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Preparação para prova final do 2º ciclo

Luis Carrilho

www.obichinhodosaber.com

PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA

www.obichinhodosaber.com 1

ÍNDICE POR TEMAS

Números primos e números compostos 2

Critérios de divisibilidade 3

Decomposição em fatores primos 3

Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum 4

Potências 4

Conjuntos de números 5

Frações 6

Valores aproximados e arredondamentos 7

Operações com números racionais não negativos 8

Operações com números inteiros 9

Expressões numéricas 9

Sequências 10

Proporcionalidade direta 11

Reta, semirreta e segmento de reta 12

Ângulos 13

Polígonos 14

Perímetros e áreas 15

Sólidos geométricos 16

Volumes 17

Unidades de volume e capacidade 17

Recolha de dados 18

Representação de dados 19

Tratamento de dados 20



NÚMEROS

Números primos e números compostos

Número primo: tem apenas dois divisores (o 1 e ele próprio)

Número composto: tem mais do que dois divisores

Nota: O número 1 não é primo nem é composto.

Exemplos:

Divisores de 2:

2 : 1 = 2

2 : 2 = 1

- 2 tem dois divisores (1 e 2), logo é um número primo.

Divisores de 3:

3 : 1 = 3

3 : 3 = 1

- 3 tem apenas dois divisores (1 e 3), logo é um número primo.

Divisores de 4:

4 : 1 = 4

4 : 2 = 2

4 : 4 = 1

- 4 tem três divisores (1, 2 e 4), logo é um número composto.

Divisores de 5:

5 : 1 = 5

5 : 5 = 1


Divisores de 6:

6 : 1 = 6

6 : 2 = 3

6 : 3 = 2

6 : 6 = 1

- 6 tem quatro divisores (1, 2, 3 e 6), logo é um número composto.

Divisores de 7:

7 : 1 = 7

7 : 7 = 1




Critérios de divisibilidade

Números divisíveis por 2: números pares

Números divisíveis por 3: números cuja soma dos seus algarismos é

múltiplo de 3

Números divisíveis por 4: números em que os dois últimos algarismos

formam um número múltiplo de 4

Números divisíveis por 5: números que terminam em 0 ou 5

Números divisíveis por 9: números cuja soma dos seus algarismos é

múltiplo de 9

Números divisíveis por 10: números que terminam em 0

Exemplo:

2145:

- Não é divisível por 2 porque não é par

- É divisível por 3 porque a soma dos seus algarismos é múltiplo de 3 (2+1+4+5=12)

- Não é divisível por 4 porque os dois últimos algarismos (45) não formam um número

múltiplo de 4

- É divisível por 5 porque termina em 5

- Não é divisível por 9 porque a soma dos seus algarismos não é múltiplo de 9

(2+1+4+5=12)

- Não é divisível por 10 porque não termina em 0

Decomposição em fatores primos

Para decompor um número em fatores primos, começamos a dividi-lo pelo seu

divisor primo mais baixo. De seguida, divide-se o quociente obtido pelo seu

divisor primo mais baixo, e assim sucessivamente até chegar ao 1.

Exemplo:

630 = 2 × 32 × 5 × 7



Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

Máximo divisor comum: fatores comuns de menor expoente

Mínimo múltiplo comum: fatores comuns de maior expoente e fatores

não comuns

Exemplo:

10500 = 22 × 3 × 53 × 7

504 = 23 × 32 × 7

- m.d.c. (10500,504) = 22 × 3 × 7 = 84

- m.m.c. (10500,504) = 23 × 32 × 7 × 53 = 63000

Potências

Numa multiplicação de potências:

Com bases iguais: somam-se os expoentes e base mantém-se igual

Com expoentes iguais: multiplicam-se as bases e o expoente mantém-

se igual

Numa divisão de potências:

Com bases iguais: subtraem-se os expoentes e base mantém-se igual

Com expoentes iguais: dividem-se as bases e o expoente mantém-se

igual

Potência de potência:

Multiplicam-se os expoentes e a base mantém-se igual.

Exemplos:

45 × 43 = 48

45 × 25 = 85

45 : 43 = 42

45 : 25 = 25

(43)2 = 46



Conjuntos de números

Naturais: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Inteiros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Racionais: {números inteiros} U {números fracionários}

Nota: Um número fracionário é um número decimal que pode ser

representado por uma fração. Para saber se um número é fracionário

verificamos se é uma dízima finita ou dizíma infinita não periódica.

Exemplos:

2145

- É número natural (porque é superior a 0 e não tem parte decimal)

- É número inteiro (porque não tem parte decimal)

- É número racional (porque é número inteiro)

0

- Não é número natural (porque é inferior a 1)


- É número racional (porque é um número inteiro)

-45

- Não é número natural (porque é inferior a 1)


- É número racional (porque é um número inteiro)

2,145

- Não é número natural (porque tem parte decimal)

- Não é número inteiro (porque tem parte decimal)

- É número racional (porque é um número fracionário – dizíma finita)

-21,(45) = 21,4545454545...



- É número racional (porque é um número fracionário – dizíma infinita periódica)

-21,45135781548...



- Não é número racional (porque é um número irracional – dizíma infinita não

periódica)



Frações

As frações são números racionais representados sob a forma de quociente

entre dois números inteiros. Podem representar uma parte de um todo.

Fração como parte de um todo

Um terço de 1200:

Frações equivalentes

Para obter frações equivalentes:

Multiplicam-se ou dividem-se os numeradores e denominadores pelo

mesmo número

Exemplo:

- neste caso multiplicaram-se o numerador e o denominador por 2

Forma irredutível

Para colocar uma fração na forma irredutível:

Dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum

Exemplo:

- neste caso o maior divisor comum entre numerador e denominador era o 5, logo

dividiram-se o numerador e o denominador por 5

1200

400



Comparação de frações

Comparar frações:

Se tiverem o mesmo denominador, a fração maior é a que tem maior

numerador

Se tiverem o mesmo numerador, a fração maior é a que tem menor

denominador

Se tiverem numeradores e denominadores diferentes, obtêm-se frações

equivalentes de forma a ter numeradores ou denominadores iguais e

seguem-se as regras anteriormente descritas

Exemplos:

,porque

e

Valores aproximados e arredondamentos

Valores aproximados:

Por defeito: não se acrescenta nada ao último algarismo

Por excesso: acrescenta-se 1 ao último algarismo

Arredondamentos:

Se o algarismo seguinte ao último for inferior a 5: não se acrescenta

nada ao último algarismo

Se o algarismo seguinte ao último for igual ou superior a 5: acrescenta-

se 1 ao último algarismo

Exemplos:

145,253789456448...

- valor aproximado por defeito às unidades: 145 (5+0)

- valor aproximado por excesso às unidades: 146 (5+1)

- arredondamento às unidades: 145 (5+0, porque o algarismo seguinte (2)é inferior a 5)



ÁLGEBRA

Operações com números racionais não negativos

Na adição:

o Se as frações não tiverem o mesmo denominador, primeiro deve-

se obter frações equivalentes igualando os denominadores

o De seguida, somam-se os numeradores

Na subtração:

o Se as frações não tiverem o mesmo denominador, primeiro deve-

se obter frações equivalentes igualando os denominadores

o De seguida, subtraem-se os numeradores

Na multiplicação:

o Multiplicam-se o numerador da primeira fração com o

numerador da segunda, e o mesmo se faz com os

denominadores (não é necessário denominadores iguais)

Na divisão:

o Multiplica-se a primeira fração com o inverso da segunda

Potência:

o Multiplica-se o numerador e o denominador o número de vezes

indicado pelo expoente

Exemplos:

(

)



Operações com números inteiros

Quando aparecem dois sinais juntos (+ ou -), deve-se fazer a simplificação da

escrita:

Se aparecerem sinais diferentes ( - + ou + -):

o Passam a –

Se aparecerem sinais iguais (+ + ou - -):

o Passam a +

Exemplos:

4 + 2 = 6

-4 + 2 = -2

4 + (-2) = 4 – 2 = 2

-4 + (-2) = -4 – 2 = -6

4 - 2 = 2

-4 - 2 = -6

4 - (-2) = 4 + 2 = 2

-4 - (-2) = -4 + 2 = -6

4 × 2 = 8

-4 × 2 = -8

4 × (-2) = -8

-4 × (-2) = 8

4 ÷ 2 = 2

-4 ÷ 2 = -2

4 ÷ (-2) = -2

-4 ÷ (-2) = 2

Expressões numéricas

1. Resolvem-se as potências

2. Resolve-se o que está dentro de parenteses

3. Resolvem-se as multiplicações e divisões pela ordem em que aparecem

4. Resolvem-se as adições e subtrações pela ordem em que aparecem

Exemplo:

42 + (2 + 1 × 3) × 4 – 2 ÷ 2 =

= 16 + (2 + 1 × 3) × 4 – 2 ÷ 2 =

= 16 + (2 + 3) × 4 – 2 ÷ 2 =

= 16 + 5 × 4 – 2 ÷ 2 =

= 16 + 20 – 2 ÷ 2 =

= 16 + 20 – 1 =

= 36 – 1 =

= 35



Sequências

A cada número de uma sequência chama-se termo e a posição que ocupa

na sequência chama-se ordem (n).

É possível descobrir qualquer termo de uma sequência sabendo o seu termo

geral.

Exemplos de termos gerais de sequências:

2, 6, 8, 10, 12, ... 2n (de 2 em 2)

3, 6, 9, 12, 15, ... 3n (de 3 em 3)

4, 7, 10, 13, 16, ... 3n + 1 (de 3 em 3 e começa no 4)

1, 2, 3, 4, 5, ... n (de 1 em 1)

0, 1, 2, 3, 4, ... n - 1 (de 1 em 1 e começa no 0)

-10, -20, -30, -40, -50, ... -10n (de -10 em -10)

5, 0, -5, -10, -15, ... -5n + 10 (de -5 em -5 e começa no 5)

1, 4, 9, 16, 25, ... n2 (quadrados perfeitos)

1, 8, 27, 64, 125, ... n3 (cubos perfeitos)

Exemplo de como se descobre os termos de uma sequência através do seu termo

geral:

Termo geral:

2 × (n + 10)

1º termo (n = 1):

2 × (1 + 10)= 2 × 11 = 22

2º termo (n = 2):

2 × (2 + 10)= 2 × 12 = 24

3º termo (n = 3):

2 × (3 + 10)= 2 × 13 = 26

10º termo (n = 10):

2 × (10 + 10)= 2 × 20 = 40



Proporcionalidade direta

Razão

Uma razão é o quociente entre duas grandezas.

Exemplo:

Razão entre o número de bolas verdes e o número total de bolas:

- neste caso 2 é o antecedente e 5 é o consequente

Proporção

Uma proporção é uma igualdade entre razões. Numa proporção, o produto

dos meios é igual ao produto dos extermos (lei fundamental das proporções).

Exemplo:

- neste caso 2 e 10 são os extremos,5 e 4 são os meios

Constante de proporcionalidade

Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então existe uma constante

de proporcionalidade.

Exemplo:

x 1 2 3

y 5 10 15

5 ÷ 1 = 5 ; 10 ÷ 2 = 5 ; 15 ÷ 3 = 5

- neste caso a constante de proporcionalidade é 5, sendo assim

as grandezas x e y são diretamente proporcionais



GEOMETRIA

Reta, semirreta e segmento de reta

Reta

Uma reta não tem princípio nem fim

Exemplo:

Reta AB ou reta s

Semirreta

Uma semirreta tem princípio mas não tem fim

Exemplo:

Semirreta AB

Segmento de reta

Um segmento de reta tem princípio e fim

Exemplo:

Segmento de reta [AB]

A B

s

A

B

A

B



Ângulos

Classificação de ângulos

Pares de ângulos

90º > 90º < 90º

Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso

360º 180º

Ângulo raso Ângulo giro

Ângulos alterno internos

a = b

Ângulos verticalmente opostos

a = b

Ângulos complementares

a + b = 180º

Ângulos complementares

a + b = 90º

b

a

a a

a

b

b

b



Polígonos

Um polígono é um conjunto de segmentos de reta interligados entre si.

Classificação de polígonos

Os polígonos podem ser classificados quanto ao número de lados:

Triângulos: 3 lados

Quadriláteros: 4 lados

Pentágonos: 5 lados

Hexágonos: 6 lados

Heptágonos: 7 lados

Octógonos: 8 lados

Eneágonos: 9 lados

Decágonos: 10 lados

Polígonos regulares

Um polígono regular tem os lados e os ângulos todos iguais.

Classificação de triângulos

Os triângulos podem ser classificados de duas formas:

Quanto aos lados:

o Equilátero (lados todos iguais)

o Isósceles (2 lados iguais)

o Escaleno lados todos diferentes)

Quanto aos ângulos:

o Retângulo (um ângulo reto)

o Obtusângulo (um ângulo obtuso)

o Acutângulo (três angulos agudos)

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º.



Perímetros e áreas

Quadrado

Retângulo

Triângulo

Círculo

l

c

l

b

l1 l2 a

d r

A = c × l

P = c + l + c + l

A = l × l

P = l + l + l + l

A =

P = b + l1 + l2

A = π × r2

P = π × d



Sólidos geométricos

Poliedros

Os poliedros têm apenas faces planas:

Prismas: têm 2 bases e faces laterais retangulares

o Prisma triangular (bases triangulares)

o Prisma quadrangular (bases quadrangulares)

o Prisma pentagonal (bases pentagonais)

o ...

Pirâmides: têm 1 base e faces laterais triangulares

o Pirâmide triangular (base triangular)

o Pirâmide quadrangular (base quadrangular)

o Pirâmide pentagonal (base pentagonal)

o ...

Não poliedros

Os não poliedros têm pelo menos uma face curva:

Cilindro: 2 bases e 1 superfície curva

Cone: 1 base e 1 superfície curva

Esfera: 1 superfície curva

Planificação do cilindro

π × d (perímetro da base)

d

altura do sólido



Volumes

Cubo

Paralelopípedo

Cilindro

Unidades de volume e capacidade

Volume: Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Capacidade: Kl hl dal l dl cl ml

m3 = kl

dm3 = l

cm3 = ml

V = a × a × a

a

a

l c

V = c × l × a

V = π × r2 × a

a

r



ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS

Recolha de dados

População/amostra e censo/sondagem

Quando se realiza um estudo, podemos retirar os dados de toda a população

(sobre o quê ou quem se faz o estudo), ou então retiramos os dados de uma

amostra (parte da população) para se tirarem conclusões sobre o geral.

Num estudo pode-se então realizar:

Um censo: quando se retiram os dados de toda a população

Uma sondagem: quando se retiram dados a partir de uma amostra

Exemplos:

Pretende-se saber o número de irmãos dos alunos de uma escola. Fez-se um inquérito

a 10 alunos de cada turma.

- neste caso a população são os alunos da escola e foi utilizada uma amostra para o

estudo (os 10 alunos de cada turma que responderam ao inquérito), sendo portanto

uma sondagem.

Natureza dos dados

A variável é sobre o que se estuda. Podemos classificá-la como:

Qualitativa: se se refere a qualidades (os dados são expressos por

palavras)

Quantitativa: se se refere a uma quantidade (os dados são expressos

por números)

o Discreta: quantidade através de contagem

o Contínua: quantidade através de medição

Exemplos:

Cor dos olhos – variável qualitativa

Número de irmãos – variável quantitativa discreta

Altura – variável quantitativa contínua



Representação de dados

Tabela de frequências

Frequência absoluta: número de vezes que se repete um dado

Frequêcia relativa: quociente entre frequência absoluta e o número

total de dados

Exemplo:

População: alunos do 5ºB

Variável: notas a matemática

Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3

Notas fa fr Fr (%)

1

1

5 % (0,05 × 100)

2

6

30 % (0,3 × 100)

3

6

30 % (0,3 × 100)

4

6

30 % (0,3 × 100)

5

1

5 % (0,05 × 100)

Total 20 1 100 %

Gráficos

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5

1

5%

2

30%

3

30%

4

30%

5

5%

Gráfico de barras

Gráfico circular



Diagrama de caule-e-folhas

Quando os dados têm dois ou mais algarismos podem ser representados

através de um diagrama de caule-e-folhas

Exemplo:


Variável: altura (cm)

Dados: 148, 153, 149, 155, 158, 142, 168, 147, 152, 161, 148, 155, 168, 172, 165, 142,

146, 154, 163, 157

14 2 2 6 7 8 8 9

15 2 3 4 5 5 7 8

16 1 3 5 8 8

17 2

Tratamento de dados

Moda: dado que aparece mais vezes

Média: quociente entre a soma de todos os dados e o número total de

dados

Extremos: valor mínimo e valor máximo

Amplitude: Diferença entre o valor máximo e o valor mínimo

Nota: a média, os extremos e a amplitude só se verificam quando temos uma

variável quantitativa.

Exemplo:


Variável: notas a matemática

Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3

Moda: 2, 3 e 4

Média:

Mínimo: 1

Máximo: 5

Amplitude: 5 – 1 = 4

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