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    MecnicaeOndas

    Ondasestacionriasemcordasvibrantes ObjectivoEstudodasondasestacionriasemcordasvibrantes.Estudodavariaodafrequnciaderessonnciadaondacomatensoeocomprimentodacorda.Determinaodavelocidadedepropagaodaonda.Excitaodeharmnicas.

    1. IntroduotericaParaproduzirmosumaondamecnicaprecisamosdeuma fontedeperturbaodummeiomaterial.Umaondamecnicaconsisteassimnotransportedeenergiadeumpontopara outro do meio material, sem que haja transporte de matria. O transporte deenergiarealizadopelainteracodaspartculasdomeiocomassuasvizinhas.Neste trabalhovamosestudarondasestacionrias,unidimensionais,quesepropagamnumacordaelstica,esticadaefixanassuasextremidades.A funo matemtica que descreve a oscilao duma corda elstica, uniforme, dedensidadelinearesubmetidaaumatenso# ,daforma(, ) = sin(/0

    1 /0

    3) = sin( )(1)

    esoasvariveisassociadasposioeaotempo,respectivamente,Toperodo,ocomprimentodeonda(c.d.o), = 2 : onmerodeondae =

    2: afrequncia

    angular.Estaondapropaga-secomvelocidade

    v = 13= 3?@ (2)

    Se uma onda harmnica for introduzida numa corda cujas extremidades distam de,ficar confinadaapropagar-senuma regio limitadado espao.Ao chegar aumadasextremidadesaondareflectidaeinterferecomaporodaondaqueviajaparaaquelaextremidade.Dasobreposiodestasduasondasquesepropagamnamesmadireco,masemsentidosopostos,surgeemgeralumpadroirregular,varivelnoespaoenotempo.Contudo,seacordavibrarcomumafrequnciaadequada,possvelobterumaonda estacionria, i.e., uma onda em que cada um dos pontos da corda tem umaamplitudeconstante.Consideremosumaondaharmnica,quesepropaganumacorda,paraadireita,comavelocidadev.DescritapelaequaoB(, ) = sin( )(3)

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    Consideremosagoraumaoutraondaharmnica, idntica,quesepropaganacordaemsentidocontrrio,descritapor/(, ) = sin( + )(4)Aondaresultanteser,peloprincpiodasobreposio,asomadaquelasduasondas,i.e.,(, ) = B(, ) + /(, )(5)ouseja(, ) = 2 sin()cos()(6)A onda descrita pela equao (6) designa-se por onda estacionria e tem duascaractersticasinteressantes:1. Cada posioF da corda oscila verticalmente, ao longo do tempo, de formasinusoidal,deacordocomaequao(F, ) = 2 sin(F)cos()(7)2. Num determinado instante de tempo,F,capturado, por exemplo, atravs de umafotografia instantnea da corda, esta apresenta a forma espacial de uma sinusoidedescritapor

    (, F) = 2 cos(F) sin()(8)Setirarmosfotografiassucessivasdasoscilaesdacordaeassobrepusermos,obtemosumafiguracomoaspectosemelhanteaorepresentadonafigura1.

    Fig.1Representaoesquemticadeumdosmodosdevibraodeumacordacomasextremidades fixas. No momento inicial a corda tem o comprimento dado peloafastamentoentreasduasextremidadesdesuporte.A equao (6)mostra que nasposiesGonde se verifica a relaoG = , ( =

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    0, 1, 2, 3, . . . ),asamplitudesdeoscilaosonulas,i.e.,ospontosG =1/soosnodos

    dacorda.Seadistnciaentreosdoisextremos(fixos)dacorda for,entoosc.d.o.sG,correspondentesaondasestacionrias,devemverificaracondioG =

    /MG(9)

    Esta equao mostra que existem(= 1, 2, 3, )modos de vibrao estacionria dacorda compatveis com a distncia,entre os pontos de fixao das extremidades dacorda.Apartirdasequaes(2)e(9)obtemosasfrequnciasdeoscilaoG =

    3?@= B(11)

    Verifica-se assim que, dependendo da tenso# aplicada corda, da sua densidadelinear, e do seu comprimento em repouso,, podero ser observados modos devibraodeacordocomaexpresso(11)paravalores = 1, 2, 3, 4Estesmodosdevibrao podem ser excitados externamente e correspondem a situaes em que aamplitudedeoscilaomxima.As frequnciasque lhescorrespondemdesignam-seporfrequnciasderessonncia.Omododefrequnciamaisbaixo(n=1)designa-sepormodo fundamental de ressonncia. Os outrosmodos de vibrao somltiplos deBedesignam-seporharmnicasdeordemn.Paracadac.d.o. G,ospontosT cujaamplitudedeoscilaomxima,designadosporanti-nodos,estosituadosameiocaminhoentredoisnodosconsecutivosousejaT = (2 + 1)

    1PV( = 0, 1, . , 1).(12)

    Istomostra que a harmnica de ordemteranti-nodos e( + 1) nodos. Na Fig. 1mostra-seumaondaestacionriadec.d.o. = .2.Trabalhoexperimental

    Amontagemautilizarneste trabalho, ilustradanaFig.2,permiteajustara tensoeotipode excitao aque se sujeitamas cordasmetlicas, semelhantes sutilizadas emguitarras.As cordas somontadasnum banco onde a tenso controlada atravsdocorrectoposicionamentodeumamassanumadasextremidadesdacorda.NaFig.2podever-seumamassasuspensanocantoinferiordireito.Acordapodesersubmetidaavriostiposdeforaexcitadora,quepodeserumaforamecnica aplicada directamente na corda ou ainda uma fora magntica, aplicadaatravsdeumdispositivode excitaodesignadoporDRIVER.A vibraoda corda

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    detectada com um sensormagntico, designado porDETECTOR, constitudo por umapequena bobine posicionada noutro ponto do banco damontagem. Como a corda seencontrafixanasduasextremidades,podemosobservarondasestacionriasparacertasfrequnciasde excitaodamesma.Estasondaspermanecemenquantodurara foraexcitadora.

    Fig.2Fotodamontagemdotrabalhodacordavibrante

    Fig.3Esquemadamontagemdesuporteeexcitaodacordavibrante2.1Materialparaotrabalhoexperimental:

    1.Basede fixao, incluindoumaescalagraduadaeumaparelhode fora,constitudoporumbraoeumparafusodeajustedatensonacorda.2.Doissuportesdefixao3.Cordadeguitarracomdensidadelinearnominal=1,84g/m.4.Duasbobinas:-DRIVER (dispositivodeexcitao),quepermite induziroscilaesna corda e excitar os seus modos de vibrao;- DETECTOR (sensor), que permitedetectaraamplitudedosmodosdevibrao.5.Massadevalor = 1.6.Geradordesinais.

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    7.Osciloscpio.2.2 Montagemexperimental

    1) Acordadeveserinstaladasobreabasedaexperincia,ficandopresanumdoslados ao cilindro cuja posio controlada pelo parafuso de ajuste (ladoesquerdodabase,nafig.4)edooutroladoaobraoondesesuspendeamassa.

    2) A corda fica apoiada em dois suportes colocados sobre a escala graduada dabase, osquaisdevemdistar, = 60,(suporteda esquerdanaposio =10;suportedadireitanaposio = 70;verfig.4).

    3) A massadeve ser colocada numa das posies = 1, 2, 3, 4, 5do brao dabase(Fig.4),consoanteatenso# = ,( = 9,8a/)aquesepretendesujeitaracorda(Fig.5).

    4) O sinal do geradorde sinaisdeve alimentar o DRIVER e ser introduzido nocanal1doosciloscpio(Fig.4).OsinaldoDETECTORdeveserintroduzidonocanal2doosciloscpio.

    Fig.4Esquemadamontagemexperimental,incluindoligaeselctricas

    Fig.5Aparelhodeforaparaajustedatensodacorda.Atensoaplicadacorda# =,funodaposio,,damassa

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    2.1 Determinao da frequncia do modo fundamental e da velocidade depropagaoemfunodatensoaplicadacordaParamedirafrequnciadomodofundamentalderessonnciadacorda,emfunodatensoaplicada# ,eparaumcomprimento = 60,procedadoseguintemodo:1) Suspenda a massa na posio = 5, correspondente maior tenso aplicada corda.Ajusteoparafusodeformaqueobraodabaseondesuspendeuamassaestejanahorizontal.2) Coloque as 2 bobinas sobre o suporte. Posicione o DRIVER a5de um dossuporteseoDETECTORnopontomdiodacordaentreosapoios.3)Ligueogeradordesinaiseoosciloscpio.Seleccioneogeradordesinaisparaondassinusoidais com uma frequncia prxima da que seria esperada teoricamente paraaquela tenso aplicada (consultar coluna 3 do Quadro 1). Ajuste a escala doosciloscpioentre0,10,5/nocanal1eentre10 50/nocanal2.ColoqueoosciloscpioemmodoX-Y.

    Fig.6Imagensdogeradoredoosciloscpioutilizadosnotrabalho.OsciloscpiomostraumafiguradeLissajous,obtidaemmodoX-Yquandoossinaiselctricosdoscanais1e2tmamesmafrequncia.4) Coloque a corda em vibrao dedilhando-a suavemente no pontomdio, junto aodetector. Ajuste lentamente a frequnciado gerador, aumentando-a ou diminuindo-a,atobservarumafigurasemelhanteaumaelipsenoosciloscpio(Fig.6).Confirmequeparafrequnciasmenoresqueessanoencontraoutrasituaosemelhante.5)ColoqueoosciloscpioemmodoTEMPOeconfirmeoaumentodaamplitudedosinaldoDETECTOR(canal2),correspondentesituaoderessonncia,i.e,determinequalafrequnciaquemaximizaaamplitudedeoscilaodacorda.6)Registeasfrequnciasmedidasnogeradornacoluna5doQuadro1.7) Repita o procedimento 4) - 6) para as outras posies = 4, 3, 2, 1da massa, nobraodabase.8) Use o computador que est junto damontagem para gerar, numa folha Excel, umgrficodafunoB(#)comoconjuntodepontosexperimentais.Ajusteumafunodotipopower(potncia)aessespontosexperimentais,eutilizeosparmetrosdeajuste

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    paraestimaradensidadelineardacorda.2.2DeterminaodafrequnciadevibraodomodofundamentalderessonnciaemfunodocomprimentodacordaPretende medir-se a frequncia do modo fundamental de ressonncia da corda, emfunodatensoaplicadamnima(# = ;massanaposio1),paracincovaloresdocomprimentodacorda.1) Suspenda a massa na posio = 1, correspondente menor tenso aplicada corda.Ajusteoparafusodeformaqueobraodabaseondesuspendeuamassaestejanahorizontal.2)Mova5osuportedefixaodadireita,queseencontrajuntodobraodabase,daposio = 70paraaposio = 65.3)Reposicioneas2bobinassobreosuporte.MantenhaoDRIVERa5cmdeumdossuportesecoloqueoDETECTORnopontomdiodacordaentreosapoios.4)Sigaoprocedimentodescritonospontos4)-5)daparte2.1dotrabalho.5) Repita asmedies paradiferentesposies do suporte da direita (movendo-o de5em5,atposio = 50)edoDETECTOR(semprecolocadonopontomdiodacordaentreosapoios).Registeasfrequnciasobtidasnacoluna4doQuadro2.6) Use o computador que est junto damontagem para gerar, numa folha Excel, umgrficoda funoB(),comoconjuntodepontosexperimentaiseajusteuma funodo tipo power (potncia) a esses pontos experimentais, e utilize os parmetros deajusteparaestimaradensidadelineardacorda.2.3Determinaodasfrequnciasdevibraodemodossuperiores(harmnicas)Pretende-semedir as frequnciasdosmodos superiores (harmnicas)de vibraodacorda, com tenso aplicada mnima ( # = ; massa na posio 1) para umcomprimento = 60.1)Calculeasfrequnciasda2,3e4harmnicasanotandooseuvalornacoluna1doQuadro3.Calculeosc.d.o.scorrespondenteseanote-osnacoluna2domesmoQuadro.2)Coloqueosuportedefixaodadireitanaposio = 70.3) Coloque o DRIVER numa posio correspondente a (10+ //4 )(cm) e oDETECTORnumaposiocorrespondentea(10 + 1j

    V)().

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