Matemática Financeira

Prof. Marcos César Carrard http://www.matematica.mcarrard.com.br

carrard@mcarrard.com.br Conteúdo

Apresentação 3 I Razão e Proporção 4 1.1. Razão 4 1.2. Proporção 4 1.3. Regra de Três 7 1.3.1. Regra de Três Simples 7 1.3.2. Regra de Três Composta 8 Exercícios 9 II Porcentagem 14 2.1. Introdução 14 2.2. Porcentagem de uma Quantia 14 2.3. Fator de Aumento e de Redução 14 2.4. Acréscimos e Descontos Sucessivos 15 2.5. Lucro e Prejuízo 15 Exercícios 16 III Juros 3.1. Introdução 21 3.2. Termos Importantes 21 3.3. Componentes de uma Taxa de Juros 22 3.4. Juros Simples 23 3.5. Juros Compostos 24 3.6. Relação entre Juros Simples e Composto 26 3.7. Homogeneidade entre Taxa e Tempo 27 3.8. Equivalência de Taxas 27 3.8.1. Taxa Efetiva ou Real 27 3.8.2. Taxa Nominal 27 3.8.3. Taxas Proporcionais 28 3.8.4. Taxas Equivalentes 28 3.9. Valor do Dinheiro no Tempo 28 Exercícios 30

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IV Descontos 35 4.1. Introdução 35 4.2. Desconto Racional 36 4.3. Desconto Comercial 37 4.4. Relação Entre os Descontos Simples 38 Exercícios 38 V Rendas 41 5.1. Introdução 41 5.2. Classificação das Rendas 41 5.3. Rendas Imediatas 42 5.4. Rendas Antecipadas 44 5.5. Rendas Diferidas 46 5.6. Renda e o Montante 48 Exercícios 49 VI Sistemas de Amortização 52 6.1. Introdução 52 6.2. Sistema do Montante 53 6.3. Sistema de Juros Antecipados 54 6.4. Sistema Price ou Francês 55 6.5. Sistema de Amortizações Constantes (SAC) 58 6.6. Sistema de Amortizações Geométricas (SAG) 59 6.7. Sistema de Amortizações Mistas (SAM) 61 6.8. Sistema de Amortização Alemão 63 6.9. Sistema de Amortização Crescente (SACRE) 65 Exercícios 67 VII Fluxo de Caixa 70 7.1. Introdução 70 7.2. Considerações Gerais 70 7.2.1. Conceito 70 7.2.2. Objetivos 70 7.2.3. Termos Comuns 71 7.2.4. Demonstração 74 7.2.5. Simbologia 74 7.3. Lucro e o Fluxo de Caixa 75 7.4. Análise do Capital de Giro 76 7.5. Análise de Origem e Aplicação de Recursos 77 7.5.1. Atividades Operacionais 78 7.5.2. Atividades de Investimentos 78 7.5.3. Atividades Financeiras 79 7.6. Métodos de Análise 80 7.6.1. Método Payback 80 7.6.2. Taxa Interna de Retorno 81 7.6.3. Valor Presente Líquido 83 Exercícios 84 Bibliografia 86

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Apresentação Este material foi elaborado para servir de apoio as disciplinas de matemática financeira em cursos técnicos a nível médio e como introdutório para cursos de matemática financeira em nível superior. Seu o objetivo não é o de substituir qualquer outro material com os mesmos propósitos e sim em constituir-se em referência inicial para os alunos desses cursos. Com base nisso, eu inclui no material uma grande quantidade de exercícios próprios e retirados de outras fontes com livros e internet para que, alguns deles, fossem adequados a cada uma das diferentes situações aonde a apostila venha a ser adotada. Com tal objetivo e finalidade, ele encontra-se em constante aperfeiçoamento e, em função disso, sofre alterações sem aviso prévio. Desta forma, caso você encontre ou tome conhecimento de algum problema ou erro nos conteúdos ou exercícios, entre em contato por algum dos endereços da página inicial para que eu possa fazer as devidas correções. Também qualquer crítica, sugestão ou comentário é muito bem vindo e, sempre que possível e adequado, será incorporado no texto. Desde já registro aqui o meu agradecimento a todos aqueles que ajudaram ou ajudarão na elaboração e uso desta apostila.

Marcos Carrard 2008

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I. Razão e Proporção 1.1. Razão Entende-se por razão entre duas grandezas de mesma natureza o quociente ou divisão dos números que exprimem quantidades dessa grandeza em uma mesma unidade de medida:

b

a ou b

a ou ba : com 0≠b

Em uma razão, a grandeza a é chamada de antecedente e a grandeza b de conseqüente. Exemplo: Um imóvel foi colocado na carteira de aluguéis de uma imobiliária pelo prazo de 42 dias,

dos quais ficou locado por 24 deles. Determine a razão entre o prazo locado e os dias disponíveis e determine quantos dias, nessa razão, ele ficará locado nas primeiras 4 semanas disponível?

Razão � 7

4

42

24 = � Significando que de cada 7 dias, o imóvel foi locado 4

deles. Assim sendo, em quatro semanas ele ficará locado 16 dias ( 4 semanas x 4 dias por

semana ).

1.2. Proporção Por proporção entende-se a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões:

d

c

b

a = ou dcba ::::

onde a e d são os extremos da proporção e b e c são os seus meios.

Em toda proporção o produto dos seus meios é igual ao produto dos seus extremos!

Duas grandezas pode ser ditas direta ou inversamente proporcionais. Vejamos os seguintes exemplos: a) A razão entre a quantidade de imóveis locados em um certo período entre as imobiliárias A e B, nessa ordem, é de 2 para 5. Quantos imóveis a imobiliária A locou se B tem 70 imóveis locados?

705

2 x= ���� 5.x = 2 . 70 � x = 28 imóveis

b) Vamos considerar que a distância entre Porto Alegre e Florianópolis é de 500Km. Com base nisso, vamos preencher a tabela abaixo que relaciona a velocidade média de um carro que faz esse trajeto e o tempo aproximado que ele gastou no deslocamento:

5

Velocidade média (Km/h)

100 90 80 60 50

Tempo gasto (horas)

5 horas 5h30min 6h15min 8h20min 10 horas

Observe agora como as grandezas envolvidas no exemplo a crescem ou decrescem conjuntamente e na mesma proporção pois, quanto mais imóveis B tiver locado, tantos mais A também locará, de acordo com a proporção. Já no exemplo b, enquanto que a velocidade média diminui, o tempo gasto no deslocamento irá aumentar na mesma proporção. Desta forma, as grandezas de uma proporção podem ser:

• Diretamente proporcionais: quando elas crescem ou decrescem simultaneamente, no mesmo sentido, na proporção onde estão envolvidas (é o caso do exemplo a acima). Para essas proporções temos que:

'''' n

n

c

c

b

b

a

a ==== L

Em grandezas diretamente proporcionais, a fração irredutível equivalente a 'aa é chamada de

coeficiente de proporcionalidade (k) e para toda e qualquer proporção, vale:

kncba

ncba =++++++++

'''' L

L

• Inversamente proporcionais: esta situação ocorre quando uma das grandezas cresce ou aumenta

na mesma proporção que a outra decresce ou diminui, na mesma proporção (é o caso do exemplo b acima). Para essas proporções temos que:

'''' n

n

c

c

b

b

a

a1111

==== L � '.'.'.'. nnccbbaa ==== L

Exemplos: a) Verificar se os números 15, 20 e 35 são proporcionais, nessa ordem, aos números, 12, 16 e 21.

Não são diretamente proporcionais pois 31

35

16

20

12

15 ≠=

b) Sabendo que os números 35, 14 e x são diretamente proporcionais a y, 16 e 24, nessa ordem, quanto valem x e y?

Considerando a proporção 2416

1435 x

y== podemos trabalhar em dois momentos:

1o�

16

1435 =y

temos que 35 . 16 = y . 14 e teremos que y = 40

2o�

2416

14 x= temos que 14 . 24 = 16 . x e o valor de x = 21

c) Calcular o valor de x e y sabendo que os números 9, x, 2 e 4, 6 e y são inversamente proporcionais, nessa ordem.

6

Como as grandezas são inversamente proporcionais temos que

y

x12

61

419 == de onde

tiramos que 4 x 9 = 6 . x = y . 2 ou seja, 36 = 6x = 2y. Da primeira parte, 6x = 36 encontramos que x = 6. Também podemos montar a relação 2y = 36 e determinar que y = 18. d) Dividir a quantia de R$ 3.300,00 em partes diretamente proporcionais a 5, 4 e 2. Antes de mais nada, precisamos encontrar as razões que estabelecem as proporções buscadas.

Note que o total relativo as partes é de 11 ( 5 + 4 + 2), assim, as razões são: 115 ; 11

4 ; e, 112 .

Vamos então calcular quanto corresponde dos R$ 3.300,00 para cada uma dessas partes:

005001300311

5,.$. R=⋅ 0020013003

11

4,.$. R=⋅ 0016003003

11

2,$. R=⋅

O mesmo resultado poderia ser obtido usando o coeficiente de proporcionalidade pois:

200040005000

zyx == � 10

3

11000

3300

200040005000==

++++= zyx

k

Construímos agora três proporções:

10

3

5000=x

� 10.x = 5 . 5000 � x = R$ 1.500,00

10

3

4000=y

� 10.y = 3 . 4000 � y = R$ 1.200,00

10

3

2000=z

� 10.z = 3 . 2000 � z = R$ 600,00

e) Reparta a quantia de R$ 945,00 em partes inversamente proporcionais aos números 6 e 8.

Vamos construir a proporção inversa:

81

61

yx = � 68

yx = ou 6.x = 8.y

Assim, chegamos a conclusão que a partilha da parte relativa ao 6 se dará pela proporção de 8, enquanto que a parte relativa ao 8 se dará pela proporção de 6 (é por isso que se chama inversa!). Vejamos:

Parte relativa ao 6: 7

4

14

8 = � 005409457

4,$R=⋅

Parte relativa ao 8: 7

3

14

6 = � 004059457

3,$R=⋅

Existe uma segunda forma de resolver esse problema (e até mais simples). Como a proporção é inversa, determinamos que o inverso da soma das partes deve dar o total:

9458

1

6

1 =+ xx

Agora, resolvermos a equação e chegamos ao valor do x = 3240. Basta então calcular cada uma dessa partes usando 3.240 no valor do x:

Parte do 6: 00,540$6

3240

6

3240.1R== Parte do 8: 00,405$

8

3240

8

3240.1R==

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1.3. Regra de Três Podemos resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais através de um processo matemático conhecido como “Regra de Três”. Se o problema tiver apenas duas grandezas envolvidas, ele é considerado como Regra de Três Simples enquanto que se o número de grandezas for maior do que duas, é chamado de Regra de Três Composta. (Atenção: não há limite de grandezas para uma regra de três composta). 1.3.1. Regra de Três Simples 1o passo: colocam-se as grandezas em uma tabela organizas por coluna, colocando uma incógnita na grandeza a ser descoberta; 2o passo: verifica-se, dentro de cada coluna, o sentido que as grandezas que ali estão crescem (ou decrescem). Se elas crescerem (ou decrescerem) no mesmo sentido, são grandezas diretamente proporcionais; caso contrário, são inversamente proporcionais; 3o passo: se as grandezas forem inversamente proporcionais, devemos inverter os valores de uma das colunas. 4o passo: resolve-se a proporção construída segundo os valores da tabela. Exemplo: a) Um operário faz 12 metros de um muro em 8 dias. Quantos metros deste mesmo muro ele faria em 6 dias? Montar a tabela:

Metros Dias 12 8 x 6

Veja que as grandezas referentes aos dias crescem de “baixo para cima”, assim como a quantidade de metro que o operário irá fazer em um número menor de dias. Costuma-se colocar setas ou flechas indicativas desse crescimento ao lado da tabela (veja acima). Como as duas flechas indicam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais e podemos montar a proporção da seguinte forma:

6

812 =x

� 12 . 6 = x . 8 � x = 9 metros

b) Um automóvel andando a 80 km/h faz um certo trajeto em 6 horas. Quanto tempo ele levará para fazer o mesmo trajeto se andar a 120 km/h? Montar a tabela:

Velocidade Tempo 80 6 120 x

Observe que agora as grandezas são inversamente proporcionais pois quanto mais rápido ele andar, menor será o tempo. Assim, veja que as flechas estão em sentido contrário. Desta forma, vamos inverter uma das colunas ( a da velocidade) e montarmos a proporção:

Velocidade Tempo 120 6 80 x

8

x

6

80

120 = � 120.x = 80 . 6 � x = 4 horas

1.3.2. Regra de Três Composta 1o passo: colocam-se as grandezas em uma tabela organizas por coluna, colocando uma incógnita na grandeza a ser descoberta. A coluna da incógnita deve ser a primeira ou a última da tabela para facilitar o processo; 2o passo: monta-se uma tabela para cada grandeza fornecida com relação a grandeza da incógnita (como se fosse uma regra de três simples) e verifica-se, dentro de cada tabela, o sentido que as grandezas que ali estão crescem (ou decrescem) com relação a coluna da incógnita. Se elas crescerem (ou decrescerem) no mesmo sentido, são grandezas diretamente proporcionais; caso contrário, são inversamente proporcionais; 3o passo: para as colunas onde as grandezas forem inversamente proporcionais, devemos inverter os seus valores; 4o passo: resolve-se a proporção construída segundo os valores da tabela sempre formando uma proporção com a coluna da incógnita e igualando ao produto das demais proporções. Exemplo: a) Um operário que trabalha 6 horas por dia colocou 3000 peças de azulejo em 12 dias de trabalho. Como ele necessita colocar 5000 peças e dispõem de somente 8 dias, quantas horas por dia deverá trabalhar? Montar a tabela:

Horas Dias Peças 6 12 3000 x 8 5000

Vamos agora construir e analisar uma tabela para cada uma das colunas com a relação a incógnita:

Horas Dias 6 12 x 8

Na primeira tabela, as grandezas inversamente proporcionais pois de ele trabalhar um número menor de dias precisará trabalhar mais horas por dia para compensar.

Horas Peças 6 3000 x 5000

Nessa tabela, as grandezas são diretamente proporcionais pois, se ele precisou de 6 horas por dia para fazer 3000 peças, precisará de mais horas por dia para fazer 5000 peças. Dessa análise determinamos que a coluna dos dias trabalhados é inversamente proporcional e deve ser invertida. A tabela fica da seguinte forma:

Horas Dias Peças 6 8 3000 x 12 5000

9

Podemos então montar a proporção:

5000

3000

12

86 ⋅=x

� 60000

240006 =x

� 24000.x = 6.60000 � x = 15 horas/dia

b) Em 4 dias, 8 máquinas produziram 160 peças. Em quantos dias 6 máquinas iguais as primeiras produziriam 300 dessas peças? Montar a tabela:

Dias Máquinas Peças 4 8 160 x 6 300

Vamos agora construir e analisar uma tabela para cada uma das colunas com a relação a incógnita:

Dias Máquinas 4 8 x 6

Na primeira tabela, as grandezas inversamente proporcionais pois se a quantidade de máquinas diminuir, deverão trabalhar mais dias para produzir a mesma quantidade.

Dias Peças 4 160 x 300

Nessa tabela, as grandezas são diretamente proporcionais pois deverão ser trabalhados mais dias para ter uma produção maior (considere o mesmo número de máquinas nessa análise). Dessa análise determinamos que a coluna das máquinas deve ser invertida, ficando assim a tabela:

Dias Máquinas Peças 4 6 160 x 8 300

Podemos então montar a proporção:

300

160

8

64 ⋅=x

� 2400

9604 =x

� 960.x = 4.2400 � x = 10 dias

Exercícios 1.1. Um galão de tinta de 18 litros está sendo vendido ao preço de R$ 73,00 em uma loja, enquanto que o concorrente vendo a mesma tinta em galão de 3,6 litros ao preço de R$ 14,76. Onde ela está mais barata? 1.2. A planta de um apartamento foi desenhada na escala de 1:120. Desta forma, qual é a área de uma sala que, no desenho, tem as dimensões de 6cm x 4cm? 1.3. Um terreno de 20m de comprimento foi representado em uma planta com 4cm de comprimento. Qual foi a escala utilizada?

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1.4. As dimensões reais de um imóvel retangular são de 12m de comprimento e 15m de largura. Qual é a maior escala que pode ser usada em uma planta baixa se a folha disponível tem 30cm x 40cm? 1.5. Em uma empresa, os três sócios A, B e C contribuíram, respectivamente, com R$ 8.000,00, R$ 6.000.00 e R$ 4.000,00 do capital inicial. Qual é a razão que representa a contribuição de cada um deles?

1.6. Dividir o número 340 em partes diretamente proporcionais a 21 , 3

1 e 2.

1.7. Um ciclista percorreu 103 de uma prova em 4

1 de hora. Mantendo a mesma velocidade média,

quanto tempo ele gastará para completar a prova? 1.8. Calcule x, y e z sabendo que eles são diretamente proporcionais aos números 4, 10 e 12, nessa ordem e que x + y + z = 91. 1.9. Se a quantia de R$ 1.200,00 rendeu R$ 175,00, quanto rendeu, proporcionalmente no mesmo período, a quantia de R$ 1.008,00? 1.10. Um pai resolveu dividir a quantia de R$ 2.620,00 entre seus três filhos em partes diretamente proporcionais às notas que eles tiraram em matemática. Sabendo que o primeiro filho tirou 6, o segundo 4 e o terceiro 10, quanto coube a cada um deles? 1.11. Uma pessoa aplicou R$ 840,00 na caderneta de poupança do Banco A e R$ 560,00 na caderneta de poupança do Banco B, durante o mesmo período de tempo e com as mesmas taxas de rendimento. No final da aplicação, o rendimento total foi de R$ 490,00. Quanto rendeu cada uma das poupanças? 1.12. O valor das despesas mensais médias de um condomínio foi de R$ 30.000,00 ao mês. Deseja-se dividir esse valor proporcionalmente ao número de apartamentos que cada um dos prédios tem. São ao todo 3 prédios com 20, 30 e 50 apartamentos. Qual é a parte dessa despesa que cabe a cada um deles? 1.13. A quantia de R$ 4.640,00 foi distribuída como abono em uma empresa a três funcionários da firma, de forma inversamente proporcional às faltas de cada um deles. Paulo faltou 6 dias, Cláudia faltou 9 dias e Ana faltou 8 dias. Quanto coube a cada um deles? 1.14. A quantia de R$ 288,00 foi repartida em três partes diretamente proporcionais. Sabendo que o resultado final da partilha foi de R$ 64,00 para a primeira parte; R$ 96,00 para a segunda; e, R$ 128,00 para a terceira. Qual é a razão que exprime cada uma dessas partes?

1.15. Um imóvel foi vendido pelo preço de R$ 60.000,00 sendo que 154 deste valor foram pagos com

entrada. Calcule o valor da dívida a pagar após a liquidação da entrada.

1.16. Uma empresa comprou um terreno pagando 4512 de entrada. Sabendo que o valor da entrada foi

de R$ 18.000,00 qual é o preço final do terreno?

1.17. Dois sócios resolvem abrir uma empresa de seguros, sendo que o primeiro deles investe 74 do

valor aplicado na abertura do negócio. Já o segundo sócio, entrou com R$ 29.400. Qual é o valor da capital inicial desta empresa?

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1.18. Um lote avaliado em R$ 86.000,00 foi dividido em três partes. A primeira delas equivale a 132

da segunda parte enquanto que a terceira parte é igual a 31 das outras duas somadas. Qual é o valor

destas partes?

1.19. Ricardo aplicou suas economias em 3 partes: 92 foram aplicados em um fundo de renda fixa;

185 na poupança e o restante foi dado de entrada em um imóvel. Calcule o valor da entrada no imóvel

e aquele aplicado na poupança sabendo que foram colocados R$ 12.000,00 no fundo de renda fixa. 1.20. Um prédio de apartamentos é vendido ao público por um valor de R$ 46.516,00 por apartamento.

Supondo que a corretora ganha 292 de cada venda, calcule quantos apartamentos foram vendidos se

essa corretora faturou R$ 250.224,00. 1.21. Uma fazenda foi vendida pelo valor de R$ 70.980,00 para ser dividido entre Rodrigo, Sabrina e

Henrique. Sabrina recebeu 31 do valor vendido enquanto que Rodrigo ficou com 39

4 . Quanto coube

a Henrique? 1.22. Um lote rural foi vendido e o valor arrecadado dever ser repartido igualmente entre 5 irmãos. Quanto cada um deles deve receber se a corretora ganhou R$ 15.470 de comissão? Sabe-se que essa corretora ganha R$ 6,50 a cada R$ 100,00 do valor de venda. 1.23. Uma empresa prega a motivação entre os seus funcionários destinando uma parte dos seus lucros para eles. No ano que passou, essa parte foi de R$ 7.500,00. Qual foi o valor que ficou com a empresa

sabendo que a parte dela corresponde a 4331 do lucro total?

1.24. Um apartamento de luxo foi vendido ao valor de R$ 725.000,00 e esse valor foi dividido entre

Marcela, Flávia e Mariana. Marcela recebeu 75 do valor que Flávia recebeu. Flávia, por sua vez,

recebeu 78 da parte correspondente a Mariana. Quanto foi a parte de cada uma delas?

1.25. Dois sócios, Paulo e Rafael, repartiram o lucro final de um negócio, que foi de R$ 4.900,00, de forma proporcional à quantia que cada um deles investiu na empresa. Sabendo que Rafael investiu R$ 2.000,00 a mais que Paulo e teve, em conseqüência disso, um lucro de R$ 700,00 a mais, qual foi o investimento inicial de cada um na empresa e qual a parte de cada um deles no negócio feito? 1.26. Calcule o valor de venda de uma casa sabendo que a construtora faturou R$ 150.000,00 na venda de 6 casas na mesma região. 1.27. Se um corretor recebe R$ 8.000,00 por mês, em média, com a venda de 15 imóveis, calcule o seu ganho se ele vendesse 24 imóveis na mesma região. 1.28. Uma administradora de bens fatura R$ 18.000,00 com a responsabilidade de locação de 60 imóveis. Quanto seria seu faturamento médio se ampliasse sua carteira para 84 imóveis? 1.29. Se com R$ 35.000 aplicados uma empresa ganhou R$ 3.200 de juros, quanto ela ganharia no mesmo período se houvesse aplicado R$ 48.000,00?

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1.30. O condomínio “Freedom” foi lançado por uma corretora que vende cada um dos apartamentos pelo preço de R$ 56.800,00. Se todo o condomínio fosse vendido o faturamento da corretora seria de R$ 6.134.400,00. Quantos apartamentos esse condomínio tem? 1.31. Uma rua tem 600m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram completados 180m desta rua. Se esse ritmo de trabalho for mantido, em quantos dias a rua ficará completamente asfaltada? 1.32. Com o auxílio de uma corda que eu julgava tem 2m de comprimento medi o comprimento de um terreno e encontrei 40m. Mais tarde descobri que a corda tinha, na realidade, 2,05m. Desta forma, qual é o comprimento desse terreno? 1.33. Para transportar material para uma construção foram necessários 16 caminhões com capacidade para 5m3 cada um deles. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos veículos seriam necessários para completar o serviço? 1.34. Para forrar as paredes de uma sala foram usadas 21 peças de papel de parede com 80cm de largura. Se a largura desse papel fosse de 1,2m, quantas peças seria necessárias para o mesmo serviço? 1.35. Para cobrir uma parede que tem 6,5m de comprimento por 3m de altura foram necessários 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a estes seriam necessários para uma parede de 15m2 de área? 1.36. Uma tábua com 1,5m de comprimento foi colocada verticalmente ao chão e projetou uma sombra de 53cm. Nesse mesmo instante, uma construção projetava uma sombra de 3,71m. Qual é a altura dessa construção? 1.37. Com uma certa quantidade de arame podemos fazer uma tela de 50m de comprimento por 1,20m de largura. Se aumentarmos a largura dessa tela para 1,80m, qual é o comprimento máximo que conseguiremos com a mesma quantidade arame? 1.38. Se o transporte, por estrada de ferro, de 15 toneladas de uma mercadoria, à distância de 400km custa R$ 900,00, quanto pagaremos por 32 toneladas dessa mesma mercadoria em uma distância de 250km? 1.39. Um folheto da CASAN informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. No prédio que a empresa de Paulo administra tem uma torneira que pingou 30 gotas por minuto durante 50 dias. Quantos litros de água foram desperdiçados? 1.40. Dois carregadores levam caixa do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O segundo carregador leva 6 caixa por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto que o primeiro carregador leva 240 caixas quantas levará o outro? 1.41. Numa obra, 10 trabalhadores consumiram 40 litros de água em 6 dias. Se o número de trabalhadores fosse reduzido para 6, quantos dias durariam 30 litros de água? 1.42. Um corretor consegue locar, em média, 15 imóveis em 4 dias, trabalhando 5 horas por dia, durante a alta temporada. Quantos imóveis ele conseguirá locar se trabalhar 2 horas por dia durante 6 dias? 1.43. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300km no prazo de 1 ano. Após 4 meses, apenas 75km dessa estrada estavam concluídos. Quantas pessoas essa empresa deve contratar a mais para concluir o serviço dentro do prazo?

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1.44. Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer um certo percurso. Se a sua velocidade média fosse de 80 km/h e ele rodasse 9 horas por dia, quantos dias levaria para fazer o mesmo percurso? 1.45. Uma pessoa datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza uma certa tarefa em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minutos e trabalhando 4 horas por dia, fará o mesmo serviço em quanto tempo?

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II. Porcentagem 2.1. Introdução Sejam A e B (B ≠ 0) números reais. Denomina-se razão o quociente entre A e B, indicado por A/B ou A:B, conforme discutimos no capítulo anterior. As razões onde o denominador é igual a 100 são denominadas de razões centesimais ou porcentagens. Exemplo:

10050

100

31 1003

As porcentagens são indicadas na forma fracionária, decimal ou pelo símbolo de %:

10050

= 0,50 = 50%

100

31 = 0,31 = 31%

1003 = 0,03 = 3%

2.2. Porcentagem de Uma Quantia São aquelas situações onde a taxa de porcentagem é relativa a uma única quantia de referência. Exemplo: a) Considere uma televisão cujo preço à vista é de R$ 680,00 e que terá um acréscimo de 5% no seu valor se for vendida em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?

R$ 680,00 + 5% = R$ 680,00 + 100

500,680$ ⋅R= R$ 680,00 + R$ 34,00 = R$ 714,00

Prestação � R$ 714,00 / 3 = R$ 238,00 Observe que o cálculo da porcentagem ou percentual é sempre uma regra de três simples e direta. 2.3. Fator de Aumento e de Redução Considere a situação onde uma empresa resolveu aumentar o salário de todos os seus empregados em 25%. Considerando que o valor atual seja de x, teremos: x + 25% de x = x + 0,25x = (1 + 0,25) x = 1,25 x Este fator de 1,25, que representa o salário atual mais o aumento a ser dado, é denominado de fator de aumento.

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De modo geral, quando um valor N sofre um acréscimo de uma taxa porcentual t, o novo valor N’ é dado por:

N’ = (1 + t) N Em um caso semelhante, uma loja fez uma promoção e deu 15% de desconto nas suas mercadorias. Se um produto qualquer custava x, seu novo valor é: x - 15% de x = x - 0,15x = (1 - 0,15) x = 0,85 x O valor de 0,85 é então denominado de fator de redução e ele pode ser determinado pela fórmula:

N’ = (1 - t) N 2.4. Acréscimos e Descontos Sucessivos Acréscimos e descontos podem ser aplicados sucessivamente em relação ao preço de um produto. Para conseguirmos compreender o que efetivamente está acontecendo com esse preço devem aplicar os conceitos de fator de aumento e fator de redução. Exemplo: a) O preço de um equipamento sofreu dois acréscimos sucessivos de 5% e 8%. Se ele custava x, qual é o fator de aumento aplicado ao total:

Sejam f1 e f2 os dois fatores de aumento aplicados: f1 = 1 + 0,05 = 1,05 f2 = 1 + 0,08 = 1,08 Assim, o novo valor x’ poderá ser calculado por: x’ = x . 1,05 . 1,08 = x . 1,134 onde o aumento real foi de 13,4%. Atenção: não deve-se considerar que o aumento final é a soma dos percentuais originais: x + 20% + 30% = x . 1,2 . 1,3 = x . 1,56

A mesma situação pode ser aplicada quando ocorrerem descontos sucessivos, descontos seguidos de acréscimos ou acréscimos seguidos de descontos, em qualquer quantidade. 2.5. Lucro e Prejuízo As operações de compra e venda podem ocorrer com lucro ou prejuízo determinados por:

Lucro = Valor Venda – Valor Custo Se o Lucro < 0 então há prejuízo determinado por:

Prejuízo = Valor Custo – Valor Venda

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Exemplo: a) Um imóvel foi comprado ao valor de R$ 30.000,00 e vendido pouco tempo depois por R$ 45.000,00. Qual foi o percentual de lucro obtido? Vamos determinar o lucro obtido no negócio:

Lucro = R$ 45.000,00 – R$ 30.000,00 = R$ 15.000,00

Teremos, então, a seguinte regra de três:

Valor % R$ 30.000,00 100 R$ 15.000,00 x

portanto x = 50% de lucro.

Exercícios 2.1. O salário de um trabalhador é de R$ 480,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de aumento dada para ele? 2.2. Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 87,00. Quanto era a quantia que ele tinha e quanto ele gastou? 2.3. Um equipamento cujo preço de venda é de R$ 685,00 está sendo vendido, em uma promoção, com um desconto de 12%. Qual é o seu preço de venda? 2.4. O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é? 2.5. Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disto, seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que este imposto aumente para 60%, qual será o novo preço do carro? 2.6. Um imóvel está sendo vendido nas seguintes condições: 30% de entrada e o restante em 5 prestações iguais de R$ 58.800,00. Qual é o preço deste imóvel? 2.7. Um certo objeto custava R$ 70,00 e teve seu preço aumentado de R$ 10,50. Qual foi o percentual de aumento dado? 2.8. Um certo móvel está sendo vendido em duas lojas concorrentes em preços e condições diferentes. Na loja A ele custa R$ 800,00 e tem um desconto de 5%; na loja B, seu preço é de R$ 820,00 e o desconto dado é de 10%. Onde ele é mais barato? 2.9. Duzentos ingressos foram distribuídos entre 3 pessoas para serem vendidos. A primeira delas recebeu 90 ingressos e vendeu 80% deles. A segunda vendeu 40% dos 60 ingressos que recebeu. A última delas, recebeu 50 ingressos e vendeu 60% deles. Quantos ingressos foram vendidos no total? 2.10. Uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 5% e, a seguir, um acréscimo de 20%. Desta forma, qual foi a relação entre o preço final e o inicial?

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2.11. Uma mercadoria que custa R reais sofre um desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o novo preço fará com que a mercadoria fique custando quanto? 2.12. Nos últimos 6 meses, certa empresa efetuou três reajustes, de 30% cada, no preço de seu principal produto. O aumento total de preço nesse produto, nesses seis meses, foi percentualmente de quanto? 2.13. Um lojista, na tentativa de iludir a freguesia, deu um aumento de 25% nas suas mercadorias e, depois, as anunciou com 20% de desconto. Que conclusão podemos tirar dessa estratégia de vendas? 2.14. Uma loja aumentou em 20% o preço de um sapato que custa R$ 40,00. Ao entrar em liquidação, ela passou a oferecer o mesmo sapato com desconto de 20% para o pagamento à vista. Quanto você pagará pelo sapato se o comprar à vista? 2.15. A quantia de R$ 1.890,00 foi repartida entre 3 pessoas da seguinte forma: Marta recebeu 80% da quantia de Luis e Sérgio recebeu 90% da quantia de Marta. Quanto coube a cada um deles? 2.16. Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número total de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é: 2.17. Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo R$ 20,00 mais cara na loja B. Se a loja B oferecesse um desconto de 10%, o preço nas duas lojas seria o mesmo. Qual é o preço da mercadoria na loja A? 2.18. Na companhia ABC, 85% dos empregados não exercem cargo de chefia e 75% são mulheres. Se dois terços do que exercem cargo de chefia são homens, que proporção dos homens não exerce cargo de chefia? 2.19. A produção de uma fábrica aumentou 6% em um ano. O número de empregados dessa fábrica, no mesmo período, aumentou em 2,7%. Qual foi o aumento percentual de produção por empregado, nesse período? 2.20. Um lucro de 30% sobre o preço de venda de uma mercadoria corresponde a um acréscimo sobre o preço de custo de quanto? 2.21. Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros, dos quais 25% são de leite natural. A quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural é de quantos litros? 2.22. Uma loja instruiu seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria, nas compras com cartão de crédito, dividindo o preço à vista por 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da compra com cartão de crédito, em relação ao preço à vista, apresenta um desconto ou aumento de quanto? 2.23. A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se obter uma solução salina a 3% (sal) é de quantas gramas? 2.24. Num semestre a inflação foi de 32% e um trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador seja recomposto, o novo salário deverá, ainda, sofre um reajuste de quanto?

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2.25. Considere os dados da tabela abaixo referentes à População Economicamente Ativa (PEA) de uma determinada região, organizados por sexo e anos de estudo.

PEA Masculina PEA Feminina Até 4 anos de estudo

60% 50%

5 ou mais anos de estudo

40% 50%

100% 100% Se os homens são 60% da PEA dessa região, homens e mulheres com 5 anos ou mais de estudo representam quantos por cento da PEA da região? 2.26. Uma empresa, em Fortaleza, deu férias coletivas aos seus empregados. Se 48% deles viajaram para São Paulo, 28% para Recife e 12 pessoas ficaram em casa. Quantos empregados esta empresa tem? 2.27. Em um lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabe-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas. Quantas peças defeituosas existem no lote? 2.28. Um objeto custa hoje 12,7 vezes mais do que custava a 10 meses. Neste período houve um aumento de qual porcentagem? 2.29. Em um empreendimento, A entra com o capital de R$ 3.000,00 e B com R$ 2.000,00. Passados 4 meses, eles obtiveram um lucro de R$ 800,00. Qual será a parte de cada um? 2.30. Com um capital de R$ 50.000,00 aplicados em ações de uma certa empresa, obtive um lucro de R$ 7.500,00 ao final de um ano. Para obter uma renda mensal de R$ 5.000,00, quanto devo empregar em ações da mesma empresa? 2.31. Das peças produzidas num torno, sabe-se que 60% são perfeitas, 30% possuem pequenos defeitos e as restantes são descartadas por falta de qualidade. O preço de venda das peças perfeitas é de R$ 15,00 e daquelas com pequenos defeitos, de R$ 12,00. Quanto o fabricante lucrará com a produção de 400 peças se o seu preço de custo, para este lote, é de R$ 10,00 por peça? 2.32. Um tanque de combustível contém 240 litros de gasolina com 3% de álcool na mistura. Quantos litros de álcool devem ser adicionados para que este percentual passe a 5%? 2.33. Do preço de venda de um produto, um comerciante paga 20% de imposto. Do restante, 70% representam o seu custo. Sabendo que o valor do produto (custo) ao comerciante é de R$ 336,00, qual é o lucro da sua venda? 2.34. A fabricação de um produto em uma empresa foi de 120.000 toneladas no ano de 2000 e de 145.200 toneladas em 2002. O aumento anual médio deste produto, neste período, foi de qual percentual? 2.35. Uma pessoa dispõe de C reais para passar 15 dias na praia. Se ela resolver ficar 20 dias em lugar do 15 previstos, seu gasto diário médio deve ser reduzido em quanto? 2.36. Um artesão entrega seus produtos a um vendedor profissional que recebe uma comissão de 20% sobre o preço de venda V. O artesão deseja ter um lucro dos mesmos 20%, mas sobre o preço de custo C deste produto. Nestas condições, qual deve ser a relação entre os preços de venda e custo deste produto?

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2.37. Uma pesquisa pública efetuada em um terminal de ônibus da capital estadual, entre as pessoas que se encontravam nas filas ou proximidades dos pontos das linhas A e B, determinou que 60% dos usuários usavam a linha A; 45% usavam a linha B; e, 20% usavam ambas as linhas. Desta forma, a porcentagem dos usuários entrevistados que não usava nenhuma das linhas é de quanto? 2.38. Uma pessoa desejava comprar um lote de terra quadrado, mas o seu dinheiro não era suficiente. Assim, ele reduziu a medida de lado destas terras em 20%. Qual foi a redução da área comprada? 2.39. O custo de produção de uma peça é composto por: 30% para mão-de-obra, 50% para matéria-prima e 20% para energia elétrica. Admitindo-se que haja um reajuste de 20% no preço da mão-de-obra, 35% na matéria prima e 5% na energia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de qual fator? 2.40. O preço de compra de um certo produto é de x. Se ele for vendido por k haverá, em relação a x, um prejuízo de 20%. Então, se ele for vendido por 3k, haverá, em relação ao x, um lucro de quanto? 2.41. Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% delas são homens. Quantos deles devem sair para que a porcentagem de homens passe para 98%? 2.42. Numa classe de 100 alunos, 50 gostam de matemática e 40 de biologia. Sabendo que 10 alunos gostam das duas matérias, quais são os percentuais de alunos que gostam somente de matemática e que não gostam de nenhuma delas? 2.43. Em uma pesquisa com 30 pessoas sobre suas atividades bancárias, 15 delas trabalhavam com o banco A e 67% com o banco B. Qual é o percentual de pessoas que trabalham com os dois bancos? 2.44. Uma televisão foi vendida em 3 parcelas iguais de R$ 1.500,00 sendo a primeira delas paga no ato da compra. Considerando que a loja corrige o valor dos parcelamentos a uma taxa de 3% ao mês, qual seria o valor desta TV se fosse paga à vista? 2.45. Em uma universidade são lidos três jornais A, B e C. Sabe-se que 60% das pessoas lêem A; 40% lêem B; 30% lêem C; 20% lêem A e B; 15% lêem B e C; 10% lêem A e C; e, 2% das pessoas lêem os três jornais. Qual é o percentual de pessoas que leu apenas um dos três jornais? 2.46. Um muro retangular de 10m de comprimento por 2m de altura tem 40% da sua área pintada. Destes, 15% são pintados de azul. Determine a área do muro que está pintada de azul. 2.47. Um automóvel adquirido por R$ 20.000,00 foi vendido com 20% de lucro sobre o preço de venda. Quanto foi esse lucro em reais? 2.48. Roberta tinha uma certa quantia em dinheiro. Gastou 20% na compra de um livro e 5% do que restou na compra de um CD. Sabendo que ela ainda ficou com R$ 228,00, quanto custou o livro? 2.49. Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de um mesmo ano, o preço do quilograma de uma determinada mercadoria sofreu um aumento de 30%. Se, em 10 de novembro, este preço era de R$ 0,78, qual era o seu preço em 10 de fevereiro? 2.50. Num leilão, um imóvel foi arrematado por R$ 249.001,00. O comprador que fez a aquisição vai pagar via depósito bancário sobre o qual vai incidir 0,2% de imposto. De quanto deve ser este depósito para que sobre exatamente o valor do imóvel vendido?

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2.51. A fim de atrair sua clientela, uma loja anunciou um desconto de 20% em todas as suas mercadorias. Antes disso, entretanto, ela reajustou os preços de forma a não ter prejuízo na promoção. De quanto foi esse reajuste? 2.52. Considere as seguintes afirmações e diga quais delas são verdadeiras:

I. ( ) %% 2550 2 = II. %% 39 = III. %%% 853 =+ IV. %%% 1553 =⋅ 2.53. Dois supermercados vendem leite em pó, de uma mesma marca, ao mesmo preço de R$ 4,00 a lata. Numa promoção, o supermercado A oferece 4 latas de leite pelo preço de 3, enquanto que o supermercado B dá 20% de desconto a cada lata adquirida. Maria quer comprar 11 latas de leite e Joana deseja 12 latas. Onde cada uma delas deve fazer a compra? 2.54. Segundo a revista Veja, durante o ano de 1998, os brasileiros consumiram 261 milhões de litros de vinhos nacionais e 22 milhões de litros de vinhos importados. Esse artigo informou ainda que a procedência desse vinho importado ocorreu segundo a seguinte tabela:

Procedência % Itália 23%

Portugal 20% França 16% Chile 16%

Alemanha 13% Argentina 6%

Outros 6% Considerando esses dados, o valor percentual aproximado de vinhos procedentes da Itália e Portugal em relação aos vinhos nacionais é de quanto? 2.55. Uma empresa tinha uma máquina de fotocópia capaz de fazer 90 cópias por minuto. Esta máquina foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo trabalho que a antiga fazia em 1 hora de trabalho ininterrupto, quanto tempo ela vai levar? 2.56. A porcentagem de fumantes em uma cidade é de 32%. Se 3 em cada 11 fumantes pararem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12.800 pessoas. Calcule quantos habitantes existem nessa cidade e quantos são os fumantes. 2.57. Um trabalhando recebe um salário mensal para trabalhar 8 horas diárias. Trabalhando 2 horas extras todo o dia ele tem um acréscimo de 50% no seu salário. Qual a porcentagem que ele ganha a mais por cada hora extra? 2.58. Um vendedor oferece sua mercadoria na seguinte promoção: “Uma custa R$ 200,00; três unidades saem por R$ 450,00”. O cliente que comprar 3 unidades está tendo um desconto de quanto? 2.59. Um advogado contratado por Rodrigo consegue cobrar 80% de uma causa de R$ 200.000,00. Como ele cobra 15% de honorário sobre a quantia recebida, qual será a parte de Rodrigo? 2.60. Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e o restante em euros. Admitindo-se uma valorização de 10% no dólar e uma desvalorização de 2% no euro, o que acontecerá com a dívida dessa empresa?

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III. Juros 3.1. Introdução Entende-se por juros a remuneração fornecida pelo empréstimo de uma certa quantidade de dinheiro. Ela existe porque as pessoas necessitam do dinheiro em imediato ou não querem deixa-lo parado e se dispõem a pagar ou receber por isso. Os juros são responsáveis pelo equilíbrio entre oferta e demanda de capital. É o retorno obtido a partir de investimentos produtivos de capital. Pode ser imaginado como uma renda paga pelo usuário de uma certa quantia monetária àquele que de uma forma ou de outra cede o seu direito de uso dessa quantia. Para aquele que cede o dinheiro, existe a necessidade de uma recompensa financeira proporcional ao tempo dessa cedência e o risco envolvido na operação. O tempo, o risco e a disponibilidade de dinheiro definem de quanto será a remuneração a ser recebida pelo dinheiro, ou seja, qual será a taxa de juros.

A taxa de juros expressa um valor temporal. Pode ser definida como uma renda (na forma de uma taxa percentual) por um determinado período de tempo (geralmente um ano). Assim, uma taxa de 10% a.a. (ao ano) pode significar que uma renda de R$0,10 será paga para cada R$1,00 ao final de um ano, totalizando R$1,10. Desta forma, R$1,00 no começo do ano e R$1,10 no final do mesmo ano são valores equivalentes a juros de 10% a.a. Da mesma forma como R$1,00 no começo do ano e R$1,20 no final são valores equivalentes a juros de 20% a.a.

Vamos supor que uma pessoa aplique uma certa quantia (capital) em uma caderneta de

poupança por um determinado período de tempo (tempo). Esta aplicação é como se ela estivesse fazendo um empréstimo ao banco. Então, no final do período estabelecido, essa pessoa recebe uma certa quantia a mais (juros) como compensação. O valor dessa quantia é determinado por uma porcentagem (taxa de juros). Ao final da aplicação a pessoa terá em sua conta a quantia original (capital) mais os juros dados pelo banco, formando o montante final. Exemplo Um banco oferece um rendimento de 1,2% a.m. (ao mês) para uma certa carteira de aplicações.Se nela for aplicada a quantia de R$ 600,00, quanto o cliente irá receber após um mês de aplicação? Em primeiro lugar, determinamos quanto corresponde aos juros,ou seja, 1,2% de R$ 600,00. A essa porcentagem correspondem R$ 7,20. Assim, ao final do mês,o montante recebido será de R$ 607,20, correspondendo ao capital de R$ 600,00 acrescidos dos juros de R$ 7,20. 3.2. Termos Importantes Alguns termos e nomenclaturas são fundamentais para o trabalho com juros, vejamos:

• Capitalização: Corresponde ao critério que adotamos para calcular os juros em uma operação. Isto acontece, normalmente, em duas formas distintas de cálculo: simples ou composto.

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• Capitalização simples: Nessa modalidade os juros são calculados sempre partindo-se do capital inicial empregado, ou seja, o cálculo sempre se dá sobre o valor principal do capital.

• Capitalização composta: Aqui, os juros são calculados sobre o montante apurado no período de

tempo imediatamente inferior, ou seja, o cálculo é acumulativo, rendendo juros sobre juros. • Desconto: É o premio concedido ao usuário por antecipação da dívida ou em uma determinada

promoção. O próximo capítulo irá tratar exclusivamente de descontos.

• Inflação: diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido.

• Utilidade: investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é atraente

quando o capital recebe remuneração adequada, isto é, havendo preferência temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência do consumo. O prêmio para que não haja consumo é o juro.

• Risco: existe sempre a possibilidade do investimento não corresponder às expectativas. Isso se

deve ao fato de o devedor não poder pagar o débito, o tempo de empréstimo (as operações de curto prazo são menos arriscadas) e o volume do capital emprestado. Pode-se associar ao acréscimo na taxa pelo maior risco, como sendo um seguro que aquele que oferta os fundos cobra por assumi-los.

• Oportunidade: os recursos disponíveis para investir são limitados, motivo pelo qual ao se

aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e é preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório.

3.3. Componentes de uma Taxa de Juros

Uma taxa de juros é normalmente dividida em três partes. O mais comum é encontrar nessas taxas um componente devido à preferência temporal, um ao risco e outro à necessidade de correção monetária, apesar desses componentes não serem facilmente identificados na prática. Por exemplo, uma taxa de juros de 12% a.a. pode ser resultado de uma taxa que expressa preferência temporal (digamos 3% a.a.), mais uma parte pelo risco de inadimplência (digamos 2% a.a.), e outra parte por conta da reposição devida a alterações no poder de troca da moeda (digamos 7% a.a.).

Assumindo um nível geral de preços constante e uma situação sem riscos, a preferência

temporal expressa (em termos percentuais) o consumo adicional necessário para que um indivíduo se mostre indiferente entre possuir uma determinada quantia hoje e uma quantia maior no futuro. Quanto maior a taxa de preferência temporal, mais o indivíduo valoriza o consumo presente em oposição à possibilidade de obtenção de futuras gratificações. O componente de preferência temporal é freqüentemente chamado de juro “puro” ou “sem risco”. É a taxa média ganha em capitais investidos, livre situações imprevisíveis e de riscos de inadimplência.

Alguns investimentos não são tão seguros e apresentam um grande risco de inadimplência. A

exploração petrolífera, por exemplo, apresenta um risco muito maior do que uma caderneta de poupança. As instituições de empréstimo compensam o risco acrescentando um extra à taxa “pura”. Quanto mais arriscado o investimento, maior esse acréscimo. Por exemplo, uma instituição de crédito pode emprestar a uma taxa de 12% a.a. no caso de financiamentos segurados e a uma taxa de 15% a.a. no caso de financiamentos comuns. A diferença de 3% a.a. expressa o risco da última alternativa.

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O outro componente de uma taxa de juros, a correção monetária, deve ser incluída no cálculo

quando se antecipa a ocorrência de uma redução no poder de compra da moeda. De outra forma, as instituições de empréstimo não seriam adequadamente compensadas pelo uso do dinheiro que emprestam. Por exemplo, se uma determinada quantia em dinheiro é financiada a 10% a.a. e a inflação média anual é de 10% a.a., o tomador do empréstimo teria obtido um financiamento isento de juros. Naturalmente, o tomador gostaria desse negócio. Os financiadores, por outro lado, não. Neste caso, se considerada a inflação, a taxa de empréstimo real. Deveria ser acrescida dos 10% a.a. referentes à inflação.

As taxas correntes de empréstimo normalmente refletem os três componentes acima citados. Uma taxa de juros real inclui preferência temporal e risco, mas não inclui a inflação. A estimação da taxa de juros apropriada será retomada numa próxima seção, assim como os procedimentos adequados para tratar da inflação. No presente momento, consideraremos que a taxa de juros refletirá preferência temporal e risco, e poderá, dependendo do contexto, incluir os efeitos da inflação. 3.4. Juros Simples No regime de capitalização por juros simples, os juros de cada um dos períodos de tempo são calculados sempre sobre o capital inicial empregado, independentemente do período de tempo. Com isso, a taxa de juros torna-se constante sobre todo o tempo da aplicação. Por exemplo, vamos considerar a aplicação de R$ 100,00 pelo período de 6 meses a uma taxa de 5% a.m. sob o regime de juros simples. O comportamento dessa aplicação se dá conforme a seguinte tabela:

Mês Capital Juros( 5% do Capital Inicial)

Montante

1o R$ 100,00 R$ 5,00 R$ 105,00 2o R$ 105,00 R$ 5,00 R$ 110,00 3o R$ 110,00 R$ 5,00 R$ 115,00 4o R$ 115,00 R$ 5,00 R$ 120,00 5o R$ 120,00 R$ 5,00 R$ 125,00 6o R$ 125,00 R$ 5,00 R$ 130,00

Nesta situação, o total de juros da aplicação foi de R$ 30,00 em um prazo de 6 meses. Observe que, em todos os meses, os juros foram calculados sobre o capital inicial e não sobre o montante atualizado. Considerando então “C” com capital, “i” como taxa de juros em formato decimal e “t” o tempo da aplicação, teremos o seguinte comportamento: 1o período de tempo � Juros = C . i 2o período de tempo � Juros = C . i + C . i = 2 . C . i 3o período de tempo � Juros = C . i + C . i + C . i = 3 . C . i ...... .... to período de tempo � Juros = C . i + .... + C . i = t . C . i Desta maneira podemos propor uma fórmula para calcularmos o total dos juros em função do tempo de aplicação segundo o regime de capitalização de juros simples:

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tiCJ ⋅⋅= ou 100

tiCJ

⋅⋅=

A segunda fórmula deve ser utilizada caso a taxa de juros seja expressa em porcentagem e não em fração decimal. Para encontrarmos o montante final da aplicação basta fazermos:

( )tiCtiCCJCM ⋅+⋅=⋅⋅+=+= 1 Exemplo: a) A importância de R$ 600,00 foi aplicada numa instituição financeira a uma taxa de 2% ao mês, durante 4 meses, sobre regime de capitalização de juros simples. Quais foram os juros e o montante apurado após esse período?

Aplicando a fórmula dos juros termos que 484020600 =⋅⋅= ,J ou 48100

42600 =⋅⋅=J se

usarmos a taxa percentual. Em qualquer caso, os juros pagos serão de R$ 48,00. Para encontrarmos o montante, basta somar o juro ao capital ou aplicarmos a fórmula do montante: ( ) 64808160040201600 =⋅=⋅+⋅= ,,M � R$ 648,00 3.5. Juros Compostos Na seção anterior discutimos como ocorre a capitalização pelo regime de juros simples. Entretanto, é mais comum as aplicações serem feitas a juros compostos, ou seja, após cada período te tempo os juros são integrados ao capital, passando também a render juros. Ocorre o que popularmente se chama de “juros sobre juros”. Vamos tomar o mesmo exemplo da seção dos juros simples, onde R$ 100,00 foram aplicados pelo período de 6 meses a uma taxa de 5% a.m., só que agora vamos fazer isso com juros compostos. Veja o comportamento dessa aplicação na tabela abaixo:

Mês Capital Juros( 5% do Capital Atualizado)

Montante

1o R$ 100,00 R$ 5,00 R$ 105,00 2o R$ 105,00 R$ 5,25 R$ 110,25 3o R$ 110,25 R$ 5,51 R$ 115,76 4o R$ 115,76 R$ 5,78 R$ 121,54 5o R$ 121,54 R$ 6,07 R$ 127,61 6o R$ 127,61 R$ 6,38 R$ 133,99

Nessa situação, a taxa de 5% foi aplicada sobre o montante produzido no período imediatamente anterior ao atual, ou seja, para calcular o montante do 5o mês, aplicou-se 5% sobre o montante do mês anterior (4o mês). Nos juros compostos, podemos propor uma fórmula que nos permita calcular o valor total do montante produzido após um certo período de tempo. Somente após conhecermos o montante podemos

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determinar os juros através da diferença dos dois valores. Vejamos com acontece o cálculo do montante: 1o período de tempo � M1 = C + i . C = C ( 1 + i ) 2o período de tempo � M2 = M1 + i . M1 = C( 1 + i )(1 + i ) = C (1 + i )2 3o período de tempo � M3 = M2 + i . M2 = C( 1 + i )2 ( 1 + i ) = C( 1 + i )3 ......... ........... to período de tempo � Mt = Mt-1 + i . Mt-1 = C( 1 + i )t-1 (1 + i ) = C( 1 + i )t Desta maneira teremos o montante final determinado por:

( )tiCM +⋅= 1

Como M = C + J, os juros da aplicação podem ser obtidos pela diferença:

( )( )[ ]11

1

−+=

−+=

−=

t

t

iCJ

CiCJ

CMJ

Observe que para determinarmos o montante, ou seja, o capital corrido após um certo tempo,

devemos multiplicar este capital por ( )ti+1 . Por outro lado, se desejamos saber o valor atual do dinheiro, ou seja, se dispomos do montante em uma certa época e queremos saber quanto ele vale hoje, devemos dividir esse montante pelo mesmo fator:

( )ti

MC

+=

1

Exemplo: a) A importância de R$ 600,00 foi aplicada numa instituição financeira a uma taxa de 2% ao mês, durante 4 meses, sobre regime de capitalização de juros compostos. Quais foram os juros e o montante apurado após esse período? Por se tratar de juros compostos, vamos primeiro determinar o montante apurado:

( )( )

46649

082432161600

0201600

14

,

,

,

=⋅=

+⋅=

+⋅=

M

M

M

iCM t

Agora que temos o montante de R$ 649,46 produzido, determinamos que os juros foram de:

46490060046649 ,,, =−=−= CMJ � R$ 49,46 b) Quanto irá render uma aplicação de R$ 80.000,00 feita à taxa de 12% ao ano, durante 3 anos, segundo os cálculos de juros compostos?

Calculamos o montante produzido: ( ) 24394112404928100080120100080 3 ,.,.,. =⋅=+⋅=M Assim, o montante final de R$ 112.394,24 produziu juros de: R$ 32.394,24

26

3.6. Relação entre Juros Simples e Compostos A comparação entre juros simples e compostos nem sempre é tão óbvia quanto parece. Nós temos sempre a impressão de que o uso de juros compostos produz juros em quantidade maior do que o cálculo através de juros simples. Isto nem sempre é verdade.

Vamos considerar o seguinte exemplo: um corretor de imóveis tem uma dívida de R$ 1.200,00 com um banco a ser paga em 18 dias com taxa de 6% ao mês. Vamos fazer os cálculos com juros simples e compostos e observar os resultados:

Juros Simples � ( ) 2024310361120030

18060112001 ,.$,, RtiCM =⋅=

⋅+⋅=⋅+⋅=

Juros Compostos � ( ) ( ) 69,242.1$035,1120006,0112001 3018

RiCM t =⋅=+⋅=+⋅= Veja que na situação descrita acima, o pagamento da dívida com o cálculo de juros compostos é mais vantajoso ao cliente do que se o mesmo fosse realizado com juros simples. Quem determina isso é o tempo da aplicação. Esse tipo de situação irá acontecer sempre que o tempo for inferior a 1 (um). Veja que nesse caso, o tempo é de 0,6 (18 dias de um total de 30). Desta forma, podemos formular a seguinte tabela:

Quando t > 1 Juros Compostos > Juros Simples Quando t = 1 Juros Compostos = Juros Simples Quando t < 1 Juros Compostos < Juros Simples

Podemos mostrar isso através de um gráfico de comportamento entre os resultados dos dois tipos de juros em função do tempo de aplicação:

Convenção Linear: esta convenção consiste em desdobrar a capitalização pelo regime de juros compostos pela parte inteira do período e pelo regime de juros simples na parte não inteira ou decimal do período. Por exemplo: uma empresa aplicou um capital de R$ 350.000,00 durante 4,6 meses, através da convenção linear, a juros de 4% ao mês. Desta forma, calcula-se a aplicação através de juros compostos por 4 meses e por juros simples pelo período de 0,6 meses ou 18 dias. O montante apurado foi de R$ 419.277,30.

27

3.7. Homogeneidade entre Taxa e Tempo É muito importante salientar que a unidade de tempo usada para determinar a taxa de juros e aquela utilizada para o período da aplicação deve ser as mesmas. Ou seja, não é possível obtermos um resultado correto se, por exemplo, utilizarmos uma taxa de juros definida mensalmente para um período semestral ou anual. Desta maneira, devemos converter a taxa de juros para o mesmo período da aplicação antes do cálculo. Nessa tarefa alguns cuidados devem ser tomados pois a medida de tempo comercial é distinta da medida de tempo civil. A medida civil é chamada de “medida exata” enquanto que a outra é a “medida comercial”. Veja:

Unidade Medida Civil Medida Comercial Mês Variável 30 dias Ano 365 dias 360 dias

As medidas não presentes nessa tabela são sempre proporcionais. Por exemplo, o semestre comercial tem 180 dias exatos. Da mesma maneira, a medida comercial é independente do tempo civil, ou seja, comercialmente, fevereiro também tem 30 dias. Exemplo a) Qual é a taxa equivalente a 18% a.a. em uma capitalização diária? Considerando que o ano comercial tem 360 dias, temos uma taxa diária de 0,05 ao dia, pois:

%,%

050360

18 ==i

b) A taxa de juros de 3% ao mês equivale a qual taxa diária?

%,%

1030

3 ==dias

i ao dia

c) Uma taxa de 4,5% ao mês equivale a qual porcentagem por ano? %%, 541254 =⋅=i ao ano 3.8. Equivalência entre Taxas 3.8.1. Taxa Efetiva ou Real É aquela taxa em na qual a unidade de tempo usada na taxa é a mesma unidade de tempo utilizada nos períodos de capitalização. Por exemplo, usar uma taxa de 3% a.m. em uma capitalização mensal; usar 4%a.a. em um valor aplicado anualmente; ou ainda, usar 1,2% a.d. para um valor aplicado diariamente. 3.8.2. Taxa Nominal É aquela taxa na qual não há coincidência entre unidade de referência do seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal em geral é fornecida em termos anuais e os períodos são mensais.

28

Por exemplo, podemos ter 12% ao ano e um capital aplicado mensalmente. Isto significa uma taxa efetiva de 1% ao mês. Ou ainda, 24% ao mês para uma aplicação diária, onde ocorre uma taxa efetiva de 0,8% ao dia. 3.8.3. Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando formam uma proporção com os tempos aos quais elas se referem, mantendo entre si a mesma razão que os períodos de tempo ao que se referem. Assim, por exemplo, uma taxa de 48% ao ano é proporcional a uma taxa 24% ao semestre ou uma taxa de 4% ao mês. 3.8.4. Taxas Equivalentes As taxas são equivalentes quando forem aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período, e produzirem juros também iguais.

Quando se tratar de juros simples, toda taxa que for equivalente é também proporcional. Assim, uma taxa de 48% ao ano é equivalente a uma taxa de 4% ao mês ou 12% ao trimestre.

Para encontrarmos uma taxa equivalente no regime de capitalização composto podemos usar a

fórmula ( ) ( ) 21. 11 nn

equiv ii +=+ e isolarmos a variável que indica a taxa equivalente. Nessa

fórmula, n1 representa a unidade de medida atual do tempo e n2 aquela que desejamos encontra.

Por exemplo vamos determinar a taxa anual equivalente a uma taxa mensal de 3%. Por termos uma taxa mensal, teremos n1 = 1 mês e n2= 12 meses (equivalente ao ano). Veremos:

( ) ( )

%57,42

425760887,0

1425760887,1

425760887,11

)03,1(1

03,01112

121

≅

=

−=

=+

=+

+=+

equiv

equiv

equiv

equiv

equiv

equiv

i

i

i

i

i

i

3.9. Valor do Dinheiro no Tempo

A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo: alguém que dispõem de um capital C (chamado de principal), empresta-o a outra pessoa por um certo período de tempo. Após este período, ele recebe o seu capital C de volta, acrescido de uma remuneração J pelo empréstimo. Como já vimos, essa remuneração é chamada de juro. Exemplo: a) Pedro tomou um empréstimo de R$100,00. Dois meses depois, pagou R$140,00. Os juros pagos por

Pedro são de R$ 40,00 e a taxa de juros é %, 40400100

40 == ao bimestre. O principal, que é a dívida

inicial de Pedro, é igual a R$ 100,00 e o montante, que é a dívida de Pedro na época do pagamento, é igual a R$ 140,00. Devemos ficar atentos para o fato que Pedro e quem lhe emprestou o dinheiro concordaram que R$ 100,00 no início do referido bimestre tem o mesmo valor que R$140,00 no final

29

deste bimestre. É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida. Neste exemplo, quantias diferentes (R$ 100,00 e R$ 140,00), referidas a épocas diferentes, tem o mesmo valor.

São exemplos de erros comuns em raciocínios financeiros:

Achar que R$ 140,00 tem valor maior que R$ 100,00. R$ 140,00 tem maior valor que R$ 100,00, se referidos à mesma época. Referidos a épocas diferentes, R$140,00 podem ter o mesmo valor que R$100,00 (veja o exemplo anterior) ou até mesmo um valor inferior. Todos nós gostaríamos de receber R$ 100.000,00 agora do que R$ 140.000,00 daqui a 6 anos. Entretanto, estes R$ 100.000,00 colocados em uma caderneta de poupança, a uma taxa de juros de 0,5% ao mês, seriam transformados, depois de 72 meses em R$ 143,204,43.

Achar que R$100,00 têm sempre o mesmo valor que R$ 100,00. Na verdade, R$ 100,00 hoje valem mais que R$100,00 daqui a um ano.

Somar quantias referidas a épocas diferentes. Nós veremos em alguns dos próximos exemplos que essa estratégia pode ser equivocada.

Exemplo: a) Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um eletrodoméstico: três prestações mensais de R$ 50,00 cada, ou cinco prestações mensais de R$ 31,00. Em qualquer caso, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro vale 5% ao mês para Pedro, qual é a melhor opção que Pedro possui? Vamos analisar a situação do dinheiro de Pedro em cada um dos dois casos. Sabemos que ele consegue fazer seu dinheiro rende 5% ao mês (ou evitar sua desvalorização nessa proporção). Portanto:

( ) ( )

97,142$35,4562,475005,01

50

05,01

5050

211 RV =++=+

++

+=

( ) ( ) ( ) ( )90140502577261128522931

0501

31

0501

31

0501

31

0501

3131

43212

,$,,,,

,,,,

R

V

=++++=

=+

++

++

++

+=

Nos cálculos acima, V1 representa o valor a ser arrecadado com a aplicação do dinheiro das parcelas de R$ 50,00 e V2 indica a situação idêntica para as parcelas de R$ 31,00. Pelo resultado obtido observa-se que o pagamento em 5 parcelas será vantajoso para Pedro pois sua perda será menor. Observe que, nessa conta, após o final da segunda parcela, o valor da parcela de R$ 31,00 foi antecipado, ou seja, calculado pelo seu valor naquele momento. b) Pedro tem agora três opções de pagamento na compra de um equipamento de som que custa R$ 300,00:

À vista, com 3% de desconto, pagando R$ 291,00; Em duas prestações iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra,

sendo cada uma delas de R$ 150,00; Em três parcelas iguais de R$ 100,00, vencendo a primeira no ato da compra;

Sabendo que o dinheiro vale para Pedro, nessa situação, 2,5% ao mês, qual é a sua melhor

opção de compra?

Observe essas três situações distribuídas no tempo:

30

Sabemos que o primeiro valor é de R$ 291,00. Vamos antecipar os outros dois:

7429202501

100

02501

100100

1128902501

150

02501

150

291

23

22

1

,),(),(

,),(),(

=+

++

+=

=+

++

=

=

V

V

V

A melhor opção de compra para Pedro, nesse caso, é o pagamento em duas parcelas de R$ 150,00 pois é onde ele obtém o melhor preço final pelo produto. c) Uma loja vende um mesmo produto por R$ 200,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 125,00, sendo a primeira paga no ato da compra. Quais são os juros embutidos nesse negócio? Nessa situação, devemos considerar que o valor pago nas duas parcelas equivale no tempo ao valor pago a vista. Assim, antecipando esses valores, deveremos tem o preço da mercadoria à vista:

i++=

1

125125200

Caso venhamos a isolar a variável i dessa equação teremos que i= 0,6666.... Isso nos indica uma taxa de juros embutida de, aproximadamente, 66% ao mês. Exercícios 3.1. O capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual foi o montante após 5 meses de aplicação? 3.2. Quanto rendeu a quantia de R$ 1.300,00 aplicada a juros simples, com taxa de 2,5% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses? 3.3. Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês resultou no montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo dessa aplicação? 3.4. Uma dívida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo desses juros foi feito por capitalização simples, qual foi a taxa aplicada? 3.5. Um capital aplicado a juros simples rendeu, a taxa de 25% ao ano, juros de R$ 1.100,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital? 3.6. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, a uma taxa de 2% ao mês?

31

3.7. Quanto foi aplicado, a taxa de 2% ao mês, para obtermos um juro anual de R$ 48,00 segundo a capitalização de juros simples? 3.8. Um terreno valoriza 300% em 4 anos. Qual é a taxa anual envolvida na operação? 3.9. Um lote está à venda com a seguinte promoção: à vista tem 10% de desconto; a prazo tem acréscimo de 20%, em duas parcelas iguais, com a primeira paga no ato da compra. Qual é a taxa mensal envolvida na operação de venda do lote a prazo?

3.10. Raphaela colocou 32 do seu capital aplicado a juros simples com taxa de 36% ao ano e o

restante, ainda a juros simples, a uma taxa de 1,5% ao mês. No final de um ano, ela recebeu um montante de R$ 234.000,00. Qual foi o capital investido? 3.11. Qual é o montante que, diminuído de seus juros simples de 18 meses à taxa de 6% ao ano, reduz-se a R$ 8.736,00? 3.12. Fabrício aplicou uma certa quantia, à taxa de juros simples de 5% a.m. durante 90 dias, resgatando um montante de R$ 900,00. Quanto ele auferiu de juros nessa operação? 3.13. Em quantos dias um capital aplicado à juros simples a uma taxa de 12% ao mês, rende juros igual a décima parte do seu valor? 3.14. Um capital de R$ 5.000,00, aplicado à juros simples, a uma taxa de 3,6% ao mês, durante 20 dias, rende qual montante? 3.15. Uma corretora investiu R$ 200.000,00 em um fundo de investimento que rendia 15% ao ano. Considerando que a empresa investiu durante 450 dias, calcule quanto ela ganhará de juros considerando o critério de juros simples comerciais. 3.16. Calcule o valor de juros recebido por uma aplicação de R$ 120.000,00 por 40 dias à taxa de 5% ao ano nas modalidades de juros simples exatos (365 dias) e comerciais (360 dias). 3.17. Um banco emprestou a uma empresa uma certa quantia capitalizada por juros simples à taxa de 7,5% ao ano. Este empréstimo, no período de 25 de abril até 17 de setembro, rendeu R$ 500,00 de juros. Qual foi o capital emprestado? 3.18. Uma empresa possui R$ 40.000,00 para serem aplicados em fundos de investimento. Desse montante, 40% são aplicados no fundo A que oferece uma taxa de 4% ao ano a juros comerciais e o restante foi aplicado no fundo B que oferece uma taxa de 8% ao ano segundo o critério de juros exato. Se o prazo de aplicação foi de 80 dias e o regime de capitalização foi simples, qual será a quantia recebida pela empresa como juros? 3.19. Rodrigo aplicou R$ 6.000,00 a 9% de juros compostos ao bimestre, durante 1 ano e 8 meses. Qual foi o capital acumulado? 3.20. Sabrina aplicou R$ 4.200,00 em um fundo de investimento recebendo R$ 6.300,00 após três meses. Qual foi a taxa de juros compostos pagos pelo investimento? 3.21. Calcule o montante final do capital de R$ 30.000,00 aplicados a juros compostos de 5,5% ao mês durante 2,5 bimestres.

32

3.22. O capital de R$ 500.000,00 foi aplicado a 7% de juros compostos ao mês. Qual foi o valor dos juros após 14 meses de aplicação? 3.23. A quantia de R$ 65.000,00 foi aplicada a taxa de 8% ao trimestre em juros compostos, durante 5 anos. Qual foi o capital acumulado? 3.24. Um capital foi aplicado a juros compostos durante 10 meses a uma taxa de 5% ao mês. A que taxa de juros simples o mesmo capital deveria ser aplicado no mesmo prazo para produzir o mesmo montante? 3.25. Em quantos meses a aplicação de R$ 100.000,00 transformam-se em R$ 210.485,19 se forem aplicados a 7% ao mês em juros compostos? 3.26. Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 30.000,00 a juros compostos, a uma taxa de 25% ao ano, para produzirmos um montante de R$ 73.242,19? 3.27. O capital de R$ 55.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses e o montante produzido foi de R$ 70.755,65. Qual foi a taxa dessa aplicação? 3.28. Aplicando uma certa quantia na caderneta de poupança, a juros mensais de 1%, durante 2 meses, os juros obtidos são de R$ 200,00. Qual foi a quantia aplicada se o regime foi de juros compostos? 3.29. Henrique tem duas opções para comprar computadores novos para sua empresa: 4 prestações mensais de R$ 1.500,00 ou 9 prestações mensais de R$ 700,00. Em ambos os casos a primeira prestação deve ser paga no ato da compra. Sabe-se que Henrique consegue fazer o seu dinheiro render, à juros compostos, 3% ao mês. Desta forma, qual seria a melhor opção de compra para ele? 3.30. O capital de R$ 1.000,00 foi aplicado do dia 10 de julho ao dia 25 do mês seguinte segundo a convenção linear, a uma taxa de 21% ao mês. Quais foram os juros obtidos? 3.31. Luis fez uma aplicação de R$ 12.000,00 por 30 meses, a taxa de 21% ao ano. Determine o montante apurado segundo juros simples, juros compostos e pela convenção linear. 3.32. Qual é a taxa semestral equivalente a taxa de 4,5% ao bimestre em juros compostos? 3.33. Se um banco deseja ganhar 435,02% ao ano de taxa efetiva, que taxa nominal mensal deverá pedir para uma capitalização calculada mensalmente? 3.34. O preço à vista de um automóvel é de R$ 25.000,00. Uma pessoa deseja compra-lo e só dispõem de 30% para a entrada, financiando os 70% restantes em 18 meses, com prestações iguais. Determine o valor de cada prestação sabendo que a compra se deu a uma taxa de 30% ao ano segundo o cálculo de juros compostos. 3.35. A que taxa mensal deve ser aplicado o capital de R$ 630.000,00 para que, em 2 anos e 6 meses, venha a render em juros simples o equivalente a 60% de si mesmo? 3.36. Calcule o capital que deve ser aplicado a juros compostos por um período de 8 meses, a uma taxa de 4% ao mês, para que produza um montante de R$ 3.831, 3.37. Determine o tempo que deve ser aplicado, a juros compostos, o capital de R$ 7.200,00, à 2% ao mês, para que seja produzido um montante de R$ 8.270,53

33

3.38. Um depósito é feito em uma caderneta de poupança, com capitalização composta, rendendo juros no valor de R$ 1.250,00 por um período de 1 ano e 8 meses, a uma taxa de 3,75% ao mês. Qual foi o montante produzido 3.39. Duas aplicações a juros simples foram feitas pelo mesmo prazo. A primeira delas a uma taxa de 4,5% ao mês e rendeu R$ 29.160,00 de juros. A segunda, a uma taxa de 3,8% ao mês, rendeu R$ 14.364,00 de juros. Calcule os valores e o prazo dessas aplicações sabendo que a diferença entre elas é de R$ 50.000,00. 3.40. Um televisor custa, à vista, R$ 1.260,00. Vou compra-lo em 5 prestações mensais, pelo preço total de R$ 2.268,00. Qual é taxa mensal se a capitalização ocorreu por juros simples? 3.41. Certo negociante pagou R$ 560.000,00 pelo empréstimo da quantia de R$ 500.000,00 durante 1 mês. Qual foi a taxa percentual de juros usada? 3.42. Aplicaram-se R$ 2.000,00 em um período de 2 meses, à taxa de 30% e 35% cada um dos meses. Qual será o montante no final da aplicação? 3.43. Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00 ou por R$ 20,00 de entrada mais dois pagamentos mensais de R$ 20,00, então ela está cobrando uma taxa de 10% ao mês de juros sobre o saldo devedor. Isto está correto? 3.44. Em qual situação a aplicação de R$ 4.000,00 terá mais rendimento e de quanto será esse rendimento a mais: no sistema de juros simples, à taxa de 3% ao mês durante 2 meses; ou, no sistema de juros compostos, a taxa de 2% ao mês, por um período de 3 meses? 3.45. Michele comprou uma calça em 4 vezes (1 + 3) de R$ 35,00 e Jaqueline comprou uma calça idêntica em outra loja e pagou em 3 vezes, sem entrada, de R$ 45,00 cada uma. Ambas usaram dinheiro aplicado em bancos diferentes. A aplicação de Michele rende 1,2% ao mês e a de Jaqueline, 1% ao mês. Qual das duas fez o melhor negócio? 3.46. Um investidor aplica R$ 300,00 a uma taxa de juros simples de 3% ao mês, durante um trimestre e faz outro investimento, de outra quantia, a uma taxa de juros simples de 4% ao mês durante 2 meses. Sabendo-se que em ambos os investimentos foi recebido a mesma quantia de juros, qual foi o valor investido no segundo caso?

3.47. Um capital foi aumentado de 53 do seu valor quando aplicado à taxa de juros simples de 3% ao

mês. Qual foi o tempo de aplicação? 3.48. Um capital aplicado à juros simples em uma taxa de 8% ao mês triplica em quanto tempo? 3.49. Quanto tempo é necessário para que um capital renda 94,79% ao ser aplicado a juros compostos em uma taxa mensal de 4%? 3.50. Calcule o capital que produz o montante de R$ 84.772,80 a taxa de 16% ao mês de juros compostos em 2 meses. 3.51. Uma loja venda um equipamento por R$ 150,00 à vista ou, à prazo, por R$ 165,40, com R$ 40,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juros simples cobrada nesse negócio? 3.52. Um investidor aplica 2/5 de seu capital a 3,5% a.m. e o restante a 24% ao semestre. Decorridos 2 anos, 3 meses e 15 dias, recebe um total de R$ 313.500,00 de juros. Calcular o seu capital.

34

3.53. Um investidor aplicou R$ 120.000,00 a 42% a.a. Decorrido um certo tempo, a taxa foi diminuída para 3% ao mês. Calcular o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao mês, sabendo que em 7 meses os juros totalizaram R$ 27.000,00. 3.54. Duas aplicações, uma à taxa de 4,8% ao mês e a outra a 3,6 ao mês, renderam, em 1 ano e 3 meses, R$ 99.000,00 de juros. Calcular cada uma dessas aplicações, sabendo que os juros da primeira excederam os da segunda em R$ 1.800,00 3.55. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. 3.56. Você está com 20 anos e considerando aplicar R$1.000 numa conta de poupança que está pagando 8% ao ano, por 45 anos. Quanto você deverá ter na conta, na idade de 65 anos? Quanto deste valor seria de juros simples, e quanto seria de juros compostos? Se você pudesse encontrar uma conta pagando 9% ao ano, quanto mais você terá na idade de 65? 3.57. Você tem R$10.000 para investir por dois anos e se deparou com a seguinte decisão de investimento. Investir em CDBs de dois anos que está pagando 12% nos dois anos ou em CDBs de um ano que estão pagando 6%. O que você faria? 3.58. Cinqüenta anos após a sua graduação, você recebeu uma carta de sua faculdade notificando que eles acabaram de descobrir que você não pagou sua última matrícula das atividades estudantis no valor de R$100 naquela época. Devido a isto ter sido um engano da sua faculdade, ela decidiu cobrar de você uma taxa de juros de apenas 6% ao ano. Sua faculdade gostaria que você pagasse isso durante o qüinquagésimo encontro dos ex-alunos da sua turma de graduação. Como um bacharel fiel, você se sente obrigado a pagar. Quanto você deve a eles? 3.59. Uma imobiliária vende um terreno por R$ 20.000,00 à vista. Como alternativas a seus clientes, oferece dois planos de pagamento:

• Plano A: entrada de R$ 6.000,00 mais 4 prestações trimestrais de R$ 4.420,00; • Plano B: entrada de R$ 3.000,00 mais 8 prestações trimestrais de R$ 2.800,00;

Qual seria a melhor opção de compra para um cliente que aplica seu dinheiro a 10% ao trimestre? 3.60. Suponhamos que o seu filho acabou de nascer e como cliente preferencial do Banco Alfa você foi convidado a presenteá-lo com uma poupança de R$1.000,00, com a condição que só poderá ser retirado quando nascer o seu tataraneto (= bisneto do seu filho) daqui a 90 anos, e o saldo deverá ser dado a ele como um presente seu. O Banco afirma que em todo este período o dinheiro irá dobrar a cada 9 anos. Quanto seu tataraneto poderá sacar?

35

IV. Descontos 4.1. Introdução

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.

Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são:

A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.

A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.

A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:

que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento;

que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse

benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto. As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título.

As pessoas costumam confundir desconto com valor descontado. Valor descontado é o valor

nominal do título após sofrer o desconto, ou seja, é o valor que ele recebe na data de antecipação do seu vencimento. Desconto é a diferença entre o valor devido e aquele pago pelo título. Ainda em relação a isto:

dia do vencimento é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação; valor nominal N (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado no

título (importância a ser paga no dia do vencimento); valor atual A é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: A = N - d tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o

de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro.

desconto d é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual, isto é : d = N - A.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou valor atual. No

primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.

36

4.2. Desconto Racional Considera-se “Desconto por Dentro ou Racional” aquele desconto calculado pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual do título:

Desconto(D) = Valor Nominal(VN) – Valor Atual(VA)

A relação entre esses valores é dada por um fator de capitalização (taxa) que pode ser simples ou composta. Considerando o cálculo das respectivas capitalizações nessas duas modalidades, teremos que:

( ) ( )ti

VNVAtiVAVN

⋅+=⇔⋅+⋅=

11 � Juros Simples

e

( )( )t

t

i

VNVAiVAVN

+=⇔+⋅=

11 � Juros Compostos

Exemplo: a) Um título no valor nominal de R$ 4.800,00 é resgatado 2 meses antes do seu vencimento pelo critério de desconto racional simples. Qual foi o valor descontado sabendo que a taxa de juros envolvida na operação foi de 10% ao mês.

Vamos calcular o valor atual desse pagamento: 000421001

8004

1.

,. =

⋅+=

⋅+=

ti

VNVA

Como o pagamento atual do título será de R$ 4.000,00, obtemos, por diferença, que o valor do desconto é de:

D = 4.800 – 4.000 = R$ 800,00 b) Considere o mesmo exemplo anterior, mas calculando o desconto na modalidade de desconto racional composto. Vamos fazer a mesma coisa que aconteceu no exemplo anterior, mas vamos usar a fórmula dos juros compostos:

( ) ( )94,966.3$

10,01

800.4

1 2R

i

VNVA

t=

+=

+=

O desconto é obtido, mais uma vez, pela diferença entre os valores pagos:

D = 4.800 – 3.966,94 = R$ 833,06 c) Calcule o desconto racional, simples e composto, para um título de R$ 16.000,00 que foi pago 3 meses do seu vencimento a uma taxa de 2,6% ao mês. Vamos calcular o valor atual nas modalidades simples e composto:

30842140781

00016

302601

00016

1,.$

,.

,.

Rti

VNVAsimples ==

⋅+=

⋅+=

37

( ) ( )8181414

08001

00016

02601

00016

1 3,.$

,.

,

.R

i

VNVA

tcomposto ==+

=+

=

Por diferença verificamos que o desconto racional simples foi de R$ 1.157,70 e o desconto racional composto de R$ 1.185,19. 4.3. Desconto Comercial O desconto comercial, bancário ou “por fora” é calculado pelo valor dos juros envolvidos na operação quando calculados sobre o valor nominal, na taxa e no prazo que será efetuada a operação. Vejamos:

tiVND ⋅⋅= desta forma, teremos o valor atual determinado por

( )tiVNtiVNVNDVNVA ⋅−⋅=⋅⋅−=−= 1 Assim,

( )tiVNVA ⋅−⋅= 1 Exemplo: a) Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: o valor do desconto comercial e o valor atual comercial. Em primeiro lugar, precisamos calcular o desconto comercial envolvido na operação. Vejamos:

00890151021000060 ,.$,,. RtiVND =⋅⋅=⋅⋅= Feito isso, calculamos o valor atual a ser pago abatendo o desconto fornecido do valor nominal do título, ou seja:

VA=60.000 – 1.890 = R$ 58.110,00 Desta forma, o valor de R$ 58.110,00 será o valor atual a ser pago na antecipação deste título em 45 dias. b) Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Mais uma vez, vamos calcular o desconto, mas agora, vamos obtê-lo através da diferença entre o valor nominal e o valor atual pago pelo título:

D = 6.900 – 6.072 = R$ 828,00 Sabemos que este desconto veio do cálculo de antecipação do valor, assim, podemos determinar o tempo desta antecipação:

38

3276

828

0406900828

==

⋅⋅=⋅⋅=

t

t

tiVND

,

Desta forma, determinamos que a antecipação foi de 3 meses (meses pois a taxa de juros é mensal). 4.4. Relação entre os Descontos Simples Podemos comparar os dois descontos simples, racional e comercial, usando a seguinte relação:

Dcomercial = Dracional . (1 + i . t) Desta maneira, se tivermos os dois descontos, racional e comercial, podemos calcular o valor nominal de um título pela fórmula:

racionalcomercial

racionalcomercial

DD

DDVN

−⋅

=

Exercícios 4.1. Se tenho um título com valor nominal de R$ 30.000,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples correspondente a 10% ao ano, qual o valor racional deste título hoje? 4.2. Um título com valor nominal de R$ 15.000,00, com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% ao ano, qual é o seu valor comercial daqui a um ano? 4.3. Calcule o desconto racional simples e o valor de um título resgatado 5 meses antes do seu vencimento, sabendo que a taxa combinada foi de 12% ao ano e com valor nominal de R$ 3.000,00. 4.4. Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 4.000,00 é descontada em um banco 60 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, pede-se:

a) desconto comercial simples; b) valor descontado comercialmente; c) valor descontado racionalmente; d) desconto racional simples;

4.5. Um título no valor de R$ 8.000,00, descontado comercialmente à uma taxa de 0,5% ao dia, produziu um desconto equivalente a R$ 1.000,00 em qual prazo? 4.6. Um título foi descontado 5 dias antes do seu vencimento, sofrendo um desconto por fora à taxa de 36% ao mês. Sabendo-se que o devedor pagou R$ 16.920,00 pelo título, qual era o seu valor original? 4.7. Um título com vencimento em dois meses tem o valor nominal de R$ 18.000,00 e o seu valor atual é de R$ 12.000,00. Qual é o fator de desconto comercial que ele teve? 4.8. Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 44.276,00 dois meses antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% ao ano, calcule o valor pago pela duplicata.

39

4.9. Ache a diferença entre os descontos comercial e racional de um título de R$ 5.000,00 descontado a 2,5% ao mês em juros simples, 90 dias antes do seu vencimento. 4.10. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:

a) o valor do desconto racional simples e composto; b) o valor atual raciona simples e compostol;

4.11. Uma duplicata de R$ 120.000,00 foi descontada por R$ 104.640,00, 4 meses antes do vencimento. Calcular a taxa de desconto racional simples e composto. 4.12. Uma duplicata de R$ 230.000,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 191.360,00. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4,5% ao mês. 4.13. Calcular o valor nominal de um título com vencimento para 3 meses, sabendo que a diferença entre os seus descontos comercial e racional, à taxa de 4% ao mês, é de R$ 3.034,29. 4.14. Calcular o tempo de antecipação do resgate de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal é seis vezes o do desconto comercial, a 5% ao mês. 4.15. Duas promissórias, uma de R$ 50.000,00, vencível em 90 dias, e outra de R$ 90.000,00, vencível em 150 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, a ser efetuado dentro de 60 dias. Qual é o valor desse resgate à taxa de desconto comercial de 3,5% ao mês? 4.16. Uma empresa descontou dois títulos num banco. Um de R$ 240.000,00 para 90 dias e outro de R$ 160.000,00 para 180 dias. Desejando substituí-los por um título único, com vencimento para 60 dias, calcular o valor nominal deste último, supondo que permaneça inalterada a taxa de desconto (comercial) de 3,5% ao mês. 4.17. Uma empresa tem três títulos descontados num banco com valores de R$ 50.000,00, R$ 180.000,00 e R$ 70.000,00,a vencerem respectivamente em 90, 150 e 180 dias. Desejando substituí-los por dois outros de valores nominais iguais, para 60 e 120 dias, calcular o valor nominal comum, supondo que a taxa de desconto comercial é de 3,5% ao mês para todas as transações. 4.18. Três títulos cujos valores são: R$ 230.000,00, R$ 180.000,00 e R$ 140.000,00, com vencimento para 30, 60 e 90 dias, respectivamente, foram substituídos por dois outros de R$ 300.000,00 cada um, vencíveis em 120 e 180 dias. Calcular a taxa de desconto comercial, supondo que seja a mesma para toda a transação. 4.19. Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota o desconto comercial simples. O valor deste desconto foi de R$ 10.164,00. Se na operação fosse adotado o desconto racional simples, o valor do desconto produzido seria de R$ 1.176,00. Nessas condições, qual é o valor nominal deste título? 4.20. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando a taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 4.21. Obtenha o valor atual de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível em três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto.

40

4.22. Um título com valor de R$ 266.200,00 e vencimento em 3 anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% a ano. Considerando o valor racional desse título, obtenha o seu valor de resgate. 4.23. Pedro receberá R$ 20.000,00 como parte de uma herança. Contudo, necessitando do dinheiro 4 meses antes da data do seu recebimento, propõem a um amigo a venda dos seus direitos por R$ 16.454,05. Que taxa de juros mensal composto foi paga por Pedro? 4.24. Quanto sofrerá de desconto um título de R$ 289.406,25, 3 meses antes do seu vencimento, se for descontado a 5% ao mês em desconto composto? 4.25. O desconto simples comercial de um título descontado à taxa de 24% ao ano, 3 meses antes do seu vencimento, é de R$ 1.440,00. Calcular o valor do desconto correspondente, caso fosse uma situação de um desconto simples racional. 4.26. Um título foi submetido a dois tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% ao ano, vencível em 180 dias, com desconto comercial. No segundo caso, com desconto racional, mantendo-se as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos foi de R$ 635,50, qual era o seu valor nominal? 4.27. Qual é o valor atual de R$ 84.270,00, 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de 6% ao mês de juros compostos, considerando um desconto racional? 4.28. Um título foi descontado 5 dias antes do seu vencimento, sofrendo um desconto por fora à taxa linear de 30% ao mês. Sabendo-se que o devedor pagou R$ 2.820,00, qual foi o seu valor nominal? 4.29. Um título de valor nominal de R$ 60.000,00 foi descontado 60 dias antes do seu vencimento, à taxa simples comercial de 10% ao mês. Qual é o valor líquido deste título? 4.30. A diferença entre os descontos comercial e racional incidentes sobre um mesmo título é de R$ 3,00. Sabendo-se que ambos foram calculados a taxa de 15% ao ano e 4 meses antes do vencimento, qual era o seu valor nominal?

41

V. Rendas 5.1. Introdução Nos capítulos anteriores estudamos principalmente as operações financeiras onde um único capital era aplicado para a formação de um montante ou uma única dívida seria saldada por um único pagamento. O objetivo deste capítulo é estudar operações financeiras que envolvem capitais disponíveis em tempos ou datas diferentes. Nessa situação incluem-se várias aplicações realizadas em datas diferentes mas que comporão um único montante ou várias prestações que pagarão uma dívida contraída em algum momento do tempo. Entende-se por renda o conjunto de depósitos ou prestações sucessivos, realizados em épocas diferentes, que objetivam formar um capital ou pagar uma dívida. A cada uma das prestações ou depósitos chamamos de “termo da renda”, enquanto que a periodicidade na qual se realizam esses termos é denominada de “período da renda”. Assim, se eu comprar um automóvel em 60 parcelas mensais e R$ 540,00, cada uma dessas parcelas constituem um dos termos dessa renda, enquanto que o período da mesma é mensal. 5.2. Classificação das Rendas As rendas podem ser classificadas nos seguintes termos:

1. Quanto ao seu tipo: a. Rendas certas: são aquelas onde o número de termos, prazos, taxas e períodos são

estabelecidos previamente e são de conhecimento de todas as partes do negócio. Por exemplo, em uma compra à prazo em uma loja.

b. Rendas aleatórias: são aquelas onde, no mínimo, um dos elementos não é conhecido ou determinado. Por exemplo, a compra de um seguro de vida onde o prazo de pagamento não é determinado.

2. Quanto ao período:

a. Periódica: são aquelas rendas onde o espaço de tempo entre cada um dos termos é igual e constante. Se os períodos acontecem a cada mês, chamamos a renda de mensal. Se o período é a cada ano, chamamos a renda de anual e assim por diante.

b. Não-Periódica: quanto ao espaço de tempo entre cada um dos termos de uma renda é variável, chamamos essa renda de não-periódica, ou seja, ela não obedece a um período fixo.

3. Quanto aos temos:

a. Constante ou fixa: quando os termos do pagamento (valor) são iguais. b. Variável: nesse caso, os termos do pagamento são diferentes a cada período de

tempo.

4. Quanto ao prazo: a. Temporárias: são as rendas onde o prazo é fixo e com data conhecida para o seu

final.

42

b. Perpétuas: são rendas onde os termos acontecem perpetuamente.

5. Quanto ao vencimento do primeiro termo: a. Imediata: são rendas onde o pagamento da primeira parcela acontece em um período

de tempo após a data do acordo. b. Antecipadas: são as rendas onde o pagamento de primeira parcela acontece junto

com a data do acordo. c. Diferidas: são as rendas onde o pagamento da primeira parcela acontece após uma

carência de uma certa quantidade de períodos de tempo. 5.3. Rendas Imediatas São aquelas rendas onde o pagamento do primeiro dos termos (parcela) acontece em exatamente uma unidade de tempo após a assinatura do acordo. Veja:

Assim, se for um parcelamento mensal, por exemplo, o pagamento da primeira parcela acontece em 1 (um) mês ou 30 dias após a contratação do negócio. Se o pagamento for anual, a primeira parcela deve ser paga em 1 (um) ano, e assim por diante. A idéia que orienta uma renda imediata é dividirmos o capital entre as parcelas e atualizarmos cada uma delas no tempo em tantos períodos quantos forem contratados. Por exemplo, vamos considerar um capital de R$ 1.000,00 pagos em 5 parcelas mensais a uma taxa de 3% a.m. Vejamos o cálculo do valor da parcela:

00,200$5

00,000.1$R

RP ==

Observe que esse valor de R$ 200,00 é referente ao período atual e não a data de pagamento de cada uma delas. Desta forma, elas necessitam serem atualizadas para a data correta:

43

Este procedimento de cálculo, entretanto, não produz parcelas fixas. Para resolvermos este problema e pagarmos o capital com parcelas de igual valor, usamos a expressão:

1)1(

)1(

−++⋅⋅=

t

t

i

iiVAP

onde VA: é o valor presente ou atual da renda; i: é a taxa contratada (sempre no formato decimal); t: é o período de tempo contratado. Assim, no exemplo anterior, podemos calcular o valor de cada uma das parcelas:

35,218$1)03,01(

)03,01(03,010005

5

RP =−+

+⋅⋅=

Teremos então:

Se projetarmos cada uma das quatro primeiras parcelas no tempo até a data de pagamento da última delas, teremos: 76,245$)03,01(35,218 4

1 RP =+⋅=

60,238$)03,01(35,218 32 RP =+⋅=

65,231$)03,01(35,218 23 RP =+⋅=

91,224$)03,01(35,218 14 RP =+⋅=

Obs: a quinta parcela já está atualizada. Total = R$245,76 + R$238,60 + R$ 231,65 + R$ 224,91 + R$ 218,35 = R$1.159,27 Observe que este total é equivalente a capitalização composta dos R$ 1.000,00 do negócio nos 5 meses contratados a uma taxa de 3%a.m.: 27,159.1$)03,01(1000 5 RM =+⋅= Vamos ver agora um segundo exemplo! Qual é o valor da prestação a ser paga em um financiamento de R$ 18.000,00 em 24 parcelas iguais a uma taxa de 2,5% a.m?

43,006.1$1)025,01(

)025,01(025,01800024

24

RP =−+

+⋅⋅=

44

Assim, este financiamento será pago em 24 parcelas de R$ 1.006,43 mensais com a primeira delas vencendo em 30 dias. 5.4. Rendas Antecipadas As rendas antecipadas são aquelas onde o pagamento da primeira parcela acontece junto com a realização do acordo. É o que popularmente se conhece por pagamento da entrada no ato da compra. Vejamos:

Existem várias possibilidades de solução para este problema e, geralmente, elas são baseadas no método de cálculo das rendas imediatas. Por exemplo, podemos calcular as parcelas como aconteceriam em um pagamento imediato e depois antecipamos cada uma delas em um período de tempo. Podemos ainda antecipar o valor atual da renda em um período e depois calcular as parcelas como uma renda imediata. Vejamos cada uma delas: Na primeira das alternativas calculamos o valor das parcelas como se a renda fosse imediata:

Depois, antecipamos cada uma delas em exatamente um período de tempo. Assim, a primeira parcela será antecipada para o período zero (0), a segunda delas para o período 1 e assim por diante. Veja:

Como todas estas parcelas são iguais, o novo valor de cada uma delas quanto antecipadas em um período também será igual e, portanto, pode ser calculado apenas uma vez:

45

i

PP imediata

antecipada +=

1

No exemplo dos R$ 1.000,00, pagos em 5 parcelas iguais e mensais a uma taxa de 3%a.m., no cálculo da renda imediata resulta em uma parcela de R$ 218,35 (ver exemplo da seção anterior). Antecipando este valor em um período de tempo (1 mês) termos o novo valor de:

99,211$03,01

35,218$R

RPantecipada =

+=

Assim,

A outra alternativa é antecipar o valor da renda em um período:

Para calcularmos este capital antecipado fazemos:

i

CC imediato

antecipado +=

1

O resultado desta conta será o capital antecipado a ser utilizado como valor atual no cálculo de uma renda imediata. Vejamos isso no exemplo anterior:

88,970$03,01

1000RCantecipado =

+=

Com este capital de R$ 970,88 faremos o cálculo de uma renda imediata normal:

99,211$1)03,01(

)03,01(03,088,9705

5

RP =−++⋅⋅=

Ao dispormos essa situação no fluxo de caixa, teremos:

46

Vamos fazer um segundo exemplo! Considere a compra de um equipamento no valor de R$ 6.000,00 a ser pago em 4 meses com entrada a uma taxa de 2% a.m. Se anteciparmos a renda em um mês teremos:

35,882.5$02,01

6000RCantecipado =

+=

Utilizando este valor como valor atual do cálculo da parcela imediata teremos:

84,544.1$1)02,01(

)02,01(02,035,882.54

4

RP =−++⋅⋅=

Pagaremos então, uma entrada e mais três parcelas mensais de R$ 1.544,84. Se, entretanto, desejarmos calcular a renda original como imediata encontraremos:

74,575.1$1)02,01(

)02,01(02,0000.64

4

RP =−+

+⋅⋅=

Pegamos então essa parcela e antecipamos o seu pagamento em um período:

84,544.1$02,01

74,575.1RPanecipada =

+=

5.5. Rendas Diferidas Uma renda no modo diferido acontece quando é dado ao responsável pela liquidação da mesma uma carência de n períodos de tempo até o pagamento da primeira das parcelas:

47

Como neste tipo de rende existe um período de carência, precisamos atualizar o capital envolvido até a data correta do seu parcelamento. Para determinar o valor da parcela a ser paga utilizaremos a mesma fórmula que o método imediato. Devemos, entretanto, ter cuidado com o valor atualizado a ser utilizado na conta.

Considerando que uma renda imediata projeta o primeiro dos seus pagamentos para exatamente um período de tempo, devemos capitalizar este capital a juros compostos para o período imediatamente anterior aquele projetado para o início do pagamento. Por exemplo, em uma carência de 6 meses, o capital deve ser atualizado em 5 meses. Se a carência for de 12 meses, a atualização será de 11 meses. O período que está faltando será computado pelo cálculo da parcela imediata. Observe:

Por exemplo, em um empréstimo de R$15.000,00 a ser pago em 12 parcelas com 8 meses de carência e uma taxa de juros de 1,2%a.m, devemos, antes de mais nada, atualizar o capital em 7 períodos de tempo: 28,360.16$)012,01(000.15)1( 7 RiCM t =+⋅=+⋅= Como esse valor, aplicamos o cálculo da parcela imediata e encontramos:

03,472.1$1)012,01(

)012,01(012,028,360.1612

12

RP =−++⋅⋅=

Graficamente esta situação fica assim:

Note que o primeiro pagamento acontece exatamente no período desejado, ou seja, após 8 meses de carência. Em um segundo exemplo, vamos considerar o capital de R$ 7.500,00 a ser pago em 6 parcelas mensais iguais a uma taxa de 0,9%a.m. e com uma carência de um semestre. A primeira coisa a ser feita é atualizar o capital em 5 meses pois a carência será de um semestre, ou seja, de seis meses: 63,843.7$)009,01(500.7 5 RM =+⋅=

48

Usamos esse novo valor para calcularmos cada uma das parcelas a serem pagas:

76,348.1$1)009,01(

)009,01(009,063,843.76

6

RP =−++⋅⋅=

5.6. Rendas e o Montante Conforme verificamos nos exemplos anteriores, a atualização financeira de cada uma das parcelas de uma renda devem, ao final do período produzir um montante equivalente àquele produzido pelo valor atual quando corrigido no mesmo período e a uma mesma taxa. Este problema pode, entretanto, ser tratado no sentido inverso. Por exemplo, qual é o valor que devemos depositar mensalmente para que, dentro de 4 meses eu tenha acumulado o equivalente a R$ 8.000,00, sabendo que a taxa aplicada nessa operação é de 2%a.m.? Considere que, nesse caso, o montante será produzido pelo capitalização composta de acordo com a fórmula:

M = C (1 + i)t observe que, aqui, o capital designado na fórmula é o mesmo valor atual que utilizamos no cálculo de cada uma das parcelas da renda e que o montante representa o valor futuro desejado. Já no cálculo das parcelas de uma renda teremos:

1)1(

)1(

−++⋅⋅=

t

t

i

iiVAP

Podemos, então, da fórmula do montante, isolar o valor atual ou capital e substituirmos o resultado no cálculo da parcela. Assim, obteremos uma fórmula capaz de determinar o valor a ser acumulado mensalmente para atingirmos certo valor futuro. Vejamos:

1)1(

)1()1(

1)1(

)1(

)1()1(

−+

+⋅⋅+=

−++⋅⋅=

+=⇒+⋅=

t

tt

t

t

tt

i

iii

VF

i

iiVAP

i

VFVAiVAVF

Simplificando encontramos:

1)1( −+⋅=ti

iVFP

Observe que aqui a incógnita P indica o valor da parcela mensal a ser acumulada para que o capital futuro desejado seja alcançado. Vamos voltar agora para o nosso exemplo anterior, agora de forma completa. Para comprar um terreno no valor de R$ 8.000,00 reais desejamos economizar fazendo 4 depósitos mensais a uma taxa de 2%a.m. Qual é o valor a ser depositado a cada mês?

99,940.1$1)02,01(

02,0000.8

1)1( 4R

i

iVFP

t=

−+⋅=

−+⋅=

Desta forma, devemos depositar R$ 1.940,99 a cada mês.

49

Exercícios 5.1. Se o valor de R$ 15.000,00 for emprestado a uma taxa de 3,8% a.m. com 7 meses de carência, qual será o valor efetivamente financiado? 5.2. Um empréstimo no valor de R$ 62.500,00 deve ser pago em 12 prestações imediatas a uma taxa de 4%a.m. Qual é o valor de cada uma destas prestações? 5.3. O preço de um automóvel é de R$ 25.000,00. O comprador ofereceu R$ 2.000,00 de entrada e o pagamento do saldo em 12 prestações mensais iguais a uma taxa de juros compostos de 4,5%a.m. Qual é o valor de cada prestação? 5.4. Uma dívida de R$ 11.679,75 deve ser saldada em 10 prestações mensais, iguais e consecutivas, com carência de 4 meses. Se a taxa de juros compostos dessa operação é de 6%a.m., qual é o valor da prestação? 5.5. Um apartamento no valor de R$ 210.000,00 foi vendido em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem entrada. Sabendo-se que a primeira prestação será paga 30 dias após a compra e que a taxa de juros compostos da operação é de 5,2%a.m., determine o valor das prestações. 5.6. Qual o valor presente ou atual de uma renda antecipada de 5 pagamentos mensais no valor de R$ 40.000,00 cada um, a uma taxa composta de 8%a.m.? 5.7. O valor presente de uma renda antecipada de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 5.000,00, à taxa composta de 6%a.m. é quanto? 5.8. Um título no valor de R$ 14.608,80, vai vencer no dia 12 de março. Quanto deverá ser depositado nos dias 12 de janeiro, fevereiro e março do mesmo ano para saldar o débito? A taxa de juros envolvida na operação é de 3%a.m. 5.9. Depositou-se R$ 55.000,00 por mês durante 8 meses. Qual é o valor acumulado no final do 8º mês se a taxa composta dessas aplicações é de 5%a.m.? 5.10. Quanto devo depositar mensalmente para obter o montante de R$ 12.000,00 no final de 6 meses se a taxa do negócio é de 1,2% a.m.? 5.11. Uma loja fixou os juros cobrados no seu estabelecimento em 7% a.m.. Com base nisso responda:

a) Qual o valor das prestações na venda de uma mercadoria cujo preço à vista é de R$ 8.990,00 e que está sendo oferecido com uma entrada de R$3.000,00 e o restante em quatro prestações mensais imediatas?

b) Uma outra mercadoria custa R$ 1.250,00 e está sendo oferecia em 5 pagamentos mensais iguais com a primeira parcela paga no ato da compra. Quanto devemos pagar para cada parcela?

c) Outra mercadoria custa R$ 5.000,00 e pode ser comprada com 30% de entrada e o restante em 90 e 120 dias. Qual o valor de cada um desses pagamentos?

5.12. Qual o valor da prestação mensal referente a um financiamento de R$ 120.000,00 a ser liquidado em 18 meses, à uma taxa de 3%a.m., sendo que a primeira prestação vence 90 dias após a assinatura do contrato?

50

5.13. Um empréstimo de R$ 15.000,00 deve ser liquidado em 10 prestações iguais. Sabendo que a primeira prestação vence no início do quarto mês e que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 4% ao mês, qual é o valor dessas prestações? 5.14. Quantos pagamentos bimestrais antecipados, no valor de R$ 4.084,00, são necessários para saldar uma dívida de R$ 15.000,00 com juros de 36% ao ano? 5.15. Uma loja vende uma mercadoria de R$ 800,00 exigindo 30% de entrada e o restante pode ser pago em até 6 prestações mensais. Se a taxa de juros cobrada é de 4% a.m., qual será o valor da cada prestação a ser paga por um cliente que optou por parcelar a compra em 6 vezes? 5.16. Comprei uma mercadoria por R$ 2.000,00 de entrada mais 12 prestações mensais de R$ 339,00. Considerando que o valor desta mercadoria, para compra à vista, é de R$ 5.000,00 qual foi a taxa de juros que paguei no negócio? 5.17. Uma pessoa deve R$ 181.500,00 vencíveis em 6 meses e R$ 380.666,00 vencíveis em 12 meses. Para transformar essas duas dívidas em uma série de 4 pagamentos imediatos e trimestrais, ele negociou um taxa de juros de 10% ao trimestre que vale tanto para os descontos quanto para o parcelamento. Qual será o valor de cada um desses pagamentos trimestrais? 5.18. Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante acumulado dessa renda, considerando que a financeira paga uma taxa de 2% a.m. de juros compostos. 5.19. Uma pessoa que acumular R$ 135.000,00 ao final de 15 meses fazendo depósitos mensais no valor de R$ 8.093,00. Qual é a taxa de juros capaz de garantir essa situação? 5.20. Qual é a renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 500,00 a uma taxa de 1,5%a.m.? 5.21. Calcule o valor da compra de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de R$ 1.200,00 e o restante à taxa efetiva de 4%a.m. O prazo de financiamento é de 12 meses e o valor da prestação é de R$ 192,00. 5.22. O preço de um carro é de R$ 17.700,00. O comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 5% a.m. em 10 meses. Calcule o valor da prestação mensal. 5.23. A que taxa foi contraída uma dívida de R$ 67.952,00 que deve ser paga em 20 parcelas mensais de R$ 5.000,00? 5.24. Quantas prestações mensais de R$ 900,00 serão necessárias para, a 3,5%a.m., se paga uma dívida de R$ 12.791,00? 5.25. Que dívida pode ser amortizada por 12 prestações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 cada uma sendo de 5% ao bimestre a taxa de juros? 5.26. Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações antecipadas, um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 4% ao mês. 5.27. Um comerciante põe em oferta um eletrodoméstico com o preço à vista de R$ 499,00 ou em 16 prestações mensais iguais e antecipadas de R$ 48,00. Qual a taxa de juros cobrada por este comerciante?

51

5.28. Uma pessoa deposita R$ 200,00 no final de cada mês. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos? 5.29. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 no final desse período, sabendo que a aplicação que consigo proporcional um rendimento de 1,5% ao mês? 5.30. Quanto terei no final de 20 meses se aplicar R$ 500,00 por mês, durante os 15 primeiros meses, a uma taxa de 1% ao mês? 5.31. Determine o número de aplicações bimestrais imediatas de R$ 900,00 necessárias para se obter o montante de R$ 11.863 a uma taxa de juros de 6% ao mês. 5.32. Calcule a taxa mensal acordada em uma operação de empréstimo de R$ 8.000,00 para ser liquidado em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 607,00. 5.33. Comprei uma mercadoria por R$2.000,00 de entrada mais 12 prestações mensais de R$ 399,00. Sabendo que o valor financiado foi de R$ 5.000,00, qual foi a taxa de juros que paguei? 5.34. Dois clientes de um banco fizeram poupanças programas prevendo uma rentabilidade de 1,8%a.m. O primeiro deles deposita R$ 1.000,00 no final de cada mês e o segundo deposita R$ 3.000,00 no início de cada trimestre. Qual o montante apurado por cada uma ao final de 1 ano de aplicação? 5.35. Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago em parcelas mensais imediatas e iguais com uma taxa de juros de 4,2%a.m. Como o devedor dispõem de, no máximo, R$ 2.500,00 por mês para esta operação, quantas prestações ele deverá negociar com o seu credor? 5.36. Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser pago em três parcelas a vencerem em 90, 120 e 150 dias a uma taxa de 2,8%a.m. Qual deverá ser o valor de cada pagamento? 5.37. Uma casa foi comprada por R$ 180.000,00 a serem quitados com 35% de entrada, dois reforços trimestrais de R$ 20.000,00 e o restante a ser pago após os reforços em 18 parcelas mensais e iguais. Em todos os casos a taxa de juros acordada foi de 2,2% ao mês. Determine o valor de cada uma das parcelas para pelo comprador dessa casa. 5.38. Se o valor de R$ 15.000,00 for emprestado a uma taxa de 3,8% a.m. com 7 meses de carência, qual será o valor efetivamente financiado? 5.39. Qual o valor atual de uma renda antecipada de 5 pagamentos mensais no valor de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros compostos de 8% a.m.? 5.40. A quantia de R$ 200.510,30 foi financiada em 12 prestações mensais e iguais. Se o credor cobrar uma taxa de 6% ao mês, quanto o devedor irá pagar se optar por pagamentos imediatos? E se a sua opção for por pagamentos antecipados, quanto será o valor da parcela?

52

VI. Sistema de Amortização 6.1. Introdução

A necessidade de recursos obriga aqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de formas que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas.

As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas Sistemas de Amortização. Os

sistemas de amortização são os mais variados, alguns prevendo pagamento único, outros possibilitando parcelamentos. Alguns desses sistemas de amortização são mais comuns e têm até denominações próprias, como o sistema SACRE, usado pelo Sistema Financeiro da Habitação, ou o Sistema Americano que é usado nos empréstimos internacionais. Outros não têm denominações próprias e, quando utilizados, são descritos pormenorizadamente nos contratos de empréstimo.

Quando a forma escolhida para a amortização de uma dívida prevê pagamento parcelado, existe

interesse, tanto por parte do devedor como por parte do credor, em conhecer, a cada período de tempo, estado da dívida, isto é, o total pago e o saldo devedor. Por isso, é comum a elaboração de demonstrativos que acompanham cada pagamento do empréstimo. Não existe um modelo único de demonstrativo, mas em todos eles deve constar o valor de cada pagamento e o saldo devedor, devendo, ainda, o valor de cada pagamento ser subdividido em juros e amortização (devolução do principal emprestado). Para compreendermos o que vai ser tratado nesse capítulo, é importante definirmos com precisão alguns termos:

Juros: é o encargo financeiro da operação; Amortização: é a parcela financeira que realmente abate a dívida; Saldo devedor: valor real da dívida em um certo momento do tempo. Em algumas situações

esse saldo devedor pode ser corrigido periodicamente (isso chama-se correção monetária);

Prestação: é o valor desembolsado pelo devedor para o pagamento da dívida e dos juros envolvidos na operação.

Em um sistema de financiamento deve ser apresentada uma planilha detalhando os itens e

quantidades envolvidos em cada etapa do processo. Esta planilha ou tabela deve apresentar cada uma das parcelas a serem pagas, quando desta parcela é composto pelos juros e quanto pela amortização, e, ainda, o saldo devedor em cada momento do tempo.

Por prestação entenderemos a soma entre o valor determinado como juros do período sobre o

saldo devedor mais o valor destinado a amortização deste saldo. Desta forma, os juros serão sempre calculados com base na taxa acordada no financiamento em relação ao saldo devedor do período anterior. Já o saldo devedor do período atual será a diferença entre o saldo devedor do período anterior e a parte da parcela destinada à amortização.

Assim sendo, para que um sistema de amortização funcione corretamente, a amortização da

última parcela a ser paga deve coincidir com o saldo devedor do período anterior, ou seja, da penúltima parcela. Acontecendo isso, teremos um saldo devedor zerado após o último pagamento.

53

Observe que a amortização corresponde a quantia que efetivamente será abatida do saldo devedor e sua forma de cálculo ou composição depende do sistema ou plano adotado no financiamento. Neste capítulo apresenta algumas dessas formas ou planos. 6.2. Sistema do Montante

Por esse sistema, o devedor paga no final do prazo, o montante da dívida que, conforme o contrato, pode ser calculado no regime de juros simples ou compostos.

Para se calcular o valor desse pagamento final basta calcular o montante correspondente à

dívida somada aos juros, simples ou compostos, conforme o caso. O valor da dívida será o valor presente VP e o pagamento final será o valor futuro VF, calculado com a taxa i contratada para o empréstimo por t períodos.

Se o contrato prevê juros simples, tem-se:

( )tiVPVF ⋅+⋅= 1 e se o contrato prevê juros compostos, tem-se:

( )tiVPVF +⋅= 1

Exemplos a) Um empréstimo de R$ 100.000,00 deve ser pago após quatro meses com juros de 10% a. m.. Calcular o pagamento final no regime de juros simples e composto. Vamos calcular o valor devido nas modalidades simples e composto:

( ) ( ) 0000014041010001001 ,.$,. RtiVPVFSimples =⋅+⋅=⋅+⋅=

( ) ( ) 00,410.146$1,01000.1001 4 RiVFVF tComposto =+⋅=+⋅=

b) Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 10.000,00, para ser pago em 05 parcelas iguais, com pagamento no final do período e juros de 2,0% a.m. no regime composto. Então:

Determine o valor da parcela de juros a ser capitalizada mensalmente; Determine o valor total a ser pago no final.

Vamos construir uma tabela mostrando o que acontece com esse valor no período proposto:

Parcela Valor da parcela Juros Amortização Saldo devedor

1a 0,00 200,00 -200,00 10.200,00

2a 0,00 204,00 -204,00 10.404,00

3a 0,00 208,08 - 208,08 10.612,08

4a 0,00 212,25 - 212,25 10.824,33

5a 11.040,81 216,48 10.824,33 0,00

Total 11.040,81 1040,81 10.000,00

54

6.3. Sistema de Juros Antecipados

Por esse sistema, o devedor paga o total dos juros na data da liberação do empréstimo. Como no Sistema anterior, os juros poderão ser simples ou compostos. É claro que, se os juros são pagos antecipadamente, o valor liberado como empréstimo (empréstimo efetivo) não coincide com o valor solicitado pelo devedor, o que faz com que a taxa efetiva a que ele se obriga seja diferente da taxa nominal contratada.

Com os juros pagos antecipadamente, o devedor pagará no final apenas o valor solicitado como empréstimo. Chamando de VP o valor efetivamente liberado (empréstimo efetivo) e de VF o pagamento final (empréstimo contratado) e supondo que o empréstimo foi feito à taxa i de juros simples e pelo prazo de t períodos, o valor liberado será:

( )tiVFtiVFVFVP ⋅−⋅=⋅⋅−= 1

o que corresponde ao valor solicitado descontado com desconto comercial simples. Para calcular a taxa efetiva ie paga pelo devedor basta usar a fórmula de montante de juros simples considerando o empréstimo efetivo como VP e o empréstimo contratado como VF. Tem-se, então:

tVP

VF

ie

1−=

Se o empréstimo foi contratado com juros compostos, o valor liberado será:

( )[ ]( )[ ]t

t

iVFVP

VFiVFVFVP

+−⋅=

−+⋅⋅=

12

1

e a taxa efetiva de juros:

1−= te VP

VFi

Exemplos a) Considere-se o mesmo exemplo anterior, de um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 10%, pelo prazo de quatro meses. Se os juros são cobrados antecipadamente, calcular o valor liberado, o valor a ser pago no final do prazo e a taxa efetiva:

para o regime de juros simples.

VP = VF (1 - i t) = 100.000,00 (1 - 0,1.4) =R$ 60.000,00

166704

100060

0001001

,..

=−

=−

=t

VP

VF

ie

para o regime de juros compostos.

55

( )[ ] ( )[ ]

16880159053

000100

004104659053000100

0059053101200010012

4

4

,..

,.$..

,.$,.

=−=

=−==+−⋅=+−⋅=

e

t

i

RJ

RiVFVP

b) Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 10.000,00, para ser pago em 05 parcelas iguais, com pagamento no final do período e juros de 2,0% a.m. no regime composto. Então:

Determine o valor da parcela de juros a ser capitalizada mensalmente; Determine o valor total a ser pago no final.

Vamos construir uma tabela mostrando o que acontece com esse valor no período proposto:

Parcela Valor da parcela Juros Amortização Saldo devedor

1a 200,00 200,00 0,00 10.000,00

2a 200,00 200,00 0,00 10.000,00

3a 200,00 200,00 0,00 10.000,00

4a 200,00 200,00 0,00 10.000,00

5a 10.200,00 200,00 10.000,00 0,00

6.4. Sistema Price ou Francês Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais e imediatas, incluindo, cada uma delas, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor deste. No Sistema Price, cada uma das parcelas é dividida em duas partes: uma delas representa a parcela dos juros paga e a outra a parcela que irá amortizar o saldo devedor, ou seja:

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO Como a prestação paga a cada parcela é igual em todo o contrato, ela é calculada pela fórmula:

( )( ) 11

1

−++⋅⋅=

t

t

i

iiVPP

onde: VP é o valor presente do contrato (capital contratado); i é a taxa envolvida na operação; t é o tempo ou número de parcelas; e P é o valor de cada uma das parcelas. Considerando que este sistema prevê o pagamento parcelado da dívida e com prestações fixas, é conveniente tanto para o devedor quanto para o credor que seja elaborada uma tabela que apresente a evolução do empréstimo no tempo, ou seja, mostre, em cada instante, qual é o saldo devedor e como ele foi pago até ali. O modelo mais simples para isto é uma tabela onde conste cada uma das parcelas, tanto pelo número quanto pelo valor pago, quanto disso são juros e quanto é amortização e qual é o saldo devedor para o próximo período. Vejamos:

56

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

Esta tabela inicia sempre por um instante ou parcela 0 que representa o momento de tomada do empréstimo. Nesse instante, não existem pagamentos, juros e amortizações, apenas o saldo devedor no valor da dívida contraída. A partir desse ponto, a tabela irá apresentar as t parcelas com os seus respectivos valores calculados pela fórmula inicial. Para sabermos quanto da primeira parcela é relativo aos juros e quanto vai para amortização do saldo devedor, devemos calcular a taxa do contrato (i) para o saldo devedor atual. O resultado desse cálculo representa os juros daquela parcela. Por diferença entre o valor da parcela e estes juros, descobrimos o valor da amortização. Esta amortização irá abater o saldo devedor anterior para formar o saldo relativo a parcela atual. Vejamos isso em um exemplo: Exemplo a) Construa a tabela Price para um empréstimo de R$ 100.000,00 contratado a uma taxa de 4% a.m. e para ser pago em 6 parcelas iguais. Em primeiro lugar vamos calcular o valor de cada uma das parcelas:

( )( )

19,076.19$265319,0

276074,5061

104,01

04,0104,0000.1006

6

RP ==−++⋅⋅=

Portanto, cada uma das 6 parcelas pagas mensalmente, sendo a primeira delas em 30 dias, será no valor fixo de R$ 19.076,19. Com base nisso, podemos agora construir a tabela:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 100.000,00 1 R$ 19.076,19 2 R$ 19.076,19 3 R$ 19.076,19 4 R$ 19.076,19 5 R$ 19.076,19 6 R$ 19.076,19

A linha relativa a parcela número 1 vai ser preenchida da seguinte forma: primeiramente vamos calcular o juro contratado (4% a.m.) sobre o saldo devedor o que representa a quantia de R$ 4.000,00. Este será o valor da coluna dos juros. Subtraindo-se os juros do valor da parcela (R$ 19.076,19 – R$ 4.000,00) encontramos a amortização daquele mês, ou seja, R$ 15.076,19. Já o saldo devedor da parcela 1, será obtido pela dedução da amortização no saldo devedor atual, ou seja, R$ 100.000,00 – R$ 15.076,19, resultando em R$ 84.923,81. Para a segunda parcela, este processo deve ser repetido, mas tomando-se como base de cálculo dos juros o saldo devedor final da parcela 1. Para a parcela 3, usa-se o saldo devedor da parcela 2 e assim por diante. O resultado final da tabela é:

57

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 100.000,00 1 R$ 19.076,19 R$ 4.000,00 R$ 15.076,19 R$ 84.923,81 2 R$ 19.076,19 R$ 3.396,95 R$ 15.679,24 R$ 69.244,57 3 R$ 19.076,19 R$ 2.769,78 R$ 16.306,41 R$ 52.938,16 4 R$ 19.076,19 R$ 2.117,53 R$ 16.958,66 R$ 35.979,50 5 R$ 19.076,19 R$ 1.439,18 R$ 17.637,01 R$ 18.342,49 6 R$ 19.076,19 R$ 733,70 R$ 18.342,49 R$ 0,00

Observe que o saldo devedor, ao final da sexta parcela, deve ser zero, ou seja, o empréstimo deve ser quitado até aquele momento. Outro fator importante é a noção de que a capitalização do valor emprestado no Sistema Price é sempre por juros compostos. Assim, se calcularmos o montante relativo a este empréstimo ao final de 6 meses, teremos:

( ) ( ) 9053112604010001001 6 ,.$,. RiCM t =+⋅=+⋅= Entretanto, nem a soma das parcelas, juros ou amortizações da tabela acima chega neste valor. Devemos lembrar que o pagamento está sendo antecipado e, portanto, devemos corrigir cada uma das parcelas no tempo para saber o seu valor atual no final de 6 meses. Vejamos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) 9053112619076190401190761904011907619

04011907619040119076190401190761912

345

,.$,.,,.,,.

,,.,,.,,.

R

VP

=++⋅++⋅

++⋅++⋅++⋅=

Note que o valor presente das prestações, calculado para a projeção de 6 parcelas, resulta no mesmo montante que o calculo dos juros no regime composto para o exemplo em questão. b) Rodrigo pediu um empréstimo de R$ 35.000,00 ao Banco para pagar em 8 prestações mensais iguais a uma taxa de 2,5% a.m. Qual é a tabela Price dessa situação. Calcula-se o valor de cada uma das prestações:

( )

( )368814

102501

025010250000358

8

,.$,

,,.RP =

−++⋅⋅=

Com base nesse valor, construímos a tabela:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 35.000,00 1 R$ 4.881,36 R$ 875,00 R$ 4.006,36 R$ 30.993,64 2 R$ 4.881,36 R$ 774,84 R$ 4.106,52 R$ 26.887,13 3 R$ 4.881,36 R$ 672,18 R$ 4.209,18 R$ 22.677,95 4 R$ 4.881,36 R$ 566,95 R$ 4.314,41 R$ 18.363,54 5 R$ 4.881,36 R$ 459,09 R$ 4.422,27 R$ 13.941,27 6 R$ 4.881,36 R$ 348,53 R$ 4.532,83 R$ 9.408,45 7 R$ 4.881,36 R$ 235,21 R$ 4.646,15 R$ 4.762,30 8 R$ 4.881,36 R$ 119,06 R$ 4.762,30 R$ 0,00

58

6.5. Sistema de Amortizações Constantes (SAC) Nessa forma de amortização, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem, cada uma delas, uma parcela constante de amortização sobre o saldo devedor. Dessa forma, as prestações pagas pelo empréstimo têm valor diferente no tempo e são sempre menores a medida que se aproxima o final do parcelamento. Para encontrarmos o valor de cada uma das amortizações devemos dividir o valor emprestado (Valor Presente) pelo número de parcelas (t), ou seja:

t

VPA =

Novamente, devemos construir uma tabela para calcularmos o valor de cada uma das parcelas, seus juros e saldo devedor atualizado. Esta tabela é a mesma do sistema Price, mas sua fórmula de cálculo é diferenciada. Nessa tabela, como as amortizações são constantes, o saldo devedor será reduzido linearmente. Com base no saldo devedor da parcela anterior, devemos calcular os juros da parcela atual e, somando esses com a amortização, descobriremos o valor da parcela a ser paga. Exemplo: a) Construa a tabela SAC para um empréstimo de R$ 120.000,00 contratado a uma taxa de 3% a.m. e para ser pago em 8 parcelas iguais. Em primeiro lugar vamos calcular o valor de cada uma das amortizações:

00000158

000120,.$

.R

t

VPA ===

Portanto, para cada uma das 8 parcelas pagas mensalmente, será paga uma amortização no valor de R$ 15.000,00. Com base nisso, podemos agora construir a tabela:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 120.000,00 1 R$ 15.000,00 R$ 105.000,00 2 R$ 15.000,00 R$ 90.000,00 3 R$ 15.000,00 R$ 75.000,00 4 R$ 15.000,00 R$ 60.000,00 5 R$ 15.000,00 R$ 45.000,00 6 R$ 15.000,00 R$ 30.000,00 7 R$ 15.000,00 R$ 15.000,00 8 R$ 15.000,00 R$ 0,00

Observe que, nessa tabela, já podemos calcular o saldo devedor em cada um dos momentos do parcelamento. Vamos agora preencher os demais campos da tabela. Na linha relativa a parcela número vamos calcular a incidência da taxa de juros de 3% sobre um saldo devedor de R$ 120.000,00. Dessa forma, descobrimos que os juros dessa parcela são de R$

59

3.600,00. Somando este juro com a amortização, encontraremos o valor de R$ 18.600,00 que é a parcela do mês 1. Para os demais meses, o procedimento é o mesmo, mas tem como base sempre o saldo devedor do mês anterior. Vejamos a tabela completa:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 120.000,00 1 R$ 18.600,00 R$ 3.600,00 R$ 15.000,00 R$ 105.000,00 2 R$ 18.150,00 R$ 3.150,00 R$ 15.000,00 R$ 90.000,00 3 R$ 17.700,00 R$ 2.700,00 R$ 15.000,00 R$ 75.000,00 4 R$ 17.250,00 R$ 2.250,00 R$ 15.000,00 R$ 60.000,00 5 R$ 16.800,00 R$ 1.800,00 R$ 15.000,00 R$ 45.000,00 6 R$ 16.350,00 R$ 1.350,00 R$ 15.000,00 R$ 30.000,00 7 R$ 15.900,00 R$ 900,00 R$ 15.000,00 R$ 15.000,00 8 R$ 15.450,00 R$ 450,00 R$ 15.000,00 R$ 0,00

b) Considerando um empréstimo de R$ 100.000,00 feito a uma taxa de 10% a.a., para ser pago em 4 anos, fazer o demonstrativo SAC desse caso.

Determinamos o valor da amortização: 00000254

000100,.$

.R

t

VPA ===

Sabendo o valor da amortização, constrói-se a tabela:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 100.000,00 1 R$ 35.000,00 R$ 10.000,00 R$ 25.000,00 R$ 75.000,00 2 R$ 32.500,00 R$ 7.500,00 R$ 25.000,00 R$ 50.000,00 3 R$ 30.000,00 R$ 5.000,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 4 R$ 27.500,00 R$ 2.500,00 R$ 25.000,00 R$ 0,00

6.6. Sistema de Amortizações Geométricas (SAG) No sistema de amortizações geométricas, cada parcela a ser paga pelo empréstimo deve ser corrigida no tempo futuro para determinar qual seu valor atual no momento do pagamento. O valor base para o cálculo de cada uma das parcelas é dado por:

t

VPP =

onde VP é o valor presente ou o capital emprestado e t é o tempo ou número de parcelas. Uma vez determinado o valor de cada uma das parcelas, devemos calcular seu valor futuro pela capitalização no regime de juros compostos de acordo com a taxa contratada. Assim, cada uma das parcelas é determinada por:

60

( )kk iPP +⋅= 1

onde Pk é o valor da parcela k; P é o valor base de cada uma das parcelas; i é a taxa; e, k é o número da parcela. Nessa modalidade, devemos ainda fazer a taxa de juros incidir sobre o saldo devedor para descobrirmos qual será o valor dos juros daquele mês e quando, por diferença no valor a ser pago, corresponde a amortização para o próximo mês. Podemos usar, para isso, a mesma tabela proposta para o Sistema Price. Exemplo: a) Construa a tabela SAG para um empréstimo de R$ 120.000,00 contratado a uma taxa de 3% a.m. e para ser pago em 8 parcelas iguais. Em primeiro lugar vamos calcular o valor base de cada uma das parcelas:

00000158

000120,.$

.R

t

VPP ===

Portanto, cada uma das parcelas a ser paga tem como valor base R$ 15.000,00 que será corrigido no tempo de acordo com o mês da parcela. Para encontrarmos o valor atual da parcela do primeiro mês, devemos corrigir o valor base de R$ 15.000,00 em 30 dias com uma taxa de 3% a.m. Vejamos:

( ) ( ) 00450150301000151 111 ,.$,. RiPP =+⋅=+⋅=

assim, no primeiro mês pagaremos R$ 15.450,00. Para os próximos meses, o cálculo é o mesmo:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 55001190301000151

10448180301000151

78910170301000151

11389170301000151

63882160301000151

90390160301000151

50913150301000151

888

777

666

555

444

333

222

,.$,.

,.$,.

,.$,.

,.$,.

,.$,.

,.$,.

,.$,.

RiPP

RiPP

RiPP

RiPP

RiPP

RiPP

RiPP

=+⋅=+⋅=

=+⋅=+⋅=

=+⋅=+⋅=

=+⋅=+⋅=

=+⋅=+⋅=

=+⋅=+⋅=

=+⋅=+⋅=

Para encontramos quando cada uma dessas prestações contribui para a amortização e quanto é juro, devemos montar a tabela e calcular o juro sobre o saldo devedor de cada parcela anterior, ou seja, os juros relativos a parcela 2 devem ser calculados aplicando a taxa contratada sobre o saldo devedor da parcela 1 e assim por diante. A amortização da parcela atual é obtida pela diferença entre o valor paga e os juros calculados. Vejamos a tabela completa:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 120.000,00 1 R$ 15.450,00 R$ 3.600,00 R$ 11.850,00 R$ 108.150,00 2 R$ 15.913,50 R$ 3.244,50 R$ 12.699,00 R$ 95.451,00

61

3 R$ 16.390,90 R$ 2.863,53 R$ 13.527,37 R$ 81.923,63 4 R$ 16.882,63 R$ 2.457,70 R$ 14.424,93 R$ 67.498,70 5 R$ 17.389,11 R$ 2.024,96 R$ 15.364,15 R$ 52.134,55 6 R$ 17.910,78 R$ 1.564,03 R$ 16.364,75 R$ 35.787,80 7 R$ 18.448,10 R$ 1.073,63 R$ 17.374,47 R$ 18.413,33 8 R$ 19.001,55 R$ 552,39 R$ 18.413,33 R$ 0,00

b) Considerando um empréstimo de R$ 100.000,00 feito a uma taxa de 10% a.a., para ser pago em 4 anos, fazer o demonstrativo SAC desse caso.

Determinamos o valor da prestação base: 00000254

000100,.$

.R

t

VPP ===

Sabendo o valor da prestação, constrói-se a tabela:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 100.000,00 1 R$ 27.500,00 R$ 10.000,00 R$ 17.500,00 R$ 82.500,00 2 R$ 30.250,00 R$ 8.250,00 R$ 22.000,00 R$ 60.500,00 3 R$ 33.275,00 R$ 6.050,00 R$ 27.225,00 R$ 33.275,00 4 R$ 36.602,50 R$ 3.327,50 R$ 33.275,00 R$ 0,00

6.7. Sistema de Amortizações Mistas (SAM) O sistema de amortizações mistas – SAM é adotado freqüentemente pelos diversos sistemas de financiamento de imóveis. Nele o devedor para seu financiamento em prestações que são calculadas pela média aritmética entre as prestações obtidas pelo sistema Price e pelo sistema de amortizações crescentes. Teoricamente isto implica em que os juros, amortizações e saldos devedores no SAM sejam obtidos pela média aritmética dos seus respectivos valores no Price e SAC em cada um dos períodos. Entretanto, na prática, é mais comum e conveniente calcularmos apenas as prestações através dessa média aritmética. Assim sendo, o cálculo de cada uma das prestações SAM é dado por:

2

2

2

22

11

tPRICEt

PRICE

PRICE

PsacPP

PsacPP

PsacPP

+=

+=

+=

.....

onde PPRICE é a prestação encontrada no sistema Price; PSAC é a prestação do período no sistema de amortização constante; e Pt é a prestação SAM do período t.

62

Calculadas cada uma das prestações, a tabela de demonstração é calculada na mesma metodologia do Sistema Price, onde os juros são obtidos sobre o saldo devedor e a amortização pela diferença entre a prestação corrente e seus juros. Exemplo: a) Considerando um empréstimo de R$ 100.000,00 feito a uma taxa de 10% a.a., para ser pago em 4 anos, fazer o demonstrativo SAM desse caso. Em primeiro lugar, vamos calcular o valor da prestação no Sistema Price:

( )( )

08547311101

101100001004

4

,.$,

,,.RPPRICE =

−++⋅⋅=

Com base no que foi calculado no exemplo b da seção 6.5, sabemos que cada uma das prestações SAC desses casos são as seguintes: Psac1 = R$ 35.000,00 Psac2 = R$ 32.500,00 Psac3 = R$ 30.000,00 Psac4 = R$ 27.500,00 Vamos agora determinar as prestações do sistema SAM através da média desses valores acima:

54523292

500270854731

54773302

000300854731

54023322

500320854731

54273332

000350854731

4

3

2

1

,.$.,.

,.$.,.

,.$.,.

,.$.,.

RP

RP

RP

RP

=+=

=+=

=+=

=+=

Conhecendo cada uma das prestações, vamos construir a tabela usando a mesma metodologia do sistema Price, ou seja, preenchemos as prestações e o saldo devedor inicial. A partir desse ponto, determinamos os juros da primeira prestação e a amortização por diferença. Essa amortização ser

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 100.000,00 1 R$ 33.273,54 R$ 10.000,00 R$ 23.273.54 R$ 76.726,46 2 R$ 32.023,54 R$ 7.672,65 R$ 24.350,89 R$ 52.357,57 3 R$ 30.773,54 R$ 5.237,56 R$ 25.535,98 R$ 26.839,59 4 R$ 29.523,54 R$ 2.683,96 R$ 26.839,58 R$ 0,00

b) Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 120.000,00, para ser pago em 8 parcelas iguais, com vencimento da primeira parcela em 30 dias e periodicidade mensal de amortização e juros de 3% a.m.. Vamos determinar o valor da parcela a ser paga mensalmente e a tabela de demonstração no sistema SAM.

63

Calculamos o valor de cada umas das prestações desse exemplo nos sistemas Price e SAC (veja os exemplos anteriores). Para facilitar, a tabela SAM foi estendida para contemplar esses valores (isso não é necessário em um caso real). Vejamos a tabela completa:

Parcela No Price SAC Valor SAM

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 120.000,00 1 R$ 17.094,77 R$ 18.600,00 R$ 17.847,38 R$ 3.600,00 R$ 14.247,38 R$ 105.752,62 2 R$ 17.094,77 R$ 18.150,00 R$ 17.622,38 R$ 3.172,57 R$ 14.449,81 R$ 91.302,81 3 R$ 17.094,77 R$ 17.700,00 R$ 17.397,38 R$ 2.739,08 R$ 14.658,30 R$ 76.644,51 4 R$ 17.094,77 R$ 17.250,00 R$ 17.172,38 R$ 2.299,33 R$ 14.873,05 R$ 61.771,46 5 R$ 17.094,77 R$ 16.800,00 R$ 16.947,38 R$ 1.853,14 R$ 15.094,24 R$ 46.677,22 6 R$ 17.094,77 R$ 16.350,00 R$ 16.722,38 R$ 1.400,31 R$ 15.322,07 R$ 31.355,15 7 R$ 17.094,77 R$ 15.900,00 R$ 16.497,38 R$ 940,65 R$ 15.566,73 R$ 15.798,42 8 R$ 17.094,77 R$ 15.450,00 R$ 16.272,38 R$ 473,95 R$ 15.798,42 R$ 0,00

6.8. Sistema de Amortização Alemão No sistema alemão de amortização, o devedor paga o empréstimo com parcelas iguais que incluem uma antecipação dos juros e amortizações relativas aquela parcela. Nesse sistema, no momento da liberação do valor solicitado, o devedor deve pagar os juros relativos ao primeiro período, calculados na fórmula:

iVPJ ⋅=1 onde J1 são os juros do primeiro período; VP é o valor presente (valor solicitado para empréstimo); e, i é a taxa contratada no financiamento. No final de cada um dos períodos de tempo, os pagamentos são calculados por:

111 AJP += �

i

iVPPA

−⋅−

=1

11

222 AJP += �

i

AA

−=

11

2

333 AJP += �

i

AA

−=

12

3

.... .... ....

tt AP = �

i

AA t

t −= −

11

Observe que a última prestação é calculada sem a incidência de juros pois estes forma pagos antecipadamente desde o momento inicial do contrato de financiamento. Considerando que, nesse sistema, as prestações são fixas, ou seja, P1 = P2 = P3 = ...= Pt, elas podem ser determinadas pela fórmula:

( )ti

iVPP

−−⋅=

11

Calculando-se o valor de cada pagamento pela fórmula acima; as amortizações pelas fórmulas anteriores, resta, para completar a tabela, calcular os juros através da diferença entre a prestação daquele período e a amortização já calculada.

64

Exemplo: a) Considerando um empréstimo de R$ 100.000,00 feito a uma taxa de 10% a.a., para ser pago em 4 anos, fazer o demonstrativo SAM desse caso. Aqui, em primeiro lugar, determinamos os juros a serem pagos no momento do fechamento do contrato de financiamento:

0000010100001001 ,.$,. RiVPJ =⋅=⋅= Já o valor de cada um dos pagamentos mensais será de:

( ) ( )2207829

1011

10000100

11 4,.$

,

,.R

i

iVPP

t=

−−⋅=

−−⋅=

Conhecendo o valor de cada umas das prestações, vamos calcular as amortizações de cada parcela:

220782990

4017026

101

4017026

1

401702690

3655323

101

3655323

1

365532390

0219821

101

0219821

1

021982190

2207819

101

100001002229078

1

34

23

12

1

,.$,

,.,,.

,.$,

,.,,.

,.$,

,.,,.

,.$,

,.,

,.,

Ri

AA

Ri

AA

Ri

AA

Ri

iVPPA

==−

=−

=

==−

=−

=

==−

=−

=

==−

⋅−=−

⋅−=

Podemos então iniciar a construção da tabela:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 1 R$ 29.078,22 R$ 21.198,02 2 R$ 29.078,22 R$ 23.553,36 3 R$ 29.078,22 R$ 26.170,40 4 R$ 29.078,22 R$ 29.078,22

Vamos completar a tabela. Sabemos que, no momento 0 (zero), deve ser pago o valor dos juros sobre o saldo devedor, ou seja, R$ 10.000,00. Para as outras parcelas, determinamos o saldo devedor do período abatendo do saldo anterior o valor da amortização. Os juros de cada uma das parcelas são obtidos pela diferença entre a parcela daquele período e a amortização calculada. A tabela completa fica:

Parcela

No Valor Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 100.000,00 1 R$ 29.078,22 R$ 7.880,20 R$ 21.198,02 R4 78.801.98 2 R$ 29.078,22 R$ 5.524,86 R$ 23.553,36 R$ 55.248,62 3 R$ 29.078,22 R$ 2.907,82 R$ 26.170,40 R$ 29.078,22 4 R$ 29.078,22 R$ 0,00 R$ 29.078,22 R$ 0,00

65

6.9. Sistema de Amortização Crescente (SACRE) Este sistema é, atualmente, utilizado pela Caixa Econômica Federal na concessão de financiamentos para a aquisição de terrenos e da casa própria. Esse tipo de plano de amortização tende a evitar o aparecimento do resíduo final. A dinâmica desse sistema é que o saldo devedor deverá ser refinanciado periodicamente conforme a seguinte regra:

a) A prestação P é mantida constante durante um ano; b) A prestação é recalculada anualmente de acordo com o SAC, com base no Saldo devedor

existente.

Desta forma, construí-se uma tabela de amortização SAC para cada ano do contrato de financiamento. Caso o contrato preveja correção monetária, ela será incorporada ao saldo devedor no final de 12 meses antes do calculo da tabela para o período de 12 meses seguinte. Exemplo: a) Considere um terreno cujo valor total é de R$ 10.000,00 e foi financiado em 36 parcelas com uma taxa de 1% ao mês. Em primeiro lugar, vamos calcular a primeira prestação através do sistema SAC:

7827736

00010,$

.R

t

VPA ===

0010001000010 ,$,. RiVPJ =⋅=⋅=

7837700100772771 ,$,, RJAP =+=+= As duas primeiras linhas da tabela forma definidas. O saldo devedor será obtido subtraindo o saldo anterior (R$ 10.000,00) da amortização do período (R$ 277,78). Vejamos:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 10.000,00 1 R$ 377,78 R$ 100,00 R$ 277,78 R$ 9.722,22

Este valor calculado de prestação será fixo durante os próximos 12 meses. Os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior e amortização pela diferença entre valor da parcela e juros. A tabela completa para o primeiro ano é:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

0 R$ 10.000,00 1 R$ 377,78 R$ 100,00 R$ 277,78 R$ 9722,22 2 R$ 377,78 R$ 97,22 R$ 280,56 R$ 9441,66 3 R$ 377,78 R$ 94,42 R$ 283,36 R$ 9158,30 4 R$ 377,78 R$ 91,58 R$ 286,20 R$ 8872,10 5 R$ 377,78 R$ 88,72 R$ 289,06 R$ 8583,04 6 R$ 377,78 R$ 85,83 R$ 291,95 R$ 8291,09 7 R$ 377,78 R$ 82,91 R$ 294,87 R$ 7996,22 8 R$ 377,78 R$ 79,96 R$ 297,82 R$ 7698,41 9 R$ 377,78 R$ 76,98 R$ 300,80 R$ 7397,61

66

10 R$ 377,78 R$ 73,98 R$ 303,80 R$ 7093,81 11 R$ 377,78 R$ 70,94 R$ 306,84 R$ 6786,96 12 R$ 377,78 R$ 97,22 R$ 309,91 R$ 6477,06

No final dos 12 primeiros meses, o saldo devedor é de R$ 6.477,06. Este saldo servirá para o cálculo dos valores para o próximo período (observe que o tempo de financiamento é agora relativo aos 24 meses restantes):

8826924

064776,$

,.R

t

VPA ===

7764010064776 ,$,,. RiVPJ =⋅=⋅=

653347764882691 ,$,, RJAP =+=+= Dessa forma, os próximos 12 meses serão:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

13 R$ 334,65 R$ 64,77 R$ 269,88 R$ 6207,17 14 R$ 334,65 R$ 62,07 R$ 272,58 R$ 5934,60 15 R$ 334,65 R$ 59,35 R$ 275,30 R$ 5659,29 16 R$ 334,65 R$ 56,59 R$ 278,06 R$ 5381,24 17 R$ 334,65 R$ 53,81 R$ 280,84 R$ 5100,40 18 R$ 334,65 R$ 51,00 R$ 283,65 R$ 4816,75 19 R$ 334,65 R$ 48,17 R$ 286,48 R$ 4530,27 20 R$ 334,65 R$ 45,30 R$ 289,35 R$ 4240,92 21 R$ 334,65 R$ 42,41 R$ 292,24 R$ 3948,68 22 R$ 334,65 R$ 39,49 R$ 295,16 R$ 3653,52 23 R$ 334,65 R$ 36,54 R$ 298,11 R$ 3355,40 24 R$ 334,65 R$ 33,55 R$ 301,10 R$ 3054,31

Finalmente, os últimos 12 meses são calculados usando como base o saldo devedor de R$ 3.054,31:

5325412

310543,$

,.R

t

VPA ===

5430010310543 ,$,,. RiVPJ =⋅=⋅=

072585430532541 ,$,, RJAP =+=+= Assim, os últimos 12 meses serão:

Parcela No Valor

Juros Amortização Saldo Devedor

25 R$ 258,07 R$ 30,54 R$ 254,53 R$ 2799,78 26 R$ 258,07 R$ 28,00 R$ 257,07 R$ 2542,71 27 R$ 258,07 R$ 25,43 R$ 259,64 R$ 2283,07 28 R$ 258,07 R$ 22,83 R$ 262,24 R$ 2020,83 29 R$ 258,07 R$ 20,21 R$ 264,86 R$ 1755,96 30 R$ 258,07 R$ 17,56 R$ 267,51 R$ 1488,45 31 R$ 258,07 R$ 14,88 R$ 270,19 R$ 1218,27 32 R$ 258,07 R$ 12,18 R$ 272,89 R$ 945,38 33 R$ 258,07 R$ 9,45 R$ 275,62 R$ 669,76 34 R$ 258,07 R$ 6,70 R$ 278,37 R$ 391,39

67

35 R$ 258,07 R$ 3,91 R$ 281,16 R$ 110,24 36 R$ 258,07 R$ 1,10 R$ 283,97 R$ -173,73

Perceba que no final do financiamento ficou um resíduo de R$ 173,73 (-). Caso este contrato tivesse previsão de correção monetária do saldo devedor haveria uma tendência de desaparecimento desse resíduo. Exercícios 6.1. Um empréstimo de R$ 200.000,00 será pago em três prestações mensais iguais e consecutivas. Considerando uma taxa de juros nominal de 180% a.a., com capitalização mensal, construir a planilha de amortização no sistema Price. Em quanto totalizaram os juros pagos nos três meses? 6.2.. Para comprar um apartamento você fez um empréstimo bancário de R$ 40.000,00 a serem pagos em 60 meses, a uma taxa de 1,25% a.m.. Calcule o valor das prestações, dos juros e do total amortizado no primeiro, segundo e terceiro anos, separadamente. 6.3. Uma pessoa comprou um carro de R$ 23.000 comprometendo-se a pagar 24 prestações mensais de R$ 1.170,60 cada. Logo após ter pago a 10ª prestação, a pessoa propõe encurtar o prazo do financiamento. Para tanto, deve pagar R$ 10.000 a vista e o saldo devedor em 4 prestações mensais iguais à mesma taxa de juros do financiamento original. Ela quer saber: a taxa de juros do financiamento; quanto falta pagar ainda do principal logo após o pagamento da 10ª parcela; o valor de cada uma das quatro prestações finais; e, o total de juros e amortização pagos nas 4 prestações. 6.4. Um empréstimo de R$200.000,00 será pago pelo Sistema SAC de Amortização em 3 parcelas mensais, com um período de carência de 3 meses. As amortizações serão calculadas sobre o valor inicial emprestado mais os juros capitalizados durante a carência. Considerando uma taxa de juros contratados de 10% a.m., construir a planilha de amortização. 6.5. Um empréstimo de R$ 100.000,00 deve ser pago em três meses, com juros de 1,8% a.m.. Descreva como será o pagamento em cada caso e faça uma planilha (com pagamentos, juros, amortização e saldo devedor) para os casos em que o pagamento é parcelado:

a) Capital e Juros Simples pagos no final. b) Capital e juros compostos pagos no final c) Juros pagos mensalmente e capital pago no final (Sistema Americano) d) Juros simples pagos antecipadamente e capital pago no final. e) Juros compostos pagos antecipadamente e o capital pago no final; f) Três prestações mensais iguais, vencendo a primeira 30 dias após o contrato. g) Três prestações mensais com amortizações iguais, pelo SAC h) Três prestações mensais, pelo Sistema SAM; i) Duas prestações mensais iguais, vencendo a primeira 60 dias após o empréstimo;

6.6. Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 75.000,00 a 15,5% a.m. para pagar em seis meses pelo sistema Alemão. A fim de economizar a quantia que deve pagar no final (capital mais última parcela de juros), faz depósitos numa instituição financeira que paga 12,7% a.m.. Que depósito deve fazer no início de cada mês? Faça o demonstrativo com depósitos, juros recebidos e montante em cada período. 6.7. Precisando de algum dinheiro, fui penhorar minhas jóias numa casa de penhor que as avaliou em R$ 18.000,00. Os juros de praxe são calculados no sistema de juros simples, à taxa de 6% a.m., pelo prazo de seis meses e retidos antecipadamente.

Quanto recebi em dinheiro na data da penhora? Quanto devo pagar no final, ao retirar as jóias?

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Qual a taxa efetiva de juros simples cobrada na penhora? Qual a taxa efetiva de juros compostos cobrada na penhora?

6.8. Uma pessoa contraiu uma dívida de R$ 26.000,00 para ser resgatada no fim de dois anos com juros de 50,07% a.s., capitalizados semestralmente. Para construir um fundo de amortização, faz depósitos trimestrais (imediatos) numa instituição financeira que lhe paga 20% a.t.. Pergunta-se:

a. Quanto deverá depositar por trimestre a fim de ter o suficiente para pagar o capital mais os juros no fim dos dois anos? b. Se pagar os juros semestralmente (sistema Americano), quanto deve depositar por trimestre

para pagar os juros nas datas previstas e o capital no final? b. Faça um demonstrativo para verificar que os depósitos são suficientes para pagar quantias

necessárias nas datas previstas.

6.9. Uma pessoa toma emprestado um valor de R$ 100.000,00 para pagar com juros de 12% a.m., em cinco prestações mensais, vencendo a primeira dez meses após o empréstimo.

a. De quanto serão as prestações? b. Qual a taxa efetivamente cobrada pela financeira, se na data do empréstimo é cobrada uma

taxa de seguro de 2,5% sobre seu valor?

6.10. Uma pessoa toma um empréstimo de R$ 200.000,00 pelo prazo de um ano. O credor propõe-lhe, para escolha, duas formas de pagamento: um pagamento final de R$ 53.000,00 ou pagamentos trimestrais de R$ 630.000,00 e o capital final. Qual a forma de pagamento que o tomador deve escolher? Justifique sua resposta. 6.11. Um empréstimo deve ser saldado daqui a dois meses com um único pagamento de R$ 100.000,00. O devedor propõe pagar R$ 60.000,00 agora e os restantes R$ 40.000,00 com data a combinar. Se o credor quer ganhar 15% a.m., capitalizados mensalmente, qual será a data fixada para o segundo pagamento? 6.12. Uma pessoa tomou emprestado R$ 20.000,00 para pagar depois de oito meses o capital mais os juros compostos de 12% a.m.. Dois meses antes da data marcada para a liquidação da dívida, procurou o credor propondo um pagamento de R$ 12.000,00 naquela data e se comprometendo a pagar R$ 34.000,00 após dois meses. O credor aceitou o acordo.

a. Quanto o devedor deveria pagar no final dos oito meses se o contrato não sofresse alteração? b. Quanto ficou devendo após efetuar o pagamento de R$ 12.000,00 na data do acordo? c. Quem levou vantagem com o acordo, o devedor ou o credor? Justifique.

6.13.. Um empréstimo de R$ 120.000,00 deve ser pago pelo sistema PRICE em quatro prestações mensais, com juros de 10% a.m.. Calcular o valor das prestações nos seguintes casos:

a. A primeira vence seis meses após o empréstimo. b. As prestações são imediatas. c. As prestações são imediatas e devem ser atualizadas de acordo com as seguintes taxas

mensais de inflação 5,68%, 9,18%, 12,84% e 14,14%. Faça o demonstrativo deste caso contendo prestações, juros, amortização, saldo devedor e saldo devedor atualizado. 6.14. Um empréstimo de R$ 250.000,00 deve ser pago, com juros de 8% a.m. , em 20 parcelas mensais, pelo SAC. Calcule os dois primeiros e os dois últimos pagamentos e faça um demonstrativo com apenas esses períodos. 6.15. Uma financeira empresta dinheiro por seis meses a 15% a.m. de juros compostos. Na data da liberação do empréstimo, 5% do seu valor fica retido a título de caução.

Qual a taxa mensal efetiva que o tomador paga, se o valor da caução não é restituído?

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b. Qual a taxa mensal efetiva que o tomador paga, se o valor da caução é restituído na data em que salda a dívida?

6.16. Uma financeira cobra juros compostos antecipados de 7,5% a.m. nos empréstimos que concede. Se uma empresa precisa de R$ 2.000.000,00 por três meses, quanto deve solicitar para que, pagando os juros, receba a quantia de que necessita? 6.17. O valor de R$ 12.000,00 foi financiado em 12 parcelas mensais com correção financeira e atualização monetária a cada quatro meses. As taxas acordadas para o negócio e a taxa a ser aplicada a título de correção e atualização são as seguintes:

Quadrimestre Taxa Juros Taxa Correção 1 2%a.m. 8%

2 1,8%a.m. 10% 3 1,5%a.m. ----

Construa as tabelas Price e SAC para esta situação.

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VII. Fluxo de Caixa 7.1. Introdução

Muito se tem escrito sobre as formas de apresentação dos resultados das empresas. E, mais ainda, sobre a substituição de algumas delas, porém, o que ocorre é que muitos dos profissionais que julgam por um formato ou outro apenas analisam seu caso, sem se preocupar com o todo ou até mesmo em relação a uma possível legislação sobre o assunto.

Nós, que estamos em um país denominado emergente, vez em quando somos “obrigados” a seguir determinadas formas, que nossos maiores financiadores impõem, influenciando de maneira decisiva em nossos costumes ou até mesmo em nossas vitais necessidades.

É importante ressaltar que todas as demonstrações financeiras, têm suas funções e suas importâncias, cada uma em seu tempo ou para uma determinada análise que se fará indispensável. Dentre essas podemos destacar as que muito são citadas e comentadas para possíveis mudanças e alterações, a saber: as Demonstrações de Origens e Aplicações de Recursos (Doar), o Resultado do Exercício (DRE) e, por fim, a Demonstração de Fluxo de Caixa (DFC), todas elas devem estar ligadas intimamente à contabilidade.

7.2. Considerações Gerais 7.2.1. Conceito

Por Fluxo de Caixa entende-se as alterações e ou modificações que influenciam o caixa em qualquer momento:

“... a Demonstração de Fluxo de Caixa (DFC) indica a origem de todo o dinheiro que entrou no Caixa, bem como a aplicação de todo o dinheiro que saiu do Caixa em determinado período, e, ainda o Resultado do Fluxo Financeiro”.

Essa demonstração tem a característica de evidenciar as transações que efetivamente movimentam o caixa. O que poderia ser uma característica controvertida. O registro de movimentações de caixa é muito dinâmico; a demonstração de fluxo de caixa, tal qual as demais demonstrações, é estática, ou seja, reflete um determinado momento ou, mais propriamente dizendo, um determinado saldo disponível e reportado.

Portanto, não devemos analisar o fluxo de caixa dessa forma, estática, verticalmente como são apresentados, uma vez que essa não é a realidade das empresas.

7.2.2. Objetivos

As informações sobre os fluxos de caixa de uma empresa são úteis para proporcionar aos usuários das demonstrações financeiras uma base para avaliar a capacidade da empresa em gerar caixa e valores equivalentes ao caixa e às necessidades da empresa para utilizar esses fluxos.

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A demonstração de fluxo de caixa propicia aos analistas financeiros uma fonte segura para melhor elaborar seus planejamentos financeiros, como também serve a outros usuários a forma com que a empresa gerou o caixa, ou até mesmo como utilizou os recursos e valores equivalentes ao caixa.

A empresa quando utiliza essa demonstração com as demais, supre de forma completa os usuários e, principalmente, os habilitam à avaliação nas mudanças de ativos líquidos de uma empresa e sua estrutura financeira, que podem ser exemplificadas nas questões de liquidez e solvência. E não obstante a esse fato, ainda temos a melhora significativa no conhecimento dos prazos inerentes aos fluxos de caixa, proporcionando adaptação às circunstâncias e às oportunidades.

Projeção visando a antecipar sobras de caixa (para aplicar) ou falta de caixa (para financiá-la), por exemplo, com bancos, também é mostrar as aplicações de recursos efetuadas pela empresa no período e quais as fontes de financiamento utilizadas. Sob o ponto de vista analítico, evidenciará o grau de eficiência da administração dos recursos da empresa.

Se há aplicações demasiadas em ativos não-operacionais e como a empresa está conseguindo recursos para essas aplicações. Se seus endividamentos são renováveis e se estão crescendo em face de novos investimentos ou em função de valorizações monetárias. Quais as alternativas que a empresa utilizou para solucionar ou agravar o problema financeiro.

Se uma mudança na política de estocagem ou de crédito teve resultados favoráveis ou desfavoráveis, como também se um determinado ganho de margem de lucro foi realmente benéfico, tendo-se em vista o volume investido em giro. Dessa forma, conseguiremos examinar as habilidades da empresa em gerar lucros futuros para liquidar empréstimo por meio do fechamento tranqüilo e contínuo do ciclo de operações da empresa.

À medida que o balanço patrimonial é composto de ativos e passivos, estes representam aplicações, que são uso/origens, fontes/recursos.

7.2.3. Termos Comuns

Os termos que são utilizados nessa demonstração têm o seguinte significado:

• Caixa: compreende numerário em mão e depósito bancário disponível; • Equivalente à caixa: são investimentos a curto prazo, de alta liquidez, que são prontamente

conversíveis em valores conhecidos de caixa e que estão sujeitos a um insignificante risco de mudança de valor;

• Fluxos de caixa: são entradas e saídas de caixa e equivalentes ao caixa; • Atividades operacionais: são as principais atividades geradoras de receita da empresa e outras

atividades diferentes das de investimento e financeiras; • Atividades de investimento: são as aquisições e venda de ativos de longo prazo e outros

investimentos não inclusos nos equivalentes ao caixa; • Atividades de financiamento: são atividades que resultam em mudanças no tamanho e na

composição do capital e empréstimo a pagar da empresa.

Definir o fluxo de caixa parece ser uma tarefa razoavelmente fácil, contudo a indústria financeira e os profissionais de contabilidade têm desenvolvido numerosos métodos para descrever o procedimento.

Suas definições sobre o que constitui o fluxo de caixa variam amplamente, dependendo da técnica que é utilizada e em qual empresa foi adotado, haverá variações enormes. Antes que o analista financeiro comece a executar sua função, o procedimento de fluxo deverá ser meticulosamente definido em relação à técnica a ser utilizada.

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Nenhuma medida exata de fluxo de caixa pode ser efetuada de tal forma que satisfaça toda a necessidade da análise financeira do usuário.

Especialistas em Ciências Contábeis e Finanças têm tentado fazer isso por anos, mas o problema analítico básico é que os elementos do fluxo de caixa estão envolvidos em todos os aspectos da performance operacional da empresa.

O que ocorre também é que por mais experiente que seja um analista financeiro, ele poderá ser confundido por analisar uma demonstração financeira sem conhecer efetivamente o negócio da empresa. Pois as receitas de vendas de uma empresa podem ser aumentadas a uma taxa alta e conduzidas a um crescimento dos níveis de lucros reportados, e esse analista pode ser induzido pelos números a assumir que sejam igualmente convertidos em altos níveis de fluxo de caixa líquido, e isso não é necessariamente o que ocorre.

Pormenorizando ainda mais o texto acima em nosso atual estágio econômico, as receitas crescentes geradas pelo aumento das vendas a crédito significam somente que os direitos em recebimento da empresa estão crescendo ou “inchando” o contas a receber, pois note que esses recebimentos são, na realidade, somente um documento de dívida. E em razão da expansão dos pagamentos feitos em atraso, a conversão desses ativos em líquidos de caixa, será atrasada, e, conseqüentemente, a empresa parecerá saudável financeiramente, mas será tão somente no papel, àquele reportado, mas na realidade poderá ser diferente e levar até à insolvência.

Os fatores mais usuais e que, se não forem analisados com muito rigor, poderão levar a empresa a sérios problemas de desequilíbrio financeiro, são:

• insuficiência crônica de caixa; • captação sistemática de recursos através de empréstimos bancários, principal-mente de curto

prazo; • sensação de esforços desmedidos; • sensação de risco de “quebra” repentina.

E que terá como causas básicas os seguintes indicadores:

• excesso de investimento em estoques; • aumento do prazo médio de recebimento de vendas; • diminuição do prazo médio de pagamento de compras; • excesso de imobilização; • inflação; • recessão.

E, por fim, devemos ilustrar todos os fatores citados com as devidas conseqüências. A empresa que não estiver atenta a todas as mudanças socioeconômicas nas quais está inserida terá problemas dos mais diversos quanto à sua complexidade:

• vulnerabilidade ante as flutuações de mercado; • atrasos no pagamento das obrigações; • tensões internas; • concordata; • falência.

O que ocorre com esse movimento é que as empresas começam a buscar os financiamentos para estabilizar o aumento do seu contas a receber com recursos externos, que deveriam ser direcionados a cobrir suas obrigações correntes.

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São passivos usuais das empresas:

• os tributos; • os bancos; • os fornecedores; • os funcionários.

O que poderá acarretar as principais faltas de caixa nas empresas são os fatores que mais preocupam os gestores financeiros. E, dentre eles, podemos exemplificar os seguintes:

• expansão descontrolada das vendas, acima de sua capacidade de comercialização; • insuficiência de capital próprio e utilização do capital de terceiros em proporção excessiva; • aumento exagerado do prazo de faturamento; • necessidade de compras em grande volume; • aumento da inadimplência; • aumento da necessidade de capital de giro em proporção maior do que o aumento do capital

circulante líquido; • aumento exagerado do ciclo financeiro; • baixa velocidade da rotação dos estoques; • excessiva distribuição de dividendos.

E em resumo a essas causas ou que possam levar a esses perigosos caminhos, teremos o seguinte quadro econômico para identificar:

• declínio das vendas; • retração do mercado; • elevação do nível de preços; • concorrência; • aumento da carga tributária; • aumento da inadimplência.

Para que possamos sanar essas conseqüências a ponto de não ter a situação empresarial mais agravada ou que as alternativas não sejam mais cabíveis devido ao prazo/tempo na tomada de decisão tardia, é consenso que existem medidas que poderiam amenizar, sanear parcial ou totalmente para que não chegue a vias da insolvência. São elas:

• aumento do capital próprio pela subscrição por parte dos sócios atuais; • aumento do capital próprio pela subscrição e integralização por parte de novos sócios; • redução do ritmo das atividades operacionais; • adequação do nível de operações ao nível de recursos disponíveis; • contenção dos custos e das despesas operacionais; • venda de imobilizados ociosos; • planejamento e controles financeiros.

E para que se possa tomar as devidas medidas no intuito de saneamento das dificuldades por parte da empresa em questão, devemos ter a noção exata das dimensões do fluxo de caixa: por exemplo, a curto prazo, deveria corresponder ao controle detalhado de entradas e saídas de caixa geradas durante o período projetado. Enquanto que, a longo prazo, deveríamos analisar e compreender a projeção sintética de todas as entradas geradas pela venda de bens e serviços e das saídas provocadas por custos operacionais e de capital, incluindo projetos de expansão, modernização, localização ou novas instalações fabris.

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É uma demonstração, sem dúvida nenhuma, com muita objetividade, e, por isso, no conceito de alguns especialistas, leva vantagem sobre as demonstrações legisladas como a Doar e até porque não dizer a DRE.

Infelizmente, nem mesmo o caixa é tão objetivo quanto parece ser à primeira vista. Há aspectos controversos sobre os quais inexiste consenso que podem levar a demonstrações completamente diferentes, conforme se adote um ou outro ponto de vista.

A demonstração de fluxo de caixa mostra as alterações líquidas que ocorrem na empresa, e as atividades do fluxo criam essas mudanças.

7.2.4. Demonstração

Avaliar as alternativas de investimento e controlar ao longo do tempo as decisões importantes que são tomadas na empresa, com reflexos monetários. Usando também como instrumento de verificação das situações presentes e futuras do fluxo de caixa na empresa, posicionando-a para que não chegue a situações de não-liquidez, com a precisão de que não haja excessos monetários de caixa, e, se houver serão devidamente aplicados.

As informações constantes dessas demonstrações sempre versarão sobre a capacidade de geração de caixa e de controle dos itens financeiros da empresa. Portanto, ela evidenciará a capacidade financeira de autofinanciamento das operações, deixando sempre para ultima instância a utilização do sistema bancário, evidentemente para captações de curto prazo.

É também informação básica dessa demonstração a evidenciação da capacidade de gerar recursos e expandir o nível de investimento, sempre considerando que as dívidas estarão suficientemente amortizadas, tanto a curto como a longo prazo.

A partir da leitura dessa demonstração, poderemos chegar a algumas ponderações, como, por exemplo:

• quais as causas das mudanças na situação financeira da empresa?; • em que foi empregado o lucro gerado pelas operações?; • como foi possível a empresa distribuir dividendos após prejuízo sofrido no exercício?; • de que forma a empresa consegue manter seus pagamentos em dia se os resultados vêm

sofrendo baixas, ou seja, negativos?; • como é financiada a expansão da empresa?; • com que recursos a empresa pode amortizar dívidas a longo prazo?; • o que é feito com as receitas de venda de imobilizados?; • os recursos gerados pela empresa são suficientes?; • habilidade da administração?; • a política de investimento é adequada?; • o nível de tesouraria.

7.2.5. Simbologia

A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste de uma escala horizontal onde são marcados os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima as entradas e com setas para baixo as saídas de caixa.

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O fluxo abaixo representa um investimento inicial de $3.000,00 hoje, que rende $2.000,00 no final do terceiro período, mais $2.000,00 no final do quinto período.

7.3. Lucro e o Fluxo de Caixa

Os rendimentos de uma empresa reportados nas suas demonstrações de resultados podem indicar uma condição saudável de toda a posição financeira. Em consonância a esse fato, as análises dos coeficientes também podem indicar uma condição igual, mesmo assim, essa empresa poderá estar perto de uma falência. E um profissional de finanças menos experiente pode até perguntar como ocorre essa situação de total incompatibilidade. A resposta é simples e objetiva somente a leitura do fluxo de caixa poderá identificar realmente o porquê da empresa estar neste aspecto. Vitalidades ou fraquezas financeiras não são identificáveis pela análise de coeficientes de uma demonstração de resultados ou de um balanço patrimonial.

Para analisar uma situação financeira de uma empresa e medir sua solvência, temos de separar os conceitos de receitas e despesas dos conceitos de recebimentos e pagamentos em caixa, pois isso permitirá ir ao âmago dos fluxos.

Apesar de o caixa e o rendimento estarem intimamente ligados, eles não são, em hipótese alguma, a mesma coisa, haja vista que o rendimento tem a ver com o excedente aos custos incorridos, e muitos eventos poderão ocorrer durante a transferência dos rendimentos em caixa. Um desses eventos poderá ser o aumento do papel, do capital em lucros não distribuídos de uma subsidiária à sua matriz.

Sob a óptica do método indireto da demonstração de fluxo de caixa, esse aumento seria adicionado à receita liquida da matriz, como caixa de atividade operacional; quando, na realidade, o fluxo da matriz inclui somente os dividendos pagos em caixa para a matriz pela subsidiária. No mundo econômico, o denominador final e comum a todas as operações é o dinheiro; e a longo prazo, o conceito volta exatamente a uma diferença de riqueza medida em dinheiro. No caso extremo, qual o lucro de uma empresa a longo prazo? É a diferença entre o valor de sua liquidação e os investimentos feitos pelos sócios. Assim, o conceito tradicional de lucro está vinculado, em sua última conseqüência, ao fluxo financeiro de ponta a ponta entre a empresa e seu proprietário.

No caso de inflação, é necessário colocar todos os componentes do fluxo em uma única moeda, corrigindo-se cada investimento feito pelos proprietários e cada lucro distribuído a eles ao longo do tempo. A necessidade de se conhecer continuamente o andamento da vida da entidade exige a elaboração das demonstrações contábeis periódicas. Para isso, o regime de competência produz realocações do fluxo financeiro de forma a ter as confrontações necessárias a uma boa análise da evolução da efetiva rentabilidade e da correta posição financeira de qualquer entidade.

A demonstração de resultado possui receitas que foram ou serão recebidas na forma de dinheiro, e despesas que foram ou serão pagas da mesma forma. Assim o lucro obrigatoriamente transita pelo caixa da empresa, por exemplo, a aquisição de mercadorias a prazo produz o registro do ativo antes do seu desembolso e pode acontecer de esses bens serem baixados antes mesmo do seu

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respectivo pagamento. Assim, há, sempre, uma diferença no tempo entre o momento em que se registra o lucro com a transação e o efetivo aparecimento, no caixa do respectivo montante. Ainda mais que as vendas podem também ter essa diferença temporal. Mas, inexoravelmente, o lucro bruto transita pelo caixa. E a diferença em termos de tempo, normalmente, é pequena.

7.4. Análise do Capital de Giro

Para começar nossa análise de caixa e identificarmos o fluxo de caixa, mais precisamente em uma empresa, devemos visualizar as mudanças do balanço patrimonial, e, mais intimamente, nas contas do ativo e passivo circulante para verificação dos efeitos.

Esse componente da análise do fluxo de caixa mede mudança em cada conta dos circulantes, e poderemos conferir a realização de ativos, entre esses: as contas de bancos, contas a receber e estoques; o aumento de capital próprio pode ser usado para aumentar a conta de estoques. A análise do capital de giro identifica a inclusão de recursos de giro adicionais de empréstimos a curto prazo, de lucros líquidos ou de novos investimentos de capital. As mudanças no capital de giro ocorre pelo movimento das estruturas do balanço patrimonial da empresa.

O ciclo de caixa do negócio influencia em grande parte as contas de giro e caixa em bancos. Todos negociantes começam seu fluxo de caixa pelos ciclos operacionais de um determinado ponto.

Enquanto o fluxo de caixa progride os serviços, os produtos da empresa são vendidos, geralmente, a crédito. E essas vendas aumentam o ativo circulante, mas só será por algum tempo e, com sorte, é que realmente aumentará seu fluxo, efetivamente cobradas então, essas vendas a crédito aumentarão a conta do caixa, que é chamada de contas a receber.

Finalmente, um outro ciclo é iniciado – a cobrança do contas a receber –, às quais retornam documentos de débito em caixa. Enquanto isso, esse ciclo não líquido continua, a empresa requer saldo para pagamento pronto de suas contas. Essa parte do ciclo do fluxo de caixa, são os salários, os impostos, os benefícios e outros. Dessa forma, o que podemos chamar de características da saída são muito mais curtas em relação às entradas. Ao analisar demonstração de fluxo de caixa no capital de giro, o analista deverá pesquisar os sinais de vitalidade do fluxo, tanto quanto os sinalizadores de sua fragilidade. A análise de coeficiente poderá ser muito útil para determinar esses sinais, a saber:

• Saldos de caixa que têm aumentado em taxas mais rápidas que o crescimento das receitas de vendas, contas a receber, estoques ou contas a pagar do último balanço patrimonial corrente.

• Saldos de contas a receber e estoques que não têm crescido tanto quanto as taxas de crescimento das vendas.

• Gastos com capital em ativos permanentes e outros ativos, que estão fundeados por débitos a longo prazo ou capital próprio.

• Pagamento de dividendos em caixa de lucros (lucros retidos) e não de empréstimos ou vendas ativas.

• Empréstimos reduzidos a pagamentos de débitos pelo fluxo de caixa internamente gerado.

Se esses são bons sinais de que as contas operacionais estão em ordem, e as contrapartidas conseguem se manter em nível satisfatório, também temos o inverso: os alertas aos quais devemos estar atentos para uma variação possivelmente, perigosa, que são:

• Empréstimos excessivos com linhas de crédito bancárias para financiar estoques e contas a receber com atraso.

• Agudos decréscimos nas contas de caixa enquanto vendas estão crescendo rapidamente, e as contas a pagar continuam em tendência crescente.

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• Decréscimos líquidos no capital de giro de uma empresa, que está crescendo rapidamente, com aumentos consideráveis no investimento de ativo permanente.

• Venda de ativos ou empréstimos para efetuar pagamentos de dividendos. • Usar o fluxo de caixa da economia de impostos e de depreciação para financiar dividendos

mais que a reposição de equipamento de capital. • Refinanciamento contínuo de débitos de longo prazo durante períodos de perda.

7.5. Análise de Origem e Aplicação de Recursos

Com as mudanças do Capital de Giro analisadas, torna-se necessário verificar o saldo das contas patrimoniais da empresa e a estrutura permanente, que consiste em seus ativos permanentes e suas obrigações a longo prazo, sem esquecer as contas de capitais dos sócios.

A análise do fluxo de caixa pode ser feita por meio das técnicas de origens e aplicações de recursos para medir as mudanças em cada ativo da estrutura permanente. Este tipo de análise identifica o movimento de fonte, pelo balanço patrimonial. Essa ferramenta financeira põe à tona o fluxo de caixa das contas acrescidas de depreciação. Ele mostra como é feito o financiamento de ativo permanente ou empréstimo a longo prazo.

O analista financeiro pode determinar se os pagamentos de dividendos são custeados pelos lucros. Também identificará se a empresa está aumentando seu capital de giro disponível pelas mudanças de recursos obtidos da porção permanente de seu balanço patrimonial. Altos níveis nesse caso, melhoram os fundos operacionais, mas aumentam a intensidade com que o capital de giro é alcançado pela redução dos recursos de longo prazo.

Fluxo de caixa suficiente não é somente para as necessidades de contas a receber ou a pagar, mas também para serviços de dívidas a longo prazo. O fluxo de caixa é para aquisição de equipamentos ou para modernização de instalações obsoletas, que precisam ser financiadas, enquanto marcas e patentes ou pesquisas devem ser pagas pelo fluxo de caixa da própria empresa.

A análise das fontes e uso identifica os montantes e as direções das mudanças e tipos dos recursos que, anteriormente, foram citados em um balanço patrimonial em sua parte permanente. Ao preparar a demonstração de fontes e usos, devemos dar respostas aos seguintes indicadores de fluxo de caixa na condição financeira a longo prazo da empresa.

Os profissionais de Ciências Contábeis, no intuito de melhorar a definição e mensuração do fluxo de caixa, que é a própria demonstração, estão utilizando as formas mais claras e objetivas para evidenciar quanto o caixa aumentou ou diminuiu do período reportado para o outro.

• A empresa está gerando caixa basicamente das atividades operacionais? • A empresa tem fluxo de caixa operacional negativo e está resolvendo a situação com fluxos de

caixa de financiamento (empréstimos, etc)? • O fluxo de caixa mostra a atividade de investimento financiada por fluxo de caixa operacional,

ou são atividades de financiamento, ou são usadas para fundear os investimentos? • Que tipos de fontes são utilizados para pagar dividendos? Lucros operacionais? Depreciação?

Empréstimos? Vendas de ativos? Mudanças do fluxo de caixa devem ser demonstradas como fontes e usos em três áreas:

• atividades operacionais; • atividades de investimentos; • atividades de financiamentos.

78

7.5.1. Atividades Operacionais

O montante dos fluxos de caixa decorrente das atividades operacionais é o indicador-chave da extensão em que as operações da empresa têm gerado suficientes fluxos de caixa para amortizar empréstimos, manter a capacidade operacional da empresa, pagar dividendos e fazer novos investimentos sem recorrer a fontes externas de financiamento. As informações sobre os componentes específicos dos fluxos de caixa operacionais históricos são úteis, com outras informações, na projeção de futuros fluxos de caixa operacionais.

Os fluxos de caixa decorrentes das atividades operacionais são basicamente derivados das principais atividades geradoras de receita da empresa. Portanto, eles podem resultar das transações e outros eventos que entram na apuração do lucro líquido ou prejuízo. Exemplos de fluxos de caixa que decorrem das atividades operacionais:

1. recebimentos em dinheiro pela venda de mercadorias e a prestação de serviços; 2. recebimentos em dinheiro decorrentes de royalties, honorários, comissões e outras receitas; 3. pagamentos em dinheiro a fornecedores por mercadorias e serviços; 4. pagamentos em dinheiro a empregados ou por conta de empregados; 5. recebimentos e pagamentos em dinheiro de uma seguradora por prêmios e sinistros, anuidades

e outros benefícios da apólice; 6. pagamentos em dinheiro ou restituição de impostos a menos que possam ser especificamente

identificados com as atividades financeiras ou de investimento; 7. recebimentos e pagamentos em dinheiro com referência a contratos de intermediação (dealing)

ou para transações próprias de venda (trading).

Algumas transações, como a venda de um ativo da fábrica, podem resultar em lucro ou prejuízo, que é incluído na determinação do lucro líquido ou prejuízo. Entretanto, os fluxos de caixa relativos a tais transações são fluxos de caixa provenientes de atividades de investimento.

Uma empresa pode ter títulos de renda e empréstimos para fins de intermediação ou negociação própria, em cujo caso eles são semelhantes a estoques adquiridos especificamente para revenda. Portanto, os fluxos de caixa decorrentes da compra e venda de valores como intermediação ou transação própria são classificados como atividades operacionais. Da mesma forma, os adiantamentos de caixa e empréstimos feitos por instituições financeiras são usualmente classificados como atividades operacionais, uma vez que se referem à principal atividade geradora de receita daquela empresa.

7.5.2. Atividades de Investimentos

A divulgação em separado dos fluxos de caixa decorrentes das atividades de investimento é importante, porque tais fluxos de caixa representam a extensão em que dispêndios foram feitos com recursos destinados a gerar futura receita e fluxos de caixa. Exemplos de fluxos de caixa decorrentes de atividades de investimento:

1. desembolsos para aquisição de ativo imobilizado, intangíveis e outros ativos a longo prazo. Esses desembolsos incluem os referentes a custos de desenvolvimento capitalizados e ativos imobilizados de construção própria;

2. recebimentos resultantes da venda de ativo imobilizado, intangíveis e outros ativos a longo prazo;

79

3. desembolsos para aquisição de ações ou instrumentos de dívida de outras empresas e interesses em joint ventures (exceto desembolsos referentes a títulos considerados como equivalentes à caixa ou mantidos para intermediação ou transação própria);

4. recebimentos provenientes da venda de ações ou instrumentos de dívida de outras empresas e interesses em joint ventures (exceto recebimentos referentes a títulos considerados como equivalentes à caixa e os mantidos para intermediação ou transação própria);

5. adiantamentos de caixa e empréstimos feitos a terceiros (exceto adiantamentos e empréstimos feitos por uma instituição financeira);

6. recebimentos por liquidação de adiantamentos ou amortização de empréstimos feitos a terceiros (exceto adiantamentos e empréstimos de uma instituição financeira);

7. desembolsos por contratos de futuros, contratos a termo, contratos de opção e swaps, exceto quando os contratos destinam-se à intermediação, ou transação própria, ou os pagamentos são classificados como atividades financeiras;

8. recebimentos por contratos de futuros, contratos a termo, contratos de opção e swaps, exceto quando os contratos são mantidos para intermediação ou transação própria, ou os recebimentos são classificados como atividades financeiras.

Quando um contrato é contabilizado como proteção (hedge) de uma posição identificável, os fluxos de caixa do contrato são classificados do mesmo modo como os fluxos de caixa da posição que é protegida.

7.5.3. Atividades Financeiras

A divulgação separada dos fluxos de caixa decorrentes das atividades financeiras é importante, porque é útil para predizer as exigências impostas a futuros fluxos de caixa pelos fornecedores de capital à empresa.

Exemplos de fluxos de caixa derivados de atividades financeiras:

1. numerário recebido proveniente da emissão de ações ou outros instrumentos de capital: 2. pagamentos a investidores para adquirir ou resgatar ações da empresa; 3. numerário recebido proveniente da emissão de debêntures, empréstimos, títulos e valores,

hipotecas e outras modalidades de captação de empréstimos a curto e longo prazo; 4. amortização de empréstimos a pagar; 5. pagamentos por um arrendatário pela redução do passivo pendente relativo a um arrendamento

financeiro.

Uma empresa poderá usar o formato direto e indireto via demonstração de fluxo de caixa.

O formato direto está embasado no regime de caixa, ou seja, tanto para os recebimentos quanto para os pagamentos.

No formato indireto, é realizada uma reconciliação do rendimento líquido para o caixa líquido, e as mudanças, aumento ou diminuição são medidos nas contas de capital de giro como contas a receber, estoques etc., que serão ajustados para rendimentos líquidos e mensuração de caixa.

Para que essa demonstração seja eficazmente utilizada, precisamos ter alguns cuidados no momento de sua análise. - A empresa está ganhando seu fluxo de caixa basicamente das atividades operacionais? - Ou a empresa está com o fluxo de caixa negativo e está resolvendo essa situação com fluxos de caixa de financiamento (empréstimos etc), além de se tornar um maior risco de crédito? - O fluxo de caixa mostra atividades de investimento financiadas por operações de fluxo de caixa, ou são atividades de financiamento que são utilizadas para fundear os investimentos? - Que tipos de fontes

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são usadas para pagar dividendos em caixa? Lucros operacionais? Depreciação? Empréstimos? Vendas de ativos?

Saber que se cumprem os seguintes objetivos:

• As necessidades de caixa do capital de giro da empresa. • Ser capaz de servir, com caixa, às suas obrigações para impostos, contas a pagar, leasing,

principal e juros de débitos e outras obrigações. • Pagar novos investimentos de capital fixo e substituição de equipamentos. • Cumprir suas necessidades de caixa para amortizar suas ações próprias, quando necessário pelo

prazo dessas ações e condições. • Então gerar fundos para pagar dividendos em caixa para proprietários. Ao cumprirmos tais

objetivos, teremos condições de responder às seguintes questões:

• Que quantia de caixa foi gerada e usada pelas operações? • Qual foi a fonte de caixa investido em novos ativos permanentes? • Como foi levantado o caixa? • Por que, a despeito de uma entrada líquida saudável, o saldo de caixa foi menor que o do

último período? • Como a empresa pôde pagar dividendos?

Os fluxos de caixa são provenientes de atividades operacionais do dia-a-dia, pois elas incluem atividades que não estão nas categorias de investimento e financeira.

É importante a participação da gestão financeira na questão estratégica da empresa, pois não deve apenas se limitar às situações de aplicação financeira, mas também deve influir na adequação de prazos e níveis de estoques, que, outrora, ficaram atrelados à gestão mercadológica.

7.6. Métodos de Análise 7.6.1. Método Payback

O Payback ou prazo de retorno de um projeto é a extensão de tempo necessária para que seus fluxos de caixa nominais cubram o investimento inicial. Tem como principais pontos fracos: não considerar o valor do dinheiro no tempo, não considerar todos os capitais do fluxo de caixa, não ser uma medida de rentabilidade do investimento e exigir um limite arbitrário de tempo para a tomada de decisão. É possível incluir o custo de oportunidade no cálculo do payback, resultando no que se convenciona chamar de payback descontado.

Dada as suas limitações e não obstante a sua simplicidade é muito mais provável que as

empresas empreguem o período de payback de um investimento como uma norma auxiliar na tomada de decisões sobre investimentos utilizando-o seja como um parâmetro limitador (prazo máximo de retorno) sobre a tomada de decisões, seja para escolher entre projetos que tenham desempenho igual em relação à regra básica de decisão. Este método consiste em avaliar em quanto tempo haverá recuperação do investimento inicial aplicado a partir das suas entradas de caixa. Segundo esse critério, devemos preferir sempre aquele projeto ou proposta que apresentar o menor tempo de recuperação do investimento inicial. Vamos considerar um exemplo bastante simples. Abaixo estão os fluxos de caixa relativos a duas situações financeiras distintas:

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Fluxo A

Fluxo B

Nas duas situações apresentadas acima, o projeto representado pelo fluxo de caixa A é vantajoso pois retorna (supera) o investimento realizado em apenas 2 períodos. Veja que formam desembolsados R$ 100,00 no início das situações. Na primeira, esses R$ 100,00 retornam ao final do segundo período (R$ 70,00 + R$ 70,00), enquanto que no segundo fluxo de caixa, isso somente vai acontecer no quarto período (R$ 20,00 + R$ 20,00 + R$ 50,00 + R$ 100,00). Vejamos um segundo exemplo, onde duas propostas de investimento estão sendo analisadas. Na primeira delas o desembolso inicial é de R$ 5.000,00 com retornos programados nos próximos 5 períodos. Vejamos:

A segunda possibilidade de investimento ocorre com o desembolso inicial de R$ 4.500,00 e tem retornos programados para os próximos 5 períodos:

De acordo com o método de análise Payback, o primeiro investimento é recomendado pois nele o retorno do investimento inicial ocorre no segundo período, enquanto que na segunda situação esse retorno é somente após o terceiro período. 7.6.2. Taxa Interna de Retorno

Taxa Interna de Retorno é aquela taxa de desconto que iguala os fluxos de entradas como os fluxos de saídas de um investimento. Com ela procura-se determinar uma única taxa de retorno, dependente exclusivamente dos fluxos de caixa do investimento, que sintetize os méritos de um projeto.

82

Em um entendimento simples, podemos considerar a TIR como sendo a taxa pela qual a

empresa igualaria suas entradas de caixa ao investimento inicial que foi realizado. Nessa técnica devemos atualizar ao período inicial cada uma das entradas do fluxo de caixa. Entradas essas, depois de atualizadas, serão somadas e comparadas com o desembolso inicial, de acordo com a fórmula;

∑= +

−t

nn

n

i

FCFC

10 )1(

Se o resultado desta conta for negativo, isto indica que o investimento inicial é menor do que os

retornos e o projeto deve ser aceito. Caso o resultado seja zero, existe um equilíbrio entre as entradas e saídas, enquanto que um resultado positivo, devemos entender que o fluxo de caixa está indicando um investimento que não terá retorno.

Vamos usar um dos exemplos anteriores e considerar os seguintes fluxos de caixa de dois

investimentos distintos:

Fluxo A

Fluxo B

Calculando a TIR para o primeiro fluxo de caixa:

( ) 8,1018,20110011,1847,1827,2828,6767,68100

)02,01(

20

)02,01(

20

)02,01(

30

)02,01(

70

)02,01(

70100

54321

−=−=++++−

++

++

++

++

+−=ATRI

Para a segunda situação:

( ) 23,17223,27210057,9038,9211,4757,2260,19100

)02,01(

100

)02,01(

100

)02,01(

50

)02,01(

20

)02,01(

20100

54321

−=−=++++−

++

++

++

++

+−=bTRI

Considerando que, no método de cálculo, o fluxo de caixa é analisado de forma inversa, os resultados negativos indicam que haverá um retorno positivo nos investimento pois eles superam os investimentos iniciais.

83

No exemplo acima, o fluxo de caixa A tem uma taxa interna de retorno de pouco mais do que 100%, enquanto que o segundo fluxo tem retorno de cerca de 170%. Nesse caso, o segundo fluxo de caixa indica uma situação mais favorável ao investidor. 7.6.3. Valor Presente Líquido

Essa é o método de análise de investimentos mais utilizado atualmente e consiste em atualizar as entradas de caixa futuras ao valor presente, considerando o curso de oportunidade que a empresa estará disposta a aceitar no projeto. Este custo de oportunidade será uma taxa de desconto ao qual será aplicada nas entradas de caixa.

Calcula-se aqui o valor líquido resultante do investimento inicial somado com todas as entradas

posteriores atualizadas ao momento atual, conforme a fórmula:

∑= +

=t

nn

n

i

FCVPL

0 )1(

Mais uma vez considerando os exemplos utilizados nas técnicas anteriores, teremos:

Fluxo A

Fluxo B

Calculando o VPL para o primeiro fluxo de caixa, considerando uma taxa de desconto de 10%a.m:

10,70$42,1266,1354,2285,5763,63100

)1,01(

20

)1,01(

20

)1,01(

30

)1,01(

70

)1,01(

70

)1,01(

100543210

RVPL

VPL

=+++++−=

=+

++

++

++

++

++−=

Fazendo o mesmo cálculo para o segundo fluxo de caixa, teremos:

65,102$09,6230,6856,3752,1618,18100

)1,01(

100

)1,01(

100

)1,01(

50

)1,01(

20

)1,01(

20

)1,01(

100543210

RVPL

VPL

=+++++−=

=+

++

++

++

++

++−=

84

Note que após a passagem de todo o período de investimento, aquele do segundo fluxo de caixa produzirá um retorno financeiro atualizado de R$ 102,65 enquanto que o primeiro de R$ 70,10, sendo assim preferível. Exercícios 7.1. Construa o fluxo de caixa para três situações distintas representadas na tabela abaixo:

Fluxo A Fluxo B Fluxo C Ano Valor Ano Valor Ano Valor

0 - 10.000,00 0 -10.000,00 0 -10.000,00 1 8.000,00 1 2.000,00 1 4.000,00 2 4.000,00 2 1.000,00 2 5.000,00 3 4.000,00 3 11.000,00 3 4.000,00 4 3.000,00 4 10.000,00 4 4.000,00 5 2.000,00 5 5.000,00 5 5.000,00

Em todos esses investimentos há uma taxa de 5% ao ano. Com base nisso, faça a análise dos investimentos pelos métodos Payback, TIR e VPL. 7.2. Um emprese projetou a compra de um novo equipamento de produção com o desembolso de R$ 100.000,00 no momento atual, seguido de R$ 200.000,00 em 30 dias. Os retornos acontecerão após o segundo mês e serão de R$ 150.000,00, R$ 150.000,00, R$ 250.000,00 e R$ 400.000,00, sempre mensais. Construa o fluxo de caixa para este investimento e considerando uma taxa de 6% a.m, analise o valor presente líquido dele. 7.3. Uma empresa que fará um investimento de R$ 10.000,00 em um equipamento e terá lucros de R$ 5.000,00 ao ano durante 4 anos. Após esse período esse equipamento será vendido por R$ 7.500,00. Considerando uma taxa de 10% ao ano, analise o VLP do investimento. 7.4. Um determinado investimento no ramo imobiliário requer um gasto inicial de R$ 240.000,00. Após 1 ano esse investimento gerará um retorno de R$ 50.000,00 por ano durante 8 anos. Para as seguintes taxas de atratividade, determine se o negócio deverá ser aceito ou não: a) taxa de atratividade de 10% ao ano; b) taxa de atratividade de 12% ao ano; c) taxa de atratividade de 15% ao ano; 7.5. Um terreno no valor de R$ 40.000,00 é vendido por 3 parcelas imediatas anuais de R$ 15.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 10.000,00. Calcule a taxa interna de retorno desse investimento. 7.6. Um imóvel no valor de R$ 40.000,00 é vendido à vista ou financiado por 8 prestações mensais de R$ 5.500,00 para as três primeiras e R$ 8.000,00 para as cinco últimas. Considerando uma taxa de desconto de 3% a.m, calcule o valor presente líquido deste negócio. 7.7. Uma corretora investe R$ 50.000,00 no início de suas operações e durante os próximos 5 anos ela terá entradas de caixa no valor de R$ 30.000,00 cada uma delas. Considerando um custo de oportunidade de 12% ao ano, essa corretora deve iniciar suas atividades? Qual seria a taxa mínima que garantiria o equilíbrio nas contas desta corretora?

85

7.8. Uma imobiliária estuda a viabilidade de lançamento de um conjunto de 150 casas a um valor de R$ 12.000,00 como entrada para a empresa por unidade vendida. Essas casas são construídas e entregues após 5 anos. O custo anual para a compra do material utilizado nas construções das casas é de R$ 210.000,00 por ano, pagamentos de salário na ordem de R$ 14.000,00 por ano e a empresa teria um gasto adicional no valor de R$ 350.000,00 para dar início a construção. Supondo que são vendidas 30 casas por ano e que o pagamento é antecipado e à vista, considere um custo de oportunidade de 10% ao ano e encontre: a) elabora o fluxo de caixa; b) o novo projeto deve ser lançado? Por que? c) verifique a possibilidade pro projeto considerando uma depreciação de 12% no preço do imóvel e um reajuste de 10% no material usado nas casas. 7.9. Calcule o VLP para os seguintes projetos, com duração de 7 anos, considerando uma taxa de atratividade ou oportunidade de 15% ao ano: a) investimento inicial de R$ 10.000,00 e entradas de caixa de R$ 3.800,00 ao ano; b) investimento inicial de R$ 30.000,00 e entradas de caixa de R$ 8.000,00 ao ano; c) investimento inicial de R$ 50.000,00 e entradas de caixa de R$ 12.000,00 ao ano; 7.10. Um investimento de marketing de uma empresa prevê dois desembolsos de R$ 30.000,00 realizados no primeiro ano (um em cada semestre) e um retorno de R$ 6.000,00 a cada mês após o início do segundo ano. Considerando um taxa de atratividade de 5% a.m., encontre o VLP dessa situação.

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Bibliografia

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