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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - LICENCIATURA

TÓPICOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA COM O SOFTWARE GEOGEBRA

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Tamara Gomes Vieira

Santa Maria, RS, Brasil 2015

TÓPICOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA COM O SOFTWARE

GEOGEBRA

Tamara Gomes Vieira

Trabalho de Conclusão de curso apresentado ao Curso de Graduação em Matemática - Licenciatura, da Universidade Federal de Santa Maria

(UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciada em Matemática.

Orientador: Profª. Drª. Inês Farias Ferreira

Santa Maria, RS, Brasil 2015

Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas

Curso de Graduação em Matemática - Licenciatura

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova o trabalho de conclusão de curso


elaborada por Tamara Gomes Vieira

Como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciada em matemática

COMISSÃO EXAMINADORA:

Profa. Drª. Inês Farias Ferreira (UFSM) (Presidente/Orientador)

Profa. Drª. Carmem Vieira Mathias (UFSM)

Profa. Drª. Sandra Eliza Vielmo (UFSM)

Prof. Dr. Ricardo Fajardo (UFSM)

Santa Maria, 07 Julho de 2015.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus em primeiro lugar, pois sem ele eu não teria forças pra essa

longa jornada.

À minha família, por sua capacidade de acreditar em mim. Mãe seu cuidado e

dedicação foi que deu, em alguns momentos, a esperança para seguir. Aos amigos

e colegas pelo apoio e incentivo constantes.

À professora Inês Farias Ferreira, pela paciência na orientação e incentivo

que tornaram possível a conclusão deste trabalho.

À professora e coordenadora do curso Sandra Eliza Vielmo, pelo apoio e

compreensão.

E a todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, o

meu muito obrigado.

RESUMO

Trabalho de Conclusão de Curso

GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - LICENCIATURA

Universidade Federal de Santa Maria


AUTOR: TAMARA GOMES VIEIRA ORIENTADOR: PROFª. DRª. INÊS FARIAS FERREIRA

Data e Local da Defesa: Santa Maria, 07 de julho de 2015. Este trabalho tem como proposta articular representações algébricas e geométricas por meio do software GeoGebra abordando alguns tópicos de Geometria Analítica. O desenvolvimento do trabalho está constituído na elaboração de atividades utilizando o referido recurso computacional a partir de atividades encontradas em livros didáticos do ensino médio. Nesse sentido, foram realizadas adaptações nos problemas selecionados para que as potencialidades do software possam servir como ferramentas mediadoras do processo de ensino e aprendizagem. Inicialmente foi realizada uma pesquisa em alguns livros didáticos para definição dos conteúdos que seriam abordados, ficando definido assim que as atividades a serem elaboradas envolveriam conceitos de coordenadas de um ponto no plano, distância entre dois pontos, posições relativas entre retas e circunferência. Ao realizar o trabalho foi possível experienciar a inclusão de um recurso computacional como uma ferramenta auxiliar para a exploração de alguns conceitos matemáticos, proporcionando com a apropriação de algumas potencialidades do software, a adaptação de diversas atividades que podem auxiliar no ensino dos conteúdos envolvidos.

Palavras-Chave: Geometria analítica; Livros didáticos; GeoGebra.

ABSTRACT

Course Conclusion work

GRADUATE IN MATHEMATICS DEGREE

Universidad Federal de Santa Maria

THE TOPICS OF ANALITICAL GEOMETRY USING GEOGEBRA SOFTWARE

AUTHOR: TAMARA GOMES VIEIRA SUPERVISOR: Prof.ª. DRª. INÊS FARIAS FERREIRA

Date and Place of Presentation: Santa Maria, July,07 th 2015.

This paper aims to articulate and algebraic representations and geometrics through the GeoGebra software by means of some approach topics of analytic geometry. The development work is made in the development of activities by the said computational resource from activities found in teaching high school books. In this sense, activities adaptations will be made on selected so that software capacities can serve as tools of mediators teaching and learning. In the beginning a survey was made in some textbooks for definition of the contents to be addressed, getting set so that the activities to be developed involve coordinate concepts in a plane point, distance between two points, relative positions between straight and circumference. Through this study it was possible to experience the inclusion of a computational resource as an auxiliary tool for the exploration of some mathematical concepts.

Keywords: Analytic Geometry; Textbooks; GeoGebra.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Imagem das capas dos livros didáticos consultados................................15

Figura 2 – Exemplo que calcula a distância entre dois pontos..................................22

Figura 3 – Cálculo da distância entre dois pontos através do GeoGebra..................23

Figura 4 – Atividade 1 explora as coordenadas de um ponto no plano....................24

Figura 5 – Atividade 1 que explora as coordenadas de um ponto no plano após a inserção de valores....................................................................................................25

Figura 6 – Atividade 2 que explora a distância entre dois pontos e paralelismo com o eixo x.........................................................................................................................26

Figura 7 – Atividade 2 que explora à distância ente dois pontos e paralelismo com o eixo x após a inserção de valores..............................................................................27

Figura 8 – Exemplo em que um triângulo ABC dado é isósceles..............................28

Figura 9 – Atividade 3 que explora a determinação de um triângulo isósceles.........29

Figura 10 – Atividade 3 que explora a determinação de um triângulo isósceles após a inserção de coordenadas incorretas.......................................................................31

Figura 11 – Exemplo que explora retas perpendiculares...........................................32

Figura 12 – Atividade 4 que explora o perpendicularismo entre duas retas.............33

Figura 13 – Atividade 4 que explora a perpendicularidade entre duas retas após a inserção de valores....................................................................................................34

Figura 14 – Exemplo que calcula as posições relativas entre um ponto e uma circunferência.............................................................................................................34

Figura 15 – Atividade 5 que explora posições relativas entre um ponto e uma circunferência.............................................................................................................36

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO.........................................................................................................9

2. REFERENCIAL TEÓRICO............................. ........................................................12

2.1 A Geometria Analítica no Ensino Médio .............................................................. 12

2.2 A Geometria Analítica e os Livros Didáticos........................................................ 14

2.3 Quanto ao Recurso Computacional .................................................................... 17

2.4 O Software GeoGebra ......................................................................................... 19

3. DESENVOLVIMENTO...........................................................................................21

3.1 Descrições das Atividades .................................................................................. 21

3.1.1 Atividade 1 – Segmentos paralelos...................................................................22

3.1.2 Atividade 2 – Distância entre dois pontos........................................................24

3.1.3 Atividade 3 – Triângulo isósceles......................................................................27

3.1.4 Atividade 4 – Perpendicularismo de retas.........................................................31

3.1.5 Atividade 5 – Posições relativas entre um ponto e uma circunferência............34

4.CONCLUSÕES.......................................................................................................38

5.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................... ................................................39

9

1. INTRODUÇÃO

Minha vida acadêmica iniciou em 2009, no Curso de Física Licenciatura,

totalizando dois semestres cursados. Durante este tempo, me identificava melhor

com as disciplinas da área de Matemática, e então, resolvi mudar de curso através

de edital de ingresso/reingresso. Assim, no segundo semestre de 2010 ingressei no

Curso de Licenciatura em Matemática – noturno, onde aproveitei algumas

disciplinas. Neste mesmo período comecei a trabalhar em Caçapava do Sul, cidade

onde resido e, por este motivo, viajo diariamente para Santa Maria para estudar.

Durante o período de realização do curso houve uma reformulação curricular,

na qual tive que me adaptar. Nesta reformulação, algumas disciplinas relacionadas

na linha de recursos computacionais no ensino de matemática foram incluídas, bem

como, a realização do trabalho de conclusão de curso – TCC. Mesmo, sentindo

dificuldades na apropriação dessas ferramentas tecnológicas para futuramente

utilizá-las em minha prática docente, decidi realizar o TCC nessa linha de pesquisa.

Quanto à escolha do assunto, esta foi motivada pelo fato de que, os conceitos

de Geometria Analítica foram abordados no início do curso, considerando seu

estudo no espaço tridimensional. Foram pesquisados em livros didáticos do ensino

médio que abordavam o assunto no plano, e retomados alguns conceitos envolvidos

fazendo uso de uma ferramenta computacional. Em relação ao estudo da Geometria

Analítica percebe-se que, muitas vezes a dificuldade encontrada está na interligação

da mesma com conceitos e resultados da geometria euclidiana, fazendo com que

seu estudo se restrinja a memorização de fórmulas. Essa metodologia amplamente

utilizada faz com que o aluno saiba resolver um problema proposto, somente se for

idêntico ao trabalhado em sala de aula. Assim, aliando o uso do software GeoGebra

na elaboração de algumas atividades, pretende-se que estas possam contribuir para

uma melhor compreensão de aspectos geométricos envolvidos em conceitos da

Geometria Analítica interligando-os com aspectos algébricos.

Com o desenvolvimento do trabalho, os obstáculos começaram a surgir, tanto

em termos do conteúdo específico de Geometria Analítica, como do uso do software

GeoGebra. Tendo a necessidade de estudar novamente diversos conceitos, bem

como explorar diferentes potencialidades do aplicativo que eram desconhecidas. As

10

dificuldades continuaram na fase de desenvolvimento das atividades que foram

adaptadas a partir da seleção feita nos livros didáticos.

Consta no projeto pedagógico do curso de Matemática em Licenciatura -

Noturno (2013) da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) que o Trabalho de

Conclusão de Curso (TCC) tem como objetivos promover maior consolidação de

conhecimentos adquiridos durante o curso, contribuir para o desenvolvimento da

autonomia necessária à aquisição de conhecimento, desenvolver a capacidade de

criação e inovação, estimularem a pesquisa, a produção e a veiculação do

conhecimento.

Nesse sentido, a proposta desse trabalho tem como problema de pesquisa

elaborar atividades didáticas com o uso do software GeoGebra abordando conceitos

de Geometria Analítica desenvolvidos no Ensino Médio, a partir de atividades

apresentadas em livros didáticos.

Segundo as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros

Curriculares Nacionais PCN+ (BRASIL, 2002), aulas e livros em nenhuma hipótese

resumem a enorme diversidade de recursos didáticos, e sua utilização é de

fundamental importância para a aprendizagem. Entretanto, alguns professores

baseiam suas aulas somente em livros didáticos para transmitirem os conteúdos aos

alunos. É importante ressaltar que, além dos livros didáticos que são de suma

importância para a aprendizagem, os recursos tecnológicos podem ser ferramentas

na construção do conhecimento, fornecendo possibilidades de abordagens

diferenciadas para resolver inúmeras atividades. Em contraponto, os professores

necessitam constituir uma formação adequada para a inserção de tecnologias em

sua prática docente.

No desenvolvimento do trabalho foram retomados alguns conceitos de

Geometria Analítica vistos no ensino médio. Bem como, explorados alguns recursos

mais avançados disponíveis no software GeoGebra. Em seguida, foi apresentada

uma breve descrição das atividades encontradas nos livros didáticos e

posteriormente a atividade elaborada no recurso computacional.

Cabe ressaltar que, através do desenvolvimento deste trabalho de conclusão

de curso (TCC) foi possível realizar uma melhor apropriação das potencialidades do

software, retomar conceitos básicos de Geometria Analítica, contribuindo na

11

formação inicial da autora para que futuramente esta possa realizar atividades

didáticas em sua prática que incluam o uso de recursos tecnológicos no ensino de

matemática.

12

2. REFERENCIAL TEÓRICO

O ensino de Matemática, muitas vezes, é desenvolvido pautando-se na

memorização de fórmulas e por procedimentos que são introduzidos de maneira

contínua, fazendo com que através da reprodução exaustiva ocorra uma

aprendizagem mecânica. Segundo os PCN+ (BRASIL, 2002), a maneira como se

organizam as atividades em sala de aula, a escolha de material didático apropriado

e a metodologia de ensino é que permitem o trabalho simultâneo dos conteúdos. Se

o professor insistir em cumprir programas extensos, com conteúdos sem significado

e fragmentados, transmitindo-os de uma única maneira, os alunos só ouvem e

repetem. Quando se propõe exercícios de aplicação dos conceitos matemáticos, o

que está em ação é uma simples transposição em que o aluno busca na memória

um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, mas

essa forma não garante que o aluno seja capaz de utilizar seus conhecimentos em

situações diferentes ou mais complexas.

O uso de recursos tecnológicos em práticas pedagógicas é outra forma de

abordagem no ensino, onde esta ferramenta pode contribuir de maneira satisfatória

na aprendizagem. Uma escolha adequada dentre as diferentes possibilidades de

ferramentas tecnológicas pode despertar um maior interesse por parte dos alunos,

pois em muitos casos estes, se tornam agentes ativos na aquisição do

conhecimento em questão.

Aliando o uso do software GeoGebra no desenvolvimento de atividades que

envolvem alguns conceitos da Geometria Analítica, pretende-se contribuir para que

estas atividades possam permitir ao aluno refletir, explorar e criar conjecturas a

respeito do tema.

2.1 A Geometria Analítica no Ensino Médio

Baseada em Smole e Diniz (2010) foi realizada uma breve descrição histórica

a respeito da constituição da Geometria Analítica.

13

Estes autores indicam que há muitas discordâncias sobre quem desenvolveu

inicialmente a Geometria Analítica e sobre a época em que isso ocorreu. Alguns

pesquisadores a localiza na antiguidade, salientando que o conceito de fixar a

posição de um ponto por meio de coordenadas convenientes teria sido empregado

por egípcios e romanos na medição de terras e, pelos gregos, na confecção de

mapas. Outros atribuem a Nicole D’Oresme, que nasceu na Normandia em torno de

1323. Este, em um de seus tratados de Matemática, antecipou outro aspecto da

Geometria Analítica, ao representar certas leis graficamente. No entanto, a

Geometria Analítica pode ser atribuída também a Pierre de Fermat, contemporâneo

de Descartes. Em uma carta, para um amigo, ele afirma que suas ideias sobre o

assunto já tinham sete anos. Todavia, para que a Geometria Analítica pudesse

assumir sua apresentação atual, teve-se que aguardar o desenvolvimento do

simbolismo algébrico. Portanto, talvez seja mais correto concordar com os

pesquisadores, que consideram decisivas contribuições dos matemáticos franceses

Descartes e Fermat, no século XVII, como a origem essencial do assunto, pelo

menos em seu espírito moderno.

Uma das contribuições de Fermat à Geometria Analítica encontra-se num

pequeno texto intitulado Introdução aos lugares planos e sólidos e data no máximo,

de 1636, mas que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra

completa. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais

lembrado como criador da Geometria Analítica, constituída por Descartes, apareceu

em 1637 no pequeno texto denominado A Geometria como um dos três apêndices

do discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna.

Em relação à Geometria Analítica, os PCN+ (BRASIL, 2002) identificam

alguns aspectos importantes deste assunto. Segundo estes existem algumas

habilidades que podem ser exploradas quando se faz uso da representação no

plano cartesiano, de equações, bem como, se realiza um estudo da interseção e

posições relativas de figuras. As habilidades indicadas por este documento oficial

seriam:

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[...] - Representações no plano cartesiano e equações; interseção e posições relativas de figuras; - Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas geométricos; - Reconhecer que uma mesma situação pode ser tratada com diferentes instrumentais matemáticos, de acordo com suas características; - Associar situações e problemas geométricos a suas correspondentes formas algébricos e representações gráficas e vice-versa; - Construir uma visão sistemática das diferentes linguagens e campos de estudo da Matemática, estabelecendo conexões entre eles. (BRASIL, 2002, p.122)

Em termos gerais, a importância do estudo da Geometria é reforçada nos

Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 2002) afirmando que:

[...] as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 1999, p.89).

Nesse sentido, consideram que o aluno do ensino médio deve perceber que

um mesmo problema pode ser abordado com diferentes exemplos matemáticos de

acordo com suas características e que pode ser aplicado em outros contextos.

2.2 A Geometria Analítica e os Livros Didáticos

Na maioria das escolas, o livro didático é uma ferramenta muito importante na

tarefa do professor, trazendo diferentes formas de conhecimentos que facilitam o

desenvolvimento em sala de aula de diferentes conteúdos matemáticos. Neste

trabalho, os livros didáticos selecionados são dos autores Smole e Diniz (2010) e

Dante (2010), que correspondem ao terceiro ano do ensino médio, conforme

imagens ilustrativas das obras mostradas na figura 1.

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Figura 1 – Imagens das capas dos livros didáticos consultados.

A seguir será feita uma breve descrição a respeito de cada um desses

materiais, no que diz respeito à unidade de Geometria Analítica.

Para Smole e Diniz (2010), a Geometria Analítica traduz pontos, retas e

construções geométricas em igualdades algébricas, as quais, quando analisadas,

permitem concluir sobre propriedades geométricas das figuras descritas por

equações variáveis, as quais são representadas no plano cartesiano. Trata-se de um

sistema de eixos ordenados e perpendiculares, de tal forma que cada ponto do

plano é identificado por um par ordenado de números reais e, vice-versa,

correspondendo cada par ordenado de números reais a um único ponto desse

plano.

Nesse livro os conteúdos de Geometria Analítica estão divididos em quatro

unidades. A primeira unidade trata do estudo analítico do ponto que está subdividida

em sete subitens: a história da Geometria Analítica; o referencial cartesiano; ponto

médio; baricentro de um triângulo; distância entre dois pontos; área de um triângulo

e condição de alinhamento de três pontos. A segunda unidade estuda a reta,

dividida em onze subitens: a Geometria Analítica com a álgebra; equação geral de

uma reta; posições relativas entre duas retas; equação reduzida da reta; posição

16

relativa entre duas retas a partir de suas equações reduzidas; perpendicularismo de

retas; equação segmentária; feixe de retas concorrentes; ângulo entre duas retas;

distância de um ponto a uma reta e inequações de 1º graus com duas variáveis. Na

terceira unidade é realizado o estudo analítico da circunferência com seis subitens: o

estudo analítico da circunferência; equação da circunferência; posições relativas

entre um ponto e uma circunferência; posições relativas entre reta e circunferência e

reconhecimento da equação de uma circunferência. Na quarta e ultima são

estudadas as cônicas dividida em quatro subitens: cônicas; elipse; hipérbole e

parábola. Ao final de cada subitem são apresentados alguns exercícios resolvidos

como exemplos e, em seguida, são propostos exercícios e problemas para

resolução por parte do aluno.

O segundo livro selecionado, Dante (2010), traz que a Geometria Analítica

está calçada na ideia de representar os pontos da reta por números reais e os

pontos do plano por pares ordenados de números reais. Assim, as curvas no plano

(reta, circunferência, elipse, etc.) são descritas por meio de equações. Com isso, é

possível tratar algebricamente muitas questões geométricas, como também

interpretar de forma geométrica algumas situações algébricas, ou seja, a álgebra e a

geometria se complementam.

Dante (2010) aborda os conteúdos de Geometria Analítica através de três

unidades. A primeira unidade estuda o ponto e reta e está dividida em quinze

subitens: introdução; o sistema cartesiano; distância entre dois pontos; coordenadas

do ponto médio de um segmento de reta; condição de alinhamento de três pontos;

inclinação de uma reta; coeficiente angular de uma reta; equação da reta quando

são conhecidos um ponto e a declividade da reta; formas da equação da reta;

posições relativas de duas retas no plano; perpendicularidade de duas retas;

distância de um ponto a uma reta; ângulo formado por duas retas; área de uma

região triangular e por último, menciona algumas aplicações à Geometria Plana. A

segunda unidade trata sobre o estudo da circunferência, que é dividida em seis

subitens: introdução; definição e equação; posições relativas entre reta e

circunferência; problemas de tangência; posições relativas de duas circunferências e

também aplicações à Geometria Plana. A terceira unidade apresenta as secções

cônicas, é composta por seis subitens: introdução; parábola; elipse; hipérbole e

aplicações. Ao final de cada tópico são apresentados alguns exemplos e, em

17

seguida, são apresentados exercícios propostos. Ao final de cada unidade são

apresentadas atividades adicionais, relacionadas a questões de vestibular.

A escolha dos livros didáticos foi pautada nas obras que se obteve acesso.

Sendo que, foram consultadas duas coleções para que pudesse observar como

cada autor aborda os conteúdos selecionados. Notou-se que, basicamente, estes

autores apresentaram os conteúdos de maneiras análogas, apresentando ao final de

cada tópico alguns exemplos. No entanto, na coleção de Dante (2010), ao final de

cada unidade, são apresentadas atividades correspondentes a questões de

vestibulares de diversas instituições de ensino.

2.3 Quanto ao Recurso Computacional

De acordo com Borba e Penteado (2010), um dos perigos que se temia ao

integrar a utilização da informática na educação era de que o aluno iria só apertar as

teclas e obedecer à orientação dada pela máquina. Em geral para aqueles que

concebem a matemática como a matriz do pensamento, se o raciocínio matemático

for realizado pelo computador, o aluno não precisará raciocinar mais e deixará de

desenvolver sua inteligência. Por outro lado, há argumentos que apontam em

sentido contrário, que o “computador” pode ser uma ferramenta importante para a

solução de problemas educacionais relacionados com a aprendizagem.

Moran (2001) explica que todos podem mudar com as tecnologias, mesmo

que os alunos não tenham acesso a tecnologias mais avançadas, podem mudar

para processos participativos e investigativos. Dessa forma, o aluno pode sair da

posição mais passiva em que se encontra no processo de aprendizagem, pois ele

poderá pesquisar e mudar de atitude, deixando de ser um mero consumidor da

informação, não esperando que o professor lhe passe o conhecimento como algo

pronto, acabado. É um processo de envolvimento constante na busca de soluções,

havendo a necessidade de compartilhar e trocar ideias. O mesmo pesquisador ainda

faz uma breve avaliação do processo de ensino/aprendizagem com a utilização da

internet, onde os alunos mostram mais interesse, curiosidade e, estando mais

motivados, eles apresentam trabalhos mais criativos e produtivos.

18

Nesse sentido, os PCN+ (BRASIL, 2002) afirmam que a matemática deve

acompanhar criticamente o desenvolvimento tecnológico, tendo contato com os

avanços das novas tecnologias nas diferentes áreas do conhecimento para se

posicionar frente às questões de nossa atualidade. O simples fato de a tecnologia

estar ao lado da “matemática”, não promove um novo costume para o ensino de

conteúdos e nem gera novos conteúdos.

Em termos da utilização dos recursos tecnológicos no processo educativo

Valente (2005) explicita que estes possibilitam a exploração de diferentes aplicações

do conhecimento e que contribuem para sua construção.

Entre inúmeros recursos tecnológicos à disposição, encontram-se os

softwares matemáticos de domínio público disponíveis na internet. A escolha de qual

ser usado deve ser pautada nas necessidades que o conteúdo demanda, bem

como, a forma como se pretende explorar o mesmo. Segundo Rego (2010),

dependendo da natureza do software, sua exploração possibilitará estimular a

criatividade de investigação e ampliar a autonomia do aluno, além de aproximá-lo

para situações de aplicabilidade de conceitos matemáticos envolvendo dados reais.

No entanto, para que ocorram contribuições na aprendizagem com o uso dos

softwares é necessário que o professor esteja preparado para usar estes aplicativos,

assim como deve existir material didático para dar apoio a essas aulas.

É importante ressaltar que o recurso tecnológico por si só não irá promover

contribuições para o ensino e aprendizagem. Nesse sentido, acredita-se que é

necessária a criação de novos espaços de aprendizagem e, principalmente, oferecer

ao professor uma formação adequada neste novo ambiente escolar que se

configura. Os professores precisam estar preparados para dominar o potencial

educativo que a tecnologia oferece podendo, dessa forma, utilizaremos recursos

tecnológicos em suas aulas.

Nesse sentido, Saint (1995) afirma que:

Assim como um bom livro-texto não é, por si só, garantia de um bom curso, também um software precisa ser bem explorado por mestres e alunos para dar bons resultados. Ao contrário do que esperam muitos administradores educacionais, o computador não faz milagres. (SAINT, 1995, p 36).

19

Ainda, em termos das contribuições que o uso de recursos computacionais

pode trazer para o ensino de matemática, Franchi (2006) afirma que:

A informática facilita as visualizações, possibilita testar mudanças relacionadas a características algébricas de conceitos matemáticos e observar as variações resultantes no aspecto gráfico e acrescenta que a comparação entre as representações gráficas, algébricas e numéricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de conjecturas (FRANCHI, 2006, p 184).

Nesse sentido, os jovens estão conectados à internet na maioria do seu

tempo, adaptam-se às mudanças tecnológicas e aprendem formas diferentes para

melhorar seu desempenho em jogos e acesso às redes sociais. Assim, existe um

usuário em potencial que pode direcionar seus conhecimentos tecnológicos para fins

de aprendizagem escolar. Os recursos computacionais estão presentes diariamente

na vida dos alunos, mas ainda, raramente são utilizados como recurso didático na

aprendizagem em sala de aula.

2.4 O Software GeoGebra

O GeoGebra é um software desenvolvido na concepção da geometria

dinâmica. Assim sendo, para o ensino de diferentes conteúdos de matemática se

destaca um aspecto contido na geometria dinâmica, que é a possibilidade de

experimentação, ajudando o aluno a encontrar diferentes maneiras para a resolução

de problemas, promovendo uma melhor percepção por parte do mesmo. O software

GeoGebra1 foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, em seu trabalho de doutorado

na Áustria para ser utilizado na educação básica. No entanto, sendo amplamente

utilizado em diferentes níveis de ensino, é um recurso multiplataforma, de código

aberto disponível para download na internet, apresenta uma interface amigável e

permite a elaboração de arquivos em HTML, entre outras características. Como

mencionado anteriormente, sendo o GeoGebra um aplicativo desenvolvido dentro da

concepção da geometria dinâmica este permite, explorar a “estabilidade sob ação de

movimento”. Ou seja, feita uma construção, mediante movimento aplicado aos

1 Disponível para download em www.geogebra.org

20

pontos que dão início a construção, a figura que está na tela do computador se

transforma quanto ao tamanho e a posição que ela ocupa, no entanto, preserva as

propriedades geométricas que foram impostas no processo de construção, bem

como as propriedades delas decorrentes. Em particular, para o ensino de

matemática, destacam-se pela possibilidade de experimentação, manipulação e

formulação de conjecturas. O GeoGebra se destaca entre outros softwares, pois

possibilita experimentação, manipulação e formulação de conjecturas reunindo

recursos que envolvem a geometria (plana e espacial); álgebra; criação de tabelas

(planilha); representações gráficas (sistema cartesiano) e cálculos simbólicos em um

único ambiente. Graças a tais características este software pode ser utilizado como

recurso didático em diferentes níveis, permitindo a investigação de inúmeros

conteúdos matemáticos.

21

3. DESENVOLVIMENTO

Este trabalho se constituiu inicialmente a partir de pesquisa bibliográfica para

compor um referencial que pudesse fornecer um suporte para o desenvolvimento da

proposta. Nesse sentido foi necessário, realizar estudos a partir de referências

bibliográficas, no que diz respeito, ao uso de recursos tecnológicos no ensino de

matemática, bem como da utilização de softwares em atividades didáticas. Além

disso, a partir de Dantas (2015) foi feito um estudo e desenvolvimento de atividades

exploratórias de diferentes recursos disponíveis no GeoGebra. Em relação aos

conteúdos que envolvem a Geometria Analítica, houve a necessidade de serem

retomados diversos conceitos e resultados para auxiliar no desenvolvimento das

atividades. Posteriormente, foi realizada uma pesquisa nos dois livros didáticos

escolhidos: Smole e Diniz (2005) e Dante (2010). Nesta consulta observou-se a

abordagem dada em cada um deles para o assunto e depois foi realizada a seleção

de possíveis atividades que poderiam ser adaptadas para serem exploradas com o

auxílio do recurso computacional.

Assim foram constituídas cinco atividades que abordam: conceitos de

coordenadas de um ponto no plano; distância entre dois pontos; posições relativas

entre retas e circunferência.

3.1 Descrições das Atividades

Neste subitem serão descritas as atividades elaboradas no software

GeoGebra apresentando-se, inicialmente, como a mesma estava constituída

originalmente no livro didático e, depois, como foi adaptada. Cabe salientar que, a

necessidade de adaptação das referidas atividades constantes nos livros deveu-se

ao fato de que, se propõem neste trabalho, usar o software não somente como um

recurso semelhante a uma “calculadora” onde os dados do problema são incluídos e

o aplicativo retorna com a resposta correspondente. Pretende-se sim, através das

atividades elaboradas explorarem algumas potencialidades do software que o

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diferenciam do uso apenas do papel e lápis. Além disso, as atividades elaboradas

têm o intuito de reforçar os conteúdos trabalhados em sala de aula.

3.1.1 Atividade 1 – Segmentos paralelos

Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir de um exemplo

apresentado no livro de Dante (2010). Este exemplo apresentados itens, conforme

ilustrado na figura 2 e, em cada um deles, é representado pontos A e B no sistema

cartesiano onde é solicitado o cálculo da distância entre estes pontos. Na figura 2,

que ilustra este exemplo, é dada uma representação geométrica dos segmentos

definidos por estes dois pontos e, solicita-se o cálculo da distância entre estes que,

poderá ser feito através da compreensão do significado de par ordenado de um

ponto no sistema cartesiano ou através da aplicação da fórmula da distância entre

dois pontos. Essa atividade foi escolhida por ter a possibilidade de explorá-la com o

recurso tanto o conteúdo de distância entre dois pontos quanto ao significado de

segmentos paralelos aos eixos cartesianos ou a um segmento qualquer. A partir das

coordenadas dos referidos pontos, obtém-se diretamente o valor da distância entre

eles, pois os segmentos definidos são paralelos aos eixos x e y, respectivamente.

Neste caso, em particular não é necessário utilizar para resolvê-lo a representação

algébrica da distância entre dois pontos quaisquer.

Figura 2 – Exemplo que calcula a distância entre dois pontos.

Fonte: Dante, 2010, p. 51.

23

A seguir se faz uso da representação algébrica, com base em Dante (2010),

para obter a distância entre dois pontos quaisquer A= (x1, y1) e B= (x2, y2). Na figura

3 é ilustrada esta representação e dado um exemplo numérico onde A=(2,2) e

B=(6,5) realizando o cálculo da distância entre estes pontos. De forma geral,

aplicando o teorema de Pitágoras a partir da representação geométrica de um

triângulo retângulo que se forma entre os pontos A e B e a relação com os eixos

resulta que:

��, �� ∆ � ∆�.

Logo, ��, �� ∆ � ∆� � �� .

Dessa forma, a distância entre dois pontos Ae B quaisquer do plano, tal que

� � � �,��) e � � � , �� é dada por

��, �� .

Figura 3–Cálculo da distância entre dois pontos através do GeoGebra.

Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.

A partir do referido exemplo apresentado no livro foi elaborada uma atividade

no GeoGebra, ilustrada na figura 4, que requer a determinação de um segmento

paralelo a um dos eixos cartesianos ou a outro segmento dado. Neste caso, não se

deseja explorar o conhecimento de distância entre dois pontos e, sim, como são

24

constituídas as coordenadas de um ponto no plano cartesiano, a partir da relação

das coordenadas de um ponto com os eixos cartesianos.

Figura 4 – Atividade1 que explora as coordenadas de um ponto no plano.


Na atividade, adaptada no GeoGebra, o aluno deve entrar com os valores das

coordenadas do ponto D, conforme o item que ele está respondendo. Será

necessário que o aluno tenha claro o significado de cada uma das coordenadas de

um ponto e sua representação no sistema cartesiano para responder corretamente

os itens. A elaboração desta atividade foi motivada a partir da atividade apresentada

no livro, pois os segmentos definidos são paralelos aos eixos x e y, respectivamente.

Além de explorar o significado de paralelismo entre entes geométricos (segmentos,

retas). No momento que o aluno digita os valores corretos para as coordenadas do

ponto D, o recurso exibe uma mensagem indicando que está certo, conforme mostra

a figura 4. A atividade possui três itens em que o primeiro pede que o segmento

formado seja paralelo ao segmento dado, o segundo pede que o segmento formado

seja paralelo ao eixo x e o terceiro que o segmento formado seja paralelo ao eixo y.

Foi elaborada uma programação no GeoGebra que permite que o aluno entre com

diferentes valores para a coordenada do ponto D fazendo com que não exista uma

única resposta.

25

Figura 5 – Atividade1 que explora as coordenadas de um ponto no plano após a inserção de valores.


3.1.2 Atividade 2 – Distância entre dois pontos

Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir da constituição da atividade

1, sendo que procurou-se explorar o conceito de distância entre dois pontos

abordado no exemplo apresentado no livro de Dante (2010). No entanto, nesta

atividade, conforme ilustra a figura 6, o recurso apresenta um botão que ao ser

selecionado gera um ponto A, aleatório, no sistema cartesiano xy. Dessa forma, é

possível obter uma variedade de itens para o mesmo enunciado, diferentemente do

que é apresentado no material impresso. Nessa atividade é solicitado a

determinação das coordenadas de um ponto B, assim como na atividade 1. No

entanto, é fixado o comprimento do segmento que deve ser gerado. Dessa maneira,

explora-se o conceito de distância entre dois pontos e o paralelismo com o eixo das

abscissas. Além disso, deve-se salientar que, para resolver a atividade o aluno

poderá utilizar lápis e papel para realizar alguns cálculos que envolvam a distância

entre dois pontos. Sendo que, o recurso proposto, neste caso, servirá para este

validar a sua resposta.

26

Figura 6 – Atividade 2 que explora a distância entre dois pontos e paralelismo com o eixo x.


No momento em que se entra com valores corretos para as coordenadas do

ponto B, o recurso exibirá uma mensagem indicando esta informação, conforme

ilustrado na figura 7. Se o aluno digitar os valores para as coordenadas do ponto B e

estiver incorreto, embora mostre no sistema cartesiano xy a posição do ponto B o

recurso não formará segmento. Além disso, indicará uma mensagem solicitando que

seja revisto os valores das coordenadas de B.

27

Figura 7 – Atividade 2 que explora a distância entre dois pontos e paralelismo com o eixo x após a inserção de valores.


3.1.3 Atividade 3 – Triângulo isósceles

Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir de um exemplo do livro de

Dante (2010) que explorava, inicialmente, a distância entre dois pontos e, em

seguida, verificava que o triângulo ABC dado era isósceles. Assim a atividade

apresentada originalmente, conforme mostra a figura 8, era constituída por dois

itens, em que no primeiro era apresentado as coordenadas de um ponto P, com

incógnita na abscissa e,afirma-se que este ponto deveria ser equidistante dos

pontos A e B, cujas coordenadas eram dadas. Sendo que na atividade era solicitado

determinar a incógnita do ponto P. No segundo item pedia-se para verificar que o

triângulo ABC dado era isósceles, sendo que, as coordenadas dos vértices que

compõem o referido triângulo estavam representadas geometricamente no sistema

cartesiano xy. Para o problema ser resolvido era necessário identificar as

coordenadas de cada um dos vértices. Como na atividade anterior já foi abordado o

conteúdo de distância entre dois pontos foi escolhida essa atividade, pois, para que

o aluno verifique que o triângulo construído era isósceles precisaria ter claro o

28

conceito de distância entre dois pontos. Para a elaboração da atividade adaptada foi

considerado o segundo item do exemplo.

Figura 8 – Exemplo em que um triângulo ABC dado é isósceles.

Fonte: Dante, 2010, p.53.

Para desenvolver a atividade como originalmente foi apresentado no livro

didático o aluno deve além de saber identificar as coordenadas dos pontos A B e C,

calcular a medida do comprimento dos segmentos AB , BC e AC que corresponde a

medida dos lados do triângulo ABC. Além disso, será necessário que este saiba a

definição de triângulo isósceles. Assim, calcula-se:

d(A, B) = 2 2( 5 2) (1 4) 9 9 18 3 2− + + − = + = = u.c.

d(A, C) = 2 2( 6 2) (5 4) 16 1 17− + + − = + = u.c.

d(B, C) = 2 2( 6 5) (5 1) 1 16 17− + + − = + = u.c.

Visto que d(A, C) = d(B, C), o triângulo ABC é isósceles e os lados BC e AC

são congruentes.

A partir deste exemplo apresentado no livro foi elaborada uma atividade no

GeoGebra ilustrada na figura 9. Nesta atividade é dado um segmento AB

representado no sistema cartesiano xy. Nesta é solicitado à determinação das

coordenadas do ponto C, para que seja definido um triângulo isósceles ABC. Neste

caso, da mesma forma que no livro didático, o aluno terá que saber a definição de

um triângulo isósceles. Ele poderá realizar separadamente (com papel e lápis) ou no

29

recurso criado, alguns cálculos que fazem uso da representação da distância entre

dois pontos quaisquer.

Figura 9 – Atividade 3 que explora a determinação de um triângulo isósceles.


Nessa atividade é necessário entrar com o terceiro vértice, ponto C,

determinando um triângulo isósceles ABC. Sendo que a mesma não apresenta uma

única resposta certa, pois nota-se que se o ponto C pertencer à reta mediatriz do

segmento AB , existirá infinitas soluções para o problema. Dessa forma, poderá ser

resolvido determinando-se, inicialmente, a medida do segmento AB dado. Além

disso, posteriormente obtém-se expressões que relacionem a distância entre os

pontos A e C e, também, entre os pontos B e C. Assim, considera-se o ponto C, da

forma C=(x1, y1), exigindo que d(A,B) = d(A,C) para que o triângulo tenha lados AB

e AC congruentes. Ou ainda, poderá ser exigido que, d(A,B) = d(B,C) para que o

triângulo tenha lados AB e BC congruentes. Após, deverá ser resolvida a equação

obtida. Então, obtém-se,

��, �� 4.774 � 2� � �7.16 � 3�

��, �� 2.774� � �4.16�

30

��, �� = �7,7 + 17,3

��, �� = √25

��, �� = 5�. �. .

Logo, para que o triângulo ABC seja isósceles a distância entre os pontos A e

B é dada por��, �� = 5u.c. e deve ser igual a ��, �� ou igual a ��, ��.

Calculando-se primeiro, ��, �� = ��, ��resulta em

��, �� = ��, ��

5 = �� − 2� + �� − 3�

�5� = �� − 2� + �� − 3��

25 = � � − 2� + �� − 3�.

Ou, ainda, considerando d(A,B) = d(B,C), resulta em

��, �� = ��, ��

5 = �� − 7� + �� − 3�

�5� = �� − 7� + �� − 3��

25 = � � − 7� + �� − 3�.

A partir das duas equações obtidas, cada uma com duas incógnitas, pode ser

discutido com os alunos que as mesmas representam a equação de uma

circunferência de raio 5 u.c.. Na primeira expressão, representa uma circunferência

com centro em A=(2,3) e, na segunda, com centro em B=(7,3). Assim, para resolver

o problema pode ser considerado o aspecto geométrico, fazendo-se a construção da

mesma através do software. Em seguida, considerar qualquer ponto pertencente a

ela; ou algebricamente, a partir da expressão escolhida, determinar coordenadas

para o ponto C que satisfaçam a expressão.

Novamente, será obtida uma expressão que deve ser satisfeita pelas

coordenadas do ponto C para que este determine um triângulo isósceles no sistema

31

cartesiano xy. Sendo que no momento em que se entra com os valores corretos

para as coordenadas do ponto C, o recurso exibirá uma mensagem indicando que

está correto, conforme mostra a figura 9. Caso contrário, surgirá à seguinte

mensagem: “O triângulo ABC não é um triângulo isósceles, verifique. Entre com

outras coordenadas para o ponto C que satisfaça o que se pede.”, conforme consta

na figura 10.

Figura 10 – Atividade 3 que explora a determinação de um triângulo isósceles após a inserção de coordenadas incorretas.


.

3.1.4 Atividade 4 – Perpendicularismo entre retas

Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir de um exemplo que

explorava a perpendicularidade entre retas, do livro de Smole e Diniz (2010),na

sessão de exercícios resolvidos. A atividade apresentada originalmente, conforme

mostra a figura 11, está constituída por três itens. No entanto, a partir do enunciado

é explorada apenas a representação algébrica de uma reta. Já, na atividade

adaptada, foi feita uma abordagem dos aspectos geométricos envolvidos. Cabe

32

evidenciar que, para a elaboração da atividade considerou-se apenas o primeiro

item.

Figura 11– Exemplo que explora retas perpendiculares.

Fonte: Smole e Diniz, 2010, p.67.

Para resolver esta atividade como originalmente foi proposta no livro didático

o aluno deve ter em mente que, para duas retas, r e s, serem perpendiculares o

produto de seus coeficientes angulares tem que ser igual a menos um. Assim,

�⍊! �" #$∙#& ��1onde#$ é o coeficiente angular da reta s e,#& é o

coeficiente angular da reta r. Quando se isola a incógnita y em uma equação

reduzida da reta do tipo' � (� � � � 0, tem-se que � � � *+ � ,

+.

Então, disso decorre que,

#& � �*+�" #& � �

�.

Logo, o coeficiente angular da reta s é dado por#$ � �2.Desse modo tem-

seque,' � �2 e( � 1, pois #$ � �*+. Assim, como anteriormente, para que as retas

r e s sejam perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares deve ser -1.

Logo, a equação reduzida da reta s é dada por

�: �2� � 3� � 1�� 1� � 0

�: �2 � 6 � � � 1 � 0

�: � 2 � 7 � ��

�: � � 2 � 7.

33

A partir do exemplo do livro foi elaborada uma atividade, ilustrada na figura

12, que requer a determinação de uma reta perpendicular a uma reta r dada.

Figura 12 – Atividade 4 que explora o perpendicularismo entre duas retas.


Nessa atividade é necessário digitar os valores dos coeficientes a e b que irão

determinar uma reta s que deverá ser perpendicular a uma reta r dada. No momento

em que são inseridos os valores corretos para a e b, o recurso irá exibir uma

mensagem indicando que está correto e, se for o caso, irá calcular o ângulo formado

entre as retas r e s, para validar a resposta conforme ilustrado na figura 13.

34

Figura 13 – Atividade 4 que explora a perpendicularidade entre duas retas após a inserção dos valores.


Se os valores para a e b e estes estão incorretos, o recurso não irá exibir a

reta s e exibirá uma mensagem solicitando para entrar com outros valores para a e

b.

3.1.5 Atividade 5 – Posições relativas entre um pon to e uma circunferência

Esta atividade foi elaborada no GeoGebra a partir de um exercício

apresentado no livro Smole e Diniz (2005). A atividade apresentada originalmente é

ilustrada na figura 14, sendo constituída de dois itens que solicitam realizar a análise

das posições relativas dos pontos A, B e C em relação à circunferência.

Figura 14– Exemplo que calcula as posições relativas entre um ponto e uma circunferência. Fonte: Smole e Diniz, 2005, p.104.

35

Para desenvolver está atividade o aluno deve ter em mente o que representa

as posições relativas entre um ponto e uma circunferência. A atividade como

inicialmente proposta no livro didático deve ser resolvida algebricamente da seguinte

maneira: considerar que a equação da circunferência é da forma .: + � + 4 −

8� − 16 = 0 e o ponto A tenha coordenadas � = �3,3�.

Reescrevendo a equação e substituindo as coordenadas do ponto A tem-se

que:

.: + � + 4 − 8� = 16 (1)

�3� + �3� + 4�3� − 8�3� = 9 + 9 + 12 − 24 = 6 < 16.

Logo a distância do ponto A até o centro C da circunferência,�23·, é menor

que o raio r(ou seja, �23 < !�. Assim, conclui-se que, � � �3,3� pertence à região

interior a circunferência (1).

Agora é apresentada a circunferência da forma .: � � � 4 − 8� − 16 = 0

e o ponto B de coordenadas � = �3, −2�. Reescrevendo a equação e substituindo as

coordenadas do ponto B resulta que

.: + � + 4 − 8� = 16

�3� + �−2� + 4�3� − 8�−2� = 9 + 4 + 12 + 16 = 70 > 16.

Logo, a distância do ponto B até o centro C da circunferência,�43·, é maior

que o raio r, (ou seja,�43 > !). Com isso obtém-se que o ponto � = �3, −2� pertence

a região exterior a circunferência �1�.

Por último, se tem a circunferência da forma .: + � + 4 − 8� − 16 = 0 e o

ponto C de coordenadas � = �−2,10�.Reescrevendo a equação e substituindo as

coordenadas do ponto D tem-se que:

.: � � � 4 − 8� = 16

�−2� + �10� + 4�−2� − 8�10� = �4� + �100� − 8 − 80 = 16.

36

Assim, a distância do ponto D até o centro C da circunferência, �53, é igual ao

raio r, (�53 � !�. Portanto, o ponto 6��2,10� pertence à circunferência de equação

(1).

A partir do exemplo apresentado no livro foi elaborada uma atividade ilustrada

na figura 15. Essa atividade requer a determinação de uma circunferência em que o

ponto A, determinado aleatoriamente ao selecionar o botão apresentado pelo

recurso, satisfaça um dos casos: pertença à circunferência, pertença à região interior

ou à região exterior da circunferência. O aluno deve entrar algebricamente com a

equação reduzida da circunferência de modo que no primeiro item da atividade o

ponto A pertença região interior a circunferência, no segundo item, o ponto A

pertença à circunferência e, no terceiro item, o ponto A pertença à região exterior da

circunferência.

Figura 15 – Atividade 5 que explora posições relativas entre um ponto e uma circunferência.


O botão “Ponto A” permite obter diferentes pontos no sistema cartesiano xy.

Dessa forma, é possível uma utilização mais ampla do recurso para explorar a

posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência. Esta atividade é

composta por três subitens que abordam os três casos de posições relativas entre

37

ponto e circunferência. Após digitar a equação da circunferência o aluno terá que

calcular a distância do ponto até o centro para conferir se a distância entre o ponto e

o centro é menor, igual ou maior que o raio. Em cada item, quando se digita os

valores para a equação da circunferência e, estes estão incorretos, o recurso exibirá

uma mensagem solicitando que seja inserida nova equação.

38

4 – CONCLUSÕES

Abordando alguns conteúdos de Geometria Analítica e aliando-se o uso do

software GeoGebra notou-se no decorrer deste trabalho diversas contribuições que

este proporcionou. Tanto em termos de apropriação de diversos comandos e

potencialidades do software utilizado que eram até então desconhecidas, bem como,

em termos de compreensão do conteúdo envolvido.

No início do trabalho as dificuldades em manipular o software eram muitas.

Assim foi feito um estudo detalhado do recurso. Embora tenham sido desenvolvidas

apenas cinco atividades no GeoGebra estas demandaram bastante tempo e

pesquisa para a sua elaboração.

Para que ouso de recursos tecnológicos no ensino de conteúdos

matemáticos, basicamente de softwares, representem possíveis contribuições na

aprendizagem devem-se conhecer as potencialidades do recurso para que se possa

elaborar atividades que se constituam mais do que uma transposição do livro

didático. Nesse sentido, o GeoGebra pode servir de auxílio no ensino de

matemática, pois através do mesmo o aluno pode visualizar construções feitas no

computador e, ainda, usar o aspecto dinâmico que o aplicativo oferece, ou seja,

manipular as figuras construídas podendo observar as mudanças que ocorrem

quando se muda de posição uma figura já construída. Além disso, acredita-se que,

os recursos tecnológicos quando aliados ao ensino de matemática possam

dependendo da forma como são constituídas as atividades, permitir ao aluno refletir,

explorar e criar conjecturas contribuindo-se dessa forma para sua aprendizagem.

Por último, o desenvolvimento deste trabalho trouxe contribuições

significativas na formação inicial auxiliando para que futuramente se possam realizar

atividades didáticas que incluam o uso dos recursos tecnológicos, pois foi no

processo de elaboração das atividades utilizando o software que se pode perceber

que, ao inseri-lo em uma atividade, a forma de explorar o conteúdo se modifica.

39

5. REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática . Belo Horizonte: Autêntica 2010.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Básica : Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN+; Brasília, MEC/SEB, 2002.

DANTE, L. R. Matemática Contexto & Aplicações . Matemática Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2010, p.48-135.

DANTAS, S. O GeoGebra. Disponível em:<http://ogeogebra.blogspot.com.br/>. Acesso em: 30 abr. 2015.

FRANCHI, R. H. O. L. Caracterização de ambientes de aprendizagem da Matemática através da Informática. In: 3º Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino de Matemática, São Paulo. Resumos do 3º Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino de Matemática, 2006.

GEOGEBRA. Link para download. Disponível em:<https://www.geogebra.org/>.Acesso em: 30 maio. 2015.

GRAVINA, M. A. Matemática, Mídias Digitais e Didáticas: tripé para formação de professores de matemática. Porto Alegre: Evangraf, 2012. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/livros/livro2-matematica_midiasdigitais_didatica.pdf>. Acesso em:20 mai. 2015.

MORAN, J. Educação e Tecnologias: Mudar pra valer , 2001. Disponível em: <http://www.eca.usp.br/prof/moran/site/textos/tecnologias_eduacacao/educatec.pdf>.Acesso em: 10 maio. 2015.

REGO, R. G. Tópicos Especiais em Matemática IV. In: Edmundo Marinho do Monte. (Org.). Licenciatura em Matemática a Distância. João Pessoa: Editora Universitária UFBP, 2010. p. 249-286.

SAINT, J. O. Cabri Geomètre , Revista do Professor de Matemática. Rio de janeiro: SBM, n. 29, 1995, p.36-40.

40

SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. S. V. Matemática: Ensino Médio. São Paulo: Saraiva 2010.p. 32-131.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA. Centro de Ciências Naturais e exatas. Projeto Pedagógico do Curso de Matemática – Licen ciatura (Noturno). Santa Maria, 2013. Disponível em:<http://w3.ufsm.br/coordmat/Lic_not.html>. Acesso em: 15 abr. 2015.

VALENTE, J. A. Pesquisa e Comunicação e aprendizagem com o computa dor . O papel do computador no processo de ensino e apren dizagem. In: BRASIL, ministério da Educação. Integração das Tecnologias em na Educação, SEED, 2005. p.22-31.

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