Cap 17 (8a edição)

Ondas Sonoras – II

Ondas mecânicas: necessitam de um meio de propagação.

Elas podem ser transversais e longitudinais.

Onda sonora: Longitudinal (som, sonar, radar)

Neste capítulo: ondas se propagam no ar e são audíveis

Velocidade do som:

_

_ / _

_ _ _

_

( _ )/

Variação pressão

Mudança volume volume inicial

v

propriedade elástica do meio

propriedade inercial

pB módulo compressão

V V

=

→

→

− =

Meios mais moles significa B pequenos (oscila muito) e B grandes incompressível.

Então: B → e → , com isso podemos escrever:

Bv

=

Exercícios

01) Ultrassom para diagnostico na frequência de 4,50 MHz e usado para examinar

tumores em tecidos moles. (a) Qual o comprimento de onda no ar de uma onda sonora

deste tipo? (b) Se a velocidade do som no tecido for de 1500 m/s, qual será o comprimento

de onda desta onda no tecido?

6

4,5

)

343

4,5 10

76, 22

f MHz

a

v vf

f x

m

=

= → = =

=

6

)

1500

4,5 10

333,33

b

v

f x

m

= =

=

02) A pressão em uma onda sonora progressiva e dada pela equação

Determine (a) A amplitude da pressão, (b) a frequência, (c) o

comprimento de onda e (d) a velocidade da onda

( )

( )

1,5sin 0,9 315

sin

2

m

p t

p p kx t

f

= −

= −

=

)

1,5m

a

p Pa =

)

2 315

315

2

157,5

b

f

f

f Hz

= =

=

=

)

2 2

0,9

2,22

c

k

m

= =

=

)

2,22 157,5

349,65 /

d

v f x

v m s

= =

=

Ondas Sonoras progressivas.

Deslocamento

Variações

Dp =1,5sen 0,9p - 315pt( )

( )( , ) cos

_

_ _

_

m

m

S x t S kx t

S amplitude deslocamento

k Número onda angular

frequência angular

= −

→

→

→

Quando a onda se move a pressão varia

( )( , )

0 exp

0

mp x t p sen kx t

p ansão

p compressão

= −

→

→

E ( )m mp v S = , o deslocamento e a variação da pressão estão com uma diferença de fase

de 900. Quando um aumenta o outro diminui. (o máximo de um é o mínimo do outro).

Interferência.

Tomemos duas ondas sonoras idênticas (mesma fase e mesmo comprimento de onda) na

mesma direção.

Quando a distância entre o ponto P e as fontes de som for muito maior que a distância entre as

fontes sonoras (d>>y) teremos que L1 é aproximadamente paralelo a L2. Se 1 2L L= , teremos

uma interferência construtiva. Mas se 1 2L L no ponto P elas não vão estar em fase, e com isso

uma diferença de fase ( )entre elas aparecerá, e vai depender da diferença entre L1 e L2.

Para:

2

22

L

L L

= =

= =

Para interferências construtivas, temos:

Pr __

2

2 2

0 , 1 ,2,...imeio máximoMáximo central

m

Lm

L m

m

=

=

=

=

Para interferências destrutivas, temos:

12

2

12 2

2

1

2

0,1,2,...

m

Lm

L m

m

= +

+ =

= +

=

Intensidade e Nível sonoro.

Som não é apenas, frequência, comprimento de onda e velocidade, mas temos também a

intensidade (I). Ela mede a taxa média por área com que se transfere energia pela onda.

24

S

potência PI

Área A

PI

r

= =

=

2

1, 0I r I

r → →

A intensidade também depende da amplitude máxima do som ( mS ):

2 21

2m

meio fonte

I v S =

Exercícios

03) Uma fonte pontual de 1,0 W emite ondas sonoras isotropicamente. Supondo que a

energia das ondas se conserva, ache a intensidade a (a) 1,0 m da fonte e (b) 2,5 m da fonte.

1,0P W= 2 2

2 2

)

1,0

4 4 3,14 1

7,95 10 /

a

PI

r x x

I x W m

−

= =

=

( )22

2 2

)

1,0

4 4 3,14 2,5

1,27 10 /

b

PI

r x x

I x W m

−

= =

=

Escala Decibel

Vimos que mI S então teremos uma escala muito grande. O ouvido humano consegue ouvir

uma faixa enorme de intensidades (1012). Por isso usamos a escala logarítmica para diminuir

esta escala.

Então falamos em nível sonoro e não intensidade sonora, com isso podemos escrever a

relação matemática para o , da seguinte forma:

12 2

10log

10 / _ lim _ inf _

_( )

o

o

I

I

I W m padrãi ite erior humano

dB decibel

−

=

= →

=

Fontes de som musical.

Gerados por: Cordas (violão); membranas (tambor); Colunas de ar (flautas); blocos de madeira

(xilofone) entre outras.

São ondas estacionárias (vistas no capítulo anterior).

Pode-se gerar ondas estacionárias de som em tubos cheios de ar de modo semelhante. Ondas

sonoras se propagando através do ar no tubo são refletidas, mesmo que a extremidade do tubo

esta aberta (apesar da reflexão não ser tão completa como se o tubo estivesse fechado). Se o

comprimento de onda das ondas sonoras coincidir adequadamente com o comprimento do tubo,

a superposição de ondas se propagando em sentido contrário através do tubo gera uma onda

estacionária.

O padrão mais simples que pode ser gerado em um tubo aberto dos dois lados é o seguinte.

2

1,2,3.....

L

n

n

=

=

Com isso podemos determinar a frequência das ondas no tubo com duas extremidades abertas:

2

2

v vf

L

n

nvf

L

= =

=

Para um tubo com apenas uma extremidade aberta, temos

4

1,3,5.....

4

4

L

n

n

v vf

L

n

nvf

L

=

=

= =

=

Para L grandes temos frequências pequenas o que implica em sons mais graves. Para L

pequenos temos frequências grandes o que implica em sons mais graves.

Exercícios

04) Uma corda de violino com 15,0 cm de comprimento e fixada nas duas extremidades

oscila em seu primeiro modo (n=1). A velocidade das ondas na corda e de 250 m/s e a

velocidade do som no ar e de 348 m/s. Qual (a) a frequência e (b) o comprimento de onda

da onda sonora emitida?

15

1

250 /

348 /

c

s

L cm

n

v m s

v m s

=

=

=

=

)

2 2 0,15

1

0,3

250

0,3

833

c

c

a

L x

n

m

vf

f Hz

= =

=

= =

=

)

348

833

0,418

ss

s

b

v

f

m

= =

=

05) Tubo de órgão A, com as duas extremidades abertas, possui uma frequência

fundamental de 300 Hz. O terceiro harmônico do tubo de órgão B, com uma extremidade

aberta possui a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo A. Qual o

comprimento (a) do tubo A e (b) do tubo B?

)

343

2 2 2 300

0,572

A

A

a

vL

f x

L m

= = =

=

,2

,2

,3 ,2

,3

)

343600

0,572

6004

5

5 343

4 600

0,715

A

A A

B A

BB

B

B

b

v vf Hz

L

v vf f Hz

L

L x

L m

= = = =

= = = =

=

=

06) Nível de água em um tubo de vidro vertical com 1,00 m de comprimento pode ser

ajustado a qualquer posição no tubo, um diapasão vibrando a 686 Hz e mantido logo

acima da extremidade mais alta do tubo, para gerar uma onda sonora estacionária na

porção mais alta cheia de ar do tubo. (Essa porção mais alta cheia de ar age como um tubo

com uma extremidade fechada e a outra extremidade aberta.) Em que posições do nível

de água ocorre ressonância?

1,0

686

/

3430,125

4 4 686

( 1,3,5,.....)

l m

f Hz

Onda estacionaria

nv nL n

f x

n

=

=

= = =

=

1 0,125

tan

1 1 0,125 0,875

3 1 0,375 0,625

5 1 0,625 0,375

7 1 0,875 0,125

9 1 1,125 0,125

l L h

h l L

h n

por to

n h m

n h m

n h m

n h m

n h m proibido

= +

= −

= −

= → = − =

= → = − =

= → = − =

= → = − =

= → = − = −

07) Encontre a velocidade das ondas em uma corda de violino com massa de 800 mg e

22,0 cm de comprimento se a frequência fundamental for de 920 Hz. (b) Qual a tração na

corda? Para o modo fundamental, qual o comprimento de onda (c) das ondas na corda e

(d) das ondas sonoras emitidas pela corda?

1

800

22

920

m mg

l cm

f Hz

=

=

=

11

)

2 2 0,22 920

2 1,0

404,8 /

a

Lfnv x xf v

L n

v m s

= = =

= ( )

2

622

)

800 10404,8

0,22

595,87

b

v v

m xv x

l

N

−

= =

= =

=

)

2 2 0,22

1,0

0,44

n

n

c

L x

n

m

= =

=

)

343

920

0,37

s s

s

d

vv f

f

m

= = =

=

08) Um poço com laterais verticais e água no fundo entra em ressonância em 7,00 Hz e

em nenhuma frequência abaixo desta. A porção do poço cheia de ar atua como um tubo

com uma extremidade fechada e uma extremidade aberta. O ar no poço possui uma massa

específica de 1,10 kg/m3 e um módulo de compreensão de 1,33 x 105 Pa. Qual a

profundidade da superfície da água no poço?

1

3

5

7

1,10 /

1,33 10

?

f Hz

kg m

B x Pa

L

=

=

=

=

5

/

4 4

1 1,33 10

4 4 7 1,10

12, 42

tubo fechado

nv n Bf

L L

n B xL

f x

L m

= =

= =

=

Batimentos.

Dois sons com frequências muito próximas (a) 552 Hz e (b) 564 Hz são difíceis de serem

distinguidas. Quando emitidas ao mesmo tempo as ondas se sobrepõem e geram uma

frequência média de 558 Hz (c). Na figura (c) ainda será ouvido uma variação na intensidade do

som. Essa variação é conhecida por batimento e é dada pela diferença entre as frequências.

Essa frequência de batimento é dada por:

1 2batf f f= −

Se 0batf = o instrumento está afinado com uma determinada frequência.

Exercícios

09) Dois sons diferem em nível sonoro por 1,00dB. Qual a razão entre a maior intensidade

e a menor intensidade?

1

10log 1

1log

10

loglog ln

2,3

o

o

dB

I

I

I

I

=

= =

=

→

0,23

lnln0,1

2,3 2,3

ln 0, 23

1, 26

o

o

o

o

entao

II

I

I

Ie

I

I

I

− =

=

=

=

10) Encontre as razões (da maior para menor) (a) entre as intensidades, (b) as amplitudes

de pressão e (c) as amplitudes de deslocamentos da partícula para os dois sons cujos níveis

sonoros diferem de 37 dB.

1 2

1 2

1 2

)

10log

10log 10log

10 log log

o

o o

o o

a

I

I

I I

I I

I I

I I

= −

=

= −

= −

1

2

1

2

3,71

2

1

2

10log 37

log 3,7

10

2,34

I

I

I

I

I

I

I

I

= =

=

=

=

11 1

2 22

1

2

)

2,34

1,53

m m

m

m

m

m

b

p S I

Ip I

p II

p

p

= = =

=

11 1

2 22

)

2,34 1,53m

m

c

IS I

S II= = = =

11) A corda lá de um violino está um pouco mais esticada do que deveria. Quatro

batimentos por segundo são ouvidos quando a corda e tocada junto com um diapasão que

está vibrando precisamente na nota lá (440 Hz). Qual o período de oscilação da corda do

violino?

4

440

?

bat

la

c d

f Hz

f Hz

T

esticada maior f maior

f f

=

=

=

→ = → =

4 440 444

bat c d

c bat d

c

f f f

f f f

f Hz

= −

= +

= + =

3

1 1

444

2, 25 10

Tf

T x s−

= =

=

12) Um diapasão de frequência desconhecida produz três batimentos por segundo com

um diapasão padrão de frequência igual a 384 Hz. A frequência de batimento diminui

quando um pequeno pedaço de cera e colocado em ramo do primeiro diapasão. Qual a

frequência deste diapasão?

?

384

3

dim /

d

dp

bat

bat

d dp

f

f Hz

f Hz

cera inui f

f f

=

=

→

384 3

387

bat d dp

d dp bat

d

d

f f f

f f f

f

f Hz

= −

= +

= +

=

Efeito Doppler.

Quando a ambulância se aproxima do pedestre o mesmo ouve a sirene com uma frequência

diferente da emitida. O mesmo acontece quando a ambulância se afasta dele. Essa variação na

frequência é o efeito Doppler. Este efeito foi descoberto por Johann Doppler em 1842. O efeito

Doppler também vale para ondas eletromagnéticas.

Quando o detector se aproxima da fonte S a distância entre as frentes de ondas diminuem e

quando eles se afastam a distância aumenta. Com isso a frequência detectada é alterada.

Essa nova frequência é dada por:

'

_ _

_ _ det

_ _

s D

s F

s

D

F

v vf f

v v

v velocidade do som

v velocidade do ector

v velocidade da fonte

=

→

→

→

Quando existe uma aproximação entre a fonte e o detector temos um som mais agudo, ou seja,

a nova frequência se torna maior. Quando existe um afastamento entre a fonte e o detector temos

um som mais grave, ou seja, a nova frequência se torna menor. Então podemos usar o seguinte

jogo de sinais.

:

:

aproximação

afastamento

+

−

−

+

Exercícios

13) Vigilante rodoviário B está perseguindo o motorista A em excesso de velocidade em

um trecho reto de uma estrada. Os dois estão se movendo a 160 km/h. O vigilante

rodoviário B, não conseguindo alcançar o infrator, soa a sua sirene novamente. Tome a

velocidade do som no ar como sendo de 343 m/s e a frequência da fonte como sendo de

500 Hz. Qual a mudança Doppler na frequência ouvida pelo infrator A?

160 /

160 /

343 /

500

B

A

s

v km h

v km h

v m s

f Hz

=

=

=

=

A e B estão em repouso entre si, portanto: ' 0f f f= =

14) Um detector de movimento estacionário envia ondas sonoras na frequência de 0,150

MHz em direção a um caminhão que se aproxima a uma velocidade de 45,0 m/s. Qual a

frequência das ondas refletidas de volta para o detector?

'

' 6

'

0,150

( .) 45 /

0

343 /

.

343 450,150 10

343 0

0,169

c

F

s

s D

s F

f MHz

v aprox m s

v

v m s

v vaprox f f

v v

f x

f MHz

=

=

=

=

++ =

− −

+ =

−

=

15) Um submarino francês e um submarino norte-americano movem-se um em direção

ao outro durante manobras em águas paradas no Atlântico Norte (Fig.01). O submarino

francês envia um sinal de sonar (onda sonora na água) a 1000 Hz. As ondas de sonar se

propagam a 5470 km/h. (a) Qual a frequência do sinal quando detectado pelo submarino

norte-americano? (b) Qual a frequência detectada pelo submarino francês do sinal

refletido de volta para ele pelo submarino norte-americano?

( )

( )

1000

70 /

50 /

5470 /

D americano

F frances

s

f Hz

v km h

v km h

v km h

=

=

=

=

'

'

'

)

.

5470 701000

5470 50

1022,14

s D

s F

a

v vaprox f f

v v

f

f Hz

++ =

− −

+ =

−

=

'

''

''

)

.

5470 501022,14

5470 70

1044,85

s D

s F

b

v vaprox f f

v v

f

f Hz

++ =

− −

+ =

−

=

16) Uma pedra e largada dentro de um poço. O som da pedra batendo na água e ouvido

3,0 s depois. Qual a profundidade do poço?

1( ) 2( )

2

2

2

1 1

2

1

2

2

1

1 2 2 1

3

343

1

2

1

2

343

1

2

3 3

descida subida

o o

t t s

s Hv H t

s t

y y v t gt

H gt

H t

H gt

t t t t

+ =

= = =

= + −

=

=

=

+ = → = −

( )

( )

1 1

2 2

1 1 1 1

22

1

1

2

343 3 1029 343

1029 343 4,9 70 210 0

70 70 4 70 ( 210)4

2 2 1

2,88

tan

4,9 2,88

40,68

substituindo

H x t t

igualando

t t t t

x xb b act

a x

t s

por to

H x

H m

= − = −

− = + − =

− − −− −= =

=

=

=

17) Uma ambulância com uma sirene emitindo um som alto e contínuo a 1600 Hz

ultrapassa um ciclista pedalando uma bicicleta a 2,44 m/s. Após ser ultrapassado, o

ciclista ouve uma frequência de 1590 Hz. Com que velocidade está se movendo a

ambulância?

'

'

343 /

2,44 /

?

1600

1590

tan : .

s

b

A

A

s D

s F

v m s

v m s

v

f Hz

f Hz

v vafas do f f

v v

=

=

=

=

=

−− =

+ +

''

/ Re 0

.

1590 3432,16 / ( . / )

1600 343

tan

2,16 2,44

4,60 /

D

s s

s F s F

F

F

A F C

A

A

ciclista pouso v

v vff f

v v f v v

v m s veloc relação ciclistav

por to

v v v

v

v m s

=

= =

+ +

= =

+

= +

= +

=

18) Um alarme acústico contra roubos e formado por uma fonte emitindo ondas na

frequência de 28,0 kHz. Qual a frequência de batimentos entre as ondas da fonte e as

ondas refletidas em um intruso caminhando a uma velocidade média de 0,950 m/s se

afastando do alarme em linha reta?

343 /

0,950 /

0 /

28,0

?

s

D

F

bat

v m s

v m s

v m s

f kHz

f

=

=

=

=

=

'

' 3 '

'

tan : .

343 0,9528 10 . 27,92

343 0

28 27,92 80

s D

s F

bat bat

v vafas do f f

v v

f x f kHz

f f f kHz kHz f Hz

−− =

+ +

− = =

+

= − = − =

19) O som alto contínuo de 16000 Hz das turbinas em um motor a jato de uma aeronave

movendo-se com uma velocidade de 200 m/s e ouvido em que frequência pelo piloto de

uma segunda aeronave que está tentando ultrapassar a primeira a uma velocidade de 250

m/s?

16000

200 /

250 /

A

B

f Hz

v m saproximação

v m s

=

=

=

Como a aeronave ainda não ultrapassou, consideramos que esteja se aproximando. Então

250 200

50 /

relativa

relativa

v

v m s

= −

=

'

'

0 343. . 16000

343 50

18730,4

s D s

s F s relativa

v v vf f f x

v v v v

f Hz

+ + = = =

− − −

=

20) Dois espectadores em um jogo de futebol no Estádio Montjuic veem, e em um

momento posterior escutam, a bola sendo chutada no campo de futebol. O tempo de atraso

para um espectador e de 0,23 s e para o outro e de 0,12 s. As linhas de visão dos dois

espectadores ate o jogador chutando a bola formam um ângulo de 90o. (a) Qual a distância

de cada espectador ao jogador? (b) Qual a separação entre os espectadores?

1

1

2

2

0, 23

?

0,12

?

?

343 /s

t s

d

t s

d

d

v m s

=

=

=

=

=

=

1 1

2 2

2 2 2 2

1 2

343 0,23 78,89

343 0,12 41,16

78,89 41,16 88,98

s

s

s

d v t x ms

vt

d v t x m

d d d m

= = =

= = = =

= + = + =

21) Terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra. Ao contrário de um gás, a Terra

pode experimentar tanto ondas sonoras transversais (S) quanto longitudinais (P).

Tipicamente, a velocidade das ondas do tipo S e de cerca de 4,5 km/s, e as ondas do tipo

P de 8,0 km/s. Um sismógrafo registra ondas P e S de um terremoto. As primeiras ondas

P chegam 3,0 minutos antes das primeiras ondas S (Fig.02). Supondo que as ondas se

propagam em linha reta, a que distância ocorreu o terremoto?

4,5 /

8,0 /

3min

s

p

v km s

v km s

t utos

=

=

=

Vamos chamar de L a distância entre o ponto onde aconteceu o terremoto e a posição do

observador; tS o tempo para uma onda S percorrer esta distância e tP o tempo para

uma onda P percorrer esta distância.

1 1

. 8 4,5. 180

8 4,5

1851,43

s

s

s p

s pp

p

p s

p s

Lt

vt t t L

L v vt

v

v v xL t x

v v

L km

=

= − = − =

= = − −

=

22) Na Fig.03 dois alto-falantes, separados por uma distância de 2,00 m, estão em fase.

Suponha que as amplitudes do som vindo dos alto-falantes são aproximadamente as

mesmas na posição de um outro ouvinte, que está a 3,75 m em linha reta em frente de um

dos alto-falantes. (a) Para que frequências na faixa audível (20 Hz a 20 k/Hz) o ouvinte

escuta um sinal mínimo?(b) Para que frequências o sinal e máximo?

2

4, 25

3,75

20 20

d m

L m

D m

Hz f kHz

=

=

=

a) Para que tenhamos um mínimo, a interferência entre as ondas deve ser destrutiva,

e isso acontece quando a diferença de percurso for igual a meio comprimento de onda:

( )( )

( )( )

2

22 1

2 2 1

2 12

n

n

n

L D n

L DL D n

n

mas

v vf n

L D

− = +

−− = + =

+

= = +−

( )( )

( )

0

1

2

3

:

3432 1 343 2 1

2 4,25 3,75

:

343 (2 0 1) 343

343 (2 1 1) 1029

343 (2 2 1) 1715

343 (2 3 1) 2401

n

como

f n x n

então

f x x Hz

f x x Hz

f x x Hz

f x x Hz proibido

= + = +−

= + =

= + =

= + = = + =

b)

Para que tenhamos um máximo, a interferência entre as ondas deve ser construtiva, e

isso acontece quando não existir diferença de percurso. Ou de modo geral, for igual a

um número inteiro de comprimentos de onda:

n

L D n

L D

n

− =

−=

n

n

mas

v vf n

L D= =

−

( )

1

6862

n

vHz

L D

=

=−

1

2

3

686

2 686 1372

3 686 2058

f Hz

f x Hz

f x Hz

=

= = = =