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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues

1

INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A integração indefinida ou anti-derivação é a operação inversa da derivação, da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação inversa da multiplicação. EXEMPLOS

1. Se 4

)(4x

xf = , então sua derivada é: 4

4)(

3xxf =′ ou 3)( xxf =′ . Nesse caso, uma

das anti-derivadas de 3x é 4

4x.

2. Se 3)( xxf = , então sua derivada é: 23)( xxf =′ . Nesse caso, uma das anti-

derivadas ou integrais indefinidas de 23x é 3x . 3. Se 7)( 3 += xxf , então sua derivada 23)( xxf =′ . Nesse caso, uma das anti-

derivadas ou integrais indefinidas de 23x é 73 +x .

Note que nos exemplos, falamos “uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas”. Podemos entender melhor, quando observamos os exemplos 2 e 3, já que tanto 3x quan-to 73 +x são integrais indefinidas para a mesma função 23x .

Assim, vemos que a diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, veja: 1. no exemplo 2, a constante era o 0 ( )033 += xx

2. no exemplo 3, a constante era o 7 )7( 3 +x

Representando essa constante por C, temos que a integral indefinida de 23x é Cx +3 , onde C é uma constante real.

Indicamos a integral indefinida ou anti-derivada de )(xf ′ por

∫ +=′ Cxfdxxf )()( .


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PROPRIEDADES Utilizaremos as seguintes propriedades para realizar a integração das funções polinomiais elementares:

1. ∫ += Cxdx

2. ∫ ∫⋅=⋅ dxxfkdxxfk )()(

3. [ ]∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

4. ∫ −≠++

=+

)1(1

1

nCn

xdxx

nn

5. [ ] )()( xfdxxfdx

d =∫ , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria fun-

ção.

6. ∫ += Cxfdxdx

xfd)(

)(, ou seja, a integral da derivada de uma função, é a própria

função mais uma constante arbitrária.

Através de uma simples derivação das funções que estão nos segundos membros destas igualdades, poderemos conduzir à expressão que está sob o sinal de integração, isto é, poderemos conduzir à função integranda, o que verifica cada uma das proprieda-des. CASOS PARTICULARES Estes casos particulares das propriedades estudadas são úteis no desenvolvimen-to dos processos de integração.

1. ∫ ∫= dxxfk

dxk

xf)(

1)(

2. ∫ ∫−=− dxxfdxxf )()(


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INTEGRAIS IMEDIATAS Integrais imediatas são as integrais que decorrem de forma direta das fórmulas de derivação. Através deste processo, temos as seguintes fórmulas de integração:

TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS

Derivadas

Integrais

01) 1)( =x

dx

d ∫ ∫ ∫ +=== Cxdxdxdx 11

02) aax

dx

d =)( ∫ ∫ +== Caxdxaadx

03) 1,

1

1

−≠=

+

+

nxn

x

dx

d nn

∫ −≠++

=+

1,1

1

nCn

xdxx

nn

04) x

xdx

d 1)(ln = ∫ += Cxdx

xln

1

05) x

x

aa

a

dx

d =

ln C

a

adxa

xx +=∫ ln

06) xx eedx

d =)( Cedxe xx +=∫

07) xxsen

dx

dcos)( = ∫ += Cxsendxxcos

08) xsenx

dx

d −=)(cos ∫ +−= Cxdxxsen cos

09) xxtg

dx

d 2sec)( = ∫ += Cxtgdxx2sec

10) xxg

dx

d 2seccos)(cot −= ∫ +−= Cxgdxx cotseccos 2

11) xtgxx

dx

d ⋅= sec)(sec ∫ +=⋅ Cxdxxtgx secsec

12) xgxx

dx

dcotseccos)sec(cos ⋅−= ∫ +−=⋅ Cxdxxgx seccoscotseccos

13) 21

1)(

xxtgarc

dx

d

+= ∫ +=

+Cxtgarcdx

x21

1

14) 21

1)(

xxsenarc

dx

d

−= ∫ +=

−Cxsenarcdx

x21

1

15) 21

1)cos(

xxarc

dx

d

−−= ∫ +=

−− Cxarcdx

xcos

1

12

16) 2

2

1

11ln

xxx

dx

d

+=

++ Cxxdx

x+++=

+∫ 1ln1

1 2

2

17) 21

1

1

1ln

2

1

xx

x

dx

d

−=

−+⋅ ∫ +

−+⋅=

−C

x

xdx

x 1

1ln

2

1

1

12


4

QUESTÕES RESOLVIDAS Questão 01 Calcule:

a) ∫ dxx

Resolução

∫ += Cx

dxx2

2

b) ∫ dxx23

Resolução

∫∫ +=+⋅=⋅= CxCx

dxxdxx 33

22

3333

c) ∫ + dxx )2(

Resolução

∫ ∫∫ =+=+ dxdxxdxx 2)2( Cxx ++ 22

2

d) ∫ + dxx 2)2(

Resolução

∫∫ =++=+ dxxxdxx )44()2( 22∫ ∫ ∫ =++ dxdxdxx 442

Cxxx

Cxxx +++=++⋅+= 42

34

24

32

323

e) ∫ +++ dxxxx )143( 24

Resolução

∫ ∫ ∫ ∫ =+++= dxdxxdxxdxx 143 24∫ ∫ ∫ ∫ =+⋅+⋅+ dxdxxdxxdxx 43 24

=++⋅+⋅+= Cxxxx

24

33

5

235

Cxxxx ++++ 23

5

25

f) ∫ −+ dxxxx )2( 32

Resolução

∫ ∫ ∫ =−+= dxxdxxdxx 232 Cxxx

Cxxx +−+=+⋅−+ 2

43243

4322

43

g) ∫ dxx5

Resolução

Cdxx

x +=∫ 5ln

55


5

h) ∫− dxx5

Resolução

∫∫−− = dxdx xx )5(5 1

Fazendo a=−15 , temos:

=+=+=∫ −

−

CCa

adxa

xxx

)5(ln

)5(

ln 1

1

CCxx

+−=+−

−−

5ln

5

5ln

5

i) ∫ − dxex )3(

Resolução

Cedxedxe xxx +−=−=− ∫∫ 33)3(

j) ∫− dxe x

Resolução

∫∫−− = dxedxe xx )( 1

Fazendo ae =−1 , temos:

∫ =+=+= −

−

Ce

eC

a

adxa

xxx

1

1

ln

)(

lnCeC

e xx

+−=+−

−−

1

k) ∫ dxe x2

Resolução

∫∫ = dxedxe xx )( 22

Fazendo ae =2 , temos:

∫ =+=+= Ce

eC

a

adxa

xxx

2

2

ln

)(

lnCeC

e +=+ 22

2

1

2

l) ∫ + dxe xx )22(

Resolução

∫ ∫∫ =+=+ dxdxedxe xxxx 22)22( Cex

x ++2ln

22

m) ∫

+ dxx

x1

Resolução

∫

+ dxx

x1

∫ ∫ ++=+= Cxx

dxx

dxx ln2

1 2


6

n) ∫

+ dxxx

32

1

Resolução

∫ ∫∫ =+=

+ dxxdxx

dxxx

32

32

11

∫ ∫ =++

++−

=+=++−

− Cxx

dxxdxx1

2

312

12

312

2

32 Cx

xC

xx +⋅+−=++−

−5

2

51

5

21

2

51

o) ∫

−dx

x

xx

Resolução

∫∫ =

−=

−dx

x

x

x

xdx

x

xx∫ ∫ ∫ ∫ =−=−

−dxdxxdxdx

x

x 2

11

2

11

∫ ∫ =+−+

=−=+

Cxx

dxdxx1

2

1

12

1

2

1

CxxCxx +−⋅=+− 3

2

3

3

2

2

3

p) ∫ dxxcos5

Resolução

∫∫ +== Cxsendxxdxx 5cos5cos5

q) ∫ − dxxsen )(

Resolução

∫∫ =−=− dxxsendxxsen )( CxCx +=+−− cos)cos(

r) ∫

−⋅+ dxx

xsenx1

2

1cos

Resolução

=−⋅+= ∫ ∫ ∫ dxx

dxxsendxx1

2

1cos Cxxxsen +−⋅− lncos

2

1


7

s) ∫

−++

+dx

xx

x 2

22

1

3sec

1

1

Resolução

∫ ∫ ∫ =−

+++

= dxx

dxxdxx 2

22

1

13sec

1

1Cxsenarcxtgxtgarc +⋅++ 3

t) ∫ − 299 x

dx

Resolução

∫ ∫∫ =−

=−

=− 222 13)1(999 x

dx

x

dx

x

dx∫ +=

−Cxsenarc

x

dx

3

1

13

12

u) ∫ + 222 x

dx

Resolução

∫ ∫∫ =+

=+

=+ 222 12

1

)1(222 x

dx

x

dx

x

dxCxtgarc +

2

1

EXERCÍCIOS Questão 01 Calcule a integral de: a) 5)( =xf b) 3)( −=xf Questão 02 Calcule a integral de: a) 7)( xxf = b) 21)( xxf = c) 0)( xxf = Questão 03 Calcule a integral de: a) 2)( xxxf += b) 41)( xxf += c) 3)( 6 += xxf Questão 04 Calcule a integral de: a) 23)( xxf = b) xxf 5)( = c) 50)( xxf = Questão 05 Calcule a integral de: a) 64)( xxf = b) 232)( xxxf +− c) xxxf 3)( 3 −=


8

Questão 06 Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a) ∫ dxx32

b) ∫ − dxx )1( 2

c) ∫ −+ dxxx )532( 2

d) ∫ ++ dxxxx )( 32

e) ∫ −++− dxxxxx )342( 234

f) ∫ +−+ dxxxx )1242( 35

g) ∫

+ dxxx 32

32

h) ∫ dxx

i) ∫ dxxx 3

j) ∫ dxx

xx 3 2

k) ∫

+ dxx

x1

l) ∫

+ dxxx 2

11

m) ∫

−+dx

x

xx2

2 1

n) ( )( )∫ +−+ dxxxx 11

o) ∫ + dxxsenx )(

p) ∫ ⋅⋅ dxxtgxsec2

q) dxxsenxex

∫

⋅−⋅+2

3cos2

r) dxxx

x∫

−+

+−

222

1

4

1

3sec

s) ∫ +⋅ dxxgxx )cotsec(cosseccos

t) ∫ ⋅+ dxe xx )432(

u) ∫ ⋅ dxxx 23

Questão 07

Sendo k um número real não nulo, mostre que ∫ +⋅= Cek

dxe xkxk 1.

Questão 08 Calcule:

a) ∫ dxxdx

d 3 b) ∫ dxxdx

d 6

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