PRODUTO EDUCACIONAL
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE
GEOGEBRA COMO FERRAMENTA
DIDÁTICA NA APRENDIZAGEM
DE FUNÇÕES QUADRÁTICA
JOSÉ WILLIAM SOARES DA SILVA
ORIENTADORA: Profª Dra. ROSINÉTE GAERTNER
BLUMENAU
2017
UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU
Centro de Ciências Exatas e Naturais (CCEN)
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática (PPGECIM)
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE
CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
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SUMÁRIO
1 APRESENTAÇÃO..................................................................................................................... 3
2 REFERENCIAL TEÓRICO.................................................................................................... 4
2.1 ASPECTOS DA TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA............................. 4
2.2 CONDIÇÕES PARA A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA........................................ 6
2.3 TIPOS DE APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA.............................................................. 7
3 SEQUÊNCIA DIDÁTICA........................................................................................................ 9
4 ATIVIDADES.......................................................................................................................... 11
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................................. 39
REFERÊNCIAS.......................................................................................................................... 40
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Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática (PPGECIM)
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE
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1. APRESENTAÇÃO
Caro professor!
Este caderno didático apresenta um roteiro para construção de um projeto sobre o tema “A
utilização do software GeoGebra como ferramenta didática na aprendizagem de funções
quadráticas”, a ser aplicado na 1ª série do Ensino Médio, utilizando como base teórica a Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel e seus colaboradores.
Esta proposta foi preparada com o objetivo de auxiliá-lo no planejamento de algumas aulas,
levando em consideração aspectos importantes da relação de ensino e de aprendizagem entre o
professor e o aluno.
O caderno descreve como elas devem ser construídas no contexto escolar. Toda a sequência
foi baseada com foco na disciplina de Matemática, não nos detendo a explicar detalhadamente de
que forma as outras áreas do conhecimento podem auxiliar no projeto.
Este caderno didático visa construir com os alunos conceitos relativos à função quadrática
com o auxílio do software GeoGebra, destacando-se a importância de aulas práticas, onde o aluno
é capaz de visualizar a situação gráfica e entender o significado desses conceitos. Para isso, é
necessário que nós, professores, estejamos abertos a buscar alternativas de tornar nossas aulas mais
atrativas e significativas para os alunos.
Estruturamos a proposta de forma que o professor num primeiro momento possa
através do Pré-Teste, verificar quais os conhecimentos prévios que os alunos possuem sobre o
tema a ser estudado. Em seguida, trouxemos atividades práticas para que auxiliem os alunos na
melhoria dos conceitos já incorporados sobre o tema e ainda outros que possam ser então
construídos.
Abordamos também duas atividades relativas a paisagens observadas no cotidiano que
podem ser representadas através de uma função quadrática. Nas imagens, retratadas por meio de
fotografias, foram feitas as construções das funções por meio do software GeoGebra.
Para avaliar se houve ou não a construção do conhecimento, fica também a sugestão da
aplicação do Pós-Teste. Ele tem as mesmas questões do pré-teste, pois, será através delas que você
deverá verificar como se deu a construção dos conceitos.
Nesta proposta trabalhamos principalmente os conceitos da definição da função quadrática,
os coeficientes, concavidade da parábola, relação entre o coeficiente “a” e a concavidade da
parábola, intersecção da parábola, vértices, ponto de máximo e ponto de mínimo e esboçar o
gráfico da função quadrática.
Esperamos professor que esta proposta contribua para o seu trabalho em sala de
aula, fazendo com que os conteúdos trabalhados sejam atrativos e significativos aos alunos.
Lembramos que as atividades definidas aqui foram aplicadas em sala e deram um bom resultado e
também é importante ressaltar que são sugestões, podendo ser alteradas por você de
acordo com o perfil de sua turma.
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2. REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 ASPECTOS DA TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
Vivemos em mundo em que ocorrem constantes mudanças. Muitas dessas no meio
científico e tecnológico e, como consequência, desencadeiam transformações em todas as áreas do
conhecimento. Para o professor que vive no meio de todas essas mudanças, o processo de ensino e
aprendizagem fica ainda mais desafiador.
Existem diversas teorias da aprendizagem, mas a que iremos abordar nesta pesquisa será a
Teoria da Aprendizagem Significativa.
A Teoria da Aprendizagem Significativa foi formulada inicialmente pelo psicólogo
americano David Paul Ausubel, que a idealizou durante a década de 60 em sua obra “Psicologia
Educacional”. Ausubel (1918-2008) graduou-se em Psicologia e Medicina, e doutorou-se em
Psicologia do Desenvolvimento, na Universidade de Columbia (MOREIRA, 2011, p.14). No ano
1980 recebeu colaborações de Joseph Donald Novak e Heken Hanesian.
A Teoria da Aprendizagem Significativa é
Um processo pelo qual uma nova informação irá interagir com conhecimentos e
ideias que o aprendiz já possui, fazendo com que ele relacione esse novo aspecto
do conhecimento de maneira relevante. O conjunto de conhecimentos e ideias
existentes na mente do indivíduo é definida como estrutura cognitiva. Ou seja,
neste processo a nova informação interage com uma estrutura de conhecimento
específica, a qual Ausubel define como conceitos subsunçores ou, simplesmente,
subsunçores (subsumers), existentes na estrutura cognitiva do indivíduo
(MOREIRA; MASINI, 2001, p. 7).
Para os autores, o fator mais importante que influencia na aprendizagem é o
conhecimento prévio do aluno, ou seja, aquilo que ele já sabe (MOREIRA, 2006). Nesse processo
de aprendizagem o novo conhecimento se relaciona com tudo aquilo que está na estrutura
cognitiva do aluno. Ausubel define esses conhecimentos prévios como “subsunçores”, que
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servem de suporte para as novas informações, se relacionando com tudo conhecimento que o aluno
já possui. Segundo Ausubel (1973, p. 25), “subsunçor é uma estrutura específica na qual uma nova
informação pode se agregar ao cérebro humano, que é altamente organizado e detentor de uma
hierarquia conceitual, que armazena experiências prévias do sujeito”.
De acordo com Ausubel, a aprendizagem significativa só ocorre quando existir aspectos
relevantes na estrutura cognitiva do aluno em relação ao novo conhecimento e que toda essa
aprendizagem aconteça de tal forma que permita ao aluno utilizar os conhecimentos adquiridos em
novas formas, ao invés de apenas reproduzi-las.
Outro conceito muito importante da teoria de Ausubel é a de que o armazenamento de
novas informações no individuo ocorre de forma hierárquica, ou seja, inicialmente adquirimos
conceitos mais inclusivos e, conforme conceitos novos e mais específicos vão sendo adquiridos,
estes são interligados ao conceito mais geral. Essa é uma das maneiras que Ausubel propõe que
ocorre a aprendizagem significativa. O autor ainda continua dizendo que esse novo conceito será
aprendido significativamente, quando puder ser apresentado de diversas maneiras. Em contra
partida à aprendizagem significativa, existe a aprendizagem repetitiva, chamada de Aprendizagem
Mecânica. Esta aprendizagem é definida por Ausubel (1973, p. 23) como “aquela que encontra
pouca ou nenhuma informação prévia na estrutura cognitiva dos estudantes, com a qual se possa
relacionar, não promovendo a interação entre o que já está armazenado e as novas informações”.
Moreira (1999, p. 154) explica que a aprendizagem se torna mecânica quando produz uma
menor aquisição e atribuição de significado, passando a nova informação a ser armazenada
isoladamente ou por meio de associações arbitrárias na estrutura cognitiva do estudante. De forma
clara, Moreira define Aprendizagem Mecânica como:
[...] o modelo clássico em que o professor expõe (no quadro-de-giz ou com slides
PowerPoint), o aluno copia (ou recebe eletronicamente os slides), memoriza na
véspera das provas, nelas reproduz conhecimentos memorizados sem significado,
ou os aplica mecanicamente a situações conhecidas, e os esquece rapidamente.
Esse modelo continua predominando na escola, aceito sem questionamento por
professores, pais e alunos, fomentado pelos exames de ingresso às universidades e
exaltado pelos cursinhos preparatórios. Uma enorme perda de tempo. Os alunos
passam anos de sua vida estudando, segundo esse modelo, informações que serão
esquecidas rapidamente (MOREIRA, 2012 p. 67).
6
2.2 CONDIÇÕES PARA A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 34) explicam que “a aprendizagem significativa
envolve a aquisição de novos significados e os novos significados, por sua vez, são produtos da
aprendizagem significativa”. No entanto para que ocorra a aprendizagem significativa, Ausubel e
seus colaboradores definem algumas condições que devem ser satisfeitas. Moreira (2011) aponta
duas dessas condições como essenciais:
a) Predisposição do aluno para aprender: A motivação para a aprendizagem é
proporcionada tanto pelo aluno, quanto pelo professor. Moreira (2010) destaca que muitos
estudantes exercem uma indisposição para a aprendizagem.
Para aprender significativamente o aprendiz tem que querer aprender, o que
é natural, pois ninguém vai aprender qualquer conhecimento se não quiser
aprendê-lo. Mas, uma vez iniciada, a aprendizagem significativa gera mais
pré-disposição para novas aprendizagens significativas. Qualquer professor
experiente sabe disso. Sabe também que a aprendizagem mecânica acaba por
gerar uma aversão a certas matérias de ensino, como é, por exemplo, o caso
da Física. (MOREIRA, 2010, p. 77)
Ausubel (1980) destaca que uma das razões para que muitos estudantes apresentem essa
predisposição surge a partir de experiências mal sucedidas, tais como problemas com seus
professores e fracassos vivenciados em sala de aula.
“Uma das razões pelas quais os estudantes desenvolvem comumente uma
disposição para a aprendizagem automática em relação a uma disciplina
potencialmente significativa, surge a partir da seguinte experiência mal sucedida:
respostas substantivamente corretas, mas carentes de uma correspondência literal
com aquelas em lhes foram ensinadas. Outra razão é que, devido ao alto nível de
ansiedade ou devido a uma experiência crônica de fracasso numa determinada
disciplina” (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 36).
Essa motivação por parte do aluno é gerada quando o professor estimula a curiosidade,
apresentando matérias diversificadas e apropriadas, relacionando a explicação com o cotidiano de
aluno.
7
b) O conteúdo escolar a ser aprendido deve ser potencialmente significativo: O conteúdo
escolar para ser potencialmente significativo tem que ter sentido lógico, pois o aluno filtra
aquilo que tem importância ou não para si. Moreira e Massini (2001) afirmam que este
conteúdo deve se relacionar de maneira não-arbitrária e não-literal a uma estrutura
cognitiva com ideias correspondentemente relevantes na mente do aluno.
O professor deve estar preparado para identificar todos os conhecimentos adquiridos pelos
alunos em seu cotidiano e perceber que são esses conhecimentos que os alunos carregam pra
dentro da sala de aula. Através da descoberta destes subsunçores o professor pode tornar a
aprendizagem significativa. Quando isso não ocorre, muitos alunos recorrem á aprendizagem
mecânica. Ausubel, Novak e Hanesian (1980), destacam que a motivação para a aprendizagem é
tanto um efeito quanto a causa. Logicamente, desenvolver ou preparar conteúdos potencialmente
significativos nem sempre é uma tarefa fácil, pois esse material deve fornecer informações
relevantes ao aprendiz de forma não arbitrária, devendo estes matérias estar em seu domínio de
aprendizado, e o aprendiz deve ser capaz de relacioná-las com os conceitos já
existentes em sua estrutura cognitiva (MOREIRA, 2006).
2.3 TIPOS DE APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
A Teoria de Ausubel apresenta três tipos de aprendizagens significativas: aprendizagem
representacional (de representações), aprendizagem conceitual (de conceitos) e proposicional (de
proposições).
Considerada o tipo mais básico e fundamental para a aprendizagem significativa, a
Aprendizagem Representacional se refere aos significados dos símbolos e “ocorre quando
símbolos arbitrários passam a representar, em significado, determinados objetos ou eventos em
uma relação unívoca, quer dizer, o símbolo significa apenas o referente que representa”
(MOREIRA 2011, p. 38).
De acordo com Ausubel e seus colaboradores (1980), esse tipo de aprendizagem ocorre
próximo ao fim do primeiro ano de vida da criança, quando ela compreende que é possível usar
símbolos para representar qualquer significado.
8
Por exemplo, uma criança que conhece pela primeira vez um animal, ela busca por algo que
o represente, ou seja, que dê significado aquela imagem. Assim para uma criança aprender a
palavra “leão” resulta primeiramente no som que ele produz, relacionando-o o próprio animal. Ela
relacionará de maneira não arbitrária e substantiva esta proposição ao objeto relevante de sua
estrutura cognitiva.
Moreira (2011) define a Aprendizagem Conceitual quando o sujeito passa a não depender
de um referencial para dar significado ao símbolo, ela observa as regularidades nos eventos e
objetos. Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 47) definem “conceito como objetos, eventos,
situações ou propriedades que possuam atributos essenciais comuns que são designados por algum
signo ou símbolo”.
Na Aprendizagem por Proposição supõe-se que o sujeito já possua em sua estrutura
cognitiva conceitos que deem sentido as proposições. Conforme Moreira (2011) esta aprendizagem
não consiste em aprender proposições ou conceitos, pois, “as aprendizagens representacional e
conceitual são pré-requisito para a proposicional”.
9
3. SEQUÊNCIA DIDÁTICA
A proposta aqui apresentada, que tem como princípio, uma sequência didática, visa
explorar aquilo que o aluno já sabe e ainda, utilizar estes conhecimentos para a relação com novos
conceitos a serem apresentados sobre funções quadráticas.
A preparação das aulas foi divida em 10 atividades. Cada atividade foi planejada
de acordo com os conceitos a serem trabalhados naquele momento. A Atividade 1 faz
referência ao Pré-Teste, buscando saber quais os conhecimentos que os alunos já possuem
sobre o tema a ser estudado. Nesta atividade é feita a apresentação do software GeoGebra aos alunos,
bem como a utilização de algumas de suas principais funções.
A Atividade 2 consiste na apresentação da área gráfica na tela inicial, a caixa de
ferramentas com diversas funções e uma caixa algébrica, onde fica visível todo objeto matemático
que foi inserido na janela gráfica.
A Atividade 3 visa fazer com que o aluno use a barra de entrada de comandos, digitando a
lei de formação da função desejada descrevendo as principais características da função quadrática,
gráficos, pontos e coordenadas. A Atividade 4 faz com que o aluno analise o que acontece com a
concavidade da parábola quando se altera o sinal do coeficiente “a” de uma função quadrática e
também a relação existente entre este coeficiente e a concavidade da parábola.
Na Atividade 5 o aluno encontrará o valor do discriminante e a quantidade de raízes que
cada função apresenta, determinando a relação que existe entre eles.
A Atividade 6 prêve a aplicação de conceitos de “ponto” “interseção de dois objetos”,
“mediatriz”, levando o aluno a observar que o ponto de máximo ou de mínimo depende do valor
do coeficiente “a”.
Na Atividade 7 há a aplicação de todos os conhecimentos que foram estudados nas
atividades anteriores. Nela o aluno irá analisar os coeficientes, visualizar através de uma situação
problema os gráficos, as raízes e o termo independente da função, determinar as coordenadas do
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vértice, analisar também as condições existentes para que uma função tenha ponto de máximo e de
mínimo.
As atividades 8 e 9 abordam atividades relativas a paisagens observadas no cotidiano que
podem ser representadas através de uma função quadrática. Nestas imagens, retratadas por meio de
fotografias, são feitas as construções de suas funções por meio do software GeoGebra.
E por fim, na atividade 10 o Pós-Teste, que são as mesmas questões do Pré-Teste, agora
para avaliar qual a evolução conceitual dos estudantes.
Portanto, são dez atividades distribuídas entre verificação dos conhecimentos e estratégias
de ensino que deverão ser utilizadas para ampliar os conhecimentos dos alunos e finaliza com uma
atividade que visa então a avaliação de como estes conhecimentos foram incorporados à estrutura
cognitiva dos alunos.
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4. ATIVIDADES
ATIVIDADE 1 - PRÉ-TESTE
Responder as questões individualmente:
1 – Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função
quadrática e escreva os valores de seus coeficientes.
a) ( ) f (x) = x + 4 b)( ) f (x) = log4 𝑥
c) ( ) f (x) = 𝑥² + 5𝑥 − 2 d) ( ) 𝑓(𝑥) = sen x
2 – Observe as seguintes funções quadráticas, escreva os seus coeficientes e se o gráfico possui
concavidade voltada para cima ou para baixo:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 − 3
b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥² + 5𝑥 − 1
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 8𝑥 + 5
d) 𝑓(𝑥) = −5𝑥2 + 5𝑥 + 10
OBJETIVO: Identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre conceitos relativos
à função quadrática.
TEMPO ESTIMADO:
1h/ aula – 45 minutos
CONCEITOS ENVOLVIDOS:
Definição da função quadrática;
Coeficientes;
Concavidade da parábola;
Relação entre o coeficiente a e a concavidade da parábola;
Intercessão da parábola;
Vértices;
Ponto de máximo e ponto de mínimo;
Esboçar o gráfico da função quadrática.
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3 – Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1. Essa função possui concavidade voltada
para cima ou para baixo?
x y
- 2
- 1
0
1
2
4 – Encontre os zeros da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 7𝑥 + 6.
5 – Calcule o discriminante (delta Δ) da função: 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3.
6 – O que ocorre com a interseção da parábola em relação ao eixo X (abscissas) quando:
a) Δ ˃ 0 _________________________________________________________
b) Δ ˂ 0 _________________________________________________________
c) Δ = 0 _________________________________________________________
7 – Em cada gráfico da função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² − 𝑏𝑥 + 𝑐, com Δ = b² − 4ac. Descubra se a ˃
0 ou a ˂ 0 e se Δ ˃ 0, Δ ˂ 0 ou Δ = 0 .
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8 Nas funções quadráticas abaixo, encontre os coeficientes e o vértices:
Função Quadrática Coeficientes 𝚫 = 𝐛² − 𝟒𝐚𝐜 xv = − 𝒃
𝟐𝒂 yv =
− 𝚫
𝟒𝒂
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 4𝑥 − 5 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
𝑓(𝑥) = 3𝑥² − 9 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
9 – A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em
metros, t segundos após o chute, seja dada por ℎ(𝑡) = − 𝑡2 + 6𝑡, determine:
a) em que instante a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola.
As questões do Pré-Teste respondidas pelos alunos deverão ser recolhidas ao final da aula,
para serem analisadas pelo professor a fim de que se possa dar encaminhamentos para o
procedimento das atividades com o software GeoGebra.
ANOTAÇÕES
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR
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ATIVIDADES 2 e 3
2.1 CONHECENDO E EXPLORANDO O GEOGEBRA
O GeoGebra é um software livre, disponível para download no endereço:
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR, de fácil manipulação, que possibilita integrar geometria,
álgebra e cálculo, conforme Camargo (2009). Dessa forma é possível explorar nesse programa, a
matemática e relacionar os conceitos envolvidos através dos recursos de visualização e
movimentação que estão disponíveis.
Com ele podemos construir e identificar diversos entes matemáticos. No decorrer das
atividades desse trabalho, serão abordadas as principais funções do Software GeoGebra,
relacionadas ao estudo de funções, principalmente às funções quadráticas. Conhecendo o
GeoGebra A tela inicial apresenta a área gráfica, onde aparecem os entes matemáticos, conforme
os comandos que o usuário fornece ao programa. Além disso, ela traz uma caixa de ferramentas
OBETIVO: Conhecer o software GeoGebra e sua sintaxe, bem como utilizar algumas de
suas funções;
Construir gráficos de funções do 2° graus;
Identificar as principais características da função quadrática, gráficos, pontos e coordenadas.
Identificar a relação existente entre o valor do discriminante e a intersecção da parábola com
o eixo das abscissas;
Perceber, através dos desenhos gráficos no software GeoGebra, a relação entre o valor de
máximo e o valor de mínimo, quando o coeficiente a for maior ou menos que zero.
TEMPO ESTIMADO: 2h/ aulas – 1h30
CONCEITOS ENVOLVIDOS:
Conceitos da função quadrática;
Comandos do software GeoGebra;
Coeficientes de uma função quadrática;
Concavidade de uma função quadrática;
Relação entre o coeficiente “a” e a concavidade da função quadrática.
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com diversas funções em cada um dos botões apresentados, bem como apresenta uma caixa
algébrica, a qual deixa visível todo objeto matemático que foi inserido na janela gráfica, com suas
respectivas coordenadas e seus valores. Observe a página inicial do GeoGebra com destaque para
as janelas algébrica e gráfica, a barra de ferramentas e a barra de entrada de comandos.
Figura 1: Tela Inicial do Geogebra 5.0
Agora, vamos conhecer, na prática, algumas opções da barra de ferramentas. Para isso
observe a numeração indicada para cada botão na para facilitar a referência a cada ferramenta.
Figura 2 – Relembrando a barra de Ferramentas do GeoGebra com botões numerados.
2.2 ATIVIDADE 2: Marcando pontos no GeoGebra
Para trabalhar com funções, especialmente, em nosso caso, de 2° grau, é necessário saber
como marcar pontos pertencentes ou não ao gráfico de cada função, utilizando os comandos do
16
software GeoGebra. Para isso, abra uma nova janela do programa (Arquivo – Nova Janela) e siga
as orientações fornecidas abaixo.
1ª Opção: Inserindo pontos diretamente na janela gráfica.
a) Clique no botão 2 e selecione “ponto”. Clique, na janela de visualização, no local do ponto que
deseja inserir. Observe que na janela de álgebra aparece na aba de o ponto A e suas coordenadas;
b) Repita o procedimento anterior e marque um ponto B qualquer e observe as suas coordenadas.
2ª Opção: Inserindo o ponto desejado na barra de entrada de comandos.
a) Clique na barra de entrada de comando e digite C = (3,5). Esse ponto será marcado na janela
gráfica e suas coordenadas aparecem na janela de álgebra;
b) Repita o procedimento anterior e marque outros dois pontos D e E.
3.1 ATIVIDADE 3: Funções e gráficos no GeoGebra
Para inserir funções no GeoGebra, você deverá usar a barra de entrada de comandos,
digitando a lei de formação da função desejada. As atividades seguintes exploram as diferentes
formas de inserir comandos adequados no software a fim de traçar os respectivos gráficos de
funções de 2° grau, inclusive para interpretar resultados importantes sobre o comportamento de
cada uma das funções.
Para ilustrar esses procedimentos, apresentaremos uma sequência de orientações a fim de
construir os gráficos de funções, como, por exemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑒 𝑎 ≠ 0
3.1.1 ATIVIDADE 3 : Gerando gráficos de funções de 2° grau
a) Insira a função 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝟒𝒙 + 𝟑 utilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 + 𝟒 ∗ 𝒙 + 𝟑
na Barra de Entrada e pressione ENTER;
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b) Clique com o botão direito do tablet sobre o gráfico da função, selecione Propriedades e
explore (cor, estilo, espessura da linha, etc.);
c) Observe que a lei de formação da função aparece na janela de álgebra;
d) Observe a concavidade da parábola na janela de visualização;
e) mude o sinal do coeficiente “a”, e observe se altera a concavidade da parábola na janela de
visualização.
OBS: Utilize sempre a opção “mover janela de visualização” na janela 2 para melhor visualizar a
parábola.
ANOTAÇÕES
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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ATIVIDADE 4
4.1 GERANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE 2° GRAU
Em uma nova janela (Arquivo, Nova Janela) do GeoGebra:
a) Insira a função f(x) = x² - 5x + 6 utilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 − 𝟓 ∗ 𝒙 + 𝟔
na Barra de Entrada e pressione ENTER;
b) Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico da função, selecione Propriedades e
explore (cor, estilo, espessura da linha, etc.).
c) Observe que a lei de formação da função aparece na janela algébrica.
d) Em uma nova janela (Arquivo, Nova Janela) do GeoGebra insira
𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 utilizando a sintaxe 𝒈(𝒙) = 𝒙^𝟐 + 𝟓 ∗ 𝒙 − 𝟔;
OBS: Utilize sempre a opção “mover janela de visualização” na janela 2 para melhor visualizar a
parábola.
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OBETIVO: Analisar o que acontece com a concavidade da parábola quando alteramos o
sinal do coeficiente “a” de uma função quadrática.
TEMPO ESTIMADO: 1 aula – 45min
CONCEITOS ENVOLVIDOS:
Coeficientes;
Lei de formação da função;
Interseção com o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;
Concavidade da parábola.
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Você pode também inserir em uma nova janela do GeoGebra, parâmetros para os
coeficientes a, b e c, e verificar o que acontece com a função f(x) = ax² - bx + c na medida em que
os valores de a, b e c são alterados.
ATIVIDADE - Responder as questões de modo individual:
1 – Complete a tabela abaixo para realizar uma análise do gráfico da função de 2° grau definida
por f(x) = ax² - 5x + 6, e responda conforme os parâmetros “a” indicado:
a Lei da função Intersecção com o
eixo 0X
Intersecção com o
eixo 0Y
Função Côncava para
baixo ou para cima.
1
3
0
-1
-5
2 – Com base no que você já estudou e no que viu no GeoGebra explique: como identificar se uma
função quadrática é côncava para cima ou para baixo?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
CONCLUSÕES
(Completar com POSITIVO ou NEGATIVO):
Se o sinal do coeficiente a da lei da função do 2º grau for ______________ o gráfico da
função é uma parábola com concavidade voltada para cima.
Se o sinal do coeficiente a da lei da função do 2º grau for ______________ o gráfico da
função é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
20
Os exercícios da Atividade 4 respondidas pelos alunos deverão ser recolhidas ao final da
aula, para serem analisadas pelo professor.
ANOTAÇÕES
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
21
ATIVIDADE 5
5.1 QUANTIDADE DE RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Em uma nova janela (Arquivo, Nova Janela) do GeoGebra:
a) Insira a função f(x) = x² - 5x + 6utilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 − 𝟓 ∗ 𝒙 + 𝟔 na Barra de
Entrada e pressione ENTER;
b) Na Barra de Entrada digite os valores dos coeficientes a, b, c (ex: a = 1, b = -5, c = 6),
pressionando ENTER em cada um dos coeficientes;
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OBJETIVO: Perceber a relação entre o valor do discriminante e a interseção da parábola
com o eixo das abscissas, possibilitando assim, associar quando a parábola intersecta o eixo
em dois pontos, um ponto ou se não há intersecção.
Determinar a raízes de cada função.
Observar a relação existente entre as raízes da função e o ponto de intersecção com o eixo x.
Analisar a relação que existe entre o valor do Discriminante e a quantidade de raízes de uma
função quadrática.
TEMPO ESTIMADO: 1 aula – 45 min
CONCEITOS ENVOLVIDOS:
Coeficientes;
Discriminante;
Raízes da equação;
Relação entre o discriminante e as raízes.
Lei de formação da função;
Interseção com o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;
Concavidade da parábola.
22
c) Na barra de entrada digite b^2 – 4*a*c para encontrar o valor do Discriminante da função
quadrática;
d) Clique na janela 2 na opção “interseção de dois objetos”, movimente com o mouse clicando
na interseção da parábola com o eixo da abscissas para obter as raízes da equação;
OBS: Utilize sempre a opção “mover janela de visualização” na janela 2 para melhor visualizar
a parábola.
ATIVIDADE- Responder as questões de modo individual:
1 – Encontre o discriminante Δ (delta) e a quantidade de raízes que cada função determinando a
relação que existe entre eles.
Função Discriminante Δ = b² - 4ac Quantidade de raízes
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 5𝑥 + 6
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 9
𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 3𝑥 + 4
Qual a relação entre o Discriminante e a quantidade de raízes?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
2 – Trace no software GeoGebra, o gráfico das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3 e
𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 e responda:
a) Calcule as raízes da função;
b) o que se pode concluir em relação as raízes da função e o ponto de intersecção com o eixo das
abscissas?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
23
Os exercícios da Atividade 5 respondidas pelos alunos deverão ser recolhidas ao final da
aula, para serem analisadas pelo professor.
ANOTAÇÕES
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
CONCLUSÕES
Completar com: maior que (>), menor que(<) , igual (=)
Para o Discriminante ___________ 0, a função terá duas raízes reais e diferentes;
Para o Discriminante ___________ 0, a função terá duas raízes reais e iguais;
Para o Discriminante ___________ 0, a função não terá raízes reais.
PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR
24
ATIVIDADE 6
Com a atividade propostas nesta etapa, o aluno será capaz de:
6.1 ATIVIDADE 6: vértices da função, ponto de máximo e de mínimo.
Em uma nova janela (Arquivo, Nova Janela) do GeoGebra:
a) Insira a função f(x) = x² - 12x + 30 utilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 − 𝟏𝟐 ∗ 𝒙 + 𝟑𝟎, na Barra de
Entradas e pressione ENTER;
b) Clicar na janela 2 “ponto” em seguida na opção “interseção de dois objetos”, clicando na
intersecção da parábola com o eixo das abscissas para obter as raízes da equação, pontos A e B e
também no eixo das ordenadas para obter o ponto C. Esse ponto C é o termo
independente(coeficiente c da função).
c) Clicar na janela 4 “mediatriz”, em seguida clicar no pontos A e B para obter a reta que corta a
parábola ao meio; OBS: (Este modelo é desenvolvido para ∆ > 0)
OBJETIVO: Analisar as concavidades da parábola usando o software GeoGebra e perceber
a relação entre o coeficiente “a” e o valor de máximo ou de mínimo.
Analisar os coeficientes das funções.
Determinar as coordenadas do vértice de cada função.
Analisar a condição existente para que uma função tenha ponto de máximo ou de mínimo.
TEMPO ESTIMADO: 1 aula – 45 min
CONCEITOS ENVOLVIDOS:
Concavidade da parábola;
Relação entre o coeficiente a e a concavidade da parábola;
Intercessão da parábola;
Vértices;
Ponto de máximo e ponto de mínimo;
Reta mediatriz.
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25
d) Clicar na janela 2 “ponto” e em seguida na opção “interseção de dois objetos”, clicando na
intersecção entre a mediatriz e a concavidade da parábola para obter o vértice, que será o ponto de
máximo ou de mínimo, dependendo do valor do coeficiente a.
OBS: Utilize sempre a opção “mover janela de visualização” na janela 2 para melhor visualizar a
parábola.
ATIVIDADE - Responder as questões de modo individual:
1 – Encontre os coeficientes das funções e as coordenadas do vértice x e y utilizando o software
GeoGebra para resolver as perguntas.
Função Quadrática Coeficientes Coordenada
xv
Coordenada
yv
Coordenadas
(xv,yv)
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 12𝑥 + 30 a= b= c=
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 4 a= b= c=
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 5 a= b= c=
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 5 a= b= c=
a) Qual a condição para que uma função tenha ponto de mínimo?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
b) Qual a condição para que uma função tenha ponto de máximo?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
2 – Trace no software GeoGebra, o gráfico das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3 e
𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 e responda:
a) Calcule o vértice de cada função (xv, yv);
b) A primeira função tem valor máximo ou mínimo? Qual é esse valor?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
c) A segunda função tem valor máximo ou mínimo? Qual é esse valor?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
26
Os exercícios da Atividade 6 respondidas pelos alunos deverão ser recolhidas ao final da
aula, para serem analisadas pelo professor.
ANOTAÇÕES
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
CONCLUSÕES
Completar com (POSITIVO ou NEGATIVO):
Se o sinal do coeficiente a da lei da função do 2º grau for ______________ a função terá
valor mínimo;
Se o sinal do coeficiente a da lei da função do 2º grau for ______________ a função terá
valor máximo.
6.2 – PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR
27
ATIVIDADE 7
Situação-problema
7.1 ATIVIDADE – Responder as questões de modo individual:
1 – O movimento de um projétil lançado para cima, verticalmente, é descrito pela equação
𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟎. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil, x segundos após o
lançamento.
a) Que altura máxima o objeto atingiu?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
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OBJETIVO: Aplicar todos os conceitos e definições aprendidos nas atividades anteriores
sobre funções quadráticas através do software GeoGebra, visualizando o gráfico e
percebendo as raízes, o vértice e o termo independente da função.
TEMPO ESTIMADO: 2 aulas – 1h30
CONCEITOS ENVOLVIDOS:
Conceitos da função quadrática e do software GeoGebra;
Coeficientes e a concavidade de uma função quadrática;
Relação entre o coeficiente “a” e a concavidade da função quadrática;
Intercessão da parábola;
Vértices;
Ponto de máximo e ponto de mínimo;
Esboçar o gráfico da função quadrática;
Lei de formação da função;
Interseção com o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;
Discriminante e as raízes da equação;
Relação entre o discriminante e as raízes;
Reta mediatriz;
Ponto de intersecção.
28
b) Quanto tempo ele levou para atingir esta altura?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
c) Quanto tempo o projétil levou para subir? E para descer?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
2 – Suponha que o lucro (em reais) de uma empresa seja dado em função do preço (x) de vendas de
seu principal produto, pela lei:
𝑳(𝒙) = −𝟓𝟎 . (𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟖𝟎)
Analise as informações seguintes, classifique como verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando.
a) Quando o produto é vendido a R$ 7,00 ou a R$ 17,00, a empresa obtém o mesmo lucro.
b) Se o preço de venda do produto é colocado a R$ 5,00, o lucro obtido é inferior a R$ 700,00.
c) O lucro máximo possível nessas condições é de R$ 3200,00.
d) Os preços de venda de R$ 4,00 e de R$ 20,00 não proporcionam lucro algum.
PROCEDIMENTO
Insira a função f(x) = -4x² + 20xutilizando a sintaxe 𝒇(𝒙) = −𝟒^𝟐 + 𝟐𝟎 ∗ 𝒙, na Barra
de Entradas e pressione ENTER;
Clique na janela 2 “ponto” em seguida na opção “interseção de dois objetos”,
clicando na intersecção da parábola com o eixo das ordenadas obtém a altura máxima
do objeto;
Clique na janela 2 “ponto” em seguida na opção “interseção de dois objetos” ,
clicando na intersecção da parábola com o eixo das abscissas obtém o tempo que ele
levou para subir e para descer.
OBS: Utilize sempre a opção “mover janela de visualização” na janela 2 para melhor
visualizar a parábola.
29
Os exercícios da Atividade 7 respondidas pelos alunos deverão ser recolhidas ao final da
aula, para serem analisadas pelo professor.
ANOTAÇÕES
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
PROCEDIMENTO
Insira a função f(x) = -50(x² - 24x + 80) utilizando a sintaxe
𝒇(𝒙) = −𝟓𝟎. (𝒙^𝟐 − 𝟐𝟒 ∗ 𝒙 + 𝟖𝟎, na Barra de Entradas e pressione ENTER;
Clique na barra de entrada e digite (7,0) e (17,0). Apareceram os pontos A e B no
eixo das abscissas;
Clique na janela 4 “reta perpendicular”, em seguida clique nos pontos A e B e nos
eixos das abscissas;
Clique na janela 2 “intercessão entre dois objetos” e marque a interseção entre a
reta perpendicular e a parábola da função, pontos C e D, para verificar se R$ 7,00
ou R$ 17,00 terá o mesmo lucro;
Clique na barra de entrada e digite (5,0). Aparecerá o ponto E;
Clique na janela 4 “reta perpendicular”, em seguida clique no ponto E e no eixo das
abscissas;
Clique na janela 2 “intercessão entre dois objetos” e marque a intercessão entre a
reta perpendicular e a parábola obtendo o ponto F, para verificar se o lucro será
inferior a R$ 700,00;
Clique a barra de entrada e digite (0,3200). Aparecerá o ponto G no eixo das
ordenadas;
Clique na janela 4 “reta perpendicular”, em seguida clique no ponto G e no eixo
das ordenadas para verificar se essa reta coincide com o ponto de máximo da
parábola, analisando se seu lucro máximo será de R$ 3.200,00;
Clique na barra de entrada e digite (4,0) e (20,0). Apareceram os pontos H e I.
Através destes pontos é possível verificar se há uma intercessão entre o eixo das
abscissas com a parábola. Se houver essa intercessão, não proporcionara lucro.
7.2 – PROCEDIMENTOS DO PROFESSOR
30
ATIVIDADE 8
AJUSTES DE FUNÇÃO QUADRÁTICA EM IMAGENS DE SITUAÇÕES DO MUNDO
Escolhemos uma imagem de uma construção envolvendo parábola, o Gateway Arch. Nela
trabalharemos alguns tópicos encontrados na função quadrática utilizando o software GeoGebra.
Disponível em: https://en.wikivoyage.org/wiki/St._Louis
O Gateway Arch ou Gateway to the West1 é um arco memorial, localizado em St.
Louis, Missouri, nos Estados Unidos.
1 Texto disponível na internet. Não paginado. Disponível em <https://pt.wikipedia.org/wiki/Gateway_Arch/>. Acesso
em: 19 ago. 2017.
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OBJETIVO: Explorar os conceitos de funções quadráticas encontradas em diversas situações que
podem ser observadas no cotidiano dos estudantes.
TEMPO ESTIMADO: 2 aulas – 1h30
31
O Arco situa-se na margem oeste do Rio Mississippi, no local onde foi fundada a cidade de
St. Louis. O Gateway Arch foi projetado em 1947 pelo arquiteto finlandês Eero Saarinen em
parceria com engenheiro alemão Hannskarl Bandel para homenagear a Expansão para o
Oeste durante o século XIX.
Com 200 metros de altura, o Gateway Arch é o mais alto monumento em solo norte-
americano. A construção teve início em 12 de fevereiro de 1963 e foi concluída em 28 de
outubro de 1965 com custo total de 13 milhões de dólares (à época). O monumento foi aberto ao
público em 10 de junho de 1967.
Construído como um monumento à Expansão para o Oeste, o arco representa "o espírito
pioneiro dos homens e mulheres que venceram o Oeste e aqueles que no último instante se
esforçam contra outras fronteiras". O arco se tornou ícone da cidade de St. Louis, aparecendo em
vários elementos culturais da região.
PARTE ALGÉBRICA
Por meio dessa imagem, utilizaremos o software GeoGebra para encontrar os pontos que a
parábola interceptam o eixo das abscissas (eixo x) e o eixo da ordenadas (eixo y). Em seguida,
determinaremos algebricamente a função que a parábola representa através dos coeficientes a, b, c
encontrados.
PROCEDIMENTO
Clicar na janela 10 da Barra de Ferramentas (controles deslizantes) e em seguida a opção
inserir imagem escolhendo a imagem desejada.
Usar a opção mover na Barra de Ferramentas para centralizar a imagem.
OBS: Você pode clicar sobre a imagem para aumentar ou diminuir o seu tamanho e a sua
posição no gráfico. Ajuste a imagem para que a sua base fique paralela ao eixo das abscissas
e a sua concavidade fique centralizada no eixo das ordenadas.
Clicar como o botão direito do mouse sobre a imagem e em seguida na opção
propriedades. Clique na opção cor para aumentar ou diminuir a sua transparência.
Clicar na Janela 2 da Barra de Ferramentas (ponto) e em seguida marque os pontos em que
a parábola intercepta o eixo das abscissas (dois pontos) e das ordenadas (um ponto).
PONTO C (-2,7 , 0)
PONTO D (2,8 , 0)
PONTO E (0 , 5,82)
32
Para encontrarmos a função, substituímos os pontos x e y e montamos um sistema de
equação.
𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
Usando o ponto E em que x = 0 temos:
5,82 = 𝑎 ∗ 02 + 𝑏 ∗ 0 + 𝑐
𝒄 = 𝟓, 𝟖𝟐
Usando os pontos C e D em que x = -2,7 e 2,8 e y = 0 temos:
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
(I)
𝑎 ∗ (2,7)2 + 𝑏 ∗ 2,7 + 5,82 = 0
𝟕, 𝟐𝟗𝒂 + 𝟐, 𝟕𝒃 + 𝟓, 𝟖𝟐 = 𝟎
(II)
𝑎 ∗ (2,8)2 + 𝑏 ∗ 2,8 + 5,82 = 0
𝟕, 𝟖𝟒𝒂 + 𝟐, 𝟖𝒃 + 𝟓, 𝟖𝟐 = 𝟎
Resolvendo o sistema: {𝟕, 𝟐𝟗𝒂 + 𝟐, 𝟕𝒃 + 𝟓, 𝟖𝟐 = 𝟎𝟕, 𝟖𝟒𝒂 + 𝟐, 𝟖𝒃 + 𝟓, 𝟖𝟐 = 𝟎
temos:
a = 0,55
b = 0,1
c = 5,82
Portanto, a função gerada pela concavidade da parábola é: 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝟓𝒙² + 𝟎, 𝟏𝒙 + 𝟓, 𝟖𝟐
LEMBRETE:
Digitar a função no campo de entrada do software para verificar o
ajuste obtido pela função para a parábola analisada.
33
RECURSO DINÂMICO DO SOFTWARE
Utilizando os procedimentos iniciais, utilizaremos software GeoGebra para encontrar os
coeficientes e esboçar a gráfico da parábola.
PROCEDIMENTO
Clicar na janela 10 da Barra de Ferramentas (controles deslizantes) e em seguida a opção
inserir imagem escolhendo a imagem desejada.
Usar a opção mover na Barra de Ferramentas para centralizar a imagem.
OBS: Você pode clicar sobre a imagem para aumentar ou diminuir o seu tamanho e a sua
posição no gráfico. Ajuste a imagem para que a sua base fique paralela ao eixo das abscissas
e a sua concavidade fique centralizada no eixo das ordenadas.
Clicar como o botão direito do mouse sobre a imagem e em seguida na opção
propriedades. Clique na opção cor para aumentar ou diminuir a sua transparência.
Clicar na Janela 2 da Barra de Ferramentas (ponto) e em seguida marque os pontos em que
a parábola intercepta o eixo das abscissas (dois pontos) e das ordenadas (um ponto).
PONTO C (-2,7 , 0)
PONTO D (2,8 , 0)
PONTO E (0 , 5,82)
Para montar a parábola utilizando o GeoGebra, deve-se clicar na Caixa de Entrada e digitar
a função 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 em seguida, na opção criar controles deslizantes para melhor
manipular o gráfico através de seus coeficientes.
Clicar sobre os controles deslizantes com o botão do mouse direito e em seguida
propriedades para aumentar ou diminuir o intervalor da parábola.
Para quer a função fique fixa na janela de visualização, clique na janela 10 da Barra de
Ferramentas e em seguida clique na opção Inserir Texto. Logos após deve-se clicar no
local desejado, copiar a função descrita na Janela de Álgebra e dar OK. Você pode mudar a
cor ou o formato de cada objeto clicando com o botão direito do mouse e em seguida,
propriedades.
34
IMAGEM COM O RESULTADO DO AJUSTE
SUGESTÕES
Nesta atividade não foi explorado o vértice, Mas em outras atividades o
professor pode se utilizar desse conceito;
O Professor pode sugerir que os alunos escolham as imagens que
representem parábolas para serem analisadas em sala de aula;
OBS: Se o professor preferir, pode utilizar este trabalho para projetar a imagem
para seus alunos em sala de aula através dos sites:
https://www.geogebra.org/m/cfm4Wdsu
https://www.geogebra.org/mestrewilliam?p=materials
35
ATIVIDADE 9
SUGESTÕES DE IMAGENS A SEREM UTILIZADAS EM SALA DE AULA
(I) PÃO DE AÇUCAR
O Pão de Açúcar2 é um complexo de morros localizado no bairro da Urca, na cidade
do Rio de Janeiro, no Brasil. É composto pelo Morro do Pão de Açúcar (que dá nome ao
complexo), pelo Morro da Urca e pelo Morro da Babilônia. Junto com a estátua do Cristo
Redentor, é o maior cartão-postal da cidade do Rio de Janeiro e um dos mais famosos do Brasil.
O Morro do Pão de Açúcar, o mais alto do complexo, é constituído por um bloco único de gnaisse-
granito com mais de seiscentos milhões de anos de idade, que surgiu da separação entre os
continentes sul-americano e o africano, e que sofreu alterações por pressão e temperatura. Eleva-se
a 395 metros acima do nível do mar. É rico em espécies de plantas rupícolas, estando presentes, em
suas diversas faces, espécies endêmicas de bromélias e orquídeas.
2 Texto disponível na internet. Não paginado. Disponível em
<https://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%A3o_de_A%C3%A7%C3%BAcar/>. Acesso em: 19 ago. 2017.
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OBJETIVO: Explorar os conceitos de funções quadráticas encontradas em diversas situações e
utilizá-las em sala de aula.
TEMPO ESTIMADO: 2 aulas – 1h30
DICA: Estas imagens podem ser
escolhidas de acordo com a
realidade do professor!
36
Disponível em
https://www.google.com.br/search?q=p%C3%A3o+de+a%C3%A7ucar&dcr=0&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved
=0ahUKEwiexMkqOTWAhXMjpAKHTSTBpcQ_AUICygC&biw=1366&bih=662#imgrc=vpUzllr3kYZHcM:
(II) MONTE EVEREST
Monte Everest3, também conhecido no Nepal como Sagarmathã e
o Tibete como Chomolungma, é a montanha mais altada Terra. Seu pico está a 8.848 metros
acima do nível do mar. O monte está localizado na cordilheira Mahalangur Himal, no Nepal. A
fronteira internacional entre a China (Região Autônoma do Tibete) e o Nepal atravessa o ponto
preciso do cumedo Everest. Sua maciço inclui picos vizinhos, como Lhotse (8.516
m); Nuptse (7.855 m) e Changtse (7.580 m). Em 1856, o Grande Levantamento
Trigonométrico da Índia estabeleceu a primeira altura publicada de Everest, então conhecido
como Pico XV, em 8.840 metros. A altura oficial atual de 8.848 m, conforme reconhecido por
China e Nepal, foi estabelecida por uma pesquisa indiana de 1955 e posteriormente confirmada por
uma pesquisa chinesa em 1975.
Em 2005, a China recalculou a altura da montanha e chegou ao resultado de 8.844,43 m.
Uma controvérsia entre China e Nepal a respeito da altura da montanha durou 5 anos, de 2005 a
2010. A China argumentava que ela devia ser medida pela sua altura de rocha, que é 8.844 m, mas
o Nepal dizia que deveria ser medida pela sua altura de neve, que é de 8.848 m. Em 2010, um
acordo foi finalmente alcançado por ambos os lados que a altura do Everest é de 8.848 m e o Nepal
reconheceu a alegação da China de que a altura da rocha do Everest é de 8.844 m.
3 Texto disponível na internet. Não paginado. Disponível em <https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Everest/>. Acesso
em: 19 ago. 2017.
37
Disponível em:
https://www.google.com.br/search?q=monte+everest&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwig8rvBqeTWA
hUDHZAKHe6WAfMQ_AUICygC&biw=1366&bih=662#imgrc=fRERgcVfu4gTRM:
(III) MORRO DO CARECA
O complexo turístico Morro do Careca4 – CTMC engloba uma elevação montanhosa
com cerca de 158.000 m², sendo composto por áreas públicas e privadas, tendo seu cume, uma
altitude de 104 metros acima do nível do mar. Localiza-se no extremo Norte do município de
Balneário Camboriú, divisa com Itajaí, sendo limitado em sua grande maioria pelo oceano
atlântico, o que envolve a Praia dos Amores, Praia do Buraco e a Praia Brava. Dispõe de cobertura
florestal do tipo mata atlântica, mirante, rampa ou área de decolagem para prática de esportes de
aventura.
Disponível em:
https://www.google.com.br/search?q=morro+do+careca+balneario&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwj
_v7-GquTWAhWCHJAKHbxYDngQ_AUICygC&biw=1366&bih=662#imgrc=IVzw3ha4ZM-i9M:
4 Texto disponível na internet. Não paginado. Disponível em http://morrodocareca.org/site/index.php/template-
features. Acesso em: 19 ago. 2017.
38
ATIVIDADE 10 - PÓS-TESTE
Neste momento, devemos aplicá-las novamente preferencialmente individual, depois avaliar
como foi o desempenho dos alunos com relação à construção do conhecimento científico
sobre o tema estudado.
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A atividade apresenta questões que compõem o Pós-Teste. Seu OBJETIVO é verificar como
se deu a construção do conhecimento pelos alunos. Se houve ou não a mudança conceitual
proposta no início da proposta. A atividade apresenta as mesmas questões do pré-teste.
TEMPO ESTIMADO: 1 aula – 45 min
CONCEITOS ENVOLVIDOS:
Definição da função quadrática;
Coeficientes;
Concavidade da parábola;
Relação entre o coeficiente a e a concavidade da parábola;
Intercessão da parábola;
Vértices;
Ponto de máximo e ponto de mínimo;
Esboçar o gráfico da função quadrática.
39
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Professor (a)!
O ensino de Matemática com o auxílio de recursos computacionais vem se destacando pela forma
atrativa e significativa para o aluno. Nesta proposta buscamos destacar exatamente este aspecto.
Buscamos desenvolver atividades, onde os alunos primeiramente fossem estimulados a discussão,
observação e reflexão. As estratégias aqui adotadas, visam proporcionar aos alunos momentos de
análise, em que reflitam sobre novas formas de ensino, neste caso a utilização do software
GeoGebra como ferramenta didática para a aprendizagem.
Portanto, este trabalho apresentou uma proposta de ensino de funções quadráticas com atividades
simples, mas, que podem trazer um resultado extremamente positivo aos alunos e à educação como
um todo, pois, propõe atividades que motivam os alunos à pesquisa e ao mesmo tempo fazem com
que estejam interagindo entre si na busca de entender de forma clara os conceitos necessários para
a compreensão de muitos fenômenos do seu dia-a-dia, fazendo com que eles se sintam parte
integrante do processo
Deixa-se aqui então uma sugestão de atividades que esperamos, possam contribuir com a melhoria
do ensino da Matemática, deixando de ser compreendida como uma disciplina monótona e difícil e
se tornando uma disciplina agradável e atraente, sendo fundamental para a formação de nossos
alunos.
Vale destacar que muitos imprevistos podem surgir durante a aplicação desse projeto, por isso
deve o professor adequar sua metodologia a cada situação sem perder o foco e objetivo inicial, de
acordo com o conteúdo a ser trabalhado.
Espera-se que este caderno possa contribuir para sua prática pedagógica, que as
estratégias de ensino aqui descritas os auxilie num excelente trabalho na sala de aula.
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40
REFERÊNCIAS
AUSUBEL, D. P. Algunos aspectos psicológicos de la estrutuctura del conocimiento. Buenos
Aires: El Ateneo, 1973.
AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia Educacional. Tradução Eva Nick,
Heliana de Barros Conde Rodrigues, Luciana Peotta, Maria Ângela Fontes e Maria da Glória
Rocha Maron. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.
CAMARGO, V.L.V. Atividades do cálculo diferencial e integral com auxílio do software
GeoGebra. In: IV Seminário de Informática na Educação, 2009. Mato Grosso: UNEMAT, 2009.
MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F. S. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel.
São Paulo: Centauro, 2001.
_____________. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo, Centauro,
2006. 2 ed.
_____________. Aprendizagem Significativa – A Teoria de David Ausubel, 4 ed. São Paulo:
Editora Centauro, 2011.
MOREIRA, M.A. A teoria da aprendizagem significativa e sua implementação em sala de
aula. Brasília: Editora da UnB, 2006.
_____________. Mapas conceituais e aprendizagem significativa. São Paulo: Centauro, 2010.
_____________. Unidade de Enseñanza Potencialmente Significativas - UEPS. Aprendizagem
Significativa em Revista, Porto Alegre, v. 1, n. 2, p. 43-63, 2011
_____________. Teorias de Aprendizagem. São Paulo: Editora Pedagógica e Universitária. 1999.
195 p.
IEZZI, G; et. al. Matemática: ciência e aplicação, vol. 1 – Ensino Médio. 6. ed. São Paulo:
Saraiva, 2010.
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Centro de Ciências Exatas e Naturais (CCEN)
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática (PPGECIM)
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE
CIÊNCIAS E MATEMÁTICA