ESTTICA DOS CORPOS RGIDOS O que Mecnica? A Mecnica pode ser definida como a cincia que descreve e prediz as condies de repouso ou movimento de corpos sob a ao de foras. dividida em trs partes: Mecnica dos Corpos Rgidos, Mecnica dos Corpos Deformveis e Mecnica dos Fluidos.

Mecnica dos Corpos Rgidos

Esttica- Estudo das foras aplicadas em pontos materiais ou corpos rgidos em equilbrio. - Seu resultado ponto de partida para projetos estruturais.

Cinemtica- Estudo do movimento de pontos materiais e corpos rgidos. Relaciona posio, velocidade, acelerao e tempo, sem referncia s causas do movimento.

Dinmica- Estudo do movimento de pontos materiais e corpos rgidos. Relaciona as foras agentes num corpo e o seu movimento. Pode prever o movimento causado por foras.

Figura 1 Diviso da Mecnica dos Corpos Rgidos. Princpios e Conceitos Fundamentais. Os conceitos bsicos usados na Mecnica so os de espao, tempo, massa e fora. Estes conceitos no podem ser exatamente definidos; so aceitos com base em nossa intuio e experincia e usados como referncia para nosso estudo de Mecnica.

Conceitos Fundamentais

Espao- a posio de um ponto no espao. Pode ser definida por trs distncias medidas a partir de um ponto de referncia.

Tempo- Conceito indispensvel para definir um evento. o perodo que decorre durante o evento.

Massa- Conceito usado para caracterizar e comparar os corpos, com base em certas experincias mecnicas fundamentais.

Fora- Representa a ao de um corpo sobre o outro. Pode ser exercida por contato ou distncia. Fora representada por um vetor.

Figura 2 Conceitos fundamentais da Mecnica. 1

Na mecnica Newtoniana, espao, tempo e massa so conceitos absolutos, sendo independentes um do outro. Por outro lado, o conceito de fora no independente dos outros trs. Isto indicado por um dos princpios fundamentais da Mecnica. O estudo da Mecnica elementar repousa em seis princpios fundamentais, baseados em evidncias experimentais, os quais so: A Lei do Paralelogramo para Adio de Foras. Estabelece que duas foras atuantes sobre um ponto material podem ser substitudas por uma nica fora, chamada resultante, obtida pela diagonal do paralelogramo cujos lados so iguais s foras dadas, como ser visto em seguida. O Princpio de Transmissibilidade. Estabelece que as condies de equilbrio ou de movimento de um corpo rgido permanecero inalteradas se uma fora que atua num dado ponto do corpo rgido for substituda por outra de mesma intensidade, direo e sentido, mas que atua em um ponto diferente, desde que as duas foras tenham a mesma linha de ao. As Trs Leis Fundamentais de Newton. Formuladas por sir Isaac Newton em fins do sculo XVII, essas leis podem ser enunciadas como segue: Primeira Lei. Se a intensidade da fora resultante que atua sobre um ponto material zero, este permanecer em repouso (se estava originalmente em repouso) ou permanecer com velocidade constante e em linha reta (se estava originalmente em movimento). Segunda Lei. Se a fora resultante que atua sobre um ponto material no zero, este ter uma acelerao proporcional intensidade da resultante e na direo desta, com o mesmo sentido. Esta lei pode ser expressa pela equao 1.F = ma

(1)

sendo, F a fora resultante que atua sobre o corpo, m a sua massa e a a sua acelerao. Terceira Lei. As foras de ao e reao entre corpos em contato tm a mesma intensidade, mesma linha de ao e sentidos opostos. Lei de Gravitao de Newton. Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m so mutuamente atrados com foras iguais e opostas F e F de intensidade F dada pela frmula apresentada na equao 2.F =G M m r2

(2)

sendo, r a distncia entre os pontos materiais e G a constante universal chamada de constante de gravitao. Um caso particular de grande importncia o da atrao da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfcie. A fora F exercida pela Terra sobre o ponto ento definida como o seu peso P. Tomando M igual a massa da Terra, m igual a massa do ponto material e r igual ao raio R da Terra, e introduzindo a constante da equao 3.g = GM R2

(3)

a intensidade P do peso de um ponto material de massa m pode ser expressa como:P = mg

(4)

2

1. ESTTICA 1.1 Foras e Momentos Uma fora representa a ao de um corpo sobre outro. Ela caracterizada por seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido. A intensidade de uma fora definida por um certo nmero de unidades medidos em newtons (N); a direo definida por sua linha de ao, a qual caracterizada pelo ngulo que forma com algum eixo fixo; e o sentido da fora pode ser caracterizado por uma seta, conforme apresentado na figura 3.10 N A 30o A 10 N 30o

Figura 3 Fora aplicada sobre um ponto material Constata-se, experimentalmente, que duas foras P e Q, que atuam sobre um ponto material podem ser substitudas por uma nica fora R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto. Essa fora chamada resultante das foras P e Q e pode ser obtida, como mostra a figura 4, pela construo de um paralelogramo, usando P e Q como seus lados. A diagonal que passa por A representa a resultante. Isto conhecido como a lei do paralelogramo para a adio de foras.P P R R

P+Q=RA Q A Q A

Figura 4 Aplicao da lei do paralelogramo.P P P

Vetores iguais-P

Vetores opostos

Figura 5 Comparao de vetores.P P-Q -Q P

Q

P - Q = P + (-Q)

Figura 6 Subtrao de vetores utilizando a lei do paralelogramo.

3

A intensidade da fora resultante pode ser definida graficamente, desde que os vetores estejam apresentados em escala e posio corretas. Uma forma mais prtica faz uso da regra do tringulo, a qual est ilustrada na figura 7.P P

P+Q=RA Q A

R

Q

R2 = P2 + Q2 2PQ cos

Figura 7 Aplicao da regra do tringulo. Outra opo seria utilizar a lei dos senos, como ilustrado na figura 8.A

C+A=BM

M

B

C

A

C

A B C = = sin sin sin Figura 8 Aplicao da lei dos senos.

Em muitos problemas de Mecnica desejvel decompor uma fora em componentes normais entre si. Na figura 9, a fora F foi decomposta nas componentes Fx, segundo o eixo x, e Fy, segundo o eixo y. O paralelogramo desenhado para a obteno das duas componentes um retngulo, e Fx e Fy so denominadas componentes cartesianas.y Fy F

Fx = F cos Fx = Fx i

Fy = F sen Fy = Fy j

Fx x

F = Fx i + Fy j

Figura 9 Decomposio de um vetor em componentes cartesianas no plano. Uma fora no espao tridimensional tambm pode ser decomposta em componentes cartesianas Fx, Fy e Fz. Representando por x, y e z, respectivamente os ngulos que F forma com os eixos x, y e z, de acordo com a figura 10. Os co-senos de x, y e z so conhecidos como co-senos diretores da fora F. definindo os vetores unitrios i, j e k segundo os eixos coordenados, temos a equao 5. F = Fx i + Fy j + Fz k Esta equao tambm pode ser escrita conforme a expresso 6. 4 (5)

F = F (cos x i + cos y j + cos z k)

(6)

y

y

y

Fy F x Fx Fz z z

Fy y x Fz z F Fx x

Fy F z Fz Fx x

Fx = F cosx

Fy = F cosy

Fz = F cosz

Figura 10 Decomposio de um vetor em componentes cartesianas no espao. Equilbrio de um ponto material. Nos estudos da esttica necessrio que a resultante das foras atuantes em um ponto material seja igual a zero. Neste caso o ponto material est em equilbrio. Diagrama de Corpo Livre. Na prtica, um problema de engenharia mecnica tirado de uma situao fsica real. Um esquema mostrando as condies fsicas do problema conhecido como diagrama espacial. Grande nmero de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzido, efetivamente, a problemas referentes ao equilbrio de um ponto material. Isto feito escolhendo-se um ponto material conveniente e esquematizando-se, em um diagrama separado, todas as foras que sobre ele so exercidas. Tal diagrama, apresentado na figura 11, chamado de diagrama de corpo livre.

P

P2 Problema fsico real Diagrama espacial

P1

Diagrama de corpo livre

Figura 11 Tpico problema de engenharia mecnica. At aqui, se considerou que cada corpo poderia ser tratado como um ponto material. No entanto, nem sempre isso possvel e, de maneira geral, um corpo deve ser tratado como um conjunto de grande nmero de pontos materiais, ou corpo rgido. O tamanho do corpo deve ser considerado em virtude do fato de as foras atuarem em pontos diferentes. 5

As foras que atuam em corpos rgidos podem ser classificadas em dois grupos, de acordo com a figura 12.

Foras externasRepresentam a ao de outros corpos sobre o corpo rgido considerado, sendo inteiramente responsveis pelo comportamento externo do corpo rgido

Foras internasSo as foras que mantm unidos os pontos materiais que formam o corpo rgido. Se o corpo rgido composto de diversas partes, as foras que mantm essas partes unidas so tambm chamadas de foras internas.

Figura 12 Foras externas e internas O Princpio da Transmissibilidade, relacionado ao estudo dos corpos rgidos sob ao de foras est ilustrado na figura 13.

F Figura 13 Princpio da Transmissibilidade.

F

Momento de uma fora. O momento Mo de uma fora pode ser definido como a tendncia de uma fora F fazer determinado corpo rgido girar em torno de um eixo fixo definido. A intensidade deste momento pode ser definida como o produto escalar da intensidade da fora aplicada pela menor distncia existente entre a linha de ao da fora at eixo definido. A figura 14 ilustra a vista superior de uma porta articulada em A, sofrendo a ao de foras aplicadas em direes distintas e seus respectivos momentos.A A A

d d 90o r r

F

F

F

Mo = Fd

Mo = Fd = Fr sen

Mo = Fd = Fr sen0 = 0

Figura 14 Momento sendo gerado em uma porta. 6

Do ponto de vista matemtico, o momento dado pelo produto vetorial entre o vetor posio r e o vetor fora F (Mo = r x F). Assim, o vetor que representa o momento dever ser perpendicular ao plano que contm o vetor fora e o vetor posio e seu sentido definido pela regra da mo direita, onde o dedo polegar indica o sentido do vetor Mo e os demais dedos encurvados no sentido da rotao que F tende a comunicar ao corpo rgido. Assim, no caso apresentado na figura 14 temos o vetor que representa o momento apontando para fora do papel, ou seja, a porta tende a girar no sentido anti-horrio. Por definio, nesta situao o momento Mo considerado positivo. A propriedade distributiva do produto vetorial permite fazer a seguinte relao: r x (F1 + F2 + ...) = r x F1 + r x F2 + ... (7)

Em palavras, o momento em relao a um dado ponto O da resultante de diversas foras concorrentes igual soma dos momentos das vrias foras em relao ao mesmo ponto O. Essa propriedade foi enunciada originalmente pelo matemtico francs Varignon (1654-1722), muito antes da utilizao da lgebra vetorial, e conhecida como Teorema de Varignon. Essa relao permite determinar o momento de uma fora F pela determinao dos momentos de duas ou mais foras componentes, como ilustrado na figura 15.y A A

d 90o dy r

Fx

F

dx

x

Fy

F

Mo = Fd = Fr sen

Mo = Fxdy - Fydx

Figura 15 Aplicao do Teorema de Varignon. Em geral, a determinao do momento de uma fora no espao ser simplificada consideravelmente se a fora F e o vetor posio r forem decompostos em componentes cartesianas x, y e z. Nestes casos possvel resolver o produto vetorial Mo = r x F, de acordo com a matriz da equao 8.i M o = rx Fx j ry Fy k rz Fz

(8)

7

1.2 Trelias Planas Os problemas estudados at o momento consideravam o equilbrio de um nico corpo rgido, e todas as foras consideradas eram externas ao corpo rgido. Consideraremos, agora, problemas tratando do equilbrio de estruturas compostas de vrias partes interligadas. Esses problemas tratam no apenas da determinao das foras externas que agem sobre uma estrutura, mas tambm da determinao das foras que mantm unidas as vrias partes da estrutura. Do ponto de vista da estrutura como um todo, essas foras so denominadas foras internas. Considere-se, por exemplo, o guindaste ilustrado na figura 16a, que suporta uma carga P. As foras externas que agem no guindaste esto representadas no diagrama de corpo livre da figura 16b, as quais so P, as duas componentes Ax e Ay da reao em A e a foras T exercida pelo cabo D. As foras internas que mantm unidas as varias partes do guindaste no aparecem no diagrama. Se, contudo, o guindaste fosse desmembrado, conforme a figura 16c, e se fosse traado um diagrama de corpo livre para cada uma de suas partes componentes, as foras que mantm os componentes da estrutura unidos deveriam tambm ser representadas. Deve-se notar que a fora exercida pela barra BE sobre o ponto B da barra AD foi representada como igual e oposta fora exercida no mesmo ponto da barra BE pela barra AD. Isto est de acordo com a terceira lei de Newton, que estabelece que foras de ao e reao entre corpos em contato possuem o mesmo mdulo, a mesma linha de ao e sentidos opostos. C E FD T C P B P B B D T C D P

E C

F

E

F

(c)

G

A

Ax

A Ay

Ax

A E Ay

(a)

(b)B

Figura 16 Foras internas em uma estrutura complexa. Uma das estruturas consideradas neste tipo de anlise so as trelias. As trelias so projetadas para suportar cargas e so, usualmente, estruturas estacionrias, totalmente vinculadas. So formadas unicamente por elementos retilneos conectados em juntas localizadas nas extremidades de cada elemento. Dessa forma, nos membros de uma trelia

8

atuam duas foras de mesmo mdulo e direo, porm de sentidos opostos. As trelias oferecem, ao mesmo tempo, uma soluo prtica e econmica a muitas situaes de engenharia, especialmente no projeto de pontes e edifcios. Em geral, as barras de uma trelia so delgadas e podem suportar pequena carga lateral. Sendo assim, todas as cargas devem ser aplicadas s vrias juntas e no s barras em si. A figura 17 ilustra uma trelia tpica.C

A

D B P

Figura 17 Exemplo de trelia simples. 1.2.1 Anlise das trelias pelo mtodo dos ns Uma trelia pode ser considerada como um grupo de pinos e barras sob ao de duas foras. A trelia da figura 17, cujo diagrama de corpo livre ilustrado na figura 18a, pode ser desmembrada e um diagrama de corpo livre desenhado para cada pino e cada barra conforme a figura 18b. Cada barra est submetida a duas foras, uma em cada extremidade; essas foras possuem o mesmo mdulo, a mesma linha de ao e sentidos opostos. Alm disso, a terceira lei de Newton indica que as foras de ao e reao de uma barra sobre um pino so iguais e opostas. Uma vez que as linhas de ao de todas as foras internas de uma trelia so conhecidas, a anlise de uma trelia se reduz ao clculo das foras em suas vrias barras e determinao da situao em cada barra, isto , se a mesma est sujeita trao ou compresso. O fato de a trelia inteira ser um corpo rgido, em equilbrio, pode ser usado para escrever trs equaes, as quais determinam imediatamente as componentes das reaes C nos apoios da trelia.C

RAx A RAy

D P

B By RAx A RAy

D P

B RB

(a)

(b) Figura 18 Aplicao do mtodo dos ns.

9

1.2.2 Anlise de uma trelia pelo mtodo das sees O mtodo dos ns mais eficaz quando necessrio determinar as foras em todas as barras da trelia. Se, entretanto, a fora em somente uma barra ou a fora em apenas poucas barras forem desejadas, o mtodo das sees ser mais eficiente. Supondo que se deseja determinar a fora na barra BD da trelia ilustrada na figura 19a. Para tanto necessrio determinar a fora com que a barra BD atua sobre os ns B e D. Utilizando o mtodo das sees, pode-se escolher como corpo livre uma parte da trelia composta por vrios ns e barras, desde que a fora desejada seja uma das foras externas que agem nessa parte. Alm disso, a seo deve estar localizada de tal forma que exista um total de, no mximo, trs foras incgnitas agindo sobre ela. Assim, a fora desejada poder ser obtida resolvendo-se as equaes de equilbrio para essa parte da trelia, considerando-a como se fosse um corpo rgido sob ao apenas de foras externas. Aps escolher o local da seo pode-se utilizar como corpo livre qualquer uma das duas partes da trelia.P1 A B P2 D P3 G A P1 B P2 FBD FBE C E C E

FCD

(a)

(b) Figura 19 Aplicao do mtodo das sees.

1.3 Propriedades de rea e massa A atrao da Terra sobre um corpo rgido age sobre todos os pontos materiais que o compem, devendo ser representada por um grande nmero de pequenas foras distribudas e direcionadas para o centro da Terra. Em certos problemas estas foras podem ser substitudas por uma nica fora resultante P aplicada no baricentro do corpo rgido. 1.3.1 Centro de gravidade de um corpo bidimensional Uma placa horizontal conforme a ilustrada na figura 20 dividida em n pequenos elementos com coordenadas xn e yn. As foras exercidas sobre cada elemento so denominadas Pn e esto orientadas em direo ao centro da Terra. Porm, para todas as finalidades prticas, elas podem ser consideradas paralelas.z P z y y1 y G x x1 x x P1 y

Figura 20 Baricentro de uma placa. 10

Sua resultante , ento, uma nica fora na mesma direo, com mdulo P = Pn. Para obter as coordenadas x e y do baricentro G, onde a resultante P deve ser aplicada, escreve-se que os momentos de P em relao aos eixos y e x so iguais soma dos momentos correspondentes dos pesos elementares conforme a equao 9.My :

x P = x1 P1 + x 2 P2 + K + x n Pn yP = y1 P1 + y 2 P2 + K + y n Pn (9)

Mx :

Aumentando o nmero de elementos em que a placa dividida e diminuindo simultaneamente o tamanho de cada elemento, tem-se, no limite, as seguintes expresses.P = dP x P = xdP yP = ydP

(10)

1.3.2 Centride de um corpo bidimensional O centride, ou centro geomtrico de um corpo bidimensional pode ser determinado substituindo as expresses P = tA e P = tA, nas equaes 9 e 10. Sendo, o peso especfico do material e t a espessura da placa. Assim obtm-se as equaes 11 e 12.My :

x A = x1A1 + x 2 A2 + K + x n An yA = y1 A1 + y 2 A2 + K + y n Anx A = xdA yA = ydA

Mx :A = dA

(11) (12)

1.3.3 Momentos de primeira ordem de superfcies A integral

xdA

da equao 12 conhecida como momento esttico ou momento de

primeira ordem da superfcie A em relao ao eixo y e representada por Qy. Da mesma forma a integral ydA define o momento esttico ou momento de primeira ordem de A em relao ao eixo x e representada por Qx. Assim escrevem-se as equaes 13.Q y = xdA = x A Q x = ydA = yA

(13)

Assim, as coordenadas do centride podem ser obtidas dividindo-se os primeiros momentos da superfcie por sua rea. Alm disso, a equao 13 indica que, se o centride de uma superfcie estiver situado sobre um eixo coordenado o momento de primeira ordem da superfcie em relao ao eixo ser nulo. O anexo A1 apresenta o centride e rea de figuras planas usuais. 1.3.4 Momento de Inrcia e Raio de Girao Considera-se a rea A situada no plano xy e o elemento de rea dA de coordenadas x e y, conforme ilustrado na figura 21. 11

Y dA y A O x X

Figura 21 Representao de uma rea qualquer definida por coordenadas retangulares. O momento de inrcia da rea A em relao ao eixo x e em relao y so definidos, respectivamente, conforme as equaes 14 e 15.

Ix = Iy =

yA

2

dA

(14) (15)

xA

2

dA

Essas integrais so chamadas de momentos de inrcia retangulares, uma vez que so calculadas pelas coordenadas retangulares do elemento dA. Da mesma forma, pode-se definir o momento de inrcia polar da rea A em relao ao ponto O, como ilustrado na figura 22 e conforme a expresso 16.Y dA

O

A X

Figura 22 Representao de uma rea qualquer definida por coordenadas polares.

JO =

A

2

dA

(16)

Resolvendo as integrais apresentadas nas equaes 14, 15 e 16 percebe-se que seus valores so sempre positivos. No Sistema Internacional de Unidades eles so usualmente expressos em m4 ou mm4. possvel estabelecer uma relao importante entre o momento de inrcia polar JO de uma certa rea e os momentos de inrcia retangulares Ix e Iy dessa rea, uma vez que 2 = x2 + y2, conforme a expresso 17.

JO =

A

2

dA =

(xA

2

+ y 2 )dA = y 2 dA + x 2 dAA A

JO = I x + I y

(17)

12

O raio de girao de uma rea A em relao ao eixo x definido pela grandeza rx que satisfaz a relao 18.

I x = rx A

2

(18)

Sendo Ix o momento de inrcia de A em relao ao eixo x. Isolando rx na equao A.5 obtm-se a expresso 19.rx = Ix A

(19)

De maneira anloga possvel definir o raio de girao em relao ao eixo y e em relao origem O, de acordo com as equaes 20 e 21.ry = Iy A

(20)

rO =

JO A

(21)

1.3.5 Teorema dos Eixos Paralelos Considerando-se o momento de inrcia Ix de uma rea A em relao a um eixo arbitrrio x, conforme apresentado na figura 23 e chamando de y a distncia de um elemento de rea dA at esse eixo sabe-se que: I x = y 2 dAA

y' y d

dA C A X x'

Figura 23 Representao de uma rea em relao a um eixo arbitrrio. O eixo centroidal x o eixo paralelo a x que passa pelo centride C da rea em questo. A distncia do elemento dA at esse eixo ser chamada de y, e com isso obtm-se a relao y = y+d, onde d a distncia entre os dois eixos. Substituindo este valor de y na integral que representa Ix chega-se expresso 22.Ix =

yA

2

dA =

( y '+d )A

2

dA

13

Ix =

y'A

2

dA + 2d y ' dA + d 2 dAA A

(22)

A primeira integral da equao 22 representa o momento de inrcia x da rea em relao ao eixo centroidal x. A segunda integral representa o momento esttico Qx da rea em relao ao eixo x. Por definio, esse momento esttico nulo, uma vez que o eixo x passa pelo centride C. Por fim, a ltima integral da expresso igual rea total considerada. Sendo assim, pode-se definir o momento de inrcia Ix de uma rea arbitrria em relao a um eixo paralelo ao seu eixo centroidal de acordo com a equao 23.I x = I x' + A d 2

(23)

Da mesma forma pode-se deduzir uma equao para o momento de inrcia polar.JO = JC + A d 2

(24)

14

A.1 Centrides e reas de Figuras Planas

Figuras Planasy C b x

x

y

A

Retngulo

h

b 2

h 2

b.h

Tringulo

h C x b y

b 3

h 3

b.h 2

Crculo

C

r

x

0

0

.r 2

Semicrculo

y r C

x

0

4.r 3.

.r 22

y

Quadrante

C

r x

4.r 3.

4.r 3.

.r 24

y

b C x

Elipsea

0

0

.a.b

A.2 Momentos de Inrcia de Figuras Planas

Figuras Planasy y' O b y' x' x

Ixb.h 3 3 b 3 .h 3

Iy

Job.h.(b 2 + h 2 ) 12

Retngulo

h

Ix =

b.h 3 I x' = 12

Iy =

I y'

b 3 .h = 12

Tringulo

h C b y'

x' x

Ix =

b.h 3 12

I x' =

b.h 3 36

Iy =

b 3 .h 12

I y' =

b 3 .h 36

-

Crculo

O

r

x'

I x' =

.r 44

I y' =

.r 44

.r 42

Semicrculo

y' r C O

x'

x

Ix =

.r 48

I x' =

r 4 9 2 64 72

(

)I y' =

.r 48

.r 44

y

y' C r x' x

Quadrante

Ix =

.r 416

I x' =

O

r 4 9 2 64 144

(

)

Iy =

.r 416

I y' =

r 4 9 2 64 144

(

)

.r 48

y

b O x

Elipsea

.a.b34

.a 3 .b4

.a.b.(a 2 + b 2 )4