1

VaR via SimulaçãoAnálise de Risco (5)

R.Vicente

2

Resumo

Monte Carlo para Avaliação Risco Carteiras com Derivativos Múltiplos Fatores de RiscoNúmeros Pseudo-aleatóriosCenários de Stress: Estudo de CasoCenários Ad-hocCenários por Fator de Risco e NettingBibliografia

3

Monte Carlo para Avaliação de Risco: Idéia Geral

Seja uma carteira com função preço que dependa de um vetor de fatores de risco .

( )V S1 2( , ,..., )mS S S S=

Geremos N realizações da dinâmica e reprecifiquemos a carteira em cada um destas realizações:

[ ]( ) ( )tS t t D S tΔ+Δ =Assumamos uma dinâmica estocástica para os fatores de risco:

( ) ( ) ( ) 1,...,n nt tV V S t t n N+Δ

⎡ ⎤= +Δ =⎢ ⎥⎣ ⎦

4

Monte Carlo para Avaliação de Risco: Idéia GeralOs N cenários de P&L serão:

O VaR da carteira com confiança de será:( )1 %α−

( ) ( ) 1,...,n nt t tV V V n N+ΔΔ = − =

{ } ( )( )

{ }11

sup : n

NNnV Vn

n

VaR V V NαΔ <Δ=

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= Δ ∈ Δ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∑1

5

Exemplo: DEaR de PETR4A função preço de uma carteira contendo PETR4 é simplesmente:

( )V S qS=q é a quantidade de ações e é a cotação de PETR4. SEscolhemos uma janela de tempo dia e um Movimento Browninano Geométrico sem drift como dinâmica estocástica:

1tΔ =

1 (1 )t tS S σε+ = +

~ (0,1)NεVOLATILIDADE

DE 1 DIA

(EWMA ou GARCH)

6

Passo 1: Estimação de VolCotações PETR4

35,00

40,00

45,00

50,00

55,00

60,00

65,00

26/0

1/01

26/0

3/01

26/0

5/01

26/0

7/01

26/0

9/01

26/1

1/01

26/0

1/02

26/0

3/02

26/0

5/02

26/0

7/02

Retornos e Volatilidade EWMA

-0,1-0,08-0,06-0,04-0,02

00,020,040,060,080,1

29/0

1/01

29/0

3/01

29/0

5/01

29/0

7/01

29/0

9/01

29/1

1/01

29/0

1/02

29/0

3/02

29/0

5/02

29/0

7/02

7

Passo 2: Gera N=5000 Cenários

020406080

100120140160180

35,63

36,14

36,66

37,18

37,69

38,21

38,72

39,24

39,76

40,27

40,79

41,31

41,82

42,34

42,86

43,37

43,89

S(t+1)

1 (1 )t tS S σε+ = +

LOG-NORMAL

8

Passo 3: Avalia P&L para cada um dos Cenários

( ) ( ) ( 1) ( )n nV q S t S t⎡ ⎤Δ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦

020406080

100120140160180

(42.74

2)(37

.577)

(32.41

2)(27

.247)

(22.08

2)(16

.916)

(11.75

1)(6.

586)

(1.42

1)3.7

44

8.909

14

.075

19.24

0 24

.405

29.57

0 34

.735

39.90

0

P&L

9

Passo 4:Avalia VaR (localiza quantil)

020406080

100120140160180

(42.74

2)(37

.577)

(32.41

2)(27

.247)

(22.08

2)(16

.916)

(11.75

1)(6.

586)

(1.42

1)3.7

44

8.909

14

.075

19.24

0 24

.405

29.57

0 34

.735

39.90

0

P&L

VaR = 29.013

28.372parametricoVaR Vασ= =

10

Carteiras com DerivativosPara exemplificar o uso da simulação de Monte Carlo para carteiras altamente não-lineares utilizamos um Short Straddle semelhante àquele que provocou a quebra do Barings em 1995

( Delta*Ativo-Call-Put):2 2( ) ( ) ( )rT rTV S Xe N d Xe N d− −= − −

1 (1 )t tS S σε+ = +

Gerando cenários como antes:

Apreçando a carteira e avaliando o P&L em cada cenário:

( ) ( )( ) ( ( ))n nV V S V S tΔ = −

11

Carteiras com Derivativos

S(t+1) call put V(t+1) P&L37,86864 -2,180261 -2,360794 6,819538 -0,25904240,05286 -3,471554 -1,467875 7,076427 -0,00215340,25085 -3,603757 -1,402082 7,069417 -0,00916338,50176 -2,521693 -2,069113 6,959721 -0,11885941,35245 -4,380707 -1,077437 6,94759 -0,1309941,35031 -4,379136 -1,078001 6,947956 -0,13062439,8541 -3,341245 -1,53632 7,078665 8,51E-05

40,29917 -3,636374 -1,386384 7,066992 -0,01158840,11299 -3,511456 -1,447642 7,074799 -0,00378239,67229 -3,224187 -1,601075 7,076426 -0,00215440,78518 -3,972077 -1,236076 7,027401 -0,05117939,18249 -2,919277 -1,785969 7,0495 -0,02908

12

0200400600800

100012001400

-1,2

4

-1,0

6

-0,8

8

-0,7

0

-0,5

2

-0,3

4

-0,1

6

0,02

0,20

0,38

0,56

0,74

0,92

1,10

1,28

P&L

Carteiras com Derivativos

VaR MC 0,63VaR Delta - VaR Delta-Gama 0,30

13

Carteiras com Múltiplos Fatores de Risco

Quando a função preço depende de mais de um fator de risco é necessário adequar a geração de cenários às correlações entre osfatores. Exemplificamos a seguir o caso de uma carteira que contenha Dólar e PETR4:

( , )PETR USD PETR PETR USD USDV S S q S q S= +

( 1) S ( )(1 ) ~ (0, )k k k kS t t Nσ ε ε ρ+ = +

Os cenários devem ser gerados levando-se em conta correlações entre os ativos:

A carteira é então avaliada nos cenários e os P&L’s obtidos :( ) ( )( ) ( ( ))n nV V S V S tΔ = −

14

Gerando números aleatórios com Covariância Dada: Decomposição de Cholesky

É possível gerar a partir de variáveis aleatórias

independentes empregando a decomposição de Cholesky.

Para isso basta observarmos que:

T

j k jl l km m

jl km l m jl km lm

Tjm km jl lk

A A

A

A A

A A A A

A A A A

ρ

ε ξε ε ξ ξ

ξξ δ

ρ

=

=

=

= =

= = =

~ (0, )Nε ρξ

15

Gerando números aleatórios com Covariância Dada: Correlação EWMA

Correlação PETR4-DÓLAR EWMA

-20%-10%

0%10%

20%30%

40%50%

60%

26/0

8/01

26/0

9/01

26/1

0/01

26/1

1/01

26/1

2/01

26/0

1/02

26/0

2/02

26/0

3/02

26/0

4/02

26/0

5/02

26/0

6/02

26/0

7/02

16

Carteiras com Múltiplos Fatores

1,00 0,00 1,00 -0,13 1,00 -0,13-0,13 0,99 0,00 0,99 -0,13 1,00

Matriz de Correlação1 2

1 1,00 -0,132 -0,13 1,00

Decomposição de Cholesky

17

Carteiras com Múltiplos Fatores

q1 1000 S1 39,90 σ1 3,1%q2 50 S2 3.097,90 σ2 1,8%

V 194.795,00 Correlação3,8% -9,0%

ξ1 ξ2 ε1 ε2 S1 S2 V P&L-1,665584 -0,432565 -1,665584 -0,217017 37,86864346 3.085,92 192.164,55 (2.630,45) 0,125332 -1,665584 0,125332 -1,667988 40,05285602 3.005,81 190.343,26 (4.451,74) 0,287676 0,125332 0,287676 0,087691 40,25085186 3.102,74 195.387,93 592,93

-1,146471 0,287676 -1,146471 0,431282 38,50175677 3.121,71 194.587,34 (207,66)

1,190915 -1,146471 1,190915 -1,288747 41,35244753 3.026,75 192.689,77 (2.105,23) 1,189164 1,190915 1,189164 1,029846 41,35031168 3.154,76 199.088,27 4.293,27

-0,037633 1,189164 -0,037633 1,18428 39,85410223 3.163,29 198.018,39 3.223,39

0,327292 -0,037633 0,327292 -0,078991 40,2991677 3.093,54 194.976,11 181,11 0,174639 0,327292 0,174639 0,302398 40,11299093 3.114,60 195.842,78 1.047,78

18

Carteiras com Múltiplos Fatores

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

(10.3

68)

(9.14

0) (7

.911)

(6.68

2) (5

.454)

(4.22

5) (2

.997)

(1.76

8) (5

39)

689

1.91

8 3.

147

4.37

5 5.

604

6.83

3 8.

061

9.29

0

VaR 6.915,78 VaR Delta 6.682,31

19

Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico

20

Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico

Medida de Lebesgue =1 para

4μ =

21

Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 1 – ponto fixo

Ponto fixo instável x=3/4

22

Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 2 – Medida invariante

A medida invariante representa a probabilidade de que a trajetória passe pelo intervalo [x,x+dx]. No caso do mapa logístico essa medida é não-uniforme:

A partir das trajetórias do mapa logístico é possível, no entanto, através de uma transformação de variáveis gerar um novo mapa com medida invariante uniforme:

23

Geração de Números Pseudo-aleatórios: Gerador Congruencial Linear

1 (mod ), ,i iI aI b m

a b m+ = +

∈

24

Geração de Números Pseudo-aleatórios: Gerador Congruencial Linear

m e b são primos entre si (MDC(m,b)=1);

a=1(mod p) para todo fator primo p de m;

a=1(mod 4) se m=0(mod 4).

Ex: a=7, b=13 e m=18Fatores primos de m=2,3, assim a=1 (mod 2) e a=1(mod3).

Boa escolha: a=75, b=0 e m=231-1

25

Cenários de Streess: Estudo de Caso Total Return Swap da SK Securities Co.

Início : Janeiro 1997

Vencimento: Janeiro de 1998

Pricipal: N=US$ 53 milhões

Payoff:

0 0 1 2 0

2 2 2

35 1 max 0, max 0,1 0,97B R R R YNB R Y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟− + + − −⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦Bk : cotação baht/usd no semestre k

Rk : cotação rupia/usd no semestre k

Yk : cotação yen/usd no semestre k

26

Estudo de Caso: Total Return Swap da SK Securities Co.

0 0 1 2 0

2 2 2

35 1 max 0, max 0,1 0,97B R R R YNB R Y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟− + + − −⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦CENÁRIO FAVORÁVEL:

• Valorização ( B0>B2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen.

Ex: Baht -10%, Rúpia -10% (1 sem) -20% (2 sem), Yen +10%

Payoff= US$ 69 MM (Lucro)

CENÁRIO DESFAVORÁVEL:

• Desvalorização do Baht e da Rúpia, manutenção ou valorização do Yen.

Ex: Baht +100%, Rúpia +48% (1 sem) +100% (2 sem), Yen 0%

Payoff= - US$ 184 MM (perda)

27

Estudo de Caso: Total Return Swap da SK Securities Co.

CENÁRIO FAVORÁVEL:

• Valorização ( B0>B2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen.

Razões para entrar no contrato:

1. Baht vinculado a uma cesta de moedas (80% USD, 12% JPY e 8% DEM);

2. Rúpia limitada artificialmente à desvalorizações de 5%/ano.

3. Iene com livre oscilação.

28

Estudo de Caso: Simulação Histórica

010203040

(7.1

31)

(6.0

83)

(5.0

34)

(3.9

86)

(2.9

37)

(1.8

89)

(840

)

208

1.25

7

2.30

5

3.35

4

4.40

2

5.45

1

Profit & Loss

Freq

uenc

y

VaR(1%)=5,8 MM

29

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20

25

30

35

40

45

50

55

60

50

70

90

110

130

150

170

190

210

230

250

Iene

Rúpia

Baht

30

Estudo de Caso: Perda Realizada após Crise Asiática

2.375,00 25,90 121,78 IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)

96-97 2,15% 3,97% -0,24% -4,78% 2426,66 2471,11 25,84 116,10 (3.016) 97-98 8% 166% 73% 3% 2572,81 12490,86 53,74 125,49 (187.138)

Cotação em Jan/97

Perda de US$ 187 MM

(32 vezes maior !)

31

Cenários Ad-hoc2.375,00 25,90 121,78

IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)Cenário1 5% 10% 10% 0% 2496,77 2624,78 28,62 121,78 (36.174) Cenário 2 10% 20% 20% 0% 2624,78 2900,83 31,63 121,78 (70.225) Cenário 3 20% 40% 40% 0% 2900,83 3543,08 38,64 121,78 (128.587) Cenário 4 40% 80% 80% 0% 3543,08 5285,66 57,64 121,78 (197.338) Cenário 5 50% 100% 100% 0% 3915,71 6455,92 70,40 121,78 (218.922)

Cotação em Jan/97

PRÓ CONTRA

Facilidade de cálculo

Dificuldade na determinação da plausibilidade dos cenários

32

Estudo de Caso II: Margens de Garantia BM&F

Volatilidade

Pré Cupom de USD IGPM Dólar Spot BOVESPA Bolsa Externa Brady Bonds

Futuro de DólarOpções de DólarTítulos CambiaisFuturo de DITítulos PréSwaps Pré Swaps DólarAções InternasFuturo de AçãoOpções sobre AçõesBrady BondsOpção IDITítulos IGPMSwaps IGPMFRA de CupomAções Exterior

Mercados a vistaEstrutura a Termo

Fatores de Risco

33

Exemplo de decomposição de Carteira em Fatores de Risco

Carteira

• Ativo em R$ 10 MM em papel cambial para 34 dias

• Ativo em R$ 6 MM em PU de Futuro de DI para 216 dias

• Ativo em R$ 4 MM em Futuro de IBOVESPA para 49 dias

34

Decomposição: Título Cambial

Título Cambial

1VFP S

C=+

1 1ln ln1

ln ln USD

USD

P VF CSP C VF S

PUSS PU

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ +⎟ ⎟⎜ ⎜ ′=⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎟⎜ ′⎝ ⎠⎝ ⎠ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ′′ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= +⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

DÓLAR SPOT CUPOM DE DÓLAR

35

Decomposição: PU de Futuro de DI

Futuro de DI

100.0001

Pi

=+

1ln ln ln1

P i PUP i PU

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′+⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜= =⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜′⎝ ⎠⎝ ⎠ + ⎝ ⎠

PRÉ

36

Decomposição: PU de Futuro de IBOVESPA

Futuro de IBOVESPA

(1 )F IBV i= +

( )( )1

ln ln1

ln ln

IBV iFF IBV i

IBV PUIBV PU

⎛ ⎞′ ′⎛ ⎞ +′ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜=⎟⎜ ⎟⎜⎟⎟ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ +⎜⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

PRÉ (PASSIVO)BOVESPA

37

Decomposição em Fatores de RiscoPosição Prazo

Título Cambial 10.000.000 34Futuro de DI 6.000.000 216Futuro de IBOVESPA 4.000.000 49

Mercado Vértice Posição

Dólar SPOT 10.000.000 IBOVESPA SPOT 4.000.000 Pré 30 (1.466.667) Pré 60 (2.533.333) Pré 90 - Pré 120 - Pré 180 3.600.000 Pré 270 2.400.000 Cupom de USD 30 8.666.667 Cupom de USD 60 1.333.333 Cupom de USD 90 - Cupom de USD 120 - Cupom de USD 180 - Cupom de USD 270 -

38

Decomposição em Fatores de Risco

( )% % %1 2 ...

STRESSSTRESS

F F Fn

VVaR VV

V

⎛ ⎞Δ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

= Δ +Δ + +Δ

39

Pool de Cenários

Cenário -5 Cenário -4 Cenário -3 Cenário -2 Cenário -1 Cenário 0 Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4 Cenário 5

-10% -8% -6% -4% -2% 0% 3% 6% 9% 12% 15%-30% -24% -18% -12% 6% 0% 4% 8% 12% 16% 20%

0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51%0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02%0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54%0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06%0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12%1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70%0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51%0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02%0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54%0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06%0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12%1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70%

(1.000.000) (800.000) (600.000) (400.000) (200.000) - 300.000 600.000 900.000 1.200.000 1.500.000 (1.200.000) (960.000) (720.000) (480.000) 240.000 - 160.000 320.000 480.000 640.000 800.000

51.373 41.067 30.413 20.360 10.053 - (40.133) (79.160) (117.627) (155.133) (243.480) 14.867 12.333 9.067 5.800 3.267 - (11.467) (23.800) (35.133) (46.467) (30.600)

40

Pior Caso e Cenários Macroeconomicamente Plausíveis

PIOR CASO BULLISH BEARISH

(1.000.000) (1.000.000) 1.500.000 (1.200.000) 800.000 (1.200.000)

(243.480) 51.373 (243.480) (46.467) 14.867 (30.600)

(2.489.947) (133.760) 25.920

Dólar IBOVESPAPréCupom de USD

41

Bibliografia• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.

• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);• Jäckel, P., Monte Carlo Methots in Finance, Wiley Finance, 2002

•Vieira Neto, C.A. , Urban, F., Um Modelo de Stress Menos Subjetivo e Mais Abrangente, Resenha BM&F 139

• Guidelines on Market Risk Vol 5: Stress Testing, ONB (2001).

Leituras Complementares

Glasserman, Heidelberger e Shahabuddin, Efficient Monte Carlo Methods for Value-at-Risk

Jamshidian, F., Zhu, Y., Scenario Simulation: Theory and Methodology, Finance and Stochastics, 1,43-67 (1997)