Funções Periódicas

• Uma função diz-se periódica se se repete ao longo da variável independente com um determinado período constante.

• Quando se observam fenômenos que se repetem periodicamente , como temperatura média diária ao longo de um mês , ordenação das folhas em uma planta etc., estes podem ser modelados pro funções trigonométricas.

As funções Trigonométricas

• Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos.

• Ângulo É a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, dividindo este plano em duas partes.

• A abertura do ângulo é uma propriedade invariante deste e é medida, no SI, em radianos.

Radiano

• O ângulo definido no centro de um círculo por um arco de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do círculo é 1 radiano.

• O radiano é útil para distinguir entre quantidades de diferentes naturezas, mas com a mesma dimensão.

Radiano

• Por exemplo, velocidade angular pode ser medida em radianos por segundo (rad/s).

• Fixando a palavra radiano enfatiza-se o fato de a velocidade angular ser igual a 2 vezes a frequência rotacional.

Radiano

• Ângulos medidos em radianos são frequentemente apresentados sem qualquer unidade explícita.

• Quando, porém, uma unidade é apresentada, usualmente se usa o símbolo rad .

Radiano

• Existem 2 (aproximadamente 6.28318531) radianos num círculo completo, portanto:

2 rad = 360º

1rad =360º

2=

180º= 57,29577951º

• Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais.

Circulo trigonométrico

0 rad

/ 2

3 / 2

Eixo dos cossenos

Eixo dos senos

2

1

1

-1

-1

Circulo Trigonométrico Fundamental:Raio=1

Ângulos em Radianos

Seno

• O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a , define-se sen como sendo a proporção entre o cateto oposto a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

sen =cateto oposto

hipotenusa

Seno

coseno

• O co-seno (usam-se ainda as formas coseno e cosseno) é uma função trigonométrica.Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a , define-se cos( ) como sendo a proporção entre o cateto adjacente a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

cos =cateto adjacente

hipotenusa

Coseno

Seno x Coseno

Elementos de funções Seno x Coseno

• Amplitude: é a metade da distância entre os valores de máximo e mínimo.

• Período: é o tempo necessário para a oscilação evoluir um ciclo completo.

Seno x coseno

• De acordo com os gráficos , tanto as funções seno quanto coseno tem amplitude 1, pois -> 1-(-1)/2 = 1

• O período de ambas as funções é 2 que é o tempo necessário em radianos para a função completar um ciclo

Seno x coseno

• Note ainda que as duas tem fases deslocadas (uma em relação a outra)de

/2... ou seja:

cos x = sen(x +2

)

sen x= - cos(x+2

)

exercício

• A partir das duas funções a seguir , encontre a amplitude , o período e esboce o gráfico:

a) 3 sen 2t

b) -5 cosx

2

Resolução

a) como no maximo o valor que um seno pode assumir é 1

a amplitude vai ser dada pelo valor que está multiplicando o seno,

neste caso a amplitude da função é 3

O periodo é calculado se fazendo a substituição pelo periodo normal

de um seno que é 2 , assim:

2t=2

t=2

2=

Resolução

Resolução

b)usando o mesmo raciocinio a amplitude nesse caso é 5 ,

o sinal negativo só indica que a onda inicia com

valor negativo( começa em -5)

o periodo: x

2= 2 ..x = 2 * 2 = 4

Resolução

Exercício 2

• Com base nos gráficos ache as funções originais...

Exercício 2

• Com base nos gráficos ache as funções originais...

Tangente

• Em trigonometria, é uma função trigonométrica. Define-se tan( ), como sendo a proporção entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a em um triângulo retângulo

Tangente

tg x= Cateto oposto

Cateto adjacente=

senx

cos x

Os valores de tangentes mais usados na resolução de problemas

são as tangentes dos ângulos:

tg 30º=3

3tg 45º= 1

tg 60º = 3

Tangente

• O período de uma tangente sempre é igual a , pois o gráfico sempre se repete após unidades.

• Quanto a amplitude , no caso da tangente não faz sentido se trabalhar com a amplitude uma vez que ela se torna infinitamente grande quando se aproxima da assíntota vertical.

Tangente

Funções Trigonométrica

• A partir das 3 funções trigonométricas já introduzidas , podemos definir três outras funções trigonométricas : a secante, a co-secante e a co-tangente, dadas respectivamente por:

sec x =1

cos x

cosec x = 1

senx

cotg x= 1

tg x

Funções Inversas

• Em matemática, as funções trigonométricas inversas são as inversas das funções trigonométricas.

• Algumas vezes são chamadas de função de arco, pois retornam o arco correspondente a certa função trigonométrica

exemplo de funções inversas

Sabendo-se que sen =1

2 e que sen =0.4695 , encontre os

valores de e .

calculadora!!!

Identidades trigonométrica

sen(- )= - cateto oposto

hipotenusa= sen

cos(- )= cateto adjacente

hipotenusa= cos

Identidades trigonométrica

Através do teorema de pitagoras podemos chegar a:

sen( 1 + 2 )= sen 1.cos 2 + cos 1.sen 2

cos( 1 + 2 ) = cos 1 . cos 2 sen 1 . sen 2

sen( 1- 2 )= sen 1.cos 2 cos 1.sen 2

cos( 1 2 ) = cos 1 . cos 2 + sen 1 . sen 2

Chamamos esse conjuntos de identidades de lei dos

senos.

exercício

• Dado que sen ( /12)=0.258 e que cos( /5)=0.809 , calcule sem usar a calculadora os seguintes valores:

a) sen(11 /12)

b) cos(- /5)

c) sen(13 /12)

Exercício

a)sen(11

12)

sen(11

12) = sen( -

12)

sen( - 12

)=sen .cos12

- cos . sen12

sen( - 12

)= 0 .cos12

- 1. sen12

, logo ...

sen(11

12) = sen(

12) = 0.258

Exercício

b)cos(5

)

cos(5

) = cos(5

) = 0.809

c)sen(13

12) = sen( +

12)

sen( + 12

)=sen .cos12

+ cos . sen12

sen( + 12

)= 0 .cos12

+ 1. sen12

, logo ...

sen(13

12) = sen(

12) = 0.258

Exercício

• Defina a amplitude e o período de cada uma das funções , em seguida esboce os gráficos.

a)ƒ(t)=2 sen t

b) g(x)= -5 sen 2x

c) h(x) = 3 cos x

5

d) f (x) =1

2cos

x

3

e)h(x) = 3cos x

f )g(t) = 5 sen2t

g) f (x) = 1+ 3cos2t

h)h(y) = 3cos2y

Exercício-Resolução

• 2 exercícios resolvidos e comentados , o resto fica para o aluno resolver.

b) g(x)= -5 sen 2x

Amplitude : o valor maximo que qualquer seno pode valer é

1 , se substituir-mos 1 na equação ficamos com

g(x)= -5 sen 2x=-5*1=-5 , como a amplitude deve ser obtida

como modulo retiramos o sinal ficando com...

[1]amplitude = 5

Exercício-Resolução

No caso do período da função analizamos somente o seno ...

sen 2x , se fosse um seno de x o periodo seria 2 , para calcular

o periodo de seno de 2x igualamos o 2x com x e depois substituimos

x por 2 , isso vale pra qualquer variavel ( x, y , t etc..)

logo:

2x=x ... 2x=2 ...x=2

2...x =

logo o periodo da função sen2x é igual a

[2]Período =

Exercício-ResoluçãoCom esses valores é só desenha um seno normal,

porém como a equação é g(x)= -5 sen 2x

devemos observar que o sinal negativo

no -5 faz com que o seno comun seja invertido .

Quanto ao periodo, no final do seno ao invés de

colocar 2 colocamos o novo perido calculado igual

a , confira o grafico, foram plotados duas

funçoes 5 sen2x (verde) e -5sex2x( vermelha)

para que o aluno entenda as implicações do sinal

negativo na função

Exercício-Resolução

g) f (x) = 1+ 3cos2t

Amplitude : o valor maximo que qualquer cosseno pode valer é

1 , se substituir-mos 1 na equação ficamos com

g(x)= 1+3 cos 2t =1+3*1= 4

[1]amplitude = 4

Exercício-Resolução

No caso do período da função analizamos somente o cosseno ...

cos 2t , se fosse um cosseno de t o periodo seria 2 , para calcular

o periodo do cosseno de 2t igualamos o 2t com t e depois substituimos

t por 2 , isso vale pra qualquer variavel ( x, y , t etc..)

logo:

2t=t ... 2t=2 ...t=2

2...t =

logo o periodo da função cos2t é igual a

[2]Período =

Exercício-ResoluçãoGrafico:

Para fazer o grafico temos que analisar a

equação inteira g(t)=1+3cos2t

primeiramente desenhamos o grafico de

3.cos 2t , e depois fazemos os ajustes

o periodo deve valer e a amplitude deve valer

inicialmente 3, o grafico ficaria da seguinte

maneira.

Exercício-ResoluçãoGrafico:

Como o grafico da função é g(t)=1+3cos2t

o que vai acontecer com o grafico inicial

é deslocar o grafico inteiro uma unidade pra

cima por que para cada valor da curva 3cos2t

uma unidade será somada .. o grafico final

está em vermelho e o original está em azul,

tudo para destacar o que acontece quando

se soma um valor a uma função trigonométrica

Referencias

[1] R. S. Ferreira, Matemática Aplicada às Ciências Agrárias - Análise de Dados e Modelos, 1º ed. Viçosa: Editora UFV, 1999.

[2] F. U. Coelho, Curso básico de Calculo, vol. 1, 1 ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.

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