO É x = 2.

A SOLUÇÃO É S = {x Є R / x = 2}OU

S = {2}

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AULA 7

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 2x - 4 > 0.

A FUNÇÃO NÃO POSSUI RAÍZES REAIS. LOGO, ELA NÃOINTERCEPTA O EIXO DAS ABSCISSAS.

A CONCAVIDADE É PARA BAIXO, POIS A < 0.

COMO QUEREMOS SABER ONDE A FUNÇÃO É POSITIVA,O CONJUNTO SOLUÇÃO DA FUNÇÃO É VAZIO.

LOGO, S = Ø.

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AULA 7

EXEMPLO

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AULA 7

EQUAÇÃO LINEAR

É TODA EQUAÇÃO QUE POSSUI VARIÁVEIS E APRESEN-TADA NA SEGUINTE FORMA:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, EM QUE:

x1, x2, x3, ..., xn SÃO AS INCÓGNITAS;

a1, a2, a3, ..., an SÃO OS COEFICIENTES (REAIS OUCOMPLEXOS);

E b É O TERMO INDEPENDENTE REPRESENTADO PORUM NÚMERO REAL OU COMPLEXO.

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AULA 7

EXEMPLOS DE EQUAÇÕES LINEARES

x + y + z = 20

2x -3y + 5z = 6

4x + 5y -10z = -3

x – 4y – z = 0

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AULA 7

EXEMPLOS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

x2 + y2 = 9

x + 2y + 3z w = 0

x2 + y2 = -9

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AULA 7

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS (r1, r2, r3) ÉSOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LINEAR.

a1x1 + a2x2 + a3x3 = b1

SE TROCARMOS CADA xn POR rn NA EQUAÇÃO E ESTEFATO IMPLICAR QUE O MEMBRO DA ESQUERDA É

IDENTICAMENTE IGUAL AO MEMBRO DA DIREITA, ISTO É:

a1r1 + a2r2 + a3r3 = b1

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AULA 7

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

EXEMPLO

A SEQÜÊNCIA (5,6,7) É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO2x + 3y -2z = 14 POIS, TOMANDO x=5, y=6 E z=7 NA

EQUAÇÃO DADA, TEREMOS:

2.5 + 3.6 – 2.7 = 14

10 + 18 – 14 = 14

28 – 14 = 14

14 = 14

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AULA 7

SISTEMA LINEAR

UM SISTEMA LINEAR OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARESÉ UM CONJUNTO FORMADO POR DUAS OU MAIS EQUAÇÕESLINEARES. UM SISTEMA LINEAR PODE SER REPRESENTADO

NA FORMA:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2

... ... ... ... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm

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AULA 7

SISTEMA LINEAR

x1, x2, ..., xn SÃO AS INCÓGNITAS;

a11, a12, ..., amn SÃO OS COEFICIENTES;

b1, b2, ..., bm SÃO OS TERMOS INDEPENDENTES.

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AULA 7

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS (r1, r2, ..., rn) ÉSOLUÇÃO DA SISTEMA LINEAR.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

... ... ... ... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn

SE SATISFAZ IDENTICAMENTE A TODAS AS EQUAÇÕESDESSE SISTEMA LINEAR.

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AULA 7

EXEMPLO

O PAR ORDENADO (2,0) É UMA SOLUÇÃO DO SISTEMALINEAR:

2x + y = 4x + 3y = 2x + 5y = 2

POIS SATISFAZ IDENTICAMENTE A TODAS AS EQUAÇÕESDO MESMO, ISTO É, SE SUBSTITUIRMOS x = 2 E y = 0,

OS DOIS MEMBROS DE CADA IGUALDADE SERÃO IGUAISEM TODAS AS EQUAÇÕES.

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AULA 7

SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕESE DUAS VARIÁVEIS

x + y = 3x - y = 1

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AULA 7

SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕESE TRÊS VARIÁVEIS

2x + 5y - 6z = 24x - y + 10z = 30

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AULA 7

SISTEMA LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕESE TRÊS VARIÁVEIS

x + 10y - 12z = 1204x - 2y - 20z = 60-x + y + 5z = 10

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AULA 7

SISTEMA LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕESE QUATRO VARIÁVEIS

x - y - z + w = 102x + 3y + 5z – 2w = 21

4x - 2y - z + w = 16

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AULA 7

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

PODEMOS DIZER QUE UM SISTEMA DE EQUAÇÕESLINEARES COM “n” INCÓGNITAS, QUE PODEM SERCOLOCADAS COMO x1, x2, x3, x4 ..., ADMITE COMO

SUA SOLUÇÃO UMA SEQÜÊNCIA EM ORDEM DEFINIDACOMO r1, r2, r3, r4, ... SE E SOMENTE NESTA CONDIÇÃO,

SUBSTITUINDO x1 = r1, x2 = r2, x3 = r3, x4 = r4, xn = rn,E EM TODAS AS EQUAÇÕES DO SISTEMA INFORMADO,

ELAS SE TORNAREM TODAS VERDADEIRAS.

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AULA 7

x + y = 12x – y = 4

TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (8,4), POIS SESUBSTITUIRMOS x = 8 E y = 4 EM CADA EQUAÇÃO

DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:

(8) + (4) = 12 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

(8) – (4) = 4 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

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AULA 7

x + y = 16x – y = 2

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AULA 7

x + y = 42x – y = 8

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AULA 7

OBSERVAÇÃO

UM SISTEMA LINEAR PODE TER MAIS DE UMA SOLUÇÃOOU MESMO PODE NÃO POSSUIR NENHUMA SOLUÇÃO.

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AULA 7

TIPOS DE SISTEMA LINEAR

SISTEMA POSSÍVEL OU CONSISTENTE:

• UMA ÚNICA SOLUÇÃO, O SISTEMA É DETERMINADO;

• MAIS DE UMA SOLUÇÃO, O SISTEMA É INDETERMINADO.

SISTEMA IMPOSSÍVEL OU INCONSISTENTE:

• SISTEMA QUE NÃO ADMITE QUALQUER SOLUÇÃO.

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AULA 7

SISTEMA COM UMA ÚNICA SOLUÇÃO

AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS NO PLANO CARTESIANO QUE TÊM O PONTO (3,-2)

COMO INTERSEÇÃO.

x + 2y = -12x – y = 8

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AULA 7

SISTEMA COM INFINITAS SOLUÇÕES

AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS PARALELAS SOBREPOSTAS NO PLANO CARTESIANO,

LOGO EXISTEM INFINITOS PONTOS QUE SATISFAZEM AAMBAS AS EQUAÇÕES (PERTENCEM A AMBAS AS RETAS).

4x + 2y = 1008x + 4y = 200

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AULA 7

SISTEMA QUE NÃO TEM SOLUÇÃO

AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS PARALELAS NO PLANO CARTESIANO, LOGO,

NÃO EXISTEM PONTOS QUE PERTENÇAM ÀS DUAS RETAS.

x + 3y = 4x + 3y = 5

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AULA 7

SISTEMAS EQUIVALENTES

DOIS SISTEMAS SÃO EQUIVALENTES SE ADMITEM AMESMA SOLUÇÃO.

SÃO EQUIVALENTES OS SISTEMAS “S1” E “S2”INDICADOS ABAIXO:

S1 3x + 6y = 422x - 4y = 12

S21x + 2y = 141x - 2y = 6

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AULA 7

SISTEMAS EQUIVALENTES

POIS ELES ADMITEM A MESMA SOLUÇÃOx = 10 E y = 2.

NOTAÇÃO

QUANDO DOIS SISTEMAS S1 E S2SÃO EQUIVALENTES, USAMOS A NOTAÇÃO

S1~S2.

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AULA 7

PROPRIEDADE DE UM SISTEMA LINEAR

UM SISTEMA LINEAR CHAMADO DE HOMOGÊNEOTEM SEMPLO PELO MENOS UMA SOLUÇÃO, POIS:

x1 = 0x2 = 0x3 = Oxn = 0

SEMPRE TERÁ TODAS AS SENTENÇAS DO SISTEMAVERDADEIRAS.

A SOLUÇÃO (0,0,0,0,...,0) É CHAMADA DE SOLUÇÃO TRIVIAL.

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