RESISTNCIA AO ESCOAMENTO

ESCOAMENTO UNIFORME

Resistncia ao Escoamento

Resultante do atrito entre a gua e as superfcies de contato

Profundas discordncias entre os hidrulicos experimentais e os hidrodinmicos

Advento da Mecnica dos Fluidos no incio do Sculo XX

Conceito de camada limite

Ludwig Prandtl Teoria da camada limite, dcada de 1920

Regio afastada do corpo slido onde o fluido suposto perfeito (U=cte., 0, esc. irrotacional) Teoria Hidrodinmica Clssica

Regio de pequena espessura, prxima ao corpo slido, onde a velocidade decresce, tendendo a

zero

A esta regio d-se o nome de Camada Limite

As perdas entre o fluido e o corpo ocorrem dentro dessa camada; fora dela o escoamento pode ser considerado sem atrito.

Camada Limite

0 subcamada laminar distribuio parablica da velocidade

0 subcamada turbulenta distribuio logartmica da velocidade

Rugosidade e tipos de escoamento

liso ondulado rugoso

Perfis da superfcie do canal com kkc Escoamento Hidraulicamente Rugoso

Diagrama de Moody Modificado : C versus Re

Regies: Hidrulicamente liso, transio e plenamente rugoso

Tipos de escoamento rugoso

Escoamento com rugosidade isolada: vorticidade inteiramente dissipada no prprio elemento

Escoamento com rugosidade combinada:

influncia da vorticidade entre elementos distintos

Escoamento quase liso: fluxo passa sobre as

cristas dos elementos rugosos

ANLISE GLOBAL DA RESISTNCIA AO ESCOAMENTO Escoamento uniforme: caso particular do escoamento variado

montante jusante x x + x y y + (dy/dx)x U U + (dU/dx) x

Foras atuantes: Presso:

yAF1 yAF 2 xdx

dyAF

3

Sendo y a altura do centride da rea de fluxo A e o peso especfico da gua

Peso:

xsenAW

dx

dztgsen x

dx

dzAW

Atrito:

xPFf

0

0 : tenso de arraste

Resultante:

f321 FW)FF(FF

xPxdx

dzAx

dx

dyAyAyAF 0

A

P

dx

dz

dx

dyxAF 0

Com base na equao da Quantidade de Movimento: )( 1122

UUQF

Ux

dx

dUUAUF

A

P

dx

dz

dx

dyxAUx

dx

dUUAU 0

A

P

dx

dz

dx

dy

dx

dU

g

U 0

dx

dU

g

U

dx

dz

dx

dyRh0

g2

Uyz

dx

dR

2

h0

com

g2

Uyz

dx

dJ

2

JRh0

Sendo Rh o raio hidrulico e J a declividade da linha de energia.

Com base nos princpios de Anlise Dimensional, pode-se escrever:

220 U

gKUK

sendo K uma constante adimensional dependente de:

- nmero de Reynolds, rugosidade interna do canal e da geometria

2h U

gKJR

JR

K

gU h

Fazendo K

gC JRCU h

Coeficiente de Chzy

Frmula de

Chzy

JRCUh

(1718 1798)

Antoine de Chzy, engenheiro francs, desenvolveu seus estudos em 1768, quando projetava um canal no rio Yvette, prximo Paris

C =(Re, rugosidade, geometria) similar a f

f bastante estudado condutos padronizados...

C Diversidade e variabilidade das grandezas envolvidas

Dificuldades de pesquisa em canais abertos

Relao de C e f fg8

C para condutos circulares

Anlise para pequenos condutos/canais, com rugosidades reduzidas

0

0kV

R R0 = Reynolds de arraste

= viscosidade cinemtica

k = comprimento de rugosidade caracterstico

Rugosidade da superfcie do canal

JgRV h0

0

V0 = velocidade de arraste

Escoamento Liso: R0 < 4

81

eR6,28C (Re < 105)

C

gRgC e

51,2

8log24 (Re> 105)

Escoamento em transio: bacos; Colebrook

fR

5,2

R12

klog2

g8

C

eh

Escoamento Rugoso: Nikuradse

k

R12log2

g8

C h

ESCOAMENTO UNIFORME

Escoamento uniforme: Intensa utilizao prtica

Facilidade de clculo

Aproximao pertinente em muitas situaes prticas

Caractersticas

Equilbrio entre as foras de

acelerao e de resistncia

Constncia dos parmetros

hidrulicos no espao e tempo

Premissas bsicas

Canal prismtico

Declividade constante

Rugosidade constante

Comprimento razovel

No interferncia das extremidades montante e jusante

g2

Uyz

dx

dJ

2

0

0

dx

dy

dx

dU

IJdx

dz

dx

dHJ IR

h

0

IRCU h sendo I a declividade do fundo do canal

Equilbrio das foras : 0F Profundidade Normal: yn

Definio do fator de resistncia:

Formulaes semi-empricas: Ganguillet, Kutter, Bazin, etc.

6/16/1 1

hh KRRn

C 2/13/22/12/16/1 11 I R

n I R R

n U hhh

Combinando com a Equao da Continuidade:

2/13/2 1

IARn

Q h

Robert Manning, engenheiro irlands (1816-1897)

Principal difusor da equao que leva seu nome, apresentada pela

primeira vez pelo engenheiro francs Philippe Gauckler em 1867

mesma poca de Manning, Strickler, na Suia, difunde na Europa Continental equao similar Coeficiente de Strickler : K = 1/n

Clculo do escoamento uniforme

Aplicao da Frmula de Manning: Qn

AR Ih 1 2 3 1 2/ /

Verificao do funcionamento Clculo direto:

Variveis geomtricas (A e Rh) conhecidas clculo de Q, n, I Sees definidas geometricamente: tabelas e grficos

Sees complexas/irregulares: composio de reas e integrao

Exemplo

Um canal trapezoidal revestido com grama, com inclinao dos taludes de 1(V):2(H), base de 7,00 m e declividade de 0,06%,

apresenta um coeficiente de rugosidade de Manning de 0,025. Determinar a vazo transportada, em regime uniforme, sabendo-se

que nesta situao a profundidade normal 5,00 m

Soluo:

Para utilizar a Frmula de Manning, so conhecidos n = 0,025 e I = 0,0006 m/m;

Com yn = 5,00 m e z = 2,

Clculo das variveis geomtricas:

A = y ( b + zy ) = 5,00 x ( 7,00 + 2 x 5,00 ) = 85,00 m2

m 35,29 47,4 7 )5(y2 7 )z1( y2 b P 2/12/12

m 90,2 m35,29

m85 R

2

h

Assim, pode-se escrever:

s/m 170 )0006,0( x )90,2( x 85 x 025,0

1 Q 32/13/2

Dimensionamento Clculo indireto:

Problema de "dimensionamento hidrulico":

Variveis hidrulicas conhecidas clculo das variveis geomtricas

32

21

/h/

ARI

Qn

Curvas auxiliares para determinao das profundidades para canais de sees quaisquer

Grficos e tabelas auxiliares para sees parametrizveis

Exemplo

Um canal trapezoidal, com largura de base de 3m e taludes laterais 1:1, transporta l5 m3/s. Pede-se calcular a profundidade de

escoamento, sabendo-se que a rugosidade de 0,0l35 e a declividade de 0,005 m/m.

Soluo:

Para utilizar o grfico apresentado acima, calcula-se a seguinte expresso, que varivel de entrada, em abscissa, no grfico

auxiliar:

153,0 005,0x3

0135,0x15

Ib

nQ

2/13/82/13/8

Assim, pelo grfico, com z = 1,0, obtm-se:

m96,0ym00,3x32,0y32,0b/y

(Q.n)/(I1/2b8/3) ou (Q.n)/(I1/2D8/3)

Exemplo

Determinar a curva auxiliar de clculo (y x ARh2 3/

) para uma seo do canal do Ribeiro Arrudas, em Belo Horizonte, sabendo-se

que a declividade mdia neste trecho de 0,0026 m/m, sendo sua rugosidade avaliada em cerca de 0,022. Calcular a capacidade

mxima deste e a profundidade de escoamento para uma vazo de 600 m3/s.

Soluo:

Para y entre 0 e 1,5m

12,92AR21,21m;P;15,75mA1,5my

60,6x0,5050,01AR0,50m;/21,1050,01A/PR21,10m;P;10,50mA1,0my

2/3h

2

2/32/3hh

2

Para y entre 1,5 e 5,0 m

56,297AR;m21,3100,1021,21P;m75,12075,1500,105Am5,6y

31,261AR;m21,3000,921,21P;m25,11075,1550,94Am6y

33,192AR;m21,2800,721,21P;m25,8975,1550,73Am5y

17,129AR;m21,2600,521,21P;m25,6875,1550,52Am4y

79,73AR;m21,2400,321,21P;m25,4775,1550,31Am3y

34,29AR;m21,2200,121,21P;m25,2675,1550,10Am2y

3/2h

2

3/2h

2

3/2h

2

3/2h

2

3/2h

2

3/2h

2

Sabe-se que Qn/i0,5 = ARh2/3. A segunda coluna da tabela auxiliar mostrada a seguir , portanto, tambm igual Qn/i0,5. Caso se

divida os valores da 2 coluna por (n/i0,5), ter-se-o os valores de Q mostrados na 3 coluna. No presente exemplo, n=0,022 e

i=0,0026. Portanto, n/i0,5 = 0,022/0,00260,5 = 0,4315. Desta forma, se os valores da 2 coluna da tabela-auxiliar forem divididos

por 0,4315, ter-se-o as vazes, em funo de y, constituintes do grfico mostrado a seguir.

y ARh2/3 Q (m3/s)

0 0 0

1,0 6,60 15,30

1,5 12,92 29,95

2,0 29,34 68,00

3,0 73,79 171,03

4,0 129,17 299,38

5,0 192,33 445,77

6,0 261,31 605,65

6,5 297,36 689,20

Assim, a capacidade de vazo mxima do canal de cerca de 689m3/s.

O grfico de y em funo de Q mostrado anteriormente permite concluir que o nvel de gua no canal para a vazo de 600 m3/s

de, aproximadamente, 5,9 m. Neste caso, ter-se- uma borda livre de 0,60m.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0 100 200 300 400 500 600 700 800

y (

m)

Q (m3/s)

Instabilidade do Escoamento Uniforme

Velocidades e declividades elevadas formao de roll waves

Nmero de Verdenikov (Chow, 1959):

UV

Ux

w

x : expoente de Rh (utilizando Manning, x =2/3)

Vw: velocidade absoluta das perturbaes

Vw-U: celeridade das perturbaes (C)

: fator de forma dA

dPRh1

= 1 para canais largos

= 0 para canais muito estreitos

rF3

2

< 1 Escoamento uniforme estvel

1 Formao de ondas

Exemplo

Verificar se haver formao de ondas num canal retangular, com 5,0 m de largura, declividade longitudinal de 2%, e coeficiente

de Manning de 0,013, quando transportar 10m3/s.

Soluo:

Clculo da profundidade normal

,0130 02,0x5

013,0x10

Ib

nQ

2/13/82/13/8

Assim, pelo grfico, com z=0, obtm-se

m38,0ym0,5x075,0y06,0b/y

U=Q/A=10,0/(5,0.0,38)=5,3 m/s

7,238,081,9

3,5

gy

UFr

Como b muito maior que y (b/y=13,2), o canal pode ser considerado largo e, portanto, =1

8,17,213

2F

3

2r

Como > 1, haver formao de ondas.

O COEFICIENTE DE RUGOSIDADE DE MANNING

Dificuldades para determinao do coeficiente de rugosidade:

Variabilidade de superfcies de atrito

Influncia de fatores no-explicitos (turbulncia?)

Determinao direta do coeficiente de rugosidade

determinao das cotas de fundo e das caractersticas hidrulicas em duas sees (1 e 2) distintas, separadas pela distncia x;

determinao das velocidades mdias de escoamento nas duas sees;

aplicao da Equao de Bernoulli entre as duas sees, permitindo a determinao da declividade

da linha de energia:

x

g

Uyz

g

Uyz

J

22

22

22

21

11

clculo de n mdio pela aplicao da frmula de Manning utilizando as caractersticas mdias entre as duas sees:

U

JRn

2/13/2

h

Fixao do coeficiente de rugosidade Estimativa a partir da granulometria do leito

Leitos planos, sem transporte slido:

6/1

90038,0 dn (Meyer-Peter e Muller, 1948) d90: dimetro da peneira (m) com 90% dos gros passando

Canais revestidos: Henderson (1966)

61

5028,3 dCn m

d50: dimetro da peneira (m) com 90% passando

Cm: 0,034 a 0,039

Canais gramados: Kouwen at al.(1969 e 1980)

4,04,1

61

3048,0log97,19

3048,0

IRC

Rn

h

h

C: Coeficiente relativo ao tipo de grama e altura de corte, variando de 15,8 a 37,7 (Akan, 2006)

Estimativa atravs de incrementao

Mtodo Cowan n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) m5

- n0: valor bsico para um canal retilneo, uniforme e com superfcies planas, de acordo com o

material associado superfcie de contato; - n1: correspondente s irregularidades, tais como eroses, assoreamentos, salincias e

depresses na superfcie, etc.

- n2: correspondente freqncia de ocorrncia de variaes de forma, conforme as possibilidades

de causar perturbaes no fluxo

- n3: correspondente presena de obstrues, como mataces, troncos, etc.

- n4: baseado na influncia da vegetao no escoamento, segundo o tipo, densidade e altura da

vegetao

- m5: baseado no grau de meandrizao do curso dgua

Condies do canal Valores

n0 Solo 0,020

Rocha 0,025

Material envolvido Pedregulho fino

Pedregulho grado

0,024

0,028

n1 Liso 0,000

Pequeno 0,005 Grau de irregularidade Moderado

Severo

0,010

0,020

n2 Gradual 0,000

Variaes da seo transversal Alternncias ocasionais

Alternncias freqentes

0,005

0,010 0,015

n3 Desprezvel 0,000

Pequeno 0,010 0,015 Efeito de obstrues Aprecivel

Severo

0,020 0,030 0,040 0,060

n4 Baixa 0,005 0,010

Mdia 0,010 0,025 Vegetao Alta 0,025 0,050

Muito alta 0,050 0,100

m5 Pequeno 1,000

Grau de meandrizao Aprecivel

Severo

1,150

1,300

Estimativa do coeficiente de rugosidade atravs de tabelas Coeficientes de rugosidade para canais artificiais

Revestimento Rugosidade

mnima usual mxima

Concreto pr-moldado 0,011 0,013 0,015

Concreto com acabamento 0,013 0,015 0,018

Concreto sem acabamento 0,014 0,017 0,020

Concreto projetado 0,018 0,020 0,022

Gabies 0,022 0,030 0,035

Espcies vegetais 0,025 0,035 0,070

Ao 0,010 0,012 0,014

Ferro fundido 0,011 0,014 0,016

Ao corrugado 0,019 0,022 0,028

Solo sem revestimento 0,016 0,023 0,028

Rocha sem revestimento 0,025 0,035 0,040

Coeficientes de rugosidade para canais naturais Tipo Caractersticas Rugosidade

mnima usual mxima

Canais de pequeno porte em

plancie (B < 30 m)

Limpos 0,025 0,033 0,045

Trechos lentos 0,050 0,070 0,080

Canais de pequeno porte em

montanhas (B < 30 m)

Leito desobstrudo 0,030 0,040 0,050

Leito com mataces 0,040 0,050 0,070

Canais de grande porte (B > 30 m)

Sees regulares 0,025 - 0,060

Sees irregulares 0,035 - 0,100

Plancies de inundao

Pastagens 0,025 0,030 0,035

Culturas 0,020 0,040 0,050

Vegetao Densa 0,045 0,070 0,160

Estimativa atravs de analogia com canais existentes

Identificao do curso dgua em estudo com curso dgua existente, para o qual o coeficiente de rugosidade foi determinado

uso de coletneas de fotos com coeficiente de rugosidade medidos (French, Chow, etc.)

http://wwwrcamnl.wr.usgs.gov/sws/fieldmethods/Indirects/nvalues/index.htm 0,018

0,018

0,018

0,018

0,020

0,029

0,030

0,035

0,110

0,125

0,150

Coeficientes de rugosidade para sees simples com rugosidade varivel

- Rugosidade varivel ao longo do permetro molhado

- Seo analisada como um todo

Coeficiente de rugosidade global:

3/2

m

1i

2/3

ii

P

nP

n

Exemplo

Calcular o coeficiente de rugosidade global para uma canalizao com seo transversal constituda parcialmente com gabies

(n = 0,030) e solo com revestimento vegetal (n = 0,040).

Soluo:

Associado rugosidade com n=0,030, tem-se a rea retangular central, com 11,00 m de largura e 2,00 m de altura. Assim, o

permetro molhado associado :

P1 = 2,00 m + 11,00 m + 2,00 m = 15,00 m.

Associado rugosidade com n=0,040, tem-se as duas reas triangulares laterais, com 3,00 m de largura e 1,50 m de altura. Assim,

o permetro molhado :

P2 = 2 x (3,002 + 1,502)1/2 = 6,71 m.

Resolvendo atravs da equao

3/2m

1i

2/3

ii

P

nP

n

o coeficiente de rugosidade global n :

n = [(0,0303/2 x 15,00 + 0,0403/2 x 6,71) / (15,00 + 6,71)]2/3 = 0,033

Coeficiente de rugosidade para sees compostas

- Rugosidade varivel ao longo do permetro molhado

- Sees compostas necessidade de subdiviso

Clculo do Coeficiente de rugosidade equivalente:

Metodologia do U.S. Corps of Engineers:

n

n A

A

i i

i

m

1

- delimitao arbitrria das reas associadas atravs de verticais

Exemplo

Calcular o coeficiente de rugosidade equivalente para o crrego Ressaca, em Belo Horizonte, cuja seo transversal mostrada

a seguir.

Soluo:

Com base na equao n

n A

A

i i

i

m

1 tem-se:

2/5,1x0,3x25,3x11

2/5,1x0,3x040,0x25,3x0,11x030,0n

n = 0,031

Clculo da vazo atravs do Fator de Conduo:

- diviso da seo composta em diversas subsees - clculo do Fator de Conduo para cada subseo:

KA

nP

5 3

2 3

/

/

- vazo associada a cada subseo:

Q = K I1/2

- vazo total: soma das vazes associadas cada subseo

- Clculo dos coeficientes de Coriolis e Boussinesq:

A

K

K

A

ii

m

i

mii

m1

2

1 1

3

1

3

21

A

K

K

A

i

i

m

i

mii

m1

1 1

2

1

2

1

Exemplo

Sabendo-se que o canal fluvial descrito esquematicamente na figura, apresenta uma declividade de 0,002 m/m, pede-se calcular a

vazo transportada, estimando-se o valor da rugosidade equivalente pelo processo do U. S. Corps of Engineers.

Soluo:

Com base na equao KA

nP

5 3

2 3

/

/ tem-se:

A1=(10x5)/2 = 25 m2 m18,11510P 221 0,1219

80,035.11,1

52K

2/3

5/3

1

A2=15x5 = 75 m2 m15P2 6,8762

0,025.15

57K

2/3

5/3

2

A3=(5+10)x5/2 = 37,5 m2 m07,755P 223 5,3797

0,030.7,07

5,37K

2/3

5/3

3

A4=20x10= 200,0 m2 m0,20P4 3,23172

0,040.20,0

0,200K

2/3

5/3

4

A5=A3 = 37,5 m2 m07,7PP 35 5,3797

0,030.7,07

5,37K

2/3

5/3

5

A6=10x5 = 50 m2 m10P6 8,5841

0,025.10

50K

2/3

5/3

6

A7=(5x5)/2 = 12,5 m2 m07,755PP 2237 0,522

0,035.7,07

5,12K7

2/3

5/3

47112,70,5228,58415,37973,231725,37976,87620,1219K

Utilizando a equao Q = K I1/2 obtm-se a vazo transportada:

Q = 47112,7x(0,002)1/2 = 2106,9 m3/s

Unidades do coeficiente de rugosidade de Manning

Adimensional

[L1/6]

[TL-1/3] Frmula de Manning dimensionalmente homognea