victor miranda de amorim e silva anÁlise estÁtica e

VICTOR MIRANDA DE AMORIM E SILVA

ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE CASCAS

CILÍNDRICAS AXISSIMÉTRICAS PELO MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

NATAL-RN

2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Victor Miranda de Amorim e Silva

Análise estática e dinâmica de cascas cilíndricas axissimétricas pelo método dos elementos

finitos

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do Título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientador: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues

Mittelbach

Natal-RN

2018

Silva, Victor Miranda de Amorim e. Análise estática e dinâmica de cascas cilíndricasaxissimétricas pelo Método dos Elementos Finitos / VictorMiranda de Amorim e Silva. - 2018. 41 f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil.Natal, RN, 2018. Orientadora: Profª. Drª. Fernanda Rodrigues Mittelbach.

1. Método dos Elementos Finitos - Monografia. 2. CascaCilíndrica - Monografia. 3. Análise Dinâmica - Monografia. 4.Estruturas Axissimétricas - Monografia. I. Mittelbach, FernandaRodrigues. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 69.01

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Elaborado por Ana Cristina Cavalcanti Tinôco - CRB-15/262



finitos

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do

Rio Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel

em Engenharia Civil.

Aprovado em 28 de novembro de 2018:

___________________________________________________

Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientadora

___________________________________________________

Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador interno

___________________________________________________

Eng. Pedro Mitzcun Coutinho – Examinador externo

Natal-RN

2018

DEDICATÓRIA

À Alcinda, Magnus e Giovanna

AGRADECIMENTOS

Agradeço especialmente à minha família, meus pais Alcinda e Magnus e minha irmã

Giovanna, pela educação e incentivo por todos esses anos, apoiando todas as minhas decisões

e me fazendo uma pessoa melhor.

À minha orientadora Fernanda Mittelbach por todos os ensinamentos dentro e fora da

sala de aula, paciência e auxilío nos problemas enfrentados ao longo deste trabalho.

À Bárbara, pelo amor ao longo desses anos, apoio, paciência e incentivos em todos os

momentos.

À todos os amigos, os de longa data e os novos, que tornaram todo esse processo mais

fácil, auxiliando e e apoiando.

À todos os professores que passaram conhecimento e fundamentaram esta jornada,

subsidiando minha formação acadêmica.


RESUMO

Análise estática e dinâmica de cascas cilíndricas axissimétricas pelo método dos

elementos finitos

Este trabalho busca fazer uma análise estática e dinâmica de cascas cilíndricas axissimétricas

pelo Método dos Elementos Finitos (MEF), em comparação com o Método das Diferenças

Finitas Energéticas (MDFE). O MEF utiliza-se do Príncipio dos Trabalhos Virtuais (PTV) nas

expressões dos elementos da estrutura, desenvolvendo assim um estudo numérico do problema.

Desenvolveu-se um código computacional na linguagem Fortran para a realização de tal

comparação. Também é mostrado toda a formulação analítica teórica do problema, para a

comparação na análise estática. São apresentados quatro exemplos afim de validar o método

para a análise desse tipo de estrutura e carregamento.

Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos. Casca cilíndrica. Análise dinâmica. Estruturas

axissimétricas.

ABSTRACT


finitos

This work aims to perform a static and dynamic analysis of axisymmetric cylindrical shells by

the Finite Element Method (FEM), in comparison with the Energetic Finite Difference Method

(EFDM). The FEM uses the Principle of Virtual Work (PVW) in the expressions of the structure

elements, thus developing a numerical study of the problem. A computational code was

developed in the Fortran language to make such comparison. The problem theoretical analytical

formulation is also shown, for comparison in the static analysis. Four examples are presented

in order to validate the method for the analysis of this type of structure and loading.

Keywords: Finite element method. Cylindrical shell. Dynamic analysis. Axisymmetric

structures.

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 - Discretização pelo MEF de uma estrutura contínua .................................. 14

Figura 2 - Fluxograma do Processo de Análise pelo MEF......................................... 15

Figura 3 - Estruturas Laminares ................................................................................. 16

Figura 4 - Museu Nacional de Brasília ....................................................................... 17

Figura 5 - Cilíndro de Pressão .................................................................................... 17

Figura 6 - Sistema de Coordenadas para a casca cilíndrica ....................................... 20

Figura 7 - Esforços não nulos no elemento de casca .................................................. 21

Figura 8 - Carregamentos de domínio e de contorno na Casca Cilíndrica ................. 24

Figura 9 - Elemento Finito ......................................................................................... 26

Figura 10 – Estrutura uniformemente discretizada .................................................... 27

Figura 11 - Método da Aceleração Constante ............................................................ 30

Figura 12 - Montagem das Matrizes Globais ............................................................. 34

Figura 13 – Montagem do vetor de cargas global ...................................................... 35

Figura 14 - Representação Matricial do Sistema de Equações .................................. 35

Figura 15 - Tipos de Discretizações ........................................................................... 37

Figura 16 - Casca cilíndrica apoiada com carregamento transversal constante ......... 38

Figura 17 - Casca cilíndrica engastada com carregamento transversal variável ........ 42

Figura 18 - Casca cilíndrica apoiada com carregamento transversal variável e

longitudinal constante ............................................................................................................... 45

Figura 19 - Exemplo 4 – Casca engastada submetida à deformação inicial, sem

carregamentos ........................................................................................................................... 48

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 - Exemplo 1 - Estática ................................................................................. 40

Tabela 2 - Exemplo 1 – Dinâmica .............................................................................. 42


Tabela 4 - Exemplo 2 - Dinâmica .............................................................................. 44




ÍNDICE DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Exemplo 1 - Solução Analítica ................................................................ 39

Gráfico 2 - Exemplo 1 - Estática ................................................................................ 40

Gráfico 3 - Exemplo 1 - Dinâmica ............................................................................. 41






SIMBOLOGIA

SÍMBOLO SIGNIFICADO

a - Raio da casca

Bx, By, Bz - Componentes das forças de volume

C - Rigidez extensional da casca

D - Rigidez flexional da casca

E - Módulo de elasticidade longitudinal

F - Vetor de cargas global

Fd - Vetor de cargas dinâmico

fx, fz, fφ - Forças de inércia

f - Deslocamento, podendo ser u, w ou φ

g, h - Funções que descrevem a marcha no tempo

h - Espesura da casca

[K] - Matriz de rigidez

l - Comprimento da casca

[M] - Matriz de massa

M, N - Esforços solicitantes na casca

px, pz - Carregamento longitudinal e transversal

Δt - Intervalo de tempo

δu, δv, δw - Variação das componentes dos deslocamentos

u, v, w, φ - Deslocamentos

V - Volume do elemento

δWe, δWi - Trabalho virtual externo e interno

x, y, z, θ - Direções

εx, εy, εz - Deformações específicas

λ - Comprimento do elemento

μ - Massa específica

ρx, ρy, ρz - Componentes das forças de superfície

σx, σy, σz - Componentes da tensão normal

τxy, τxz, τyz - Componentes da tensão de cisalhamento

(… ) , (… ) - Designação para as derivadas temporais de primeira e segunda ordem

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 13

1.1 OBJETIVOS .......................................................................................................................... 18

Objetivo geral ..................................................................................................... 18

Objetivos específicos .......................................................................................... 18

2. FORMULAÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA ......................................................... 19

2.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 19

2.2 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ............................................................................... 19

2.3 HIPÓTESES BÁSICAS ............................................................................................................ 20

2.4 FORMULAÇÃO .................................................................................................................... 21

Trabalho Virtual Interno ..................................................................................... 21

Trabalho Virtual Externo .................................................................................... 23

3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA ......................................................... 26

3.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 26

3.2 DISCRETIZAÇÃO ................................................................................................................. 27

3.3 FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO .............................................................................................. 27

Deslocamento longitudinal ................................................................................. 28

Deslocamento transversal ................................................................................... 28

Rotação ............................................................................................................... 29

3.4 REPRESENTAÇÃO DAS DERIVADAS TEMPORAIS DOS DESLOCAMENTOS PELO MÉTODO DA

ACELERAÇÃO CONSTANTE ........................................................................................................ 29

3.5 AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL INTERNO ................................................................... 31

3.6 AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL EXTERNO .................................................................. 31

Parcela Estática ................................................................................................... 31

Parcela Dinâmica ................................................................................................ 32

3.7 MONTAGEM DAS MATRIZES E VETORES DE CARGA GLOBAIS ............................................... 33

3.8 RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES ............................................................................. 35

3.9 CÓDIGO COMPUTACIONAL .................................................................................................. 36

4. EXEMPLOS E RESULTADOS ....................................................................................... 37

4.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 37

4.2 EXEMPLO 1 – CASCA APOIADA SUBMETIDA À CARREGAMENTO TRANSVERSAL CONSTANTE

38

Análise estática ................................................................................................... 39

Análise dinâmica ................................................................................................ 41

4.3 EXEMPLO 2 – CASCA ENGASTADA SUBMETIDA À CARREGAMENTO TRANSVERSAL VARIÁVEL

42


Análise dinâmica, ............................................................................................... 44

4.4 EXEMPLO 3 – CASCA APOIADA SUBMETIDA À CARREGAMENTO LONGITUDINAL UNIFORME E

CARREGAMENTO TRANSVERSAL VARIÁVEL ............................................................................... 45


Análise dinâmica, ............................................................................................... 47

4.5 EXEMPLO 4 – CASCA ENGASTADA SUBMETIDA À DEFORMAÇÃO INICIAL, SEM

CARREGAMENTOS ...................................................................................................................... 48

5. CONCLUSÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................................ 50

6. REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 52

13

1. INTRODUÇÃO

A análise estrutural tem como principal objetivo analisar e determinar tensões e/ou

esforços internos e deslocamentos de estruturas e elementos estruturais. Segundo ARAGÃO

FILHO (s.d.), “[...] a análise estrutural tem como alvo propiciar o necessário entendimento e

apreciação do comportamento da estrutura e comparar a performance esperada com os

requerimentos de projeto e prescrições de normas.”. Para a análise de uma estrutura, é

necessária a criação de um modelo matemático da situação física real, sendo esse modelo

resolvido analitíca ou numericamente. BRASIL et al (2015) definem modelo como uma

representação da realidade, sendo esta, uma formulação ou conjunto de equações, que vão

expressar características de um determinado sistema ou processo. Além disso, os autores

destacam que o grau de realismo desejado para o modelo depende de diversas considerações,

mantendo algumas características, negligenciando umas e aproximando outras.

Um dos métodos numéricos utilizados para a análise de estruturas é o Método dos

Elementos Finitos (MEF), que segundo Zienkiewicz & Taylor (2000), é comumente utilizado

em estruturas contínuas (que não são compostas por barras) e é definido como um procedimento

de discretização geral de problemas contínuos através de declarações matemáticas definidas.

Em tal método, discretiza-se o domínio contínuo em pequenas parcelas, denominadas de

elementos finitos. O domínio discretizado forma uma malha de elementos finitos e as incógnitas

são os deslocamentos nodais situados em tal malha, como demonstrado na Figura 1 abaixo.

(MARTHA, 2016).

14

Figura 1 - Discretização pelo MEF de uma estrutura contínua

Fonte: MARTHA (2016)

De acordo com BATHE (2014), para a técnica de solução por Elementos Finitos, por

esta ser um procedimento numérico, é necessário adereçar a precisão da solução com critérios,

refinando os parâmetros (como por exemplo, discretizando mais a estrutura) até o momento em

que uma aproximação aceitável seja alcançada. A Figura 2 abaixo resume o processo de análise

por Elementos Finitos, com suas etapas.

15

Figura 2 - Fluxograma do Processo de Análise pelo MEF

Fonte: Traduzido pelo autor de BATHE (2014)

As estruturas podem ser classificadas em: a) lineares, como pilares e vigas; b) de

superfície, como lajes e radier; e c) volumétricas, como blocos, por exemplo. Este trabalho tem

como foco um tipo de elemento de superfície, as cascas cilíndricas.

A NBR 6118 (2014) define elementos de superfície como “Elementos em que uma

dimensão, usualmente chamada de espessura, é relativamente pequena em face das demais

[...]”. Esta mesma norma apresenta a definição de três tipos de elementos de superfície: as

placas, as chapas e as cascas, conforme aponta a Figura 3 abaixo. As duas primeiras são

definidas como elementos planos – as placas, que são sujeitas a ações normais a seu plano, e as

chapas com ações contidas em seu plano. O terceiro elemento, por sua vez, é definido como um

16

elemento de superfície não plano. Os elementos de superfície também são conhecidos como

elementos laminares.

Figura 3 - Estruturas Laminares

Fonte: Elaborada pelo autor

Segundo SORIANO (2003): “Casca é um sólido que se caracteriza uma dimensão

denominada espessura, muito menor do que as dimensões de sua superfície média, sólido este

submetido a efeitos de flexão e de membrana. [...] Usualmente, o nome casca se refere a

estruturas de curvatura simples ou dupla.”.

Já segundo GARCIA e VILLAÇA (1998): “Designa-se por casca o elemento estrutural

bi-dimensional de superfície média curva.”.

As cascas possuem diversas aplicações na engenharia, como em conchas acústicas e

barragens abobodadas. Isso se dá principalmente pela capacidade de carga eficiente e pelo apelo

estético, podendo assim vencer grandes vãos. As figuras 4 e 5 ilustram exemplos de cascas.

17

Figura 4 - Museu Nacional de Brasília

Fonte: Metrópoles¹

1

Figura 5 - Cilíndro de Pressão

Fonte: Wikipedia²

Elas podem podem possuir um formato cilíndrico, usadas majoritariamente em tanques

de alta pressão e usualmente possuem axissimetria (simetria ao longo de seu eixo axial), como

mostra o exemplo da figura 5.

1 Disponível em: https://goo.gl/AD4SpR 2 Disponível em: https://goo.gl/SVm1tS

18

1.1 Objetivos

Objetivo geral

Esse estudo tem por objetivo realizar uma análise, tanto estática quanto dinâmica, de

cascas cilindricas axissimétricas pelo Método dos Elementos Finitos.

Objetivos específicos

Para atingir tal objetivo, temos como objetivos específicos:

• Apresentar as formulações analíticas e numéricas que concerne ao problema

• Desenvolver e aplicar um código computacional na linguagem Fortran para a

análise das cascas cilíndricas axissimétricas, utilizando o MEF.

• Analisar e quantificar, por meio do código criado, o deslocamento das estruturas

• Promover comparações dos resultados obtidos com soluções analíticas e/ou

soluções numéricas obtidas por outro método.

19

2. FORMULAÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA

2.1 Introdução

Este capítulo tem como objetivo apresentar a formulação analítica de cascas cilíndricas

axissimétricas baseada no Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). As expressões obtidas aqui

– tanto do trabalho virtual interno quanto externo - serão utlizidas como base para a formulação

numérica no capítulo 3.

O elemento estrutural é considerado axissimétrico devido a sua geometria e

características das solicitações que nele atuam.

2.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais

O PTV enuncia que “[...] considerando um campo de deslocamentos virtuais em uma

estrutura sob ações externas, há igualdade entre o trabalho virtual externo e o trabalho virtual

interno.” (SORIANO, 2005). Para isso, o sistema precisa estar em equilíbrio e esse campo de

deslocamentos precisa ser cinematicamente admissível, ou seja, compatível com vinculações

da estrutura, manter sua continuidade, ser suficientemente pequeno para ser consistente com

hipóteses de pequenas mudanças de configuração e atender às condições de prescrição de

deslocamentos. Sendo assim, temos que:

𝛿𝑊𝑖 = 𝛿𝑊𝑒

Onde δWi representa o trabalho virtual das forças internas e δWe o trabalho virtual das

forças externas. A seguir, têm-se as expressões gerais para ambos os trabalhos virtuais para um

sólido num espaço definido pelas coordenadas x, y e z.

𝛿𝑊𝑖 = ∫(𝜎𝑥𝛿휀𝑥 +

𝑉

𝜎𝑦𝛿휀𝑦 + 𝜎𝑧𝛿휀𝑧 + 𝜏𝑥𝑦𝛿𝛾𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝛿𝛾𝑥𝑧 + 𝜏𝑦𝑧𝛿𝛾𝑦𝑧)𝑑𝑉

(2.1)

𝛿𝑊𝑒 = ∫(𝜌𝑥𝛿𝑢 + 𝜌𝑦𝛿𝑣 + 𝜌𝑧𝛿𝑤)𝑑𝑠 + ∫(𝐵𝑥𝛿𝑢 + 𝐵𝑦𝛿𝑣 + 𝐵𝑧𝛿𝑤)𝑑𝑉

𝑉𝑆𝑓

(2.2)

Onde:

σx, σy, σz – Componentes de tensão normal;

τxy, τxz, τyz – Componentes de tensão de cisalhamento;

δεx, δεy, δεz, δγxy, δγxz, δγyz – Variações das componentes de deformação as quais são

ligadas às variações nos deslocamentos;

ρx, ρy, ρz – Componentes das forças de superfície que atuam na região Sf do contorno

onde são prescritas as forças;

20

Bx, By, Bz – Componentes das forças de volume;

δu, δv, δw – Variações das componentes de deslocamento (u, v, w) segundo as direções

x, y, z.

2.3 Hipóteses básicas

Algumas hipóteses são admitidas de acordo com a Teoria Clássica de Love para o

desenvolvimento da formulação analítica da casca cilíndrica, tais como:

i. A casca é considerada delgada, com comportamento linear físico e geométrico;

ii. Linhas retas normais à superfície média antes da deformação, permanecem retas,

normais e de mesmo comprimento após a deformação da casca (Hipótese de Kirchhoff-

Love);

iii. A componente da tensão normal σz (na direção normal à superfície média) é

suficientemente menor em relação as demais tensões e pode ser desprezada;

iv. O material obedece à Lei de Hooke generalizada, ou seja, é homogêneo, isotrópico e de

comportamento elástico linear.

A casca é definida em relação ao sistema de coordenadas x, θ, z, como mostra a figura

6. Devido a axissimetria do problema, o deslocamento uθ, a distorção γθz, os esforços

solicitantes Nθx, Nxθ, Mθx, Mxθ, Qθ e as componentes de carregamento pθ e deslocamento v são

nulos. A figura 7 representa os sentidos positivos para os esforços não nulos.

Figura 6 - Sistema de Coordenadas para a casca cilíndrica

Fonte: Adaptado de MITTELBACH (2002)

21

Figura 7 - Esforços não nulos no elemento de casca


2.4 Formulação

Trabalho Virtual Interno

Pelas hipóteses adotadas, a equação 2.1 do Trabalho Virtual interno fica simplificada

para:

𝛿𝑊𝑖 = ∫(𝜎𝑥𝛿휀𝑥 + 𝜎𝜃𝛿휀𝜃)𝑑𝑉

𝑉

(2.3)

Utilizando a Lei de Hooke para materiais isótropos e homogêneos, temos a relação

entre as tensões σx e σθ e as deformações εx e εθ pelas seguintes equações:

𝜎𝑥 =

𝐸

1 − 𝜈2(휀𝑥 + 𝜈휀 𝜃) (2.4)

𝜎𝜃 =

𝐸

1 − 𝜈2(휀𝜃 + 𝜈휀𝑥) (2.5)

Onde E representa o Módulo de Elasticidade Longitudinal e ν o Coeficiente de

Poisson.

22

Podemos reescrever a equação 2.3 considerando o comprimento da casca como “l”,

espessura “h” e raio da superfície média “a”, como sendo:

𝛿𝑊𝑖 = 2𝜋𝑎 ∫ [∫ (𝜎𝑥𝛿휀𝑥 + 𝜎𝜃𝛿휀𝜃)𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

] 𝑑𝑥𝑙

0

(2.6)

Segundo TIMOSHENKO (1959), temos as relações deformações-deslocamento para

esse problema como:

휀𝑥 =

𝑑𝑢

𝑑𝑥− 𝑧

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 (2.7)

휀𝜃 = −𝑤

𝑎 (2.8)

Além disso, dispomos que a definição dos esforços solicitantes, por unidade de

comprimento são dadas por:

𝑁𝑥 = ∫ 𝜎𝑥 𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

(2.9)

𝑁𝜃 = ∫ 𝜎𝜃 𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

(2.10)

𝑀𝑥 = ∫ 𝜎𝑥𝑧 𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

(2.11)

Logo, a expressão para o trabalho virtual interno assume o seguinte aspecto:

𝛿𝑊𝑖 = 2𝜋𝑎 ∫ (𝑁𝑥𝛿

𝑑𝑢

𝑑𝑥− 𝑀𝑥𝛿

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2− 𝑁𝜃𝛿

𝑤

𝑎) 𝑑𝑥

𝑙

0

(2.13)

A partir das relações deformações-deslocamento do problema, juntamente com a Lei

de Hooke das tensões-deformações, obtem-se os esforços solicitantes em termos dos

deslocamentos u e w.

𝑀𝜃 = ∫ 𝜎𝜃𝑧 𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

(2.12)

23

𝑁𝑥 = 𝐶 (

𝑑𝑢

𝑑𝑥− 𝜈

𝑤

𝑎) (2.14)

𝑁𝜃 = 𝐶 (𝜈

𝑑𝑢

𝑑𝑥−

𝑤

𝑎) (2.15)

𝑀𝑥 = −𝐷

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 (2.16)

𝑀𝜃 = −𝜈𝐷

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 (2.17)

Onde C e D, são respectivamentes, as Rigidezes Extensional e Flexional da casca

definidas por:

𝐶 =

𝐸ℎ

1 − 𝜈2 (2.18)

𝐷 =

𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈2) (2.19)

Logo, substituindo as equações 2.14-2.17 dos esforços em termos dos deslocamentos

na equação 2.13 do trabalho virtual interno, temos:

𝛿𝑊𝑖 = 2𝜋𝑎 ∫ [𝐶 (

𝑑𝑢

𝑑𝑥− 𝜈

𝑤

𝑎) 𝛿

𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 𝐷

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2𝛿

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2− 𝐶 (𝜈

𝑑𝑢

𝑑𝑥−

𝑤

𝑎)𝛿𝑤

𝑎 ] 𝑑𝑥

𝑙

0

(2.20)

Trabalho Virtual Externo

A figura 8 exibe os possíveis carregamentos, sejam eles de domínios ou de contorno

que podem atuar na casca cilíndrica. Sua representação é demonstrada em seu sentido positivo.

24

Figura 8 - Carregamentos de domínio e de contorno na Casca Cilíndrica


Podemos então, separar a expressão do Trabalho Virtual Externo na parcela referente

aos carregamentos de domínio (definidos por unidade de área) e de contorno (definidos por

unidade de comprimento). Sendo assim, temos a seguinte expressão relativa ao carregamento

de domínio, considerando as forças de inércia fx, fz e fφ, que correspondem respectimante aos

deslocamentos lineares u, w e a rotação φ (dw/dx):

𝛿𝑊𝑒𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 = ∫ [(𝑝𝑥 − 𝑓𝑥)𝛿𝑢 + (𝑝𝑧 − 𝑓𝑧)𝛿𝑤 − 𝑓𝜑𝛿

𝑑𝑤

𝑑𝑥] 𝑑𝑆 =

𝑆

= 2𝜋𝑎 ∫ [(𝑝𝑥 − 𝑓𝑥)𝛿𝑢 + (𝑝𝑧 − 𝑓𝑧)𝛿𝑤 − 𝑓𝜑𝛿𝑑𝑤

𝑑𝑥] 𝑑𝑥

𝑙

0

(2.21)

Onde:

𝑓𝑥 = ∫ 𝜇��𝑥𝑑𝑧 =

ℎ2

−ℎ2

∫ 𝜇 (��𝑥0 − 𝑧𝑑(��)

𝑑𝑥)𝑑𝑧 = 𝜇ℎ��𝑥0

ℎ2

−ℎ2

(2.22)

25

𝑓𝑧 = ∫ 𝜇��𝑑𝑧 =

ℎ2

−ℎ2

𝜇ℎ�� (2.23)

𝑓𝜑 = −∫ 𝜇��𝑥𝑧 𝑑𝑧 = ∫ 𝜇 (��𝑥0 − 𝑧𝑑(��)

𝑑𝑥) 𝑧 𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

ℎ2

−ℎ2

=𝜇ℎ3

12

𝑑(��)

𝑑𝑥 (2.24)

Substituindo os valores das forças de inércia na equação 2.21 do Trabalho Virtual

Externo, temos:

𝛿𝑊𝑒 = 2𝜋𝑎 ∫ [(𝑝𝑥 − 𝜇ℎ��𝑥0)𝛿𝑢 + (𝑝𝑧 − 𝜇ℎ��)𝛿𝑤 −

𝜇ℎ3

12

𝑑(��)

𝑑𝑥𝛿

𝑑𝑤

𝑑𝑥] 𝑑𝑥

𝑙

0

(2.25)

Já o trabalho virtual externo relativo aos carregamentos de contorno é representado

abaixo:

𝛿𝑊𝑒 = 2𝜋𝑎 [��𝑥𝛿𝑢 + ��𝑥𝛿𝑤 − ��𝑥𝛿

𝑑𝑤

𝑑𝑥]0

𝑙

(2.26)

Onde:

��𝑥|0 = ��𝑥0 , ��𝑥|𝑙 = ��𝑥𝑙, ��𝑥|0 = ��𝑥0 , ��𝑥|𝑙 = ��𝑥𝑙, ��𝑥|0 = ��𝑥0 e

��𝑥|𝑙 = ��𝑥𝑙

Logo, temos assim o Trabalho Virtual Externo total sendo como a soma das equações

2.25 e 2.26 relativos as parcelas dos dois tipos de carregamento.

𝛿𝑊𝑒 = 2𝜋𝑎 ∫ [(𝑝𝑥 − 𝜇ℎ��𝑥0)𝛿𝑢 + (𝑝𝑧 − 𝜇ℎ��)𝛿𝑤 −

𝜇ℎ3

12

𝑑(��)

𝑑𝑥𝛿

𝑑𝑤

𝑑𝑥] 𝑑𝑥

𝑙

0

+ 2𝜋𝑎 [��𝑥𝛿𝑢 + ��𝑥𝛿𝑤 − ��𝑥𝛿𝑑𝑤

𝑑𝑥]0

𝑙

(2.27)

26

3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA

3.1 Introdução

Devido à axissimetria do problema, a análise pode ser realizada com elementos

unidimensionais, uma vez que o problema é independente de θ. Toda a formulação numérica

deste trabalho será baseada no Método dos Elementos Finitos (MEF), no qual cada elemento

contém dois nós, e cada nó possui três graus de liberdade (deslocamento longitudinal “u”,

deslocamento transversal “w” e rotação “φ”). O comprimento do elemento é dado por λ, este

representado na figura 9.

Figura 9 - Elemento Finito

Fonte: Adaptado de VIEIRA (2007)

Para a aplicação deste Método, são avaliada as integrais relativas aos Trabalhos

Virtuais Interno e Externo para cada elemento finito, considerando ao final, o somatório das

contribuições de todos os elementos da estrutura. Após a utlização do Princípio dos Trabalhos

Virtuais (igualando as expressões dos trabalhos virtuais interno e externo), impõem-se as

27

condições de contorno, geométricas e monta-se um sistema de equações lineares onde as

incógnitas são os deslocamentos nos nós dos elementos.

3.2 Discretização

A discretização dos elementos para a estrutura, poderá ser realizada de duas maneiras:

uma uniforme, onde todos os elementos possuem a mesma dimensão λ e o número de elementos

será o resultado da razão entre o comprimento L da estrutura e esta dimensão λ; e a outra não

uniforme, onde a estrutura é dividida em trechos e cada trecho possui a sua própria dimensão λ

e consequentemente um determinado número de elementos. Tal tipo de discretização é útil

devido ao comportamento das placas cilíndricas axissimétricas, nas quais os efeitos de flexão,

decorrentes a deslocamentos prescritos ou forças concentradas, têm caráter localizado. Dai a

discretização deve ser mais refinada onde ocorrem os efeitos de flexão, podendo ser mais

grosseira onde prevalece o comportamento de membrana. Fazendo isso, evita-se refinar toda a

malha da estrutura em regiões onde não há variação significativa do deslocamento,

economizando esforço computacional.

A axissimetria da estrutura torna a discretização mais simples por tornar o problema

unidimensional. Os nós são numerados da base para o topo. Para um total de “N” elementos

(divisões) na casca, o número de nós “NN” será NN = N + 1, no domínio, como mostra a figura

10.

Figura 10 – Estrutura uniformemente discretizada


3.3 Funções de interpolação

Os deslocamentos longitudinais “u”, transversais “w” e a rotação “φ” em um dado

elemento são aproximados por meio de funções que dependem dos valores destes

deslocamentos nos nós incial e final do elemento. Estas funções de interpolação são polinômios

cujo grau depende do número de deslocamentos nodais do elemento relacionadas à variável que

se quer representar. Para a função u(x) existem dois deslocamentos nodais no elemento. Desta

forma, a função u(x) será linear. Para a função w(x), que descreve tanto o w(x) quanto φ(x)

28

(dw/dx), existem quatro deslocamentos nodais no elemento, portanto, w(x) será uma função

cúbica.

Deslocamento longitudinal

Para o deslocamento longitudinal, tem-se:

𝑢(𝑥) = 𝑓𝑢1𝑢𝑖 + 𝑓𝑢2𝑢𝑓 (3.1)

Onde fu1 e fu2 são funções do tipo f(x) = ax + b que dependem das condições de

contorno nos nós iniciais e finais. Sendo assim, temos:

𝑓𝑢1 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑢1(0) = 1 𝑒 𝑓𝑢1(𝜆) = 0

𝑓𝑢1 = −𝑥

𝜆+ 1

𝑓𝑢2 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑢2(0) = 0 𝑒 𝑓𝑢2(𝜆) = 1

𝑓𝑢2 =𝑥

𝜆

Portanto:

𝑢(𝑥) = (−

𝑥

𝜆+ 1) 𝑢𝑖 +

𝑥

𝜆𝑢𝑓 (3.2)

Logo, sua derivada:

𝑑𝑢(𝑥)

𝑑𝑥= −

1

𝜆𝑢𝑖 +

1

𝜆𝑢𝑓 (3.3)

Deslocamento transversal

A função de interpolação do deslocamento transversal se escreve:

𝑤(𝑥) = 𝑓𝑤1𝑤𝑖 + 𝑓𝜑1𝜑𝑖 + 𝑓𝑤2𝑤𝑓 + 𝑓𝜑2𝜑𝑓 (3.4)

Onde as funções fw1, fφ1, fw2 e fφ2 são do tipo f(x) = ax³ + bx² + cx + d, dependendo das

condições de contorno w e w’ nos nós. Logo:

𝑓𝑤1 = 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥

2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1

𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑤1(0) = 1,𝑑𝑓𝑤1

𝑑𝑥(0) = 0, 𝑓𝑤1(𝜆) = 0 𝑒

𝑑𝑓𝑤1

𝑑𝑥(𝜆) = 0

Aplicando as condições de contorno, temos:

𝑓𝑤1 =2

𝜆3𝑥3 −

3

𝜆2𝑥2 + 1

𝑓𝑤2 = 𝑎2𝑥3 + 𝑏2𝑥

2 + 𝑐2𝑥 + 𝑑2

𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑤2(0) = 0,𝑑𝑓𝑤2

𝑑𝑥(0) = 0, 𝑓𝑤2(𝜆) = 1 𝑒

𝑑𝑓𝑤2

𝑑𝑥(𝜆) = 0

𝑓𝑤2 = −2

𝜆3𝑥3 +

3

𝜆2𝑥2

29

𝑓𝜑1 = 𝑎3𝑥3 + 𝑏3𝑥

2 + 𝑐3𝑥 + 𝑑3

𝑐𝑜𝑚 𝑓𝜑1(0) = 0,𝑑𝑓𝜑1

𝑑𝑥(0) = 1, 𝑓𝜑1(𝜆) = 0 𝑒

𝑑𝑓𝜑1

𝑑𝑥(𝜆) = 0

𝑓𝜑1 =𝑥3

𝜆2−

2

𝜆𝑥2 + 𝑥

𝑓𝜑2 = 𝑎4𝑥3 + 𝑏4𝑥

2 + 𝑐4𝑥 + 𝑑4

𝑐𝑜𝑚 𝑓𝜑2(0) = 0,𝑑𝑓𝜑2

𝑑𝑥(0) = 0, 𝑓𝜑2(𝜆) = 0 𝑒

𝑑𝑓𝜑2

𝑑𝑥(𝜆) = 1

𝑓𝜑2 =𝑥3

𝜆2−

𝑥2

𝜆

Logo:

𝑤(𝑥) = (

2𝑥3

𝜆3−

3𝑥2

𝜆2+ 1)𝑤𝑖 + (

𝑥3

𝜆2−

2𝑥2

𝜆+ 𝑥)𝜑𝑖 + (−

2𝑥3

𝜆3+

3𝑥2

𝜆2)𝑤𝑓 + (

𝑥3

𝜆2−

𝑥2

𝜆)𝜑𝑓 (3.5)

Rotação

A função da rotação é igual a derivada da função do deslocamento transversal em

relação a x, portanto:

𝜑(𝑥) =

𝑑𝑤(𝑥)

𝑑𝑥= (

6𝑥2

𝜆3−

6𝑥

𝜆2)𝑤𝑖 + (

3𝑥2

𝜆2−

4𝑥

𝜆+ 1) 𝜑𝑖 + (−

6𝑥2

𝜆3+

6𝑥

𝜆2)𝑤𝑓 + (

3𝑥2

𝜆2−

2𝑥

𝜆)𝜑𝑓 (3.6)

Analogamente, tem-se a derivada da rotação pela seguinte expressão:

𝑑𝜑(𝑥)

𝑑𝑥=

𝑑2𝑤(𝑥)

𝑑𝑥2= (

12𝑥

𝜆3−

6

𝜆2)𝑤𝑖 + (

6𝑥

𝜆2−

4

𝜆)𝜑𝑖 + (−

12𝑥

𝜆3+

6

𝜆2)𝑤𝑓 + (

6𝑥

𝜆2−

2

𝜆)𝜑𝑓 (3.7)

3.4 Representação das derivadas temporais dos deslocamentos pelo Método da

Aceleração Constante

Para a análise dinâmica, utiliza-se o Método da Aceleração Constante, um dos casos

específicos do Método de Newmark (BATHE, 1996). Este método é um sistema implicito de

integração ao longo do tempo. Como o próprio nome já diz, o método toma a segunda derivada

temporal (aceleração) dos deslocamentos como sendo constante em cada intervalo de tempo Δt,

mostrado na figura 11:

30

Figura 11 - Método da Aceleração Constante

Fonte: MITTELBACH (2007)

Neste método, f pode representar qualquer um dos deslocamentos u, w ou φ; f é a sua

primeira derivada temporal (velocidade); f sua segunda derivada temporal (aceleração); t1 e t2

são os instantes inicial e final do intervalo considerado, sendo a aceleração no referido intervalo

é dada por:

𝑓∆𝑡 =

𝑓1 + 𝑓22

(3.8)

Com base nas relações:

��∆𝑡 = 𝑓∆𝑡𝑡 + 𝑓1 → ��2 =𝑓1 + 𝑓2

2∆𝑡 + 𝑓1

𝑓∆𝑡 = 𝑓∆𝑡

𝑡2

2+ ��1𝑡 + 𝑓1 → 𝑓2 =

𝑓1 + 𝑓22

∆𝑡2

2+ 𝑓1∆𝑡 + 𝑓1

Podemos escrever as derivadas f2 e f2 a partir dos deslocamentos nodais f2 no instante

de tempo t2:

𝑓2 =

4

∆𝑡2𝑓2 + 𝑔 (3.9)

𝑓2 =

2

∆𝑡𝑓2 + ℎ (3.10)

Onde g e h são funções que descrevem a marcha do tempo, e dependem dos

deslocamentos e suas derividas no instante de tempo inicial do passo de tempo (t1).

31

𝑔 = −

4

∆𝑡2(𝑓1 + 𝑓1∆𝑡) − 𝑓1 (3.11)

ℎ = −

2

∆𝑡𝑓1 − 𝑓1 (3.12)

3.5 Avaliação do trabalho virtual interno

Para cada elemento finito, tem-se a seguinte expressão para a contribuição no trabalho

virtual interno:

𝛿𝑊𝑖 = 2𝜋𝑎 ∫[𝐶 (𝑑𝑢(𝑥)

𝑑𝑥− 𝜈

𝑤(𝑥)

𝑎)𝛿

𝑑𝑢(𝑥)

𝑑𝑥+ 𝐷

𝑑2𝑤(𝑥)

𝑑𝑥2𝛿

𝑑2𝑤(𝑥)

𝑑𝑥2− 𝐶 (𝜈

𝑑𝑢(𝑥)

𝑑𝑥−

𝑤(𝑥)

𝑎)𝛿

𝑤(𝑥)

𝑎] 𝑑𝑥

𝜆

0

(3.13)

Substituindo as funções dos deslocamentos e de suas derivadas demonstradas no

tópico 3.3, obtêm-se os elementos da Matriz de Rigidez local do elemento finito:

𝐾 =

[ 2𝜋𝑎

𝐶

𝜆𝜋𝐶𝜈

𝜋𝐶𝜆𝜈

6−2𝜋𝑎

𝐶

𝜆𝜋𝐶𝜈 −

𝜋𝐶𝜆𝜈

6

𝜋𝐶𝜈 𝜋 (24𝑎𝐷

𝜆3+

26𝐶𝜆

35𝑎) 𝜋 (

12𝑎𝐷

𝜆2+

11𝐶𝜆2

105𝑎) −𝜋𝐶𝜈 𝜋 (

9𝐶𝜆

35𝑎−

24𝑎𝐷

𝜆3) 𝜋 (

12𝑎𝐷

𝜆2−

13𝐶𝜆2

210𝑎)

𝜋𝐶𝜆𝜈

6𝜋 (

12𝑎𝐷

𝜆2+

11𝐶𝜆2

105𝑎) 𝜋 (

2𝐶𝜆3

105𝑎+

8𝑎𝐷

𝜆) −

𝜋𝐶𝜆𝜈

6𝜋 (

13𝐶𝜆2

210𝑎−

12𝑎𝐷

𝜆2) 𝜋 (−

𝐶𝜆3

70𝑎+

4𝑎𝐷

𝜆)

−2𝜋𝑎𝐶

𝜆−𝜋𝐶𝜈 −

𝜋𝐶𝜆𝜈

62𝜋𝑎

𝐶

𝜆−𝜋𝐶𝜈

𝜋𝐶𝜆𝜈

6

𝜋𝐶𝜈 𝜋 (9𝐶𝜆

35𝑎−

24𝑎𝐷

𝜆3) 𝜋 (

13𝐶𝜆2

210𝑎−

12𝑎𝐷

𝜆2) −𝜋𝐶𝜈 𝜋 (

26𝐶𝜆

35𝑎+

24𝑎𝐷

𝜆3) −𝜋(

11𝐶𝜆2

105𝑎+

12𝑎𝐷

𝜆2)

−𝜋𝐶𝜆𝜈

6𝜋 (

12𝑎𝐷

𝜆2−

13𝐶𝜆2

210𝑎) 𝜋 (−

𝐶𝜆3

70𝑎+

4𝑎𝐷

𝜆)

𝜋𝐶𝜆𝜈

6−𝜋 (

11𝐶𝜆2

105𝑎+

12𝑎𝐷

𝜆2) 𝜋 (

2𝐶𝜆3

105𝑎+

8𝑎𝐷

𝜆)

]

3.6 Avaliação do trabalho virtual externo

Parcela Estática

O trabalho virtual externo da parcela estática dos carregamentos de domínio em cada

elemento finito pode ser escrita como:

𝛿𝑊𝑒 = 2𝜋𝑎 ∫[𝑝𝑥𝛿𝑢(𝑥) + 𝑝𝑧𝛿𝑤(𝑥)]𝑑𝑥

𝜆

0

(3.14)

32

Onde px é o carregamento longitudinal na estrutura, que será considerado sempre

constante, e pz o carregamento transversal. Como este poderá variar linearmente, ele será regido

pela seguinte função:

𝑝𝑧 = 𝑝𝑧1 + (𝑝𝑧2 − 𝑝𝑧1) ∙𝑥

𝜆 (3.15)

Onde pz1 representa o valor deste carregamento no nó inicial, e pz2 no nó final.

Substituindo as funções u(x), w(x) e pz e realizando a integração, obtemos os

elementos do vetor de carga estática, dos carregamenos de domínio para cada elemento,

representada abaixo:

𝑉𝐶𝑒𝑠𝑡 =

[

𝜋𝑎𝜆𝑝𝑥

𝜋𝑎 (7𝜆𝑝𝑧1 + 3𝜆𝑝𝑧2

10)

𝜋𝑎 (𝑝𝑧1𝜆

2

10+

𝑝𝑧2𝜆2

15)

𝜋𝑎𝜆𝑝𝑥

𝜋𝑎 (3𝜆𝑝𝑧1 + 7𝜆𝑝𝑧2

10)

−𝜋𝑎 (𝑝𝑧1𝜆

2

15+

𝑝𝑧2𝜆2

10)]

Parcela Dinâmica

Para a dinâmica, temos a seguinte expressão para o Trabalho Virtual Externo:

𝛿𝑊𝑒𝑑𝑖𝑛 = 2𝜋𝑎 ∫ [−𝑓𝑥𝛿𝑢(𝑥) − 𝑓𝑤𝛿𝑤(𝑥) − 𝑓𝜃𝛿

𝑑𝑤(𝑥)

𝑑𝑥] 𝑑𝑥

𝜆

0

(3.16)

Onde:

𝑓𝑥 = 𝜇ℎ

4

∆𝑡2𝑢(𝑥) + 𝜇ℎ𝑔𝑢 (3.17)

𝑓𝑤 = 𝜇ℎ

4

∆𝑡2𝑤(𝑥) + 𝜇ℎ𝑔𝑤 (3.18)

𝑓𝜑 =

𝜇ℎ3

3∆𝑡2

𝑑𝑤(𝑥)

𝑑𝑥+

𝜇ℎ𝑔𝜑

12 (3.19)

33

Substituindo as equações fx, fw e fφ na integral, além das funções u(x), w(x) e dw(x)/dx,

e integrando, obtêm-se os elementos da Matriz de Massa para cada elemento e o vetor de carga

dinâmicas:

𝑀 =

2𝜋𝑎

[ 4ℎ𝜆𝜇

3∆𝑡20 0

2ℎ𝜆𝜇

3∆𝑡20 0

052ℎ𝜆𝜇

35∆𝑡2+

2ℎ3𝜇

5𝜆∆𝑡2

22ℎ𝜆2𝜇

105∆𝑡2+

ℎ3𝜇

30∆𝑡20

18ℎ𝜆𝜇

35∆𝑡2−

2ℎ3𝜇

5𝜆∆𝑡2−

13ℎ𝜆2𝜇

105∆𝑡2+

ℎ3𝜇

30∆𝑡2

022ℎ𝜆2𝜇

105∆𝑡2+

ℎ3𝜇

30∆𝑡2

4ℎ𝜆3𝜇

105∆𝑡2+

2ℎ3𝜆𝜇

45∆𝑡20

13ℎ𝜆2𝜇

105∆𝑡2−

ℎ3𝜇

30∆𝑡2−

ℎ𝜆3𝜇

35∆𝑡2−

ℎ3𝜆𝜇

90∆𝑡2

2ℎ𝜆𝜇

3∆𝑡20 0

4ℎ𝜆𝜇

3∆𝑡20 0

018ℎ𝜆𝜇

35∆𝑡2−

2ℎ3𝜇

5𝜆∆𝑡2

13ℎ𝜆2𝜇

105∆𝑡2−

ℎ3𝜇

30∆𝑡20

52ℎ𝜆𝜇

35∆𝑡2+

2ℎ3𝜇

5𝜆∆𝑡2−

22ℎ𝜆2𝜇

105∆𝑡2−

ℎ3𝜇

30∆𝑡2

0 −13ℎ𝜆2𝜇

105∆𝑡2+

ℎ3𝜇

30∆𝑡2−

ℎ𝜆3𝜇

35∆𝑡2−

ℎ3𝜆𝜇

90∆𝑡20 −

22ℎ𝜆2𝜇

105∆𝑡2−

ℎ3𝜇

30∆𝑡2

4ℎ𝜆3𝜇

105∆𝑡2+

2ℎ3𝜆𝜇

45∆𝑡2 ]

Nota-se que, para a integração da matriz de massa, não é considerada a parcela que

representa a função “g” da marcha do tempo das equações fx, fw e fφ, uma vez que essa parcela

contribui para o Vetor de Carga Dinâmica, e não para a Matriz de Massa.

O Vetor de Carga Dinâmica irá variar a cada passo de tempo, de acordo com os novos

valores das primeiras e segundas derivadas temporais para cada deslocamento apresentado no

tópico 3.4.

3.7 Montagem das matrizes e vetores de carga globais

As matrizes globais (para toda a estrutura) tanto de Rigidez quanto de Massa, são

formadas a partir da superposição das deslocabilidades semelhantes dos diversos elementos

finitos. Por exemplo, o primeiro elemento contribui para as deslocabilidades globais d1, d2, d3,

d4, d5 e d6, enquanto o segundo elemento para as deslocabilidades d4, d5, d6, d7, d8 e d9. As

contribuições das deslocabilidaes d4, d5 e d6, por serem coincidentes, são somadas. Este padrão

é repetido para todo o domínio da estrutura, passando por todos os elementos. O esquema geral

é representado na figura 12.

34

Figura 12 - Montagem das Matrizes Globais


Por cada nó possuir 3 deslocabilidades, as matrizes globais serão (NN x 3) x (NN x 3).

O vetor de ações equivalentes nodais é montado de maneira análoga, a partir do vetor VC para

cada elemento. Após a superposição e montagem deste vetor global, são somadas as forças

aplicadas nos nós em cada deslocabilidade, resultando no Vetor de Cargas Global ‘F’, como

mostra a figura 13. Este vetor possuirá (NN x 3) elementos.

35

Figura 13 – Montagem do vetor de cargas global


3.8 Resolução do sistema de equações

Após a montagem das Matrizes de Rigidez, de Massa, e do Vetor de Cargas Global, é

montado o sistema de equações lineares [K + M][d] = [F + Fd], como mostra a figura 14.

Figura 14 - Representação Matricial do Sistema de Equações


36

O primeiro passo para a resolução desse sistema de equações é a aplicação das

condições de contorno do problema, a partir do tipo de vinculação (apoio ou engaste) da

estrutura, pois a priori, o sistema é inderteminado por ter um número de incógnitas maior que

o número de equações. Essas condições de contorno são referentes ao primeiro nó da casca

cilíndrica, na sua base. Além das condições de contorno da estrutura, é necessário também o

conhecimento no tempo t = 0, dos deslocamentos, velocidades e acelerações de cada

deslocabilidade. As condições de contorno são introduzidas no sistema de equações pela técnica

dos “zeros e uns”, que consiste na mudança do vetor de cargas e da matriz global, afim de inserir

as informações dos deslocamentos prescritos. Para a resolução do sistema, foi utilizado o

Método de Gauss, obtendo assim os deslocamentos de cada nó. Para cada passo de tempo, são

atualizado os parâmetros da marcha do tempo “g” e “h”, juntamente com as velocidades e

acelerações de cada deslocabilidade com os valores dos deslocamentos obtidos no tempo

anterior. Este processo é repetido até o final da marcha no tempo, sempre com a montagem e

resolução do sistema de equações.

3.9 Código computacional

O programa desenvolvido para análise numérica do problema foi realizado no software

PLATO v4.75, que consiste em um compilador da linguagem FORTRAN95, muito utilizada

nas análises pelo Método dos Elementos Finitos e Método das Diferenças Finitas Energéticas,

pela alta rapidez computacional.

Os exemplos tratados neste trabalho são apresentados no Capítulo 4.

37

4. EXEMPLOS E RESULTADOS

4.1 Introdução

Neste capítulo serão apresentados quatro exemplos, os três primeiros com uma análise

estática e dinâmica, com o objetivo de testar e validar o algoritmo desenvolvido comparando o

resultado neles obtidos. Na análise estática, os resultados do Método dos Elementos Finitos do

programa serão comparados com a solução análitica teórica da teoria das cascas, enquanto na

análise dinâmica, o MEF será comparado com os resultados pelo Método das Diferenças Finitas

Energéticas (MDFE). Nesta análise dinâmica, o carregamento será aplicada de maneira súbita,

no instante de tempo t = 0s. Tal aplicação repentina do carregamento gerará uma aceleração

que estimulará o comportamento dinâmico da estrutura.

O primeiro exemplo será de uma casca cilíndrica apoiada na base com carregamento

transversal constante ao longo de todo o comprimento. Na sua análise estática, serão

considerados 5 tipos de discretizações diferentes: duas uniformes, duas com dois trechos de

discretizações distintas e uma com três trechos de discretização, porém todas com o mesmo

número de elementos. O segundo exemplo terá um carregamento transversal linear ao longo da

casca, sendo nulo no topo da estrutura, e a casca será engastada na base. O terceiro exemplo

será de uma casca apoiada na base, com um carregamento transversal linear e um carregamento

longitudinal. Já o quarto exemplo, não haverá nenhum carregamento, porém ela terá uma

deformação inicial. Nos três últimos exemplos só será utilizada uma discretização não uniforme

na análise estática. Os tipos de discretizações adotas são representadas na figura 15.

Figura 15 - Tipos de Discretizações

Fonte: VIEIRA (2007)

38

Para a comparação entre o Método dos Elementos Finitos e a solução analítica na análise

estática, e entre o MEF e a solução pelo Método das Diferenças Finitas Energéticas na análise

dinâmica, será calculado um erro relativo, de acordo com as seguintes expressões:

Na análise estática:

𝐸𝑟𝑒𝑙% =

|𝑑𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 − 𝑑𝑀𝐸𝐹|

𝑑𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 ∙ 100 (4.1)

Enquanto na análise dinâmica:

𝐸𝑟𝑒𝑙% =

|𝑑𝑀𝐷𝐸𝐹 − 𝑑𝑀𝐸𝐹|

𝑑𝑀𝐷𝐸𝐹∙ 100 (4.2)

A comparação percentual se dará com o ponto de deslocamento máximo e seu valor

analítico na análise estática. Já na parte dinâmica, a comparação será com a média dos erros

para os passos de tempos analisados, no MEF e no MDFE.

4.2 Exemplo 1 – Casca apoiada submetida à carregamento transversal constante

A figura 16 representa o esquema do Exemplo 1, e seus dados relativos à geometria e

carregamento.

ℎ = 5,00 𝑥 10−3 𝑚

𝑎 = 8,00 𝑥 10−1 𝑚

𝐿 = 3,00 𝑚

𝐸 = 2,10 𝑥 1011 𝑁/𝑚2

𝜈 = 0,30

𝑝𝑧 = −5,00 𝑥 105 𝑁/𝑚2

𝜇 = 7000 𝑘𝑔/𝑚³


Figura 16 - Casca cilíndrica apoiada com carregamento transversal constante

39

Neste exemplo, são utilizados 5 tipos de discretizações:

• Uniforme – I: 1 trecho de discretização com 20 elementos (λ = 0,15 m)

• Uniforme – II: 1 trecho de discretização com 30 elementos (λ = 0,10 m)

• Não Uniforme – I: 2 trechos de discretização, um com comprimento de 0,50 m e outro

com 2,50 m, com 10 elementos cada (λ1 = 0,05 m e λ2 = 0,25 m)

• Não Uniforme – II: 2 trechos de discretização, um com comprimento de 0,50 m e outro

com 2,50 m, com 15 elementos cada (λ1 = 0,0333 m e λ2 = 0,1667 m)

• Não Uniforme – III: 3 trechos de discretização, um com comprimento de 0,20 m, outro

com 0,30 m e o terceiro com 2,50 m. O primeiro trecho com 15 elementos, o segundo

com 9 e o terceiro com 6 (λ1 = 0,0133 m, λ2 = 0,0333 m e λ3 = 0,4167 m)

Análise estática

Observando o gráfico do deslocamento pela solução analítica, percebe-se uma grande

variação entre as abscissas 0,0 m e 0,30 m, enquanto a partir deste ponto, ele permanece

constante como mostrado a solução de membrana no gráfico abaixo.

Isto também é percebido nos gráficos dos deslocamentos pelo Método dos Elementos

Finitos, para todos os tipos de discretização for adotado. Devido a isso, no gráfico 2

Gráfico 1 - Exemplo 1 - Solução Analítica

Fonte: Elaboração do autor

40

comparativo, é destacada apenas a região onde ocorre tal variação, ou seja, entre as abscissas

0,0 m e 0,30 m.

O gráfico 2 e a tabela 1 ilustram a análise comparativa para os deslocamentos

transversais máximos para cada tipo de discretização.

Gráfico 2 - Exemplo 1 - Estática

Fonte: Elaboração do autor (2018)

Tabela 1 - Exemplo 1 - Estática

Abscissa x (m) w máximo (m) Diferença Percentual

Analítica 0,120 -3,250548E-04 -

Uniforme - I 0,150 -3,197306E-04 -1,638%

Uniforme - II 0,100 -3,223500E-04 -0,832% Não Uniforme - I 0,100 -3,218713E-04 -0,979%

Não Uniforme - II 0,133 -3,230032E-04 -0,631% Não Uniforme - III 0,120 -3,250152E-04 -0,012%

Fonte: Elaboração do autor (2018)

Percebe-se, como esperado, que com o refino da discretização na área sujeita à flexão,

mesmo utilizando o mesmo número de elementos finitos, o valor do deslocamento encontrado

pelo MEF se aproxima do valor analítico teórico, sendo no caso com 3 trechos de discretização,

uma diferença de aproximadamente 0,01% apenas.

-4,00E-04

-3,50E-04

-3,00E-04

-2,50E-04

-2,00E-04

-1,50E-04

-1,00E-04

-5,00E-05

0,00E+00

0,00 0,10 0,20 0,30

Des

loca

men

to w

(m

)

x (m)

Exemplo 1 - Estática

Analítica

Uniforme - I

Uniforme - II

Não Uniforme - I

Não Uniforme - II

Não Uniforme - III

41

Análise dinâmica

Na análsie dinâmica, incialmente utilizaria-se a mesma discretização que obtivesse

melhor resultado na análise estática, no caso, a Não Uniforme – III. Entretanto, houve uma

divergência anormal quando utilizava-se uma discretização não uniforme na análise dinâmica

e assim foi identificada uma limitação do código computacional. A amplitude das deformações

se afastava do resultado obtido pelo MDFE. Devido a este imprevisto, utilizou-se uma

discretização uniforme de um trecho, contudo, com 100 elementos para obtenção de uma

precisão adequada. Entretanto, por necessitar de um alto refinamento na malha para não

dispersar do resultado obtido na análise estática, isso requisitou um alto esforço computacional.

Uma das hipóteses levantada foi a formação de uma matriz mal condicionada no MEF, podendo

ter ocorrido pois a ordem dos polinômios deste método é maior que do MDFE, por tratar com

a aproximação dos deslocamentos, sendo um método mais sensível quanto a isso.

Para esta análise, observou-se o nó da abscissa 0,12 m, seção na qual ocorreu a maior

deformação na solução estática, com um tempo total Δt = 0,03s e 300 passos de tempo, A seguir,

temos o gráfico 3 e a tabela 2, comparativas dos resultados.

Gráfico 3 - Exemplo 1 - Dinâmica

Fonte: Elaboração do Autor

-1,10E-03

-9,00E-04

-7,00E-04

-5,00E-04

-3,00E-04

-1,00E-04

1,00E-04

3,00E-04

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

Des

loca

men

to w

(m

)

Tempo (s)

Exemplo 1 - Dinâmica

MEF

MDFE

42

Tabela 2 - Exemplo 1 – Dinâmica

Método Média das diferenças percentuais para cada passo de

tempo

MDFE -

MEF -3,605%

Fonte: Elaboração do Autor

Esta diferença percentual foi bastante satisfatória, uma vez que obteve um diferença

menor que 5%. Além disso, não houve defasagem do período para o intervalo de tempo

considerado.

4.3 Exemplo 2 – Casca engastada submetida à carregamento transversal variável

Para o segundo exemplo, a casca encontra-se sujeita a um carregamento transversal linear ao

longo do seu comprimento, sendo nulo no topo da estrutura, e a casca é engastada na base. A

figura 17 ilustra esta situação, com os dados de sua geometria e carregamento.

Figura 17 - Casca cilíndrica engastada com carregamento transversal variável

ℎ = 5,00 𝑥 10−3 𝑚

𝑎 = 8,00 𝑥 10−1 𝑚

𝐿 = 3,00 𝑚

𝐸 = 2,10 𝑥 1011 𝑁/𝑚2

𝜈 = 0,30

𝑝𝑧 = −5,00 𝑥 105 𝑁/𝑚2

𝜇 = 7000 𝑘𝑔/𝑚³


43

Análise estática

Para a análise estática, foram realizados dois tipos de discretizações, uma uniforme outra não

uniforme para a comparação com a solução analítica. Foi realizada uma discretização uniforme

para a análise estática, uma vez que essa discretização será utilizada na análise dinâmica. A

discretização Uniforme utilizou 150 elementos de 0,02 m cada, enquanto a discretização Não

Uniforme possui 3 trechos, o primeiro próximo à base com 15 elementos e 0,20 m (λ = 0,013

m), o segundo com 9 elementos e 0,30 m (λ = 0,033 m), e o terceiro com 6 elementos e 2,50 m

(λ = 0,417 m). O gráfico 4 e a tabela 3 apresentam a comparação das duas soluções pelo MEF,

com a solução analítica.




Abscissa (m) w máximo (m) Diferença Percentual

Analítica 0,147 -3,020289E-04 -

MEF - Uniforme 0,140 -3,023229E-04 -0,097%

MEF - Não Uniforme 0,147 -3,026571E-04 -0,208%


-3,50E-04

-3,00E-04

-2,50E-04

-2,00E-04

-1,50E-04

-1,00E-04

-5,00E-05

0,00E+00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

Des

loca

men

to w

(m

)

x (m)


Analítica

MEF - Uniforme

MEF - Não Uniforme

44

Ambas as discretizações alcançaram excelentes resultados, com baixa diferença percentual em

relação à solução analítica. A discretização uniforme performou um pouco melhor devido ao

alto refinamento, que aumenta o esforço computacional.

Análise dinâmica,

Na análsie dinâmica do Exemplo 2, utilizou-se uma discretização uniforme com 150

elementos para obtenção de uma precisão adequada.

Para esta análise, observou-se o nó da abscissa 0,14 m, seção onde ocorreu a maior

deformação na solução estática, com um tempo total Δt = 0,03s e 300 passos de tempo, A seguir,

temos o gráfico 5 e a tabela 4 comparativos das soluções do MEF e do MDFE.



Tabela 4 - Exemplo 2 - Dinâmica


tempo

MDFE -

MEF -5,281%


-7,00E-04

-6,00E-04

-5,00E-04

-4,00E-04

-3,00E-04

-2,00E-04

-1,00E-04

0,00E+00

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

Des

loca

men

to w

(m

)

Tempo (s)


MEF

MDFE

45

Mais uma vez o resultado foi satisfatório, com uma diferença percentual média em

torno dos 5%. Novamente, não houve defasagem no período entre os métodos no intervalo de

tempo considerado.

4.4 Exemplo 3 – Casca apoiada submetida à carregamento longitudinal uniforme e

carregamento transversal variável

Para o terceiro exemplo, a casca encontra-se submetida a um carregamento transversal linear

ao longo do seu comprimento, sendo nulo no topo da estrutura, além de um carregamento

longitudinal constante, e a casca é apoiada na base. A figura 18 ilustra esta situação, com os

dados de sua geometria e carregamento.

ℎ = 5,00 𝑥 10−3 𝑚

𝑎 = 8,00 𝑥 10−1 𝑚

𝐿 = 2,00 𝑚

𝐸 = 2,10 𝑥 1011 𝑁/𝑚2

𝜈 = 0,30

𝑝𝑧 = −10,00 𝑥 105 𝑁/𝑚2

𝑝𝑥 = −3,50 𝑥 102 𝑁/𝑚²

𝜇 = 7000 𝑘𝑔/𝑚³


Figura 18 - Casca cilíndrica apoiada com carregamento transversal variável e

longitudinal constante

46

Análise estática

Para a análise estática, foram realizados dois tipos de discretizações, uma uniforme outra não

uniforme para a comparação com a solução analítica. Foi realizada uma discretização uniforme

para a análise estática, uma vez que essa discretização será utilizada na análise dinâmica. A

discretização Uniforme utilizou 150 elementos de 0,02 m cada, enquanto a discretização Não

Uniforme possui 3 trechos, o primeiro próximo à base com 15 elementos e 0,20 m (λ = 0,013

m), o segundo com 9 elementos e 0,30 m (λ = 0,033 m), e o terceiro com 6 elementos e 2,50 m

(λ = 0,417 m). O gráfico 6 e a tabela 5 apresentam a comparação das duas soluções pelo MEF,

com a solução analítica.




Abscissa (m) w máximo (m) Diferença Percentual

Analítica 0,1067 -6,139743E-04 -

MEF - Uniforme 0,1067 -6,162910E-04 -0,377%

MEF - Não Uniforme 0,1100 -6,163002E-04 -0,379%


Ambas as discretizações alcançaram excelentes resultados, com baixa diferença percentual em

relação à solução analítica.

-7,00E-04

-6,00E-04

-5,00E-04

-4,00E-04

-3,00E-04

-2,00E-04

-1,00E-04

0,00E+00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

Des

loca

men

to w

(m

)

x (m)


Analítica

MEF - Uniforme

MEF - Não Uniforme

47

Análise dinâmica,

Na análise dinâmica do Exemplo 2, utilizou-se uma discretização uniforme com 150

elementos para obtenção de uma precisão adequada.

Para esta análise, observou-se o nó da abscissa 0,1067 m, seção na qual ocorreu o

deslocamento transversal na solução estática, com um tempo total Δt = 0,03s e 300 passos de

tempo, A seguir, temos o gráfico 7 e a tabela 6, comparativos das soluções do MEF e do MDFE.





tempo

MDFE -

MEF -3,589%


O resultado apresentado foi satisfatório, com uma diferença percentual média abaixo dos 5%.

Mais uma vez, sem defasagem no período entre os métodos no intervalo de tempo considerado.

-1,40E-03

-1,20E-03

-1,00E-03

-8,00E-04

-6,00E-04

-4,00E-04

-2,00E-04

0,00E+00

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

Des

loca

men

to w

(m

)

Tempo (s)


MEF

MDFE

48

4.5 Exemplo 4 – Casca engastada submetida à deformação inicial, sem

carregamentos

A casca do quarto exemplo não está submetida a carregamento transversal nem longitudinal, ao

invés disso, aplica-se um estado de deslocamentos iniciais, como ilustra a figura 19, e a casca

é engastada na base. Neste exemplo não será tratado a situação estática, apenas a comparação

na análise dinâmica entre o Método dos Elementos Finitos e o Método das Diferenças Finitas

Energéticas.

ℎ = 5,00 𝑥 10−3 𝑚

𝑎 = 8,00 𝑥 10−1 𝑚

𝐿 = 2,00 𝑚

𝐸 = 2,10 𝑥 1011 𝑁/𝑚2

𝜈 = 0,30

𝜇 = 7000 𝑘𝑔/𝑚³

Na análise dinâmica, foi tratado um tempo de Δt = 0,03s, com 300 divisões. O ponto de análise

foi na abscissa x = 0,18 m (nó 9), onde ocorre a maior deformação inicial. A discretização foi

uniforme, com uma malha de 100 elementos (λ = 0,02 m). O gráfico 8 e a tabela 7 mostram os

resultados obtidos da comparação.

Figura 19 - Exemplo 4 – Casca engastada submetida à deformação

inicial, sem carregamentos


49





tempo

MDFE -

MEF 7,369%


O exemplo 4 resultou numa maior diferença percentual em relação aos demais exemplos.

Observa-se que a partir do passo de tempo t = 0,025 s, houve divergência em relação aos dois

métodos em comparação ao intervalo de tempo de 0,00 s – 0,025 s. Ainda assim, a média das

diferenças percentuais em cada passo de tempo resultou num valor aceitável de

aproximadamente 7,4%. Neste exemplo também não houve defesagem do período ao longo do

intervalo de tempo considerado.

-4,000000E-04

-3,000000E-04

-2,000000E-04

-1,000000E-04

0,000000E+00

1,000000E-04

2,000000E-04

3,000000E-04

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

Des

loca

men

to w

(m

)

Tempo (s)


MEF

MDFE

50

5. CONCLUSÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

Este trabalho, teve como objetivo desenvolver um código computacional, utilizando o

Método dos Elementos Finitos na análise dinâmica de cascas cilíndricas axissimétricas. Para a

validação dos resultados, foi utilizado um código computacional baseado na formulação pelo

Método das Diferenças Finitas Energéticas. Pode-se concluir que o código foi validado, uma

vez que nos quatro exemplos apresentados, houve uma diferença percentual satisfatória na

ordem de 5%.

Ao se comparar, na análise estática, o MEF com o resultado teórico analítico, obteve-se

excelentes resultados com diferença percentual menores que 1% em todos os exemplos

apresentados, validando assim o método para este tipo de análise para cascas cilíndricas.

Também foi possível observar na análise estática que quanto mais refinada a discretização na

região próxima ao apoio, onde os efeitos de flexão são mais proeminentes, melhores os

resultados em comparação com o analítico, o que é esperado.

Já na análise dinâmica, foi identificada uma limitação do código elaborado, quando se

utilizava uma discretização não uniforme, a amplitude das deformações se afastavam do

resultado obtido pelo Método das Diferenças Finitas Energéticas. Sendo assim, foi utilizada na

análise dinâmica uma discretização uniforme, que, por necessitar de um alto refinamento para

não se dispersar da solução analítica no estático, necessitou de uma alto esforço computacional.

Uma das hipóteses para esse problema encontrado é o formação de uma matriz mal

condicionada pelo Método dos Elementos Finitos. Isto pode ocorrer pois a ordem dos

polinômios do MEF é maior que do MDFE, por tratar com a aproximação de deslocamentos

enquanto no MDFE aproxima as derivadas dos deslocamentos, o que o torna o MEF mais

sensível em relação a isso. Logo, alguns coeficientes da matriz de massa podem ter atingidos

valores elevados em relação a outro, com a discretização uniforme este problema não ocorre.

A identificação mais precisa e correção deste fenômeno é uma sugestão para possíveis trabalhos

futuros.

Observando os resultados obtidos na análise dinâmica, os deslocamentos obtidos por ambos

os métodos se superpuseram por praticamente todo o intervalo de tempo analisado,

principalmente nos exemplos onde há um carregamento atuante na estrutura. Uma excessão

ocorre nos pontos de deformações mínimas. Ainda assim, a diferença percentual média variou

em torno dos 5% em todos os exemplos, que se mostrou um valor satisfatório. O exemplo 4

resultou numa maior diferença entre os métodos, uma vez que ele baseia-se apenas nas

derivadas temporais dos deslocamentos, sendo mais sensível às diferenças dos dois métodos.

51

De modo geral, os resultados foram aceitáveis, validando o Método dos Elementos Finitos

para a análise dinâmica de cascas cilíndricas axissimétricas.

Para trabalhos futuros, são propostas algumas sugestões:

• Corrigir a limitação da análise dinâmica para discretizações não uniformes;

• Implementar no código solicitações provenientes da variação de temperatura;

• Otimizar o código computacional para melhorias na velocidade de processamente e

alocação de memória;

• Aliar o código a algum programa de desenho assistido por computador (CAD) afim

de gerar as situações deformadas da estrutura.

52

6. REFERÊNCIAS

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Axissimetricas Rio de Janeiro, 2007

MITTELBACH, Fernanda Rodrigues Método das Diferenças Finitas Energéticas na Análise

Dinâmica de Problemas Axissimétricos de Placas Delgadas e Espessas Rio de Janeiro, 2007

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Documents