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2ª EDIÇÃO

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Glaciete Jardim Zago

Walter Antonio Sciani

Trigonometria

Conselho Editorial:

Diretor Editorial: Diretor Comercial: Diretor de Publicidade: Conselho Editorial:

Consultor Técnico: Coordenação: Diagramação:

Desenhos Técnicos: Revisão Interna: Finalização de Capa: Revisão Gramatical:

Ano: 2002 2001 2000 1999

Edição: 8 7 6 5 4 3 2

Editora Érica Ltda.

Antonio Marco Vicari Cipelli Paulo Roberto Alves Waldir João Sandrini Celso de Araujo, Eduardo Cesar Alves Cruz, Glaciete Jardim Zaga, Salomão Choueri Junior e Walter Antonio Sciani Wagner Sciani Rosana Arruda da Silva Érica Regina Pagano, Graziela M.L.Gonçalves e Rosana Ap. Alves Santos Pedro Paulo Vieira Herruzo Érica Regina Pagano e Rosana Arruda da Silva Maurício Scervianinas de França Marlene Teresa Santin Alves

Copyright © 1997 da Editora Érica Ltda.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Zaga, Glaciete Jardim Trigonometria/ Glaciete Jardim Zago, Walter Antonio

Sciani. São Paulo: Érica, 1997. - (Coleção Estudo e Use, Série Matemática).

Bibliografia. ISBN 85-7194-403-2

1. Trigonometria. I. Sciani, Walter Antonio, 1956-II. Título. III. Série.

97-0713

Índices para catálogo sistemático: 1. Trigonometria 516.24

CDD-516.24

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfílmicos, fotográficos, reprográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial em qualquer sistema de processamento de dados e a inclusão de qualquer parte da obra em qualquer programa juscibemético. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e parágrafos, do Código Penal, cf. Lei n12 6.895, de 17.12.80) com pena de prisão e multa, juntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (artigos 122, 123, 124, 126, da Lei n11 5.988, de 14.12. 73, Lei dos Direitos Autorais) .

.... ERICA

Editora Érica Ltda. Rua Jarinu, 594- Tatuapé - Cx. P. 14577 CEP: 03306-000 - São Paulo - SP Fone: (011) 295-3066 - Fax: (011) 217-4060 Home-Page: www.erica.com.br

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Dedicatória

Aos nossos pais:

Orlando e Victorino, que em vida souberam semear a vibração do saber que nos levou a esta obra.

Olga e Jandira com carinho.

Glaciete e Walter

Aos meus filhos Alexandre e Ariadne e ao meu marido Carlos, pela compreensão durante a elaboração deste trabalho.

Glaciete

À minha esposa Maria Isabel e ao meu filho João Paulo, com eterna gratidão.

Walter

Agradecimentos

Aos professores:

Cláudio Minoru Tamashiro

Hideo Nakayama

Issao Y amamoto

Marcelo Aoki

Nelson Kakuiti

Rubens Nista

Sheyla Villar Fredenhagem

Toru Ueno

Valdir Perruzzi

e

José Roberto Torelli, que sempre acreditaram em nosso trabalho.

Os autores

(J

Objetivos

1. Ensinar de um modo mais intuitivo e menos formal.

2. Desenvolver as estruturas lógicas do pensamento.

3. Aplicar o ensino matemático na resolução de problemas práticos.

4. Colaborar com o desenvolvimento do raciocínio do aluno.

5. Utilizar linguagem simples e direta na abordagem de cada assunto.

6. Enfatizar o processo de construção de conceitos.

tores

... lndice

Capítulo 1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo ................................ 01

1.1 - Introdução ........................................................................................ 01

1.2 - Triângulos Retângulos ....................................................................... 02

1.3 - Razões Trigonométricas .................................................................... 05

1.4 - Tabela de Razões Trigonométricas .................................................... 13

Capítulo 2 - Medidas de Arcos e Ângulos ................................................. 17

2.1 - Arcos e Ângulos ................................................................................ 17

2.2 - Medidas de Arcos e Ângulos ............................................................. 18

2.3 - Ciclo Trigonométrico ........................................................................ 25

2.4-Arcos Côngruos ................................................................................ 27

2.5 - Menor Determinação Positiva ........................................................... 32

Capítulo 3 - Seno e Cosseno ....................................................................... 37

3.1 - Seno e Cosseno de um Arco ............................................................. 37

3.2 - Valores Notáveis ............................................................................... 39

3.3 - Pontos Extremos de Quadrantes ...................................................... .40

3.4 - Sinal do Seno e do Cosseno ............................................................. 41

3.5 - Relação Fundamental da Trigonometria ........................................... 42.

Capítulo 4- Função Seno e Função Cosseno ........................................... 51

4.1 - Função Seno ..................................................................................... 51

4.2 - Considerações da Função Seno ........................................................ 53

4.3 - Função Cosseno ............................................................................... 56

4.4- Considerações da Função Cosseno ................................................... 58

Capítulo 5 -Tangente e Cotangente ........................................................... 67

5.1 - Tangente de um Arco ....................................................................... 67

5.2 - Cotangente de um Arco .................................................................... 68

5.3 - Pontos Extremos de Quadrantes ....................................................... 69

5.4 - Valores Notáveis ............................................................................... 71

Capítulo 6 - Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante .... 75

6.1- Função Tangente .............................................................................. 75

6.2 - Considerações sobre a Função Tangente .......................................... 77 ~

6.3 - Função Cotangente ........................................................................... 79 ~

6.4- Considerações sobre a Função Cotangente ...................................... 80

6.5 - Função Secante e Função Cossecante .............................................. 81

Capítulo 1 - Relações Trigonométricas ....................................................... 85

7 .1 - Relações Principais ........................................................................... 85

7.2 - Relações Decorrentes ........................................................................ 86

Capítulo 8 - Redução e Identidades ............................................................ 93

8.1 - Redução ao Primeiro Quadrante ....................................................... 93

8.2 - Seno e Cosseno de Arcos Complementares ...................................... 96

8.3 - Identidades ....................................................................................... 99

Capítulo 9 - Transformações ..................................................................... 105

9.1 - Seno e Cosseno da Soma ............................................................... 105

9.2 - Tangente da Soma .......................................................................... 107

9.3 - Seno, Cosseno e Tangente da Diferença ......................................... 109

9. 4 - Multiplicação de Arcos .................................................................... 111

9.5 - Transformação em Produto ............................................................ 114

.. 67 Capítulo 10 - Equações Trigonométricas ................................................ 121

.. 67 10.1- Equações Redutíveis a uma Equação do 2º Grau ......................... 121

.. 68 10.2 - Equações Fatoráveis ..................................................................... 125

.. 69

.. 71 Capítulo 11 - Funções Trigonométricas Inversas ................................... 129

11.1 - Função Arco Seno ........................................................................ 130

.. 75 11.2 - Função Arco Cosseno ................................................................... 133

.75 11.3- Função Arco Tangente .................................................................. 134

.77

· 79 Capítulo 12 - Triângulos Quaisquer ......................................................... 139

.80 12.1- Lei dos Senos ................................................................................ 139

.81 12.2 - Lei dos Cossenos .......................................................................... 142

.85 Respostas ...................................................................................................... 149

.85

.86

.93

93

96

99

05

05

07

09

11

14

1.1 - Introdução 1.2 - Triângulos Retângulos 1.3 - Razões Trigonométricas

Capítulo 1

1.4 - Tabela de Razões Trigonométricas

Trigonometria no Triângulo Retângulo

lntrodu~ão

A Trigonometria tem suas raízes na Astronomia.

Hiparco de Nicéia {109 a.C. - 125 a.C.), astrônomo grego, é considerado o "Pai da Trigonometria". Atribui-se a ele a construção de tabelas cujos valores relacionam arcos e comprimentos das cordas determinadas por esses arcos. As obras de Hiparco só foram conhecidas por meio dos trabalhos de Cláudio Ptolomeu (125 a.C.), o mais célebre astrônomo da Antiguidade.

Baseado nos trabalhos de Hiparco, Ptolomeu apresenta uma obra clássica de astronomia até a época de Copérnico, chamada "Sintaxe do Mundo".

Nesse livro, Ptolomeu mostra as leis que justificam os movimentos dos corpos celestes e um verdadeiro tratado de Trigonometria Retilínea e Esférica.

A Sintaxe Matemática foi traduzida para o árabe como "Almagesto" que significa "Muito Grande".

Foi com o matemático persa Nasir Eddir {1201 - 1274) que a Trigonometria passa a ser tratada como parte da Matemática, desvinculando-se da Astronomia. Já aparecem, nos trabalhos de Nasir, as seis funções trigonométricas e algumas técnicas para resolver problemas com triângulos.

Trigonometria no Triângulo Retângulo 1

Muitos nomes contribuíram para o desenvolvimento da Trigonometria tais como: Purback (1423 - 1463), Regiomontanus (1436 - 1476), Joachim Retico (1514 - 1575), François Viete {1540 - 1603) e Bartholomeus Petiscos (1561 - 1613) a quem devemos a palavra Trigonometria que significa "medida dos ângulos de um triângulo".

1.2 Triângulos Retângulos

Por simplicidade de linguagem, não distinguiremos ângulo (figura geométrica) de sua medida (valor numérico} e segmento (figura geométrica} da sua medida {valor numérico).

2

O triângulo ABC é retângulo em A.

A

Temos:

• a: chama-se hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto}.

• b e c: chamam-se catetos {lados que formam o ângulo reto}, b é o

cateto oposto ao ângulo ~ ou cateto adjacente ao ângulo y e c é o

cateto oposto ao ângulo y ou cateto adjacente ao ângulo ~.

• ~ e y são ângulos complementares, isto é:

~ + y = 90º

a tais ::him 11eus nifica

{Jura 1) da

éo

éo

Teorema de Pitágoras ( S80 a S10 a.C.)

1 O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Demonstração

Consideremos os quadrados ABCD de lado b + e e EFGH de lado a, como mostra a seguinte figura:

A e

Área do quadrado maior ABCD:

Área do quadrado menor EFGH:

Área de um triângulo:

E b B

AQ = (b + c)2

A ª2

q

A área do quadrado maior ABCD é igual à soma das áreas do quadrado menor EFGH, mais os quatros triângulos, isto é:

1 (b+c)2 =a2+4·

2bc

b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc

Então: 1 ª2 = b2 + c2 j


4

Exercícios

1. Calcule x em cada caso seguinte:

a) b)

0,3

e) d)

2

2. Verifique se as medidas 7, 8 e 9 são de um triângulo retângulo.

3. Deduzir a fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado t.

Solução:

Aplicando o teorema de Pitágoras no

triângulo hachurado, temos:

2 3 2 2 2 e 2 e =>h =f --=>h =-=> 4 4

inc

in

::::i...c

lS no

=>

4. Deduzir a fórmula da diagonal de um quadrado de lado .f..

5. O perímetro de um losango mede 20 cm e uma das diagonais mede Bem. Determine quanto mede a outra diagonal.

1.3 Razões Trigonométricas

____. Sobre o lado AB do ângulo agudo a, marquemos arbitrariamente os

____. pontos B, Bl, B2, ... e tracemos por esses pontos perpendiculares ao lado AB que ____. encontram o lado AC nos pontos C, C1, C2, ...

Teremos, assim, os triângulos ABC, AB1C1, AB2C2, ... semelhantes entre si.

Então vamos escrever as seguintes proporções:

ª BC B1C1 B2C2 1-) - = -- = -- = ... = k1 (constante) AC AC1 AC2

A constante k1 assim obtida, chama-se seno do ângulo agudo a, e

indicamos sena.

AB AB AB 2ll) - = --1 = --2 = ... = k2 (constante)

AC AC1 AC2

A constante k2 assim obtida, chama-se cosseno do ângulo agudo a, e

indicamos cosa.

Trigonometria no Triângulo Retângulo S

BC BC BC 3.!!) - = - 1- 1 = 2 2 = ... = k 3 (constante)

AB AB1 AB2

A constante k3 assim obtida, chama-se tangente do ângulo agudo ex, e

indicamos tg ex.

Assim, considerando o triângulo retângulo ABC da figura, temos as seguintes conclusões:

6

e

b

A c B

Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

sen p = cateto oposto a p = ~ hipotenusa a

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

cos p = cateto adjacente a P = ~ hipotenusa a

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

tgp = cateto oposto a P = ~ cateto adjacente a p c

[)a, e

1os as

Temos também:

Note que:

cateto oposto a y c seny= =-

hipotenusa a

cateto adjacente a y b cosy= - -

hipotenusa a

tg y = cateto oposto a y = ~ cateto adjacente a y b

12) sen ~ = cos y e cos ~ = sen y

Como ~ + y = 90º ~ y = 90º - ~

Isto equivale a dizer que o seno de ~ é igual ao cosseno do seu complementar, e o cosseno de ~ é igual ao seno do seu complementar, isto é:

1 sen~ = cos (90º - ~) 1 e [CO"s ~ = sen (90º - ~) 1

Exemplos:

sen 30º = cos (90º - 30º) = cos 60º

cos 25º = sen (90º - 25º) = sen 65º

b

22) sen~ = a = .!: . ª = .!: = tg~, isto é: cos~ ~ a c c

a

De modo análogo: tgy = sen y cosy

tg~ = sen~ cos~


Razões Trigonométricas de 60°, 30° e 4Sº

Vamos obter as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) dos ângulos de 60°, 30° e 45°, por serem usadas com freqüência.

8

1 !!) Ângulo de 60°

Consideremos um triângulo equilátero de lado L

f.J3 o h -2- f.J3 1 .J3 .J3

sen60 = =--=-- · - =- => sen60º f f 2 f 2 2

f

cos60º = _f_ f

f .J3 tg60º = ~ = + = f; . ~ = .J3 => 1 tg60º = .J3 j

2 2

2.!!) Ângulo de 30°

) dos Como 30° e 60° são complementares, então:

sen 30º = cos 60º = l. ==> 2 1 sen30º = ~

J3 cos 30º = sen 60º = - ==> 2

J3 cos30º = -2

1

tg 30º = sen 30º = 2 = l. . ~ = _1_ = J3 ==> 1 tg 30º = ,/333 cos30º J3 2 J3 J3 3 _

2

3.!!)Ângulo de 45°

Consideremos um quadrado d lado l.

o f f 1 1 .J2. .J2. sen45 =-=--=-=-·-=- ==>

d f .J2. .J2. .J2. .J2. 2 .J2. sen45º =-2

f .J2. cos45º = -= sen45° ==> cos45º = -

d 2

tg45º = ; = 1 ==> 1 tg45º = 1 1


10

Podemos resumir esses valores obtidos na seguinte tabela:

a 30° 45° 60°

1 J?. J3 sena - - -2 2 2

J3 J?. 1 cosa - - -

2 2 2

tga J3 1 J3 -3

Exercícios

6. No triângulo retângulo ABC, calcule:

e a) senp b) cosp

e) tgp d) seny

2 e) cosy f) tgy

A 1 B

7. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do menor ângulo agudo de um

triângulo retângulo cujos catetos medem 12cm e 5cm.

8. Um terreno possui forma triangular, em que o lado maior mede lOOm, o

maior ângulo entre os lados é 90° e um dos outros dois ângulos é metade do outro. Calcule o lado menor desse triângulo.

9. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a 3 metros de uma parede plana e vertical. Nesse instante, o Sol projeta a sombra do poste na parede. Essa sombra tem 17 metros. Se a altura do poste é 20 metros, calcule a inclinação dos raios solares em relação ao plano horizontal.

! um

m, o

ledo

ra-se

~ta a a do

:>ao

1 O. Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo

(suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo-se que o ângulo

formado pelo arame com o solo é de 30°, calcule a altura do poste.

11. Um triângulo retângulo tem a hipotenusa e um dos catetos medindo,

respectivamente, 2.J3 cm e 3cm. Determine a medida do ângulo oposto ao

cateto dado.

12. Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60°, uma torre na

margem oposta. Quando ela se afasta 40m, esse ângulo é de 30°. Calcule a largura do rio.

13. No triângulo ABC, têm-se BC = 20m e CF = 6,Sm. Determine AF e EB.

e

B

14. Determine o valor x na figura.


12

15. Na figura abaixo, BA é perpendicular a CA, MB = MC e AB = 12cm.

Calcule a medida de AM .

e

B

16. Um observador, no ponto O da figura abaixo, vê um prédio segundo um

ângulo de 75°. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do

prédio e a 12m de altura do plano horizontal, calcule a altura do prédio.

17. Sendo O o centro da circunferência de raio unitário, calcule a medida de BC .

12cm.

ido um

.2m do

io.

BC.

1.4 Tabela de Razões Trigonométricas

O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo podem ser obtidos na seguinte tabela:

Angulo sen cos tg Angulo sen cos tg

tº n n17r, nnnno nm7r; ALO n 710"l 11 l'OOA7 1 (lQr;r;

2º 00349 o 9994 00349 47° o 7314 o 6820 1 0724

3º 00523 09986 00524 48° o 7431 o 6691 11106

4º 00698 09976 00699 49° o 7547 o 6561 11504

5º 00872 09962 00875 50° o 7660 o 6428 11918

6º o 1045 09945 o 1051 51° o 7771 o 6293 12349

7º o 1219 09925 o 1228 52° o 7880 o 6157 12799

8º o 1392 09903 o 1405 53° o 7986 06018 13270

9º o 1564 09877 o 1584 54° 08090 05878 13764

10º o 1736 09848 o 1763 55° o 8192 05736 14281

11º o 1908 o 9816 o 1944 56° o 8290 05592 14826

12º 02079 o 9781 o 2126 57° o 8387 05446 1 5399

13º 02250 o 9744 02309 58° 08480 05299 16003 14° o 2419 o 9703 02493 59° 08572 05150 16643

15° o 2588 09659 02679 60° 08660 05000 1 7321 16° 02756 09613 02867 61° o 8746 04848 18040 17° 02924 09563 03057 62° o 8829 04695 1 8807 18° 03090 09511 03249 63° o 8910 04540 1 9626 19° 03256 09455 03443 64° o 8988 04384 2 0503

20º 03420 09397 03640 65° 09063 04226 21445

21° 03584 09336 03839 66° 09135 04067 2 2460

22° 03746 09272 04040 67° o 9205 03907 2 3559

23° 03907 09205 04245 68° 09272 03746 2 4751

24° 04067 o 9135 04452 69° 09336 03584 2 6051

25° 04226 09063 04663 70° 09397 03420 2 7475

26° 04384 08988 04877 71° 09455 03256 2 9042

27º 04540 08910 o 5095 72° 09511 03090 3 0777

28° 04695 o 8829 o 5317 73° 09563 o 2924 3 2709

29° 04848 o 8746 05543 74° 09613 o 2756 3 4874

30° 05000 o 8660 05774 75° 09659 02588 3 7321

31° 05150 o 8572 06009 76° 09703 o 2419 40108

32° 05299 08480 06249 77° 09744 o 2250 4,3315

33° 05446 o 8387 06494 78° o 9781 o 2079 4 7046

34° 05592 08290 06745 79° 09816 o 1908 51446

35° o 5736 o 8192 07002 80° 09848 o 1736 5 6713

36° o 5878 o 8090 o 7265 81° 09877 o 1564 6 3138

37° o 6018 07986 o 7536 82° 09903 o 1392 71154

38° o 6157 o 7880 o 7813 83° 09925 o 1219 81443

39° 06293 o 7771 08098 84° 09945 o 1045 9 5144

40° 06428 o 7660 08391 85° 09962 00872 11 4301

41° 06561 o 7547 o 8693 86° 09976 00698 14 3007

42º o 6691 o 7431 09004 87° 09986 00523 19 0811

43° o 6820 o 7314 09325 88° 09994 o 0349 28 6363

44° 06947 o 7193 09657 89° o 9998 o 0175 57 2900

45° 0,7071 0,7071 1,0000


t4

Exercícios

18. Um foguete é lançado sob um ângulo de 84° com o plano horizontal. Sabendo que sua trajetória é uma reta, quando o foguete percorreu 1000 metros, qual foi a altura atingida?

19. Calcule o perímetro do quadrilatéro ABCD.

20. Na figura, calcule a. ex.

438,4 cm

X

ontal.

:orreu Pense e Faça

F1: Data Misteriosa

O ano da invenção da imprensa por Guttenberg tem quatro algarismos. O algarismo das dezenas é metade do das unidades; o dos milhares é igual ao excesso do das centenas sobre o das dezenas; a soma dos quatro algarismos é 14, e, aumentando o número de 4905, obtém-se o número escrito na ordem inversa. Ache essa data.


16

Pense e Fa~a

F 1 : Fumantes Poluidores

A porcentagem de fumantes de uma cidade é 323. Se três em cada onze fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12 800.

Calcule:

a) O número de fumantes da cidade.

b) O número de habitantes da cidade.

2.1 - Arcos e Ângulos 2.2 - Medidas de Arcos e Ângulos 2.3 - Ciclo Trigonométrico 2.4 - Arcos Côngruos 2.S - Menor Determinação Positiva

~

Capítulo 2 Medidas de Arcos e

Ângulos

2.1 1 Arcos e Angulos

Dois pontos A e B de uma circunferência dividem-na em duas partes chamadas arcos de circunferência ou simplesmente arcos.

º· º·

Os pontos A e B chamam-se extremidades desses arcos. Indica-se o arco ~ ~

de extremidade A e B por AB ou BA.

Se os pontos A e B coincidem, temos dois are os:

• arco nulo (um ponto).

• arco de uma volta (a circunferência).

º· A=B A=B

arco nulo arco de uma volta

Medidas de Arcos e Ângulos 17

1

Ângulo Associado a um Arco ,,,,.......__

A todo arco AB de uma circunferência podemos associar um ângulo central (ângulo que possui o vértice no centro da circunferência) cujos lados contêm os pontos A e B, e vice-versa.

A ,,,,.......__

AOB é o ângulo central associado ao arco AB.

Podemos, então, associar a cada arco unitário um ângulo central e,. considerando tal ângulo como unitário, podemos dizer que são iguais as medidas do arco e do ângulo central que o determinam.

A

2.2 Medidas de Arcos e Anguf os

Para medir arcos e ângulos, usaremos duas unidades de medida: grau e radiano.

1 Grau é a medida do arco, cujo comprimento é igual a da

360 circunferência que contém esse arco.

18

1

mtral mos

li e, lidas

lU e

Subdivisões do Grau

Minuto('): é o arco que corresponde a 6~ do grau.

1'=_!_1° => 1º=60' 60

Segundo("): é o arco que corresponde a ;0

do minuto.

Temos, então:

RADIANO

l"=_!_l' => l'= 60" 60

1o=60' = 3600"

É a medida do arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém esse arco.


Medida de um Arco em R~dianos ,,,,......,_

m{Ae)=lrad B

A medida a de um arco AB de comprimento !, em radianos é o número que indica quantas vezes um arco de comprimento igual ao raio está contido no arco a ser medido.

o

(a em radianos)

Lembrando que o comprimento de uma circunferência é 2m, a medida da circunferência (arco de uma volta) é:

2m a=-= 2mad

r

Assim:

1 360° = 2mad 1

A tabela seguinte mostra os arcos obtidos pela divisão da circunferência em quatro partes iguais:

20

número itido no

lida da

:ia em

Exercícios

" I

.. -I 1 \ \ / ' ,, .... __ .,,.

\ \ / ' .... __ .,"'

21. Converta 120° em radianos.

Solução:

Grau(º)

90°

180°

270°

360°

Podemos fazer a seguinte regra de três:

j 180° --7trad

120° --x

então:

X 120 120·7t 27t - = - => x = -- => x = -rad 7t 180 180 3

Radiano(rad)

7t

2

7t

37t

2

27t


22. 7rt

Converta 6 rad em graus.

Solução:

Como rtrad = 180°, então:

7 rc rad = '!.... · 180° = 210° 6 6

23. Converta em radianos:

a) 15° b) 30° e) 36°

d) 45° e) 50° f) 60°

g) 75° h) 135° i) 150°

j) 160° k) 225° 1) 300°

24. Converta em graus:

a) 1t 1t 1t -rad b) -rad e) 9 rad 15 30

d) 5rt 4rt f) llrt rad -rad e) 3 rad 18 6

8rt h) 7rc rad º) 7rt d g) -rad 1 -ra 9 12 4

º) 16rt d k) lOrt rad 5rc J -ra 1) 3 rad

9 9

25. Quantos minutos possui um arco de:

a) 45° b) 25°18' e) 38°49'

26. Quantos segundos possui um arco de:

a) 3° b) 2°7' e) 1°58'43"

22

.

27. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 10h15min.

Solução:

Em uma hora, o ponteiro das horas percorre um ângulo de 30°, isto é, _!__de 12

360°, então:

60 min ---- 30° X 15 => - = - => X = 7°30'

30 60 15min----x

como ex + x = 150°, temos:

ex= 150°-x

ex = 150° - 7°30' => ex= 142°30'

28. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca:

a) 9h15min b) 12h15min e) 3h40min

29. Determine o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à lh12min.

30. É uma hora da tarde. Em que instante o ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas pela primeira vez?

31. Na figi.lra, têm-se cinco arcos de circunferências concêntricas e igualmente espaçados entre si. Sabendo-se que a soma dos comprimentos desses arcos é igual ao comprimento da circunferência maior, determine a medida do ângulo central comum a todas as circunferências.


24

32. Dois ciclistas percorrem, no mesmo sentido, uma pista circular de 50 metros de diâmetro. A cada volta, o primeiro percorre 2,5 m a mais do que o segundo. Supondo que mantenham o mesmo ritmo, após quantas voltas o primeiro ciclista terá percorrido 1 radiano a mais do que o segundo?

33. Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena, no Egito (A e S respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7 ,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em tomo da Terra.

34. Achar o valor aproximado em graus, minutos e segundos do arco de 1 radiano.

50 metros do que o

as voltas o ?

aleu-se da ia e Siena, mastre. Ele nente, em com esses

uma volta

, arco de

2.3 Ciclo Trigonométrico

Chama-se ciclo trigonométrico toda circunferência que satisfaz as

l !) O centro coincide com a origem do sistema cartesiano ortogonal.

2!) O raio é unitário (r = 1).

3!) O ponto A (1,0} é a origem dos arcos.

4!) Os arcos são orientados da seguinte forma:

• os percorridos no sentido anti-horário são considerados positivos.

• os percorridos no sentido horário são considerados negativos.

~ antl-hor4rlo ( +)

A

Os eixos do sistema cartesiano dividem o ciclo em quatro partes iguais que são chamadas quadrantes.

Medidas de Arcos e Ângulos 2S

7t

Exemplos:

No ciclo bigonomébico, temos os arcos de medida x associados ao ponto P.

a) X 7t

2

C) X= 7t

p

26

A

A

7t b)x=--2

d) X =-7t

A

p

A

to P.

A

31t f) x=--

2

O ponto P é a imagem do arco de medida x no ciclo.

A

A medida de um arco acompanhada do sinal + ou - (chama-se medida algébrica) e indica a sua orientação no ciclo trigonométrico.

• Quando a medida é positiva o arco é marcado no sentido anti-horário.

• Quando a medida é negativa o arco é marcado no sentido horário.

2.4 Arcos Côngruos

A medida de um arco pode ser maior que 21t (360°). Um arco de 400° é o arco de uma volta completa (360°) mais um arco de 40°.


Arcos que possuem a mesma extremidade são chamados arcos côngruos.

Os arcos de 45° e -315° são côngruos.

45º•-315°

A diferença entre as medidas de dois arcos côngruos é um múltiplo de 2n ou 360°.

Assim:

45° = -315° = 405° = 765° = ... Então, um arco possui infinitos outros côngruos a ele.

,,-....... Dado um arco AP, interessa-nos apenas a posição da extremidade desse

arco, independente do número de voltas dadas, isto é, as várias determinações de um mesmo arco trigonométrico. Para isso, consideramos sempre a menor determinação positiva desse arco. No exemplo, 45° é a menor determinação

,,,......... positiva do arco AP.

Então, podemos estabelecer uma expressão geral para os arcos côngruos.

em graus: 1x=Xo+k·360º1

em radianos: j x = Xo + 2kn j

28

•ngruos.

lo de 2n

le desse ições de menor

rtinação

puos.

em que:

• Xo é a menor determinação positiva do arco de medida x, sendo O< Xo ~ 2n.

• ke"ll..

Do exemplo, a expressão geral do arco de 45° é:

X = 45° + k · 360°

Exercícios

35. Localize no ciclo trigonométrico, os seguintes arcos:

1t a) -

3

Solução:

1t a) -

3

b) - 71t 6

~ = ~ · 1t ( ~ de meia circunferência)

Para localizar este arco, devemos dividir em três partes iguais a semi-circunferência e considerar uma dessas partes, como mostra a figura.


30

b) 71t 6

7rc 1 -- =-TC--· TC

6 6 (

meia circunferência + i de meia circunferência ]

no sentido anti - horário

Para localizar este arco, devemos dividir em seis partes iguais a semicircunferência e considerar uma dessas partes com a semicircunferência, como mostra a figura.

-7n 6


a) 1t 31t 51t e 71t 4' 4, 4 4

1t 21t 41t b) - -

3' 3' 3 51t

e -3


51t 1t e) _ lbt a) -- b) --3 4 6

d) 51t e)

77t f) - 37t -- --6 6 10

38. O ciclo trigonométrico é dividido em três partes iguais pelos pontos A, P e Q, sendo A a origem dos arcos. Dê as expressões gerais dos arcos com extremidades nesses pontos.

) Solução:

:i. semierência, A

e t d 0 f A o ' 1 2 o t ' 27t t-omo a erça parte a circun erencia e - · 7t, 1s o e, - , en ao as menores 3 3

determinações positivas dos arcos com extremidades nos pontos P e Q são 27t 47t

respectivamente 3 e 3 . Assim, as expressões gerais desses arcos para

ke Z, são:

A: X= 2k7t

P: 27t

X= 3 + 2k7t

47t Q: X= 3 + 2k7t

39. Dê a expressão geral dos arcos cujas extremidades são os vértices do polígono regular nos seguintes casos:

a) b)

p

A

s


40. Dê a expressão geral da medida dos arcos com extremidades indicadas nos pontos das seguintes figuras:

a)

e)

41. Localize no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos de medida x, cuja

expressão geral para k E Zé:

2.S

1t a) X =-+2k7t

4

1t k7t e) x=-+-

4 2

1t b) X =6+k7t

d) X= 2k7t 3

Menor Determinação Positiva

Processo Prático para Encontrar a Menor Determinação Positiva 1~ caso: Arco positivo e medido em graus. Basta efetuar a divisão da

medida do arco por 360°, sem cortar os zeros, e tomar o resto:

Exemplo:

Calcular a mdp {menor determinação positiva) do arco de 940°.

32

940° 1360°

220 2 voltas ly-1 mdp

Assim, 9400 = 2200

=> X = ~ + ,2{3~?~) mdp 2 voltas

as nos

t, cuja

J lO da

2.!! caso: Arco positivo e medido em radianos. Basta efetuar a divisão " da medida do arco por 7t, tirar a parte inteira e multiplicar por 2 7t.

l97t Calcular mdp do arco de 3 rad

19~ 1 3

1: = ~ + 3 l ~ de volta + 3 voltas)

Como 1 volta = 21t, temos:

1 X = - · 21t + 3 · 21t

6

X= 1t + 3 · 21t 3

. l97t 1t Assim: --rad = -rad

3 3

3.!! caso: Arco negativo e medido em graus. Basta a divisão por 360°, sem cortar os zeros, e tomar o replemento do resto da divisão.

Exemplo:

Calcular a mdp do arco de -2140°.

2140° 1360°

340° 5°

Calculando o replemento do resto da divisão, temos 360º - 340° = 20°

X = 20° + 5(360°) "-y-J ~

mdp 5 voltas

Assim, -2140° = 20°


4!! caso: Arco é negativo e medido em radianos. Basta efetuar a divisão da medida do arco 2rr, tirar a parte inteira, multiplicar por 2rr e tomar o replemento.

Exemplo:

34

231t Calcular mdp do arco de - -- rad

7

231t 7 23rr 23 --=--=- ==>

21t 141t 14

23 ~ 9 1

-=-+ 1 - de volta+ 1 volta 23 9 (9 ) 14 14 14

Como 1 volta = 2rr, temos:

9 9rr -·21t=-14 7

Calculando o replemento desse arco, temos:

21t - 91t = 51t 7 7

51t X =-+1·21t

7

. 231t 51t Assim: - -- rad = - rad

7 7

tuar a Exercícios mar o

42. Encontre a menor determinação positiva (mdp) dos seguintes arcos, representando-os no ciclo trigonométrico.

a) 800° b) 915° e) 5321° d) 7777°

) 197t d f) 537t d ) 1987t d h) 24967t rad e -ra --ra g --ra 2 4 5 7

i) -620° j) -1313° k) -2111° 1) -3333°

387t 657t 497t 3217t m) ---rad n) --rad o) --rad p) ---rad 3 2 4 5

43. Determine em que quadrante estão os seguintes arcos:

a) 721° b)llllº e) 327t rad 3

d) 867t rad 5

f) -1510° 697t h) - 357t rad e) -830° g) --rad

4 3

Medidas de Arcos e Ângulos 3S

36

Pense e Fa~a

Gastei tudo que tinha em quatro lojas. Em cada uma delas gastei um real a mais do que a metade do que tinha ao entrar nela. Quanto dinheiro eu tinha inicialmente?

3.1 - Seno e Cosseno de um Arco 3.2 - Valores Notáveis 3.3 - Pontos Extremos de Quadrantes 3.4 - Sinal do Seno e do Cosseno 3.S - Relação Fundamental da

Trigonometria

Capítulo 3 Seno

e Cosseno

3.1 Seno e Cosseno de um Arco

,,-......, Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a.

Chama-se seno de a a ordenada do ponto P.

Indicamos por:

1 sena= y 1

y

A X

Chama-se cosseno de a a abscissa do ponto P.

Indicamos por:

COS a= X 1

Seno e Cosseno 37

y

A X

Essas definições de seno e cosseno são compatíveis com as definições vistas anteriormente para um ângulo agudo no triângulo retângulo.

De fato:

y

cateto oposto y ~na= =-=y

hipotenusa 1

cateto adjacente x cosa= =-=x

hipotenusa 1

O eixo das abscissas é chamado eixo dos cossenos e o eixo das ordenadas é chamado eixo dos senos.

38

1istas

, das

3.2 Valores Notáveis

Na tabela abaixo, temos os valores exatos do seno e do cosseno já vistos anteriormente.

ex 30° 45° 60º

1 J2 ../3 sen ex - -- --2 2 2

../3 J2 1 cos ex -- -- -

2 2 2

Por simetria, obtemos os demais valores do seno e cosseno representados no ciclo:

seno

1 90"

0"=360" 1 coneno

Seno e Cosseno 39

40

Note, por exemplo, que:

sen 30° = sen 150° cos 30° = cos 330°

sen 135° = - sen 225° cos 135° = cos 225°

Pontos Extremos de Quadrantes

A seguir, temos o cosseno e o seno de ; , 1t, 321t e 21t.

1t 1t cos - = O e sen 1 cos 1t -1 e sen n = O

2 2

3n cos -=o

2 31t

e sen = -1 2

cos O = cos 2n = 1

sen O = sen 2n = O

(1,0)

Varia~ões do Seno e do Cosseno

Como mostram as figuras anteriores, o valor mínimo do seno de um arco é -1 e o valor máximo é 1, isto é, para todo x e [0, 2rr]. Tem-se

-1 s sen x s 1

Analogamente:

1-1 S COS X S 1 1

3.4 Sinal do Seno e do Cosseno

Em cada quadrante, os valores do sen a e cos a possuem sinal positivo ou negativo, de acordo com as coordenadas da extremidade do arco.

Sinais do Seno Sinais do Cosseno

+

Seno e Coueno 41

3.S Relação Fundamental da Trigonometria

~

Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OPQ, temos:

y

X sen2 a + cos2 a = 1 J

Qualquer que seja a posição de P no ciclo trigonométrico, esta relação é válida.

42

Então:

sen2 x = 1- cos2 x e sen x = ±~1- cos2 x

cos 2 x=l-sen 2 x e cosx=±~l-sen2 x

Exercícios

44. No ciclo trigonométrico seguinte, tem-se sen a. = 0,8. Determine:

a) sen a, sen ~ e sen cr

b) cos a, cos a., cos ~ e cos y a ---' \ \

\ \

\ I \ I

o é

Solução:

y

X

y

X

a) Como ex e a são representados por pontos simétricos em relação ao eixo y, então:

sen a = sen ex = OM = 0,8

p e y são representados por pontos cuja ordenada é oposta à de M, então:

sen p = - sen ex = - sen a = OM' = - 0,8

b) Aplicando Pitágoras no triângulo hachurado, temos:

cos2a+ (0,8) 2 = 12 =>cosa= 0,6

Sendo a e y representados por pontos simétricos em relação ao eixo x, então:

cos y = cos a = ON = 0,6

.. ~ .~º·ª

O.t.~N cosa

Como ex e P são representados por pontos cuja abscissa é oposta à de a, então:

cos p = cos ex = - cos a = ON' = - 0,6

Seno e Cosseno 43

44

45. No ciclo trigonométrico abaixo, temos cosa= .!. . Determine: 2

a) cos o:, cos ~ e cos y y

b) sen a, sen o:, sen ~ e sen y

X

46. Determine o seno e o cosseno de:

a) 8n b) 9n 2

e) 15n d) lln 2

e) 9n 4

f) 131t 3

) 23n g-3

h) 151t 4

i) 341t 3

º) 131t J -

6

47. Determine o seno e o cosseno de:

a) -2n b) 1t 7n d) _ 17n 3

e) --4 6

48. Calcule o valor das expressões:

3n n a) sen4n-2cos2+3sen2

d) cos( 2n-; J

e) sen-+cos-+cos -+-1t 1t (1t 1t} 4 4 2 4

49. Determinem para que se tenha sen x = 3m - 1

Solução:

Como -1 ~ sen x ~ 1, temos:

-1 ~ 3m -1 ~ 1, resolvendo esta inequação vem:

-1 + 1 ~ 3m ~ 1 + 1

O~ 3m ~ 2

o 2 -~m~ => 3 3

2 o~ m ~

3

S = {m E IR 1 O ~ m ~ ~} 3

50. Determine os valores de m para que se tenha:

a) sen x = 2m + 5

e) sen x = 2 - m

· 3m+2 b) cosx = ---

3

1-m d) cosx = --

2

3 7t 51. Sendo sen x = - e O < x < - , obtenha cos x.

5 2

Solução:

Como x é um arco do primeiro quadrante, o cos x > O, então:

cos x = ~1- sen2

x = ~1-(~)2 = ~1- 9 = {16 = ~ s 2s '/25 s

52. Sendo sen x = -~ ex é um arco do 32 quadrante, calcule cos x. 5

1 7t 53. Sendo cos x = -- e - < x < 7t, obtenha sen x.

2 2

Seno e Coueno 45

46

54. Sendo sen x = 37t

2 < x < 27t, calcule o valor de

y = cos2x - 5 cos x.

55 S J2. . , . 1 . e cos x = S , quais os poss1ve1s va ores para sen x.

56. Determine os números reais m e a que satisfazem simultaneamente

sena= m -1 ecos a= ~1-m2 , para O< a< 27t.

Solução:

Como sen2 a+ cos2 a= 1, temos:

=>-2m =-1 1

m=-2

Substituindo:

1 sena =--1 =>

2 1

sena=--2

l17t a=--e

6

./3 cosa=-2

57. Determine os números reais m e a que satisfazem simultaneamente

sena= m-2 e cosa= m-3 para O< a< 27t.

r de

ente

58. Sendo sen x + cos x = a, calcule sen x · cos x.

Solução:

Elevando ambos os membros dessa igualdade ao quadrado, temos:

{senx+cosxf =a2 => sen2 x+2senx cosx+cos2 x = a 2

=> 2senxcosx=a2 -1 => ª2 -1

senx·cosx =--

59. Sendo sen x - cos x =a, calcule 5 · sen x · cos x.

1-J3 60. Sendo sen x + cos x = --- , calcule sen x · cos x.

2

2

=>

61. Dado J3 sen x + cos x = J3, com O ~ x ~ 27t, calcule sen x ecos x.

Solução:

Isolando cos x na expressão, temos:

cos x = J3 -J3 sen x e substituindo em

sen2 x + cos2 x = 1, vem:

~~x+3-6~nx+3~~x=l

2sen2 x - 3 sen x + 1 = O. Fazendo sen x = a, temos:

1 a= -

2a2

- 3a + 1 = o< 2

a=l

1 • paraa= -

2 1

sen x:;: -2

=> e COSX =

• para a = 1 => ~en x = 1 e cos x = O

+ J3 - 2

62. Dado sen x -../2. cos x = .J2., com O ~ x ~ 27t, calcule sen x e cos x:

Seno e Cosseno 4 7

48

Pense e Faça

F 4 : Reprodução Rápida

Uma determinada espécie de alga se reproduz, dividindo-se em 2 a cada dia. Assim, no primeiro dia temos 1, no segundo 2, no terceiro 4, no quarto 8, e assim por diante. Se, começando por uma dessas algas, precisamos de 30 dias para preencher determinado volume, em quanto tempo preencheremos o mesmo volume se começarmos com duas das referidas algas?

Pense e Fa~a

F s : Gaivotas

Atualmente, 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são cinzentas. Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano e da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será, . aproximadamente, a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois anos?

Seno e Cosseno 49

Anotações

50

4.1 - Função Seno 4.2 - Considerações da Função Seno 4.3 - Função Cosseno 4.4 - Considerações da Função Cosseno

Capítulo 4 Função Seno

e Função Cosseno

4.1 Fun~ão Seno

Chama-se função seno de x, indica-se: y = sen x ou f(x) = sen x, a função f: JR ~ JR, que associa a cada arco de medida x o número real y = sen x.

y

senx

o A X

Gráfico

Para O s x s 27t, temos os valores conhecidos para o sen x marcados no ciclo trigonométrico.

Função Seno e Função Cosseno S1

seno

0=2!t o

7tr/6 _______ :Y.? ---------- lltr/6

Str/4 ___ :if.!fr --------- 7rr/4 :::IF jfr - - - - - Sn:/3

·l 31t T

X

o 1t -6

1t -4

1t -3

1t -2

1t

y=senx Pontos

o (0, O)

1 (~' ~) -2

..J2 [X JZ) 4' 2 2

./3 [X J3J - 3' 2 2

1 ( ~' 1) o (1t, 0)

:

Representando esses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da função y = sen x.

S2

y

l "'{312 -YZ;2

1/2

!t !t 'Ít 643

1t 2

Zit 3"it 51t 346

7it Sit 4it 3it 643 2

-l --------------------------------------~ ------------------------------------------{"j/2 -------------------------------------------

-!

X

>da

4.2 Considerações da Função Seno

• Arcos côngruos possuem o mesmo seno, isto é, sen x = sen (x + 21t) = sen(x + 41t) = ... = sen (x + 2k1t), em que k e Z. Isto significa que a função seno repete seus valores a cada 21t, então o seu gráfico possui trechos que se repetem.

Assim, dizemos que a função seno é uma função periódica de período 21t.

V 1

• O gráfico da função seno chama-se senóide.

• O domínio da função seno é D = R.

41t X

• O conjunto imagem da função seno é Im = {y e IR 1 -1 $; y $; 1} ou Im = [-1, 1].

• A função seno é crescente no 1 i;i e 4º quadrantes e decrescente no 2º e 3º quadrantes.

• f {x) = O para x = lm, k e Z.

• A função seno é positiva no 1 i;i e 2i;i quadrantes e negativa no 3i;i e 4i;i quadrantes.

• A função seno é ímpar, isto é, sen x = -sen (-x).

• Dizemos também que o período é o comprimento da onda e a ordenada máxima é chamada de amplitude.

Função Seno e Função Cosseno 53

Exercícios

63. Construa o gráfico da função y = 1 + senx e dê o seu período e imagem.

Solução:

y = 1 + senx

Deslocando a senóide (y = senx) uma unidade na vertical, temos:

y

p = 21t 2

lm =[O, 21

1

·l

64. Construa os gráficos e dê o período e a imagem das seguintes funções:

a) y = 2 + sen x b)y=-l+senx

65. Construa o gráfico da função y = 2 senx e dê o seu período e imagem.

Solução:

Multiplicando por 2 as ordenadas de y = senx, temos:

y

p = 21t

Im = [-2, 21

S4

66. Construa os gráficos das seguintes funções e dê o período e a imagem:

a) y = 3 senx 1

b) y = - senx 2

6 7. Construa o gráfico da função y = sen ( x -i).

Solução:

Deslocando a senóide (y = senx) em ~ para a direita, temos: 2

y

1

-1

5 x x p=---=2

2 2 Im = (-1,1)

~ X

68. Construa o gráfico das seguintes funções e dê seu período e imagem.

b) y = sen (x+i)

69. Construa o gráfico da função y = sen2x e dê seu período e sua imagem.

Solução:

y = sen 2x

Seja2x = t ~

t

o 1t -2

1t

31t -2

21t

t -x = - , entao y = sen t. 2

X y = sent

o o 1t

1 -4 1t o -2

3n -1 -

4 1t o

Função Seno e Função Cosseno SS

1

V

p = 1t

1 Im = [-1, 1]

ir ,,/2lt X

,,•" ........... ____ ,,. o

-1

70. Construa os gráficos das seguintes funções, dê seu período e imagem.

71.

4.3

a) y = sen4x X

b) y = sen -2

Construa os gráficos das seguintes funções, dê o seu período e a imagem.

a) y = -senx b) y = 1 + 2senx

e) y = lsenxl d) y 1 + sen(x-~)

e) y = 2 + 2sen ( x + ~) f) y = -1 + sen{2x - 1t)

1 Função Cosseno

Chama-se função cosseno de x, indica-se y = cosx ou f(x) = cosx, a ·função f: IR ~ IR, que associa a cada arco de medida x, o número real y = cosx.

V

Oco•x A x

56

sx.

Gráfico

Para O :5: x :5: 21t, temos os valores conhecidos para o cosx marcados no ciclo trigonométrico.

: ! -1/2 :~: 1 2 1

7'/f/6 i :

5'/f/4 1 : 1

41f/3

1 'lf/2.

o 112 ! : cosseno

:.n:: 1 2 1 : 1 lllf/6 1 1

: 71f/4 Slf/3

X

o 1t -6

1t -4

1t -3

1t -2

1t

:

y = COS X Pontos

1 (0, 1)

J3 (X JS) - 6' 2 2

J2. (X JZ) - 4' 2 2

1 (~·~) -2

o (~·º) -1 (1t, -1)

Representando esses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da função y = cosx.

y

-! -"'{if2 -~12

-1

21t 31t Sit 341) lt

~ t ~ ! ! : : : 1 : : : -T--~-----•------r--r-

1 1 1 1 1

----------------------- --L-----~-----..L-1 1 1

-------------------------- -----;-----

21t X


S8

4.4 Considerações da Função Cosseno

• Arcos côngruos possuem o mesmo cosseno, isto é, cosx = cos (x + 27t) = = cos (x + 47t) = ... = cos(x + 2k7t), em que k E Z. Isto significa que a função cosseno repete os seus valores a cada 21t, então o seu gráfico possui trechos que se repetem.

Assim, dizemos que a função cosseno é uma função periódica de período 21t.

li

pedodo=21t

• O gráfico da função cosseno chama-se cossenóide.

• O gráfico da função cosseno coincide com o gráfico da função seno

deslocado de i à direita. Isto significa que cosx = sen ( x - ; }

y

• O domínio da função cosseno é D = R.

• O conjunto imagem da função cosseno é lm= {y E IR 1 -1 ~ y ~ 1} ou Im = [-1, 1].

• A função cosseno é crescente no 3&? e 4Q quadrantes e decrescente no 12 e 22 quadrantes.

de

no

•

•

•

1t f (x) = O para x = "2 + kn, k E Z .

A função cosseno é positiva no 12 e 42 quadrantes e negativa no 22 e 32 quadrantes.

A função cosseno é par, isto é, cos x = cos (-x) .

Exercícios

72. Construa o gráfico da função y = 1 + cosx, dê seu período e imagem.

Solução:

y=l+cosx

Deslocando a cossenóide (y = cosx) uma unidade na vertical para cima, temos:

y

p = 27t 2

Im = [0,2]

1

·1

73. Construa o gráfico, dê o período e a imagem das seguintes funções:

a) y = -2 + cosx b) y = 3 + cosx

74. Construa o gráfico da função y = 2cosx, dê seu período e imagem.

Solução:

Multiplicando por 2 as ordenadas de y = cosx, temos:


60

y

2

1

o

-1

-2

1 1 1 1 1

, ...... -1 , 1

/ 1 , 1

,' 1

21t X

p = 21t

lm = [-2, 2]

75. Construa o gráfico das funções, dê seu período e imagem.

a) y = 3cosx b) y = -2cosx

76. Construa o gráfico da função y = cos ( x + : ) , dê seu período e imagem.

Solução:

p = 27t

y Im = [-1, 1]

X

77. Construa o gráfico das seguintes funções, dê seu período e imagem.

a) y = COS (X -i) b) y = cos (x + 1t)

78. Construa o gráfico da função y = cos i, dê seu período e imagem.

Solução:

p = 41t y

Im = [-1, 1]

......... , ,, 1

,, 1 , 1

,' 1

o

·l

,2it 1 1

'

79. Construa o gráfico das seguintes funções, dê seu período e imagem.

a) y = cos 2x b) y X

cos -4

80. Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.

a) y = -cosx b) y = 1 + 2cosx

e) y = Jcosxl d) y =-1 + cos( x+i)

e) y = 2 + cos( x-i) f) y = -1 + cos(2x - n)

81. Sendo a, b, e, d números reais, determine o período da função y = a + b sen (ex + d).

Solução:

Para que esta função complete um período, o arco ex + d deve variar de O a 2n. Temos, então:

d cx+d=O ~ x=

ex+ d= 2n ~

e

2n-d X=-

C

Função Seno e Fungão Cosseno 61

62

p = 21t-d -(-~)= 21t e e e

~ logo:~

Tal conclusão também é válida para a função y a+ b cos (ex+ d).

82. Determine o período das seguintes funções:

a) y = 3 + 2 sen ( 3x - 1~)

b) y = -5 cos ( ~+1t)

Solução:

a) y = 3 + 2 sen ( 3x - 1~) Como o coeficiente de x é 3, isto é, e = 3, então o período é p = ~1t .

b) y= -Scos (~+1t)

e f .. td - 1 ·, 1 ~ 'd' 21t4 orno o coe 1c1en e e x e 2" , isto e, e = 2

, entao o peno o e p = = 1t.

83. Determine o período das funções:

a) y = sen 6x

e) y = 2 + cos 3x

e) y = 3 + 5 cos( 2x-~)

2

b) y = 9 sen x

d) y = 1 -2 cos(x+~)

f) y = -4+/2. sen ( ~-1t)

84. Dê o conjunto imagem das funções:

a) y = 2 + COS X

e) y = 1 + cosx

e) y = 1 + sen 2x

85. Resolva as equações:

a) senx = 1

Solução:

a) senx = 1

7t

2

X

b)cosx=-1

X

o

b) cosx = -1

b) y = 3 - 2senx

d) y = 3 1 sen x 1

f) y = 1 + 2 1 cosxl

e) senx =O

Observando o ciclo trigonométrico, temos:

1t X=-+ 2k1t

2

1t S = {x E IR 1 x = 2 + 2k1t, k E Z}


X= 1t + 2k1t

S = {x E IR 1 x = n+ 2k1t, k E Z}


64

e) senx =O

X

o


a) COS X= 1

e) sen x = -1

e)cos (x-~)=o

g) sen ( x+~ )=-~


X = k7t

S = {x E IR 1 x = k7t, k E Z}

b) COS X= Ü

d) sen 2x =O

f)2cos (x-7t)=l

h) 2 cos (x-~ )= "2


) J3. 10 2 a sen x = z , no mterva o :s; x :s; 7t

b) 2 cos x = 1, no intervalo O :s; x < 27t

e) sen ( x -~) = ~ , no intervalo O :s; x :s; 7t

d) 2 cos (x + 7t) = J3, no intervalo O :s; x :s; 47t

Pense e Faça

F 6 : Nem Lucro e Nem Prejuízo

Uma loja vendeu duas motos por 99 mil reais. Na venda de uma, perdeu 10% e na venda de outra, ganhou 10%. Ficaram elas por elas, não é?

Função Seno e Função Cosseno 6S

66

Pense e Fa~a

F7: Dois Melões

Dois melões da mesma espécie estão sendo vendidos. Um tem 60 cm de circunferência e outro 50 cm. O primeiro é uma vez e meia mais caro.

Qual dos dois vale a pena comprar?

(Extraído do liuro "Aprenda Matemática Brincando" - J. Perelmann)

S.1 - Tangente de um Arco S.2 - Cotangente de um Arco S.3 - Pontos Extremos de Quadrantes S.4 - Valores Notáveis

Capítulo S Tangente

e Cotan ente

S.1 Tangente de um Arco

Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco x -::/:. ; + kn e um eixo t com

origem em A, paralelo e de mesmo sentido que o eixo y. Chama-se tangente de

a a ordenada do ponto T, obtida pela intersecção da reta ÜP com o eixo t (eixo

das tangentes).

y

T

X

B'

Indicamos por:

1 tga = AT 1

Assim, a tangente de ex é a medida algébrica AT.

Tangente e Cotangente 67

! ~;

j; ! ! t

• Arcos com extremidades nos pontos B e B' (a. = · ~ + kn, k e 7Z..) não

-possuem tangente, pois a reta OP que passa por esses pontos é paralela ao eixo t.

• Podemos relacionar a tangente de um arco com o seno e o cosseno do mesmo. Assim:

y

S.2

X

~OAT-~OQP

Então:

tg a. 1 --=--sena. cosa.

t sena.

~ ga.=-cosa.

Esta expressão existe para cos a. -:t. O , 7t

isto é, a. :;t: 2

+ kn, k e 7Z...

Cotangente de um Arco

Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco a. -:t. kn e um eixo s com

origem em B, paralelo e de mesmo sentido que o eixo x. Chama-se cotangente

-de a. a abscissa do ponto S, obtida pela intersecção da reta OP com o eixo s

(eixo das cotangentes).

y

s

A' X

B'

68

Indicamos por:

1 cotg a= ssl Assim, a cotangente de a é a medida algébrica BS.

• Arcos com extremidades nos pontos A e A' ( a = k1t, k E Z) não possuem

cotangente, pois a reta OS que passa por esses pontos é paralela ao eixos.

• Relacionando a tangente de um arco com o cosseno e o seno do mesmo, pela semelhança dos triângulos OBS e OPQ, temos:

S.3 Pontos Extremos de Quadrantes

Para a tangente:

y

• 1t

a = 2 + k1t (pontos B e B'} não

X existe tg a.

• a= kn (pontos A e A'), tg a= O


•

'

Para a cotangente:

s

A'

B'

• a = kn (pontos A e A') não existe cotg a.

1t • a= - + kn (pontos B e B'), cotg a = O

2

Sinal da Tangente e da Cotangente

Arcos situados no 1 Q e 3Q quadrantes possuem tangentes positivas, e arcos situados no 2Q e 4Q quadrantes possuem tangentes negativas.

70

p

'

y

' ' ' o

tga>O

X

X

tga<O

y

Multiplicando tg a por cotg a, temos:

~na cooa 1 1 tga· cotga=--·--=1 => tga· cotga=l cosa sena . .

tga>O

X

X

tga<O

5

Assim:

1 tga=-

cotga

S.4

ou 1 cotga=

tga

Valores Notáveis

Tem os os valores notáveis para a tangente e para a cotangente dos

1t 1 7t 7t sen 6 2 1 J3

• a=-=>tg-=--=-=-=-6 6 cos~ J3 J3 3

6 2

cotg 1t =-1-= ~ = ~ =J3

6 tg 1t -v3 -v3 6 3

1t J2 sen- -• a=2:=>tg 7t =--4 = 7,. =1

4 4 cos 1t "' 2 4 2

1t 1 1 cotg-=--=-=1

4 t 1t 1 94

1t J3 sen- -• a=1t=>tg7t=--3= I =J3

3 3 cos 1t -3 2

1t 1 1 J3 cotg-=-=-=-

3 tg~ J3 3 3


t

t

Temos a tabela dos valores notáveis para o seno, cosseno, tangente e cotangente de um arco.

1t 1t 1t a - - -

6 4 3

1 .J2 J2, sena - -

2 2 2

J2, .J2 1 cosa - - -

2 2 2

tga J2,

1 J2, -3

cotga J2, 1 J2, -3

Arcos situados no 12 e 32 quadrantes possuem cotangentes positivas, e arcos situados no 22 e 42 quadrantes possuem cotangentes negativas.

y y

X X

li

A X

p

72

e

e

Resumindo, temos os sinais da tangente e da cotangente.

Exercícios

88. Dê o valor de:

7t a) tg27-

4

-

b) tg (-870º)

y

X

7t e) cotg31-

6 d) cotg (-61-i)

89. Sabendo que x é um arco do 3º quadrante e sen x =-~,calcule: 5

a) tg X b) cotg x

J2 90. Sendo tgx= - , calcule cotgx.

5

91. Sendo cosa. = 0,8, calcule sena.. tga..

92. Sabendo que 16 cos2x + 3 sen2x = 7, obtenha tgx.


a) tgx = 1 b) cotgx = -1 e) tg {x - 7t) = J3

d) tg2x =O e) cotgx =O f) cotg ( 2x -i) = O


~· ..

74

Pense e Faça

F 8: Etiquetas Trocadas

Em um armazém, existem três caixas. Uma só contém maçãs, outra só pêras, e a outra, maçãs e pêras. Nenhuma das caixas está com a etiqueta correta. Quantas frutas, no mínimo, devem ser tiradas das caixas para que as etiquetas sejam colocadas corretamente?

6.1 - Função Tangente 6.2 - Considerações sobre a Função Tangente 6.3 - Função Cotangente 6.4 - Considerações sobre a Função Cotangente 6.S - Função Secante e Função Cossecante

Capítulo 6 Funções Tangente,

Cotangente, Secante e Cossecante

6.1 Função Tangente

Chama-se função tangente de x, indica-se y = tgx ou f (x) = tgx, a

função f: D -7 IR, em que D = { x e IR 1 x * ~ + kn, k e :z} , que associa a cada

arco de medida x, com x e D, o número real y tgx.

y

T

tgx

X

tgx = AT

Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 7S

Gráfico

Para O s x s 2n, temos os valores conhecidos para a tgx.

X y = tgx Pontos

o o (O, 0)

1t J3 (X~) - -6 3 6' 3

y

7t 1 [:. 1) -4

1t J3 (;.JS) -3

1t não existe - -

2 X

27t -/3 [~1t ,-~) -3

3n -1 [:: ,-1) -4

Sn J3 (Sx _ ~J - --6 3 6' 3

1t o (1t, 0) :

Representando esses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da função y = tgx.

76

a

y

2x

-~ ----· ---------· 2t' '----!-----~--~--. 'T , , ••

-1 -----------------J----- -- --------------------------:-----~--• • 1

-f3' -----------------~----- -----------------------------1-----· 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 " 1 1 1 1 • • 1 • 1 1 1 1 1 1 1

----perrooo= x •I

6.2 Consideratões sobre a Funtão Tangente

• O gráfico da função tangente chama-se tangentóide.

• o domínio da função tangente é D = {X E IR 1 X '# ~ + k1t, k e z} . • O conjunto imagem da função tangente é Im = R.

• A função tangente é crescente em IR.

• A função tangente é periódica de período p = 1t.

• A função tangente é positiva no l 2 e 32 quadrantes e negativa no 22 e 42 quadrantes.

• A função tangente é ímpar, isto é, tgx = -tg(-x).

Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 77

•

,,,

78

Exercícios

94. Determine o domínio e o período da função y = tg ( x - : ) .

Solução:

Fazendo x - 1t = a , então existe tg a se a -:F- 1t + kn, k e :Z. Então: 4 2

1t 1t 1t 1t 31t X---:F--+k7t ~X '#.-+-+k1t ~X '#.-+k1t

4 2 2 4 4

Assim, D = { x e IR 1 x '#. ~1t + kn, k e :Z}

Para tga completar um período, devemos ter:

1t 3n 1t n 3n -<<X<-~-<x--<-~ 2 2 2 4 2

1t 1t 3n n 3n 7n ~-+-<x<-+-~-<x<-

2 4 2 4 4 4

_ 7n (3n) Entao: p= 4 - 4 =1t

95. Determine o domínio e o período das seguintes funções:

a)y=tg(x+i) b)y=tg3x e) y = tg( 2x-:)

96. Determine:

a) tg 28n b) tg 17n ) t 37n

e g--3

d) tg 43n 4

4 37t 97. Sendo tgx = - , 7t < x < - , calcule senx.

3 2

7t 98. Dado tgx = 3, O < x < - , calcule cosx.

2

3tgx 7t 99. Sendo --= 2, e O < x < - , calcule senx + cosx.

1+ tgx 2

6.3 Função Cotangente

Chama-se função cotangente de x, indica-se y = cotgx ou f(x) = cotgx, a função f: D ~ IR, em que D = {x e IR lx '* kn, k e Z}, que associa a cada arco de medida x, com x e D, o número real y = cotgx.

y

X

1 cotgx • BS 1

De modo análogo à função tangente, temos o seguinte gráfico da função cotangente.


80

y

6.4 Considerações sobre a Função Cotangente

• O gráfico da função cotangente chama-se cotangentóide.

• O domínio da função cotangente é D = {x E IR 1 x -::;:. k7t, k E Z}.

· • O conjunto imagem da função cotangente é Im = R.

• A função cotangente é decrescente em IR.

• A função cotangente é periódica de período p = 7t.

• A função cotangente é positiva no 1 º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes.

• A função cotangente é ímpar, isto é, cotg x = -cotg{-x).

1

6.S Função Secante e Função Cossecante

............... Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a.

1t 12) Chama-se secante de a, a *

2 + k7t , k e Z, o inverso do cosseno

de a. Indica-se:

seca=-1-1 cosa

Sendo assim, a secante e o cosseno possuem os mesmos sinais.

2.!!) Chama-se cossecante de a, a * k7t, k e Z, o inverso do seno de a. Indica-se:

1 cosseca=--

sena

Sendo assim, a cossecante e o seno possuem os mesmos sinais.

V

T

s

X X

seca= OTI 1 cosseca =OS 1


• 1

t

• t

82

Gráfico da Função Secante:

1 1

' 1

' ' • 1 1

' • • • 1

' 1

1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1

'

y

1 ' ~-----------~----

1 1 ----"-----------• f ,,

1 t , •, ' \ 1 1 1 ' \ 1

\ 1 \1 1 ' ' ' •'

..JXJ\, 1 \ 1 ', :----::t ' 1 1 1

' 1 1 1 1

' 1 1 1

'

,,-2iç :.li -iç,\ ,/: 2 : \

, 1 ' ',

~---~-----------t----1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 1

' ' 1 ' 1 1

1 ' ' ' 1 1

'

Gráfico da Função Cossecante:

' 1 1 1 1 1

' 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ___ _ 1 ,,. 1 , 1 , 1 I

i/

~· -2lt 2: 1 1

~-----------i----1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

y

' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

----~-----------·----', : : ,, ... ' ' ' , '\I : /

21t ~· 2: • 1

----+-----------~ 1 1 • 1 1 1 • 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ' 1 1 1 1

1 1 1

Mf4--pedodo•2n: --•tof

X

Exercícios

100. Determine o domínio e o período das seguintes funções:

a) f(x) = cotg( x -~)

b) f(x) = sec ( x - ; )

e) f(x) = cossec 2x

101. Calcule o valor da expressão:

3Jt 5Jt sec - + cossec

4 6 y=-------~

4Jt cotg3


a) sec(x+ ~) =1

b) 3sec x = 9

e) cossec 4x = O

Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 8 3

84

Pense e Fa~a

F 9: As Torneiras Novamente

Um tanque é abastecido por duas torneiras. Uma delas enche o tanque em 10 minutos e a outra, em 20 minutos. As duas juntas enchem o tanque em quantos minutos? 1

7.1 - Relações Prineipais 7.2 - Relações Decorrentes

Capítulo 7 Relações

Trigonométricas

7.1 Relagões Principais

Sendo a um número real, temos as seguintes relações já vistas anteriormente.

sen2 a + cos2a = 1

t sena

ga=--' cosa

cosa cotga =--,

sena

1 seca=--,

cosa

1 cossec a = --,

sena

em queke Z

Relações Trigonométricas 8S

'

t

..

86

7.2.

sena Como tga=-

cosa

1 cotga=-

tga

e

Rela~ões Decorrentes

cosa cotga=--,

sena

Dividindo os membros sen2 a + cos2a = 1 por cos2a, temos:

sen2 a cos2 a 1 --=-- + = --=--cos2 a cos2 a cos2 a

Dividindo os membros sen2 a + coSZa = 1 por sen2a, temos:

sen2 a cos2 a 1 --=--- + --=-- - --=--sen2 a sen2 a sen2 a

Resumindo, temos:

1 cotga=-

tga

Das duas últimas relações, concluímos que a seca e a cosseca são hipotenusas dos triângulos abaixo hachurados.

V

cotga. ___ ... ___ .s

s

X X

f 1+tg2 a = sec2 a1

Exercícios

103. Dado sen x = ~ , O < x < i, obtenha as demais funções trigonométricas.

Solução:

2 4 5 JS => cos x= 1--=- => cosx= ± 9 9 3

1t JS Como o < X < - => cos X > o => cos X = -

2 3

2 senx 3 2 2JS

tgx=~= JS= JS=>tgx=5

3

Relações Trigonométricas 87

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

88

1 1 JS cot g x = -- = r.:: => cot g x = -

tgx 2-vS 2

5

1 1 3JS sec x = --= r.:: => sec x = --

cos X v5 5 3

1 1 3 cossecx =--=-=> cossecx =-

senx 2 2 3

Dado cos x = - ~ , ~ < x < 7t, calcule as demais funções bigonométricas. 5 2

Sabendo que sec x = 3 e tg x < O, detennine sen x.

Se tg x = JS, detennine sen2 x.

Se x é um arco do 3!! quadrante e tg x = 1, detennine cos x.

Se cos 9 = -3 7t < 9< 7t , detennine o valor de ~ 2 cot g9 + cossec 2 9

J[O' 2

sec x + cot g x 1 Calcule o valor da expressão y = , sabendo que sen x =

cosx+tgx 4 e x é um arco do 22 quadrante.

1 Sendo cos x = - e x um arco do 12 quadrante, calcule o valor da

2 expressão:

tg x · cossec x y=-----

secx -cosx

1 4

da

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

f3 Sendo sen x = -2 e x um arco do 3º quadrante, calcule o valor de:

senx l+cosx y= + .

l+cosx senx

_ 2tgx 3 Calcule o valor da expressao E=

2 para cos x = -- e tg x <O.

1-tg X 7

Sabendo que sen x = ~ e x E [O,%] , calcule o valor numérico da

- sen x · cossec 2x expressao: y = .

sec 2 x · cot g x - cossec x · tg x

5 Sendo x um arco com extremidade no segundo quadrante e sec x = - - ,

3 calcule o valor de 5 sen2x - 3 tgx.

24 1-cosx Se sen x = - e sec x < O, calcule o valor de

25 l+cosx

S.

1.f. _ cos3 x - 2 cos x + sec x

1mp 1 1que a expressao y = 2 cosx·sen x

1 1 1 1 Mostre que + + + é igual a 2.

1 + sen 2 x 1 + cos 2 x 1 +sec 2 x 1 + cossec 2 x

118. Sendo a um ângulo agudo e tg a = 2, quais os possíveis valores de sen a ecos a?

Relações Trigonométricas 8 9

90

119.

120.

3 37t Se tgx = 4", 7t < x< 2 , calcule sen x.

Determine m e x que satisfaçam simultaneamente:

m-3 2 senx =--e secx =--

2 m-1

Solução:

2 1 2 m-1 Como: sec x = --~ --= --~ cos x = --

m -1 cosx m-1 2

Sabendo que sen2x + cos2x = 1, temos:

m-3 m-1 2

( )2 ( )2 -2- + -

2- =l~m -4m+3=0~

{

m=l

ou

m=3

la) Param= 1, não existe sec x.

3-3 3-1 2a) Para m = 3, temos sen x = -- = O e cos x = -- = 1, portanto

2 2 X = 2k7t, k E Z.

121. Determinem ex que satisfaçam simultaneamente:

1 2 cosx=m-- e cossecx= ~

2 -v2m+l

Pense e Fa~a

f 10: Cálculo em Família

Um pai, querendo encorajar seu filho à prática de cálculo, combina pagar-lhe por cada problema certo 8 saldos, mas retira-lhe 5 saldos por cada problema não resolvido ou errado. Depois de 26 problemas, fazem as contas e o filho nada recebe e nada deve. Quantos problemas ele resolveu?

Relações Trigonométricas 91

92

Pense e Faça

f 11: Aposentado

Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos. Com isso, a média das idades dos professores diminui de 2 anos. Qual é a idade do professor que se aposentou?

1

8.1 - Redução ao Primeiro Quadrante 8.2 - Seno e Cosseno de Arcos

Complementares 8.3 - Identidades

Capítulo 8 Redu~ão e

Identidades

8.1 Redu~ão ao Primeiro Quadrante

Reduzir um arco ao primeiro quadrante significa determinar um arco no primeiro quadrante cujas funções trigonométricas têm o mesmo valor absoluto.

,,.......... Consideremos um arco AP de medida x no 1 º quadrante e as seguintes

simetrias do ponto P: ,,,-........

l!) em relação ao eixo Oy, temos o arco AQ de medida 7t - x no 2º quadrante.

/"""'-.. 2ª) em relação ao centro do ciclo, temos o arco AR de medida 7t + x no 3Q

quadrante. ,,,-......

3!) em relação ao eixo Ox, temos o arco AS de medida 27t - x no 4º quadrante.

Assim, no ciclo trigonométrico, temos:

Redução e Identidades 1

1

que:

94

Observando as abscissas e as ordenadas dos pontos P, Q e R, é imediato

sen (1t-x) = sen x

sen (1t + x) = - sen x

sen (2n;-x) = -sen x

sen (- x) = - sen x

Exercícios

122. Reduza ao 1si quadrante:

a) sen 1300

e) sen 340"

Solução:

a) sen 1300

COS (1t-X) = -COS X

COS (n;+x) = - COS X

COS (21t - X) = COS X

COS (-X)= COS X

b) cos 250º

41t d) sec 3

f) t 111t

cog-6

Como 130º é um arco do 2º quadrante, então:

180 - x = 130º => x = 50°, assim:

sen 130º = sen 50º

b) cos 250º

Como 2500 é um arco do 32 quadrante, então:

180 + x = 250º => x = 70º, assim:

cos 250º = -cos 70º

lia to e) sen 340º

Como 340º é um arco do 42 quadrante, então:

360 - x = 340º ~ x = 20º, assim:

sen 340º = - sen 20º

41t d) sec-

3

Como ~1t é um arco do 32 quadrante, então:

41t 41t 1t . 1t+x=-~ x=--1t~X =- assim:

3 3 3'

41t e) tgS

1 1t

-cos-3

1t -sec-

3

Como ~1t é um arco do 22 quadrante, então:

41t 41t 1t ' n-x::-~ x=n--~ x=- assim:

5 5 5'

41t 1t 4 sen- sen-

5 1t

tg~= 5 =---='--- tg 5 41t 1t - - 5

f)

cos- -cos-5 5

111t cotg

6

Como 1 !1t é um arco do 42 quadrante, então:


117t l17t 7t . 27t-x =-=> x =27t--=> x =- assim:

6 6 6'

l17t 7t 11 cos- cos-

cotg~= 6 =--6 =-cotg~ 6 ll7t 7t 6

sen- sen-6 6

123. Reduza ao lQ quadrante:

a) sen 145º b) cos 100º

d) cos 196º e) sen 310º

97t 47t g) senlO h) cos-

5

º) 77t l97t J cos6 k) sen-

10

124. Reduza ao 12 quadrante:

a) sec 160º

67t e) tg-

5

377t e) sec-

4

g) sen (-10º)

l07t b) cossec-

9

l97t d) cotg-

10

f) tg l 77t 6

h) cos (-40º)

e) sen 235º

f) cos 325º

º) 57t 1 sen-4

57t 1) cos-

3

8. 2 Seno e Cosseno de Arcos Complementares

Seja AP' um arco de medida x, 7t < x < 7t e um ponto Q do ciclo, 4 2

simétrico de P em relação à bissetriz do l 2 quadrante.

96

,, ___ _. Bissetriz do

1.2 Quadrante

.1!-x 2

Os triângulos O Q1Q e O P1P são congruentes. Assim:

OQ1= OP1 =::} senx=cos(;-x)

QQ1= PP1 =::} cosx=sen(;-x)

sen x = cos (; - x)

cos x = sen (; - x)

Exemplos

sen 60º = cos (90º 60º) = cos 30º

cos 86º = sen (90º - 86º) = sen 4º

3n 1 1 1 sec-g= 37t = ( 3 )=--7t-

cos-8- sen ~ -3n sen

8

1t cossec8

Redu~ão e Identidades 97

98

Exercícios

125. Sendo sen 53º = 0,80, calcule cos 37º.

126. Simplifique as seguintes expressões:

127.

128.

129.

a) Y = sen (<+x)· sen( ~ -x J cos (21t-x). cos {n-x)

b) sen (n + x)· cotg (21t- x)

y= cos (1t-x)· cossec (1t + x)

sen{7t-x)·cos(~-x l e) y= (1-senx) senx·tg(7t+x)+2 J

t (1t) sen(n+x) gx·cos --x 2

1 Sendo sen x = '3 , calcule o valor de:

sen(i-x }sec(7t+x)

tg (1t- x)

sec (1t-x)·cos( ~-x J Sendo sec x = 2, calcule o valor de: (

2}

cossec x · cot g 1t + x · sen x

Mostre que:

n) Se <X, ~ e 'Y são medidas dos ângulos internos de um triângulo, então cos (<X + ~) = - cos 'Y·

b) Se <X e ~ são medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, então sen <X= cos ~-

o

8.3 Identidades

Duas funções f(x) e g(x) são idênticas. Indica-se f(x) = g(x), se e somente se, a sentença f (x) = g(x) for verdadeira para todo x pertencente ao domínio de ambas as funções.

São exemplos de identidades:

• a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

• a3 + b3 = (a+ b)(a2 - ah+ b2

)

x2 -9 • =X+ 3

x-3

• sen x = tg x . cos x

Todas as relações que já foram vistas também são identidades, como por exemplo sen2x + cos2x = 1, que podem ser empregadas na demonstração de outras identidades.

Podemos provar uma identidade pelos seguintes métodos:

12 ) Partir de um dos membros e chegar ao outro.

Prove a identidade: cos x + sen x · tg x = cossec x senx · secx

Solução:

j 12 membro

senx cosx+senx--

cos2 x +sen2 x 1 cos X - __ c=o=s=x;___ = --=C=OS=X:.::..__ =

1 - 1 1 senx·

cosx

1 --=cossecx senx

senx·-- senx·--cosx cosx

22 mem

Redu~ão e Identidades 99

100

2!!) Transformar os dois membros separadamente numa mesma expressão.

Prove a identidade: tg x - sen x = tg x · sen x tg x · sen x tg x + sen x

Solução:

lºmembro

senx senx-senx cosx ---senx

tg x - sen x _ -"c'"""o""""s"""'x'---- = ------"c-=-os"""'x=----- = tgx. senx senx senxz --·senx

cosx cosx

= sen x - sen x cos x = sen x (1 - cos x) _ sen x (1 - cos x) _ sen2 x 1- cos2 x - (1 + cos x) (1- cos x) -

senx =----

(1 + cosx)

j 22 membro

senx sen2 x tgx · senx --·senx

cosx cosx = = = tgx +senx senx senx +senx cosx --+senx cosx cosx

sen2 x sen2 x senx ------=----

senx +senxcosx sen x (1 + cos x) 1 + cos x

na 3J!) Mostrar que a diferença entre os dois membros é igual a zero.

1 cosx Prove a identidade: ---

senx

Solução:

senx l+cosx

1-cosx senx _ (1-cosx)(l+cosx)-sen2 x _ senx l+cosx - senx(l+cosx) -

= (1- cos2 x )- sen 2 x = sen 2 x - sen 2 x = O senx(l+cosx) senx (1 + cosx)

Exercícios

130. Prove as seguintes identidades.

a) senx+ l+secx

X =senx

b) (senx+cosx)2 =1+2senxcosx

e) sec 2 x · cossec 2x = sec 2 x + cossec 2x

d) sen4 x-cos4 x = 2sen 2 x -1

e)

f)

g)

sen3 x -cos3 x ------= sen x -cos x l+senxcosx

cossec x - sec x ------= secx cotgx-1

cotg2x _ 1

1 + cot g2x - 1 + tg2x

Reduião e Identidades 101

h) senx l+cosx

2 ---+ = cossec x 1+ cosx senx

i) tgx-senx secx _::_ ____ . cossec x = ---

sen 2 x 1 + cos x

j) sen x + sen y cos x + cos -----= cos x - cos y sen y - sen x

102

Pense e Faça

F1i: É dê-me e não me dá

Se dou 7 reais a cada um dos pobres que está à minha porta, ficarei com 24 reais; se quiser dar a cada um 9 reais, faltar-me-ão 32. Qual o número de pobres e quantos reais tenho?


104

Pense e Fa~a

f 13: Elevador

Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas crianças ainda podem entrar?

9 .1 - Seno e Cosseno da Soma 9.2-Tangente da Soma 9.3 - Seno, Cosseno e Tangente da Diferença 9.4 - Multiplicação de Arcos 9.5 - Transformação em Produto

Capítulo 9

Transformações

9.1 Seno e Cosseno da Soma

- -Consideremos dois arcos consecutivos AP e PQ de medidas a e b, respectivamente, no 12 quadrante.

U V A

Da figura, temos:

~OTQ: sen b = TQ = TQ :::} TQ == sen b OQ 1

OT OT cosb =-= - :::} OT = cosb

OQ 1

Transformações 105

1

~TQX:

~OVf:

Então:

XT sena = - ::} XT = sena · TQ = sena · sen b

TQ

XQ cosa= - ::} XQ = TQcosa = sen b ·cosa

TQ

vr sena=- ::} vr =sena· OT =sena· cosb

OT

ov cosa= OT ::} OV =cosa· OT =cosa· cosb

o UQ UQ 1-) sen(a+b) =-=- = UQ = UX + XQ = vr + XQ=

OQ 1

=sena cos b + sen b cosa

logo: lsen(a + b) =sena cos b + sen b cos ai

o ou ou 2-) cosa(a + b) = - = - =OU= OV - UV = OV - XT =

OQ 1

=cosa cos b - sena sen b

logo: lcos(a + b) =cosa cosb - sena sen bl

É possível provar que as fórmulas anteriores são válidas para quaisquer ~ medidas de a e b.

11 Exercícios H

131. Calcule:

a) sen 75° b) cos105°

Solução:

a) sen 75° •• 1

sen 75° = sen (45° + 30°) = sen 45° cos 30° + sen 30° cos45°

106

er

132.

133.

134.

9.2

sen 75° = J2. · ,,f3 + 1 · J2. = ..[6 + J2. 2 2 2 2 4

b) cos 105 o

cos 105° = cos(50º + 45°) = cos 60° cos 45° - sen 60° sen 45° =

cos 105° = .!. . J2. 2 2

Calcule:

a) sen 105°

Mostre que:

,,f3 J2. J2. - ..[6 -·-=---2 2 4

b) cos75°

a) sen( ~ +x) = cosx b) cos( ~ + x) = - sen x

e) sen(321t + x) = -cosx d) cos(

321t + x) = senx

Sendo cos x = - e O < x < - , calcule cos - + x . 3 1t (1t ) 5 2 3

Tangente da Soma

tg(a+b) = sen (a+ b) cos (a+ b)

sena cosb + senb cosa cosa cos b sena sen b

Dividindo o numerador e o denominador por cos a cos b, temos:

sena cos b + sen b cosa cosa cosb

tg(a + b) = cosa cos b - sena sen b = cosa cosb


t 1

•I

108

=

sena cos b sen b cosa +

cosa cos b cosa cos b tga + tgb = cosa cos b sena sen b 1- tga tgb

cosa cosb cosa cosb

logo: tg(a + b) = tga + tgb 1- tga tgb

7t 7t 7t Com a '#

2 + k7t, b '#

2 + k7t e a + b *

2 + k7t (k e Z).

Exercícios

135. Calcule tg 285°.

Solução:

tg 285° = tg (360° - 285°) = - tg 75º =

tg 45º + tg 30º = -tg (45º + 30º) = = 1 - tg45º tg30º

=- 3+../3 =-2-../3 3 -../3

136. Calcule:

a) tg 105° b) tg 255°

137. Sendo tgx = 3, O< x < i· calcule tg ( ~ + x}

1 + J3 3 = J3 1-1·-3

138. 12 7t 4 7t

Sendo sen a= 13

, 2" < a < 7t e cos b = - 5, 2 < b < 7t ,

calcule tg (a + b).

139 Se tg 45° = 1, calcule tg 22,5°.

140. Prove as identidades:

a) sen (a+b} b ---- = tga + tg cosa cosb

b) ( b} cotga cotgb - 1

cotg a+ =-----cotga cotgb

9.3 Seno, Cosseno e Tangente da Diferença

Sabemos que sen (a + b) = sena cos b + sen b cosa, vamos deduzir a fórmula de sen (a - b). Como a - b = a + (-b), vem:

sen (a-b) = sen[a + (-b)] = senacos(-b) + sen(-b) cosa

Lembrando que cos(-x) = cosx e sen (-x) = -senx, temos:

lsen(a-b) =sena cosb - senb cosa 1

De modo análogo, temos:

lcos (a-b) =cosa cosb +sena senbj

e

( b) tga - tgb

tga- =----1 + tga tgb

n n n com a *

2 + kn, b *

2 + kn e a - b *

2 + kn (k e 7l)

Exercícios

141. Calcule:

a) sen 15° b) tg 15°


f

' 1 '

, .

''

110

Solução:

a) sen 15° = sen (45° - 30°) = sen 45° cos 30° - sen 30° cos 45° =

./2. J3 1 ./2. J6 - ./2. 1- J3 3 =-·---·- = = J3 2 2 2 2 4

1+1·-3

b) tg 15º = tg (45º - 30º) = tg 450 - tg30º = 1+tg45º tg30º

=3-./3=2-./3 3 + J3

=

142. Calcule tg (a - b), sendo tg a = 2 e tg b = 3.

143. Calcule:

a) cos 15° e) tg 13n 12

144. 1 4

Dados sena = - e cos b = - , a e b agudos, calcule: 3 5

a) sec (a - b) b) tg (a- b) e) cotg (a - b)

145. 3 1t

Se tgx = "2 e x - y = "6, calcule tg y.

146. 4 12 37t

Sendo tga = - ecos b = -, - < b < 2n, calcule tg (a+ b). 5 13 2

147. 1t 3 (1t ) Se O < x < "2 e cos x = s" obtenha tg 4

- x .

148. Prove as identidades:

a) sen (a + b) · sen (a - b) = sen 2 a - sen 2 b

b) cos(a + b) +sen (a-b) =(cosa+ sena) (cosb- senb)

9.4 Multiplica~ão de Arcos

Consideremos as seguintes fórmulas de adição de dois arcos de medidas a e b:

• sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a.

• cos (a+ b) cosa cos b - sena sen b.

• tg(a+b)= tga+tgb 1-tgatgb

Substituindo b por a nessas fórmulas, temos:

12) sen (a+a} =sena cosa+ sena cosa

lsen2a = 2sena cosal

22) cos (a+ a}= cosa cosa - sena sena

cos2a = (1 - sen2 a) - sen2 a ==> jcos2a = 1-2sen2a 1

cos2a = cos2 a-{1-cos2 a)==> jcos2a = 2cos2a-1 I ºº) t ( ) tg a + tg a .,- g a+a =-----

1- tga tga

tg2a = 2tga 1- tg2 a

T ranslormações 111

f. . ,,

112

Exercícios

149.

150.

151.

152.

1 7t Sendo sena = "3, O < a < 2" , calcule sen2a.

Solução:

1 8 Temos cos 2 a = 1 - sen 2 a = 1 - - = - ~

9 9

2 ../2. ~cosa=--

3

Como sen 2a = 2 sen a cos a, então:

1 2 ../2. 4../2. sen 2a = 2 · - · -- = --

3 3 9

3 7t Sendo cosa= s' O< a< 2", calcule:

a) sen 2a b) cos 2a e) tg 2a

1 Sendo x um arco do 3º quadrante e sen x = -- , calcule:

2

a) sen 4x b) cos 3x

, 1 Sabendo que sen x + cos x = "3 , calcule sen 2x.

153. Dado senx = ~, O< x<i, calcule cos ( i + 2x}

154. Calcule sen 22°30' .

Solução:

Temos: cos2a = l-2sen 2 a

Fazendo a = 22°30', então 2a = 45°. Assim:

cos 45° = 1 - 2 sen 2 22º30' ~

1 - ./2. 2 1 cos45º 2 - ./2.

~ sen 22º30' = ---- ;;;;; ----"'-- = ~ 2 2 4

~2- ./2. ~ sen 22º30' = -'---

2

155. Calcule:

156.

157.

a) cos 22°30'

a Sendo tg '2 = 2 , calcule tg2a

Prove as identidades:

a) sen 3x = 3senx - 4sen 3 x

b) 1-cos2x t 2 ----= g X 1 + cos2x

b) tg22°30'

158. Prove que:

x +~1-cosx sen- = -2 2

Solução:

2 ~ 2 1- cos2a Sendo cos 2a = 1 - 2 sen a, entao sen a =

2

~1 - cos2a Assim, sena = ± 2

Fazendo 2a = x ~ a = -i , então:

X ~1 - COSX sen- = + 2 - 2


159. Prove que:

) X _ ± ~1 + COSX X 1 COSX b) tg-2 = ± a cos- -

2 2 1 + cosx

9.S T ransforma~ão em Produto

Podemos transfonnar em produto {ou fatorar) uma soma ou diferença de senos, cossenos e tangentes. Estas fatorações são úteis na resolução de algumas equações trigonométricas.

Consideremos as expressões:

• sen (a+ b) =sena cos b + sen b cosa G) • sen {a - b) = sen a cos b - sen b cos a @

• cos {a+ b) =cosa cos b - sena sen b @

• cos {a- b) =cosa cos b + sena sen b @) Tem os as seguintes transfonnações em produto:

1 !) Somando CD e ®: sen {a + b) + sen {a - b} = 2 sen a cos b

Fazendo:

{

a+ b = p , obtemos : a = p + q e b = p - q

a-b=q 2 2

Então:

senp + senq = 2sen (9 )cos (9) 2!.) Subtraindo CD e ®: sen {a + b) - sen {a - b) = 2 sen b cosa

114

Como:

p+ q p- q a + b = p a - b = q a = -- e b = -- temos· ' ' 2 2 ' .

senp- senq = 2sen(Y )cos (9)

3!!) Somando @ e @):

cos (a + b) + cos (a- b) = 2 cosa cos b

Como:

a + b = p, a - b = q, a = P; q e b = P ; q , temos:

cosp + cosq = 2 cos (9 )cos (Y)

4!!) Subtraindo @ e @):

cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sena . sen b

Como a+ b = p, a - b = q, a = P ; q e b = P ; q , temos:

cosp-cosq=-2sen( 9 )sen(Y)

Exercícios

160. Transforme em produto:

a) sen 70° + sen 30º

b) cos 50º - cos 20°

Transformações 11S

Solução:

a) sen 70° + sen 30°

Fazendo p = 70° e q = 30° na fórmula

sen p + sen q = 2 sen ( p ; q ) · cos ( p ; q } temos:

(70º + 30°) (70º -30º) sen 70º + sen 30° = 2 sen 2

· cos 2

sen 70° + sen 30° = 2 . sen 50° . cos 20°

b) cos 50° - cos 20°

Fazendo p = 50° e q = 20° na fórmula

cos p - cos q = - 2 sen ( p ; q ) · sen ( p ; q ) , temos:

(50° + 20º) (50º - 20º) cos 50° - cos 20º = - 2 sen

2 . sen

2

cosSOº - cos20º = -2sen35º senlSº

161. Fatore as expressões:

a) sen 50° + sen 30º b) sen 70º - sen 40º

e) cos60º + cos20º d) cos 85º - cos 15º


a) 1+cos40° b) cos 70° + sen 48°

Solução:

(0º+40º) (ºº-40º) a) 1 + cos 40º = cos Oº+ cos 40º = 2 cos 2

. cos 2

=

= 2 cos 20° cos (-20°)

116

Como cos (- 20º) = - cos 20º, então:

1 + cos 40° = 2 cos 20° cos 20º = 2 cos2 20º

b) cos 70° + sen 48° = sen {90° - 70°) + sen 48°

(20° + 48°) (20º - 48º) = sen20º + sen48º = 2sen

2 · cos

2 =

= 2sen34º cos (-12º) = 2sen34º cosl2º

cos70º + sen48º = 2 sen 34º cosl2º


a) 1 + sen20° b) cos 72° -1

e) sen 70° + cos 8° d) cos 20° - sen 40°


a) sen 2x + sen 6x b) cos 7x - cos 3x

e) -1 + cos2x d) sen x + 1

e) sen 2x - cos x f) sen x + cos x

165. Transforme num produto de senos:

sen2 3x - sen2 x

166. Fatore a seguinte expressão:

sen x + sen 2x + sen 3x

167. Sabendo que existem tg p e tg q, prove que:

t t sen{p+q)

gp+ gq=---cosp cosq


118

Solução:

t t sen p sen q sen p cos q + sen q cos p

gp + gq = -- + -- = ----'-----''----=--cos p cos q cos p cos q

Como sen p cos q + sen q cos p = sen (p + q), então:

tg p + tg q = sen (p + q) cosp cosq

168. Sabendo que existem tg p e tg q, prove que:

t t sen (p - q)

gp- gq= cosp .cosq


a) tg 30° + tg 50° b) tg 70° - tg 20°

e) 1+tg10° d) tg 18° -1

170. Transforme o produto cos 2x cos 4x numa soma equivalente.

Solução:

Temos: cos p + cos q = 2 cos ( p ; q ) · cos ( p ; q )

Então: cos ( p ; q} cos ( p ; q ) = ~ (cos p + cos q)

Comparando cos 2x cos 4x com esta expressão, vem:

p + q = 2x p - q 4 {p + q = 4

x 6 2 e -- = x => => p = xe q = - x 2 2 p - q = 8x

1 1 logo: cos2x cos4x = "2 (cos6x + cos(-2x)) = "2 (cos 6x + cos 2x)

171. Calcule o valor numérico das expressões:

77t 51t a) y = sen

12 cos12


•

,1

120

Pense e Faça

F,4 : A Cachorrada do Coelho Um coelho dá 6 saltos enquanto um cachorro dá 5 saltos, mas 6 saltos do cachorro equivalem a 9 saltos do coelho. Quando o cachorro começou a perseguir o coelho, ele estava 60 saltos (do coelho) na frente. Quantos saltos deve dar o cachorro para alcançar o coelho?

10.1 - Equações Redutíveis a uma Equação do 2! Grau

10.2 - Equações Fatoráveis

Capítulo 10 Equações

Trigonométricas

Vimos em capítulos anteriores, equações do tipo sen x = a, cos x = b e tg x = e. Neste capítulo, estudaremos dois tipos de equações trigonométricas.

10.1 Equa~ões Redutíveis a uma Equa~ão do 2 ! Grau

Resolva a equação: 2 sen2x - 3 senx + 1 = O

Solução:

Fazendo sen x = y, temos: 2y2 - 3y + 1 = O

Resolvendo esta equação, encontramos y = 1 ou y = ; .

• Para y = 1 ::} 1 sen x = 1 j

1t x=-+2krt

2

Equações T rigonoméfricas 121

•

122

la • Para y = - => sen x = -2 2

Assim:

Exercícios


a) 2 sen2x - 5 sen x - 3 = O

e) 2 sen2x + J3 sen x = O

e) 3 tg2x - J3 tg x = O


1 1 4 a) --

1-senx l+senx 3

b) 4 sen4x-11sen2x+6 =O

e) cos 2x - 4 cos x + 3 = O

1t 57t X =

6 + 2 k1t OU X = 6 + 2k1t

b) cos2x + cos x-2 =O

d) 2 cos2x - cos x = O

1 f) - -tgx =O

tgx

17 4. Resolva a equação 2 cos2x + senx - 1 = O

Solução:

Substituindo cos2x por 1 - sen2x, temos:

2 {1 - sen2x) + sen x- 1 =O

2-2 sen2x+sen x-1 =O

2 sen2x - sen x - 1 = O

Fazendo sen x = y, temos: 2y2 - y - 1 = O

Resolvendo esta equação, encontramos:

1t y =1=>senx=1 => x =-+2k7t

2

ou

1 1 77t l17t y= --=>senx=--=>x=-+2k7t ou x=-+2k1t

2 2 6 6

Assim:

S = { x e IR 1 x = ~ + 2k1t ou x = 761t + 2k7t ou x = 1

!7t + 2k1t}


a) 2 cos2x + 3 sen x - 3 = O

b) sen2x + cos x + 1 = O

e) 2 sen2x - 3 cos x =O

d) ./3 sen X + 2 cos2x - 2 = o

Equa~ões Trigonométricas 123

124

176. Resolva a equação ...f3 sen x + cos x = 1

Solução:

Vamos montar o seguinte sistema:

{../3 sen x + cos x = 1

sen 2 x+cos 2 x=1

Da 1ª equação temos: cos x = 1 -../3 sen x. (1)

Substituindo cos x por 1 -../3 sen x na 2ª equação, vem:

sen 2 x+(l-../3senx) 2=1 ~ sen 2 x+l-2../3senx+3sen 2 x=l ~

~ 4sen 2 x-2../3 senx =O ~ senx(4senx-2...f3)= O

Substituindo em (1):

sen x = O ~ cos x = 1- ...f3 · O = 1 ~ x = 2k7t

ou

../3 senx=-2

Assim:

s = {X E IR 1 X = 2k7t ou X = ~7t + 2k7t ou X = ~7t + 2k7t}


a) sen x + ../3 cos x = 1

b) sen x + cos x = 1

e) sen x + ../3 cos x = ...f3

10.2 Equações Fatoráveis

São equações do tipo sen p ± sen q O e cos p ± cos q = O em que utilizamos as fórmulas de transformação em produto.

Resolva a equação: sen 2x + sen x = O

Solução:

3x x 3x x ==> 2sen-cos- =O ==> sen- =O ou cos- =O

2 2 2 2

Então:

3x 3x 2kn: • sen- = O ==> - = kn: ==> x =

2 2 3

ou

X X 1t • COS- Ü ::::> - = - + kn: ::::> X = 1t + 2kn:

2 2 2

{ 2~ } s = X E IR 1 X = 3 ou X 1t + 2kn:

Equa~ões Trigonométricas 12.S

126

Exercícios


a) sen Sx + sen 3x = O

b) sen 6x - sen 2x =O

e) cos 7x + cos 4x = O

d) cos lOx - cos 3x = O


a) cos 2x + cos 4x + cos 6x = O

b) sen 2x + sen 3x + sen 4x + sen Sx =O

Pense e Faga

f 1s: A Perseguida

Numa sala de 30 pés de comprimento, 12 de largura e 12 de altura, há uma aranha no centro de uma das paredes menores, a 1 pé do teto; existe uma mosca na parede oposta, a 1 pé do chão. A aranha tem certas intenções com relação à mosca. Qual é o menor caminho possível pelo qual deve ir a aranha para atingir sua presa?

Equa~ões Trigonométricas 127

•

t

' 1 128

Pense e Fa~a

f16: Um Quarto Crescente

Será que você consegue dividir a figura de uma lua em quarto crescente em seis partes traçando somente duas linhas?

(Extraído do livro "Aprenda Matemática Brincando" - J. Perelmann) .

11.1 - Função Arco Seno 11.2 - Função Arco Cosseno 11.3 - Função Arco Tangente

Capítulo 11 Funções Trigonométricas

Inversas

A função y = sen x não admite inversa em IR, pois a cada valor de y possui em correspondência infinitos valores para o arco x.

P 1 1 t d~ . n: Sn or exemp o, para y = 2

, emas em correspon enc1a os arcos 6 , 6 , 13n: 17n: . , . 1 1 - , - , etc. CUJO seno e 1gua a - . 6 6 2

7t 13n 6'6'ººº

Assim, para que a função seno admita inversa, devemos restringir o seu domínio a um intervalo em que ela seja bijetora.

No intervalo [- ~ , ~], a função seno é bijetora, portanto admite inversa.

Funções Trigonométricas Inversas 129

y

1 ,_ ____ _

11.1

.lt 21

1 _____ j

Função Arco Seno

X

Consideremos a função f(x) = sen x definida no intervalo [- ~ , ~] com

imagens [-1, 1].

A função que associa todo x do intervalo [-1, 1] a um arco y em [-;, ;] ,

cujo seno vale x, chama-se função arco seno.

arcsen x {::::}

Gráfico

Os gráficos das funções y = arcsen x e y = sen x são simétricos em relação à reta y = x.

A seguir, temos o gráfico da função y = arcsen x.

130

y

z. ------~:':!i:en x ,.v=x 2 , ,

: ,,' 1 --------- -}~--:•- .. y=sen x

"1 ,, 1

·A, 2: 1 1 1 1 1

: J' ,' ~,,~·~-1<--~~~+..1

/ ,'

, 1 , 1

,' 1

':.I. 2

D= {xE 1Rj -l~x~l} = [-1, 1]

Exercícios

, A' 1 ,-:.. ... 1 1 ~, : :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 JL 2

180. Determine o valor de y nos seguintes casos:

1 a) y = arcsen

2

Solução:

a) 1 1

y = arcsen 2 ~ sen y = 2

Como y E [- _:: _::] então y = _:: 2'2 ' 6

../2 b) y = arcsen --2

X


J2 J2 b) y = arcsen - - ~ sen y = --2 2

e [ 7t 7t] ~ 7t orno y E - - - entao y = - -2'2 ' 4

181. Detennine os valores de y, tais que:

J3 a) y = arcsen T b) y = arcsen (- ~ )

e) y = arcsen O d) y = arcsen 1

182. Obtenha o domínio da função y = arcsen (x - 2).

" f Solução:

132

Como o domínio da função arcsen x é -1::;; x::;; 1, devemos ter:

logo: D = {x E IR 1 1 ::;; x ::;; 3}

183. Dê o domínio das funções:

a) y = arcsen (x + 1)

b) y = arcsen (x - 2)

e) y = arcsen (2x + 3)


7t a) arcsen (x - 1) = -

2

7t b) arcsen (2x + 1) = "3

e) arcsen (x2 - 1) = 2: 6

11.2 Função Arco Cosseno

Consideremos a função f(x) = cos x definida no intemalo [O, 1t] com imagens em [-1, 1]. A função que associa todo x do intemalo [-1, 1] a um arco y em [0, 1t], cujo cosseno vale x, chama-se função arco cosseno.

Gráfico

-1 , ,

y = arccos x {::> cos y = x

y

,'o ,'

1 Jt ', n, X 2 ......... :

..... 1 ... , 1

.... 1 ...... 1

-1 ------------------------~··~ y=cosx

D= {X E IR 1 -1=:;;X=:;;1 } = [-1, 1]

Im = { x e IR 1 O s y s 1t } = [ O, 1t ]


t

11.3 Fun~ão Arco Tangente

Consideremos a função f(x) = tg x definida no inteivalo ]- ~ , ~[com imagens em IR A função que associa todo número real x a um arco y em

]- ~, ;[, cuja tangente vale x, chama-se função arco tangente.

Gráfico

D= IR

y = arctg x <=> tg.y = x

• 1

' 1 1 1

y

: Jl _________ J __________ 2 1 1 1 1

' 1 1 1 1 1 1

~" ,, , ,, ,,, ---------).'--4---------, 1 I , 1' , :,

/ :• 1

• 1

1

' ' y=x 1: , li ,' ti ,,

Ili' ________ ..,.. __________ _

I '' I I' I ,, ,.,.,

IJt 12 1 1 1 1 1 1 1 1

-----------r----------:1.. 1

2 : l 1 1 1 • 1

X

Exercícios

185. Determine y nos seguintes casos:

1 a) y = arccos2

e) y~arccos(-4;)

e) y = arctg 1

g) y == arctg O

186. Dê o domínio das funções:

a) y = arccos 3x

e) y = arctg 2x


51t a) arccos x = -

6

e) arctg x 1t

3

188. Calcule cos( arcsen ~).

Solução:

d) y arccos (-1)

f) y arctg (- .J3)

.J3 h) y = arctg3

b) y = arccos (1 - 2x}

d) y arctg (.Jsx -2)

1t b) arccos x =

3

1t d) arctgx = -

4

1 1t 1t Fazendo arcsen 3' = a , devemos calcular cos a, com - 2 s; a s; 2 .

Então:

1 1 arcsen3 =a => sena =3

Funções Trigonométricas Inversas 13S

'1

' '

,,

136

Como sen2a + cos2a = 1, temos:

1 2 2 8 2../2. -+cos a=l ~ cos a=-~ cosa=--9 9 3

Logo, co{ arcsen ~) = cosa = 2'{!

189. Calcule:

a) co{ arcsen ~ ) b) sen( arctg ~)

e) sen( arctg ! ) d) tg ( arcsen t)

e) arcsen ( cos ~3 1t) n tg+=•n -:)

190. Determine o valor de cos(arcsen ~ +arccost}

Solução:

Fazendo:

•

1 1 • arccos-=P ~ cosP=-,(Pel2 quadrante).

2 2

Devemos calcular cos (a+ PJ.

Como cos(a + p) =cosa· cos p - sena· sen p, precisamos determinar cosa e senp.

Então:

_!_+cos 2 a=1 ~ 16

15 cos 2 a=-

16 .J15

~ COSCX=--4

1 sen 2 p +

4 = 1 => 2 3 sen p =-

4 .J3

=> senp =-2

cos (ex+ P)= ,J15 .!_! . .J3 = .JlS-./3 4 2 4 2 8

Logo:

cos arcsen-+arccos- = cos (cx+P)=---( 1 1) .JlS-./3 4 2 8

191. Calcule:

192.

a) sen ( arcsen % + arcsen ~)

b) tg [s arctg .J3 - ! arcsen ./3 l 3 4 2

7t Resolva: arctg 2x + arctg 3x = -

4


138

Pense e Fa~a

F17: Livros Empilhados

Tem os dez pilhas de livros, de aspecto igual. Em nove dessas pilhas, cada livro pesa 1 kg e na pilha restante, cada livro pesa 1, 1 kg. Efetuando apenas uma pesagem, determinar em que pilha estão os livros mais pesados.

12.1 - Lei dos Senos 12. 2 - Lei dos Cossenos

12.1

Capítulo 12 Triângulos Quaisquer

Lei dos Senos

Num triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

Demonstração

Consideremos o triângulo ABC cujos lados medem a, b e c, inscrito numa circunferência de raio R.

Vamos construir o triângulo BCD, como mostra a figura seguinte.

D

Triângulos Quaisquer 139

140

Dessa construção:

• O triângulo BCD é retângulo em C (inscrito numa semi-circunferência).

• Os ângulos A e D são congruentes (ângulos inscritos que ~

determinam o mesmo arco BC na circunferência).

Temos:

sen Ô = 2~ . Como, Ô = Â , então:

- a senA=

2R =>I ª-=2RI senA

De modo análogo, obtemos:

lb--=-:1 ~

e 1 c_=2RI senC

Comparando essas expressões, concluímos que:

Exercícios

-ª---=-b __ =-e __ =2R senA senB senC

193. Detennine o raio da circunferência circunscrita no triângulo ABC.

e

A~ B

194. Calcule x na figura.

~ 30º

Solução:

X 4../2. · sen 30° ---=--- x=-----sen 30° sen 135° sen135º

Como sen 135º= sen 45° = ~ , então:

4..J2. . .! x= 2 ~ x=4

..J2. 2

195. No triângulo ABC, calcule x nos seguintes casos:

•)~ e s-{3' e

b)

B

e)~ B~C

A

d)~ B C

196. No triângulo seguinte, detennine os valores de x e y.

A

e x e


12.2 Lei dos Cossenos

Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.

142

Demonstra~ão

Consideremos o triângulo ABC, cujos lados medem a, b, e e.

1.e caso: o ângulo Â é agudo.

Temos:

e

A,L .....L---....i.:""""---------~.B 1 lH 1

I+-m --1!1).;.11141----- c-m -----.;!1)1 : ! : ·~------e-------....'

No triângulo CHB: a2 = h2 + (e- m) 2

a2 = h2 + c2 - 2cm + m2 ª2 =I h2 + m2 I + c2 - 2cm

No triângulo CHA: b2 =I h2 + m2 I Substituindo a segunda igualdade na primeira, vem:

a2 = b2 + c2 - 2cm (D

No triângulo CHA = cos Â = ~ => m = b cos A ®

] a

Substituindo @ em G), vem:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos Â

22 caso: o ângulo Â é obtuso.

e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

h: 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 180"-HLõJ __________ -----------,B : :A 1

1+--m--1Pi'l1---- e ----~I ..... : :

,..• ------ c+m ------...'

Temos:

No triângulo CHB: a2 = h2 +{e+ m) 2

a2 = h2 + c2 + 2cm + m2 => a2 =I h2 + m2 l + c2 + 2cm

No triângulo CHA: b2 = 1 h2 + m2 I

Substituindo a segunda igualdade na primeira, vem:

a2 = b2 + c2 + 2cm (D

No triângulo CHA = cos(180°-Â)= ~

Sendo cos(180°-Â)= - cos A, então:

- cos A = ~ => m = - b cos A ®


Substituindo @ em (D , vem:

1 a2 = b2 + c2 - 2 bc cos Â 1

Podemos também escrever:

1 b2 = a2 + c2 - 2 ac cos B 1 c2 = a2 + b2

- 2 ab cosê

Exercícios

197. Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 6 cm e formam entre si 120º. Calcule a medida do terceiro lado.

Solução:

e

Aplicando a lei dos cossenos, temos:

a2 = b2 + c2 - 2 bc · cos Â => a2 = 16 + 36-2·4·6·cosl

Como cosl20° = - cos 60° = -t, então:

a2 = 16 + 36- 2·4·6{- ~ )= 76 => a=2.Jf9 cm

198. Dois lados de um triângulo medem .J3 cm e 4 cm e formam 150° entre si. Calcule a medida do terceiro lado.

144

199. Calcule x em cada caso:

a) b)

200. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 cm e 12 cm e formam um ângulo de 60º. Calcule a medida de suas diagonais.

201. O triângulo ABC é equilátero de lado 4, AM = MC = 2 e PB = 1. Calcule o perímetro do triângulo APM.

A

202. Duas forças concorrente F1 = SN e F2 = lON formam um ângulo de 60º

entre si. Calcule o módulo e a direção da resultante de F 1 e F 2.

203. Calcule a medida da menor diagonal de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 4 cm.

204. Os lados de um triângulo são dados pelas expressões:

a= x2 + x + 1, b = 2x + 1 e

Determine o maior ângulo desse triângulo.

Triângulos Quaisquer 145 ..

146

Solução:

Observando as expressões, o maior ângulo desse triângulo é oposto ao lado de medida a.

A

~ B X +x+l e

Aplicando a lei dos cossenos, temos:

(x2 + x + 1) 2 = (x2 - 1) 2 + (2x + 1) 2

- 2(x2 - 1)(2x + 1). cos Â

x4 + x2 + 1 + 2x3 + 2x2 + 2x = x4 - 2x2 + 1 + 4x2 + 4x + 1 -

- (2x3 + x2 - 2x - 1) cos Â

- 2 (2x3 + x2 - 2x - 1). cos Â = 2x3 + x2

- 2x - 1

-2 cosA = 1 - 1 -

~ cos A = - - ~ A = 120° 2

205. Os lados de um triângulo medem a, b e e centímetros. Qual o valor do ângulo interno desse triângulo, oposto ao lado que mede a centímetro, se forem satisfeitas as relações: 3a = 7c e 3b = Bc.

Pense e Faça

F18: Frações!

Se a metade de cinco fosse nove, quanto seria a terça parte de dez?


I t4s

Pense e Fa~a

Eu tenho três bolas: A, B e C.

Pintei uma de vennelho, uma de branco e a outra de azul, não necessariamente nessa ordem. Somente uma das seguintes afinnações é verdadeira:

A évennelha

B não é vennelha

e não é azul

Qual é a cor de cada bola?

Respostas

Capítulo 1

1) a) 0,4 b)3 e) 2./2 d) 2./5

2) Não

4) d"' l./2

5) 6cm

6) a) 2./5 5

b) ./5 5

e) 2 d) ./5 5

e) 2./5 5

f) .!.. 2

7) 5 12 5 --e-13'13 12

8) som

9) 45º

10) 9m

11) 600

12) 20m

13) Af = 3,5m, EB 7,0m

14) 2013 3

15) 4/3 cm

16) 4(3+/3)m

17) 1 2

18) 994,5m

19) 26,92 m (aproximadamente)

20) a= 26°, X= 898,8cm

Respostas 149

Capítulo 2

23) a)~ 12

b) ~ 6

e)~ 5

d)~ 4

e) 5it 18

f)~ 5it h) 3it i) 5it j) Bit 3

g) 12 4 6 9

k) 5it 4

!) 5it 3

24) a) 12º b) 6º e) 20"

dl ser e) 240" f) 330"

g) 160" h) 105º i) 315º

j) 320º k) 200" 1) 300º

25) a) 2700' b) 1518' e) 2329'

26) a) 10800" b) 7620" e) 7123"

28) a) 172º30' b) 82º30' e) 130"

29) 36º

30) 13h 5min 27 s

31) 2

lt rad 3

32) 10 voltas

33) 40.000 km

34) 57º19'29"

36) a) b)

y y

e)

y

X

37) a) b)

y y

X X

e) d)

y y

X X

e) f)

y y

A A X X

_ª11, 10

39) a) x=..'.:+ kit 4 2

b) X= 2klt 5

Respostas 151

40) a) X= 2kit b)x =kit e) X=.'.:+ kit 2

d) X= kit 2

e) x = Sit +kit f) X=+.'.:+ 2kJt g) X=.'.:+ kit h) X=.'.:+ kit 6 -6 4 3 2

41) a) b)

42) a) 80" b) 195º e) 281 º d) 217º

3it Sit g) 8it rad h) 4it rad e) 2 rad f) 4 rad 5 7

i) 100" j) 127º k) 49° 1) 267º

) 4it n) 3it o) 7it ) 9it m - p-

3 2 4 5

,, 43) a) l"Q b) 1•Q e) 2•Q d)3°Q

e)3°Q f) 4•Q g) 2•Q h) l"Q

Capítulo 3

45) 1 1 1 a) -2,-2e2

b) .f3 .f3 - .f3 e - .f3 2 • 2 • 2 2

46) a}Oel b) 1 e O

f) .f3 e.!. .f3 1 2 2 g) -2 e 2

47) a} Oe 1 .f3 1 b) -- e -

2 2

48) a)3 b) 2 2

50) a)-3sms-2 bl-~ sm s .! 3 3

52) 3 -5

53) .f3 2

54) 636 169

55) ± 123 5

57) param =2,a=it,eparam 1t

3,a=2

59) 5(1-a2

)

2

60) -J3 4

62) senx=Oecosx -1 ou senx=

e) O e-1

h) - J2 e J2 2 2

e) J2 e J2 2 2

e) .! 2

c)lsms3

2./2 ecos= 1 3

d)-1 e O

i) - .f3 e _ _!. 2 2

d) _.! e .f3 2 2

d).! 2

d)-lsms3

il .!. e .f3 2 2

Respostas 153

Capítulo 4

64) a)

y

b)

y

-2

66) a)

y

1S4

p•2ll lrn•(-2, 0)

X

p•2ll lrn•(-3, 3)

2K X

b)

68) a)

b)

70) a)

y

1

1/2

-1

y

y

P= 21t

lm [-_!_ .!.] 2· 2

p= 21t

lm = [-1, l]

y

p=~ lm•[-1, 1J

X

Respostas 1SS

b}

y

11',

-1

71) a)

y

b)

y

1S6

""'....... , ........ __ ., __ _

p=211 bn=(-1, 1)

211 X

p•211i lm•(-1,3)

X

3Jt

p•4n: lm•(-1, 1)

411: X

e)

y

1 p=1t lm•(O, 1)

-1

d)

y

p=21t

lm = [0,2] 2

1

o X

-1

e)

y

p = 211 lm = [1.4]

X

Respostas 1S7

f)

y

1

o

-1

-2

73) a)

y

-1

b)

y

4

3

2

......... ,, . . o

-1

1S8

•31t 1-12

--~ •• 1 , 1

,• 1 , 1

,,, 1

211:

p=!t lm=(-2, O]

p•211: lm•(-3, -1)

X

p=2Jt

Im = (2, 4]

X

X

75) a)

b)

77) a)

y

3

2

1

o

-1

-2

-3

y

2

o

y

--...... .. •, •,

··-.. •, 1

'•' o

-1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 __ ..

-- 1 ,• 1 , , 1 , 1

pz2Jt lm•[-3,3)

21t X

pz2Jt lm•[-2,2)

X

p•211: lm•[-1, li

X

Respostas 159

b)

79) a)

b)

80) a)

160

y

l

·l

o

-1

y

-1

\ • '

y

-1

.......... , ,... 1

,., 1 , 1

;'' 1

............ , , 1

/ 1 , 1

,' 1

p=2lt lm•(-1, 1)

X

p•lt lm=(-1, 1)

X

p•2Jt lm•(-1, l)

X

p•81t lm•l-1,11

li

b)

y

3

2

1

o

-1

e)

y

1

·1

d)

li

1 l

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

,--~ ' .,,,,. 1 . ,,"' . ' ,' 1 1, 1

21t

p=21t Jm=(-1, 3]

X

p=lt lm=[O, 1)

X

p•2K lm=(-2,0]

X

Respodat 161

83)

84)

86)

162

e)

n

y

3

2

o

-1

y

1

o

-1

-2

a) 21t 6

d)27t

--......... . . ' . '

a) { X E R 1 1 S X :s; 3 }

d){xeRl0SxS3}

a) 2k1t

e) 7t + k1t

b) .!: + k1t 2

b)27t

e) 7t

1 1 1 1 1

__ , 1 ,, 1 1 ,"' 1 1 , 1 1 ,' 1 ,

...... -·1 ,,' :

, 1 ·,' 1

2Jt

21t

p=lt lrn=(-2, O]

b) { X E R 1 1 S X S 5 }

e) { X E R 1 0 :s; X S 2 }

e) 3

1t + 2k1t 2

M 2

X

p•21t bn=(l,3)

X

e) 21t 3

f)47t

e) { x e R 1 OS x :s; 2 }

f){xeRl1SxS3}

d) k1t 2

g) ~lt + 2k1t ou 761t + 2k1t

í ' t

87) a) 2: 21t 3' 3

Capítulo S

88) a)-1

89) a)~ 4

90) s/2

2

91) 0,45

92) 3

±-2

93) a) 2: + k1t 4

d) k1t 2

Capítulo 6

95)

96) a)O

97) 4 5

98) ./iÕ 10

99) 3.JS

5

b) 2: e S1t 3

b) J3 3

b) i 3

31t b) 4 +k1t

e) 2: + k1t 2

b)O

1t 2

e) J3 d) -.J3 3

e) 41t + k1t 3

f) 2:+ k1t 2 2

e) J3 d)-1

Respostas 163

100)

101)

102)

1t a) { x e R 1 x * "6 + k1t }; p = 1t

51t b) { x e R 1 x * (i + k1t }; p = 21t

k1t 1t e) { x e R 1 x * "2 }; p = 2"

a) { x e R 1 x = _.!: + 2k1t} 8

1t 51t b) { x e R 1 x = "3 + 2k1t ou x = 3" + 2k1t}

c)0

Capítulo 7

104)

105)

106)

107)

108)

109)

110)

111)

112)

113)

114)

164

4 senx=s·

2./2 3

5

6

.J2 2

2

4

4

3

4./3 3

12.[lõ

31

2

36

5

tgx = -~ 3'

cotgx = -~ 4'

5 5 secx= -- e cossecx = -

3 4

115) 4 3

116) trl X

118) ./5 cosa=-5

2./5 e sena=-

5 ou ./5 2./5 cosa= -- e sena= --

5 5

119) 3 5

121) m = 1 1t

e x= -3

Capítulo 8 123) a) sen 35º b) -<:OS 80" c) -sen 55º d)-cos 16º e) -sen 50" f) cos 35º

1t h)-cos~ i)-sen~ j)-cos~ k)-sen..!:. lt g) sen 10 5 4 6 10

l)cos 3

124) a)-sec20" b)-cossec~ 1t d)-cotg..!:. 9

c)tgS 10

e)-sec~ 4

f)-tg~ 6

g) -sen 10" h) cos40º

125) 0,80

126) a) tgx b) sen X c) 1-2 sen x

127) ±2./2

128) -3

Capítulo 9

132) a) ./6 +./2 4

b) ./6-./2 4

134) 3-4./3

10

136) a) -( 2+J3) b) 2+J3

137) 9+J3 3-3J3

138) 75 11

Respostas 165

139) ./2-1

142) 1 7

143) a) ./6-./2 4

b) 4./2-3./3 e) 2-./3

144) a) 120./2 +45 b) 50./2 -108 e) 54+25./2

119 119 7

145) 13./3 -24

23

146) 13 80

147) 1 7

150) a) 24 25

b) _..!...._ 25

e)_ 24 7

151) a) J3 2

b)O

152) 2 3

153) 4./5 9

155) a) b+./2 2

b) b-2./2

156) 24 7

161) a) 2 sen 40" cos 1 O" b) 2 sen 15º cos 55º

e) 2 cos 40" cos 20" d) -2 sen 50º sen 35º

163) a) 2 sen 75º cos 35º b) -2 sen 38° sen 38º

e) 2 cos 14º cos 6º d) 2 sen 15º cos 55º

t66

164) a) 2 sen 4x cos 2x

d) 2sen( 2x; 1t }os( 2x;1t)

165) 2 sen2 2x cos 2x

166) (2 cosx + 1). sen 2x

169) a) 2./3 · sen&f' 3cos50"

e) ./2 · sen55° coslO"

171) a)..!. 4

b) -2 sen Sx sen 2x

b) sen50" cos 70" cos 20"

d) ./2 · sen27º cosl8°

b) 2-./2 4

Capítulo 10

172) a) { x e IR 1 x = 761t + 2k1t ou x =

1 !1t + 2k1t}

b) {xe 1Rlx=2k1t}

C) {X E IR 1 X= k1t OU X= ~1t + 2k1t OU X= S31t + 2k1t}

d) {xe 1Rlx=i+k1t ou x=i+2k1t ou x= 561t +2k1t}

173) a) {xe IR lx =i+ 2k1t ou x = 561t + 2k1t}

e) {x e IR 1 x = 2k1t }

f) .ficos(~-x)

Respostas 16 7

175) a) {xe 1Rlx=i-+21ac ou x=~+2klt ou x= 5; +2k1t}

b) {x e IR 1x=lt+2k1t}

d) {xe 1Rlx=klt ou x=i+2k1t ou x= 231t +2k1t}

177) a) {xelRlx=i-+kJt ou x=±5;+2k1t}

b) {xe 1Rlx=2k1t ou x=i-+2k1t}

e) {xe IR 1x=2klt ou x =i+ 2k1t}

178) a) {xe 1Rlx= k: ou x=i-+klt}

b) xe 1Rlx=- ou x=-+-{ k1c ltklt} 2 8 4

{ 1t 2k1t 1t 2klt} e) xe 1Rlx=-+- ou x=-+-11 11 3 3

{ 2klt 2klt} d) xe 1Rlx=3 ou x=-

7-

179) { 1t klt 1t } a) xe IRlx=-+- ou x=+-+lac 8 4 -3

{ 2klt 1t } b) xe IRlx=-7- ou x= 2 +k7t ou x=7t+2k1t

Capítulo 11

181)

168

a).!: 3

e) O

183) a) { x e R 1 -2 :>: x :>: O }

b) { xe RI 1 SxS3}

e) { x e R l -2 Sx S-1 }

184) a) {2} b) { J34-2} e){~}

185) a).!!. 3

b) 511: 6

e) 31t 4

d) 1t

e).!!. 4

o_.!: 3

g)O h) .!: 6

186) a) {xe m1-3-sxs:M

b) { x e R 1 OS x :>: 1 }

c)R

d) {xem!x~M

187) a) {-~} b) HJ e) ~J3J d) { ;2}

189) a)! 5

b) JS 3

e) J1s 5

d) J3 3

e)O f) --f3

191) a) 3/5 +8 15

b)-1

192) {M

Capítulo 12

193) 4cm

195) a)5 b) /6+J2 2 e) 2(J3-1) d) 3J2

2

196) x= 16 e y 8(J3-1)

198) /i1 cm

199) a) 7 b) 4

Respostas 16 9

200) 4.fi e4Jl9

201) 5 + .fi

202) s.fi e .fi -

a= arcsenM com F2

203) 4./3 cm

205) 60"

t'

Bibliografia

Ayres Jr., Frank. Theory and Problems of First Year College Mathematics. New York, Schaum Publishing Co., 1958.

Boyer, Carl B. História da Matemática. São Paulo, Ed. Edgard Blücher Ltda., 1974.

Caraça, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1984.

Klaf, A. Albert. Trigonometry Refresher for Tecnical Men. New York, Dover Publications, Inc., 1956.

Lacaz Netto, F. A. Trigonometria. São Paulo: Livraria Nobel, 1967.

School Mathematics Study Group. Matemática, curso colegial. Vol. 1. São Paulo, Edart, 1966.

Revistas

Revistas do Professor de Matemática - n52 das revistas: 9, 15, 16, 20 e 29. São Paulo, Sociedade Brasileira de Matemática.

171

Série Eletrônica Analógica

Amplificadores Operacionais 212 Páginas• Código: 3168

Partindo do dispositivo ideal e visto como um bloco, aos poucos o estudante vai-se inserindo no mundo do dispositivo real, defrontando-se com situações concretas que desenvolvem o potencial de análise e a criatividade, até a exploração de projetos industriais. Voltado para os cursos técnicos de Eletrônica, Eletrotécnica, Eletroeletrônica, Informática Industrial e para estudantes dos primeiros anos do curso de Engenharia Elétrica.

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Dispositivos Semicondutores: DIODOS e TRANSISTORES 416 Páginas• Código: 3176

Este livro objetiva iniciares estudantes de Eletrônica, Eletroeletrônica, Eletrotécnica e Informática Industrial no mundo dos dispositivos semicondutores. São analisadas as caracteristicas físicas, elétricas e as aplicações do diodo semicondutor, diodo Zener; LED, fotodiodo, fototransistor, fotoacoplador, transistor bipolar; JFET, MOSFET, PTC, NTC e LDR, dando condições para o desenvolvimento de projetos de circuitos eletrônicos que utilizam tais dispositivos como os amplificadores, fontes de tensão estabilizadas etc., além de subsídios para o estudo de outros dispositivos semicondutores.

Autores: Angelo Eduardo Battistini Marques, Antonio Carlos de Lourenço, Eduardo Cesar Alves Cruz

Dispositivos Semicondutores: TIRISTORES - Controle de Potência em C.C. e C.A. 176 Páginas• Código: 2986

Analisa os dispositivos tiristores: SCR e TRIAC, os dispositivos de disparo: DIAC, Diodo Schockley, SUS, SBS, UJT, PUT e outros circuitos integrados de disparo, facilitando aos estudantes de Eletrônica, Eletrotécnica, Eletroeletrônica e Informática Industrial, o desenvolvimento de projetos de circuitos para controle de potência em e.e. e e.A. Autor: José Luiz Antunes de Almeida

Série Eletrônica Digital

Automação Eletropneumática 160 Páginas• Código: 4253

Este livro é indicado aos alunos técnicos e universitários, e aos profissionais que atuam na área de automação industrial. O livro fornece subsídios teóricos e práticos, descrevendo todos os elementos dos processos eletropneumáticos, proporcionando a capacidade de entender, dar manutenção e projetar sistemas automatizados. Inclui o método seqüencial, utilizado para o projeto dos sistemas de automação em processos eletropneumálicos.

Autores: Nelso Gauze Bonacorso, Valdir Noll

Circuitos Digitais

344 Páginas • Código: 3206

Numa abordagem prática e didática, o livro propõe iniciar os estudantes de Eletrônica, Informática Industrial, Eletroeletrõnica e Eletrotécnica na área da Eletrônica Digital. Começando com os sistemas numéricos e a lógica, o estudante entra no mundo dos circuitos combinacionais e seqüenciais, desenwlllendo projetos de circuitos dedicados e de aplicações práticas, aumentando gradativamente seu potencial de anâlise lógica e criatividade, dando os subsídios necessários para o estudo dos microprocessadores e computadores.

Autores: Antonio C. de Lourenço, Eduardo C. A. Cruz, Sabrina R. Ferreira, Salomão Choueri Jr.

Série Eletrônica Digital

Circuitos Seqüenciais e Memórias 116 Páginas• Código: 1971

Este livro aborda a análise e o projeto dos diversos Circuitos Seqüenciais como Flip-Flop 's, Registradores e Contadores, assim como os diversos tipos de memórias semicondutoras, dando subsídios para o projeto de sistemas digitais, utilizando circuitos integrados comerciais e para o estudo de Microprocessadores, Microcontroladores e Microcomputadores.

Autores: Eduardo Cesar Alves Cruz Salomão Choueri Júnior

Manual Didático de Circuitos Integrados · TIL 120 Páginas • Código: 2927

De forma didática, o livro se propõe a ensinar o estudante a entender as Informações de.um manual técnico de circuitos Integrados em inglês (databooks), através da explicação de cada um dos diversos parâmetros que caracterizam esses dispositivos fabricados com tecnologia TIL. Ao mesmo tempo, ele mesmo já é um manual técnico, uma vez que fornece a ficha técnica dos principais circuitos integrados digitais - TIL utilizados por professores e alunos durante o ensino da Eletrônica Digital. Voltado para professores e alunos dos cursos técnicos de Eletrônica, Informática Industrial, Eletroeletrônica, Eletrotécnica e para estudantes dos primeiros anos do curso de Engenharia Elétrica.

Aut_ores: Eduardo Cesar Alves Cruz Luiz Carlos da Cunha e Silva

Portas Lógicas e Circuitos Combinacionals 176 Páginas• Código: 2021

Este livro analisa as diversas portas lógicas, visando ao estudo de circuitos digitais comblnacionais. São incluídos também os circuitos decodificados como MUX, DEMUX, DECODIFICADORES, SOMADORES, que dão subsídios para o projeto de sistemas digitais, utilizando os circuitos integrados comerciais.

Autores: Jan Novaes Recicar Sabrina Rodero Ferreira

Praticando Eletrônica Digital 328 Páginas• Código: 4318

Este livro serve como material de apoio ao livro de teoria Orcuitos Digitais, da Coleção Estude e Use, orientando alunos e professores na elaboração e execução de experiências de eletrônica digital, desde portas lógicas e circuitos combinacionais até circuitos seqüenciais e memórias. Desenvolvido pedagogicamente, ele procura fazer que os alunos aprendam a Interpretar e analisar circuitos digitais utilizando diversos circuitos Integrados comerciais. O livro é Indicado aos cursos técnicos de Eletrotécnica, Eletroeletrônica, Eletromêcanica e Informática Industrial.

Autores: Celso de Araújo William Soler Chui

Sistemas Numéricos e Álgebra Booleana 104 Páginas • Código 1939

Este livro aborda os sistemas numéricos decimal, hexadecimal e binário. A primeira parte mostra como fazer conversões entre eles e operações aritméticas. A segunda parte do livro aborda a lógica, desde as funções bâsicas até a simplificação de expressões booleanas, dando subsldios para o estudo da lógica combinacional e seqüencial. Nos vários exemplos, são usadas situações reais simplificadas, dando uma base para Implementação de sistemas de controle digitais.

Autor: Antonio Carlos de Lourenço

o ;,

IO

le :a ia

Série Instalações Elétricas

Luminotécnica 120 Páginas• Código: 2978

Trata-se de um livro didático para o ensino das técnicas de iluminação de diversos ambientes diferentes, ao mesmo tempo em que é um pequeno manual de referência para o desenvolvimento de projetos luminotécnicos dos mais diversos portes como os residenciais, comerciais e industriais. Voltado para professores e alunos dos cursos técnicos de Eletrônica, Informática Industrial, Eletroeletrônica, Edificações e para estudantes dos primeiros anos dos cursos de Arquitetura e Engenharias Elétrica e Civil.

Autor: Ervaldo Garcia Júnior

Projetos de Instalações Elétricas Prediais 280 Páginas • Código: 4172

Este livro é indicado aos alunos de cursos técnicos e universidades, e aos profissionais que atuam na área de instalações elétricas prediais. Fornece normas e subsídios teóricos e práticos, voltados exclusivamente para o projeto completo de instalações elétricas prediais. Inclui diversos exemplos, visando à aplicação das normas e conceitos nele tratados.

Autor: Domingos Leite Uma Alho

Instalações Elétricas Prediais 456 páginas • Código: 5411

Este livro foi concebido com o objetivo de prover as informações técnicas, bem como os procedimentos de execução de instalações elétricas prediais. Os temas são apresentados de forma didática, partindo de conhecimentos básicos de eletricidade, geração de energia elétrica, utilização de ferramentas, luminotécnica, simbologias, instalação de interruptores, lâmpadas, tomadas, etc., dimensionamento da instalação e culminado com o desenvolvimento de um pequeno projeto residencial, com mais de 700 figuras. É indicado para professores e alunos dos cursos técnicos de Eletrotécnica, Eletromecânica, Eletroeletrônica, Edificações, Engenharia Elétrica, Civil e Arquitetura e para os profissionais que atuam na elaboração de projetos e execução de instalações elétricas.

Autores: Geraldo Cavalin e Severino Cervelin

Instalações Elétricas Prediais - Caderno de Atividades 208 páginas• Código: 542X

O livro apresenta, no início, uma coletânea de exercícios sobre instalações elétricas prediais, denominada Teste Diagnóstico, que tem como finalidade verificar os conhecimentos básicos do estudante. Na seqüência, há exercícios sobre dispositivos de comando de iluminação (condutores, proteção, eletrodutos e luminotécnica), com exemplos no início de cada capítulo. No último capitulo, é solicitado o desenvolvimento de um projeto residencial completo. É indicado para os cursos técnicos de Eletrotécnica, Eletromecânica, Eletroeletrônica, Edificações e para estudantes de Engenharia EIMrica, Ctvil e Arquitetura.

Autores: Geraldo Cavalin e Severino Cervelin

Série Mecânica

Elementos de Máquinas 320 páginas. Código: 5187

Este livro é "sui generis" ria Are.a técnica. Ele aborda assuntos de peso econômico na seleção de elementos de máquinas. Seguem-se as téaúcas para reduzir a flexão; a utilização de eixos vazados; projetos de acoplamentos; os rearsos do reboque e do levantamento de cargas usados pelas empresas l;lm geral; a redução e ampliação brutal de wlocidades das pequenas caixas, dos modernos engrenamentos epicicloidais; os envol\llentes traballos dirigidos, que muito auxílio trazem aos professores. Destinado a Cursos Técnicos, Faculdades, Centros de Treinamento Industrial entre outros.

Autores: Marcos AC. Freire e lzildo Antunes

Série Matemática

Análise Combinatória e Probabilidade 84 Páginas• Código: 2935

Estuda a análise combinatória e a probabilidade pelo desenvolvimento do pensamento lógico por meio do aprofundamento gradativo de situações-problema, evitando, ao máximo, a transcrição de fórmulas prontas, permitindo ao estudante buscar soluções próprias que são posteriormente formalizadas. Voltado para a disciplina de matemática do segundo grau, seja em cursos técnicos seja em cursos regulares.

Autores: Claudio Delfini, Geraldo José Sant'Anna

Exponencial e Logaritmos 112 Páginas• Código: 3532

Partindo da análise de potências e raízes, este livro estuda as funções exponencial e logarítmica, na forma aula-exercício-aula, envolvendo fenõmenos reais aos quais essas teorias se aplicam, facilitando a sua compreensão. Esta publicação está voltada para a disciplina de matemática do segundo grau, seja em cursos técnicos seja em cursos regulares.

Autores: Glaciete Jardim Zago, Walter Antonio Sciani

FUNÇÕ~ ··

Função do 12 Grau, Função do 2• Grau, Função Modular 180 Páginas• Código: 3214

Partindo dos conjuntos numéricos, este livro estuda as funções de primeiro grau, segundo grau e modulares, na forma aula-exercício-aula, facilitando a compreensão e aplicação delas a situações reais. É voltado para a disciplina de matemática do segundo grau, seja em cursos técnicos seja em cursos regulares.


Introdução à Lógica 176 Páginas• Código: 3265

Apresenta uma abordagem elementar da lógica matemática, sendo destinado a alunos do segundo grau. Os temas estudados são: lógica proposicional, álgebra de Boole, proposições e conjuntos, argumentos, sentenças abertas e quantificadores. Os exercícios propostos procuram estimular o aluno ao cuidado e atenção necessários à linguagem formal.

Autora: Mareia Xavier Cury

Trigonometria 192 Páginas • Código: 4032

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Esta obra é feita na forma aula-exercícios-aula. Aborda: Trigonometria no Triãngulo Retângulo; Medidas de Arcos e Ângulo; Funções: Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante, Co-secante; Relações Trigonométricas; Redução e Identidade; Transformações; Equações, FunçõesT rigonomét:ica.• Inversas, Triângulos Quaisquer. Destina-se a estudantes de matemática de 22 grau para os cursos técnicos ou regulares.


Série Eletricidade

Circuitos Magnéticos 160 Páginas• Código: 377X

Por meio de uma abordagem científica, o livro trabalha conceituai e metodologicamente os fenômenos magnéticos e eletromagnéticos, até atingir seu maior objetivo, que são a análise e o projeto de circuitos magnéticos, como pré-requisitos para o estudo de máquinas elétricas. Voltado para estudantes de Eletrônica, Eletrotécnica, Eletroeletrônica e Informática Industrial, o livro é permeado de histórias dessa ciência, envolvendo pesquisas realizadas por Oersted, Ampere, Faraday e Henry, visando à formação de um profissional criativo e competente.

Autor: Giuseppe G. Massimo Gozzi

Praticando Eletricidade - Circuitos em Corrente Contínua 292 Páginas• Código: 4016

Este livro serve como material de apoio ao livro de teoria Circuitos em Corrente Contínua, da Coleção Estude e Use, orientando alunos e professores na elaboração e execução de experiências de eletricidade, desde os seus conceitos mais básicos de eletrostátíca e eletrodinâmica até a análise de circuitos em corrente continua e projetos de instrumentos de medidas elétricas.

Autor: Eduardo Cesar Alves Cruz

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1 Livro: TRIGONOMETRIA· Coleção Estude e Use ·Série Matemática 1 1 Autor: Glaciete Jardim Zago /Walter Antonio Sciani ISBN: 85·7194·403·2 1 1 1 1 Nome: 1 1 1 1 1 1 1 l 1 1 1 11 1 Endereço para correspondência: 1

: 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q I Cidade: Estado: I

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1 1 H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Data de Nascimento: 1 1 1 1 Empresa onde trabalha: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E-mail: 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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Objetivos:

1- Ensinar de um modo mais intuitivo e menos formal.

2- Desenvolver estruturas lógicas do pensamento.

3- Aplicar o ensino matemático na resolução de problemas práticos.

4- Colaborar com o desenvolvimento do raciocínio lógico do aluno.

5- Utilizar linguagem simples e direta na abordagem de cada assunto.

6- Enfatizar o processo de construção de conceitos.

Autores:

GLACIETE JARDIM ZAGO - Bacharel e Licenciada em Matemática, Professora do CEETEPS - E. T.E. Jorge Street.

WALTER ANTONIO SCIANI - Bacharel e Licenciado em Matemátfoa, Professor do CEETEPS - E.T.E. Lauro Gomes.

PUBLICAÇÕES ÉRICA, CLAREZA E OB.JETIVIDADE.

EDITORA ÉRICA L TOA. Rua Jarinu, 594 • Tatuapé • SP CEP: 03306-000 • Caixa Postal: 14.577 • São Paulo Fone: (011) 295-3066 •Fax: (011) 217-4060 Home Page: www.erica.com.br

ISBN: 85-7194-403-2

788571 944039

2ª ediÇÃo · 2020. 3. 11. · sua medida {valor numérico). 2 o triângulo abc é retângulo em...

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