trigonometria no triângulo retângulo e notas de aula 02 ... · pdf filee á...

Trigonometria no Triângulo Retângulo e Medidas de arcos e ângulos na circunferência

Notas de Aula 02 – Semestre 2 - 2010

Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – Osasco -2010

1

Triângulo Retângulo

São triângulos nos quais algum dos ângulos internos é reto. O maior dos lados

de um triângulo retângulo é “oposto” ao vértice onde se encontra o ângulo reto

e á chamado de hipotenusa. Os outros dois lados menores são chamados de

catetos.

Exemplo:

O ângulo do vértice em é reto.

O lado é a hipotenusa.

Os lados e são os catetos.

O lado é oposto ao ângulo , e é

adjacente ao ângulo .

O lado é oposto ao ângulo , e é

adjacente ao ângulo .

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Consideremos um triângulo retângulo qualquer:

No :

é a medida do cateto . é a medida do cateto . é a medida da hipotenusa. é a altura do triângulo quando se

toma por base a hipotenusa ( ) é o ângulo formado no vértice

é o ângulo formado no vértice

Os e são retângulos e são semelhantes ao , pois

pode-se concluir que os três triângulos possuem os três ângulos internos congruentes.




2

Pela semelhança dos triângulos , , e , temos as seguintes relações

entre as medidas:

Como

Como

Como

, o que implica que o produto dos catetos é igual ao produto da altura pela

hipotenusa.

Como

Teorema de Pitágoras

Das relações (1) e (2) acima, temos

Mas,

Então

Concluímos,

Trigonometria no Triângulo Retângulo




3

Se tomarmos vários triângulos retângulos semelhantes, digamos ,

,..., , podemos dispô-los conforme a figura abaixo:

Ao tomarmos os triângulos deste conjunto, por semelhança de triângulos

teremos que :

Ou seja, a razão entre o cateto oposto a um determinado ângulo e a

hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre constante. A esta razão

chamamos de “seno” do ângulo e representamos por .

Também por semelhança de triângulos teremos que :

Ou seja, a razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e a

hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre constante. A esta razão

chamamos de “cosseno” do ângulo e representamos por .

Também por semelhança de triângulos teremos que :

Ou seja, a razão entre o cateto oposto a um determinado ângulo e o cateto

adjacente ao mesmo ângulo de um triângulo retângulo é sempre constante. A

esta razão chamamos de “tangente” do ângulo e representamos por .

Ainda por semelhança de triângulos teremos que :




4

Ou seja, a razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e o

cateto oposto ao mesmo ângulo de um triângulo retângulo é sempre constante.

A esta razão chamamos de “cotangente” do ângulo e representamos por

.

Resumindo :

Dado um triângulo retângulo qualquer de ângulos internos e , teremos

sempre que:

Das relações acima concluímos diretamente que o seno de um ângulo é igual

ao cosseno de seu complementar , o cosseno de um ângulo é igual ao seno de

seu complementar, e que a tangente de um ângulo é igual a cotangente (ou ao

inverso da tangente) de seu complementar.

Lembrando: Ângulos complementares são aqueles cuja soma das medidas

resulta em um ângulo reto.




5

Então,

Razões Trigonométricas para alguns ângulos Notáveis

Consideramos os valores de , comovalores de ângulos

notáveis, para os quais os valores de Seno, Cosseno e Tangente estão listados

na tabela abaixo.

Medida do âgulo (em graus)

seno cosseno tangente cotangente

Não há

Não há

Observação:

como a medida dos catetos nunca excede a medida da hipotenusa de

um triângulo retângulo, os valores de seno e cosseno dos ângulos

internos ao triângulo nunca excedem o valor de 1.

Note que quanto temos ângulos internos de , não temos

triângulos de fato, mas podemos estender o cálculo do seno e cosseno

para estes casos.




6

Encontrando o valor de um ângulo a partir do valor de uma razão

trigonométrica.

Se pensarmos em estabelecer uma relação entre o conjunto dos ângulos

no intervalo e o conjunto dos números reais, veremos que tal relação é

uma função injetora. Portanto, pode-se estabelecer uma “função inversa” pela

qual, a partir de uma valor dado de , podemos encontrar o valor de .

Sendo assim definimos para os ângulos internos de um triângulo

retângulo que :

Se , então , e se , então .

Ou seja,

Da mesma forma definimos:

e

Exemplos:

Medidas de Arcos de Circunferência

Um arco de circunferência é a curva que temos que percorrer sobre uma

circunferência para sairmos de um ponto A sobre ela e atingirmos um ponto B

sobre ela. Abaixo estão exemplificados os arcos , e




7

Note que, dados dois pontos sobre uma circunferência há duas possibilidades

para traçarmos arcos ligando estes dois pontos.

O Radiano

O radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da

circunferência que contém o arco a ser medido. Abaixo exemplificamos um

arco de medida igual a 1 radiano.

Sabemos que a razão entre o diâmetro de uma circunferência e seu perímetro

é sempre igual a 3,1415927..., que é um número irracional que chamamos de

. Ou seja, se chamado de C o comprimento da circunferência, temos

Então, pela forma como definimos radianos, dizemos que um arco de

circunferência completo (ou simplemente uma circunferência) terá sempre o

comprimento de rad.

A correspondência entre radianos e graus

Estabelecemos a seguinte correspondência para a conversão de unidades de

medida de arco de circunferência:

Medidas de arcos e ângulos




8

Dado um ângulo , consideremos uma circunferência de centro e raio .

Sejam e os pontos onde os lados do ângulo intercepta a

circunferência traçada.

Fazendo construções desta forma, a cada arco corresponderá um único

ângulo . Convencionando que a um arco unitário corresponde um ângulo

central unitário, decorre que o arco e o ângulo central correspondente

passam a ter a mesma medida.

Comprimento de arcos de circunferência

Da forma como definimos, dado um arco de circunferência medido em

radianos, sabemos que cada radiano corresponde a um carco cujo

comprimento é ( o raio da circunferência). Então, dado o raio da

circunferência e a medida do arco dada em radianos, o comprimento do arco

da circunferência ( ) será dado por: .




9

Exercícios

1)Calcular o valor da hipotenusa e da altura em relação à hipotenusa num

triângulo retângulo cujos catetos medem 3 e 4.

Resposta: medida da hipotenusa .

Altura em relação à hipotenusa

.

2)Calcule as medidas x,y,z e t, no triângulo abaixo:

Resposta:

.

3)Calcular a área de um triângulo retângulo em que as projeções dos

catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, e .

Resposta: .

4)Qual é a hipotenusa de um triângulo retângulo de perímetro 56 e altura

igual a

.

Resposta: 25

5)A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada

colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. Calcule o

comprimento dessa escada.




10

6)Na figura tem-se que BCAB e F é ponto médio do lado BE do retângulo

BCDE.

Qual é a área do retângulo

BCDE?

7)Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo,

determine o valor de x:

a) b)

c) d)

8)Com base no triângulo abaixo, assinale a alternativa correta.

6

n 12

3 9

b

3

62

x

y

h

b c

a

2 4




11

9)Assinale a opção correta dentre as alternativa abaixo.

10)O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta?

11)Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Qual deve ser a distância entre o barco e costa, se a distância entre os observadores é igual a 50 metros?

12)Um barco parte de A para atravessar um rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60 m, qual a distância AB percorrida pelo barco na viagem que faz de uma margem à outra?

13)Calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo no qual os

catetos medem 9 e 12 cm. Obs: Se não encontrar valores notáveis para

as relações trigonométricas dê a resposta em função da “relação

trigonométrica inversa.

Resposta: Os dois ângulos internos medem

e

.

14)Calcular os lados de um triângulo retângulo cuja altura em relação à

hipotenusa é 4 e um dos ângulos é .

Resposta: hipotenusa=

. Catetos:

e .




12

15)Calcule os ângulos de um triângulo retângulo de hipotenusa 20,

sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15. Obs: Se não

encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a

resposta em função da “relação trigonométrica inversa.

Lembrete: a mediana de um triângulo é a reta que liga um vértice deste

triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice.

Resposta:

e

16) (FFCLUSP – 66)

Na figura ao lado, os ângulos

e , i= 1,2,... são retos. Quanto vale a soma dos

segmentos , , ...em

função da medida de ( ) e de ?

Resposta:

17)Calcular o ângulo formado pela diagonal e o menor lado de um

retângulo cujos lados estão na razão

. Se não encontrar valores

notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da

“relação trigonométrica” inversa.

Resposta:

.

18)Calcular a área de um triângulo isóceles cuja base mede 2 e

.

Resposta: .




13

19) Um observador vê o topo de um prédio, construído em um terreno

plano, sob um ângulo de . Afatando-se do edifício mais 30 metros,

ele passa a ver o topo do prédio sob um ângulo de . Qual é a altura

do prédio?

Resposta:

metros.

20)A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30º. Caminhando 24 m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio.

21)Para medir a altura de um prédio, um agrimensor sobe ao seu topo e avista a base de uma árvore sob um ângulo de depressão de 30º(ver figura). Em seguida, mede a distância do prédio à árvore e registra 120√3m. Qual é a altura do prédio?




14

22)Para obter a altura H de uma chaminé, um engenheiro, com um

aparelho especial, estabeleceu a horizontal AB e mediu os ângulos e tendo a seguir medido BC=h. Qual é a altura da chaminé em função de e h ?

Resposta:

23)A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com o

piso horizontal. De quanto deve ser a medida aproximada de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30° da horizontal?

24) Converter para radianos

a. (Resposta:

)

b. (Resposta:

)

c. (Resposta:

)

d. (Resposta:

)

e. (Resposta:

)




15

25) Converter para Graus

a.

(Resposta: )

b.

(Resposta: )

c.

(Resposta: )

d.

(Resposta: )

e.

(Resposta: )

26) Transforme em radianos e

radianos em graus.

Resposta:

, e

.

27)Converter para radianos:

a. (Resposta:

)

b. (Resposta:

)

28)Qual é a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento

contido numa circunferência de raio igual a 8 cm ?

Resposta: 2,5 radianos.

29)Um arco de circunferência mede 30 cm e o raio da circunferência mede

10 cm. Calcular a medida do arco em radianos.

Resposta: 3 rad.

30)Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo de ,

contido numa circunferência de raio igual a 1 cm ?

Resposta:

cm.

31)O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 cm. Qual é a distância

que sua extremidade percorre em 30 minutos?

Resposta: Aproximadamente 31,4 cm.

32) Calcular a medida do ângulo central que um arco de comprimento

determina em uma circunferência de raio .

Resposta:




16

33)Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio

que está marcando:

a. 1 h (Resposta: )

b. 1 h 15 min (Resposta: )

c. 1 h 40 min. (Resposta: )

Referências

Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3.

Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003.

Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume

3. Ed Atual. São Paulo. 1977.

trigonometria no triângulo retângulo e notas de aula 02 ... · pdf filee á...

Documents