Alysson M. Costa – ICMC/USP

Tópicos em otimização combinatória

Heurísticas construtivasAnálise de qualidade: análise de pior caso

Aula baseada em material da Professora Vitória Pureza – UFSCAR eno artigo Fisher, M. L. (1980). Worst-Case Analysis of Heuristic Algorithms. Management Science, 26(1), 1-17. doi: 10.1287/mnsc.26.1.1.

Alysson M. Costa – ICMC/USP

Avaliando heurísticas

4 mar 2009 . 11:37

Slide baseado em material da professora Vitória Pureza - UFSCAR

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Avaliando heurísticas

4 mar 2009 . 11:37

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Avaliando heurísticas

4 mar 2009 . 11:37

Slide baseado em material da professora Vitória Pureza - UFSCAR

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Nas palavras de Fisher

4 mar 2009 . 11:37

Fisher, M. L. (1980). Worst-Case Analysis of Heuristic Algorithms. Management Science, 26(1), 1-17. doi: 10.1287/mnsc.26.1.1.

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Análise de pior caso

Retomemos o exemplo da mochila. Na notação de Fisher:

4 mar 2009 . 11:37

Fisher, M. L. (1980). Worst-Case Analysis of Heuristic Algorithms. Management Science, 26(1), 1-17. doi: 10.1287/mnsc.26.1.1.

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Heurística construtiva

Heurística vista anteriormente (Na notação de Fisher). Suponha os itens já ordenados.

4 mar 2009 . 11:37

Fisher, M. L. (1980). Worst-Case Analysis of Heuristic Algorithms. Management Science, 26(1), 1-17. doi: 10.1287/mnsc.26.1.1.

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O que podemos dizer sobre a heurística? A pergunta que se faz é: podemos ter alguma

garantia matemática da qualidade da solução obtida com este procedimento ?

Em termos de pior caso: no pior dos casos, qual será a relação entre a solução ótima e a solução obtida com a heurística ?

4 mar 2009 . 11:37

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Notação

PI é o conjunto de todas as instâncias. I 2 P é uma instância do conjunto. Para o

problema da mochila, uma instância é definida por uma tupla 2n+1 de inteiros positivos: p1, p2,..., pn, a1, a2,..., an,b, que satisfazem aj · b, para todo j.

Z(I) é o valor ótimo do problema para a instância I.

Zh(I) é o valor obtido pela heurística para a instância I.

4 mar 2009 . 11:37

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Análise de pior caso

Análises de pior caso estabelecem um limite para quão distante Zh(I) pode estar de Z(I). Por exemplo, para problemas de minimização:

Onde r ¸ 1 é chamado de razão de performance de pior caso (worst-case performance ratio).

E para problemas de maximização ?

4 mar 2009 . 11:37

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Voltando ao exemplo

Podemos dizer algo sobre a heurística apresentada para o problema da mochila ?

4 mar 2009 . 11:37

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Voltando ao exemplo (mochila inteira) Sabemos que a solução da heurística é melhor do

que a solução obtida apenas com o item 1:

Por outro lado, sabemos que a solução ótima não é pior do que a relaxação linear do problema.

4 mar 2009 . 11:37

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Voltando ao exemplo

Logo:

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O limitante é apertado

Ou seja, existe um caso em que o limitante realmente é ½ ou se aproxima de ½ ?

Sim. Fisher:

4 mar 2009 . 11:37

ZG no artigo de Fisher é o nosso Zh

Fisher, M. L. (1980). Worst-Case Analysis of Heuristic Algorithms. Management Science, 26(1), 1-17. doi: 10.1287/mnsc.26.1.1.

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E para a mochila 0-1 ?

4 mar 2009 . 11:37

Fisher, M. L. (1980). Worst-Case Analysis of Heuristic Algorithms. Management Science, 26(1), 1-17. doi: 10.1287/mnsc.26.1.1.