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Triângulo retângulo

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TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relações métricas: Para um triângulo retângulo ABC pode estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: - O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. b² = a.n c² = a.m - O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa. b.c = a.h - O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. h² = m.n - O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c² Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.



Exemplo: No triângulo ABC, calcular: a, h, m e n:

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10 b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8 c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6 b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4 Determinar os valores literais indicados nas figuras: a)

13² = 12² + x² 5.12 = 13.y 169 = 144 + x² y = 60/13 x² = 25 x = 5



b)



c)

d)



Determinar a altura de um triângulo equilátero de lado l.



Determinar x nas figuras. a)

O triângulo ABC é equilátero.

b)

O triângulo ABC é equilátero.



c)



Determinar a diagonal de um quadrado de lado l.



RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. senÊ = e/a senÔ = o/a - Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosÊ = o/a cosÔ = e/a - Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgÊ = e/o tgÔ = o/e Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º Exemplo:

senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8 cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6 tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....



ÂNGULOS NOTÁVEIS Pode-se determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:



Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. No triângulo ABD, temos:

Observação: sen45° = cos45° Resumindo temos a tabela:



Exercícios resolvidos: 1) Calcular o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5

Solução:

2) Calcular a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado.



Solução:

3) A altura de um triângulo equilátero mede 4 cm. Calcular:

a) A medida do lado do triângulo

b) A área do triângulo



4) Calcule x indicado na figura

Solução:



Solução:



6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?

Solução:



7) Na figura indicada calcule AB.

Solução:



8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?

A2 = A1 + A3

100 = 36 + A2

A2 = 100 – 36 = 64cm²



9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.

10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.



11) Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.

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