Apostila Matemtica Comercial-CC2II

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SUMRIO1. Razes e Proporces......................................................................................................2

2. Grandezas Prorporcionais...............................................................................................4

3. Divisibilidade.................................................................................................................8

4. Regra de Trs Simples..................................................................................................12

5. Regra de Trs Composta...............................................................................................13

6. Porcentagem..................................................................................................................14

7. Matematica Financeira..................................................................................................17

8. Problemas de Racicionio Logico com Juros, Montante................................................23

9. Equao do Primeiro Grau............................................................................................28

10. Equao do Segundo Grau.............................................................................................41

11. Geometria e ngulos.......................................................................................................45

12. Tringulo........................................................................................................................47

13. Trigonometria.................................................................................................................49

RAZES E PROPORES:

Revisar o estudo de propores neste momento muito importante, j que todos os temas a serem trabalhados neste semestre se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o que uma proporo, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razo em Matemtica.

Razo:

Voc j deve ter ouvido expresses como: De cada 20 habitantes, 5 so analfabetos, De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemtica, Um dia de sol para cada dois dias de chuva.

Em cada uma dessas frases est sempre clara a comparao entre dois nmeros. No primeiro caso, destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.

Todas as comparaes so matematicamente expressas por um quociente chamado razo.Temos, ento:

1) De cada 20 habitantes, 5 so analfabetos. Razo ==

2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemtica. Razo = =

3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razo =

Portanto, razo entre dois nmeros a e b (com b 0) o quociente entre a e b.

Indica-se: ou a : b e l-se a para b.O nmero a chamado antecedente e o nmero b, conseqente.

Exemplos:

1. A razo de 3 para 12 : =

2. A razo de 20 para 5 : = 4

3. A razo de 5 e = 5 . = 10

Razo de duas grandezas:

Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razo entre duas grandezas, dadas em uma certa ordem, a razo entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda grandeza.

- Se as grandezas so da mesma espcie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razo um nmero puro.

Exemplos:

1.A razo de 2 m para 3 m :

EMBED Equation.3

2.A razo de 30 dm para 6 m = = =

- Se as grandezas no so da mesma espcie, a razo um nmero cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razo.

Exemplo:

Um automvel percorre 160 Km em 2 horas. A razo entre a distncia percorrida e o tempo gasto em percorr-la :

= 80 Km/h

ATIVIDADES:

1.Calcule a razo entre as grandezas:

a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m e 3 l de lcool f) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d

2.No vestibular de 2005 da FEMA concorreram, para 50 vagas da opo Administrao,150 candidatos. Qual a relao candidato vaga para essa opo?

3.Tenho duas solues de gua e lcool. A primeira contm 279 litros de lcool e 1 116 litros de gua. A segunda contm 1 155 litros de lcool e 5 775 litros de gua. Qual das duas solues tem maior teor alcolico?

4.Numa prova de matemtica, um aluno acertou 20 questes e errou 5. Escreva a razo entre:

a) o nmero de acertos e o nmero de questes

b) o nmero de acertos e o nmero de erros

Proporo:

Existem situaes em que as grandezas que esto sendo comparadas podem ser expressas por razes com antecedentes e conseqentes diferentes, porm com o mesmo quociente. Assim, ao dizer que de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemtica, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 devero gostar de Matemtica. Na verdade, estamos afirmando que 10 esto representando em 40 o mesmo que 20 em 80.

Escrevemos: =

A esse tipo de igualdade entre duas razes d-se o nome de proporo.

Portanto:

Dadas duas razes a/b e c/d com b e d 0, teremos uma proporo se a/b = c/dA proporo tambm pode ser representada como a : b : : c : d

* L-se: a est para b assim como c est para d

* a e d so chamados extremos e b e c so chamados meios.

Propriedade fundamental das propores:

Exemplo:

= 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36

Transformaes de uma proporo:

Transformar uma proporo escrever seus termos em uma ordem diferente de modo que a igualdade dos produtos dos meios e extremos no sofra alterao.

Exemplo:

Dada a proporo 5/8 = 20/32, podemos transform-la :

alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160 alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160 invertendo os termos; 8/5 = 32/20 8 . 20 = 5 . 32 160 = 160

transpondo as razes: 20/32 = 5/ 8 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160

Propriedade fundamental para srie de razes iguais ( ou proporo mltipla):

Exemplo:

= ou ou ou

ATIVIDADES:

1.Verificar se so ou no propores as seguintes igualdades:

a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) = d)=

2.Encontrar o valor de x nas propores:

a) x/20 = 4/10

b 12/121 = 6/x

c) =

3.Escreva quatro propores utilizando os nmeros 3,4, 6 e 8.

4.Calcular x e y na proporo x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76.

5.Na srie de razes x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88.

GRANDEZAS PROPORCIONAIS:

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqncia varia tambm a outra.

Assim, a quantidade de combustvel gasto por um automvel depende do nmero de quilmetros percorridos. O tempo numa construo depende do nmero de operrios empregados. O salrio est relacionado aos dias de trabalho.

A relao entre duas grandezas estabelece a lei de variao dos valores de uma em relao outra. Existem dois tipos bsicos de dependncia entre grandezas proporcionais: a proporo direta e a proporo inversa.

PROPORO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remunerao, velocidade mdia e distncia percorrida, rea e preo de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada ..., veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra tambm aumenta ou diminui.

Ento:

Exemplo 1:

Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diria individual. Veja na tabela a relao entre o nmero de pessoas e a despesa diria.

Nmero de pessoas 1 2 4 5 10

Despesa diria 10,00 20,00 40,00 50,00 100,00

Percebemos que a razo de aumento do nmero de pessoas a mesma para o aumento da despesa. , portanto, uma proporo direta. As grandezas nmero de pessoas e despesa diria so diretamente proporcionais, ou seja, a razo entre o nmero de pessoas e despesa diria so iguais:

1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100

1/10 1/10 1/10 1/10 1/10

Exemplo 2:

Os nmeros 3, 10 e 8 so diretamente proporcionais aos nmeros 6, 20 e 16, nessa ordem, porque possuem a mesma razo ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade:

3/ 6 = 10/20 = 8/16

= =

PROPORO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e nmero de operrios para a mesma tarefa, velocidade mdia e tempo de viagem, nmero de torneiras e tempo para encher um tanque..., veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuir.

Ento:

Exemplo 1:

Suponhamos que no exemplo analisado na folha anterior (razo direta), a quantia gasta pelo grupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Ento, o tempo de permanncia do grupo depender do nmero de pessoas. Analise a tabela:

Nmero de pessoas 1 2 4 5 10

Tempo de permanncia (dias) 20 10 5 4 2

Percebemos que, se dobrarmos o nmero de pessoas, o tempo de permanncia se reduzir metade. , portanto, uma proporo inversa. As grandezas nmero de pessoas e nmero de dias so inversamente proporcionais. A razo entre o nmero de pessoas igual ao inverso da razo do tempo de permanncia:

= 20

Exemplo 2:

Os nmeros 9, 6 e 2 so inversamente proporcionais aos nmeros 4, 6 e 18, nessa ordem, porque a razo entre cada elemento da primeira sucesso e o inverso do elemento correspondentes na segunda sucesso so iguais.

= 16

ATIVIDADES:

1.Verificar se os nmeros 18, 6 e 3 so ou no diretamente proporcionais aos nmeros 6, 2 e 1.

2.Verificar se os nmeros da sucesso (30,24,20) so ou no inversamente proporcionais aos nmeros da sucesso (4,5,6)

3.Encontrar x e y, sabendo que os nmeros 20, x, y so diretamente proporcionais aos nmeros 4, 2 e 1.

4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucesses (x, 3, z) e (9, y, 36) so inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade igual a 36.

5.O nmero de dias gastos na execuo de uma obra direta ou inversamente proporcional ao nmero de mquinas empregadas na obra? Por que?

DIVISO PROPORCIONAl:

Diviso em partes diretamente proporcionais:Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6 horas e B durante 5 horas. Como elas iro dividir com justia R$ 660,00 que sero pagos por essa tarefa?

Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto durante a realizao da tarefa. Portanto:

No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, que so as horas que as pessoas A e B trabalharam.

Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Ento:

x + y = 660 e x/6 = y/5

Aplicando as propriedades de proporo que vimos em aulas anteriores, podemos resolver :

= = =

Onde:

=

=

x = 360

y = 300

Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receber R$ 300,00.

Diviso em partes inversamente proporcionais:

E se tivssemos que efetuar uma diviso em partes inversamente proporcionais?

Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo perodo para fabricar e vender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar essa diviso com justia?

O problema agora dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, pois deve ser levado em considerao que aquele que se atrasa mais deve receber menos.

Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, que so os nmeros de atraso de A e B. Para realizar essa diviso, chamaremos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber.

x + y = 160

= = x = 100 = y = 60

Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receber R$ 60,00.

ATIVIDADES:

1.Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. (160,240,320)

2.Dividir o nmero 260 em parte inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4. (120, 80 e 60)

3.Dois operrios contratam um servio por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a diviso diretamente proporcional ao tempo de trabalho? (84 e 96)

4.A Federao Brasileira de futebol resolveu distribui prmios num total de 320.000,00 para os quatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para aqueles que fizeram o maior nmero de gols na razo direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000)

5.Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus trs filhos na razo inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420)

6.Um nmero foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a parte correspondente a 4 era 2 000, encontre esse nmero. (3 500)

Diviso proporcional composta:

Vamos analisar a seguinte situao:

Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo pag-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29 400,00 disponveis, como dividir com justia essa quantia entre as duas turmas de trabalho?

Essa diviso no da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma diviso composta em partes proporcionais, pois os nmeros obtidos devero ser proporcionais a dois nmeros de homens e tambm a dois nmeros de dias trabalhados. Analisando veremos que:

- Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 . 5).

- Na segunda turma:12homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num nico dia (12 . 4 ).

Portanto:

Resolvendo o problemas, temos:

= ou = = = x = 15 000

Como x + y = 29 400 y = 19 400 15 000 = 14 400

Assim, a primeira turma dever receber R$ 15 000,00 da empreiteira e a segunda R$ 14 400,00

ATIVIDADES:

1.Dividir o nmero 4 680 em partes diretamente proporcionais a 3 e 6 e, em seguida, diretamente proporcionais a 5 e 4. ( 1 800 e 2 880)

2.Dividir o nmero 2 640 em partes diretamente proporcionais a e e inversamente proporcionais a 5/6 e 2/3. ( 1 440 e 1 200)

3.Um milionrio resolveu dividir parte de sua fortuna entre trs sobrinhas, de modo que a diviso fosse diretamente proporcionais s suas idades e inversamente proporcionais a seus pesos. As moas tinha 16, 18 e 21 anos e pesavam, respectivamente, 52, 48 e 50 quilos. A quantia a ser dividida entre elas era de R$ 5 734 000, 00. Quanto cada uma recebeu? ( 1 600 000, 1 950 000, 2 184 000)

4.(BB)A importncia de R$ 20 650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu na razo direta de 8 e na razo inversa de 3; a segunda recebeu na razo direta de 9 e na razo inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? ( 11 200 e 9 450)

5.(TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia til de cada ms, os trs primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento. Para tanto, dividiu R$ 507,00 em partes inversamente proporcionais a 2 , e 1,2. Nessas condies, qual o prmio de menor valor a ser pago? (120)

6.(TTN) Dividindo o nmero 570 em trs partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 est para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 est para 12. Qual o valor da 3 parte? (300)

REGRA DE SOCIEDADE:

Quando duas ou mais pessoas se juntam, formando uma sociedade numa atividade com fins lucrativos, justo que os lucros ou prejuzos, sejam divididos entre elas, proporcionalmente ao capital que cada uma empregou e ao tempo que o capital esteve empregado.

Na resoluo de situaes-problema dessa natureza, usa-se a chamada regra de sociedade, que consiste em dividir a quantia considerada em partes diretamente proporcionais ao capital empregado, ao tempo de aplicao ou a outras grandezas. , portanto, uma das aplicaes da diviso proporcional, que tem como objeto a diviso dos lucros ou dos prejuzos entre scios que formam uma sociedade. Uma sociedade pode ser classificada em simples ou composta, dependendo dos capitais aplicados e dos perodos de tempo de aplicao que podem ser iguais ou diferentes para cada scio.

REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES

1 caso: Os capitais so iguais e aplicados durante o mesmo tempo:

O lucro ou o prejuzo dividido pelo nmero de scios.

Exemplo:

Trs scios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais qual a parte de cada um dos scios?

Neste caso, basta dividir o lucro pelo nmero de scios.

= 74 200 Logo, a parte de cada scio de R$ 74 200,00

2 caso: Os capitais so diferentes e empregados durante o mesmo tempo:

Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuzo em parte diretamente proporcionais aos capitais dos scios.

Exemplo:

Por ocasio do balano anual de uma firma comercial formada por trs scios, verificou-se um prejuzo de R$ 27 000. Qual a parte correspondente a cada scio se os seus capitais so de R$ 54 000, R$ 45 000 e R$ 36 000.

= = = = =

x = 10 800 y = 9 000 z = 7 200

Logo, o prejuzo correspondente a cada scio , respectivamente, de : R$ 10 800 , R$ 9 000 e R$ 7 2000.

3 caso: Os capitais so iguais e empregados durante tempos diferentes:

Os lucros e os prejuzos so divididos em partes diretamente proporcionais aos perodos de tempo em que os capitais ficaram investidos.

Exemplo:

Trs amigos A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idntica participao no capital inicial. A deixou seu capital durante 4 meses, B por 6 meses e C por 3 meses e meio. Sabendo que, ao final de um ano, houve um lucro de R$ 162 000, 00, como dividir essa quantia entre os trs?

= = = = = A = 48 00 B = 72 000 C = 42 000

Na prtica este caso no ocorre, porque , em uma sociedade, os scios no podem permanecer por tempo desiguais. No momento em que um antigo scio se retira ou um novo scio admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, aps o balano.

REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA

Na sociedade composta, tanto os capitais quanto os perodos de investimento so diferentes para cada scio. Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou os prejuzos em partes diretamente proporcionais, tanto ao capital quanto ao perodo de investimento.

Ento:

Quando os capitais e os perodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuzos sero divididos em parte diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos perodos de tempo respectivos. uma diviso proporcional composta estudada no captulo anterior.

Exemplo:

Uma sociedade teve um lucro de R$ 11 700,00. O primeiro scio entrou com R$ 1 500,00 durante 5 meses, e o outro, com R$ 2 000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um?

= e x + y = 11 700

= 4 500 e y = 7 200

ATIVIDADES:

1.Trs scios sofreram um prejuzo de R$ 14 400,00. Os trs entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo12 e o terceiro 13 meses. Qual foi o prejuzo de cada um? ( 4 400,00; 4 800,00; 5 200,00)

2.Um investimento total de R$ 60 000,00 foi feito por trs amigos. Sabendo que o tempo foi o mesmo e que o segundo scio ganhou o dobro do primeiro, e o terceiro o triplo, quanto investiu cada um?

3.Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu R$ 1,80 e Paulo R$ 1,20. Tendo acertado um terno, eles ganharam R$ 1 600,00. Quanto receber cada um? (960,00 e 640,00)

4.Trs pedreiros, ganhando o mesmo salrio-hora, trabalharam , respectivamente, 24, 18 e 20 horas. Na hora do pagamento, o dono da obra tinha em mos um envelope com R$ 3 100,00. Como foi feita a diviso do dinheiro?( 1 200, 900 e 1 000)

5.Uma sociedade entre dois amigos, A e B, foi estabelecida com as seguintes caractersticas:

CAPITAL TEMPO DE APLICAO

SCIO A 2 500,00 1 ano e 6 meses

SCIO B 3 000,00 1 ano e 9 meses

Divida o lucro de R$ 18 000,00 entre os scios. ( 7 500 e 10 500)

6.Marcos e Antonio montaram uma locadora de vdeo empregando respectivamente, capitais de R$ 50 000,00 e R$ 30 000,00. Em um determinado ms, a loja obteve um lucro de R$ 3 200,00. Quanto coube a cada um? (2 000,00 e 1 200,00)

7.Dois scios lucraram, em um determinado perodo, R$ 28 200,00. O primeiro aplicou R$ 80 000,00,

durante 9 meses, e o segundo RS 20 000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? (21 600 e 6 600)

REVISANDO:

8.Trs amigos, A, B e C, saram para comer um pizza. No final, perceberam que A comeu da pizza, B comeu 1/3 e C comeu 1/5. O preo da pizza era R$ 14, 10. Calcule a parte da despesa de cada um , sabendo que desejavam dividi-la em partes proporcionais ao consumo de cada um.(4,50;6,00 e 3,60)

9.Encontre os valores desconhecidos, sabendo que:

a) os nmeros das sucesses (x, 5, 2) e (3, y, 6) so diretamente proporcionais.

b) os nmeros das sucesses (x, 1, 30) e (3, 15, y) so inversamente proporcionais.

c) os nmeros da sucesso (x, y, 20) so de proporcionalidade composta, direta a (4,3,1) e tambm direta a (5, 8, 4).

10.Encontre a, b e c, sabendo que os nmeros (a, b, c) e (18, 12, 4) so inversamente proporcionais e que a + b = 5. (2, 3 e 9)

11.Num colgio h 210 alunos. A metade do nmero de meninas igual a 1/5 do nmero de meninos. Qual o nmero de meninos e meninas? (60 e 150)

12.Um supermercado fazia a seguinte promoo: Pague 3 sabonetes e leve 5. Aproveitando a promoo, levei 30 sabonetes. Quantos sabonetes paguei? (18)

REGRA DE TRS:

Chamamos de regra de trs uma regra prtica que permite, atravs da comparao de grandezas proporcionais, a resoluo de diferentes situaes-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam uma proporo em que, conforme o nome j diz, trs termos so conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo.

Temos dois tipos de regra de trs: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

REGRA DE TRS SIMPLES:

A regra de trs simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, da, obtermos uma equao atravs da aplicao da propriedade fundamental das propores. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equao ter a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equao ser feita invertendo-se a razo de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a regra de trs direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de trs inversa.

Procedimentos para resolver problemas por regra de trs simples:

1) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas sempre na mesma unidade de medida

Comprimento(m)

Preo(R$)

5 80,00

9

x

2) Verificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais:

Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, na direo dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados.

Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.

3) Determinar o valor de x, que o termo procurado, atravs da propriedade fundamental das propores.

Exemplo:

Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo tecido?Nesse exemplo temos uma regra de trs simples e direta. Observe os procedimentos acima:

Comprimento(m) Preo(R$)

5

80,00

9

x

= x = x = 144,00

ATIVIDADES:

1.Se 6 operrios fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operrios fariam a mesma obra?

2.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessrios para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?

3.Trs torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesma vazo seriam necessrias para encher o mesmo tanque em 54min?

4.Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto dever ser pago por um corte do mesmo tecido de 3m x 5 m?

5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra ser concluda?

REGRA DE TRS COMPOSTA:

A regra de trs composta envolve trs ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de resoluo sero os mesmos da regra de trs simples. Quando h dependncia inversa entre a grandeza que contm a varivel com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equao ser montada, relacionando a grandeza que contm a varivel com as demais grandezas.

Exemplo:

Trs operrios, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peas. Quantas peas desse mesmo tipo produziro sete operrios, trabalhando 9 dias?

N de operrios

N de dias

N de peas

3

6

400

7

9

x

Comparando a grandeza que contm o x com as outras duas grandezas, verificamos que so diretamente proporcionais. Ento:

= = =

2x = 2 800 x = 1 400 peas

ATIVIDADES:

1.Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrer 500 Km, viajando 5 horas por dia?

2.Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos, durante 10 diais, quantos quilos de alfafa sero necessrios?

3.Seis digitadores preparam 720 pginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararo 800 pginas?

4.Um automvel, com velocidade mdia de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

5.Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazo de 1 litro por minuto. Quanto tempo ser necessrio para que duas torneiras, com vazo de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque?

6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessrios para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?

7.Um livro de 120 pginas, com 25 linhas, impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessrias para imprimir um livro de 100 pginas com 30 linhas por pgina?

8.Uma pessoa que viajar para os Estados Unidos dispe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos dlares conseguir comprar?

PORCENTAGEM:

Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expresses do tipo O ndice de reajuste salarial de maio de 9,8%. O rendimento da poupana foi de 1,58%. Liquidao de inverno com 30% de desconto...

Essas expresses envolvem uma razo especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, pode se definida como uma razo cujo conseqente 100 ou ainda como uma razo centesimal, onde o conseqente substitudo pelo smbolo %, chamado por cento .

= 0,80 = 80%

CLCULOS DE PORCENTAGEM:

Existem vrios recursos para resolver clculos que envolvem porcentagens:

1) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAES:

Exemplo: Quanto 20% de 800?

20% de 800, o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas.

20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160

ou usando taxa unitria:

20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 160

2) POR UMA REGRA DE TRS SIMPLES E DIRETA:

Exemplo 1: Um trabalhador cujo salrio era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto passou a ser o seu novo salrio?

Este problema pode ser resolvido por regra de trs de dois modos:

1). 2000 100%

x 5% x =

x = 100,00

Salrio= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00

2) 2 000 100%

x 105% x =

x = 2 100,00

Salrio: 2 100,00Exemplo 2: Ao comprar um automvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?

15 000 100%

1800x x =

x = 12%

Taxa de desconto: 12%

Exemplo 3: Uma taxa de 13% aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual de 5 200,00. De quanto era o capital?

13% 5 200

100% x

x =

x = 40.000

Capital: R$ 40 000,00

ELEMENTOS DO CLCULO PORCENTUAL:

Pelos exemplos anteriores observamos que so trs os elementos envolvidos no clculo de porcentagem:

Principal: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P)

Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i). Porcentagem: resultado que se obtm quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p)

Conclumos tambm que a resoluo por regra de trs permite chegarmos ao seguinte raciocnio:

Porcentagem =

p = , onde P = e i =

mais prtico usarmos a taxa unitria: 25% = 25/100 = 0,25ATIVIDADES:

1.Calcular:

a) 20 % de 32

b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550

2.Qual a taxa unitria de 20%?

3.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?

4.Qual o nmero principal em que 20 representa 3%?

5.Qual o nmero principal em que 800 representa 3/5%?

6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?

7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou?

8.Em um escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual esse total?

9. A mdia de reprovao em concursos pblicos de 82%. Quantos sero aprovados num concurso pblico com 6 500 inscritos?

10.Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (que naquele dissdio seria 7,5% ) no cobriria suas reais necessidades. Na ocasio, seu salrio era de

R$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correo de 9 %. No final do ms, ele recebeu R$ 3 092, 25. Calculando qual o ndice de correo aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido.

11.Um comerciante comprou um automvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida, vendeu o automvel por um valor 3% acima desse preo(valor inicial do automvel). Qual foi a taxa de lucro total, desde a venda at a compra, usada pelo comerciante?

12.Dois postos de abastecimento misturam gua ao lcool que vendem. No primeiro deles foram encontrados 7,5 l de gua em 300 l de lcool e, no segundo, 13,5 l de gua em 500 l de lcool. Quanto por cento o lcool de um posto mas aguado que o do outro/

13.Do que eu recebo, 30% vo para a poupana, 20% para o aluguel e 35% para a alimentao, restando-me apenas R$ 450,00. Qual o meu salrio?

14.Numa cidade, 45% da populao composta por homens. Qual a populao total dessa cidade se nela residem 60 500 mulheres?

15.Uma certa quantia y tornou-se 2y aps 1 ano e 3y aps 2 anos. Com relao a quantia inicial, calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.

16.Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?

17.Um vendedor ganha 3% de comisso sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de comisses, qual o total vendido por ele?

18.Comprei uma casa cujo preo era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% de comisso para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?

19.Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% so moas e 40% so rapazes. Em um determinado dia, compareceram s aulas 75% das moas e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram s aulas nesse dia? Qual a porcentagem (taxa) que compareceu s aulas nesse dia?

20.Ao comprar uma automvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?

OPERAES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS:

Chamamos de operaes comerciais as operaes de compra, venda, permuta, etc. de mercadorias, feitas com o objetivo de obter lucro, sendo o lucro a diferena entre o preo de venda e o preo de custo.Em situaes diversas, envolvendo operaes comerciais, comum ouvirmos: Vendi uma mercadoria com 20% de lucro. Vendi uma mercadoria com 30% de prejuzo. Frases como estas, muitas vezes, so motivo de dvidas: 30% de prejuzo sobre o que?

A venda de mercadorias pode oferecer lucro ou prejuzo e estes podem ser sobre o preo de custo ou sobre o preo de venda.

VENDAS COM LUCRO:- Sobre o preo de custo (ou sobre a compra):

Exemplo: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00, a fim de obter um lucro de 20% sobre a compra .

Podemos considerar o preo de venda como 120%

Resolvendo por regra de trs temos:

4 000 100%

x

120% x = 4 000 . 120 : 100 ou 1, 20 . 4 000 = 4 800

Ento:

Ou

onde, V = preo de venda

i = taxa unitria do lucro

C = preo de compra

- Sobre o preo de venda:

Exemplo: Calcular por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00 para ganhar 20% sobre o preo de venda.

Devemos considerar o preo de venda que desconhecido como 100% e, conseqentemente, o preo de compra como 80%, j que o lucro ser de 20%

Por regra de trs temos;

4 000

80%

x

100% x = 4 000 . 100 : 80 = 5 000 ou 4 000 : 0,80 = 5 000

Ento:

Ou

onde, V = preo de venda

C = preo de custo

i = taxa unitria do lucro

VENDAS COM PREJUZO:

- Sobre o preo de custo (ou sobre a compra):

Exemplo: Um objeto foi vendido com um prejuzo de 40% sobre o preo de custo. Sabendo que esse objeto custou R$ 300,00, qual foi o preo de venda?

Como preo de venda = preo de custo prejuzo, consideramos o preo de venda como 60% e o preo de custo 100%.

Por regra de trs temos:

300 100%

x

60%

x = 300 . 60 : 100 ou 0,60 . 300 = 180,00

Ento:

Ou

Onde, V = preo de venda

i = taxa unitria de prejuzo

C = preo de compra

- Sobre o preo de venda:

Exemplo: Calcular o preo de venda de uma casa que comprei por 30 000,00, tendo perdido 25% do preo de venda.

Como o preo de custo = preo de venda + prejuzo, o preo de custo ser de 125%, j que o prejuzo foi de 25%. A quantia desconhecida ser 100%.

Por regra de trs temos:

125%

30 000

100% x

x = 30 000. 100 : 125 ou 30 000 : 1,25 = 24 000

Ento:

Ou

ATIVIDADES:

1.Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preo de custo. Determine o preo de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

2.Por quanto devo vender um carro que comprei por R$ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra?

3.Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preo de venda, qual deve ser este ltimo?

4.Uma mercadoria custou R$ 160,00. Pretendo vend-la com 20% de lucro sobre o preo de venda. A que preo devo vend-la?

5.Calcular o prejuzo e o preo de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 6 000,00, tendo uma perda de 30% sobre o preo de compra.

6.Calcular o prejuzo e o preo de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 800,00, tendo perdido 25% do preo de venda.

7.Uma casa que custa R$ 96 000,00 foi vendida com um prejuzo de 20 % sobre o preo de venda. Calcule o preo de venda.

8. Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuzo de 8% sobre o preo de venda. Quanto havia custado?

DESCONTOS E AUMENTOS:

Operaes envolvendo descontos (abatimentos) e aumentos (acrscimos) sobre preos de mercadorias, salrios, etc. so comuns em nosso dia a dia. Podem ser classificados em sucessivos e simultneos.

DESCONTOS E AUMENTOS SUCESSIVOS:

Considera-se uma operao de desconto ou de aumento sucessivo quando cada novo desconto ou novo aumento incide sobre o valor j descontado ou aumentado anteriormente.

- DESCONTOS SUCESSIVOS:

Exemplo: Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 so feitos descontos sucessivos de 10%, 6 % e mais 3%. Qual o valor lquido da fatura?

Para resolver problemas como este devemos calcular os descontos sobre as quantias lquidas, j descontadas as taxas anteriores. Assim:

10% de 100 000 = 10 000 A fatura se torna 100 000 10 000 = 90 000 ( ou 0,90 . 100.000 =90 000)

6% de 90 000 = 5 400 A fatura se torna 90 000 5 400 = 84 600 ( ou 0.94 . 90 000 = 84 600)

3% de 84 600 = 2 538 A fatura final se torna 84 600 2 538 = 82 062 ( ou 0,97 . 84 600 = 82 062)

Examinando a soluo desse problema, vemos que o valor final (valor lquido) o resultado da diferena entre o valor inicial (valor bruto) e os descontos. Poderamos, ento, obter o mesmo resultado da seguinte forma:

Valor final = 100 000. (1 0.10 ) . (1 0,06) . (1 0,03), onde cada parntese refere-se a um desconto.

Ento:

Valor final = 100 000 . 0,90 . 0,94. 0,97 = 100 000 . 0,820620 = 82 062

Portanto, um valor inicial submetido a descontos sucessivos de vrias taxas pode ser calculado por:

Valor final = Valor inicial . (1 1 taxa) . (1 2 taxa) . ( 1 3 taxa) . ... . ( 1 ensima taxa)

Ou

Onde: Vf = valor final ou valor descontado (valor bruto)

Vi = valor inicial (valor lquido)

i , i , i , i = taxas de desconto

Para calcular o valor inicial ou a taxa total de descontos, tem se:

- AUMENTOS SUCESSIVOS:

Observando a resoluo do problema anterior, conclumos que para aumentos sucessivos teremos:

DESCONTOS E AUMENTOS SIMULTNEOS:

Considera-se uma operao de desconto ou aumento simultneo quando os descontos ou aumentos incidem sempre sobre o valor inicial.

Exemplo: Um funcionrio recebe um salrio-base de R$ 1 200,00, Tem um adicional de 20% de acrscimo para responder pela chefia da seo e outro adicional de tempo de servio correspondente a 5%. Quanto recebe ao todo? Qual a taxa total de acrscimos que tem sobre o salrio-base?

Como os aumentos incidem sempre sobre o valor inicial, o valor final ser:

1 200 . 0,20 = 240

1 200 . 0,05 = 60

Vf = 1 200 + 240 + 60 = 1 500 ou 1 200 ( 1 + 0,25) = 1 500

A taxa total de aumentos ser 0,20 + 0,05 = 0,25

Assim, um valor inicial submetido a vrios aumentos simultneos pode ser calculado por:

E se fossem descontos simultneos:

ATIVIDADES:

1.Uma fatura de R$ 10 000,00 sofrer descontos sucessivos de 5 % e 8 %. Por quanto esta fatura ser liquidada?(R$ 8 740,00)

2.Uma fatura de R$ 10 000,00, por motivo de atraso em seu pagamento sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? ( R$ 12 650,00)

3.Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura de R$ 48 000,00, qual o valor lquido da mesma? (R$ 39 398,40)

4.Sobre um artigo de R$ 2 500,00 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%. Qual o preo final desse artigo? (R$ 2 850,00)

5.Uma indstria resolve diminuir sua produo mensal, de 50 000 unidade, em 5 %. Um ms depois, resolve diminuir novamente sua produo em mais 7%. Qual a produo atual dessa indstria?(44 175)

6.O preo de uma mercadoria foi remarcada trs vezes neste ms, passando a custar R$ 27 716,00. Quanto custava no ms passado se a primeira remarcao correspondeu a um acrscimo de 2,5% e as duas seguintes de 4% cada uma?( R$ 25 000,00)

7.Um funcionrio pblico do estado tem um salrio-base de R$ 800,00 com descontos de 11% para o IPE e 2,5% de Fundo Aposentadoria, ambos calculados sobre o salrio-base. Qual o valor de cada um dos descontos? Qual o lquido a receber?( 88,00+20,00 = 108,00 , 692,00)

8.Uma fbrica que tm preos tabelados para as suas mercadorias remarcou, com 30% de abatimento, as unidades que apresentavam defeitos de fabricao. Os revendedores que comprassem dez ou mais unidades teriam, ainda, 20% de abatimento sobre o preo remarcado. Um revendedor comprou doze unidades com defeito. Qual a taxa total de desconto que lhe foi feito? Quanto pagou se o total devido era de R$ 1 852,00 e se fossem considerados os preos tabelados?( 44% - R$ 1 037,12)

9.Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente,,em 4 empresas. Na primeira, ganhou 80% e, em cada uma das outras,perdeu 10%. Que taxa ganhou sobre o capital empregado? ( 31,22%)

REVISANDO:

1.Numa turma de alunos, a razo do nmero de moas para o nmero de rapazes 3/4. Se nessa turma existem 24 rapazes, qual o nmero de moas?

2.Numa cidade, o nmero de funcionrios pblicos para o nmero de habitantes , aproximadamente, de 2/45. Se a populao de 30 000 habitantes, quantos so os funcionrios pblicos?

3.Uma pesquisa entre indivduos que pertencem aos dois grupos de maior risco de serem portadores do vrus da AIDS revelou que, de 80 homossexuais masculinos testados, 16 eram portadores do vrus e que, 64 viciados em drogas injetveis, 12 eram portadores. Com base nesses dados, qual dos dois grupos o mais propenso a transmitir a doena?

4.Durante os jogos da Copa do Mundo, os brasileiros assistiram os jogos pela televiso na razo de 5/8. Considerando que a populao atual brasileira aproximadamente 176 milhes, qual o nmero aproximado de brasileiros que assistiram os jogos pela televiso?

5.Trs pessoas A,B e C, compraram juntas um bilhete de rifa que d um prmio de R$ 10 000,00. A pessoa A colaborou com R$ 10,00, a pessoa B com R$ 15,00 e a pessoa C com R$ 25,00. Caso o bilhete seja premiado, quanto receber cada pessoa se o combinado foi que cada uma receberia uma quantia proporcional ao dinheiro gasto?

6.Numa sociedade comercial o scio A entrou com 2/5 do capital durante do tempo e o scio B com o restante do capital durante 2/3 do tempo. Sabendo que houve um prejuzo de 49 210,00, calcule a parte do prejuzo que toca a cada scio.

7.Dividindo o nmero 380 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 4, qual a maior parte?

8.Distribua o lucro de R$ 28 200,00 entre dois scios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 80 000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20 000,00 durante 11 meses.

9.Para transportar um certo volume de areia para uma construo foram utilizados 30 caminhes, carregados com 4 m de areia cada um. Adquirindose caminhes com capacidade para 12 m de areia, quantos caminhes seriam necessrios para fazer tal servio?

10.Qual o principal que taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36?

SISTEMAS DE CAPITALIZAO (JUROS):

Nos dias de hoje as pessoas que tm algum dinheiro disponvel, procura alguma maneira de emprega-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisio de bens, seja no mercado financeiro, ou, simplesmente, emprestando a terceiros. Para que essas operaes financeiras sejam executadas

so necessrios clculos adequados a cada situao. Iniciaremos fixando ou relembrando alguns conceitos bsicos iniciais:

CAPITAL: qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponvel em certa data, para ser aplicado numa operao financeira. Tambm recebe o nome de valor atual ou valor presente. Indicaremos o capital inicial por PV ( Valor presente )

JUROS: remunerao paga ao dono do capital como compensao pelo uso do dinheiro., ou seja, o custo do capital durante determinado perodo de tempo. Indicaremos os juros por j.

TAXA DE JUROS: unidade de medida de juros que corresponde remunerao paga pelo uso do capital empregado num determinado perodo financeiro: ao dia, ao ms, ao bimestre, ao semestre, ao ano, etc. Pode apresentar-se na forma porcentual (3% ao m ) ou na forma unitria (0,03 ao m). Indicaremos a taxa por i.PRAZO: tempo que decorre desde o incio at o final de uma operao financeira. O prazo contado em perodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, ms, bimestre, trimestre, ano...) Indicaremos o prazo por nMONTANTE: soma do valor presente (capital) aplicado e os juros que este rendeu num certo tempo a uma determinada taxa. Indicaremos o montante por FV (valor futuro).

( FV = PV + j )

REGIMES DE CAPITALIZAO: a operao de adio dos juros ao capital

Existem dois regimes de capitalizao: o regime de capitalizao simples e o regime de capitalizao composta.

O regime de capitalizao simples ou juros simples consiste em somar os juros ao capital uma nica vez, no final do perodo contratado. O clculo feito sempre sobre o capital inicial e o montante ser a soma do capital inicial com os juros, o que equivale a uma nica capitalizao. O saldo cresce em progresso aritmtica.

No regime de capitalizao composta ou juros compostos os juros so capitalizados no final de cada perodo e o montante assim constitudo passar a render juros durante o perodo seguinte. O saldo cresce em progresso geomtrica.

REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES:

Os problemas envolvendo juros simples pode ser resolvidos por uma regra de trs composta.

Exemplo: Calcular o juro produzido por R$ 8 000,00, taxa de 5% ao ano, durante 2 anos.

Os 5% ao ano significam que em cada 100,00 ganhamos R$ 5,00 em 1 ano.

Montando a regra de trs composta temos:

Capital

Juro

Tempo

100

5

1

8 000

x

2

=

. =

100x = 80 000 x = 800,00

O juro produzido de R$ 800,00

Substituindo, temos:

100 i 1

PV j n

= . = j =

Usando taxa unitria temos:

Da, podemos deduzir:

IMPORTANTE: i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo: se temos uma taxa diria, n deve ser calculado em dias; se a taxa for mensal, n deve ser calculado em meses, etc.

Montante:

H problemas em que necessrio trabalhar com a soma do capital mais os juros. O resultado dessa soma , como j vimos, recebe o nome de montante, ou seja:

Como j = PV . i . n , podemos reescrever a expresso acima da seguinte maneira;

FV = PV + PV . i . n

Colocando C em evidncia, temos:

ATIVIDADES:

1.Qual o juro simples que um capital de R$ 30 000,00 produz, quando aplicado durante 5 meses, a uma taxa de 3,5% ao ms? (R$ 5 250,00)

2.Qual o juro simples que um capital de R$ 2 500,00 rende quando aplicado durante um ano , taxa mensal de 2%? (R$ 600,00)

3.Um capital de R$ 10 000,00,investido a juros de 13% ao ano, foi sacado aps trs meses e dez dias, a contar da data inicial do investimento, Qual foi o juro? (R$ 361,11)

4.Qual a taxa mensal de juros simples que dever incidir sobre um capital de R$ 5 000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$ 720,00? ( 3,2% ao ms)

5.Que capital inicial rende R$ 2 000,00 em 50 dias, a uma taxa de 0,2% ao dia? (R$ 20 000,00)

6.Calcular os juros simples que um capital de R$ 2 500,00 rende taxa de 2,7 % ao m, quando aplicado de 1 de fevereiro at 14 de maio. (R$ 229,50)

7.Um banco anuncia que um investimento de R$ 9 523,80 rende em seis meses a quantia se R$ 1 047,62.De quanto ser a taxa anual, calculada com base no ano comercial? ( R$ 22%)

8.Calcular em quanto tempo um capital de R$ 1 200,00 render R$ 144,00 de juros quando aplicado a uma taxa de 3% ao m. (4 meses)

9.Calcular os juros de R$ 1 200,00, aplicados a uma taxa de 15% ao ano, durante trs meses e dez dias.

(R$ 50,00)

10.Qual ser o montante resultante de uma aplicao de R$ 29 800,00, taxa de 1,2% ao m., durante 6 meses? (R$ 31 945, 60)

11.Coloquei uma certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei depois de 4 anos, R5 928,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicao foi feita base de juros simples? ( C = R$ 627,03 e

j =R$ 300,97)

12.Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$ 3 230,00 depois de 2 anos e 4 meses. Quanto emprestei?(R$ 2 523,40)

13.A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 2 anos, triplique de valor? (100%)

14.Calcular o montante de uma aplicao a juros simples de um capital de R$ 250 000,00, taxa mensal de 11 %, feita em 14 de maro e resgatada em 3 de abril do mesmo ano. (R$ 268 325,00)

ATIVIDADES DE REVISO:

1.Duas pessoas ganharam comisses sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$ 45,00 a mais que a outra. Qual a comisso de cada uma, sabendo que h entre elas uma razo de 4/9. (36,00 e 81,00)

2. Os salrios de Joo e Jos esto entre si assim como 7 est para 8. Calcule esses salrios, sabendo que o triplo do salrio de Joo menos o dobro do de Jos R$ 5 000,00 (7 000,00 e 8 000,00)

3.O lucro de uma determinada empresa foi dividido entre seus trs scios, na proporo de 3, 5 e 9. Sabendo que o segundo scio recebeu R$ 40 000,00 a mais que o primeiro, qual foi o lucro total e quanto coube a cada scio? (60 000, 100 000 e 180 000)

4.Trs trabalhadores receberam ao todo R$ 3 600,00. O primeiro trabalhou 10 dias razo de 8 horas por dia; o segundo, 20 dias razo de 6 horas por dia; e o terceiro, 25 dias razo de 4 horas por dia. Quanto recebeu cada um?

5.Trs scios sofreram um prejuzo de R$ 14 400.00. Os trs entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o primeiro durante 8 meses, o segundo 10 e o terceiro 12 meses. Qual foi o prejuzo de cada um?

6.Uma empresa com dois scios lucrou R$ 6 400,00. O primeiro scio empregou R$ 1000,00 durante 1 ano e 4 meses: e o segundo, R$ 2 000,00 durante 8 meses. Quanto recebeu cada scio? ( 3 200,00)

7.Seis digitadores preparam 720 pginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararo 800 pginas?

8.Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operrios de uma indstria automobilstica produzem 500 veculos em 30 dias. Quantos dias sero necessrios para que 1 200 operrios produzam 450 veculos trabalhando 10 horas por dia? ( 45 dias)

9.Uma prova de Matemtica,com ndice de dificuldade avaliado pelo professor em 20, teve a mdia de 8 em uma classe. Qual seria a mdia da mesma classe se o ndice de dificuldade fosse elevado para 25?

10 Em trs dias foram construdos 3/10 do comprimento de um muro. Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, quantos dias tero sido utilizados na construo total do muro?

11.Qual o principal que taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36?

12.Qual a taxa que, aplicada num capital de R$ 720 000,00, resulta numa porcentagem de R$ 21 600,00?

13.Uma mercadoria que custava R$ 2 500,00 teve um aumento, passando a custar R$ 2 700,00. Qual foi a taxa de aumento sobre o custo? Qual foi taxa de aumento sobre a venda?

14.Uma fatura sofreu abatimento de 13%, resultando num valor lquido de R$ 4 350,00. Qual era o valor inicial da fatura?

15.Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 so feitos descontos sucessivos de 10%, mais 6% e mais 3%. Qual o valor lquido da fatura?

16.Calcule o prejuzo de um comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36 394,40, perdendo nessa transao a quantia equivalente a 3% sobre o preo de custo?

17.Calcule o juro produzido por R$ 500, 00, taxa de 64,8% ao ano, durante 45 dias?

18.Depositei certa quantia num banco e recebi o montante de R$ 6 400,00 ao fim de 40 dias. Se a aplicao foi feita taxa de 6% ao ano, quanto recebi de juros?

19.Determine a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48 000,00 que, em 3 meses e 20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros

20.Calcule o montante do capital de R$ 75 000,00, colocado a juros simples, taxa de 2 % ao ms, no fim de 6 meses.

21.Um emprstimo foi feito em 3 de maro, com prazo de pagamento para 30 dias. Tendo em vista o critrio do prazo exato, qual a data de vencimento dessa operao? E se fosse prazo comercial?

22.Que quantia devo colocar a 3% ao ano para no mesmo prazo ter os mesmos juros que R$ 15 000,00 a 4% ao ano?(R$ 20 000,00)

23.A que taxa simples deve ser aplicado um capital para que no final de 10 meses produza um rendimento igual a 3/5 de si prprio? (6% ao m)

24. A pessoa A comprou um apartamento por R$ 50 000,00 e alugou-o a R$ 700,00 mensais. A pessoa B comprou um apartamento por R$ 85 000,00 e alugou-o a R$ 1 105,00 mensais. Qual das duas pessoas est fazendo o melhor negcio? (A pessoa A)

25.O capital de R$ 50 000,00 ficou aplicado durante seis meses e rendeu R$ 3 000,00 de juros. A que taxa esteve empregado? (6% ao semestre)

26.Um investimento de R$ 8 000,00 foi aplicado a uma taxa mensal de 3,2% durante 3 meses. Qual o montante

a) se for juros simples?

b) se for juros compostos?

Sistemas de equaes do 1 grau a duas variveisIntroduoAlguns problemas de matemtica so resolvidos a partir de solues comuns a duas equaes do 1 a duas variveis.

Nesse caso, diz-se que as equaes formam um sistema de equaes do 1 grau a duas variveis, que indicamos escrevendo as equaes abrigadas por uma chave. Veja os exemplos:

a)

b)

O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equaes chamado soluo do sistema. Indicamos pela letra S, de soluo.

Por exemplo, o par (7,3) soluo do sistema

Pois verifica as duas equaes. Ou melhor:

Resoluo de sistemas de equaes do 1 grau ( 2 x 2)

Os processos ou mtodos mais comuns so: o mtodo da substituio, mtodo da adio, mtodo da comparao, alm do mtodo grfico.

Mtodo da substituioPara aprender a trabalhar com esse mtodo, voc deve acompanhar os passos indicados nos exemplos a seguir:

1 exemplo:Resolver o sistema

1 passo: Isola-se uma das variveis em uma das equaes. Vamos isolar x na 1 equao:

2 passo: Substitui-se a expresso encontrada no passo 1 na outra equao. Obtemos ento uma equao do 1 com apenas uma incgnita

3 passo: Resolvemos a equao obtida no 2 passo:

obtendo, assim, o valor de y.

4 passo: (Para encontrarmos o valor de x) Substitui-se o valor encontrado no 3 passo em qualquer uma das equao iniciais.

5 passo: Por ltimo, escrevemos a soluo do sistema: S = {(4,3)}.

2 exemplo: Resolva o sistema

A soluo do sistema :

Exerccios de Aprendizagem

Aplicando o mtodo da substituio, resolva os seguintes sistemas 2x2:

Mtodo da comparaoEste mtodo consiste, basicamente, em isolar a mesma varivel nas duas equaes.

1 exemplo: Resolver o sistema

1 passo) Isolando x na 1 equao:

12 passo: Isolando x na 2 equao:

2

3 passo) Comparando 1 e 2, vem:

4 passo) Como x = 1+y, temos:

x = 1+(2)

x = 3Conjunto-Soluo: S = {(3,4)}

2 exemplo: Resolver o sistema

1 passo: x = 5y 12 passo: Isola-se x na 2 equao

3 passo: Comparando 1 e 2, vem

5y = 16 3y

5y + 3y =16

8y = 16

y = 2

4 passo: Como x = 5y, temos:

x = 5.(2)

x = 10

A soluo S = {(10,2)}

Exerccios de Aprendizagem

2) Aplicando o mtodo da comparao, resolva os seguintes sistemas:

Exerccios de fixao

3) Aplicando o mtodo mais conveniente para o caso, resolva os seguintes sistemas:

Mtodo da AdioAdicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade.

O mtodo consiste em somar as duas equaes, mas isso deve ser feito sempre de modo a eliminar uma das variveis na nova equao obtida. Ou seja, preciso chegar a uma s equao, com uma s incgnita. Para que isso ocorra, necessrio existam termos opostos nas duas equaes (em relao a uma mesma letra...).

Exemplo 1: Considere o sistema

Observe que a equao 1 tem o termo -3y, e a equao 2 tem o termo +3y (oposto de -3y).

Esse fato nos permite obter uma s equao sem a incgnita y, somando as duas equaes membro a membro.

Agora, s substituir o valor de x em uma das equaes do sistema:

A nica soluo do sistema o par (3,0)

Exemplo 2: Vamos resolver o sistema

Aqui, seria intil somar imediatamente as equaes. Como no observamos termos opostos (que somados resulta 0), nenhuma letra desaparece. Mas, podemos obter termos opostos.

Veja que o MMC entre 5 e 2 (coeficientes de x nas duas equaes) 10. Da, multiplicamos a 1 equao por 2 e a 2 equao por -5:

Voc viu bem?!!! Com isso, conseguimos termos opostos neste ltimo sistema.

E como +10y 10y = 0, vem:

Agora, levamos x = -2 na 2 equao para encontrar o valor de y:

A soluo o par (-2,4).

Exemplo 3: Resolva pelo mtodo da adio o sistema

Vamos tornar opostos (ou simtricos) os coeficientes em x. Para isso, basta multiplicar a primeira equao por -1 (no mexer na 2):

De 3y = 27, tiramos y = 9.

Calculando x:

Substitumos y = 9 na 1 equao:

Nota importante: Podemos aplicar o mtodo da adio de outra forma, neste caso procurando zerar a incgnita y. Veja:

Multiplicamos a 1 equao por 4 e a 2 por 1... e ento

De, encontramos (Viu?!! D o mesmo resultado!). Portanto, pode-se usar o processo da dio duas vezes seguidas

Exemplo 4: Resolver o sistema pelo processo da adio

Temos que o MMC(6,7) = 42. Ento, multiplicamos a 1 equao por 7 e a 2 por 6, temos:

Substituindo b = 3 na 2 equao, vem:

Equaes do 1 Grau

1) Resolva as equaes a seguir:a)18x - 43 = 65 (R: x = 6)b) 23x - 16 = 14 - 17x (R: x = )c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) 20 (R: x = 21)d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 (R: x = 2)e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 (R: x = -21)f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 (R: x = 12)2) Determine um nmero real "a" para que as expresses (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais. (R: a = 22) 3) Resolver as seguintes equaes (na incgnita x):a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0) (R: x = 20/9)b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc (R: x = 3c/4)

4) Determine o valor de x na equao a seguir aplicando as tcnicas resolutivas.

a) 3 2 * (x + 3) = x 18 (R: x = 5)

b) 50 + (3x 4) = 2 * (3x 4) + 26 (R: x = 28/3)5)Qual a raiz da equao 7x - 2 = -4x + 5? (R: x = 11/7)

6) Resolva as Equaes em R

a) 2x + 6 = x + 18 (R: x = 12)

b) 5x 3 = 2x + 9 (R: x = 4)

c) 3(2x 3) + 2(x + 1) = 3x + 18 (R: x = 5)

d) 2x + 3(x 5) = 4x + 9 (R: x = 24)

e) 2(x + 1) 3(2x 5) = 6x 3 (R: x = 2)

f) 3x 5 = x 2 (R: x = 3/2)

g) 3x 5 = 13 (R: x = 6)

h) 3x + 5 = 2 (R: x = -1)

i) x (2x 1) = 23 (R: x = -22)

j) 2x (x 1) = 5 (x 3) (R: x = 7/2)

7) O valor numrico da expresso 2x + 8, para x igual a -3 :

a) 17

b) 18

c) 26 (R: )

d) 34

8) Indique a Incgnita de cada equao

a) 2x 3 = 15 (R: a = 2, b = -18)

b) 4y = 30 18 (R: a = 4, b = 30)

c) 5z 6 = z + 14 (R: a = 4, b = -20)

d) m + 4 = 20 (R: a = 1, b = -16)

PROBLEMAS SOBRE EQUAES DO 1 GRAU

1 O dobro de um nmero, aumentado de 15, igual a 49. Qual esse nmero?

2 A soma de um nmero co o seu triplo igual a 48. Qual esse nmero?

3 A idade de um pai igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos tm 60 anos?

4 Somando 5 anos ao dobro da idade de Snia, obtemos 35 anos. Qual a idade de Snia?

5 O dobro de um nmero, diminudo de 4, igual a esse nmero aumentado de 1. Qual esse nmero?

6 O triplo de um nmero, mais dois, igual ao prprio nmero menos quatro. Qual esse nmero?

7 O qudruplo de um nmero, diminudo de 10, igual ao dobro desse nmero, aumentado de 2. Qual esse nmero?

8 O triplo de um nmero, menos 25, igual ao prprio nmero, mais 55. Qual esse nmero?

9 Num estacionamento h carros e motos, totalizando 78. O nmero de carros igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos h no estacionamento?

10 Um nmero somado com sua quarta parte igual a 80. Qual esse nmero?

11 Um nmero mais a sua metade igual a 15. Qual esse nmero?

12 A diferena entre um nmero e sua quinta parte igual a 32. Qual esse nmero?

13 O triplo de um nmero igual a sua metade mais 10. Qual esse nmero?

14 O dobro de um nmero, menos 10, igual sua metade, mais 50. Qual esse nmero?

15 A diferena entre o triplo de um nmero e a metade desse nmero 35. Qual esse nmero?

16 Subtraindo 5 da tera parte de um nmero, obtm-se o resultado 15. Qual esse nmero?

17 A metade dos objetos de uma caixa mais a tera parte desses objetos igual a 25. Quantos objetos h na caixa?

18 Em uma fbrica, um tero dos empregados so estrangeiros e 72 empregados so brasileiros. Quantos so os empregados da fbrica?

19 Flvia e Slvia tm juntas 21 anos. A idade de Slvia trs quartos da idade de Flvia. Qual a idade de cada uma?

20 A soma das idades de Carlos e Mrio 40 anos. A idade de Carlos trs quintos da idade de Mrio. Qual a idade de Mrio?

21 A diferena entre um nmero e os seus dois quintos igual a trinta e seis. Qual esse nmero?

22 A diferena entre os dois teros de um nmero e sua metade igual a seis. Qual esse nmero?

23 Os trs quintos de um nmero aumentados de doze so iguais aos cinco stimos desse nmero. Qual esse nmero?

24 Dois quintos do meu salrio so reservados para o aluguel e a metade gasta com alimentao, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual o meu salrio?

25 Lcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestaes. Na 1 prestao, ele pagou a metade do valor da camisa, na 2 prestao, a tera parte e na ltima, R$ 2,00. Quanto ele pagou pela camisa?

26 Achar um nmero, sabendo-se que a soma de seus quocientes por 2, por 3 e por 5 124.

27 Um nmero tem 6 unidades a mais que outro. A soma deles 76. Quais so esses nmeros?

28 Um nmero tem 4 unidades a mais que o outro. A soma deles 150. Quais so esses nmeros?

29 Fbia tem cinco anos a mais que Marcela. A soma da idade de ambas igual a 39 anos. Qual a idade de cada uma?

30 Marcos e Plnio tem juntos R$ 350,00. Marcos tem a mais que Plnio R$ 60,00. Quanto tem cada um?

31 Tenho nove anos a mais que meu irmo, e juntos temos 79 anos. Quantos anos eu tenho?

32 O permetro de um retngulo mede 74 cm. Quais so suas medidas, sabendo-se que o comprimento tem cinco centmetros a mais que a largura?

33 Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mario R$ 14,00 a menos que Paulo. Ns temos juntos R$ 156,00. Quantos reais tem cada um?

34 A soma de dois nmeros consecutivos 51. Quais so esses nmeros?

35 A soma de dois nmeros consecutivos igual a 145. Quais so esses nmeros?

36 A soma de um nmero com seu sucessor 71. Qual esse nmero?

37 A soma de trs nmeros consecutivos igual a 54. Quais so esses nmeros?

38 A soma de dois nmeros inteiros e consecutivos 31. Quais so esses nmeros?

39 A soma de dois nmeros impares consecutivos 264. Quais so esses nmeros?

40 A soma de dois nmeros 32 e a diferena 8. Quais so esses nmeros?

41 A soma de dois nmeros igual a 27 e a diferena 7. Quais so esses nmeros?

42 A soma de dois nmeros igual a 37 e a diferena 13. Quais so esses nmeros?

43 Um senhor tem coelhos e galinhas num total de 20 cabeas e 58 ps. Determine o nmero de coelhos e galinhas.

44 Eu tenho 30 cdulas, algumas de R$ 5,00 e outras de R$ 10,00. O valor total das cdulas de R$ 250,00. Quantas cdulas de R$ 5,00 e quantas cdulas de R$ 10,00 eu tenho?

45 Num ptio h bicicletas e carros num total de 20 veculos e 56 rodas. Determine o nmero de bicicletas e de carros.

46 Carlos tem 17 anos e Mrio tem 15 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades ser 72 anos?

47 Um homem tem 25 anos de idade e seu filho 7 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai ser o triplo da idade do filho?

48 Dois irmos tem 32 e 8 anos respectivamente. Quantos anos faltam para que a idade do mais velho seja o triplo da idade do mais novo?

49 - Se hoje Pedro tem o dobro da idade de Maria e daqui a 20 anos Maria ser 10 anos mais jovem do que Pedro, qual ser a idade de Pedro nessa poca?

(A) 30 anos(B) 35 anos(C) 40 anos (R: )(D) 45 anos(E) 50 anos

50 - Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadao e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?

a) R$136,00b) R$138,00c) R$140,00d) R$142,00e) R$144,00 (R: )

Equaes do 2 Grau1) Identifique os coeficientes de cada equao e diga se ela completa ou no:a) 5x2 - 3x - 2 = 0 (R: a = 5, b = -3, c = -2)b) 3x2 + 55 = 0 (R: a = 3, b = 0, c = 55)c) x2 - 6x = 0 (R: a = 1, b = -6, c = 0)d) x2 - 10x + 25 = 0 (R: a = 1, b = -10, c = 25)2) Achar as razes das equaes: a) x2 - x - 20 = 0 (R: x = 5 e x = -4)b) x2 - 3x -4 = 0 (R: x = 4 e x = -1)c) x2 - 8x + 7 = 0 (R: x = 7 e x = 1)3) Dentre os nmeros -2, 0, 1, 4, quais deles so razes da equao x2-2x-8= 0? (R: Sabemos que so duas as razes, agora basta testarmos.

(-2)2 - 2*(-2) - 8 = 0 (-2)2 + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 0 (achamos uma das razes)

02 - 2*0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0

12 - 2*1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0

42 - 2*4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raz))4) Determine quais os valores de k para que a equao 2x + 4x + 5k = 0 tenha razes reais e distintas.

(R: k > 16/40 k > 2/5 )

5) Aplicando a frmula de Bhaskara, resolva as seguintes equaes do 2 grau.

a) 3x 7x + 4 = 0 (R: x = 4/3 e x = 1)

b) 9y 12y + 4 = 0 (R: y = 2/3 e y = 2/3)

c) 5x + 3x + 5 = 0 (R: No possui razes reais)

6) Calcular o discriminante de cada equao e analisar as razes em cada caso:

a) x + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)

b) 9 x - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)

c) x - 2 x + 4 = 0 (vazio)

d) 3 x - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)

e) 10 x + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)

RESOLVA AS EQUAES DE 2 GRAU

1) x - 5x + 6 = 0 (R: 2, 3)

2) x - 8x + 12 = 0 (R: 2, 6)

3) x + 2x - 8 = 0 (R: 2, -4)

4) x - 5x + 8 = 0 (R: vazio)

5) 2x - 8x + 8 = 0 (R: 2,)

6) x - 4x - 5 = 0 (R: -1, 5)

7) -x + x + 12 = 0 (R: -3, 4)

8) -x + 6x - 5 = 0 (R: 1, 5)

9) 6x + x - 1 = 0 (R: 1/3 , -1/2)

10) 3x - 7x + 2 = 0 (R: 2, 1/3)

11) 2x - 7x = 15 (R: 5, -3/2)

12) 4x + 9 = 12x (R: 3/2)

13) x = x + 12 (R: -3 , 4)

14) 2x = -12x - 18 (R: -3 )

15) x + 9 = 4x (R: vazio)

16) 25x = 20x 4 (R: 2/5)

17) 2x = 15 x (R: 3, -5)

18) x + 3x 6 = -8 (R: -1, -2)

19) x + x 7 = 5 (R: -4 , 3)

20) 4x - x + 1 = x + 3x (R: 1)

21) 3x + 5x = -x 9 + 2x (R: -3)

22) 4 + x ( x - 4) = x (R: 1,4)

23) x ( x + 3) 40 = 0 (R: 5, -8)

24) x + 5x + 6 = 0 (R:-2,-3)

25) x - 7x + 12 = 0 (R:3,4)

26) x + 5x + 4 = 0 (R:-1,-4)

27) 7x + x + 2 = 0 (vazio)

28) x - 18x + 45 = 0 (R:3,15)

29) -x - x + 30 = 0 (R:-6,5)

30) x - 6x + 9 = 0 (R:3)

31) (x + 3) = 1 (R:-2,-4)

32) (x - 5) = 1 (R:3,7)

33) (2x - 4) = 0 (R:2)

34) (x - 3) = -2x (R:vazio)

35) x + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)

36) 3x - 4x + 2 = 0 (R: vazio)

37) x - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)

PROBLEMAS COM EQUAO DO 2 GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado 90. Calcule esse numero. (R: 9 e -10)

2) A soma do quadrado de um nmero com o prprio nmero 12. Calcule esse numero. (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nmero igual a -1. Calcule esse nmero. (R: 1)

4) A diferena entre o quadrado e o dobro de um mesmo nmero 80. Calcule esse nmero (R: 10 e -8)

5) O quadrado de um nmero aumentado de 25 igual a dez vezes esse nmero. Calcule esse nmero (R: 5)

6) A soma do quadrado de um nmero com o seu triplo igual a 7 vezes esse nmero. Calcule esse nmero. (R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o qudruplo de um numero igual a 5. Calcule esse nmero (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um nmero igual ao produto desse nmero por 3, mais 18. Qual esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um nmero igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual esse numero? (R: 3 e )

10) O quadrado de um nmero menos o triplo do seu sucessivo igual a 15. Qual esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o nmero que somado com seu quadrado resulta em 56? (R: -8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse nmero igual a 35. Qual esse nmero ? (R: -7 e 5)

13) O quadrado de um nmero menos o seu triplo igual a 40. Qual esse nmero? (R: 8 e -5)

14) Calcule um nmero inteiro tal que trs vezes o quadrado desse nmero menos o dobro desse nmero seja igual a 40. (R: 4)

15) Calcule um nmero inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse nmero seja igual a 48. (R: 8)

16) O triplo de um nmero menos o quadrado desse nmero igual a 2. Qual esse nmero? (R: 1 e 2)

17) Qual o nmero , cujo quadrado mais seu triplo igual a 40? (R: 5 , -8)

18) O quadrado de um nmero diminuido de 15 igual ao seu dobro. Calcule esse nmero. (R: 5 e -3)

19) Determine um nmero tal que seu quadrado diminudo do seu triplo igual a 26. (R: 7 e -4)

20) Se do quadrado de um nmero, negativo subtraimos 7, o resto ser 42. Qual esse nmero? (R: -7)

21) A diferena entre o dobro do quadrado de um nmero positivo e o triplo desse nmero 77. Calcule o nmero. (R: 7)

22) Determine dois nmeros mpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m de parede. Qual a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)

ngulos

Os ngulos de que se fala dizem respeito a ngulos no plano. (Existe os chamados ngulos slidos, definidos no espao, mas esto fora do mbito desta Reviso.)

Assim, temos que o ngulo ao centro definido pela duas semi-rectas da figura 1. Este o ngulo mais pequeno definido pelas duas semi-rectas (repare que tm a mesma origem, o vrtice no centro da figura). Outro ngulo definido pelas semi-rectas o ngulo , que de abertura visivelmente maior que o ngulo . Por definio, uma volta completa no plano define o ngulo de 360, isto ,

+ = 360 .

No plano, o sentido positivo atribudo aos ngulos contrrio ao dos ponteiros do relgio. Na figura 2 est indicado o sentido de crescimento de um ngulo. O ngulo aumenta se a abertura aumentar no sentido indicado pela seta. O sentido negativo definido pela semi-recta OA movendo-se no sentido horrio.

Em trigonometria, especialmente quando se usam funes trigonomtricas, definidas mais adiante, costume usar outra unidade para os ngulos em vez da indicada: o radiano. definido de tal forma que um ngulo de radianos igual a 180:

radianos = 180,

em que o nmero irracional =3,1415927..., definido pelo quociente entre o permetro de uma circunferncia e o seu dimetro. usual no indicar a unidade radianos quando nos referimos a um ngulo nestas unidades, quando no h perigo de confuso. Assim teremos, por exemplo, que = /4 = 45. Para ngulos em unidades de grau de arco, necessrio indicar o smbolo " " para distinguir da unidade radiano. H mais outra unidade de ngulo no plano, o grado, definida tal que 90 = 100 grados, mas menos utilizada que qualquer das anteriores.

ngulo trigonomtrico

Um ngulo pode ter o valor real que se desejar. No entanto, a semi-recta que d o ngulo (com outra semi-recta, fixa, de referncia) completa uma volta aps 360, duas voltas aps 720, etc., ou uma volta no sentido contrrio, e nesse caso diz-se que descreveu um ngulo de 360. O menor ngulo descrito pela semirecta o ngulo trigonomtrico, e para o ngulo ( descrito pela semi-recta tem-se:

( = + k 360,(1.1)

em que k um nmero inteiro. O ngulo o de maior interesse em trigonometria, em particular no que toca s funes trigonomtricas, abordadas posteriormente. Por exemplo, se x = + m 360 e y = + n 360 (m e n nmeros inteiros), para igualar os ngulos x e y necessrio que m=0 e n=0 (por exemplo), uma condio trivial.

A razo para a existncia desta periodicidade para ngulos prende-se com o carcter das funes trigonomtricas, o qual ser discutido adiante. No entanto, necessrio definir univocamente a aplicao que d o ngulo definido por duas rectas que se intersectam. Portanto, e para esse efeito, medem-se os ngulos num domnio que vai de 0 a 360 (ou, o que equivalente, de 0 a 2 radianos), para que no haja lugar para dvidas; no caso de um ngulo no plano, ser de 0 a 180, visto que para ngulos entre 180 e 360 j haver outro ngulo mais pequeno definido pelas duas rectas dadas e que ser inferior a 180.

Classificao de ngulos

Quanto abertura

1) ngulo nulo: = 0 figura 3.a.

2) ngulo agudo: 0 < < 90 figura 3.b.

Reparar que um ngulo agudo toma sempre um valor entre 0 e 90, nunca tomando qualquer destes valores. Exemplos: = 30 , = 75,4 , = 89,99 (nunca igual a 90 ou 0 !).

3) ngulo recto: = 90 figura 3.c.

4) ngulo obtuso: 90 < < 180 figura 3.d.

Novamente, o ngulo obtuso apenas toma os valores intermdios, nunca os dos extremos que o define.

5) ngulo raso: = 180 figura 3.e.

6) ngulo giro: = 360 figura 3.f.

Quando se chega a um ngulo 360, j se descreveu uma volta completa no plano pelo que a abertura definida por um ngulo giro (de 360) a mesma que definida pelo ngulo raso. Na verdade, e por essa razo, muitos autores identificam o ngulo de 0 (ou 360, o que equivalente como acabmos de ver) como ngulo raso ou giro. Para ngulos superiores a 360, voltamos novamente ao princpio da a definio peridica para o ngulo dada pela expresso (1.1). Assim sendo, um ngulo de 390 ser equivalente a outro de 30:

390 = 30 + 1 360 .

Quanto ao posicionamento (relativamente a outros ngulos)

1) ngulos complementares: + = 180 figura 3.g.

Diz-se que e so complementares, ou que complementar de , e viceversa. Naturalmente, 0 < < 180, e tambm (com + = 180)!

2) ngulos suplementares: + = 90 figura 3.h.

Diz-se que e so suplementares, ou que suplementar de , e vice-versa. Naturalmente, 0 < < 90, e tambm (com + = 90)!

3) ngulos verticalmente opostos: + + + = 360 figura 3.i.

Os ngulos e dizem-se verticalmente opostos. Temos que = , e tambm = , que tambm so verticalmente opostos.

Arcos de circunferncia

Um arco de circunferncia definido de uma maneira semelhante que foi feita para um ngulo no plano. Desta feita, define-se um arco sobre uma circunferncia.

Sobre uma circunferncia, um ponto pode-se mover em dois sentidos. O sentido positivo para os ngulos , por conveno, antihorrio, e o negativo o sentido horrio. Dessa forma, quando um ponto da circunferncia se desloca sobre ela do ponto A para B, diz-se que esse ponto da circunferncia descreveu o arco .

Tringulos

So figuras geomtricas definidas numa superfcie plana, constitudas por trs segmentos de recta cujas extremidades se unem. Sejam ento trs segmentos de recta, de comprimentos x, y e z. Quando unidas as extremidades, definem ngulos internos , e . Seja o ngulo mais pequeno definido pelos segmentos de comprimentos x e y. Abusivamente, designarei de agora em diante x e y os segmentos de recta de comprimento dado pelos valores de x e y, respectivamente.

Propriedade 1:Todos os tringulos, quaisquer que sejam, que a soma dos ngulos internos seja 180, isto ,

+ + = 180 .

Isto verifica-se sempre para todos os tringulos constitudos sobre uma superfcie plana().

Propriedade 2:A soma do comprimento de dois lados quaisquer sempre maior que o comprimento do terceiro lado.

Por exemplo: se o Gabriel (no vrtice de ngulo ) quiser ir casa da Alexandra (vrtice de ngulo ), percorrer um caminho menor, de comprimento x, indo directamente para l do que passando primeiro pela casa da Beatriz (ngulo ) e indo depois at casa da Alexandra (num percurso total dado por y + z).

Semelhana de tringulos

Dois tringulos dizem-se semelhantes quando so homotticos, isto , quando existe uma homotetia entre os dois tringulos os lados dos tringulos so proporcionais entre si. Das seguintes relaes de semelhana, conclui-se que os dois tringulos a considerar so homotticos:

a) trs lados proporcionais [LLL], outrs ngulos iguais entre si [AAA];Este caso trivial, e resulta da definio de homotetia que foi agora apresentada. O efeito produzido por [LLL] ou por [AAA] o mesmo, e equivalem-se entre si: dois tringulos com ngulos iguais entre si tm lados correspondentes com comprimento de igual proporo, e viceversa ver figura 5.

b) dois lados proporcionais e um ngulo igual [LLA];

Aqui, dois lados dos tringulos so proporcionais, e um dos ngulos de um tringulo tem igual abertura ao do ngulo correspondente no outro tringulo: = e x/x = y/y. Consequncias: z/z obedece mesma proporo entre os comprimentos dos lados, e os ngulos correspondentes nos dois tringulos so iguais entre si.

c) dois ngulos iguais e um lado proporcional [LAA];

Dois ngulos quaisquer so iguais. Tem-se = , ( = (, e um valor para x/x. Ento resulta que o terceiro ngulo igual para os dois tringulos, e que os lados so proporcionais.

Naturalmente, se nenhuma das trs situaes anteriores se verificar, o par de tringulos considerados no so semelhantes.

Estas classificaes no devem ser confundidas com as de tringulo equiltero, issceles e escaleno, definidos a seguir. Enquanto que aquelas dizem respeito a relaes entre dois tringulos, as ltimas referem-se caracterizao de um nico tringulo.

Classificao de tringulos

Quanto aos ngulos internos

1) Tringulo acutnguloTodos os ngulos internos so agudos, isto , tm um valor inferior a 90 (mas nunca igual).

2) Tringulo rectnguloUm dos ngulos internos recto; no caso da figura 6 o ngulo , e portanto temos = 90. Os restante ngulos internos so necessariamente agudos, pois a sua soma tem de ser igual a 90, visto a soma dos ngulos internos de um tringulo ter de ser 180. Logo, esses dois ngulos so suplementares.

3) Tringulo obtusnguloUm dos ngulos internos obtuso, isto , tem entre 90 e 180; o caso do ngulo 90 < < 180. A soma dos restantes ngulos internos inferior a 90, visto ser condio obrigatria que a soma dos trs ngulos 180. Claro, os restantes ngulos internos so agudos, pois no ultrapassam 90: a sua soma at inferior a 90.

Quanto ao nmero de lados/ngulos iguais

1) Tringulo equilteroTodos os lados so iguais. Todos os ngulos internos so iguais: = = . Como a soma dos ngulos internos sempre 180, forosamente = = = 60. um tringulo agudo, pois todos os ngulos so menores que 90. Como o nome indica, equiltero todos os lados medem o mesmo: x = y = z .

2) Tringulo isscelesTemos dois lados iguais (y e z, por exemplo), e dois ngulos iguais. Caso y = z, temos = ; ou seja, so iguais os ngulos no comuns aos lados iguais ( e no so comuns aos lados x e y, que so iguais).

3) Tringulo escalenoTodos os lados e ngulos respectivos so diferentes.

No dever confundir estas classificaes com as de semelhana de tringulos (seco 0), que dizem respeito a relaes entre dois tringulos!

Trigonometria e relaes trigonomtricas

Aquando da sua criao pelos matemticos gregos, a trigonometria dizia respeito exclusivamente medio de tringulos, e tal como as funes e relaes trigonomtricas apresentadas a seguir, aplicada exclusivamente ao estudo de tringulos rectngulos. Porm, as funes trigonomtricas resultantes, e apresentadas mais adiante, encontram aplicaes mais vastas e de maior riqueza noutras reas como a Fsica (por exemplo, no estudo de fenmenos peridicos) ou a Engenharia.

Limitarmo-nos-emos trigonometria no plano. Assuntos mais elaborados (alguns dos quais leccionados em cursos universitrios), como desenvolvimentos em srie de Taylor de funes trigonomtricas, nmeros complexos e funes trigonomtricas hiperblicas no sero abordados neste texto. Ainda no intuito de manter a generalidade deste texto, que se pretende uma simples reviso sobre trigonometria leccionada no ensino secundrio, no falarei tambm sobre trigonometria esfrica.

Em trigonometria, os lados dos tringulos rectngulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto ao ngulo recto , chama-se hipotenusa; os lados restantes, ligados ao ngulo recto, chamam-se catetos.

Teorema de Pitgoras

O gemetra grego Pitgoras (570501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu nome, e que relaciona a medida dos diferentes lados de um tringulo rectngulo: a soma do quadrado dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja, se x e y forem o comprimento dos dois catetos e h o comprimento da hipotenusa, ter-se-:

x + y = h .

A demonstrao deste teorema pode ser efectuada atravs do clculo de reas de tringulos rectngulos e de quadrados ver figura 7. A rea de um quadrado com comprimento do lado de valor l dada por l2. Para um rectngulo de comprimento de base a e de altura b a rea dada pelo produto destes dois comprimentos, isto , ab. Se dividirmos esse rectngulo com uma diagonal, teremos dois tringulos rectngulos, com catetos de comprimento a e b; a rea de cada um , ento, metade da rea do tringulo ab/2.

Observe agora a figura 8. O tringulo rectngulo tem lados de comprimento x e y. Pelo que se disse no pargrafo anterior, a rea deste tringulo xy/2. O quadrado que est junto ao tringulo foi escolhido de modo a ter comprimento do lado precisamente igual ao comprimento da hipotenusa do tringulo, ou seja, h. A rea do quadrado , naturalmente, h2. Ora bem, o tringulo pode ser copiado e colado aos restantes lados do quadrado de modo que se juntem as hipotenusas dos tringulos copiados aos lados do quadrado. Isto produz uma nova figura, um quadrado, no qual se inscrevem o quadrado e os tringulos o original e as cpias. Este novo quadrado tem lado com comprimento x+y canto inferior direito da figura 8.

Ora, a rea do novo quadrado (x+y)2, ou seja, x2 + 2xy + y2. Por outro lado, a rea deste novo quadrado igual ao espao ocupado pelas figuras anteriores o quadrado e os quatro tringulos. Estas cinco figuras tm reas dadas por h2 e xy/2. Como temos quatro tringulos, a rea que todos eles ocupam 4xy/2 = 2xy. Ento, as cinco figuras dentro do quadrado maior ocupam uma rea que totaliza h2 + 2xy. Mas esta rea igual do quadrado maior, como se v na figura 8. Portanto, temos

x2 + 2xy + y2 = h2 + 2xy ( x2 + y2 = h2 ,

que justamente a anterior frmula para o teorema de Pitgoras.

Relaes trigonomtricas de ngulos

Na esmagadora maioria das aplicaes trigonomtricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um tringulo recorrendo a determinadas relaes dependentes de ngulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relaes trigonomtricas com esse fim. No captulo 0 discutir-se- o intervalo de aplicabilidade (j sob o ponto de vista de funes reais de varivel real) de algumas das seguintes relaes trigonomtricas.

a) Seno de o quociente do comprimento do cateto oposto ao ngulo pelo comprimento da hipotenusa do tringulo, ou seja,

.

O seno de pode aparecer com uma das seguintes representaes: sen, sin, sen(), sin().

b) Coseno de o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ngulo pelo comprimento da hipotenusa do tringulo, ou seja,

.

Em geral, o coseno de aparece com uma das duas representaes: cos, cos().

c) Tangente de o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,

.

usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras: tan, tan(), tg, tg().

d) Co-tangente de definida como o recproco da tangente de :

.

A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes: cotan(), cotg(), cotan, cotg.

Pelas definies em c) e d), e segundo as definies em a) e b), podemos ver ainda que:

e .

e) Secante e co-secante de Definem-se ainda as funes secante de e co-secante de como, respectivamente:

e .

A secante pode ser representada por: sec(), sec. A co-secante pode ser representada por: cosec(), cosec, csc(), csc.

Frmula fundamental da trigonometria

A frmula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitgoras.

.

Pela definio de seno e de coseno de um ngulo, dadas acima por a) e b), temos que:

.(3.1)

A equao (3.1) a frmula fundamental da trigonometria. Nela, sen2() = sen() sen(), e o mesmo se sucede para cos2(). Da frmula fundamental da trigonometria ainda possvel extrair outras frmulas importantes; por exemplo, dividindo-a por cos2(), vem:

;

ou, dividindo por sen2():

.

Um problema de trigonometria

Por vezes no nos possvel (por quaisquer razes) encontrar os valores dos comprimentos dos lados e dos ngulos a partir dos dados disponveis chama-se a isto resolver um tringulo. Mas se conhecermos, por exemplo, um ngulo (que no seja o ngulo recto, porque obviamente j conhecido) e um lado de um tringulo rectngulo, podemos encontrar os valores dos ngulos e lados que faltam. Para isso necessitamos de dispor de uma tabela trigonomtrica ou de uma calculadora, para podermos obter os valores que tomam as funes trigonomtricas para diferentes ngulos.

Suponhamos, por exemplo, que queramos medir a altura h de uma torre de farol que nos inacessvel, ou para a qual era incmodo e difcil efectuar directamente uma medio sobre a torre com fita mtrica. Como fazer?

Em primeiro lugar, mediu-se, no ponto A, o ngulo a que a extremidade mais alta da torre faz com a linha de horizonte, e mediu-se = 20. Depois, afastamo-nos uma distncia apropriada 10 metros, no caso presente(). Faz-se uma nova medio do ngulo que o cimo da torre faz com a linha de horizonte, e obteve-se o valor = 18.

Consultemos uma tabela, ou usemos uma calculadora cientfica para obter os valores das funes trigonomtricas para os ngulos mencionados. Na tabela seguinte esto transcritos os valores para os dois ngulos relevantes.

sen()cos()tan()

180,3090,9510,325

200,3420,9400,367

Que funes trigonomtricas utilizar? Pretende-se obte