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PRODUTO EDUCACIONAL

A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE

GEOGEBRA COMO FERRAMENTA

DIDÁTICA NA APRENDIZAGEM

DE FUNÇÕES QUADRÁTICA

JOSÉ WILLIAM SOARES DA SILVA

ORIENTADORA: Profª Dra. ROSINÉTE GAERTNER

BLUMENAU

2017

UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU

Centro de Ciências Exatas e Naturais (CCEN)

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências

Naturais e Matemática (PPGECIM)

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE

CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

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SUMÁRIO

1 APRESENTAÇÃO..................................................................................................................... 3

2 REFERENCIAL TEÓRICO.................................................................................................... 4

2.1 ASPECTOS DA TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA............................. 4

2.2 CONDIÇÕES PARA A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA........................................ 6

2.3 TIPOS DE APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA.............................................................. 7

3 SEQUÊNCIA DIDÁTICA........................................................................................................ 9

4 ATIVIDADES.......................................................................................................................... 11

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................................. 39

REFERÊNCIAS.......................................................................................................................... 40







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1. APRESENTAÇÃO

Caro professor!

Este caderno didático apresenta um roteiro para construção de um projeto sobre o tema “A

utilização do software GeoGebra como ferramenta didática na aprendizagem de funções

quadráticas”, a ser aplicado na 1ª série do Ensino Médio, utilizando como base teórica a Teoria da

Aprendizagem Significativa de Ausubel e seus colaboradores.

Esta proposta foi preparada com o objetivo de auxiliá-lo no planejamento de algumas aulas,

levando em consideração aspectos importantes da relação de ensino e de aprendizagem entre o

professor e o aluno.

O caderno descreve como elas devem ser construídas no contexto escolar. Toda a sequência

foi baseada com foco na disciplina de Matemática, não nos detendo a explicar detalhadamente de

que forma as outras áreas do conhecimento podem auxiliar no projeto.

Este caderno didático visa construir com os alunos conceitos relativos à função quadrática

com o auxílio do software GeoGebra, destacando-se a importância de aulas práticas, onde o aluno

é capaz de visualizar a situação gráfica e entender o significado desses conceitos. Para isso, é

necessário que nós, professores, estejamos abertos a buscar alternativas de tornar nossas aulas mais

atrativas e significativas para os alunos.

Estruturamos a proposta de forma que o professor num primeiro momento possa

através do Pré-Teste, verificar quais os conhecimentos prévios que os alunos possuem sobre o

tema a ser estudado. Em seguida, trouxemos atividades práticas para que auxiliem os alunos na

melhoria dos conceitos já incorporados sobre o tema e ainda outros que possam ser então

construídos.

Abordamos também duas atividades relativas a paisagens observadas no cotidiano que

podem ser representadas através de uma função quadrática. Nas imagens, retratadas por meio de

fotografias, foram feitas as construções das funções por meio do software GeoGebra.

Para avaliar se houve ou não a construção do conhecimento, fica também a sugestão da

aplicação do Pós-Teste. Ele tem as mesmas questões do pré-teste, pois, será através delas que você

deverá verificar como se deu a construção dos conceitos.

Nesta proposta trabalhamos principalmente os conceitos da definição da função quadrática,

os coeficientes, concavidade da parábola, relação entre o coeficiente “a” e a concavidade da

parábola, intersecção da parábola, vértices, ponto de máximo e ponto de mínimo e esboçar o

gráfico da função quadrática.

Esperamos professor que esta proposta contribua para o seu trabalho em sala de

aula, fazendo com que os conteúdos trabalhados sejam atrativos e significativos aos alunos.

Lembramos que as atividades definidas aqui foram aplicadas em sala e deram um bom resultado e

também é importante ressaltar que são sugestões, podendo ser alteradas por você de

acordo com o perfil de sua turma.







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2. REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 ASPECTOS DA TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA

Vivemos em mundo em que ocorrem constantes mudanças. Muitas dessas no meio

científico e tecnológico e, como consequência, desencadeiam transformações em todas as áreas do

conhecimento. Para o professor que vive no meio de todas essas mudanças, o processo de ensino e

aprendizagem fica ainda mais desafiador.

Existem diversas teorias da aprendizagem, mas a que iremos abordar nesta pesquisa será a

Teoria da Aprendizagem Significativa.

A Teoria da Aprendizagem Significativa foi formulada inicialmente pelo psicólogo

americano David Paul Ausubel, que a idealizou durante a década de 60 em sua obra “Psicologia

Educacional”. Ausubel (1918-2008) graduou-se em Psicologia e Medicina, e doutorou-se em

Psicologia do Desenvolvimento, na Universidade de Columbia (MOREIRA, 2011, p.14). No ano

1980 recebeu colaborações de Joseph Donald Novak e Heken Hanesian.

A Teoria da Aprendizagem Significativa é

Um processo pelo qual uma nova informação irá interagir com conhecimentos e

ideias que o aprendiz já possui, fazendo com que ele relacione esse novo aspecto

do conhecimento de maneira relevante. O conjunto de conhecimentos e ideias

existentes na mente do indivíduo é definida como estrutura cognitiva. Ou seja,

neste processo a nova informação interage com uma estrutura de conhecimento

específica, a qual Ausubel define como conceitos subsunçores ou, simplesmente,

subsunçores (subsumers), existentes na estrutura cognitiva do indivíduo

(MOREIRA; MASINI, 2001, p. 7).

Para os autores, o fator mais importante que influencia na aprendizagem é o

conhecimento prévio do aluno, ou seja, aquilo que ele já sabe (MOREIRA, 2006). Nesse processo

de aprendizagem o novo conhecimento se relaciona com tudo aquilo que está na estrutura

cognitiva do aluno. Ausubel define esses conhecimentos prévios como “subsunçores”, que







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servem de suporte para as novas informações, se relacionando com tudo conhecimento que o aluno

já possui. Segundo Ausubel (1973, p. 25), “subsunçor é uma estrutura específica na qual uma nova

informação pode se agregar ao cérebro humano, que é altamente organizado e detentor de uma

hierarquia conceitual, que armazena experiências prévias do sujeito”.

De acordo com Ausubel, a aprendizagem significativa só ocorre quando existir aspectos

relevantes na estrutura cognitiva do aluno em relação ao novo conhecimento e que toda essa

aprendizagem aconteça de tal forma que permita ao aluno utilizar os conhecimentos adquiridos em

novas formas, ao invés de apenas reproduzi-las.

Outro conceito muito importante da teoria de Ausubel é a de que o armazenamento de

novas informações no individuo ocorre de forma hierárquica, ou seja, inicialmente adquirimos

conceitos mais inclusivos e, conforme conceitos novos e mais específicos vão sendo adquiridos,

estes são interligados ao conceito mais geral. Essa é uma das maneiras que Ausubel propõe que

ocorre a aprendizagem significativa. O autor ainda continua dizendo que esse novo conceito será

aprendido significativamente, quando puder ser apresentado de diversas maneiras. Em contra

partida à aprendizagem significativa, existe a aprendizagem repetitiva, chamada de Aprendizagem

Mecânica. Esta aprendizagem é definida por Ausubel (1973, p. 23) como “aquela que encontra

pouca ou nenhuma informação prévia na estrutura cognitiva dos estudantes, com a qual se possa

relacionar, não promovendo a interação entre o que já está armazenado e as novas informações”.

Moreira (1999, p. 154) explica que a aprendizagem se torna mecânica quando produz uma

menor aquisição e atribuição de significado, passando a nova informação a ser armazenada

isoladamente ou por meio de associações arbitrárias na estrutura cognitiva do estudante. De forma

clara, Moreira define Aprendizagem Mecânica como:

[...] o modelo clássico em que o professor expõe (no quadro-de-giz ou com slides

PowerPoint), o aluno copia (ou recebe eletronicamente os slides), memoriza na

véspera das provas, nelas reproduz conhecimentos memorizados sem significado,

ou os aplica mecanicamente a situações conhecidas, e os esquece rapidamente.

Esse modelo continua predominando na escola, aceito sem questionamento por

professores, pais e alunos, fomentado pelos exames de ingresso às universidades e

exaltado pelos cursinhos preparatórios. Uma enorme perda de tempo. Os alunos

passam anos de sua vida estudando, segundo esse modelo, informações que serão

esquecidas rapidamente (MOREIRA, 2012 p. 67).

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2.2 CONDIÇÕES PARA A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA

Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 34) explicam que “a aprendizagem significativa

envolve a aquisição de novos significados e os novos significados, por sua vez, são produtos da

aprendizagem significativa”. No entanto para que ocorra a aprendizagem significativa, Ausubel e

seus colaboradores definem algumas condições que devem ser satisfeitas. Moreira (2011) aponta

duas dessas condições como essenciais:

a) Predisposição do aluno para aprender: A motivação para a aprendizagem é

proporcionada tanto pelo aluno, quanto pelo professor. Moreira (2010) destaca que muitos

estudantes exercem uma indisposição para a aprendizagem.

Para aprender significativamente o aprendiz tem que querer aprender, o que

é natural, pois ninguém vai aprender qualquer conhecimento se não quiser

aprendê-lo. Mas, uma vez iniciada, a aprendizagem significativa gera mais

pré-disposição para novas aprendizagens significativas. Qualquer professor

experiente sabe disso. Sabe também que a aprendizagem mecânica acaba por

gerar uma aversão a certas matérias de ensino, como é, por exemplo, o caso

da Física. (MOREIRA, 2010, p. 77)

Ausubel (1980) destaca que uma das razões para que muitos estudantes apresentem essa

predisposição surge a partir de experiências mal sucedidas, tais como problemas com seus

professores e fracassos vivenciados em sala de aula.

“Uma das razões pelas quais os estudantes desenvolvem comumente uma

disposição para a aprendizagem automática em relação a uma disciplina

potencialmente significativa, surge a partir da seguinte experiência mal sucedida:

respostas substantivamente corretas, mas carentes de uma correspondência literal

com aquelas em lhes foram ensinadas. Outra razão é que, devido ao alto nível de

ansiedade ou devido a uma experiência crônica de fracasso numa determinada

disciplina” (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 36).

Essa motivação por parte do aluno é gerada quando o professor estimula a curiosidade,

apresentando matérias diversificadas e apropriadas, relacionando a explicação com o cotidiano de

aluno.

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b) O conteúdo escolar a ser aprendido deve ser potencialmente significativo: O conteúdo

escolar para ser potencialmente significativo tem que ter sentido lógico, pois o aluno filtra

aquilo que tem importância ou não para si. Moreira e Massini (2001) afirmam que este

conteúdo deve se relacionar de maneira não-arbitrária e não-literal a uma estrutura

cognitiva com ideias correspondentemente relevantes na mente do aluno.

O professor deve estar preparado para identificar todos os conhecimentos adquiridos pelos

alunos em seu cotidiano e perceber que são esses conhecimentos que os alunos carregam pra

dentro da sala de aula. Através da descoberta destes subsunçores o professor pode tornar a

aprendizagem significativa. Quando isso não ocorre, muitos alunos recorrem á aprendizagem

mecânica. Ausubel, Novak e Hanesian (1980), destacam que a motivação para a aprendizagem é

tanto um efeito quanto a causa. Logicamente, desenvolver ou preparar conteúdos potencialmente

significativos nem sempre é uma tarefa fácil, pois esse material deve fornecer informações

relevantes ao aprendiz de forma não arbitrária, devendo estes matérias estar em seu domínio de

aprendizado, e o aprendiz deve ser capaz de relacioná-las com os conceitos já

existentes em sua estrutura cognitiva (MOREIRA, 2006).

2.3 TIPOS DE APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA

A Teoria de Ausubel apresenta três tipos de aprendizagens significativas: aprendizagem

representacional (de representações), aprendizagem conceitual (de conceitos) e proposicional (de

proposições).

Considerada o tipo mais básico e fundamental para a aprendizagem significativa, a

Aprendizagem Representacional se refere aos significados dos símbolos e “ocorre quando

símbolos arbitrários passam a representar, em significado, determinados objetos ou eventos em

uma relação unívoca, quer dizer, o símbolo significa apenas o referente que representa”

(MOREIRA 2011, p. 38).

De acordo com Ausubel e seus colaboradores (1980), esse tipo de aprendizagem ocorre

próximo ao fim do primeiro ano de vida da criança, quando ela compreende que é possível usar

símbolos para representar qualquer significado.

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Por exemplo, uma criança que conhece pela primeira vez um animal, ela busca por algo que

o represente, ou seja, que dê significado aquela imagem. Assim para uma criança aprender a

palavra “leão” resulta primeiramente no som que ele produz, relacionando-o o próprio animal. Ela

relacionará de maneira não arbitrária e substantiva esta proposição ao objeto relevante de sua

estrutura cognitiva.

Moreira (2011) define a Aprendizagem Conceitual quando o sujeito passa a não depender

de um referencial para dar significado ao símbolo, ela observa as regularidades nos eventos e

objetos. Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 47) definem “conceito como objetos, eventos,

situações ou propriedades que possuam atributos essenciais comuns que são designados por algum

signo ou símbolo”.

Na Aprendizagem por Proposição supõe-se que o sujeito já possua em sua estrutura

cognitiva conceitos que deem sentido as proposições. Conforme Moreira (2011) esta aprendizagem

não consiste em aprender proposições ou conceitos, pois, “as aprendizagens representacional e

conceitual são pré-requisito para a proposicional”.

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3. SEQUÊNCIA DIDÁTICA

A proposta aqui apresentada, que tem como princípio, uma sequência didática, visa

explorar aquilo que o aluno já sabe e ainda, utilizar estes conhecimentos para a relação com novos

conceitos a serem apresentados sobre funções quadráticas.

A preparação das aulas foi divida em 10 atividades. Cada atividade foi planejada

de acordo com os conceitos a serem trabalhados naquele momento. A Atividade 1 faz

referência ao Pré-Teste, buscando saber quais os conhecimentos que os alunos já possuem

sobre o tema a ser estudado. Nesta atividade é feita a apresentação do software GeoGebra aos alunos,

bem como a utilização de algumas de suas principais funções.

A Atividade 2 consiste na apresentação da área gráfica na tela inicial, a caixa de

ferramentas com diversas funções e uma caixa algébrica, onde fica visível todo objeto matemático

que foi inserido na janela gráfica.

A Atividade 3 visa fazer com que o aluno use a barra de entrada de comandos, digitando a

lei de formação da função desejada descrevendo as principais características da função quadrática,

gráficos, pontos e coordenadas. A Atividade 4 faz com que o aluno analise o que acontece com a

concavidade da parábola quando se altera o sinal do coeficiente “a” de uma função quadrática e

também a relação existente entre este coeficiente e a concavidade da parábola.

Na Atividade 5 o aluno encontrará o valor do discriminante e a quantidade de raízes que

cada função apresenta, determinando a relação que existe entre eles.

A Atividade 6 prêve a aplicação de conceitos de “ponto” “interseção de dois objetos”,

“mediatriz”, levando o aluno a observar que o ponto de máximo ou de mínimo depende do valor

do coeficiente “a”.

Na Atividade 7 há a aplicação de todos os conhecimentos que foram estudados nas

atividades anteriores. Nela o aluno irá analisar os coeficientes, visualizar através de uma situação

problema os gráficos, as raízes e o termo independente da função, determinar as coordenadas do







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vértice, analisar também as condições existentes para que uma função tenha ponto de máximo e de

mínimo.

As atividades 8 e 9 abordam atividades relativas a paisagens observadas no cotidiano que

podem ser representadas através de uma função quadrática. Nestas imagens, retratadas por meio de

fotografias, são feitas as construções de suas funções por meio do software GeoGebra.

E por fim, na atividade 10 o Pós-Teste, que são as mesmas questões do Pré-Teste, agora

para avaliar qual a evolução conceitual dos estudantes.

Portanto, são dez atividades distribuídas entre verificação dos conhecimentos e estratégias

de ensino que deverão ser utilizadas para ampliar os conhecimentos dos alunos e finaliza com uma

atividade que visa então a avaliação de como estes conhecimentos foram incorporados à estrutura

cognitiva dos alunos.

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4. ATIVIDADES

ATIVIDADE 1 - PRÉ-TESTE

Responder as questões individualmente:

1 – Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função

quadrática e escreva os valores de seus coeficientes.

a) ( ) f (x) = x + 4 b)( ) f (x) = log4 𝑥

c) ( ) f (x) = 𝑥² + 5𝑥 − 2 d) ( ) 𝑓(𝑥) = sen x

2 – Observe as seguintes funções quadráticas, escreva os seus coeficientes e se o gráfico possui

concavidade voltada para cima ou para baixo:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 − 3

b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥² + 5𝑥 − 1

c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 8𝑥 + 5

d) 𝑓(𝑥) = −5𝑥2 + 5𝑥 + 10

OBJETIVO: Identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre conceitos relativos

à função quadrática.

TEMPO ESTIMADO:

1h/ aula – 45 minutos

CONCEITOS ENVOLVIDOS:

Definição da função quadrática;

Coeficientes;

Concavidade da parábola;

Relação entre o coeficiente a e a concavidade da parábola;

Intercessão da parábola;

Vértices;

Ponto de máximo e ponto de mínimo;

Esboçar o gráfico da função quadrática.







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3 – Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1. Essa função possui concavidade voltada

para cima ou para baixo?

x y

- 2

- 1

0

1

2

4 – Encontre os zeros da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 7𝑥 + 6.

5 – Calcule o discriminante (delta Δ) da função: 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3.

6 – O que ocorre com a interseção da parábola em relação ao eixo X (abscissas) quando:

a) Δ ˃ 0 _________________________________________________________

b) Δ ˂ 0 _________________________________________________________

c) Δ = 0 _________________________________________________________

7 – Em cada gráfico da função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² − 𝑏𝑥 + 𝑐, com Δ = b² − 4ac. Descubra se a ˃

0 ou a ˂ 0 e se Δ ˃ 0, Δ ˂ 0 ou Δ = 0 .







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8 Nas funções quadráticas abaixo, encontre os coeficientes e o vértices:

Função Quadrática Coeficientes 𝚫 = 𝐛² − 𝟒𝐚𝐜 xv = − 𝒃

𝟐𝒂 yv =

− 𝚫

𝟒𝒂

𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =

𝑓(𝑥) = 𝑥² + 4𝑥 − 5 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =

𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =

𝑓(𝑥) = 3𝑥² − 9 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =

9 – A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em

metros, t segundos após o chute, seja dada por ℎ(𝑡) = − 𝑡2 + 6𝑡, determine:

a) em que instante a bola atinge a altura máxima;

b) a altura máxima atingida pela bola.

As questões do Pré-Teste respondidas pelos alunos deverão ser recolhidas ao final da aula,

para serem analisadas pelo professor a fim de que se possa dar encaminhamentos para o

procedimento das atividades com o software GeoGebra.

ANOTAÇÕES

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PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR

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ATIVIDADES 2 e 3

2.1 CONHECENDO E EXPLORANDO O GEOGEBRA

O GeoGebra é um software livre, disponível para download no endereço:

http://www.geogebra.org/cms/pt_BR, de fácil manipulação, que possibilita integrar geometria,

álgebra e cálculo, conforme Camargo (2009). Dessa forma é possível explorar nesse programa, a

matemática e relacionar os conceitos envolvidos através dos recursos de visualização e

movimentação que estão disponíveis.

Com ele podemos construir e identificar diversos entes matemáticos. No decorrer das

atividades desse trabalho, serão abordadas as principais funções do Software GeoGebra,

relacionadas ao estudo de funções, principalmente às funções quadráticas. Conhecendo o

GeoGebra A tela inicial apresenta a área gráfica, onde aparecem os entes matemáticos, conforme

os comandos que o usuário fornece ao programa. Além disso, ela traz uma caixa de ferramentas

OBETIVO: Conhecer o software GeoGebra e sua sintaxe, bem como utilizar algumas de

suas funções;

Construir gráficos de funções do 2° graus;

Identificar as principais características da função quadrática, gráficos, pontos e coordenadas.

Identificar a relação existente entre o valor do discriminante e a intersecção da parábola com

o eixo das abscissas;

Perceber, através dos desenhos gráficos no software GeoGebra, a relação entre o valor de

máximo e o valor de mínimo, quando o coeficiente a for maior ou menos que zero.

TEMPO ESTIMADO: 2h/ aulas – 1h30


Conceitos da função quadrática;

Comandos do software GeoGebra;

Coeficientes de uma função quadrática;

Concavidade de uma função quadrática;

Relação entre o coeficiente “a” e a concavidade da função quadrática.







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com diversas funções em cada um dos botões apresentados, bem como apresenta uma caixa

algébrica, a qual deixa visível todo objeto matemático que foi inserido na janela gráfica, com suas

respectivas coordenadas e seus valores. Observe a página inicial do GeoGebra com destaque para

as janelas algébrica e gráfica, a barra de ferramentas e a barra de entrada de comandos.

Figura 1: Tela Inicial do Geogebra 5.0

Agora, vamos conhecer, na prática, algumas opções da barra de ferramentas. Para isso

observe a numeração indicada para cada botão na para facilitar a referência a cada ferramenta.

Figura 2 – Relembrando a barra de Ferramentas do GeoGebra com botões numerados.

2.2 ATIVIDADE 2: Marcando pontos no GeoGebra

Para trabalhar com funções, especialmente, em nosso caso, de 2° grau, é necessário saber

como marcar pontos pertencentes ou não ao gráfico de cada função, utilizando os comandos do

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software GeoGebra. Para isso, abra uma nova janela do programa (Arquivo – Nova Janela) e siga

as orientações fornecidas abaixo.

1ª Opção: Inserindo pontos diretamente na janela gráfica.

a) Clique no botão 2 e selecione “ponto”. Clique, na janela de visualização, no local do ponto que

deseja inserir. Observe que na janela de álgebra aparece na aba de o ponto A e suas coordenadas;

b) Repita o procedimento anterior e marque um ponto B qualquer e observe as suas coordenadas.

2ª Opção: Inserindo o ponto desejado na barra de entrada de comandos.

a) Clique na barra de entrada de comando e digite C = (3,5). Esse ponto será marcado na janela

gráfica e suas coordenadas aparecem na janela de álgebra;

b) Repita o procedimento anterior e marque outros dois pontos D e E.

3.1 ATIVIDADE 3: Funções e gráficos no GeoGebra

Para inserir funções no GeoGebra, você deverá usar a barra de entrada de comandos,

digitando a lei de formação da função desejada. As atividades seguintes exploram as diferentes

formas de inserir comandos adequados no software a fim de traçar os respectivos gráficos de

funções de 2° grau, inclusive para interpretar resultados importantes sobre o comportamento de

cada uma das funções.

Para ilustrar esses procedimentos, apresentaremos uma sequência de orientações a fim de

construir os gráficos de funções, como, por exemplo:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑒 𝑎 ≠ 0

3.1.1 ATIVIDADE 3 : Gerando gráficos de funções de 2° grau

a) Insira a função 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝟒𝒙 + 𝟑 utilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 + 𝟒 ∗ 𝒙 + 𝟑

na Barra de Entrada e pressione ENTER;

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b) Clique com o botão direito do tablet sobre o gráfico da função, selecione Propriedades e

explore (cor, estilo, espessura da linha, etc.);

c) Observe que a lei de formação da função aparece na janela de álgebra;

d) Observe a concavidade da parábola na janela de visualização;

e) mude o sinal do coeficiente “a”, e observe se altera a concavidade da parábola na janela de

visualização.

OBS: Utilize sempre a opção “mover janela de visualização” na janela 2 para melhor visualizar a

parábola.

ANOTAÇÕES

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_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

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____________________________________________________________________

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ATIVIDADE 4

4.1 GERANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE 2° GRAU

Em uma nova janela (Arquivo, Nova Janela) do GeoGebra:

a) Insira a função f(x) = x² - 5x + 6 utilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 − 𝟓 ∗ 𝒙 + 𝟔

na Barra de Entrada e pressione ENTER;

b) Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico da função, selecione Propriedades e

explore (cor, estilo, espessura da linha, etc.).

c) Observe que a lei de formação da função aparece na janela algébrica.

d) Em uma nova janela (Arquivo, Nova Janela) do GeoGebra insira

𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 utilizando a sintaxe 𝒈(𝒙) = 𝒙^𝟐 + 𝟓 ∗ 𝒙 − 𝟔;


parábola.







OBETIVO: Analisar o que acontece com a concavidade da parábola quando alteramos o

sinal do coeficiente “a” de uma função quadrática.

TEMPO ESTIMADO: 1 aula – 45min


Coeficientes;

Lei de formação da função;

Interseção com o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;

Concavidade da parábola.

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Você pode também inserir em uma nova janela do GeoGebra, parâmetros para os

coeficientes a, b e c, e verificar o que acontece com a função f(x) = ax² - bx + c na medida em que

os valores de a, b e c são alterados.

ATIVIDADE - Responder as questões de modo individual:

1 – Complete a tabela abaixo para realizar uma análise do gráfico da função de 2° grau definida

por f(x) = ax² - 5x + 6, e responda conforme os parâmetros “a” indicado:

a Lei da função Intersecção com o

eixo 0X

Intersecção com o

eixo 0Y

Função Côncava para

baixo ou para cima.

1

3

0

-1

-5

2 – Com base no que você já estudou e no que viu no GeoGebra explique: como identificar se uma

função quadrática é côncava para cima ou para baixo?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

CONCLUSÕES

(Completar com POSITIVO ou NEGATIVO):

Se o sinal do coeficiente a da lei da função do 2º grau for ______________ o gráfico da

função é uma parábola com concavidade voltada para cima.

Se o sinal do coeficiente a da lei da função do 2º grau for ______________ o gráfico da

função é uma parábola com concavidade voltada para baixo.

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Os exercícios da Atividade 4 respondidas pelos alunos deverão ser recolhidas ao final da

aula, para serem analisadas pelo professor.

ANOTAÇÕES

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

____________________________________________________________________

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ATIVIDADE 5

5.1 QUANTIDADE DE RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA


a) Insira a função f(x) = x² - 5x + 6utilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 − 𝟓 ∗ 𝒙 + 𝟔 na Barra de

Entrada e pressione ENTER;

b) Na Barra de Entrada digite os valores dos coeficientes a, b, c (ex: a = 1, b = -5, c = 6),

pressionando ENTER em cada um dos coeficientes;







OBJETIVO: Perceber a relação entre o valor do discriminante e a interseção da parábola

com o eixo das abscissas, possibilitando assim, associar quando a parábola intersecta o eixo

em dois pontos, um ponto ou se não há intersecção.

Determinar a raízes de cada função.

Observar a relação existente entre as raízes da função e o ponto de intersecção com o eixo x.

Analisar a relação que existe entre o valor do Discriminante e a quantidade de raízes de uma

função quadrática.

TEMPO ESTIMADO: 1 aula – 45 min


Coeficientes;

Discriminante;

Raízes da equação;

Relação entre o discriminante e as raízes.



Concavidade da parábola.

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c) Na barra de entrada digite b^2 – 4*a*c para encontrar o valor do Discriminante da função

quadrática;

d) Clique na janela 2 na opção “interseção de dois objetos”, movimente com o mouse clicando

na interseção da parábola com o eixo da abscissas para obter as raízes da equação;

OBS: Utilize sempre a opção “mover janela de visualização” na janela 2 para melhor visualizar

a parábola.

ATIVIDADE- Responder as questões de modo individual:

1 – Encontre o discriminante Δ (delta) e a quantidade de raízes que cada função determinando a

relação que existe entre eles.

Função Discriminante Δ = b² - 4ac Quantidade de raízes

𝑓(𝑥) = 𝑥² + 5𝑥 + 6

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 9

𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 3𝑥 + 4

Qual a relação entre o Discriminante e a quantidade de raízes?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2 – Trace no software GeoGebra, o gráfico das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3 e

𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 e responda:

a) Calcule as raízes da função;

b) o que se pode concluir em relação as raízes da função e o ponto de intersecção com o eixo das

abscissas?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

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ANOTAÇÕES

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

CONCLUSÕES

Completar com: maior que (>), menor que(<) , igual (=)

Para o Discriminante ___________ 0, a função terá duas raízes reais e diferentes;

Para o Discriminante ___________ 0, a função terá duas raízes reais e iguais;

Para o Discriminante ___________ 0, a função não terá raízes reais.

PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR

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ATIVIDADE 6

Com a atividade propostas nesta etapa, o aluno será capaz de:

6.1 ATIVIDADE 6: vértices da função, ponto de máximo e de mínimo.


a) Insira a função f(x) = x² - 12x + 30 utilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 − 𝟏𝟐 ∗ 𝒙 + 𝟑𝟎, na Barra de

Entradas e pressione ENTER;

b) Clicar na janela 2 “ponto” em seguida na opção “interseção de dois objetos”, clicando na

intersecção da parábola com o eixo das abscissas para obter as raízes da equação, pontos A e B e

também no eixo das ordenadas para obter o ponto C. Esse ponto C é o termo

independente(coeficiente c da função).

c) Clicar na janela 4 “mediatriz”, em seguida clicar no pontos A e B para obter a reta que corta a

parábola ao meio; OBS: (Este modelo é desenvolvido para ∆ > 0)

OBJETIVO: Analisar as concavidades da parábola usando o software GeoGebra e perceber

a relação entre o coeficiente “a” e o valor de máximo ou de mínimo.

Analisar os coeficientes das funções.

Determinar as coordenadas do vértice de cada função.

Analisar a condição existente para que uma função tenha ponto de máximo ou de mínimo.






Vértices;


Reta mediatriz.







25

d) Clicar na janela 2 “ponto” e em seguida na opção “interseção de dois objetos”, clicando na

intersecção entre a mediatriz e a concavidade da parábola para obter o vértice, que será o ponto de

máximo ou de mínimo, dependendo do valor do coeficiente a.


parábola.

ATIVIDADE - Responder as questões de modo individual:

1 – Encontre os coeficientes das funções e as coordenadas do vértice x e y utilizando o software

GeoGebra para resolver as perguntas.

Função Quadrática Coeficientes Coordenada

xv

Coordenada

yv

Coordenadas

(xv,yv)

𝑓(𝑥) = 𝑥² − 12𝑥 + 30 a= b= c=

𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 4 a= b= c=

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 5 a= b= c=

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 5 a= b= c=

a) Qual a condição para que uma função tenha ponto de mínimo?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

b) Qual a condição para que uma função tenha ponto de máximo?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2 – Trace no software GeoGebra, o gráfico das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3 e

𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 e responda:

a) Calcule o vértice de cada função (xv, yv);

b) A primeira função tem valor máximo ou mínimo? Qual é esse valor?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

c) A segunda função tem valor máximo ou mínimo? Qual é esse valor?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

26



ANOTAÇÕES

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

CONCLUSÕES

Completar com (POSITIVO ou NEGATIVO):

Se o sinal do coeficiente a da lei da função do 2º grau for ______________ a função terá

valor mínimo;

Se o sinal do coeficiente a da lei da função do 2º grau for ______________ a função terá

valor máximo.

6.2 – PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR

27

ATIVIDADE 7

Situação-problema

7.1 ATIVIDADE – Responder as questões de modo individual:

1 – O movimento de um projétil lançado para cima, verticalmente, é descrito pela equação

𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟎. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil, x segundos após o

lançamento.

a) Que altura máxima o objeto atingiu?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________







OBJETIVO: Aplicar todos os conceitos e definições aprendidos nas atividades anteriores

sobre funções quadráticas através do software GeoGebra, visualizando o gráfico e

percebendo as raízes, o vértice e o termo independente da função.

TEMPO ESTIMADO: 2 aulas – 1h30


Conceitos da função quadrática e do software GeoGebra;

Coeficientes e a concavidade de uma função quadrática;

Relação entre o coeficiente “a” e a concavidade da função quadrática;


Vértices;


Esboçar o gráfico da função quadrática;



Discriminante e as raízes da equação;

Relação entre o discriminante e as raízes;

Reta mediatriz;

Ponto de intersecção.

28

b) Quanto tempo ele levou para atingir esta altura?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

c) Quanto tempo o projétil levou para subir? E para descer?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2 – Suponha que o lucro (em reais) de uma empresa seja dado em função do preço (x) de vendas de

seu principal produto, pela lei:

𝑳(𝒙) = −𝟓𝟎 . (𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟖𝟎)

Analise as informações seguintes, classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando.

a) Quando o produto é vendido a R$ 7,00 ou a R$ 17,00, a empresa obtém o mesmo lucro.

b) Se o preço de venda do produto é colocado a R$ 5,00, o lucro obtido é inferior a R$ 700,00.

c) O lucro máximo possível nessas condições é de R$ 3200,00.

d) Os preços de venda de R$ 4,00 e de R$ 20,00 não proporcionam lucro algum.

PROCEDIMENTO

Insira a função f(x) = -4x² + 20xutilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = −𝟒^𝟐 + 𝟐𝟎 ∗ 𝒙, na Barra

de Entradas e pressione ENTER;

Clique na janela 2 “ponto” em seguida na opção “interseção de dois objetos”,

clicando na intersecção da parábola com o eixo das ordenadas obtém a altura máxima

do objeto;

Clique na janela 2 “ponto” em seguida na opção “interseção de dois objetos” ,

clicando na intersecção da parábola com o eixo das abscissas obtém o tempo que ele

levou para subir e para descer.

OBS: Utilize sempre a opção “mover janela de visualização” na janela 2 para melhor

visualizar a parábola.

29



ANOTAÇÕES

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

PROCEDIMENTO

Insira a função f(x) = -50(x² - 24x + 80) utilizando a sintaxe

𝒇(𝒙) = −𝟓𝟎. (𝒙^𝟐 − 𝟐𝟒 ∗ 𝒙 + 𝟖𝟎, na Barra de Entradas e pressione ENTER;

Clique na barra de entrada e digite (7,0) e (17,0). Apareceram os pontos A e B no

eixo das abscissas;

Clique na janela 4 “reta perpendicular”, em seguida clique nos pontos A e B e nos

eixos das abscissas;

Clique na janela 2 “intercessão entre dois objetos” e marque a interseção entre a

reta perpendicular e a parábola da função, pontos C e D, para verificar se R$ 7,00

ou R$ 17,00 terá o mesmo lucro;

Clique na barra de entrada e digite (5,0). Aparecerá o ponto E;

Clique na janela 4 “reta perpendicular”, em seguida clique no ponto E e no eixo das

abscissas;

Clique na janela 2 “intercessão entre dois objetos” e marque a intercessão entre a

reta perpendicular e a parábola obtendo o ponto F, para verificar se o lucro será

inferior a R$ 700,00;

Clique a barra de entrada e digite (0,3200). Aparecerá o ponto G no eixo das

ordenadas;

Clique na janela 4 “reta perpendicular”, em seguida clique no ponto G e no eixo

das ordenadas para verificar se essa reta coincide com o ponto de máximo da

parábola, analisando se seu lucro máximo será de R$ 3.200,00;

Clique na barra de entrada e digite (4,0) e (20,0). Apareceram os pontos H e I.

Através destes pontos é possível verificar se há uma intercessão entre o eixo das

abscissas com a parábola. Se houver essa intercessão, não proporcionara lucro.

7.2 – PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR

30

ATIVIDADE 8

AJUSTES DE FUNÇÃO QUADRÁTICA EM IMAGENS DE SITUAÇÕES DO MUNDO

Escolhemos uma imagem de uma construção envolvendo parábola, o Gateway Arch. Nela

trabalharemos alguns tópicos encontrados na função quadrática utilizando o software GeoGebra.

Disponível em: https://en.wikivoyage.org/wiki/St._Louis

O Gateway Arch ou Gateway to the West1 é um arco memorial, localizado em St.

Louis, Missouri, nos Estados Unidos.

1 Texto disponível na internet. Não paginado. Disponível em <https://pt.wikipedia.org/wiki/Gateway_Arch/>. Acesso

em: 19 ago. 2017.







OBJETIVO: Explorar os conceitos de funções quadráticas encontradas em diversas situações que

podem ser observadas no cotidiano dos estudantes.


https://en.wikivoyage.org/wiki/St._Louis

https://pt.wikipedia.org/wiki/Arco

https://pt.wikipedia.org/wiki/Monumento

https://pt.wikipedia.org/wiki/St._Louis_(Missouri)

https://pt.wikipedia.org/wiki/St._Louis_(Missouri)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Missouri

31

O Arco situa-se na margem oeste do Rio Mississippi, no local onde foi fundada a cidade de

St. Louis. O Gateway Arch foi projetado em 1947 pelo arquiteto finlandês Eero Saarinen em

parceria com engenheiro alemão Hannskarl Bandel para homenagear a Expansão para o

Oeste durante o século XIX.

Com 200 metros de altura, o Gateway Arch é o mais alto monumento em solo norte-

americano. A construção teve início em 12 de fevereiro de 1963 e foi concluída em 28 de

outubro de 1965 com custo total de 13 milhões de dólares (à época). O monumento foi aberto ao

público em 10 de junho de 1967.

Construído como um monumento à Expansão para o Oeste, o arco representa "o espírito

pioneiro dos homens e mulheres que venceram o Oeste e aqueles que no último instante se

esforçam contra outras fronteiras". O arco se tornou ícone da cidade de St. Louis, aparecendo em

vários elementos culturais da região.

PARTE ALGÉBRICA

Por meio dessa imagem, utilizaremos o software GeoGebra para encontrar os pontos que a

parábola interceptam o eixo das abscissas (eixo x) e o eixo da ordenadas (eixo y). Em seguida,

determinaremos algebricamente a função que a parábola representa através dos coeficientes a, b, c

encontrados.

PROCEDIMENTO

Clicar na janela 10 da Barra de Ferramentas (controles deslizantes) e em seguida a opção

inserir imagem escolhendo a imagem desejada.

Usar a opção mover na Barra de Ferramentas para centralizar a imagem.

OBS: Você pode clicar sobre a imagem para aumentar ou diminuir o seu tamanho e a sua

posição no gráfico. Ajuste a imagem para que a sua base fique paralela ao eixo das abscissas

e a sua concavidade fique centralizada no eixo das ordenadas.

Clicar como o botão direito do mouse sobre a imagem e em seguida na opção

propriedades. Clique na opção cor para aumentar ou diminuir a sua transparência.

Clicar na Janela 2 da Barra de Ferramentas (ponto) e em seguida marque os pontos em que

a parábola intercepta o eixo das abscissas (dois pontos) e das ordenadas (um ponto).

PONTO C (-2,7 , 0)

PONTO D (2,8 , 0)

PONTO E (0 , 5,82)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_Mississippi

https://pt.wikipedia.org/wiki/1947

https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Hannskarl_Bandel&action=edit&redlink=1

https://pt.wikipedia.org/wiki/Aquisi%C3%A7%C3%B5es_territoriais_dos_Estados_Unidos


https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XIX

https://pt.wikipedia.org/wiki/12_de_fevereiro


https://pt.wikipedia.org/wiki/28_de_outubro

https://pt.wikipedia.org/wiki/28_de_outubro


https://pt.wikipedia.org/wiki/10_de_junho



32

Para encontrarmos a função, substituímos os pontos x e y e montamos um sistema de

equação.

𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

Usando o ponto E em que x = 0 temos:

5,82 = 𝑎 ∗ 02 + 𝑏 ∗ 0 + 𝑐

𝒄 = 𝟓, 𝟖𝟐

Usando os pontos C e D em que x = -2,7 e 2,8 e y = 0 temos:

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

(I)

𝑎 ∗ (2,7)2 + 𝑏 ∗ 2,7 + 5,82 = 0

𝟕, 𝟐𝟗𝒂 + 𝟐, 𝟕𝒃 + 𝟓, 𝟖𝟐 = 𝟎

(II)

𝑎 ∗ (2,8)2 + 𝑏 ∗ 2,8 + 5,82 = 0

𝟕, 𝟖𝟒𝒂 + 𝟐, 𝟖𝒃 + 𝟓, 𝟖𝟐 = 𝟎

Resolvendo o sistema: {𝟕, 𝟐𝟗𝒂 + 𝟐, 𝟕𝒃 + 𝟓, 𝟖𝟐 = 𝟎𝟕, 𝟖𝟒𝒂 + 𝟐, 𝟖𝒃 + 𝟓, 𝟖𝟐 = 𝟎

temos:

a = 0,55

b = 0,1

c = 5,82

Portanto, a função gerada pela concavidade da parábola é: 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝟓𝒙² + 𝟎, 𝟏𝒙 + 𝟓, 𝟖𝟐

LEMBRETE:

Digitar a função no campo de entrada do software para verificar o

ajuste obtido pela função para a parábola analisada.

33

RECURSO DINÂMICO DO SOFTWARE

Utilizando os procedimentos iniciais, utilizaremos software GeoGebra para encontrar os

coeficientes e esboçar a gráfico da parábola.

PROCEDIMENTO

Clicar na janela 10 da Barra de Ferramentas (controles deslizantes) e em seguida a opção

inserir imagem escolhendo a imagem desejada.

Usar a opção mover na Barra de Ferramentas para centralizar a imagem.

OBS: Você pode clicar sobre a imagem para aumentar ou diminuir o seu tamanho e a sua

posição no gráfico. Ajuste a imagem para que a sua base fique paralela ao eixo das abscissas

e a sua concavidade fique centralizada no eixo das ordenadas.

Clicar como o botão direito do mouse sobre a imagem e em seguida na opção

propriedades. Clique na opção cor para aumentar ou diminuir a sua transparência.

Clicar na Janela 2 da Barra de Ferramentas (ponto) e em seguida marque os pontos em que

a parábola intercepta o eixo das abscissas (dois pontos) e das ordenadas (um ponto).

PONTO C (-2,7 , 0)

PONTO D (2,8 , 0)

PONTO E (0 , 5,82)

Para montar a parábola utilizando o GeoGebra, deve-se clicar na Caixa de Entrada e digitar

a função 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 em seguida, na opção criar controles deslizantes para melhor

manipular o gráfico através de seus coeficientes.

Clicar sobre os controles deslizantes com o botão do mouse direito e em seguida

propriedades para aumentar ou diminuir o intervalor da parábola.

Para quer a função fique fixa na janela de visualização, clique na janela 10 da Barra de

Ferramentas e em seguida clique na opção Inserir Texto. Logos após deve-se clicar no

local desejado, copiar a função descrita na Janela de Álgebra e dar OK. Você pode mudar a

cor ou o formato de cada objeto clicando com o botão direito do mouse e em seguida,

propriedades.

34

IMAGEM COM O RESULTADO DO AJUSTE

SUGESTÕES

Nesta atividade não foi explorado o vértice, Mas em outras atividades o

professor pode se utilizar desse conceito;

O Professor pode sugerir que os alunos escolham as imagens que

representem parábolas para serem analisadas em sala de aula;

OBS: Se o professor preferir, pode utilizar este trabalho para projetar a imagem

para seus alunos em sala de aula através dos sites:

https://www.geogebra.org/m/cfm4Wdsu

https://www.geogebra.org/mestrewilliam?p=materials

35

ATIVIDADE 9

SUGESTÕES DE IMAGENS A SEREM UTILIZADAS EM SALA DE AULA

(I) PÃO DE AÇUCAR

O Pão de Açúcar2 é um complexo de morros localizado no bairro da Urca, na cidade

do Rio de Janeiro, no Brasil. É composto pelo Morro do Pão de Açúcar (que dá nome ao

complexo), pelo Morro da Urca e pelo Morro da Babilônia. Junto com a estátua do Cristo

Redentor, é o maior cartão-postal da cidade do Rio de Janeiro e um dos mais famosos do Brasil.

O Morro do Pão de Açúcar, o mais alto do complexo, é constituído por um bloco único de gnaisse-

granito com mais de seiscentos milhões de anos de idade, que surgiu da separação entre os

continentes sul-americano e o africano, e que sofreu alterações por pressão e temperatura. Eleva-se

a 395 metros acima do nível do mar. É rico em espécies de plantas rupícolas, estando presentes, em

suas diversas faces, espécies endêmicas de bromélias e orquídeas.

2 Texto disponível na internet. Não paginado. Disponível em

<https://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%A3o_de_A%C3%A7%C3%BAcar/>. Acesso em: 19 ago. 2017.







OBJETIVO: Explorar os conceitos de funções quadráticas encontradas em diversas situações e

utilizá-las em sala de aula.


DICA: Estas imagens podem ser

escolhidas de acordo com a

realidade do professor!

https://pt.wikipedia.org/wiki/Morro

https://pt.wikipedia.org/wiki/Urca

https://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_de_Janeiro_(cidade)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil

https://pt.wikipedia.org/wiki/Morro_do_P%C3%A3o_de_A%C3%A7%C3%BAcar

https://pt.wikipedia.org/wiki/Morro_da_Urca

https://pt.wikipedia.org/wiki/Morro_da_Babil%C3%B4nia

https://pt.wikipedia.org/wiki/Cristo_Redentor

https://pt.wikipedia.org/wiki/Cristo_Redentor

https://pt.wikipedia.org/wiki/Cart%C3%A3o-postal

https://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_de_Janeiro_(cidade)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil

https://pt.wikipedia.org/wiki/Morro_do_P%C3%A3o_de_A%C3%A7%C3%BAcar

https://pt.wikipedia.org/wiki/Gnaisse

https://pt.wikipedia.org/wiki/Granito

https://pt.wikipedia.org/wiki/Am%C3%A9rica_do_Sul

https://pt.wikipedia.org/wiki/Africano

https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%ADvel_do_mar

https://pt.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%A9cie_(biologia)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Rup%C3%ADcola

https://pt.wikipedia.org/wiki/Endemismo

https://pt.wikipedia.org/wiki/Brom%C3%A9lia

https://pt.wikipedia.org/wiki/Orqu%C3%ADdea

36

Disponível em

https://www.google.com.br/search?q=p%C3%A3o+de+a%C3%A7ucar&dcr=0&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved

=0ahUKEwiexMkqOTWAhXMjpAKHTSTBpcQ_AUICygC&biw=1366&bih=662#imgrc=vpUzllr3kYZHcM:

(II) MONTE EVEREST

Monte Everest3, também conhecido no Nepal como Sagarmathã e

o Tibete como Chomolungma, é a montanha mais altada Terra. Seu pico está a 8.848 metros

acima do nível do mar. O monte está localizado na cordilheira Mahalangur Himal, no Nepal. A

fronteira internacional entre a China (Região Autônoma do Tibete) e o Nepal atravessa o ponto

preciso do cumedo Everest. Sua maciço inclui picos vizinhos, como Lhotse (8.516

m); Nuptse (7.855 m) e Changtse (7.580 m). Em 1856, o Grande Levantamento

Trigonométrico da Índia estabeleceu a primeira altura publicada de Everest, então conhecido

como Pico XV, em 8.840 metros. A altura oficial atual de 8.848 m, conforme reconhecido por

China e Nepal, foi estabelecida por uma pesquisa indiana de 1955 e posteriormente confirmada por

uma pesquisa chinesa em 1975.

Em 2005, a China recalculou a altura da montanha e chegou ao resultado de 8.844,43 m.

Uma controvérsia entre China e Nepal a respeito da altura da montanha durou 5 anos, de 2005 a

2010. A China argumentava que ela devia ser medida pela sua altura de rocha, que é 8.844 m, mas

o Nepal dizia que deveria ser medida pela sua altura de neve, que é de 8.848 m. Em 2010, um

acordo foi finalmente alcançado por ambos os lados que a altura do Everest é de 8.848 m e o Nepal

reconheceu a alegação da China de que a altura da rocha do Everest é de 8.844 m.

3 Texto disponível na internet. Não paginado. Disponível em <https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Everest/>. Acesso

em: 19 ago. 2017.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Nepal

https://pt.wikipedia.org/wiki/Tibete

https://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_das_montanhas_mais_altas

https://pt.wikipedia.org/wiki/Terra

https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%ADvel_do_mar

https://pt.wikipedia.org/wiki/Cordilheira

https://pt.wikipedia.org/wiki/Mahalangur_Himal

https://pt.wikipedia.org/wiki/China

https://pt.wikipedia.org/wiki/Regi%C3%A3o_Aut%C3%B4noma_do_Tibete

https://pt.wikipedia.org/wiki/Cume

https://pt.wikipedia.org/wiki/Maci%C3%A7o

https://pt.wikipedia.org/wiki/Lhotse

https://pt.wikipedia.org/wiki/Nuptse

https://pt.wikipedia.org/wiki/Changtse

https://pt.wikipedia.org/wiki/Grande_Levantamento_Trigonom%C3%A9trico

https://pt.wikipedia.org/wiki/Grande_Levantamento_Trigonom%C3%A9trico

https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndia

37

Disponível em:

https://www.google.com.br/search?q=monte+everest&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwig8rvBqeTWA

hUDHZAKHe6WAfMQ_AUICygC&biw=1366&bih=662#imgrc=fRERgcVfu4gTRM:

(III) MORRO DO CARECA

O complexo turístico Morro do Careca4 – CTMC engloba uma elevação montanhosa

com cerca de 158.000 m², sendo composto por áreas públicas e privadas, tendo seu cume, uma

altitude de 104 metros acima do nível do mar. Localiza-se no extremo Norte do município de

Balneário Camboriú, divisa com Itajaí, sendo limitado em sua grande maioria pelo oceano

atlântico, o que envolve a Praia dos Amores, Praia do Buraco e a Praia Brava. Dispõe de cobertura

florestal do tipo mata atlântica, mirante, rampa ou área de decolagem para prática de esportes de

aventura.

Disponível em:

https://www.google.com.br/search?q=morro+do+careca+balneario&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwj

_v7-GquTWAhWCHJAKHbxYDngQ_AUICygC&biw=1366&bih=662#imgrc=IVzw3ha4ZM-i9M:

4 Texto disponível na internet. Não paginado. Disponível em http://morrodocareca.org/site/index.php/template-

features. Acesso em: 19 ago. 2017.

http://morrodocareca.org/site/index.php/template-features

http://morrodocareca.org/site/index.php/template-features

38

ATIVIDADE 10 - PÓS-TESTE

Neste momento, devemos aplicá-las novamente preferencialmente individual, depois avaliar

como foi o desempenho dos alunos com relação à construção do conhecimento científico

sobre o tema estudado.







A atividade apresenta questões que compõem o Pós-Teste. Seu OBJETIVO é verificar como

se deu a construção do conhecimento pelos alunos. Se houve ou não a mudança conceitual

proposta no início da proposta. A atividade apresenta as mesmas questões do pré-teste.



Definição da função quadrática;

Coeficientes;




Vértices;


Esboçar o gráfico da função quadrática.

39

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Professor (a)!

O ensino de Matemática com o auxílio de recursos computacionais vem se destacando pela forma

atrativa e significativa para o aluno. Nesta proposta buscamos destacar exatamente este aspecto.

Buscamos desenvolver atividades, onde os alunos primeiramente fossem estimulados a discussão,

observação e reflexão. As estratégias aqui adotadas, visam proporcionar aos alunos momentos de

análise, em que reflitam sobre novas formas de ensino, neste caso a utilização do software

GeoGebra como ferramenta didática para a aprendizagem.

Portanto, este trabalho apresentou uma proposta de ensino de funções quadráticas com atividades

simples, mas, que podem trazer um resultado extremamente positivo aos alunos e à educação como

um todo, pois, propõe atividades que motivam os alunos à pesquisa e ao mesmo tempo fazem com

que estejam interagindo entre si na busca de entender de forma clara os conceitos necessários para

a compreensão de muitos fenômenos do seu dia-a-dia, fazendo com que eles se sintam parte

integrante do processo

Deixa-se aqui então uma sugestão de atividades que esperamos, possam contribuir com a melhoria

do ensino da Matemática, deixando de ser compreendida como uma disciplina monótona e difícil e

se tornando uma disciplina agradável e atraente, sendo fundamental para a formação de nossos

alunos.

Vale destacar que muitos imprevistos podem surgir durante a aplicação desse projeto, por isso

deve o professor adequar sua metodologia a cada situação sem perder o foco e objetivo inicial, de

acordo com o conteúdo a ser trabalhado.

Espera-se que este caderno possa contribuir para sua prática pedagógica, que as

estratégias de ensino aqui descritas os auxilie num excelente trabalho na sala de aula.







40

REFERÊNCIAS

AUSUBEL, D. P. Algunos aspectos psicológicos de la estrutuctura del conocimiento. Buenos

Aires: El Ateneo, 1973.

AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia Educacional. Tradução Eva Nick,

Heliana de Barros Conde Rodrigues, Luciana Peotta, Maria Ângela Fontes e Maria da Glória

Rocha Maron. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.

CAMARGO, V.L.V. Atividades do cálculo diferencial e integral com auxílio do software

GeoGebra. In: IV Seminário de Informática na Educação, 2009. Mato Grosso: UNEMAT, 2009.

MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F. S. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel.

São Paulo: Centauro, 2001.

_____________. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo, Centauro,

2006. 2 ed.

_____________. Aprendizagem Significativa – A Teoria de David Ausubel, 4 ed. São Paulo:

Editora Centauro, 2011.

MOREIRA, M.A. A teoria da aprendizagem significativa e sua implementação em sala de

aula. Brasília: Editora da UnB, 2006.

_____________. Mapas conceituais e aprendizagem significativa. São Paulo: Centauro, 2010.

_____________. Unidade de Enseñanza Potencialmente Significativas - UEPS. Aprendizagem

Significativa em Revista, Porto Alegre, v. 1, n. 2, p. 43-63, 2011

_____________. Teorias de Aprendizagem. São Paulo: Editora Pedagógica e Universitária. 1999.

195 p.

IEZZI, G; et. al. Matemática: ciência e aplicação, vol. 1 – Ensino Médio. 6. ed. São Paulo:

Saraiva, 2010.







a utilizaÇÃo do software geogebra como ......utilização do software geogebra como ferramenta...

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