Alysson M. Costa – ICMC/USP

Tópicos em otimização combinatória

Introdução

Alysson M. Costa – ICMC/USP

4 mar 2009 . 11:37

Otimização combinatória

Otimização:

De maneira informal: é a busca da melhor solução para um problema.

Esta busca pode ser exata ou heurística.

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Otimização combinatória

Combinatória:

De maneira informal: combinatória é o ramo da matemática que estuda estruturas discretas finitas ou contáveis.

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Exemplo

Problema do caixeiro viajante

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Caixeiro viajante

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Um problema fácil

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The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook

Um problema fácil

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The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook

Um problema nem tão fácil

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Caixeiro viajante (estética!)

The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook

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Polivanova, N. I.Functional and structural aspects of the visual components of intuition in problem solvingVoprosy Psikhologii, 1974, 4, 41-51

- problemas representados geometricamente £ problemas onde as distâncias são dadas para cada par de cidades.

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Vickers, D.; Butavicius, M.; Lee, M. & Medvedev, A.Human performance on visually presented Traveling Salesman problemsPsychological Research, 2001, 65, 34-45

Otimização x Estética

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Ormerod, T. C. & Chronicle, E. P.Global perceptual processes in problem solving: The case of the traveling salesperson.Perception & Psychophysics, 1999, 61, 1227-1238

Associar escala (1-melhor; 5-pior) a estética de soluções do TSP

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http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/projects/tsp/

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The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook

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The Travelling Salesman Problem: a computational study. Applegate, Bixby, Chvátal and Cook

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Caixeiro viajante (história)

Schrijver, A.Aardal, K.; Nemhauser, G. L. & Weismantel, R. (ed.)On the history of combinatorial optimization (till 1960),Handbooks in Operations Research and Management - Discrete Optimization, 2005, 12, 1–68.

David Applegate, Robert Bixby,Vašek Chvátal & William Cook.The Traveling Salesman Problem: A Computational Study Princeton Series in Applied Mathematics, February 2007. http://www.tsp.gatech.edu/

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Caixeiro viajante (história)

Século XIX

Sir William Rowan Hamilton (matemático irlandês)

Thomas Penyngton (matemático britânico)

Hamilton Icosian game

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Caixeiro viajante (história) - cavaleiros...

O passeio do cavalo (the Knight's tour)Leonhard Paul Euler (1707-1783)

Knight's tour

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Caixeiro viajante (história) - cavaleiros...

Euller

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Caixeiro viajante (história) - cavaleiros...

Exercício: como transformar no TSP ?

?

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Caixeiro viajante (história)

Século XIX - Um manual de 1832

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Século XIX - Um manual de 1832

Business leads the traveling salesman here and there, and there is not a good tour for all occurring cases; but through an expedient choice division of the tour so much time can be won that we feel compelled to give guidelines about this.

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Século XIX - Um manual de 1832

Everyone should use as much of the advice as he thinks useful for his application. We believe we can ensure as much that it will not be possible to plan the tours through Germany in consideration of the distances and the traveling back and fourth, which deserves the traveler’s special attention, with more economy. The main thing to remember is always to visit as many localities as possible without having to touch them twice.

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Solução viável

O que é uma solução viável para o problema ?

Respeita todas as restrições:= O caminho se inicia e termina em um nó= Cada nó é visitado uma única vez= Não existem subciclos

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Solução viável

Note que podemos enumerar as soluções viáveis para o problema do caixeiro viajante:

O primeiro nó pode ser tomado arbitrariamente. Temos as soluções viáveis:

123456123465123645...

Quantas são ?(n-1)! = 5! = 120

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Cidades Número de soluções6 7207 50408 403209 36288010 3628800...30 2.6525286 × 1032

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Mas...

... não existem outras técnicas melhores que enumeração explícita ?

Sim, existem. Mas nenhuma técnica conhecida que resolva eficientemente problemas como o caixeiro viajante.

Por isso, recorremos a estratégias heurísticas, que não garantem a otimalidade mas costumam obter soluções de boa qualidade.

Neste curso, tentaremos entender que problemas têm (e os que não têm) esta característica de serem difíceis, e estudar heurísticas de diversos tipos para sua resolução aproximada.

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Esboço do curso

Noções de complexidade Análise da qualidade de heurísticas Heurísticas simples (construtivas) Busca Local Meta-heurísticas

GRASP Simulated Annealing Busca Tabu Algoritmos evolutivos ...

Math-heuristics