a proposta curricular do estado de são paulo e o software geogebra

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA PATRÍCIA FELIPE

A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO E O SOFTWARE GEOGEBRA: UMA ANÁLISE DE ATIVIDADES

SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA À LUZ DOS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA

SÃO PAULO 2013

PATRÍCIA FELIPE MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO E O SOFTWARE GEOGEBRA: UMA ANÁLISE DE ATIVIDADES

SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA À LUZ DOS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA

Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante Anhanguera, como exigência parcial para a obtenção do título de mestre em Educação Matemática sob a orientação da Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima.

SÃO PAULO 2013

Felipe, Patrícia

F353p A Proposta Curricular do Estado de São Paulo e o software GeoGebra: uma análise de atividades sobre Funções Exponencial e Logarítmica à luz dos Três Mundos da Matemática. / Patrícia Felipe. -- São Paulo: Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013.

xv, 240 f.: il.; 30 cm.

Dissertação (MESTRADO) – Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013. Orientadora: Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima

Referências bibliográficas: f. 204-207.

1. Função. 2. Três Mundos da Matemática. 3. Design Experiment. 4. GeoGebra. Lima, Rosana Nogueira. II. Universidade Bandeirante de São Paulo. IV. Título. CDD 515.22

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA

Patrícia Felipe

A Proposta Curricular do Estado de São Paulo e o Software GeoGebra: uma análise de atividades sobre Funções Exponencial e Logarítmica à luz dos Três Mundos da

Matemática

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de

MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Bandeirante

Anhanguera, à seguinte banca examinadora:

UNIBAN ANHANGUERA

SÃO PAULO

2013

AGRADECIMENTOS

À Deus, por ter me concedido a oportunidade de conhecer pessoas

especiais que contribuíram para a conclusão de mais uma etapa em minha

vida.

À Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima pelo trabalho de

orientação que, com enorme dedicação, paciência, atenção, competência e

empenho, contribuiu para que este trabalho fosse realizado.

Às Professoras Doutoras Monica Karrer e Soraia Kindel pelas

sugestões, comentários e críticas que enriqueceram essa pesquisa e, em

particular, por ter nos dado a honra em aceitar nosso convite para participar

desta etapa tão importante em nossas vidas.

Às Professoras Doutoras Vera H. G. de Souza, Verônica Y. Kataoka e

Maria Elisa E. L. Galvão pelo carinho, críticas e sugestões, principalmente

durante as aulas das disciplinas de Atividade de Pesquisa I e II.

A todos os Professores do Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera, em especial, às

Professoras Doutoras Siobhan Victoria (Lulu) Healy e Solange H. A. Fernandes

e ao Professor Doutor Luiz Gonzaga X. de Barros, por todo apoio e incentivo.

Aos funcionários da Secretaria do Programa Stricto Sensu, pelos

informes passados, em especial, à Anália, pela dedicação e empenho, se

prontificando em ajudar naquilo que fosse possível.

A todos os amigos do curso, em particular, Caroline, Crislaine, Márcia,

Renata, Edmar, Izaías, Marcos, Odhilton e Rodrigo, pela amizade e

companheirismo nos momentos de estudo e discussões em grupo.

Aos meus pais, Leonilda e Antônio, aos meus irmãos, Marcelo e André,

à minha cunhada Andréa e a minha amiga Fátima por estarem ao meu lado,

me auxiliando em todos os momentos dessa jornada.

Ao meu esposo, Valter, pela imensurável paciência e incentivo, pelo

empenho na formatação desse trabalho, auxiliando-me nos momentos mais

difíceis.

A toda família que torceu por mim, em particular, à minha avó Carmem,

pelas orações de proteção que fez por mim.

Ao meu amigo Jeferson Gonçalves e à minha amiga Diana Maia, pelas

contribuições a este trabalho.

À Equipe Gestora da Escola, em especial, à Diretora Circe e a Vice-

diretora Déborah, por ter autorizado a aplicação do experimento; em particular,

pelo respeito e compreensão às minhas ausências na escola nessa etapa final.

À professora Sinara por ter cedido os alunos para a realização do

experimento, pela eficiência dos registros de observação e, acima de tudo, pela

amizade.

Aos professores Susete e Marcelo pelo apoio e contribuições dadas e,

em especial, à professora Susete pelo carinho e incentivo em todos os

momentos.

A todos os professores da Escola que torceram por mim, em particular,

aos professores Sônia Godói, Valquiria, Genize, Anita, Ângela, Marisol,

América, Pedro, Rubens e Flávio, pelo apoio, incentivo, amizade e, em

particular, à professora Valquiria pela paciência de ler e de corrigir esse texto.

Aos alunos participantes voluntários da pesquisa, pois sem eles não

seria possível a realização do experimento.

À Secretaria Estadual de Educação do Estado de São Paulo pela Bolsa

de Estudos fornecida.

A todas as pessoas que contribuíram, de maneira direta ou

indiretamente, para a conclusão desse trabalho.

RESUMO

Nesse trabalho, temos como objetivo adaptar atividades do Caderno do Aluno – Matemática, parte integrante do material de apoio da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, volumes 2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, relacionadas ao conceito de função para serem trabalhadas com auxílio do software GeoGebra, buscando integrar tal Proposta a um ambiente computacional. Participaram da pesquisa seis alunos da primeira série do Ensino Médio de uma escola da rede pública estadual da cidade de São Bernardo do Campo, São Paulo. Conduzidos pela metodologia do Design Experiment (COBB et al., 2003), adaptamos sete atividades que contemplam conteúdos de funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica. Para a análise dos dados coletados, nos atemos apenas às funções exponencial e logarítmica por entender que estas funções são menos abordadas na literatura em Educação Matemática. Essa metodologia foi relevante em nossa pesquisa, devido ao caráter cíclico e flexível, que permitiu que fizéssemos redesigns, nos momentos necessários, para que os alunos reformulassem as percepções e conjecturas levantadas, testando-as novamente, para validá-las. Coletamos os dados por meio de registros orais, escritos e vídeos gravados, e os analisamos à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), os mundos conceitual corporificado, proceitual simbólico e formal axiomático, especificando quais características foram usadas pelos sujeitos na realização das atividades. Os resultados obtidos indicam que esses alunos trabalharam predominantemente com características do mundo corporificado para realizar as atividades propostas. O software colaborou para que eles fizessem relações principalmente entre os mundos corporificado e formal. O mundo simbólico foi pouco percebido, talvez porque as atividades adaptadas envolveram mais discussões sobre os mundos corporificado e formal. Sugerimos que se façam redesigns dessas atividades contemplando, também, as discussões relacionadas ao mundo simbólico. O ambiente criado em nossa pesquisa contribuiu para que os alunos assumissem uma postura ativa no processo de construção de conhecimento, visando o desenvolvimento da autonomia. Além disso, proporcionou uma abordagem diferenciada de funções exponencial e logarítmica, por meio do dinamismo e da agilidade na simulação de gráficos para a realização das análises propostas, no sentido de relacionar os parâmetros da função com a variação gráfica. Esperamos que nossa pesquisa contribua para a ampliação da literatura em Educação Matemática cujo olhar é lançado para a aprendizagem do conceito de funções exponencial e logarítmica.

Palavras-chave: Função. Três Mundos da Matemática. Design Experiment. GeoGebra.

ABSTRACT

With this study, we aim at adapting activities from Student’s Mathematics

Booklet, which is part of the São Paulo State New Curricular Proposal support

material, volumes 2 and 3, for first grade of high school, and related to the

concept of function, to be developed with the aid of the software GeoGebra, in

an attempt to integrate such proposal to a computing environment. Six high

school first grade students from a public school in São Bernardo do Campo,

São Paulo, participated in the research study. Conducted by the methodology of

Design Experiment (COBB et al., 2003), we adapted seven activities that

include contents of 1st and 2nd degree polynomial functions, exponential and

logarithmic ones. For the analysis of the data collected, we focused solely on

exponential and logarithmic functions since we understand that these functions

are less addressed in the literature on mathematics education. This

methodology was relevant to our research, for its cyclical flexible characteristics

that allowed us to do the necessary redesigns in specific moments for students

to reformulate perceptions and assumptions raised by testing them again, to

validate them. We collect data through oral, written records and recorded

videos, and analyzed them in the light of the theoretical framework of the Three

Worlds of Mathematics (TALL, 2004), conceptual embodied world, “proceptual”

symbolic world and formal axiomatic world, specifying which characteristics

have been used by the subjects in carrying out the activities. Results obtained

indicate that these students worked predominantly with characteristics of

embodied world to perform the proposed activities. The main aspect of the use

of the software was it helped students to make relations between formal and

embodied worlds. The symbolic world was hardly noticed, perhaps because the

activities adapted involved more discussions about embodied and formal

worlds. We suggest that some redesigns should be included, as long as

discussions related to symbolic world. The environment created in our research

study has helped students to take an active stance in the process of

construction of knowledge, aiming at the development of autonomy. In addition,

it has provided a differentiated approach of exponential and logarithmic

functions, through the dynamism and agility in simulating graphics to analyse

what was proposed in the activities, to relate the parameters of the function with

graphic variation. We hope that our research study may contribute to the

literature in Mathematics Education that looks into the learning of exponential

and logarithmic functions.

Keywords: Function. Three Worlds of Mathematics. Design Experiment. GeoGebra.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Recorte dos itens (a) e (d) da Atividade 1 da Situação de

Aprendizagem 1, apresentada na Figura 7. ..................................................... 22

Figura 2: Os Três Mundos da Matemática ....................................................... 24

Figura 3: Conteúdo Curricular da primeira série do Ensino Médio, 2º Bimestre.

......................................................................................................................... 56

Figura 4: Conteúdo Curricular da primeira série do Ensino Médio, 3º Bimestre.

......................................................................................................................... 57

Figura 5: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 1 .................................... 60

Figura 6: Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 1, da seção “Lição de

Casa”. ............................................................................................................... 61

Figura 7: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção “Você

Aprendeu?”. ...................................................................................................... 62


Aprendeu?”. ...................................................................................................... 63


casa”. ............................................................................................................... 63

Figura 10: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 2 .................................. 63


Aprendeu?”....................................................................................................... 65


Aprendeu?”. ...................................................................................................... 65


Casa”. ............................................................................................................... 65


Figura 15: Exemplos de Deslocamentos verticais e/ou horizontais:

. .............................................................................................................. 67



Aprendeu?”. ...................................................................................................... 68


Figura 19: Atividade 1 e 2 da Situação de Aprendizagem 1 ............................. 71

Figura 20: Quadro Resumo da Situação de Aprendizagem 1 da seção “Você

Aprendeu?”....................................................................................................... 72

Figura 21: Quadro Resumo da Situação de Aprendizagem 1 da seção

“Pesquisa Individual”. ....................................................................................... 72

Figura 22: Atividade 3 ...................................................................................... 74


Figura 24: Atividade1 da Situação de Aprendizagem 2 da seção “Lição de

Casa”. ............................................................................................................... 75

Figura 25:Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 2 da seção “Lição de

Casa”. ............................................................................................................... 75


Figura 27: Texto para leitura e análise da Situação de Aprendizagem 3 ......... 77

Figura 28: Atividade da Situação de Aprendizagem 3 da seção “Pesquisa

Individual”. ........................................................................................................ 77


Figura 30: Interface do software GeoGebra ..................................................... 86

Figura 31: Interface do GeoGebra da Atividade 1 ............................................ 90



Figura 34: Exemplo de resolução da Atividade 3. ............................................ 98

Figura 35: Interface do GeoGebra da Atividade 4 .......................................... 100

Figura 36: Interface do GeoGebra da Atividade 5. ......................................... 104



Figura 39: Atividade da aula de familiarização com o GeoGebra................... 147

Figura 40: Atividade 6 – Exercício 2 – Produção da D3. ................................ 157

Figura 41: Imagem capturada durante a entrevista com a D3. ...................... 157


Figura 43: Atividade 6 – Exercício 3 – Produção da D2 ................................. 159




Figura 47: Atividade 6 – Exercício 7 – Produção D2. ..................................... 166

Figura 48: Atividade 6 – Exercício 7 – Interface do GeoGebra – Produção da

D2. .................................................................................................................. 167

Figura 49: Atividade 6 – Exercício 7 – Item (c) – Produção da D1. ................ 168

Figura 50: Atividade 6 – Exercício 7 – Item (d) – Produção da D1. ................ 169



Figura 53: Atividade 6 – Exercício 8 – Interface do GeoGebra – Produção da

D2. .................................................................................................................. 172

Figura 54: Atividade 6 – Exercício 8 – Itens (c) e (d) – Produção da D2. ....... 172

Figura 55: Atividade 7 – Interface do GeoGebra. ........................................... 178


Figura 57: Atividade 7 – Exercício 2 – Itens (a) e (b) – Produção da D1. ....... 180


Figura 59: Reflexão da D3 – Atividade 7 – Exercício 3 – Item (d). ................. 182





Figura 64: Tela capturada durante a produção da D3. ................................... 187



Figura 67: Atividade 7 – Exercício 10 – Produção da D2. .............................. 190

Figura 68: Reflexão da D3 sobre os gráficos das funções exponencial e

logarítmica. ..................................................................................................... 191


Figura 70: Produção da D3 sobre a relação entre as funções exponencial e

logarítmica. ..................................................................................................... 193


LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Design da Atividade 1. .................................................................... 91

Quadro 2: Design da Atividade 2 ...................................................................... 94

Quadro 3: Design da Atividade 3 ...................................................................... 97

Quadro 4: Design da Atividade 4 .................................................................... 101

Quadro 5: Design da Atividade 5 – Problema 1 ............................................. 105

Quadro 6: Design da Atividade 5 – Problema 2 ............................................. 107

Quadro 7: Design da Atividade 6 – Exercícios 1 e 2. ..................................... 112

Quadro 8: Design da Atividade 6 – Exercício 3. ............................................. 115

Quadro 9: Design da Atividade 6 – Exercício 4. ............................................. 116

Quadro 10: Condições para o crescimento ou decrescimento da função

exponencial. ................................................................................................... 117

Quadro 11: Design da Atividade 6 – Exercício 5. ........................................... 119

Quadro 12: Classificação da função exponencial em crescente ou decrescente.

....................................................................................................................... 120


Quadro 14: Design da Atividade 6 – Exercícios 7 e 8. .................................. 123

Quadro 15: Design da Atividade 7 – Exercícios 1 e 2. ................................... 127




Quadro 19: Condições para o crescimento ou decrescimento da função

logarítmica. ..................................................................................................... 133


Quadro 21: Design da Atividade 7 – Exercícios do 7 ao 10. .......................... 137

Quadro 22: Síntese das Atividades e objetivos propostos em cada uma delas.

....................................................................................................................... 139

Quadro 23: Síntese das Sessões de aplicação do experimento. ................... 141

Quadro 24: Questões apresentadas na aula de familiarização com o software

....................................................................................................................... 143

Quadro 25: Atividade 2 – Produção da Dupla 1 ............................................. 151

Quadro 26: Atividade 7 – Exercício 3 – Produções da Duplas 1, 2 e 3. ......... 181

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 14

CAPÍTULO 1: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................. 21

CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA ...................................................................... 30

2.1. SOBRE O USO DE TECNOLOGIAS NO ENSINO DE FUNÇÕES ............................................................ 31

2.2. SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS ....................................................................... 36

CAPÍTULO 3: A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO ............. 52

3.1. A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA A DISCIPLINA DE MATEMÁTICA ..... 54

3.2. MATERIAL DE APOIO ..................................................................................................................... 58

3.3. SOBRE A ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS .................................................................... 60

3.3.1. ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS VOLUME 2 .............................................................. 60

3.3.2. ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS VOLUME 3 .............................................................. 69

CAPÍTULO 4: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ................................................. 80

4.1. A METODOLOGIA: DESIGN EXPERIMENT ....................................................................................... 80

4.2. O SOFTWARE GEOGEBRA .............................................................................................................. 84

4.3. O DELINEAMENTO DA PESQUISA .................................................................................................. 86

CAPÍTULO 5: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES ..... 89

5.1. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES DO CADERNO VOLUME 2 ........................................ 89

5.1.1. DESIGN DA ATIVIDADE 1 ............................................................................................................ 89



5.1.4. DESIGN DA ATIVIDADE 4 .......................................................................................................... 100


5.2. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES DO CADERNO VOLUME 3 ...................................... 110



CAPÍTULO 6: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ........................................ 140

6.1. PRIMEIRA ETAPA ......................................................................................................................... 142

6.2. SEGUNDA ETAPA ......................................................................................................................... 150

6.3. TERCEIRA ETAPA: ANÁLISE DA ATIVIDADE 6 ............................................................................... 155

6.4. QUARTA ETAPA: ANÁLISE DA ATIVIDADE 7 ................................................................................. 176

CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................. 197

1. RESPONDENDO AS QUESTÕES DE PESQUISA .................................................................................. 198

2. VALIDANDO AS HIPÓTESES DE PESQUISA....................................................................................... 200

3. LIMITAÇÕES E SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS ..................................................................... 201

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 204

APÊNDICES .......................................................................................................................... 208

14

INTRODUÇÃO

Há treze anos trabalho1 em escolas públicas do Estado de São Paulo

como professora de Matemática nos Ensinos Fundamental e Médio, e percebo

os esforços de professores para ensinar Matemática. Aparentemente, são

muitas as dificuldades dos alunos em aprender Matemática, e é grande a

desmotivação deles para aprender esta disciplina. Por outro lado, também

percebo alguns alunos talvez desmotivados com o tipo de abordagem da sala

de aula para o ensino de Matemática.

Dificuldades de aprendizagem de Matemática apresentadas por alunos

refletem-se nos índices do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar de

São Paulo (SARESP) e do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) da

escola em que trabalho, que não são ainda tão satisfatórios como o grupo

docente e a gestão da escola gostariam.

Com o avanço da tecnologia, os alunos parecem ficar mais motivados a

aprender quando usam ferramentas computacionais. Ligados em seus iPods,

iPhone e celulares, talvez o giz e a lousa como únicos recursos não sejam mais

suficientes para eles. Sendo o uso da tecnologia um fator potencialmente

motivador, é possível que ele colabore para que os alunos aprendam mais e,

portanto, para a melhoria daqueles índices.

Tendo em vista esse avanço tecnológico, o Governo do Estado de São

Paulo equipou as escolas estaduais com uma sala contendo computadores,

nomeada “sala do acessa”, objetivando colocar o aluno em contato com essa

ferramenta, a fim de estimular e motivar aprendizagem para que, futuramente,

seja inserido com sucesso no mercado de trabalho. Além disso, com acesso à

internet, o aluno pode fazer pesquisas para a realização dos trabalhos

acadêmicos, “navegar” em redes sociais e, ainda, ter a oportunidade de

participar de aulas diferenciadas.

1 Nesta introdução, usaremos primeira pessoa do singular quando estivermos nos referindo à

experiência pessoal da mestranda autora desta pesquisa.

15

Entretanto, muitas vezes, o professor não teve, em sua formação inicial,

orientação sobre como usar ferramentas computacionais para o ensino de

Matemática, o que acaba por fazer com que a sala do acessa fique vazia, e o

aluno não tenha aulas diferenciadas. Percebo que esta falta de conhecimento

acarreta, também, o receio do professor de que alunos possam controlar o

computador com maior facilidade do que ele e, assim, poderá perder o controle

sobre o que o aluno está fazendo. Talvez, por esse motivo, o professor se

encontra, ainda, com uma postura de “transmissor do conhecimento”, e o

aluno, como o “sujeito passivo” na apreensão do conhecimento. Laudares e

Miranda (2007) tecem uma crítica em relação à postura do professor

[...] o professor ainda teme a mudanças. Resiste em trocar uma aula expositiva, considerada por ele um meio eficaz, por um processo mais participativo do estudante, isto é, resiste em adotar uma postura de “orientador” da construção do conhecimento, em substituição à metodologia do “doador” na transmissão do saber, ainda que a sociedade informacional lhe ofereça possibilidades e recursos tecnológicos para facilitar a mediação didática com uso de ferramentas desenvolvidas pela eletrônica e pela microeletrônica (LAUDARES; MIRANDA, 2007, p.73).

Entendemos que o professor deve inovar sua prática docente, uma vez

que, com o avanço da tecnologia, não só o governo do Estado forneceu uma

sala equipada com computadores, como também forneceu o material da nova

Proposta Curricular de São Paulo, composto por cadernos seriados, por

disciplina, para o professor e para o aluno, proposto pelo programa São Paulo

faz Escola que surgiu em 2007. No material dessa nova proposta, após uma

breve observação, percebemos que se fala pouco sobre o uso das ferramentas

tecnológicas que estão dentro da sala do acessa para serem usadas a fim de

se trabalhar a aprendizagem. Por esse motivo, cremos que deveria ser feito um

trabalho para unir esses dois instrumentos que a Secretaria Estadual de

Educação proporcionou às escolas do Estado: a sala do acessa e o material da

nova Proposta Curricular.

Tomada por estas inquietações (as dificuldades de aprendizado de

alunos em Matemática e a necessidade de utilização dos instrumentos

proporcionados pela Secretaria Estadual de Educação), me inscrevi no

processo seletivo do curso de Mestrado Acadêmico em Educação Matemática,

16

oferecido pela Universidade Bandeirante Anhanguera, com intuito de

enriquecer minha formação inicial e buscar alternativas que contribuam para a

melhoria da aprendizagem dessa “tão temida” disciplina: a “Matemática”.

Escolhemos o conceito de função por entender que ele é fundamental no

estudo da Matemática, e está presente em diversas áreas do conhecimento,

como, por exemplo, Química, Física, Biologia, entre outras, bem como, em

situações do dia-a-dia, em que nos deparamos, por exemplo, com a

necessidade de relacionar a velocidade média de um carro com a distância por

ele percorrida, a fim de calcular o consumo de combustível e o total a pagar em

uma viagem; ou de relacionar temperaturas em lugares diferentes, como por

exemplo, Londres (onde se usa graus Fahrenheit para medir a temperatura) e

Brasil (onde usamos graus Celsius). Por causa da importância desse conceito

para os aprendizes, é preciso motivá-los para esse aprendizado.

A importância do estudo de funções também é apontada nos Parâmetros

Curriculares Nacionais:

[...] o conceito de função desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática (BRASIL, 1999, p.257).

Mendes (1994), citado por Ardenghi (2008), destaca a evolução do

conceito de função por volta do século XX:

O conceito de função teve uma evolução lenta e gradual, através dos séculos, até chegar às formas que o apresentamos hoje aos nossos alunos. Atualmente, o conceito de função ocupa um papel central e unificador na Matemática. Um conhecimento amplo e consistente de funções é um dos objetivos a se alcançar na Educação Matemática. Desta forma, é importante procurar conhecer como se processa sua aprendizagem, identificar e analisar os principais problemas com os quais os alunos se deparam ao estudar função e detectar quais os principais obstáculos à aprendizagem deste conceito. (MENDES, 1994, p.58 apud ARDENGHI, 2008, p.34).

17

Além disso, estudos realizados sobre esse tema, tais como, os de

Oliveira (1997), Souza (2010), Maia (2007), Silva (2012), entre outros, apontam

dificuldades que alunos apresentam na identificação de que função é uma

relação entre duas grandezas ou duas variáveis e na classificação dela em

crescente, decrescente e constante; na definição de função, pois a definem

como uma equação; nas diversas representações de função, como, por

exemplo, nos provenientes dos registros gráfico, algébrico, tabular e da língua

natural (enfatizamos a dificuldade de transformação do registro gráfico para o

algébrico); na identificação da variável f(x) como sendo a dependente e, x

como a independente; na função definida por várias sentenças; na

compreensão do domínio, contradomínio e imagem; entre outras.

Tendo em vista essas dificuldades, evidencia-se a necessidade de

buscar novas metodologias e ambientes de ensino que não usem apenas

ambiente papel e lápis, proporcionando uma aprendizagem por meio de

instrumentos inovadores, a fim de minimizar, pelo menos, algumas das

dificuldades apontadas na literatura.

Na concepção de Henriques e Nagamine (2011)

Os ambientes computacionais de aprendizagem (ACA) enquanto instrumentos podem ser entendidos como alternativas didáticas que permitem o tratamento de objetos de estudo de forma diferenciada daquela referente ao tratamento dos mesmos, que ocorrem na relação usual sujeito-objeto, na medida em que instrumentos oferecem potencialidades que permitem vislumbrar ou preencher algumas lacunas deixadas pelo ensino tradicional do ambiente papel/lápis. As exigências impostas pelos ACA fazem com que o sujeito faça a sua auto-avaliação em tempo real. (p.33)

Considerando as inquietações que me trouxeram ao curso, essa

pesquisa tem como objetivo adaptar atividades do Caderno do Aluno –

Matemática2, relacionadas ao conceito de função para serem trabalhadas com

auxílio de um software. Dessa forma, pretendemos prover uma integração da

Nova Proposta Curricular de São Paulo com um ambiente computacional,

buscando analisar se essa utilização colabora para que o aluno supere

2 Quando nos referirmos ao Caderno do Aluno da disciplina de Matemática abreviaremos como CAM.

18

algumas das dificuldades de aprendizagem do conceito de função

apresentadas nas literaturas.

Para tanto, vamos analisar as atividades pertencentes ao CAM, volumes

2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, e estudar uma possível adaptação

para o uso do software GeoGebra, baseando-nos na metodologia do Design

Experiment, elaborando atividades que permitam que alunos transformem

informações em conhecimento, de forma que eles possam se apropriar do

domínio matemático específico, nesse caso, de função. Salientamos que

trabalharemos, então, os conceitos de função afim, função quadrática, função

exponencial e função logarítmica com o auxílio do software GeoGebra, e

analisaremos os dados coletados à luz do quadro teórico dos Três Mundos da

Matemática (TALL, 2004), composto por um mundo corporificado, um mundo

simbólico e um mundo formal. Considerando que estes alunos desconhecem

funções exponencial e logarítmica, decidimos trabalhar também com as

funções polinomiais de 1º e 2º graus, porém vamos analisar somente as

atividades específicas de exponencial e logaritmo por entender que a literatura

sobre estas funções é menos extensa do que a literatura sobre funções

polinomiais.

Ainda, esperamos que o uso do software possa contribuir para despertar

o interesse em aprender Matemática, uma vez que acreditamos que o

ambiente computacional pode trazer maior dinamismo e motivação para tal

aprendizado. Na visão de Friedman (1996), “a aprendizagem depende em

grande parte da motivação. Os alunos precisam de um estímulo para aprender,

e o exercício lúdico desperta a motivação e o interesse destes” (FRIEDMAN,

1996, apud MAIA, 2007, p.59).

Nortearemos nossa pesquisa pelas seguintes questões:

1) É possível integrar a Nova Proposta Curricular de São Paulo a um

ambiente computacional por meio da adaptação de atividades

pertencentes ao Caderno do Aluno – Matemática?

2) O ambiente utilizado contribuiu para a aprendizagem do conceito de

função, por meio das atividades adaptadas do CAM para o uso do

GeoGebra?

19

Teve-se por hipóteses que o experimento proposto permitiria analisar a

possibilidade de se fazer adaptações de atividades dos Cadernos do Aluno –

Matemática (vol.2 e 3) para o uso do software GeoGebra, que o uso desse

ambiente poderia trazer vantagens na exploração das funções e que o

experimento elaborado favoreceria a transição entre os Três Mundos da

Matemática.

Apresentaremos, no Capítulo 1, os aspectos do quadro teórico escolhido

para fundamentar nossa pesquisa, e que guiou a análise dos dados coletados.

No Capítulo 2, Revisão de Literatura, apresentamos os resumos das

pesquisas que julgamos importantes para a elaboração da nossa, elencando as

dificuldades apresentadas por alunos, de séries variadas, em diferentes níveis

de ensino sobre conceito de função.

Abordamos no Capítulo 3, as diretrizes estabelecidas na nova Proposta

Curricular de São Paulo para o ensino do Estado de São Paulo e,

especificamente, para o ensino de Matemática. Descrevemos os objetivos

propostos por bimestres, em cada Situação de Aprendizagem, presentes nos

Cadernos do Professor e, também, apresentamos a análise feita das atividades

sugeridas nos Cadernos do Aluno. Ambos são da primeira série do Ensino

Médio, volumes 2 e 3, pelo fato de ser feita nesses cadernos a abordagem de

funções polinomiais de 1º e 2º graus, funções exponencial e logarítmica, alvo

de nosso estudo.

Descrevemos, no Capítulo 4, os procedimentos metodológicos de nossa

pesquisa, apresentando a metodologia escolhida, que é o Design Experiment;

o software utilizado, que é o GeoGebra; os sujeitos da pesquisa, a

caracterização do ambiente utilizado para a realização das atividades

adaptadas que fazem parte do nosso instrumento de coleta de dados.

A escolha do software GeoGebra se deu por ele ser de domínio público

e de fácil manuseio, permitindo a representação simultânea, em um único

campo visual, das características algébricas e geométricas do objeto em

estudo. Além disso, é compatível com nossa fundamentação teórica ao permitir

que o aluno faça uma jornada por diferentes mundos da Matemática, pois, na

20

interface do software, há duas janelas intituladas como “Janela de Álgebra” e

“Janela de Visualização”. No caso de função a “Janela de Álgebra” exibe, entre

outros elementos, a expressão algébrica; e a “Janela de Visualização” exibe o

plano cartesiano com o gráfico da função e os seletores que permitem

modificar parâmetros com cada função. Esses dois elementos, como veremos

mais adiante, permitem que se façam relações entre mundos simbólico e

corporificado, por exemplo.

No Capítulo 5, foi feita a apresentação das atividades adaptadas,

seguidas de uma análise preliminar baseada no quadro teórico dos Três

Mundos da Matemática e nos resultados apontados na revisão de literatura.

No Capítulo 6, apresentamos a análise dos dados coletados nos

protocolos à luz dos Três Mundos da Matemática.

Para finalizar, apresentamos as considerações finais do nosso estudo.

Esperamos que nosso estudo contribua para o avanço das pesquisas

científicas na área de Educação Matemática, no que se refere à aprendizagem

do conceito de função, com uma proposta de abordagem dinâmica e inovadora

para a sala de aula.

21

CAPÍTULO 1:

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo apresentamos os aspectos principais sobre o quadro

teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), o qual servirá como

subsídios para o desenvolvimento da nossa pesquisa.

Estudos realizados por Tall (2004a) apontaram que, além dos conceitos

matemáticos “geométrico, simbólico e axiomático” (TALL, 2004a, p.2) existem

três formas diferentes para o desenvolvimento cognitivo do aluno,

considerando que objetos matemáticos eram percebidos como um todo,

descritos com linguagem cada vez mais sofisticada; ações sobre esses objetos

podiam ser representadas por meio de símbolos manipuláveis; e, então,

formalizava−se o conceito por meio de deduções, definições e provas formais.

Desse modo, Tall (2004a) os classificou em três diferentes, porém interligados,

Mundos da Matemática, a saber:

O mundo conceitual corporificado (mundo corporificado), que se refere

às percepções que temos sobre objetos matemáticos, que podem ser de forma

física ou mental, como, por exemplo, os atos de refletir, observar, descrever,

deduzir propriedades, sendo utilizada uma linguagem cada vez mais sofisticada

para classificar e definir tais propriedades. Para Lima (2007), são consideradas

corporificadas imagens, gráficos, desenhos, figuras geométricas que são

construídas, ou não, pelo computador e que, junto com propriedades, possam

ser analisadas e compreendidas.

Por exemplo, ao trabalharmos com uma tabela de valores para uma

determinada função, envolvendo números inteiros, estamos usando

características corporificadas desse conceito. Quando se busca um valor

numérico para a função, por meio da expressão algébrica, utilizando-a como se

fosse uma fórmula para o cálculo, também é considerado como característica

corporificada. Além disso, quando observamos a forma do gráfico de uma

função, podemos estar analisando características corporificadas. Evidenciamos

tais características na Atividade 1 do CAM, apresentada na Figura 1, por

22

exemplo, em que fizemos um recorte do problema apresentado na Figura 6,

dos itens (a) e (d).

Figura 1: Recorte dos itens (a) e (d) da Atividade 1, apresentada na Figura 7. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.8 e 9.

O mundo proceitual simbólico (mundo simbólico), que se baseia em

ações que realizamos sobre objetos matemáticos, representando-as por meio

de símbolos que são manipulados. Os símbolos passam a ter uma dupla

interpretação, por serem flexíveis, pois podem ser tanto um processo (por

exemplo, o de contar), como um conceito (por exemplo, o de número),

definidos assim, como “proceitos”, de acordo com TALL (2006).

Modificações efetuadas na lei de uma função podem ser consideradas

características simbólicas. No caso da função quadrática, por exemplo, dada a

lei da função na forma canônica, , pode-se manipulá-la para

obter a forma desenvolvida ou geral, .

O mundo formal axiomático (mundo formal), referente às demonstrações

de propriedades dos objetos matemáticos por meio de axiomas e definições,

que podem ser provadas. A linguagem, nesse mundo, aborda termos técnicos

e tem o rigor da matemática formal.

Por exemplo, a identificação de que x é a variável independente e f(x), a

dependente, é uma formalização ao conceito de função, enunciação à relação

de dependência entre as variáveis x e f(x), que é característica do mundo

formal. A análise e a identificação da relação entre os parâmetros de uma

função e a variação do gráfico são também próprias do mundo formal.

23

Salientamos que não pretendemos encontrar, nos resultados de nossa

pesquisa, características do mundo formal com todo o rigor axiomático, uma

vez que isso não é habitual no Ensino Médio. Esperamos, sim, encontrar

características formais dos conceitos envolvidos nas questões, visando à

construção do conceito principal, no nosso caso, de função.

Dada a importância da articulação entre os Três Mundos da Matemática,

de modo que possibilite o desenvolvimento cognitivo do aluno, rumo à

construção do conhecimento, nos aguçou a curiosidade de se trabalhar com

esse quadro teórico, por ser inovador, diferente e não usual, pois são poucos

os autores que já o utilizaram como referencial teórico em suas pesquisas,

quando o tema escolhido foi função. Evidências disso, percebemos ao realizar

nossas leituras que compuseram nosso próximo capítulo, da Revisão de

Literatura, em que a mais usada foi a teoria dos registros de representação

semiótica de Duval. Além disso, Akkoç (2006) afirma que em pesquisas sobre

função são usadas como referenciais teóricos a teoria da reificação de Sfard

(1991, 1992), a teoria APOS de Dubinsky (1992) e as ideias de imagem de

conceito e definição de conceito de Vinner (1981).

Ainda sobre a articulação entre os Três Mundos da Matemática, Badaró

(2010) reforça que eles

não são isolados nem podem ser considerados como “estágios de desenvolvimento”, mas devem ser entendidos como resultante do crescimento cognitivo que cada indivíduo obtém e da evolução do pensamento Matemático que cada um constrói (BADARÓ, 2010, p.31).

A figura a seguir ilustra os Três Mundos da Matemática, na perspectiva

de Lima (2007), bem como a articulação entre eles.

24

Figura 2: Os Três Mundos da Matemática Fonte: Adaptado de LIMA, 2007, p.81

Observando a figura, evidencia-se que o mundo corporificado se articula

com o mundo simbólico por meio da ação, ou seja, primeiramente o aluno

percebe os objetos envolvidos no exercício ou na situação; faz uma

representação simbólica dessas percepções inicialmente detectadas no mundo

corporificado, dando significado aos conceitos matemáticos, com auxílio da

manipulação dos símbolos; e, por meio da reflexão, quando o aluno consegue

assimilar e formalizar os conceitos em questão, que podem ser, ou não, por

meio de demonstrações ou provas formais, estará utilizando características do

mundo formal.

Tall (2004b) afirma que cada indivíduo aprende por um caminho

diferente, ou seja, cada um realiza uma diferente jornada por entre os mundos

da Matemática, rumo à construção do conceito matemático, alvo do estudo.

Nessa jornada, há inúmeros obstáculos para se ultrapassar, e isso requer que

25

cada indivíduo busque conhecimentos prévios e experiências anteriores, que

são de grande valia para o desenvolvimento cognitivo. A essas experiências

anteriores, que influenciam novas aprendizagens de conceitos, seja de maneira

positiva ou negativamente, o autor chama de “já-encontrados” (TALL, 2004b), e

define o termo como “experiências anteriores que são empregadas no estudo

de novos conceitos, para construção de novas estruturas matemáticas” (TALL,

2005, p.6). Por exemplo, na função polinomial de 1º grau , com

, quando o aluno assimila que o coeficiente a da função é a taxa de

variação, ele não faz mais o cálculo

, dados dois pontos

e .

Ainda, percebemos, em nossas aulas, que esse problema com “sinais”

envolvendo as quatro operações elementares, também fica evidente no estudo

da função quadrática, para determinação das raízes ou zeros da função, sendo

o método escolhido para isso, a Fórmula de Bháskara3, em que

e

. Observamos que há muitas operações e sinais envolvidos para os

alunos manipularem até a obtenção dos resultados das raízes ou zeros da

função.

No caso desses exemplos, de acordo com Lima (2007), “a experiência

anterior com Aritmética tornou-se um obstáculo4 para o aluno” (LIMA, 2007,

p.87). Isto é, os “já-encontrados” acabaram influenciando negativamente a

aprendizagem de novos conteúdos.

Porém, novos conteúdos também podem influenciar “já-encontrados”.

Para essa situação, Lima (2007) utiliza o termo “a-encontrar” e o define como

“uma experiência encontrada posteriormente que pode afetar a memória de

conhecimentos anteriores” (LIMA; TALL, 2008, p.5).

3 Fórmula de Bháskara:

; e o discriminante .

4 Lima (2007) relata que “o conceito de obstáculo foi descrito por Brousseau (1997), no contexto da

Educação Matemática, como um conhecimento que é válido dentro de certo domínio, mas que falha ao ser usado fora desse domínio de validade”(LIMA, 2007, p.87).

26

Em nossa experiência em sala de aula, pudemos observar que, após o

estudo do Teorema de Pitágoras5, os alunos aprenderam Relações Métricas no

triângulo retângulo. Uma dessas relações afirma que o quadrado da altura h é

igual ao produto das medidas das projeções m e n dos catetos .

Outra, que o quadrado da medida do cateto b é igual ao produto da medida da

sua projeção m pela hipotenusa a . Posteriormente, foi feita uma

revisão sobre o Teorema de Pitágoras, e verificou-se que a maioria desses

alunos aplicou o Teorema da seguinte maneira: ; acreditamos que

por influência das relações métricas estudadas, caracterizando um “a-

encontrar”.

Outro exemplo, ao se trabalhar com o conteúdo sobre números

negativos, com as operações de multiplicação e divisão, que são trabalhadas

depois das operações de adição e subtração, o aluno aprende que

; e que . Quando opera com a adição e a subtração, entra

em conflito cognitivo, pois ao fazer , coloca como resultado (−3),

porque fica “gravado em sua memória” a “famosa” regra de sinais “menos com

mais é igual a menos”, ou ainda, que (−5) + (−3) = 8, de forma incorreta,

porque “menos com menos é igual a mais”. Isso fica evidente no estudo de

função em que se pretende calcular valores de f(x) atribuindo valores para x,

dada a lei da função como, por exemplo, para calcular ,

ou .

Uma possível explicação para esse fato é descrito por Lima (2007), em

uma situação similar, em que aponta que, se os “já-encontrados” forem

afetados pelos “a-encontrar” é porque “não estavam bem estruturados na

mente do indivíduo e necessitavam de reconstrução” (LIMA, 2007, p.88).

Entendemos que o professor deva ser um mediador, a fim de auxiliar

alunos a superar dificuldades, identificando “já-encontrados” e “a-encontrar”

que estejam interferindo em novas aprendizagens e experiências, de modo que

reflitam sobre os erros, reconstruindo conhecimentos cada vez mais

5 Neste teorema afirma-se que: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual

a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

27

sofisticados sobre o domínio matemático em questão e, preferencialmente, que

consigam realizar uma jornada pelos Três Mundos da Matemática.

A importância do estudo desse quadro teórico, levantando essas

características de diferentes mundos da Matemática, nos fez perceber que a

busca pela adaptação de atividades do CAM para o uso do GeoGebra,

baseado na metodologia do Design Experiment, poderá auxiliar alunos a

superarem algumas dificuldades na apreensão do conceito de funções

polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica. Diante do exposto,

percebemos que mais uma questão de pesquisa emerge desse quadro teórico,

além das duas já existentes e que relembramos aqui:





função, por meio das atividades adaptadas do CAM para o uso do

GeoGebra?

Acrescentamos uma terceira questão de pesquisa, a saber:

3) O uso de um ambiente computacional para o estudo de funções

exponencial e logarítmica permitiu que os alunos realizassem uma

jornada pelos Três Mundos da Matemática?

Como justificativa para o uso do quadro teórico dos Três Mundos da

Matemática, trouxemos as contribuições para o estudo de função reveladas em

duas pesquisas: Angelini (2010) e Lima e Sousa (2012), que também utilizaram

esse quadro teórico.

Angelini (2010) desenvolveu uma pesquisa cujo objetivo foi investigar

quais ideias de oito alunos da segunda série do Ensino Médio, de uma escola

da rede pública da cidade de São Paulo, apresentavam sobre o conteúdo de

funções, identificando a definição de conceito e a imagem de conceito (TALL;

VINNER, 1981) de função na resolução de problemas que envolvessem tal

conteúdo. Além disso, o autor pretendia inferir quais características dos Três

28

Mundos da Matemática (TALL, 2004) esses alunos apresentariam nas

respostas para os problemas propostos.

O autor situou seu trabalho na tentativa de responder as seguintes

questões:

I – Qual imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do Ensino Médio apresentam, após terem estudado este tema na 1ª série do Ensino Médio? II – Qual definição de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do Ensino Médio apresentam, após seu estudo deste tema na 1ª série do Ensino Médio? III – Quais características dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004) surgem nas respostas de alunos ao resolver problemas relacionados ao conceito de função? (ANGELINI, 2010, p.21).

O instrumento diagnóstico dele foi composto por dez questões variadas

com gráficos, textos, problemas, utilizando vários tipos de representações. Os

resultados sobre imagem de conceito apontaram a predominância do uso de

características do mundo corporificado, uma vez que os alunos estão limitados

à utilização de tabela numérica para construção de gráficos, diagramas,

lançamentos de pontos sobre o plano cartesiano, operações aritméticas com

números inteiros para comparar resultados. São poucos os que usam

características do mundo simbólico, ou seja, os que articulam as expressões

algébricas na forma geral, por exemplo, y = ax + b; dominam “regra de três”; e

calculam com números decimais com certa facilidade. Apenas um aluno

apresentou indícios de pensamento formal quando relacionou corretamente as

variáveis “tempo e orçamento”. Sobre a definição de conceito, predominou as

características do mundo corporificado, pois os alunos não conseguiram

associar função como uma relação de dependência entre duas variáveis.

Nenhum aluno usou características do mundo formal.

Angelini (2010) concluiu que esses oito alunos precisavam retomar o

estudo desse importante conceito e, talvez, se o fizessem com uma abordagem

baseada no quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004)

poderiam alterar o resultado encontrado. Além disso, ele sugere que se dê

mais ênfase em alguns conteúdos como, por exemplos, as tabelas e diagramas

não devem ser usados apenas para organizar dados e sim, para ajudar no

raciocínio, na tomada de decisão para resolver um problema; e a importância

das expressões algébricas, na resolução de problemas, e não apenas para

encontrar pares ordenados.

29

Lima e Souza (2012) também contribuíram para o estudo de função,

escrevendo um artigo sobre uma pesquisa realizada com sete professores de

matemática, de escolas das redes pública e particular, e que apresentavam

dificuldades na interpretação e visualização de gráficos de maneira global; e,

também, na generalização da concepção de variável.

Os professores foram convidados a resolver atividades cujo objetivo era

o de explorar a representação gráfica de modo global e, não, plotagem ponto a

ponto, ou, mesmo, por meio de tabelas, como encontrados em livros didáticos

adotados pelo programa escolar; e, ainda, de relacionar o gráfico com a

expressão algébrica, identificando a relação existente entre as variáveis

(dependente e independente) e o gráfico, por meio da utilização da conversão

entre registros gráfico, algébrico e língua natural, a fim de auxiliar professores a

ampliarem sua imagem de conceito sobre função.

As autoras elaboraram atividades embasadas nos Registros de

Representação Semiótica (Duval, 1995, 2000) e analisaram os dados à luz do

quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (Tall, 2004), buscando

características dos mundos corporificados, simbólico e formal, existentes na

imagem de conceito (Tall e Vinner, 1981) desses professores, sobre função.

Foram realizadas seis sessões de duas horas e meia cada, trabalhadas em

duplas ou trios, sendo utilizado como recurso o software Cabri-géomètre II.

Para análise, Lima e Souza (2012) utilizaram os dados coletados de

apenas um professor, utilizando, como critério de escolha, o fato de ser este o

mais antigo membro do grupo. Os resultados apontaram que o professor tem a

imagem de conceito limitada às funções polinomiais de 1º e 2º graus e

características predominantes do mundo corporificado. Pode-se dizer que esse

professor não realizou uma jornada pelos Três Mundos da Matemática, porém,

trabalhar outras funções como, por exemplo, de grau três ou trigonométrica, o

ajudou a ampliar sua imagem de conceito sobre função.

No próximo capítulo, apresentaremos os relatos das pesquisas que

compuseram a revisão de literatura.

30

CAPÍTULO 2:

REVISÃO DE LITERATURA

Nesse capítulo, apresentamos as leituras realizadas que retratam a

importância da aprendizagem do conceito de função e as dificuldades

apresentadas por alunos de séries variadas, trazendo, inicialmente, a pesquisa

de Ardenghi (2008), que realizou um estudo do tipo estado da arte,

considerando dissertações e teses durante o período de 1970 até 2005. As

dificuldades mais comuns levantadas pelos autores foram aquelas relacionadas

a conversão do registro gráfico para o registro algébrico e a identificação da

função constante como sendo função. Além disso, apontou, também, a

confusão que alunos fazem entre a noção de função e a de equação; domínio

com contradomínio; manipular números fracionários nas equações; a mudança

da linguagem escrita para a linguagem algébrica; e a sugestão de se iniciar um

estudo partindo da representação gráfica para a algébrica.

O autor afirma que o conteúdo, da forma como é abordado nos livros

didáticos, por utilizar uma linguagem considerada muito técnica, está distante

da realidade do aluno, tornando-o um sujeito passivo na construção do

conhecimento. Para minimizar esse impasse, Ardenghi (2008) sugere que se

apliquem sequências de ensino que proporcionem uma participação mais ativa

do aluno na construção do conhecimento, levando em consideração as

concepções prévias dele sobre o conceito de função; que se utilize a

informática como ferramenta facilitadora no estudo do gráfico de funções; e que

se trabalhe com problemas contextualizados e com situações mais próximas do

cotidiano do aluno, para que ele possa “compreender o conceito de função

como ferramenta de resolução de problemas” (ARDENGHI, 2008, p.71).

Vale a pena notar que o levantamento de Ardenghi (2008) sobre a

preferência dos temas por pesquisadores aponta, entre outros, o “Uso de

Tecnologias” com 32,5% das pesquisas analisadas por ele, que se refere aos

trabalhos que abordam o uso de softwares ou calculadoras gráficas; e a

“Didática” com 30,4%, que se refere aos trabalhos que elaboram sequências de

31

ensino. Vale ressaltar que 58,7% dos trabalhos envolveram como público alvo

o Ensino Médio. Esse levantamento revela que o uso de tecnologias vem

crescendo nas pesquisas de 1970 a 2005, e que se devem sugerir sequências

de ensino para que o aluno saia da posição de “passivo” na aprendizagem e

passe a ser sujeito ativo na construção do conhecimento.

Então, vamos trazer pesquisas que abordam o uso de tecnologias no

ensino de funções e outras, especificamente, sobre funções exponencial e

logarítmica, que utilizaram ou não a Didática, isto é, elaboraram sequências de

ensino.

2.1. SOBRE O USO DE TECNOLOGIAS NO ENSINO DE FUNÇÕES

Miranda e Laudares (2007) trouxeram reflexões sobre o processo de

informatização na prática educativa com o ensino de Matemática, e levantaram

uma série de questões para ponderarmos:

O professor acredita que pode substituir seu discurso e a cópia do aluno em sala de aula por uma instrução dirigida para o aluno estudar em sala de aula? O estudante quer sair da sua posição passiva de “copista” na sala de aula para, na posição ativa de ler o livro, usar o computador? O professor confia na tecnologia da informática como recurso metodológico, além de seu discurso? (MIRANDA; LAUDARES, 2007, p. 75 e 76).

Motivados por estas questões, na busca pelas respostas, pesquisamos

no banco de teses e dissertações das principais Universidades, e percebemos

que o número de produções na área de Educação Matemática que utilizam

recursos tecnológicos no ensino e na aprendizagem de conceitos matemáticos

vem crescendo rapidamente. Verificamos essa preferência pelo tema no

levantamento feito por Ardenghi (2008), que, no período analisado, já apontava

32,5% de adeptos ao uso da tecnologia em sala de aula. Entendemos que,

talvez, seja esse o caminho para que os alunos apreendam conceitos

matemáticos e, então, vamos relatar os trabalhos que encontramos e julgamos

serem de grande valia para a nossa pesquisa, uma vez que também

32

pretendemos utilizar o recurso tecnológico como ferramenta para a

aprendizagem, no nosso caso, do conceito de função.

Tendo como foco a investigação das possíveis potencialidades do

ambiente computacional nos processos de ensino e de aprendizagem do

conceito de função, Maia (2007) desenvolveu uma sequência didática

composta por seis atividades sobre função quadrática com objetivo de trabalhar

características dessa função por meio de um software gráfico, que, de forma

lúdica, explorasse noções de intervalo e de domínio de função, com intuito de

auxiliar alunos a superarem as dificuldades na compreensão do conceito de

função como uma relação entre grandezas, considerando letras como variáveis

ou como números generalizados. Ou seja, segundo a autora, alunos identificam

a expressão algébrica como uma equação. Fundamentada na Teoria das

Situações de Brousseau (1986) e na Teoria dos Registros de Representação

Semiótica de Duval (2003), e baseada nos princípios da Engenharia Didática

de Artigue (1995), contemplou, em suas atividades, a representação gráfica e a

representação algébrica nas formas canônica e desenvolvida da função

quadrática.

Salientamos que Maia (2007) fez uma análise de livros didáticos e teceu

uma crítica aos mesmos sobre a abordagem da construção gráfica ser, na

maioria das vezes, por meio de tabelas, na qual se atribuem números inteiros

para x, ou por meio da utilização de pontos chamados de pontos notáveis da

parábola, sendo eles os pontos de intersecção com os eixos cartesianos e o

ponto do vértice da parábola. Comenta, ainda, que a passagem do gráfico para

a expressão algébrica é pouco explorada.

A autora utilizou o software Winplot por ser de domínio público, e

principalmente, por ser de conhecimento dos alunos, uma vez que a professora

da turma o utilizava como recurso, rotineiramente, em sala de aula.

Diferentemente da nossa pesquisa, em que utilizaremos o software GeoGebra,

também de livre acesso, porém os alunos não têm nenhuma familiaridade, pois

os professores não têm o hábito de utilizar recursos tecnológicos na prática

docente deles.

33

Maia (2007) aplicou a sequência para oito alunos, dispostos em duplas,

da 8ª série6 (atual 9º ano) do Ensino Fundamental, de uma escola particular de

São Bernardo do Campo. Os encontros foram marcados fora do horário regular

de aula dos alunos, e contou com as presenças da professora da turma e de

uma observadora. Para a coleta de dados, foram utilizados os registros

escritos, filmados em VHS, anotações da observadora e as atividades

gravadas em disquetes. Por meio da análise dos dados, a autora concluiu que

os alunos tiveram um grande avanço na compreensão da construção e da

análise de gráficos de função quadrática, uma vez que o software também

contribuiu para uma agilidade na construção desses gráficos, mudando apenas

os valores dos parâmetros. Além disso, os alunos perceberam que o gráfico

pode ter duas representações algébricas, uma na forma canônica e outra na

forma desenvolvida.

Por sua vez, Benedetti (2003) também desenvolveu uma sequência de

atividades que abordavam os conteúdos sobre funções polinomiais de graus

variados, na forma

, por entender que estas

não são usualmente estudadas no Ensino Médio. O autor utilizou o

Graphmatica que é um software de fácil acesso, por ser livre, realizando oito

encontros no laboratório de informática, de uma escola da rede particular do

município de Itu, São Paulo, com duas duplas de alunos da primeira série do

Ensino Médio. Por meio da análise dos dados coletados, o autor concluiu que

os alunos aprenderam a articular as propriedades tanto nos registros gráfico,

algébrico, tabular quanto em outras mídias como a oralidade, a gestual, a

calculadora, o lápis e o papel. Além disso, o software proporciona ao aluno a

visualização simultânea de forma rápida e prática de várias representações das

famílias de funções abordadas nas atividades. Para ele, é devido a um estudo

regido de “vai e vem” de conjecturas, reflexões e refutações, que se produz o

conhecimento e que cabe ao professor ou pesquisador a reflexão sobre sua

prática pedagógica e a escolha do ambiente a ser utilizado para produção do

conhecimento, visando sempre a melhor atuação dos alunos na aprendizagem

de um dado conteúdo.

6 Nessa pesquisa, ao nos referirmos aos anos de escolaridade do Ensino Fundamental, usaremos a

nomenclatura atual, por exemplo, a 8ª série se refere ao atual 9º ano.

34

As pesquisas de Maia (2007) e Benedetti (2003) enfatizam as

potencialidades do uso de um software no ensino e na aprendizagem do

conceito de função como, por exemplo, as visualizações simultâneas das

representações gráfica, tabular e algébrica de um mesmo objeto matemático;

as diversas simulações gráficas realizadas por meio da manipulação de

seletores disponíveis no software; a construção do conhecimento privilegiada

pelas interações entre aluno, professor, pesquisador e as próprias mídias.

Ballejo (2009) fez uma análise de três livros didáticos e concluiu que

nenhum deles traz abordagens diferenciadas para o estudo de polinômios e,

ainda, teceu uma crítica ao fato de não apresentarem atividades cuja resolução

possa ser feita com o recurso do computador, como já existem em livros nos

Estados Unidos. Isso posto, empenhou-se em utilizar o software GeoGebra

com desígnio de auxiliar alunos a superarem algumas dificuldades em relação

a funções polinomiais de graus 1, 2 e 3, tais como, relacionar essas funções

com suas respectivas representações gráficas; identificar o motivo das raízes

estarem sobre o eixo das abscissas; presumir a relação entre a intersecção dos

gráficos com os eixos; e o termo independente da função.

Para tanto, a autora desenvolveu sua pesquisa focada no estudo de

funções polinomiais de 2º e 3º graus como produto de funções de 1º grau, a fim

de analisar o termo independente e os zeros das funções, utilizando como

recurso o software GeoGebra. Elaborou três sequências de atividades que

foram aplicadas em três encontros, de cinquenta minutos cada, a vinte e oito

alunos do 3º ano do Ensino Médio de uma escola particular de Porto Alegre,

dispostos em doze duplas e quatro preferiram trabalhar individualmente. A

autora baseou seu instrumento de coleta de dados nos pressupostos da

Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996).

Analisando os resultados, Ballejo (2009) afirma ter atingido seus

objetivos com os alunos, uma vez que eles apresentaram compreensão dos

conceitos em questão, desenvolvimento da autonomia, confiança, fizeram

conjecturas, enfim, foram bem participativos durante a construção do conceito

de funções polinomiais. Deixa como sugestão que professores repensem a

prática docente, busquem atualizações e o aperfeiçoamento das aulas.

35

Diferentemente de nossa pesquisa em que aplicaremos nossas

atividades com alunos da primeira série do Ensino Médio, analisando nossos

dados à luz do quadro teórico dos Três mundos da Matemática. Por meio das

janelas de “Visualização” e de “Álgebra” disponíveis no GeoGebra,

proporcionaremos aos alunos a visualização simultânea da representação

gráfica e algébrica da função. De maneira geral, focamos os objetivos de

nossas atividades na compreensão da relação entre as variações dos

coeficientes da função com gráfico e a expressão algébrica.

Scano (2009) fez um levantamento das questões aplicadas pelo Sistema

de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP) de

2005, que abordaram o conceito de função, e, baseando-se no relatório

pedagógico do SARESP de 2007 cujos índices assinalados foram baixos,

constatou que alunos, de diferentes níveis de escolaridade, apresentaram

dificuldades para representar uma função gráfica e algebricamente, relacionar

os coeficientes com a função afim, bem como, de reconhecer a relação de

dependência entre as variáveis e o cálculo da taxa de variação.

Na tentativa de contribuir para o avanço na apreensão do conceito de

função, o autor se propôs a desenvolver uma sequência de ensino, baseada

nos princípios da Engenharia Didática de Artigue (1988), fundamentada pela

Teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU, 1986) e da Teoria dos

Registros de Representações Semióticas (DUVAL, 1999), mediada pelo uso do

software GeoGebra, para dezessete alunos, dispostos em sete duplas e um

trio, do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola particular situada no

município de Vargem Grande Paulista, na região da Grande São Paulo.

A pesquisa apoiou-se em duas questões, a saber:

– Nossa sequência de ensino contribuirá para que os alunos

expressem algébrica e graficamente a dependência de duas variáveis

de uma função afim? – Após a aplicação da sequência de ensino, os

alunos reconhecerão que o gráfico de uma função afim é uma reta e

conseguirão relacionar os coeficientes da equação da reta com o

gráfico? (SCANO, 2009, p.33)

Scano (2009) aplicou dezoito atividades separadas em quatro etapas,

com duração de duas aulas de cinquenta minutos cada, sendo a primeira,

36

composta pelas quatro atividades iniciais, no ambiente papel e lápis, com

objetivo de proporcionar a compreensão da representação algébrica da função

afim, realizando generalizações. Na segunda etapa, aplicou oito atividades

utilizando o GeoGebra, cujo objetivo era explorar a representação gráfica da

função afim e a determinação dos coeficientes a e b da equação da reta. Na

terceira etapa, aplicou uma atividade, com o recurso gráfico do GeoGebra, a

fim de explorar a variação dos coeficientes a e b da equação e o

comportamento da reta. Na última etapa, aplicou cinco atividades,

individualmente, no ambiente papel e lápis, com intuito de verificar se os alunos

utilizariam os conhecimentos aprendidos para a resolução de novas situações.

Analisando as respostas dos alunos, por meio dos protocolos das

atividades, o autor pôde concluir que sua sequência de ensino contribuiu para o

avanço na aprendizagem do conceito de função, pois os alunos realizaram as

atividades com facilidade e, na etapa final, aplicaram os conhecimentos

apreendidos na resolução de novas situações que envolvem função.

Além do estudo da função afim, estendemos nossa pesquisa para

análises das funções quadráticas, exponencial e logarítmica pelo fato de

estarmos provendo adaptações dos cadernos, volumes 2 e 3, integrados a

nova Proposta Curricular de São Paulo.

2.2. SOBRE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Em nossa pesquisa, optamos por um olhar mais aprofundado para as

funções exponenciais e logarítmicas por entender que são estas as funções

menos abordadas em pesquisas na área de Educação Matemática. Então,

relatamos algumas pesquisas que julgamos serem pertinentes ao tema e que

utilizaram ou não a tecnologia como recurso pedagógico.

Na tentativa de inovar o estudo de Função, Limites e Derivadas, a fim de

viabilizar a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral no ensino superior,

levando em consideração a ideia de que o professor tem que mudar de postura

37

e acreditar que o computador pode sim construir o conhecimento, Alves (2010)

lança uma pergunta que vai situar sua pesquisa:

Como a utilização de Tecnologias Informacionais e Comunicacionais pode contribuir/redirecionar o ensino de Funções, Limites e Continuidade em disciplinas de Introdução ao Cálculo? (ALVES, 2010, p.50).

O autor elaborou uma sequência didática, baseada em Zabala (1998),

composta por dez atividades, sendo que, para análise dos dados, ele escolheu

apenas cinco delas, a saber: funções exponenciais e logarítmicas; funções

polinomiais; existência de limites e limites laterais; limites fundamentais,

infinitos e no infinito; e continuidade, por julgar estas as mais consistentes para

responder a sua questão norteadora. Essa sequência didática foi aplicada a

dezesseis alunos da primeira série de Licenciatura em Matemática, da

Universidade Federal de Ouro Preto, de forma individual, com auxílio do

software GeoGebra, por ser um software de domínio público e de fácil

manuseio.

Dentre estas cinco atividades, o autor percebeu que os alunos não

apresentaram dificuldades para identificar o crescimento ou decrescimento da

função exponencial, associado à base da função. Porém, não aconteceu o

mesmo para a função logarítmica, em que as dificuldades ocorridas foram para

determinar o crescimento ou decrescimento da função , de acordo

com a base; para trabalhar com as propriedades da mudança de base dos

logaritmos; e para identificar a relação entre as funções inversas, exponencial e

logarítmica. Além disso, nas atividades sobre polinômios, houve dificuldades

para fatorarem os polinômios e para construírem os gráficos de funções

definidas por mais de uma sentença.

As atividades foram aplicadas durante todo o 2º semestre,

concomitantemente com o conteúdo lecionado pelo professor da turma. Ao

final, entraram na composição da nota (Média Final) para aprovação e/ou

retenção dos alunos. Segundo o autor, apenas um aluno apresentou

rendimento insatisfatório, precisando fazer a prova final, como recuperação de

todo o conteúdo.

38

Para o autor, o uso do software GeoGebra para a realização das

atividades proporcionou aos alunos melhor visualização do comportamento dos

gráficos, por meio da movimentação dos seletores e, consequentemente,

variação dos parâmetros, acarretando formulação de conjecturas e uma boa

interpretação dos gráficos, bem como, das propriedades das funções. Por meio

do recurso do software, os alunos puderam criar pontos sobre os gráficos e

movimentá-los, a fim de explorar as relações de limites laterais, por exemplo.

Além disso, destaca a mudança na postura dos alunos, que deixa de ser

passiva, para ser ativa, questionadora e autônoma dentro da sala de aula.

Por fim, Alves (2010) conclui que é possível adequar o conteúdo de

Funções, Limites e Continuidades a ambientes computacionais, desde que o

professor repense sua prática docente, para que saia da postura de

“transmissor” do saber e assuma uma postura de “orientador”, estimulando o

aluno na construção ativa de seu próprio conhecimento.

Essa pesquisa de Alves (2010) vem ao encontro da nossa em relação

aos objetivos propostos nas atividades das funções exponenciais e

logarítmicas, isto é, de fazer com que os alunos minimizem as dificuldades em

classificar as funções em crescente e decrescente; em compreender a

propriedade da mudança de base na função logarítmica; em identificar a

existência da relação entre as funções exponencial e logarítmica como sendo

uma a inversa da outra. Além disso, a dinâmica, descrita pelo autor, sobre o

uso do software em relação à aprendizagem do aluno, nos motivou pela

escolha do GeoGebra. Porém, nossa pesquisa tem um diferencial que é

adaptar as atividades do CAM para o uso do software, a fim de promover a

integração da nova Proposta Curricular de São Paulo como o ambiente

computacional. Vemos que Alves (2010) percebe a possibilidade de adequação

dos conteúdos de Cálculo para o uso do GeoGebra, e pretendemos analisar

essa possibilidade para as atividades do CAM.

Já Karrer (1999) trabalhou com situações-problema para a introdução do

conceito de logaritmo, utilizando a calculadora como recurso, com a finalidade

de auxiliar alunos na superação das dificuldades relacionadas à compreensão,

interpretação e aplicação do logaritmo como ferramenta para resolverem as

39

equações exponenciais. Outras dificuldades apontadas são em relação ao

entendimento de potenciação, principalmente para expoentes racionais; à

interpretação e resolução de problemas que envolvem a função exponencial; à

compreensão da relação existente entre função exponencial e logarítmica

como sendo funções inversas.

Segundo a autora, ao analisar seis livros didáticos, observou que, na

maioria deles, a introdução do conceito de logaritmo se fazia pela definição

como sendo a função inversa da exponencial; e que não abordavam problemas

contextualizados e nem exercícios de estimativas.

Amparada pelas contribuições da Psicologia Cognitiva dadas por Piaget,

Vygotsky e Vergnaud e, também, pelas ideias da linha francesa da Didática da

Matemática, a autora elaborou quatro fichas de exercícios, que contemplavam

exercícios básicos de exponencial e de logaritmo e situações-problema.

Aplicou-as, como um estudo piloto, a três alunas da primeira série do Ensino

Médio de um colégio da rede particular de São Bernardo do Campo. Por meio

da análise dos resultados, fez pequenas modificações nessas atividades que

compuseram a sua sequência de ensino.

A autora se fez valer da seguinte questão

[…] estudar se a introdução do conceito de logaritmo a partir de problemas desafiadores e significativos, nos quais o mesmo assume o papel de ferramenta de resolução de uma equação exponencial, favorece a formação de seu conceito (KARRER, 1999, p.5).

Empenhada na busca pela resposta, conduziu a aplicação desta

sequência em três fases, a saber: na primeira fase, foi aplicado um pré-teste

para dois grupos de alunos, sendo um, chamado de grupo experimental,

composto por dezesseis sujeitos, dispostos em duplas, da primeira série do

Ensino Médio, de uma escola da rede particular de ensino de São Paulo; e o

outro grupo, chamado grupo de referência, composto por vinte e nove sujeitos

da primeira série do Ensino Médio de outra escola da rede particular de ensino

de São Paulo. Na segunda fase, a sequência foi aplicada para o grupo

experimental com auxílio da calculadora científica; já no grupo de referência,

prevaleceu uma abordagem tradicional de ensino sobre logaritmos,

apresentada nos livros didáticos fornecidos pela escola. Na última fase, os dois

40

grupos foram submetidos ao pós-teste para posteriores análises dos dados,

lembrando que o grupo experimental continuou usando a calculadora e o grupo

de referência teve acesso apenas à tabela de logaritmo decimal fornecida pelo

livro.

A autora relata que o grupo de referência entregou o pré-teste

praticamente em branco, e, por esse motivo, não conseguiu afirmar com

precisão o avanço do grupo em relação à aprendizagem do conceito de

logaritmo, uma vez que esse grupo só atingiu dois dos oito objetivos propostos

pela sequência, referentes a questões técnicas. Porém, o grupo experimental

teve um avanço considerável na superação dos erros cometidos no pré-teste,

atingindo satisfatoriamente sete dos oito objetivos. Mensurando estes

resultados, pode-se dizer que o equivalente a mais de dois terços dos sujeitos

do grupo experimental tiveram um avanço e, ainda, teriam condições para

serem aprovados segundo critério escolar, devido sua média de acerto ser

igual ou superior a 75% da avaliação. Já o grupo de referência está bem longe

disso, ou seja, dentre os vinte e nove sujeitos, três acertaram acima de 50%,

sete acertaram cerca de 50%, e os outros dezenove tiveram um desempenho

insatisfatório, equivalente a 25% da avaliação. Resumidamente, nesse grupo,

apenas um terço dos sujeitos teriam condições de serem aprovados de acordo

com critério escolar.

Essa análise apresentada por Karrer (1999), nos incentiva a buscar essa

adaptação de atividades do CAM para uso com um software, visto que os

alunos podem ter oportunidade de aprender de forma dinâmica e motivadora,

com auxílio de outros materiais pedagógicos, acarretando maior sucesso nas

avaliações e, consequentemente, no entendimento de função.

Por esse motivo, reforçamos a relevância de nossa pesquisa cujo

objetivo é adaptar as atividades propostas no Caderno do Aluno para que ele

possa sair do ambiente papel e lápis e adentrar num ambiente mais dinâmico e

motivador, que é o computacional. Por meio dos recursos que o software

GeoGebra oferece, como por exemplo, o uso de seletores, o aluno poderá

variar os valores dos parâmetros na função e observar o comportamento do

gráfico, da equação algébrica, interpretando, analisando e conjecturando sobre

41

as propriedades e, com isso, estará apreendendo melhor o conceito de

logaritmo.

Santos (2011) elaborou uma sequência didática com objetivo de explorar

o conceito de função logarítmica, por entender que esta função é pouco

estudada por alunos no Ensino Médio, segundo conversa informal com

professores da rede pública, que alegam que o ano letivo termina rápido, e que

o bimestre, no qual está inserido o conteúdo, não é suficiente. A autora ressalta

a importância desse conceito que se faz presente no estudo de alguns

fenômenos naturais, tais como pH de soluções químicas, escalas para medir a

intensidade de terremotos, entre outros (SANTOS, 2011, p.22).

Segundo Santos (2011), esses professores, em suas aulas, apontaram

que os alunos têm dificuldades em localizar pontos no plano cartesiano, operar

com as propriedades da potenciação, regras de sinais e, até mesmo, realizar

uma divisão; transformar representações do registro algébrico para

representações do registro gráfico, por meio do preenchimento de tabelas, pois

fazem a substituição errada na expressão algébrica, dos valores do domínio da

função, para o cálculo da imagem. A autora relata a dificuldade dos alunos em

articular a conversão entre os registros gráfico, algébrico e língua natural. Com

intuito de minimizar tais dificuldades, elaborou o instrumento de coleta de

dados de sua pesquisa, apoiando-se nos pressupostos da Engenharia Didática

(ARTIGUE; DOUADY; MORENO, 1995), e fundamentando-se pela Teoria dos

Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2009) e por Processos do

Pensamento Matemático Avançado (DREYFUS, 2001), mediado pelo uso do

software GeoGebra e da calculadora científica.

Nortearam esta pesquisa as seguintes questões:

1. Os alunos com a sequência didática proposta neste trabalho

conseguem reconhecer alguns elementos fundamentais para o estudo

da função logarítmica, tais como domínio, imagem e esboço do

gráfico? Em que medida? Quais as dificuldades encontradas? Quais

avanços percebidos? 2. O uso do software GeoGebra como estratégia

didático-pedagógica no estudo da função logarítmica contribuiu ou não

para a aprendizagem dos alunos? (SANTOS, 2011, p.24).

Participaram da pesquisa seis alunos, dispostos em três duplas, do 3º

ano do Ensino Médio de uma escola pública da rede estadual de São Paulo no

42

município de Itaquaquecetuba. Foram realizados oito encontros, fora do

período regular de aula, com duração máxima de duas horas cada, para

responderem as quatro sessões de atividades, realizadas no laboratório de

informática da escola.

A autora fez pequenas adaptações do Caderno do Professor –

Matemática –, da primeira série do Ensino Médio, volume 3, para atender a sua

fundamentação teórica (Duval). Inseriu o conteúdo da sua sequência na

mesma ordem em que se encontra naquele caderno: noção de potência,

exercícios de exponencial e logaritmo, função logarítmica. Com isso, muitas de

suas atividades dariam para ser resolvidas num ambiente papel e lápis. Por

exemplo, em uma de suas questões, os alunos tiveram que construir um

gráfico em um quadriculado oferecido no próprio protocolo. Utilizou o

GeoGebra apenas em algumas questões para a construção dos gráficos, para

que os alunos observassem o comportamento das curvas, principalmente para

estudar a função inversa. Santos (2011) relata que, apesar das dificuldades

com potenciação, interpretação de enunciados, mudanças do registro algébrico

para o registro gráfico, os alunos avançaram suas concepções, principalmente

com auxílio da calculadora e do software que proporcionou a eles a

visualização gráfica da função.

Já em nossa pesquisa, priorizamos nas atividades o mesmo conteúdo

do caderno, com os objetivos nele citados, porém explorados integralmente no

ambiente computacional, por meio das potencialidades oferecidas pelo

software, acreditando que o auxílio desse ambiente possa trazer maiores

discussões e produções de conhecimento.

Dominoni (2005) elaborou uma sequência de atividades, fundamentada

na teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 1993), com

objetivo de auxiliar alunos na compreensão do objeto matemático Função

Exponencial por meio da articulação entre os diferentes registros de

representação, tais como, o tabular, gráfico e algébrico e, ainda, a linguagem

natural. Dispostos em duplas, responderam às atividades dezesseis alunos da

primeira série do Ensino Médio de uma escola particular da cidade de

Arapongas, Paraná.

43

A autora fez um levantamento bibliográfico e, juntamente com a

experiência dela em sala de aula, percebeu que a maioria das dificuldades

relacionadas à aprendizagem dos alunos, sobre o conceito de Função

Exponencial, se deve ao fato de que eles não conseguirem fazer as

conversões de maneira correta entre os registros tabular, gráfico e algébrico de

uma mesma função. Além disso, relatou a importância de se promover

atividades que permitam que o aluno faça ligações entre esses registros de

representação seja por meio de tabelas, fórmulas, diagramas, manipulações

algébricas ou gráficas.

Dominoni (2005) se baseou nos princípios da Engenharia Didática

(ARTIGUE, 1996), e dividiu seu experimento em duas fases, sendo a primeira

composta por sete atividades realizadas com intervenção da pesquisadora

quando necessário, que utilizava os recursos giz, lousa, calculadora e

exercícios similares para explicação das dúvidas surgidas durante a aplicação

da sequência. A segunda fase foi direcionada para a realização de seis

atividades, sem consulta a qualquer material didático, anotações ou, ainda,

ajuda da pesquisadora.

Os resultados apontaram outras dificuldades, além das citadas acima, a

respeito da conversão entre os diferentes registros de representação de função

como, por exemplo, trabalhar com potências cujo expoente é negativo ou a

base um número fracionário e, também, com equações exponenciais. Além

disso, apresentaram dificuldades no cálculo de porcentagem e na construção

dos gráficos porque não souberam dimensionar as escalas nos eixos x e y,

localizando os pares ordenados e, consequentemente, traçar a curva. Ainda, os

alunos não perceberam que a função translada verticalmente em algumas

situações. Dominoni (2005) constatou que os alunos conseguiram classificar as

funções em crescente ou decrescente e fazer a conversão do registro tabular

para o registro gráfico. Porém, foi grande a confusão na conversão dos

registros tabular, gráfico e língua natural para o registro algébrico.

A autora concluiu que seria preciso fazer muitas outras atividades que

explorassem o estudo de potenciação e porcentagem e, ainda, elaborar

atividades que enfatizassem mais a conversão do registro gráfico para o

algébrico antes do início da aplicação dessa sequência, pois sozinhos, isto é,

44

espontaneamente, os alunos não tiveram iniciativa para encontrar caminhos

para a resolução das atividades, havendo a necessidade da ajuda da

pesquisadora, que utilizou exemplos similares para explicar tais conteúdos,

minimizando as dúvidas.

Percebemos que, com intervenção da professora-pesquisadora, os

alunos conseguiram realizar as atividades, guiados por exemplos resolvidos.

Em nossa pesquisa, como temos um propósito de adaptar atividades do CAM

para uso do software, verificando se, por meio delas, ocorre a aprendizagem do

conceito de função, não vamos intervir durante a realização do experimento,

isto é, aplicaremos as atividades e, se necessário for, faremos o redesign das

questões até que os alunos consigam resolvê-las satisfatoriamente.

Lima (2009) propôs analisar a atuação de dois professores de

Matemática, de uma escola pública estadual de São Paulo, na aplicação da

sequência didática elaborada por ele, junto a 80 alunos de Ensino Médio.

Segundo relato desses dois professores, eles não utilizam a sala de informática

como suporte por causa da falta de apoio técnico e de softwares educacionais,

bem como, da quantidade de computadores ser insuficiente para o número de

alunos presentes na sala de aula. Por exemplo, nessa escola, funcionam

apenas dez computadores no laboratório de informática, sendo as turmas

compostas, em média, por quarenta alunos.

Fundamentado pelo trabalho de Simon sobre trajetórias hipotéticas de

aprendizagem (THA), e com o objetivo de

elaborar uma THA que envolva situações contextualizadas,

interdisciplinares e de construção por meio de atividades e resolução

de problemas para que o aluno possa aplicar seu conhecimento em

situações do cotidiano, em outras áreas de conhecimento e internas à

própria matemática (LIMA, 2009, p.17),

o autor dividiu a aplicação da sequência didática em quatro momentos, a saber:

o primeiro foi destinado a atividades de revisão sobre potenciação e resolução

de equações exponenciais; o segundo foi composto pela aplicação de três

atividades que contemplavam exercícios de resolução de logaritmos com

auxílio do uso da calculadora; o terceiro abordava a resolução de duas

atividades que envolveram as propriedades dos logaritmos, bem como a

construção da condição de existência; o último foi composto por uma atividade

45

que abordava a construção gráfica das funções exponencial e logarítmica,

realizado no laboratório de informática da escola, com auxílio do software

Winplot, a fim de que os alunos percebessem as relações existentes entre elas.

Ao final das aulas, os professores colaboradores aplicaram uma

avaliação escrita, elaborada por Lima (2009b), que foi dividida em duas partes:

a primeira composta por exercícios que objetivavam o reconhecimento e a

utilização de grandezas expressas pela lei da função do tipo na

resolução de situações-problema. A segunda parte contemplava mais

exercícios de cálculo de logaritmos objetivando o estudo do conceito de

logaritmo de um número.

Lima (2009) levantou três questões norteadoras para sua pesquisa:

a) Como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem

com o planejamento de ensino, no caso particular das funções

logarítmicas?

b) Como podem ser propostas e desenvolvidas em sala de aula

situações didáticas de aprendizagem, que explorem contextos do

cotidiano de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática?

c) Que atuação pode ter um professor de Matemática ao abordar o

tema funções logarítmicas, quando se pretende que os alunos sejam

protagonistas na construção de suas aprendizagens? (LIMA, 2009, p.

19).

Com intuito de responder às questões, Lima (2009) fez uma análise de

dois livros didáticos e da Proposta Curricular de São Paulo (2008) para

averiguar como é feita a abordagem desse conteúdo por outros autores. Além

disso, fez a revisão bibliográfica percebendo que a maioria das pesquisas

analisadas relatam as mesmas dificuldades apresentadas por alunos quando o

conteúdo estudado se refere ao logaritmo como, por exemplo, as regras de

potenciação; resolução de equações de 1º e 2º graus e exponenciais;

construção e interpretação de gráficos, uma vez que os alunos não sabem

dimensionar as escalas dos eixos x e y; determinação do domínio, imagem e

função inversa.

O pesquisador atuou como observador, fazendo os registros escritos e

gravações de áudio dos acontecimentos e diálogos entre professor e alunos.

Ele elaborou uma THA com atividades envolvendo situações-problema,

interpretação e construção de gráficos. Essas atividades foram reformuladas de

46

acordo com as sugestões dos dois professores colaboradores da pesquisa.

Após a finalização da aplicação, considerando a análise dos dados, o autor fez

a terceira versão das atividades seguidas de estratégias para aplicação, a fim

de disponibilizá-las para o uso dos professores que quiserem fazer um estudo

diferenciado sobre esse tema.

Os resultados da pesquisa de Lima (2009) apontaram que, além das

dificuldades já mencionadas por meio da revisão bibliográfica dele, surgiram

aquelas relacionadas à interpretação de texto; conversão da língua natural para

a linguagem algébrica nos problemas; utilização equivocada da condição de

existência dos logaritmos; uso inadequado da calculadora para resolução dos

logaritmos, muitas vezes, por falta de conhecimento; problemas na

manipulação algébrica como, por exemplo, aquelas em que o logaritmo não se

apresenta isolado em um dos membros da equação. Além disso, o autor aferiu

que menos da metade das duas turmas conseguiu reconhecer e fazer uso de

grandezas expressas pela lei da função logarítmica na interpretação e na

resolução das situações-problema, pois eles escolhem caminhos que não são

os logaritmos para a resolução dos exercícios e, ainda, resolver questões que

abordavam o uso das propriedades logarítmicas.

Já para a resolução das questões de cálculo dos logaritmos, mais da

metade das turmas conseguiram executar corretamente a tarefa, alegando que

esse tipo de exercício estava mais próximo dos exercícios que estão

habituados a resolver em sala de aula.

Vale ressaltar que, na sala de informática, as atividades foram realizadas

em grupos de até quatro alunos pelo motivo da disponibilidade dos

computadores e que, nessa pesquisa, houve a intervenção dos professores

colaboradores a todo instante que lhes era solicitado ajuda. Somente dessa

maneira, os alunos conseguiram compreender, por exemplo, a relação de

função inversa existente entre as funções exponencial e logarítmica; classificar

as funções em crescente e decrescente, identificando o domínio e a imagem de

cada uma delas.

O pesquisador observou que, na sala em que o professor tinha uma

postura de deixar os alunos mais à vontade para a resolução dos exercícios,

47

eles perderam o interesse em resolver as atividades, esperando a resolução

que era feita na lousa após o tempo estipulado. Já na sala do professor que

tinha uma postura de cobrança maior, perguntando a todo instante como

resolvia os exercícios, despertou entre os alunos o instinto de competição de

modo que cada um deles queria ser o primeiro a resolver as atividades, antes

da resolução na lousa. Dessa forma, o autor concluiu que

O papel do professor é fundamental para o processo de

aprendizagem, pois como ele atua tendo em mãos uma sequência de

atividade é mais determinante do que a própria atividade no que diz

respeito a uma perspectiva construtivista. Nenhum resultado é

possível se o professor não entende os objetivos da atividade para

aprendizagem dos alunos e as utiliza de maneira equivocada (LIMA,

2009, p.188).

Lima (2009) relata, ainda, que as atividades que exploram o raciocínio e

a interpretação de texto em situações-problema quase não fazem parte da

rotina de uma aula de Matemática, assim como, o uso de um ambiente

informatizado. O autor comenta que seria preciso que os professores

utilizassem mais esse recurso em sua prática docente, uma vez que foi aferido

que o ápice no interesse dos alunos ocorreu na resolução das atividades

realizadas com auxílio do software.

Destacamos que o autor fez uma reflexão sobre a postura do professor

no processo de ensino e de aprendizagem dos conteúdos matemáticos

enfatizando a necessidade de uma possível mudança, isto é, sair da condição

de “transmissor do saber” para “mediador”; o que acarretará, também, uma

possível mudança na postura do aluno, isto é, passará de “sujeito passivo” para

“sujeito ativo” na construção do conhecimento.

Souza (2010) elaborou uma sequência de ensino composta por quatro

atividades extraídas da Situação de Aprendizagem 1 presentes no Caderno do

Professor – Matemática (2008), volume 3, da primeira série do Ensino Médio,

que abordavam o estudo da função exponencial e aplicou para quatorze alunos

da 2ª série do Ensino Médio, de uma escola da rede pública estadual de São

Paulo, dispostos em duplas, a fim de verificar as concepções deles após terem

estudado essa função na 1ª série. A autora utilizou os ambientes papel e lápis

para a resolução das atividades xerocopiadas com auxílio da calculadora

científica; e o computacional com auxílio do software GeoGebra apenas para

48

plotagem de gráficos da função exponencial. Os resultados apresentados por

ela evidenciaram as dificuldades dos alunos para operarem as potências cujo

expoente fosse um número racional ou com a base negativa e decimal;

dificuldades para converterem o registro algébrico para o registro gráfico;

construções gráficas erradas, tendendo ao gráfico de uma reta, devido às

irregularidades nas escalas dos eixos x e y. Além disso, percebeu que a

calculadora facilitou o tratamento dos registros e que os alunos partem do

registro algébrico para o registro tabular e, por sua vez, para o registro gráfico.

Destacamos que Oliveira (2005) também elaborou uma sequência

didática que contribuísse para o estudo de logaritmo e revelou que, em geral,

os alunos apresentaram dificuldades em relacionar a base de um sistema de

logaritmos com a razão das progressões; compreender a correspondência

entre as médias aritmética, geométrica e os logaritmos; e operar potências com

expoente racional, na representação decimal. Entretanto, os alunos

conseguiram determinar a condição de existência dos logaritmos para o

conjunto dos números reais; compreender as propriedades operacionais dos

logaritmos; “reconhecer que o logaritmo transforma uma operação em outra de

menor nível” (OLIVEIRA, 2005, p. 84). Entre outros fatos, a autora concluiu que

a construção de um conceito “é um processo lento que exige a exploração

contínua por meio da apresentação de situações-problema que explorem os

diferentes aspectos desse conceito” (OLIVEIRA, 2005, p.104).

Silva (2012), guiado pela metodologia da Engenharia Didática

(ARTIGUE, 1996) e pressupostos da pesquisa qualitativa (FLICK, 2006),

elaborou uma sequência de atividades que fosse útil como uma ferramenta

para auxiliar o professor em sala de aula, no ensino de funções exponencial e

logarítmica, composta por situações-problema aplicadas a fenômenos naturais

que proporcionasse a interdisciplinaridade, tais como, o crescimento

populacional de bactérias, cálculo de juros compostos (Matemática Financeira),

pH de soluções químicas, cálculo da intensidade de terremotos, entre outros, a

fim de evitar abordagens tradicionais em que se predomina a aula expositiva,

giz e lousa, exercícios exaustivos com repetição de algoritmos ou técnicas,

conforme apontou o levantamento feito no livro didático, a fim de valorizar mais

situações em que se privilegie o raciocínio e a expressão dos alunos e, não, a

49

mera memorização de conteúdos. Essas atividades foram resolvidas nos

ambientes papel e lápis, com auxílio da calculadora, objetivando proporcionar

aos alunos a conversão entre representações dos registros da língua natural,

algébrico e gráfico; e no computacional para aplicação de uma atividade que

objetivava a apresentação dos gráficos das funções exponencial e logarítmica,

a fim de comparar as relações existentes entre elas.

Um olhar sobre as pesquisas já realizadas foi lançado pelo autor com

intuito de encontrar lacunas no ensino ou na aprendizagem de funções, alvo do

estudo dele, e fundamentado nas teorias de Vergnaud (1982, 1996) sobre

Campos Conceituais e Duval (1996, 2003, 2009) sobre as Representações

Semióticas, formulou uma pergunta norteadora para a pesquisa:

Apresentar o conceito de função, a partir da análise de fenômenos e

tabelas, envolvendo relações entre grandezas, contribui na

compreensão e aprendizagem de funções logarítmicas e

exponenciais? (SILVA, 2012, p.17).

Baseado nas leituras realizadas e na experiência em sala de aula, o

autor relatou que as dificuldades mais frequentes dos alunos condizem aos

conteúdos considerados básicos na Matemática como, por exemplo, a falta de

domínio em operar com números decimais e sua representação na forma

fracionária. Assim, ele aplicou uma aula de revisão de potenciação antes do

início do experimento de ensino, para que os alunos minimizassem as dúvidas

e conseguissem resolver as atividades propostas que eram compostas por

problemas que envolviam a relação entre grandezas por meio de análises de

tabelas numéricas e interpretação da representação gráfica.

Participaram da pesquisa de Silva (2012), vinte e seis alunos, dispostos

em grupos médios de três ou quatro, da primeira série do Ensino Médio do

Instituto Federal do Rio Grande do Sul. Foram realizados, com intervenção do

professor-pesquisador, cinco encontros vídeo gravados, sendo o último

destinado à aplicação de uma avaliação escrita cujo objetivo era averiguar a

aprendizagem dos alunos sobre o conceito de domínio, imagem, crescimento e

decrescimento de funções exponencial e logarítmica.

Os resultados da pesquisa de Silva (2012) apontaram que a maioria dos

grupos conseguiu elaborar a lei matemática que modelava cada situação; na

análise gráfica conseguiram identificar as variáveis do problema e a noção de

50

crescimento e decrescimento das grandezas; os alunos apresentaram, ainda,

dificuldades em porcentagem e regras de potência; eles utilizaram uma função

do 1º grau para representar a lei da função exponencial nos problemas que

abordavam o crescimento populacional por constar a informação de que a cada

hora a população dobrava ou triplicava; os alunos identificaram corretamente

as variáveis dependente e independente, porém apresentaram dificuldades em

executar cálculos algébricos e para expressarem matematicamente a relação

entre as grandezas; alguns alunos também apresentaram dificuldades em

transitar entre as representações semióticas desenvolvidas nos problemas.

Entretanto, após a intervenção do professor pesquisador as duplas

conseguiram modelar corretamente as situações envolvidas com as funções

exponencial e logarítmica.

O autor acredita que sua pesquisa tenha contribuído no sentido de

desenvolver uma ferramenta para auxiliar os professores em sala de aula no

que se refere ao ensino e a aprendizagem dos conceitos de funções

exponencial e logarítmica, pois, além de trabalhar com situações mais

próximas do cotidiano do aluno, ele utilizou um software para apresentações,

visualizações das propriedades e construções gráficas que despertou o

interesse dos alunos e, ainda, propiciou o diálogo entre o grupo, a formulação

de hipóteses e a validação das conjecturas.

Por meio de uma síntese dos autores, descritos neste capítulo, as

dificuldades mais comuns observadas nas pesquisas foram a confusão

existente entre função e equação; a identificação de uma função como uma

relação de dependência entre duas variáveis; a classificação dela em

crescente, decrescente e constante; conflito na compreensão das diversas

representações de funções provenientes dos registros gráfico, algébrico,

tabular, língua natural; identificação da variável f(x) como sendo a dependente

e, x como a independente; função definida por várias sentenças; compreensão

do domínio, contradomínio e imagem; entre outras.

Especificamente sobre as funções exponenciais e logarítmicas, alvo de

nossa análise de dados, as dificuldades mais comuns apresentadas por alunos

de séries variadas, levantadas pelos autores, foram a operação com potências

que exibem na base ou no expoente números negativos, decimais ou

51

fracionários; a construção do gráfico dessas funções pelo simples fato de que

os alunos não sabem dimensionar as escalas nos eixos x e y do plano

cartesiano e, por conta disso, os gráficos tenderam a retas; a conversão dos

registros da língua natural ou gráfico para o registro algébrico, isto é, elaborar a

expressão algébrica das funções exponenciais e logarítmicas; e manipular

essas expressões algébricas, principalmente quando o y não está isolado em

um dos membros da equação.

Visando amenizar tais dificuldades, pretendemos contribuir para a

aprendizagem do conceito de funções polinomiais de 1º e 2º graus,

exponencial e logarítmica, adaptando atividades do CAM, para o uso de um

software, objetivando promover a integração entre a nova Proposta Curricular

de São Paulo e o ambiente computacional.

Além disso, alguns autores reforçam a ideia de que é preciso rever as

posturas, do professor e do aluno, nos processos de ensino e de aprendizagem

do conceito de função em geral, de modo que o aluno exerça um ‘papel ativo’

na construção do conhecimento; e o professor, o ‘papel de orientador’ do saber

matemático.

Ainda, a maioria dos autores ampararam suas pesquisas na Teoria das

Situações Didáticas (Brousseau); na Teoria dos Registros de Representação

Semiótica (Duval) e a metodologia da Engenharia Didática (Artigue). Por esse

motivo, averiguamos que nossa pesquisa traz uma fundamentação teórica

inovadora para auxiliar o estudo de função, que é o quadro teórico dos Três

Mundos da Matemática (Tall, 2004), que nos permite fazer uma análise

diferente, percebendo “coisas” diferentes daquilo que os autores perceberam

ao utilizarem outro o referencial teórico, por exemplo, a Teoria dos Registros de

Representação Semiótica (Duval).

No próximo capítulo, descreveremos as vertentes estabelecidas para o

ensino no Estado de São Paulo, na área de Matemática, presente na Proposta

Curricular do Estado de São Paulo.

52

CAPÍTULO 3:

A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO

PAULO

Nesse capítulo, apresentamos as diretrizes para o ensino no Estado de

São Paulo, da disciplina Matemática, de acordo com a Proposta Curricular de

São Paulo. Além disso, fizemos uma análise das atividades sugeridas no

Caderno do Aluno – Matemática, e apresentamos os objetivos propostos em

cada Situação de Aprendizagem presente no Caderno do Professor.

A nova Proposta Curricular de São Paulo foi elaborada com o objetivo de

unificar o currículo das escolas da rede pública do Estado de São Paulo. De

acordo com a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo (SEE/SP) “seu

dever é garantir a todos uma base comum de conhecimentos e competências,

para que as escolas funcionem de fato como uma rede” (SÃO PAULO, 2008,

p.8).

Moura (2010) recorda que, no início do ano letivo de 2008, a SEE/SP

enviou, para todas as escolas da rede pública, um primeiro material em formato

de Jornal para professores e alunos, com conteúdos determinados como

requisitos mínimos para o desenvolvimento de habilidades matemáticas, de

leitura e de produção de textos; uma revista intitulada “Revista do Professor”, a

fim de subsidiar o professor na aplicação das atividades durante as aulas; e

vídeos tutoriais, para auxiliar os gestores na distribuição e na aplicação desse

material, durante um período de 42 dias, nomeado como período de

recuperação.

O material usado nesse período de recuperação contribuiu para a

aprendizagem de habilidades básicas de Língua Portuguesa e de Matemática,

necessárias para a interação do aluno com o restante da Proposta Curricular,

no processo de implantação. Assim, foram nomeados alguns princípios centrais

para a estruturação da nova Proposta Curricular, a saber:

uma escola que também aprende; o currículo como espaço de cultura; as competências como eixo de aprendizagem; a prioridade da

53

competência de leitura e escrita; a articulação das competências para aprender; e a contextualização no mundo do trabalho. (SÃO PAULO, 2008, p.11)

Com o avanço da tecnologia, o foco de atenção dos alunos foi se

modificando, havendo a necessidade, tanto desses alunos quanto dos

professores, de aprender a conviver com essa gama de informações, geradas

em alta velocidade, atreladas aos princípios da cidadania. Para tanto, a escola

deixa de ser vista como “instituição que ensina para posicioná-la como

instituição que também aprende a ensinar” (SÃO PAULO, 2008, p.12), pois os

gestores devem aprender como formar professores “didática e

pedagogicamente”, e estes, por sua vez, devem aprender como formar alunos

“ética e culturalmente” para se tornarem, ao longo do tempo, cidadãos

responsáveis capazes de atuar na comunidade com autonomia e autenticidade.

Reforçamos essa ideia com um trecho de um texto exposto na Proposta

Como os alunos estão na escola, preparando-se para assumir plenamente sua cidadania, todos devem passar pela alfabetização científica, humanista, linguística, artística e técnica, para que sua cidadania, além de ser um direito, tenha qualidade. (SÃO PAULO, 2008, p.21)

Tendo em vista esse propósito, formar para a cidadania, se faz

necessário que a escola cumpra o papel de auxiliar alunos no desenvolvimento

de competências e de habilidades, nomeadas por esta nova Proposta

Curricular e amparadas pela Lei de Diretrizes e Bases – LDB (lei 9394/1996),

que “deslocou o foco do ensino para o da aprendizagem” (SÃO PAULO, 2008,

p.14), fazendo com que professores repensem o plano de trabalho (rumo ao

que o aluno deve aprender e, não, ao que se pretende ensinar), pretendendo

garantir a todos “igualdade de oportunidades, diversidade de tratamento e

unidade de resultados” (SÃO PAULO, 2008, p.15).

A nova Proposta Curricular enfatiza a importância em se desenvolver a

competência leitora e escritora, em todas as disciplinas, de todas as séries,

uma vez que acredita que “só por meio dela será possível concretizar a

constituição das demais competências, tanto as gerais como aquelas

associadas a disciplinas ou temas específicos” (SÃO PAULO, 2008, p.18). É

por intermédio dessa competência que crianças, jovens e adultos adquirem

discernimento para relacionarem-se e expressarem-se perante o mundo.

54

Quanto mais aguçada se tornar essa competência, melhor desempenho terá o

ser humano na conquista pela autonomia.

Ressaltamos, ainda, que, por meio desse avanço tecnológico,

informações estão disponíveis em todos os lugares (sites, redes sociais, entre

outros), de forma rápida e prática, bastando o “toque de alguns dedos”, porém,

de maneira desorganizada e fragmentada. Cabe à escola, por meio de ações

educacionais, estimular a curiosidade do aluno pela busca de soluções,

orientar, fazer com que ele pense e reflita como deve se apropriar dessas

informações, articulando-as para convertê-las em conhecimento, a fim de

desenvolver competências e habilidades para “reconhecer, identificar e ter

visão crítica” (SÃO PAULO, 2008, p.21) sobre as coisas do mundo real,

caminhando, assim, para a construção da sua identidade como cidadão.

A LDB assegura ao aluno educação por um período de mais de doze

anos, a alfabetização “nas ciências, nas humanidades e nas técnicas” (SÃO

PAULO, 2008, p.21) e, ao final dessa educação básica, o aluno deve, ainda,

demonstrar competências básicas sobre domínios tecnológico e científico, que

são necessários para a formação profissional dele e, consequentemente, para

a inserção no mercado de trabalho.

Dada a importância de ampliar competências e habilidades dos alunos,

entendemos que os conteúdos trabalhados no Ensino Médio devem visar uma

articulação entre a teoria e a prática, dando relevância aos conceitos

estudados, para que não sejam abordados como meros tópicos requeridos em

vestibulares, a fim de selecionar ou excluir alunos em faculdades.

3.1. A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA A

DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

A Proposta Curricular está dividida em áreas, a saber: Linguagens,

Códigos e suas tecnologias; Ciências Humanas e suas tecnologias; Ciências

Naturais e suas tecnologias.

55

A Matemática pode ser considerada como um eixo norteador para o

desenvolvimento do raciocínio lógico, indutivo ou dedutivo, senso crítico,

capacidade de argumentação, reflexão, interpretação, decisão, abstração,

contextualização, formulação de hipóteses, validação, conclusão; enfim, a

Matemática contribui para o desenvolvimento das competências básicas

necessárias para a formação pessoal do indivíduo, de modo que permita o

exercício consciente da cidadania.

Para contemplar tais competências, os conteúdos a serem aprendidos

foram divididos em quatro grupos temáticos, a saber: números, geometria,

grandezas e medidas, e tratamento da informação. Esses temas estão

presentes na grade curricular tanto dos anos finais do Ensino Fundamental

quanto do Ensino Médio. O diferencial está na ênfase dada no ensino, ou seja,

no nível de tratamento e/ou aprofundamento durante a explanação dos

conceitos, em cada ano/série, respeitando sempre o grau de maturidade da

turma, bem como, os limites individuais de aprendizagem.

Pode-se lançar mão da história como um recurso para o ensino, com

intuito de contextualizar situações de aprendizagem, tornando-as mais

significativas para apreensão de conceitos, a fim de auxiliar alunos a

transformarem essas informações em conhecimento.

Vale ressaltar que a Proposta Curricular é flexível, por isso, além de

permitir a articulação entre conteúdos com maior ou menor escala de

aprofundamento, permite ao professor decidir o tempo necessário para se

trabalhar um conteúdo, que deve ser coerente com o objetivo em questão,

visando sempre o desenvolvimento das competências mencionadas.

Por fim, salientamos que, no Ensino Médio, os conteúdos devem focar a

retomada de conceitos de maneira mais abrangente, ampliando as ideias e os

conhecimentos, rumo à construção de uma linguagem mais culta e formal para

expressar os objetos matemáticos estudados.

Verificamos que o tema Função, alvo do nosso estudo, é abordado nos

anos finais do Ensino Fundamental, com uma escala maior de tratamento no

segundo bimestre, no 9º ano. Porém, no terceiro e quarto bimestres, do 7º ano,

56

os alunos começam a tomar conhecimento de conceitos relacionados à

proporcionalidade direta e inversa entre grandezas; e a introdução de letras

para representar valor desconhecido, chegando a conceituar equações. Já no

terceiro bimestre, no 8º ano, os alunos aprofundam um pouco mais essa última

noção com a resolução de equações do 1º grau e sistemas lineares, em que o

foco é a manipulação dos símbolos para encontrar o valor desconhecido; e

exploram a noção de gráficos com o estudo de coordenadas de um ponto e sua

localização no plano cartesiano.

Na primeira série do Ensino Médio, são abordados padrões de

regularidade, desencadeando para a generalização. Novamente, com uma

escala maior de tratamento, encontramos a manipulação dos símbolos para

expressar objetos matemáticos. No entanto, é no segundo bimestre desta série

que conteúdos sobre funções são trabalhados detalhadamente e com maior

ênfase, como apresentado na Figura 3, especificando a relação entre duas

grandezas, a noção de proporcionalidade direta e inversa com o quadrado e as

funções polinomiais de 1º e 2º graus.

Figura 3: Conteúdo Curricular da primeira série do Ensino Médio, 2º Bimestre. Fonte: SÃO PAULO, 2008, p.57.

Também no Ensino Médio, nesta mesma série, porém, no terceiro

bimestre, são trabalhados os conteúdos sobre funções Exponencial e

Logarítmica, como apresentado na Figura 4 tendo como objetivo principal o

estudo do crescimento ou decrescimento da função exponencial, enfatizando o

57

significado das potências, estudadas no primeiro bimestre do Ensino

Fundamental, no 6º ano (como uma introdução); no 8º ano (com expoentes

inteiros); e no 9º ano (com expoentes racionais e reais).

Analogamente, o estudo de logaritmos está focado na representação de

fenômenos, como, por exemplo, o estudo de escalas de intensidade dos

terremotos, pH de substâncias, cálculos de juros, entre outros, cuja variável se

localiza no expoente; bem como, na aplicação dele para resolver tais

fenômenos. Além disso, há atividades cujo objetivo é a compreensão da

relação existente entre a função exponencial como sendo a inversa da função

logarítmica.

Figura 4: Conteúdo Curricular da primeira série do Ensino Médio, 3º Bimestre. Fonte: SÃO PAULO, 2008, p.58.

Optamos por trabalhar com a primeira série do Ensino Médio por

termos a flexibilidade para aplicarmos uma escala maior de aprofundamento

sobre os conteúdos funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponenciais e

logarítmicas, objetivando que, por meio das atividades que conseguirmos

adaptar para o uso do software, alunos convertam as informações nelas

contidas em conhecimento, ampliando sua concepção sobre função, realizando

uma jornada por diferentes Mundos da Matemática.

Por isso, apresentaremos a seguir, uma noção geral sobre os cadernos

do Professor e do Aluno da disciplina Matemática, volumes 2 e 3, da primeira

58

série do Ensino Médio, seguidos de uma análise sobre as atividades

escolhidas.

3.2. MATERIAL DE APOIO

O material de apoio fornecido pela SEE/SP, que integra a nova Proposta

Curricular do Estado de São Paulo é composto por 76 cadernos,

multisseriados, para cada disciplina do currículo, de 6º a 9º anos do Ensino

Fundamental e de 1ª a 3ª série do Ensino Médio, intitulados como Caderno do

Professor e Caderno do Aluno.

Os Cadernos do Professor iniciam com uma explanação de alguns

fatores fundamentais relacionados à motivação da criação desses cadernos,

objetivos, metas a serem alcançadas, baseadas sempre na Proposta Curricular

do Estado de São Paulo. Em um desses fatores, enfatizaram que os cadernos

foram elaborados com a ajuda de Especialistas da Educação, juntamente com

professores que se prontificaram a enviar críticas, reflexões e sugestões sobre

as primeiras atividades abordadas por meio do estudo do jornal, promovido

pelo Programa São Paulo faz Escola, no início da implantação da Proposta.

Baseados nessas críticas, as atividades foram reformuladas, bem como, os

objetivos delas, de maneira a promover melhor articulação entre teoria e

prática, e de contemplar o desenvolvimento de competências e habilidades

necessárias para o desenvolvimento pessoal, rumo ao cumprimento da meta:

“educação de qualidade, que atenda os objetivos sociais” (SÃO PAULO, 2008,

s/p).

Outro fator importante é o reconhecimento de que as salas são

“heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de

aprendizagem” (SÃO PAULO, 2009c, s/p). Pensando nisso, com objetivo de

auxiliar professores em sua prática de sala de aula e de “derrubar” essa

barreira da diversidade, promovendo a aprendizagem de alunos, os cadernos

foram elaborados com propostas de atividades, como situações de

aprendizagem; estratégias para aplicação; considerações para avaliação;

59

algumas sugestões de materiais como, por exemplo, softwares para

aprendizagem do objeto matemático em questão, e livros e/ou documentos

oficiais para apoio; orientações para recuperação, de forma a retomar

conceitos estudados; e considerações finais.

Os conteúdos dos Cadernos do Professor – Matemática7 estão

agrupados em oito unidades e organizados em quatro situações de

aprendizagem. Para cada Situação de Aprendizagem, há um quadro com o

tempo previsto para o estudo; conteúdos e temas que serão abordados;

competências e habilidades a serem desenvolvidas; estratégias e roteiro para

aplicação. Cabe ao professor definir o tempo e a escala de tratamento que dará

na abordagem dos conteúdos, por meio das situações de aprendizagem,

coerentemente com o nível de amadurecimento de seus alunos.

O Caderno do Aluno – Matemática (CAM) inicia com algumas

recomendações da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP)

para auxiliar alunos a criarem o hábito de estudo, a fim de que eles consigam

se organizar durante o bimestre, não havendo acúmulo de tarefas ou dúvidas.

Além disso, delineia um panorama sobre os conteúdos que os alunos vão

estudar no respectivo bimestre. Há, ainda, seções de atividades intituladas

“Você Aprendeu?”, “Lição de Casa” e “Pesquisa Individual” para os alunos

realizarem em sala de aula e em casa.

No CPM são apresentadas resoluções de atividades que compõem o

CAM. Essas atividades foram elaboradas com textos, mapas, tabelas, gráficos,

exercícios mais objetivos e mecanizados por meio de cálculos, porém, existem

outras mais contextualizadas para fixação do conceito. Por exemplo, há

exercícios em que é apresentado um quadro intitulado “Leitura e Análise de

Texto” (SÃO PAULO, 2009a, p.28), que requer do aluno habilidade e

competência, para lê-lo e interpretá-lo, respondendo as questões propostas de

maneira a transformar tais informações em conhecimento. Além disso, há outro

quadro intitulado “Pesquisa Individual” (SÃO PAULO, 2009b, p.9), que aborda

um tópico matemático em que se pretende despertar a curiosidade do aluno,

para pesquisar em casa, como por exemplo, um exercício que utiliza a

7 Ao fazermos menção ao Caderno do Professor da disciplina Matemática usaremos a abreviação CPM.

60

calculadora; um gráfico para ser construído com auxílio de um software; entre

outros; a fim de auxiliar alunos no avanço de conhecimentos.

3.3. SOBRE A ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS

Nossa pesquisa tem como propósito o estudo de funções polinomiais de

1º e 2º graus, exponencial e logarítmica. Apresentaremos um breve esboço e

análise das atividades contidas no CAM, volumes 2 e 3, da primeira série do

Ensino Médio, que foram utilizadas como parâmetro para adaptação das

nossas atividades para o uso do software. Também, utilizaremos os CPM para

relatar as orientações para aplicação das Situações de Aprendizagens.

3.3.1. ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS VOLUME 2

Nos Cadernos do Professor e do Aluno, volume 2, a Situação de

Aprendizagem 1 está intitulada como “Funções como Relações de

Interdependência: Múltiplos Exemplos”.

O CPM traz orientações para aplicação da Situação de Aprendizagem 1,

conforme ilustrada na Figura 5.

Figura 5: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 1 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor – Matemática, volume 2, 2009, p.11.

61

As atividades da Situação de Aprendizagem 1 tem como objetivos a

abordagem dos conteúdos de relacionar grandezas direta e inversamente

proporcionais para a introdução do conceito de função, explorando as variáveis

dependentes e independentes; e a análise de gráficos, a fim de desenvolver

competências e habilidades para a compreensão desses conceitos,

contextualizando a noção de função por meio de situações-problema, conforme

aponta a Figura 5.

No CAM, encontramos, inicialmente, execícios que relacionam pares de

grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de tabelas e

situações-problema. Por exemplo, na Figura 6 apontamos um problema que

envolve proporcionalidade.

Figura 6: Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 1, da seção “Lição de Casa”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.7

Observamos que essa atividade pode ser resolvida por meio da

interpretação de que, a cada um segundo, a pedra cairá 4,9 metros, ou seja,

4,9 é a constante de proporcionalidade. A resolução também pode ser feita por

meio de manipulação simbólica, se o aluno optar por substituir, na expressão

algébrica, o número correspondente na variável, encontrando os valores

desconhecidos da distância e do tempo, respectivamente, nos itens (b) e (c).

Após essas atividade sobre cálculo da constante de proporcionalidade e

de classificação de grandezas direta ou inversamente proporcionais, começa a

62

introdução de “Gráficos de funções”, com o acréscimo da construção desses

gráficos, no plano cartesiano, num ambiente papel e lápis. Citamos, como

exemplo, a atividade da Figura 7, que reune os conceitos iniciais trabalhados

no CAM, tais como, preencher tabela, identificar a relação entre as grandezas

(direta ou inversamente proporcionais), dar a constante de proporcionalidade, e

construir o gráfico.

Figura 7: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção “Você Aprendeu?”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.8 e 9.

Há atividades que trazem, no enunciado do problema, a expressão

algébrica e convidam o aluno a responder questões que podem ser resolvidas

por meio da manipulação algébrica como, por exemplo, a apresentada na

Figura 8. Outras fornecem o gráfico e, por meio de interpretação e análise do

gráfico, os alunos podem responder as questões propostas como, por exemplo,

apresentado na Figura 9.

63

Figura 8: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção “Você Aprendeu?”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.10 e 11.

Figura 9: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 1, da seção “Lição de casa”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.12 e 13.

A Situação de Aprendizagem 2, cujo Tema é “Funções de 1º grau:

Significado, Gráficos, Crescimento, Decrescimento, Taxas”, traz o seguinte

quadro de orientações, apresentado na Figura 10.

Figura 10: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 2 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor – Matemática, 2009, volume 2, p.20.

A Situação de Aprendizagem 2 tem por objetivo o estudo de função

polinomial de 1º grau, incluindo suas características: coeficientes, crescimento,

decrescimento, gráfico, inequação e taxa de variação, a fim de desenvolver,

64

entre outras, a competência de expressar graficamente tal função como uma

relação entre duas grandezas.

Para tanto, o roteiro para aplicação sugere que o professor faça uma

explanação sobre as características já abordadas anteriormente na Situação de

Aprendizagem 1, aprofundando a noção de proporcionalidade com a inserção

de taxa de variação, crescimento e decrescimento, por exemplo.

Neste texto do roteiro, é sugerido que o professor explique a expressão

da função de 1º grau (f(x)=ax+b), com a diferente de zero ( ); que o gráfico

dessa função é uma reta; função constante para a = 0; inclinação da reta,

definindo o coeficiente a como a variação de f(x) a cada unidade de x; a função

é crescente para valores de a positivos; e a função é decrescente para valores

de a negativos.

A Situação de Aprendizagem 2 é composta por nove atividades, sendo

que três delas têm como intuito enfatizar o cálculo para a determinação dos

valores dos coeficientes da função f(x) = ax + b, analisando o comportamento

do gráfico de acordo com a variação do coeficiente a, apresentados na Figura

11 e na Figura 12.

Duas atividades são destinadas para expressar a lei algébrica de uma

função por meio de situações-problema e/ou gráficos. Uma trabalha com a

noção de taxa de variação; outra fornece a função para substituição de valores

na variável independente para calcular a variável dependente; e duas são de

inequação.

65

Figura 11: Atividade 1 da Situação de Aprendizagem 2, da seção “Você Aprendeu?” Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.15

Figura 12: Atividade 4 da Situação de Aprendizagem 2, da seção “Você Aprendeu?”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.18

Para o estudo de taxa de variação é apresentado uma atividade que

retrata o gráfico de uma situação em que o aluno é convidado a resolvê-la por

meio da razão entre a diferença de dois valores do eixo y e dois valores do eixo

x. A Figura 13 apresenta a atividade do CAM que aborda o estudo do conteúdo

de taxa de variação.

Figura 13: Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 2, da seção “Lição de Casa”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.25

A Situação de Aprendizagem 3: “Funções de 2º grau: significado,

gráficos, intersecções com os eixos, vértices, sinais”, propõe atividades para a

66

compreensão de que a função do tipo f(x) = ax2 expressa uma grandeza

diretamente proporcional ao quadrado de outra.

No quadro de orientações, há uma síntese do que se espera com a

aplicação das atividades dessa Situação de Aprendizagem (Figura 14).

Figura 14: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 3 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor – Matemática, 2009, volume 2, p. 28.

As atividades iniciais fornecem a expressão algébrica de diversas

funções quadráticas, na forma f(x) = ax2, para os alunos construírem o gráfico

de cada uma, num mesmo sistema de eixos coordenados, objetivando que eles

percebam a abertura da concavidade da parábola de acordo com a variação do

coeficiente a e a identificação da posição da concavidade da parábola, voltada

para cima ou para baixo, associado ao sinal de a (positivo ou negativo).

As atividades seguintes apresentam um quadro com texto explicativo

sobre a forma canônica da função polinomial do 2º grau em três momentos, a

começar por , para o estudo do deslocamento vertical da

parábola; num segundo momento, , para o estudo do

deslocamento horizontal; e, finalmente , enfatizando os

deslocamentos horizontais e/ou verticais da parábola, bem como, a

determinação do vértice em cada um dos momentos. O objetivo é que o aluno

compreenda o “papel” de cada coeficiente (a, h, v) acrescido na expressão

algébrica.

Para tanto, o procedimento era o mesmo em todas as atividades, ou

seja, era fornecida a lei algébrica de diversas funções de 2º grau para serem

67

construídas num único plano cartesiano, num ambiente papel e lápis. Eis um

exemplo de uma das construções apresentadas para os alunos no CAM

(Figura 15).

Figura 15: Exemplos de Deslocamentos verticais e/ou horizontais: . Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.34.

Também apresenta-se a forma geral da função de 2º grau

, com a, b e c números constantes, e em algumas atividades, com

intuito de explorar eixo de simetria, valor máximo ou valor mínimo e

determinação das raízes.

A Situação de Aprendizagem 4, intitulada “Problemas envolvendo

Funções de 2º grau em múltiplos contextos: Problemas de Máximos e Mínimos”

traz a apresentação dos conteúdos, competências e habilidades a serem

desenvolvidas por meio das atividades propostas, apresentada na Figura 16.

68


Esta Situação de Aprendizagem é composta por seis atividades, cuja

resolução se encontra no CPM e mais dois problemas que estão apenas no

CAM. O objetivo é aprofundar e contextualizar os conceitos trabalhados nas

Situações de Aprendizagem anteriores como, por exemplo, encontrar a

expressão algébrica de uma função apresentada por meio de gráfico ou de

uma situação problema; explorar a noção de valor máximo ou mínimo;

encontrar o valor da variável dependente substituindo o valor na variável

independente na lei da função dada no enunciado do problema.

Apresentamos na Figura 17 um exemplo de problema presente no CAM,

que foi escolhido para o nosso estudo.

Figura 17: Atividade 3 da Situação de Aprendizagem 4, da seção “Você Aprendeu?”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática, 2009, volume 2, p.49.

69

Finalizamos nossa análise dos Cadernos volume 2, salientando que não

foi sugerida a resolução de qualquer das Situações de Aprendizagem num

ambiente diferente de papel e lápis. Em momento algum foi feita menção ao

uso de software como auxiliador no processo de estudo de funções polinomiais

de 1º e 2º graus, nem mesmo na sessão “Recursos para ampliar a perspectiva

do professor e do aluno para a compreensão do tema”, presente no CPM

(2009c, p.59). Nesta sessão, apenas foram sugeridos o “Material sobre funções

(PEC)" elaborado pela SEE/CENP (2001) e a “Proposta Curricular para o

ensino de Matemática: 2º grau”, proposto pela SEE/CENP (1992).

Por esse motivo, entendemos ser relevante a nossa pesquisa, cujo

objetivo é integrar tais atividades ao uso de softwares educacionais, visando o

domínio de um conceito matemático, além do desenvolvimento de

competências necessárias para a conquista da autonomia.

3.3.2. ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS CADERNOS VOLUME 3

Faremos uma análise similar à apresentada anteriormente, sobre os

Cadernos do Professor e do Aluno, volume 3, enfatizando os aspectos mais

relevantes.

O Roteiro para aplicação das Situações de Aprendizagem 1, intituladas

como “As Potências e o Crescimento/Decrescimento Exponencial: a Função

Exponencial”, faz uma sugestão para que o professor retome as ideias sobre o

conteúdo de Potenciação, com ênfase aos expoentes inteiros e racionais, para,

então, introduzir o estudo de função exponencial, pois é imprescindível que o

aluno compreenda que algumas potências não são calculáveis, considerando o

conjunto dos números reais, como, por exemplo,

que, ao ser resolvida

aplicando a propriedade das potências, se transforma na raiz quadrada de

menos dezesseis e, então, que não existe um número real que elevado ao

quadrado resulte em outro que seja negativo.

A Figura 18 ilustra as diretrizes para essa Situação de Aprendizagem 1.

70


Os exercícios propostos nessa situação objetivam explorar a noção de

crescimento não linear, ou seja, para cada unidade acrescida no expoente, o

resultado final da potência fica multiplicado pelo valor da base dessa potência.

Para trabalhar essa ideia, no CAM é apresentado um exemplo com uma

situação que contém um texto e uma tabela, ilustrada na Figura 19, para o

aluno observar o crescimento da Produção P (em toneladas), anualmente,

relacionando as respectivas potências. Após a leitura deste quadro, o aluno é

convidado a responder algumas questões envolvendo resolução de potências

com expoentes racionais e esboçar o gráfico numa malha quadriculada

oferecida no CAM, ou seja, para serem resolvidas no ambiente papel e lápis.

71

Figura 19: Atividade 1 e 2 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática. Volume 3. 2009. p.3 - 5.

Em geral, os exercícios trazem diversas funções para serem construídas

numa mesma malha quadriculada, disponível no CAM, para os alunos

observarem o comportamento de cada curva, a fim de chegarem à dedução e

discussão sobre as características de cada uma delas para ser uma função

crescente ou decrescente. Após essas atividades, há um quadro intitulado

como “Quadro-resumo” apresentado na Figura 20, no qual há uma síntese para

uma melhor compreensão do conteúdo exposto até aquele momento.

72

Figura 20: Quadro Resumo da Situação de Aprendizagem 1 da seção “Você Aprendeu?” Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática. Volume 3. 2009. p.8.

Em seguida, há um campo destinado à “Pesquisa Individual” em que

sugere, ao aluno, a utilização de um software livre “Graphmatica ou Winplot”

para a construção de algumas funções exponenciais, apontadas no texto. Faz,

ainda, uma menção para que, se possível, ele utilize o laboratório de

informática da escola, porém, não explica como deve proceder para a

execução dessa tarefa, tampouco, remete-se ao professor essa função de

explicar os conceitos e os objetos envolvidos por meio do recurso tecnológico.

Independentemente do tipo de ambiente a ser trabalhado, percebemos a

preocupação presente nessas atividades, em revelar para o aluno, as

diferenças entre os gráficos, causadas pelo valor da base a da função

como, por exemplo, o gráfico das funções mencionadas abaixo, na Figura 21,

para a classificação em função crescente e decrescente.

Figura 21: Quadro Resumo da Situação de Aprendizagem 1 da seção “Pesquisa Individual”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática. Volume 3. 2009. p.11.

73

Finalizando a Situação de Aprendizagem 1, aparece um problema, cuja

resolução envolve raciocínios sobre função exponencial, uma vez que as

expressões algébricas são do tipo , com p e k são

constantes reais, a fim de contextualizar e consolidar o estudo de potências,

além de familiarizar os alunos com os gráficos das respectivas funções

exponenciais e formalizar o conceito, definindo a condição de existência.

Dado o término da Situação de Aprendizagem 1, é de suma importância

que o aluno saiba deliberar a condição de existência da função exponencial

f(x) = ax, sendo , ou seja, a base deve ser sempre um número

positivo, pois, caso contrário, poderíamos ter situações que não existiriam

soluções pertencentes ao conjunto dos números reais como, por exemplo, se a

base a = −16 e x =

, teríamos a função f(x) =

, e para resolvê-la

aplicando a propriedade das potências, requer a extração de uma raiz quarta

de (– 16), e isso não é possível porque não há um número real que elevado à

quarta potência dê uma imagem negativa. A base, também, não pode ser zero

porque, se fosse, teríamos e, de acordo com a propriedade das

potências, quando x=0, ficaria que é indeterminado; para qualquer outro

valor de x resultaria em uma imagem zero, desenhando a função constante no

plano cartesiano. Ainda, a base tem que ser diferente de 1, porque sabemos

que 1 elevado a qualquer número resulta nele mesmo. Dessa forma, teríamos

o conjunto unitário {1} como imagem da função, logo, ela não poderia ser

classificada como uma função exponencial. Espera-se ainda, que os alunos

reconheçam uma função crescente quando a>1 e decrescente quando 0<a<1.

Além disso, analisando as atividades, percebemos a preocupação em

explorar a variação do gráfico de acordo com os coeficientes na função

, com p e k constantes reais como apresentado na

Figura 22. As atividades propunham, sempre, a construção do gráfico de duas

funções num mesmo plano cartesiano, para que os alunos observassem as

modificações em relação ao ponto de intersecção com eixo y, crescimento e/ou

decrescimento da curva, a imagem do gráfico, entre outros. Levando em

consideração esses aspectos, adaptamos uma atividade para o estudo dessas

74

características modificáveis na função, de acordo com a variação dos

coeficientes, que serão descritas no Capítulo 5.

Figura 22: Atividade 3 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor – Matemática. Volume 3. 2009. p.17.

A Situação de Aprendizagem 2: “Quando o Expoente é a Questão, o

Logaritmo é a Solução: a Força da Ideia de Logaritmo”, objetiva uma ampliação

do estudo de função exponencial, uma vez que os alunos devem compreender

os logaritmos como expoentes, para representar números muito grandes ou,

então, muito pequenos. Além disso, aborda propriedades dos logaritmos,

incluindo a mudança de base, bem como, a aplicação deles em diferentes

contextos. É o que podemos conferir na Figura 23.

Figura 23: Diretrizes para Situação de Aprendizagem 2 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Professor – Matemática, 2009, volume 3, p.19.

75

O CAM apresenta para os alunos uma parte do contexto histórico do

surgimento dos logaritmos; a tabela ou tábua de logaritmos; propriedades

fundamentais e mudança de base de logaritmos.

Os alunos são convidados a resolver atividades que envolvem

logaritmos em qualquer base, em bases decimais e aqueles sobre mudança de

base. Além disso, há exercícios para aplicação de propriedades apresentadas

e, ainda, aplicação dessas propriedades para resolução de logaritmos em

diferentes contextos como, por exemplo, nas situações ilustradas abaixo, na

Figura 24 e na Figura 25. Esses problemas foram escolhidos para serem

adaptados, compondo nosso instrumento de coleta de dados.

Figura 24: Atividade1 da Situação de Aprendizagem 2 da seção “Lição de Casa”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática. Volume 3. 2009. p.23.

Figura 25:Atividade 2 da Situação de Aprendizagem 2 da seção “Lição de Casa”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática. Volume 3. 2009. p.24.

Notamos que a atividade apresentada na Figura 25, sobre o conteúdo de

logaritmos, não requer propriedades logarítmicas em sua resolução, uma vez

que o enunciado do exercício fornece o valor aproximado de .

76

Ainda, há problemas que abordam logaritmos em contextos de cálculo

do pH de líquidos, escala de intensidade dos terremotos ou intensidade sonora,

entre outros.

A Situação de Aprendizagem 3, intitulada como “As Funções com

Variável no Expoente: a Exponencial e sua Inversa, a Logarítmica”, objetiva

apresentar a função logarítmica como sendo a função inversa da exponencial.

Na Figura 26, resumem-se os conteúdos e temas, competências e habilidades

e as estratégias propostas para o desenvolvimento da Situação de

Aprendizagem 3.


No CAM é apresentado um texto para leitura, sintetizando os conceitos

mais relevantes já estudados nas Situações de Aprendizagem anteriores como,

por exemplo, a condição de existência da função exponencial, quando a função

é crescente e/ou decrescente e o gráfico. Acrescenta a função logarítmica

fazendo um paralelo com a função exponencial quanto aos nomes das

variáveis e, então, define a função logarítmica por e apresenta os

gráficos das funções, exponencial e logarítmica, num mesmo plano cartesiano

analisando a condição para crescimento e/ou decrescimento delas, como

podemos observar na Figura 27.

77

Figura 27: Texto para leitura e análise da Situação de Aprendizagem 3 Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática. Volume 3. 2009. p.36.

Após o texto, sugere duas atividades com pares de funções f(x) e g(x)

para explorar a ideia de funções inversas. Posteriormente, faz uma referência

para o aluno utilizar os softwares Graphmatica ou o Winplot para construir tais

gráficos e analisar as relações existentes entre eles. Porém, não há explicação

de como trabalhar e nem as soluções esperadas. Então, ilustra por meio de um

desenho a relação existente entre as funções exponencial e logarítmica,

quando traçada uma reta que é a bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja,

afirma que cada ponto de um gráfico tem um simétrico a ele em relação à reta

traçada. Assim, conclui que as funções exponencial e logarítmica são inversas

uma da outra. É o que podemos observar na Figura 28.

Figura 28: Atividade da Situação de Aprendizagem 3 da seção “Pesquisa Individual”. Fonte: SÃO PAULO, Caderno do Aluno – Matemática. Volume 3. 2009. p.38.

78

Ao término desse texto, convida os alunos a construírem o gráfico das

funções f(x) = 10x e g(x) = log x, numa mesma malha quadriculada disponível

no CAM, ou seja, num ambiente papel e lápis. Neste mesmo ambiente, são

resolvidas as próximas atividades que envolvem a determinação de pontos

sobre esses gráficos de modo que leve o aluno a pensar em figuras

geométricas como, por exemplo, um quadrilátero e um trapézio isósceles;

determinação de funções crescentes e/ou decrescentes; e a diferença dos

padrões de crescimento/decrescimento entre essas duas funções.

Na última Situação de Aprendizagem, intitulada “As Múltiplas faces das

Potências e dos Logaritmos: Problemas envolvendo equações e inequações

em diferentes contextos” faz uma abordagem com aplicação dos

conhecimentos produzidos, a fim de aprimorar as competências e as

habilidades desenvolvidas até o momento do estudo, por meio de situações

que envolvem fenômenos naturais e conhecidos. Citamos, como exemplo,

questões que envolvem o tabuleiro de xadrez; em uma dobradura de papel em

x vezes, qual seria a espessura do papel?; comparar essa espessura com a

distância da Terra à Lua e da Terra ao Sol; calcular os juros de um Capital

aplicado; entre outros. Observe a panorâmica para essa Situação de

Aprendizagem, na Figura 29.


Esta Situação de Aprendizagem 4 finaliza com a aplicação dos conceitos

apreendidos durante o estudo do CAM, volume 3, explorando o cálculo e a

estimativa de números muito grandes ou muito pequenos como, por exemplo,

nas últimas atividades, um problema aborda uma escala logarítmica, criada por

Pogson, em que trabalha com expoentes do tipo (2,5)–5 para representar o

79

brilho das estrelas, criada por Hiparco (150 a. C.). Outra atividade aborda

estimativa da idade de fósseis por meio da expressão algébrica:

, dado o valor do logaritmo decimal 2.

Ballejo (2009) afirma que, nos três livros didáticos analisados, que foram

aprovados pelo MEC (Ministério da Educação), não há um estudo diferenciado

de função ou atividades que possam ser resolvidas com auxílio do computador,

como já ocorrem em livros adotados pelas escolas dos Estados Unidos.

Percebemos por meio dessa análise do CAM (volumes 2 e 3), que,

diferentemente daqueles livros, a nova Proposta Curricular de São Paulo traz

algumas sugestões de atividades que trabalham com exercícios e com

resolução de problemas contextualizados; e alguns para serem realizados em

um ambiente informatizado, porém, notamos que ainda são poucos exercícios

que requerem essa ferramenta tecnológica em sua resolução. Vale destacar

que o CAM traz algumas sugestões para o uso do software, isto é, não traz

atividades explicitadas para o uso do software, seguidas de explicações, no

“corpo” do Caderno.

Outra análise de livros didáticos feita por Karrer (1999) revelou que, na

maioria deles, além de não trazer uma abordagem de logaritmo com problemas

contextualizados e exercícios de estimativa, o conceito de logaritmo é

introduzido por meio de uma definição de função como sendo a inversa da

exponencial. Já na Proposta Curricular de São Paulo, percebemos a presença

desse tipo de exercícios, como, por exemplo, aqueles que descrevemos na

análise da Situação de Aprendizagem 4, do CAM (vol. 3), sobre estimativa da

idade de fósseis.

No próximo capítulo, apresentamos os procedimentos metodológicos,

descrevendo a metodologia, o software utilizado, caracterizando os sujeitos da

pesquisa, o ambiente criado e a descrição das adaptações das atividades que

compuseram nosso instrumento de coleta de dados.

80

CAPÍTULO 4:

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Nesse capítulo, apresentamos a metodologia utilizada, o software

GeoGebra, os sujeitos da pesquisa, caracterização do ambiente utilizado para

a realização das atividades adaptadas que compõem nosso instrumento de

coleta de dados, bem como, as justificativas para as respectivas escolhas, e as

características pertinentes aos Três Mundos da Matemática que estão

presentes nas atividades.

4.1. A METODOLOGIA: DESIGN EXPERIMENT

O Design Experiment é uma metodologia que teve sua origem,

aproximadamente, em 1970, nos Estados Unidos, devido à existência de

lacunas entre as práticas da pesquisa e do ensino; e, também, da inexistência

de um modelo específico da Educação Matemática, sendo aplicados modelos

de outras áreas, por exemplo, a psicologia, para realizar análises dos

desenvolvimentos matemáticos.

Proposta por Cobb et al. (2003) e aplicada como um modelo em

pesquisas na Educação Matemática, essa metodologia tem como objetivo

principal analisar processos de aprendizagem de domínios matemáticos

específicos e a influência de um ambiente utilizado na aprendizagem desse

domínio matemático abordado.

Uma vez definido o objetivo da pesquisa, deve-se escolher uma entre as

diversas modalidades para realização de um Design Experiment, tais como,

com um grupo restrito de sujeitos, juntamente com o professor/pesquisador,

cujo objetivo seja desenvolver e estudar um domínio matemático, por meio de

um desenho de atividades que serão testadas e, se necessário, redesenhadas,

até que auxilie alunos a se apropriarem do conceito envolvido; analogamente

81

para classes numerosas; com estudo voltado à formação de futuros

professores; ou, ainda, estudos voltados para análise dos fatores que podem

influenciar no âmbito escolar, provocando uma reestruturação na organização

escolar.

Salientamos que, independente do tipo escolhido, cabe ao professor que

pode ser, também, o pesquisador “... criar meios de interação que possam

encorajar os estudantes a modificar seus pensamentos atuais” (KARRER,

2006, p.202), por meio de situações inovadoras. Além disso, os “atores” do

experimento (professor, pesquisador e o sujeito) tem seus respectivos papéis

definidos como colaboradores no processo. Chamamos a atenção para o

aluno, que assume um papel mais ativo na construção do conhecimento.

Cobb et al. (2003) destacam algumas características relevantes do

design, a saber:

O desenvolvimento de uma classe de teorias que envolvem o

processo de aprendizagem, bem como, os meios que dão suporte

à aprendizagem. No caso do design com grupo restrito de

sujeitos, representa um modelo da compreensão deles em

relação a um domínio matemático específico;

O caráter de natureza intervencionista, uma vez que o objetivo do

design é propor formas de aprendizagem inovadoras, a fim de

promover melhorias no âmbito educacional;

Os aspectos prospectivo, relacionado à formulação de hipóteses

que serão testadas; e o reflexivo, relacionado à formulação de

conjecturas que serão levantadas e analisadas à luz do

referencial teórico escolhido e da revisão de literatura;

Os aspectos iterativo, cíclico e flexível complementam os dois

aspectos anteriores, uma vez que as conjecturas que foram

formuladas, caso sejam refutadas, podem ser reformuladas e

testadas novamente durante a realização do experimento,

alterando o desenho inicial com base nas produções dos sujeitos,

visando a inovação. Mesmo que, para isso, leve dias, semanas,

82

meses, pois, não há um período pré-estabelecido para a

realização do experimento.

O Design Experiment é uma metodologia utilizada para “desenvolver

teorias e, não apenas, para ajustar ‘o que funciona’” (COBB et al., 2003, p.9,

tradução nossa), uma vez que surgem da prática e estão relacionadas a um

domínio matemático específico. Sendo assim, se faz necessária uma busca na

literatura para identificar dificuldades, lacunas existentes, resultados

descobertos por meio das pesquisas sobre o objeto matemático que se

pretende estudar e o domínio específico esperado que o aluno desenvolva.

Além disso, deve ser feito um levantamento do conhecimento prévio que o

aluno possui sobre o conceito a ser apreendido, elencando os conhecimentos

esperados e não esperados. Pode-se fazer valer de pré-testes para realização

de tal levantamento, ou, ainda, podem ser realizados trabalhos considerados

como piloto, com o intuito de aperfeiçoar o experimento, por meio de análise

dos dados coletados na produção dos sujeitos.

Sobre essa coleta de dados, é importante que se faça o registro desses

dados, podendo ser, por exemplo, por meio de gravações de áudio e vídeo, de

apontamentos do observador, de protocolos gerados pelos sujeitos e, ainda,

pode ser feita uma entrevista direcionada para entender o raciocínio deles, que,

talvez, não tenham conseguido se expressar por intermédio da escrita. Assim,

quanto maior o número de elementos de coleta, mais “rica” em detalhes poderá

ser a análise.

Dessa forma, o pesquisador poderá analisar os dados de maneira

precisa, fazendo uma retrospectiva sobre tudo que ocorreu no ambiente criado

para aprendizagem, além de poder fazer as transcrições fidedígnas dos vídeos,

com as falas e pensamentos dos sujeitos, de maneira a enriquecer sua análise

e conclusão dos dados.

Segundo Cobb et al. (2003)

Um desafio central na condução de análises retrospectivas é trabalhar sistematicamente com os conjuntos de dados extensos e longitudinais gerados no decurso de uma experiência de design para que as reivindicações resultantes sejam confiáveis. Como parte deste processo, é importante explicitar os critérios e tipos de evidência usados ao fazer determinados tipos de inferências para que outros

83

pesquisadores possam compreender, monitorar, e criticar a análise

(COBB et al., 2003, p.13, tradução nossa8).

Consideramos, então, que a nossa pesquisa tem um caráter inovador,

pois objetivamos adaptar algumas atividades sobre função presentes no CAM,

volumes 2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, para o uso do software

GeoGebra, a fim de integrar a nova Proposta Curricular de São Paulo a um

ambiente computacional.

Ressaltamos que levamos em consideração, além das dificuldades

apontadas na Revisão de Literatura, as concepções prévias dos alunos que

foram levantadas durante a aula de familiarização com o software, descritas na

Etapa 1, no Capítulo 6 (p.141), de maneira que as atividades adaptadas

possam contemplar a maioria, ou a totalidade, dessas dificuldades

apresentadas por alunos do Ensino Médio.

Dado o objetivo do trabalho, faremos as reformulações das questões,

quando for necessário, aplicando novamente as atividades até que os alunos

apreendam o conceito do domínio específico alvo do estudo. Identificamos o

caráter iterativo, cíclico e flexível que enquadram essa metodologia em nossa

pesquisa.

No nosso caso, o ambiente utilizado para o desenvolvimento das

atividades foi composto pelo uso do software, os alunos dispostos em duplas, e

a não intervenção do professor/pesquisador ou da observadora durante a

aplicação das atividades adaptadas.

Apesar de a metodologia adotada prever certas intervenções do

professor/pesquisador durante a execução do experimento, tais como a

formulação de novos questionamentos e discussões com os sujeitos, optamos

por realizar poucas interferências deste tipo, uma vez que o objetivo principal

do estudo consistiu em investigar a possibilidade de adaptação de atividades

sobre as funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica do

8 “A central challenge in conducting retrospective analyses is to work systematically through the

extensive, longitudinal data sets generated in the course of a design experiment so that the resulting claims are trustworthy. As part of this process, it is important to be explicit about the criteria and types of evidence used when making particular types of inferences so that other researchers can understand, monitor, and critique the analysis.”

84

CAM ao ambiente computacional. Por este motivo, visando investigar se a

adaptação realizada seria compreendida pelos alunos, as intervenções do

professor/pesquisador ficaram voltadas principalmente ao redesign das

atividades, nos casos em que as reformulações se mostraram necessárias.

Além disso, trabalharemos com um grupo restrito de alunos, um

observador, que é o professor da turma, e o pesquisador. Os registros

produzidos para análise serão os protocolos dos sujeitos, as gravações de

vídeo (captura de telas) e, se necessário for, entrevistas para esclarecimentos

dos procedimentos realizados por eles, na interpretação e realização das

atividades.

Esses registros possibilitarão fazer uma retrospectiva para a análise fiel

dos dados coletados à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática,

em que buscaremos características desses mundos que evidenciem a

aprendizagem do domínio matemático envolvido na questão, comprovando que

alunos conseguiram, ou não, converter informações em conhecimento, e o

quanto essa transição pôde, ou não, ser favorecida com o uso de um ambiente

computacional.

4.2. O SOFTWARE GEOGEBRA

O GeoGebra é uma combinação de geometria com álgebra, foi criado

por Markus Hohenwarter, em 2001, na Universitat Salzburg e continua em

desenvolvimento na Florida Atlantic University. Nessa pesquisa, utilizamos o

software na versão 4.0 que foi lançada em outubro de 2011.

No site9 oficial do software, encontramos várias plataformas, uma

comunidade e um fórum para plantão de dúvidas, disponível em diversos

idiomas. Além disso, há exemplos de atividades para todos os níveis de ensino

cujos conteúdos englobam geometria, álgebra, estatística, gráficos e cálculo.

9 www.geogebra.org

85

O GeoGebra pode ser utilizado como recurso auxiliador no estudo dos

conteúdos matemáticos dos Ensinos Fundamental e Médio, por oferecer uma

interface amigável, que conversa com o usuário de maneira fácil e prática, por

meio de comandos disponíveis no software como, por exemplo, os seletores,

que ao serem manipulados, permitem que se faça diversas simulações da

representação gráfica de funções de maneira rápida e dinâmica, explorando

características visuais, articulando a escrita algébrica e a representação gráfica

como características fundamentais para a apreensão do conceito, no nosso

caso, de função.

Considerando o nosso objetivo de adaptar atividades do CAM para o uso

de um software, escolhemos o GeoGebra por ele ser um software livre, de fácil

manuseio e que proporciona ao aluno a visualização simultânea das

representações algébrica e gráfica de um mesmo objeto, alvo do estudo.

Além disso, ele se mostra compatível com o quadro teórico adotado,

uma vez que permite a articulação entre os Três Mundos da Matemática por

meio da “Janela de Visualização”, “Janela de Álgebra” e da manipulação dos

seletores. Por exemplo, na “Janela de Visualização”, quando o aluno manipula

os seletores e observa as modificações sofridas no gráfico, trabalha com

características corporificadas. Quando manipula os seletores e analisa as

modificações ocorridas na expressão algébrica, na “Janela de Álgebra”,

trabalha com características simbólicas. Quando o aluno assimila a relação

existente entre as duas “janelas”, ou seja, manipula os seletores, observa as

variações ocorridas no gráfico e as relaciona com a expressão algébrica, dando

significado ao conceito envolvido, aplica características formais.

Apresentamos na Figura 30 a tela inicial do software. As demais telas,

com descrição dos menus e dos comandos básicos, se encontram no Apêndice

A (p.208), intitulado “Familiarização do software GeoGebra”.

86

Figura 30: Interface do software GeoGebra Fonte: Acervo Pessoal

Os comandos básicos, bem como, as potencialidades do software foram

explicados aos alunos em uma pré-aula preparatória, que antecedeu a

aplicação do experimento, cujo objetivo era de familiarizá-los com o software e,

ainda, fazer um levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos.

Essa pré-aula foi denominada por nós como sendo a primeira sessão e

foi relatada no Capítulo 6. A primeira sessão teve duração de três horas e

meia, e foi realizada no laboratório de informática da escola, que dispõe de

vinte computadores.

4.3. O DELINEAMENTO DA PESQUISA

Nossa pesquisa foi realizada em uma escola da rede pública da cidade

de São Bernardo do Campo, no Estado de São Paulo. Inicialmente, explicamos

para os sujeitos a finalidade do projeto, bem como, os objetivos e entregamos,

em seguida, o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, apresentado no

Apêndice B (p. 217), e o Termo de Concessão do uso de Imagens,

87

apresentado no Apêndice C (p.220), para que colhessem assinaturas de seus

responsáveis, uma vez que todos os sujeitos são menores de 18 anos.

De uma classe da primeira série do Ensino Médio, no período da manhã,

composta por trinta e sete alunos, participaram da pesquisa seis sujeitos

voluntários agrupados em duplas, pelo motivo de ser feita, nesta série, a

abordagem do conteúdo de função de maneira mais detalhada e abrangente,

isto é, com as definições apresentadas de maneira formal como, por exemplo,

as definições de funções polinomiais de 1º e 2º graus, se estendendo para o

estudo das funções exponencial e logarítmica; a classificação das funções em

crescente ou decrescente; a formalização da relação entre os parâmetros e o

gráfico; entre outros.

Adaptamos as atividades do CAM da primeira série do Ensino Médio,

volumes 2 e 3, para serem exploradas utilizando como recurso o software

GeoGebra, com intuito de auxiliar os alunos na apreensão do conceito de

função, pois Ardenghi (2008) sugeriu que se façam sequências de ensino que

utilize, de preferência, a informática como ferramenta facilitadora no estudo de

função, para que o aluno tenha uma participação ativa na construção do

conhecimento. Baseado na metodologia do Design, conjecturas foram

formuladas e testadas e, quando refutadas, foram reformuladas e novamente

aplicadas.

Para a adaptação das atividades, levamos em consideração as

concepções prévias dos alunos sobre função, cuja análise foi sugerida por

Ardenghi (2008), que foram levantadas na primeira sessão e descritas nesse

trabalho, no Capítulo 6, além de algumas das dificuldades apontadas por

autores na nossa Revisão de Literatura e dos objetivos propostos no CPM, de

acordo com o que se propõe no design.

Para a realização desse experimento, num primeiro momento,

estipulamos sete encontros semanais, com duração de duas horas cada, que

foram realizados fora do horário regular de aula desses alunos, no laboratório

de informática da escola, composto por vinte computadores. Como se fizeram

necessários alguns redesigns e entrevistas para esclarecimento das dúvidas,

totalizaram treze encontros.

88

Utilizamos como registros os protocolos das duplas, os vídeos gravados

dos encontros, as gravações das entrevistas que se fizeram necessárias e as

anotações feitas pelo observador, a fim de enriquecer a análise dos dados.

Considerando que os alunos ainda não tinham o conhecimento de

funções exponencial e logarítmica, nem do software, iniciamos nosso

experimento aplicando atividades adaptadas sobre funções polinomiais de 1º e

2º graus, por serem estas as funções mais conhecidas por eles, quando

estudadas por meio de uma breve noção no Ensino Fundamental.

Porém, para análise dos nossos dados, utilizamos apenas as atividades

adaptadas de funções exponencial e logarítmica, por estas funções não serem

tão abordadas nas dissertações e teses quanto as funções polinomiais de 1º e

2º graus, na área de Educação Matemática, segundo os resultados da Revisão

de Literatura.

Analisamos os dados produzidos pelas duplas à luz do quadro teórico

dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), buscando evidências sobre o

uso de características dos Mundos da Matemática, para avaliarmos se houve

ou não aprendizagem do domínio matemático, alvo do estudo, e, por

conseguinte, respondermos nossas questões de pesquisa.

A seguir, apresentamos as adaptações realizadas nas atividades,

seguidas das justificativas, objetivos, conjecturas esperadas por alunos, e as

características dos Três Mundos da Matemática presentes em cada situação.

89

CAPÍTULO 5:

APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS

ATIVIDADES

Primeiramente, neste Capítulo, apresentamos nossas adaptações das

atividades do Caderno, volume 2, e posteriormente as adaptações do volume

3. Descrevemos as resoluções esperadas pelos alunos, bem como, as

características presentes em cada um dos Três Mundos da Matemática.

5.1. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES DO CADERNO

VOLUME 2

O CAM volume 2 se refere aos conteúdos de funções polinomiais de 1º

e 2º graus. Então, apresentamos os designs de um total de cinco atividades

adaptadas, a saber: a Atividade 1 referente a uma adaptação da função

polinomial de 1º grau; a Atividade 2 propõe o estudo da taxa de variação; a

Atividade 3 explora a função polinomial de 2º grau na forma canônica; a

Atividade 4 faz um estudo similar ao da Atividade 3, porém com a expressão

algébrica representada na forma geral; e a Atividade 5 aborda a interpretação

de dois problemas que envolvem a resolução de funções polinomiais de graus

1 e 2.

5.1.1. DESIGN DA ATIVIDADE 1

Nossa primeira atividade adaptada está baseada nos exercícios 1 (p.15),

4 (p.18) e 5 (p.19) do CAM, volume 2, sendo apresentada a seguir no Quadro 1

(p.91). Mantivemos as competências e habilidades a serem desenvolvidas,

citadas na Figura 10, (p. 63) bem como os objetivos propostos na Situação de

90

Aprendizagem 2, cujo foco é trabalhar os conceitos de função polinomial de 1º

grau, explorando a identificação dos coeficientes m e n na função

; crescimento e decrescimento da função; e análise da variação do gráfico de

acordo com o valor do coeficiente angular.

Ressaltamos que, em nossa atividade, o coeficiente angular foi

representado por a e o linear por b, ao invés de m e n, respectivamente,

presentes em algumas atividades do CAM, pelo motivo de construírmos dois

seletores no GeoGebra, nomeados como a e b.

Por ser mais conveniente e de leitura mais fácil, apresentaremos

primeiro a figura que ilustra a tela do software, quando os alunos abrem o

arquivo do GeoGebra; posteriomente o quadro que contém as questões de

cada atividade adaptada do CAM, seguido da análise preliminar.

A Figura 31 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente à

Atividade 1 adaptada para o uso do software.

Figura 31: Interface do GeoGebra da Atividade 1 Fonte: Acervo pessoal

91

Abra o arquivo da atividade 1, no GeoGebra e responda as questões:

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o

seletor a para a direita? E para a esquerda?

b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o

seletor b para a direita? E para a esquerda?

c) O que podemos concluir sobre os seletores a e b em relação à função

polinomial de 1º grau f(x) = ax + b?

d) Quando colocamos o seletor a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse

gráfico representa uma função? Se sim, qual? Movimente o seletor b para se

certificar de sua resposta.

e) Considerando o valor de a>0, quando a reta estará “mais” ou “menos”

inclinada em relação ao eixo x? E quando a<0, o que acontece?

f) Com suas palavras, defina os coeficientes a e b.

g) Com suas palavras, defina os pontos C e D.

Quadro 1: Design da Atividade 1.

Nos itens (a) e (b), seguem orientações para o aluno movimentar os

seletores a e b e descrever a variação do gráfico. Esperamos que os alunos

relatem que, ao arrastar o seletor a para a direita, isto é, para valores maiores

que zero, a reta cruza os quadrantes ímpares e quanto maior é o valor

atribuído ao coeficiente a, mais “em pé” fica a reta, ou seja, o ângulo entre a

reta e o lado positivo do eixo x fica mais próximo de 90º, mas é menor que ele.

Ao arrastar o seletor a para a esquerda, a reta cruza os quadrantes pares, e

quanto menor for o valor atribuído ao coeficiente a, mais “deitada” fica a reta,

isto é, o ângulo entre a reta e o lado positivo do eixo x é maior que 90º. Já, a

mudança de valores do seletor b, tanto para a direita quanto para a esquerda,

faz com que a reta translade sobre o eixo y e o valor atribuído ao coeficiente b

é o valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y, ou seja, D

(0, b).

Nos itens (d) e (e), pretendemos que os alunos identifiquem os tipos de

função, a saber: função constante, função crescente e função decrescente.

Quando o coeficiente a assume valor zero, a reta torna-se paralela ao eixo x, e

intercepta o eixo y no valor escolhido para o coeficiente b. Essa função é

92

definida como função constante, independente do valor atribuído à variável x, o

valor da função é sempre o valor do coeficiente b. Quando a assume valor

positivo, quanto maior o seu valor, maior é o ângulo ou a inclinação que a reta

forma com a parte positiva do eixo x, caracterizando-se como função

crescente. Já quando a é negativo, quanto menor for esse valor, menor será o

ângulo formado entre a reta e a parte positiva do eixo x será maior que 90º,

sendo classificada como função decrescente.

Nesses quatro itens descritos, encontramos características do mundo

corporificado, uma vez que pretendemos que alunos observem a variação do

gráfico, de acordo com os valores atribuídos às variáveis, por meio da

manipulação do seletor e, assim, descrevam suas percepções, formulando

conjecturas.

Nos itens (c), (f) e (g), esperamos que os alunos relacionem o

coeficiente a com a inclinação da reta e com a classificação da função em

crescente e/ou decrescente; e o coeficiente b, como o valor cujo gráfico

intercepta o eixo y, ou o termo independente, e com a translação da reta.

Espera-se que ele observe que a abscissa do ponto C é a raiz da função, ou

seja, o ponto em que o gráfico intercepta o eixo x; e o ponto D é o ponto em

que o gráfico intercepta o eixo y.

Nos itens (c) até (g), encontramos características do mundo formal, pois

os alunos devem concluir o que observaram nos outros itens, formalizando o

conceito abordado como, por exemplo, de que o coeficiente a retrata a

inclinação da reta e o coeficiente b refere-se ao valor em que a reta intercepta

o eixo y, relacionando a expressão algébrica com o gráfico; e que quando a

assume valor zero, obtém-se uma função constante. Também devem

formalizar o conceito de raiz da função, identificando o ponto de coordenadas

(x,0); e ponto de intersecção entre o gráfico e o eixo y, cujas coordenadas do

ponto são (0,y), que é uma característica do mundo formal. Segundo a

concepção de Lima e Souza (2012), é formal porque, para representar as

coordenadas de um ponto graficamente, é preciso seguir regras formais

“ ” (LIMA; SOUZA, 2012, p.4).

93


No CAM, é apresentado um gráfico que retrata a produção brasileira de

petróleo em função de um determinado tempo, apresentado na Figura 13

(p.65). O objetivo da questão é calcular a taxa de crescimento aproximada da

produção média anual, em milhões de barris, no ano de 2006, realizando a

razão entre a variação da produção e a variação anual.

Em nossa adaptação, no primeiro momento, pretendemos que alunos

adquiram a noção de variação. Por esse motivo, elaboramos questões simples

para que, ao movimentar o seletor a, observem o comportamento do gráfico,

relacionando x com y. Então, introduzimos o conceito de taxa de variação. No

segundo momento, como redesign, poderíamos inserir questões relacionadas à

produção brasileira de petróleo, uma vez que os alunos já teriam aprendido o

conceito de taxa de variação.

A Figura 32 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente à

Atividade 2, adaptada para o uso do software.


94


a) Observe a reta. Qual a variação do y quando x varia uma unidade?

b) Movimente o seletor a. Observe novamente, quando x varia uma unidade

quantas unidades variam no y?

c) Varie mais algumas vezes o valor do a e para cada valor que você parar

observe essa variação. E compare esta variação do x em relação ao y com a

lei da função. O que você percebe?

d) Se “andar” duas unidades no x quantas unidades “andará” no y?

Quadro 2: Design da Atividade 2

No item (a), ao abrir o arquivo da Atividade 2, os alunos encontrarão a

expressão algébrica f(x) = 1x + (0), ou f(x) = x, e os seletores a e b. Esperamos

que os alunos entendam que a cada unidade de x que varia, y varia de acordo

com a taxa de variação da função.

Nos itens (b) e (c), para exemplificar o que pretendemos que os alunos

concluam nesses itens, suponhamos que eles movimentem o seletor a para o

valor 2, obtendo a expressão algébrica f(x) = 2x + (0), ou f(x) = 2x. Esperamos

que alunos observem que quando x varia uma unidade, y varia duas unidades.

Quando x varia duas unidades, y varia quatro. Ou seja, a variação de y está

sendo o dobro da variação de x. Pretendemos que os alunos, por meio de suas

escolhas para valores de a, concluam que essa variação é representada por

meio do coeficiente que acompanha x, ou seja, esse coeficiente é a taxa de

variação.

No item (d), pretendemos que as duplas, cada uma de acordo com o

valor que escolheu para a, consiga identificar que dependerá do coeficiente do

x, ou seja, se a = 3 está visível na tela a função f(x) = 3x + (0). Se x variar duas

unidades, perceberá que y irá variar seis, isto é, o triplo da variação de x.

Assim, pretendemos que eles concluam que isso ocorre devido à taxa de

variação que é a razão entre a variação de y pela variação de x; e que este

valor fica acompanhado da variável x, na expressão algébrica.

Nos três primeiros itens, encontramos características do mundo

corporificado, pois alunos vão manipular os seletores, construindo mentalmente

95

a ideia do objeto matemático envolvido, que se refere à percepção do que

ocorre com o valor de y a cada variação de x. Os alunos vão descrever suas

conjecturas. Se, porventura, o aluno quiser substituir valores na expressão

algébrica e manipulá-la para testar suas hipóteses, usará características do

mundo simbólico.

No último item, como há um conceito implícito na questão para o aluno

refletir e, então, formalizar o conceito de taxa de variação, espera-se que o

aluno compreenda função como uma relação entre as variáveis, para conseguir

validar suas conjecturas e formalizar que a taxa de variação é a razão entre a

diferença entre yB e yA e a diferença entre xB e xA, dados dois pontos

pertencentes ao gráfico, A (xA, yA) e B (xB, yB). Feito isso, estará usando

características do mundo formal.


Na Atividade 3, faremos o estudo da função polinomial de 2º grau ou

função quadrática, na forma canônica.

Observamos, no CAM, a intenção de se trabalhar com a construção de

vários gráficos num mesmo sistema de eixos coordenados, para que os alunos

visualizem e discutam as diferenças relacionadas com os coeficientes da

função. Por esse motivo, adaptamos uma atividade que explora relações entre

os coeficientes a, m e n na função e o respectivo gráfico,

por meio da manipulação do seletor, que pode assumir valores positivos e

negativos, e promover a simulação de várias funções em um curto período de

tempo, permitindo, ao aluno, fazer conjecturas e testar a veracidade delas.

Iniciamos com o estudo da expressão algébrica na forma canônica e,

posteriormente, utilizamos praticamente a mesma abordagem com a expressão

algébrica na forma geral, isto é, . Mantivemos os mesmos

96

conteúdos, competências e habilidades mencionadas no quadro, presentes no

CPM, ilustrado na Figura 14 (p.66).

Vale ressaltar que, no CAM (p.34) a forma canônica da função f é

apresentada de duas maneiras: e ,

isto é, ora com a variável a e ora com a variável k. Em nossas atividades,

utilizamos a forma .

A Figura 33 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente a



A seguir descreveremos as resoluções esperadas para Atividade 3

apresentada no Quadro 3.


1) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume

valores positivos? E negativos?

97

2) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando m assume


3) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando n assume


4) O que podemos concluir sobre os valores de a, m, n em relação à função

polinomial de 2º grau f(x) = a(x-n)2+m?

5) Compare as duas expressões algébricas que aparecem na “janela de

álgebra” do GeoGebra e escreva o que você percebe.

6) Quando colocamos o valor a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse

gráfico representa uma função? Se sim, qual?

7) Considerando o valor de a>0, quando a concavidade da parábola estará

mais ou menos fechada? E quando a<0, o que acontece?

8) Com suas palavras, defina os coeficientes a, m, n.

9) Com suas palavras, defina os pontos A, B, C, D.


Nos itens (1), (2), (3) e (7), espera-se que o aluno observe que, quando

o coeficiente a assume valores positivos (a>0), a concavidade da parábola

estará voltada para cima, e que quanto maior for o valor de a, mais fechada

ficará a concavidade. Já para valores negativos (a<0), a concavidade da

parábola estará voltada para baixo, e que quanto menor for o valor atribuído

para a, a concavidade ficará mais fechada. Na expressão algébrica, esperamos

que os alunos observem que o coeficiente a acompanha x2. Para o coeficiente

m, esperamos que o aluno perceba que, ao escolher valores positivos, a

parábola se desloca verticalmente no sentido positivo do eixo y, interceptando-

o no valor atribuído ao m. Já para o coeficiente n, ao atribuir valores positivos,

a parábola se desloca horizontalmente sobre o eixo x, no sentido positivo do

eixo. Analogamente, ao atribuir valores negativos, a parábola se desloca

horizontalmente no sentido negativo do eixo.

Esses quatro itens têm características do mundo corporificado, uma vez

que pedimos descrições das percepções sobre o objeto em análise. Por meio

da manipulação dos seletores, os alunos podem construir mentalmente suas

conjecturas e anotá-las nas fichas do estudo.

98

Nos itens (4) e (8), é esperado que o aluno conclua que, em relação à

função polinomial de 2º grau, na forma canônica , o

coeficiente a está relacionado com a disposição da concavidade da parábola,

sendo ela para cima ou para baixo, dependendo do sinal positivo ou negativo

de a, bem como, abertura da parábola, sendo ela mais fechada ou não. O

coeficiente m está associado à translação vertical da parábola, sendo m a

quantidade de unidades que faz a parábola transladar para os sentidos positivo

ou negativo do eixo y. Já o coeficiente n está coligado à translação horizontal

da parábola, ou seja, é a quantidade de unidades que a parábola translada

para os sentidos positivo ou negativo do eixo x. Portanto, as coordenadas do

vértice da parábola podem ser obtidas a partir do ponto (n, m).

Exemplificamos com a expressão algébrica, presente na janela de

álgebra do GeoGebra, , cuja representação gráfica está

ilustrada na Figura 34. Observando a expressão algébrica, a parábola se

deslocou duas unidades, na vertical, para cima em relação ao eixo y; e três

unidades, na horizontal, para a direita, em relação ao eixo x. O vértice da

parábola é o ponto (3,2), o que podemos observar na Figura 34.

Figura 34: Exemplo de resolução da Atividade 3. Fonte: Acervo pessoal

99

Nesses dois itens, espera-se que o aluno formalize as conjecturas

levantadas nos itens do (1) ao (3), compreendendo o “papel” de cada

parâmetro, conforme o valor atribuído, positivo ou negativo. Ao assimilar a

forma canônica da função com os respectivos parâmetros a, m, n, conecta-se

ao mundo formal. Além disso, temos a determinação do vértice da parábola,

que é um ponto cujas coordenadas são (n, m), que também pertence ao mundo

formal.

No item (5), o aluno deve perceber que uma é a forma desenvolvida da

outra, ou seja, uma expressão algébrica está na forma canônica e a outra está

na forma geral, porém, as duas representam a mesma parábola. Podemos

dizer que as funções e , são

“proceitos que dão o mesmo efeito” (LIMA; SOUZA, 2012). Na tela do

GeoGebra, o aluno tem acesso às duas formas da representação algébrica da

função, porém deve ter essa compreensão que caracteriza-se no mundo

simbólico. Caso o aluno queira representar suas ações por meio da

substituição de valores nos coeficiente e desenvolver a equação para

comprovar que se trata da mesma função, continua usando características do

mundo simbólico.

No item (6), quando o coeficiente a assume valor zero, a parábola se

transforma em uma reta paralela ao eixo x, representando o gráfico da função

constante, considerando a função do tipo . Encontramos,

neste item, características dos mundos corporificado, no que se refere à

descrição do comportamento do gráfico, manipulando o seletor; e formal,

porque o aluno deve refletir sobre a função, compreendendo a relação entre as

variáveis x e f(x), ou seja, não importa o valor atribuído ao x (domínio), o valor

de f(x) (imagem) é sempre o mesmo. Por esse motivo, é definida como função

constante.

No item (9), espera-se que o aluno defina que o ponto A é o ponto de

intersecção da parábola com o eixo y. Os pontos B e C são os pontos de

intersecção com o eixo x ou ainda, que são as raízes ou zeros da função

quadrática. O ponto D é o vértice da parábola. Estão presentes nesse item

características do mundo formal, pois se espera que o aluno defina os pontos

notáveis da parábola: raízes ou zeros da função, vértice e pontos de

intersecção entre o gráfico e os eixos x e y.

100


Na Atividade 4, como dito anteriormente, ao invés de colocar várias

expressões algébricas para serem “plotadas” num mesmo plano cartesiano,

como especificadas no CAM, nós abordamos praticamente as mesmas

questões da Atividade 3 adaptada, porém com a expressão algébrica na forma

desenvolvida ou na forma geral , cujo objetivo é fazer o

estudo de várias funções por meio da manipulação dos seletores oferecidos

pelo software, realizando diversas simulações de maneira rápida, de modo que

o aluno possa levantar suas hipóteses, bem como, conjecturas e testá-las,

visando a construção do conhecimento sobre o conceito de função.

A Figura 35 apresenta a interface do GeoGebra do arquivo referente a



101




2) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume


3) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume


4) O que podemos concluir sobre os valores de a, b, c em relação à função

polinomial de 2º grau f(x) = ax2 + bx + c ?

5) Quando colocamos o valor de a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse





Ressaltamos que, ao abrir o arquivo da Atividade 4, o aluno vai

encontrar a expressão algébrica ou , com os seletores

indicando a = 1, b = 0 e c = 0.

Nos itens (1) e (3), esperamos que o aluno faça uma análise similar a

análise apresentada nos itens (1) e (2) da Atividade 3.

No item (2), espera-se que o aluno observe que, quando modificar o

valor do coeficiente b na função , o vértice percorre a

trajetória de uma parábola definida por .

Nesses três primeiros itens, identificamos características do mundo

corporificado, pois, por meio da manipulação dos seletores a, b e c, esperamos

que o aluno descreva as variações que ocorrem, respectivamente, no gráfico,

assimilando mentalmente características do objeto em estudo.

No item (4), esperamos que o aluno conclua que o coeficiente a está

relacionado com a disposição da concavidade da parábola, ou seja, para cima

ou para baixo, de acordo com o sinal (positivo ou negativo) do coeficiente; que

o coeficiente b está relacionado com a translação da parábola horizontalmente,

em relação ao eixo x; e que o coeficiente c está relacionado com a translação

102

da parábola, verticalmente, em relação ao eixo y, e ainda, que esse valor é o

mesmo em que o gráfico intercepta o eixo y. Assim, ao relacionar os

coeficientes com a expressão algébrica, dando sentido à função quadrática,

formalizando o conceito do domínio específico desse item, estará usando


No item (5), esperamos que o aluno responda que, quando o coeficiente

a assume valor zero, a parábola se transforma em uma reta, paralela ao eixo x,

representando o gráfico da função constante, quando b for igual a zero. Porém,

quando a assume valor zero e b assume valores diferente de zero, o gráfico se

transforma em uma reta crescente para b>0 e em uma reta decrescente

quando b<0, obtendo assim, uma função do 1º grau. Encontramos

características dos mundos corporificado, no que se refere à descrição do

comportamento do gráfico, manipulando o seletor; e formal, porque se espera

que o aluno reflita e assimile o tipo de função que se obtém atribuindo ao

coeficiente a o valor zero e para b, valores zero, positivos e negativos. Por

exemplo, quando a=0 e b=0, compreender a relação entre as variáveis x e f(x),

ou seja, não importa o valor atribuído ao x (domínio), o valor de f(x) (imagem) é

sempre o mesmo. Por esse motivo, é considerada como função constante.

No item (6), esperamos que alunos façam a mesma análise apresentada

no item (7) da Atividade 3.


Na Atividade 5, adaptamos situações com problemas, contemplando as

Situações de Aprendizagem 1 e 4, cujo objetivo é aprofundar e contextualizar

os conceitos trabalhados nas Situações de Aprendizagem anteriores como, por

exemplo, encontrar a expressão algébrica da função por meio de gráfico ou de

uma situação problema; explorar a noção de valor máximo ou mínimo;

encontrar o valor da variável dependente substituindo, na lei da função dada no

enunciado do problema, o valor na variável independente, a fim de auxiliar

alunos a superarem algumas das dificuldades apontadas na literatura.

103

Consideramos as competências e habilidades relacionadas nos quadros

presentes nas Situações de Aprendizagem 1 e 4, ilustrados na Figura 5 (p. 60)

e na Figura 16 (p. 68), respectivamente.

Adaptamos o Problema 3, do CAM (página 49), ilustrado na Figura 17

(p.68), com objetivo de aplicar função do 2º grau em diferentes contextos, para

resolver situações envolvendo otimizações, por meio de análises de valor

máximo ou mínimo; traduzir por meio de expressões algébricas a relação

existente entre uma grandeza direta com o quadrado de outra e, resolvê-las

interpretando os resultados encontrados.

No CAM, esse problema retrata a situação da construção de um muro de

36 metros, em volta de um terreno retangular, a partir de uma parede já

existente, trazendo a figura que ilustra a situação, logo abaixo do enunciado. É

composta por três itens, para serem resolvidos no próprio caderno, num

espaço destinado a cada item. No primeiro item, o aluno é convidado a

expressar a lei algébrica A da área do terreno em função de x. No segundo

item, construir o gráfico de A. No último, calcular a área máxima desse terreno,

bem como, suas respectivas dimensões.

Descreveremos, a seguir, nossas adaptações para esse problema,

lembrando que, ao abrir o arquivo do Problema 1, Atividade 5, no GeoGebra, o

aluno vai encontrar a reprodução do desenho do problema, presente no CAM,

apresentada na Figura 36, porém com o valor de 12 unidades de medida, por

ser mais conveniente para o aluno trabalhar no espaço disponível na interface

do software. Além disso, estão visíveis os eixos coordenados, x e y, e uma

barra vertical que contém um ponto P deslizante sobre ela, cuja finalidade será

descrita logo abaixo, no decorrer das questões.

104

Figura 36: Interface do GeoGebra da Atividade 5. Fonte: Acervo pessoal

A seguir, faremos a descrição do Problema 1, da Atividade 5, da nossa

pesquisa.

PROBLEMA 1

Deseja-se murar (cercar com muros) um terreno retangular utilizando-se

de uma parede já existente no terreno. Sabe-se que o comprimento do muro

correspondente aos outros três lados do terreno é 12 metros.

a) Abra o arquivo da atividade 5, movimente o ponto P e observe o que

acontece. Com a ferramenta do GeoGebra, meça os comprimentos dos

segmentos ON, NI e HI. Coloque também a área do retângulo.

b) Movimente novamente o ponto P e encontre a área máxima do retângulo.

Anote na linha abaixo essa área.

c) Quais as dimensões, comprimento e largura, do terreno para que a área

seja máxima?

105

d) Tomando o segmento HI como x, movimente o ponto P de forma que x

tenha as medidas indicadas na tabela e preencha o que se pede.

x Perímetro Área x Perímetro Área

0 3,7

1 4

1,5 4,5

2 5

2,3 5,6

3 6

e) Escreva a expressão algébrica que representa a área desse retângulo.

f) Construa o gráfico dessa função no GeoGebra. Você pode restringir o

domínio de acordo com a tabela.

g) Coloque um ponto sobre a parábola e movimente-o sobre a curva. Qual a

altura máxima que esse ponto atinge?

h) O que podemos concluir sobre esse ponto e a área máxima do retângulo?

Quadro 5: Design da Atividade 5 – Problema 1

No item (a), espera-se que o aluno perceba que, ao movimentar o ponto

P sobre a barra vertical que se encontra à direita, na interface do software, o

retângulo se altera, modificando as suas dimensões e, consequentemente a

sua área. Por esse motivo, foi pedido para que ele coloque, de maneira visível,

as dimensões dos segmentos que compõem os lados do retângulo (terreno) e

a medida da área. Dessa forma, o aluno pode visualizar e compreender melhor

a situação descrita no enunciado, bem como, nas questões ao pedir as

dimensões do terreno para que sua área seja máxima, como veremos no item

(c).

No item (b), é esperado que o aluno encontre em uma de suas

simulações, o valor 18 m2, visualizando que, quando a área vale 18 m2, as

dimensões do retângulo assumem os valores 3 m e 6 m, respondendo assim,

ao item (c).

No item (d), o aluno é convidado a fazer as simulações com os valores

pré-estabelecidos na tabela, preenchendo os campos vazios, sendo estes, o

perímetro e a área. O software disponibiliza estas ferramentas de modo que

ficam visíveis esses valores na interface, para o aluno anotar na tabela.

106

Nesses quatro primeiros itens, encontramos características do mundo

corporificado, pelo fato do aluno observar as modificações ocorridas na

situação criada na tela, por meio da manipulação do seletor, e descrever as

propriedades percebidas sobre o objeto que estejam sendo requeridas.

No item (e), esperamos que o aluno elabore a expressão algébrica para

o cálculo da área e construa o gráfico no GeoGebra, como

solicitado no item (f). Para isso, esperamos que ele compreenda a expressão

algébrica da área de um retângulo para, então, deduzir a expressão requerida

no exercício, por meio da interpretação do desenho construído na tela do

software, utilizando características do mundo simbólico.

No item (g), o aluno vai perceber, ao movimentar o ponto, que o valor

mais alto que ele atinge é 18 unidades de medida, podendo até querer

representá-lo por meio das coordenadas (3,18), representando o valor máximo

pela ordenada y. Esperamos, então, que ele responda que a altura máxima

atingida pelo ponto é de 18 unidades de medida, que é o mesmo valor da área

máxima do retângulo, obtido no item (b). Dessa forma, pretendemos que ele

conclua, no item (h), que o valor da área máxima é o mesmo valor da ordenada

y do vértice da parábola.

Nesse item, encontramos características do mundo corporificado,

quando o aluno observa e descreve o valor máximo que atinge o gráfico,

movimentando o seletor. Porém, encontramos raízes no mundo formal, quando

o aluno é convidado a concluir a relação existente entre valor máximo e a

ordenada do vértice da parábola, que é o objeto matemático implícito na

questão.

Adaptamos o problema 2, do CAM (página 7), ilustrado na Figura 6

(p.61), com o objetivo de relacionar grandezas direta e inversamente

proporcionais, para a introdução do conceito de função, explorando as

variáveis dependentes e independentes e análise de gráficos, a fim de

desenvolver competências e habilidades para a compreensão desses

conceitos, contextualizando a noção de função.

107

No CAM, observamos que, no enunciado do Problema 2 foi fornecida a

expressão algébrica para o aluno identificar a constante de proporcionalidade

no primeiro item. Nos dois próximos itens, o aluno podia fazer a substituição

dos valores dados, nas questões, na variável correspondente da expressão

algébrica, encontrando os valores desconhecidos da distância e do tempo.

Notamos que a resolução desse problema estava condicionada apenas ao

ambiente papel e lápis.

Optamos, então, em elaborar questões para que os alunos pudessem

refletir, a partir da construção de um gráfico, a fim de disponibilizar vários

caminhos, vários raciocínios, para que construam o conhecimento,

apreendendo o conceito do objeto de estudo da questão.

A seguir, descrevemos o Problema 2 da Atividade 5, adaptada do CAM.

PROBLEMA 2

Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a

resistência do ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em

queda é diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja,

d = kt2. Observando-se que, após 1 segundo de queda, a pedra caiu 4,9

metros, pergunta-se:

a) Qual é o valor da constante de proporcionalidade k?

b) Qual a expressão algébrica que descreve esse movimento?

c) Abra um arquivo no GeoGebra e construa o gráfico.

d) Coloque um ponto sobre a curva. Trace uma perpendicular, passando por

esse ponto, em relação ao eixo x e outra em relação ao eixo y.

e) Considerando o problema, como você interpreta o ponto zero no gráfico?

f) Qual é a distância vertical percorrida após 5 segundos?

g) Quanto tempo a pedra levará para cair 49 m?

Quadro 6: Design da Atividade 5 – Problema 2

No item (a), espera-se que o aluno resolva o problema por meio da

interpretação de que, a cada um segundo, a pedra cairá 4,9 metros, ou seja,

4,9 é a constante de proporcionalidade. A resolução também pode ser feita por

meio da manipulação simbólica, se o aluno optar por substituir, na expressão

108

algébrica, o número correspondente nas variáveis d = 4,9 e t = 1, encontrando

o valor desconhecido da constante de proporcionalidade (k = 4,9).

Nesse item, encontramos características dos mundos corporificado,

quando o aluno opta por resolver mentalmente a questão, refletindo e

deduzindo a resposta da questão; e simbólico, quando o aluno opta por

substituir os valores nas variáveis, encontrando a solução para a questão e,

além disso, está sendo utilizado um número decimal, que requer um raciocínio

mais sofisticado.

No item (b), espera-se que o aluno escreva a expressão algébrica

. Nesse item, identificamos característica do mundo simbólico, pois é

esperado que o aluno substituísse o valor da constante k encontrado no item

(a).

No item (c), pedimos para o aluno construir o gráfico no GeoGebra e o

item (d), para que ele construa retas auxiliares a fim de lhe assessorar na

análise do gráfico, para a resolução dos próximos itens.

No item (e), por ser uma questão “aberta”, em que o aluno deve expor

seu ponto de vista, esperamos que ele interprete que o ponto zero é o

momento em que a pedra é abandonada em queda livre, ou seja, a partir dele a

pedra cai 4,9m em 1 segundo; 19,6m em 2 segundos; e, assim, por diante.

Assim, (como respondido no item (a)), 4,9 é a constante de proporcionalidade,

considerando-se a distância percorrida pela pedra. Porém, o aluno pode dizer

que, por estar em queda livre, a constante deve levar o sinal negativo (−4,9),

isto é, a pedra vai perdendo altura, descrevendo um gráfico cuja concavidade

da parábola esteja voltada para baixo. Além disso, outra interpretação seria

expressar o raciocínio de que, a partir do zero, a pedra movimenta-se da

seguinte maneira: 4,9m em 1 segundo; 19,6m em 2 segundos; e, assim, por

diante; então, será considerado o valor absoluto da constante de

proporcionalidade (4,9), acarretando um desenho de uma parábola cuja

concavidade está voltada para cima. Esperamos, ainda, que alunos comentem

que o gráfico ficará desenhado do lado positivo do eixo x, ou seja, com um

domínio restrito no intervalo , uma vez que não há valores negativos

109

para representar o tempo, em segundos. Salientamos que aceitaremos como

válidas as duas interpretações.

Entendemos que, neste item, estão presentes características do mundo

corporificado, quando é esperado que o aluno interprete e descreva o

movimento da queda da pedra.

O item (f) pode ser resolvido de duas maneiras diferentes. Uma delas é

utilizar as retas auxiliares construídas e, por meio do ponto de intersecção

entre elas, o aluno pode visualizar a coordenada (x,y), identificando que x é a

variável independente e representa o tempo; y é a variável dependente e

representa a distância percorrida pela pedra em queda livre. Assim, o ponto

encontrado é (5; 122,51). Portanto, entendemos que fica mais fácil para o aluno

interpretar que em 5 segundos a pedra caiu 122,51 m. Caso o aluno faça essa

análise, estará utilizando características do mundo formal. Porém, se ele

apenas identificar o ponto de intersecção e responder a questão sem assimilar

a relação entre as variáveis, estará usando características do mundo

corporificado. Outra opção, seria o aluno substituir o valor 5 na variável t

(tempo) e, por meio da manipulação simbólica, chegaria ao resultado esperado,

122,5 m, utilizando, assim, características do mundo simbólico.

Analogamente, no item (g), espera-se que o aluno manipule as retas e

interprete que o ponto de intersecção entre elas tem a ordenada de valor 49.

Ao localizar esse ponto (3,16; 49), espera-se que ele responda que a pedra

levará 3,16 segundos para cair 49 m. Ao optar pela manipulação simbólica,

substituindo a variável d (distância) por 49, encontrará a variável t (tempo) ao

extrair a raiz quadrada de 10 que é, aproximadamente, igual a 3,16,

considerando duas casas decimais, como está igualmente determinado no

software. Portanto, pode concluir que a pedra cairá 49 m em aproximadamente

3,16 segundos.

Nesses dois últimos itens, (f) e (g), se o aluno responder apenas por

meio da observação das coordenadas do ponto de intersecção entre as retas,

sem relacionar as variáveis, estará utilizando características corporificadas.

Caso ele utilize a substituição do valor na expressão algébrica, encontrando o

valor desconhecido, estará utilizando características simbólicas. Por fim, o

110

esperado é que o aluno formalize o conceito de função como uma relação entre

duas variáveis: a distância percorrida pela pedra e o tempo gasto para isso; e

que ele possa refletir e formalizar a ideia de domínio da função, pois, não

existem valores negativos para a variável tempo. Dessa forma, utilizará


5.2. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES DO CADERNO

VOLUME 3

Para as próximas atividades, utilizamos o CAM, volume 3, para as

adaptações da Atividade 6, referente ao estudo da função exponencial e da

Atividade 7, em que é feita a abordagem da função logarítmica.

Baseado em nossa Revisão de Literatura, percebemos que os alunos

apresentaram dificuldades para operar potências que exibiam, tanto na base

quanto no expoente, números negativos, decimais ou fracionários. Com intuito

de prevenir esse fato, fizemos uma aula de revisão sobre Propriedades das

Potências antes do início da resolução das nossas atividades, a fim de auxiliar

os alunos na resolução das Atividades de funções exponencial e logarítmica.


Na Atividade 6, objetivamos trabalhar com a função exponencial na

forma , a fim de que os alunos visualizem a variação do

gráfico da função exponencial, conforme vão se alterando os parâmetros a, b,

c, d, e, pois percebemos na Situação de Aprendizagem 1, no CAM (páginas 3

a 12), a intenção de se construir diversos gráficos de função exponencial num

mesmo plano cartesiano, atribuindo-se valores inteiros e decimais para a base

da potência, abordando o estudo de função crescente e decrescente. Segue a

apresentação das questões, juntamente com a descrição da resolução delas.

111

Por ser mais conveniente e de leitura mais fácil, apresentamos

separadamente cada exercício da Atividade 6, seguido das ações esperadas

por alunos e as características que remetem cada item. A Figura 37 apresenta

a interface do GeoGebra do arquivo referente à Atividade 6 adaptada para o

uso do software.


Abra o arquivo da atividade 6, no GeoGebra.

1) Coloque o cursor sobre o gráfico e anote a lei da função………………...

2) Movimente o seletor a e responda as questões:

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume


b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a=0? E

a=1?

c) A partir de a=0, movimente os valores de a lentamente para a direita e

observe as variações no gráfico na expressão algébrica. Descreva o que você

percebeu.

112

d) Com a=0.6, anote a expressão algébrica nas linhas abaixo. Coloque um

ponto sobre a curva e anime-o. Observe a variação das coordenadas (x,y) do

ponto A e complete a tabela abaixo. O que você percebe sobre os valores de y

em relação à variação de x?

e) Com a=2, anote a expressão algébrica nas linhas abaixo. Faça a animação

do ponto A e complete a tabela abaixo. O que você percebe sobre os valores

de y em relação à variação de x?

f) Com base em suas observações, o que podemos concluir sobre uma função

crescente ou decrescente?

g) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

Quadro 7: Design da Atividade 6 – Exercícios 1 e 2.

Na questão (1), o aluno vai anotar em sua folha de respostas, a função

exponencial, na forma .

Ressaltamos que na questão (2) haverá movimentação apenas do

seletor a, ficando fixos os seletores b=1, c=1, d=0, e=0.

No item (a), ao movimentar o seletor a para a direita, ou seja, quando a

assume valores positivos, espera-se que o aluno perceba que o gráfico se

mantém nos quadrantes I e II, isto é, acima do eixo x. Já, quando a assume

valores negativos, não existe gráfico construído no plano cartesiano. Na

expressão algébrica, ele pode perceber que o valor que é atribuído ao

parâmetro a, no seletor, é o valor que aparece na base da potência.

113

No item (b), quando a assume valor zero, o gráfico fica sobre o eixo x,

considerando os demais seletores fixos. Na expressão algébrica, espera-se

que o aluno perceba que, sendo zero, a base da potência ( ), notará

que zero elevado a qualquer número, sempre resultará em zero, isto é,

. Assim, pensando em pontos teríamos (1,0) e (3,0), o que

resulta na imagem do gráfico sobre o eixo x. Salientamos que, sendo a base

zero, não podemos atribuir valores negativos ao x, pois teríamos uma divisão

por zero ao tentarmos resolver a potência,

, o que não seria uma

função exponencial.

Quando a assume valor 1, o gráfico se apresenta como uma reta,

paralela ao eixo x, interceptando o eixo y no ponto (0,1). Isso ocorre porque 1

elevado a qualquer número, resultará sempre em 1,

, o que não seria uma função exponencial e, sim, uma função

constante.

Nesses dois primeiros itens, encontramos características do mundo

corporificado, porque o aluno pode manipular o seletor, atribuindo valores para

o parâmetro a, descrevendo o que percebeu sobre o objeto.

Nos itens (c), (d), (e) e (f), objetivamos a identificação de características

das funções como crescente e decrescente. Assim, num primeiro momento,

pretendemos analisar o que os alunos observam ao movimentar o seletor a

para a direita (a>0), pois quando atribuir valores para a tal que 0<a<1, o gráfico

da função será decrescente; quando for atribuído valores para a tal que a>1, o

gráfico da função será crescente. Para os alunos perceberem as diferenças

entre uma e outra, no item (d), ele deve anotar a expressão algébrica

; ao completar a tabela, encontrará os pares ordenados (−4; 7.72), (−3.61;

6.32), (−2.11; 2.94), (0;1), (1; 0.6), (2; 0.36) e (4; 0.13); observando os valores

de x e de y, poderá dizer que, conforme se aumentam os valores de x,

diminuem os valores de y; concluindo posteriormente, no item (f), que esta é

uma característica de função decrescente, ou ainda, pode dizer que para ser

uma função decrescente a base a da potência, deve ser um número

compreendido entre zero e um (0<a<1).

114

Já no item (e), espera-se que o aluno anote a expressão algébrica

. Ao completar a tabela, encontrará os pares ordenados (−7; 0.01),

(−4; 0.06), (−1; 0.5), (0; 1), (1; 2), (2; 4) e (3; 8); observando os valores de x e

de y, poderá dizer, que conforme os valores de x aumentam, os valores de y

também aumentam; concluindo posteriormente, no item (f), que esta é uma

característica da função crescente, ou ainda, pode dizer que para ser uma

função crescente, a base a da potência, deve ser um número maior que um

(a>1), porém precisa se lembrar que não pode ser a=1, pois resultaria na reta

paralela ao eixo x.

Nos itens (c) até (f), encontramos características do mundo

corporificado, quando o aluno manipula o seletor e descreve sua percepção

sobre o movimento do objeto na tela. Porém, tem raízes no mundo formal, uma

vez que, ao responder esses itens, o aluno pode construir a noção da condição

de existência da função exponencial, que está implícita na questão, bem como,

a classificação da função em crescente ou decrescente.

No item (g), espera-se que o aluno perceba que o gráfico intercepta o

eixo y no ponto (0,1). Quanto às características dos Três Mundos da

Matemática, se o aluno apenas responder por meio da visualização do gráfico

na interface do software, ou copiando as coordenadas do ponto que aparecem

na “Janela de Álgebra”, estará utilizando características do mundo

corporificado. Caso ele opte em substituir zero na variável x, da expressão

algébrica visível na “Janela de Álgebra”, para calcular o valor do y,

determinando as coordenadas do ponto (x,y), estará utilizando características

do mundo simbólico. Porém, se o aluno assimilar e identificar os eixos x e y

como abscissa do ponto (eixo horizontal) e ordenada (eixo vertical)

respectivamente, estará utilizando características do mundo formal, pois,

conforme mencionado, para se determinar as coordenadas de um ponto é

preciso seguir regras formais (LIMA; SOUZA, 2012).

A seguir, descreveremos o exercício 3 dessa atividade.

3) Movimente o seletor b e responda as questões:

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume

115


b) Escolha um valor positivo para representar b e anote a expressão algébrica.

Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.

c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

d) Escolha um valor negativo para representar b e anote a expressão

algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.

e) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

f) O que podemos concluir sobre o valor de b na expressão algébrica

f(x)=b.acx+d+e.

Quadro 8: Design da Atividade 6 – Exercício 3.

Ressaltamos que os seletores c, d, e ficarão fixos nos valores 1, 0, 0,

respectivamente, e a função será .

Nos itens (a), (b) e (d), esperamos que os alunos percebam que, como o

coeficiente b está multiplicando a base da potência , se ele escolher

para a base um número a tal que 0<a<1, e multiplicá-la por um valor de b

positivo, a função será decrescente (Exemplo: ) e o gráfico tem

sua imagem nos quadrantes I e II. Para constatar, o aluno pode colocar um

ponto sobre a curva e, ao manipulá-lo, observará que, conforme aumenta o

valor da abscissa x, diminui o valor da ordenada y. Mantendo esse mesmo

valor para a base, porém escolhendo um valor negativo para b, a função passa

a ser crescente (Exemplo: ), pois se colocar um ponto sobre a

curva observará que a variação das coordenadas aumenta simultaneamente e

a imagem do gráfico fica nos quadrantes III e IV. Quando a base da potência

for a>1 ao ser escolhido para b um valor positivo, a função obtida é crescente e

o gráfico se desenha nos quadrantes I e II. Mantendo-se o mesmo valor para a

base, porém invertendo o valor de b para números negativos, a função fica

decrescente e o gráfico se desenha nos quadrantes III e IV.

Encontramos nesses três itens características do mundo corporificado,

uma vez que os alunos são convidados a atribuir valores para os parâmetros,

por meio dos seletores e, então, observar as variações, refletir sobre elas e

conjecturar sobre o objeto em questão.

116

Nos itens (c) e (e), espera-se que o aluno observe que o gráfico

intercepta o eixo y no mesmo valor atribuído ao parâmetro b, que é, também, o

valor que multiplica a potência (acx+d). Vale ressaltar que isso ocorre quando e

assume valor zero. Quanto à determinação das características dos Três

Mundos da Matemática, consideraremos a mesma análise feita no item (g), da

questão (2), dessa atividade.

No item (f), esperamos que o aluno perceba que a potência está

multiplicada por b, ou seja, se a b for atribuído o valor 3, significa que a função

resultará em uma imagem y que será o triplo do resultado da potência. Por

exemplo: , se atribuirmos para x o valor 1, a potência resultará em

2. Fazendo o triplo de 2 obteremos 6. Identificamos características do mundo

formal, pelo fato de o aluno ser convidado a formalizar a condição de influência

do parâmetro b na função. Para isso, terá que refletir sobre suas conjecturas

anteriores e associar o parâmetro b à função.

A seguir, descreveremos o exercício 4 da Atividade 6.

4) Considerando a=2 e b=1, movimente os valores de c e responda as

questões.

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume


b) Escolha um valor positivo para representar c e anote a expressão algébrica.



d) Escolha um valor negativo para representar c e anote a expressão


e) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

f) Escolha outros valores para representar a e b. Movimente os valores de c e

observe as variações do gráfico e da expressão algébrica. Selecione um valor

para representar c e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou

decrescente? Justifique sua resposta.

g) O que podemos concluir sobre o valor de c na expressão algébrica

f(x)=b.acx+d+e?


117

Ressaltamos que nessa questão estão fixos os seletores d=0 e e=0.

Para a resolução dos itens (a) até (e), consideraremos a função .

Nos itens (a) até (e), espera-se que o aluno observe que ao atribuir

valores positivos para c, a função continua crescente. Ao atribuir números

negativos, a função se altera para decrescente. Na expressão algébrica, o valor

atribuído a c, por meio do seletor, aparece no expoente da potência,

multiplicando x. Assim, chamamos a atenção para esse exercício que tem a

base a>1, porém o expoente é negativo. Por exemplo, se o aluno escolher

c=−3, deverá ter a função , aplicando a Propriedade da

Potenciação, obterá

, ou seja, a base está entre 0<a<1, que é uma

função decrescente. Por esse motivo, ao atribuir números negativos, nesse

caso, a função resulta em decrescente, embora tenha uma base representada

por a>1.

Nos itens (c) e (e), espera-se que o aluno perceba que, independente do

valor atribuído ao c, o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,1), pois os

seletores estão fixos em a=2, b=1, d=0 e e=0. Consideraremos a mesma

determinação das características dos Três Mundos da Matemática apresentada

na questão (2), no item (g), dessa atividade.

No item (f), para analisar a condição da função em relação ao fato de ser

crescente ou decrescente, dependerá dos valores atribuídos aos parâmetros a,

b e c. Apresentamos na tabela, a seguir, as possíveis respostas dos alunos.

FUNÇÃO DECRESCENTE FUNÇÃO CRESCENTE

0 < a < 1, b > 0 e c > 0 0 < a < 1, b < 0 e c > 0

0 < a < 1, b < 0 e c < 0 0 < a < 1, b > 0 e c < 0

a > 1, b < 0, c > 0 a > 1, b > 0 e c > 0

a > 1, b > 0 e c < 0 a > 1, b < 0, c < 0

Quadro 10: Condições para o crescimento ou decrescimento da função exponencial.

Nos itens (a), (b), (d) e (f), encontramos características do mundo

corporificado se o aluno apresentar apenas a descrição da sua percepção

sobre o comportamento do gráfico, por meio do manuseio dos seletores. No

118

entanto, se o aluno refletir e conseguir relacionar o valor atribuído (positivo ou

negativo) ao parâmetro com a base, dando significado à expressão algébrica,

juntamente com o gráfico, formalizando o “porquê” de ser crescente e/ou

decrescente, apresentará características do mundo formal.

No item (g), esperamos que o aluno observe que o parâmetro c é

responsável pelo aumento acelerado, ou não, no crescimento e/ou

decrescimento da função, uma vez que c encontra-se no expoente,

multiplicado por x. Por exemplo, analisando alguns pontos para a função

, encontramos (1,2), (2,4), (3,8). Se alterarmos o valor de c = 2,

obtemos a função , analisando os pontos de mesma abscissa,

encontramos (1,4), (2,16), (3,64). Percebemos que o crescimento ou

decrescimento exponencial é modificado de acordo com o valor atribuído ao

parâmetro c.

Encontramos neste item características do mundo formal, uma vez que o

aluno é convidado a formalizar suas conjecturas, sobre o parâmetro c e a

relação com a expressão algébrica da função. Porém, se o aluno apenas

descrever o que observou com a manipulação do seletor, sem relação alguma

entre a variação do gráfico e a expressão algébrica e os valores do coeficiente,

estará usando características corporificadas.


5) Considerando a=2, b=1, c=1, movimente os valores de d e responda as

questões.

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando d assume


b) Escolha um valor positivo para representar d e anote a expressão algébrica.



d) Escolha um valor negativo para representar d e anote a expressão


e) Faça modificações nos valores de a, b, c e d, escolhendo inclusive, valores

negativos. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou

119


f) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

g) O que podemos concluir sobre o valor de d na expressão algébrica

f(x)=b.acx+d+e?


Ressaltamos que nessa questão, o seletor fixo é e=0. Para a resolução

dos itens de (a) até (d), foram fixados a=2, b=1 e c=1.

Nos itens (a) até (d), os alunos trabalharão com a função .

Esperamos que o aluno perceba que, ao variar os valores de d, para positivos

ou negativos, a função continua sempre crescente. A modificação ocorre na

curvatura do gráfico, pois o parâmetro d está diretamente relacionado a uma

adição com x no expoente da potência. Quanto maior é o valor de d, maior fica

a “curvatura”, que intercepta o eixo y no ponto (0, ), ou seja, substituindo o

zero no lugar de x, nessa função, obtemos: .

Assim, para a resolução dos itens (c) e (f), dependerá do valor atribuído

ao parâmetro d. A determinação das características dos Três Mundos da

Matemática que usaremos é a mesma análise apresentada na questão (2),

item (g) dessa atividade.

No item (a), encontramos características do mundo corporificado, pelo

motivo de ser uma descrição da variação do gráfico, de acordo com o valor

atribuído ao parâmetro, por meio da movimentação do seletor. Nos itens (b), (d)

e (e), encontramos características do mundo corporificado se o aluno

apresentar apenas a descrição da sua percepção sobre o comportamento do

gráfico, sem assimilação da expressão algébrica com o valor do parâmetro. No

entanto, se o aluno refletir e conseguir relacionar o valor atribuído (positivo ou

negativo) ao parâmetro com a base, dando significado à expressão algébrica,

juntamente com o gráfico, formalizando “o porquê” de ser crescente e/ou

decrescente, usará características do mundo formal.

Os itens (e) e (f) dependem dos valores escolhidos por cada aluno. Na

tabela abaixo, segue uma relação sobre as condições para que a função seja

crescente ou decrescente, de acordo com os valores atribuídos aos parâmetros

120

a, b, c, d. Esperamos que o aluno responda pelo menos uma dessas

possibilidades.

FUNÇÃO CRESCENTE FUNÇÃO DECRESCENTE

0<a<1, b<0, c>0, d>0 0<a<1, b>0, c>0, d>0

0<a<1, b>0, c<0, d>0 0<a<1, b>0, c>0, d<0

0<a<1, b<0, c>0, d<0 0<a<1, b<0, c<0, d>0

0<a<1, b>0, c<0, d<0 0<a<1, b<0, c<0, d<0

a>1, b>0, c>0, d>0 a>1, b<0, c>0, d>0

a>1, b>0, c>0, d<0 a>1, b>0, c<0, d>0

a>1, b<0, c<0, d>0 a>1, b<0, c>0, d<0

a>1, b<0, c<0, d<0 a>1, b>0, c<0, d<0

Quadro 12: Classificação da função exponencial em crescente ou decrescente.

No item (g), espera-se que o aluno observe que o valor do parâmetro d

não influencia no crescimento e/ou decrescimento da função, mas na

“curvatura” do gráfico. Encontramos características do mundo formal, uma vez

que é esperado que o aluno formalize suas conjecturas sobre o parâmetro d e

a relação dele com a expressão algébrica da função.

A seguir, descreveremos o exercício 6 da atividade 6.

6) Considerando a=2, b=1, c=1 e d=0 movimente os valores de e. Responda

as questões.

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando e assume


b) Escolha um valor positivo para representar e. Anote a expressão algébrica.



d) Escolha um valor negativo para representar e. Anote a expressão algébrica.


121

e) Escolha um valor 0<a<1 para representar a. Movimente os valores de e,

observando as variações do gráfico e da expressão algébrica. Selecione um

valor para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é

crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.

f) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

g) O que podemos concluir sobre o valor de e na expressão algébrica? Quadro 13: Design da Atividade 6 – Exercício 6.

Nos itens de (a) até (d), vamos trabalhar com a função .

Esperamos que o aluno observe que quando e assume valores positivos, o

gráfico translada verticalmente para cima, no sentido positivo do eixo y, tantas

unidades quantas forem escolhidas para e. Analogamente, quando e assume

valores negativos, o gráfico translada verticalmente para baixo, no sentido

negativo do eixo y. Dessa maneira, a função é crescente, independente do

valor, positivo ou negativo, que for atribuído ao parâmetro e, porque a base da

potência é um número a tal que a>1, que é característica da função crescente.

Ressaltamos que, no item (a), encontramos características do mundo

corporificado, por ser uma descrição da variação do gráfico, de acordo com o

valor atribuído ao parâmetro por meio da movimentação do seletor. Ou seja,

refere-se às percepções mentais, do aluno, sobre o objeto.

Nos itens (c) e (f), pretendemos que o aluno identifique que o ponto de

intersecção com o eixo y se dá pela adição dos valores atribuídos aos

parâmetros b e e, ou seja, será o ponto (0, b+e). Caso o aluno consiga fazer

essa leitura, relacionando o gráfico com a expressão algébrica, apresentará

características do mundo formal. Porém, se o aluno copiar as coordenadas do

ponto visível na “Janela de Álgebra”, usará características do mundo

corporificado. Se optar por substituir zero na expressão algébrica para calcular

o valor de y, usará características do mundo simbólico. Sugerimos a

exploração de outros valores para b, a fim de perceber a relação (0, b+e).

No item (e), esperamos que o aluno escolha uma base para a potência

entre 0<a<1 e um valor qualquer para o parâmetro e, compondo, por exemplo,

a função . Como já estudado, essa é característica da função

122

decrescente. Logo, independe do valor atribuído ao parâmetro e, o papel dele é

transladar o gráfico verticalmente, para cima ou para baixo, em relação ao eixo

y, tantas unidades quanto lhe forem atribuídas. A propósito, é o que

pretendemos que alunos concluam no item (g). Assim, essa função será

sempre decrescente.

Nos itens (b), (d) e (g), se o aluno apenas descrever sua percepção

mental, sobre a variação do gráfico em relação ao movimento dos respectivos

seletores, usará características do mundo corporificado. Porém se o aluno o

responder relacionando a influência da inserção desse parâmetro à expressão

algébrica com o gráfico, formalizando o conceito, estará usando características

do mundo formal.

A seguir, descreveremos os exercícios 7 e 8, referentes aos problemas

adaptados do CAM, volume 3 (páginas 23 e 24), exercícios 1 e 2,

respectivamente, da seção “Lição de Casa”, apresentados na Figura 24 (p.75)

e Figura 25 (p.75).

Nessa seção, o exercício 1, referente a “População de Bactérias” traz,

no enunciado, a expressão algébrica das populações de bactérias P1 e P2.

Dessa forma, convida o aluno a responder três itens, por meio da manipulação

algébrica, substituindo os valores fornecidos nos itens, encontrando a solução

do problema. Não pede construção do gráfico. Já o exercício 2, referente a

“Substância Radioativa”, segue o mesmo padrão, fornecendo a expressão

algébrica no enunciado, e sugerindo dois itens para o aluno responder

utilizando a manipulação algébrica. Também não questiona o gráfico.

Analisando os dois problemas, podemos dizer que a resolução das

questões é baseada na utilização das propriedades da potenciação, sendo

realizadas apenas no ambiente papel e lápis.

Dessa maneira, adaptamos esses dois problemas, pedindo para os

alunos construírem os gráficos das funções, uma vez que julgamos importante

a visualização do comportamento do gráfico, para interpretação e resolução

das questões.

123

A seguir, descreveremos nossas adaptações nos exercícios 7 e 8 da

Atividade 6.

7) Certa população P1 de bactérias dobra a cada meia hora, ou seja,

P1=1000.22t (t em horas). Simultaneamente, outra população P2 de bactérias

cresce mais lentamente que P1, dobrando de valor a cada duas horas, P2 =

8000.20,5t (t em horas).

a) Construa os gráficos de P1 e P2 no GeoGebra.

b) As funções P1 e P2 são crescentes ou decrescentes? Justifique sua

resposta.

c) Em que instante t as duas populações terão o mesmo valor?

d) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t=3?

8) Certa substância radioativa decompõe-se de forma que sua massa m

reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas. Partindo-se de 60 gramas

da substância, temos m = 60.2–0,25t.

a) Construa o gráfico da função no GeoGebra.

b) A função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.

Coloque um ponto sobre a curva. Construa duas perpendiculares passando

por este ponto sendo uma em relação ao eixo x e outra em relação ao eixo y.

c) Qual será a massa restante após 8 horas? E após 3 horas?

d) Após quanto tempo a massa restante será igual a 12 gramas? E a 20

gramas?

Quadro 14: Design da Atividade 6 – Exercícios 7 e 8.

No exercício 7, itens (a) e (b), esperamos que o aluno construa os

gráficos, cujas expressões algébricas foram fornecidas no enunciado, e

percebam pela curva, que são funções crescentes. Entendemos que a

plotagem de gráficos, com auxílio de um software, deva ser considerada como

característica do mundo corporificado.

Como as incógnitas trabalhadas nos exercícios 7 e 8 se referem ao

tempo, em horas, esperamos que os alunos restrinjam o domínio das funções

para valores positivos.

124

No item (c), o aluno pode resolver observando o ponto de intersecção

entre os dois gráficos, considerando a abscissa desse ponto, que é 2 horas,

utilizando assim, características do mundo formal, pelo fato de ter

compreendido que a intersecção entre as curvas é o momento que as duas

funções tem o mesmo valor para x. Caso ele demonstre que conseguiu

relacionar os eixos x e y com as variáveis independente (tempo) e dependente

(quantidade de bactérias), respectivamente, usará características do mundo

formal. Se o aluno resolver algebricamente, igualando as duas funções e

isolando a incógnita t (tempo), encontrando o mesmo valor de 2 horas, estará

utilizando características do mundo simbólico.

Analogamente, no item (d), se o aluno apenas observar as coordenadas

do ponto (x, y) de intersecção da reta auxiliar com os gráficos P1 e P2, no

instante 3 horas, encontrará os resultados 64000 e 22627,42, respectivamente,

usando características do mundo corporificado. Se ele substituir a incógnita t

por “3” e resolver algebricamente cada uma das funções P1 e P2, encontrará os

mesmos resultados, utilizando assim, características do mundo simbólico. Se

conseguir assimilar o conceito de função como uma relação entre as variáveis

“tempo” (em horas), expresso no eixo horizontal (variável independente), e a

variável “quantidade da população”, expresso no eixo vertical (variável

dependente), encontrando os resultados, estará utilizando características do

mundo formal.

No exercício 8, nos itens (a) e (b), esperamos que o aluno perceba que o

gráfico construído é de uma função decrescente. Observando a função, ele

também pode identificar, utilizando o conceito aprendido no exercício 4, que

chamava atenção para o expoente negativo, representado por uma base a>1,

pois ao resolver pela Propriedade da Potência, obterá

, sendo a

base da potência, na realidade, um número entre 0< a <1 e b>0. Nesse caso,

encontramos características do mundo corporificado, pelo fato de que o aluno

vai plotar o gráfico, por intermédio do software, e analisar o comportamento da

curva desenhada na tela, formulando suas conjecturas.

Ressaltamos que, se o aluno identificar que a função é decrescente por

meio de uma análise algébrica, ou seja, que a base está representada por um

125

número a tal que 0<a<1, está multiplicada por um número b tal que b>0, no

expoente há um número c tal que c>0, estará usando características do mundo

formal.

No item (c), o aluno pode resolver utilizando a manipulação das retas

construídas, localizando-as sobre o valor requerido no problema, ou seja, sobre

o número 8, no eixo x (tempo) e obterá a ordenada y do ponto, na “Janela de

Álgebra”, que é igual a 15 gramas. Idem para 3 horas, cujo resultado esperado

é igual a 35,66 gramas. Outra opção é a resolução algébrica, por meio da

substituição dos valores 8 e 3, na incógnita tempo (t), resultando nos números

15 gramas e 35,66 gramas, respectivamente.

No item (d), espera-se que o aluno perceba que agora tem a ordenada

12 (em gramas) e precisa achar o tempo (em horas). Pode resolver com auxílio

das retas construídas, localizando-as sobre o número 12 e obterá a abscissa

desse ponto, na Janela de Álgebra do GeoGebra, que é o valor 9,28 horas. O

mesmo ocorre para o valor 20 gramas, cujo resultado é igual a 6,24 horas.

Também pode optar em resolver algebricamente, substituindo a incógnita m

(massa) na função, calculando a outra.

Como dito anteriormente para os itens (c) e (d), se o aluno compreender

a expressão algébrica como sendo uma relação entre as variáveis “massa” e

“tempo”, e utilizá-la para representar suas conjecturas e manipulá-la para

concluir o objeto requerido na questão, usará características do mundo

simbólico; e, ainda, utilizando a relação entre as variáveis dependente e a

independente, fazendo a leitura do gráfico buscando as coordenadas do ponto,

cuja abscissa ou a ordenada, tenha sido solicitada (x, y), usará características

do mundo formal. Porém, se o aluno apenas buscar, na “Janela de

Visualização”, as coordenadas do ponto de intersecção das retas auxiliares

com os respectivos gráficos requeridos nos itens, estará utilizando

características do mundo corporificado.

Nossa próxima atividade foi inspirada nas anteriores, cujo objetivo era

introduzir os parâmetros, um por vez, para percepção das variações do gráfico.

126

No CAM, volume 3, os exercícios referentes ao logaritmo, são

apresentados com exercícios de manipulação algébrica para cálculo de

logaritmo em qualquer base; problemas que abordam Terremoto e a Escala

Richter, o pH (potencial hidrogeniônico) de substâncias, e a intensidade do som

medida em decibel. Para esses problemas, não encontramos situações que

pudessem ser adaptadas para o uso do software de maneira dinâmica, a fim de

desenvolver apreensão do conceito de função.


Por ser mais conveniente e de leitura mais fácil, também apresentamos

separadamente cada exercício da Atividade 7, seguido das ações esperadas

por alunos e as características que remetem cada item. A Figura 38 apresenta

a interface do GeoGebra do arquivo referente a Atividade 7 adaptada para o

uso do software.


127


1) Coloque o cursor sobre o gráfico e anote a lei da função……………………...


a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume



a=1?


observe as variações no gráfico na expressão algébrica.

Descreva o que você percebeu.

d) Com a=0.6, anote a expressão algébrica nas linhas abaixo.

Coloque um ponto sobre a curva e anime-o. Observe a variação

das coordenadas (x, y) do ponto A e complete a tabela abaixo.

O que você percebe sobre os valores de y em relação à

variação de x?

e) Com a=2, anote a expressão algébrica nas linhas abaixo.

Faça a animação do ponto A e complete a tabela abaixo. O que

você percebe sobre os valores de y em relação a variação de x?

f) Com base em suas observações, o que podemos concluir

sobre uma função crescente ou decrescente?

g) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? Quadro 15: Design da Atividade 7 – Exercícios 1 e 2.

No exercício 1, o intuito é apresentar a expressão algébrica do logaritmo

para os alunos . Porém, explicamos para os alunos que o software

só permite escrever a função logarítmica na forma de base decimal. Por esse

motivo, para se trabalhar com logaritmos em outras bases, é preciso utilizar a

Propriedade da Mudança de Base. Dessa forma, ele deve anotar, na folha, a

função

.

Ressaltamos que, no exercício (2), estarão fixados os seletores em b=1,

c=1, d=0, e=0.

128

No exercício 2, itens (a) e (b), é esperado que o aluno perceba a

condição de existência do logaritmo, ou seja, quando a assume valores

negativos, zero e um, não há gráfico construído. Assim, o gráfico da função é

existente para a>0 e , ou seja, a maior que zero e a diferente de 1.

Além disso, pode observar que o gráfico se desenha nos quadrantes I e IV.

Salientamos que no item (c), quando colocamos a=0, não queremos que

os alunos considerem zero, mas sim, valores a partir de zero (a>0), como por

exemplo, 0,1; 0,2; 0,5; 0,6, entre outros, para que possam perceber que

quando a assume um valor tal que 0<a<1, a curva se desenha de uma

maneira; quando passa de a>1, a curva muda de posição. As conjecturas que

são esperadas pelos alunos, para esse item, estão descritas a seguir.

Nos itens (c), (d) e (e), o aluno deve observar as características para a

função ser crescente e/ou decrescente. A primeira expressão algébrica

solicitada é

. Ao preencher a tabela, de acordo com essa função, o

aluno deve encontrar as seguintes coordenadas (0,16; 3,53), (0,41; 1,74), (1;0),

(2; −1,35); (3; −2,15) e (8; −4,07); e identificar que, conforme o valor de x

aumenta, o valor de y diminui. Então, o desenho da curva que ele observa na

“Janela de Visualização” do software, é o de uma função decrescente.

A próxima função solicitada é

. Ao preencher a tabela, de

acordo com essa função, o aluno encontrará as coordenadas, a saber: (0,16;

−2,6), (0,34; −1,54), (0,51; −1), (1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3). Analisando a variação

de y em função de x deve perceber que, à medida que os valores de x

aumentam, os valores de y também aumentam. Assim, o desenho da curva

que se projeta na tela é o de uma função crescente.

Nesses cinco primeiros itens, se o aluno apenas descrever as

conjecturas observadas por meio da manipulação dos seletores, estará

utilizando características do mundo corporificado. Caso ele faça a relação entre

os valores que a pode assumir, a expressão algébrica e o gráfico, construindo

a noção da condição de existência do logaritmo que está implícito na questão,

mas não de maneira clara, estará usando características do mundo formal.

129

No item (f), pretendemos que o aluno identifique que a função será

crescente quando a>0; e será função decrescente, quando 0<a<1. Ao assimilar

essa informação, estará construindo a noção da condição de existência dos

logaritmos, cujo domínio da função é o conjunto dos números reais positivos.

Ao formalizar esse conceito, usará características do mundo formal.

No item (g), esperamos que o aluno perceba que o gráfico da função

logarítmica não intercepta o eixo y; e no eixo x, passa pelo ponto (1,0). Se o

aluno simplesmente anotar as coordenadas do ponto que está visível na

“Janela de Álgebra”, ou por meio da visualização do gráfico, usará

características do mundo corporificado. Se ele relacionar as coordenadas do

ponto com os eixos x e y, identificando as variáveis dependente e

independente, usará características do mundo formal.

A seguir, descrevemos o exercício 3 da Atividade 7.


a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume


b) Escolha um valor positivo para representar b e anote a expressão algébrica.


c) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x?

d) O que podemos concluir sobre o valor de b na expressão algébrica?


No exercício (3), estão fixos os seletores em c=1, d=0, e=0.

Os itens (a) e (b) dependem do valor atribuído para a base do logaritmo.

Se o aluno escolher um valor a tal que 0<a<1 e b>0, a função é decrescente.

Se for escolhido 0<a<1 e b<0, a função se altera para crescente. Porém, se a

base for a>1 e b>0, a função é crescente. Por fim, se for a base a>1 e b<0,

resultará em decrescente. Nesse caso, encontramos características do mundo

corporificado, uma vez que os alunos vão manipular o seletor b, e perceber as

variações ocorridas no gráfico e, então, ao descrevê-las, começam a formular

conjecturas, deduzindo propriedades, tais como, as condições observadas para

função ser crescente e/ou decrescente.

130

No item (c), consideraremos a mesma análise feita no item (g), do

exercício (2) dessa atividade.

No item (d), esperamos que o aluno observe que, na função, o valor de

b está multiplicando o valor do logaritmo e, por conseguinte, a função tem um

crescimento ou decrescimento mais acentuado. Por exemplo, se o valor de

b=2, significa que o resultado do logaritmo aumentará em duas vezes. Estão

presentes características do mundo formal, uma vez que é esperada do aluno a

formalização da condição do parâmetro b em relação a sua inserção na

expressão algébrica, juntamente com as modificações sofridas graficamente.

Porém, se o aluno simplesmente relatar suas percepções de acordo com a

manipulação dos seletores, estará usando características do mundo

corporificado.



questões.

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume


b) Escolha um valor negativo para representar c e anote a expressão



d) O que podemos concluir sobre o valor de c na expressão algébrica?


No exercício (4), estão fixos os seletores em a=2, b=1, d=0, e=0. A

expressão algébrica que será trabalhada nesse exercício é

.

Nos itens (a), (b) e (d), espera-se que o aluno perceba que, quando c

assume valores positivos, o gráfico é de uma função crescente, presente nos

quadrantes I e IV. Quando c assume valores negativos, passa a ser uma

função decrescente, cujo gráfico se encontra nos quadrantes II e III. Na

expressão algébrica, o valor atribuído a c fica multiplicado diretamente por x, o

que faz com que o ponto de intersecção da curva com o eixo x, tenha outros

valores diferentes de (1,0). Isso ocorre porque o ponto de intersecção com eixo

131

x tem que ter sua ordenada sempre zero. Para isso, o valor de (c.x), no

logaritmando, deve ser sempre igual a 1, pois segundo a Propriedade dos

Logaritmos10, temos . Assim, a abscissa do ponto de intersecção

dependerá do valor atribuído a c, de modo que o produto desses dois fatores

resulte sempre em 1. Por exemplo, se o aluno escolher c=2, na “Janela de

Visualização” do software, o gráfico já se desloca para o ponto de abscissa

(0,5), porque . O aluno também pode observar as coordenadas

desse ponto na “Janela de Álgebra”.

Logo, para responder ao item (c), dependerá do valor atribuído ao

parâmetro c, porém esperamos que os alunos percebam essa relação de

dependência de c com x, para determinarem as coordenadas do ponto de

intersecção da curva com o eixo x, compreendendo as modificações que

ocorrem com a função, ao ser inserido esse parâmetro e, assim, conseguirão

concluir o item (d). Se o aluno fizer essa análise, estará usando características

do mundo formal. Caso ele anote as coordenadas do ponto via “Janela de

Álgebra” do software, usará características do mundo corporificado.

Encontramos características do mundo corporificado nos itens (a) e (b),

devido às percepções e descrições das variações ocorridas graficamente, de

acordo com a inserção do parâmetro c, acarretando as deduções de

propriedades, por parte do aluno.

Vale ressaltar que consideramos c diferente de zero no item (e), pois se

o parâmetro c assumisse o valor zero, não haveria gráfico construído no plano

cartesiano. Isto é, teríamos e resolvendo, obteríamos

, e não existe nenhum valor para y que satisfaça a equação.

Sugerimos a exploração de outros valores de a como, por exemplo,

0<a<1, a fim de que se perceba a influência de “c” quando inserido na função.



questões.

10

O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a zero.

132

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando d assume


b) Escolha um valor positivo para representar d e anote a expressão algébrica.



d) Escolha um valor negativo para representar d e anote a expressão


e) Faça modificações nos valores de a, b, c e d, escolhendo inclusive, valores



f) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x?

g) O que podemos concluir sobre o valor de d na expressão algébrica?


No exercício (5), o seletor está fixo em e=0.

Nos itens de (a) até (d), trabalharemos com a expressão algébrica

definida como

. O ponto de intersecção da curva com o eixo x é

(1,0). O aluno deve perceber que, quando d assume valores positivos, o gráfico

translada para o sentido negativo do eixo x, a partir do ponto (1, 0), quantas

unidades forem atribuídas a d. O mesmo ocorre quando se atribui a d valores

negativos, porém a translação do gráfico é para o sentido positivo do eixo x.

Por exemplo, se o aluno atribuir d=4, a expressão algébrica resulta em

. Então, a partir da abscissa 1, o gráfico translada 4 unidades,

para o sentido negativo do eixo x, parando em −3. Logo, o ponto de

intersecção com eixo x é igual a (−3,0).

Outra opção para resolução, comentada no exercício anterior, é lembrar

que a intersecção do gráfico com eixo x resulta num ponto de coordenadas

(x,0). Para obter o valor zero para a ordenada, significa que o resultado de

(x+d) tem que ser 1, pois, segundo a Propriedade dos Logaritmos, .

Considerando o mesmo valor, d=4, para que (x+d) resulte em 1, podemos fazer

a operação Logo, o ponto de

intersecção com eixo x é igual a (−3,0).

133

A intersecção com o eixo y é o ponto cujas coordenadas são (0,y).

Espera-se que o aluno observe que só ocorre intersecção da curva com o eixo

y, quando temos d>0. Como y resulta da função

e a abscissa

x=0, significa que (0+d) ou o valor d não pode ser número negativo e nem zero,

pois d assume o valor do logaritmando da função cuja condição de existência,

pra ele, é ser um número positivo. Nesse caso, estão presentes características

do mundo formal.

Sobre a questão de ser função crescente e/ou decrescente, espera-se

que o aluno perceba que é indiferente o valor escolhido para o parâmetro d,

uma vez que ele é responsável apenas pela translação horizontal do gráfico,

em relação ao eixo x, modificando as coordenadas do ponto de intersecção do

gráfico com os eixos x e y. De acordo com os exercícios estudados acima, são

os parâmetros a, b, c que influenciam a classificação da função crescente ou

decrescente. A seguir, no quadro estão relacionadas todas as possibilidades de

resposta para a classificação da função em crescente ou decrescente, de

acordo com os valores atribuídos aos parâmetros a, b, c, d. Esperamos que os

alunos consigam concluir ao menos uma delas.

FUNÇÃO DECRESCENTE FUNÇÃO CRESCENTE

0<a<1, b>0, c>0 0<a<1, b>0, c<0

0<a<1, b>0, c>0 0<a<1, b>0, c<0

0<a<1, b<0, c<0 0<a<1, b<0, c>0

0<a<1, b<0, c<0 0<a<1, b<0, c>0

a>1, b>0, c<0 a>1, b>0, c>0

a>1, b>0, c<0 a>1, b>0, c>0

a>1, b<0, c>0 a>1, b<0, c<0

a>1, b<0, c>0 a>1, b<0, c<0

Quadro 19: Condições para o crescimento ou decrescimento da função logarítmica.

Nos itens (a), (b), (d), e (e), estão presentes características do mundo

corporificado, uma vez que os alunos vão manipular o seletor d, e perceber as

variações ocorridas no gráfico e, então, ao descrevê-las, começam a formular

conjecturas, desencadeando para a dedução de propriedades, tais como, as

134

condições observadas para a função ser classificada em crescente e/ou

decrescente.

Já que os itens (c) e (f) abordam a interseção do gráfico com os eixos,

determinando as coordenadas desse ponto, seguiremos a mesma análise feita

no item (g) do exercício (2) dessa atividade.

Por fim, o último item retrata a formalização da relação do parâmetro d

com a expressão algébrica da função, que é característica do mundo formal.

A seguir descreveremos o exercício 6 da Atividade 7.


as questões.

a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando e assume


b) Escolha um valor positivo para representar e. Anote a expressão algébrica.



d) Escolha um valor negativo para representar e. Anote a expressão algébrica.


e) Escolha um valor 0<a<1 para representar a. Movimente os valores de e,


valor para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é

crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.

f) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x?

g) O que podemos concluir sobre o valor de e na expressão algébrica?


Nos itens (a) até (d), estão fixos os seletores em a=2, b=1, c=1, d=0.

Trabalharemos com a expressão algébrica da função

.

Esperamos que o aluno perceba que, quando e assume valores

positivos, o ponto de intersecção do gráfico com o eixo x se aproxima da

origem do plano cartesiano. Quando e assume valores negativos, esse ponto

se afasta cada vez mais da origem do plano. Na expressão algébrica, o valor

135

atribuído a e fica acrescido no resultado de

. Dessa forma, como a>0,

independente do valor atribuído ao parâmetro e, a função permanece crescente

e o gráfico se mantém nos quadrantes I e IV, porém não intercepta o eixo y.

Para a intersecção com eixo x, o y deve ser zero (x,0), ou seja, o resultado de

deve ser igual a zero.

Logo, depende do número que for atribuído ao parâmetro e, para que se

possa fazer o cálculo sobre qual deve ser o valor da abscissa x, para zerar a

função. Por exemplo: para e = −3, temos a função

, ou

. O aluno pode resolver algebricamente, fazendo

. Concluindo que o ponto de intersecção tem

coordenadas (8, 0).

Vale ressaltar que o software já dispõe o valor desse ponto quando o

aluno insere, por meio da ferramenta, o ponto de intersecção do gráfico com o

eixo x. Nesse caso, ele estará usando características do mundo corporificado.

Mas, entendemos ser interessante que o aluno compreenda “o porquê” desse

valor.

Nos itens (e) e (f), o aluno vai escolher um valor a tal que 0< a <1, o que

faz com que o gráfico seja decrescente, desenhado nos quadrantes I e IV.

Variando os valores de e para positivos, o ponto de intersecção do gráfico com

o eixo x se distancia da origem do plano cartesiano. O contrário ocorre quando

e assume valores negativos. Independente do valor atribuído ao parâmetro e,

positivo ou negativo, a função permanece decrescente. O gráfico não

intercepta o eixo y, porém, no eixo x, para localizar a abscissa desse ponto, o

raciocínio é igual ao descrito acima para o item (c).

Assim, o aluno deve concluir que o parâmetro e não provoca o

crescimento e/ou decrescimento do gráfico, apenas o translada para o sentido

positivo ou negativo do eixo y. Encontramos neste item, características do

mundo formal, pois, o aluno deve formalizar suas conjecturas sobre a influência

do parâmetro e na variação do gráfico.

136

Voltamos aos itens (a), (b), (d) e (e) para relatar que encontramos

características do mundo corporificado, uma vez que os alunos vão manipular o

seletor e, percebendo as variações ocorridas no gráfico e, então, ao descrevê-

las, começam a formular conjecturas, que contribuem para a dedução de

propriedades, como, por exemplo, as condições para a função ser classificada

em crescente e/ou decrescente.

Nos itens (c) e (f), que abordam as coordenadas do ponto de

intersecção, se o aluno apenas anotar o ponto que está visível na interface,

estará usando características do mundo corporificado. Caso observe pelo

ponto marcado no gráfico, relacionando os eixos x e y com as coordenadas do

ponto, estará usando características do mundo formal.

Os próximos exercícios, ainda da Atividade 7, foram baseados na

Situação de Aprendizagem 3, do CAM, volume 3, páginas 34 até 39, cujo

objetivo é apresentar a função logarítmica como a inversa da função

exponencial.

Como citado anteriormente, o CAM traz um texto explicativo sobre as

características de cada função, exponencial e logarítmica, e as traça num

mesmo plano cartesiano, como apresentado nas Figura 27 (p.77) e Figura 28

(p.77). E na seção “Pesquisa Individual”, sugere para o aluno fazer, com auxílio

dos softwares Graphmatica ou Winplot, a construção das funções inversas e

observar a relação existente entre elas em relação a pontos colocados sobre a

reta, que é a bissetriz dos quadrantes ímpares.

A seguir descreveremos nossas adaptações para os exercícios, do 7 ao

10, da Atividade 7.

Abra um novo arquivo no GeoGebra.

Insira um seletor;

Construa as funções e

;

Construa a reta y = x;

Coloque um ponto A sobre f(x) e outro ponto B sobre g(x);

Meça a distância entre cada ponto e a reta;

137

7) Considerando o valor de a = 2:

a) movimente o ponto A até (0,1) e B (1,0). O que você percebe sobre a

relação entre as distâncias dos pontos até a reta?

b) mova o ponto A para (2,4) e B para (4,2). O que você percebe sobre a


c) Escolha outro valor para representar as coordenadas dos pontos A (m,n) e

B (n,m). Anote as coordenadas de cada um. O que você percebe sobre a


8) Considerando o valor de a = 5:

a) movimente os pontos A e B da mesma maneira do exercício anterior. Anote

as coordenadas de cada ponto. O que você percebe sobre a relação entre as

distâncias dos pontos até a reta?

9) Considerando o valor de a = 0.6:

a) movimente os pontos A e B da mesma maneira do exercício anterior. Anote

as coordenadas de cada ponto. O que você percebe sobre a relação entre as

distâncias dos pontos até a reta?

10) O que podemos concluir sobre a relação entre as funções exponencial e

logarítmica?

Quadro 21: Design da Atividade 7 – Exercícios do 7 ao 10.

Nesses exercícios de 7 a 10, espera-se que o aluno perceba que, ao

movimentar os pontos, as coordenadas ficam invertidas, isto é, A (m, n) e B (n,

m), as distâncias de cada ponto em relação à reta são iguais. Então,

pode-se dizer que esses pontos são simétricos em relação à reta , que é

a bissetriz dos quadrantes ímpares. Isto é, existe uma simetria entre os gráficos

em relação a essa bissetriz. Isso acontece porque as funções são inversas.

Nos exercícios 7, 8 e 9, encontramos características do mundo

corporificado, uma vez que o aluno manipulará os seletores e os pontos,

percebendo as variações ocorridas no gráfico, nas coordenadas desses pontos

em relação à reta construída, e, então, ao descrevê-las, começa a formular

conjecturas, que contribuem para a dedução de propriedades, como, por

exemplo, que esses pontos são simétricos em relação à reta construída, que é

a bissetriz dos quadrantes ímpares. Porém, se o aluno assimilar que isso só

138

acontece em funções que são inversas, formalizará esse conceito entre as

funções exponencial e logarítmica, utilizando características do mundo formal.

Com intuito de relembrar o leitor, compomos o Quadro 22 com a síntese

de nossas atividades, bem como, os objetivos gerais propostos em cada uma

delas.

ATIVIDADE CONTEÚDO OBJETIVO GERAL

1 Função polinomial

de 1º grau

Relacionar a variação gráfica e a

expressão algébrica de acordo com a

variação dos parâmetros.

2 Taxa de Variação Calcular taxa de variação


de 2º grau



variação dos parâmetros, com a lei da

função na forma canônica


de 2º grau




função na forma geral

, com .

5 Resolução de

problemas

Aplicação de funções polinomiais de

1º e 2º graus como ferramenta na

resolução de problemas.

Complementar11

Revisão de

sequências,

generalização

Escrever a sentença matemática que

traduz algumas situações; generalizar

sequências escrevendo o termo geral.

6 Função Exponencial




função na forma .

11

A Atividade Complementar foi inserida após a aplicação da Atividade 5, dada a necessidade apresentada pelos sujeitos.

139

7 Função Logarítmica




função na forma

.

Explorar as funções exponencial e

logarítmica como inversas.

Quadro 22: Síntese das Atividades e objetivos propostos em cada uma delas.

No próximo capítulo, relatamos as etapas da aplicação do nosso

experimento.

140

CAPÍTULO 6:

APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS

Nesse capítulo, apresentamos os resultados da aplicação do

experimento e as reformulações das atividades que se fizeram necessárias

durante o processo de realização do experimento, bem como, as análises dos

dados coletados à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática.

Destacamos que, diferentemente da pesquisa de Dominoni (2005) em

que houve intervenção da pesquisadora, utilizando exemplos de exercícios

similares aos estudados, a fim de auxiliar alunos na resolução da sequência de

atividades propostas no experimento, em nossa pesquisa não fizemos

intervenção durante a realização das atividades, por termos um propósito de

averiguar a possibilidade de integrar a Proposta Curricular do Estado de São

Paulo ao uso de um ambiente informatizado, por meio de atividades adaptadas

do CAM. Talvez, se auxiliássemos nossos alunos, resolvendo exercícios

similares ou mesmo respondendo as dúvidas surgidas nas atividades, eles

compreenderiam com mais facilidade os conceitos envolvidos nas atividades e,

então, nosso propósito ficaria comprometido.

Com intuito de facilitar a leitura e o entendimento daquilo que foi feito

durante a aplicação do nosso experimento de coleta de dados, estruturamos a

apresentação e análise dos dados em quatro etapas, a saber:

Na primeira etapa, relatamos a Sessão 1, referente à aula em que

fizemos o levantamento das concepções prévias dos alunos e a familiarização

com o software GeoGebra.

Na segunda etapa, apresentamos um resumo do que foi feito durante a

aplicação das primeiras atividades, nas Sessões 2 até 10, de funções

polinomiais de 1º e 2º graus, pois vamos nos ater a analisar apenas as

Atividades 6 e 7, de funções exponencial e logarítmica, considerando que a

literatura sobre essas é menos ampla do que daquelas.

141

Na terceira etapa, fazemos a apresentação e a análise dos dados

coletados sob as lentes do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática

sobre a Atividade 6.

Na quarta etapa, fazemos a apresentação e a análise dos dados

coletados sob à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática sobre a

Atividade 7.

Salientamos que, para as análises, consideramos os registros escritos

(protocolos); os vídeos gravados; as entrevistas que se fizeram necessárias; e

as anotações da observadora.

Apresentamos no Quadro 23 uma visão geral das sessões realizadas

durante o Design.

DATA SESSÃO APLICAÇÃO

06/06/12 1 Levantamento das concepções prévias dos sujeitos e familiarização com o software GeoGebra

13/06/12 2 Atividade 1 e Atividade 2

20/06/12 3 Entrevista com todas as Duplas

27/06/12 4 Redesign da Atividade 1


08/08/12 6 Atividade 3

15/08/12 7 Atividade 4

22/08/12 8 Atividade5

29/08/12 9 Atividade Complementar


12/09/12 11 Atividade 6

19/09/12 12 Atividade 7 e Entrevista com a Dupla 3

26/09/12 13 Continuação da Atividade 7

Quadro 23: Síntese das Sessões de aplicação do experimento.

142

6.1. PRIMEIRA ETAPA

A aplicação do nosso experimento teve início no mês de junho de 2012,

e se estendeu até o final do mês de setembro.

De acordo com a Proposta Curricular, no momento em que iniciamos,

os alunos deveriam estar finalizando os estudos sobre o conteúdo de função

polinomial do 2º grau. Porém, ao perguntarmos para a professora da turma, ela

nos relatou que, devido às dificuldades de alguns alunos sobre o conteúdo de

função polinomial do 1º grau, fez revisão de conteúdos por meio de exercícios

extras sobre substituição de valores na expressão algébrica para o cálculo de

f(x); determinação da raiz da função; localização de pontos no plano

cartesiano; construção de gráfico; e situações com alguns problemas que

envolvem função do 1º grau na sua resolução; e, por esse motivo, havia

iniciado o conteúdo de função polinomial do 2º grau no final do mês de maio.

Por causa disso, nosso estudo se iniciou quando os alunos ainda não estavam

familiarizados com função polinomial de 2º grau.

Apresentamos no Quadro 24 as questões que utilizamos na aula de

familiarização com o software GeoGebra para o levantamento das concepções

prévias dos sujeitos. Abordamos as noções de ponto e reta; plano cartesiano;

posição relativa entre retas; funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial

e logarítmica; área e perímetro de figuras planas; classificação da função

polinomial do 1º grau em crescente, decrescente e constante; identificação dos

coeficientes angular e linear; e formalização do conceito de função; por

entender que essas noções são consideradas como requisitos básicos para

realização de nossas atividades adaptadas.

Agora vamos explorar o software, resolvendo alguns exercícios.

1) Construa uma reta qualquer no plano cartesiano. O que foi preciso usar

para traçar essa reta?

2) Construa uma reta paralela a esta outra que foi construída. Por que elas

são paralelas?

3) Construa uma reta perpendicular em relação à primeira reta construída. Por

143

que elas são perpendiculares?

4) Construa uma reta perpendicular ao eixo das abscissas e outra em relação

ao eixo das ordenadas. Personalize as retas.

5) Coloque um ponto de intersecção entre duas retas. Coloque outro ponto

sobre outra reta. Anime-os e observe o comportamento dos dois pontos.

6) Construa o gráfico de funções do tipo , ,

e . Personalize-os. Coloque visível a malha

quadriculada e altere a escala dos eixos x e y.

7) Construa um polígono. Meça a medida dos lados desse polígono. Dê os

valores do perímetro e da área.

8) Abram o arquivo, no GeoGebra, denominado “aula prévia”. Movimentem os

seletores e descreva o que você observa quando a>0, a<0 e a=0. Qual a

classificação para a função nesses três casos?

9) Qual a relação entre o gráfico e a expressão algébrica presente na tela?

10) Qual é a relação dos coeficientes a e b com a expressão algébrica

?

Quadro 24: Questões apresentadas na aula de familiarização com o software

A aula de familiarização com o GeoGebra foi realizada no laboratório de

informática da escola com os seis sujeitos voluntários, dispostos um em cada

computador. Tivemos a presença da professora da turma que atuou como

observadora. Utilizamos um projetor multimídia atrelado a um notebook, a fim

de auxiliar alunos no processo de aquisição dos comandos básicos do

software. Salientamos que, nessa aula, os sujeitos não produziram registros

escritos e, sim, de forma oral, isto é, o pesquisador manteve uma conversa

com os sujeitos. Para analisar os dados, contamos com o vídeo gravado e as

anotações da observadora.

Ao relatarmos a produção dos sujeitos, usaremos pseudônimos, a fim de

manter o anonimato deles. Identificaremos o professor/pesquisador com as

letras (PP); observadora (O); os sujeitos Amanda (A), Brenda (B), Cristina (C),

Jorge (J); Pâmela (P) e Vera (V). A partir da segunda sessão, os sujeitos se

agruparam em duplas, a saber: Dupla 1 (D1) – Vera e Jorge; Dupla 2 (D2) –

Brenda e Pâmela; e Dupla 3 (D3) – Amanda e Cristina.

144

Descreveremos, a seguir, os pontos relevantes da Sessão 1.

No item (1), quando foi perguntado aos sujeitos o que seria preciso para

traçar uma reta, apenas três deles se manifestaram. Os outros sujeitos

permaneceram em silêncio, pensativos, manuseando o “mouse” do

computador.

P: Uma régua. A: Montar uma tabela com vários pontos. V: Apenas dois pontos.

Observamos que o sujeito A está condicionado ao uso de tabelas para

construção de retas, talvez até para gráficos. Já P talvez não tenha

compreendido o objetivo do questionamento. V afirmou com segurança que

bastava inserir dois pontos no plano para traçar a reta. Então, por meio da

ferramenta do software, eles construíram uma reta qualquer.

No item (2), foi perguntado a eles o que seriam retas paralelas. Os

sujeitos A, B, C e P responderam que “são retas que não se cruzam”. B

completou por meio de um gesto com as mãos dispostas paralelamente. J

permaneceu em silêncio. Finalizamos a Questão 2 com a institucionalização

sobre retas paralelas e com a explicação de como construí-las por meio da

ferramenta oferecida pelo software.

No item (3), foi perguntado aos sujeitos o que eles sabiam sobre retas

perpendiculares. Num primeiro momento ficaram em silêncio e, então, se

manifestaram dizendo que não se lembravam. V ainda arriscou uma opinião:

V: São as retas que têm noventa graus? PP: Como assim? Poderia explicar melhor para nós? V: Não sei explicar. Só acho que tem alguma coisa de ângulo de noventa graus.

Após essa fala, retomamos os conceitos de retas paralelas e

perpendiculares; ponto de intersecção entre as retas perpendiculares;

construção dessas retas com auxílio da ferramenta disponível no software.

No item (4), os sujeitos foram questionados pelo pesquisador sobre os

eixos das abscissas e das ordenadas.

P: O que é abscissa e ordenada? PP: Alguém quer responder para P? V: Abscissa é x e ordenada é y.

145

P: Ah, tá! Então x “tá” em pé e y “tá” deitado? Ou é o contrário? B: É o contrário, x “tá” deitado e y “tá” em pé, não é, professora? P: Ah, tá! (risos)

Observamos por meio dessas falas que P estava em conflito quanto à

localização dos eixos x e y. Ele identificou que um dos eixos está disposto

horizontalmente e outro verticalmente, porém não sabia qual é x ou y, isto é,

eixos das abscissas ou das ordenadas. Assim, talvez tenha dificuldades para

determinar as coordenadas de pontos no plano cartesiano, ou identificar pares

ordenados. Os outros sujeitos apenas observaram a conversa entre o

professor/pesquisador e esse sujeitos. Após essa conversa, o

professor/pesquisador enfatizou a disposição dos eixos coordenados no plano

cartesiano.

No item (5), o foco foi apresentar a diferença entre duas ferramentas

disponíveis no software: “ponto de intersecção” e “ponto sobre o objeto”, sendo

o primeiro um ponto fixo e o outro um ponto que se desloca sobre o objeto,

nesse caso, a reta.

No item (6), o objetivo foi avaliar as concepções dos sujeitos sobre as

funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponencial e logarítmica. Num primeiro

instante, foi perguntado aos sujeitos sobre a função f.

PP: Turma, alguém sabe me dizer que tipo de função é a f(x)?

Os sujeitos A, C, V e J responderam que era uma função do 1º grau. Os

sujeitos B e P ficaram em silêncio.

PP: Sendo f(x) uma função de 1º grau, como é o seu gráfico?

Apenas V respondeu que era uma reta. Os sujeitos A, B e P disseram

que não lembravam e os sujeitos J e C ficaram em silêncio.

PP: Agora, que tipo de função é a g(x)? V: É do 2º grau. PP: Por quê? A: Porque tem o ‘2’ no expoente. PP: Tem certeza? A: Não sei. A professora que falou que era assim. V: A professora falou que o grau da ‘equação’ é o maior número do expoente x. PP: Sendo g(x) uma função polinomial de 2º grau como é o seu gráfico?

146

Os sujeitos A, C e V disseram que é uma parábola. Os sujeitos B e J

ficaram em silêncio, e o sujeito P disse que parecia um “U”.

PP: Mas pode ser um ‘U’ invertido, isto é, “ ”? P: Não! C: Pode sim! Se a função for ‘decrescente’ o ‘U’ é pra baixo. PP: Como assim? Poderia explicar melhor? C: Se o número que acompanha x

2 for positivo o ‘U’ é pra cima

porque a função é ‘crescente’. E se for negativo o ‘U’ fica pra baixo porque é decrescente. PP: O que é decrescente? C: A função! V: Acho que não é isso, professora. PP: Como é então? V: Quando x

2 é negativo, o gráfico tem concavidade pra baixo e

quando x2 é positivo, ela é pra cima.

PP: Tem certeza? V: Acho que sim. PP: Alguém mais quer opinar?

Os sujeitos ficaram em silêncio após a pergunta do pesquisador.

Segundo relato da observadora, os sujeitos J e B fizeram um gesto de

concordância, com a cabeça, enquanto V apresentava suas conjecturas. Não

fizemos a institucionalização sobre o conceito de função porque está no

objetivo de nossas atividades o estudo da função polinomial de 2º grau. Porém,

a professora da turma, que é nossa observadora, se manifestou após essa

sessão, nos dizendo que estava ensinando justamente esses tópicos em sala

de aula, isto é, fazendo um estudo sobre o gráfico da função quadrática, da

concavidade dela, e da análise dos intervalos de crescimento ou decrescimento

dessa função.

PP: E a função h(x)? Alguém sabe qual é? A: É função de potência? PP: Não! E a j(x)? Qual função ela é? P: Nem imagino. O que é “log”? B: A gente não aprendeu isso.

Os outros sujeitos concordaram com o sujeito B.

Prosseguimos com o item (7). Primeiramente, foi perguntado aos

sujeitos “O que é um polígono?”. Eles responderam que é um triângulo; um

quadrado; um retângulo, até que o sujeito V disse que “é uma figura com vários

lados”. No GeoGebra, o ícone do comando de construção de polígonos é

identificado com a figura de um triângulo. Então, cinco dos sujeitos construíram

um triângulo e apenas um fez um quadrilátero. Nesse item, também foram

147

trabalhados os comandos de medições de lados de figuras, área e perímetro

delas.

No item (8), os sujeitos tinham que abrir o arquivo apresentado na Figura

39, que continha o deslocamento de um carro de acordo com a variação dos

valores dos coeficiente na função. O objetivo é levantar as concepções dos

sujeitos sobre os coeficientes da função, inclinação da reta, entre outros, uma

vez que a turma já esteve em contato com o conteúdo de função polinomial de

1º grau.

Figura 39: Atividade da aula de familiarização com o GeoGebra Fonte: Arquivo pessoal

Foi perguntado aos sujeitos o que eles observaram ao movimentar os

seletores de acordo com o que pedia no enunciado da questão: a>0, a<0 e

a=0.

P: Quando a>0 o carro anda pra frente, quando a<0 o carro anda pra trás e quando a=0 o carro fica parado.

148

PP: Por quê? Alguém sabe me explicar?

Os sujeitos permaneceram em silêncio observando, cada um, a interface

do seu computador.

PP: Alguém mais quer falar outra observação? V: Eu quero! Eu observei que, quanto maior eu coloco o valor do a, mais rápido meu carrinho anda. PP: Alguém sabe por quê? B: Porque a reta fica mais em pé! PP: Por quê?

Todos ficaram em silêncio.

PP: E quanto à classificação que está pedindo no item (8). Quem quer falar?

Os sujeitos A, B, C, P se manifestaram dizendo que não se lembravam.

O sujeito J permaneceu em silêncio. O sujeito V fez uma observação.

V: Eu acho que a>0 é crescente; a<0 é decrescente e a=0 não sei o nome. PP: Alguém sabe?

Todos os sujeitos permaneceram em silêncio.

Nos itens (9) e (10), ao serem questionados quanto às relações entre o

gráfico e a expressão algébrica, e entre os coeficientes e a expressão

algébrica, alguns sujeitos disseram que não se lembravam e outros disseram

que não sabiam, isto é, não tivemos respostas para estes itens.

De maneira geral, concluímos que esse grupo de alunos apresenta

conhecimentos sobre o comportamento das retas paralelas e perpendiculares,

no plano, porém não conseguem elaborar uma definição formal sobre elas.

Apresentam conhecimentos prévios sobre as leis das funções

polinomiais de 1º e 2º graus, reconhecendo que a expressão algébrica

representa uma função de 1º grau e que é

de 2º grau. Também, reconhecem que os gráficos são representados,

respectivamente, por uma reta e uma parábola. Porém, apresentaram

dificuldades em relacionar os coeficientes com a expressão algébrica e com as

mudanças provocadas no gráfico.

Por exemplo, na questão em que foi apresentado o gráfico do

movimento do carro, por meio da manipulação dos seletores, tinham que

149

observar as mudanças ocorridas graficamente para relacioná-las aos

coeficientes. Os alunos não conseguiram responder qual era a relação

existente entre o gráfico e os coeficientes na expressão algébrica. Ou seja, os

alunos apresentaram dificuldades para identificar o coeficiente angular a como

sendo a inclinação da reta e o coeficiente que acompanha x, e que b é o

coeficiente linear ou termo independente da função, cujo valor representa a

intersecção com o eixo y e, ainda, quando o seu valor é adicionado à função,

provoca a translação do gráfico verticalmente em relação ao eixo y.

Também apresentaram dificuldades para formalizar a condição da

classificação das funções polinomiais de graus 1 e 2 em crescente ou

decrescente. Ainda na função quadrática responderam com maior facilidade as

questões que abordavam a relação entre coeficiente a e a concavidade da

parábola e os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.

Embora não tenham respondido de maneira formal, apresentaram indícios de

que possuem uma noção. Quando questionados se já haviam estudado esse

conteúdo, os alunos responderam que sim, isto é, a professora estava

abordando essa parte da matéria em sala de aula.

Ressaltamos que nossas atividades adaptadas de função polinomial de

2º grau foram aplicadas somente no mês de agosto, pois no mês de junho,

quando iniciamos as aplicações das atividades de função polinomial de 1º grau,

se fizeram necessários os redesigns das atividades 1 e 2 e as entrevistas para

esclarecimentos das dúvidas sobre o que escreveram nos protocolos. Logo

após os alunos já entraram em recesso escolar.

Em relação às funções exponencial e logarítmica, os alunos não

apresentaram conhecimentos prévios porque ainda não tiveram contato com

esses conteúdos, uma vez que está previsto o estudo deles no 3º bimestre,

segundo a Proposta Curricular de São Paulo.

De acordo com relato da professora da turma, o estudo das funções

exponencial e logarítmica acabou protelado para o 4º bimestre, pelo motivo de

ter percebido a necessidade de retomar o conteúdo de função polinomial de 2º

grau, que foi abordado em sala de aula de maneira muito superficial, devido ao

tempo mínimo de aula que tinha antes do recesso escolar. Ainda, percebeu

150

que muitos alunos não tinham compreendido esse conteúdo, principalmente na

resolução de problemas que requerem as funções polinomiais de graus 1 e 2

como ferramenta para resolução.

Percebemos, de maneira geral, que esse grupo de sujeitos apresenta

dificuldades em compreender o conceito de função polinomial de 1º e 2º graus;

relacionar o gráfico, bem como, os coeficientes com a expressão algébrica;

identificar os eixos coordenados x e y; dentre outras dificuldades que também

foram apontadas por meio das literaturas.

Por esse motivo, em nossas adaptações das atividades, elaboramos

questões que contemplam esses conteúdos, a fim de auxiliar alunos a

minimizarem tais dificuldades.

Agradecemos a presença deles e encerramos a primeira sessão,

pedindo para que não faltassem na próxima, pois iríamos dar início ao

experimento de ensino.

6.2. SEGUNDA ETAPA

Adaptamos do CAM um total de sete atividades, sendo cinco delas

referentes a funções polinomiais: a Atividade 1, relacionada ao estudo da

função polinomial de 1º grau; na Atividade 2, um estudo da taxa de variação da

função polinomial de 1º grau; Atividades 3 e 4 abordam a função polinomial de

2º grau nas formas canônica e geral, respectivamente; e Atividade 5 refere-se

ao estudo de dois problemas que envolvem, na resolução, funções polinomiais

de 1º e 2º graus.

Na segunda sessão, aplicamos as Atividades 1 e 2, e percebemos que

houve grande confusão em relação aos coeficientes a e b da função com os

seletores e com as variáveis x e y. Talvez, por serem as primeiras atividades

realizadas com esses seletores, os sujeitos não compreenderam o fundamento

deles com aquilo que queríamos que percebessem em relação às variações do

gráfico e da expressão algébrica. Por exemplo, na concepção das duplas, o

151

valor marcado no seletor a era o valor de x e o valor marcado no seletor b era

o valor de y. Evidências desse fato são apresentadas no quadro a seguir, em

que relatamos, como exemplo, as produções de uma das duplas, na Atividade

2, que foi exibida no Quadro 2 (p.94).

AT. 2 Item (a) Item (b) Item (c) Item (d)

D1

O y não varia,

continua no

mesmo (0).

Nenhuma

unidade varia.

O valor de x

pode variar em

qualquer

número, mas o

y não varia pois

y=0.

Nenhuma

unidade, só irá

andar se

mexermos no

seletor b, e y

mudaria de

valor (função

linear).

Quadro 25: Atividade 2 – Produção da Dupla 1

Analisando o quadro acima, julgamos que seria necessária uma

entrevista para a dupla esclarecer algumas das respostas dadas. Quando

entrevistada, D1 afirmou que, para eles, o valor atribuído ao seletor a era o

valor da variável x, e o valor atribuído ao seletor b era o valor da variável y. É o

que podemos observar na transcrição do trecho do diálogo da entrevista com

D1.

PP: A função fica positiva ou negativa? Qual a ideia de vocês ao escreverem isso? V: Vamos supor: se a gente mexe no seletor a pra frente, o valor do x da função vai aumentando, aí fica positivo porque aumenta o valor. Se mexer pra esquerda vai diminuindo, aí o valor de x da função fica negativo. Acho que é isso que a gente quis dizer. PP: Nessa outra questão vocês colocaram quando a>0 o valor é sempre positivo. Qual é o valor que é “sempre positivo”? V: Do x, que é do seletor a. PP: Na próxima pede pra definir os coeficientes a e b da função. Me falem um pouco sobre o que vocês perceberam. J: Quando você mexe no seletor b, você vai mudar o valor de x. V: Do y. PP: Tem certeza, J. Mexe lá no seletor b pra verificar. Após alguns minutos: PP: O que você observou mexendo no seletor b? J: Que aí sempre vai mudar o y. Não, o x. Não, o y. V: O y. PP: Então, mexendo no seletor b você observa que varia o quê? V: O valor do y. J: É, o valor do y. Quando você mexe no a varia o valor do x. V: No gráfico. PP: Então, pra vocês o que seria o a e b da função? V: o a ‘tá’ mudando no x e b no y.

152

Quando questionados sobre o significado da palavra “variação” naquele

item, D1 respondeu que era a movimentação feita nos seletores. Quanto à

ideia de “unidade”, para eles, significava o aumento ou a diminuição de uma

unidade no seletor a. Vamos observar a transcrição do trecho do diálogo da

entrevista de D1que retrata esse equívoco.

PP: Pra vocês, qual a ideia de variação? V: Variação? PP: É. V: Vamos supor: mudando o seletor a, que é do x, o valor do y não muda, continua no mesmo lugar que é zero. PP: E quando a gente fala varia ‘uma unidade’, o que vocês pensaram? O que significa ‘unidade’ pra vocês? J: A gente aumentou uma unidade no seletor a. PP: Foram aumentando de uma em uma unidade no seletor a? V: É. Pra ver se o y mudava e continuou no mesmo valor. PP: Nessa outra, diz: quando x varia uma unidade, quantas unidades variam no y? V: A gente foi movendo o a sempre de um em um e a gente foi vendo que o y nunca mudou de valor. PP: Porque vocês estão observando o y aqui no seletor b. É isso? V: É, e ‘tá’ sempre igual a zero. PP: Então, muda o b de lugar, se esse é o problema. Coloca num número qualquer. Agora varia o a. Qual a ideia de vocês sobre o que aconteceu? J: ‘Tá’ variando o x, mas o y permanece o mesmo. PP: Certeza? V: Sim. Vamos supor, se deixar o y no 2, mesmo mudando o a o y não muda, continua no 2. Aí pode colocar o a negativo ou positivo e o y que é 2 agora continua no mesmo valor, y vai variar se mudar o valor de b. (Nesse momento, o sujeito V movimentava o seletor a para a direita e para a esquerda).

De maneira geral, constatamos que, por causa dessa interpretação

equivocada das duplas, as resoluções das primeiras atividades ficaram

comprometidas, fazendo-se necessário um redesign delas. A partir dessas

atividades, passamos a aplicar apenas uma atividade por sessão e já fazíamos

o redesign logo em seguida, se necessário fosse. Não entraremos em detalhes

sobre a atividade remodelada porque não será alvo de nossa análise. No

entanto, ressaltamos que a Atividade 1 se encontra no Apêndice D (p.221); a

Atividade 2, no Apêndice E (p.222); e o redesign da Atividade 1, no Apêndice F

(p.223).

Na sessão cinco, em que foi feito o redesign da Atividade 2, apresentada

no Apêndice G (p.225), explicamos para as duplas o equívoco que cometeram

em relação aos seletores e os coeficientes da função, e a partir de então, as

duplas se habituaram que, ao manipularem os seletores, era esperado que elas

153

observassem as modificações ocorridas no gráfico, relacionadas aos

coeficientes, quando inseridos na expressão algébrica.

As dificuldades apresentadas por alunos em questões que envolvem a

interpretação gráfica para o estudo de taxa de variação também foram

evidenciadas nas pesquisas de Scano (2009).

Essas duas atividades de redesign que fizemos foram importantes

também, no sentido de aprendermos como se deviam formular as indagações

para os alunos. Por exemplo, na Atividade 1, apresentada no Quadro 1 (p. 91),

fizemos a seguinte pergunta: “O que você observa no gráfico e na expressão

algébrica quando arrasta o seletor a para a direita? E para a esquerda?”.

Então, percebemos a confusão em massa por causa do uso da palavra

“seletor”, uma vez que os alunos ficaram focados apenas nos valores

assinalados nele, relacionando-os com os valores das variáveis x e y, para

analisar e calcular a taxa de variação, por exemplo.

A partir de, então, passamos a formular as indagações de maneira

diferente como, por exemplo, na Atividade 3, apresentada no Quadro 3 (p.97):

“O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume

valores positivos? E negativos?”. Tanto é, que nessa Atividade 3, apresentada

no Apêndice H (p.226), e na Atividade 4, apresentada no Apêndice I (p.227),

não houve a necessidade de um redesign, pois os alunos compreenderam que

estávamos nos referindo a valores para o coeficiente a, e não para valores da

variável x. Assim, conseguiram fazer as análises propostas na Atividade, sem

maiores problemas. Vale lembrar também que esses alunos estavam

estudando a função polinomial de 2º grau em sala de aula, o que acarretou

numa habilidade a mais para resolução das Atividades 3 e 4 propostas, não

havendo a necessidade de um redesign.

Outro ponto que gostaríamos de ressaltar está relacionado com a

Atividade 5, apresentada no Apêndice J (p.228), que tinha como objetivo a

resolução de dois problemas envolvendo funções polinomiais de 1º e 2º graus.

Além da reformulação das questões, se fez necessária a elaboração de uma

Atividade Complementar, apresentada no Apêndice K (p.230), que abordasse

representação algébrica, pois todas as duplas deixaram de responder ao item

154

(e) do Problema 1, em que foi solicitada a expressão algébrica que

representasse a área do retângulo exibido junto ao enunciado do problema.

Então, lançamos mão do CAM, volume 1, para elaborar algumas atividades e

refazer outras que constavam nele, a fim de retomar o estudo de

representações algébricas e a noção da representação do termo geral de uma

sequência. Após a resolução da Atividade Complementar, fizemos o redesign

da Atividade 5, apresentada no Apêndice L (p.232).

Ressaltamos que as atividades 1, 2, 3, 4, 6 e 7 são similares, pois usam

a manipulação dos seletores para que os alunos compreendam as

modificações ocorridas no gráfico quando os coeficientes variam de acordo

com as expressões algébricas como, por exemplo, ,

ou . Ou seja, por meio da manipulação dos

seletores, as duplas deveriam observar as variações ocorridas no gráfico,

relacionando os coeficientes com a expressão algébrica, de acordo com a

inserção de cada um desses coeficientes na função. Assim, as primeiras

atividades, juntamente com seus respectivos redesigns, foram determinantes

para a realização das demais atividades para as quais quase não foram

necessárias atividades de redesign.

Com a resolução dessas atividades, os alunos aprenderam,

principalmente, a relacionar a variação do gráfico com os valores que são

atribuídos a cada um dos coeficientes da função; a determinar o crescimento

ou decrescimento das funções polinomiais de 1º grau de acordo com os

valores dos parâmetros; a calcular taxa de variação; a relacionar as

propriedades da função polinomial de 2º grau, nas formas canônica e geral,

como, por exemplo, verificar a translação, horizontal ou vertical, do gráfico da

função apenas analisando a expressão algébrica na forma canônica; a utilizar

as funções polinomiais de 1º e 2º graus como ferramenta na resolução de

problemas; entre outros.

Em geral, predominaram características corporificadas na resolução

dessas atividades, uma vez que os alunos descreveram suas percepções

sobre o objeto matemático, por meio da manipulação dos seletores

disponibilizados pelo software.

155

A seguir, faremos a apresentação e a análise dos dados coletados com

as Atividades 6 e 7, apresentadas respectivamente, no

Apêndice M (p.234) e no Apêndice N (p.238). Ressaltamos que se fez

necessária mais uma entrevista com a Dupla 3, para entendermos o motivo de

atribuírem ao gráfico da função exponencial o nome de parábola.

6.3. TERCEIRA ETAPA: ANÁLISE DA ATIVIDADE 6

Na sessão onze, foi aplicada a Atividade 6, referente ao conteúdo de

função exponencial, que tinha por objetivos o reconhecimento de funções do

tipo , como sendo a lei da função exponencial; a identificação das

modificações do gráfico de acordo com a inserção de cada coeficiente na

função , relacionando, ainda, com as variações da

expressão algébrica; a classificação da função em crescente ou decrescente; e

a percepção da condição de existência desse tipo de função.

Essa atividade foi um pouco mais extensa do que as anteriores, levando

cerca de três horas para a finalização. Os sujeitos foram alertados quanto ao

tempo, mas não quiseram parar a resolução, alegando que, apesar de estarem

cansados, já estavam no final e gostariam de concluir as ideias deles.

Em geral, essa atividade proporcionou aos alunos o entendimento de

que o gráfico da função exponencial do tipo é uma curva que se

forma de acordo com algumas propriedades como, por exemplo, quando se

atribui ao coeficiente a um valor menor que zero, ela é inexistente; para 0<a<1,

ela é decrescente; e para a>1, ela é crescente. Além disso, eles perceberam as

variações que ocorrem no gráfico quando são atribuídos valores positivos,

negativos, e zero aos coeficientes da expressão algébrica, e descreveram as

conjecturas levantadas nas questões usando, principalmente, características

do mundo corporificado. Os alunos não conseguiram se expressar

matematicamente por meio de uma linguagem mais formal.

De acordo com o levantamento feito nas pesquisas de Alves (2010) e

Silva (2012), podemos dizer que a compreensão dessas propriedades de

156

função exponencial foi facilitada pelo uso do software que proporcionou aos

alunos uma melhor visualização do comportamento dos gráficos e,

consequentemente, um melhor estudo das propriedades das funções,

propiciando, ainda, o diálogo entre as duplas, a formulação de hipóteses e a

validação das conjecturas.

Ainda, relembramos a importância das experiências adquiridas por meio

das atividades anteriores e de alguns redesigns, que influenciaram no

entendimento e resolução dessa Atividade como, por exemplo, relacionar os

valores atribuídos aos seletores com os coeficientes na expressão algébrica e,

não, com os valores das variáveis x e y; ou perceber o comportamento do

gráfico de acordo com o movimento de um dos seletores, buscando a relação

existente entre eles.

A seguir, faremos uma análise geral das três duplas, apontando as

evidências ou os dados que nos pareceram mais interessantes e pertinentes,

de maneira a enriquecer nossa análise e, consequentemente, nossa pesquisa,

para que possamos atingir os objetivos, respondendo nossas questões de

pesquisa. Lembramos que os dados foram analisados sob as lentes do quadro

teórico dos Três Mundos da Matemática, e que optamos por não fazer as

institucionalizações ao final de cada atividade, pois queríamos analisar o que

os alunos conseguiram produzir sem a intervenção do professor/pesquisador.

Na Atividade 6, as duplas responderam todos os itens, não ficando

nenhum tópico em branco. De maneira geral, as duplas conseguiram assimilar

que a função desenha o gráfico de uma curva. Apenas D3 se

equivocou apontando que era o gráfico de uma parábola. Como evidências

disso, na Figura 40 apresentamos a produção da D3, em que há o comentário

sobre a concavidade da parábola de acordo com a variação do coeficiente a.

157

Figura 40: Atividade 6 – Exercício 2 – Produção da D3. Fonte: Acervo pessoal.

Assistimos ao vídeo gravado da D3, e observamos que há uma confusão

entre a dupla quanto ao nome do gráfico. O sujeito A fala em reta e o sujeito C

convence A de que é uma parábola porque faz curva. Na verdade, percebemos

a necessidade da dupla em atribuir um nome ao gráfico da função exponencial,

uma vez que, nas funções já estudadas como, por exemplo, a função

polinomial do 1º grau, o gráfico recebeu o nome de reta; na função polinomial

do 2º grau, o gráfico recebeu o nome de parábola. A seguir, transcrevemos o

trecho em que consta a afirmação da D3 sobre o nome parábola, quando foi

entrevistada.

PP: Percebi nas atividades que vocês chamam o gráfico de parábola. Gostaria que vocês me dissessem como vocês perceberam isso. A: Eu tinha falado que era reta, mas ‘tava’ errado. C: É parábola, porque tem abertura. (Faz um gesto, unindo as mãos, como indicado a seguir na Figura 41) A: É concavidade. PP: Tem certeza? C: Sim, a gente “tá” vendo isso na sala de aula. PP: “Isso” o quê? C: Parábola, concavidade. A: Função quadrática. C: É. A: Tem o a também. C: O a muda a concavidade.

Figura 41: Imagem capturada durante a entrevista com a D3. Fonte: Acervo pessoal.

Concluímos, então, que essa confusão da D3 está relacionada ao fato

da dupla estar estudando a função polinomial de 2º grau e, ainda, de não ter

conhecimento algum sobre a função exponencial. Assim, D3 atribuiu ao gráfico

um nome que fosse do seu conhecimento, que foi ‘parábola’, pelo fato do

gráfico fazer uma curva que, para eles, lembrava uma parábola. Então, a dupla

está sendo influenciada por experiências anteriores na construção de novos

conceitos, ou seja, estão utilizando “já-encontrados”, nesse caso, o termo

158

‘parábola’, para expressar o nome do gráfico da função exponencial, do qual

ainda não tem conhecimento algum.

Quanto à classificação da função exponencial em crescente ou

decrescente, podemos dizer que a atividade proporcionou às duplas a

aprendizagem desse objeto matemático que, por meio da atribuição de valores

para o coeficiente a, (manipulando o seletor a), conseguiram assimilar a

relação entre a variação desse coeficiente e o gráfico, assim como os alunos

de Dominoni (2005) e Alves (2010) também o fizeram. Ao responderem ao

item, as duplas estão construindo a noção da condição de existência da função

exponencial, que está implícita na atividade, usando características do mundo

corporificado, pelo fato de descreverem aquilo que perceberam, por meio da

manipulação do seletor a, não fazendo conexão com o mundo formal. É o que

evidenciamos, por exemplo, na produção da Dupla 2.


Já para a conclusão sobre o comportamento do gráfico de acordo com a

inserção de cada um dos parâmetros na função, de modo geral, as duplas

conseguiram conjecturar e definir relações pertinentes às propriedades

esperadas para aquela função. Percebemos essas atitudes por meio do diálogo

entre as duplas, gravado no vídeo, e nos protocolos. Por exemplo, vamos

observar o diálogo da D2 sobre o levantamento das hipóteses e conjecturas em

relação à conclusão do “papel” do coeficiente b quando inserido na função, e o

que escreveram no protocolo.

B: Presta atenção que eu vou mexer o seletor. (movimenta o seletor b) P: Olha! O mesmo valor ‘tá’ aqui! (apontam o dedo para a tela do computador) B: Então b é o ponto que intercepta o eixo y.

159

Figura 43: Atividade 6 – Exercício 3 – Produção da D2 Fonte: Acervo pessoal.

Observamos que a dupla compreendeu parcialmente o “papel” do

coeficiente b em relação à variação gráfica, pois percebeu que o valor atribuído

a b, corresponde ao valor em que o gráfico intercepta o eixo y e que ele é

responsável pelo crescimento ou decrescimento da função pelo fato de estar

multiplicando a base da potência, porém, os alunos não perceberam que ele

não é o único coeficiente que está relacionado a essa finalidade (identificar o

crescimento/decrescimento), ou seja, o coeficiente a, referente à base, também

deveria ser levado em consideração. Nessa questão, estavam fixos os

seletores c=1, d=0, e=0. Então, a dupla estava trabalhando com a lei da função

na forma e analisou, por meio da manipulação do seletor b, o que

acontecia em relação à variação do gráfico que construiu por último e que

estava visível na interface do software ( , isto é, não conseguiu

generalizar para outras situações como, por exemplo, que há duas

possibilidades para a função ser crescente: quando for atribuído à base um

número a tal que 0<a<1 e b<0 e para a>1 e b>0; e duas possibilidades para a

função ser decrescente: quando for atribuído à base um número a tal que

0<a<1 e b>0 e para a>1 e b<0. Além disso, nenhuma das duplas mencionou os

quadrantes em que os gráficos ficavam desenhados, ao movimentarem os

seletores, como era esperado em nossa análise preliminar.

Identificamos que as duplas utilizaram, nessa questão, características do

mundo corporificado porque descreveram as conjecturas delas apenas do que

perceberam em relação a um caso peculiar da função, não conseguindo

generalizar para todas as situações a condição de crescimento e

decrescimento da função exponencial escrita na forma ,

formalizando o conceito. Para Dominoni (2005), os alunos não conseguem

expressar por meio de registros em linguagem natural aquilo que observam na

representação gráfica, por causa da falta de um vocabulário adequado.

160

Entretanto, o nosso quadro teórico nos permite fazer uma análise diferente da

análise feita por Dominoni (2005) em relação ao referencial teórico dela, isto é,

os nossos alunos fazem os registros na língua natural daquilo que observam no

registro gráfico, porém o fazem sem conexão com o mundo formal, isto é, usam

características corporificadas.

Verificamos, ainda, que a dupla utilizou “já-encontrados” que acabaram

interferindo de maneira negativa para a análise e conclusão do “papel” do

coeficiente b, que foi o fato de ter pensado no “sinal” do número atribuído ao b,

ou seja, quando foi atribuído um número positivo, então, a função era

crescente; quando foi atribuído um valor negativo, então, a função ficou

decrescente. Nesse momento, a dupla não percebeu que tinha que levar em

consideração, também, o valor da base a da função exponencial para a

determinação do crescimento ou decrescimento da função. Evidenciamos esse

fato por meio da transcrição do trecho do diálogo entre a D3, no momento da

resolução da atividade. Vale ressaltar que em todas as transcrições de diálogos

entre as duplas, onde se encontram os sinais de reticências significa que o

sujeito fez uma pausa em sua fala para reflexão.

A: Escolha um valor positivo para representar b e anote a função. C: ‘Tá’ ótimo, . A: Essa função é crescente ou decrescente? A: Crescente. C: Crescente, pois... A: Crescente, pois o valor de b é positivo. A: Escolha um valor negativo para representar b. C: Coloca um número redondo. A: Anote a expressão algébrica, por favor. C: Sim, , a função é decrescente. A: Mas o que você ‘tá’ respondendo? C: Aqui ‘oh’ se a função é crescente ou decrescente. A: A função é decrescente. Por quê? Porque b é negativo. C: Pois o valor de b é negativo.

Talvez se tivéssemos colocado logo em seguida uma questão, sendo a

base atribuída com um número a tal que 0<a<1 e pedíssemos para fazer a

mesma análise, atribuindo valores positivos e negativos ao b, os alunos teriam

percebido que tinham que relacionar com algo mais, ou seja, com a base da

potência para determinação do crescimento ou decrescimento da função.

Ressaltamos um fato que achamos interessante durante a execução das

atividades. Assistimos aos vídeos gravados das duplas e comparamos com o

161

que escreveram nos protocolos. Durante a execução das atividades, as duplas

discutem entre si, levantando conjecturas e chegam a conclusões próximas do

que esperávamos para os itens das questões. Porém, quando respondem no

protocolo, escrevem conclusões equivocadas que não condizem com o que

pensaram inicialmente para a questão.

Por exemplos, em um pequeno trecho relatado a seguir, extraído do

vídeo da gravação do diálogo entre os sujeitos da D1, observamos que eles

conseguem ter a percepção e o entendimento que gostaríamos que tivessem

para aquele item, sobre a mudança que ocorre no gráfico quando é inserido o

coeficiente c na função. Porém, ao passarem para o papel, escrevem de outra

maneira, ou seja, a seguir vamos comparar o que D1 discute em relação à

definição, para eles, do coeficiente c na função, com aquilo que escrevem no

protocolo.

V: O número do c é o número do expoente. J: Mexe de novo. É o expoente que determina o jeito que vai ser o gráfico. V: Acho que na abertura do gráfico. Ele fica mais alongado.


Entendemos, nesse diálogo, que a dupla demonstra a percepção de que

o coeficiente c, como está inserido no expoente, influencia na “abertura” do

gráfico, ou seja, pode ser que tenham compreendido que influencia na forma

do gráfico, determinando um crescimento ou decrescimento mais acentuado da

curva e, consequentemente, da função no momento que o sujeito V usa o

termo “mais alongado”, que é aquilo que esperávamos que as duplas

percebessem. A produção oral da dupla é melhor que a escrita. Isso revela a

importância de se trabalhar com mais de um tipo de dado de análise.

Outra dupla, a D2, também relacionou o expoente da função com a

abertura do gráfico, é o que podemos observar, a seguir, na transcrição do

trecho que retrata o diálogo entre a dupla.

162

B: O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume valores positivos? P: Tem que mexer aí pra ver o que acontece. B: Vai mudando a aberturazinha ali ‘oh’, ‘tá’ observando? P: ‘Tô’. Então quando c assume valores positivos... B: Muda a abertura. P: Mas tem que falar o que acontece. B: Eu ‘tô’ falando. Muda a abertura. P: Então, mas se você mexer pra cá, também vai abrir. Ele quer saber o que acontece quando é positivo e negativo. B: Ai, Deus! Quando é positivo ele ‘tá’ mudando a abertura em relação a x e y positivos. P: Ah, ‘tá’! Quando ele é positivo, ela fica mais próxima ou longe do eixo y. (ele: o valor de c; ela: a curva). B: Quanto maior for o valor do c, mais perto da reta ela vai ‘tá’, né? P: Perto do eixo y. B: É, mas vai acontecer a mesma coisa quando ele ‘tiver’ negativo.

Queremos relatar, ainda, com essa questão sobre a inserção do

coeficiente c na função, que despertou uma discussão entre os integrantes da

D3, de maneira que apresentaram uma percepção a mais em relação aos

parâmetros responsáveis pelo crescimento ou decrescimento da função.

Vamos observar a transcrição do trecho do vídeo gravado da D3.

A: Escolha um valor negativo para representar c. Anote a expressão algébrica.

C: . É decrescente. Tem que falar? A: Sim. E justifique a resposta. C: É decrescente, pois... Acho melhor a gente colocar que é do valor do c. A: Coloca o expoente porque a gente já descobriu que c que é o expoente da função. C: Então, ‘tipo’, duas coisas determinam se a função é crescente ou decrescente. A: O quê? C: O valor do b e c. A: É, mas b continua positivo e a função é decrescente. C: Porque b é positivo e c é negativo. Após responderem no protocolo, o sujeito A continuou a leitura do próximo item, que era o (f) e, então, começaram a discussão. A: Aqui não diz se é número negativo ou positivo.

C: Vamos pôr essa . A: Essa função é crescente ou decrescente? C: Crescente. A: Justifique sua resposta. É crescente, porque o expoente é positivo. C: Mas o b também. A: Muda o b negativo aí. C: Ui! (essa expressão de espanto foi porque o gráfico mudou bruscamente dos quadrantes I e II para III e IV; estava crescente e inverteu para decrescente). A: Coloca c negativo depois. Após alguns minutos. A: O expoente ainda que determina se ela é crescente ou decrescente. C: O b também. A: O b também. E o a também deve determinar.

163

C: Então, é crescente, pois os valores de b e c são positivos.

Percebemos, por meio desse diálogo, que D3 ainda não relacionou a

base com os coeficientes b e c da função para determinar o crescimento ou

decrescimento da curva, apenas demonstrou uma ideia de que o coeficiente a

possa estar relacionado para esse fim, porém não testaram suas conjecturas,

movimentando o seletor a. Se eles escolhessem para a base um valor a tal que

0<a<1, perceberiam que a base também teria influência para determinação da

função em crescente ou decrescente.

Identificamos que os sujeitos utilizaram características do mundo

corporificado, uma vez que descreveram as percepções de acordo com a

manipulação do seletor, relacionando o coeficiente c com a expressão

algébrica e o gráfico. Embora não conseguissem formalizar o conceito,

apresentaram uma ideia inicial de que o expoente está relacionado com o

crescimento acentuado da curva.

A observação feita pelo sujeito P da D2, a respeito do gráfico chegar

mais perto do eixo y, foi apontada na pesquisa de Dominoni (2005), cujos

sujeitos também responderam que “a curva se aproxima de y” (DOMINONI,

2005, p.84) e, ainda, alguns se equivocaram ao se referirem ao aumento da

base, e não ao aumento do expoente da função. A autora afirma que os alunos

estavam se referindo ao crescimento acentuado da curva. O problema é que

eles não conseguem expressar em linguagem natural aquilo que observam

graficamente por conta da defasagem no vocabulário. Diferentemente para

nós, o nosso quadro teórico nos permite fazer outra análise sobre essa

questão, revelando que os alunos apresentam falta de conexão com o mundo

formal, ao utilizarem características corporificadas para expressar as

percepções dos objetos matemáticos, alvos do estudo.

Nosso próximo item de análise é referente à conclusão das duplas sobre

o coeficiente d da função. Citamos, a seguir, mais um exemplo de um trecho do

diálogo da D3 e o que escreveram no protocolo, a respeito da conclusão do

coeficiente d em relação à expressão algébrica.

A: Mudamos o valor do seletor d para negativo. A função é crescente

ou decrescente? (A função escolhida por D3 era ) C: Crescente, ‘né’?

164

A: É, mas todos os valores dos coeficientes são positivos menos o d. C: Mas os valores de a, b e c são positivos. É o que determina o que vai ficar: crescente ou decrescente. A: Ou seja, o valor de d não determina se vai ficar crescente ou decrescente!


Comparando a discussão de D3 com o que concluíram no protocolo,

observamos que nas discussões eles pensam, conjecturam algo sobre os itens,

que são as respostas mais próximas das esperadas por nós, na conclusão de

cada item, porém transcrevem para o papel de maneira diferente ou resumida.

Isso nos faz perceber que o professor pesquisador não pode levar em

consideração apenas o que os alunos produzem de forma escrita, pois, muitas

vezes, o escrito não traz o que eles realmente entenderam. Percebemos, por

meio das comparações entre a escrita e a fala, que os sujeitos entenderam

muito mais discutindo entre si, do que está escrito no protocolo. Talvez, uma

possibilidade para explicar tal caso seja o fato deles não saberem se expressar

matematicamente, de maneira formal. Produzem discussões, levantam

conjecturas sobre os objetos matemáticos, descrevem suas percepções, que

são características corporificadas e, às vezes, usam características do mundo

simbólico, porém, apresentam dificuldade em fazer a passagem para o formal,

isto é, usando características do mundo formal.

Ainda, essa questão foi relevante para que a dupla percebesse que os

coeficientes a, b, c, são responsáveis pelo crescimento ou decrescimento da

função, e que a manipulação dos seletores permitiu a simulação rápida de

alguns gráficos para que construísse esse conhecimento. Maia (2007) também

enfatizou a agilidade na construção e simulação de gráficos com auxílio de

software, no caso dela, o Winplot para o estudo da função quadrática.

A identificação da influência do coeficiente e quando inserido na função,

de um modo geral, foi a mais coerente e fácil de ser assimilada por todas as

165

duplas, ou seja, perceberam que o coeficiente e está relacionado com o

deslocamento vertical do gráfico em relação ao eixo y. É o que evidenciamos

na Figura 46.


Assim, levando em consideração as informações contidas nos

protocolos das duplas e nas gravações e entrevistas, de maneira geral,

percebemos que as duplas responderam apenas as percepções delas,

conforme manipulavam os seletores, ou seja, usaram características

corporificadas, descrevendo o que observaram sobre a variação do gráfico com

a inserção de cada coeficiente na função. Porém, ao fazerem a “junção” de

todos os parâmetros, compreendendo, por exemplo, que os coeficientes a, b, c

são responsáveis pelo crescimento ou decrescimento da função exponencial,

inicia-se o pensamento formal, isto é, utilizam características do mundo formal.

Dentre as pesquisas que compuseram nossa revisão de literatura, não

encontramos nenhuma cujo autor tenha feito uma abordagem da função

exponencial na forma para que os alunos

compreendessem as mudanças ocorridas no gráfico, quando inseridos na

expressão algébrica, os parâmetros a, b, c, d, e.

Ainda, em todos os itens nos quais se solicitava o ponto de intersecção

do gráfico com os eixos, os alunos apenas colocaram as coordenadas do

ponto, sem comentário algum, o que nos faz concluir que anotaram aquilo que

visualizaram na “Janela de Álgebra”, ou simplesmente, observaram no gráfico

construído, o que também é característico do mundo corporificado.

Na resolução dos problemas 7 e 8, apresentados no Quadro 14 (p.123),

de maneira geral, percebemos que as duplas utilizaram estratégias diferentes

para a resolução, e chegaram parcialmente aos resultados esperados, ou seja,

ocorreram alguns equívocos que foram relatados a seguir. Salientamos que

166

houve a nossa intervenção apenas no sentido de relembrar a linguagem do

software como, por exemplo, para a inserção das funções exponenciais no

campo de entrada: ;

e .

Iniciamos com o problema do exercício 7, referente ao crescimento das

populações P1 e P2 de bactérias. Após a construção dos gráficos, foi solicitada

a classificação das funções em crescente ou decrescente. Todas as duplas

identificaram corretamente como sendo funções crescentes. Destacamos que

as duplas utilizaram “já-encontrados” na resolução desse item como, por

exemplo, D2 colocou um ponto sobre a curva e, ao movimentá-lo, verificou a

variação do x em relação ao y, concluindo que eram funções crescentes.

Observe a transcrição do diálogo entre os integrantes da D2 e o que

escreveram no protocolo.

P: Essa função é crescente ou decrescente? B: ‘Vamo coloca’ um ponto sobre o gráfico. P: ‘Tá’ aumentando. B: O x e o y, né? É crescente.

Figura 47: Atividade 6 – Exercício 7 – Produção D2. Fonte: Acervo pessoal.

No item (c), desse exercício 7, foi solicitado o instante t em que as duas

populações teriam o mesmo valor. As três duplas interpretaram que teriam o

mesmo valor no momento da intersecção dos gráficos, utilizando

características do mundo formal. Então, com auxílio do recurso disponível no

software, colocaram um ponto de intersecção entre os dois gráficos e na

“Janela de Álgebra” apareceram as coordenadas do ponto C, que é o ponto de

intersecção entre as curvas, como podemos observar, a seguir, na Figura 48 e,

assim, interpretaram quem eram as variáveis x e y, sendo, respectivamente, o

tempo e a quantidade, respondendo o item de maneira correta, duas horas.

167

Figura 48: Atividade 6 – Exercício 7 – Interface do GeoGebra – Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal.

Transcrevemos, a seguir, o trecho do diálogo entre os integrantes da D3

para evidenciar o momento da interpretação das variáveis x e y como sendo o

tempo e a quantidade de bactérias, respectivamente.

A: Em que instante t, as duas populações terão o mesmo valor? C: É... A: Aqui, ‘oh’! (aponta o dedo para a tela) C: ‘No’ intersecção. Coloca ai, ‘oh’. A: Onde?

168

C: Aqui. ‘No’ intersecção de dois objetos. (aponta para o comando do ponto de intersecção entre dois objetos) A: Aqui? C: É. Entre dois objetos. Selecione dois objetos ou clique diretamente. (faz a leitura da dica que aparece no software, ao clicar o comando) A: Pronto! C: ‘Qué’ tempo? A: É...dois no x e dezesseis no y. (faz a leitura das coordenadas visíveis na Janela de Álgebra) C: O tempo é aqui e a bactéria é esse? (faz um movimento rápido com as mãos próximas à tela, não conseguimos identificar a especificação feita sobre cada eixo) A: Em que instante? C: Coloca t igual a dois. A: Por quê? C: 2 é x que é tempo.

Destacamos dois momentos importantes nesse diálogo: o primeiro foi a

percepção da intersecção entre os gráficos como sendo o instante em que as

duas populações apresentavam o mesmo valor da quantidade de bactérias; e

da identificação dos eixos x, para representação do tempo e, y para a

quantidade de bactérias. Entendemos que, nesses dois momentos, os alunos

utilizaram características formais.

Na Figura 49, apresentamos o protocolo da D1 para comprovar essa

questão do instante t. Entendemos que usaram características corporificadas

quando visualizaram as coordenadas do ponto de intersecção, e consideramos

também que usaram características formais quando compreenderam e

interpretaram as variáveis dependente e independente, identificando o eixo do

tempo e o da quantidade da população de bactérias.

Figura 49: Atividade 6 – Exercício 7 – Item (c) – Produção da D1. Fonte: Acervo Pessoal.

No item (d), pediam-se os valores de P1 e P2 no instante t = 3h. As

duplas D1 e D2 utilizaram a estratégia apresentada na Figura 48, que foi

construir uma perpendicular em relação ao eixo x, passando por um ponto

qualquer sobre esse eixo, e marcar os pontos de intersecção dos gráficos de

P1 e P2 com essa perpendicular construída. Notamos que D2 marcou o ponto D

incorreto, pois era para ser o ponto de intersecção entre dois objetos: o gráfico

169

de P2 e a perpendicular. Para a resposta do valor de P1 as duas duplas

acertaram, indicando 64000. Porém, para o valor da P2, as duas duplas se

equivocaram, colocando como resposta o valor 16000. Evidências desse fato

estão ilustradas na Figura 50 e na Figura 51.

Figura 50: Atividade 6 – Exercício 7 – Item (d) – Produção da D1. Fonte: Acervo pessoal.


Uma possível explicação para esse fato é que D1 e D2 podem ter se

confundido no momento de observarem as coordenadas do ponto que fosse da

intersecção de cada gráfico P1 e P2 na “Janela de Álgebra” ou pode ser

dificuldade na interpretação gráfica. D2 já havia construído o ponto D

incorretamente e, então, ao procurar as coordenadas do ponto sobre o gráfico,

que, para eles, foi o de “cor rosa” verificou que era o ponto C que estava sobre

o gráfico e, então colocou as coordenadas, de maneira equivocada, do ponto C

(2, 16000).

A partir de características corporificadas, D1 e D2 utilizaram

características formais, pois quando construíram a perpendicular e o ponto de

intersecção entre cada um dos gráficos e essa reta, identificaram as variáveis x

e y como sendo o tempo e a quantidade de bactérias, respectivamente,

interpretando os valores para cada questão, por meio das coordenadas dos

pontos de intersecção exibidos na “Janela de Álgebra” do software.

Identificamos também, “já-encontrados” quando tentaram utilizar a estratégia

de construção de retas auxiliares, nesse caso, foi a construção de uma

perpendicular passando por um ponto qualquer do eixo x, apresentada no

Problema 2 da Atividade 5. Porém, não o fizeram de maneira correta,

atribuindo pontos em lugares incorretos ou fazendo a manipulação dessas

170

retas de forma incorreta e, consequentemente, uma interpretação equivocada

do que se pretendia para a questão.

Já D3 optou em substituir o valor 3 na variável x, na expressão algébrica

de cada população de bactérias e calcular o valor de y, que é a quantidade de

bactérias. Nesse momento, utilizaram características do mundo simbólico. Para

a resolução da função , conseguiram resolver encontrando a

solução correta. Mas, para a função não conseguiram resolver

a potência com expoente decimal , alegando que não se lembravam das

propriedades de transformação do número decimal em fração. Na verdade,

pode ser um “já-encontrado” que eles não utilizaram, por exemplo, fazer a

transformação de 0,5 em

.

A: O que você ‘tá’ fazendo? C: A conta. Quanto que é 2 à sexta? A: Quê? C: 2 à sexta? A: 2, 4, 8, 16, 32, 64. É 64. C: Então, é 64000 a P1. A: O outro é a mesma coisa.

C: . ‘Tá’ e agora? A: Como que vai descobrir? C: Ah! x é 3! Zero ponto cinco vezes três quanto dá? A: Um vírgula cinco. C: Mas é elevado. ‘Vixe’! Não vai dar certo. A: 2 elevado a 1,5? C: É. Elevado a um ponto cinco, quanto dá? A: Tem que transformar esse número. C: Isso aqui eu não sei não. A: Pra transformar um número decimal em um número normal tem que fazer uma conta dividido por alguma coisa, não é? C: Não sei não.

Então, D3 tentou resolver o exercício por meio da leitura do gráfico,

colocando um ponto sobre a curva e manuseando-o de acordo com o valor

requerido no item, que era para t=3h. Por fim, chegou a um resultado incorreto,

como podemos observar na Figura 52. Identificamos que a falta de um “já-

encontrado” impossibilitou que os alunos trabalhassem, pois colocar pontos

sobre a curva para facilitar a leitura e interpretação do gráfico já havia sido feito

em outras atividades.

171


Percebemos que essa dupla rascunhava em um papel, que achávamos

que era a folha da atividade que cedemos à dupla. Porém, quando recolhemos

os protocolos e questionamos a dupla a respeito das contas, disseram que era

um rascunho e passaram a limpo, jogando fora o papel das contas.

Ressaltamos que nenhuma dupla conseguiu acertar o valor da

população de bactérias, representada pela função , no instante

t=3h, ou porque fizeram uma interpretação equivocada do gráfico ou porque

apresentaram dificuldades em operar com potências cujos expoentes exibem

um número decimal. Essa dificuldade também foi evidenciada nas pesquisas

de Araujo (2005), Dominoni (2005), Oliveira (2005), Lima (2009), Souza (2010),

Santos (2011) e Silva (2012), por alunos da primeira até a terceira série do

Ensino Médio, que já estudaram o conteúdo de potenciação desde o Ensino

Fundamental, sendo auxiliados ou não pelo uso de tecnologia.

No problema do exercício 8, referente à substância radioativa, as duplas

construíram as retas auxiliares, como sugeria a questão e resolveram por meio

da manipulação dessas retas, fazendo a leitura e a interpretação do gráfico, de

acordo com o que era requerido nos itens, chegando todos às conclusões

corretas. Apresentamos, na Figura 53, um exemplo de resolução do Problema

8, realizado pela D2 com auxílio do software e na Figura 54, o protocolo dessa

dupla com os resultados que, também foram encontrados pelas três duplas.

172

Figura 53: Atividade 6 – Exercício 8 – Interface do GeoGebra – Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal.

Figura 54: Atividade 6 – Exercício 8 – Itens (c) e (d) – Produção da D2. Fonte: Acervo pessoal.

As duplas usaram características formais ao interpretarem quais eram as

variáveis dependente e independente, a massa (grama) e o tempo (hora),

respectivamente, a partir de uma característica corporificada por meio da

manipulação de retas auxiliares, que exibiam as coordenadas do ponto de

intersecção na “Janela de Álgebra”, para que os alunos anotassem os valores

que eram esperados na resolução do exercício.

173

Apresentamos os relatos das discussões entre os integrantes da D3 e da

D2 a respeito do momento da interpretação das variáveis x e y em relação ao

tempo e a massa.

Primeiramente o relato da D3.

A: Qual será a massa restante após oito horas? E três horas? Não entendi. (faz a leitura do enunciado escrito no protocolo) C: Mas...a massa? A: É. C: A massa é aqui. Será? (faz um movimento com as mãos no sentido horizontal, parece estar se referindo ao eixo x) A: ‘Oh’, a massa reduz-se a metade do valor inicial a cada quatro horas. (faz a leitura novamente) C: Acho que a massa é aqui, né? (agora aponta para o eixo y) A: Sessenta gramas... (o sujeito continua refletindo) C: A massa é embaixo? (se refere ao eixo x) A: Sessenta gramas...Aqui é...Partindo de sessenta gramas da substância... C: Então, a massa é aqui e o tempo é aqui. (aponta para os eixos y e x, respectivamente) A: Isso! A massa é y e x é tempo. C: Põe no oito aqui embaixo, é isso? A: É. C: Ui! Meu Deus! Olha. (expressão de espanto ao movimentar as retas auxiliares) A: Que da hora! C: O que que ele ‘qué sabe’? A: Qual será a massa? C: Quatorze ponto...Quinze né? A: É. C: Deixa eu pôr direito. É quinze. A massa será quinze. (movimenta as retas auxiliares) A: Após oito horas a massa será quinze... É só mudar aqui? C: É. A: Agora ‘é’ três. C: Após três horas será trinta e cinco ponto sete. A: Após quanto tempo a massa restante será igual a doze gramas? C: Aqui...’pera aí’. Onde tem que ‘tá’ doze gramas? A: No y, né? C: Mais ou menos isso. A: Após nove horas aproximadamente. C: E a vinte gramas? A: Após seis horas. C: Vinte gramas após seis horas.

A seguir o relato da D2, após construírem o gráfico da função

exponencial e colocar um ponto sobre a curva para identificar o crescimento ou

decrescimento da curva.

P: Esse é o x e esse é o y? (aponta com o cursor para as coordenadas x e y do ponto que o parceiro colocou sobre o gráfico) B: ‘Vamo lê’ de novo. (fazem leitura silenciosa do enunciado do problema) P: Eu acho...

174

B: Acha o quê? P: ... (o sujeito fica em silêncio refletindo) B: Aqui é tempo e aqui é massa. (aponta para tela, porém não tivemos certeza qual dos eixos o sujeito apontou como sendo cada um: tempo e massa) B: Tenta colocar no oito. P: Coloca aproximadamente. (após algumas tentativas, sugere que use o termo aproximadamente) B: Aproximadamente quatorze vírgula noventa e oito? Agora você coloca três horas. P: Mas chega aqui? (aponta para a tela) B: Tem que ‘fazê’ igual você fez nesse. P: Mas chega aqui? (aponta novamente para a tela) B: É. Em três horas. B: Aí. Já foi. P: Que inveja da minha esperteza! B: Após quanto tempo a massa restante será igual a doze gramas? Agora você coloca aqui, ‘oh’, esse valor, tipo... P: Qual? B: No segundo, que é massa. P: Doze? B: Aí. Passou. Aí. (o sujeito P estava manipulando as retas auxiliares) B: Agora vinte gramas. P: ‘Quê’? B: Vinte. B: Põe aproximadamente? (se refere ao valor encontrado pelo outro sujeito) P: Põe.

Ressaltamos que os alunos utilizaram o termo “aproximadamente” em

seus resultados por causa do arredondamento de casas decimais existentes no

software GeoGebra. Mesmo assim, os resultados se aproximaram dos valores

corretos em cada questão.

Queremos enfatizar que as duplas utilizaram “já-encontrados” adquiridos

ao longo da resolução das atividades da sequência, cada qual com a sua

estratégia, para resolverem as situações novas propostas. Por exemplo, nesse

problema do exercício 8, item (a) pedia-se para verificar se a função

era crescente ou decrescente. Vamos observar as transcrições dos

trechos dos diálogos gravados das duplas D2 e D3.

Primeiramente, apresentamos o diálogo da D2.

P: Essa função é crescente? B: Vamos ver se ela é crescente ou decrescente. Colocam um ponto sobre a curva e movimentam-no. B: Ela ‘tá’ diminuindo, né? P: Ela ‘tá’ aumentando. B: Não ‘tá’ aumentando. Olha aqui o x ‘tá’ aumentando e o y ‘tá’ diminuindo. É decrescente. P: Ah ‘tá’!

175

Em seguida, o diálogo da D3.

C: Essa função é crescente ou decrescente? A: É decrescente. C: Porque ‘tá’ caindo. A: Porque o expoente da função é negativo e o resto é positivo.

Para D2 não foi suficiente observar o desenho da curva. Então, utilizou

“já-encontrados” adquiridos por meio da resolução das atividades anteriores

como, por exemplo, a estratégia de colocar um ponto sobre o gráfico e

movimentá-lo, observando a variação das coordenadas dele. Nesse caso, a

dupla observou que, quanto maior fosse o valor da abscissa, menor seria o

valor da ordenada do ponto, concluindo que a função era decrescente. Já D3

utilizou “já-encontrados” verificando os valores dos coeficientes a, b, c da

função, concluindo que ela era decrescente.

Destacamos que a estratégia de criar pontos sobre os gráficos e

movimentá-los também foi utilizada pelos sujeitos de Alves (2010), por

exemplo, ao realizarem o estudo de limites laterais com auxílio do GeoGebra.

Percebemos que os alunos mobilizaram conhecimentos adquiridos na

resolução de atividades anteriores ou “já-encontrados” como ferramenta para a

resolução de novas situações, assim como, os sujeitos de Scano (2009)

também o fizeram ao mobilizarem conhecimentos de “par ordenado, equação

da reta, raiz de uma função afim, determinada a partir das coordenadas do

ponto

, coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com eixos do

sistema cartesiano, representação gráfica de uma função” (SCANO, 2009,

p.131) na resolução da última atividade que envolvia esboço do gráfico de uma

função afim, bem como, a determinação dos pontos de intersecção do gráfico

com os eixos coordenados x e y, raiz da função e o cálculo de algumas

imagens.

Vale ressaltar que, como os alunos não haviam tido qualquer contato

com logaritmos até o momento da aplicação da atividade de função logarítmica,

esperávamos que a maior parte das resoluções tivesse características do

mundo corporificado.

176

6.4. QUARTA ETAPA: ANÁLISE DA ATIVIDADE 7

Aplicamos a Atividade 7 em duas sessões, 12 e 13, com duração de

duas horas cada uma, para que os sujeitos se sentissem mais tranquilos para

as discussões e a execução da tarefa.

A Atividade 7 referente ao conteúdo de função logarítmica tem por

objetivos o reconhecimento da função do tipo como sendo a lei da

função logarítmica; a identificação das modificações de cada coeficiente na

função

, relacionando as variações com o gráfico; a

classificação da função em crescente ou decrescente; a percepção da

condição de existência da função; e a compreensão de que as funções

exponencial e logarítmica são inversas.

Essa atividade permitiu que as duplas percebessem, de um modo geral,

que o gráfico da função logarítmica é uma curva, possível de ser construída

quando a assume um valor tal que a maior que zero e a diferente de 1 (a>0 e

). Conseguiram identificar quando a função é crescente ou decrescente e

descrever as variações do gráfico de acordo com os coeficientes que foram

inseridos na expressão algébrica.

O que percebemos que as duplas não entenderam foi que o coeficiente

a representa o valor da base do logaritmo, embora tenha sido explicado para

as duplas, no início da atividade, que a função logarítmica não

poderia ser trabalhada dessa maneira no software, pois ele só permite a

resolução de logaritmos na base dez e, por esse motivo, seria utilizada uma

propriedade chamada mudança de base, que permite trabalhar com logaritmos

de qualquer base, e assim, usaríamos a função

; e, ainda,

apresentaram dificuldades para identificar que as funções exponencial e

logarítmica têm uma relação de serem funções inversas uma da outra. Assim,

entendemos que essa atividade mereceria um redesign.

Como os alunos ainda não tinham conhecimento sobre essa função,

optamos por fazê-la similar às anteriores, explorando a variação do gráfico em

177

relação à inserção dos coeficientes na expressão algébrica. Então,

trabalhamos com a expressão algébrica na forma

. Os

alunos não apresentaram dificuldades nas descrições, talvez, por já estarem

habituados a movimentar os seletores e observar as mudanças no

comportamento do gráfico. Isso nos mostra que eles utilizaram “já-encontrados”

na resolução dessa atividade.

Deixamos claro que, num primeiro momento, não tínhamos visto a

necessidade de se fazer um redesign dessa atividade porque estávamos

interessados na percepção dos alunos quanto a classificar a função em

crescente ou decrescente; descrever as variações gráficas de acordo com a

mudança dos coeficientes; identificar a relação existente entre as funções

exponencial e logarítmica. Evidências desses fatos estão descritos a seguir.

Porém, ao assistirmos os vídeos, percebemos que as duplas se referem à

função apenas como uma fração. Não levaram em consideração as nossas

explicações dadas antes do início da atividade referentes à propriedade da

mudança de base

, e, dessa forma, não

relacionaram que a seria a base do logaritmo. Problemas na identificação e

aplicação da propriedade de mudança de base dos logaritmos também foram

evidenciados na pesquisa de Alves (2010).

Apesar das duplas terem identificado a variação do coeficiente a no

gráfico, por meio da manipulação do seletor a, se referiram a esse coeficiente

como sendo o denominador da fração, e aos coeficientes que estão no

logaritmando como sendo apenas o numerador da fração. Assistimos ao vídeo,

e percebemos que isso aconteceu pela necessidade das duplas de atribuir um

nome para cada elemento que aparece na função. Como não tem

conhecimento algum sobre logaritmo, bem como da propriedade de mudança

de base dos logaritmos, utilizaram um “já-encontrado” que foi atribuir os nomes

de “numerador” e “denominador” aos números que são exibidos na forma

,

com . Vamos observar a transcrição do trecho do diálogo entre D3.

A: O que acontece no gráfico e na expressão algébrica quando a assume valores positivos? C: Deixa eu mexer pra ‘vê’.

178

A: ‘Oh’, lá na expressão algébrica o a é o valor...Como que chama esse aqui? (o sujeito aponta com o dedo em direção a base do logaritmo) C: Não sei. ‘Vamo’ chamar.... A: É o valor que aparece no denominador. C: E que ‘tá’ entre parênteses. A: E o de cima é o numerador.

Talvez, seria preciso especificar no enunciado os nomes dos elementos,

utilizando os termos base, logaritmando e logaritmo.

Outro problema identificado foi em relação à intersecção do gráfico com

os eixos. Nessa atividade, pedimos a intersecção do gráfico com os eixos x e y.

Observamos que apenas uma das duplas assimilou que o gráfico não

interceptava o eixo y, para funções cujos coeficientes d e e valessem zero. As

outras duplas colocaram o valor em que o gráfico chega mais próximo do eixo

y, como observamos na Figura 55, em que pode-se ter a impressão de que o

gráfico corta o eixo y no ponto (0, −5).

Figura 55: Atividade 7 – Interface do GeoGebra. Fonte: Acervo pessoal.

179

Exemplificamos com a produção de uma das duplas, que respondeu que

o gráfico interceptava o eixo y no valor (−5). Talvez para ela, fosse o valor em

que o gráfico chegava mais próximo desse eixo ou, ainda, que tenham tido

uma possível ideia de que o gráfico cruzava o eixo, dado que a figura não é tão

clara quanto a isso, o que acaba por ser falta de conexão com o mundo formal.

Evidenciamos tal fato no protocolo da D3, ilustrado na Figura 56.


Na Atividade 6, não percebemos se houve esse problema, porque

perguntamos apenas sobre o ponto de intersecção do gráfico com um dos

eixos. Nessa atividade, perguntamos sobre o ponto de intersecção do gráfico

com os dois eixos, x e y, no mesmo item. Talvez os alunos tenham se sentido

obrigados a responder as duas perguntas, atribuindo as coordenadas para os

dois pontos e, então, visualizaram o valor mais próximo a que o gráfico chegou

do eixo y. Não perceberam que, na verdade, o gráfico não interceptou esse

eixo. Ressaltamos que apenas uma das duplas compreendeu que o gráfico não

interceptou o eixo y.

Por meio dessa análise, identificamos que os sujeitos utilizaram

características corporificadas não relacionadas ao formal, pois olharam apenas

para o gráfico, procurando o valor em que ele interceptava cada um dos eixos.

Em momento algum procuraram qualquer relação entre a expressão algébrica,

o gráfico e os coeficientes.

Por exemplo, se tivessem pensado que, para interceptar o eixo y,

devemos ter um ponto de coordenadas (0, y) e, considerando a função que

está ilustrada na Figura 55, teríamos

. Por ser

mais conveniente nos cálculos, usamos y no lugar de f(x) e, ao substituir zero

na variável x, teríamos . Então, perceberiam que não há

número real que satisfaça essa sentença. Assim, utilizariam uma característica

do mundo formal, juntamente com o simbólico.

180

Outra maneira de resolver e, que também não pensaram, é utilizando o

recurso disponível no software chamado “ponto de intersecção entre dois

objetos”. Considerando a mesma função

, ao tentar colocar um

ponto de intersecção entre o eixo y e o gráfico acusaria, na “Janela de

Álgebra”, como ponto A indefinido, como ilustrado na Figura 55. Assim,

poderiam perceber que o gráfico não estava interceptando o eixo y.

Faremos, a seguir, uma análise geral das produções das duplas,

mostrando evidências de acordo com os objetivos propostos na atividade.

Por meio da manipulação dos seletores, as duplas visualizaram a

variação do gráfico de acordo com os valores de a, e, implicitamente,

explanaram uma noção da condição de existência do logaritmo, mas não a

fizeram de maneira formal. Por exemplo, é o que observamos na Figura 57.

Figura 57: Atividade 7 – Exercício 2 – Itens (a) e (b) – Produção da D1. Fonte: Acervo pessoal.

Percebemos que as duplas compreenderam que é possível construir o

gráfico da função logarítmica para valores de a>0 e , isto é, valores

maiores do que zero e diferentes de 1 (um); para valores negativos e iguais a

zero, o gráfico é inexistente. As duplas, ainda, não conseguiram se expressar

formalmente, pois descreveram apenas as percepções do objeto matemático

que visualizavam na tela, utilizando assim características corporificadas.

Ressaltamos que, embora as duplas não tenham relacionado o

coeficiente a como sendo a base do logaritmo, conseguiram assimilar que é ele

o responsável pela classificação da função em crescente ou decrescente, de

181

acordo com os valores que lhe são atribuídos. Evidências sobre esse fato estão

ilustradas na Figura 58.


Salientamos que, mesmo percebendo que a dupla estava se referindo

ao coeficiente a, fizemos um questionamento sobre a primeira frase que

escreveram, e, realmente, ela confirmou que faltou colocar o “a”, isto é,

queriam dizer que quando a é um número entre zero e um, a função é

decrescente. Embora a dupla tenha colocado a condição para a função ser

classificada em crescente ou decrescente, só o fez utilizando características

corporificadas, pois descreveu aquilo que percebeu manipulando o seletor a e

observando a variação do gráfico, uma vez que não assimilaram o coeficiente a

como sendo a base do logaritmo.

Quanto à variação do gráfico com a inserção dos coeficientes na função,

de maneira geral, os alunos perceberam parcialmente o papel de cada um. A

seguir, mostraremos evidências sobre aquilo que as duplas compreenderam

por meio de recortes das produções dos protocolos e de transcrições de

trechos entre o diálogo das duplas nos vídeos.

Iniciamos com a análise das produções dos sujeitos sobre o que eles

concluíram sobre o valor de b na expressão algébrica, apresentadas no

Quadro 26.

Duplas Resposta

D1 Quando mexemos no valor de b muda o valor de y.

D2 Ele é responsável pelo valor que vai multiplicar os números que estão

dividindo.

D3 b é o valor que multiplica a fração.

Quadro 26: Atividade 7 – Exercício 3 – Produções da Duplas 1, 2 e 3.

182

Percebemos que as duplas identificaram o valor de b apenas como

sendo o número que está multiplicando a função, exibida na forma de fração.

Mais uma vez, observamos que as duplas consideraram os termos da função

(base e logaritmando) como numerador e denominador de uma fração e não

parecem ter percebido qual é a modificação que b faz no gráfico quando

variam os seus valores. Assistimos aos vídeos e percebemos que, em geral, as

duplas movimentavam os seletores, identificavam o movimento do gráfico,

porém alegavam que não saberiam escrever o que estava sendo modificado no

gráfico em relação ao coeficiente. Então, decidiram que deveriam escrever

apenas que o coeficiente b estava multiplicando a fração. Vamos observar o

trecho do diálogo entre a D3, enquanto movimentavam o seletor b e

conjecturavam sobre o que o coeficiente b variava no gráfico e na expressão

algébrica.

C: Eu não sei explicar isso. A: Nem eu. C: Como explicar que ela faz assim. (faz um gesto com as mãos imitando o gráfico do logaritmo). A: Que dá tchauzinho. (o sujeito A imita o C, levantando e abaixando os dedos, reproduzindo o movimento do gráfico ao variar os valores de b, como se estivesse fazendo um aceno de “tchau”). C: Não sei. A: Bom é.... C: É o valor aqui ‘oh’, na expressão algébrica. A: ‘Oh’ gente! É esse aqui ‘tá’! ‘Oh’ observa o mouse. (aponta com o cursor o valor que está multiplicando o logaritmo, na expressão algébrica). C: b é o valor que multiplica a fração. A: Ah, põe isso aí mesmo.

Figura 59: Reflexão da D3 – Atividade 7 – Exercício 3 – Item (d). Fonte: Acervo pessoal.

Percebemos características do mundo corporificado, uma vez que os

sujeitos não conseguiram se expressar de maneira formal, identificando a

relação entre a variação do coeficiente b com o comportamento do gráfico,

quando inserido na função.

183

Para a conclusão do papel da variação dos coeficientes c e d no gráfico,

quando inseridos na função, ressaltamos um trecho do diálogo da D1 e depois

da D3, que estão transcritos a seguir.

Primeiramente, relatamos o diálogo com o levantamento das conjecturas

de D1 sobre a relação do coeficiente c e d com a função, seguido daquilo que

concluíram no protocolo.

J: O que acontece com o gráfico quando c é positivo e negativo? V: Quando c é positivo a função cresce e ela fica do lado positivo do eixo x. Quando é negativo, ela fica do lado negativo do eixo x. J: Põe tudo isso na (d) pra concluir sobre c na expressão algébrica? (se referem ao item (d)) V: Não. Põe só que ele é o valor de x na função. J: Que ele é o valor......do quê mesmo? V: Valor de x na função.


J: Olha, vou mexer o d. (seletor d) V: O gráfico anda no x. J: É, mas acho que d não muda a função pra crescente ou decrescente. V: Mexe de novo os seletores de cima. Quem muda é o a, o b e o c. J: É, depende do valor deles, positivo ou negativo. J: O que acontece na expressão algébrica com o d? V: Na função, o x soma ou subtrai com alguma coisa que é atribuída pro d, por isso que ele anda pra lá e pra cá. E quando d é positivo a abertura vai aumentando. Quando é negativo a abertura vai fechando. J: O que eu coloco aqui? Tudo isso? V: Coloca que ele desloca o gráfico no eixo x. Sei lá.


D1 apresentou dificuldades para relacionar os coeficientes c e d com a

expressão algébrica, bem como, com a movimentação gráfica. A única relação

que conseguem fazer é descrever aquilo que observam com a manipulação

dos seletores como, por exemplo, perceberam que o gráfico se desloca em

relação ao sentido positivo e negativo do eixo x, ao movimentar o seletor d, que

representa os valores que ficam somados ou subtraídos aos valores de x, no

184

logaritmando. Embora os sujeitos usem linguagens informais como, por

exemplo, “O gráfico anda no x”, eles apresentam uma noção de que, talvez,

quisessem dizer algo a respeito da translação do gráfico no eixo x; ou à

referência que fazem ao c como sendo o valor de x, e não do coeficiente de x.

No entanto, as duplas em geral não conseguem formalizar aquilo que

escrevem em linguagem natural, utilizando, assim, características

corporificadas.

Outro fato importante que percebemos no diálogo de D1 é que, após o

estudo dos três primeiros coeficientes, ou seja, quando chegou à inserção do

quarto coeficiente, d, na expressão algébrica, a dupla conseguiu compreender

que os coeficientes a, b, c foram responsáveis por determinar o crescimento ou

decrescimento da função. Podemos dizer que os sujeitos utilizaram “já-

encontrados”, adquiridos por meio da resolução das atividades anteriores, em

que foram observando os valores positivos ou negativos dos coeficientes a, b,

c, para, então, chegarem à formulação dessa conjectura, isto é, de observar

esses três primeiros coeficientes. Identificamos indícios de características

formais ao relacionar os três coeficientes com a função, compreendendo o

papel que cada um tem para a determinação do crescimento ou decrescimento

da função logarítmica.

Comparando aquilo que as duplas discutem e conjecturam com o que

escrevem, só nos faz lamentar pelo fato de elas transcreverem para o papel

suas conjecturas, percepções e conclusões de maneira resumida, muitas

vezes, por fadiga ao ter que escrever um texto maior, acarretando perda de

informações importante para analisarmos a construção do conhecimento e do

raciocínio utilizado pelo aluno na resolução de atividades.

Em segundo lugar, apresentamos as discussões entre D3 e os recortes

dos protocolos sobre as conclusões dos coeficientes c e d da função

logarítmica.

C: Movimenta os valores de c. A: Ah, eu não sei explicar isso. C: Aí, ‘oh’. (movimenta o seletor para a direita e para a esquerda) A: A curva vai...Ele vai se deslocando, ‘oh’. (“ele” quer dizer o gráfico) C: Uh, Uh! ‘Tá’ agora me explica. A: Pode ver que ele vai se deslocando. Ele vai subindo.

185

(Estão considerando a curvatura do gráfico que, cada vez mais, se aproxima do eixo y, dando-lhes a impressão de que o gráfico está “subindo”). C: Aí, chega uma hora que ele vira pra lá. (Querem dizer que dos quadrantes I e IV o gráfico inverte para os quadrantes II e III). A: Ele se desloca no eixo y para cima. C: E o que a gente responde aqui. A: A gente já falou dele em algum lugar. C: Foi. Aqui no (a). É o valor que acompanha x no numerador. (se referem ao item (a)). A: É isso mesmo.


C: Movimente o valor de d. Se liga, se liga. A: Ah! Move esse aqui agora, a parte de baixo. (aponta para o pedaço do gráfico que se encontra abaixo do eixo x) C: Move tudo. Não é só embaixo. A: Em relação ao outro, aqui também se move. C: Ah, tá! A: Faça modificações nos valores “tananã, tananã, tananã”, escolhendo inclusive valores negativos. (o sujeito faz a leitura) C: Vou ‘coloca’ dois ‘positivo’ e dois ‘negativo’. A: Coloca um positivo, um negativo, um positivo, um negativo. (refere-se aos coeficientes a, b, c, d da função) C: Faz aqui que eu não sei. A: ‘Fia’ aqui é ninja, igual meu pai. Olha! Olha! Que coisa bonita! Eu que fiz! Eu que fiz! C: ‘Tá’. Agora vai. A: Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou decrescente? Ela é decrescente. Por quê?

C:

. Porque b é negativo.

A: É decrescente por quê? C: Porque eu quero que seja. A: Porque eu quis que fosse. Eu que coloquei os valores. C: Porque o valor de b e d são negativos. A: Não sei.... C: Não! Porque acho que é aqui que vê. Os valores de b ‘é’ negativos. A: Mas todos decidem se ela definiu crescente ou decrescente. C: Esquece, ‘oh’, porque d não define nada. A: Definiu sim, ela deslocou o gráfico. C: Só isso. Mas não se é crescente ou decrescente. Vou pôr que o b é negativo e o resto positivo. (se referem aos coeficientes a e c) A: Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x? C: Eixo x (2, 0). A: Eixo y é indefinido, ‘tá? C: Eixo y não intercepta. A: Não. Eixo y é indefinido. C: Você gosta de palavra bonita. A: Então coloca não intercepta. C: Já coloquei. A: O que podemos concluir sobre d na expressão algébrica? C: O que é o d, mesmo? Mexe aí.

186

A: ‘Tá’ vendo que é o deslocamento do gráfico. C: É o “deslocamento” do gráfico. (faz sinal de aspas ao falar a palavra deslocamento) A: É coloca entre aspas.


Percebemos que D3 observou a variação do gráfico em relação ao

movimento dos valores atribuídos ao c, por exemplo, quando relatam que o

gráfico vai “subindo”, e que num determinado momento ele “vira”, pois no

vídeo, percebemos que eles apontam para a tela, se referindo à curvatura do

gráfico e aos quadrantes, respectivamente. Porém, como não encontraram as

palavras para se expressar, copiaram uma resposta do item (a) da mesma

questão, nomeando o coeficiente c como sendo o valor que acompanhava x no

numerador da fração. Mais uma vez, a dupla se referiu a uma propriedade dos

logaritmos (mudança de base) como sendo apenas uma fração, exposto no

protocolo da Figura 62 (p.185), sem relacionar seus elementos: a base e o

logaritmando.

Em relação ao coeficiente d, a dupla ainda não percebeu, ou não se

atentou em apontar, que ele provoca o deslocamento do gráfico em relação a

qual eixo (x ou y?). D3 apenas falou e escreveu que o coeficiente d está

relacionado ao deslocamento do gráfico, porém em momento algum

especificou o eixo a que se referiu. Identificamos que os alunos utilizaram

características corporificadas, uma vez que fizeram a descrição de suas

percepções sobre a variação do gráfico no momento que variava d, não

havendo formalização das conjecturas.

Outro ponto importante, extraído dessa discussão, é o fato da dupla ter

percebido, nesse gráfico, que não há intersecção entre a curva e o eixo y.

Significa que o gráfico construído naquela situação, ilustrado na Figura 55

(p.178), não favoreceu a interpretação correta, uma vez eles assinalaram o

ponto de intersecção “ como sendo o valor cujo gráfico chegava mais

próximo do eixo y. Mesmo respondendo, para essa função

,

que o gráfico não interceptava o eixo y, a dupla continuou apresentando falta

187

de conexão com o mundo formal, pois ela não compreendeu a relação

existente de que só haverá intersecção entre a curva e o eixo y quando d

assumir um número positivo (d>0), que era o esperado por nós. Apresentamos,

na Figura 64, o gráfico com o qual D3 reconheceu a inexistência do ponto de

intersecção entre a curva e o eixo y, porém usando características

corporificadas.

Figura 64: Tela capturada durante a produção da D3. Fonte: Acervo pessoal.

Em relação à conclusão da variação do coeficiente e, constatamos que

as duplas apresentaram diferentes visões da variação do gráfico, ou seja, uma

delas observou o deslocamento da curvatura do gráfico em relação ao eixo y e

a outra dupla, em relação ao eixo x. Vale ressaltar que era esperado que as

duplas percebessem que o valor do coeficiente e não provoca crescimento ou

decrescimento da função e, sim, a translação do gráfico nos sentido positivo e

negativo do eixo y, dependendo do valor atribuído a e. Evidenciamos esses

pontos de vista da dupla D3, que teve a percepção correta da translação do

gráfico em relação ao eixo y, e D1, que se equivocou, colocando em relação ao

eixo x, respectivamente, na Figura 65 e na Figura 66.


188


O fato da D1 não ter percebido que o gráfico da função translada em

relação ao eixo y, também ocorreu com os sujeitos de Dominoni (2005) quando

eles não assimilaram que a função translada verticalmente em algumas

situações, dependendo dos valores atribuídos aos parâmetros.

Observamos nesses protocolos que as duplas perceberam algo sobre a

translação do gráfico em relação ao eixo y, quando os valores do coeficiente e

variam. Entretanto, percebemos que elas, em geral, descreveram aquilo que

realmente viram, por meio da manipulação dos seletores, as percepções e

conjecturas, usando características do mundo corporificado, pois não

conseguiram se expressar por meio de uma linguagem formal.

Ressaltamos a relevância de nossas atividades que proporcionaram,

mesmo que de maneira parcial, a compreensão da variação do gráfico e da

expressão algébrica de acordo com cada coeficiente (a, b, c, d, e) quando

inserido na função, de maneira gradativa, isto é, ao final quando foi inserido o

último coeficiente (que foi e), ao manipularem todos os seletores, as duplas

tiveram um entendimento melhor sobre a influência “global” de todos os

coeficientes, ou seja, foi como se “juntassem” as peças de um jogo de “quebra-

cabeças”. Evidenciamos esse fato por meio de dois momentos no diálogo entre

a D3 em que estão fazendo a “amarração” dos coeficientes, manipulando todos

os coeficientes disponibilizados na atividade.

Primeiro momento: diálogo da D3.

A: Movimenta os valores de e. C: Ele desloca para cima e para baixo. (se refere ao gráfico) A: Mas o outro também fazia isso. C: O d fazia assim ‘oh’. (faz um gesto com as mãos imitando o deslocamento do gráfico horizontalmente). A: Eu vou mexer o d pra ver. (movimenta para a esquerda e para a direita várias vezes o seletor d) A: Ah! O d desloca aqui ‘oh’ no eixo x. (aponta para a tela do computador para se referir ao gráfico)

189

C: O e pra cima e pra baixo no eixo y. (se refere ao gráfico, fazendo um movimento com as mãos de subir e descer) A: Resposta muito inteligente! C: É e o bom é que a gente ‘tá’ entendendo! A: escolha um valor negativo para representar e. Anote a expressão.

C:

. Ainda continua sendo crescente...Como?

A: Então, esse valor não determina se a função é crescente ou decrescente. Ele só faz o deslocamento no y. Eu sou muito inteligente! (se refere ao coeficiente e) C: Então é crescente ou decrescente? A: É crescente, pois os outros valores são positivos. C: A gente falou que d também só fazia deslocamento. A: É crescente, pois os valores de a, b e c são positivos.

Segundo momento: diálogo da D3.

A: Escolha um valor entre zero maior que a maior que um. Não. Escolha um valor zero menor que a menor que um. (se referia a 0<a<1) C: Aí. A: Selecione um valor para representar e. Anote a expressão algébrica. (O sujeito C deixa no valor 4,8 e não diz nada). A: Não. Valor redondo. C: Pronto! ‘Tá’ no quatro. A: Anota aí.

C:

. É decrescente.

A: Essa função é... A: Decrescente, por quê? (O sujeito C fica quieto, observando o gráfico e a expressão algébrica). A: Porque...(o sujeito movimenta todos os outros seletores novamente) A: Ah, é verdade! O a que determina se ela é crescente ou decrescente. C: Na verdade, os outros também determinam e a gente já escreveu isso em algum lugar... (O sujeito A se mostra resistente ao que o sujeito C relata. Então, ele movimenta o seletor a, para valores negativos e positivos, e observa que ora o gráfico desaparece, ora é decrescente ou crescente) A: É decrescente, mas os valores continuam sendo positivos...então... C: Então, é porque o a é decimal. Vou colocar isso. (escolheram a=0,8)

Identificamos no diálogo do “primeiro momento” que a dupla percebeu

que os coeficiente d e e são responsáveis pelas translações do gráfico,

horizontalmente e verticalmente, respectivamente. Já os coeficientes a, b, c,

para eles, são responsáveis pelo crescimento ou decrescimento da função de

acordo com os valores positivos ou negativos. Tivemos a impressão que, nesse

momento, eles relacionaram o valor do coeficiente a também como sendo um

número positivo e, não, por ser a>1 (condição da base para ser crescente).

190

Somente no “segundo momento” é que parece que perceberam que tem algo a

mais para a classificação da função em crescente ou decrescente, quando se

depararam com os valores positivos exibidos na função

,

porém o gráfico dela estava desenhado, na tela, de maneira decrescente.

Então, entraram em conflito, pois tinham que buscar uma justificativa para esse

fato. Por meio da manipulação de todos os seletores, simularam vários

gráficos, e perceberam que deveria ser pelo fato de a=0,8, ou como falaram

“um número decimal”. Talvez, não tenham feito de maneira formal,

relacionando o valor da base do logaritmo como um número a tal que 0<a<1,

porém começam a aparecer, por meio da utilização de características

corporificadas, indícios da conexão com o mundo formal, no momento em que

os alunos conseguem juntar todos os coeficientes, identificando o “papel” de

cada um na variação gráfica e na expressão algébrica.

Em relação ao objetivo de identificar as funções exponencial e

logarítmica como sendo uma a inversa da outra, em geral, as duplas não

conseguiram compreender essa relação entre as funções por meio da

resolução dessa atividade, de maneira formal, isto é, compreendendo o motivo

ou o “porquê” delas serem inversas. Apresentaram, pois, uma noção dessa

relação, por meio desse estudo, ao relatarem, nos protocolos e nos vídeos, a

ideia de “contrários”, “invertidos”, ou de fazer gestos com as mãos. Talvez,

precisassem de mais atividades, com mais exercícios para a percepção dessa

relação ou mesmo um contato inicial com o cálculo de logaritmos e a

nomenclatura envolvida. Tal fato também ocorreu com os sujeitos de Karrer

(1999), Lima (2009) e Alves (2010) ao realizarem as atividades, apresentando

dificuldades na assimilação da relação de função inversa existente entre as

funções exponencial e logarítmica. Evidenciamos tal fato apresentando o

protocolo de uma da D2 na Figura 67.


191

A seguir, vamos observar o diálogo entre a D3 durante a resolução dos

exercícios do 7 ao 10, referente à compreensão da relação de “função inversa”.

A: Movimente o ponto A até (0, 1) e B até (1, 0). O que você percebe na relação entre as distâncias dos pontos e a reta? C: As distâncias são as mesmas, 0,71 os dois. Bonitinhos! A: Agora A (2,4) e B (4, 2). C: Pronto! A: O que você percebe sobre a relação entre as distâncias dos pontos até a reta? C: É a mesma ainda. A: Mas por que que são as mesmas? C: Porque...Se você perceber elas são iguais. A: Só que uma é crescente e a outra é decrescente. C: Não. As duas são crescentes. Mas são assim. São iguais, porém invertidas. (Faz o gesto com as mãos da inversão dos gráficos, como apresentado na Figura 68)

Figura 68: Reflexão da D3 sobre os gráficos das funções exponencial e logarítmica. Fonte: Acervo pessoal.

Percebemos que um dos sujeitos considera que os gráficos “são iguais”

pelo fato dos dois serem as representações gráficas de funções crescentes. A

seguir, apresentamos a transcrição do vídeo sobre a discussão da D3 no

momento da conclusão sobre a relação de função inversa entre as funções

exponencial e logarítmica.

C: O que podemos concluir sobre a relação entre as funções exponencial e logarítmica? A: Que as distâncias são as mesmas. C: Que os gráficos são iguais. A: Calma! As distâncias...A relação entre as distâncias são iguais porque os valores são iguais. C: São iguais, porém invertidos. (se refere às coordenadas do ponto) A: Os valores são iguais, porém são invertidos. C: Escreve assim: Os gráficos das funções, tanto essa quanto essa, são os mesmos, porém invertidos, com as mesmas distâncias...

192

A: Porém, o gráfico....Esse aqui é exponencial? (aponta para a curva na tela) C: Exponencial é esse. Esse aqui é o logaritmo. A: Porém o exponencial é crescente e o logaritmo é decrescente, mesmo que os valores dos pontos são invertidos por isso que dá a mesma distância. C: Os valores de x, y...Os valores são os mesmos, porém invertidos. A: ‘Tá’! O gráfico....como que é? (começa a anotar no papel) C: O gráfico das funções são os mesmos... A: Escreve logaritmo e exponencial? C: Acho que não. A: O gráfico das funções são os mesmos, porém o exponencial... C: Não! Os dois são decrescentes agora. Pode pôr os mesmos. A: ‘Oh’, os gráficos das funções são as mesmas, porém invertidos... C: Porém os valores e as direções invertidas. Ah! Os valores invertidos. Coloca os valores de x e y são invertidos. A: Não, ‘oh’, os valores de x e y ‘tá’ aqui. (aponta para os eixos do plano cartesiano na tela) C: ‘Tô’ falando das coordenadas. A: Então, as coordenadas de A e B são invertidas. ‘Oh’, o gráfico das funções são os mesmos, porém os valores... C: ‘Pera aí’! Os valores de x e y dos pontos A e B são invertidos. A: ‘Cabo’ não vida. (o sujeito C ia desligar a gravação do vídeo) C: ‘Cabo’. A: Por isso ocorre... C: O quê? A: A distância igual. C: Ah! É verdade. A: Por isso ocorre... C: Por isso as distâncias são iguais. A: É isso mesmo!

Apresentamos o protocolo da D3.


Percebemos na fala do sujeito C que ele se refere aos gráficos como

sendo “os mesmos”, pelo fato de serem representações gráficas de funções

decrescentes. Apresentamos na Figura 70 a produção da D3.

193

Figura 70: Produção da D3 sobre a relação entre as funções exponencial e logarítmica. Fonte: Acervo pessoal.

Apenas uma das duplas (D1) respondeu no protocolo que, para as

funções exponencial e logarítmica, uma é a inversa da outra. Então,

transcrevemos o trecho do diálogo da D1 sobre o levantamento das

conjecturas para analisarmos melhor a conclusão dessa dupla sobre a relação

entre as funções.

J: O que podemos concluir sobre a relação entre as funções exponencial e logarítmica? V: É...Que elas são...Uma é contrária a outra. Que uma é inversa a outra, porque... J: Coloca que o valor de x na exponencial é o valor de y... V: É na outra. J: Na logarítmica. V: É que é inverso. Aqui nessa função, o valor de x é do y. E esse do y é aqui do x. (o sujeito aponta para as coordenadas dos pontos)

Percebemos que D1 utiliza o termo “inverso” para falar das coordenadas

dos pontos que são invertidos nas funções exponencial e logarítmica, por

causa da relação existente entre elas, de serem funções inversas. Embora

tenham compreendido uma das relações sobre o fato de serem funções

inversas, como ilustrado na Figura 71, a dupla não demonstra qualquer

assimilação formal entre a relação do gráfico e da expressão algébrica,

apontando outras propriedades ou características entre as funções exponencial

ou logarítmica. Assim, utilizaram características corporificadas sem conexão

194

com o mundo formal, pois provavelmente eles não sabem o que é uma função

inversa.


Em geral, verificamos que as duplas perceberam apenas que as

coordenadas dos pontos A (m, n) e B (n, m), pertencentes aos gráficos das

funções exponencial e logarítmica, são invertidas e que as distâncias deles até

a reta são iguais. Entretanto, não compreenderam a relação envolvida de que,

se esse fato ocorre, é porque os pontos são simétricos à reta que é a bissetriz

dos quadrantes ímpares pelo fato das funções serem inversas. Ou seja,

utilizaram apenas características corporificadas ao descreverem suas

percepções sobre o objeto matemático da questão, com auxílio da manipulação

dos seletores e da construção e visualização dos gráficos, porém sem conexão

com o mundo formal.

Ressaltamos que não houve intervenção da nossa parte para que os

alunos assimilassem os conceitos abordados nas atividades. A nossa

intervenção foi no sentido de auxiliar alunos na construção dos gráficos das

funções, relembrando a linguagem do software como, por exemplo, no campo

de entrada escrever as funções: e .

Diferentemente da pesquisa de Lima (2009), cujos alunos tiveram auxílio dos

professores colaboradores, que aplicaram o experimento, a todo o momento

que precisaram e que tiveram dúvidas e, assim, assimilaram a relação entre as

funções exponencial e logarítmica como sendo uma a inversa da outra, por

exemplo.

Concluímos, por meio de nossa análise que, de maneira geral, os

objetivos propostos para essa atividade foram atingidos parcialmente. As

duplas, de certo modo, entenderam a existência do gráfico de acordo com os

valores atribuídos ao coeficiente a; o papel de cada um dos outros coeficientes

195

quando inseridos na função e a condição para classificar a função em

crescente ou decrescente.

No entanto, não assimilaram a transformação da função por meio da

aplicação da propriedade de mudança de base dos logaritmos, identificando o

coeficiente a como sendo a base do logaritmo, e não o denominador de uma

fração, como descreveram nos protocolos. Além disso, apresentaram confusão

em relação à identificação das coordenadas do ponto de intersecção do gráfico

com os eixos x e y. Dependendo dos valores atribuídos aos coeficientes, o

gráfico não intercepta o eixo y, porém duas duplas encontraram valores para a

intersecção dos dois eixos, independente dos valores atribuídos aos

parâmetros. Isso nos faz perceber que as duplas não fizeram conexão com o

mundo formal. Ainda, apresentaram dificuldades para a compreensão da

relação de função inversa existente entre as funções exponencial e logarítmica.

Apesar de não termos feito as institucionalizações ao final das

atividades, em conversa informal com a professora da turma, ela nos relatou

que esses alunos que participaram do nosso experimento apresentaram um

conhecimento a mais durante o estudo de funções exponencial e logarítmica na

sala de aula regular, em relação aos outros alunos. Nas construções gráficas

realizadas no ambiente papel e lápis, os sujeitos participantes de nossa

pesquisa realizaram mais facilmente do que os outros, fazendo um traçado

mais preciso da curva, sem fazer “pontas”. Na resolução do CAM, esses alunos

atuaram como “apoio”, ajudando os colegas, uma vez que eles assimilaram a

relação existente entre os coeficientes da função, o gráfico e a expressão

algébrica, pois o uso do software permitiu que fizessem inúmeras simulações

gráficas que favoreceram essa compreensão, e não apenas a realização de

uma, duas ou três representações gráficas, como foi feito em sala de aula, para

o restante dos alunos.

Nessa Atividade 7, de maneira geral, identificamos o uso predominante

de características corporificadas porque os alunos apenas relatam aquilo que

observam, por meio do movimento dos seletores. Porém, começam a usar

características do mundo formal quando, por exemplo, conseguem fazer a

“junção” de todos os coeficientes, identificando o “papel” de cada um na

196

variação do gráfico, quando inserido na lei da função. Também, encontramos

indícios do uso de características do mundo simbólico em uma dupla ao usar a

estratégia da manipulação algébrica para resolver problema.

Ressaltamos que o ambiente utilizado com auxílio de um software e a

resolução de atividades adaptadas do CAM proporcionaram aos alunos um

estudo diferenciado de funções exponencial e logarítmica ao permitir que eles

fizessem simulações rápidas e precisas sobre os gráficos de várias funções e,

ao mesmo tempo, comparar as variações com a expressão algébrica, visível na

“Janela de Álgebra” da interface, a fim de que percebessem as características

do gráfico de funções crescentes ou decrescentes; variação gráfica de acordo

com os valores atribuídos aos parâmetros; visualização dos gráficos das

funções inversas, para auxiliar a compreensão dessa relação existente entre

elas. Além disso, Alves (2010) enfatiza a mudança na postura do aluno, que

deixa de ser passiva para se tornar ativa, na construção do conhecimento;

questionadora e autônoma dentro do ambiente escolar.

Além disso, o trabalho em dupla promoveu discussões entre os sujeitos,

que foram muito mais ricas em detalhes do que eles demonstraram de forma

escrita nos protocolos. Talvez seja pela fadiga que sentem ao escrever textos

longos ou pelo fato de não saberem se expressar matematicamente. Ainda,

pode ser pelo fato de não estarem habituados a aulas em que eles são

considerados sujeitos ativos no processo de construção do conhecimento e, o

professor, o mediador do processo de aprendizagem, como aconteceu em

nosso ambiente utilizado para a aprendizagem.

Por esse motivo, o professor e o pesquisador não podem olhar apenas

para os registros escritos, pois eles podem não trazer aquilo que realmente o

aluno entendeu sobre um dado conteúdo. No nosso caso, enquanto

pesquisador, ressaltamos a importância de se fazer os registros de vídeo e

entrevistas gravadas, pois elas foram de grande valia para enriquecer nossa

análise. Já o professor não pode ficar fazendo vídeos em todas as aulas e

assistir a todos. Assim, ele pode tentar ouvir as discussões em sala de aula,

isto é, ouvir os próprios alunos.

A seguir, as nossas considerações finais para essa pesquisa.

197

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Essa pesquisa teve como objetivo adaptar atividades do CAM

relacionadas ao conceito de função para serem trabalhadas com auxílio de um

software. Guiados pela metodologia do Design Experiment, adaptamos sete

atividades do CAM, volumes 2 e 3, da primeira série do Ensino Médio, para o

uso do GeoGebra, e a aplicamos a seis alunos dessa série de uma escola da

rede pública da cidade de São Bernardo do Campo, São Paulo. O GeoGebra

foi escolhido por ser um software compatível com nosso quadro teórico, ao

permitir que os alunos façam relações entre os mundos corporificado, simbólico

e formal, por meio da visualização simultânea da representação das

características algébricas e geométricas do objeto em estudo.

Levando em consideração que os alunos não tinham conhecimento

algum sobre funções exponenciais e logarítmicas, e as dificuldades

apresentadas pelos autores em nossa revisão de literatura, optamos por iniciar

o estudo com as funções polinomiais de 1º e 2º graus, a fim de fazer uma

retomada do conceito de função, com intuito de minimizar tais dificuldades e de

auxiliar alunos na aprendizagem de funções exponencial e logarítmica. Porém,

para a análise dos dados coletados, feita à luz do quadro teórico dos Três

Mundos da Matemática, nos atemos apenas às funções exponencial e

logarítmica pelo fato da literatura sobre essas duas funções ser menos extensa

do que a das funções polinomiais.

As questões que nortearam nossa pesquisa foram:





função, por meio das atividades adaptadas do CAM, para o uso do

GeoGebra?

198

3) O uso de um ambiente computacional para o estudo de funções


jornada pelos Três Mundos da Matemática?

Tivemos por hipóteses que o experimento proposto permitiria analisar a

possibilidade de se fazer adaptações de atividades dos Cadernos do Aluno –

Matemática para o uso do software GeoGebra, que o uso desse ambiente

poderia trazer vantagens na exploração das funções e que o experimento

elaborado favoreceria a transição entre os Três Mundos da Matemática.

Na próxima seção, retomamos estas questões e apresentamos nossas

respostas para elas, bem como validamos nossa hipótese de pesquisa.

1. RESPONDENDO AS QUESTÕES DE PESQUISA

Pensando em nossa primeira questão de pesquisa:

“É possível integrar a Nova Proposta Curricular de São Paulo a um


pertencentes ao Caderno do Aluno – Matemática?”

Vimos que é possível fazer uma integração no sentido de que há

atividades que são passíveis de adaptação, isto é, atividades adaptáveis, de

modo que haja uma mudança real do ambiente papel e lápis para o ambiente

computacional. Porém, nem tudo parece ser adaptável, ou seja, há atividades

cuja adaptação não propiciou um estudo diferente do papel e lápis, o que não

foi nosso intuito.

Salientamos que a escolha das atividades a serem adaptadas foi difícil

por pretendermos que a adaptação tornasse atividade apropriada para a

resolução com o uso do computador, e não fazer "papel e lápis no

computador". A nosso ver, evidências desse fato ocorreram quando não

conseguimos fazer adaptações interessantes, envolvendo problemas de

logaritmos com as atividades exibidas no CAM (vol.3), uma vez que adaptar

199

atividades que foram projetadas para um ambiente papel e lápis para o uso de

um software não é simples, ou seja, de maneira que haja a mudança do papel

e lápis para o ambiente computacional. Provavelmente, o professor que se

propuser a adaptar outras atividades sob o mesmo enfoque, isto é, fazer a

mudança do ambiente lápis e papel para o computacional, também terá essa

dificuldade, pelo fato de não ser simples tal conversão de ambientes.

A segunda questão norteadora foi:

“O ambiente utilizado contribuiu para a aprendizagem do conceito de

função, por meio das atividades adaptadas do CAM, para o uso do

GeoGebra?”

O ambiente utilizado com auxílio do software para resolução de

atividades adaptadas do CAM proporcionou aos alunos melhor visualização

dos gráficos das funções, simultaneamente com a expressão algébrica, para

que eles pudessem fazer relações entre as variações gráficas, os coeficientes

e a lei da função. Além disso, o software permitiu agilidade e rapidez nas

simulações gráficas para a conclusão das questões. Afinal, entendemos o

quanto seria difícil, demorado e trabalhoso construir tantos gráficos em um

ambiente papel e lápis, para que os alunos percebessem tais variações.

Além disso, o software contribuiu para uma mudança na postura do

aluno, que saiu da condição passiva e assumiu uma postura ativa na

construção do conhecimento, e também, o trabalho em duplas permitiu que os

alunos trocassem informações, levantando conjecturas e testando-as para

chegar às conclusões, contribuindo para o desenvolvimento da autonomia.

Ainda, o software permitiu que os alunos fizessem relações entre os

mundos corporificado e o formal. Por exemplo, no momento em que os alunos

manipularam todos os seletores e foram assimilando o papel de cada

coeficiente em relação às variações do gráfico e da expressão algébrica.

A última questão levantada foi:

200

“O uso de um ambiente computacional para o estudo de funções


jornada pelos Três Mundos da Matemática?”

Considerando que os alunos construíram gradativamente a noção de

variação de cada coeficiente quando inserido na função, isto é, num primeiro

momento eles utilizaram características corporificadas ao descreverem apenas

as percepções daquilo que visualizavam com o movimento dos seletores, e, ao

serem inseridos todos os coeficientes na função, os alunos conseguiram fazer

a junção desses coeficientes, visualizando a variação ocorrida no gráfico em

relação a cada um, utilizando, assim, características do mundo formal. Então,

podemos dizer que os alunos conseguiram fazer algumas relações entre os

mundos corporificado e formal, porém, houve a predominância de

características do mundo corporificado, principalmente nas tarefas sobre

função logarítmica. Talvez seja pelo fato de não termos escolhido atividades

que privilegiassem essa relação entre os mundos corporificado e simbólico, ou

entre os mundos simbólico e formal.

Sendo assim, entendemos que a jornada não foi completa porque

nossas atividades escolhidas e adaptadas contemplaram muito mais as

discussões entre os mundos corporificado e formal do que o mundo simbólico.

O software também não propiciou tantas relações assim usando o mundo

simbólico.

2. VALIDANDO AS HIPÓTESES DE PESQUISA

Considerando as nossas hipóteses de pesquisa, concluímos que elas

foram parcialmente contempladas, pois, conforme já relatamos, é possível de

se fazer adaptações do CAM para o uso do GeoGebra, porém, nem todas as

atividades do Caderno são passíveis de adaptações para o uso do software de

maneira que haja a mudança entre os ambientes papel e lápis e o

computacional.

201

Além da dinâmica da manipulação dos seletores, da visualização

simultânea dos gráficos das funções e das expressões algébricas, da agilidade

nas construções desses gráficos, o software permitiu ao aluno que se

dimensionassem os eixos x e y, determinando a graduação da maneira que lhe

fosse mais conveniente para “acomodar” os pontos dos gráficos das funções,

proporcionando maior precisão na construção dos gráficos, o que melhorou a

visualização, interpretação e análise dos dados aos quais eles se referiam. Por

exemplo, permite que o aluno trabalhe com pontos cujas coordenadas sejam

expressas por valores bem pequenos (0,0000056; 1,0005) ou grandes (3,

64000) e modifique rapidamente, se necessário, a graduação desses eixos,

para a análise do gráfico.

Ainda, a transição entre os Três Mundos da Matemática não foi

totalmente favorecida nesse experimento, uma vez que predominaram o uso de

características dos mundos corporificado e formal. Talvez seja pelo fato de

nossas atividades adaptadas não contemplarem tanto as discussões sobre o

mundo simbólico.

3. LIMITAÇÕES E SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS

Podemos dizer que a dificuldade na escolha das atividades foi uma

limitação da nossa pesquisa, pois quisemos nos ater ao CAM, e esse fato pode

nos ter privado de elaborar atividades que contemplassem um pouco mais uma

discussão sobre a relação entre os mundos corporificado e formal e o mundo

simbólico, por exemplo. Ou ainda, nos privou de encontrar problemas

envolvendo exponencial e logaritmo que fossem interessantes de se adaptar

para o uso do software.

Além disso, podemos citar o fato de que, mesmo fazendo uma análise

de Atividade a Atividade, não percebemos, naquele momento, a necessidade

de um redesign da Atividade 7 para a compreensão da relação de funções

inversas existente entre as funções exponencial e logarítmica. Entendemos que

a riqueza dessa metodologia está na necessidade de um olhar mais

202

aprofundado na análise das atividades durante a realização das sessões,

estipulando um prazo maior para reflexão e análise daquilo que foi produzido

entre uma sessão e outra, a fim de perceber a necessidade de um redesign.

Ainda sobre as limitações, queremos destacar o fato da extensão das

atividades, isto é, quisemos trabalhar com a percepção das variações gráficas

ao serem inseridos os parâmetros a,b,c,d,e na lei das funções exponencial

e logarítmica

, o que tornou algumas

das atividades longas e cansativas. Percebemos que poderíamos ter

simplificado alguns coeficientes cuja modificação gráfica não fosse tão evidente

assim, e ter enfatizado mais outras relações entre os coeficientes como, por

exemplo, na função exponencial, a adição dos valores dos coeficientes b e e

resulta na ordenada do ponto de intersecção do gráfico com o eixo y, ou seja, P

(0, b+e). Para tanto, poderíamos ter feito institucionalização com todo o grupo

para que fossem discutidas essas relações entre os parâmetros, pois, talvez

nem um redesign colaborasse para esse fim.

Verificamos, também, por meio dos vídeos que as duplas sentiram a

necessidade de atribuir nomes aos elementos da função como, por exemplo,

um nome para os gráficos das funções exponencial e logarítmica; um nome

para o coeficiente a da base do logaritmo. Então, percebemos que poderíamos

ter feito um redesign dessas atividades para explicar, por exemplo, que na

função , o coeficiente a é a base da exponencial e que na função

, o coeficiente a é a base do logaritmo e x é o logaritmando.

Ainda, nas Atividades de função logarítmica, em que foram necessários a

transformação dos logaritmos para a base dez, por causa de uma limitação do

software, os alunos não levaram em consideração as nossas explicações

referentes à propriedade da mudança de base dos logaritmos

, assim, apresentaram dificuldades na resolução dessa

Atividade. Talvez poderíamos ter feito uma institucionalização para enfatizar

esse conceito da propriedade da mudança de base dos logaritmos, ou até

mesmo, um redesign.

203

Sugerimos, para uma próxima aplicação dessas atividades, que o

professor pesquisador se atente a esses pontos que levantamos e avalie a

necessidade de fazer ou não um redesign naquele momento, uma vez que a

turma será outra, isto é, com outras necessidades e outras concepções

prévias.

Além disso, sugerimos que sejam feitas institucionalizações ao final das

atividades, para que a turma formalize a relação entre os parâmetros, pois

algumas relações são interessantes no sentido de facilitar a interpretação da

variação gráfica.

Esperamos que nossas atividades adaptadas contribuam para uma

abordagem diferenciada no estudo das funções exponencial e logarítmica, no

sentido de interagir a tecnologia com o CAM, privilegiando a aprendizagem do

conceito de função, a fim de minimizar algumas das dificuldades apontadas na

literatura. Ainda, que nossa pesquisa possa contribuir para a ampliação da

literatura destinada ao estudo dessas funções, na área da Educação

Matemática.

204

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206

OLIVEIRA, A. J. de. O ensino dos logaritmos a partir de uma perspectiva Histórica. 123f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática). Centro de Ciências Exatas e da Terra. Universidade do Rio Grande do Norte. Natal – RN, 2005. SANTOS, A. T. C. dos. O Ensino da Função Logarítmica por meio de uma sequência didática ao explorar suas representações com o uso do software GeoGebra. 200f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. 2011. SÃO PAULO (ESTADO). Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, 2008. _________. Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Médio – 1ª série, volume 1. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2008. _________. Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Médio – 1ª série, volume 2. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009a. _________. Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Médio – 1ª série, volume 3. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009b. _________. Caderno do Professor: Matemática, Ensino Médio – 1ª série, volume 2. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009c. _________. Caderno do Professor: Matemática, Ensino Médio – 1ª série, volume 2. Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009d. SCANO, F.C. Função Afim: Uma sequência didática envolvendo atividades com o Geogebra. 2009. 151 p. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2009. SILVA, R. S. da. O uso de problemas no ensino e aprendizagem de funções exponenciais e logarítmicas na Escola Básica. 159f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática). Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, 2012. SOUZA, C. V. de. A Função Exponencial no Caderno do Professor de 2008 da Secretaria do Estado de São Paulo, análise de atividades realizadas por alunos da 2ª série do Ensino Médio. 173f. Mestrado Profissional em Ensino de Matemática. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, 2010. TALL, D. Introducing three worlds of mathematics. For the Learning of Mathematics. Canada. v.23, n.3, p.29-33. 2004a.

207

_______. Thinking through three worlds of mathematics. In: International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 28. Bergen, Norway. v. 4, 281–288, 2004b. ________. The transition from embodied thought experiment and symbolic manipulation to formal proof. In M. Bulmer, H. MacGillivray & C. Varsavsky (Eds.), Proceedings of Kingfisher Delta’05, Fifth Southern Hemisphere Symposium on Undergraduate Mathematics and Statistics Teaching and Learning (pp. 23-35). Fraser Island, Australia, 2005.

________. Developing a Theory of Mathematical Growth. To appear in International Reviews on Mathematical Education (ZDM), 2006.

208

APÊNDICES

Apêndice A - FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA

FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Nessa aula, faremos uma breve descrição sobre as potencialidades do

software, bem como, as finalidades dos comandos básicos para construção de

pontos, retas, gráficos, entre outros.

Na área de trabalho do computador, clique no ícone para que seja

aberto o programa. Isto feito, encontramos a tela inicial do software. Abaixo do

ícone GeoGebra, se encontra a Barra de Menus, seguida da Barra de

Ferramentas.

A interface do software disponibiliza janelas intituladas como “Janela de

Álgebra”, local em que ficam armazenadas os chamados “objetos livres” e

“objetos dependentes”, e “Janela de Visualização”, local em que aparecem os

eixos coordenados.

209

No rodapé da interface do software, existe um “Campo de Entrada”, local

em que são inseridos os comandos, de forma direta, para obtenção dos

objetos. Por exemplo, ao inserir a função f(x) = 2x, e clicar “enter” o gráfico é

construído automaticamente. O mesmo acontece se inserir as coordenadas de

um ponto.

Exemplos: 1) Construa o gráfico da função f(x) = 2x.

2) Crie outras funções e construa os gráficos.

Além disso, temos as funções com domínio restrito “

”; logaritmo decimal “lg(...)”; raiz

quadrada “sqrt(...)”; raiz cúbica “cbrt(...)”; entre outros.

Na Barra Menu, existem os comandos: Arquivo, Editar, Exibir,

Disposições, Opções, Ferramentas, Janela e Ajuda. Ao clicar sobre um deles, é

aberta uma janela com mais subcomandos, cada qual com sua função. Por

exemplo, citamos o “Gravar como”, que será bastante utilizado, uma vez que

devem gravar todos os arquivos que produzirem para posteriores análises.

Após a conclusão das análises, esses arquivos serão armazenados em nosso

acervo pessoal.

210

A Barra de Ferramentas disponibiliza doze comandos que facilitam a

construção de objetos na “Janela de Visualização”.

Apresentamos os comandos mais utilizados para realização das

atividades do experimento, seguidos de breves comentários sobre as funções.

Este comando, ilustrado por uma seta, deve

estar acionado sempre que o aluno quiser

manipular seus objetos, selecionar outros

ícones ou navegar por entre as Barras de

Menu e de Ferramentas.

Este comando oferece diversos recursos,

sendo os mais utilizados, de acordo com as

atividades: “Ponto em objeto” (por exemplo,

cria pontos vinculados aos gráficos de retas

ou curvas) e o de “Intersecção de Dois

Objetos” (marca um ponto fixo entre a

intersecção do gráfico com o eixo cartesiano,

por exemplo).

211

Este comando permite a construção

de retas e semirretas, além de

auxiliar o estudo de vetores. De

acordo com as atividades, poderá

ser utilizado o comando ‘Reta

definida por dois Pontos’, para a

construção de retas auxiliares que,

permitirão, por meio da manipulação,

entender melhor as soluções das

questões, bem como, os conceitos

envolvidos.

Este comando explora, entre outras,

algumas noções sobre conceitos

matemáticos como, por exemplo,

paralelismo e perpendicularismo entre

retas. De acordo com as atividades,

pode ser usado o comando ‘Reta

Perpendicular, para construção de

retas auxiliares, que podem facilitar a

busca de soluções dos exercícios

desenhados no experimento.

212

Temos também os comandos oferecidos ao clicar o Botão Direito do

Mouse, na Janela de Visualização.

Abrirá uma janela, exibindo os ícones Eixos (quando está selecionado,

com a borda azul, significa que os eixos coordenados estão visíveis); Malha

(analogamente para a malha quadriculada); Zoom (varia o tamanho da

visualização dos objetos); Eixo X: Eixo Y (altera proporcionalmente a escala

dos eixos coordenados); Exibir Todos os Objetos (expõe objetos ocultos);

Visualização Padrão (retorna às medidas iniciais); Janela de Visualização (são

mais opções para configurar essa janela como, por exemplo, idioma, tamanho

da fonte, entre outros).

Por meio deste comando, é

possível realizar medições

entre ângulos, segmentos

de reta, área, perímetro,

inclinação de uma reta em

relação ao eixo x. Será

solicitado em algumas

questões que envolvem

perímetro e área.

Este comando deve ser acionado sempre que

alunos quiserem movimentar objetos dentro da

“Janela de Visualização”. Por exemplo,

movimentar o sistema de eixos coordenados ou,

ainda, modificar suas escalas.

213

O software oferece, ainda, as opções para personalizar os objetos

construídos, tais como: modificar a cor, a espessura e o estilo da linha que

contorna ou forma o objeto, entre outros.

Por exemplo, construam o gráfico de uma função f, e personalizem,

modificando a cor, estilo e espessura da linha.

Para isso, basta selecionar o objeto que se pretende modificar e clicar

com o botão direito do mouse. Uma janela se abre, com vários outros recursos:

Exibir Objeto (tem que estar selecionado, caso contrário, o gráfico não fica

visível), Exibir rótulo (quando selecionado, aparece os “nomes” dos objetos; por

exemplo, neste caso, a função f), Habilitar Rastro, Copiar para a Linha de

Comandos, Renomear, Apagar, Propriedades.

Segue exemplos dos comandos mais usuais.

214

Ao clicar em propriedades, outra janela se abre com mais recursos:

Básico, Cor, Estilo, Álgebra, Avançado, Programação, Apagar, Restaurar

Configuração Padrão, Fechar. Os mais utilizados são os comandos Básico

(oferece a opção de visualizar o rótulo com nome e valor); Cor (oferece opções

de cores que mexem com a imaginação); Estilo (espessura da linha e tipo –

tracejada ou contínua – dos objetos).

215

O GeoGebra disponibiliza o recurso de animação.

Por exemplo: Coloque um ponto sobre um gráfico construído e anime-o.

Para isso, deve escolher na barra de ferramentas, o comando “ponto em

objeto”. Após colocar o ponto sobre o gráfico, deve clicar com o botão direito do

mouse. Uma janela se abre, com recursos similares, descritos anteriormente,

porém oferece o recurso Animar. Quando selecionado, o ponto se locomove

sobre o gráfico construído, aparecendo uma seta na tela de visualização

que, ao ser clicada, paralisa a animação. Para retornar, basta clicar no ícone

e, assim, sucessivamente.

216

Agora vamos explorar o software, resolvendo alguns exercícios.

1) Construa uma reta qualquer no plano cartesiano. O que foi preciso usar para

traçar essa reta?

2) Construa uma reta paralela a esta outra que foi construída. Por que elas são

paralelas?

3) Construa uma reta perpendicular em relação à primeira reta construída. Por

que elas são perpendiculares?

4) Construa uma reta perpendicular ao eixo das abscissas e outra em relação

ao eixo das ordenadas. Personalize as retas.

5) Coloque um ponto de intersecção entre duas retas. Coloque outro ponto

sobre outra reta. Anime-os e observe o comportamento dos dois pontos.

6) Construa o gráfico de funções do tipo , ,

e . Personalize-os. Coloque visível a malha quadriculada

e altere a escala dos eixos x e y.

7) Construa um polígono. Meça a medida dos lados desse polígono. Dê os

valores do perímetro e da área.

8) Abram o arquivo, no GeoGebra, denominado “aula prévia”. Movimentem os

seletores e descreva o que você observa quando a>0, a<0 e a=0. Qual a

classificação para a função nesses três casos?

9) Qual a relação entre o gráfico e a expressão algébrica presente na tela?

10) Qual é a relação dos coeficientes a e b com a expressão algébrica

?

217

Apêndice B - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

COMISSÃO DE ÉTICA

(Resolução CONSEPE-UNIBAN nº 17/06 de 11/02/2006)

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

O(a) senhor(a) está sendo convidado(a) a participar, como voluntário, desta pesquisa

que tem como finalidade investigar questões relacionadas ao ensino de um conceito da

Matemática. Tal investigação é, por nós, considerada de fundamental importância, uma vez que

poderá contribuir para a compreensão das dificuldades enfrentadas por um estudante no

processo de construção desse conceito e para a reflexão sobre possíveis estratégias no sentido

de amenizar tais dificuldades e oferecer ajuda para a superação das mesmas.

Ao participar desta pesquisa, o(a) senhor(a) permitirá que a pesquisadora tenha a

oportunidade de ampliar e aprofundar os estudos que vêm sendo desenvolvidos por outros

pesquisadores das linhas de Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações do

Programa de Mestrado em Educação Matemática da UNIBAN-SP.

Após ser esclarecido(a) sobre as informações a seguir, no caso de aceitar fazer parte

do estudo, assine ao final deste documento, que está em duas vias. Uma delas é sua e a outra

é da pesquisadora responsável. Em caso de recusa, o(a) senhor(a) não será penalizado(a) de

forma alguma. O(a) senhor(a) tem liberdade de interromper sua participação, em qualquer fase

do estudo, sem prejuízo algum. Sempre que quiser ou necessitar poderá solicitar informações

sobre a pesquisa por meio do telefone da pesquisadora do projeto. Se o(a) senhor(a) tiver

alguma consideração ou dúvida sobre a ética da pesquisa, entre em contato com a Comissão de

Ética.

1. Cada participante será identificado por um apelido, a ser utilizado caso haja

necessidade.

2. Será realizada as atividades propostas na pesquisa, num ambiente computacional,

será vídeo -gravada e eventualmente registrada por escrito por um observador

neutro. Dos protocolos serão tirados os dados qualitativos.

3. Os dados analisados são estritamente confidenciais e serão de estrito conhecimento

da pesquisadora e de sua orientadora. As gravações serão utilizadas de forma

sigilosa pela pesquisadora, para esclarecer dúvidas que possam surgir durante a

análise dos protocolos e das observações escritas. As informações obtidas serão

analisadas no conjunto de participantes, não sendo divulgada a identificação de

nenhum destes.

218

4. Em qualquer etapa do estudo, o(a) senhor(a) terá acesso aos profissionais

responsáveis pela pesquisa para esclarecimento de eventuais dúvidas.

5. A participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os procedimentos

adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres

Humanos conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum

dos procedimentos que serão utilizados oferece riscos à sua dignidade.

6. Ao participar desta pesquisa o(a) senhor(a) não terá nenhum benefício direto.

Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes a respeito

das dificuldades inerentes ao processo de construção do conceito em estudo, de

forma que o conhecimento que será construído a partir desta pesquisa possa

contribuir para o seu ensino. Para isso, a pesquisadora se compromete a divulgar

os resultados obtidos.

7. O(a) senhor(a) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta pesquisa,

bem como nada será pago por sua participação.

8. Direito de ser mantido atualizado – Os resultados parciais das análises serão

compartilhados, à medida que forem obtidos.

9. Os dados analisados serão utilizados somente para esta pesquisa.

Pesquisadora: Patrícia Felipe

RG: 29.247.516-0

Tel.: (11) 4347-9637

E-mail: [email protected]

Orientadora: Profª Drª Rosana Nogueira de Lima

Av. Braz Leme, 3029 – 1º andar, tel. (11) 2972-9045 UNIBAN – Campus

MR

Tel.: (11) 3642 1060 , e-mail: [email protected]

Comissão de Ética: Av. Braz Leme, 3029 – 1º andar

Tel.: 2972-9020 / 9021, Fax.: 2972-9028



Pesquisadora Orientadora

Patrícia Felipe Profª Drª Rosana Nogueira de Lima

___________________________________ ___________________________________

Se após esses esclarecimentos o(a) senhor(a) consentir, de forma livre,

em participar desta pesquisa, assine, por favor, a folha que segue:

mailto:[email protected]

219

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO EPESQUISA

COMISSÃO DE ÉTICA

(Resolução CONSEPE-UNIBAN nº 17/06 de 11/02/2006)

Acredito ter sido suficientemente informado a respeito das informações que li ou que foram

lidas para mim, descrevendo o estudo desta pesquisa. Eu discuti com a mestranda, Patrícia

Felipe, a minha decisão em participar desse estudo. Ficaram claros para mim quais são os

propósitos do estudo, os procedimentos a serem realizados, seus desconfortos e riscos, as

garantias de confidencialidade e de esclarecimentos permanentes. Ficou claro também que

minha participação é isenta de despesas. Concordo voluntariamente em participar deste estudo

e poderei retirar o meu consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem

penalidades ou prejuízos ou perda de qualquer benefício que eu possa ter adquirido, ou no meu

atendimento nesta unidade de ensino.

______________________________

Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa

(Somente para o responsável do projeto)

Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e Esclarecido deste

paciente ou representante legal para a participação neste estudo.

Assinatura do responsável pelo estudo Data / /

220

Apêndice C - Termo de Concessão do uso de imagens

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM DUCAÇÃO MATEMÁTICA

CONCESSÃO DO USO DAS IMAGENS

Declaro meu consentimento para a veiculação da imagem de meu(minha)

filho(a) para fins de divulgação científica, nas condições do TERMO DE

CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO, que li acima, ou que foram lidas

para mim, a respeito do projeto O ESTUDO DE FUNÇÕES COM O AUXÍLIO

DE UM AMBIENTE COMPUTACIONAL.

São Bernardo do Campo, _____ de ____________ de _______

Assinatura do sujeito de pesquisa/representante legal

Assinatura da pesquisadora responsável

Assinatura da testemunha Assinatura da testemunha

221

Apêndice D - Atividade 1 do Design


a) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o

seletor a para a direita? E para a esquerda?

b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando arrasta o

seletor b para a direita? E para a esquerda?

c) O que podemos concluir sobre os seletores a e b em relação à função

polinomial de 1º grau f(x) = ax + b?

d) Quando colocamos o seletor a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse

gráfico representa uma função? Se sim, qual? Movimente o seletor b para se

certificar de sua resposta.

e) Considerando o valor de a>0, quando a reta estará “mais” ou “menos”

inclinada em relação ao eixo x? E quando a<0, o que acontece?

f) Com suas palavras, defina os coeficientes a e b.

g) Com suas palavras, defina os pontos C e D.

ATIVIDADE 1

Observação: Por favor, deixe todos os seus cálculos, anotações, ou raciocínios

utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA:____DATA:___/___/___

222

Apêndice E – Atividade 2 do Design


a) Observe a reta. Qual a variação do y quando x varia uma unidade?

b) Movimente o seletor a. Observe novamente, quando x varia uma unidade

quantas unidades variam no y?

c) Varie mais algumas vezes o valor do a e para cada valor que você parar

observe essa variação. E compare esta variação do x em relação ao y com a

lei da função. O que você percebe?

d) Se andar duas unidades no x quantas unidades anda no y?

ATIVIDADE 2



223

Apêndice F - Redesign da Atividade 1

1) Abra o arquivo da atividade 1, no GeoGebra e responda as questões:

a) Observe o gráfico, o valor numérico de a e o valor numérico de b. Escreva a

lei da função que você observa.

b) Mude o valor numérico de a para 2, e escreva a lei da função encontrada.

Qual foi a modificação que ocorreu com o gráfico em relação ao anterior?

c) Mude o valor numérico de a para – 3, e escreva a lei da função encontrada.

Qual foi a modificação que ocorreu com o gráfico em relação ao gráfico obtido

no item a)?

d) Escolha mais dois valores numéricos para representar a e anote as leis das

funções encontradas. Descreva as modificações observadas em cada gráfico

em relação ao gráfico do item a).

e) Com o valor numérico de a=1, mude o valor numérico de b para 4. Escreva

a lei da função encontrada, e descreva a modificação ocorrida no gráfico desta

função em relação ao gráfico do item a).

f) Com o valor numérico de a=1, mude o valor numérico de b para – 5. Escreva

a lei da função encontrada, e descreva a modificação ocorrida no gráfico desta

função em relação ao gráfico anterior.

g) Com o valor numérico de a= –6.2, mude o valor numérico de b para 5.

Escreva a lei da função encontrada, e descreva a modificação ocorrida no

gráfico desta função em relação ao gráfico do item a).

h) Com o valor numérico de a= –6.2, mude o valor numérico de b para – 2.6.

Escreva a lei da função encontrada, e descreva a modificação ocorrida no

gráfico desta função em relação ao gráfico anterior.

i) Mude o valor numérico de a e de b para zero (a=0; b=0). O que você observa

no gráfico?

j) Com a=0, mude o valor numérico de b para 5.6 e descreva a modificação

que ocorreu com o gráfico desta função em relação ao gráfico do item anterior.

ATIVIDADE 1


utilizados registrados nesta folha de atividade.DUPLA:____DATA:___/___/___

224

k) Com a=0, mude o valor numérico de b para – 4.2 e descreva a modificação

ocorrida no gráfico desta função em relação ao gráfico do item i).

2) O que acontece com o gráfico da função quando:

a) a assume valores numéricos positivos?

b) a assume valores numéricos negativos?

c) a assume valor numérico igual a zero?

d) b assume valores numéricos positivos?

e) b assume valores numéricos negativos?

f) b assume valor numérico igual a zero?

3) O que podemos concluir sobre os valores numéricos de a e de b em relação

a função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b?

4) Observe as coordenadas dos pontos C e D quando os valores de a e b se

modificam. O que podemos concluir sobre esses pontos?

225

Apêndice G - Redesign da Atividade 2


1) Com a ferramenta do GeoGebra, crie dois pontos A e B sobre a reta, e

determine as coordenadas (x,y) de cada um desses pontos.

2) Qual é a variação, ou seja, a diferença entre os valores do yB e yA? E a

variação entre xB e xA?

3) Calcule a taxa de variação, isto é, a razão entre a diferença do yB e yA e a

diferença entre xB e xA.Compare o valor encontrado nesta razão com a função

que aparece na interface do GeoGebra. O que você percebe?

4) Mude o valor numérico de a. Anote as novas coordenadas dos pontos A e B.

Qual a diferença entre os valores das coordenadas yB e yA? E a diferença entre

xB e xA?

5) Calcule a taxa de variação. Compare o valor encontrado com a função que

aparece na interface do GeoGebra. O que você percebe?

6) Mude o valor numérico de b. Determine as novas coordenadas dos pontos A

e B. Qual a diferença entre os valores das coordenadas yB e yA? E a diferença

entre xB e xA?

7) Calcule a taxa de variação entre esses pontos. Compare este valor com o do

item anterior. O que você percebe? Justifique sua resposta.

8) Repita este procedimento por mais três vezes, mudando os valores

numéricos de a e b, use inclusive números negativos para representar a e b.

Verifique se o que você percebeu é verdadeiro para outros valores numéricos

de a.

9) Construa uma reta definida pelos pontos A e B. Com o auxílio da ferramenta

do GeoGebra, meça a inclinação dessa reta. Calcule a taxa de variação entre

os pontos utilizados pelo software.

10) Compare esse valor com a função que aparece na interface do GeoGebra.

O que podemos concluir?

ATIVIDADE 2


utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA:____DATA:__/__/__

226

Apêndice H - Atividade 3 do Design




2) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando m assume


3) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando n assume


4) O que podemos concluir sobre os valores de a, m, n em relação à função

polinomial de 2º grau f(x) = a(x-n)2+m?

5) Compare as duas expressões algébricas que aparecem na “janela de

álgebra” do GeoGebra e escreva o que você percebe.

6) Quando colocamos o valor a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse gráfico

representa uma função? Se sim, qual?



8) Com suas palavras, defina os coeficientes a, m, n.

9) Com suas palavras, defina os pontos A, B, C, D.

ATIVIDADE 3


utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA:____DATA:__/__/__

227

Apêndice I - Atividade 4 do Design




2) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume


3) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume


4) O que podemos concluir sobre os valores de a, b, c em relação à função

polinomial de 2º grau f(x) = ax2 + bx + c ?

5) Quando colocamos o valor de a = 0 o que acontece com o gráfico? Esse




ATIVIDADE 4



228

Apêndice J - Atividade 5 do Design

Deseja-se murar (cercar com muros) um terreno retangular utilizando-se

de uma parede já existente no terreno. Sabe-se que o comprimento do muro

correspondente aos outros três lados do terreno é 12 metros.






c) Quais as dimensões, comprimento e largura, do terreno para que a área seja

máxima?

d) Tomando o segmento HI como x, movimente o ponto P de forma que x tenha

as medidas indicadas na tabela e preencha o que se pede.

x Perímetro Área

0

1

1,5

2

2,3

3

3,7

4

Parede

x x

ATIVIDADE 5



PROBLEMA 1

229

e) Escreva a expressão algébrica que representa a área desse retângulo.





h) O que podemos concluir sobre esse ponto e a área máxima do retângulo?






a) Qual é o valor da constante de proporcionalidade k?

b) Qual a expressão algébrica que descreve esse movimento?

c) Abra um arquivo no GeoGebra e construa o gráfico.

d) Coloque um ponto sobre a curva. Trace uma perpendicular, passando por

esse ponto, em relação ao eixo x e outra em relação ao eixo y.

e) Considerando o problema, como você interpreta o ponto zero no gráfico?

f) Qual é a distância vertical percorrida após 5 segundos?


4,5

5

5,6

6

PROBLEMA 2

230

Apêndice K - Atividade Complementar12

DUPLA:______DATA:___/___/___

1) Escreva uma sentença matemática que traduza cada afirmação abaixo.

a) o quadrado de um número somado com dois.:……………… …………………

b) o triplo de um número acrescido de quatro.:………………………….………….

c) a diferença entre o cubo de um número e o próprio número.:………………….

2) A seguir, estão os primeiros elementos de uma sequência de figuras que

representam os chamados números quadrangulares.

a) Quantos quadradinhos deverá ter o sexto elemento dessa sequência? E o

décimo termo?

b) Escreva a expressão do termo geral dessa sequência.

3) Nesta figura, cada quadradinho é formado por quatro palitos de

comprimentos iguais.

a) Quantos palitos serão necessários para a construção da sexta figura? E da

sétima?

b) Quantos palitos serão necessários para construir a 78ª figura?

c) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de palitos da figura que

ocupa a posição n nessa sequência.

4) Observe a sequência de figuras:

12

Atividades extraídas do Caderno do Aluno – Matemática, volume 1, 2008.

ATIVIDADE COMPLEMENTAR

231

a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a sexta figura dessa sequência?

b) Preencha a tabela.

Posição da figura na sequência

Número de quadrinhos pretos

Número de quadrinhos brancos

1

2

3

4

n

c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a 39ª figura dessa sequência?

5) Observe a sequência de figuras. Assinale a alternativa que representa a

expressão algébrica que representa a quantidade de quadrinhos na Figura n.

6) Em uma sequência numérica, o primeiro termo é igual a 2 e os seguintes

são obtidos a partir do acréscimo de três unidades ao termo imediatamente

anterior. Nessa sequência,

a) quais são os cinco primeiros termos?

b) qual é o décimo termo?

c) como se pode determinar um termo an qualquer?

7) A expressão

é a expressão do termo geral de uma sequência

numérica, isto é, os termos da sequência podem ser obtidos se forem

atribuídos a n valores naturais maiores do que zero. Para essa sequência,

encontre:

a) o primeiro termo c) o oitavo termo

b) o quinto termo d) a posição do termo que é igual a

a)

b)

c)

d)

232

Apêndice L - Redesign da Atividade 5

Deseja-se cercar com arame um terreno retangular utilizando-se de uma

parede já existente no terreno. Sabe-se que o comprimento do arame

necessário para cercar os outros três lados do terreno é 12 metros.






c) Quais as dimensões, comprimento e largura, do terreno para que a área seja

máxima?

d) Observe a figura acima. Considerando que o arame tem comprimento de 12

metros e foram utilizados dois pedaços de medida x para representar a largura

do terreno, como podemos representar algebricamente, em função de x, o lado

referente ao comprimento?

e) Escreva a expressão algébrica que representa a área desse terreno

retangular.

f) Tomando o segmento HI como x, movimente o ponto P de forma que x tenha

as medidas indicadas na tabela e preencha o que se pede.

X Comprimento do arame Área do terreno

0

1

1,5

2

2,3

3

Parede

x x

ATIVIDADE 5



PROBLEMA 1

233





i) O que podemos concluir sobre esse ponto e a área máxima do retângulo?






a) Considerando os dados apresentados acima, calcule o valor da constante de

proporcionalidade k.

b) Indique a expressão algébrica que descreve esse movimento, substituindo o

valor de k.

c) Considerando o problema, como você interpreta o ponto zero no gráfico?

Abra um arquivo no GeoGebra e construa o gráfico desse movimento,

lembrando que você pode restringir o domínio da função. Para facilitar a

resolução das próximas questões, coloque um ponto sobre a curva; trace uma

perpendicular, passando por esse ponto, em relação ao eixo x e outra em

relação ao eixo y.

d) Para esse problema, o domínio da função pode assumir valores negativos?

Justifique sua resposta.

e) Qual é a distância vertical percorrida em 3,5 segundos?

f) Qual é a distância vertical percorrida em 5 segundos?


h) Quanto tempo a pedra levará para cair 160 m?

3,7

4

4,5

5

5,6

6

PROBLEMA 2

234

Apêndice M - Atividade 6 do Design




b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume



a=1?



percebeu.


ponto sobre a curva e anime-o. Observe a variação das

coordenadas (x,y) do ponto A e complete a tabela abaixo. O

que você percebe sobre os valores de y em relação à variação

de x?


do ponto A e complete a tabela abaixo. O que você percebe

sobre os valores de y em relação à variação de x?

ATIVIDADE 6


utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA:___DATA:___/___/___

x y

−4

−3.6

−2.1

0

1

2

4

x y

−7

−4

−1

0

1

2

3

235



g) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?


g) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume


h) Escolha um valor positivo para representar b e anote a expressão algébrica.


i) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

j) Escolha um valor negativo para representar b e anote a expressão algébrica.


k) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

l) O que podemos concluir sobre o valor de b na expressão algébrica

f(x)=b.acx+d+e.


questões.

h) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume


i) Escolha um valor positivo para representar c e anote a expressão algébrica.


j) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

k) Escolha um valor negativo para representar c e anote a expressão algébrica.


l) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

m) Escolha outros valores para representar a e b. Movimente os valores de c e

observe as variações do gráfico e da expressão algébrica. Selecione um valor

para representar c e anote a expressão algébrica. Essa função é crescente ou


n) O que podemos concluir sobre o valor de c na expressão algébrica

f(x)=b.acx+d+e.


questões.

h) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando d assume


236

i) Escolha um valor positivo para representar d e anote a expressão algébrica.


j) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

k) Escolha um valor negativo para representar d e anote a expressão algébrica.


l) Faça modificações nos valores de a, b, c e d, escolhendo inclusive, valores



m) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

n) O que podemos concluir sobre o valor de d na expressão algébrica

f(x)=b.acx+d+e.


as questões.

g) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando e assume


h) Escolha um valor positivo para representar e. Anote a expressão algébrica.


i) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

j) Escolha um valor negativo para representar e. Anote a expressão algébrica.


k) Escolha um valor 0<a<1 para representar a. Movimente os valores de e,


valor para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente

ou decrescente? Justifique sua resposta.

l) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y?

m) O que podemos concluir sobre o valor de e na expressão algébrica

f(x)=b.acx+d+e.

7) Certa população P1 de bactérias dobra a cada meia hora, ou seja,

P1=1000.22t (t em horas). Simultaneamente, outra população P2 de bactérias

cresce mais lentamente que P1, dobrando de valor a cada duas horas,

P2 = 8000.20,5t (t em horas).

e) Construa os gráficos de P1 e P2 no GeoGebra.

f) As funções P1 e P2 são crescentes ou decrescentes? Justifique sua

resposta.

237

g) Em que instante t as duas populações terão o mesmo valor?

h) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t=3?

8) Certa substância radioativa decompõe-se de forma que sua massa m reduz-

se à metade do valor inicial a cada 4 horas. Partindo-se de 60 gramas da

substância, temos m = 60.2–0,25t.

a) Construa o gráfico da função no GeoGebra.

b) A função é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.

Coloque um ponto sobre a curva. Construa duas perpendiculares passando

por este ponto sendo uma em relação ao eixo x e outra em relação ao eixo y.

c) Qual será a massa restante após 8 horas? E após 3 horas?

d) Após quanto tempo a massa restante será igual a 12 gramas? E a 20

gramas?

238

Apêndice N - Atividade 7 do Design




b) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando a assume



a=1?



percebeu.


ponto sobre a curva e anime-o. Observe a variação das

coordenadas (x,y) do ponto A e complete a tabela abaixo. O

que você percebe sobre os valores de y em relação à variação

de x?


do ponto A e complete a tabela abaixo. O que você percebe

sobre os valores de y em relação à variação de x?


utilizados registrados nesta folha de atividade. DUPLA:___DATA:___/___/___

x y

0.16

0.41

1

2

3

8

x y

0.16

0.34

0.51

1

2

4

8

ATIVIDADE 7

239



g) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x?


e) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando b assume


f) Escolha um valor positivo para representar b e anote a expressão algébrica.



h) O que podemos concluir sobre o valor de b na expressão algébrica.


questões.

e) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando c assume


f) Escolha um valor negativo para representar c e anote a expressão algébrica.



h) O que podemos concluir sobre o valor de c na expressão algébrica.


questões.

h) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando d assume


i) Escolha um valor positivo para representar d e anote a expressão algébrica.


j) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x?

k) Escolha um valor negativo para representar d e anote a expressão algébrica.


l) Faça modificações nos valores de a, b, c e d, escolhendo inclusive, valores



m) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x?

n) O que podemos concluir sobre o valor de d na expressão algébrica.


as questões.

240

h) O que você observa no gráfico e na expressão algébrica quando e assume


i) Escolha um valor positivo para representar e. Anote a expressão algébrica.


j) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x?

k) Escolha um valor negativo para representar e. Anote a expressão algébrica.


l) Escolha um valor 0<a<1 para representar a. Movimente os valores de e,


valor para representar e. Anote a expressão algébrica. Essa função é crescente

ou decrescente? Justifique sua resposta.

m) Em que ponto o gráfico intercepta o eixo y? E o eixo x?

n) O que podemos concluir sobre o valor de e na expressão algébrica.

a proposta curricular do estado de são paulo e o software geogebra

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