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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA

NO ENSINO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE:

Uma aproximação entre a Geometria Dinâmica e a Educação Estatística.

Lucas Rodrigues Duarte

Belo Horizonte 2010


A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA

NO ENSINO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE:

Uma aproximação entre a Geometria Dinâmica e a Educação Estatística.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Orientador: Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte

2010

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Duarte, Lucas Rodrigues D812u A utilização do software Geogebra no ensino da distribuição normal de

probabilidade: uma aproximação entre a geometria dinâmica e a educação estatística. / Lucas Rodrigues Duarte, 2010.

129.: il.

Orientador: Dimas Felipe de Miranda Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.

1. Distribuição (Teoria da probabilidade). 2. Ensino e Aprendizagem. 3. Software Livre. 4. Material didático. 5. Ensino Superior. I. Miranda, Dimas Felipe de. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 51:378


A utilização do software Geogebra no ensino da distribuição normal de probabilidade: uma aproximação entre a geometria

dinâmica e a educação estatística.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

____________________________________________

Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda – Orientador – (PUC Minas)

____________________________________________ Prof. Dr. João Mário Andrade Pinto (CDTN/UFMG e FEA/FUMEC)

____________________________________________ Profª. Dr. Eliane Scheid Gazirie (PUC Minas)

“O acaso não é mais que a medida de nossa ignorância. Os fenômenos aleatórios são por definição, aqueles cujas leis ignoramos.”

Henri Poincaré

RESUMO

Esta dissertação investigou o uso do software Geogebra, aplicado ao ensino e aprendizagem

da distribuição normal de probabilidade, com alunos do curso de graduação tecnológica em

gestão da Produção Industrial, em uma instituição de ensino superior de Belo Horizonte. A

proposta consiste na elaboração de uma sequência didática, composta por atividades

investigativas estruturadas, que destacam algumas simulações e construções do modelo

normal através do Geogebra. Os principais dados foram levantados durante a aplicação da

proposta metodológica, com duas diferentes turmas do mesmo curso, no primeiro e segundo

semestre de 2009. As análises e interpretação dos dados foram predominantemente

qualitativas, e os resultados mostram possibilidades e contribuições do uso do software ao

ensino e aprendizagem deste tópico, além de observar alguns obstáculos e conflitos cognitivos

associados ao estudo introdutório da distribuição normal de probabilidade.

Palavras-chave: Geogebra, distribuição normal de probabilidade, sequência didática,

atividade investigativa.

ABSTRACT

This dissertation investigated the use of software Geogebra, applied in the teaching and

learning of normal distribution probability, in students of technologic graduation in gesture of

industrial production of a university of Belo Horizonte. The proposal consists in elaborate a

didactic sequence, composed of organized investigative activity, which detach some

simulations and construction of normal model using Geogebra. The main data were built up

during the application of the methodological proposal in two different class of the same

course in the first and second semester of 2009. The analysis and interpretations of the data

were predominantly qualitative and the results shows possibilities and contributions of the

software use in teaching and learning of this topic, besides observation of some obstacles and

cognitive conflicts associated in the introductory study of normal distribution probability.

Key Words: Geogebra, normal distribution probability, didactic sequence, investigative

activity.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Interface Geogebra....................................................................................................41

Figura 2: Interface Geogebra....................................................................................................42

Figura 3: Representação do ponto ............................................................................................42

Figura 4: Mover ponto..............................................................................................................43

Figura 5: Modificando ponto....................................................................................................43


Figura 7: Representação de dois pontos ...................................................................................44


Figura 9: Animação automática................................................................................................46

Figura 10: Reta por dois pontos................................................................................................47

Figura 11: Representação da reta..............................................................................................47

Figura 12: Modificando a equação da reta ...............................................................................48

Figura 13: Representações de diferentes retas..........................................................................49

Figura 14: Habilitar seletor.......................................................................................................50

Figura 15: Curva normal N[3,0.5]............................................................................................51

Figura 16: Área sob a cura normal N[3,0.5].............................................................................52

Figura 17: Modificando limites de integração..........................................................................53

Figura 18: Área sob a curva normal N[3,0.5], com limites associados a seletores..................53

Figura 19: Discretização da curva normal................................................................................54

Figura 20: Animação da aproximação normal .........................................................................55

Figura 21: Área ou probabilidade padronizada ........................................................................56

Figura 22: Área ou probabilidade padronizada ........................................................................57

Figura 23: Exibir planilha.........................................................................................................59

Figura 24: Inserindo dados na planilha.....................................................................................60

Figura 25: Ajuda histograma ....................................................................................................60

Figura 26: Limites de classes e dados brutos ...........................................................................61

Figura 27: Histograma..............................................................................................................61

Figura 28: Ordenar dados .........................................................................................................62

Figura 29: Valor da média........................................................................................................63

Figura 30: Valor da mediana ....................................................................................................63

Figura 31: Valor da moda.........................................................................................................64

Figura 32: Valor do desvio padrão ...........................................................................................65

Figura 33: Representação do Box plot, Histrograma e função N(30, 67).................................66

Figura 34: Ajuda do comando da caixa Box plot......................................................................66

Figura 33: Diagrama de dispersão............................................................................................67

Figura 34: Coeficiente de correlação........................................................................................68

Figura 35: Reta de regressão ....................................................................................................69

Figura 36: Regressão linear ......................................................................................................70

Figura 37: Curva normal N[3,0.5]............................................................................................72

Figura 38: Criar uma ferramenta ..............................................................................................72

Figura 39: Selecione os objetos finais ......................................................................................72

Figura 40: Selecione os objetos iniciais ...................................................................................73

Figura 41: Definindo nome, comando e ícone da ferrammenta ...............................................73

Figura 42: Nova ferramenta criada...........................................................................................74

Figura 43: Quincunx com duas classes de agrupamento..........................................................81

Figura 44: Quincunx com onze classes de agrupamento..........................................................81

Figura 45: Quincunx com vinte classes de agrupamento .........................................................81

Figura 46: possíveis formatos de agrupamento ........................................................................82

Figura 47: Simulação da aproximação normal dividida em dois retângulos............................82

Figura 48: Simulação da aproximação normal dividida em cinco retângulos..........................82

Figura 49: Simulação da aproximação normal dividida em grande quantidade de retângulos 83

Figura 50: Arquivo da segunda atividade.................................................................................93

Figura 51: Arquivo da terceira atividade..................................................................................99

Figura 52: Protocolo de resolução, terceira atividade ............................................................100

Figura 53: Curva normal N(17, 0.5) .......................................................................................102

Figura 54: Protocolo de resolução, quarta atividade..............................................................105

Figura 55: Protocolo de resolução das questões 3 e 4 , quarta atividade ...............................106



Figura 2: Quincunx com vinte classes de agrupamento.........................................................116

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1: Representação gráfica da função de densidade de probabilidade N(0,1)................16

Gráfico 2: Diferentes curvas normais e quadrado de equi-área................................................17

Gráfico 3: Curva normal e pontos notórios ..............................................................................18

Gráfico 4 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, a] .....................................................18



Gráfico 7 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, 2,5] ..................................................20

Gráfico 8 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, z]......................................................21

Gráfico 9: Área de probabilidade da função Φ(z) ...................................................................71

Gráfico 10: Representação de uma parábola ............................................................................79

Gráfico 11: Área de probabilidade )( 1xzP ≤≤µ ....................................................................86

Gráfico 12: Área de probabilidade )( 12 xzxP ≤≤ ...................................................................86

Gráfico 13: Área de probabilidade )( 12 xzxP ≤≤ ...................................................................86

Gráfico 14 : Pontos notórios em relação à média e o desvio padrão........................................95

Gráfico 15: Representação de diferentes curvas normais.........................................................96

Gráfico 16: Frequência de acertos das duas turmas ...............................................................104

LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Atividade com quincunx..........................................................................................89



Quadro 4: Segunda atividade....................................................................................................93




SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................13

2 DISTRUBIÇÃO NORMAL................................................................................................15 2.1 Síntese Histórica ...............................................................................................................15 2.2 O Modelo Normal .............................................................................................................16 2.3 Cálculo de Probabilidade.................................................................................................18 2.4 Distribuição normal Padronizada..................................................................................20

3. EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA, ATIVIDADE INVESTIGATIVA E SEQUÊNCIA DIDÁTICA..............................................................................................................................23 3.1 Educação Estatística, uma atitude didática em construção..........................................23 3.1.1 Educação Estatística e as tecnologias da informação ..................................................25 3.1.2 As tecnologias da informação e as questões críticas.....................................................27 3.1.3 O uso de softwares de geometria dinâmica no ensino de Estatística, uma possibilidade empreendedora.........................................................................................................................28 3.2 Atividade Investigativa, resolução de problemas e uma postura didática questionadora..........................................................................................................................29 3.3 Sequência Didática ...........................................................................................................32 3.3.1 Análise da tipologia dos conteúdos ................................................................................35 3.3.1.1 O Conteúdo Conceitual..............................................................................................36 3.3.1.2 O Conteúdo Procedimental.......................................................................................37 3.3.1.3 O Conteúdo Atitudinal...............................................................................................37

4. GEOGEBRA, UMA PODEROSA FERRAMENTA PARA EXPERIMEN TAÇÃO...38 4.1 A experimentação matemática através de simulações ..................................................38 4.2 Apresentando o Geogebra................................................................................................39 4.2.1 Interface ..........................................................................................................................40 4.3 Explorando o Geogebra ...................................................................................................41 4.3.1 Construindo ponto a partir da “Barra de ferramentas” ...............................................41 4.3.1.1 Modificando Objeto....................................................................................................43

4.3.2 Construindo ponto através do “Campo entrada de comando” .....................................44 4.3.3 Construindo um ponto genérico P=(a,b) .......................................................................45 4.3.3.1 Utilizando o recurso : animação automática............................................................46

4.3.4 Construindo Reta a partir da “barra de ferramentas”..................................................46 4.3.4.1 Construindo Reta através do “campo de entrada de comando”............................48 4.3.4.2 Construindo uma reta genérica.................................................................................49

4.4 Representando o modelo normal ....................................................................................50 4.4.1 Procedimentos para construção do modelo normal N(µ, σ) .........................................51 4.5 Calculando área de probabilidade..................................................................................52 4.5.1 Cálculo de integrais definidas........................................................................................52 4.6 Soma Inferior e Superior de Reimann............................................................................54 4.7 Distribuição Normal Padronizada (z).............................................................................55 4.8 O pacote de Estatística .....................................................................................................58 4.8.1 Explorando as medidas Descritivas ...............................................................................58 4.8.1.1 Histograma..................................................................................................................60 4.8.1.2 Cálculo das medidas de Centralidade.......................................................................62

4.8.1.2.1 Cálculo da Média Aritmética.....................................................................................62

4.8.1.2.2 Cálculo da Mediana...................................................................................................63 4.8.1.2.3 Moda..........................................................................................................................64 4.8.1.3 Medidas de Dispersão.................................................................................................64

4.8.1.3.1 Desvio Padrão............................................................................................................65 4.8.1.4 Diagrama de Caixa (Box Plot)...................................................................................65

4.8.2 Análise de Regressão ......................................................................................................66 4.8.2.1 Coeficiente de Correlação..........................................................................................68 4.8.2.2 Regressão Linear........................................................................................................68

4.8.3 Cálculo de Probabilidades..............................................................................................70 4.8.3.1 Cálculo de Probabilidades com o modelo Normal...................................................70

4.8.4 Construindo suas próprias ferramentas ........................................................................71 4.8.4.1 Construindo uma ferramenta para construção do gráfico da função normal de densidade de probabilidade N(µ, σ). .....................................................................................71

5 SALA DE AULA E O LABORATÓRIO DO PROFESSOR ..........................................75 5.1 Pesquisa, pesquisa em educação Matemática e suas importâncias..............................75 5.2 Contexto e sujeitos da pesquisa .......................................................................................77 5.3 A elaboração da sequência didática................................................................................78 5.3.1 Estruturação da Sequência didática ..............................................................................79 5.3.1.1 Primeira atividade......................................................................................................80 5.3.1.2 Segunda atividade.......................................................................................................83 5.3.1.3 Terceira atividade.......................................................................................................84 5.3.1.4 Quarta atividade.........................................................................................................85

5.4 Análise da sequência didática e a sequência dos conteúdos .........................................87 5.5 Análise da aplicação da seqüência didática e principais implicações educacionais ...88 5.5.1 Primeira Atividade (Aproximação normal) ...................................................................88 5.5.2 Segunda Atividade ..........................................................................................................92 5.5.3 Terceira Atividade...........................................................................................................98 5.5.4 Quarta Atividade...........................................................................................................101

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................109

REFERÊNCIAS: ..................................................................................................................111

APÊNDICE ...........................................................................................................................115

13

1 INTRODUÇÃO

Recentemente a estatística vem ganhando cada vez mais espaço nas mídias como nos

noticiários, jornais e revistas, sendo muito comum encontrar informações provenientes de

análises qualitativas de dados que sintetizam informações do cotidiano e da vida moderna.

Esta relevância que este tema tem alcançado também vem influenciando os currículos, o que

pode ser observado na importância e destaque que os PCN´s de ensino fundamental e médio

dão ao termo Estatístico e Probabilidade.

A autora espanhola, Batanero (2001), destaca a recente incorporação da Estatística, de

forma geral, ao currículo de Matemática nos diferentes níveis de ensino que vão desde o

ensino fundamental até o ensino superior. Ainda segundo esta autora, a importância que o

ensino de Estatística vem ganhando, tem influenciando o desenvolvimento e o estudo de

currículos específicos da área.

Por outro lado, a distribuição normal de probabilidade é um tema de grande

importância para o desenvolvimento da Estatística inferencial, e ao mesmo tempo também

tem sua relativa importância para Matemática, pois este fora objeto de estudo de grandes

nomes da Matemática como Gauss, De Moivre e outros.

A crescente relevância da Estatística no currículo atual, e ao mesmo tempo a grande

importância da distribuição normal de probabilidade como conteúdo, justificam as intenções

de pesquisa deste objeto, vinculado às práticas educativas.

Neste trabalho pretendemos apresentar algumas possibilidades de utilização do

software Geogebra aplicado ao ensino e aprendizado da distribuição normal de probabilidade,

destacando possíveis simulações e construções que o programa permite realizar.

De acordo com esta proposta, o problema deste trabalho é investigar “se é possível, e

como um software de geometria dinâmica, o geogebra, pode ser utilizado para o ensino e a

aprendizagem da distribuição normal de probabilidade?”.

Na tentativa de alcançar resposta à questão de pesquisa, o objetivo principal deste

trabalho foi elaborar uma sequência didática (ZABALA, 1998), composta por atividades

investigativas (PONTE, 2003), que colabore para o ensino e aprendizagem da distribuição

normal de probabilidade, utilizando alguns recursos do software Geogebra.

Assim pretende-se: explorar algumas funções básicas do software aplicado à

distribuição Gaussiana; elaborar um tutorial do programa, que ilustra aplicação de algumas

ferramentas do software para a construção de representações da distribuição normal de

14

probabilidade, além de mostrar algumas ferramentas da Estatística; elaborar e aplicar uma

sequência didática que possibilite o ensino deste tópico, aplicando algumas ferramentas do

software, através de atividades investigativas; e finalmente, realizar uma análise a partir de

observações deste processo múltiplo composto por quatro práticas.

Conforme a composição deste texto, o segundo capítulo começa com a síntese

histórica, destacando as colaborações dos matemáticos de diferentes épocas, mas de períodos

próximos, De Moivre e Gauss, em seguida são feitas discussões sobre a sistemática deste

modelo.

No terceiro capítulo, são apresentadas as principais discussões educacionais

começando pelo surgimento da educação estatística, passando pela relevância deste tema para

educação matemática. Seguindo esta ordem, à questão das novas tecnologias, também é

incorporado às temáticas da educação estatística e matemática. Finalizando o segundo

capítulo, são apresentados os principais fundamentos pedagógicos envolvidos e o conceito de

sequência didática e atividade investigativa.

No quarto capítulo o foco é o software, onde são apresentados alguns conceitos

básicos de utilização, passando-se à utilização do programa para representação e construções

com o modelo normal, além de mostrar algumas ferramentas do pacote de Estatística

acrescentadas a partir da versão 3.2.

No quinto capítulo, são discutidos os elementos metodológicos da pesquisa, descrição

das turmas envolvidas, a elaboração e apresentação das intenções de cada atividade, chegando

à análise dos dados registrados a partir das quatro práticas, com as duas turmas.

Nas considerações finais, os principais resultados da pesquisa são apresentados e

algumas questões educacionais ligadas ao ensino deste tópico são mencionadas, além de

sugestões para futuras pesquisas.

15

2 DISTRUBIÇÃO NORMAL

2.1 Síntese Histórica

A distribuição normal é um modelo matemático que representa uma importante

ferramenta da Estatística. O modelo normal tem no seu processo de construção histórica, um

rico estudo epistemológico que passa pelo desenvolvimento e evolução de diversas áreas da

matemática.

A distribuição normal tem sua origem associada à observação do erro de mensuração,

no séc. XVIII. Há indícios de que tais erros de mensuração eram observados principalmente

pelos astrônomos, pois na tentativa de estimar as órbitas de corpos celestes havia

necessariamente um fator de erro de observação. No início, este fenômeno ficou conhecido

como lei do erro (STEWART, 1991).

O primeiro matemático a trabalhar com as distribuições de probabilidade foi o francês

Abraham De Moivre, entre (1667-1754). De Moivre era um exilado político, que foi para

Inglaterra onde conheceu Newton e Halley e em 1697 foi eleito membro da Real Academia de

Ciências.

De Moivre foi um importante colaborador no desenvolvimento na teoria de

probabilidade. Ele procurou dar sentido algébrico à teoria das probabilidades, sendo o

primeiro matemático a trabalhar com a expressão da lei do erro, por volta de 1733.

(1)

Apesar De Moivre ser o descobridor da função normal, este objeto reverencia outro

importante matemático, o alemão Karl F. Gauss (1777- 1855), pois atualmente é muito

comum encontrar em livros e artigos do ramo, o enunciado com o título distribuição

Gaussiana. Tal fato se deve em razão das contribuições do matemático alemão Karl F. Gauss,

que também trabalhou e realizou estudos sobre lei dos Erros.

Embora o trabalho de Moivre seja recente, Gauss desenvolvera a teoria do erro

independentemente, pois o trabalho de Moivre ficou perdido por certo tempo

(MONTGOMERY, 2003).

Gauss realizou estudos em diversas áreas da Matemática. É possível que ele tenha

trabalhado com a lei dos erros, pós 1810, período em que se aproximou dos estudos do

20

2 π=∫∞

− dxe x

16

cosmos e dedicou-se à astronomia. No observatório de Gottingëm, onde Gauss ocupava o

cargo de diretor, trabalhou na construção de instrumentos e observações astronômicas, que

possivelmente o levaram a resultados significativos para formulação da teoria dos erros

(BOYER, 1974).

De acordo com o modelo de Gauss, cada medida ou mensuração é exatamente igual à

medida ideal mais o erro de medição. Logo, os resultados obtidos em consequência de

repetidas medidas, que se diferem um do outro, se distribuem em torno de um valor ideal, ou

valor nulo (FREEDMAN, 2007).

É importante observar o trabalho e a colaboração efetiva que Gauss teve na elaboração

da lei do erro. Assim, o termo Distribuição Gaussiana, não pode ser visto como um modismo

de alguns autores, como o caso do “discriminante de uma equação do 2º grau”, ser designado

como fórmula de Bhaskara.

2.2 O Modelo Normal

A distribuição normal é representada algebricamente pela função de densidade de

probabilidade, apresentada abaixo:

(2)

Gráfico 1: Representação gráfica da função de densidade de probabilidade N(0,1)

Fonte: Construído no Geogebra

A expressão (2) é uma função de densidade de probabilidade, pois satisfaz as duas

condições:

Rxxf /∈∀≥ ,0)( ; (3)

∫/

=R

dxxf 1)(. (4)

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

−

⋅=x

exf

17

A função f(x) é uma função exponencial de uma variável real, que possui dois

parâmetros (µ) a média e (σ) desvio padrão. Trata-se de uma função composta por três dos

mais importantes objetos numéricos: π,e e 2 .

A curva normal possui as seguintes propriedades:

1. É simétrica em relação ao centro;

2. f(x) tem máximo em (x = µ);

3. ±∞→

=x

xf 0)(lim O limite da função f(x) é igual a zero, quando (x) tende para mais,

ou menos infinito.

4. Tem dois pontos de inflexões em σµ ±=x ;

5. A área total compreendida entre a curva até o eixo das abscissas é igual a 1.

Em decorrência das propriedades (2) e (3), a curva normal é assintótica em relação ao

eixo das abscissas, em ambas as direções.

Em relação aos parâmetros, para cada curva normal com média (µ) e desvio padrão (σ),

existe um e somente um par ordenado N(µ,σ). Através dos valores da média e do desvio

padrão, pode-se identificar cada curva ou função normal.

O exato formato de cada curva normal também dependerá dos parâmetros (µ) média e

(σ) desvio padrão. A variação destes respectivos parâmetros implica nos movimentos de

translação e achatamento do gráfico. No entanto, todas as representações normais são

simétricas, têm formato semelhante ao contorno de um sino e a área total sob a curva é igual à

área do quadrado ABCD (gráfico 2), que tem ao todo uma unidade de área cartesiana ao

quadrado.

O plano cartesiano abaixo (gráfico 2), mostra três diferentes curvas normais de acordo

com os respectivos parâmetros (µ) e (σ).

Gráfico 2: Diferentes curvas normais e quadrado de área unitária


18

Quando se utiliza o modelo normal, o valor da média indica o centro da distribuição, e

o desvio padrão mede a dispersão do conjunto, indicando a variabilidade em relação ao centro.

Aproximadamente 68% da área total da curva está localizada entre σµ ± e

estendendo aproximadamente 95% da área total está localizada entre σµ 2± . O intervalo

maior σµ 3± da (gráfico 3), contempla aproximadamente 99,7% da área total compreendida

sob a curva e o eixo (x). Estes valores podem ser obtidos através do método empírico,

extraídos de qualquer conjunto numérico que seja modelado por uma distribuição normal.

Gráfico 3: Curva normal e pontos notórios Fonte: Construído no Geogebra

2.3 Cálculo de Probabilidade

A probabilidade em distribuições normais sempre está associada a valores de área sob

a curva. A área total sob qualquer curva normal é sempre igual 1 ou (100% de probabilidade).

Para qualquer que sejam os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), a probabilidade de

uma variável aleatória (x) variar entre ),( ∞−∞ será sempre igual a 1 ou (100% de

probabilidade).

A probabilidade em distribuições normais será calculada em temos de valores

contínuos. Em síntese, a probabilidade de uma variável aleatória contínua que segue a

distribuição normal, (x) assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a

curva normal entre estes pontos.

Gráfico 4 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, a]


19

Observe que a área de probabilidade delimitada pelo o intervalo [µ, a] (gráfico 4) é

superior a área delimitada pelo intervalo [µ, b] (gráfico 5). Logo, podemos dizer que um dado

valor aleatório de (x) tem maior probabilidade de estar entre [µ, a] do que entre o intervalo [µ,

b] .

Gráfico 5 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, b]


O cálculo de probabilidade será efetuado em relação a um intervalo contínuo. Por

outro lado, a probabilidade de predizer um valor exato será igual a zero, pois:

0)()(0

0

0 === ∫x

x

dxxfxXP (5)

Para efetuar cálculos de probabilidade com modelo normal, basta medir a quantidade

de área sob a curva e o eixo (x), em relação a um dado intervalo Rba /∈),( (gráfico 6).

Gráfico 6 : Área sob a curva normal entre os pontos [ a,b]


Se os valores dos parâmetros (µ) e (σ) forem conhecidos, a área da região é dada por:

dxxfbxaPb

a∫=<< )()( (6)

O cálculo da área desta região exige recursos do cálculo diferencial integral, além de

que este tipo de função não possui integral algébrica. Neste o caso, o método de Simpson

pode ser utilizado, que é uma questão de interesse do cálculo numérico.

20

2.4 Distribuição normal Padronizada

O cálculo de probabilidade normal pode ser simplificado quando utilizamos valores

tabelados, que permitem encontrar facilmente os valores de probabilidades desejados.

Como a função de densidade de probabilidade representada pela expressão (2) está

associada aos parâmetros (µ) e (σ), neste caso é possível utilizar a escala padronizada (z), para

efetuar a mudança de variável, transformando a variável aleatória (x) na variável aleatória (z).

σµ−= x

z (7)

A escala (z) permite associar os valores de (x), com valores da escala (z), de acordo

com os respectivos valores de (µ), (σ). Assim, não será necessário construir tabelas para cada

função normal N(µ,σ).

O valor da escala (z) indica intensidade de afastamento da variável (x) até a média (µ),

em relação ao desvio padrão (σ). Ou seja, é o comprimento relativo em desvios padrões, entre

a média (µ) até o ponto (x).

A distribuição normal padronizada é representada pela curva normal de parâmetros

N(0,1), indicada no (gráfico 7 ).

Gráfico 7 : Área sob a curva normal entre os pontos [µ, 2,5]


Como a curva normal é simétrica, basta obtermos as áreas de apenas um dos lados. Os

valores (z) da (tabela 1) são os respectivos valores de áreas, compreendidas entre a média e

um ponto (x) à direita da média.

Se um dado conjunto que tem média (µ=10) e desvio (σ =0.5), vamos calcular a

probabilidade de (x) variar entre a média até o ponto (x= 11,25).

Primeiro calcula-se o respectivo valor de (z).

5,25,0

)10()25,11( =⇒−= zz

(8)

21

Com o valor de z= 2,5 a área compreendida entre a média (µ) e o ponto (x) é dado pelo

valor de (z) na (tabela 1), localizado na intersecção da vigésima primeira linha com sexta

coluna. 4938,0)5,20()25,1110( =≤≤=≤≤ zPxP ou 49,38% de probabilidade.

Gráfico 8 : Área sob a curva normal entre os pontos [0, z]


A (tabela 1) representa os valores de área ou probabilidade compreendidas entre a

média (µ=0) até o ponto (z). No entanto, para uma distribuição de média e desvio padrão

qualquer, com a expressão (7) é possível converter a variável aleatória (x) em padronizada (z),

e com o respectivo valor de (z) encontra-se a probabilidade requerida.

Quando se utiliza o modelo normal para efetuar cálculo de probabilidades, muitas

vezes até passa despercebido o quanto o conhecimento Matemático precisou evoluir para que

fosse possível utilizar o modelo normal aplicado à probabilidades. O simples fato dos objetos

matemáticos serem utilizados pela Estatística de uma forma pragmática pode esconder a

essência de um verdadeiro estudo epistemológico que transcorreu até a forma atual. Pois o

conceito de área ou probabilidade com o modelo normal está associado a um dos principais

conceitos do cálculo que é a possibilidade de integração.

Um pouco mais a fundo, olhando para o desenvolvimento do cálculo, remete ao estudo

do pré-cálculo e a continuação desta observação percorre a teia de grande parte do território

da matemática, o que mostra a posição de destaque que o modelo normal exerce.

Mesmo que de uma forma indireta, o estudo do modelo normal mostra-se uma grande

extensão de trânsito livre entre diferentes áreas e conceitos matemáticos, que vai desde a

teoria de probabilidades passando pela análise real, geometria analítica, aritmética e outras

áreas, e ao mesmo tempo, a concepção do modelo normal dá passagem para outro importante

campo da ciência a Estatística Inferencial.

22

Tabela 1

Área ou probabilidade para distribuição normal padrão (ANDERSON, 2002)

23

3. EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA, ATIVIDADE INVESTIGATIVA E SEQUÊNCIA

DIDÁTICA

3.1 Educação Estatística, uma atitude didática em construção

Recentemente a estatística vem ganhando cada vez mais espaço nas mídias como nos

noticiários, jornais e revistas, sendo muito comum encontrar informações provenientes de

análises qualitativas de dados, que sintetizam informações do cotidiano e da vida moderna.

Esta relevância que este tema tem alcançado também vem influenciando os currículos, o que

pode ser observado na importância e destaque que os PCN´s de ensino fundamental e médio

dão ao termo Estatístico e Probabilidade1.

Com relação à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coleta, organização, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem freqüentes em seu dia-a-dia.(BRASIL, pg 56, 1997)

Em termos da probabilidade, os PCN´s (1997) destacam a importância do efeito do

aleatório na natureza e a compreensão de que grande parte dos acontecimentos cotidianos são

frutos de eventos aleatórios. A escola deve trabalhar de forma intuitiva as noções de acaso e

incerteza, na medida em que se explorem situações experimentais em observação de espaços

equiprováveis.

Autores como Turkman e Ponte (2000), Batanero (2001), destacam a recente

incorporação da Estatística de forma geral, ao currículo de Matemática nos diferentes níveis

de ensino, que vão desde o ensino fundamental até o ensino superior. Ainda segundo Batanero

(2001), esta importância que o ensino de Estatística vem ganhando tem influenciado o

desenvolvimento e o estudo de currículos específicos da área.

No entanto, conforme Turkman e Ponte (2000), em muitos casos estes temas têm sido

colocados em segundo plano na estrutura curricular, sendo o primeiro tópico descartado em

caso de adaptação do programa de curso. Este fato pode ser explicado em grande parte pela

falta de aptidão e conhecimentos sobre o assunto, de muitos professores de matemática.

1 Lopes (2008) observa a incorporação do tema Estatística e Probabilidade no ensino infantil, destacando a incorporação destes temas no currículo através de projetos, que podem ser propostos tanto pelo professor quanto escolhidos pelos alunos.

24

A preocupação com a melhora do ensino e aprendizagem estatística é objeto de

interesse de estudo para própria estatística justificado pela necessidade de formação de

profissionais da área. Desta preocupação emerge a temática de uma Educação Estatística

associada ao estudo da didática deste assunto, que ao mesmo tempo também é temática de

interesse da educação matemática (BATANERO, 2001).

Todavia, a temática da educação estatística passa a ser objeto de estudo da educação

matemática como uma especificidade, na medida em que o “tratamento de informação” é

incorporado ao currículo de Matemática.

Apesar da aparente aproximação entre educação Estatística e Matemática, o mesmo já

não pode ser observado em relação à Estatística e à Matemática como ciências. Enquanto a

Estatística se consolida como uma ciência própria, se desvincula e segue uma tendência

natural de afastamento da Matemática como ciência pura. Este afastamento parece ser

próximo do que aconteceu com as demais ciências em relação à Filosofia.

Por outro lado existem pontos de contraste entre a educação Estatística e Matemática

que devem ser pontuados para que seja possível o desenvolvimento de pesquisas e

experimentação de métodos de ensino adaptados à proficiência e necessidades específicas da

Estatística (BATANERO, 2001).

Para Campos (2007), apesar da Estatística fazer parte da Matemática escolar, existem

pontos de discordância em relação à didática da Estatística, pois o trabalho Estatístico lida

com objetos e conteúdos de forma distinta da Matemática. No entanto, o autor destaca

aspectos de aproximação entre ambas reforçada pela educação crítica, que é pautada pela:

competência crítica do aluno, currículo crítico e o ensino e aprendizagem voltada para

resolução de problemas e questões investigativas.

A compreensão de um modelo de educação Estatística deve também estar voltada para

questões epistemológica da Estatística, que conta com sua axiomática própria. Em termos

desta axiomática, a base Matemática tem um caráter definidor dos conceitos Estatísticos.

A estrutura axiomática da Estatística pode ser divida de modo que princípios de

aleatório e a incerteza tenham elementos e aspectos de uma lógica ou determinística da

Matemática. Por outro lado, existem outros elementos tais como a escolha da forma de

organização dos dados, o resumo, a simplificação, a interpretação, a reflexão e a tomada de

decisões mostrando uma fase mais subjetiva do tratamento estatístico (CAMPOS, 2007). Este

tipo de tratamento estatístico mostra-se uma ferramenta eficaz na solução de problema geral

da ciência, na medida em que é possível analisar questões científicas particulares, através da

axiomática Estatística como uma ferramenta metodológica.

25

Em suma, os principais desafios da Educação Estatística refletem sobre o ensino e

aprendizagem diante de uma problemática e da importância do seu ensino; dos temas e de

como abordá-los; das dificuldades de ensino e aprendizagem; de como fazer a formação

inicial de professores, desenvolvimento e aperfeiçoamento de prática de ensino nesta área

(TURKAM; PONTE, 2000).

3.1.1 Educação Estatística e as tecnologias da informação

A evolução e a presença das Tecnologias da Informação (TIC´s) têm modificado a

ação humana e tornando o sistema cotidiano ligado à tecnologias, o universo on-line. Esse

efeito tem consequência em diversas áreas do conhecimento inclusive na Estatística como

ciência pura e também no ensino como uma potencial ferramenta metodológica.

A utilização de meios tecnológicos pode ser tão antiga quanto a nossa origem, pois

segundo Guimarães e Lages (1985) o primeiro computador utilizado pelo homem foi o

monumento de STONEHENGE, por volta de (2600 a.C.- 1700 a.C.). Este dispositivo é capaz

de trabalhar com dados astronômicos dos movimentos solares e lunares sendo capaz de prever

eclipses.

No entanto, a evolução concisa dos computadores passa obrigatoriamente pelo

desenvolvimento da idéia de números e base numérica. Destaque os nomes de Napier, Pascal,

Leibnitz e outros. Estes matemáticos colaboram na construção de equipamentos para

realização de cálculos, mas a evolução destes artefatos passou a ser tão proeminente que estes

instrumentos passaram a ser capaz, de ao mesmo tempo, além de processar dados, armazenar

informações como o próprio programa de instruções. A fantástica evolução e

desenvolvimento dos computadores são apontados como a grande façanha da Matemática, no

século XX (EVES, 2004).

Por outro lado, o desenvolvimento das tecnologias da informação tem surgido como

facilitador ao tratamento da informação, o que permite cada vez mais trabalhar com grandes

conjuntos numéricos de modo rápido, prático e seguro. Assim, a necessidade de utilização de

tecnologias da informação na análise numérica colabora para o desenvolvimento da própria

ciência e ao mesmo tempo gera novas perspectivas de ensino e aprendizado deste assunto.

Muitos são os estudiosos que apostam na utilização de tecnologias da informação para

o aprimoramento dos mecanismos de ensino e aprendizagem de Estatística.

26

Segundo Freitas (2000) a utilização de calculadoras gráficas no ensino de Estatística,

pode ser perfeitamente empregada sem desprezar os procedimentos de cálculo intermediários.

Para esse autor, tanto o ensino de Matemática como o ensino de Estatística devem tirar

proveito destas ferramentas utilizando-se do cálculo direto para se chegar na formulação de

conjecturas.

Para Canavarro (2000) estes equipamentos permitem tanto a professores e alunos,

rapidez e rigor na produção de medidas Estatísticas, o que possibilita ao aprendiz maior

concentração de sua atenção nos aspectos mais elaborados e complexos do trabalho, como na

interpretação, organização e simplificação. Assim, permitem ao aluno tratar os objetos

Estatísticos de uma forma exploratória e investigativa.

Batanero (2001) reconhece a importância das tecnologias da informação para o

trabalho estatístico e defende sua utilização no ensino deste tema devido às grandes vantagens

dos computadores com seu dinamismo, velocidade e crescente quantidade de novos softwares

que permitem explorar todos os aspectos do processamento de dados, o que possibilita

agregar novos tópicos ao ensino de Estatística.

As tecnologias da informação têm modificado a ação humana, e à medida que é

possível, utilizando-se essas ferramentas, mediar processos e gerar serviços mais eficientes e

seguros. A procura por métodos e procedimentos tecnológicos que agilizem a ação humana,

sempre foi objeto de interesse contínuo crescente, desde os primórdios aos dias atuais. É

importante observar que, assim como em outras áreas, os novos meios tecnológicos têm

gerado novas perspectivas de promoção do ensino e aprendizagem sustentável.

Diante de tais circunstâncias a utilização de tecnologias da informação no ensino

mostra-se como um caminho sem volta, pois ao negar a aproximação da ação humana com

novas tecnologias seria negar a própria evolução do conhecimento. Logo, cabe ao professor

procurar medidas e meios que possam aproximar sua prática das tecnologias, na medida em

que se possa aprimorar e enriquecer os processos de ensino e aprendizado.

27

3.1.2 As tecnologias da informação e as questões críticas

A utilização de tecnologias da informação e educação têm sido uma temática presente

nas últimas décadas, tanto no Brasil quanto no exterior e provavelmente esta discussão

permanecerá nos próximos anos. No entanto, o mais importante é evoluir sob aspectos

relacionados a esta discussão, de modo que se reflita, sobre o novo palco educacional e a

presença destes “novos atores”, os computadores e as demais tecnologias (BORBA, 2005).

Durante a década de 80 e parte da década de 90, a grande discussão ainda era sobre a

utilização ou não, de tecnologias da informação. Pois, ainda havia grandes preocupações e

dúvidas sobre as consequências e possíveis danos que as tecnologias poderiam causar,

tornando o aluno um mero operador, que apenas aperta teclados de uma máquina, que detém

ela própria, toda autossuficiência do raciocínio lógico-matemático (BORBA, 2005).

Este tipo de discurso pode ganhar força entre aqueles que pouco conhece sobre os

computadores, seu emprego e suas finalidades. Pois, se de algum modo o computador

passasse a ser o responsável pela formulação do raciocínio lógico-matemático, inserido na

resolução de problemas, o aluno não precisaria desenvolver estas habilidades e deixaria para o

computador.

Este tipo de tese pode ser facilmente refutado pela simples forma como as novas

tecnologias são utilizadas pelas pesquisas científicas de modo geral. Pois, dado um problema

científico qualquer, caberia ao investigador operar o computar e já teria a resposta. O que é

absurdo!

A idéia é utilizar as tecnologias da informação e tirar proveito dos inúmeros recursos e

capacidade de representações que estas mídias oferecem, do mesmo modo que outras mídias

como oralidade, lápis e papel também são utilizadas.

Segundo Borba (2005) a construção do trabalho escolar e produção de conhecimento

têm um forte vínculo e dependência de diferentes mídias.

[...] essa dependência existirá e estará bastante relacionada ao contexto educacional em que nos encontremos. Esse contexto está sempre geográfica e historicamente determinado e sua constituição depende também da disponibilidade de mídias como a oralidade, lápis e papel e a informática. (BORBA, p 13, 2005)

Borba (2005) formula uma observação crítica quanto a como se utilizar estas mídias,

em especial as tecnologias da informação, e segundo ele é importante observar para quais

28

problemas educacionais o computador é a resposta, ou até mesmo como as novas tecnologias

podem colaborar para o processo ensino e aprendizagem.

Questões como estas não têm uma única resposta, pois se tratam de um processo

complexo que envolve vários fatores como a disponibilidade do professor, tradição didática,

parâmetros institucionais e outros que talvez não sejam tão fáceis de reconhecê-los.

Do ponto de vista epistemológico, estes tipos de questões são vistos como de enorme

valor, pois através de questões como estas, podem levar ao exercício da reflexão, e assim,

exercitar a dúvida e o questionamento na busca de soluções que permeiam o trabalho

científico.

A extensão deste trabalho, passa pelo exercício de se pensar, para quais problemas

educacionais o computador pode trazer soluções? E a nossa proposta, mostra um universo de

possibilidades de utilização de softwares de geometria dinâmica, aplicado ao ensino de

distribuições contínuas de probabilidade.

3.1.3 O uso de softwares de geometria dinâmica no ensino de Estatística, uma possibilidade

empreendedora

A utilização de programas de geometria dinâmica e educação estatística não é algo

inédito, pois desde 2000 em um artigo publicado pelo Departamento de Educação e de

Estatística e Investigação Operacional da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa,

os autores Santos e Pedro (2000), já tinham apresentado algumas das possibilidades de

incorporação de programas de geometria dinâmica ao ensino de Estatística.

Os programas de geometria dinâmica podem ser aplicados à estatística devido ao simples fato que a geometria, e muito mais a geometria associada algum dinamismo se aplicada a diversas situações mundanas. Outra desmistificação que deve ser feita é o fato dos programas de geometria dinâmica poderem ser utilizados de mais maneiras além da simples construção por parte dos alunos. (SANTOS, PEDRO, 2000, p.168)

Segundo os autores, os programas de geometria dinâmica podem ser utilizados de três

formas distintas: Trabalhos sobre situações já feitas; Substituição de Acetatos (slides);

Construções feitas pelos alunos.

29

Os autores dão alguns exemplos de aplicações de programas de geometria dinâmica

aplicados ao ensino dos seguintes tópicos: medidas de tendências centrais; correlação; e

construção de medidas descritivas gráficas, como quartis e diagrama box plot.

Podem ser feitas obviamente muitas outras sugestões para aplicação dos programas de geometria dinâmica à estatística. [...]. Importante dizer que nós como professores devemos tem um papel ativo, no sentido em que devemos procurar as nossas próprias idéias, não ficando apenas acomodados a algumas idéias que nos foram sugeridas. (SANTOS, PEDRO, 2000, p.177)

Por outro lado, a aplicação de novas tecnologias ao ensino não é algo tão simples, pois

a utilização destas ferramentas deve passar por um cuidadoso processo que, segundo Pais

(2008), retrata como vigilância didática. Uma vez que esse devido cuidado, se não for tomado,

pode conduzir ao fracasso da validade educacional.

A aplicação de uma teoria deslocada de seu território original torna-se estéril, perde seu significado, obscurece sua validade e confunde a solução do problema estudado naquele momento. Assim, é preciso sempre estar atento à eficiência de uma interpretação pedagógica, o que depende fortemente da consciência de quem analisa o fenômeno. Em suma, é necessário o exercício de uma vigilância didática. (PAIS, 2008, p.23)

Diante desta perspectiva apontada por Pais, a vigilância didática deverá ser um

exercício quase que constante de todo trabalho escolar, pois a princípio, pretendemos difundir

o saber e conhecimentos de ramos distintos das Ciências Matemáticas. Logo, o grande

desafio de nossa pesquisa será direcionado pela questão: como explorar o uso de um software

de geometria dinâmica no ensino de distribuição normal de probabilidade?

A possibilidade empreendedora de utilizar-se um software de geometria dinâmica,

aplicado ao ensino de distribuição normal, será estruturada por uma sequência didática

(ZABALA, 1998), composta por atividades investigativas (PONTE, 2003)

3.2 Atividade Investigativa, resolução de problemas e uma postura didática

questionadora

A atividade investigativa é uma proposta metodológica de ensino que procura romper

com a proposta tradicional e tecnicista. Este tipo de prática de ensino exige novas demandas e

coloca a questão do ensino e aprendizagem sob uma perspectiva problematizada. A aplicação

30

desta proposta didática pode ser um grande exercício de amadurecimento para os sujeitos

envolvidos no processo.

Segundo Ponte (2003) este tipo de trabalho ou prática de ensino, procura utilizar a

síntese do trabalho investigativo dos matemáticos, dentro dos limites circunstanciais da sala

de aula. Diante desta perspectiva há uma busca por situações onde o aluno possa exercitar a

ação investigativa ou ato de inquirir, e mediante esta ação coordenada, ou não, ele passa a ser

o agente responsável pela produção de conhecimento e significados próprios e coletivos.

No entanto, em contextos educacionais, investigar não significa trabalhar com

questões absolutamente complexas e sofisticadas, pois este tipo de prática visa à formulação

de questões, observação de regularidades e padrões, na medida em que se procura a

formulação de respostas fundamentadas em observações e experimentações com objetos

matemáticos.

Desse modo, investigar não representa obrigatoriamente trabalhar em problemas muito difíceis. Significa, pelo contrário, trabalhar com questões que nos interpelam e que se apresentam no início de modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo organizado. (PONTE, p 9, 2003)

É importante que o professor perceba esta possibilidade de utilizar a atividade

investigativa como uma poderosa forma de construção de conhecimento, na medida em que a

atividade possibilite ao aprendiz à formulação de conjectura, teste das questões levantadas e

até mesmo, quando possível, a formulação da prova formal. Para Ponte (2003) o processo de

investigação é caracterizado pelo estilo conjectura-teste-desmonstração.

Silva (1999) observa a atividade de investigação como um trabalho que envolve um

percurso de tentativa e erro, de modo que se permita formulação de conjecturas e teste, análise

de analogias, com o propósito de validar ou refutar questões levantadas. Assim, atividade de

investigação permite uma ação reflexiva e crítica sobre os objetos e conceitos matemáticos.

No entanto, para Silva (1999) as atividades matemáticas escolares devem privilegiar o

processo de experimentação, e sendo as atividades investigativas uma metodologia

privilegiada que legitime o processo de experimentação e permita a integração de atitudes,

capacidades e conhecimentos. Pois, deste modo, a aprendizagem matemática não ficará

restrita a um processo em que os alunos apenas têm contato com o produto final.

Embora o uso de atividades investigativas possa parecer uma possível solução para

muitos dos problemas de ensino e aprendizagem, ao contrário, este tipo de abordagem

metodológica traz uma série de dificuldades tanto para o professor quanto para os alunos.

31

Em um ambiente de investigação, o professor tem um novo papel, em que se coloca

como um mediador, que orienta para que os próprios alunos cheguem à construção de

respostas de forma autônoma e, ao mesmo tempo alinhar a prática com certas exigências

curriculares. A criação de um ambiente favorável à prática investigativa também é uma

atribuição do professor, pois os alunos necessitam de motivação para realizar as atividades.

Para os aprendizes, o ambiente de aprendizagem investigativa não o poupa de

exigências, pois neste cenário eles serão os grandes protagonistas responsáveis pela produção

de conhecimento coletivo e particular. Pois, diante de uma descoberta, eles tendem a

compartilhar as observações próprias com o grupo e com o professor.

Ponte (2003) coloca a questão, da postura do professor e dos alunos, como aspectos

problemáticos, pois,

“ não é evidente o modo de promover nos alunos (e nos professores) as atitudes e as competências necessárias para o trabalho de investigação. Além disso, há sempre o risco de propostas de trabalho investigativo resultarem na aplicação de procedimentos rotineiros, como fazer tabelas ou procurar regularidades. Finalmente, não é obvio como pode o professor articular a realização de investigações com os outros tipos de atividades que necessariamente terão de existir na sala de aula”(PONTE, p 10, 2003)

Essa questão crítica pode ser observada no momento inicial das atividades, pois

segundo Ponte (2003), quando os alunos têm pouca ou nenhuma experiência com atividades

investigativas, necessitam de certo estímulo ou “arranque da aula” e cabe ao professor mediar

este momento, e assim, garantir que todos tenham entendido os objetivos da atividade.

Por outro lado, o professor deve estar atento quanto às fases necessárias para resolução

de problemas. Segundo Polya (1995) quando se procura a solução de uma questão, em muitos

casos, o ponto de vista pode variar continuamente até que se chegue à solução.

Primeiro, temos de compreender o problema, temos de perceber claramente o que é necessário. Segundo, temos de ver como os diversos itens estão inter-relacionados, como a incógnita está ligada aos dados, para termos idéia da resolução, para estabelecermos um plano. Terceiro, executamos o nosso plano. Quarto, fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a.( POLYA, p 3, 1995)

A atuação e a intervenção do professor durante a atividade investigativa devem ser

observadas com cuidado, pois é preciso utilizar um método questionador, começando com

indagações ou sugestões genéricas, quando necessário, dar exemplos específicos e concretos

de modo provocativo, com o objetivo de intensificar o processo de experimentação na mente

do estudante (POLYA, 1995).

32

O importante é que a intervenção do professor permita ao aluno o exercício da

reflexão, e ao mesmo tempo, as questões apresentadas pelo professor possam corrigi-lo

através das possíveis contradições. Assim, o professor não dá respostas prontas, o que o

qualifica como um verdadeiro mediador de processos investigativos.

Uma pedagogia baseada em processos investigativos é algo complexo e exige do

professor uma série de habilidades múltiplas, que serão desenvolvidas e consolidadas com o

exercício da prática.

No entanto, Ernest (1996) observa que uma prática pedagógica voltada para inquirição

e investigação deve levar em conta o contexto social da turma. Esta questão deve ser

compreendida pelo professor, de modo que, a elaboração e aplicação das atividades devem

levar em conta as possibilidades da turma e do professor.

A abordagem pedagógica baseada no método de inquirição pode ter seus conceitos

bem amplos, estendendo desde a descoberta guiada até à abordagem investigativa. Segundo

Ernest (1996) este percurso, entre a descoberta guiada até a prática investigativa, envolve uma

grande mudança de postura do professor, que deixa de exercer o total controle sobre os

métodos utilizados pelos aprendizes e sobre a escolha, tais como dos conteúdos de

investigação. Diante desta perspectiva, os alunos ganham maior autonomia e poder de auto-

regulação da situação de investigação, e isto também exige um grande amadurecimento por

parte dos aprendizes, o que não será algo imediato e elementar.

3.3 Sequência Didática

Segundo Zabala (1998), a configuração de atividade e práticas educativas não é algo

simples, pois estes processos são altamente complexos e obedecem a múltiplos determinantes,

que podem ser apontados pelos parâmetros institucionais, tradições metodológicas,

capacidade real dos professores e também das condições físicas impostas. De acordo com a

linha de raciocínio do autor, a análise destas variáveis tem apelo em alguns aspectos concretos,

que buscam explicações parcelando a realidade, e podem perder o sentido unitário do

processo de ensino e aprendizagem.

33

Entender a intenção pedagógica exige situar-se num modelo que a aula se configura como um microssistema definido por determinados espaços, uma organização social, certas relações interativas, uma forma de distribuir o tempo, um determinado uso dos recursos didáticos, etc., onde os processos educativos se explicam como elementos estreitamente interligados neste sistema. Assim, pois, o que acontece na aula só pode ser examinado na própria interação de todos os elementos que nela intervêm. (ZABALA, 1998, p.16)

Ao analisar a fala do autor, podemos ter certa noção do local onde a pesquisa

educacional deve ser realizada, pois somente na sala de aula dispomos de todo esse sistema

complexo e articulado de variáveis, e seu estudo passa a ser interessante na medida em que

dispõem de dados provenientes deste recinto.

Para investigarmos melhor o processo de ensino e aprendizagem vamos apropriar da

unidade mais elementar que constituem este processo, que segundo este autor, denomina

como atividade:

[..] uma exposição, um debate, uma leitura, uma pesquisa bibliográfica, tomar notas, uma ação motivadora, uma observação, uma aplicação, um exercício, o estudo, etc. Desta maneira, podemos definir as atividades ou tarefas como uma unidade básica do processo de ensino-aprendizagem, cujas diversas variáveis apresentam estabilidade e diferenciação: determinadas relações interativas professo-aluno e alunos-alunos, uma organização grupal, determinados conteúdos de aprendizagem, certos recursos didáticos, uma distribuição do tempo e do espaço, um critério avaliador; tudo isto em torno de determinadas intenções educacionais, mais ou menos explícitas. (ZABALA, 1998, p.17)

A atividade, vista como uma unidade elementar tem papel importante para ilustrar os

diferentes estilos pedagógicos, embora esta ganhe outra dimensão quando se enquadra,

naquilo que Zabala (1998) chama de unidade curricular, ou sequência didática.

A maneira de configurar as seqüências de atividades é um dos laços mais claros que determinam as características diferenciais da prática educativa. Desde o modelo tradicional de “aulas magistral” coma seqüência: exposição, estudos sobre apontamentos ou manual, provas, qualificações (até o modelo de “projetos de trabalho global” escolha do tema, planejamento, pesquisa e processamento da informação, índice, dossiê de síntese, avaliação), podem ver que todos têm como elementos identificadores as atividades que compõem, mas que adquirem personalidade diferencial segundo o modo como se organizam e articulam em seqüência ordenadas. (ZABALA,1998, p.19)

A análise da prática docente a partir de uma sequência, mostra relevância pois essa

permite ampliar o significado da unidade elementar. Assim, novas unidades compõem a

unidade referencial, o que permite um estudo processual incluindo três fases: o planejamento,

aplicação e avaliação.

34

De um modo geral, Zabala (1998) analisa a sequência através dos elementos centrais

que a compõem juntamente com seus objetivos propostos. Logo, este autor define a sequência

didática como “conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização

de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecido tanto pelos

professores como pelos alunos.”(Zabala, 1998, p 18)

Esta maneira de estruturação da prática educativa, através da sequência didática,

permite articular diferentes atividades que compõem a unidade elementar. Assim, por meio da

sequência didática, Zabala (1998) coloca as diferentes formas de intervenção nas diferentes

atividades, seguindo o sentido ou objetivos de cada atividades dentro da seqüência ordenada,

e ao analisar a sequência pode-se ter uma noção panorâmica da função de cada atividade na

construção do conhecimento.

Nogueira Junior (2008) em sua pesquisa defende o uso de atividades investigativas

articuladas através da sequência didática de Zabala (1998). “A articulação das atividades se

faz necessária para garantir a construção do significado num contexto mais amplo, que

permite a interação entre os diferentes temas, resultando em diversas aplicações”.

(NOGUEIRA JUNIOR, 2008, p 55)

O contexto da atual pesquisa visa formatação de uma sequência didática de Zabala

(1998), estruturada através de atividades investigativas de Ponte (2003), que permita e

viabilize o ensino de distribuição normal de probabilidade através do software Geogebra.

Assim, a presente proposta procura apresentar o tópico proposto através de uma sequência de

quatro atividades ordenadas.

De um modo geral, o docente deve procurar partir das finalidades ou objetivos

educacionais propostos. Estes objetivos, que em muitos casos podem ser ou não explícitos,

são o ponto de partida para avaliar a prática educativa.

Para Zabala (1998) a análise da prática educativa deve seguir os objetivos

educacionais propostos, de modo que se faça uma observação ampla do processo atingindo o

que o autor chama de currículo oculto. Neste currículo oculto, estão inseridas aquelas

aprendizagens que se realizam no ambiente escolar, mas não aparece de uma forma explícita

ou palpável no plano de ensino, pois não estão apenas associados a habilidades e

competências.

Normalmente o termo “conteúdo” é o grande referencial daquilo que deve ser

ensinado e aprendido. Segundo Zabala (1998) a análise da prática visando apenas o conteúdo

com um sentido estritamente disciplinar e de caráter cognitivo, atende aos critérios de um

ensino acumulativo que decorrem de uma prática uniformizada e essencialmente transmissora,

35

através da aula magistral. Assim, caracterizando o que o autor chama de modelo tradicional,

onde as relações interativas devem seguir o fluxo professor/aluno de forma direta.

Zabala (1998) observa que a definição de conteúdo de aprendizagem deve ser vista sob

uma forma ampla, não-restrita apenas aos conteúdos disciplinares, na medida em que

aprender não abrange apenas as capacidades cognitivas, e sim também envolve uma série de

outras capacidades como a motora, afetiva, de relações interpessoais, inserção social e etc.

Diante desta circunstância de uma natureza de conteúdo tão variado, a análise concisa

da prática educativa deve seguir uma grande potencialidade tipológica do conteúdo, e assim,

agrupando-os como: conceituais atitudinais e procedimentais (ZABALA, 1998).

Esta classificação corresponde respectivamente às perguntas “o que se deve saber?”, “o que se deve saber fazer?” e “como se deve ser?”, com o fim de alcançar as capacidades propostas nas finalidades educacionais.(ZABALA, 1998, p 30)

Uma observação importante relativa à tipologia dos conteúdos é que esta não deve ser

a mesma em cada etapa ou período educacional. Zabala (1998) coloca que nas séries iniciais,

exista um maior equilíbrio dos diversos conteúdos, dando prioridade as procedimentais e

atitudinais, e à medida que vai se avançando nos demais níveis escolares há um incremento

dos conteúdos conceituais em detrimento dos demais.

3.3.1 Análise da tipologia dos conteúdos

Ao analisar as condições gerais de ensino e aprendizagem, diferenciando os conteúdos

segundo sua natureza tipológica, permite, segundo a percepção de Zabala (1998), identificar

as intenções do processo educativo.

No entanto, é importante observar que os princípios genéricos dos conteúdos se

aproximam, na medida em que se distinguem conforme a sua tipologia, independente do fator

disciplinar. Esta é uma importante observação, que tem efeito de aproximação entre a

aprendizagem de diferentes áreas.

36

Se mudarmos de ponto de vista e, em vez de nos fixar na classificação tradicional dos conteúdos por matéria, consideramo-los segundo a tipologia conceitual, procedimental e atitudinal, podemos ver que existe uma maior semelhança na forma de aprendê-los e, portanto, de ensiná-los, pelo fato de serem conceitos, fatos, métodos, procedimentos, atitudes, etc., e não pelo fato de serem abstratos a uma ou outra disciplina. (ZABALA, 1998, p 39)

De acordo com Zabala (1998) o conhecimento de aprendizagem, sob uma forma

genérica, adquire característica determinada pela diferença tipológica de cada um dos diversos

tipos de conteúdos.

3.3.1.1 O Conteúdo Conceitual

Segundo o referencial teórico Zabala (1998), os conceitos ou princípios são entidades

abstratas, que se referem a determinados conjuntos específicos de símbolos e objetos, e

normalmente estão associados a estruturas que descrevem uma relação de causa-efeito.

Em síntese, o conteúdo conceitual é caracterizado pela necessidade de compreensão.

Logo, pode-se dizer que aprendeu um determinado conceito ou princípio, quando interpretar o

seu significado associado a diversos conceitos.

Em qualquer caso, esta aprendizagem implica uma compreensão que vai muito além da reprodução de enunciados mais ou menos literais. Uma das características dos conteúdos conceituais é que a aprendizagem quase nunca pode ser considerada acabada, já que sempre existe a possibilidade de ampliar ou aprofundar seu conhecimento, de fazê-la mais significativa. (ZABALA, 1998, 43 p)

A avaliação da aprendizagem é um processo complexo, e é muito difícil avaliar esse

processo devido a vários fatores, desde as condições gerais de aprendizagem de conceitos, até

o fato de ser composto por processos graduais e contínuos, que passa pela elaboração e

construção pessoal do conceito como algo inacabado.

37

3.3.1.2 O Conteúdo Procedimental

Os conteúdos procedimentais são aqueles que partem de um conjunto de ações

ordenadas dirigidas para a realização de um objetivo (ZABALA, 1998). Alguns exemplos de

conteúdos procedimentais: ler, calcular, traduzir, andar, saltar e etc.

No entanto, este conjunto de ações estruturadas é considerado suficientemente

diferenciado, de modo que a aprendizagem de cada uma delas tenha suas características de

aprendizagem específicas.

Segundo Zabala (1998) a aprendizagem de conteúdos procedimentais passa pela:

• Realização das ações que compõem o procedimento são as condições para

promover o aprendizado.

• A exercitação das ações múltiplas é o elemento imprescindível para o domínio do

conteúdo, e promove a aquisição de competência.

• A reflexão sobre a própria atividade possibilita a aperfeiçoamento da atuação. Logo,

para melhorar a ação é importante refletir sobre as condições ideais.

• A aplicação em contextos diferenciados permite utilizar o conteúdo em situações

nem sempre previsíveis. Assim, a aplicação do procedimento em diversas situações

promove a exercitação.

3.3.1.3 O Conteúdo Atitudinal

Os conteúdos atitudinais englobam uma série de naturezas suficientemente

diferenciadas, sendo agrupados de acordo com valores, atitudes e normas. Embora das

diferenças em dado momento é possível uma aproximação específica (ZABALA, 1998).

• Os valores estão associados à questões éticas que permitem a posição de juízo de

valores sobre determinada conduta.

• As atitudes estão próximas das formas de atuar, ou como cada pessoa posiciona sua

conduta diante de certos valores.

• As normas são as regras de comportamento que serão seguidas em detrimento das

circunstâncias que obrigam todos os elementos do grupo.

38

Segundo Zabala (1998) o conteúdo atitudinal também é caracterizado pela relação de

componentes distintos como os componentes afetivos e cognitivos que contém cada um deles.

Assim, os processos vinculados à compreensão e elaboração dos conceitos associados ao valor, somados à reflexão e tomada de posição que comporta, e envolvem um processo marcado pela necessidade de elaborações complexas de caráter pessoal. Ao mesmo tempo, a vinculação afetiva necessária para que o que se compreendeu seja interiorizado e apropriado implica a necessidade de estabelecer relações afetivas, que estão condicionadas pelas necessidades pessoais, o ambiente, o contexto e a ascendência das pessoas ou coletividades que promovem a reflexão ou a identificação com valores que se promovem. (ZABALA, 1998, p 47)

4. GEOGEBRA, UMA PODEROSA FERRAMENTA PARA EXPERIMEN TAÇÃO

4.1 A experimentação matemática através de simulações

Muitos dos objetos matemáticos podem ser representados sob diferentes formas ou

registros que compõem um sistema coordenado, integrado e integrador, onde sempre é

possível articular e definir outras diferentes formas de representações matemáticas a partir de

uma dada forma de representação de um objeto ideal. No entanto, a noção de objetos

matemáticos ideais ou idealizados está próxima da noção platônica de um universo de objetos

abstratos que são palpáveis no mundo físico através de suas representações, e é no mundo

platônico ou ideal que residem os autênticos objetos matemáticos (DAVIS; HERSH, 1995).

O processo de experimentação matemática, ou a simples manipulação de objetos

matemáticos passa pelo elaborado sistema de abstração, que tem de um lado a entidade

matemática ou mundo dos objetos ideais, e do outro lado a representação deste objeto no

mundo físico. Em muitos casos esta percepção e associação destes universos paralelos, não se

dá sob uma forma congruente, o que pode dificultar o envolvimento à matemática.

Uma forma que permita a aproximação entre estes universos passa pelo uso de

diferentes formas de observação e simulação de fenômenos físicos, que estejam sujeitos, em

princípio, a certas leis ou teorias matemáticas.

Segundo Davis e Hersh (1995) o estudo ou experimentação com modelo matemático e

físico pode ser realizado sob diversas formas, mas o mais importante é utilizar a melhor forma

de representá-lo. Em muitos casos, a simulação em computadores pode surgir como uma

39

grande alternativa, pois quando for possível transmitir dados suficientes à máquina, e esta por

sua vez, for capaz de processar as informações, gera representações suficientes do objeto ou

modelo platônico.

Esta capacidade que os novos programas de computadores têm de representar os

objetos matemáticos através de representações simuladas, permite a interação da

representação física ou geométrica do objeto, com as demais representações como a algébrica

e outras, intensificando a capacidade de experimentação matemática, de modo que um objeto

genérico pode ser visto e animado.

A utilização destes novos recursos didáticos possibilita ao professor elaborar

problemas e questões investigativas, onde a procura por respostas matemáticas possa ser

conduzida de forma experimental, o que favorece as práticas de investigação intensificando a

exploração da situação, formulação de conjecturas e testes, até o estabelecimento de um

argumento final ou prova (SILVA, 1999).

4.2 Apresentando o Geogebra

O geogebra não é apenas um software de geometria dinâmica, pois este incorpora

tanto a geometria, a álgebra e também o cálculo. A grande versatilidade que o software

apresenta justifica em parte suas possibilidades em explorar e representar uma grande

variedade de conceitos matemáticos.

O GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objetos: pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinamicamente. (HOHENWARTER, p 6, 2009)

Este software é de domínio publico, não tendo fins comerciais e pode ser obtido

através de download no site do geogebra. O software foi desenvolvido por Markus

Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University, com a ajuda de diversos

colaboradores.

O formato da interface do programa caracteriza-se através de duas perspectivas: do

lado esquerdo fica a janela algébrica, onde ficam armazenadas as representações algébricas e

vetoriais; e do lado direito, na zona gráfica, aparece a representação geométrica do respectivo

40

objeto enfatizado. No entanto, os respectivos tratamentos ou modificações nos objetos podem

ser feitos tanto através da modificação de ordem algébrica ou geométrica.

4.2.1 Interface

Menu programa: apresenta os principais links de execução do programa;

Barra de ferramentas: apresenta os principais recursos para construção de desenhos

geométricos;

Campo para entrada de comandos: através do comando digitado constrói-se uma

representação algébrica, ou geométrica, ou ambas. Utilizando-se este campo pode se executar

praticamente todas as funções do software.

Lista de símbolos e algumas funções: Neste campo é possível selecionar alguns

símbolos ou funções periódicas como as funções trigonométricas.

Lista de símbolos e letras do alfabeto grego: Transforma a representação de algumas

letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto grego, que recorrentemente são utilizadas na

escrita matemática.

Lista geral de comandos: Com este campo é possível utilizar todas as funções do

pacote básico do programa. Caso o usuário crie uma função própria, o que é possível, esta

função também ficará registrado neste campo.

É importante observar que os três campos de listas: lista de símbolos e algumas

funções, lista de símbolos e letras do alfabeto grego e lista geral de comandos, têm uma

aplicação usual semelhante. Pois, para utilizar qualquer um dos três campos, basta selecionar

uma função em um dos três campos, e em seguida aparecerá a sintaxe da função, selecionada,

no “campo para entrada de comando”.

41

Figura 1: Interface Geogebra

Fonte: Geogebra

4.3 Explorando o Geogebra

O Geogebra é um software muito versátil, onde é possível realizar várias construções

de representações planas. Devido a grande versatilidade de construções de representações do

programa, não será objetivo deste documento, esgotar os recursos do programa. Logo, a

exploração do software, se concentra em algumas formas de representação de ponto, reta e

funções.

4.3.1 Construindo ponto a partir da “Barra de ferramentas”

Para construção de pontos a partir da barra de ferramentas, basta selecionar na segunda

janela de ferramentas a opção “novo ponto”.

42

Figura 2: Interface Geogebra

Fonte: Geogebra

Uma vez selecionada a ferramenta, basta clicar com o cursor sob a janela de

representação geométrica, e logo se tem um ponto no plano.

Figura 3: Representação do ponto Fonte: : Construído no Geogebra

Observe que tanto na janela de representações algébricas, quanto na janela de

representações geométricas, tem-se uma representação do mesmo objeto. Este objeto está

incluído na pasta de objetos livres, pois o mesmo foi criado de forma independente de

parâmetros.

43

4.3.1.1 Modificando Objeto

Todos objetos livres podem ser modificados através da janela geométrica, para isto

basta selecionar barra de ferramentas na sua primeira opção, mover ponto, e em seguida

clicando sobre o ponto, este pode ser arrastado.

Figura 4: Mover ponto

Fonte: Geogebra

A modificação da condição do ponto, também pode ser feita através da janela

algébrica, clicando duas vezes sobre o ponto A na janela algébrica. Então, altera-se as

coordenadas de A=(x,y), em seguida pressione a tecla enter, e o ponto será modificando

através das coordenadas.

Figura 5: Modificando ponto

Fonte: Geogebra

Ao clicar duas vezes sobre o ponto A no plano, também é possível modificar as

condições do mesmo. Neste caso aparecerá uma caixa com o título de “redefinir”.

44


Fonte: Geogebra

Neste caso, também é possível atribuir novas coordenadas ao objeto.

Todas modificações realizadas com o ponto, também podem ser feitas sob uma forma

análoga para os demais objetos como: retas, funções, cônicas e etc.

4.3.2 Construindo ponto através do “Campo entrada de comando”

Neste caso basta digitar no campo entrada as coordenadas do ponto B=(x,y), em

seguida enter e cria-se o ponto B. É importante observar que a “virgula” diferencia uma

coordenada da outra.

Figura 7: Representação de dois pontos


45

4.3.3 Construindo um ponto genérico P=(a,b)

A construção de um ponto genérico permite utilizar o recurso de animação, neste caso

e nos demais, isto será possível através da ferramenta “seletor”, localizado na barra de

ferramentas. Esta ferramenta funciona como um parâmetro desejado.

Como o objeto é representado por meio de um par ordenado (a,b) há necessidade de

introduzir dois parâmetros, uma que se refere aos valores de (x), e outro para os valores de (y).

Selecione na penúltima barra de ferramentas a opção “seletor”, em seguida clique sob

a janela geométrica e defina as condições o parâmetro: nome (a); mínimo (-5); máximo (5); e

incremento (0.1).


Fonte: Geogebra

Uma vez definido este termos, clique em aplicar e o tem-se um parâmetro (a) que é um

objeto livre.

Repetindo os mesmo procedimento cria-se outro parâmetro independente (b). Para

finamente construir o ponto genérico que obedece aos parâmetros (a) e (b), basta digitar

P=(a,b) no campo de entrada de comandos, e tem-se um ponto P que é um objeto dependente.

Para animar o ponto P, selecione na caixa de ferramentas a opção mover e em seguida

clique sob o seletor para movimentar o parâmetro, e assim, ao movimentar o seletor (a) o

ponto P desloca-se horizontalmente, e ao movimentar o seletor (b) o ponto P desloca-se

verticalmente.

Observe que a movimentação nos parâmetros implica na modificação das coordenadas

do ponto P na pasta objeto dependente.

46

4.3.3.1 Utilizando o recurso : animação automática

Um vez que temos um ponto P=(a,b) definido pelas coordenadas dependes dos

parâmetros (a) e (b), com os respectivos seletores dos parâmetros já habilitados, clique com o

botão direito sobre o seletor que deseja animar automaticamente e selecione a opção

“Animação Ativada”.

Figura 9: Animação automática

Fonte: Geogebra

4.3.4 Construindo Reta a partir da “barra de ferramentas”

Assim como as construções de pontos podem ser feitas sob diferentes formas, para reta

não será diferente. Utilizando a barra de ferramentas selecione a opção “Reta Definida por

Dois Pontos”, logo após selecione dois pontos da janela geométrica.

47

Figura 10: Reta por dois pontos

Fonte: Geogebra

A utilização desta ferramenta permite a construção da reta a partir de dois pontos

quaisquer, e indifere se os pontos de passagem já estão ou não construídos. É importante

observar que esta ferramenta é uma aplicação do postulado da determinação da reta: dados

dois pontos quaisquer, existe uma e somente uma única reta, que os contém.

Figura 11: Representação da reta Fonte: Construído no Geogebra

Os pontos independentes A e B, são geradores da reta a. Logo, a e equação da reta

aparece como um objeto dependente. Neste caso, os pontos A e B, objetos livres, podem ser

modificados no plano, o que modifica a condição da reta.

48

Uma observação sob a escrita da equação da reta a, é que está escrita sob a forma

implícita. Para modificar a representação algébrica da equação da reta, basta clicar com o

botão direito, sob a equação da reta e selecionar entre as opções: reduzida y=kx+d, ou

paramétrica.

Figura 12: Modificando a equação da reta

Fonte: Geogebra

4.3.4.1 Construindo Reta através do “campo de entrada de comando”

Para efetuar a construção da reta a partir do “campo de entrada de comando”, basta

digitar algum tipo de representação algébrica da reta: reduzida, implícita, paramétrica ou

vetorial. Exemplo:

• Escreva a equação reduzida da reta y=-2*x+3;

• Escreva a equação implícita da reta 2*x+3*y=0 ;

• Defina um parâmetro (t=1), onde o parâmetro é arbitrário. Em seguida entre com a

expressão c: X=(0,2)+t*(1,1);

Observe que a letra (c) indica o nome da expressão na janela algébrica. Caso o

comando de entrada esteja sem esta letra, o programa define um ponto e não a função.

Funções vetoriais também podem ser definidas. No entanto, estas ficam restritas a um

intervalo definido.

Digite o comando: curva [expressão de x, expressão de y, variável “t”, t mín, t máx]

x= -1+ 2t (9)

y=-1+t (10)

49

Variável t admite os valores t=-10 e t= 10. E assim, utilizando o comando: Curva[-1+2*t, -

1+t, t, -10,10]

Figura 13: Representações de diferentes retas


4.3.4.2 Construindo uma reta genérica

Para construir uma reta genérica vamos utilizar a equação reduzida da reta:

baxy += (11)

Neste caso, os parâmetros a e b, sendo os respectivos coeficientes angulares e lineares

devem ser definidos, cada um deles, por um seletor a e b.

Digite no campo para entrada de comando: (a= 1) e (b= 1), este valor do parâmetro é

arbitrário. Observe, que os valores (a) e (b) estão localizados na pasta de objetos livre.

Em seguida, clique sobre o parâmetro (a) na pasta de objetos livres, com o botão

direito e selecione a opção “exibir objeto” para liberar o seletor (a), e execute o mesmo

procedimento para o parâmetro (b).

50

Figura 14: Habilitar seletor

Fonte: Geogebra

Uma vez que os seletores a e b, estão definidos na janela geométrica, digite no campo

de entrada de comando a função y=a*x+b.

Movimente os seletores (a) e (b) e observe as variações da representação algébrica e

geométrica do objeto.

Neste exemplo foram habilitados dois seletores (a) e (b), através de outro caminho que

o proposto na seção 4.3.3. Isto mostra a grande versatilidade e flexibilidade do Geogebra.

4.4 Representando o modelo normal

Para representar a curva normal é preciso entrar com a sua devida expressão dada pela

função de densidade de probabilidade:

(2)

Como esta função está associada a dois parâmetros média (µ) e desvio (σ), será

necessário definir um seletor para cada um dos parâmetros da função.

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

−

⋅=x

exf

51

4.4.1 Procedimentos para construção do modelo normal N(µ, σ)

O procedimento para construção de um modelo normal genérico é semelhante ao

utilizado na construção da reta genérica, pois em ambos os casos estão associados a dois

parâmetros.

Digite no campo para entrada de comando: (µ =1) e em seguida (σ =1), as respectivas

letras do alfabeto grego mi e sigma podem ser encontrados no campo de “lista de letras e

símbolos do alfabeto grego”.

Habilite os parâmetros (µ) e (σ), e digite no campo de entrada de comandos a

expressão =1 / (σ *(2 * pi)^0.5) ℯ^(-(0.5)*((x - µ) / σ)²).

Uma vez que a curva normal foi apresentada nas respectivas janelas algébrica e

geométrica, movimente os parâmetros e observe os movimentos de translação e achatamento

do gráfico.

Figura 15: Curva normal N[3,0.5]


52

4.5 Calculando área de probabilidade

O cálculo de áreas de probabilidades envolve o uso de técnicas de integração.

Logo, a probabilidade é ∫=≤≤b

a

dxxfbxaP )()( , onde f(x) é a função de densidade de

probabilidade. Neste caso é uma aplicação de uma integral definida, onde os limites de

integração equivalem aos limites da variável aleatória (x).

4.5.1 Cálculo de integrais definidas

Para mostrar a ferramenta de integração vamos utilizar uma função de densidade de

probabilidade, definida na seção 4.4.1.

Para calcular a área de probabilidade, definida no intervalo [µ-σ,µ+σ] , neste caso a

probabilidade de )5.35.2( ≤≤ xP , digite o comando: Integral[função, limite inferior, limite

superior]. Neste caso Integral[f,2.5,3.5]

Figura 16: Área sob a cura normal N[3,0.5]


53

Uma observação importante: nesse caso, os limites de integração são valores fixos. No

entanto, os limites de integração podem ser indicados através de um seletor, o que facilita a

manipulação da área de integração.

Para condicionar os limites de integração a dois novos seletores, entre com os

seguintes comandos: L_{sup}=1 e L{inf}=1

Em seguida habilite os dois novos seletores, clicando duas vezes sobre o valor da

integral, para redefinir as condições de integração.

Figura 17: Modificando limites de integração

Fonte: Geogebra

Modifique os limites superior e inferior, de acordo com os respectivos seletores

introduzidos, e confirme em ok.

Observe que não importa o nome dado ao seletor, qualquer letra bastaria.

Figura 18: Área sob a curva normal N[3,0.5], com limites associados a seletores


54

4.6 Soma Inferior e Superior de Reimann

Através do comando “somasuperior” e “somainferior” , é possível representar a área

de integração através da soma inferior e superior de Reimann.

Exemplo da simulação da aproximação de normalidade com o Geogebra

Figura 19: Discretização da curva normal


55

Neste exemplo mostra-se aproximação da área sob a curva normal, quando o número

de retângulos superior tende para infinito. Este exemplo enfatiza a discretização da curva

normal através de histogramas, quando o número de classes tende para infinito.

A discretização da área da curva normal tanto pode ser feito com o comando da soma

inferior, quanto superior. No entanto, no exemplo acima foi utilizado a soma superior.

Digite o comando Somainferior[função, x inicial, x final, nº de retângulos].

Observe que o número de retângulos pode ser animado, quando os valores inicial e

final são parametrizados por um seletor.

Figura 20: Animação da aproximação normal


4.7 Distribuição Normal Padronizada (z)

A construção deste modelo com o seletor (z), que pode ser associado cada valor de (z)

ao um respectivo valor da variável aleatória (x), e vice versa.

56

A elaboração deste modelo depende da manipulação da expressão da contagem

padronizada.

σµ−= x

z (7)

Na expressão acima, a média (µ) e o desvio padrão (σ) são constantes, (z) e (x) são as

variáveis.

Para a construção do seletor (z) é necessário reescrever a expressão da contagem (z),

de modo que (z) seja a variável livre, e (x) será variável dependente. Assim, temos:

σµ .zx += (12)

Agora basta entrar com comando de construção de um ponto de abscissa igual

( σµ .zx += ) e ordenada igual a zero. Logo, este ponto pertencerá ao eixo (x), com seu valor

dependente de (z), quando a média(µ) e o desvio padrão (σ) são fixos.

Para construir a distribuição normal definida a partir dos seletores da média (µ) e do

desvio padrão (σ).

1. Crie e habilite um seletor (z).

2. Digite no campo de entrada de comando (µ+z.σ, 0), para criar o ponto parametrizado.

3. Para encontrar a área de probabilidade da média até o ponto definido em função de (z),

digite no campo de entrada de comando Integral[f,µ,µ+z*σ] .

Figura 21: Área ou probabilidade padronizada


57

Através desta construção é possível representar a área de probabilidade a partir da

média até o ponto Z, para cada valor do seletor (z). Logo, este modelo possibilita fazer a

construção da escala padronizada tabular, onde para cada valor de (z) tem-se a respectiva área.

Quando temos valores do seletor (z) menores que zero, a área de integração passa ser

representado por um número negativo. No entanto, esta representação da área, como um valor

negativo, pode criar uma certa confusão, pois se pode pensar, erroneamente, que para valores

de z negativos a área também será.

A resposta desta questão está associada às condições dos limites de integração, pois

quando o valor do seletor (z) é menor que zero, o limite superior de integração trabalha com

um valor inferior à média (µ), que nesta situação é o limite inferior de integração. Logo, como

o valor do limite inferior de integração é maior do que o valor do limite superior de integração,

a área será um número menor que zero.

Para evitar este tipo de situação, a sugestão é criar dois seletores (z), um sendo

superior e outro inferior, onde o valor do limite inferior de integração não ultrapasse o valor

do limite superior de integração.

Figura 22: Área ou probabilidade padronizada


58

4.8 O pacote de Estatística

A partir da versão 3.2 do geogebra está incluso o pacote de Estatística, onde apresenta

algumas ferramentas descritivas, gráficas, regressões e distribuições de probabilidades

discretas e contínuas.

4.8.1 Explorando as medidas Descritivas

Para apresentar as funções de Estatísticas descritivas, vamos utilizar um conjunto de

30 dados que indica o tempo de espera (em minutos), de atendimento na fila de um banco, em

um determinado dia.

30-21-40-33-36-39-28-33-41-26

35-33-22-19-25-33-42-29-17-37

31-23-29-33-31-32-24-27-33-18

Quando trabalhamos com conjuntos numéricos é interessante habilitar a planilha, pois

facilita e dá agilidade no tratamento de dados. Para habilitar a planilha, basta clicar no menu

exibir, selecione planilha.

59

Figura 23: Exibir planilha

Fonte: Geogebra

Uma vez habilitada a planilha, vamos inserir os 30 dados, cada uma em uma célula.

Neste caso de A1 até A30.

60

Figura 24: Inserindo dados na planilha

Fonte: Geogebra

4.8.1.1 Histograma

O histograma é uma representação gráfica de uma distribuição de frequência, que

também pode ser representado através de outras composições gráficas e tabulares. De modo

geral, as distribuições de frequências são utilizadas como uma espécie de sumário do

agrupamento dos dados, divido em faixa de dados ou intervalos de agrupamento.

Com o Geogebra é possível gerar algumas representações gráficas de distribuições de

frequências como o histograma, sem antes, construir uma tabela de frequência.

Figura 25: Ajuda histograma

Fonte: Geogebra

61

Para gerar o histograma basta digitar o comando Histograma[<limites>, <dados do

conjunto> ] indicando os limites das classes de agrupamentos e a lista de dados ou lista de

frequências. Neste caso vamos utilizar as seguintes classes de agrupamentos:

17├22├27├32├37├┤42

Logo, os limites de classes serão inseridos na planilha da célula A1 até A6.

Figura 26: Limites de classes e dados brutos

Fonte: Geogebra

Finalmente, digite o comando Histograma[A1:A6, B1:B30] e a tecla enter.

Figura 27: Histograma


Neste histograma, cada classe de agrupamento é representada por um retângulo de área

igual à contagem do número de dados agrupados em cada classe. Logo, a primeira classe é

representada por um retângulo de área igual a 4 unidades cartesianas ao quadrado, que

correspondem ao total de 4 dados {17,18,19,21} agrupados no intervalo (17├22).

62

Como cada um dos intervalos são de amplitudes constantes, e no primeiro, de 17 a 22

tem-se uma amplitude igual a 5 unidades, que corresponde à base do retângulo de dimensão

4/5 por 5, pois a área do retângulo é 4. E assim, na segunda classe tem-se um retângulo 5 por

1, terceira as dimensões são 7/5 por 5, na quarta 9/5 por 5 e última tem-se a mesma frequência

da segunda classe 5 por 1.

Como os dados brutos não estão ordenados na lista de células B1 a B30, para ordenar

os respectivos dados utilize o comando Ordenar[<lista de dados>]. Neste caso,

Ordenar[B1:B30].

Figura 28: Ordenar dados


4.8.1.2 Cálculo das medidas de Centralidade

Uma vez que os dados do conjunto já estão definidos pela célula A1 até A30, para

calcular as medidas de tendência central (média aritmética, mediana e moda), basta entrar

com o comando de cada medida indicando a lista do conjunto.

4.8.1.2.1 Cálculo da Média Aritmética

Para calcular o valor da média, digite o comando Média [<lista de dados>], em

seguida a tecla enter. Neste caso, onde já temos a lista de dados definida, basta entrar com o

comando Média[B1:B30].

63

Figura 29: Valor da média


Observe que o resultado da média está indicado na pasta de objetos dependentes

indicado pela letra (b).

4.8.1.2.2 Cálculo da Mediana

Digite o comando Mediana[<lista de dados>]. Neste caso, entre com o comando

Mediana [B1:B30].

Figura 30: Valor da mediana


O valor da mediana está contido na pasta de objetos dependentes, representado pela

letra “c”.

64

4.8.1.2.3 Moda

Digite o comando Moda [<lista de dados>]. Logo, aplicando o comando

Moda[B1:B30].

Figura 31: Valor da moda


O valor da moda, que é indicado como lista 1, pois dependendo da ocasião pode haver

mais de um valor. Como nos casos de amostras bimodal.

4.8.1.3 Medidas de Dispersão

Quando se trabalha com conjuntos numéricos, além da tendência da centralidade dos

dados, também é importante conhecer informações sobre o quanto próximos ou quanto

dispersos os dados estão em relação ao centro.

O geogebra apresenta as ferramentas que medem a dispersão dos dados como a

variância, o desvio padrão populacional e também covariância para distribuições de variáveis

conjuntas.

65

4.8.1.3.1 Desvio Padrão

Para encontrar o valor do desvio padrão de um conjunto, digite o comando

Desviopadrão[<lista de dados>]. Logo, para calcular o desvio padrão dos valores da lista

Desviopadrão[B1:B30].

Figura 32: Valor do desvio padrão


Assim como para as medidas de centralidade, o valor do desvio padrão será

apresentado por uma letra contida na pasta de objetos dependentes, nesta ocasião expresso

pela letra “d”.

4.8.1.4 Diagrama de Caixa (Box Plot)

O geogebra também constrói o diagrama de caixa, que é uma interessante

representação gráfica. Pois, com ela é possível descrever, simultaneamente, uma série de

características de diferentes conjuntos numéricos, como a centralidade, dispersão, o desvio de

simetria e também identificar os outliers.

Para construir o diagrama digite o comando Boxplot[ valor de y, altura da caixa,<lista

de ddos>]. Para o exemplo, Boxplot[-3,1,B1:B30].

66

Figura 33: Representação do Box plot, Histrograma e função N(30, 67)


O primeiro valor do comando, valor de y, define a posição do centro da caixa em

relação ao eixo da ordenada. E o segundo valor do mesmo comando, a altura da caixa, fixa o

comprimento da caixa em relação ao eixo da ordenada.

O comando do diagrama de caixa, também pode ser utilizado de outra forma. Pois, ao

invés de se informar os dados brutos, pode-se utilizar os valores: mínimo, primeiro quartil,

mediana, terceiro quartil, e máximo.

Figura 34: Ajuda do comando da caixa Box plot

Fonte: Geogebra

4.8.2 Análise de Regressão

Sempre quando possível estudar a relação de duas ou mais variáveis, a análise de

regressão surge como uma alternativa capaz de modelar a relação entre variáveis distintas,

possibilitando assim, o reconhecimento do comportamento de uma grandeza em função de

outra.

67

Com o geogebra, além do modelo de regressão linear, também é possível estimar os

modelos de regressão exponencial, logarítmica, logística, polinomial, potencial e seno.

Para explorar a ferramenta de regressão linear vamos observar a relação entre duas

variáveis de indicadores de desempenho pedagógicos/educacional: faltas e notas.

Os resultados da tabela abaixo indicam o percentual médio de faltas e percentual

médio de notas, para seis turmas, da área de Ciências Humanas, da Escola Estadual

Governador Milton Campos. Estes resultados correspondem ao acumulado do primeiro,

segundo e terceiro bimestre do ano de 2009.

Tabela 2 Percentual médio de faltas e notas Turmas Faltas Notas

111 14,00% 60,00%

103 13,30% 55,90%

107 14,00% 53,90%

105 15,80% 51,30%

101 18,30% 46,40%

109 21,20% 42,00%

Entre no campo de entrada de comando os seis pontos, indicando (faltas, notas) da

tabela, para obter o diagrama de dispersão dos pontos. Utilize as opções deslocar eixos e

reduzir, da barra de ferramentas, para enquadrar os pontos no campo visual.

Figura 33: Diagrama de dispersão Fonte: Construído no Geogebra

68

4.8.2.1 Coeficiente de Correlação

Para calcular o valor do coeficiente de correlação utilize o comando

CoeficienteDeCorrelação[<lista de pontos>]. Para os valores da amostra, digite o comando

com a lista dos pontos CoeficienteDeCorrelação[{A,B,C,D,E,F}], o resultado é o valor de “a”

na pasta de objetos dependentes.

Figura 34: Coeficiente de correlação


4.8.2.2 Regressão Linear

Para obter a reta de regressão de valores de y em x utilize o Comando

RegressãoLienarY [<lista de pontos>]. Neste caso considerando os seis pontos,

RegressãoLienarY [{A,B,C,D,E,F}].

69

Figura 35: Reta de regressão


O modelo de regressão estimando é representado pela letra “b” na pasta de objetos

dependentes.

Utilizando o modelo de regressão para estimar o valor do percentual médio de notas,

correspondente ao percentual médio de faltas de 25%, encontramos um rendimento de

aproximadamente 34%. O que indica um valor baixo, pois o rendimento escolar mínimo é de

60%.

Para que o percentual médio de rendimento seja igual a 60%, o modelo de regressão

retorna o valor do percentual médio de faltas de 11,75 %.

Estes dados mostram que, nesta amostra, o percentual de até 25% de faltas, pode

comprometer o rendimento global das médias de notas, pois este é muito tolerante. Assim,

para que se obtenha um rendimento médio de no mínimo 60%, o percentual máximo de faltas

deverá ser menor ou igual a 11,75%.

70

Figura 36: Regressão linear


4.8.3 Cálculo de Probabilidades

O geogebra permite fazer cálculos de probabilidade de algumas variáveis aleatórias

discretas e contínuas. No entanto, estas ferramentas não permitem a construção geométrica da

distribuição de probabilidade, e sim apenas realizar cálculos.

4.8.3.1 Cálculo de Probabilidades com o modelo Normal

Para efetuar cálculos com o modelo normal digite o comando Normal[média, desvio

padrão, valor de x]. Esta função retorna o valor da área sob a curva normal acumulada abaixo

do valor de x, também conhecida como probabilidade de )( ozΦ .

71

Gráfico 9: Área de probabilidade da função Φ(z)

Fonte: Construído do Geogebra

4.8.4 Construindo suas próprias ferramentas

O geogebra, assim como outros programas de geometria dinâmica, possibilitam ao

usuário construir suas próprias ferramentas. Para construir uma ferramenta é necessário ter

como base uma construção já feita, indicar os objetos finais e iniciais da construção.

4.8.4.1 Construindo uma ferramenta para construção do gráfico da função normal de

densidade de probabilidade N(µ, σ).

Para efetuar a construção desta ferramenta, vamos tomar como base a construção

realizada na seção 4.4.1, onde há representação de uma curva normal construída a partir da

função de densidade de probabilidade, em relação aos parâmetros da média e do desvio

padrão.

72

Figura 37: Curva normal N[3,0.5]


Utilize a opção ferramentas no menu, selecione criar uma nova ferramenta.

Figura 38: Criar uma ferramenta

Fonte: Geogebra

Na caixa de diálogo, indique os objetos finais da construção e os iniciais.

Figura 39: Selecione os objetos finais

Fonte: Geogebra

73

Defina a função “f”, como objeto final.

Figura 40: Selecione os objetos iniciais

Fonte: Geogebra

Os parâmetros da média (µ) e do desvio padrão (σ) serão os objetos iniciais da

construção.

Figura 41: Definindo nome, comando e ícone da ferrammenta

Fonte: Geogebra

Indique o nome da ferramenta, o comando e o informativo da ajuda. Também é

possível personalizar o ícone que aparecerá na barra de ferramentas. Após a conclusão,

verifique na barra de ferramentas a nova opção à direita.

74

Figura 42: Nova ferramenta criada


Digite o comando FunçãoNormal[<média>, <DesvioPadrão>], indicando os

respectivos valores da média e do desvio padrão da curva normal que desejados, e enfim, tem-

se o gráfico da função.

75

5 SALA DE AULA E O LABORATÓRIO DO PROFESSOR

5.1 Pesquisa, pesquisa em educação Matemática e suas importâncias

A concepção de pesquisa e o exercício do trabalho científico tem uma forte ligação

que sustentam o projeto de pesquisa, dando fidelidade e credibilidade aos dados e às

observações registradas no seu contexto.

No entanto, é importante discutir sobre a sua concepção, de modo que se possa fazer

uma reflexão da sua prática, na medida que seja possível contextualizar o conceito geral de

pesquisa dentro da concepção de educação Matemática, e assim poder analisar suas

implicações diante de processos educacionais.

Segundo Marconi e Lakatos (2001), o conceito de pesquisa é definido como um

conjunto de procedimentos formais, que associados ao método de pensamento reflexivo,

permite o tratamento científico para descobrir verdades parciais.

Para Bicudo (1993), a concepção de pesquisa parte da busca por compreensões

significativas, de modo que este processo consiste em andar em torno de uma interrogação ou

problema, buscando todas as possíveis dimensões de modo rigoroso e consistente. Embora

esta autora coloque esta busca como um processo inacabado, onde não há uma resposta

definitiva que consiga esgotar todas dimensões do fenômeno interrogado.

Fiorentini (2007) observa que apesar das diferentes definições que se queira dar ao

conceito de pesquisa, há sempre uma

ideia de que pesquisa é um processo de estudo que consiste na busca disciplinada

metódica de saberes ou compreensões acerca de um fenômeno, problema ou questão

da realidade ou presente na literatura o qual inquieta/instiga o pesquisador perante o

que se sabe ou diz a respeito.( FIORENTINI, 2007, p 60)

Apesar do conceito de pesquisa ser demasiadamente amplo, é notória a presença

comum da ideia de busca de verdades inesgotáveis, que de algum modo provoca uma

inquietação e ao mesmo tempo permite o exercício da reflexão sobre o problema.

76

Os aspectos gerais que compõem o conceito e o trabalho de pesquisa: interrogação,

rigor, análise sistêmica e metódica, reflexão, são elementos que integram a concepção de

pesquisa em qualquer que seja sua área de atuação, inclusive na educação Matemática.

É importante destacar que diante deste panorama geral, para cada área de atuação

haverá uma certa especificidade da concepção de pesquisa que segue os paradigmas e saberes

próprios da área de estudo.

Este fator pode ser observado dentro do contexto da Educação Matemática. Neste

sentido, pode-se perceber um aspecto subjetivo da Educação Matemática, qualificando a

pesquisa em educação matemática como uma área de domínio próprio.

A pesquisa em Educação Matemática não é uma pesquisa em Matemática, nem uma

pesquisa em Educação, embora trate de assuntos pertinentes a ambas, trabalhe com a

Matemática e utilize-se de procedimentos concernentes ao modo de pesquisa

próprios da Educação.(BICUDO, 1993, p 19)

Segundo Bicudo (1993), a região de inquérito da educação matemática está bem

definida, pois ela se configura através de questões de estudo levantadas pela própria Educação

Matemática, sendo algumas delas: a compreensão da Matemática, como fazer Matemática, as

interpretações elaboradas sobre os significados sociais, culturais e históricos da Matemática e

também as ações político-pedagógico da Educação Matemática.

Por outro lado, Garnica (2002) coloca a Educação Matemática como um objeto

transdisciplinar que tenha trânsito-livre entre áreas do conhecimento, de modo que não haja

fronteiras ou barreiras. De acordo com a proposta deste autor, ele procura desmistificar

posições assimétricas como professor/ pesquisador, teoria/prática, sujeitos/ objetos,

pedagógicas/ específicas.

O autor faz uma leitura ampla, e ao mesmo tempo simplista da Educação Matemática

como

(..) movimento que se institui no instante mesmo em que algo a que chamamos

Matemática ocorre num contexto de ensino e aprendizagem. Essa caracterização,

ainda que vaga, por outro lado, pretende afirmar a Educação Matemática como

constituindo-se em trajetória, como objeto transdisciplinar (..)(GARNICA, 2002, p

91)

Fiorentini (2007) caracteriza o movimento da Educação Matemática como resultado

de múltiplas relações estabelecidas como um conjunto de práticas que envolvem a

77

Matemática (específico) e processos pedagógicos constituídos a partir das dimensões

histórico-epistemológicas, piscocoginitivas, histórico-culturais e sociopolítico.

Por outro lado, é importante a análise das consequências e relevâncias educacionais da

pesquisa em Educação Matemática, pois podem questionar a sua real importância.

Segundo Bicudo (1993), as pesquisas em Educação Matemática são importantes, pois

permitem fazer estudos sistemáticos sobre a Matemática, como ela é constituída, os seus

significados e possibilitando conhecer mais sobre ela, a Educação.

O processo de fazer pesquisa em Educação Matemática também é importante, pois

promove uma transformação no professor, que ao fazer um estudo sistemático procurando por

soluções, tem sua promoção pessoal e profissional, capacitando-o para mais um campo de

atuação profissional e científico (FIORENTINI, 2007). Para o aprendiz, a pesquisa em

Educação Matemática também é importante, pois esta procura à universalização e ao

aprimoramento do ensino e aprendizagem da Matemática torna-o mais humanizado.

5.2 Contexto e sujeitos da pesquisa

A pesquisa foi desenvolvida com alunos de duas turmas distintas. A primeira turma

realizou as atividades entre abril e maio de 2009, e a segunda turma participou entre setembro

e outubro de 2009. Na ocasião, ambas as turmas cursavam a disciplina de Estatística do 2º

período do Curso de Graduação tecnológica de Gestão da Produção Industrial noturno, da

faculdade Unatec do centro universitário UNA, campus Barreiro.

As duas turmas apresentam um perfil bem diversificado em termos comparativos, mas

há algumas familiaridades como: cerca de um terço dos alunos das duas turmas trabalham na

área do curso, a maior parte dos alunos concluíram o ensino médio a menos de dez anos, o

que denotam a turma com um padrão típico de jovens que trabalham para pagar o curso.

A primeira turma apresentou um padrão diversificado em relação ao sexo, já a segunda

turma o sexo masculino é predominante.

Os demais professores, que ministraram aulas para ambas as turmas, as avaliaram sob

diferentes formas. Percebe-se uma avaliação positiva em relação à primeira turma. No

entanto, em relação à segunda turma foram apontando mais aspectos negativos que a primeira,

segundo a maioria dos docentes.

78

5.3 A elaboração da sequência didática

O processo de elaboração das atividades passa primeiramente pelo processo de

manipulação do modelo normal com o software Geogebra.

A construção do modelo normal com o programa não foi imediata, pois inicialmente

houve certas dificuldades e contratempos, até trabalhar com a sintaxe da função normal de

probabilidade abaixo.

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

−

⋅=x

exf (2)

A causa da dificuldade inicial era o desvio padrão )(σ , pois quando trabalhamos com

o parâmetro sigma à direita do radical, o programa retornava erro de sintaxe.

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

σπ

−

⋅=x

exf (13)

Neste momento, pensamos que poderia haver algum tipo de erro na escrita da

expressão e ao consultar Stevenso (1981) que, então, trazia a função de densidade de

probabilidade, com o desvio padrão dentro )(σ do radical, como segue:

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

−

⋅=x

exf (14)

(STVENSON, 1981, p 139)

Em função da ansiedade em resolver esta questão, não se pensou que poderia haver um

erro de impressão, e entramos com esta sintaxe no programa, o resultado foi surpreendente e

ao mesmo tempo desanimador, pois o programa fez a construção de uma outra função, de

representação gráfica semelhante a uma parábola.

79

Gráfico 10: Representação de uma parábola

Fonte: Construção do Geogebra

Uma vez observado o gráfico da função tivemos a percepção de que poderia haver um

erro de impressão, pois o gráfico apresentado era incompatível com da curva normal. Só então

tivemos a ideia de escrever o desvio padrão )(σ multiplicando à esquerda do radical no

denominador e o resultado foi animador, pois o programa reconheceu a sintaxe e retornou seu

devido gráfico conforme função abaixo.

2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

−

⋅=x

exf (2)

A dificuldade inicial em representar a função normal através do Geogebra foi

solucionada por uma questão da escrita, que mostra o quanto é delicada a representação ou

escrita dos objetos Matemáticos. No entanto, a tentativa de representar o modelo normal

através do programa proporcionou a procura de “como” o programa poderia ser utilizado na

representação da curva gaussiana.

Uma vez que a possibilidade de representar o modelo normal com o software era uma

realidade, surgem questões críticas, questiona Borba (2005), para quais problemas o

computador é a solução? E no contexto da atual pesquisa, como o software pode ser utilizado

para o ensino e aprendizagem da distribuição normal de probabilidade?

5.3.1 Estruturação da Sequência didática

Diante da questão de como utilizar o software Geogebra no ensino e aprendizagem da

distribuição normal de probabilidade, foram organizadas e elaboradas quatro atividades que

80

estruturam a sequência didática, e aplicadas às turmas cada uma delas em duplas, e em aulas

de uma hora e quarenta minutos.

5.3.1.1 Primeira atividade

Esta atividade foi a única da sequência que não foi aplicada no laboratório, e teve uma

duração de aproximadamente uma hora. Nesta atividade, tanto o software Geogebra, quanto

quincunx2 foram utilizados com o auxílio de data show, para simular a aproximação da

distribuição normal através de eventos de distribuições binomiais, com 50% probabilidade de

sucesso.

Teixeira (2008) apresentou em sua pesquisa os diferentes resultados da utilização

quincunx, em diferentes níveis de ensino. Neste trabalho, foram realizadas atividades

experimentais envolvendo as Distribuições Normais e Binomiais de probabilidade, e faz

síntese sobre a engenhosa máquina de Francis Galton.

Em 1873-1874, Galton projetou um curioso aparelho experimental conhecido como

"quincunx" ou também Galton’s board (placa ou jogo de Galton). Essa máquina era

um engenhoso modelo físico da teoria dos erros, a qual ele acreditava ser aplicável a

muitos fenômenos no campo da Biologia e da Física. Encerrada atrás de um vidro,

havia uma seção transversal de um funil que se abria para um arranjo de pinos de

metal dispostos a intervalos iguais, com compartimentos verticais abaixo dos pinos.

Ao cair pelo funil, os chumbinhos de espingarda (ou bolinhas) se distribuiriam,

aleatoriamente, para a direita ou para a esquerda pelos espaços entre os pinos que

representavam, na teoria de Galton, as perturbações aleatórias independentes da

natureza. No final do processo, eles se acumulavam nos compartimentos inferiores

em pilhas que lembram uma curva normal. (TEIXEIRA, 2008, p 343)

No contexto da atual seqüência didática foram utilizados três diferentes experimentos

com a quincunx: o primeiro que gera histogramas de duas classes, o segundo que gera

histograma de onze classes e o terceiro que gera histograma de dezenove classes. As figuras

abaixo mostram o funcionamento do experimento.

2Para realizar simulações com quincunx acesse o site mathsisfun.

81

Figura 43: Quincunx com duas classes de agrupamento

Fonte:disponível no site da mathsisfun

Figura 44: Quincunx com onze classes de agrupamento

Fonte: disponível no site da mathsisfun

Figura 45: Quincunx com vinte classes de agrupamento

Fonte: disponível no site da mathsisfun

A (figura 46) foi extraída da pesquisa de Teixeira (2008), que investigou a prática e

experimentação da quincunx, com alunos do ensino superior, médio e fundamental. No

contexto da pesquisa de Teixeira (2008), os quatro formatos foram sugeridos pelos alunos

envolvidos no trabalho, como prováveis formatos de agrupamento das bolinhas.

82

Uma vez que a quincunx é apresentada, antes de acionar o simulador foi perguntado à

turma: qual das opções de formatos abaixo seria o provável agrupamento das bolas?

Figura 46: possíveis formatos de agrupamento

Fonte: TEIXEIRA, 2008

Após o acionamento do simulador, aguarda-se o registro de uma quantidade relevante

de dados, então o professor perguntará novamente sobre o formato da distribuição observada.

Após esta discussão, o Geogebra foi utilizado para simular a discretização da curva

normal, através de retângulos da soma superior Reimann, a partir de dois retângulos tendendo

para uma grande quantidade de retângulos, e assim, aproximando a área da figura para área da

curva normal, conforme figuras abaixo:

Figura 47: Simulação da aproximação normal dividida em dois retângulos


Figura 48: Simulação da aproximação normal dividida em cinco retângulos


83

Figura 49: Simulação da aproximação normal dividida em grande quantidade de retângulos


A atividade pretende apresentar a curva normal através da aproximação dos

histogramas gerados pela distribuição binomial simulados pela quincunx, e ao mesmo tempo

valorizar a percepção e a observação do aluno, na medida em que seja possível provocar uma

atitude observadora e ao mesmo tempo mostrar intuitivamente os procedimentos e conceitos

que gera a curva normal através de uma aproximação.

5.3.1.2 Segunda atividade

Uma vez que o modelo normal já foi apresentado, a segunda atividade investigativa

consiste basicamente em variar os parâmetros ),( σµN , da média e do desvio padrão da curva

normal, e observar os efeitos das variações destes parâmetros na curva normal. Esta atividade

foi realizada em dupla, cada dupla recebeu uma folha com a atividade e o arquivo em mídia

da atividade. De acordo com Santos e Pedro (2000), este tipo de atividade é classificada como

trabalho sobre situações já feitas, pois o arquivo que cada dupla recebeu funciona como um

modelo já pronto de uma Distribuição Normal, em que se pode variar os parâmetros (µ) e (σ),

e espera observar as variações nos padrões. Esta atividade é composta por dez questões que

além de investigar os efeitos das variações da média e do desvio padrão, investiga também

outros pontos notórios da variável aleatória, tais como:

)3,2,,,,2,3( σµσµσµµσµσµσµ +++−−− .

84

5.3.1.3 Terceira atividade

Esta atividade pretende introduzir o conceito da variável padronizada (z) através de

uma atividade investigativa guiada que possibilite a generalização da expressão, através de

um trabalho sobre situações já feitas (ou modelos) (SANTOS; PEDRO, 1999).

Neste caso, tendo em vista a expressão da variável reduzida (z) um modelo algébrico

representado simbolicamente, há uma certa dificuldade na compreensão deste termo.

Através da expressão da variável reduzida (z) é possível associar valor de (x) e (z),

uma vez que a média (µ) e o desvio padrão (σ) são fixos ou constantes. Neste caso, a média e

o desvio padrão são parâmetros da expressão.

Primeiramente a atividade coloca uma situação da curva normal, com os parâmetros

fixos, e pede ao aluno que atribua valores específicos de (z =-1,0,..2,..) com o seletor (z) e em

seguida observe no gráfico qual valor da variável (x) está associado àquele específico valor de

(z). Em seguida é feito o caminho inverso, para valores específicos de (x = 9.5, 10,..) e pede-

se quais são os respectivos valores de (z).

Em um segundo momento, a atividade trabalha a parte aritmética do cálculo com a

variável reduzida (z), pedindo ao aluno que faça a subtração dos valores de (x) e a média (µ),

em seguida divida pelo desvio padrão (σ). Assim, os próprios alunos percebem que é possível

fazer a conversão dos valores de (x) em valores de (z), e com detalhe, também podem simular

estes valores com o programa e visualizar a questão geometricamente.

Após a manipulação de diversos valores das variáveis (z) e (x) geometricamente, e o

tratamento aritmético com estes mesmos valores de (z) e (x), é proposta a passagem para

representação algébrica através da generalização do operatório aritmético. No entanto, a idéia

central não é simplesmente adotar a representação algébrica como o processo operatório

aritmético sob forma generalizada, mas adotar uma linha de desenvolvimento da notação

algébrica que passa necessariamente pelos processos de construção retórica, sincopada e

simbólico (LINS; GIMENEZ, 1997).

Para que seja possível esta transição de processos algébricos, a própria atividade guia

inicialmente como a descrição acima, para que o aprendiz perceba e possa concluir a

representação simbólica da variável padronizada (z).

σµ−= x

z (7)

85

5.3.1.4 Quarta atividade

A quarta e última atividade que compõe a unidade didática visa a introdução do

cálculo de área de probabilidade com o modelo normal. Esta atividade é a mais extensa da

sequência didática e de certa forma perpassa pelos diversos conteúdos procedimentais,

conceituais e atitudinais trabalhados nas demais atividades. É importante lembrar que para

execução desta atividade foi elaborado um modelo próprio, assim como nas demais, ou

trabalhos sobre situações já feitas conforme (SANTOS; PEDRO, 1999).

A atividade faz inicialmente um breve comentário sobre a idéia de área de

probabilidade e como esta área se identifica na curva normal. Após a parte factual ou

introdutória são feitas algumas simulações com diferentes áreas de probabilidade,

inicialmente com os valores da média e do desvio padrão fixos é observado os diferentes

resultados quando (z= 1, 3 e -2), em seguida os valores da média e do desvio padrão são

modificados e novamente é observado as respectivas áreas de probabilidade quando (z= 1, 3 e

-2).

A intenção inicial é dar possibilidade para que o aprendiz perceba que independente

dos valores da média e do desvio padrão, a área de probabilidade é sempre relativa aos

respectivos valores de (z), e assim, introduzir a tabela normal padronizada (z).

Associando a idéia de área de probabilidade e seus respectivos valores de (z), a tabela

normal padronizada é apresentada, e a atividade pede para observar alguns valores de áreas de

probabilidade e o valor de (z) específicos, e comparar estes valores com o encontrado pela

representação gráfica do Geogebra. A intenção desta comparação é justificada pela pequena

diferença que há em alguns valores de (z) encontrados na tabela, e os representados pelo

programa. A diferença de valores é da ordem de até 0,01% de área de probabilidade, sendo

relativamente pequena.

Na parte final da atividade são apresentadas três situações problemas aplicáveis ao

modelo normal, que dispõem de diferentes recursos de solução.

Na primeira questão a área de probabilidade procurada, está localizada entre a média e

a variável aleatória. Este é um caso típico de aplicação direta, que está representada

genericamente a seguir.

86

Gráfico 11: Área de probabilidade )( 1xzP ≤≤µ Fonte: Construção do Geogebra

Já na segunda, a área procurada está compreendida entre duas variáveis aleatórias que

estão em diferentes lados em relação à média, e assim )( 12 xx ≤≤ µ . Neste caso, como há

duas variáveis aleatórias, também haverá dois respectivos valores de (z) e consequentemente,

duas área de probabilidade que compõem a área total compreendida através da adição das

áreas.

Gráfico 12: Área de probabilidade )( 12 xzxP ≤≤ Fonte: Construção do Geogebra

Na terceira situação, também há duas variáveis aleatórias, porém ambas estão à direita

da média, e assim )( 12 xx ≤≤µ . Nesta circunstância, a área total é encontrada através da

subtração de duas áreas, o que pode causar certa dificuldade se não for bem representada.

Gráfico 13: Área de probabilidade )( 12 xzxP ≤≤ Fonte: Construção do Geogebra

87

Nestas três últimas questões, todas elas deveriam ser respondidas manualmente e os

valores deveriam ser encontrados na tabela normal padronizada. No entanto, os alunos

poderiam utilizar o Geogebra para intensificar o processo de experimentação e possível

confronto de informações. Além disso, no arquivo da atividade havia uma ferramenta de

gabarito, que fornecia a resposta da atividade uma vez introduzida os dados iniciais.

Uma outra situação problema interessante, mas não discutida nesta atividade é o caso

da aplicação da normal inversa, quando é fornecida a área de probabilidade e pede o valor da

variável aleatória.

5.4 Análise da sequência didática e a sequência dos conteúdos

A metodologia de análise da unidade didática proposta, pretende discutir alguns

resultados observados nas duas turmas que praticaram a sequência, e, ao mesmo tempo

procurar fazer a avaliação da seqüência didática conforme propõe Zabala (1998), que observa

nas aprendizagens duas questões: a primeira, focada na potencialidade da sequência em

favorecer os significados da aprendizagem; e na segunda, relacionada à capacidade de

observação do professor em relação às compreensões, dificuldades e assim, procurando uma

atenção à diversidade.

O processo de avaliação da sequência é importante, pois quando bem aplicada

possibilita reforçar a atividade. Zabala (1998) propõe dez questões que articulam a avaliação

da sequência didática.

Na sequência didática existem atividades: que nos permitam determinar os conhecimentos prévios que cada aluno tem em relação aos novos conteúdos de aprendizagem? cujos conteúdos são propostos de forma que sejam significantes e funcionais para os meninos e as meninas? que possamos inferir que são adequadas ao nível de desenvolvimento de cada aluno? que representem um desafio alcançável para o aluno, quer dizer, que levam em conta suas competências atuais e as façam avançar com a ajuda necessária; portanto, que permitam criar zona de desenvolvimento proximal e intervir? que provoquem um conflito cognitivo e promovam a atitude mental do aluno, necessária para que estabeleça relações entre os novos conteúdos e os conhecimentos prévios? que promovam uma atitude favorável, quer dizer, que sejam motivadora em relação à aprendizagem dos novos conteúdos? Que estimulem a autoestima e o autoconceito em relação às aprendizagens que se propõem, quer dizer, que o aluno possa sentir que em certo grau aprendeu, que seu esforço valeu a pena?

88

que ajudem o aluno a adquirir habilidades relacionadas com o aprender a aprender, que lhes permitam ser cada vez mais autônomo em suas aprendizagens? (ZABALA, 1998, p 64)

Com relação à análise dos dados das atividades aplicadas, será fundamental observar

as diferentes concepções do ensino e aprendizagem, observadas através da tipologia de

conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais.

A aplicação da sequência, bem como a observação da realização das atividades

propostas, aproxima-se de um estudo naturalista ou etnográfico (FIORENTINI, 2007), pois a

coleta de dados foi realizada durante a execução da sequência, na presença do pesquisador.

Para efeito de procedimentos descritivos será apresentado: protocolos das atividades,

transcrição de falas e perguntas, descrições de observações e sensações vivenciadas durante a

prática. Estes são os principais elementos que compõem a base de dados que serão tratados

conforme análise de conteúdo (FIORENTINI, 2007).

5.5 Análise da aplicação da seqüência didática e principais implicações educacionais

5.5.1 Primeira Atividade (Aproximação normal)

As condições iniciais desta atividade foram diferentes em relação as duas turmas

participantes, mas ambas passaram pelo mesmo questionamento sobre o suposto formato da

figura gerada pelo experimento com a quincunx.

Na primeira turma, esta atividade foi muito aberta, podendo ser identificada como um

debate. Primeiramente, a quincunx foi apresentada e antes do seu funcionamento perguntou-se

sobre o provável formato do agrupamento das bolas (figura 46).

Inicialmente, muitos alunos da turma mostraram uma atitude pouco confiante em dizer

qual provável formato do agrupamento, talvez pelo fato da falta de critério ou até por não

terem compreendido o funcionamento da quincunx. Dentre aqueles que indicaram o possível

formato, a maior parte, ficou dividida entre o modelo normal e triangular, com apenas

algumas indicações para o modelo semicircular e nenhuma para o modelo quadrado.

Iniciou-se o funcionamento da quincunx em três diferentes condições: o primeiro que

gera histogramas de duas classes, o segundo que gera histograma de onze classes e o terceiro

89

que gera histograma de dezenove classes. E novamente perguntou-se, qual seria o formato do

agrupamento das bolas? Observou-se certa migração de votos, para opção do modelo normal,

porém não houve uma unanimidade.

Observada a simulação da quincunx, a turma pareceu estar um pouco mais à vontade e

alguns alunos fizeram observações que foram registradas conforme (Quadro 1).

Aluno 1 Será que a quantidade de bolas influencia o formato? Quanto mais bolas caem, parece que estabiliza o formato.

Aluno 2 Varia conforme o número de amostras, tende a espalhar e concentrar no centro.

Aluno 3 Tendência à forma circular.

Aluno 4 A curva de Gauss, mostra a centralidade e a dispersão do processo.

Quadro 1: Atividade com quincunx Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma

Analisando as observações dos alunos, percebe-se a forma intuitiva e informal

utilizada para tentar explicar o formato do agrupamento gerado, que é característica da própria

formulação de conjecturas. Entretanto, a possibilidade do aluno formular conjectura é uma

importante etapa da atividade investigativa, que possibilita o debate próprio desta modalidade

de aula.

Os alunos 1 e 2 observam, ambos, a questão da quantidade de bolas poder influenciar

no formato do agrupamento e também a questão da maior ocorrência no centro, apesar destes

não indicarem o formato com precisão.

A conjectura levantada pelos alunos 1 e 2, é formalizada pela lei dos números grandes.

À medida que um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade dada pela

freqüência relativa de um evento tende a se aproximar da verdadeira

probabilidade.(TRIOLA, 2008, p 114)

Já o aluno 4, faz referência ao provável formato do agrupamento de dados utilizando

um termo característico epistemológico (curva de Gauss), e também faz uma observação

mesmo que vaga, da idéia de centralidade e dispersão. Nesta fala observa-se a questão dos

conhecimentos prévios mobilizados para justificar sua observação, características do conteúdo

conceitual.

Por outro lado, a observação da aluna 3, mostra que o simples experimento não

garante uma resposta unânime, sendo passíveis de observações errôneas, que aponta a

90

possibilidade de obstáculo cognitivo e eventuais confusões, também constatados pela pesquisa

de (TEIXEIRA, 2008)

Os experimentos realizados permitiram concluir que a forma da distribuição normal

não é intuitiva ou espontânea para os alunos e que é importante trabalhar seus

conceitos prévios se o objetivo for a construção de uma aprendizagem efetiva dos

conceitos envolvidos. (TEIXEIRA, 2008, p 348)

No Terceiro momento da atividade, realizou-se uma simulação com o Geogebra, que

evidencia a aproximação da curva normal, através da sua discretização. Esta nova simulação

procurou discutir novamente a questão do formato da distribuição, porém é difícil dizer se

este novo experimento foi suficiente para atacar o conflito cognitivo de forma plena e

soberana, garantindo assim que cada aluno realizasse todas as etapas exigidas pelo processo

de aprendizagem, apesar da atitude favorável da turma e da aluna específica.

Na segunda turma, esta atividade foi proposta com algumas alterações que procuraram

explicar melhor o funcionamento da quincunx. A atividade foi aplicada juntamente com uma

folha de instruções composta por informações sobre a origem e funcionamento da quincunx,

além de conter a questão do provável formato do agrupamento das bolas, nas duas ocasiões,

antes e após o acionamento da simulação da quincunx. Assim, foi disponibilizada uma folha

para cada dois alunos, o que distribuiu à turma em duplas.

Assim como na primeira turma, antes do funcionamento da quincunx, pouco mais da

metade dos alunos indicaram o modelo normal, como o mais provável. Porém, a segunda

opção mais indicada foi o formato semicircular, uma minoria indicou o formato retangular e

não foram registradas indicações do formato triangular, que revelou até surpreendente, pois na

primeira turma esta foi a segunda opção de maior escolha.

Esta questão revelou alguns contrastes como ambas turmas concentraram suas

indicações em apenas três das quatro opções, sendo o modelo normal o mais sugerido sem

unanimidade. Porém, há ponto de divergência pois com exceção da primeira escolha as

demais não coincidem.

Após o acionamento da quincunx, sem nenhuma exceção todos indicaram o modelo

normal como provável formato. Este fato indicou uma total migração para o modelo normal.

Uma outra questão contida na atividade realizada com a segunda turma, perguntava se

o número de canaletas onde as bolas são armazenadas pode influenciar o formato do

histograma gerado. Na primeira turma esta questão foi debatida, mas não foram registradas as

91

observações. Então, resolvemos colocá-la como uma questão contida na própria atividade,

para que se pudessem efetuar registros. A intenção era observar se a questão do número de

classes poderia ser intuitiva ou espontânea.

Assim, a identificação do formato normal como provável formato da distribuição das

bolas, não obteve uma unanimidade. A associação do número de classe e o formato da

distribuição das bolas, também mostrou resultado semelhante, pois muitos alunos

responderam que o número de classes não afeta o formato da distribuição das bolas.

Dupla 1 Não, quanto maior o número de canaletas menor será a chance das bolas irem para os extremos.

Dupla 2 Não, porque simulação em três experimentos manteve a distribuição normal. Quadro 2: Atividade com quincunx

Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma

Analisando as observações das duplas é notório que ambas não perceberam, que com o

aumento do número de classes há uma maior aproximação da distribuição com normal. A

dupla 1, apesar de observar que com o aumento do total de classes as bolas se concentram,

talvez não observaram que o centro da distribuição é bem definido quando o total de classes

aumenta.

A dupla 2 mostra não ter identificado as propriedades visuais do formato normal, pois

a dupla identifica até mesmo o primeiro histograma como normal.

Por outro lado a maior parte da turma observou que o número de classes de

agrupamento pode influenciar no formato do agrupamento. Dentre algumas duplas que

responderam, observe o (Quadro 3).

Dupla 3 Sim, pois quanto menos canaletas maior será a tendência de um padrão retangular.

Dupla 4

Sim, pois com apenas 2 canaletas, não seria possível uma distribuição normal. Agora, com mais canaletas como por exemplo 11 e 19, a distribuição permanecia “normal”.

Dupla 5

Sim, porque com um maior número de canaletas as bolinhas ficam mais centralizadas, o que não acontece quando o número de canaletas vai diminuindo.

Quadro 3: Atividade com quincunx Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma

Parece que tanto as duplas 3, 4 e 5, diferente das duplas 1 e 2, observaram a questão

quando se tem poucas classes, e talvez assim puderam constatar que com apenas duas classes

a aproximação normal não é boa. Quando comparamos a observação da dupla 1 e 5, ambos

92

observaram a questão da centralidade quando o número de canaletas é grande, mas apenas a

dupla 5 comparou esta questão quando o número de classe diminui.

Assim, como na primeira turma, no terceiro momento realizou-se a simulação com o

Geogebra, que mostra a aproximação da curva normal partindo de uma distribuição retangular.

Este foi um momento rico em que a questão da aproximação da distribuição normal pôde ser

novamente debatida, porém utilizando um recurso adicional.

Analisando o retrospecto da aplicação da atividade nas duas turmas, primeiramente

constatou-se que a utilização da quincunx e também o Geogebra foram proveitosas, pois tais

recursos colaboram para o processo de experimentação, e assim possibilitando os trabalhos

investigativos, exploratórios e problematizados.

Quanto à participação ou atitude dos alunos, pode ser considerada boa, pois em

nenhuma das turmas foi observado uma postura crítica ou negativa quanto à atividade. O que

reforça a idéia de que o aluno reconheceu, em parte, a importância da atividade.

Em uma atividade que lida com exploração de questões investigativas, o aluno e a

turma trabalham com situações pouco comuns, que exige maior esforço e atuação do aprendiz,

pois há uma necessidade de se mobilizar uma atitude investigativa inquiridora que tira o aluno

de uma posição de conforto, o que reforça a questão do conteúdo conceitual, procedimental e

atitudinal.

5.5.2 Segunda Atividade

Essa atividade foi a primeira realizada no laboratório, com ambas as turmas. Nessa

ocasião, o objetivo principal era mostrar os efeitos das possíveis variações dos parâmetros da

média (µ) e do desvio padrão (σ) na curva normal, utilizando o Geogebra.

Tanto na primeira turma quanto na segunda turma, esta atividade foi realizada em

dupla. Na primeira turma, treze duplas executaram a atividade e na segunda turma, apenas

oito duplas realizaram a atividade.

Na primeira, e também na segunda turma, cada dupla recebeu uma folha da atividade e

um arquivo da mesma. Esta folha continha questões que procuravam explorar o efeito da

média e do desvio padrão na curva normal. O arquivo apresentava uma curva normal centrada

em oito (µ= 8), parametrizada em relação a dois seletores, um de cor azul associado à média e

outro de cor vermelho associado ao desvio padrão.

93

Figura 50: Arquivo da segunda atividade


Fora a diferença da cor dos seletores, não havia qualquer discrição que indicava a

média e o desvio padrão, pois a idéia era investigar se as duplas eram ou não capazes de

associar a média e o desvio padrão ao seletores azul e vermelho.

Primeiramente, antes dos alunos alterarem os seletores azul e vermelho, foi pedido às

duplas que observassem a curva normal e ao mesmo tempo verificar se era possível identificar

alguma medida central deste conjunto.

Com exceção de apenas uma dupla, todas as demais identificaram o centro como a

medida do eixo da abscissa igual a 8. No entanto, é interessante observar que esta

identificação parece, de alguma forma, ser realizada a partir da possibilidade de mobilizar

conhecimentos prévios, como mostra o (Quadro 4).

Dupla 1 Observamos que a área central desta reta está voltada para o número 8, neste eixo.

Dupla 2 A medida central seria 8 devido ao fato de estar posicionado na direção do ponto mais elevado da curva, o que indica o centro da curva.

Dupla 3 No nº 8 está localizado a média, moda e mediana sendo estas medidas centrais.

Dupla 4

Sim porque conseguimos observar que os dados estão tendenciando uma curva gausiana centralizada onde média, mediana e a moda apresentam o mesmo valor igual a (8).

Quadro 4: Segunda atividade Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma

A dupla 1 apresenta sua justificativa associando o centro com o ponto de maior área

sob a curva e a reta. O que parece para esta dupla especificamente ter identificado o centro da

curva normal, como um centro de distribuição de áreas.

94

Já a dupla 2 não observa a questão como um centro de distribuição de área, mas

identifica o centro a partir da projeção da curva até a medida do eixo das abscissas.

As duplas 3 e 4 utilizam os termos da média, mediana e moda para justificar a questão

da centralidade, o que mostra a utilização de conhecimentos prévios, para justificar esta

questão. No entanto, este mesmo fato não foi observado nas duplas 1 e 2, pois observaram

esta questão a partir de uma interpretação mais intuitiva, e assim não utilizando conceitos ou

termos já estudados.

A discussão desta questão é interessante, pois é possível fazer uma síntese através da

tipologia dos conteúdos. Nesta situação específica foi observada uma atitude exploratória/

observadora, mas foram poucas as duplas que utilizaram conteúdo conceitual para justificar

suas observações, o que parece nos mostrar o conteúdo atitudinal sendo o mais exercitado.

Talvez isto possa ser explicado pelo fato dos alunos nunca terem trabalhado com atividades

investigativas.

Nas duas próximas questões, pediu-se às duplas que movimentassem os seletores azul

(média) e vermelho (desvio padrão) e relatassem se houve ou não alguma variação no formato

da curva normal.

Em relação ao seletor azul (média) quase todas duplas observaram que a variação

deste seletor altera a medida do centro conservando o formato ou dispersão. Algumas duplas

observaram apenas a mudança na centralidade, e apenas três duplas não observaram a

alteração da centralidade do conjunto, apenas observaram a conservação do formato da curva.

Dupla 5 Não, pois a curva continuou a mesma.Tendo alteração na média de acordo com o movimento do ponto azul.

Dupla 6 A curva se desloca no eixo horizontal e o valor de µ se modifica seguindo o movimento do ponto azul. O F(x) também sofre mudanças em seus valores.

Dupla 7 No ponto azul a curva não se altera quando movimentando para esquerda ou para direita.


A dupla 3 apesar de ter observado a centralidade indicando a medida da média,

mediana e moda, não registraram a alteração destas medidas, quando a curva normal realiza

movimento de translação.

Já a dupla 5 observou a questão da translação, mediante uma alteração da média e uma

conservação do formato.

95

A dupla 6 observou a questão da translação da curva normal e a modificação na função,

estes alunos identificaram que com a alteração do gráfico da função, a expressão também se

alterava.

Com relação a questão da variação do seletor vermelho (desvio padrão) a maior parte

das duplas observaram que a variação deste seletor modifica o formato da curva, mas algumas

duplas apresentaram certa dificuldade em perceber esta mudança.


Algumas duplas tiveram dificuldade em observar a questão da variação da dispersão, o

que justifica uma certa dificuldade em explicar o que acontece com o gráfico quando se altera

o seletor vermelho.

As duplas 4 e 6 associaram a dispersão ao movimento do seletor vermelho, a dupla 6

associou a variação da dispersão à alteração do desvio padrão.

Em seguida, a atividade fornece as instruções para construção dos pontos notórios

)3,2,,,,2,3( σµσµσµµσµσµσµ +++−−− . Uma vez com os pontos definidos, a

questão pede para fixar o seletor azul (média), na posição 6, e o seletor vermelho (desvio

padrão ), na posição 0.5. E assim, se procura debater a questão da simetria da curva normal.

Gráfico 14 : Pontos notórios em relação à média e o desvio padrão


Dupla 1 Não há nenhum tipo de mudança nem de medida, nem da curva apenas deslocamento de lugar.

Dupla 7 Deslocando para direita seu ponto central diminui, deslocando para esquerda seu ponto central diminui.

Dupla 4

Quando se desloca para direita há um aumento na dispersão dos dados e a curva tende-se a achatar. Quando desloca para a esquerda diminui a dispersão dos dados e a curva se afunila.

Dupla 6 À medida que se desloca o ponto vermelho, a curva se forma mais centralizada ou mais dispersa respectivamente o desvio padrão se torna maior ou menor

96

Após a construção dos 5 pontos como mostra a figura, pede-se para estimar a distância

dos segmentos AB , AD , AF e verificar se estas distâncias se conservam em relação aos

demais pontos à esquerda de A.

A maior parte das duplas observou que as distâncias à direita e à esquerda se

conservavam. No entanto, nenhuma dupla utilizou o termo “simetria” para justificar esta

observação, algumas duplas justificaram este fato em termos do desvio padrão e apenas uma

dupla não observou a conservação das distâncias à direita e à esquerda.

Na segunda turma, foram incrementadas algumas questões que procuraram discutir a

unicidade da curva normal, e assim, comparando duas diferentes curvas normais quanto à

centralidade e dispersão. No entanto, como os resultados observados na turma 1 foram bons,

as demais questões foram conservadas.

Assim, similarmente à primeira turma, a maior parte das duplas identificaram a

posição central da curva, e algumas duplas encontraram muitas dificuldades em explicar a

variação do centro e também da dispersão.

Com relação à questão da conservação dos pontos relativos à esquerda e à direita da

média, praticamente todas duplas relataram a conservação das distâncias em ambos lados,

porém nenhuma dupla fez referência ao termo simetria, acompanhando a primeira turma.

Para comparar duas diferentes curvas normais, foi criada uma ferramenta auxiliar, que

gera uma curva normal a partir do valor da média e do desvio padrão. Na antepenúltima

questão pedia-se para posicionar o seletor azul (µ= 6) e o seletor vermelho (σ= 0.5), em

seguida, entrar com o comando Distribuiçãonormal[9,0.2], que constrói o gráfico de um outra

curva normal com respectiva média e desvio padrão. A questão pedia para comparar os

valores da média e do desvio padrão das respectivas curvas.

Gráfico 15: Representação de diferentes curvas normais


97

Para aumentar o contraste entre ambas curvas normais, foram utilizadas cores

diferentes, sendo que a curva parametrizada pelos seletores azul e vermelho é a de cor verde.

Algumas das observações dos alunos da segunda turma conforme o (Quadro 7).

Dupla 1 A segunda curva possui uma menor variação em relação à primeira.

Dupla 2

Na curva verde há uma dispersão maior dos dados em relação à média, já na curva preta há uma concentração dos dados em relação à média, e a média da curva preta é maior do que a verde.

Dupla 3

Foi criada uma outra curva normal com seu ponto H posicionado no centro da curva e na medida “9”. E as distâncias entre os outros pontos é de 0,2 para cada intervalo.

Dupla 4 A média da segunda curva é maior, e o desvio padrão da primeira é menor. Quadro 7: Segunda atividade

Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma

Observando as respostas das duplas, nem todas duplas identificaram a diferença das

curvas, através das diferenças das médias e dos desvios padrões. Isto reforça a hipótese de que

a observação da centralidade e da dispersão de curvas normais associada à variação dos

parâmetros (µ) e (σ), não é intuitiva ou óbvia. No entanto, as duplas 2 e 4 observaram esta

questão de forma satisfatória. Indicando assim, que a observação da experimentação visual

com tais objetos pode estimular a compreensão e a idealização destes objetos abstratos.

Na questão seguinte, pede-se para modificar os valores dos seletores de modo que as

duas curvas sejam coincidentes ou congruentes, e assim, seria possível debater a questão da

unicidade da curva normal.

A principio, a maioria das duplas precisou de ajuda para identificar o que seria a

coincidência das curvas. Uma vez compreendida esta questão, todas duplas perceberam que

bastava modificar o seletor azul para medida 9 e o vermelho para 0.2.

A última questão pedia para as duplas esboçarem o gráfico de duas curvas normais,

com diferentes médias e desvios padrões. A intenção era colocar sob investigação como os

alunos iriam construir este gráfico? A maior parte dos alunos não apresentou grandes

dificuldades em construir a representação gráfica, embora a maioria das duplas não tenha

utilizado o recurso do programa como um auxílio. Apenas 3 duplas primeiramente fizeram a

construção com o programa e depois passaram para o papel.

Após a análise da aplicação da segunda atividade em duas turmas distintas, algumas

observações relevantes puderam ser constatadas.

98

Em síntese, apesar da variação dos seletores azul (média) e vermelho (desvio padrão)

simular graficamente as variações da média com movimento de translação, e as variações do

desvio padrão com um movimento de achatamento (platicúrtica) e afinamento (leptocúrtico),

para muitas das duplas, esta questão pareceu não ser intuitiva ou óbvia. Porém, como a maior

parte das duplas distinguiram os diferentes movimentos, indica-nos que a exploração desta

situação através de simulações com o Geogebra possibilita uma identificação visual que

favorece a compreensão, permitindo criar uma zona de desenvolvimento proximal, e ao

mesmo tempo intensifica a possibilidade de diálogo e intervenção do professor.

Uma segunda observação que segue a tipologia de conteúdos trabalhados nesta

atividade, os alunos utilizaram um programa que desconheciam. Mesmo assim, puderam

executar a atividade de forma satisfatória, explorando novos conceitos da curva normal,

procedimentos de utilização do programa e também atitudes investigativas, de debate, ajuda e

cooperação entre os grupos. Embora nenhuma atividade educacional seja plena, foram

observadas diversas dificuldades individuais que cada um apresentou, ao registrar as

observações. Constantemente foi preciso que o professor incentivasse os alunos a anotarem

suas observações, pois os aprendizes se demonstravam inseguros.

Também não foram poucas as dificuldades encontradas pelo professor, pois ao mesmo

tempo em que tinha de orientar sem dar respostas prontas, provocando a observação do

próprio aluno, este também teve a função de pesquisador, o que o coloca sob condições de

aprendizado, não o poupando das inseguranças típicas deste processo.

5.5.3 Terceira Atividade

Essa atividade, realizada com as duas turmas no laboratório, teve como objetivo

introduzir a expressão da variável padronizada (z). Na execução da mesma, em ambas turmas,

os alunos participaram em duplas.

Do total de duplas que participaram da atividade, foram onze duplas da primeira turma,

e apenas oito da segunda. Assim, como na segunda atividade, cada dupla recebeu a folha da

atividade e o arquivo.

Na parte introdutória da atividade, havia uma síntese que reforçava alguns aspectos

discutidos na atividade anterior e um breve comentário sobre distribuição normal padronizada.

99

Após a parte introdutória da atividade, o arquivo do Geogebra era solicitado. Este

arquivo apresentava um curva normal associada a três seletores: o da média (µ= 8); do desvio

padrão (σ= 0.5); além da variável (z= 0), representado geometricamente pelo ponto Z.

Figura 51: Arquivo da terceira atividade


Com os valores da média e do desvio padrão fixos em (µ= 8, σ= 0.5), a atividade pede

para que as duplas verifiquem quais valores do eixo (x), o ponto Z do gráfico é posicionado,

quando o seletor é fixo sobre os seguintes valores de (z= 1, -1, 2, 1.5), e também, quando (x=

9.5 e x= 10), quais valores do seletor (z) estão associados aos respectivos valores do eixo das

abscissas.

Na questão seguinte, para reforçar a associação da variável aleatória (x) e a variável

padronizada (z), novamente são feitas as transformações de valores de (z) em (x) e vice-versa.

No entanto, com outros valores da média (µ= 9) e do desvio padrão (σ= 0.2).

Após esta parte operatória onde os alunos realizaram conversões de valores de uma

variável para outra utilizando como suporte a representação geométrica, pede-se para realizar

as conversões já feitas, através do cálculo aritmético.

Por último, a atividade procura guiar a passagem do modelo de associação das

variáveis para sua representação algébrica, além de discutir o conceito da variável

padronizada (z) em termos da média e do desvio padrão.

Esta atividade, de acordo com uma observação da seqüência de conteúdos Zabala

(1998), pode justificar, e classificar a unidade didática, pelas intenções educacionais ou

100

objetos. Assim, na parte introdutória são reforçados aspectos factuais e conceituais da variável

padronizada (z), e logo é feita uma identificação gráfica de valores.

No segundo momento, utilizando o geogebra, as duplas realizaram diversos

tratamentos, de valores de (x) para (z) e vice-versa. Estes valores eram observados e

interpretados através da observação geométrica.

Esta conversão de valores exercita os conteúdos procedimentais, e ao mesmo tempo

mobiliza a capacidade de leitura gráfica. O que envolve também conteúdos conceituais.

No terceiro momento da atividade onde se enfatizou o tratamento dos mesmos valores

através do operatório aritmético, exploraram-se os conteúdos procedimentais típicos do

tratamento algorítmico que compõem o próprio cálculo aritmético elementar.

Na última parte da atividade, os conteúdos conceitual e procedimental são novamente

mobilizados respectivamente na identificação e na prática operatória com modelo algébrico. E,

finalmente, a última questão, que foca o conteúdo conceitual e procura fazer uma síntese da

interpretação da variável reduzida (z).

De modo geral, a observação da aplicação da atividade nas duas turmas mostrou certa

facilidade das duplas em realizar a parte introdutória operatória, onde foram realizadas

transformações de valores através da observação geométrica. Já no segundo momento, quando

o foco era o tratamento de valores mediante operatório aritmético, foram registradas algumas

dificuldades. No entanto, os maiores obstáculos foram observados nas últimas questões, onde

o conteúdo conceitual foi quase que predominante.

Figura 52: Protocolo de resolução, terceira atividade Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma, dupla 1

Nesta atividade, que tem em sua proposta a identificação de uma expressão algébrica,

guiada a partir do processo de construção retórico do modelo algébrico para registro

simbólico, que caracteriza a expressão da variável reduzida (z). O que chamou a atenção, foi o

101

fato da dupla ter observado o objeto através da forma sincopada, que é uma das três formas de

registro algébrico, compreendido entre o registro retórico e o simbólico.

No entanto, esta dupla teve dificuldade em responder a questão seguinte, pois seria

mais adequado utilizar a expressão sob a forma simbólica. Embora não seja possível associar

com total precisão este obstáculo à forma do registro utilizado, por outro lado, as duplas que

tiveram dificuldades em identificar a expressão algébrica da contagem (z), conseqüentemente

apresentaram dificuldades em realizar a parte final da atividade.

Apesar das eventuais dificuldades, a maioria das duplas conseguiu identificar a

expressão algébrica da variável padronizada (z). E assim, alguns foram capazes de utilizar a

expressão da forma correta, já outros mostraram algumas dificuldades, como o de efetuar o

cálculo literal.

Na última questão, por se tratar da interpretação do índice gerado pela variável

reduzida (z), exigia uma interpretação puramente conceitual. Mostrou que apesar de muitas

duplas identificarem a expressão algébrica da variável reduzida (z) e utilizar a mesma de

forma satisfatória, não foram capazes de explicar as relações envolvidas neste modelo.

É importante ressaltar a questão da aprendizagem conceitual conforme Zabala (1998),

que é observar a aprendizagem desta tipologia de conteúdo através da compreensão que vai

além da capacidade de reprodução de um enunciado. Por outro lado, a aprendizagem de

conceitos é um processo cíclico e contínuo composto por etapas, e como o próprio autor

coloca, este tipo de aprendizagem é algo que quase nunca pode ser dado como finalizado ou

acabado.

5.5.4 Quarta Atividade

A quarta e última atividade tem como proposta apresentar o cálculo da área de

probabilidade como o modelo normal utilizando a tabela da contagem padronizada (z). Dentro

desta proposta, o geogebra foi utilizado para representar áreas de probabilidade, e assim,

possibilitando comparar valores da tabela da variável padronizada (z), com as respectivas

áreas de probabilidade simuladas pelo programa. E finalmente, foi proposta a investigação do

cálculo de probabilidade, com o modelo normal, em quatro situações onde serão extraídos os

dados de análise da proposta metodológica.

102

Assim como nas atividades dois e três, a quarta atividade também foi realizada no

laboratório, sendo que, os alunos executaram a atividade em dupla. Da primeira turma,

participaram treze duplas e da segunda um total de quatorze duplas.

Cada dupla recebeu um arquivo da atividade, a tabela da variável padronizada (z) e a

folha da atividade. Embora os objetivos gerais da atividade foram os mesmos, para duas

turmas, houve uma pequena alteração na atividade, realizada com a turma dois, pois se

procurou reforçar a expressão da contagem (z) trabalhada na atividade anterior, uma vez que,

alguns alunos não haviam participado da atividade três, e participariam da última.

Em síntese, a atividade trazia inicialmente, um breve comentário sobre a idéia de área

de probabilidade e como esta área se identifica na curva normal. Após a parte factual ou

introdutória, foram feitas algumas simulações com diferentes áreas de probabilidade,

utilizando o geogebra, e ao mesmo tempo comparando estes valores com o da tabela da

variável reduzida (z), para que se introduza a idéia de cálculo de probabilidade com o auxílio

da tabela.

Finalmente foram apresentadas quatro questões a seguir:

1. Se a população masculina de determinada região tem altura média de 1.7 m e desvio

padrão de 0.05 m, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um homem

desta população, que tenha altura entre 1.7m e 1.75m.

Sugestão: Para efetuarmos este cálculo devemos encontrar a área compreendida pelo

gráfico, entre os valores da média até 1.75m. Logo, calcule o valor de (z)

correspondente a x=1,75, em seguida procure este valor na tabela.

Figura 53: Curva normal N(17, 0.5) Fonte: Construção do Geogebra

Utilize o Geogebra para confirmar o resultado encontrado. Sugestão: utilize média

(µ=17) e desvio padrão (σ=0.5)

103

2. Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ=0.05), encontre a

probabilidade de escolhermos ao acaso um homem que tenha altura entre 1.7m e

1.79m. Utilize o geogebra para confirmar o resultado encontrado.







(Faça um esboço indicando a região na curva normal)

Na questão 1 é apresentada uma sugestão que procura guiar a resolução, pois a

intenção é explorar a tipologia procedimental que a resolução pede. De uma forma semelhante,

a questão 2 também foca na tipologia procedimental.

As resoluções das questões 3 e 4 vão além da tipologia procedimental, e assim,

exigindo, também maior compreensão conceitual. Pois, nestas questões as áreas ( ou

probabilidades) procuradas, envolve o domínio do conceito da área da região gráfica. Logo,

para estes casos a resolução não fica apenas na aplicação de algoritmo, pois será necessário

representar a área compreendida.

Tanto na primeira quanto na segunda turma, praticamente todas dupla conseguiram

calcular o valor das probabilidades, nas questões 1 e 2. Este fato pode ser associado a

tipologia de conteúdo exigida nestas questões. Já o mesmo não foi observado nas questões 3 e

4.

O (gráfico 16) mostra as distribuições de frequências de acertos por questões para duas

turmas.

104

Frequência de acertos

10

8

54

1312

10

1

0

2

4

6

8

10

12

14

Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4

Primeira turma

Segunda turma

Gráfico 16: Frequência de acertos das duas turmas

Fonte: Dados da pesquisa

Com exceção da questão 4, nas demais questões, a turma dois apresentou maior

número de acertos, que a turma um. No entanto, o rendimento da turma um foi mais

significativo.

Este fato pode ser explicado pelo contexto em que as atividades foram aplicadas, em

ambas turmas. Na primeira turma, não houve registro de grandes problemas na execução da

atividade, e praticamente todas duplas finalizaram a atividade na mesma aula.

Porém, na segunda turma, houve alguns problemas de ordem técnica, com respeito aos

computadores, e com isto, a atividade não pode ser finalizada na mesma aula. Então, a turma

finalizou a atividade em classe, no dia seguinte, o que coincidiu com a aula de socialização da

atividade, e assim obteve informações privilegiadas.

Em virtude dos fatores registrados, entende-se que os dados registrados na primeira

turma tem maior neutralidade. No entanto, não podemos desprezar os dados obtidos por

ambas turmas, pois até mesmo na segunda turma houve observações importantes que

compõem a análise integral dos dados da sequência didática.

A seguir vamos analisar protocolos da (figura 54) que mostra uma resolução registrada

durante a aplicação da quarta atividade.

105

Figura 54: Protocolo de resolução, quarta atividade Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma, dupla 2

No protocolo (figura 54), observamos um erro onde a dupla apresenta como resposta

de probabilidade (p= 45,99), que corresponde na tabela da variável reduzida (z= 1,75). No

entanto, o valor correto a ser procurado era (z= 1,0), que corresponde a uma área de

probabilidade (p =34,12%). Apesar da dupla ter efetuado o cálculo correto do valor de (z), os

mesmos procuraram por um outro valor na tabela (z= 1,75). Provavelmente a dupla confundiu

o valor da variável aleatória (x= 1,75) com o valor de (z=1,0).

É notório que a dupla não foi capaz de perceber como as diferentes variáveis se

relacionam, e assim, estes cometeram o mesmo tipo de erro nas demais questões, o que

caracteriza um erro associado a tipologia conceitual, no que se refere a composição das

distintas variáveis (x) e padronizada (z).

106

Figura 55: Protocolo de resolução das questões 3 e 4 , quarta atividade

Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma, dupla 3

107

Neste protocolo da (figura 55), vamos observar a resolução da mesma dupla nas

questões 3 e 4. Na questão 3, pede-se para efetuar o cálculo de probabilidade, que envolve a

soma de diferentes áreas de probabilidade.

No entanto, a dupla conseguiu executar corretamente o cálculo da área, e assim,

efetuando a representação correta das áreas de probabilidades à esquerda e à direita da média.

O que mais chama atenção, nesta resolução, não foi apenas o acerto dos procedimentos de

cálculo adequados, mas sim, o fato dos alunos ter representado corretamente a área procurada.

Já na questão 4, a dupla foi capaz de efetuar quase todos procedimentos de cálculo

corretos. Porém, os mesmos cometeram equívoco na representação da área procurada, e assim,

não foram capazes de perceber que a região procurada era obtida através da diferença das

áreas.

Do ponto de vista da tipologia de conteúdos podemos categorizar este erro como

conceitual. Pois, apesar da dupla ter executado os procedimentos corretamente, esbarrou na

compreensão da área procurada.

Na segunda turma, das duplas que responderam a esta questão, 50% apresentaram o

mesmo tipo de erro. Já na primeira turma, este mesmo erro não foi registrado.

Figura 56: Protocolo de resolução, quarta atividade Fonte: Dados da pesquisa, segunda turma, dupla 4

Outro tipo de erro observado foi o apresentado no protocolo da (figura 56). Neste caso,

os alunos confundiram o valor da média (µ=1.7) com o valor da variável aleatória (x= 1.75).

Este fato pode ser observado pela representação apresentada, pois no gráfico o valor de (x=

108

1.75) ocupa o valor da média. Em relação à tipologia de conteúdos, a classificação deste tipo

de erros fica imprecisa, pois há uma composição de erros conceituais e procedimentais.

Figura 57: Protocolo de resolução, quarta atividade Fonte: Dados da pesquisa, primeira turma, dupla 5

O último protocolo analisado retrata a questão 4 (figura 57). Nesta resolução,

apresentada pela dupla, a área de probabilidade procurada foi representada de forma adequada,

o que possibilitou o enquadramento da área ( ou região) procurada.

Apesar de poucas duplas terem executado a questão 4 de forma correta, pois apenas 5

duplas, nas duas turmas, conseguiram encontrar a área da região procurada. O que chamou

nossa atenção é o fato de todas estas duplas, terem representado corretamente a região

compreendida entre 1.75 até 1.80.

Esta regularidade, observada nas resoluções das duplas, que conseguiram executar

corretamente o cálculo de probabilidade, neste tipo de situação, nos mostra o quanto é

importante a compreensão da representação geométrica com modelo normal, para o ensino e

aprendizagem deste tópico.

Outro fato interessante, e até curioso, é que a antítese de uma boa representação da

região ou área de probabilidade, parece dificultar ainda mais o cálculo de probabilidade com

modelo normal. Ao mesmo tempo, a grande maioria das duplas que não conseguiu representar

corretamente a área procurada, não conseguiu efetuar o procedimento de cálculo correto.

109

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A proposta deste trabalho foi apresentar uma possibilidade de utilizar o software

Geogebra aplicado ao ensino e aprendizagem da distribuição normal de probabilidade, através

da seqüência didática. Ao longo da pesquisa, foram observados alguns resultados a partir da

aplicação da seqüência didática nas duas turmas envolvidas na pesquisa.

Na primeira atividade, a proposta apresentava o modelo normal, mediante diferentes

simulações com a quincunx. Nesta atividade, o geogebra foi utilizado ao final das discussões,

para validar a aproximação da curva normal.

Os resultados da primeira atividade mostram que apesar de todo processo de

simulação e experimentação, não há garantia de uma unanimidade na identificação e

compreensão do modelo normal, de forma intuitiva ou óbvia, o que reforça a necessidade de

trabalhar os conceitos prévios, chamando a atenção na questão da observação da centralidade

do conjunto.

A segunda atividade tinha como objetivos, simular e investigar as variações dos

parâmetros da média (µ) e do desvio padrão (σ), analisando a associações das medidas destes

parâmetros, em relação aos movimentos de translação e achatamento do gráfico. A análise dos

dados desta atividade mostrou que o uso deste tipo de simulação, ajuda no processo de

identificação da centralidade e dispersão, apesar desta identificação não ter sido unânime para

todas duplas. Dentre as dificuldades observadas, a questão da dispersão parece superar a

identificação da centralidade.

Na terceira atividade, que trabalhava na expressão da variável padronizada (z), foram

utilizados dois tipos deferentes de linguagens de tratamento de valores, até que se chegasse a

um modelo algébrico, que definem as condições gerais desta sistemática.

Neste percurso, onde primeiramente o foco era o tratamento de valores de (x) em (z) e

vice-versa, através das representações geométricas, passando para uma segunda etapa, onde o

tratamento dos dados destas variáveis tinha como objetivo explorar e trabalhar as

propriedades aritméticas envolvidas. E no último momento, que seria o fechamento, onde se

procurou generalizar os padrões e regularidades aplicadas nas etapas anteriores, que resulta na

expressão da variável reduzida (z).

Nesta passagem pelas três etapas, da terceira atividade, apesar das tipologias

predominantes conceituais e procedimentais envolvidas, a principal questão observada parece

não estar apenas associada à tipologia de conteúdos, e sim mais próxima da evolução do nível

110

de linguagem ou representação envolvidas. Pois de alguma forma, as duplas que conseguiram

adaptar-se melhor as exigências de representações, de cada nível, obtiveram melhores

resultados. Desta observação surge a questão de como poder associar cada tipo de linguagem

às determinadas tipologias de conteúdos?

A última atividade, que corresponde ao fechamento da seqüência didática, teve como

propósito realizar o estudo do cálculo de probabilidade com o modelo normal. Os dados

analisados desta prática mostram o quanto é importante a questão da representação

geométrica neste tipo de situação. Pois, além de colaborar para interpretação da situação, ao

mesmo tempo permite observar melhor as representações equivocadas, ajudando a identificar

o conflito cognitivo, e assim, possibilitando ao professor controlar e entender melhor a

atividade mental do aluno.

Com relação à questão problema, de “como utilizar um software de geometria

dinâmica aplicada ao ensino e aprendizagem da distribuição normal de probabilidade?” Ao

longo deste trabalho mostraram-se algumas possibilidades de uso do software, aplicado ao

conteúdo proposto, através de uma seqüência didática estruturada.

Os principais resultados desta pesquisa apontam para a aceitação deste tipo de prática

como viável e sendo colaborativa para o ensino e aprendizado, principalmente quando a

ênfase for a interpretação de uma região geométrica. Embora se acredita que haja outras

maneiras e possibilidades de investigações desta mesma questão.

Quanto a sugestões para outros trabalhos e novos estudos, acredita-se haver um gama

enorme de possibilidades que passa pelo uso do software aplicado ao ensino das demais

distribuições contínuas como o caso das distribuições uniformes, exponencial, aplicado ao

ensino do teste de hipótese, aos tipos de erros I e II, a análise de variância, ao controle

estatístico de processos, ao estudo de análise de regressões, e além da possibilidade de utilizar

o pacote de ferramentas da Estatística descritivas, inclusos ao programa a partir da versão 3.2.

O uso do Geogebra aplicado ao ensino da distribuição normal de probabilidade, não é

mais que o resultado de uma iniciativa própria de um docente, em acreditar que pode

modificar sua prática lançando mão de idéias que possibilite a experimentação do exercício da

docência. Embora como em qualquer forma de experimentações, parece sempre haver a

presença de inúmeras incertezas, as quais possibilitam o confronto com os limites de nossos

saberes.

111

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115

APÊNDICE

Alunos (as):

�

Disciplina: Estatística Período: Turno:

Curso:

Data: / / Professor: Lucas R. Duarte Nota:

Primeira Atividade - (Explorando simulação com a quincunx)

A quincunx é um modelo físico que simula eventos da teoria dos erros, esta máquina foi formulada por

Francis Galton entre (1873- 1874), uma curiosidade, Galton era primo de chales Darwin. Galton acreditava que

muitos dos fenômenos da Física e da Biologia poderiam ser modelados conforme a aleatoriedade deste

dispositivo.

A quincunx funciona a partir do lançamento de sucessivas bolas através de um funil. Ao cair pelo funil,

as bolas se distribuem aleatoriamente, tanto à direita quanto à esquerda dos espaços entre os pinos. No final as

bolas se acumulam no compartimento inferior ( ou canaletas), onde a freqüência das bolas acumuladas gera um

histograma, que indica a quantidade de bolas acumuladas em cada compartimento, conforme (figura 1)

Figura 1: Simulação da Quincunx

Fonte: disponível no site mathsisfun

116

Figura 2: possíveis formatos de agrupamento

Fonte: TEIXEIRA, 2008

1. A medida que uma quantidade significativa de bolas são lançadas. Qual dos formatos,

apresentados pela (figura 2), será o provável formato de agrupamento das bolas?

2. A pós observar a simulação de três diferentes experimentos com a quincunx, com duas

canaletas (compartimento de armazenamento), com onze canaletas e com dezenove canaletas.

Indique o provável formato do histograma gerado a partir das bolas armazenadas, justifique

sua resposta.

117

Alunos (as):

�


Curso:


Segunda Atividade - (Explorando média e desvio padrão)

1. Observe a representação de uma distribuição normal, ao observar este objeto, você seria capaz de

identificar alguma medida centro deste conjunto? Justifique sua resposta.

Gráfico 1: Curva normal N(µ, σ)


2. Observe o seletor de cor azul no canto superior esquerdo da tela como indicado abaixo:

Clique sobre o ponto azul e movimente o mesmo. Você percebeu alguma

variação na curva normal?

3. Clique sobre o ponto vermelho e movimente o mesmo. Ao movimentar o seletor vermelho, você notou

algum tipo de mudança ou variação na curva normal?

118

4. Digite o seguinte comando no campo de entrada: ( )0,µ

Após digitar e pressionar a teclar enter, observe o surgimento do ponto A. Movimente novamente o seletor azul

e analise o desempenho da distribuição e do ponto A. De alguma forma o ponto A, indica ou não, alguma

propriedade da distribuição? Justifique sua resposta.

5. Posicione o ponto A sob a medida de 6 unidades e em seguida digite os seguintes comandos no campo

de entrada abaixo:

Primeiro comando ( )0,σµ + , enter e em seguida, observe o surgimento do ponto B.

Segundo comando ( )0,σµ − enter em seguida, observe o surgimento do ponto C.

Agora temos a distribuição e os três pontos A,B e C. Movimente os seletores azul e vermelho e observe as

variações dos pontos e do gráfico. É possível associar as movimentações dos seletores (azul, vermelho) às

variações do gráfico e dos pontos?

6. Digite os seguintes comandos no campo de entrada abaixo:

( )0,2σµ + enter em seguida, observe o ponto D.

( )0,2σµ − enter em seguida, observe o ponto E.

( )0,3σµ + enter em seguida, observe o ponto F.

( )0,3σµ − enter em seguida, observe o ponto G.

Em seguida clique com botão direito sob o seletor azul e selecione a opção exibir rótulo, repita o mesmo

procedimento para o seletor vermelho.

Posicione o seletor azul na posição 6=µ e posicione o seletor vermelho 5.0=σ .

Qual é a distância ( ou diferença) entre o ponto A e o ponto B? Qual é a distância ( ou diferença) entre o ponto A

e o ponto D? Qual é a distância ( ou diferença) entre o ponto A e o ponto F? Você mediu a distância do Ponto A

em relação aos pontos localizados à direita de A, verifique se as distâncias se conservam em relação aos pontos

localizados à esquerda de A? Justifique sua resposta.

7. Modifique apenas o seletor azul (µ) para uma medida qualquer, verifique se as distâncias do ponto A,

em relação aos demais pontos se conservaram ou não. Justifique sua resposta.

119

8. É possível aumentar ou reduzir as distância dos demais pontos em relação ao ponto A? Qual dos

seletores aumenta o intervalo das distâncias? (µ, σ)

9. Posicione o seletor azul na posição 6=µ e posicione o seletor vermelho 5.0=σ , em seguida digite

o comando Distribuiçãonormal[9,0.2] e enter. Compare a posição das duas curvas normais, o que é possível

observar entre as médias e os desvios padrões das duas curvas ?

10. Modifique os dois seletores de modo que as curvas sejam coincidentes. Para que as curvas sejam

coincidentes, o que é possível dizer sobre os valores de (µ, σ)?

11. Se uma população tem média 4 e desvio padrão 1, e outra população tem média igual 5 e desvio padrão

igual a 0.5, esboce sob um mesmo gráfico, estas duas populações.

120

Alunos (as):

�


Curso:


Terceira Atividade - (Explorando a contagem z )

Existem infinitas distribuições normais, para cada uma temos uma média (µ) e um desvio padrão (σ). Logo, a

partir dos valores da média e do desvio padrão é possível identificar cada distribuição normal especifica. No

entanto, para toda e qualquer distribuição normal N(µ,σ), pode ser associada a uma distribuição normal particular.

Esta distribuição normal particular é conhecida como distribuição normal padronizada (ou distribuição normal

padrão), que é definida com média (µ=0) e desvio padrão (σ= 1).

Gráfico 1: Curva normal N(0,1)


Nesta distribuição normal padronizada a escala horizontal do gráfico é denominada escala z.

Exemplo: Quando estamos nos referindo a um valor, que esta localizado a um desvio padrão em relação a média

à direita (µ+σ), este valor é (z= 1).

Da mesma forma um valor localizado a um desvio padrão em relação a média à esquerda (µ-σ), este valor é (z=-

1).

1. Com base nas informações acima, observe os valores indicados na escala horizontal e estime o valor de

(z).

Gráfico 2: Curva normal N(0,1) e pontos A, B, C, D, E


121

a) Indique o da escala z para o ponto A. (z= )

b) Indique o da escala z para o ponto B. (z= )

c) Indique o da escala z para o ponto C. (z= )

d) Indique o da escala z para o ponto D. (z= )

e) Indique o da escala z para o ponto E. (z= )

Com o auxílio do geogebra faça as seguintes atividades.

2. Ao abrir o arquivo atividade 2, observe o gráfico da distribuição normal que se tem, e indique a média e

o desvio padrão da distribuição normal dada.

Gráfico 3: Curva normal N(µ, σ)


(µ= )

(σ= )

3. Como foi dito na primeira página, toda distribuição normal pode ter seus respectivos valores do eixo (x)

associados escala padrão (z). Neste modelo do geogebra que vamos trabalhar, o seletor (z), tem esta

função de associar cada valor do eixo (x), a um respectivo valor da escala (z). Observe que inicialmente

o ponto z está localizado sob (x= 8) e indicando (z= 0).

Posicione o seletor (z), para os seguintes valores abaixo e indique os respectivos valores de x

correspondentes.

a) (z=1; x= )

b) (z=-1; x= )

c) (z=2; x= )

d) (z=-1.5; x= )

e) (z= ;x=10)

f) (z= ;x= 9.5)

g) (z= ; x= 7.25)

122

4. Modifique o seletor para (µ=9) e (σ=0.2). Indique os respectivos valores de (z) e (x).

a) (z=-2.5;x= )

b) (z= -2;x= )

c) (z=2.5;x= )

d) (z= ;x=9.2)

e) tome o de (x =9.2), subtraia a média (µ=9) deste valor. Em seguida divida o resultado pelo desvio padrão

(σ=0.2). Que valor você encontrou?

f) Repita o procedimento do item anterior para os seguintes valores de x={7.5;8.6;9.5} e verifique os valores

encontrados. Estes valores encontrados de são familiares ? Justifique sua resposta.

5. Tomo os valores de (x) do exercício 3, faça a subtração como a média (µ=8). Em seguida divida o

resultado da subtração pelo desvio padrão (σ=0.5). Verifique se é possível associar os resultados desta

operação aos respectivos valores de (z)?

6. O que acontece (você observou) quando realizamos a subtração, entre um valor de (x) e a média (µ), em

seguida dividimos este valor pelo desvio padrão (σ)? Lembrando que este procedimento,

−σ

µx, foi

realizado no exercício acima. Justifique sua resposta.

7. Dado uma distribuição normal N(µ=50,σ= 10) de média e desvio padrão conhecidos, qual é o valor (x)

desta distribuição, que esta na posição (z =1.5)?

8. Qual relação existe, entre a escala padronizada (z), a média (µ) e o desvio padrão (σ)?

123

Alunos (as):

�


Curso:


Quarta atividade – (Cálculo de Probabilidade em Distribuições Normais)

O cálculo de probabilidade em distribuições normais é uma importante ferramenta Matemática para

Estatística.

A probabilidade em distribuições normais sempre está associada a valores de área de probabilidade. Esta

área de probabilidade, por sua vez, é compreendida sob o gráfico da curva normal até o eixo (x). A área total

sob qualquer curva normal é sempre igual 1 ou (100% de probabilidade). Para qualquer que sejam os valores

da média (µ) e do desvio padrão (σ), a probabilidade de uma variável aleatória (x) variar entre ),( ∞−∞ será

sempre igual 1 ou (100% de probabilidade).

Gráfico 1: Área total sob a curva normal


Como a distribuição normal é simétrica em relação a sua média (µ) a área, à direita ou à esquerda da média,

é 0.5 de unidade de área ou (50% probabilidade).

Gráfico 2: Área à esquerda da média da curva normal


124

A probabilidade de observarmos todos os valores superiores à média é 50%.

Gráfico 3: Área à direita da média da curva normal


Da mesma forma, a probabilidade de observamos todos os valores possíveis inferiores à média é de 50%.

A probabilidade em distribuições normais será calculada em temos de valores contínuos. Em síntese, a

probabilidade de uma variável aleatória (x), estar entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva

normal. Como mostra a figura abaixo, a área entre [µ,a] é igual a probabilidade de )( axP ≤≤µ .

Gráfico 4: Área compreendida entre o intervalo [µ, a]


Gráfico 5: Área compreendida entre o intervalo [µ, b]


125

Observe que a área de probabilidade delimitada pelo o intervalo [µ, a] é superior à área delimitada pelo

intervalo [µ, b]. Logo, podemos dizer que um dado valor aleatório de (x), tem maior probabilidade de estar

entre [µ, a] do que entre [µ, b].

No entanto, sempre vamos efetuar cálculos de probabilidade, entre valores que podem variar em relação a

um intervalo. A probabilidade de predizer um valor exato será igual a zero.

O cálculo direto de probabilidade em distribuições normais exige recursos de cálculo infinitesimal, o que

não é um procedimento elementar. Diante deste impasse, a escala padronizada (z) surge como uma poderosa

ferramenta que possibilita-nos calcular a probabilidade em distribuições normais, em relação a qualquer

média (µ) e desvio padrão (σ).

1. Dado os parâmetros da curva normal com os respectivos valores N(µ=0,σ=1). Utilize o a expressão

da escala padronizada σ

µ−= xz , e verifique se xz = , ou xz ≠ .

2. Com o auxílio do arquivo teste3 do geogebra faça a medida das seguintes áreas de probabilidades,

para os respectivos valores de z dados abaixo, quando a distribuição normal tem os seguintes

parâmetros N(µ=0,σ=1). Indique também o respectivos valores de (x).

a) (z=1;p= ; x= )

Gráfico 6: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=1]


b) (z= 1.5;p= ; x= )

Gráfico 7: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=1.5]


c) (z=-2; p= ; x= )

126

Gráfico 8: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=-2]


3. Modifique os valores da média (µ=4) e do desvio padrão (σ=0.4).

a) Verifique se a área de probabilidade se conserva, quando z=1, z=3 e z=-2;

b) Verifique se o valor de x se conserva, quando z=1, z=3 e z=-2. Utilize a escala

padronizada σ

µ−= xz e calcule o valor de x, para cada um dos três valores de z citados.

4. Em um distribuição normal, para qualquer que seja os valores da média (µ) e do desvio (σ), quando

se z é fixo (exemplo: z=1), a área de probabilidade compreendida entre o centro e o ponto fixo

(z=1) não se altera? (justifique)

Tabela normal padronizada (z)

A distribuição normal padronizada permite associação da área de probabilidade entre qualquer distribuição

normal, através da escala padronizada. Pois, para cada valor de (z) fixo, a área sob a curva e os eixos

permanece a constante, independente dos valores da média (µ) e do desvio padrão (σ).

A tabela normal padronizada associa a área sob a curva de qualquer de distribuição normal, a partir da

média até o valor de z em questão.

Exemplos: Observe a área de probabilidade a partir da média até o valor de (z= 0.75) A tabela normal

padronizada associa a área sob a curva de qualquer de distribuição normal, a partir da média até o valor de (z)

em questão.

127

Gráfico 9: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z= 0.75]


Tabela 1

Área ou probabilidade para distribuição normal padrão (ANDERSON, 2002)

Para determinar a área de probabilidade compreendida entra a média e (z= 0.75), devemos primeiro

identificar 0.7 na coluna à esquerda, em seguida, valor 0.05 na linha horizontal superior. O valor da área

será informado através da interseção da linha 0.7 e da coluna 0.05. Neste caso a probabilidade é de 0.2743

ou ( 27.43%).

128

5. Encontre na tabela (z), os respectivos valores das áreas de probabilidade :

a) (z=1; p= )

Gráfico 6: Função normal N(0,1) e área compreendida entre o intervalo [µ=0, z=1]


b) (z= 1.5; p= )



c) (z=-2; p= )



Calculando áreas ou probabilidade com modelo normal

1. Se a população masculina de determinada região tem altura média de 1.7 m e desvio padrão de 0.05 m.

Determine a probabilidade de escolhermos, ao acaso, um homem desta população que tenha altura entre

1.7m e 1.75m.

Sugestão: Para efetuarmos este cálculo devemos encontrar a área compreendida pelo gráfico, entre os

valores da média até 1.75m. Logo, calcule o valor de (z) correspondente a (x= 1,75), em seguida

procure este valor na tabela. (Faça um esboço indicando a região na curva normal)

129

2. Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ=0.05), encontre a probabilidade de

escolhermos, ao acaso, um homem que tenha altura entre 1.7m e 1.79m. (Faça o esboço da curva

normal e da área desejada. Em seguida utilize o geogebra para confirmar o resultado encontrado.)

3. Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ= 0.05), encontre a probabilidade de

escolhermos, ao acaso, um homem que tenha altura entre 1.65m e 1.8m. (Faça o esboço da curva

normal e da área desejada. Em seguida utilize o geogebra para confirmar o resultado encontrado.)

4. Considerando a população de média (µ=1.7) e desvio padrão (σ= 0.5), encontre a probabilidade de

escolhermos, ao acaso, um homem que tenha altura entre 1.75m e 1.8m. Utilize o geogebra para

confirmar o resultado encontrado.

(Faça um esboço indicando a região na curva normal)

GABARITO:

Você também pode confirmar a resposta de cada item digitando o seguinte comando:

Probabilidade[média, desvio padrão, x máximo, x mínimo] e observe um valor de cor azul na janela da esquerda.

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