INTRODUO

PROBABILIDADE

Prof. Cirilo

A teoria das probabilidade nada mais do que o bom senso transformado em clculo

A probabilidade o suporte para os estudos de estatstica e experimentao.

Exemplos:

O problema da coincidncia de datas de aniversrio

O problema da mega sena

O pneu furado

A probabilidade uma medida da incerteza dos fenmenos. Traduz-se por um nmero real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um).

Observaes:

a probabilidade de um evento qualquer um nmero real no negativo

a probabilidade de evento certeza igual a 1

1. Conceitos

Processo aleatrio: qualquer processo que gere resultado casual ou incerto

Espao Amostral : Conjunto de todos os possveis resultados de um processo aleatrio.

Exemplos

1) Em um experimento cujo objetivo verificar a face

superior de um dados, temos: = S= {1,2,3,4,5,6} este espao amostral classificado como finito e discreto, pois

tem um nmero finito de possibilidades e ocorre apenas

valores discretos.

2) Em um experimento cuja finalidade verificar a

fidelidade de clientes (anos) de uma empresa , temos: = S

= { x > 0} neste caso o espao amostral contnuo e infinito.

Evento: qualquer subconjunto do espao amostral.

Eventos Teoria de conjuntos

1 2

3 4

5 6

S

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2, 3} (nmeros menores que 4)

B = {1, 3, 5} (nmeros mpares)

C = (nmeros mltiplos de 7)

D = S (nmeros maiores que 0)

Uma primeira ideia do clculo de probabilidade

1 2

3 4

5 6

S

#P

#

eventos favorveis

eventos possveis

0 P(evento qualquer) 1

Definio Clssica de probabilidade

Dado um conjunto de eventos equiprovveis, a probabilidade de ocorrncia de um evento E :

=

.

Ex. Numa sala existem 40 homens e 60 mulheres. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, a probabilidade de ser mulher de

=60

100= 0.6

Definio Axiomtica

Funo . que associa um valor real em [0,1] a cada evento de satisfazendo aos seguintes

axiomas:

A1: 0;

A2: = 1;

A3: = + ()

se A e B forem mutuamente exclusivos.

Operaes com eventos e probabilidades

Diagrama de Venn

S

B

A

A B

A B

A

A B

A B A B

A B A B

P(A B) = ?

A B

Exemplo:

( )P Quadrado Vermelho 8

9

Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho?

( ) ( ) ( )P Quadrado Vermelho P Quadrado P Vermelho

5 5 10

9 9 91?

P(A B) = ?

A B

Exemplo:

( )P Quadrado Vermelho 8

9

Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho?

( ) ( ) ( )P Quadrado Vermelho P Quadrado P Vermelho ( )P Quadrado Vermelho

5 5 2 8

9 9 9 9

TEOREMA DA SOMA DE PROBABILIDADES

A B

( ) ( ) ( )P A B P A P B ( )P A B

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

( ) 0 ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P B

(eventos mutuamente exclusivos)

P (A B) = ?

A B

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos?

1 2( )P Vermelho Vermelho ?

?

11 10

.

.

.

?

P (A B) = ?

A B

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos?

1 2( )P Vermelho Vermelho

6 5

.

.

.

?

?

110

A B

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos?

1 2( )P Vermelho Vermelho 30

110

6.5

11.10

6 5

1110

(?)P1( )P Vermelho

A B

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos?

1 2( )P Vermelho Vermelho 30

110

6.5

11.10

6 5

1110

(?)P2 1( )P Vermelho sabendo que Vermelho

2 1( / )P Vermelho Vermelho

A B

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos?

1 2( )P Vermelho Vermelho 30

110

1 2 1 2 1( ) ( ). ( / )

6 5 30.

11 10 110

P Vermelho Vermelho P Vermelho P Vermelho Vermelho

PROBABILIDADE CONDICIONADA

Em muitas situaes, o fato de ficarmos sabendo que um determinado evento ocorreu faz com que se modifique a

probabilidade que atribumos a um outro evento. Este tipo de

probabilidade chamada de probabilidade condicionada.

Dado dois eventos A e B do espao amostral S, denotamos por P(A/B) a probabilidade do evento A ocorrer dado que (sabendo

que) o evento B ocorreu (Obs: na prtica se diz A dado B).

A probabilidade do evento A ocorrer, dado que B ocorreu, :

)(

)()(

BP

BAPBAP

)(

)()(

AP

BAPABP

A partir das expresses das probabilidades condicionais

podemos definir a regra do produto de probabilidades.

A probabilidade do evento B ocorrer, dado que A ocorreu, :

( ) ( ). ( / )

( ). ( / )

P A B P A P B A

P B P A B

A B

A probabilidade da ocorrncia simultnea de dois

eventos, A e B, do mesmo espao amostral, igual ao

produto da probabilidade de um deles pela probabilidade

condicional do outro, dado o primeiro.

TEOREMA DO PRODUTO DE PROBABILIDADES

INDEPENDNCIA DE EVENTOS

Um evento A considerado independente de um outro

evento B se a probabilidade de A igual probabilidade

condicional de A dado B, ou seja:

A e B so eventos independentes se e somente se:

)()/()()/( BPABPeAPBAP

Da regra do produto de probabilidades podemos dizer que

dois eventos A e B so independentes se:

)().()( BPAPBAP

Generalizando, K eventos so independentes entre si, se forem

independentes 2 a 2, ou ainda:

).....().().(...)( CPBPAPCBAP

A B

Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos?

1 2( )P Vermelho Vermelho ?

?

1 2( ) .P Vermelho Vermelho 1 26 6

( ) .11 11

P Vermelho Vermelho

1 2( ). ( )P Vermelho P Vermelho

(eventos independentes)

Voltando ao exemplo da interseo, temos:

EVENTO COMPLEMENTAR

A = Ac = o evento que ocorre se A no ocorre.

S

A

AC

Sendo A um evento do espao amostral , temos:

A

AQual a probabilidade de escolher pelo menos 1 objeto vermelho?

( 1 )P pelo menos Vermelho (1 ) (2 ) (3 )

(4 ) (5 )

P Vermelho P Vermelhos P Vermelhos

P Vermelhos P Vermelhos

1 (5 )P Azuis

5 4 3 2 11 . . . .

11 10 9 8 7

0,9978

P (Ac) = ?

( ) 1 ( )P A P A

A

Portanto:

( ) ( ) ( )P A B P A P B

A B( )P A B

eventos mutuamente exclusivos

( ) ( ) ( )P A B P A P B

( ) ( ). ( / ) ( ). ( / )P A B P A P B A P B P A B

eventos independentes

A B

( ) ( ). ( )P A B P A P B

( ) 1 ( )P A P A A

Em resumo temos:

Exemplos de aplicao

1) Na venda de um determinado produto sabe-se que

a probabilidade de que um homem adquira o produto 2/5; a probabilidade de que a mulher adquira 2/3. Determinar a probabilidade de que na abordagem de dois clientes (um homem e outro mulher), a) ambos adquiram o produto; b) somente o homem adquira; c) somente a mulher adquira; d) nenhum adquira; e e) pelo menos um adquira.

2) Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) =

P; e P(A B) = 0,6. Calcular P considerando A e B: a) mutuamente exclusivos; b) independentes.

conjuntos disjuntos eventos mutuamente exclusivos

PROBABILIDADE TOTAL

A1 A2

A3

A4 A5

1 2 3 4 5A A A A A S

1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A P A P A P A P A

11

( ) 1i iii

A S P A

,i jA A i j i j

Sejam 1, 2, , 5 eventos que formam uma partio do espao amostral.

1 2 5( ) ( ) ( )B A B A B A B

5

1

( ) ( )ii

P B P A B

A1 A2

A3

A4 A5

B 5

1

( ). ( / )i ii

P A P B A

E seja um evento desse espao. Ento

como ,i jA A i j i j

= . ( / )

PROBABILIDADE TOTAL

Sejam 1, 2, , eventos que formam uma partio do espao amostral. E seja um evento desse espao. Ento

= . ( / )

=1

Exemplo 4: Uma urna contm 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contm 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e delas retira-se, tambm ao acaso uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?

TEOREMA DE BAYES

( ) ( ). ( / ) ( ). ( / )i i i iP A B P A P B A P B P A B

( ). ( / )( / )

( )

i ii

P A P B AP A B

P B

A1 A2

A3

A4 A5

B

Sejam 1, 2, , eventos que formam uma partio do espao amostral. E seja um evento desse espao. Sejam conhecidas () e (/), = 1,2, , . Ento

= . ( / )

. (/) =1

Exemplo 5: A urna contm 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna contm 2 vermelha e 8 azuis. Joga-se uma moeda honesta. Se a moeda der cara, extrair-se uma ficha da urna ; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna . Uma ficha vermelha extrada. Qual a probabilidade de ter sado cara no lanamento?

Exerccio 1: Num perodo de um ms, 100 pacientes sofrendo de determinada doena foram internados em um hospital . Informaes sobre o mtodo de tratamento aplicado em cada paciente e o resultado final obtido esto na tabela abaixo.

A B Soma

Cura total 24 16 40

Cura Parcial 24 16 40

Morte 12 8 20

Soma 60 40 100

a) Sorteando aleatoriamente um desses pacientes, determinar a probabilidade do paciente escolhido:

) ter sido submetido ao tratamento A;

) ter sido totalmente curado;

) ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado;

) ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado;

b) Os eventos morte e tratamento A so independentes? Justifique.

c) Sorteando dois pacientes, qual a probabilidade de que:

) tenham recebido tratamentos diferentes?

) pelo menos um deles tenha sido curado totalmente?

Exerccio 2: Um aluno responde a um teste de mltipla escolha com 4 alternativas com uma s correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa de uma questo de 30%. Se ele no sabe a resposta existe a possibilidade de acertar no chute. No existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por cola. Se ele acertou a questo, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta?