MEC2345Mecnica dos Fluidos IIMecnica dos Fluidos II

20132013 2220132013--2 2 Departamento de Engenharia Mecnica

Angela Ourivio Nieckelesala 163- L ramal 1182 e-mail: nieckele@puc-rio.br

2

O que um Fluido? um material em m estado tal q e se deforma contin amente q andoum estado tal que se deforma continuamente quando

sujeito a ao de cargas anisotrpicas (tenses cisalhantes), por menor que seja a carga.

Slidos oferecem resistncia a deformao. Apresentam deformao finita quando submetidos a esforos cisalhantes

Slido: equilbrio esttico Lquido: equilbrio dinmico = deformao = taxa de deformao

T i lh t F/ A G Fluidos Newtonianos:

q q q

3

Tenso cisalhante: = F/ A = G G = mdulo de elasticidade

Lei de Newton: = = d u / dy = viscosidade (propriedade do fluido)

Aplicaes Previses metereolgicas:

Furaco Tornado

Estruturas e prdios Gerao de eletricidade Estruturas e prdios Gerao de eletricidade(barragens)

4

CAplicaesCarros

Avies Barcos

5

Esportes:

bioengenharia :

6

Resfriamento de tcomponentes

eletrnicos:

Poluio (atmosfrica/hdrica)

7

Quais so os Fenmenos de TTransporte?

Dinmica dos fluidos: transporte de quantidade de Dinmica dos fluidos: transporte de quantidade de movimento

Transferncia de calor: transporte de energiaTransferncia de massa: transporte de massa de

espcies qumicas

Observao:1. Freqentemente ocorrem simultaneamente2 As equaes bsicas so muito semelhantes e as2. As equaes bsicas so muito semelhantes e as

ferramentas matemticas para resolver problemas so similares, porque os mecanismos moleculares so diretamente relacionados.

8

Equaes de Conservao da Mecnica

Conservao de massa

Conservao de quantidade movimento linearConservao de quantidade movimento linear

(2. Lei de Newton)

Conservao de quantidade de movimento angular

Conservao de energia (1. Lei da termodinmica)

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Mecnica dos Fluidos utiliza experincias j ntamente com tcnicas analticas e comp tacionais najuntamente com tcnicas analticas e computacionais na resoluo dos problemas. Resolver um problema normalmente implica na determinao de campos de velocidade. Da obtm-se campos de presso, foras, etc.

Experimentos so normalmente caros e demorados. PorExperimentos so normalmente caros e demorados. Por esta razo devem ser minimizados usando-se, sempre que possvel, solues analticas ou computacionais.

Solues analticas nem sempre so possveis. Da a necessidade de simplificaes. necessrio ter um bom senso educado para cortar termos fazer hiptese etcsenso educado para cortar termos, fazer hiptese, etc.

10

Propriedades dos Fluidos Matria formada por molculas em movimento, colidindo. As

propriedades de matrias esto relacionadas com o comportamento molecular

Presso (P): resultante da coliso das molculas com as paredes do recipiente

PaN

reaForaP

2

Densidade (): relaciona-se com a ocupao da matria

mrea 2

3mkgm

Volume especfico (): relaciona-se com a ocupao da matria

kgm1

m

3

ocupao da matria

Densidade relativa (d): razo entre a densidade d b i d id d d

d

11

da substncia e a densidade da gua (adimensional)

O2H

Fluidos Lquidos: fora coesiva entre molculas forte Lquidos: fora coesiva entre molculas forte.

Possui superfcie livre

Gases: fora coesiva entre molculas fraca.Ocupa todo recipiente.

Temperatura (T): uma medida da energia cintica das molculas Medida relativa T (oC oF) ou absoluta T (K R)molculas. Medida relativa T (oC, oF) ou absoluta T (K, R) Igualdade de temperatura equilbrio trmico

Viscosidade absoluta(): razo entre a tenso cisalhante() e a taxa de deformao ( )

12 Viscosidade cinemtica ()

Para entender o comportamento da matria seria necessrio considerar cada molcula, conhecendo a hi t i d d l id d l d dhistria de cada uma, velocidade, acelerao e modos de iterao. Isto invivel sem um tratamento estatstico, devido ao elevado nmero de molculas.

Na maioria das aplicaes da engenharia, desejamos estudar uma quantidade de volume de fluido contendo um grande nmero de molculas hiptese do contnuo: admite-se que osnmero de molculas hiptese do contnuo: admite se que os fluidos so meios contnuos, esquecendo-se da sua estrutura molecular.

Para demonstrar o conceito do contnuo, considere a propriedade densidade:

m/

Molecular Continuo ex: densidade: (x,y,z,t) = lim m/

dd*

13d

d*

A hiptese do contnuo falha quando as dimenses envolvidas forem da ordem do caminho mdio livre entre colises moleculares: Distncia mdia entre colises de molculas do ar nas CNTP:

1 6 x 10-5 cm 1, 6 x 10 cm ex. arraste em satlites. A Teoria cintica dos gases trata desta rea.

Conceito do contnuo est associado com o conceito de fcampo, i.e., todas as grandezas so definidas no espao e

no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc. O vetor posio r pode ser escrito em diferentes sistemas de p p

coordenadas: Cartesiano: Cilndrico:

zyx ezeyexr r

zr ezerr )(r Cilndrico:

Esfrico: zr )(

),(r rerr No importa qual a partcula que est no ponto

em um determinado instante de tempo mas sim

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em um determinado instante de tempo, mas sim em que condies a partcula que passar pelo ponto naquele instante possui.

Sistema versus Volume de Controle Sistema

massa constante Volume de controle

regio fixa do espao

Fronteira do sistema

Fronteira do volume de controle

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Tcnicas Bsicas de Anlise Formulao Integral: equaes de conservao so

aplicadas a um volume de controle finito menor esforo; resultados globais menor esforo; resultados globais. tima ferramenta quando se deseja valores mdios e globais. No fornece detalhes do escoamento.

l f d t i d b bj t exemplo: fora de arraste agindo sobre um objeto

Formulao Diferencial: equaes de conservao so Formulao Diferencial: equaes de conservao so aplicadas a um volume de controle infinitesimal

maior esforo; resultados pontuais.solues detalhadas porm complicadas solues detalhadas, porm complicadas

exemplo: distribuio de presso ao longo da superfcie de um objeto

16

Mtodo Lagrangeano versus EulerianoMt d L i A d Mtodo Lagrangiano: As equaes de conservao so aplicadas a um sistema arbitrrio, o qual pode ser infinitesimal ou finito. A varivel fsica descrita para um determinada partcula A varivel independente um rtulo da partcula, como por

exemplo a coordenada da partcula em um determinadoexemplo, a coordenada da partcula em um determinado instante de tempo: a posio da partcula P em t = 0

Esta funo descreve como a funo da partcula P varia com o tempo

Pr

),( trP

partcula P varia com o tempo Ex: policial seguindo carro

17

Mtodo Lagrangeano versus Euleriano

Mtodo Euleriano: As equaes de conservao so Mtodo Euleriano: As equaes de conservao so aplicadas a um volume de controle arbitrrio, o qual pode ser infinitesimal ou finito A varivel fsica descrita em relao a um ponto do espao Para cada instante t, a partcula em uma partcula

diferenter

a posio da partcula P em t Esta funo descreve a funo na posio

da partcula P em funo do tempo

r

),( tr da partcula P em funo do tempo

Ex: controlador de trfego

Vamos utilizar a formulaoVamos utilizar a formulao Euleriana, juntamente com o conceito de campo, i.e., todas as propriedades so definidas

18

em funo de sua localizao no espao e no tempo

),,,( tzyx Descrio Euleriana Derivada total de uma grandeza (presso, temperatura,

velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento (= como varia com o tempo para uma determinada partcula(= como varia com o tempo para uma determinada partcula

tdzd

ztddy

ytddx

xtddt

ttdd

wvu

particula tdztdytdxtdttd

D

ocomvariaodetaxaocomvariaodetaxa

wz

vy

uxttD

D

)(.)(

convectivavariaopartculadamovaodevidotempoocomvariaodetaxa

fixaposiotempoocomvariaodetaxa

19

Vetor Velocidade:

iii

iizyx eueueueueueweveuV 332211

Produto escalar entre vetores:

iiijjijijijjii BABAeeBAeBeABA

Operador gradiente:

iiijjijijijjii BABAeeBAeBeABA

ii x

ex

ex

ex

e

3

32

21

1grad

Operador Divergente:ijj AAA

20ii

iji

jji

i

jjj

ii xx

eex

Aex

eAA div

DD Derivada Material

Deseja-se medir variao da presso com o tempo, em trs situaes diferentes:

ii x

uttD

DouVttD

D

j p p ,

1 - Estao Metereolgica p=p(t) dpdtpt

2 - Avio com velocidade V u i v j w ka a a a

Va

dpdt

pt

dtdt

px

dxdt

py

dydt

pz

dzdt

pt

px u

py v

pz wa a a

3 - Balo sem propulso, se deslocando com a velocidade do ar, do fluido, com velocidade

V u i v j w k

21

dpdt

pt

dtdt

px

dxdt

py

dydt

pz

dzdt

pt

px u

py v

pz w

pt V p

D pD t

Fluidos em Movimento O escoamento dos fluidos determinado a partir do

conhecimento da velocidade em cada ponto do escoamento isto a partir do campo das diversas

Tipos de Campos:

escoamento, isto , a partir do campo das diversas grandezas relevantes.

Tipos de Campos: Campo escalar:

massa especfica: (r ,t); temperatura: T(r ,t); presso p(r ,t)

Campo vetorial: velocidade: V(r ,t); acelerao: a(r ,t); fora F(r ,t) velocidade: V(r ,t); acelerao: a(r ,t); fora F(r ,t)

Campo Tensorial: t ( t) di t d l id d V( t)

22

tenso: (r ,t); gradiente de velocidade: V(r ,t); taxa de deformao D(r ,t)

Tipos de Escoamento Regime permanente:

V = V(r ); isto ( ) / t = 0

Regime transiente: V=V(r ,t) Caso geral: ( ) / t 0

Escoamento uniforme: a velocidade a mesma em qualquer ponto do escoamento

Escoamento no uniforme: a velocidade varia de ponto para ponto do escoamento

23

varia de ponto para ponto do escoamento

Dimenso Uni-dimensional: v depende somente de uma Uni-dimensional: v depende somente de uma

coordenada espacial

Bi-dimensional: v depende somente de duas coordenadas espaciais

Tri-dimensional: v depende das trs coordenadas espaciais, caso geral.

Fluido perfeito, sem viscosidade: Fluido perfeito, sem viscosidade: 0 ( )0

Fluido viscoso : 0

Caracterizao dos Fluidos quanto ao seu comportamento sob esforos normais compressivos: Compressveis: quando h variao aprecivel de volumes Compressveis: quando h variao aprecivel de volumes

devido compresso. Gases em geral se comportam assim. constante (M>0,3), onde M= V/c o nmero de Mach; c = velocidade do somMach; c = velocidade do som

Incompressveis: quando a variao do volume pequena para grandes compresses. A maioria dos lquidos se

t d t f t t25

comporta desta forma. constante

Regime de Escoamento:

Escoamento laminar: movimento regular

Escoamento Turbulento: aparecem turbilhes no escoamento, causando um movimento de mistura. O turbilhamento provoca um regime no permanente Porm o tempo caracterstico depermanente. Porm o tempo caracterstico de flutuao turbulenta < < escala de tempo que define o regime permanente ou transiente

Se o escoamento laminar, eventuais perturbaes sero amortecidas e desaparecero a o tec das e desapa ece o(Fig. a). Durante a transio, picos espordicos de turbulncia surgiro (Fig. b). Durante o regime turbulento o escoamento

26

regime turbulento, o escoamento flutuar continuamente (Fig. c).

Experincia de ReynoldsLaminar:filamento de corante no se misturase mistura

Turbulento: o corante mistura rapidamenterapidamente

O escoamento turbulento ocorre a altas velocidades Aocorre a altas velocidades. A transio caracterizada pelo no. de Reynolds

DVRe

Reynolds altos esc turbulento27

Reynolds altos esc. turbulento Reynolds baixo esc. laminar

Vetor tenso O vetor tenso tn a fora de contato por

unidade de rea que um material dentro de (t) faz no material fora de (t).

A dependncia de t em n pode ser obtida atravs de um

de (t) faz no material fora de (t). Hiptese de Cauchy: tn = tn (n)

A dependncia de tn em n pode ser obtida atravs de um balano de foras em um tetraedro com a altura h 0.

00 )e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxn dAdAdAdAF

Da 3. Lei de Newton

zzyyxxn

ntez

ento

ntzzyyxx tt;tt;tt ey

28

ento netetetn)e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxzzyyxxn ex

Tensor tenso o tensor tenso: yyxx etetet o tensor tenso: Note que:

zzyyxx etetet

]t[ee]t[ee]t[eet

]t[ee]t[ee]t[eet xzzxyyxxxx

ez tz

Ento substituindo as tenses nos planos perpendiculares]t[ee]t[ee]t[eet

]t[ee]t[ee]t[eet

zzzzyyzxxz

yzzyyyyxxyey

ex

Ento substituindo as tenses nos planos perpendiculares as direes x, y e z, tem-se

]t[eee]t[eee]t[eee xzzxxyyxxxxx e

]t[eee]t[eee]t[eee

]t[eee]t[eee]t[eee

zzzzzyyzzxxz

yzzyyyyyyxxy

yy

tzt-x

ty

ez

yy

yzyyyxxzxyxxtetetetetete

t-ztx

t-y ey

ex A matriz

29

zzzyzx

yzyyyxtetete

x

Tensor tenso Definindo etc;te;te;te xzxzxyxyxxxx Definindo o tensor tenso :

xzxyxx

etc;te;te;te xzxzxyxyxxxx

Substituindo as tenses nos planos perpendiculares as

zzzyzx

yzyyyx

Substituindo as tenses nos planos perpendiculares as direes x, y e z, tem-se

yyy

1 subscrito indica a superfciedo cubo na qual a tenso atua

yxyzxydo cubo na qual a tenso atua,

enquanto que o 2 ndice indica a direo da tenso

xx

xxz

zx

zy

30

z

zz zx

Fluido em repouso:Compresso isotrpica:

I PPP

PP

100010001

000000

I t i id tid d

P 10000y

I a matriz identidade, que tambm pode ser representada pelo Pzz

Pyy

operador delta de kronecker Pxx Pxx

x

zji

jiseij

0

1

31

Pyy Pzz jise 0

Fluido em movimento:S t di i l P d t tSurge uma tenso adicional: P onde o tensor extra-tenso (tenso de tenses viscosas)

xzxyxx

zzzyzx

zyyyyx

y

yyyy P y

zzzyzx

yxyx yzyz

xyxy xxxx P

xP

xzxz

yy

zxzx

zyzy

32

z

zzzz P zxzx

Gradiente de Velocidade: vE d d t iEm coordenadas cartesianas: dr = ex dx + ey dy + ez dz e v = ex u + ey v + ez w

d d

xw

xv

xu

x

d v = d r v

wvuyw

yv

yuwvu

yVV

grad

zzzz

vvvzu

yu

xu

V T)(grad

;

010

001I ij

33

zw

yw

xw

zyx 100j

Taxa de Deformao: D

21

21

TT VVVVV )()(

evorticidaddeformao

detaxa

1Taxa de deformao

TVV )(D 21

11

vwvvuzu

xw

yu

xv

xu

1121

21

D

Diagonal: taxa de deformao linear do elemento de fluido

wwvwu

zyyxy11

22D elemento de fluido

Fora da diagonal: taxa d d f l

34

zyzxz 22 de deformao angular

do elemento de fluido

Taxa de deformao angular:tdtd

=du t=(u/y)yt

yx

yx

Duv

ytdu

xtdv

2

li

tantan

=dv t

u (y)

yxy

tyx Dyxt

20

lim =(v/x)xtv (x)

Taxa de deformao linear:xx x

tdu u (y)=dv t =(v/y)yt

( )

xxxx

txx Dx

ut

x

0lim =du t=(u/x)xt

v (y)

u (x)Taxa de deformao volumtrica:

35

Vzw

yv

xu

zzyyxx

Vorticidade: W 11 TT

evorticidaddeformao

detaxa21

21

TT VVVVV )()(

Vorticidade

deformao

TVV )(W 21

02

1210

zu

xw

yu

xv

0

00

210

21

xy

xz

yz

zv

yw

xv

yu

y

W

0021

21 xy

yw

zv

xw

zu

36

x, y e z so taxas de rotao mdias (velocidades angulares) = ex x+ ey y+ ez z vetor vorticidade

Taxa de rotao:tdtd 11

yx

yx

Wvu

ytdu

xtdv

1

21

21

li

tantan

zyxy

tyx Wxyt

20lim

=du t=(u/y)ytu (y)

=-dv tv (x)

dv t=-(v/x)xt

37

VVa tV

tDVD

Acelerao:acelerao aceleraolocal temporal convectiva

ueuVVD kkk

kki

kkik

ukk

kkj

ijiktu

kkj

jiiteu

tV

tDVD

euu

ueueea

eux

ueeux

eeuVVa

k

kkk

)()(

iki

ikiktkk x

uux

eueea

kajaiaakwjviuV zyx ,Em coordenadas cartesianas:

zu

yu

xu

tu

tu

tDuD

x wvuuVa

y ej

ej ei

zv

yv

xv

tv

tv

tDvD

y wvuvVa

y j iei

x

38zw

yw

xw

tw

tw

tDwD

z wvuwVa

VVa tV

tDVD

Acelerao:

ik

kiik

kiktu

kk xe

uuxu

eueea k

Em coordenadas cilndricas:

iiy er

e e er

zzrr

zzrreaeaeaaeueueuV

,

2

r

x

r

uuuuuVa z

uzr

ur

urt

urt

utD

uDr

rrrrrr2

ruu

uuuuVa rzu

zru

ru

rtu

tu

tDuD

uuuuuuD

39

zu

zru

ru

rtu

ztu

tDuD

zzzzzzz uuuuVa

Exerccio. Um corpo com rotao de corpo rgido, possui vetorvelocidade angular w = ez. Determine o tensor taxa dedeformao angular e linear.

O vetor velocidade v = r e ux = v ex ; uy = v ey ; uz = v ez =0sabe-se queex = er cos - e sin logo ux = - r sen = - yey = er sen + e cos logo uy = + r cos = xy r g y

0021

yzxzxy xv

yu ;

2 xy

00

zzyyxxz

wyv

xu ;v

y

O resultado indica tensor extra-tenso nulo para um fluido com rotao de corpo rgido

40

p g

Exerccio: Considere o escoamento unidimensional, permanente, incompressvel, atravs do duto plano e convergente mostrado. O p , p gcampo de velocidade dado porDetermine o componente x da acelerao de uma partcula movendo-se no campo de escoamento.

iLxVV

)]/([ 11

p

y

V VVa t

VtDVD

zzyyxx eaeaeaa

X2=L

xV

regime permanente: 0tV

0 zyxx aaeaa ;1-D:X1=0

0zyxx aaeaa ;1-D:

xu

xzu

yu

xu

tDuD

x uawvuuVa

LV

LxVax 11 1

41

Lei de Newton de viscosidadeO t t i l t d d f dO tensor extra proporcional a taxa de deformao do

elemento de fluido (deformao linear, angular e taxa de compresso ou expanso):p p )

ID V

322

onde Viscosidade:

TVV )(D

21

: primeiro coeficiente de viscosidade molecular, viscosidade absoluta ou viscosidade dinmica

2/3 : segundo coeficiente de viscosidade 2/3 : segundo coeficiente de viscosidade : para escoamento de fluido incompressvel

: viscosidade global

42

em geral para escoamentos compressveis, com exceo de escoamento com ondas de choque e exploses

Viscosidade Absoluta relacionada com a transferncia de quantidade de relacionada com a transferncia de quantidade de movimento a nvel molecular

U id d P k /( ) P( i ) /( )Unidades: Pa s = kg/(ms); P(poise)= g/(cm s)

gases: variao da viscosidade com a temperatura gpequena

Para gases com baixa densidade, pode-se mostrar que

onde V a velocidade caracterstica das molculas, e o caminho mdio livre entre colises A viscosidade

V

o caminho mdio livre entre colises. A viscosidade cresce com a temperatura

Lquidos: em geral viscosidade decresce com o aumento

T

43

Lquidos: em geral viscosidade decresce com o aumento da temperatura )/(exp TBA

Validade da Lei de Newton para viscosidade

Materiais que obedecem a Lei de Newton da viscosidade so chamados de fluidos Newtonianos

G li i l d i hGases, gua, glicerina, querosene, leo de cozinha, etc.

Lquidos com micro estruturas complexas no obedecem a Lquidos com micro-estruturas complexas no obedecem a Lei de Newton da viscosidade e so chamados de fluidos no-Newtonianos

Solues polimtricas, cristais lquidos, emulses, suspenses, etc.

44

Viscosidade de suspenses e emulses suspenso: um sistema com duas fases, onde a fase contnua lquida e a fase dispersa slida

emulso: um sistema com duas fases, onde ambas as fases contnua e dispersa so lquidas

Espuma: um sistema com duas fases, onde a fase contnua lquida e a fase dispersa gasosa

Em alguns processos possvel considerar que emulses e suspenses so fluidos Newtonianos, com uma viscosidade efetiva ef, a qual depende da frao de volume da fase, definida como

dispersafasedavolume

45

totalvolumedispersafasedavolume

Fluidos No-Newtonianos: Modelos Newtonianos GeneralizadosNewtonianos Generalizados

D)( 2 D 2Newtoniano: Newtoniano Generalizado: 1 1Taxa de

Fluido Power-Law:

Tv)(vD 21 D:D

21Taxa de deformao: magnitude de D:

1 nm )( Fluido Power Law: Fluido de Bingham e Herschel-Bulkley : s existe escoamento se a tenso for superior a tenso limite ( =yield stress)

m )(

)()()( Tse oo

escoamento se a tenso for superior a tenso limite (o yield stress). Para o fluido de Bingham, n=1

1 nm )(

Fluido de Carreau:

)( Tse o 02121 /)(])([

no

46

o o: viscosidade para taxa de cisalhamento nula: viscosidade para taxa de cisalhamento infinita

: parmetro com unidade de tempo

Exerccio. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,estacionrias, separadas pela distncia 2 h. O escoamento ocorre devido adif d A d d did ti d li h d t ddiferena de presso. A coordenada y medida a partir da linha de centro doespao entre elas. O campo de velocidade dado por u = umax [ 1- (y/h)2].Avalie as taxas de deformao linear e angular. Determine a tensocisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expresso para ap y y p pvorticidade, . Determine o local onde a vorticidade mxima.

v = u ex u= umax [ 1- (y/h)2] ; v = w = 0

021

2

yzxzxyh

yuxv

yu ;maxdeformao angular:

00 wvu 00 zzyyxxzyx ;vdeformao linear:

2h

yuxyxy max tenso cisalhante 2h

yh

uhyxy

max)( ny

47

y x

hu

hyxymax)(

y x

n

Exerccio. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,estacionrias, separadas pela distncia 2 h. O escoamento ocorre devido adif d A d d did ti d li h d t ddiferena de presso. A coordenada y medida a partir da linha de centro doespao entre elas. O campo de velocidade dado por u = umax [ 1- (y/h)2].Avalie as taxas de deformao linear e angular. Determine a tensocisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expresso para ap y y p pvorticidade, . Determine o local onde a vorticidade mxima.

= ex x+ ey y+ ez zvorticidade

021

2

yxzh

yuyu

xv ;max

x x y y z z

2 2 hyx

mxima nas paredes: em y=h e y=-h p y y

48