otimização estática

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  • Otimizacao Estatica

    Versao Preliminar. Sujeita a alteracoes.

    Fabio Augusto Reis Gomes

    fabio@cepe.ecn.br

    March 28, 2005

  • Abstract

    Nestas notas apresentamos metodos de otimizacao estatica, considerando prob-

    lemas irrestritos e restritos. Primeiramente, apresentamos uma breve revisao de

    calculo e algebra linear. Em seguida discutimos problemas de otimizacao sem

    restricao e com restricoes de igualdade e de desigualdade.

  • Contents

    I Revisao 5

    1 Calculo de uma variavel 6

    1.1 Algumas Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.1 Regras Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.3 Outras Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.4 Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.5 Maximos e Mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.5.1 Identificacao de Maximos e Mnimos . . . . . . . . . . . 18

    1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Crtico . . . . . . . . . . 20

    1.5.3 Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero . 20

    1.5.4 Funcoes cujo Domnio e um Intervalo Fechado Finito . . . 20

    1.6 Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2 Algebra Linear 29

    2.1 Norma e Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.2 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1

  • 3 Calculo de Varias Variaveis 34

    3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos . . . . . . . . . . . . 34

    3.2 Funcoes de Varias Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.2.2 Representacao Geometrica das Funcoes . . . . . . . . . . 36

    3.3 Calculo de Varias Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.3.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes . . . . . . . . . . . . 40

    3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana . . . . 43

    3.4 Funcao Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.5 Curvas de Nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    II Otimizacao Estatica 49

    4 Formas Quadraticas e Matrizes Definidas 50

    4.1 Formas Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.2 Formas Quadraticas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4.3 Matrizes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4.4 Teste para Classificar uma Matriz Simetrica . . . . . . . . . . . . 53

    4.5 Restricoes Lineares e Matrizes Orladas . . . . . . . . . . . . . . . 55

    5 Otimizacao Irrestrita 58

    5.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    5.2 Condicoes de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    5.3 Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    5.3.1 Condicoes Suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5.3.2 Condicoes Necessarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    2

  • 5.4 Maximo Global e Mnimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    5.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5.5.1 Maximizacao do Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5.5.2 Monopolista Astuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos . . . . . . . . 68

    5.5.4 Concorrencia Perfeita: Producao de dois Bens . . . . . . . 70

    5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos . . . . . . 71

    5.6 Exerccios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    6 Otimizacao Restrita I 84

    6.1 Restricoes com igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    6.1.1 Duas Variaveis e uma Restricao de Igualdade . . . . . . . 84

    6.1.2 Varias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 87

    6.1.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    6.1.4 Exerccios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    6.2 Restricoes de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 102

    6.2.2 Caso com varias restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    6.2.3 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    6.2.4 Exerccios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    6.3 Restricoes de Igualdade e Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 114

    7 Otimizacao Restrita II 116

    7.1 O Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    7.1.1 Uma Restricao de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    7.1.2 Varias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 118

    7.1.3 Restricoes de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    7.1.4 Interpretando o Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . 118

    3

  • 7.2 Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    7.2.1 Problemas sem restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    7.2.2 Problemas com restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    7.3 Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    4

  • Part I

    Revisao

    5

  • Chapter 1

    Calculo de uma variavel

    1.1 Algumas Definicoes

    Definition 1 Uma funcao e estritamente crescente se

    Example 1 Examine se a funcao e estritamente crescente. Tome

    e tais que . Entao queremos verificar se

    Obviamente, tal funcao e estritamente crescente.

    Definition 2 Uma funcao e estritamente decrescente se

    6

  • Example 2 Examine se a funcao e estritamente decrescente. Tome e tais que . Entao queremos verificar se

    Obviamente, tal funcao e estritamente decrescente.

    Observe que se uma funcao passa de decrescente para crescente em , isto

    implica que e um mnimo local desta funcao, isto e, para todo na vizinhanca de . Por outro lado, se uma funcao passa de crescente

    para decrescente em , isto implica que e um maximo local desta

    funcao, isto e, para todo na vizinhanca de .

    Definition 3 Se uma funcao e derivavel em cada ponto de seu domnio ,

    dizemos que tal funcao e derivavel ou diferenciavel.

    Definition 4 Se a funcao possui derivadas de ordem e se a derivada de

    e uma funcao contnua, nos dizemos que e vezes continuamente diferenciavel

    ou para abreviar.

    Remark 1 Para ao inves de vez continuamente diferenciavel dizemos

    apenas continuamente diferenciavel.

    7

  • 1.2 Regras de Derivacao

    1.2.1 Regras Basicas

    Seja , e uma constante.

    1. Constante

    2. Multiplicacao por uma constante

    3. Soma (subtracao)

    4. Multiplicacao

    5. Divisao

    1.2.2 Regra da Cadeia

    A regra da cadeia e usada para derivar funcoes formadas pela composicao de

    outras funcoes. Se e sao funcoes no , a funcao obtida pela aplicacao da

    funcao ao resultado de e chamada funcao composta das funcoes e , de

    modo que

    ou

    A regra da cadeia e usada para derivar funcoes compostas e estabelece que

    8

  • 1.2.3 Outras Regras

    1. Potencia

    2. Exponencial

    3. Logaritmo

    4. Trigonometricas

    9

  • Example 3

    Example 4

    Example 5

    Example 6

    Example 7

    Example 8

    Example 9

    Example 10

    Example 11

    10

  • Example 12

    Example 13

    Example 14

    Example 15

    Example 16

    1.3 Derivada Primeira

    Usando a derivada primeira podemos examinar se uma funcao e crescente ou de-

    crescente. Esta informacao esta contida no sinal da derivada primeira.

    Theorem 1 Seja uma funcao continuamente diferenciavel em . Entao:

    1) se , existe um intervalo aberto contendo no qual e crescente

    2) se , existe um intervalo aberto contendo no qual e decrescente.

    Proof. Faremos a prova para o primeiro caso (o segundo e analogo). Como e

    diferenciavel

    11

  • Logo se e pequeno e positivo . Seja , entaopara pequeno e positivo

    E, portanto, e crescente na vizinhanca de .

    O teorema anterior pode ser estendido do seguinte modo.

    Theorem 2 Seja f uma funcao continuamente diferenciavel no domnio .Com isso,

    1) se no intervalo , entao e crescente em 2) se no intervalo , entao e decrescente em 3) se f e crescente em , entao em 4) se f e decrescente em , entao em

    A derivada primeira e usada tambem para encontrar pontos crticos de uma

    funcao .

    Example 17 Examine em quais regioes a funcao e crescente

    Derivada primeira

    Portanto, em todo domnio. Ou seja, a funcao e crescente em todo

    domnio.

    Example 18 Examine em quais regioes a funcao e crescente

    Derivada primeira

    12

  • Portanto, quando

    Ou seja, a funcao e crescente quando ou .

    Example 19 Examine em quais regioes a funcao e crescente

    em que . Derivada primeira

    Portanto, quando

    Ou seja, a funcao e crescente quando .

    Examp