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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

PROJETO A VEZ DO MESTRE

A IMPORTÂNCIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO

SUPERIOR

Por: Gilvan Gonçalves Ferreira Filho

Orientador

Prof. Nelsom Jose Veiga de Magalhães

Rio de Janeiro

2005

2

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓR-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”


A IMPORTÂNCIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO

SUPERIOR

Apresentação de monografia à

Universidade Candido Mendes como

condição prévia para a conclusão do

Curso de Pós-Graduação “Lato

Sensu” em Docência do Ensino

Superior.

Por: Gilvan Gonçalves Ferreira Filho

3

AGRADECIMENTOS

À minha família, que me incentivou a

fazer este estudo;

Ao meu orientador, Prof. Nelsom Jose

Veiga de Magalhães, que forneceu

orientações seguras, guiando meu

caminho e

Aos meus professores e colegas, pela

caminhada solidária.

4

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus familiares e principalmente a Deus, pelo apoio e bênçãos recebidas durante o curso.

5

RESUMO

Neste trabalho monográfico será realizado um estudo a cerca do surgimento dos

números complexos, dando ênfase aos primeiros estudos realizados por Bombelli e

Cardano no século XVI. Trataremos, ainda, do fechamento, da extensão de suas

operações, da aceitação da teoria dos números complexos e da equivocada abordagem

realizada por parte das literaturas que tratam do assunto em epígrafe.

Apresentaremos uma breve introdução sobre a teoria dos números complexos,

abordando a correta definição, os elementos complexos especiais, as operações básicas,

as representações geométricas, argumento, forma polar, raiz quarta, raiz n-ésima,

complexos como matriz, os gaussianos e demais tópicos comumente omitidos nas

diversas literaturas que tratam do assunto, em especial as do ensino superior.

Apontaremos algumas considerações sobre a teoria dos números complexos e suas

diversas possibilidades de aplicação, contextualizando dessa forma um assunto que na

maioria das vezes, que estudamos, fica sem nenhum ponto de ancoragem..

Trabalharemos no sentido de apresentar de maneira completa e correta a teoria supra

citada e proporcionar aos estudiosos do assunto uma visão crítica, correta e atual das

várias literaturas encontradas atualmente no mercado bibliográfico.

6

METODOLOGIA

A realização do trabalho monográfico será desenvolvida por meio de

uma pesquisa bibliográfica e será procedida uma leitura dialética das abordagens

feitas pelos autores da teoria dos números complexos. O resultado deste trabalho

monográfico poderá ser utilizado por professores e alunos que pretendem

estudar o tema em destaque.

7

SUMÁRIO

Introdução..........................................................................................................09

Capítulo I - O Descobrimento dos Números Complexos..................................12

1.1. Como surgiram os números complexos?

1.2. O primeiro estudo dos complexos: Bombelli 1572.

1.3. Investigação do fechamento dos complexos.

1.4. Extensão das operações transcendentes aos complexos.

1.5. A aceitação dos números complexos.

Capítulo II - Introdução aos números complexos.... .........................................16

2.1. Os números complexos.

2.2. Definição de números complexos.

2.3. Elementos complexos especiais.

2.4. Operações básicas com números complexos.

2.5. Representação geométrica de um número complexo.

2.6. Argumento de um número complexo.

2.7. Forma polar de um número complexo.

2.8. Raiz quarta de um número complexo.

2.9. Raiz n-ésima de um número complexo.

2.10. Números complexos como matriz.

2.11. Os gaussianos.

Capítulo III – Aplicações dos números complexos no ensino superior.................33

3.1. Considerações sobre os números complexos.

3.2. Números complexos na Física e na Química

3.3. Os números complexos como vectores, na matemática e na engenharia

3.4. A importância dos números complexos no ensino superior

8

Conclusão...............................................................................................................48

Anexos....................................................................................................................50

Bibliografia consultada...........................................................................................56

Índice......................................................................................................................57

9

INTRODUÇÃO

Os números complexos foram inventados para resolvermos as equações do

segundo grau? Não! Isso é uma falácia clássica. Além de historicamente errada, essa

extremamente comum "explicação" para o surgimento dos números complexos é um

absurdo encontrado com muita freqüência nos livros destinados ao estudo da teoria dos

números complexos. Com efeito, por que alguém iria buscar raízes num campo

numérico desconhecido?

Até cerca de 1650 d.C., em respeito à orientação geométrica da matemática grega,

as únicas raízes consideradas como legítimas ou verdadeiras eram as que correspondiam

à grandezas geométricas ou físicas: podiam ser interpretadas como comprimentos, áreas,

volumes, massas, etc. Diríamos hoje: correspondiam a números reais POSITIVOS.

Por exemplo, Bhaskara, que foi um dos indianos que mais perto chegou da idéia

da moderna álgebra (conhecia a regra menos vezes menos dá mais, trabalhava com

equações de coeficientes negativos, etc), reconhecia que a equação x2 - 45 x = 250 era

satisfeita por dois valores, x = 5 e x = - 5, mas dizia que não considera-se a segunda pois

as pessoas não apreciam raízes negativas.

Até o surgimento dos cartesianos, as raízes eram divididas em verdadeiras

(correspondiam aos reais positivos) e falsas (que correspondiam aos reais negativos e

não eram consideradas como legítimas). As únicas e raras ocorrências de raízes

negativas nesse período surgiam em problemas de contabilidade, onde eram

interpretadas como dívidas.

O primeiro matemático a aceitar e estudar números negativos e complexos, ao

invés de rejeitá-los simplesmente, como acontecia até então, foi Rafael Bombelli sendo

o tema objeto de estudo para vários outros estudiosos, dentre eles Cardano, que ao

tentar resolver a cúbica x 3 = 4 + 15x , a qual ele sabia ter raiz verdadeira x = 4,

10

constatou que a regra de dal Ferro-Tartaglia produzia a seguinte expressão ( em notação

moderna ):

33 12121212 −−−−−−−−++++−−−−++++====x .

Ao encontrar o termo 121− , ele não sabia como proceder para conseguir

resolver o cálculo, de modo a fazer a regra chegar ao esperado x = 4. Foram precisos

mais de 25 anos para Rafael Bombelli, descobrir como resolver o impasse. Esse teve a

idéia de operar com as quantidades da forma 1−+ba sob as mesmas regras que se usa

com os números reais, mais a propriedade ( 1− )² = -1. Surgindo dessa forma o

conjunto dos números complexos.

Sabemos que uma equação algébrica depende do conjunto universo considerado

para obter sua solução, logo se tentarmos obter o conjunto solução da equação x2+1 = 0

sobre o conjunto dos números reais, teremos como resposta o conjunto vazio, o que

significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se

seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:

Onde 1− é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado

prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato

de substituir 1− pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes

números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática

como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos

números complexos.

Há muito tempo em nossos currículos, em todos os níveis, especialmente no

ensino superior, trabalhamos com números complexos e muitas vezes, passamos a idéia

de que a unidade imaginária i, serve apenas para extrair uma raiz negativa e não

proporcionamos aos alunos a oportunidade de perceber o quão importante o conjunto

dos números complexos é em suas aplicações.

11

Portanto estudaremos, de uma forma simples e objetiva, em que universo é

aplicada a tão sugestiva unidade imaginária i e verificaremos a partir do resultado deste

estudo que o questionamento inicial realmente não passa de uma falácia clássica.

12

CAPÍTULO I

O DESCOBRIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS


Cardano em 1545 ao tentar resolver a cúbica x 3 = 4 + 15x , a qual ele sabia ter raiz

verdadeira x = 4, constatou que a regra de dal Ferro-Tartaglia produzia a seguinte

expressão ( em notação moderna ) :

33 12121212 −−−−−−−−++++−−−−++++====x

Deparando-se com o termo 121− , ele não conseguiu ver como "destravar" o

cálculo, de modo a fazer a regra chegar ao esperado x = 4. Foram precisos mais de 25

anos para Bombelli, em 1572, atinar como resolver o impasse. Esse disse ter tido a

"idéia louca" de operar com as quantidades da forma 1−+ba sob as mesmas regras

que se usa com os números reais, mais a propriedade ( 1− )² = -1 para assim conseguir

"destravar" a regra, fazendo-a produzir o desejado x = 4.

O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado, chegando mesmo

a dizer que eram uma nova espécie de raízes quadradas ... que tem regras diversas das

outras. Para os demais matemáticos da época, os números complexos eram vistos com

suspeita e quanto muito tolerados, na falta de melhor coisa. Até o nome que receberam,

números SOFÍSTICOS, espelhava bem a situação.

É de se acrescentar que alguns matemáticos da época procuraram descobrir

maneiras de se evitar o uso dos complexos. Entre eles, o que mais procurou evitar as

torturas mentais envolvidas com o uso de raízes quadradas de negativos foi Cardano.

Em seu difícil livro De Regula Aliza, de 1570, Cardano procurou inventar artifícios de

cálculo que evitassem o uso de raízes quadradas de negativos quando da aplicação das

regras de resolução de cúbicas. Conseguiu apenas magros resultados. Foram necessários

trezentos anos para que, em 1890, Capelli conseguisse provar que isso é em geral

impossível de conseguir.

13


Rafael Bombelli gastou 74 (setenta e quatro) páginas de sua obra L'Álgebra para

estudar as leis algébricas que regiam os cálculos com as quantidades 1−+ba . Em

particular, mostrou que:

• As 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem números

desse tipo;

• A soma de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só

nome.


Embora Bombelli já tivesse se preocupado em provar o fechamento das operações

aritméticas com números complexos, em 1680, encontramos ninguém menos do que

Leibniz questionando-se se seria real ou não o resultado de:

)()( ibaiba −−−−++++++++

Lambert, em 1 750, mostrou que i , i i , etc todos tem a forma a + ib.


A principal dificuldade foi entender o logaritmo de números complexos. E

se vamos falar do ln z, por que não falar no log de reais negativos? Com efeito,

estendeu-se por muitos anos a polêmica do significado e valor do ln (-1). Nada

menos do que Leibniz, Euler e J. Bernoulli entraram na briga.

Bernoulli alegava que, como 1 2 = (-1) 2, tomando o log, obtemos 0 = ln(-

1). Leibniz dizia que isso não pode ser correto, uma vez que teríamos, ln(-1) =

0, que -1 = e Q 1.

14

O passo decisivo foi dado por Euler que mostrou que o log de um número

não nulo tem infinitos valores, os quais são todos imaginários no caso do

número ser negativo.

Boa parte dessas discussões envolviam argumentos metafísicos e não

podemos dizer que Euler tenha esclarecido definitivamente a questão. Isso só

ocorreu em 1830 com Martin Ohm, o qual deu uma teoria completa para o

calculo de a b e de ln a (com a,b complexos). Suas idéias foram divulgadas e

estendidas por Cauchy , o qual elucidou a questão da multivocidade através das

noções de ramo principal e ramos secundários de uma função.

Exemplo:

Como e2 π i = 1 , então ln (e2 π i) = ln ( 1 ) mas é errado disso concluir que e2 π i =

0.

Foi só com as idéias de Ohm e Cauchy que aprendemos a fazer o cálculo

corretamente.


Talvez possamos dizer que os principais matemáticos responsáveis por essa

aceitação foram:

• Lambert e Euler que estudaram o fechamento dos números complexos sob

operações algébricas e transcendentes;

• Wessel que introduziu (1797) a moderna representação geométrica, que foi

depois popularizada por Mourey e Gauss c. 1830;

• Gauss que divulgou e muito usou essa representação e provou que os números

complexos são necessários e suficientes para a Álgebra (Teorema Fundamental da

Álgebra: todo polinômio de coeficientes reais ou complexos pode ser fatorado em

termos lineares, possivelmente complexos);

15

• Ohm e Cauchy que esclareceram a multivocidade das operações algébricas e

transcendentes sobre os complexos.

Com isso, a terminologia desconfiada inicial (n. sofísticos c. 1570, n. imaginários

c. 1650) acabou cedendo lugar a mais natural denominação atual: números complexos,

em c. 1830.

Já no século dos 1800 os números complexos encontraram grande uso no estudo

da Mecânica de Fluídos, da Eletricidade e outros fenômenos em meios contínuos. Hoje,

são instrumental absolutamente necessário em inúmeros campos da Ciência e

Tecnologia.

16

CAPÍTULO II

INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS


Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto

universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo,

se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais, a equação 2x+7 = 0, terá

uma única solução dada por:

27−

=x

Assim, o conjunto solução será:

=27

S

No entanto, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o

conjunto solução será o conjunto vazio, isto é:

{ }== ØS

Analogamente, se tentarmos obter o conjunto solução para a equação x2+1 = 0

sobre o conjunto dos números reais, teremos como resposta o conjunto vazio, isto é:

{ }== ØS

O que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual

a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns,

obteremos:

1−=x

17

Onde 1− é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado

prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato

de substituir 1− pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes

números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática

como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos

números complexos.

2.2. Definição de número complexo

Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma:

biaz ++++====

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real

do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z,

denotadas por:

)Im();Re( zbza ========

Exemplos de tais números são apresentados na tabela abaixo:

Número complexo Parte real Parte imaginária

2 + 3 i 2 3

2 - 3 i 2 -3

2 2 0

3 i 0 3

-3 i 0 -3

0 0 0

Observação:

O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto

dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um

18

número complexo da forma yixz ++++==== , onde 0====y , então assumiremos que o conjunto

dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

2.3. Elementos complexos especiais

• Igualdade de números complexos: Dados os números complexos biaz ++++==== e

dicw ++++==== , definimos a igualdade entre z e w, escrevendo

dbcawz ========⇔⇔⇔⇔==== e

Para que os números complexos yiz ++++==== 2 e icw 3++++==== sejam iguais, deveremos

ter que 2====c e 3 ====y .

• Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo biaz ++++==== é o

número complexo denotado por )( biaz ++++====−−−− , isto é:

ibabiaz )()()( Oposto −−−−++++−−−−====++++====−−−−

O oposto de iz 32 ++++−−−−==== é o número complexo .32 iz −−−−====−−−−

• Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de

biaz ++++==== é o número complexo denotado por biaz −−−−==== , isto é:

ibabiaz )()( conjungado −−−−++++====++++====

O conjugado de iz 32 −−−−==== é o número complexo .32 iz ++++====

2.4. Operações básicas com números complexos

Dados os números complexos biaz ++++==== e dicw ++++==== , podemos definir duas

operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:

idbcadicbiawz )()()()( ++++++++++++====++++++++++++====++++ ibcadbdacdicbiawz )()()).((. ++++++++−−−−====++++++++====

19

Observação:

Estas operações nos lembram as operações com expressões polinomiais, pois a

adição é realizada de uma forma semelhante, isto

é xdbcadxcbxa )()()()( ++++++++++++====++++++++++++ e a multiplicação )).(( dxcbxa ++++++++ , é realizada

através de um algoritmo que aparece na forma:

²)(

²

X

bdxxadbcac

bdxadxbcxac

dxc

bxa

++++++++++++

++++++++

++++

====

de forma que devamos trocar x2 por -1.

Exemplos:

iiiwz

entãoiwizSe

iiiwz

entãoiwizSe

04)64).(32(.

,64 e 32

36)64()32(

,64 e 32

++++−−−−====−−−−++++====

−−−−====++++====

−−−−====−−−−++++++++====++++

−−−−====++++====

2.4.1 - Potências da unidade imaginária

Quando tomamos 1−−−−====i temos uma série de valores muito simples para as

potências de i :

Potência i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9

Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i

Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são

múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente

20

decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa

forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto

da divisão do expoente por 4.

Curiosidade sobre a unidade imaginária

Ao pensar um número complexo biaz ++++==== como um vetor (((( ))))baz ,==== no plano

cartesiano, a multiplicação de um número complexo biaz ++++==== pela unidade imaginária

i , resulta em um outro número complexo aibw ++++==== , que forma um ângulo reto (90

graus) com o número complexo biaz ++++==== dado.

2.4.2 - O inverso de um número complexo

Dado um número complexo biaz ++++==== , não nulo (a ou b deve ser diferente de

zero) podemos definir o inverso deste número complexo como o número ivuz ++++====−−−−1, tal

que:

1. 1 ====−−−−ZZ

O produto de z pelo seu inverso 1−−−−z deve ser igual a 1, isto é:

21

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) iibuavbvauivubia .011. ++++========++++++++−−−−====++++++++

o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:

11

====++++====−−−−

avbubvau

Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução

(pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:

assim, o inverso do número complexo biaz ++++==== é:

iba

bba

az 2222

1

++++−−−−

++++====−−−−

Exemplo: O inverso do número complexo iz 125 ++++==== é

iz

−−−−

====−−−−

16912

16951

• Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um

número complexo, por exemplo, o inverso de iz 125 ++++==== , deve-se :

•

1.Escrever o inverso desejado na forma de uma fração;

izz

125111

++++========−−−−

(((( ))))22 baau

++++====

(((( ))))22 babv

++++−−−−====

22

2.Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z ;

(((( )))) (((( ))))iii

iz

125.125125

12511

−−−−++++−−−−

====++++

====−−−−

3.Lembrar que i2 = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos

semelhantes.

1691251 i

z−−−−

====−−−−

Observação:

Na última igualdade (proporção) o produto dos meios é igual ao produto dos

extremos.

2.4.3 - A diferença entre números complexos

A diferença entre os números complexos biaz ++++==== e biaz ++++==== é definida como o

número complexo obtido pela soma entre z e w−−−− , isto é:

(((( ))))WZWZ −−−−++++====−−−−

Exemplo: A diferença entre os complexos iz 32 ++++==== e iw 125 ++++==== , é:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) iiiiwz 931235212532 −−−−−−−−====−−−−++++−−−−====−−−−−−−−++++++++====−−−−

2.4.4 - A divisão entre números complexos

A divisão entre os números complexos biaz ++++==== e dicw ++++==== (w não nulo) é

definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e 1−−−−w , isto é:

1. −−−−==== wzwz

23

Exemplo: Para dividir o número complexo iz 32 ++++==== por iw 125 ++++==== , basta multiplicar

o numerador e também o denominador da fração wz

pelo conjugado de w :

(((( ))))

−−−−++++====++++++++

====16912

1695

.3212532 i

iii

wz

2.5. Representação geométrica de um número complexo

Um número complexo da forma biaz ++++==== , pode ser representado

geometricamente no plano cartesiano, como sendo um ponto (par ordenado) tomando-se

a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a

ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o

número complexo i000 ++++==== é representado pela própria origem (0,0) do sistema.

2.5.1 - Módulo de um número complexo

No gráfico anterior podemos observar que existe um triângulo retângulo cuja

hipotenusa correspondente à distância entre a origem 0 e o número complexo z,

normalmente denotada pela letra grega ro, o cateto horizontal tem comprimento igual à

parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do

número complexo z.

24

Desse modo, se biaz ++++==== é um número complexo, então:

222 bap ++++====

e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado

por |z|, isto é:

22 baz ++++====

2.6. Argumento de um número complexo

O ângulo formado entre o segmento OZ e o eixo OX, aqui representada pela letra

grega alfa, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da

trigonometria circular temos as três relações:

ab

tgpb

pa

============ sen cos αααααααααααα

Por experiências com programação na Internet, observei que é melhor usar o

cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente

apresenta alguns problemas.

2.7. Forma polar de um número complexo

Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos

escrever:

ippbiaz .sen. cos. αααααααα ++++====++++====

e assim temos a forma polar do número complexo z:

25

(((( )))) sen cos. αααααααα ipz ++++====

2.7.1 - Multiplicação de números complexos na forma polar

Consideremos os números complexos:

)sen(cos mmrz ++++====

)sen(cos nnsw ++++====

onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes

números complexos z e w .

Podemos realizar o produto entre estes números da forma usual e depois

reescrever este produto na forma:

)]sen()[cos(. nminmrswz ++++++++++++====

Este fato é garantido pelas relações:

)sen().sen()cos().cos()cos( nmnmnm −−−−====++++

)cos().sen()cos().sen()sen( nmnmnm ++++====++++

2.7.2 - Potência de um número complexo na forma polar

Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número

complexo. Como:

]sen[cos (m) i (m) r z ++++==== então:

)]sen()[cos( km i km rz kk ++++====

26

Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é igual à raiz

quadrada de 2 e o argumento é igual a 1/4 de pi (45 graus). Para elevar este número à

potência 16, basta escrever:

256)]720sen()720[cos(2816 ====++++==== ºiº z

2.8. Raiz quarta de um número complexo

Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a

possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja

um número real negativo, o que significa, resolver uma equação algébrica do 4º. grau.

Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16, basta encontrar as quatro raízes

da equação algébrica

0164 ====++++x .

Antes de seguir em nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número

complexo w, necessitamos antes de tudo, saber o seu módulo r e o seu argumento t, o

que significa poder escrever:

)sen(cos t i t r w ++++====

O primeiro passo é realizar um desenho mostrando esse número complexo w em

um círculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o

número complexo w.

27

O passo seguinte é obter um outro número complexo z1 cujo módulo seja a raiz

quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a primeira das quatro

raízes complexas procuradas.

++++

====4

sen4

cos41

1 ti

t rz

As outras raízes serão:

34

23

12

i . z z

i . z z

i . z z

====

====

====

e todas elas aparecem no gráfico:

28

Observação:

O processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou muito

facilitado pois conhecemos a propriedade geométrica que o número complexo i

multiplicado por outro número complexo, roda este último de 90 graus e outro fato

interessante é que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma

circunferência e os ângulos formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus. Se os

quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado de t/4

radianos em relação ao eixo OX.

2.9. Raiz n-ésima de um número complexo

Antes de continuar, apresentaremos a importantíssima relação de Euler:

t i t e i.t sencos ++++==== que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado

2,71828... Para facilitar a escrita usamos freqüentemente:

t i t (i.t) sencosexp ++++====

29

Observação:

A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo

os mais importantes sinais e constantes da Matemática:

01. ====++++ππππie

Voltemos agora à ).exp( ti . Se multiplicarmos o número ei.t por um número

complexo z, o resultado será um outro número complexo rodado de t radianos em

relação ao número complexo z. Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z

por:

8sen

8cos8 ππππππππππππ

iei

++++====

obteremos um número complexo z1 que forma com z um ângulo pi/8=22,5o, no

sentido anti-horário.

Iremos agora resolver a equação w xn ==== , onde n é um número natural e w é um

número complexo dado. Da mesma forma que antes, podemos escrever o número

complexo

t) i t r (w sencos ++++====

30

e usar a relação de Euler, para obter:

i.t r ew ==== Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo

número complexo

e r) z( nti

n.1

1 ==== Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por:

) e z(k-z(k) niPi.2

1==== onde k varia de 2 até n.

Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x8=-64, observamos a posição do

número complexo w = -64 + 0 i, constatando que o seu módulo é igual a 64 e o

argumento é um ângulo raso (pi radianos = 180 graus).

Aqui a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é pi/8, então z1

pode ser escrita na forma polar:

)º5,22sen.º5,22.(cos28 .21 iiez ++++======== ππππ

As outras raízes serão obtidas pela multiplicação do número complexo abaixo,

através de qualquer uma das três formas:

31

º45sen.º45cos8

2sen.

82

cos8 iiie ++++====++++====

ππππππππππππ

ou ainda pela forma simplificada:

Assim:

z(2) = z(1).

z(3) = z(2).

z(4) = z(3).

z(5) = z(4).

z(6) = z(5).

z(7) = z(6).

z(8) = z(7).

2.10. Número complexo como matriz

Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi

pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

32

−−−−====

ab

baz

e todas as propriedades dos números complexos, podem ser obtidas através de matrizes,

resultando em processos que transformam as características geométricas dos números

complexos em algo simples.

2.11. Os gaussianos

2.11.1 - Os inteiros gaussianos

Os inteiros gaussianos são números complexos em que tanto a parte real a como a

parte imaginária b são inteiros.

Exemplo: 9 - 2i é um inteiro gaussiano, ao contrário de 2/3 -i.

2.11.2 - Os primos gaussianos

De forma idêntica à dos primos em N, os primos gaussianos são os inteiros

gaussianos divisíveis apenas por si próprios e por 1, -1, i e -i. Nem todos os primos reais

são primos gaussianos.

É possível determinar da seguinte forma se um número complexo é ou não primo

gaussiano:

• Se a 0 e b 0 então a + bi é um primo gaussiano se e só se a2 + b2 é um

número primo.

• Um inteiro gaussiano da forma a ou ai, com a em Z, é um primo gaussiano se e

só se a é primo e |a| 3.

33

CAPÍTULO III

APLICAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO SUPERIOR

Neste capítulo veremos não somente as aplicações lógicas para criar hipótese e

teoria sobre os números complexos mas também para fundamentar e apoiar as diversas

outras áreas do conhecimento, como a Física, Engenharia, Química e outras.

3.1. Considerações sobre os números complexos

Há muito tempo, em nossos currículos, trabalhamos com números complexos.

Muitas vezes, passamos a nossos alunos a idéia de que a unidade imaginária i, serve

apenas para extrair uma raiz negativa e não proporcionamos a eles a oportunidade de

perceber o quão importante o conjunto dos números complexos é em suas aplicações.

Com este trabalho monográfico, tenho o objetivo de apresentar, de uma forma rápida,

precisa e concisa, como podemos fazer com que o aluno compreenda em que universo

do ensino superior é aplicada a tão sugestiva unidade imaginária i.


Há mais de 200 anos, a física, a química e a matemática estão intimamente ligadas

no que diz respeito a conjuntos numéricos.

Embora não haja um estudo mais aprofundado, já se sabe que atualmente, na

física contemporânea, a aplicação do conjunto dos números complexos é tão grande,

que é até possível pensar em uma autêntica " complejificación de la física", como cita o

autor Frederico de Rubio y Galy em "The Role of Mathematics in the Rise of Science".

Nesta mesma obra, Dr Frederico dá aos números complexos a idéia de par

ordenado: " um par ordenado de números reais, onde suas coordenadas representam a

parte real e imaginária do complexo". Assim, apresenta como os números complexos

podem multiplicar-se e como é simples a sua representação como vetor.

34

Fica claro então, como o universo de complexos se expande no mundo da física,

onde é utilizado pelos físicos contemporâneos de forma familiar em diversas teorias.

Vejamos alguns exemplos.

3.2.1 - Vetores e quantidades complexas

Dado um número complexo determinado por ( a,b ), onde a e b são números reais,

podemos facilmente representa-lo em um plano. Tomando como base a localização de

pares ordenados, localizamos o par ( a,b ) e formamos o vetor com origem em ( 0,0 ) e

extremidade em ( a,b ).

Para facilitar essa representação, vamos utilizar uma nova quantidade que

chamaremos de operador i, embora alguns autores também o denominam operador j.

Observemos a figura:

Figura I

O vetor H, representado sobre o eixo de referência, à direita do eixo vertical está

sofrendo uma rotação. Ao se deslocar para a esquerda do eixo vertical, temos o vetor –

H , que é o próprio vetor H multiplicado por –1. Então, se para fazer com que o vetor

gire 180� é necessário multiplica-lo por –1, para que sua rotação seja de 90� ( e o vetor

35

se localize sobre o eixo vertical ) é necessário multiplica-lo por 1−−−− , pois 1−−−− . 1−−−−

= -1.

A expressão 1−−−− não é aceita como número real e é então simbolizada pela letra

i. Assim, qualquer vetor multiplicado por i, sofre uma rotação de 90� .

Portanto, na figura anterior temos:

Figura II

Esta representação onde o vetor acompanhado de +i está no eixo vertical para

cima e acompanhado de –i está no eixo vertical para baixo é chamada forma complexa.

3.2.2 - Números complexos e circuitos monofásicos

No estudo de circuitos, a aplicação de números complexos aparece na forma de

vetores, que determinam algumas equações importantes, com a presença da unidade

imaginária.

Um circuito monofásico é alimentado por uma única tensão alternada. Quando a

única dificuldade que a tensão sofre é a resistência efetiva, o circuito é dito puramente

resistivo. Nesse circuito, a tensão Er e a intensidade de corrente I atingem valores

correspondentes ao mesmo tempo, o que faz com que os seus vetores representativos

fiquem sobre o eixo de referência. Dizemos então que as grandezas estão em fase.

36

Figura III

Figura IV

Quando a dificuldade que a corrente sofre é a reatância capacitiva, o circuito é

chamado puramente capacitivo. Nesse circuito, Ec e I não atingem valores

correspondentes ao mesmo tempo, de modo que os vetores que as representam fiquem

um sobre cada eixo. Neste caso, dizemos que Ec e I estão defasadas 90�.

(I se antecipa aos valores de Ec).

Figura V

37

Figura VI

Quando o circuito apresenta como dificuldade à reatância indutiva, o circuito é

chamado de puramente indutivo. Nesse circuito Ei e I também estão defasadas 90�

(I está atrasada aos valores de Ei).

Figura VII

Figura VIII

38

3.2.3 - Circuito em fase tipo R –C

R e C simbolizam a resistência e a capacitância equivalente. Nesse circuito, a

dificuldade encontrada pela fonte para estabelecer uma corrente no circuito é

determinada pela soma vetorial de R e Xc.A tensão E é a soma vetorial das

componentes Er e Ec.

Figura IX

Observa-se que o ângulo de defasagem é menor que 90� , assim, podemos

representar o vetor E na forma trigonométrica, onde E = E cos q - i sen q ou na forma

binômia E = Er – i Ec.

3.2.4 - Circuito em série tipo R – L – C

Neste tipo de circuito três situações podem ocorrer:

39

Figura X

No primeiro caso, o circuito comporta-se como circuito indutivo, o segundo como

capacitivo e o terceiro como resistivo.

Nesse caso o vetor é representado na forma:

E = Er + i ( El – Ec ) = E cos q + i sen q .

3.2.5 - Números complexos e sinais sinusoidais

Além das formas trigonométrica e binômia, os números complexos podem ser

representado em notação exponencial, onde Z = P e iq, sendo P o módulo do complexo e

q o ângulo formado com o eixo de referência ( argumento ).

Esta propriedade dos complexos é muito utilizada para expressar as funções seno

e cosseno em notação exponencial, onde:

2)cos(

)()( xixi eex

−−−−++++====

iee

xxixi

2)sen(

)()( −−−−−−−−====

Assim, podemos representar as exponenciais complexas:

)sen(.)cos()( xixe xi ++++====

)sen(.)cos()( xixe xi −−−−====

Com isso, a resolução de uma equação com funções sinusoidais pode ser efetuada

recorrendo a uma função exponencial complexa.

40

3.2.6 - Números complexos e a função de onda

A equação de onda que rege o movimento dos elétrons foi obtida por Schrodinger

em 1925. Esta equação é análoga a equação de onda clássica e o que a difere é

justamente a aparição explícita do número imaginário i. Vejamos:

atx,t) a

iktxxVax

txamk (

),( )(),(

2 2

22 ψψψψψψψψ

ψψψψ====++++−−−−

Vemos que essa equação é satisfeita pela função de onda harmônica, que nada

mais é que um complexo em sua forma polar:

As funções de onda de Schrodinger não são necessariamente reais, contudo a

probabilidade de encontrar um elétron é totalmente real. Para podermos encontrar essa

probabilidade, mudaremos a interpretação da equação de onda de modo que ela seja

real. Para isso, utilizaremos a propriedade que o complexo possui de, quando

multiplicado por seu conjugado, se tornar real. Assim, a probabilidade será dada por:

1* ====∫∫∫∫ ∞∞∞∞++++∞∞∞∞−−−− ydxψψψψ

, onde *ψψψψ é o conjugado do complexo ψψψψ .

Esta equação é chamada de equação de normalização. Essa condição tem um

papel importante na mecânica quântica, pois coloca uma restrição nas soluções da

equação de Schrodinger que leva à quantização de energia.

Com os aspectos abordados acima, percebemos que o conjunto de números

complexos tem um universo infinito de aplicações, que com a Física Moderna e

descobertas recentes está aumentado cada vez mais. Logo a exposição dessas aplicações

41

em qualquer nível de ensino deve ser feita de maneira clara e precisa uma vez que

nossos alunos não possuem muitos dos conhecimentos aqui abordados, mas o certo é,

que não podemos priva-los desse entendimento.


No trabalho com números complexos, uma das idéias mais simples e com mais

potencialidades é a da representação dos números complexos por vectores. É simples

porque a cada número complexo a + bi está associado o vector de coordenadas (a, b).

As potencialidades são várias e em perspectivas diferentes. Por um lado, a representação

visual dos complexos, a sua comparação, a interpretação das operações com complexos

em termos de transformações geométricas ou operações com vectores. Por outro lado, o

poder do cálculo algébrico com complexos para resolver problemas geométricos ou de

natureza vectorial. Em nossa opinião, estas potencialidades são exploradas através de

um trabalho sistemático de interpretação vectorial dos complexos, das suas relações, e

das operações que se realizam com eles.

As duas representações numéricas de um número complexo, algébrica e

trigonométrica, têm leituras diferentes na interpretação vectorial. A forma algébrica

corresponde imediatamente às coordenadas do vector, a forma trigonométrica dá

informação direta da norma, da direção e do sentido do vector.

3.3.1 - Módulos argumentos e vectores

Representa geometricamente os vectores associados aos seguintes números

complexos:

42

z1 = 5i z2 = 4 + 3i z3 = 3 – 4i z4 = cis π6 z5 = 5 cis

π6 z6 = 5 cis(–

5π6 )

Que relação existe entre o vector associado e o módulo e o argumento de cada

número complexo?

Representa outros vectores com a norma igual à do vector associado a z1, e indica os

números correspondentes aos vectores que representaste. Escreve uma expressão geral

para todos os números complexos associados a vectores com essa norma.

Representa outros vectores com argumento igual ao do vector associado a z4, e

indica os números correspondentes aos vectores que representaste. Escreve uma

expressão geral para todos os números complexos associados a vectores com esse

argumento.

A ideia base desta actividade é trabalhar as relações entre os parâmetros que

aparecem nos números complexos – módulo e argumento – e o seu significado na

interpretação vectorial. O facto de ser pedida uma expressão geral é uma forma de

iniciar logo a abordagem de condições em C.

Os números escolhidos para a atividade têm isso em conta, e é fácil obter

rapidamente outros números que verifiquem a mesma condição. Para z1, z2, z3, z5 e z6

temos |z| = 5; para z4 e z5 temos arg(z) = π6 .

43

Conhecidas estas relações, há todo um tipo de questões que interessa colocar,

relacionadas com transformações geométricas.

Adição de números complexos

Interpreta vectorialmente, isto é, traduz em termos de operações com vectores:

a adição de dois números complexos quaisquer, dados na forma algébrica;

a subtracção de dois números complexos quaisquer, dados na forma algébrica.

Consideramos como familiares aos alunos, porque foram tratadas em anos

anteriores, as operações elementares com vectores, nomeadamente a adição e a

subtracção de vectores.

y

xO

1

i

z1

z2

a

b

c

d

z1 + z2

a+c

b+d

44

A adição de números complexos corresponde, muito convenientemente, à adição

de vectores, e a subtracção de números complexos à adição de um vector com o seu

simétrico.

3.3.2 - Escoamento de líquidos incompreensíveis e explicações diversas

Podemos afirmar que várias teorias matemáticas resultaram, posteriormente, em

ferramentas para o entendimento de modelos das Ciências Naturais com os quais a

princípio não pareciam ter nenhum relacionamento. Os números complexos, por

exemplo, introduzidos para dar sentido à existência de soluções de equações

polinomiais, conduziram ao estudo do cálculo diferencial, ferramenta utilizada em

muitos cursos de graduação, com números complexos.

O desenvolvimento da teoria dos números complexos possibilitou,

posteriormente, o entendimento pela Química do escoamento de fluidos

incompreensíveis até então sem explicação

Os números complexos trabalhando juntamente com a teoria de S. Hawking

proporcionou uma explicação para os "buracos negros", necessitando para isso de

complexos cálculos envolvendo a teoria em estudo e mecânica quântica.

45

3.3.3 – A importância do estudo dos números complexos como vectores

Podemos afirmar que várias teorias matemáticas resultaram, posteriormente, em

ferramentas para o entendimento de modelos das Ciências Naturais com os quais a

princípio não pareciam ter nenhum relacionamento. Os números complexos, por

exemplo, introduzidos para dar sentido à existência de soluções de equações

polinomiais, conduziram ao estudo do cálculo diferencial com números complexos. O

desenvolvimento dessa teoria possibilitou, posteriormente, o entendimento do

escoamento de fluidos incompreensíveis. A teoria de S. Hawking para explicar os

"buracos negros" necessita de resultados envolvendo números complexos e mecânica

quântica. A formalização da mecânica quântica só foi possível via a fundamentação

dada pelo matemático J. von Neumann, utilizando a teoria de espaços de funções

desenvolvidas em grande parte pelo matemático D. Hilbert, que jamais imaginaria que

sua teoria matemática do começo do século XX iria se aplicar a tal assunto.

A matemática trabalha não somente com modelos lógicos para criar hipóteses e

teorias, mas também para fundamentar e apoiar várias outras áreas do conhecimento,

como a Economia, a Física, a Engenharia, a Química, a Informática e outras. Por isso se

mantém sempre atual, sendo ferramenta básica para o dia-a-dia das pessoas, que a

utilizam em simples cálculos domésticos e na administração de grandes empresas, no

planejamento de máquinas e edifícios e na criação de complexos sistemas

automatizados.

46

O desenvolvimento de um motor, de um circuito elétrico ou de um chip de

computador necessita de uma enorme quantidade de cálculos matemáticos e de teorias

matemáticas, assim como a maioria dos aparelhos elétricos. A era industrial só foi

possível devido ao desenvolvimento da matemática, da química e da física por Newton,

Lagrange, Fourier, Cauchy, Gauss e outros cientistas.


Atualmente, o ensino da matemática em geral deve procurar trabalhar com

exemplos práticos, na vida e em outras disciplinas (trabalhar a interdisciplinaridade),

para despertar no aluno à vontade e o desejo de aprender. Com isso, qualquer assunto

ou tópico construirá um conhecimento sólido e não superficial e os alunos conseguirão

estabelecer relações mais facilmente.

O ritmo intenso do desenvolvimento tecnológico dos tempos atuais produz o

seguinte fenômeno: é cada vez menor o tempo decorrente entre o desenvolvimento de

uma teoria matemática e sua utilização prática. A tendência de todas as Ciências é cada

vez mais se "matematizarem" em função do desenvolvimento de modelos matemáticos

que descrevem fenômenos (determinísticos ou aleatórios) naturais de maneira adequada.

Dessa forma, é essencial que o ensino da matemática seja compatível com os

avanços científicos e tecnológicos que caracterizam a nossa sociedade neste início de

século. O que observamos e que na maioria das grades curriculares do ensino superior

de vários outros países, o estudante faz algum curso de matemática, com a seguinte

47

justificativa: numa sociedade moderna em que a "eficiência" é um dos objetivos

maiores, maximizar benefícios e minimizar perdas é essencial. Nestes casos,

invariavelmente, algum modelo matemático deve entrar em jogo.

Tendo em vista as diversas possibilidades de aplicações dos números complexos

no ensino superior, abordadas neste trabalho monográfico, podemos observar o quanto é

importante o conjunto citado, não só pela gigantesca aplicação na física, matemática,

química, engenharia e várias outras áreas do conhecimento, mais também pela

importância do desenvolvimento da pesquisa.

Outro motivo importante para o estudo do assunto no ensino superior é encerrar

totalmente a idéia de que os números complexos existem tão somente para resolver

equações do 2º grau sem respostas no conjunto dos Reais e expor de forma clara precisa

e concisa a importância dos números complexos em um curso de graduação e em

diversas pesquisas.

Logo podemos inferir o quanto é importante e explorados nas diversas áreas do

ensino superior a teoria dos números complexos, pois mostramos o quanto é estudado,

de forma direta, indireta e em pesquisas, nos cursos de graduação em matemática, física,

química, engenharia e outros, haja vista que dão sustentação a várias outros assuntos,

possibilitam a compreensão de fenômenos e proporcionam o desenvolvimento da

pesquisa.

48

CONCLUSÃO

Com os aspectos abordados neste trabalho monográfico, percebemos que o

conjunto dos números complexos tem um universo gigantesco de aplicações, que com

a física moderna, com descobertas recentes na química e engenharia estão aumentado

cada vez mais. Logo a exposição dessas aplicações no ensino do assunto deve ser feita

de maneira precisa, concisas e objetiva, visto que nossos alunos não possuem muitos

dos conhecimentos aqui abordados, mas o certo é que não podemos privá-los dessas

informações. Portanto é uma forma não viável passar a idéia aos alunos de que o único

fim dos números complexos é a resolução de equações do segundo grau sem resposta

nos reais e omitir, por exemplo, a importância desse assunto em um curso de graduação

em engenharia elétrica.

Alguns educadores vem relegando esse conteúdo, que além de ser relevante para o

desenvolvimento cognitivo do aluno e para a compreensão da realidade que o cerca

(fenômenos físicos, por exemplo), é muito cobrada em vestibulares, concursos públicos

e em cursos de graduação como os economia, física, engenharia, química, informática e

muitos outros. Diante do exposto podemos inferir que quem mais uma vez sai perdendo

é a educação e o educando.

49

Grande parte dos livros didáticos procedem de forma análoga à anteriormente

mencionada, ou seja, desprezam, esquecem ou tratam a teoria dos números complexos

de forma desatenciosa. E esse tipo de procedimento é mais comum que possamos

imaginar, citemos o caso do livro Matemática, que apresenta tal assunto de forma tão

superficial que chega ao ponto de apenas mencionar a existência do conjunto dos

números complexos; já o livro Matemática Fundamental apresenta o assunto de forma

razoável , mas ainda incompleta e inadequada, pois o assunto é exposto isoladamente.

Como podemos observar, existe também aqueles que ainda tem preocupação com o

ensino e apresentam o assunto de forma completa e adequada (explorando a

interdisciplinaridade), como é caso do livro Números Complexos, Polinômios e

Equações Algébricas.

Atualmente, o ensino da matemática em geral deve procurar trabalhar com

exemplos práticos, na vida e em outras disciplinas (trabalhar a interdisciplinaridade),

para despertar no aluno à vontade e o desejo de aprender. Com isso, qualquer assunto

ou tópico construirá um conhecimento sólido e não superficial e os alunos conseguirão

estabelecer relações mais adequadamente. Quanto ao educador, terá seu trabalho

coberto de êxito.

50

ANEXOS

51

UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES


A IMPORTÂNCIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO SUPERIOR

Projeto de Pesquisa apresentado ao professor Nelsom Jose Veiga de

Magalhães

Gilvan Gonçalves Ferreira Filho

Rio de Janeiro Janeiro de 2005

52

PROJETO DE PESQUISA NÚMEROS COMPLEXOS

1- Tema Teoria dos números complexos desenvolvida ao longo dos anos por Bombelli

Cardano e Gauss. 2- Justificativa A atual forma de abordagem, encontrada na maioria dos livros didáticos, da

teoria desenvolvida por Bombelli, Cardano e também por Gauss, em sua maioria das vezes, tem deixado a desejar, visto que não apresentam de forma correta e completa o assunto, além de fragmentá-lo e não contextualizá-lo, tornando-o em um assunto sem pontos de ancoragem e aplicação. Por essas razões, o desejo de melhor apresentar esse conteúdo, informar as melhores e piores publicações e apontar suas diversas aplicações.

Faremos este estudo por meio de pesquisa bibliográfica, fazendo uma leitura dialética das abordagens desenvolvidas pelos autores, pois só assim poderemos conhecer e selecionar melhor as publicações.

Inicialmente faremos uma apresentação do assunto de forma correta e contextualizada e posteriormente uma avaliação das bibliografias e finalizando apresentaremos as possibilidades de aplicação do assunto, pois assim teremos o conhecimento necessário à seleção das publicações.

3- Problema

Os estudos das teorias relativas aos números complexos foram realizados com o fim único de resolver equações do segundo grau ?

4- Hipótese

Tendo em vista a grande quantidade de livros didáticos que passam a idéia de que os números complexos foram criados com o objetivo único de resolver equações do segundo grau, torna-se importante apresentar as verdadeiras motivações para o estudo da teoria dos números complexos.

5- Objetivos

Expor as verdadeiras motivações que levaram os pesquisadores a criar a teoria dos números complexos, esclarecer as diversas aplicações da teoria e identificar algumas excelentes e algumas péssimas publicações sobre o assunto em questão.

6- Metodologia A realização do trabalho monográfico será desenvolvida por meio de uma

pesquisa bibliográfica e será procedida uma leitura dialética das abordagens feitas pelos autores da teoria dos números complexos. O trabalho monográfico poderá ser utilizado por professores e alunos que pretendem estudar o tema em destaque.

7- Fundamentação Teórica Podemos observar que as abordagens feitas em livros didáticos de uma forma

geral, principalmente nos livros Matemática volume único e Matemática fundamental, são elaborados basicamente com a finalidade de apresentar a criação dos números

53

complexos como resposta a uma única necessidade: a de dar significado às raízes quadradas de números negativos, ou seja, encontrar uma solução para as equações do 2º grau com discriminantes negativos. Diante dessa situação não podemos nos calar pois sabemos que essa posição é simplista e incompleta pois o estudo da teoria visa atender, dentre outras coisas, a necessidades sentida pelos matemáticos, de ampliar o campo numérico de seu trabalho, dando resposta á vários questionamentos até então sem resposta, conforme descreve Aref Antar Neto em seu livro Números complexos, Polinômios e Equações Algébricas.

8- Cronograma

De posse do problema, utilizei aproximadamente 02 (dois) meses para juntar todo o material necessário. Após esta juntada o projeto foi elaborado em torno de 02 (dois) meses e provavelmente a monografia, já iniciada, tenha sua conclusão em 28 de janeiro de 2005.

9- Bibliografia

Todos os livros que serão utilizados no trabalho monográfico estão abaixo relacionados:

CARL, B. Boyer. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher Ltda,

1996.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 2. ed. Campinas, SP:

editora da UNICAMP, 1997.

GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. São Paulo: FTD, 1994.

DOLCE, Osvaldo. Matemática: volume único. São Paulo: Atual Editora, 1999.

IMENES, Luiz Márcio. Matemática. São Paulo: Scipione, 1989.

ANTAR NETO, Aref. Números Complexos, Polinômios e Equações Algébricas.

São Paulo: Editora Moderna, 1982.

54

SUMÁRIO

Introdução..........................................................................................................09

Capítulo I - O Descobrimento dos Números Complexos..................................12






Capítulo II - Introdução aos números complexos.... .........................................16


2.2. Definição de números complexos.

2.3. Elementos complexos especiais.

2.4. Operações básicas com números complexos.

2.5. Representação geométrica de um número complexo.

2.6. Argumento de um número complexo.

2.7. Forma polar de um número complexo.

2.8. Raiz quarta de um número complexo.

2.9. Raiz n-ésima de um número complexo.

2.10. Números complexos como matriz.

2.11. Os gaussianos.

Capítulo III – Aplicações dos números complexos no ensino superior.................33

3.1. Considerações sobre os números complexos.




55

Conclusão...............................................................................................................48

Anexos....................................................................................................................50

Bibliografia consultada...........................................................................................56

Índice......................................................................................................................57

56

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

CARL, B. Boyer. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher Ltda,

1996.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 2. ed. Campinas, SP:

editora da UNICAMP, 1997.

GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. São Paulo: FTD, 1994.

GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. 8. ed . São Paulo: Lisa-

Livros irradiantes S/A, 1978.

IMENES, Luiz Márcio. Matemática. São Paulo: Scipione, 1989.

DOLCE, Osvaldo. Matemática: volume único. São Paulo: Atual Editora, 1999.

IMENES, Luiz Márcio. Matemática. São Paulo: Scipione, 1989

ANTAR NETO, Aref. Números Complexos, Polinômios e Equações Algébricas.

São Paulo: Editora Moderna, 1982.

57

ÍNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATÓRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMÁRIO 7

INTRODUÇÃO 9

CAPÍTULO I

O DESCOBRIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

12

1.1 – Como surgiram os números complexos 12

1.2 – O primeiro estudo dos complexos: Bombelli 1572 13

1.3 – Investigação do fechamento dos complexos 13

1.4 – Extensão das operações transcendentes aos complexos 13

1.5 – A aceitação dos números complexos 14

CAPÍTULO II

INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS

16

2.1 – Os números complexos 16

2.2 – Definição de número complexos 17

2.3 – Elementos complexos especiais 18

2.4 – Operações básicas com números complexos 18

2.4.1 – Potências da unidade imaginária

2.4.2 – O inverso de um número complexo

19

20

58

2.4.3 – A diferença entre números complexos

2.4.4 – A divisão entre números complexos

22

22

2.5 – Representação geométrica de um número complexo 23

2.5.1 – Módulo de um número complexo 23

2.6 – Argumento de um número complexo 24

2.7 – Forma polar de um número complexo 24

2.7.1 – Multiplicação de números complexos na forma polar

2.7.2 – Potência de um número complexo na forma polar

25

25

2.8 – Raiz quarta de um número complexo 26

2.9 – Raiz n-ésima de um número complexo 28

2.10 – Número complexo como matriz 31

2.11 – Os gaussianos 32

2.11.1 – Os inteiros gaussianos

2.11.2 – Os primos gaussianos

32

32

CAPÍTULO III

APLICAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO SUPERIOR

33

3.1 – Considerações sobre os números complexos 33

3.2 - Números complexos na Física e na Química 33

3.2.1 – Vetores e quantidades complexas

3.2.2 – Números complexos e circuitos monofásicos

3.2.3 – Circuito em fase R – C

3.2.4 – Circuito em série tipo R – L – C

3.2.5 – Números complexos e sinais sinusoidais

3.2.6 – Números complexos e a função de onda

34

35

38

38

39

40

59

3.3 – Os números complexos como vectores, na matemática e na engenharia 41

3.3.1 – Módulos argumentos e vectores

3.3.2 – Escoamento de líquidos incompreensíveis e explicações diversas

3.3.3 – A importância do estudo dos números complexos como vectores

41

44

3.4 – A importância dos números complexos no ensino superior 46

CONCLUSÃO 48

ANEXOS 50

PROJETO DE PESQUISA 51

SUMÁRIO 54

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 56

ÍNDICE 57

universidade candido mendes - avm.edu.br gonÇalves ferreira filho.pdf · 3.3. os números...

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