sobre o modelo de fibonacci na variável complexa ... · alves, f. r. v.; oliveira, r. r. de. sobre...

ISSN 2316-9664

Volume 11, dez. 2017

Francisco Regis Vieira Alves

Instituto Federal de Educação,

Ciência e Tecnologia do Estado

do Ceará – IFCE.

[email protected]

Rannyelly Rodrigues de

Oliveira

Instituto Federal de Educação,

Ciência e Tecnologia do Estado

do Ceará – IFCE.

[email protected]

Sobre o modelo de Fibonacci na variável

complexa: identidades generalizadas

On the complex variable Fibonacci´s model: generalized

identities

Resumo

A sequência emblemática relacionada com o problema da

reprodução de pares de coelhos, propugnado por Leonardo

Pisano, em 1202, se tornou, passados alguns séculos, o objeto de

estudo e pesquisa em determinados ramos particulares da

Matemática, sobretudo a partir dos anos 60. As repercussões

podem ser constadas a partir de uma profusão de modelos e

formas de sua generalização. Isso posto, no presente trabalho,

lidamos com as formas polinomiais de representação do modelo

Generalizado de Fibonacci na variável complexa. Assim, por

intermédio de engenhosas representações matriciais, deduzimos

três identidades clássicas e intimamente vinculadas ao modelo de

Fibonacci. Ademais, na última seção, trazemos uma nova

definição derivada ainda do modelo na variável complexa. Por

fim, as respectivas identidades são descritas ainda para um

conjunto maior de índices, caracterizando um processo de sua

extensão e generalização.

Palavras-chave: Sequência de Fibonacci. Variável complexa.

Identidades generalizadas.

Abstract

The emblematic sequence related to the problem of the

reproduction of pairs of rabbits proposed by Leonardo Pisano, in

1202 became, after a few centuries, the object of study and

research in certain particular branches of Mathematics, from the

sixties. The repercussions can be seen from a profusion of models

and forms of their generalization. This, in the present work, we

deal with the polynomial forms of representation of the

Generalized Fibonacci model, in the complex variable. Thus,

through some ingenious matrix representations, three classical

identities, closely linked to the Fibonacci´s model are deduced.

In addition, in the last section, we bring a new definition derived

from the complex variable´s model. Finally, their identities are

further described for a larger set of subscritps, characterizing a

process of their extension and generalization.

Keywords: Fibonacci´s sequence. Complex variable.

Generalized identities.

ALVES, F. R. V.; OLIVEIRA, R. R. de. Sobre o modelo de Fibonacci na variável complexa: identidades generalizadas. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de

Matemática, Bauru, v. 11, p. 116-135, dez. 2017.

DOI: 10.21167/cqdvol11201723169664frvarro116135 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

117

1 Introdução

Recorrentemente, na literatura especializada, reconhecemos um modelo matemático de uma

sequência homogênea recorrente de segunda ordem, por intermédio de um lacônico problema

formulado por Leonardo Pisano em 1202. Por outro lado, a partir dos anos 60, registramos

alguns trabalhos envolvendo uma preocupação com o aspecto histórico e evolutivo da

sequência de Fibonacci [1, 2, 3, 4, 5], ou seja, a sua generalização [6, 7, 8, 9, 10, 11] com ênfase

no processo de complexificação do modelo de Fibonacci, isto é, da introdução de unidades

imaginárias, do aumento dimensional e a correspondente propriedade das representações dos

números de Fibonacci ou, dizendo melhor, de números complexos de Fibonacci.

Nesse sentido, a despeito da descrição das propriedades do modelo de Fibonacci na variável

complexa, trazemos ainda a dedução de algumas identidades clássicas, largamente discutidas

em alguns livros, todavia, com a sua descrição correspondente para índices naturais. Dessa

forma, recordamos que a identidade descoberta em 1680 pelo matemático astrônomo italiano

Giovani Domenico Cassini (1625 – 1712) e de modo independente, em 1753, estudada pelo

matemático escocês Robert Simson (1687 – 1768), é conhecida por 1 1 ( 1) ,n

n n n nf f f f

para 0n .

A generalização dessa identidade, em 1879, foi devida ao trabalho do matemático belga

Eugène Charles Catalan (1814 – 1894), indicada por 2( 1)n r

n n n r n r rf f f f f

, para 1m n

. Outra forma de sua generalização foi consequência do trabalho do engenheiro e matemático

francês Philbert Maurice d'Ocagne (1862 – 1938), que nasceu em Paris em 1862 e, além de

outros trabalhos sobre Cálculo e Geometria, deduziu ainda a seguinte expressão

1 1 ( 1)m

m n m n n mf f f f f , para 1m n . Por fim, não nos furtamos de prestar uma pequena

homenagem ao matemático canadense Ross Honsberger (1929 – 2016), cuja identidade

1 1n m n m n mf f f f f , para 0m n , formulada em [7] inspirou inúmeras outras derivações

[12].

2 Representação polinomial do modelo de Fibonacci

A tradição dos estudos que investigam propriedades das representações polinomiais, em

alguns casos com a introdução de um parâmetro, de uma variável ou várias variáveis possui um

marco bastante representativo na década de 70. Assinalamos alguns trabalhos pioneiros [6, 8,

9, 12, 13, 14, 15] que concorreram para uma profusão de repercussões e implicações em outros

ramos de pesquisa intimamente relacionados com o modelo da Sequência Generalizada de

Fibonacci.

Os polinômios de Fibonacci foram estudados pela primeira vez em 1883 pelo matemático

belga Eugene Charles Catalan (1814 - 1894) e matemático alemão Ernest Erich Jacobsthal

(1881 - 1965). Assim, Catalan definiu a seguinte família de funções polinomiais de Fibonacci:

Definição 1. Chamaremos a Sequência Polinomial de Fibonacci (SPF), o conjunto de funções

polinomiais descrito pela relação de recorrência:

1 2( ) ( ) ( ),n n nf x x f x f x com1 2( ) 1, ( ) , e 1.f x f x x n

Sem dúvida, através da definição anterior, podemos perceber o processo de generalização

que inicialmente ocorreu com a sequência de Fibonacci e, gradualmente, após algumas décadas,

começou a ser registrado em vários outros modelos de sequências generalizadas. Tal

repercussão evidencia o caráter de ubiquidade do modelo de Fibonacci. Assim, na próxima




118

seção, estudaremos as relações recursivas decorrentes da consideração da variável complexa e

que, em maior ou em menor substância, argumentos semelhantes podem ser registrados em

outros trabalhos semelhantes.

2.1 Representação na variável complexa

De acordo com [16], temos as seguintes definições:

Definição 2. A sequência Generalizada Polinomial (SGP) 0

( , )n nF a z

nas variáveis a e ,z é

definida pela relação de recorrência de segunda ordem:

2

1 2( , ) z ( , ) ( , ),n n nF a z a F a z a F a z para 2n

com a seguinte condição inicial 0 1( , ) 0, ( , ) 1F a z F a z . Logo em seguida e de modo particular,

consideremos ainda mais uma definição:

Definição 3. A Sequência Polinomial de Fibonacci (SPF), na variável z para 1,a é descrita

pela seguinte relação de recorrência:

1 2( ) z ( ) ( ),n n nf z f z f z para 2n

com os seguintes valores iniciais 0 1( ) 0, ( ) 1.f z f z Com origem nas definições anteriores,

vamos enunciar o seguinte lema:

Lema 1. ([16]) Para 1n , vale a seguinte relação:

1( , z) ( ).n

n nF a a f z

Demonstração: para 0 1 1

1 11 1 a ( )F a f z e 2 1 2 1

2 2 ( )F az a z a f z . Recorrendo às

definições 2 e 3, a demonstração segue por indução matemática sobre n observando que vale a

igualdade 2 2 2 3 1 1

1 2 1 2 1 2z z ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ),n n n n

n n n n n n n nF a F a F a a f z a a f z a z f z f z a f z

tendo em vista que 2

1 1( )n

n nF a f z

e 3

2 2 ( ).n

n nF a f z

∎

Dessa forma, pelo lema anterior, determinamos uma relação entre a SGP e a SPF. Por outro

lado, tomando a importante noção de função geradora discutida em [10], definida por:

0

( ) ( , ) n

F n

n

g t F a z t

,

assim, temos o seguinte teorema:

Teorema 1. ([16]) A função geradora da SGP é dada por:

2 2( )

1F

tg t

az t a t

.




119

Demonstração: a partir da relação de recorrência 2

1 2z 0n n nF a F a F e da seguinte

soma formal 0

( ) ,n

F n

n

g t F t

vamos efetuar as seguintes operações. Primeiramente, vamos

façamos o produto 0

( ) n

F n

n

az t g t az t F t

. Logo em seguida, efetuamos ainda o seguinte

produto indicado 2 2

0

( ) ² ² .n

F n

n

a t g t a t F t

Com efeito, obteremos que:

0

1

0

2 2 2 2

0

( )

( )

( )

n

F n

n

n

F n

n

n

F n

n

g t F t

az t g t az F t

a t g t a F t

Logo em seguida, vamos considerar a seguinte expressão

2 2( ) , ( ) . ( ) ,F F Fg t az t g t a t g t para:

0 1 2

0 1 2

0

1 2 1

0 1 1

0

2 2 2 3 1 2

0 1 1

0

( ) :

( ) : t

² ( ) : ². ². ². ². ²

n n

n n

n

n n n

n n n

n

n n n

n n n

n

g t F t F t F t F t F t

azt g t az F t az F az F t az F t az F t

a t g t a F t a F t a F t a F t a F t

Assim, devemos o seguinte 2 2

0 1 0( ) . ( ) . ( ) . . .F F Fg t az t g t a t g t F t F az t F

1 2 0 1 0

2 2

² . . 0n n

n n n

n n

F az F a F t F tF az t F t t

. Portanto, segue que

2 2( )

1F

tg t

az t a t

, para .t IR ∎

Por intermédio da teoria das equações recorrentes homogêneas, devemos determinar a

seguinte equação característica 2 2 0t az t a . De imediato, podemos determinar as

raízes da seguinte forma 2 24 4

( , ) , ( , )2 2

az a z az a za z a z

. Facilmente, podemos ver que

2 2az, , 4a a z . Com origem nessas relações, vejamos outros

teoremas desta seção:

Teorema 2. ([16]) Para 0n , temos que:




120

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )

n n

n

a z a zF a z

a z a z

.

Demonstração: ademais, de acordo com os argumentos anteriores, garantimos as seguintes

relações 2 2 0az a , 2 2 0az a . Logo em seguida, vamos recordar a

relação fundamental. Assim, pela hipótese indutiva, escrevemos ainda a seguinte relação

(determinada por definição): 2 2

1 2 1 1z zn n n n n nF a F a F F a F a F

1 1

2 2 2

.( )

n n

n n n n n n n n n n n n

az a az a az a az

2

2( a )( )

n n

a

. Por outro lado, efetuando algumas multiplicações, devemos determinar

que são válidas as igualdades 1 2 1n n naz a , 1 2 1n n naz a . Assim, vemos ainda que: 1 1 1 1

1

( ²) ( ²)n n n n n n n n

n

az az az az a aF

2 1 2 1 1 1a ( )

,n n n n n naz az a

para 1.n ∎

Teorema 3. Para todo inteiro n , temos que:

1 2

1( , z) ( , z)

( 1)n nn n

F a F aa

.

Demonstração: a partir da fórmula de Binnet que demonstramos no teorema anterior, vem que

2 1 2

1 1

1 1 1

( ) ( ) ( 1)

n nn n n n n n n n

n n n n nF

a a

1 2

1

( 1)nn n

Fa

, para inteiro .n ∎

Observamos que, a partir dos resultados passados, quando lidamos apenas com a variável

complexa z e fazendo 1,a podemos ainda determinar a fórmula de Binnet na variável

complexa e a correspondente extensão ao campo de índices inteiros. Ou seja,

(z) (z)(z)

(z) (z)

n n

nf

e

1 2

1

( 1)n nn n

F Fa

. Ou simplesmente, pelo lema 1, sabemos que é

válida a igualdade 1 ( )n

n nF a f z , para 1n . A partir disso, escrevemos

1

1

1( ) ( )

n n n nn

n n n nF a f z f z

a

.




121

Antes de concluirmos a presente seção, vamos considerar as seguintes representações

matriciais 2 11

2 22

1 0

1

0

F FazA

a F a Fa

e 1

2 2

1

n nn

n n

F FA

a F a F

, por indução matemática, basta

ver que 2

1 2 11 1 1

2 2 2 22 2 2 2 21 11

1,

0

n n n nn n n n n

n n n nn n n

F F F Faz azF a F FA A A

a F a F a F a Fa az a F a a F a F

para todo 1n , assim, ao calcularmos o determinante dessa matriz, teremos que: 2det A a .

Diante disso, em seguida, discutiremos a generalização de algumas identidades clássicas, que

têm se tornado objeto de interesse em vários trabalhos.

3 Propriedades e algumas identidades generalizadas

Neste tópico, iremos explorar algumas identidades generalizadas, tais como de Cassini,

d´Ocagne, Catalan e a fórmula de Honsberger, considerando-as nas variáveis complexas a e z.

Agora, a partir das matrizes do tipo 1

2 2

1

n nn

n n

F FA

a F a F

, enunciamos os teoremas:

Teorema 4. ([16]) Identidade generalizada de Cassini: para 1n , vale:

2 2 2

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( 1)n n

n n nF a z F a z F a z a

.

Demonstração: basta ver o comportamento do seguinte determinante da matriz

1

2 2

1

n nn

n n

F FdetA det

a F a F

e observamos que 2 2 21 n n n

n vezes

det A det( A ... A ) det(A) ... det(A) a ... a ( ) a .

Finalmente, ao lado direito, determinamos 1 2 2 2 2

1 1 1 12 2

1

( )n n

n n n n n n n

n n

F Fdet F a F a F F a F F F

a F a F

.

Assim, segue o resultado pretendido. ∎

Teorema 5. Para 0m,n temos que:

2

1 1 1

2 2

1 1 1 1 1 1

4

1

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ).

n m n m n m

n m p n m p n m p n m p

n m p

i F a z F a z F a z a F a z F a z

ii F a z F a z F a z F a z a F a z F a z F a z a F a z F a z F a z

a F a z F a z F a z

Demonstração: (i) Vamos considerar a seguinte identidade matricial n m n mA A A e, a partir

disso, observamos que 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1

n m n m n n m mn m

n m n m n n m m

F F F F F FA

a F a F a F a F a F a F

. Fazendo as contas,

devemos determinar o produto das matrizes 2 2

1 1 1 1

2 4 2 4

1 1 1 1

n m n m n m n m n m

n m n m n m n m

F F F a F F F F a FA A

a F F a F F a F F a F F

. De imediato, considerando o elemento da

1ª linha e 1ª coluna, determinaremos a identidade indicada no enunciado. Para determinar a

identidade indicada no item (ii), vamos tomar n m p n m pA A A A e repetiremos os

argumentos anteriores. ∎




122

Teorema 6. ([16]) Identidade generalizada de d´Ocagne: para os inteiros 1m n temos que:

2

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , )n n

n m n m m nF a z F a z F a z F a z a F a z .

Demonstração: para tanto, assumiremos a seguinte matriz 2 2

0 2 2

1 1

n n

n n

F FB

a F a F

e, logo em

seguida, para descrevermos a matriz 1B , vamos considerar a primeira coluna da soma da matriz

2 2

2 1

4 4

1

n n n

n n

a F a Fa A

a F a F

com a seguinte matriz 2 2

0 3 3

1 1

n n

n n

az F az Faz B

a z F a z F

. Além disso,

deixaremos fixa a segunda coluna da matriz 0B . Portanto, vamos tomar a seguinte expressão

23 22 1 2

1 2 22 2 22 11 1( ) a

n nn n n

n nn n n

F Faz F a F FB

a F a Fa az F a F F

. No passo seguinte, repetimos o processo, ao

considerar a soma da primeira coluna da matriz 2 2

2 1 2 1

4 4

1

n n n

n n

a F a Fa A

a F a F

com a primeira

coluna da matriz que indicamos 3 2

1 3 3

2 1

n n

n n

az F az Faz B

a z F a z F

. Assim, determinaremos

4 2

2 2 2

3 1

n n

n n

F FB

a F a F

.Sucessivamente, determinaremos5 2

3 2 2

4 1

n n

n n

F FB

a F a F

,6 2

4 2 2

5 1

,n n

n n

F FB

a F a F

7 2

5 2 2

6 1

n n

n n

F FB

a F a F

,8 2

6 2 2

7 1

,n n

n n

F FB

a F a F

9 2

7 2 2

8 1

n n

n n

F FB

a F a F

,10 2

8 2 2

9 1

n n

n n

F FB

a F a F

,...,

2 2

2 2

1 1

.n r n

r

n r n

F FB

a F a F

A fim de verificarmos a matriz Br, apresentaremos o seguinte lema:

Lema 2. Para 0r temos que:

2 2

2 2

1 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

n r n

r

n r n

F a z F a zB

a F a z a F a z

.

Demonstração: de imediato, vemos para 0r e que 0 2 2

0 2 2

0 1 1

n n

n n

F FB

a F a F

e para 1r e que

3 2 1 2 2

1 2 2 2 2

2 1 1 1 1

n n n n

n n n n

F F F FB

a F a F a F a F

. Por indução, investigaremos o comportamento da

matriz 2

1 2

1

?

?

n

r

n

FB

a F

, tendo em vista que a segunda coluna permanece fixa. Repetimos o

mesmo argumento anterior, multiplicando as matrizes2 2

2 1

4 4

1

n r n r n r

n r n r

a F a Fa A

a F a F

e




123

2 2

2 2

1 1

n r n

r

n r n

az F az Faz B

az a F az a F

. Dessa forma, tomaremos

2

1 2 2

1 4 2 2

1 1

n r n r n

r

n r n r n

a F az F FB

a F az a F a F

3 2 3 2

2 2 2 2 2

1 1 2 1( )

n r n n r n

n r n r n n r n

F F F F

a a F az F a F a F a F

, para todo 0r . ∎

A partir dessas relações, retornaremos para a demonstração do teorema 6. Assim, vamos

notar que 2 2 2 2

0 2 1 1 22 2

1 1

0n n

n n n n

n n

F FdetB det F a F a F F

a F a F

. E, a partir do teorema 4, devemos

obter que 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 3 1 2 12 2

2 1

( ) ( 1) ( 1)n n n n n n

n n n

n n

F FdetB det a F F F a a a F

a F a F

. Ou

ainda que 4 2 2 2 2

2 4 1 3 2 1 3 22 2

3 1

( ) [( ( z )n n

n n n n n n n

n n

F FdetB det a F F F F a F a F a F

a F a F

2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 1 3 2 2 1 3 2( z )] [ z . z ] . z.( ²) . z.[( 1) . ]n n

n n n n n n n n n nF a F a F a F a F F a F a a F F F a a a

2 2 4

2( 1) . .n na F Finalmente, pelo teorema 4 anteriormente discutido, determinamos 2.detB

Vejamos mais um caso particular, na avaliação do determinante de 5 2

3 2 2

4 1

n n

n n

F FB

a F a F

.

Nesse caso, temos 5 2 2

3 5 1 4 22 2

4 1

( )n n

n n n n

n n

F FdetB det a F F F F

a F a F

. Mais uma vez, fazendo

pormenorizadamente as contas, veremos o comportamento de 2 2

3 4 3 1[( z )n n ndetB a a F a F F 2 2 2 2

3 2 2 3 1 2 1 3 1 3 2 2 2( ) ] [ (( ) ² ]n n n n n n n n n n n n nazF a F F a az azF F a F F a F F azF F a F F

2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 3 2 1 3 2 3 3(( ² ² ²) ( ² ² ²) ²) ( ²)( ² ² ²) (( 1) ) ( 1) .n n n n

n n n n n na a z a F F a z a F a F F F a z a a a F a F

De modo análogo, obtemos 4 5 6, , ,...,detB detB detB permitindo pensar em

2 2 4( 1) ( , )n n

r rdetB a F a z . Assim, assumiremos 2 2 2 2 4

2 2

1 1

( 1)n r n n n

r r

n r n

F FdetB det a F

a F a F

. E, vendo

que 2

3 2 2 22 1 2

1 2 2 2 22 2 22 1 1 11 1( )

n r n n r nn r n r n

r

n r n n r nn r n r n

F F F FazF a F FdetB det det az det

a F a F a F a Fa azF a F a F

1 22 2 2 2 2

2 1 1 2 1 1 22 2

1

det .( . ) ²( )n r n

n r n n r n n r n n r n

n r n

F Fa az F a F a F F a F a F a F F

a F a F

2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2

1 1[( 1) ] [( 1) ] ( 1) .n n n n n n

r r r raz a F a a F a az F a F

Isto é,

determinamos que 2 2 4 2 2 2 4

1 1 1det ( 1) ( 1) .n n n n

r r r rB a az F a F a F

E, fazendo a seguinte substituição m n r e como já sabemos que

2 2 2 4

2 1 1 2 ( 1)n n

r n r n n r n rdetB a F F F F a F

, devemos determinar finalmente que vale

2 2 2 4

2 1 1 2 ( 1)n n

m n m n m na F F F F a F

∎

Assim, com origem nos argumentos anteriores, segue a identidade de d`Ocagne. Vejamos a

seguir, a generalização de outra identidade clássica.




124

Teorema 7. ([16]) Identidade generalizada de Catalan: para os inteiros m 1n temos que:

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) ( , )n r n r

n m n r m r m n r rF a z F a z F a z F a z a F a z F a z

.

Demonstração: definiremos a seguinte matriz 0 2 2

1 1

n n r

n n

F FC

a F a F

. Agora, consideremos a

matriz2 2

2 2

1 1

n r n

r

n r n

F FB

a F a F

e, em seguida, substituiremos o índice ‘n’ por ' 1'n r na mesma

matriz rB e obteremos 1 2 1 2 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

n r r n r n n r

n r r n r n n r

F F F F

a F a F a F a F

. Doravante, designaremos

1 1

1 2 2

n n r

n n r

F FC

a F a F

. Em seguida, construiremos a matriz 2C , tomando a primeira linha da matriz

há pouco definida por 0C multiplicada pelo termo 2( )a , para a linha correspondente da outra

matriz indicada por 0C , e adicionando a primeira linha da matriz 1C , quando multiplicada por

( az ). Por tal regra, determinaremos a matriz 2 2

2 21 1

2 2 22 2

z.

n n rn n n r n r

n n rn n r

F Fa F az F a F a FC

a F a Fa F a F

Recorrendo à definição 2,

observamos que 2

2 1n n nF a F az F e que também 2

2 1zn r n r n rF a F a F .

No passo seguinte, a fim de determinar a matriz 3C , tomaremos de novo a primeira linha da

matriz 1C multiplicada por ( 2a ) e adicionando a primeira linha da matriz 2C multiplicada pelo

termo ( az ). Observe que deixamos fixa a segunda linha, para escrever 2 2

1 2 1 2

3 2 2

azn n n r n r

n n r

a F F a F az FC

a F a F

. E, reparando que 2

1 2 3azn n na F F F e que

2

1 2 3n r n r n ra F az F F podemos determinar 3 3

3 2 2

n n r

n n r

F FC

a F a F

.

Com o escopo de confirmar nosso raciocínio, vamos descrever a matriz da ordem

subsequente, que indicaremos por 4 2 2

? ?

n n r

Ca F a F

e, a fim de determinarmos sua primeira

linha, tomaremos a primeira linha da matriz2C multiplicada por ( 2a ) e adicionando a primeira

linha da matriz 3C multiplicada pelo termo ( az ). Daí, obteremos

2 24 42 3 2 3

4 2 22 2

n n rn n n r n r

n n rn n r

F Fa F az F a F az FC

a F a Fa F a F

.

Antes de prosseguirmos na demonstração, vejamos o lema 3, que é uma representação

generalizada dessas construções matriciais de sC .

Lema 3. Para 2s , temos que:




125

2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

n s n r s

s

n n r

F a z F a zC

a F a z a F a z

.

Demonstração: vimos anteriormente, alguns casos particulares e procedendo por indução,

vejamos que a matriz 1 2 2

? ?s

n n r

Ca F a F

deve ser determinada, partindo da primeira linha da

matriz1 1

1 2 2

n s n r s

s

n n r

F FC

a F a F

multiplicada por ( 2a ) e adicionando a primeira linha da matriz

2 2

n s n r s

s

n n r

F FC

a F a F

multiplicada pelo termo ( az ). Dessa forma, teremos

2 21 11 1

1 2 22 2

n s n r sn s n s n r s n r s

s

n n rn n r

F Fa F az F a F az FC

a F a Fa F a F

. Assim, segue o resultado que

pretendíamos. ∎

Além do mais, podemos escrever que 2

1 22 2

n s n r s

s s s

n n r

F Fdet detC az detC a detC

a F a F

1 1 2 22

2 2 2 2.

n s n r s n s n r s

n n r n n r

F F F Faz det a det

a F a F a F a F

Logo em seguida, apresentaremos o lema 4,

que permite a descrição do comportamento dos determinantes das matrizes que indicamos por

0 1 2 3 4, , , , ,..., sC C C C C C .

Lema 4. Para 2s , temos que:

1 2 2 2

2 2

( , ) ( , )( 1) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

n s n r s n r n r

s r s

n n r

F a z F a zdetC det a F a z F a z

a F a z a F a z

.

Demonstração: preliminarmente, temos que 2 2

0 1 1det n n n r nC a F F a F F . Ademais,

recordamos que a partir da matriz rB , cujo determinante é obtido por 2 2 41 n n

r rdet B ( ) a F ,

nesse sentido, procedemos uma substituição imediata do índice ‘n’ pelo índice ‘ 1n r ’, assim,

devemos encontrar que 1rdet B detC ( 1) 2 2( 1) 4 1 2 2 2( 1) ( 1)n r n r n r n r

r ra F a F . Por outro lado,

sabemos ainda que 2

1 1 1n n r n r ndet C a ( F F F F ) , que implica na seguinte igualdade 2 1 2 2 2

1 1( ) ( 1)n r n r

n n r n r n ra F F F F a F

, portanto, vem que 1 1 1n n r n r ndetC ( F F F F )

1 2 2 2

11 n r n r

r( ) a F F .

Por conseguinte, por indução sobre ‘s’ e posto que recorremos à seguinte identidade

envolvendo determinantes: 2

1 2s s sdet C az det C a det C . Com isso, podemos descrever2 1 2 2 2 1 2 2 2

2 1 0 2( 1) 0 ( 1)n r n r n r n r

r rdetC az detC a detC az a F a F F , em seguida, usaremos o

mesmo raciocínio para 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

3 2 1 2 1[( 1) . ] [( 1) . ]n r n r n r n r

r rdetC az detC a detC az a F F a a F F 1 2 2 2 2 1 2 2 2

2 1 3( 1) . ( . ) ( 1) . . .n r n r n r n r

r ra F az F a F a F F A fim de comprovar nossa

argumentação e descrever nossa hipótese de indução, vejamos ainda o próximo caso que




126

indicamos por2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

4 3 2 3 2[( 1) . ] [( 1) . ]n r n r n r n r

r rdetC az detC a detC az a F F a a F F 1 2 2 2 2 1 2 2 2

3 2 4( 1) . .( . . ) ( 1) . . .n r n r n r n r

r ra F az F a F a F F

Para concluir, por indução e empregando a identidade 2

1 2s s sdet C az det C a det C , segue

que 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

1 2 1 2det det det [( 1) . ] [( 1) . ]n r n r n r n r

s s s r s r sC az C a C az a F F a a F F

1 2 2 2 2 1 2 2 2

1 2( 1) .( ) ( 1)n r n r n r n r

r s s r sa F az F a F a F F

, para todo 2.s ∎

Retomando a demonstração do teorema 7, seguimos avaliando a seguinte expressão

2

2 2( )

n s n r s

s n r n s n r s n

n n r

F FdetC det a F F F F

a F a F

e realizando a substituição s m n r , assim,

podemos escrever a expressão 2 2( ) ( )n r n m n r n r m n r n n r m r m na F F F F a F F F F . Finalmente,

tendo em vista a obtenção da fórmula generalizada de Catalan, vamos empregar a identidade.

Dessa forma, encontramos a igualdade indicada por 2 1 2 2 2( ) ( 1)n r n r

n r m r m n r sa F F F F a F F

para 1m n e , 0r s , simplificando teremos 2 2( ) ( 1) . .n r n r

m n n r m r r m n rF F F F a F F

∎

É relevante observar o comportamento de casos particulares. Com efeito, na identidade

generalizada de Catalan, quando tomamos m n , encontraremos a identidade de Catalan

conhecida por 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1)n r n r n r n r

n n r m r m n r r rF F F a F F a F

. Ademais, quando tomamos

1,r obtemos 2 1 2 2 2 1 2 2

1 1 1( 1) ( 1) ,n n n n

n n nF F F a F a

o que determina a identidade de Cassini.

Antes de finalizarmos a presente seção, a partir das representações matriciais discutidas,

podem ser obtidas uma série de propriedades para índices inteiros. Por exemplo, desde que

1

2 2

1

n nn

n n

F FA

a F a F

, para todo 0n , com o emprego do teorema 3, escrevemos1

2 2

1

n nn

n n

F FA

a F a F

1 11 1 2( 1) 1 2 1 2 2 1 2( 1)

2 2

( 1) 2 2 2 2

1 11 2 1 1 2( 1) 1 2 1 2 2

1 1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

n n n nn n n n n n n nn n

n n

n n n nn n n n n n n n

F F F FF F a a a a

a F a Fa F a F a F a F

a a a a

11 2 2 1 2

1

21 22 2 1

11 2 1 2 2

1 1

²( 1) ( 1) 1.

1 1 ( 1)

( 1) ( 1)

n nn n n n

n n

n n

n nn nn n n n

F Fa F Fa a

a F Faa F a F

a a

Portanto, temos a seguinte

identidade *

1 2

1

( 1)

n

n nA A

a, onde

1*

2

1

² n n

n n

a F FA

a F F

. À vista disso, a seguir, as

identidades serão discutidas para índices inteiros.

4 Extensão das identidades para índices inteiros.

Na seção passada estudamos uma série de identidades famosas que mantiveram a atenção

de vários matemáticos, desde os séculos passados. Agora, a partir dos resultados indicados em

[16], conhecemos a identidade de Cassini, que foi descrita no teorema 4. Ademais, deduzimos




127

ainda as identidades de dÓcagne e a forma generalizada de Catalan, respectivamente, nos

teoremas 6 e 7. Por fim, apresentamos a fórmula (generalizada) de Honsberger [16]:

2

1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n m n m n mF a z F a z F a z a F a z F a z , para , 0.n m

Todavia, todas foram deduzidas ao se levar em consideração índices inteiros positivos.

Doravante, aplicando o teorema 3, vamos investigar o comportamento das identidades clássicas

de Cassini, dÓcagne, Catalan e a fórmula de Honsberger, assim considerando índices inteiros

quaisquer. No nosso primeiro caso, temos 2 2

1 1 ( 1) ( 1)n n n n n nF F F F F F

2

1 1 1 1( 1) 1 2( 1) ( 1) 1 2( 1) 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1. .

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n n n n nn n n n n n n n n n

F F F F Fa a a a a

1 1 1 12 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4

1 1 1 1² ² ( ²)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n n n n n n nn n n n n n n n

F F F F F F Fa a a a

2 2

2 2 4 2 2 2

1 1. ( 1) .

( 1) ( 1)

n n

n n n na

a aIsto é, para ‘n’ inteiro qualquer, a fórmula de Cassini

pode ser expressa por:

2 2 2

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( 1) .

n n

n n nF a z F a z F a z a

No segundo caso, investigaremos a identidade de dÓcagne, determinada como2

1 1 ( 1) ,n n

n m n m m nF F F F a F para 1 n m . Assim, consideraremos 1 1n m n mF F F F

( 1) ( 1) 1 1 1 12 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2

1 1 1 1 1( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n m n m n m n m n m n mn n m m n n m m n m n m

F F F F F F F F F F F Fa a a a a

1 2( 1) 1 2

1 1 ( 1) (n 1) n2 2 2 2 2 2

1 1( ) ( 1) ( 1) .

( 1) ( 1)

n n m m

n m n m m mn m n m n m n mF F F F a F a F

a a

Com isso, para

‘m’ e ‘n’ inteiros quaisquer, vemos que:

1 2

1 1 n( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , z).m m

n m n m mF a z F a z F a z F a z a F a

Para a identidade de Catalan, vimos que 2 2( 1)n r n r

n m n r m r m n r rF F F F a F F

, para

1m n e todo 0r . Assim, vejamos o que ocorre com a substituição imediata no teorema 3:

( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2

1 1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n m n r m r n m n r m r n m n r m rn n m m n r n r m r m r

F F F F F F F F F F F Fa a a a

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1( )

( 1) ( 1) ( 1)n m n r m r n m n r m rn m n m n m n m n m n m

F F F F F F F Fa a a

. Ou ainda, para

inteiros quaisquer, determinamos que 2 2

2 2 2

1( 1)

( 1)

n r n r

n m n r m r m n r rn m n mF F F F a F F

a

e, efetuando algumas simplificações, obteremos:

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) ( , )m r m r


.




128

De modo análogo, para a fórmula de Honsberger encontraremos

2 2 2

1 1 1 ( 1) ( 1) 1 12 2 2 2 1 2 1 2

1 1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n m n m n m n m n m n m n mn n m m n n m m

F F F a F F F F a F F F F a F Fa a a a

1 12 2 2

1( ². . . ).

( 1)n m n mn m n m

a F F F Fa

Por conseguinte, para quaisquer inteiros ,m n , resulta na

seguinte igualdade:

2 2 2 2

1 1 1 1( , z) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) . . ( , z)n m n m

n m n m n m n mF a F a z F a z a F a z F a z a F a

.

A seguir, discutiremos as identidades para o caso particular na variável complexa z.

5 Representação das identidades na variável z.

Nesta seção, vamos explorar as identidades de Cassini, d´Ocagne, Catalan e a fórmula de

Honsberger, considerando-as, no caso particular, na variável complexa z. Desse modo, iremos

empregar o lema 1. Com origem na identidade de Cassini, podemos determinar 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))n n n n n

n n n n n n n n n n nF F F a f z a f z a f z a f z a f z f z f z f z

2 2( 1)n na , logo, para 1m n encontramos:

1 1( ( ) ( ) ( ) ( )) ( 1)n

n n n nf z f z f z f z .

Semelhantemente, para a identidade de d´Ocagne, devemos encontrar 1 1n m n mF F F F 1 1 1 2

1 1 1 1a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( 1)n m n m n m n n

n m n m n m n m m nf z f z f z f z f z f z f z f z a F

. Dessa

última igualdade, para 1m n , determinamos que:

1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) . ( ).n n m

n m n m m nf z f z f z f z a f z

Nesse sentido, a identidade generalizada de Catalan nos possibilita considerar 1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ). ( ) ( ) ( ))n m n r m r n m

n m n r m r n m n r m r n m n r m rF F F F a f z a f z a f z a f z a f z f z f z f z

2 2( 1)n r n r

m n r ra F F

. E, para 1m n , efetuando alguns cancelamentos na última igualdade,

encontramos:

2 2( ( ) ( ) ( ) ( )) ( 1) . ( ) ( )

n r n m r

n m n r m r m n r rf z f z f z f z a f z f z .

Finalmente, a fórmula de Honsberger 2

1 1 1n m n m n mF F F a F F pode ser descrita, aplicando o

lema 1 nos dois membros da igualdade: 2 1 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m n m n m

n m n m n ma f z a f z a f z a a f z a f z

ou, de modo simplificado, para , 0n m obtemos:

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m n m n mf z f z f z f z f z .

Por conseguinte, seguindo o processo de complexificação da sequência de Fibonacci, serão

discutidos os quaternions complexos de Fibonacci.

6 Quaternions complexos de Fibonacci de ordem ‘n’.




129

Na última seção apresentamos uma nova definição, recordando a considerável tradição de

investigações em torno dos quaternions complexos de Fibonacci, desde os anos 60 [10, 11, 14].

Para tanto, considerando a base canônica 1,i, j,k , conhecida como a base usual do conjunto

dos quaternions 0 1 2 3q q q i q j q k , cujos coeficientes são números reais. O referido

conjunto é conhecido como uma Álgebra de dimensão quatro [10, 11].

Definição 4. Os Quaternions Complexos de Fibonacci de ordem ‘n’, nas variáveis a e z , tem

seus elementos definidos pela seguinte recorrência:

1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n nQ a z F a z F a z i F a z j F a z k , para 0n .

De imediato, poderemos determinar alguns termos da sequência `

( , )n n INQ a z

:

2 2 2

2 2 2 3 3

2 2 2 3 3

0 0 1 2 3

3

1 1 2 3 4

3

2 2

4 4 4 2 4

3 4 5

1 2 3

)

) 2 )

) 2

0 (

1

) ( 3 )

( (

( (

n n n n n

a z a k

a z a a z a z k

a z a

Q F Fi F j F k i az j

Q F

a z a z

F i F j F k az i j

Q F F i F j F k az i j

Q F F i

a z a z

j k

k

F F

a

Com isso, apresentamos o seguinte teorema:

Teorema 8. Para os Quaternions Complexos de Fibonacci de ordem n, nas variáveis a e z,

temos a relação de recorrência indicada por:

2

1 1( , ) ( , ) ( , )n n nQ a z az Q a z a Q a z , para todo inteiro 0n .

Demonstração: tendo em vista, agrupar os termos convenientes, relativamente à base canônica

, , ,1 i j k . Podemos observar que ocorre 2

1 1 2 3( )n n n n n naz Q a Q az F F i F j F k

2 2 2 2

1 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( z ) ( z )n n n n n n n n n na F F i F j F k azF a F a F a F i a F a F j 2

3 2 1 2 3 4 1( z )n n n n n n na F a F k F F i F j F k Q , assim, verificamos a relação de

recorrência enunciada neste teorema. ∎

Além do mais, aplicaremos o teorema 3, a fim procedermos um processo de extensão para

índices inteiros dos termos da sequência `n n IN

Q

. Para isso, apresentaremos o corolário 1.

Vejamos:

Corolário 1. Um Quaternion Complexo de Fibonacci de ordem ‘n’ pode ser descrito, nas

variáveis a e ,z para índices negativos da seguinte forma:

1 2 4 6

1 2 3( , ) ( 1) ( , z) ² ( , z) ( , z) ( , z) .n n

n n n n nQ a z a F a a F a i a F a j a F a k

Demonstração: partindo do teorema 3, podemos escrever 1 2n n n nQ F F i F j




130

3 ( 1) ( 2) ( 3) 11 2 2 2

1 1

( 1) ( 1)n n n n n n nn n n n

F k F F i F j F k F F ia a

2 31 2 4 2 2 6

1 1

( 1) ( 1)n nn n n n

F j F ka a

. Portanto, colocando os termos comuns em

evidencia, teremos que:

4 6

1 2 31 2

1²

( 1)n n n n nn n

Q F a F i a F j a F ka

. ∎

Agora, recordando ao que foi discutido na seção 2.1, relativamente às propriedades da

equação característica 2 2 0t az t a e diante do teorema 8, compreendemos que a

sequências de números 1 2 3n n n n nQ F F i F j F k e

0n nF

possuem propriedades semelhantes.

Por conseguinte, a equação 2 2 0t az t a deve ter raízes com as mesmas propriedades

comentadas. Nesse sentido, enunciaremos o lema 5.

Lema 5. A equação característica 2 2 0t az t a com raízes ( , )a z e ( , )a z admite a

validade, para todo inteiro 0n , de:

2

1

2

1

( , z) ( , z) ( , ) ( , )

( , z) ( , z) ( , ) ( , ).

n

n n

n

n n

a a F a z a F a z

a a F a z a F a z

Demonstração: de imediato, temos que 2 2 2

2 11az a F a F . Desse modo, por

indução, assumiremos que 1 2

1 2 ,n

n nF a F

assim, segue que

1 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 21n n

n n n n n nF a F F a F az a F a F

2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 1( )n n n n n n n naz F a F a F az F a F a F F a F . Ora, determinamos

que 2

1

n

n nF a F . Mutatis mutandis, devemos determinar ainda 2

1

n

n nF a F , para

todo 0.n ∎

Finalmente, buscamos investigar uma representação da fórmula de Binnet para os

Quaternions Complexos de Fibonacci, assim como sua extensão para índices inteiros. Dessa

forma, vejamos o teorema 9 e o corolário 2.

Teorema 9. Os Quaternions Complexos de Fibonacci de ordem ‘n’, nas variáveis a e z,

admitem a seguinte fórmula variante de Binnet:

( , z) ( , z) ( , z) ( , z)( , )

( , z) ( , z)

n n

n

a a a aQ a z

a a

, para todo 0n ,

onde 2 31(a,z) (a,z)i (a,z) j (a,z) k e 2 31(a,z) (a,z)i (a,z) j (a,z) k .

Demonstração: vamos considerar 2

1

n

n nF a F e 2

1

n

n nF a F . Além disso,

por definição, sabemos que 1 2 3n n n n nQ F F i F j F k para 0n , a partir daí, segue que

2 2

1 1 2 3 1 1 2( )n n n n n n n n n nQ a Q F F i F j F k a F F i F j F k . Convenientemente,




131

agrupando os termos devemos obter 2

1 1 2 3n n n n n nQ a Q F F i F j F k

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 2 1 3 2( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n n n na F a F i a F j a F k F a F F a F i F a F j F a F k

1 2 3 2 3(1 )n n n n ni j k i j k . Assim, reparemos que 2 2 3

1 (1 )n

n nQ a Q i j k . Doravante, assumiremos que 2 31 i j k .

Ora, de modo análogo, obteremos 2 2 3

1 (1 i )n

n nQ a Q j k e, denotando

2 3(1 i )j k . Logo em seguida, consideraremos o seguinte sistema:

2

1

2

1

n

n n

n

n n

Q a Q

Q a Q

e ao efetuar o cancelamento do termo repetido acima 2

1na Q , determinaremos n nQ Q

n n . De fato, determinamos a fórmula variante de Binnet descrita por n n

nQ

, para todo 0.n ∎

Corolário 2. Para todo inteiro ‘n’, vale que:

( , z) ( , z) ( , z) ( , z)

( , )( , z) ( , z)

n nn

n

a a a aQ a z a

a a

.

Demonstração: pelo teorema anterior, podemos escrever

1 1n nn n

nQ

1 ( ) 1. ,

( )

n n n n

n na

assim, obteremos

n nn

nQ a

para qualquer inteiro n. ∎

Observamos que os resultados discutidos nesta seção envolvem novas noções deduzidas a

partir da nova definição dos Quaternions Complexos de Fibonacci de ordem n, nas variáveis a

e z. À vista disso, vejamos a seguinte tabela:

Tabela 1 - Quadro resumido das identidades discutidas.

Generalização da identidade de Cassini

1 1 ( 1)n

n n n nf f f f , para 0n .

Giovani Domenico Cassini (1625 – 1712) / Robert Simson (1687 – 1768) 2 2 2

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ,

n n

n n nF a z F a z F a z a para 1n . [24]

2 2 2

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ,

n n

n n nF a z F a z F a z a para ‘n’ inteiro qualquer.

1 1( ( ) ( ) ( ) ( )) ( 1)n

n n n nf z f z f z f z para 1m n .

Generalização da identidade de d´Ocagne

1 1 ( 1)m

m n m n n mf f f f f , para 1m n .




132

Philbert Maurice d'Ocagne (1862-1938) 2

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , )n n

n m n m m nF a z F a z F a z F a z a F a z , com 1m n . [24]

1 2

1 1 n( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , z),m m

n m n m mF a z F a z F a z F a z a F a

para inteiros quaisquer.

1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) . ( ),

n n m

n m n m m nf z f z f z f z a f z para 1m n .

Generalização da identidade de Catalan

2( 1)

n r

n n n r n r rf f f f f , 1m n .

Eugène Charles Catalan (1814 – 1894) 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) ( , )n r n r


, para 1m n . [24]

2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) ( , )m r m r


, para inteiros quaisquer.

2 2( ( ) ( ) ( ) ( )) ( 1) . ( ) ( ),

n r n m r

n m n r m r m n r rf z f z f z f z a f z f z para 1m n .

Generalização da Fórmula de Honsberger

1 1 1 n m n m n mf f f f f

Ross Honsberger (1929 – 2016) 2

1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n m n m n mF a z F a z F a z a F a z F a z , para , 0n m . [24]

2

1 1 1( , z) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n m n m n mF a F a z F a z a F a z F a z , para inteiros quaisquer.

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ), n m n m n mf z f z f z f z f z para , 0n m .

Quaternions Complexos de Fibonacci de ordem ‘n’ 2

1 2( , ) z ( , ) ( , ),n n nF a z a F a z a F a z para 2n .

2

1 1( , ) ( , ) ( , ),n n nQ a z az Q a z a Q a z para 0n .

1 2 4 6

1 2 3( , ) ( 1) ( , z) ² ( , z) ( , z) ( , z) ,n n

n n n n nQ a z a F a a F a i a F a j a F a k

∀ n ∈ ℤ.

( , z) ( , z) ( , z) ( , z)( , )

( , z) ( , z)

n n

n

a a a aQ a z

a a

, ∀ 0n .

( , z) ( , z) ( , z) ( , z)

( , )( , z) ( , z)

n nn

n

a a a aQ a z a

a a

, ∀ n ∈ ℤ.

Fonte: elaborada pelos autores.

A tabela 1 apresenta algumas identidades que foram discutidas neste artigo, com isso pode-

se compreender, numa perspectiva epistemológica, aspectos históricos e evolutivos do modelo

de Fibonacci, no que diz respeito a sua extensão para índices inteiros e complexificação com a

inserção das unidades imaginárias e variáveis complexas.

7 Conclusão

No presente trabalho discutimos propriedades e identidades generalizadas intimamente

relacionadas com o modelo de Fibonacci, segundo uma representação particular na variável

complexa [1, 2]. Nossa discussão foi desenvolvida a partir do trabalho [16] que abordam outro

interesse, na medida em que, desenvolvem várias propriedades dos polinômios de HOMFLY,

que se caracterizam como uma classe de funções polinomiais na variável complexa que é um

estudo relevante dentro da Teoria dos Nós.




133

Segundo a discussão desenvolvida em [16], os polinômios de HOMFLY constituem uma

generalização concebida por Alexander Horton Conway (1937 - ?) e o matemático norte

americano James Waddell Alexander (1888 – 1971).

Certamente que outras implicações podem ser derivadas, todavia, restringimo-nos numa

apreciação de propriedades que se mostram indissociavelmente vinculadas ao modelo da

sequência de Fibonacci. Nesse sentido, discutimos a extensão das identidades de Cassini,

d´Ocagne, Catalan a partir de índices inteiros quaisquer, posto que não registramos sua

discussão no trabalho indicado em [16]. Além disso, exploramos a fórmula (generalizada) de

Honsberger. Dessa forma, vislumbramos para essas identidades a possibilidade do processo de

extensão contínuo para outros conjuntos numéricos.

Além do mais, abordamos também algumas propriedades originadas da noção de

Quaternions Complexos de Fibonacci de ordem ‘n’, nas variáveis a e z, como também os

elementos definidos pela seguinte recorrência

1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n nQ a z F a z F a z i F a z j F a z k , para um índice inteiro qualquer.

Vale acentuar seu caráter de ineditismo que proporcionamos para o debate científico (tabela 1).

Ademais, o processo de extensão das identidades mencionadas [4, 5], no campo de índices

inteiros quaisquer, não é discutido nos trabalhos consultados, assim como sua representação

correspondente na variável complexa intimamente vinculada ao modelo de Fibonacci.

Finalmente, na tabela 1, trazemos um quadro resumido dos resultados principais e das

identidades obtidas ao decurso do texto. Reparemos, todavia, que assinalamos o processo de

generalização, quanto à complexificação, das identidades de Cassini, de d´Ocagne e da

identidade generalizada de Catalan (teoremas 4, 6 e 7).

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Artigo recebido em jan. 2017 e aceito em nov. 2017.

sobre o modelo de fibonacci na variável complexa ... · alves, f. r. v.; oliveira, r. r. de. sobre...

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