Centro Federal de Educao Tecnolgica Celso Suckow da Fonseca UNED Maracan Discente:____________________________________________________________ 2 Srie Data: ____/_____/______ Professor: Wellington

TatagibaLista de Exerccios Anlise Combinatriaa) 6 b) 24 c) 64 d) 168

3) ( UERJ 01 / 2 ) -

Princpio Fundamental da Contagem ( P.F.C. ) ou Princpio Multiplicativo

PFC : Se um acontecimento A1 pode ocorrer de m1 maneiras diferentes, para cada maneira de A1 ocorrer, um acontecimento A2 pode ocorrer de m2 maneiras diferentes; para cada maneira de A1 e de A2 ocorrerem, um acontecimento A3 pode ocorrer de m3 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, at que para cada maneira de A1, A2,...,An-2 e de An-1 ocorrerem, um acontecimento An pode ocorrer de mn maneiras diferentes; ento o nmero de maneiras diferentes de ocorrerem A1, A2, A3, ... , An-1 e An : m1.m2.m3...mn. Obs.: As Frmulas de Anlise Combinatria so baseadas nesse princpio.

Trechos complementares de duas cadeias de nucleotdeos de uma molcula de DNA. Observe que uma cadeia se dispe em relao outra de modo invertido. (Adaptado de LOPES, Snia. BIO 3. So Paulo: Saraiva,1993.) Considere as seguintes condies para a obteno de fragmentos de molculas de DNA: todos os fragmentos devem ser formados por 2 pares de bases nitrogenadas; cada fragmento deve conter as quatro diferentes bases nitrogenadas. O nmero mximo de fragmentos diferentes que podem ser assim obtidos corresponde a: a) 4 b) 8 c) 12 d) 24 4) ( UFRJ ) - Um construtor dispe de quatro cores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas no possuam a mesma cor. Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura seriam:

Recomendao : Pequenas dificuldades adiadas costumam transformar-se em grandes dificuldades. Se alguma deciso mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeiro lugar.

1) ( UFLA ) Caminhando-se sempre no sentido da direita, o nmero de caminhos possveis entre A e B :

a) 12

b) 16

c) 24

d) 30

e) 40

2) ( UERJ 03 / 1 ) - Numa cidade, os nmeros telefnicos no podem comear por zero e tm oito algarismos, dos quais os quatro primeiros constituem o prefixo. Considere que os quatro ltimos dgitos de todas as farmcias so 0000 e que o prefixo da farmcia Vivavida formado pelos dgitos 2, 4, 5 e 6, no repetidos e no necessariamente nesta ordem. O nmero mximo de tentativas a serem feitas para identificar o nmero telefnico completo dessa farmcia equivale a:

Determine o nmero de possibilidades diferentes de pintura. 5) ( RURAL ) - Para diminuir o emplacamento de carros roubados, um determinado pas resolveu fazer um cadastro nacional, onde as placas so formadas com 3 letras e 4 algarismos, sendo que a primeira letra da placa determina um estado desse pas. Considerando o alfabeto

com 26 letras, o nmero mximo de carros que cada estado poder emplacar ser de: a) 175.760 b) 409.500 c) 6.500.000 d) 6.760.000 e) 175.760.000

8) 2000

9) 720

10) B

11) 3168

6) ( RURAL ) - Quantos nmeros compreendidos entre 100 e 1000 pode-se formar, sem repetio, com os algarismos 0, 1, 3, 4 e 7 ?

7) ( UFF ) Uma empresa vai fabricar cofres com senhas de 4 letras, usando 18 consoantes e as 5 vogais. Se cada senha deve comear com uma consoante e terminar com uma vogal, sem repetir letras, o nmero de senhas possveis : a) 3060 b) 24.480 c) 37.800 d) 51.210 e) 73.440

Anlise CombinatriaFrmulas de Anlise Combinatria :

8) ( RURAL ) - Em um sistema de emplacamento de veculos implantado no incio de1989 em um pas cujo alfabeto possui 21 ( vinte e uma) consoantes, as placas so formadas com 2 consoantes distintas, seguidas de 3 dgitos numricos. No momento da mudana do sistema, j existiam 200.000 carros naquele pas ( j usando, portanto, 200.000 placas do novo sistema) e a cada ano que passa o nmero de carros aumenta em 20.000. Em que ano esse sistema de emplacamento entrar em colapso? ( o nmero de carros ser maior que o nmero de placas). 9) ( UERJ 07 ) Um sistema de numerao de base b, sendo b 2, utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1. O sistema de numerao usual o decimal. Quando escrevemos um nmero nesse sistema, a base 10 no precisa ser indicada. Por exemplo, o nmero 3548 corresponde a 3 103 + 5 102 + 4 101 + 8 100. Em qualquer outro sistema, preciso indicar a base. Por exemplo, o nmero (2043)5 est escrito na base b = 5 e corresponde a 2 53 + 0 52 + 4 51 + 3 50, ou seja, 273 no sistema decimal. Sabe-se que, em qualquer base, o acrscimo de zeros esquerda da representao de um nmero no altera seu valor. Os nmeros (301)7 e (0301)7 so, portanto, iguais e formados por trs algarismos. Calcule, no sistema de numerao de base 7, a quantidade total de nmeros que possuem somente quatro algarismos distintos. 10) ( UFJF ) Temos sete cores distintas e queremos pintar um painel com quatro listras, cada listra de cor diferente. O nmero de maneiras com que isso pode ser feito : a) 35 b) 840 c) 2401 d) 16384 11) ( UFRJ ) Quantos nmeros de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?

A anlise combinatria a parte da Matemtica que tem como objetivo estudar o nmero de possibilidades de ocorrncia de um determinado acontecimento (evento) atravs de agrupamentos possveis de se fazer com os elementos de um conjunto descrever dado, todas sem as

necessariamente,

possibilidades. Estes agrupamentos podem diferir entre si pela ordem e/ou natureza dos elementos.

i) Permutaes Simples : Pn =n ! , ii) Arranjos Simples :

n 1

A

n, p

=

n! ,n p ( n - p) !

iii) Combinaes Simples :

C

n, p

=

n! ,n p p !.( n - p ) !

iv) Arranjos que podem ter elementos repetidos : A R =n p , n pn, p

v) Permutaes com elementos repetidos :

P R

r , r ,..., r 1 2 k n

=

n! r!r ! . ..... r !1 2 k

vi) Combinaes que podem ter elementos repetidos :

( CR ) n , p1) C 2) B 3) B 4) 324 5) D 6) 48 7) C

= Pnp , n 1 = Cn + p 1, p = + p 1

( n + p 1) !. p ! . ( n - 1) !

* neste caso p pode ser maior do que n. vii) Permutaes Circulares :

PC =n

n! = ( n 1) ! n

Resoluo :

1) Um grupo formado por 5 pessoas : A, B, C, D e E . De quantas maneiras podemos escolher duas pessoas desse grupo, uma para ser presidente e a outra para ser vice presidente de uma empresa ? Faa um diagrama de rvore para ilustrar todas as possibilidades. Resoluo :

5) De quantas maneiras cada escolha de trs pessoas no exerccio 4 podem ocupar uma vaga de presidente, uma de vice presidente e uma de secretrio(a) da empresa ? Resoluo :

2) De quantas maneiras cada dupla escolhida no exerccio 1 pode ocupar uma vaga de presidente e a outra de vice presidente da empresa ? Resoluo :

6) Uma famlia composta de 5 pessoas : A, B, C, D e E. De quantos modos diferentes podemos escolher trs pessoas dessa famlia para ocuparem trs cargos iguais ? Que relao h entre o resultado encontrado neste exerccio e os resultados encontrados nos exerccios 4 e 5? Resoluo :

3) Uma famlia composta de 5 pessoas : A, B, C, D e E. De quantos modos diferentes podemos escolher duas pessoas dessa famlia para ocuparem dois cargos iguais ? Que relao h entre o resultado encontrado neste exerccio e os resultados encontrados nos exerccios 1 e 2? Resoluo :

7) Por que nos exerccios 3 e 6 o nmero de possibilidades o mesmo ? Resposta :

8) O que fatorial de um nmero natural n maior ou igual a 2 ? E se n = 1 ? E se n = 0 ? Resposta : 4) Um grupo formado por 5 pessoas : A, B, C, D e E . De quantas maneiras podemos escolher trs pessoas desse grupo, uma para ser presidente, uma para ser vice presidente e um(a) para ser secretrio(a) de uma empresa ? Faa um diagrama de rvore para ilustrar todas as possibilidades .

9) O que significa permutar os elementos de um conjunto ? De quantas maneiras podemos permutar n elemento(s) de um conjunto ? ( os elementos so diferentes ) Resposta :

10) Entre os exerccios de 1 a 6, quais so de permutaes ? Resposta :

FRMULA II Representamos por A n , p ( 0 p n ), o nmero de Arranjos de n elemento(s) escolhido(s) p a p . Calculamos esse nmero pela frmula :

A n, p =

( n- p )!

n!

FRMULA I De ( 9 ) conclumos que o nmero de permutaes de n elemento(s) distintos dado pela frmula :

Observem que

A n, n =

Pn = n !11) O que um anagrama ? Resposta :

(

n! n! n! = = = n ! = Pn n-n )! 0! 1

Observem para encontrarmos as respostas nos exerccios 1 e 4 efetuamos o produto de 5 pelos seus sucessivos antecessores at que o nmero de fatores fosse igual ao nmero de pessoas que desejvamos escolher. Usando esse mesmo raciocnio, porm de forma generalizada, podemos demonstrar a frmula II.

Demonstrao : 12) Quantos anagramas podemos formar com a palavra QUADRO ? Resposta :

ARRANJOS so agrupamentos ( que se diferem pela ordem de seus elementos) possveis de serem feitos escolhendo uma parte ou o todo de um conjunto. Se escolhermos todo o conjunto o mesmo que permutao. 14) Calcule sem usar as frmulas de anlise combinatria :

a ) A10,13) Entre os exerccios de 1 a 6, quais so de arranjos ? Resposta :

3

b ) A9, 5

c ) A7, 615) Calcule usando as frmulas de anlise combinatria :

19) Por que 0 ! = Resposta :

1

?

a ) A10, 3 b ) A9, 5 c ) A7, 6COMBINAES so agrupamentos ( que NO se diferem pela ordem) possveis de serem feitos escolhendo uma parte ou o todo de um conjunto. S temos uma possibilidade para escolhermos todos os elementos do conjunto.

Questes de Vestibulares1) ( CEFET ) Na resoluo de um problema de anlise combinatria, envolvendo n elementos, obtm-se a equao 2.C n , 4 =5.C n , n - 2 . O conjunto verdade dessa equao : a) { -3, 8 } b) { 5, 8 } c) { -3 } d) { 5 } e) {8}

16) Entre os exerccios de 1 a 6, quais so de combinaes? Resposta :

Observem que, de acordo com as segundas perguntas feitas nos exerccios 3 e 6, para cada combinao de 2 elementos temos 2 ! arranjos e para cada combinao de 3 elementos temos 3 ! arranjos. Assim sucessivamente, para cada combinao de p elemento(s) escolhido(s) entre o(s) n elemento(s) de um conjunto temos p ! arranjos. Ento,

2) ( UNIFICADO ) Durante a copa do Mundo, que foi disputada por 24 pases, as tampinhas da Coca-Cola traziam palpites sobre os pases que se classificariam nos trs primeiros lugares ( por exemplo : 1 lugar, Brasil; 2 lugar, Nigria; 3 lugar, Holanda ). Se, em cada tampinha, os trs pases so distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir ? a) 69 b) 2024 c) 9562 d) 12.144 e) 13.824 3) ( RURAL ) Em uma tribo indgena o paj conversava com seu totem por meio de um alfabeto musical. Tal alfabeto era formado por batidas feitas em cinco tambores de diferentes sons e tamanhos. Se cada letra era formada por trs batidas, sendo cada uma em um tambor diferente, pode-se afirmar que esse alfabeto possua quantas letras? a) 10 b) 20 c) 26 d) 49 e) 60

A n , p = p ! . C n, p C n, p =

A n, p

n! ( n - p) ! = p! p!

FRMULA III

C

n, p

=

n! p ! . ( n p) !

4) ( UFMG ) - Duas das cinqenta cadeiras de uma sala sero ocupadas por dois alunos. O nmero de maneiras distintas possveis que esses alunos tero para escolher duas das cinqenta cadeiras, para ocup-las, a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 49! e) 50! 5) ( UFRJ / 1 ) - Uma escola quer organizar um torneio esportivo com 10 equipes, de forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras. Quantos jogos ter o torneio? 6) ( EsPCEx ) Dados os conjuntos E = { 1, 2, 3, 4 } e F = { a, b, c, d, e, f }, calcule o nmero de aplicaes injetoras de E em F. a) 16 b) 24 c) 360 d) 720 e) 1080

17) Calcule sem usar as frmulas de anlise combinatria:

a ) C 10, b ) C 20, c) C 60,

3

17

6

18) Calcule usando as frmulas de anlise combinatria:

a ) C 10, b ) C 20, c) C 60,

3

17

7) ( RURAL 03 ) Caroline vai todos os dias sorveteria para saborear um sorveto ( um sorvete formado por duas bolas de sabores diferentes ). Sabe-se que h um total de 15 tipos de sabores diferentes de sorvetes na sorveteria. Se Caroline saborear apenas 1 sorveto e se considerarmos que a ordem das bolas no importa, ela ter experimentado todos os possveis sorvetes em: a) 15 dias b) 30 dias c) 90 dias d) 105 dias dias e) 110

6

8) ( PUC ) Se, em um encontro de n pessoas, todas apertarem as mos entre si, ento o nmero de apertos de mo ser : a) n2 b) n(n-1) c) n(n-1) / 2 d) n e) 2n 9) ( RURAL ) - Numa recepo h 50 homens e 30 mulheres. O nmero de apertos de mo possveis, sabendo-se que 70% das mulheres no se cumprimentaram entre si, : 10) ( UFF ) - Cada pessoa presente a uma festa cumprimentou a outra, com um aperto de mo, uma nica vez. Sabendo-se que os cumprimentos totalizaram 66 apertos de mo, pode-se afirmar que estiveram presentes festa: a) 66 pessoas b) 33 pessoas c) 24 pessoas d) 12 pessoas e) 6 pessoas 11) So dados 12 pontos num plano, 3 a 3 no colineares. O nmero de retas distintas determinadas por esses pontos a) 66 b) 78 c) 83 d) 95 e) 131 12) ( UFRJ ) - Em todos os 53 finais de semanas do ano 2000, Jlia ir convidar duas de suas amigas para sua casa em Terespolis, sendo que nunca o mesmo par de amigas se repetir durante o ano. a) Determine o maior nmero possvel de amigas que Jlia poder convidar. b) Determine o menor nmero possvel de amigas que ela poder convidar. 13) ( EsPCEx ) Sobre um plano existem alguns pontos, distribudos de tal forma que nunca estejam alinhados trs a trs. Se com esses pontos conseguimos determinar 36 segmentos de reta, qual ser o nmero de pontos existentes ? a) 8 b) 9 c) 12 d) 18 e) 24

podem ser feitas com um s tipo de fruta ou misturando-se os tipos de fruta de acordo com o gosto do fregus. Desse modo, quantas opes de vitaminas a lanchonete oferece ? a) 10 b) 25 c) 31 d) 35 e) 120

19) ( FUVEST ) - A escrita Braille para cegos um sistema de smbolos onde cada caractere formado por uma matriz de 6 pontos dos quais pelo menos um se destaca em relao aos outros. Assim por exemplo:

Qual o nmero mximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita? a) 63 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36 20) Um posto de sade possui 4 mdicos ( A, B , C e D ) e 3 enfermeiros ( E, F e G ) . Para tirar um planto so escolhidos diariamente 2 mdicos e 2 enfermeiros. Quantos dias no mximo esse hospital funcionar no planto sem repetir a mesma equipe por completo ? Faa um diagrama de rvore com todas as possibilidades de equipes que podem estar de planto . Resoluo :

14) ( UFRS ) - O nmero mximo de quadrilteros convexos com vrtices em oito pontos distintos marcados em um crculo : a) 24 b) 70 c) 350 d) 840 e) 1 600 21) ( RURAL ) Em uma Universidade, no Departamento de Veterinria, existem 7 professores com especializao em Parasitologia e 4 em Microbiologia .Em um congresso, para a exposio dos seus trabalhos, sero formadas equipes da seguinte forma: 4 com especializao em Parasitologia e 2 com especializao em Microbiologia. n Quantas equipes diferentes podero ser formadas? 22) ( RURAL ) Em uma sala esto 6 rapazes e 5 moas. Quantas comisses podemos formar, tendo em cada comisso 3 rapazes e 2 moas ? a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250

15) Sobre uma circunferncia, tomam-se oito pontos distintos. O nmero de polgonos convexos inscritos, com vrtices nesses pontos, : a) 219 b) 256 c) 288 d) 367 e) 381

16) Quantas diagonais tem um polgono convexo de lados ?

17) Qual o nmero de subconjuntos de um conjunto com n elementos ? 18) ( UFES ) Uma lanchonete faz vitaminas com uma, duas, trs, quatro ou cinco frutas diferentes, a saber : laranja, mamo, banana, morango e ma. As vitaminas

23) ( RURAL ) Um restaurante apresenta em seu cardpio 6 tipos de carne, 5 tipos de salada, 4 tipos de

sobremesa e 3 tipos de bebida. Um fregus pode escolher uma refeio composta por 3 tipos de carne, 4 de salada, 2 de sobremesa e 2 de bebida, de quantas maneiras ? a) 480 b) 1 080 c) 1 800 d) 2 500 e) 2 700

24) Um indivduo possui cinco discos dos Beatles, oito dos Rolling Stones e quatro do Dire Straits. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou dois discos dos Beatles, dois dos Rolling Stones e trs do Dire Straits. O nmero de modos distintos de escolher os discos : a) 12 b) 42 c) 160 d) 1 120 e) 1 200

Realizado o sorteio, ele verifica que todos os 6 nmeros esto entre os 20 que ele escolheu. Alm de uma aposta premiada com a sena : a) quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu ? b) quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu ? 31) ( UFRJ ) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do livro Combinatria fcil e 5 exemplares de Combinatria no difcil. Considere que indistinguveis. os livros com mesmo ttulo sejam

25) ( RURAL ) - Em uma congregao de 20 professores, 6 lecionam matemtica. O nmero de comisses de 4 professores que podem ser formadas, de modo que exista no mximo um professor de matemtica em cada uma delas, de: 26) ( RURAL ) Quantas comisses de 5 pessoas podemos formar com 8 rapazes e 4 moas, de modo que tenhamos pelo menos 2 moas ? 27) ( RURAL ) Numa classe h 10 moas e 8 rapazes. Quantas comisses com 5 elementos podemos formar, de modo que em cada comisso haja pelo menos um rapaz e as moas sejam a maioria? 28) ( RURAL ) Carlos, aluno de dana de salo da Academia do Jlio e freqentador assduo de bailes, ficou muito entusiasmado com os passos do fox, do bolero e do samba. Resolveu, ento, criar uma nova dana chamada sambolerox, na qual existem passos das trs danas que o entusiasmaram. Carlos teve a idia de formar um grupo de passos, com 5 passos dos nove conhecidos do fox, 4 dos seis conhecidos do bolero e 3 dos cinco conhecidos do samba. Com um grupo formado, Carlos inventou seus passos de sambolerox, misturando 3 passos, um de cada estilo de dana, sem se preocupar com a ordem dos mesmos. O nmero de grupos que Carlos poderia ter formado e o nmero de seqncia de passos de sambolerox em cada grupo so, respectivamente, a) 18900 e 60 b) 60900 e 12 c) 20 e 60 d) 60900 e 60 e) 20 e 18900 29) So dadas duas retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos sobre uma e 8 pontos distintos sobre a outra. Quantos tringulos podemos formar ligando trs quaisquer desses 18 pontos? 30) ( FUVEST ) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 nmeros distintos, escolhidos ao acaso, entre os nmeros 1, 2, 3, ..., at 50. Uma aposta consiste na escolha ( pelo apostador) de 6 nmeros distintos entre os 50 possveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 ( quadra), 5( quina) ou todos os 6 ( sena ) nmeros sorteados. Um apostador , que dispe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 nmeros e faz todos os C20, 6 = 38.760 jogos possveis de serem realizados com esses 20 nmeros.

Determine de quantas maneiras diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de Combinatria no difcil nunca estejam juntos. 32) ( FUVEST ) O nmero de anagramas da palavra ENGENHARIA que no possuem vogais juntas : a) 1.800 b) 3.600 c) 7.200 d) 14.400 e) 10 ! f) 10.800 33) ( ITA ) Quantos anagramas de 6 caracteres distintos podemos formar usando as letras da palavra QUEIMADO, anagramas estes que contenham duas consoantes e que , entre as consoantes, haja pelo menos uma vogal ? a) 7200 b) 7000 c) 4800 d) 3600 e) 2400 34) ( USS ) Quantos so os anagramas da palavra BRASIL nos quais a letra B no ocupa nenhum dos dois primeiros lugares e, ao mesmo tempo, a letra L no ocupa o ltimo lugar ? a) 324 b) 360 c) 408 d) 426 e) 432

35) ( FGV ) - Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrnico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do nmero. Ela lembra que o nmero tem 5 algarismos, comea com 6, no tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posio. O nmero mximo de tentativas para acertar a senha a) 1 680 b) 1 344 c) 720 d) 224 e) 136 36) No Colgio Exato, s sextas-feiras, so lecionados 6 tempos de aula, sendo 3 de Matemtica, 2 de Fsica e 1 de Qumica. Sabendo-se que os tempos de uma mesma disciplina podem ser separados. Qual expresso a seguir representa o nmero de maneiras de montar o horrio nesse dia ?2 a) C 3 .C 6 .C1 6 6

b) P3 .P2 .P 1

2 c) A 3 .A 3 .A1 6 1

2 d) C3 .C 3 .C1 6 1

2 e) A 3 .A 6 .A1 6 6

37) ( UFRJ 07 / 1 ) De quantos modos podemos formar 3 equipes de 3 pessoas cada uma, dispondo de um grupo de 9 pessoas ? 38) ( UNIRIO ) Um grupo de 9 pessoas, dentre elas os irmos Joo e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram 3 barracas diferentes, sendo que, na primeira, dormiram duas pessoas; na segunda, trs pessoas; e, na terceira, as quatro restantes. De quantos modos diferentes eles se podem organizar, sabendo que a nica restrio a

de que os irmos Joo e Pedro NO podem dormir na mesma barraca ? a) 1260 d) 1050 b) 1225 e) 910 c) 1155

49) De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianas, de modo que duas determinadas dessas crianas no fiquem juntas ? 50) ( UFRJ ) Um grupo constitudo por 4 mulheres e 4 homens deve ocupar as 8 cadeiras dispostas ao redor de uma mesa circular. O grupo deve ser acomodado de modo que cada homem sente entre duas mulheres. Joo e Maria esto nesse grupo de pessoas; entretanto, por motivos de ordem estritamente pessoal, no podem sentar-se lado a lado. Duas acomodaes das pessoas ao redor da mesa so consideradas diferentes quando pelo menos uma das pessoas no tem o mesmo vizinho direita, nas duas acomodaes. Determine o nmero de diferentes acomodaes possveis dessas 8 pessoas ao redor da mesa circular.

39) Dados os pontos A ( 0, 0 ), B ( 4, 4 ) e C ( 6, 5 ), determine : a) Quantos so os trajetos de comprimento mnimo ligando o ponto A ao ponto C ? b) Quantos desses trajetos passam por B ? 40) Quantos so os trajetos de comprimento mnimo ligando o ponto C ao ponto T ? a) Se C ( 0, 0 ) e T ( 3, 3 ), sabendo-se que o trecho entre os pontos ( 1, 2 ) e ( 2, 2 ) est interditado. b) Se C ( 0, 0 ) e T ( 6, 5 ), sabendo-se que o trecho entre os pontos ( 3, 3 ) e ( 4, 3 ) est interditado. 41) De quantas maneiras podemos escrever a palavra AMOR , no desenho a seguir , usando 4 letras dispostas consecutivamente A A M A M O A M O R 42) De quantas maneiras podemos escrever a palavra ALCANCE, no desenho a seguir , usando 7 letras dispostas consecutivamente A A L A L C A L C A A L C A N A L C A N C A L C A N C E 43) ( UFRJ ) Uma partcula desloca-se sobre uma reta, percorrendo 1 cm para a esquerda ou para a direita a cada movimento. Calcule de quantas maneiras diferentes a partcula pode realizar uma seqncia de 10 movimentos, terminando na posio de partida. 44) Quantas so as solues inteiras x + y + z = 4 , com x 0, y 0 e z 0 ? da equao

RESPOSTAS: 1) E 2) D 3) E 4) B 5) 45 6) C 7) D 8) C 9) 2950 10) D 11) A 12) a) 106 b) 11 13) B 14) B 15) A 16) n.(n 3 )/2 17) 2 n 18) C 19) A 20) 18 21) 210 22) D 23) C 24) D 25) 3185 26) 456 27) 5040 28) A 29) 640 30) a) 84 B) 1365 31) 792 32) F 33) A 34) C 35) B 36) D 37) 280 38) E 39) a) 462 b) 210 40) a) 14 b) 342 41) 8 42) 64 43) 252 44) 15 45) 84 46) B 47) 60480 48) 2 e 720 49) 480 50) 72

45) ( UNIRIO ) Uma pessoa quer comprar 6 empadas numa lanchonete. H empadas de camaro, frango, legumes e palmito. Sabendo-se que podem ser compradas de zero a seis empadas de cada tipo, de quantas maneiras diferentes esta compra pode ser feita ? 46) ( USM ) O nmero de solues inteiras e positivas de x + y + z = 10 igual a : a) 24 b) 36 c) 48 d) 60 e) 66 47) De quantas maneiras possvel colocar 6 anis diferentes em 4 dedos ? 48) Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com 3 crianas? E com 7 crianas ?