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Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT

II Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia 07 a 09 de outubro de 2010 ISBN: 2178-6135 Artigo número: 77

O Geogebra no ensino de pêndulos acoplados

Diego F. Vizcaíno Arévalo

Olga L. Castiblanco Abril

Edval Rodriguez de Viveiros

Aguinaldo Robinson de Souza

Resumo

Apresenta-se uma aplicação do software “Geogebra” como ferramenta que permite aprofundar no estudo de um fenômeno físico, para este caso o estudo dos pêndulos simples acoplados por meio de uma mola. A idéia fundamental é tirar o maior proveito da análise do fenômeno por meio de gráficos que levariam muito tempo se fossem feitas obtendo os dados sobre a experiência, para o qual é preciso desenvolver reflexões para re-pensar o discurso com que é apresentado usualmente o tema, por exemplo em temas como; aplicações dos sistemas oscilatórios acoplados, o modo próprio de oscilação de um pendulo, o acoplamento em fase, oposição de fase e modo de batimento, ou a superposição de oscilações, propiciando que o estudante exponha suas confusões ou duvidas. O objetivo não é fornecer exatamente uma seqüência de atividades para o(a) professor(a) desenvolver na aula, senão dar elementos para ele(a) re-criar seu trabalho na sala de aula.

Palavras-chave: Geogebra, pêndulos acoplados, ensino da Física, software educativo.

Abstract

The GeoGebra in teaching coupled pendulums




We presents an application for the software “Geogebra” as a tool that it allow to study in depth a physical phenomenon, for this case the study about simple and compound pendulum with a spring. The fundamental idea is to extract the major profit from the analysis by means of graphs that are very difficult to obtain if they become taking information directly of the experience, in order to this goal is necessary to consider reflections for re thinking the speech with which usually the topic is presented, for example in topics like; applications for compound systems, normal modes oscillators, superposition oscillators, or lower normal mode of two coupled pendulums, higher normal mode of two coupled pendulums, and system with one pendulum displaced, allowing students for exposes his confusions or doubts. The aim is not offer exactly activities sequences in order that the teacher develops the class, but to offer elements for the teacher could re create his educational work.

Keywords: Geogebra, compound pendulum, physics teaching, educational

software.




Introdução

Sob o pressuposto de que a riqueza pedagógica que envolve ou oferece um software não

está nele mesmo mas em quem o usa com intenções educativas, esta proposta tenta mostrar um

modo de aproveitar o Geogebra, ao permitir que estudantes e professores reforcem processos de

análise na construção dos conceitos que descrevem o movimento do pêndulo acoplado, como

também a formação de habilidades e conhecimentos para experimentar e obter dados possíveis

de serem representados e analisados num gráfico. Fato que implica o estudo do funcionamento

do pêndulo acoplado estabelecendo parâmetros, constantes e variáveis que definem o

movimento, passando pelo planejamento de hipóteses, previsões, análise dos gráficos obtidos e

interpretação dos mesmos para deduzir possíveis estados físicos, até chegar a formulação de

perguntas de pesquisa a fim de aprofundar na compreensão das características dos fenômenos

ondulatórios.

Assim, apresentaremos em primeiro lugar as características do movimento de um pendulo

acoplado em comparação com um pendulo simples evidenciando seus parâmetros, variáveis,

constantes e equações fundamentais, as quais permitirão fazer uso do Geogebra. Este exercício

permite propor algumas questões que podem orientar debates e temas a ser analisados em

profundidade antes de utilizar o software e inclusive antes de experimentar sobre o arranjo físico,

a fim de garantir claridade nos modos em que se explica o fenômeno. Na parte final apresentam-

se então alguns dos exercícios que podem ser feitos utilizando o Geogebra como ferramenta que

facilita a análise do sistema, antes ou depois das práticas experimentais.

Com relação ao Geogebra, é importante dizer que é um software desenvolvido por Markus

Hohenwarter em 2002, como parte do mestrado em Educação Matemática e Ciência da

Computação, na Universidade de Salzburg. O Geogebra “es un software interactivo de matemática

que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo.” (Hohenwarter, 2009), onde a

interatividade é mediada pelos conhecimentos matemáticos de professores e estudantes, pois foi

projetado para desenvolver atividades de ensino de qualquer conhecimento que implique no uso

de equações, gráficos e análise de dados. Possibilita a visualização gráfica, algébrica e de folha de

cálculo, vinculadas dinamicamente.

É interessante também destacar a escassa bibliografia sobre esta temática nos periódicos

nacionais. A título de exemplo, em levantamento realizado na Revista Brasileira de Ensino de Física

e na Revista Investigações em Ensino de Ciências, encontramos apenas dois artigos indiretamente

relacionados com a temática para a primeira revista, e para a segunda 10 artigos fazem alguma




menção ao estudo de pêndulos, alguns destes artigos foram aqui considerados, apenas como uma

amostra do levantamento realizado para este artigo.

Variáveis, parâmetros e equações no pendulo simples e pêndulos acoplados.

No que segue apresenta-se a comparação dos parâmetros, constantes e variáveis para o

pendulo simples e acoplado e as equações que descrevem cada sistema.

Figura 1 (a). Pendulo simples. Figura 1 (a). Pêndulos acoplados por uma mola helicoidal.

De acordo com as figuras 1(a) e 1(b) pode-se estabelecer:

Tabela 1 – Comparação entre pendulo simples e acoplado.

Pêndulo simples Pêndulo acoplado

Parâmetro - Ângulo (β) percorrido pela corda.

-Amplitude (A) representada pela

distância horizontal desde a linha

vertical de equilíbrio até o ponto de

- Ângulos (φa, φb

- Amplitude (A)

)

- Comprimento das cordas (L)

-Comprimento de acoplamento (

l),




desequilíbrio

- Comprimento da corda (L)

- Massa do corpo (m)

- Freqüência angular (w)

posição da corda onde se fixa a mola.

- Massa dos corpos (m)

-Constante de elasticidade da mola (k)

- Freqüência angular em fase (

wf )

- Freqüência angular em oposição de fase

(

wcf )

- Freqüência angular da onda modulada

(

wm)

Variáveis:

-Posição angular (β), angulo que vai

percorrendo o pendulo quando o

tempo passa.

-Posição (y), ponto que vai ocupando o

corpo na trajetória curva quando o

tempo passa.

- Tempo(t), que vai utilizando o corpo

para mudar de posição na trajetória

curva.

-Posição angular (φ).

-Posição (y).

-Tempo(t), que vai utilizando para mudar

a posição angular (φ) ou posição

horizontal (y).

Constantes: - Aceleração da gravidade (g) - Aceleração da gravidade (g).

Equações para o Geogebra:

y = ACos gL

t

yf = ACos wf t( )

ycf = ACos wcf t( )

y =A2

Cos wf t( )±A2

Cos wcf t( )

Analise das equações no pendulo simples:

y = ACos wt( ) (1)

A equação (1) expressa a relação entre as variáveis (y), e , (t), onde (y) representa a

posição do pêndulo em quanto o tempo avança, e, (t) representa o tempo que vai demorando o

corpo para ter determinada posição. Nesta equação estão os parâmetros (A), e, (w). Onde (A) é a

amplitude, entanto, (w) é a freqüência angular. É preciso analisar que a freqüência angular pode




ser interpretada como um parâmetro, porque ela está em dependência dos radianos por segundo

que correspondem ao ciclo, e isso está em dependência do comprimento (L) da corda, tal como é

possível concluir das equações (2) e (3)

w =2πT

(2)

A freqüência angular (w) é diferenciada da freqüência (f), porque (f) mostra o número de

ciclos de oscilação que o objeto dá em um segundo, entanto (w) mostra quantos radianos por

segundo correspondem ao ciclo, é por isso que a equação inclui a relação entre 2π e o período

(T), sendo o período definido em termos de comprimento segundo a equação (3).

T = 2π Lg

(3)

y = ACos gL

t

(4)

A equação (4) é o resultado da associação das equações (1), (2) e (3), sendo então a que

pode ser utilizada para inserir dados no programa Geogebra.

Análise das equações no pêndulo acoplado:

O pendulo acoplado são dois pêndulos simples iguais, fixos ao mesmo suporte e unidos

por uma mola helicoidal de constante (k), onde a inserção da mola entre os pêndulos faz com que

os seus movimentos sejam dependentes, por tanto o sistema tem dois graus de liberdade já que

para descrever o movimento de cada um dos pêndulos se precisa de duas funções de posição com

relação ao tempo, as quais se superpõem em dependência do modo de oscilação do sistema.

A dinâmica associada ao movimento de cada um dos pêndulos é a seguinte: quando um

pendulo se separa da posição de equilíbrio um determinado angulo, aparece um torque

restaurador (

τ ) que vai levá-lo de novo a sua posição inicial com uma aceleração angular

α( ), a

qual se relaciona com o torque assim;

r τ = I r α (5)




Onde

I( ) é o momento de inércia da massa (m) com relação ao eixo de rotação.

Utilizando a definição de torque e levando em consideração os torques produzidos pela força

gravítica

τ g = mgLSenφ , e a força da mola

τ k = −kl2 φ2 − φ1( ), e tendo em conta a equação

fundamental da dinâmica de rotação

τ i∑ = IÝ Ý φ i, encontra-se que a mudança na posição angular

para o pendulo a que percorreu

φ1 e para o pendulo b que percorreu

φ2 , é;

IÝ Ý φ a = −mgLSenφ1 + kl2Sen φ2 − φ1( ) (6)

IÝ Ý φ b = −mgLSenφ2 + kl2Sen φ2 − φ1( ) (7)

Onde para encontrar os modos próprios de oscilação de cada caso é preciso somar as

equações para o caso em fase e restar elas para o caso em oposição de fase, considerando que;

•

Senφ ≈ φ ,

•

θ1 = φ1 + φ2;e;θ2 = φ1 − φ2

• É preciso dividir as equações entre

I

Se chega a que as freqüências de oscilação do sistema em fase que chamaremos

(wf ) , e

em oposição de fase que chamaremos

(wcf ) , são;

wf2 =

gL

(8)

wcf2 =

gL

+ 2 l2kL2m

(9)

Ao tomar os movimentos tanto em fase quanto em oposição de fase com igual amplitude, este poder ser um movimento harmônico simples onde o período dos dois pêndulos a e b para

seus modos próprios de oscilação, estão determinados pelas equações

Tf = 2π Lg

para o

sistema em fase, e

Tcf = TfL − l

L para o sistema em oposição de fase. Pode-se notar então que

o período em fase não depende do comprimento de acoplamento já que a mola não esta intervindo no movimento, em tanto em oposição de fase a relação entre o comprimento de acoplamento (

l) e o período é inversamente proporcional.

Alem, ao resolver as equações diferencias se obtém as equações da posição angular dos

pêndulos quando oscilam em fase com

φa = φb , e em oposição de fase com

φa = −φb .




φa t( )= φaCoswt (10)

φb t( )= φbCoswt (11)

Para o caso em que os pêndulos oscilam em modo de batimento, por exemplo, deixando o

pendulo a em equilíbrio e liberando o pendulo b desde um angulo

φ0 , após um tempo os dois

pêndulos terão posições angulares

φ1,

φ2 , e alguma direção do seu movimento, onde a posição

angular dos pêndulos será dada pela equação (12) para o pendulo a como a soma dos modos

próprios, e a equação (13) para o pendulo b como a diferencia dos modos;

φa t( )=12

φ0 Coswf t + Coswcf t( )

(12)

φb t( )=12

φ0 Coswf t − Coswcf t( )

(13)

Cada uma destas equações representa a posição angular dos pêndulos em modo de batimento. Se

observa que a amplitude de uma vai diminuindo entanto a amplitude da outra vai aumentado, o

qual faz com que no modo de vibração do sistema apareça um “pulso” que é uma onda modulada

ou envolvente com sua própria freqüência angular, a qual está em dependência das freqüências

em fase e oposição de fase, e se descreve com a equação (14)

wm =12

wf − wcf( ) (14)

Esta onda modulada tem então uma amplitude (A) de oscilação que surge quando a amplitude (A)

de cada pendulo alcança seu valor máximo e mínimo, já que tais valores vão se repetindo

periodicamente, assim a onda envolvente pode se descrever para cada pendulo com as equações

(15) e (16);

ya t( )= ACos wmt( ) (15)

yb t( )= ASen wmt( ) (16)

Uma vez estabelecidos os fatores com os quais se observa o pêndulo acoplado, é preciso construir

critérios de análise do fenômeno. Proporemos uma seqüência de questionamentos para orientar

debates, leituras, exercícios a fim de aprofundar nas teorias que explicam o movimento e

propiciar a construção de imagens por parte de estudantes e professores, que conformarão a




base para explorar as potencialidades do software, fazendo que este não seja simplesmente um

instrumento para ilustrar o fenômeno, senão que permita as pessoas confrontarem suas idéias,

fazer previsões, tentar compreender novos sistemas físicos e extrapolar o conhecimento para

outros fenômenos.

Perguntas orientadoras.

- O que é um modo próprio de oscilação?

Compreender o modo de oscilação de um pendulo simples é um fato quase imediato,

porém num pendulo acoplado se faz um pouco mais complexo devido a que a mola pode intervir

de diferentes modos no movimento dos pêndulos, gerando diversos modos de oscilação do

sistema, fato que é preciso estudar sob as condições iniciais em que o sistema funciona. Pode-se

então refletir sobre as condições necessárias para que o sistema descreva um movimento

harmônico simples, levando a compreensão do movimento em fase, em oposição de fase ou em

modo de batimento. Neste ponto pode se analisar a aplicação de um elemento de matematização

dos fenômenos físicos, tal como é a idéia de “superposição” que para este fenômeno se traduz

basicamente na soma ou resta dos movimentos, o qual implica ter clareza sobre as forças que

produzem movimento no sistema, levando a analisar os torques produzidos pela força gravítica e

a força restauradora da mola.

- Se num pendulo simples a relação entre o comprimento da corda e a freqüência, é inversa.

Acontecerá o mesmo na relação entre o comprimento de acoplamento e a freqüência dos

pêndulos?.

Este tipo de analise permite estabelecer diferencias entre comprimento da corda e

comprimento de acoplamento com seus efeitos nas oscilações, alem de que vai gerar a

necessidade de expor as possibilidades de oscilação que tem o acoplado e o tipo de equações que

descrevem a relação entre os diversos parâmetros.

- Qual é a relação entre a constante k da mola e a freqüência do acoplado?

Resulta interessante tentar descobrir com os estudantes o ranking de constante que deve

ter a mola de modo tal que não seja nem muito pequeno o k que a mola não tenha efeito sobre




os pêndulos, nem muito grande que a mola faça com que o sistema se comporte de forma rígida.

Onde tal ranking deverá ter relação com os parâmetros dos pêndulos. É sabido que si k aumenta

as freqüências aumentam, mas é importante não somente falar esta verdade para o estudante,

senão tentar definir sob quais condições. Alem, no caso por exemplo do movimento do acoplado

em modo de batimento observa-se que cada pendulo tem uma freqüência de oscilação, mas o

sistema vai tendo “pulsações” levando a necessidade de falar da oscilação envolvente, o qual gera

reflexões sobre a possibilidade de explicar tal fato como o traspasso da força de um pendulo ao

outro por meio da mola, ou sobre como se explica a conservação da energia do sistema.

- Que tipo de aplicações pode ter o estudo dos acoplados?

Um sistema formado por dois osciladores acoplados e seus resultados é a base para

trabalhar sistemas formados por muitos osciladores, como por exemplo um solido, onde cada

átomo pode se comportar como um oscilador vibrando ao redor de sua posição de equilíbrio,

mais cada um deles influência nos outros porque todos os átomos do solido estão acoplados entre eles. Quer dizer que a partir do estudo de osciladores acoplados se pode chegar a conhecer

propriedades dinâmicas por exemplo de redes cristalinas. Também, chegar a uma onda

envolvente a partir de dois pêndulos acoplados nos apresenta a teoria base das sinais de

amplitude modulada usada em comunicação de radio. O AM amplitude modulada é usada em

ondas medias, curtas e incluso VHF, e utilizada em comunicação entre aviões e aeroportos.

O estudo deste sistema é também interessante para a compreensão dos sistemas caóticos,

os quais são sensíveis a condições iniciais leves e evoluem rapidamente em estados físicos

aparentemente diferentes, exibindo comportamentos irregulares e imprevisíveis. Por exemplo,

para o registro e estudo do movimento caótico do pêndulo duplo foi desenvolvido Vankó (2007),

através de um aparato que constava basicamente de um conjunto de câmeras acopladas a um

computador, posicionados a certa distância de um pêndulo duplo. Para os objetivos de análise

que pretendemos neste artigo, convém destacar um interessante gráfico obtido através deste

experimento, que relaciona os respectivos ângulos de rotação dos dois braços do pêndulo (o

maior e o menor), em função do tempo, conforme vemos nas figuras 5 e 6.




Figura 2 - Ângulo de rotação versus tempo para o braço maior do pêndulo duplo (Vankó, 2007)

Figura 3 - Ângulo de rotação versus tempo para o braço menor do pêndulo duplo (Vankó, 2007)

Em ambas as situações, o que fica evidenciado é a característica caótica que o movimento

pendular do tipo acoplado induz no sistema como um todo (ou separadamente, conforme se

observa pelos gráficos).

Em processos químicos, que formam sistemas caóticos, onde existe a necessidade de se

controlar o sistema, muitos parâmetros e variáveis interferem no sistema, na forma dos mais

variados tipos de ruídos, como variação temporal, não-linearidades e incertezas. Isto exige uma

série de estratégias de ajuste dos parâmetros que influenciam na performance do sistema. Nestas




situações químicas ou biológicas, a interação ou a ligação entre átomos e moléculas podem ser

aproximadas a um acoplamento semelhante a um pêndulo .

Ainda considerando fenômenos envolvendo sistemas mecânicos (artificiais ou biológicos),

Hinrichsen (1981) resgata aplicações práticas para o pêndulo composto, que podem tanto ser

trabalhadas no ensino médio quanto no ensino superior. Isto inclui a determinação do centro de

massa e momento de inércia de alguns sistemas físicos. Exemplos disto são: distribuição de massa

do corpo humano em situações dinâmicas, estudo dinâmico de um trator e a análise dinâmica de

um veleiro.

Exercícios de análise por meio do Geogebra.

Sistemas físicos:

• Caso 1: Sistema oscilando com igual amplitude e igual fase.

Figura 4. Sistema em fase

• Caso 2: Sistema oscilando com igual amplitude em oposição de fase.




Figura 5. Sistema em oposição de fase.

• Caso 3: Sistema em modo de batimento ou “pulsação”.

Figura 6. Sistema em modo de batimento.

Análises de gráficos

No que segue pode se observar que os gráficos são obtidos de forma relativamente rápida,

o que significa que pode se aprofundar na analise das mesmas fazendo exercícios de mundança

de parâmetros, por meio de perguntas que façam com que o estudante tenha que formular uma




hipóteses sob a qual decidir quais parâmetros mudar e em que quantidade. Podem ser perguntas

tipo;

- Qual é o fator que tem maior influencia na variação do modo próprio de oscilação de um

pendulo acoplado, e porque?

- O que parâmetro deve ser mudado para diminuir a diferencia do período entre o sitema em fase

oposta e em fase.

- Se o comprimento das cordas é aumentado ao duplo, aumentará ao duplo também a

freqüência?

- Se o comprimento de acople do sistema é diminuído a metade, diminuirá a metade também a

freqüência?

- Como determinar o valor máximo e mínimo da constante da mola para que o efeito no sistema

seja observável.

- Que elementos permanecem e que elementos variam, quando são comparados

simultaneamente os gráficos dos sistemas em fase, fase oposta e modo de batimento?

- O que parâmetros se devem mudar para obter uma oscilação modulada de freqüência menor?

- Em um sistema em modo de batimento, de que depende o numero de oscilações que apresenta

cada pendulo dentro de cada pulso ou “batimento”.

• Gráfico de oscilação em fase e fase oposta.

Figura 7. Oscilação em modo fase e fase oposta.

Os parâmetros são: A=0.2m ; L=1m ; l=0.8m ; k=3N/m ; m=1Kg. Pode-se enxergar que o modo em

fase oposta tem período menor do que em fase, mas a amplitude é igual.




• Gráfico de oscilações em oposição de fase, mudando os parâmetros L, l, k, m.

Figura 8. oscilações em oposição de fase, mudando os parâmetros L, l, k, m.

Na figura 8 se enxerga a oscilação para o pendulo no modo de oposição de fase, onde o

comprimento do pendulo é 1m cuja oscilação é representada nas partes a,b,c y d, de cor preto.

No gráfico (a) o cumprimento é mudado a 2m (vermelho). No gráfico (b) o comprimento de




acoplamento e mudado de 0.8 (preto) para 0.5 (vermelho). No gráfico (c) a constante K muda de

3N/m (preto) para 6N/m (vermelho). No gráfico (d) a massa muda de 1kg (preto) para 2kg

(vermelho).

• Gráfico de oscilações em modo de batimento variando um parâmetro para cada gráfica.

Figura 9. Oscilações em modo de batimento variando um parâmetro para cada gráfica.

Na figura 9 (a) apresentam-se diferentes pulsações produzidas no pendulo a, com

parâmetros iniciais A= 0,2m, L=1m, l= 0,8m; k=3n/m; m=1kg. Para cada uma das seguintes foi

mudado um parâmetro : b) L=2m; c), l= 0,5m; d) k=6N/m; e) m=2Kg.




Considerações finais

- Em cada um dos exercícios anteriores foram citadas perguntas que podem ser

consideradas como perguntas de investigação, já que não tem uma resposta imediata, senão que

precisam de estabelecer processos que permitam fazer reflexões, caracterizar sistemas físicos,

levantar hipóteses, tirar conclusões, e outros aspectos que dependerão das intenções e

capacidades de aprofundamento tanto de estudantes como de professores.

- É possível tentar generalizar o comportamento oscilatório do pêndulo para outros

fenômenos oscilatórios, o qual implica processos com maiores níveis de abstração cada vez.

- O uso do Geogebra aqui apresentado permite trabalhar com os estudantes a

importância de diferentes parâmetros, variáveis e constantes no momento de estudar um sistema

físico, seja para levantar dados ou simplesmente para pensar neles, de igual modo oferecer

rapidez para desenvolver processos de levantamento de hipóteses e comparação de resultados,

permitindo alcançar maiores níveis de abstração na compreensão dos fenômenos. Também seria

um ganho na aprendizagem conseguir a consciência do estudante entre a diferença que implica

fazer representações ondulatórias geometricamente e representar graficamente a relação entre

variáveis por meio de gráficos ondulatórios.

Referências

AZEVEDO. Using hypermedia as a metacognitive tool for enhancing student learning?. The role of self-regulated learning. Educational Psychologist, 40(4), 2005. pp 199-209.

BELÉNDEZ, A. e PASCUAL, C. e MÉNDEZ, D.I. e BELÉNDEZ, T. e NEIPP, C. Exact solution for the nonlinear pendulum. Revista Brasileira de Ensino de Física. V. 29, N.4, p.645-648, 2007.

BARBERÁ, O. e VALDÉS,P. El trabajo práctico en la enseñanza de las ciências: una revisión. Revista Enseñanza de las Ciências. 14 (3). España.1996.

CAMAPANARIO, J.M. El desarrollo de la metacognición en el aprendizaje de las ciencias: Estrategias para el profesor y actividades orientadas al alumno. Enseñanza de Las Ciências. 18 (3), Pp.369-380. 2000.

CHANG, S-S. e MAZIERO, J.V.G. e BERNARDI, J.A. Medição, com pêndulo duplo, da resistência ao corte do colmo da cana-de-açúcar. Bragantia, Revista Científica do Instituto Agronômico de

Campinas, V.41, 1982.




EFE, M.Ö. Adaptive variable structure control of a class of non-lynear systems. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part I: Journal of Systems and Control Engineering, v.221, pp.383-394, 2007.

ESPERIDIÃO, A.S.C., GUEDES, G.P., WELTNER, K., ANDRADE, R.F.S. Espaço de fase do pêndulo físico não linear: Experimento e integração numérica. Revista Brasileira de Ensino de

Física. V.14, N.2, 1992.

DAY, R. A. e B. GASTEL. How to write and publish a scientific paper. Greenwood Press. 2006.

ECO, U. Como se faz uma tese. São Paulo: Perspectiva. 2002.

FLAVEL, J. Monitoring social cognitive enterprises: something else that may develop in the area of social cognition. In Flavel, J. & Ross L.(eds.) Social Cognitive Development. NYC: Cambridge University Press.1981.

FREITAS, M.S. , BORGES, F.S. e FILHO, J.B.D. Abordagem qualitativa da série de Fourier

através da análise de sinais eletroencefalográficos. Universidade Federal de Uberlândia, 2008.

FRENCH, A.P. Vibrations and Waves. The M.I.T. Introductory physics series. New York. 1971.

GUERRINI, I., SPAGNUOLO, R. S. Metáforas da nova ciência para educar em tempos de pós-humanidade. Revista Internacional Interdisciplinar INTERthesis. Florianópolis, V.5, p.73-92, jul./dez. 2008.

HINRICHESEN, Peter F. Practical applications of the compound pendulum. The Physics

Teacher, V. 19, N.5, p. 286-292, 1981.

HOHENWARTER, M. E HOHENWARTER,J. GeoGebra Manual oficial de la version 3.2. 2009. Disponível em www.geogebra.org

KIM, D., SINGHOSE, W. Performance studies of human operators driving double-pendulum bridge cranes. Control Engineering Practice, 18, p.567-576, 2010.

LÉCUYER, A.; LOTTE, F.; REILLY, R.; LEEB, B.; HIROSE, M.; SLATER, M. Brain-Computer

Interfaces, Virtual Reality, and Videogames, IEEE Computer, V41, N. 10, pp. 66-72, 2008

LEVY, P. Interface - Comunicação, Saúde, Educação. Interface. V.3 N.4 Botucatu Feb. 1999




MONERAT, G. A. ; SILVA, E.V.C., PAPA, A. R. R. ; BRITO, G. F. C., CYRINO, A. G. . Introduzindo o Conceito de Caos no Ensino de Física. In: XVI Simpósio Nacional de Ensino de Física, Rio de Janeiro. 2005,

PÁDUA, L. R. de, GERMANO, J.S.E. Desenvolvimento de objetos de aprendizagem com o software Macromedia Flash. Anais do 12º Encontro de Iniciação Científica e Pós-graduação

do ITA. Instituto Tecnológico da Aeronáutica, São José dos Campos, Outubro, 16 a 19, 2006.

POZO, J.; GOMEZ, M. A aprendizagem e o ensino de Ciências. 5.ed. Artmed: Porto Alegre. 2009. pp.109

RESNICK, R.; HALLYDAY, D.; KRANE, K. Física. V1. Tercera Edición. Compañía Editorial Continental. México.1993. pp 362-365.

SEARS, S. Física Universitaria. Editorial Addison-Weesley.V.1. 1996, pp.495-498.

VALENTE, J.A. Computadores e Conhecimento: Repensando a Educação. Diferentes usos

do computador na Educação. Editora da Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1995.

VANKÓ, P. Investigation of a chaotic double pendulum in the Basic Level Physics Teaching Laboratory. European Journal of Physics. 28, 2007, p. 61-69.

ZARESTKY, E. e BAR, V. How to Develop Meta Cognition to Thinking Process in order to Improve Investigation Skill. Systemics, Cybernetics and Informatics, 4(1), 2005

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