Fibonacci

Disciplina: Matemática

Escola Básica de Paços de Ferreira

Ano Lectivo:2011/2012

Trabalho realizado por:João Sampaio Nº12 7ºcJúlio Carvalho Nº14 7ºc

Índice1-Capa2-Índice 3-Introdução4-Vida de Fibonacci5-Obras de Fibonacci6-Sequência de Fibonacci7- O número de ouro e Fibonacci8-A relação entre a sequência de Fibonacci e o número

de ouro 9-Pintura e Arte10-Moluscos11- Plantas12-Música13- Problema dos coelhos14- Resolução das páginas 134 e 135

IntroduçãoCom este trabalho pretendemos que

fiquem a saber mais sobre a vida de Fibonacci.

Vida de Fibonacci•O seu nome completo era Leonardo de Pisa.•Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.•Desde muito jovem Leonardo visitou o Oriente e o Norte de África, onde o sistema de numeração hindu era já largamente usado.•Ao longo das suas viagens conheceu a obra de al-Khwarismi e assimilou numerosas informações aritméticas e algébricas que compilou no seu primeiro livro " Liber Abacci", que teve uma enorme influência para a introdução na Europa do sistema de numeração hindu-Árabe.•Foi neste livro que Fibonacci introduziu o conceito dos números de Fibonacci e da sucessão de Fibonacci, tema do nosso trabalho.

• Escreveu depois " Pratica Geometriae " onde analogamente descreve as suas recolhas sobre Geometria e Trigonometria.

• Difundiu nos seus livros, os saberes matemáticos de origem indiana e árabe e estudou as operações elementares, assim como os números naturais, a decomposição de números em fatores primos, as frações e as equações entre outros.

• Mas a conceção que Fibonacci apresentou no seu livro "Liber Abacci" conhecido agora como os números de Fibonacci foi o que  mais o popularizou entre os outros matemáticos da sua época.

OBRAS DE FIBONACCIFibonacci escreveu cinco obras: quatro livros e

uma que foi preservada como carta.Os quatro livros de Fibonacci:Liber Abacci: 1202.Foi revisto em 1228. Foi neste livro que Fibonacci

falou pela primeira vez do problema dos coelhos.Pratica Geometriae: 1220.Este é um livro sobre geometria.Flos: 1225.Liber quadratorum: 1225.É o maior livro que Fibonacci escreveu.

Sequência de Fibonacci Dentre todos os mistérios da Matemática, a sequência de Fibonacci é considerada

uma das mais fascinantes descobertas da história. A sequência de números proposta pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, possui o numeral 1 como o primeiro e o segundo termo da ordem, e os elementos seguintes são originados pela soma de seus dois antecessores, observe:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181...

Analisada como uma sequência numérica, ela não passa de uma simples organização de numerais que recebem um toque de lógica matemática. Mas o que faz dessa ordem de números, uma descoberta especial, é a sua ligação com os fenômenos da natureza e o valor aproximado da constante 1,6, quociente da divisão entre um número e seu antecessor na sequência, a partir do número 3.

Os grandes estudiosos sempre procuraram a proporção ideal a ser aplicada nas construções e nas artes. E foi com esse propósito que os gregos criaram o retângulo de ouro e os egípcios construíram suas pirâmides.

O NÚMERO DE OURO E FIBONACCIO fascínio pelo número de ouro, data de há mais de 2 000

anos.  Os "antigos" aperceberam-se que a arte e a arquitectura baseadas na razão de ouro, eram invulgarmente agradáveis à vista. A razão de ouro começou por ser definida em termos geométricos

O número de ouro pode ser encontrado através da razão da largura e do comprimento de um rectângulo de ouro.

Mas antes de prosseguirmos, iremos explicar o que se entende por rectângulo de ouro.

Denomina-se rectângulo de ouro, um rectângulo que, quando é dividido em duas partes e em que uma dessas partes seja um quadrado, então o que resta terá que ser um rectângulo com as mesmas proporções do rectângulo inicial.

A relação entre a sequência de Fibonacci e o número de ouro

Como vimos, se dividirmos um termo dessa sequência pelo seu antecessor, encontramos um número próximo ao valor de phi (1,618). Também percebemos que quanto maior forem os valores desses números, mais próximo seu quociente ficará de phi. Vejamos então ao gráfico que representa essa situação:

Desta maneira, inicialmente considerei adotei de maneira geral que essa sequência seria determinada por fn e onde, seu sucessor seria fn+1 e seu antecessor seria fn–1. Como já sabemos, na sequência de Fibonacci o número correspondente a um determinado termo é igual a soma de seus dois antecessores (a partir do terceiro termo), logo podemos determinar de maneira geral o valor de por fn = fn–1 + fn–2.

Também sabemos que na sequência de Fibonacci, os dois primeiros termos são iguais a 1, logo podemos designá-los como sendo o termo inicial f0 = 1 e f1 = 1. desta forma, podemos montar a sequência a seguir:

f0 + f1 + f2 + ... + fn + ...

em que,

f0 = 1, f1 = 1, f2 = f0 + f1, f3 = f2 + f1 + ...+ fn = fn–1 + fn–2 + ...

ou seja,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

f0 + f1 + f2 + ... + fn + ...

em que,

f0 = 1, f1 = 1, f2 = f0 + f1, f3 = f2 + f1 + ...+ fn = fn–1 + fn–2 + ...

ou seja,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Logo, podemos também dizer que uma razão Rf qualquer entre dois termos sucessivos podem ser determinados de maneira geral da seguinte forma:

Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:

Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:

Outro detalhe interessante, é que se a razão entre um termo dessa sequência pelo seu antecessor tende phi, logo a razão entre um termo qualquer e sucessor nos dará o inverso do número de ouro, que poderíamos determinar de maneira geral como a seguir:

Mas um detalhe importante é que para melhor aproximação de phi, devemos considerar para a razão, preferencialmente, termos cuja posição na sequência seja n > 4.

Pintura e arteMuitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea

em seus trabalhos. Da Vinci chamava-a: Divina Proporção e usou-a em muitos dos seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea em várias situações.

Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo.

MoluscosAnexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1,

sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci

PlantasCertas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento dos seus

galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto.

Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. A planta Achillea ptarmica possui estas características.

MúsicaOs amantes da música podem ficar, a saber, que mesmo Stradivarius

utilizava o número de Ouro na construção dos seus famosos violinos.

A banda TOOL tem uma música projetada com a sucessão de Fibonacci, designada de Lateralus.

O Número de Ouro está presente nas famosas sinfonias n.º 5 e na Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven.

O baterista de jazz Max Roach, incorporou a Proporção Áurea nas suas músicas.

Problema dos coelhosNo livro a que nos referimos anteriormente,

Líber Abacci, Fibonacci introduziu um problema por ele formulado que veio dar origem posteriormente a uma sucessão. Essa sucessão ficou conhecida na história como a Sucessão de Fibonacci e teve lugar no ano de 1202, quando Fibonacci se interessou pela reprodução dos coelhos. Ele criou então um cenário imaginário com as condições ideais, sob as quais os coelhos se poderiam então procriar.

O objetivo era responder à seguinte questão: Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui a  um ano?

Demonstração: Ao fim de um ano (12 meses) Fibonacci

concluiu que: Mês 0 - No início da experiência existe

apenas um par de coelhos. Mês 1 – Após um mês, os coelhos

acasalaram mas ainda não deram à luz (portanto existe somente um par de coelhos).

Mês 2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos. Existem agora dois pares de coelhos.

Mês 3 – Depois de 3 meses, o par inicial de coelhos dá à luz mais um par de coelhos. No entanto, o segundo par acasala. Isto faz então um total de três pares.

Mês 4 – Aos 4 meses, o par original tem mais um par de coelhos. O par nascido no mês #2 também dá à luz. O par de coelhos nascido no mês #3 acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco pares.

Mês 5 – Aos 5 meses, todos os pares que nasceram até há dois meses dão à luz. Isto totaliza oito pares.

Resolução das páginas 134 e 1352)2.1) 1 ano----1)x2 R.: Ao fim de 10 anos

terá 512 ramos 2 ano----2)x2 3 ano----4)x2 2.2)Porque à sequencia

do numero 4 ano----8)x2 de ramos a partir

do primeiro 5 ano----16)x2 é uma potencia de

base 2, logo 6 ano----32)x2 é par. 7 ano----64)x2 8 ano----128)x2 9 ano----256)x2 10 anos----512)xe

3)3.1) 1 de janeiro– 3 km R.: No dia 7 de janeiro 2 de janeiro—5 km 3 de janeiro—7 km 4 de janeiro—11 km 5 de janeiro—13 km 6 de janeiro—15 km

3.2) 1 de janeiro– 3 km 31- 6=25x15=3+5+7+9+11+13=423

2 de janeiro—5 km 3 de janeiro—7 km R.: o Alex durante o mês

de 4 de janeiro—9 km janeiro correu 423 km. 5 de janeiro—11 km 6 de janeiro—13 km

4)4.1) 1+1=2 R.: Haverá 377 casais de coelhos ao fim

de 14 1+2=3 meses. 2+3=5 3+5=8 5) 1+1+1=3 R.: A sequencia é

continuada 5+8=13 1+1+3=5 somando-se

sempre os 3 8+13=21 3+5+9=17 últimos termos

para 13+21=34 obtermos o termo 21+34=55 seguinte. 34+55=89 6)7 1113122117 55+89=144 17 311311222117 89+144=233 1117 144+233=377 3117 132117

FIM!!!!

!!