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Lorens Estevan Buriol Siguenãs
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DA DERIVADA
Santa Maria, RS
2009
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Lorens Estevan Buriol Siguenãs
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DA DERIVADA
Trabalho final de graduação apresentado ao Curso de Matemática – Área de Ciências
Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano, como requisito parcial para obtenção do
grau de Licenciado em Matemática.
Orientadora: Leila Brondani Pincolini
Santa Maria, RS
2009
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Lorens Estevan Buriol Siguenãs
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DA DERIVADA
Trabalho final de graduação apresentado ao Curso de Matemática – Área de Ciências
Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano, como requisito parcial para obtenção do
grau de Licenciado em Matemática.
_________________________________________
Leila Brondani Pincolini – Orientadora (Unifra)
_________________________________________
Ana Maria Beltrame (Unifra)
_________________________________________
Rodrigo Fioravanti Ferreira (Unifra)
Aprovado em ......... de ................................. de .............
4
RESUMO
Este trabalho, realizado por meio de pesquisas bibliográfica e interação com o software GeoGebra, tem por objetivo num primeiro momento salientar a importância dos recursos computacionais como instrumento de aprendizagem em sala de aula, e num segundo momento apresentar o software GeoGebra que será exposto como ferramenta computacional para abordarmos a interpretação geométrica da Derivada. Nesta parte será apresentado o conceito de Derivada através das construções geométricas que podem ser desenvolvidas no software, contribuindo assim para a interpretação da Derivada dentro do aspecto do conceito de reta tangente e reta secante a uma curva. Por fim, com o auxílio do software será feita uma animação gráfica através de seus recursos para simplificar o entendimento sobre tal conteúdo matemático, e trazer ao aluno o conceito de taxa de variação através de uma metodologia diferenciada.
Palavras-chave: Recursos computacionais. Software GeoGebra. Interpretação da Derivada.
ABSTRACT
This work, accomplished through a bibliographical research and interaction with a software GeoGebra, he has for objective in a first moment to point out the importance of the resources computacionais as learning instrument in classroom, and in a second moment to present the software GeoGebra that will be exposed as tool computacional for us to approach the geometric interpretation of the Derived. In this part the concept will be presented of having Flowed through the geometric constructions that you/they can be developed in the software, contributing like this to interpretation of the Flowed inside of the aspect of the concept of tangent straight line and drying straight line to a curve. Finally with the aid of the software it will be made a graphic animation through their resources to simplify the understanding on such a mathematical content, and to bring the student the concept of having Flowed through a different methodology.
Keywords: Resources computacionais. Software GeoGebra. Interpretation of the Derived.
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................
2 REFERENCIAL TEÓRICO ..........................................................................................
2.1 O SURGIMENTO CÁLCULO E A HISTÓRIA DA DERIVADA...........................
3 DESENVOLVIMENTO .................................................................................................
3.1 O SOFTWARE GEOGEBRA.......................................................................................
3.2 ALGUMAS FERRAMENTAS E RECURSOS DO SOFTWARE GEOGEBRA.......
3.3 INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE ATRAVÉS DO SOFTWARE
GEOGEBRA........................................................................................................................
3.4 OBTENÇÃO DA RETA TANGENTE Á UMA CURVA.......................................
3.5 ANIMAÇÃO DA RETA SECANTE, ATÉ A OBTENÇÃO DA RETA
TANGENTE.......................................................................................................................
4 CONCLUSÃO ................................................................................................................
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................
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13
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33
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1 INTRODUÇÃO
Durante muito tempo a utilização da tecnologia, por exemplo, calculadoras,
computadores e outras mídias, foram criticadas em função dos perigos que poderiam trazer
aos alunos no processo de aprendizagem. As tecnologias, como as ferramentas
computacionais, têm contribuído com a humanidade para a transformação e interação com o
universo. Ressalta-se que especificamente a informática, tem provocado revoluções nas
relações humanas e é capaz de propiciar ambientes com propostas pedagógicas de
aprendizagem, principalmente no ensino de Matemática.
Discutir questões concernentes ao uso de softwares educativos dentro de contextos
educacionais é uma importante tarefa, pois numa sociedade imersa em tecnologia como a
nossa, devemos estar atentos e visualizar as possibilidades de usar um recurso computacional,
para aprimoramento do aprendizado de alguns conteúdos específicos.
Muita pesquisa foi feita buscando informações novas a respeito da influência dos
computadores na aprendizagem, onde pretende-se explorar esse recurso da melhor maneira
possível.
Um meio atrativo é a multimídia, ela aparece com o objetivo de transferir informações
através de mais de um meio, isto é, a utilização de meios tais como textos, gráficos, sons,
imagens, animações, simulações entre outras formas, formam uma combinação adequada para
conseguir um determinado efeito em suas apresentações. Por isso acredita-se que as
apresentações aceleram e aumentam a compreensão dos ouvintes e prendem por mais tempo a
atenção dos mesmos. Isso parece acontecer pelo fato de que recursos usados pela multimídia,
imagens, sons e movimento estimulam a atenção do usuário a todo o momento.
Por mais que a tecnologia esteja presente em nosso cotidiano percebe-se que em sala
de aula o uso do computador ainda é restrito, fazendo com que as aulas sejam na maioria das
vezes expositivas. Segundo SKOVSMOSE (2000, p. 73),
Um cenário para investigação é aquele que convida os alunos a formularem questões e procurarem explicações. O convite é simbolizado pelo “O que acontece se...?” do professor. O aceite dos alunos ao convite é simbolizado por seus “Sim, o que acontece se...?”. Dessa forma, os alunos se envolvem no processo de exploração. O “Por que isto...?” do professor representa um desafio e os “Sim, por que isto...?” dos alunos indicam que eles estão encarando o desafio e que estão procurando explicações [...] [constituindo] um novo ambiente de aprendizagem. No cenário para investigação, os alunos são responsáveis pelo processo.
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Podemos salientar que a informática é um campo de novas tecnologias, aberto,
conflituoso e parcialmente indeterminado. Neste contexto a questão da utilização desses
recursos, particularmente na educação, ocupa uma posição central, por isso é importante
refletir sobre as mudanças educacionais provocadas por esses meios propondo novas práticas
docentes, na busca de proporcionar experiências de aprendizagem significativas para o aluno.
Neste sentido o grande desafio para o professor é redimensionar o uso do computador
no ensino, assim o uso de tarefas propostas pelo professor podem possibilitar a
fundamentação de novos conceitos, bem como produzem a construção de novos
conhecimentos. Utilizar a tecnologia como um instrumento de ensino aprendizagem depende
de seus conhecimentos e do uso que se faz dele.
Pesquisadores como BORBA e PENTEADO (2001, p. 46) têm salientado que:
Devemos entender a informática. Ela é uma nova extensão de memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação, e em uma “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea.
O computador deve ser usado como uma máquina para ser ensinada. Nesse caso, é o
aluno quem deve passar as informações para o computador, os softwares que permitem esse
tipo de linguagem são denominados de aplicativos. Esses softwares oferecem condições para
o aluno resolver problemas ou realizar tarefas como desenhar, escrever etc. Isso significa que
o aluno deve apresentar suas idéias para o computador, ou seja, "ensinar" o computador a
resolver a tarefa em questão.
O ensino de Matemática mediado por ambientes computadorizados pode contribuir
para uma aprendizagem significativa onde o aluno além de compreender deve saber fazer, o
que implica que o aluno adquira um hábito de saber pensar matematicamente.
A informática pode trazer ao processo de ensino aprendizagem uma dimensão de
conhecimentos bastante interessante, a possibilidade de ir além da linearidade tão comum em
sala de aula, onde o professor programa as atividades de ensino com começo, meio e fim, e
avalia o aluno quantitativamente pelo seu desempenho nesse processo. Dessa forma em
alguns casos os alunos não demonstram interesse e resolvem as atividades mecanicamente,
dando pouca valorização ao conteúdo que esta sendo trabalhado.
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O uso inteligente dos softwares computacionais em sala de aula é dado como uma
forma de possibilitar mudanças no sistema atual de ensino, podendo ser um recurso no qual o
aluno possa criar, pensar e manipular as informações obtidas pela ferramenta computacional.
Assim quando se fala em computador na educação quer se enfatizar a utilização dos softwares
educacionais e o auxílio que esses podem dar aos professores na sua atividade docente e aos
alunos na construção de conhecimentos.
Neste contexto estudos matemáticos continuam sendo uma tarefa indispensável, pois a
ausência de conhecimentos interfere negativamente nas interpretações dos resultados
fornecidos pelo instrumento computacional. Logo a necessidade e importância de se aliar
tecnologias computacionais a conhecimentos matemáticos, sendo que na utilização dos
softwares algumas conclusões podem ser equivocadas ocorrendo erros no programa
computacional, no entanto o erro gerado só poderá ser usado como uma motivação para o
estudo teórico do aluno, assim revendo suas provas e demonstrações para depois esquematizá-
las novamente no software.
Podem-se mencionar algumas vantagens que os softwares oferecem aos alunos, tais
como: é um instrumento que desperta o interesse dos mesmos, é um instrumento que auxilia
na resolução de problemas, permite que os alunos fiquem atentos aos conteúdos que estão
sendo desenvolvidos, contando com sua participação, é um recurso que permite investigações
matemáticas e favorece nas conjecturas e análise dos resultados obtidos, atribui significado ao
conteúdo que está sendo desenvolvido e agiliza as atividades tradicionais desenvolvidas com
lápis e papel, favorecendo maior dinamismo às aulas.
O uso de softwares educacionais permite o desenvolvimento de habilidades
cognitivas, bem como desenvolver a atenção e a concentração, tão necessárias para o
aprendizado de Matemática e para resolução de problemas. Em geral, acredita-se que o uso do
computador integrado ao processo de ensino aprendizagem surge com o importante papel de
promover novos conhecimentos que permitam a inserção do aluno neste novo contexto social.
A variedade e quantidade de softwares educacionais voltados para a área de
Matemática permitem aos professores e aos alunos diversificarem a forma de como trabalhar
alguns conteúdos e como construir seus conceitos nas aulas.
Admitindo a possibilidade de que os softwares possam ser utilizados como uma
ferramenta de ensino aprendizagem na educação, neste trabalho aplicaremos a utilização do
software GeoGebra no conceito da Derivada, tal conteúdo visto em várias áreas de
conhecimentos.
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Muitos tópicos de cálculo podem ser explorados de maneira fácil, simples e rápida
usando-se a tradicional abordagem expositiva, mas outros tópicos que envolvem um estudo de
movimento e da variação podem ser explorados com o auxílio de um software.
Neste caso busca-se através do software GeoGebra, construir conjecturas que
relacionem o problema da obtenção de uma reta tangente à uma curva. De acordo com
ANTON (2000), há uma estreita relação entre taxa de variação e retas tangentes a gráficos, tal
conceito que estudaremos para entender o conceito da Derivada, conteúdo matemático usado
para estudar taxa de variação de grandezas físicas, como por exemplo, a velocidade de um
foguete, a inflação da moeda, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade dos
tremores de um terremoto, a voltagem de sinal elétrico e assim por diante.
Através do conceito de reta secante e reta tangente, juntamente com o auxilio do
software GeoGebra desenvolveremos este trabalho, com o objetivo de interpretar
geometricamente o conceito da Derivada.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 O SURGIMENTO DO CÁLCULO E A HISTÓRIA DA DERIVADA
Para continuidade do trabalho será indispensável o conhecimento histórico sobre a
derivada e a origem do cálculo, para isso serão apresentados autores que marcaram história ao
longo desse processo ou tiveram contribuições muito importantes para o desenvolvimento dos
assuntos a serem trabalhados. Dessa maneira começamos com um breve comentário histórico
sobre o surgimento do cálculo.
A origem da palavra, calculus, na Roma antiga, era uma pequena pedra ou seixo
utilizado para contagem e jogo, e o verbo latino calculare passou a significar "figurar",
"computar", "calcular".
Hoje o Cálculo é um sistema de métodos para resolver problemas quantitativos de uma
natureza particular, como no cálculo de probabilidades, no cálculo de variações, etc. O cálculo
abordado agora é às vezes chamado o Cálculo para distingui-lo de todos os outros cálculos
subordinados. O cálculo está dividido em duas partes, uma relacionada às Derivadas ou
cálculo diferencial e a outra parte às integrais, ou Cálculo de Integrais, abordaremos nesse
trabalho um conhecimento mais amplo sobre o surgimento da Derivada ou Cálculo
Diferencial, que envolve inclinações de retas e está ligado à reta tangente a uma curva.
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Desde a época dos gregos já se conhecia a reta tangente como sendo uma reta que
intercepta uma curva em um único ponto. Mas para resolver o problema da tangente
precisavam desenvolver o conceito de função, que foi resultado de uma lenta e longa
evolução histórica iniciada na antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônios
utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas. Ou quando os Pitagóricos
tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o
seu comprimento.
Nesta época o conceito de função não estava claramente definido, as relações entre
variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico. Neste
processo por volta do sec. XVII surgiram grandes autores tais como, Descartes e Pierre
Fermat que introduziram as coordenadas cartesianas.
Na Idade Média, após o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, acontece um novo
impulso no desenvolvimento de funções, quando em 1637, René Descartes introduziu as
coordenadas cartesianas. Com isso se estabelece que todo problema de geometria pode ser
facilmente reduzido a termos, tais que o conhecimento dos comprimentos de certos segmentos
bastava para a construção. Com essa afirmação se induzia que o objetivo de Descartes era a
construção geométrica, e não necessariamente a redução da geometria à álgebra.
Assim se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos
e estudar analiticamente funções. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das
propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o
estudo de curvas já conhecidas permitiu a criação de novas curvas, imagens geométricas de
funções definidas por relações entre variáveis.
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat se deu
conta das limitações do conceito clássico de reta tangente à uma curva como sendo aquela que
encontrava à curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e
encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto, esta dificuldade
ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente".
O problema da reta da tangente foi resolvido por Fermat da seguinte maneira, afirmava
ele que para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerava-se outro ponto Q
sobre a curva, obtendo a reta PQ secante à curva. A seguir faz-se deslizar o ponto Q ao longo
da curva em direção a P, assim obtendo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que
Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P (veja Figura 1).
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Estas idéias constituíram o embrião do conceito de Derivada e levou Laplace a
considerar Fermat o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial. Contudo, Fermat não
dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.
Ao estudar séries infinitas e o triângulo harmônico, Leibniz percebeu que a
determinação da tangente a uma curva dependia da razão das diferenças das ordenadas pela
diferença das abscissas, quando essas se tornavam infinitamente pequenas, e os quadrados
dependiam da soma dos retângulos infinitamente finos que formam a área; possibilitando
desse modo transformar problemas geométricos em problemas algébricos no estudo analítico
de funções.
Dessa maneira no séc. XVII Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os
conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar a
menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da
Matemática conhecido hoje como Cálculo Diferencial.
Mas só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o
conceito de Derivada, a partir disso com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um
instrumento indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.
Assim o aparecimento e desenvolvimento do Cálculo Diferencial estão ambos intimamente
ligados à questão das tangentes.
Para entendemos como foi resolvido o Problema da Tangente desenvolvido por
Fermat observe as figuras abaixo:
Figura 1- Reta tangente à curva no ponto P
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Figura 2- Aproximação da inclinação da reta tangente em P pelas inclinações das retas secantes PQ
Contudo a origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência,
por exemplo, para determinar uma reta que intercepta uma dada curva em apenas um ponto
dado.
As aplicações das derivadas são muitas, a derivada tem muitos papéis importantes na
Matemática propriamente dita, têm aplicações em física, química, engenharia, tecnologia,
ciências, economia e muito mais.
As idéias preliminarmente introduzidas na Física foram aos poucos sendo
incorporadas a outras áreas do conhecimento, por exemplo, na Economia e na Administração
o conceito de Derivada é utilizado principalmente no estudo gráfico de funções, determinação
de máximos e mínimos, cálculos de taxa de variação, e novas aplicações aparecem todos os
dias.
3 DESENVOLVIMENTO
3.1 O SOFTWARE GEOGEBRA
O GeoGebra é um software livre, e foi idealizado e desenvolvido por Markus
Hohenwarter, da Universidade de Salzburg, na Áustria. Além das ferramentas de geometria
dinâmica, o software oferece ainda um suporte à entrada de equações e coordenadas,
associando o primeiro ao segundo, e vice-versa. Portanto, o GeoGebra é a união de um
sistema de geometria dinâmico (Dynamic Geometry System – DGS) e de um sistema de
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computação algébrica (Computer Algebric System – CAS). O software GeoGebra, é
composto por várias ferramentas que permitem construir figuras geométricas das mais simples
às mais complexas, composto por uma interface bem apresentável e didática.
Além das vantagens relacionadas ao fator conteúdo, este software incentiva a
criatividade e a descoberta de novas formas de construções geométricas, para isso oferece
recursos que estão ligados há conteúdos matemáticos relacionados à álgebra e ao cálculo.
O GeoGebra é um software matemático que une Geometria, Álgebra e Cálculo, para
tanto há duas janelas de visualização a janela geométrica e a janela algébrica, assim cada
objeto construído na janela geométrica tem sua representação mostrada na janela algébrica.
3.2 ALGUMAS FERRAMENTAS E RECURSOS DO SOFTWARE GEOGEBRA
Ao abrir a área de trabalho do GeoGebra, a primeira tela de trabalho apresenta uma
barra de menus contendo as seguintes funcionalidades: arquivo, editar, exibir, opções,
ferramentas, janela e ajuda, por exemplo, no menu “editar” temos o item “desfazer” um
recurso usado para anular as ultimas operações, podemos fazer objetos desaparecerem e
aparecerem novamente clicando sobre eles com o botão direito do mouse e escolhendo o
recurso “Exibir objeto” para ativá-los ou desativá-los, o objeto desaparecerá ou aparecerá na
área de trabalho.
No menu “exibir”, eixos e malha podem aparecer e desaparecer da janela algébrica, no
menu “arquivo” podemos salvar as construções ou simplesmente criar uma nova janela, em
“opções” pode-se modificar a unidade do ângulo, selecionar casas decimais de
arredondamento, e alterar fontes originais, no menu “ajuda” encontramos mais informações
sobre as construções e ferramentas.
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Observe a figura abaixo que mostra a área de trabalho do GeoGebra:
Figura 3- Área de trabalho do GeoGebra
Através da Figura 3, percebemos que abaixo da barra de menus, temos a barra de
ferramentas que permite a geração das construções. A barra de ferramentas é composta por
onze caixas, cada uma delas é indicada por um quadradinho com uma figura, e composta de
várias ferramentas. Basta clicar na seta posicionada na parte inferior da caixa, e deslizar até
selecionar o comando desejado, veja a figura:
Figura 4- Barra de ferramentas do GeoGebra
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O próximo passo desse trabalho é fazer um comentário das caixas 1 a 11, compostas
na barra de ferramentas, seus recursos e suas principais funções no auxílio das construções
desenvolvidas no software GeoGebra.
Recursos- Mover, girar em torno de um ponto, gravar para a planilha de cálculos.
Funções- Seleciona e move objetos contidos nas construções.
Recursos- Ponto, interseção de dois objetos, ponto médio ou centro.
Funções- Cria um ponto qualquer sobre um objeto, determina o ponto médio entre
dois pontos.
Recursos - Reta definida por dois pontos, segmento definido por dois pontos,
segmento com comprimento fixo, semireta definida por dois pontos, vetor definido por dois
pontos, vetor a partir de um ponto.
Funções - Constrói retas, segmentos e semi-retas definidas por dois pontos ou em
uma direção dada, constrói vetores.
Recursos - Reta perpendicular, reta paralela, mediatriz, bissetriz, tangentes, reta
polar ou diametral, reta de regressão linear, lugar geométrico.
Funções - Constrói a reta passando por um ponto e perpendicular a uma direção
(dada por uma reta, um segmento, uma semi-reta, um vetor ou lado de um polígono), constrói
retas paralelas, encontra retas tangentes.
Recursos - Polígono, polígono regular.
Funções - Constrói polígonos e polígonos regulares.
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Recursos- Círculo definido pelo centro e um de seus pontos, círculo dados centro e
raio, compasso, círculo definido por três pontos, semicírculo definido por dois pontos, arco
circular dados o centro e dois pontos, arco circuncircular dado dois pontos, setor circular dado
o centro e dois pontos, setor circuncircular dados três pontos.
Funções- Constrói a circunferência determinada por um ponto (centro) e outro ponto
que fixa o raio, semicírculos, arco circular, setor circular, dispõem do compasso para
construções.
Recursos- Elipse, hipérbole, parábola, cônica definida por cinco pontos.
Funções- Constrói elipses, hipérboles, parábolas e cônicas
Recursos- Ângulo, ângulo com amplitude fixa, distância, comprimento ou
perímetro, área e inclinação.
Funções- Determina o ângulo, mede a distância entre dois pontos ou comprimento,
calcula o perímetro e área de figuras geométricas.
Recursos- Reflexão com relação a uma reta, reflexão com relação a um ponto,
inversão, girar em torno de um ponto por um ângulo, transladar objeto por um vetor, ampliar
ou reduzir objetos dados centro e fator da homotetia.
Funções- Reflete uma reta ou um ponto em relação ao eixo x ou eixo y, amplia ou
reduz objetos selecionando o objeto e o centro.
Recursos- Seletor caixa para exibir/esconder objetos, inserir texto, incluir imagem,
relação entre dois pontos.
Funções- Cria caixa de texto para exibir objetos ou esconder, insere caixa de texto
para comentários.
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Recursos - Deslocar eixos, ampliar, reduzir, exibir/esconder objetos, exibir/esconder
objeto, copiar estilo visual, apagar objeto.
Função - Oculta objetos da tela de desenho ou exibi novamente efeitos escondidos,
apaga objetos.
O software GeoGebra possui ainda em sua primeira tela de trabalho dois campos, um
chamado de área de trabalho que mostra um sistema de eixos coordenados visíveis, que
juntamente com a barra de ferramentas podemos fazer construções na área, podemos também
utilizar GeoGebra Geometry, neste caso não são mostrados os eixos de coordenadas.
Ao lado da área de trabalho temos a janela de álgebra que mostra as coordenadas e
equações conforme aparecem às construções efetuadas na área de trabalho. A janela de
álgebra está dividida em objetos livres e objetos dependentes, neste caso, por exemplo, retas
ou circunferências que dependem de duas variáveis.
A área de trabalho e a janela de álgebra são mostradas na Figura 3, juntamente com
campo de entrada de texto, que é usado para escrever coordenadas, equações, comandos e
funções, este serão apresentados diretamente na área de trabalho após pressionar a tecla Enter
do teclado, ao lado o software conta ainda com uma ajuda composta com símbolos
matemáticos, letras do alfabeto grego e algumas funções pouco trabalhadas, tais para facilitar
a escrita do comando, por exemplo, para plotarmos o gráfico de uma para parábola que passa
na origem, basta digitarmos no campo de entrada, o comando y=x^2, observe a figura abaixo:
Figura 5- Campo de entrada para comandos
Neste caso agora devemos pressionar a tecla Enter do teclado para obtermos o gráfico
na área de trabalho, observaremos que a lei que define a parábola estará contida na janela de
álgebra em objetos livres, se optar por escolher dois pontos que pertençam à parábola e traçar
uma reta passando por esses pontos, os pontos e a reta estarão expostos na janela de álgebra,
mas como objetos dependentes.
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Veja a Figura 6, a seguir,
Figura 6- Objetos livres e Objetos dependentes
Após um breve conhecimento sobre o software GeoGebra, podemos afirmar que é
uma grande ferramenta computacional, capaz de inserir equações e coordenadas diretamente.
Assim, o GeoGebra tem a potência de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores
e pontos; permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de
comandos próprios da análise Matemática, para identificar pontos singulares de uma função,
como raízes ou extremos ou pontos de inflexão.
O software pode ser usado desde o ensino fundamental até o ensino superior, como
por exemplo, nas áreas de Matemática, Física, Desenho Industrial, engenharias, entre outras.
Interessado em trabalhar com softwares abertos, como o GeoGebra que pode ser obtido no
site www.geogebra.org, antes de sua instalação deve ser instalado o software Java, também
obtido gratuitamente.
Dessa maneira com o recurso do software GeoGebra e através de construções,
interpretaremos o conceito geométrico de Derivada, ou seja, a reta tangente à uma curva em
um ponto qualquer.
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3.3 INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE ATRAVÉS DO SOFTWRAE GEOGEBRA
Queremos determinar à inclinação da reta tangente a curva )(xfy = passando pelo
ponto P. Para isso, consideramos uma reta secante passando por P e Q sobre a curva
)(xfy = admitindo que Q move-se ao longo da curva em direção a P, como ilustrado na
Figura 1 então pode esperar uma aproximação da reta secante até uma posição limite na qual é
considerada como reta tangente à curva no ponto P.
Em alguns problemas é mais significativo encontrar a inclinação da reta, para isso é de
grande auxílio entender a relação entre inclinação ( secm ) da reta secante entre P e Q e a
inclinação ( tgm ) da reta tangente no ponto P e, neste caso a reta secante passa pelos pontos
distintos ))(,( 00 xfxP e ))(,( 11 xfxQ , conforme mostra a Figura 2, tendo, portanto a
inclinação:
01
01sec
)()(
xx
xfxfm
−−= (1)
O ponto Q move-se ao longo da curva em direção a P se e somente se 1x tende a 0x ,
tal quociente chamamos de taxa média de variação, o qual mede o ritmo de variação da
imagem em relação à variação de x, nota-se ainda que a taxa de variação depende do ponto
de partida 0x e da variação de x , dada por .01 xx − Para indicar a variação é conveniente
utilizarmos o símbolo ∆ , assim podemos indicar a taxa média de variação como:
x
fm
∆∆=sec
Logo para determinarmos a variação em um instante ou taxa de variação instantânea
devemos aplicar o conceito de limite no quociente da equação 1, logo
01
01 )()(lim
01 xx
xfxfm
xxtg −
−=→
Observe na Figura 2, que1x tende a 0x até se aproximar o quanto quisermos dele,
enquanto )( 1xf tende a )( 0xf , em outras palavras, 0→∆x e 0→∆y . Contando que exista
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este limite será chamado da Derivada da função no ponto, se o limite não existir então não há
nenhuma reta tangente ao gráfico em P, neste caso a função não é derivável no ponto
escolhido.
Geometricamente, a taxa média de variação de y em relação à x no intervalo [ ]10,xx
é a inclinação da reta secante pelos pontos ))(,( 00 xfxP e ))(,( 11 xfxQ , e a taxa de variação
instantânea de y em relação à x em 0x é a inclinação da reta tangente no ponto
))(,( 00 xfxP , pois é o limite das inclinações das retas secantes.
Com o auxílio do software GeoGebra para encontrar a inclinação da reta tangente em
um ponto qualquer, que determina a taxa de variação instantânea em um ponto fixo, devemos
proceder da seguinte maneira:
1º Passo- No campo de entrada do software digita-se a equação de alguma curva
tomamos, por exemplo, uma parábola que passa pela origem, 2^xy = (veja Figura 5),
pressione a tecla Enter do teclado, aparece na tela de trabalho o gráfico da equação.
Figura 7- Construção em relação ao 1º Passo
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2º Passo - Na barra de ferramentas do software selecione a segunda caixa e opte pelo
recurso “ponto”.
Figura 8- Obter um ponto sobre uma curva
Deslize sobre a curva até encontrar as coordenadas (2,4), e marque o ponto, dê um
clique com o botão direito do mouse em cima do ponto e selecione renomear, troque o nome
ponto A por M.
Figura 9- Construção em relação ao 2º Passo
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3° Passo - Na barra de ferramentas selecione a quarta caixa e deslize até a opção de
tangentes ·
Voltando na construção dê um clique sobre a parábola, em seguida clique sobre o
ponto M, obtemos assim a reta tangente à curva passando por M e a denominamos por a,
(neste caso foi possível obter a reta tangente passando por um ponto diretamente, na próxima
seção do trabalho mostraremos uma construção para interpretarmos geometricamente o
significado desta reta).
Clique com o botão direito do mouse em cima da reta a, e vá ao item propriedades para
alterar a cor da reta, espessura e fazer outras modificações, observe que a reta tangente pode
ser visualizada na área de trabalho pela reta que intercepta a parábola, e pode ser visualizada
também na janela da álgebra pela equação que a representa.
Figura 10- Recurso para alterar a aparência da reta
Abrira uma nova janela na área de trabalho, onde podem ser feitas outras alterações,
mostrando os objetos construídos e opções para alterar suas configurações como cor, estilo,
espessura forma que seja representada a equação e outros recursos. No caso em que
modificamos a cor da reta a mudança ocorrerá nos dois campos de trabalho, facilitando assim
sua identificação. Observe a figura abaixo:
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Figura 11- Janela de propriedades
Figura 12- Construção em relação ao 3° Passo
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4° Passo - Digite no campo de entrada, m = inclinação [a];
Figura 13- Comando digitado no Campo de entrada
A seguir tecle Enter e obteremos a inclinação da reta tangente denominada por m, ou
coeficiente angular da reta a.
Figura 14- Construção em relação ao 4º passo
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Na Figura 14, mostra que a inclinação da reta tangente ou o valor do coeficiente
angular da reta a é 4, neste caso como a taxa de variação instantânea é positiva, y é crescente
no ponto 2=x a uma taxa de 4 unidades de acréscimo em relação a x.
Desse modo podemos dizer que o limite existe e a parábola é diferenciável no ponto M
e esse limite é chamado de Derivada, interpretamos a derivada 'f de uma função como o
valor M que é dado pela inclinação da reta tangente em relação ao gráfico dado ou a taxa de
variação instantânea no ponto M.
Se optarmos por mover o ponto M, recurso encontrado na primeira caixa da barra de
ferramentas, percebe-se que ocorrerão mudanças nos objetos dependentes que aparecem na
janela de álgebra, ou seja, mudará o ponto, a reta tangente e a inclinação da reta tangente
denominada por m, procedimento que veremos em outra seção do trabalho.
3.4 OBTENÇÃO DA RETA TANGENTE Á UMA CURVA
Nesta parte do trabalho utilizaremos o software GeoGebra, para interpretar
geometricamente o conceito de Derivada (veja Figura 1). Será observado a aproximação dos
coeficientes angulares em relação às retas secantes que serão apresentadas na janela da
álgebra.
Para obtermos uma construção semelhante à Figura 1, devemos proceder da seguinte
maneira:
1º Passo- Com a utilização do campo de entrada represente graficamente a função
32)^3(3
1 +−−= xy , neste caso optou-se por uma parábola com a concavidade voltada para
baixo deslocada em relação ao eixo x e ao eixo y, para trabalharmos no primeiro quadrante.
Figura 15- Comando digitado no campo de entrada
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A seguir clique Enter e obteremos graficamente a curva c que aparecerá na área de
trabalho do software.
Figura 16- Gráfico da curva 32)^3(3
1 +−−= xy
OBS.: A equação que representa a parábola estará contida em objetos livres.
2º Passo - Na barra de ferramentas, deslize sobre a segunda caixa até selecionar novo
ponto, marque dois pontos sobre a parábola um denominado por A e outro por B, em seguida
selecione na primeira caixa mover, arraste o ponto A para as coordenadas definidas por
(0,5; 0,92) e arraste ponto B para as coordenadas (5;1,67) coordenadas ao acaso.
Neste caso pode ser escolhidos qualquer dois pontos distintos que pertençam a curva, a
opção de escolher esses pontos é dada para a construção ser semelhante a Figura 1, mostrada
anteriormente.
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Figura 17- Pontos sobre a curva
OBS.: Os pontos A e B estarão contidos em objetos dependentes na janela de álgebra.
3º Passo - Clique com o botão direito do mouse em cima do ponto A, selecione
renomear na janela que aparecerá (veja figura 18), abrirá outra janela, após substitua o ponto
A por P e o ponto B por Q, neste caso observa-se que na janela de álgebra será feita a
mudança também.
Figura 18- Recurso para renomear objeto
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Figura 19- Pontos A e B renomeados para P e Q
4º Passo - Na terceira caixa na barra de ferramentas, selecione reta definida por dois
pontos e trace uma reta passando por P e Q basta clicar em cima do ponto P e em
seguida clicar em cima do ponto Q;
Figura 20- Construção da reta secante passando por P e Q
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OBS.: Renomeie a reta a que passa por P e Q denomine-a como Secante1.
Figura 21- Reta denominada secante 1
5º Passo- Trace a reta tangente à parábola passando por P, para isso na barra de
ferramentas selecione a quarta caixa e escolha tangentes, após clique sobre a parábola e em
seguida no ponto P. Em propriedades renomeie a reta como tangente e na opção de
propriedades altere a cor e a espessura da reta.
Figura 22- Construção da reta tangente passando pelo ponto P
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Obtida uma reta secante passando por P e Q, e encontrada a reta tangente à parábola
passando por P o próximo passo é fazer o ponto Q tender ao ponto P, de modo que ao final Q
se aproxime cada vez mais do ponto P, para isso traçamos retas secantes passando por dois
pontos, P fixo, e outro ponto acima de Q, no software procedemos da seguinte maneira;
6° Passo- Refaça o 4º Passo, mas escolha outro ponto sobre a curva mais próximo de
Q, denomine-o como Q1, e construa uma reta passando por P e Q1, em seguida clique sobre a
reta e escolha propriedades altere a cor da reta e renomeie a reta como Secante 2, para facilitar
veja Figura 23.
Figura 23- Construção da reta secante PQ1
7º Passo- Faça o procedimento do 6º Passo para outros pontos denomine os pontos
como Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 e Q7, alterando a cor das retas com cores distintas e renomeando as
retas que serão construídas para diferenciá-las, utilizando o recurso de propriedades.
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Figura 24- Construção das retas secantes à medida que Q se aproxima de P
Após na janela da álgebra clique em cima de cada uma das retas com o botão direito
do mouse e escolha a forma da equação, com isso se visualiza com mais facilidade o
coeficiente angular das retas obtidas, pois muda a forma da equação que está dada como
ax + by = c, para y = Kx + d, veja a figura 25.
Figura 25- Mudar forma da equação
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Figura 26- Gráfico representando as retas secantes até obtenção da inclinação da reta tangente
Analisando o gráfico representado pela Figura 26, observa-se que conforme o ponto Q
tende ao ponto P através de (Q1, Q2,..., Q8), o valor das inclinações das retas secantes se
aproxima cada vez mais do valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P, quando
P = Q obtemos simplesmente uma única reta que denominamos de reta tangente à curva, neste
caso o limite existe e é chamado de Derivada da função quando P = Q, ou seja, quem
representa a Derivada é a taxa de variação instantânea da função no ponto.
Se tomarmos diferentes pontos sobre a curva obtemos diferentes retas tangentes com
diferentes inclinações, cada inclinação representando a Derivada no ponto selecionado caso a
função seja derivável.
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3.5 ANIMAÇÃO DA RETA SECANTE, ATÉ A OBTENÇÃO DA RETA TANGENTE
No software GeoGebra , possuímos recursos de animação manual ou automática, neste
trabalho optou-se por trabalhar com a animação manual, para deslocar a reta secante à curva
até encontrar a reta tangente a um ponto, neste caso partimos da Figura 22, construída
anteriormente, com as equações da retas já na forma y = Kx + d, onde K é a inclinação da
reta ou o coeficiente angular.
Figura 27- Reta tangente e uma reta secante
Agora basta clicar na primeira caixa da barra de ferramentas e selecionar mover, após
clique sobre o ponto Q que pertence à parábola e pressione no teclado do computador a tecla
(+) ou a tecla (–) assim obterá a animação do ponto Q juntamente com a reta secante1, em
nosso caso pressione a tecla (+) assim o ponto Q anda sobre a parábola e aproximará cada vez
mais do que ponto P tente animá-lo até que Q se aproxime cada vez mais do ponto P.
Observamos que na Janela de álgebra a equação da reta secante1 vai mudando, isto é,
sua inclinação vai se aproximando cada vez mais do valor da inclinação da reta tangente à
curva.
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Figura 28- Animação manual
Na Figura 27 observamos que o ponto Q está sobre o ponto P, neste caso na janela de
álgebra o software identifica a secante1 como indefinida, pois é naquele ponto que
encontramos a reta tangente a curva no ponto P, ou melhor, o limite da taxa de variação média
é igual à taxa de variação instantânea.
3 CONCLUSÃO
O desenvolvimento do trabalho mostrou que o uso do computador na educação
objetiva a integração deste no processo de aprendizagem dos conceitos curriculares em todas
as modalidades e níveis de ensino, podendo desempenhar um papel de facilitador entre o
aluno e a construção do seu conhecimento. Há uma necessidade dos docentes estarem
preparados para realizar atividades computadorizadas com seus alunos, determinar as
estratégias de ensino que utilizarão para conhecer as restrições que o software apresenta, e ter
bem claros os objetivos a serem alcançados com as tarefas a serem executadas.
O software GeoGebra propiciou neste trabalho entendermos o conhecimento de
limites e derivadas, de forma diferente, através de construções e manipulações feitas no
software que despertam mais interesse e atenção, contribuindo assim para sua aprendizagem
significativa.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS - ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. 6º edição Porto Alegre, Bookman, 2000 - BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Mirian Godoy, Informática e educação matemática. Belo Horizonte: autêntica 2001. - CANO, Cristina Alonso. Os recursos da Informática e os contextos de ensino e aprendizagem. In: SANCHO, Joana Maria. Para uma tecnologia educacional. 2° edição. Porto Alegre, Artmed, 2001. - COSCARELLI, C.V. O uso da Informática como instrumento de ensino-aprendizagem. Presença pedagógica. Belo Horizonte, mar/abr, 1998, p 36- 45. - LEVY. P. As tecnologias da Inteligência: O futuro do pensamento na era da Informática . Rio de Janeiro, Editora 34, 1995. - SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. Bolema – Boletim de Educação Matemática. Rio Claro, n. 14, p. 66-91, set. 2000. http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=pt. Acesso em: 14 set. 2009 http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php. Acesso em: 18 set. 2009.