RESUMO DOS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA 2º CICLO

A – NÚMEROS E OPERAÇÕES1 – Números naturais1.1 – Critérios de divisibilidadeAlguns critérios de divisibilidade:- Um número é divisível por 2 se for par.- Um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3. Exemplo: 417 4 + 1 + 7 = 12 (12 é divisível por 3, então, 417 também)- Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Exemplo: 254 como 54 não é divisível, logo 254 também não é divisível por 4.- Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5.- Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplo: 238 2 + 3 + 8 = 13 (13 não é divisível por 9, então, 238 também não é divisível por 9.- Um número é divisível por 10 se o último algarismo for 0.* Propriedades dos divisores:- Num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto. Ex: Se 7 é divisor de 14, então também é divisor do produto de 14 por 15, ou seja, de 210. ( 210 : 7 = 30)- Se um número natural é divisor de outros dois, também é divisor das respetivas soma e diferença. Ex: 5 é divisor de 15 e de 10, logo também é divisor de 15+10 e de 15 – 10. 15 + 10 = 25 25 : 5 = 5 15 – 10 = 5 5 : 5 = 1 1.2 – Números primos e números compostos- Um número primo é um número natural que tem só dois divisores: o 1 e o próprio número.- Um número composto é um número natural que tem mais que dois divisores.- O 1 é um número especial porque, apesar de ser um número natural, não é primo nem composto, uma vez que só tem um divisor: ele próprio.- O único número primo par é o 2, porque qualquer outro número par tem pelo menos três divisores: o 1, o 2, e ele próprio.- Os números primos menores que 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

1.3 – Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum- O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero.- Quando um número é múltiplo de outro, é ele o mínimo múltiplo comum desses números.- MÉTODOS PARA DETERMINAR O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM:1º Método - Para determinar o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números podemos começar por determinar os múltiplos de cada número. Por exemplo: Determina o m.m.c. (6,8).M6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}M8 = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, …}Depois, encontras o menor (mínimo) número que se repete nos dois conjuntos, diferente de zero.M6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}M8 = {0, 8, 16, 24, …}

Assim sendo, o menor (mínimo) número que se repete nos dois conjuntos é o 24. Logo, o mínimo múltiplo comum entre 6 e 8 é o 24. Em linguagem simbólica: m.m.c. (6,8) = 24.

2º Método - Começa por decompor os números num produto de fatores primos.Tendo como exemplo, o m.m.c. (6,8), temos:

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Para descobrires o m.m.c. terás que calcular o produto dos fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente. Neste caso particular, será 23 x 3. Logo, o m.m.c. (6, 8) = 24.3º Método - Neste método, fazes a decomposição, em simultâneo, dos números. Tendo como exemplo, o m.m.c. (6,8), temos:

- O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois números é o maior número que os divide exatamente;- O máximo divisor comum de dois números decompostos em fatores primos é o produto dos fatores primos comuns tomados com o menor expoente;- Dois números são primos entre si se o máximo divisor comum entre eles é um.- Quando um número é divisor de outro, é ele o máximo divisor comum desses números.

- MÉTODOS PARA DETERMINAR O MÁXIMO DIVISOR COMUM:1º Método - Para determinar o máximo divisor comum entre dois ou mais números podemos começar por determinar os divisores de cada número. Por exemplo: Determina o m.d.c. (60,48).D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}D48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}Depois, encontras o maior (máximo) número que se repete nos dois conjuntos.

Assim sendo, o maior número que se repete nos dois conjuntos é o 12. Logo, o máximo divisor comum de 60 e 48 é o 12. Em linguagem simbólica: m.d.c. (60,48) = 12.2º Método - Começa por decompor os números num produto de fatores primos.Para descobrires o m.d.c. (60, 48) terás que calcular o produto dos fatores comuns de menor expoente. Neste caso particular, o m.d.c. (60, 48) = 22 x 3 = 12

3º Método – Neste método, começa-se por fazer a divisão inteira dos dois números (do maior pelo mais pequeno).

Depois é só repetir o processo, efetuando a divisão inteira do divisor pelo resto até obter resto zero.

Assim, sendo o m.d.c. (60, 48) = 12.

2 – Potências de expoente natural- Uma potência é um produto de fatores iguais. É uma forma abreviada de representar esseproduto. Numa potência temos: Exemplo: 23 = 2 x 2 x 2 = 8

- Operações com potências:Para somar (ou subtrair) potências, calcula-se o valor de cada uma delas e somam-se (ousubtraem-se) os resultados obtidos. Exemplo: 32 + 43 = 9 + 64 = 73- Potências de base 10:Para representar uma potência de base 10, escreve-se o número seguido de tantos zeros quantasas unidades indicadas pelo expoente.Exemplos: 103 = 1000 9 000 000 = 9 x 106

- Adição e subtração de potências:

Não existem regras operatórias para a adição e subtração de potências, temos que calcular o valor de cada potência e depois adicionar ou subtrair os valores.- Multiplicação de potências:Para efetuar cálculos do produto de potências devemos usar as regras de cálculo e as propriedadesdefinidas para multiplicar potências com a mesma base ou o mesmo expoente.

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Se as potências a multiplicar não tiverem a mesma base ou o mesmo expoente, devemos calcularo valor de cada potência.

Multiplicação de potências com a mesma basePara multiplicar potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes.an × ap = an+p, onde a é um número qualquer e n, p ∈ ℕ. Exemplo: 32 × 33 = 32+3 = 35

Multiplicação de potências com o mesmo expoentePara multiplicar potências com o mesmo expoente, mantém-se o expoente e multiplicam-se asbases.an × bn = (a × b)n, onde a e b são quaisquer números e n ∈ ℕ. Exemplo: 52 × 22 = (5 × 2)2 = 102

- Divisão de potências:Para efetuar cálculos do quociente de potências devemos usar as regras de cálculo e as propriedadesdefinidas para dividir potências com a mesma base ou o mesmo expoente.Se as potências a dividir não tiverem a mesma base ou o mesmo expoente, devemos calcularo valor de cada potência.

Divisão de potências com a mesma base.Para dividir potências com a mesma base, mantém-se a mesma base e subtraem-se os expoentes.am : an = am-n, em que a é um número qualquer não nulo e m e n ∈ ℕ. Exemplo: 35 : 32 = 35-2 = 33

Divisão de potências com o mesmo expoente.Para dividir potências com o mesmo expoente, mantém-se o expoente e dividem-se as bases.an : bn = (a : b)n, em que a é um número qualquer, b é um número qualquer não nulo e n ∈ ℕ.Exemplo: 62 : 22 = (6 : 2)2 = 32

3 – Números racionais não negativos3.1 – Noção e representação de número racional- Um número racional é um número na forma de fração, , sendo m e n inteiros e n diferente de zero.

- Podemos representar os números racionais sob a forma de uma fração, numeral misto (se onúmero for maior que a unidade) e decimal (uma dízima). Exemplo:

Inverso de um número racional positivoDois números cujo produto é 1 são inversos um do outro.

Para calcular uma fração de uma quantidade, temos que multiplicar a fração pela quantidade dada.

- Frações equivalentes são frações que representam o mesmo número racional. Para obterfrações equivalentes, multiplicamos ou dividimos ambos os termos da fração pelo mesmo númeronatural. Exemplo:

Uma fração irredutível é uma fração que não se pode simplificar (reduzir) mais. Exemplo:

3.2 – Comparação e ordenação- Se duas frações têm o mesmo numerador é maior a que tiver o menor denominador.- Se duas frações têm o mesmo denominador é maior a que tiver o maior numerador.- Se duas frações têm o numerador e o denominador diferentes, calculamos o quociente entre onumerador e denominador e compara-se os quocientes obtidos ou então representamos as fraçõesem frações equivalentes mas com o mesmo denominador.

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3.3 – Operações Para adicionar ou subtrair números racionais representados por frações com diferentes

denominadores:1º Substituem-se as frações por frações equivalentes com o mesmo denominador;2º Adicionam-se ou subtraem-se as frações.

Para multiplicar dois números racionais representados por frações basta multiplicar os numeradores e multiplicar os denominadores das duas frações. Para dividir dois números racionais representados por

frações, um dos processos é multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor. Potência de expoente natural e base racional não negativa:

3.3.1 – Propriedades da multiplicação Propriedade comutativa

A multiplicação é comutativa, isto é, a ordem dos fatores não altera o produto. Por exemplo: a x b = b x a 5 x 3 = 3 x 5 = 15 A multiplicação é associativa, isto é, o produto não depende do modo como se associam os fatores. Por exemplo:

( a x b ) x c = a x ( b x c ) ( 3 x 2 ) x 4 = 3 x ( 2 x 4 )

Elemento neutro da multiplicação – O um é o elemento neutro da multiplicação porque quando se multiplica um número por um o produto é sempre o próprio número. Por exemplo:

a x 1 = 1 x a = a 0,7 x 1 = 1 x 0,7 = 0,7

Elemento absorvente da multiplicação – O zero é o elemento absorvente da multiplicação porque quando se multiplica um número por zero o produto é zero. Por exemplo:

12 x 0 = 0 a x 0 = 0 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

a x ( b + c ) = a x b + a x c

Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração

a x ( b - c ) = a x b - a x c

3.3.2 – Expressões numéricas 1.º Transformam-se as potências em produtos de fatores iguais.2.º Calcula-se o que está dentro de parênteses, fazendo primeiro as multiplicações e divisões e só depois as adições e subtrações (copia-se sempre o que está fora de parênteses).3.º Após desaparecerem os parênteses, calcula-se o que está fora dos parênteses, fazendo também, em primeiro lugar as multiplicações e as divisões ( pela ordem em que aparecem) e só depois as adições e subtrações.4.º As adições e subtrações fazem-se sempre pela ordem em que se encontram, começando pela esquerda.5.º Simplifica-se o resultado, se possível.

Conselhos úteis para resolver expressões numéricas:- resolve uma operação por linha;- desenha uma seta para ligar a operação que estás a realizar com o respetivo resultado na linha seguinte;- deves colocar o sinal de = no início e no fim de cada linha da expressão, até obteres o resultado igual.

3.4 – Valores aproximados e ArredondamentosARREDONDAMENTOS: 11 : 0,3 = 36,6666…36 é um valor aproximado, por defeito, a menos de 1 unidade de 36,666…37 é um valor aproximado, por excesso, a menos de 1 unidade de 36,666…

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VALOR APROXIMADO: 3 : 7 = 0,428571…0,4 é o valor arredondado às décimas de 0,4285710,43 é o valor arredondado às centésimas de 0,428571

4 – Sequências e regularidades. Proporcionalidade direta.

RAZÃO – É um quociente e usa-se para comparar valores correspondentes de duas grandezas.

A razão entre a parte cinzenta e a parte branca é ou 3 : 1.

PROPORÇÃO – É uma igualdade entre duas razões. Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Grandezas diretamente proporcionais – Quando ao multiplicar o valor da primeira grandeza, o valor da segunda grandeza também fica multiplicado por esse número.Se duas grandezas são diretamente proporcionais, é constante o quociente entre valores correspondentes das duas grandezas. A esse quociente constante dá-se o nome de constante da proporcionalidade.

PERCENTAGEM- Uma percentagem é uma razão em que o consequente é 100. Uma percentagem pode ser representada por uma fração decimal ou um numeral decimal (dízima finita).

- Para calcular percentagens de uma quantidade, procedemos da seguinte forma:35% de 120€ = 0,35 x 120€ = 42€ESCALA- Uma escala é uma razão entre a medida do comprimento do objeto representado no desenho ou mapa e a respetiva medida do comprimento real.

B - GEOMETRIA1 – Figuras no Plano

1.1 – Retas, semirretas e segmentos de reta- A reta é uma linha poligonal que não tem princípio nem fim. AB- A semirreta é uma linha poligonal que tem princípio mas não tem fim. - Um segmento de reta é uma linha poligonal que tem princípio e tem fim. [AB]- O comprimento do segmento de reta representa-se por.

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Mediatriz de um segmento de reta ( traça-se com o auxílio do compasso e interceta o segmento de reta no seu ponto médio).

1.1.1 – Posição relativa de duas retas no plano

Retas concorrentesAs retas p e q são concorrentes perpendiculares:

p q

As retas r e s são concorrentes oblíquasr s

Retas paralelasAs reta a e b não têm nenhum ponto em comum.As retas a e b são estritamente paralelas. a//bAs retas e e f são coincidentes.

1.2 – Ângulos- Um ângulo é uma porção do plano limitada por duas semirretas com a mesma origem.1.2.1 – Tipos de ângulos

1.2.2 – Soma de ângulos

1.2.3 – Unidade de medida de ângulos

1.2.3 – Bissetriz de um ânguloA bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos iguais.

1.2.4 – Relações entre ângulos

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1.2.5 – Relações entre ângulos convexos de lados paralelos

1.2.6 – Relações entre dois ângulos convexos de lados perpendiculares dois a doisDois ângulos de lados perpendiculares são congruentes se foremambos agudos ou ambos obtusos e são suplementares se foremum agudo e outro obtuso.

1.3 – Polígonos

Os polígonos classificam-se de acordo com o número de dados.

1.4 – Triângulos

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1.4.1 – Classificação de triângulosQuanto ao comprimento dos lados Quanto à amplitude dos ângulos

1.4.2 – Propriedades dos triângulos* A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 1800.* A soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo é 3600.

Desigualdade triângular – Só é possível construir um triângulo quando a soma dos comprimentos de dois lados é superior ao comprimento do terceiro lado.a + b > c a + c > b b + c > a

Em qualquer triângulo a amplitude de um ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.

Num triângulo:- a lados iguais opõem-se ângulos iguais; - a ângulos iguais opõem-se lados iguais- ao maior ângulo opõe-se o maior lado; - ao menor ângulo opõe-se o menor lado

1.4.3 – Critérios de igualdade dos triângulos

Critério lado-lado-lado (LLL)- Dois triângulos são iguais se os três lados de um deles forem respetivamente iguais aos lados do outro.

Critério lado-ângulo-lado (LAL)- Dois triângulos são iguais se tiverem, de um para o outro, dois lados iguais e o ângulo por eles formado também iguais.

Critério ângulo-lado-ângulo (ALA)- Dois triângulos são iguais se tiverem um lado e os ângulos adjacentes a esse lado respetivamente iguais.

1.5 – ParalelogramosParalelogramos são os quadriláteros que têm os lados opostos paralelos.

Em qualquer paralelogramo:

1.6 – Círculo e circunferência – propriedades e construção- Uma circunferência é uma linha curva fechada em que todos os pontos estão à mesma distância de um ponto chamado raio.- Um círculo é o espaço delimitado por uma circunferência (incluindo a própria).- Uma corda é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. d = 2 x r

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Ângulo ao centro de uma circunferência Setor circular

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Polígono regular inscrito numa circunferência Polígono regular circunscrito numa circunferência[OT]é apótema.

Num polígono regular inscrito numa circunferência os apótemas são todos

iguais.

O apótema é igual ao raio da circunferência.

TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA – É a reta perpendicular ao raio onde este encontra a circunferência.

1.7 – Áreas e Perímetros PERÍMETRO- O Perímetro de uma figura é o comprimento da linha fechada que a delimita. Se a figura for um polígono, o seu perímetro é igual à soma da medida de comprimento dos seus lados.Exemplo: P = l1 + l2 + l3- No caso do círculo, o perímetro calcula-se multiplicando a medida do diâmetro por π(pi).

P círculo= π x dÁREAS- Figuras equivalentes – Figuras que têm a mesma área. No entanto não são congruentes pois nem todos os pontos coincidem quando sobrepostas.- Figuras congruentes – Figuras que têm a mesma área e a mesma forma.

- Cálculo da área do quadrado: A = lado(l) x lado(l) ou lado ao quadrado(l2) A quadrado = l x l- Cálculo da área do retângulo: A = comprimento(c) x largura (l) ou base(b) x altura(h) A retângulo = c x l- Cálculo da área do triângulo: A = base(b) x altura(h): 2 A triângulo = (b x alt) : 2

- Cálculo da área de um polígono regular: Cálculo da área do círculo: A círculo = π x r2

- Unidades de Área -

- Conversão unidades agrícolas /área 1 hectare (ha) = 1 hm2

2 - Sólidos Geométricos2.1 – Poliedros e não poliedrosPoliedros – são os sólidos geométricos que só têm faces planas.Não poliedros – são os sólidos geométricos que têm uma superfície curva.

2.1.1 - Constituintes dos poliedros- Os poliedros são constituídos por faces, vértices e arestas.

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2.1.2 – Planificação e construção de modelos- Um modelo de um sólido geométrico constrói-se a partir da sua planificação.- A planificação de um sólido geométrico é uma figura plana que, por dobragem e colagem, permite obter o modelo do sólido geométrico.

2.2 – Volumes O volume de um cubo, de um paralelepípedo ou de um cilindro calcula-se multiplicando a área da base do sólido pela altura:

- Conversão unidades de capacidade / volume - 1 litro (l) = 1 dm3

3 – Isometrias no plano

Uma figura e a sua imagem obtida por uma isometria (reflexão central, reflexão axial ou rotação), são sempre congruentes, pois mantém-se o comprimento dos lados e as amplitudes dos ângulos.

4 – Representação e interpretação de dados- A estatística é o ramo da Matemática que tem como objetivo a recolha, a organização e a análise de dados.

- Os dados podem ser:

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* qualitativos ( ex: cor do cabelo, clube preferido, …) * quantitativos discretos ( ex. idade, nº de calçado, …)*quantitativos contínuos ( altura, tempo de viagem, …)- Os dados recolhidos são organizados em tabelas de frequências e em gráficos ou diagramas.- A análise dos dados permite chegar a conclusões para fazer previsões e tomar decisões.

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Gráfico circular Gráfico de linha

Gráfico de barras

4.1 – MÉDIA ARITMÉTICA 4.2 – MODAPara calcular a média aritmética de um conjunto de dados:

Somam-se os valores de todos os dados; Divide-se a soma pelo número de dados.

Ex: Dados = 5; 4; 3; 1; 2; 4

=

A moda de um conjunto de dados é o valor que se repete mais vezes. Um conjunto de dados pode não ter moda ou ter mais do que uma moda.Para os dados: 5; 4; 3; 1; 2; 4 , a moda é 4.

4.3 – REFERÊNCIAL CARTESIANO ORTOGONAL E MONOMÉTRICO

4.4 – Tabela de frequências e gráfico circularO exemplo da tabela seguinte refere-se às idades de 20 alunos de uma turma.

Para traçar o gráfico circular divide-se o círculo, correspondente e a 100 % ,em setores circulares. Para se obter a amplitude dos setores, multiplica-se afrequência relativa por 3600.

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