UM MODELO CONSTITUTIVO PARA O

ESCOAMENTO ATRAVílS DE UM ARRANJO

DE BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR

Sérgio Viçosa Moller

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS

DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA OB

TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

\ Prof. Raad Yahya Qassirn

Prof'. Miguel Hiroo Hirata

Prof.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

AGOSTO DE 1979

i

MOLLER, SERGIO VIÇOSA

Um Modelo Constitutivo Para o Escoamento Através

de Um Arranjo de Barras de Seção Circular [ Rio de Ja­

neiro J 1979.

XII, 126 p. 29,7cm (COPPE-UFRJ, M.Sc., Engenh~

ria Mecânica, 1979).

Tese, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Facul

dade de Engenharia.

1. Escoamento em Meios Porosos Anisotrôpicos.

I.COPPE/UFRJ II. Título (série).

ii

Para Lena

111

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Raad Yahya Qassim, cuja orientação tor

nou possível a realização desta tese.

Ao Programa de Engenharia Mecânica da COPPE, em es­

pecial ao Professor Miguel Hiroo Hirata pelo apoio dado durante

a fase experimental, realizada em um dos túneis de vento do Labo

ratório Pesado de Fenômenos de Transporte do Programa de Engenh~

ria Mecânica da COPPE.

Ao Programa de Engenharia Nuclear da COPPE, pelo a­

poio dado durante a preparação da experiência.

Ao Instituto de Engenharia Nuclear, pelas facilida­

des concedidas, em especial ao Eng. Luís Fernando Vallim Schneider.

Ao Eng. Carlos Alexandre de Jesus Miranda por seu auxílio nos

programas Fortran e ao Sr. Walter Gomes por seus desenhos, ambos

do Instituto de Engenharia Nuclear.

Ao Sr. Sebastião Fernandes Pimentel, da COPPE, pelo

inestimável auxílio dado durante a construção dos dispositivos e

a preparaçao da experiência.

À Srta. Lilian Vicentini por seus trabalhos de dati

lografia.

A todos aqueles que de alguma maneira nos ajudaram.

iv

RESUMO

Na determinação do escoamento através de um feixe de

barras de seção circular em arranjo uniforme, é usada a Teoria

das Misturas, que fornece as equações de balanço para o sistem~

São feitas hipóteses de escoamento isotérmico e regime

turbulento, plenamente desenvolvido.

Equações constitutivas para a força resistiva sao de -

terminadas a partir das correlações de Jakob e Rowe, e seu com­

portamento e analisado para um caso padrão. Comparação dos re­

sultados obtidos com estas equações com os resultados experime~

tais de Bottgenbach mostram boa concordãncia na direção do gra­

diente de pressão não sendo possível uma comparação direta en­

tre os valores obtidos com as duas expressões.

Para a confirmação do modelo foi feita uma experiência,

que consistiu em medir a queda de pressao (Número de Euler) nas

direções axial e transversal de feixes de varetas em arranjo a-

leatório e vários ângulos como funções da velocidade (Número de

Reynolds) obtendo boa concordãncia exceto na direção axial.

Por fim é formulado um exemplo prático a fim de mos-

trar a aplicabilidade do modelo - a determinação do campo de

pressao devido a influência de uma chicana.

V

ABSTRACT

The determination of the flow through a uniform array

of rod bundle is made by means of the Continuum Theories of

Mixtures, which gives balance equations for the system.

The hypotheses of isothermal and fully developed turbu­

lent flow are made.

Constitutive equations for the resistive force are

determined from Jakob's and Rowe's correlations, and its

behaviour analysed for a standard case. Comparison of these

equations with Bottgenbach's experiments shows good agreement

of the direction of the pressure, although direct comparison

between present theory and his theory is not possible.

For the confirmation of the model an experiment is

performed, this consisting of measuring pressure drop (Euler's

Number) in the axial and transverse direction of a random array

rod bundle at various angles as functions of velocity (Reynold's

Number), which has good agreement, except on axial direction.

At last, a sample problem is formulated with the

purpose of showing the applicability of the model, this being

the determination of pressure field dueto the influence of a

baffle.

vi

NOMENCLATURA

A Área na equaçao (1.S-l)

A Parâmetro definido na equaçao (1.2-10)

a Metade do comprimento da chicana no exemplo

CD Coeficiente de Arraste

De Diâmetro equivalente

Dt Diâmetro maior na tomada de pressao (figura 30)

d Diâmetro de uma barra

dt Diâmetro menor na tomada de pressao (figura 30)

Eu Número de Euler

e. Vetor unitário na direção "i" -l

F Força de arraste na equação (1.S-l)

F Aceleração de campo

f* Fator de atrito

G Taxa de geração de massa

g Aceleração da gravidade

g* Vetor gravidade adimensional

H Altura manomftrica na expressao (2.1-8)

1 !ndice de coordenada

J Velocidade de transferência de massa

K Coeficiente na equaçao de Darcy (1.3-1)

K1

Coeficiente na equaçao de Brinkman (1.3-3)

K2

Coeficiente na equaçao de Brinkman (1.3-3)

L Comprimento de referência na equaçao (4.1-1)

tt Comprimento da tomada de pressão (figura 30)

m Força resistiva

m. Força resistiva na direção "i" l

N Número de fileiras de tubos para escoamento perpendi­cular

p

p*

Q

q

R

R

R .. lJ

Re

T

T

u

V

V m

V

v*

X

y

z

z

z*

z. 1

z~ 1

Cl l

s r.

1

y. 1

V

Vll

Pressão do fluido

Pressão adimensionalizada do fluido

Parâmetro definido pela equação (1.2-9)

Velocidade superficial medida com Pitot

Parâmetro definido pela equação (1.2-8)

Tensor resistividade

Componente do tensor resistividade

Número de Reynolds

Temperatura do ar ambiente

Tensão extra do fluido

Velocidade de referência

Velocidade não perturbada no exemplo

Velocidade na direção axial no exemplo

Velocidade na direção transversal no exemplo

Velocidade máxima entre as varetas em escoamento transversal

Velocidade do fluido no meio (velocidade de percolaçã~

Velocidade adimensional do fluido

Coordenada complexa no exemplo

Coordenada complexa no exemplo

Variável complexa no exemplo

Coordenadas do sistema

Coordenada adimensionalizada

Coordenada na direção "i"

Coordenada adimensionalizada na direção "i"

Coeficiente na equaçao (4.4-1)

Coeficiente na equaçao (4.4-1)

Razão de aspecto, definida na equação (3-1)

Função tensorial no Teorema de Wang - Eq. (2.2-4)

Função escalar no Teorema de Wang - Eq. ( 2. 2-4)

Viscosidade cinemática

E

ç

e

À

cr

X

1

viii

Porosidade

Fator definido na equaçao (3-1)

Fator de atrito na equação (6-1)

Ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo z 2 Passo, distância entre centros das varetas

Viscosidade absoluta do fluido

Viscosidade absoluta do ar

Porosidade fictícia dada pelas eqs.(3-15) e (3-17) Massa específica do fluido

Densidade do ar

Densidade do butanol-1

Densidade do fluido na mistura

Tensor de tensão parcial do fluido

Linha de corrente no exemplo

fndice de configuração do meio

Função de corrente no exemplo

Potencial complexo do escoamento no exemplo

Tensor unitário

lX

!NDICE

1, Introdução

1.1 Descrição do Problema

1.2 Revisão Bibliográfica

L3 Objetivos do Trabalho

2. Fundamentos Teóricos

2.1 Equações de Balanço

2.2 Equações Constitutivas

2.3 Adimensionalização das Equações de Balanço

3. Alguns Parâmetros Geométricos

4. A Força Resistiva

4.1 A Perda de Carga

4.2 Determinação das Equações Constitutivas

4.3 Definição de Fator de Atrito

4.4 Escoamento Axial

4.5 Escoamento Transversal

4.6 O Tensor Resistividade

5. Comparação com Experimento

5.1 Descrição da Experiência

5.2 Analise dos Resultados

6. Comparação com Dados da Literatura

7. Conclusões e Sugestões

Apêndice I - Exemplo

Apêndice II - Figuras

Bibliografia

Pág.

1

1

2

3

6

6

8

13

15

18

18

20

21

22

25

29

33

33

38

39

41

43

80

123

X

!NDICE DE ILUSTRAÇOES pag.

1. Estrutura do Núcleo de Um Reator Rápido e Distri

buição da Densidade de Potência 81

2. Linhas de Corrente no Núcleo de Um Reator Rápido

Segundo Ziegler

3. Tipos de Arranjos de Barras

4. Posição do Sistema de Coordenadas

5. Dimensões dos Dispositivos de Rowe

6. Fatores de Atrito para a Direção Axial Segundo

Rowe

7. f 1 (E) - Coeficiente para Direção Axial

8. f 2(E) - Coeficiente para Direção Axial

9. g1 (E) - Coeficiente para Equação (4.5-21)

10. g2(E) - Coeficiente para Equação (4.5-21)

11. h1 (E) - Coeficiente para Equação (4.5-22)

12. h2(E) - Coeficiente para Equação (4.5-22)

13. g(E) - Coeficiente para Arranjo Triangular

14. g(E) - Coeficiente para Arranjo Quadrangular

15. Nomenclatura de Ângulos e Posição do Sistema de

Coordenadas em Relação a uma Barra

16. Valor de mi como Função de e, para Arranjo Trian-

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

gular - E= 0,45, Re = 10000 96

17. Valor de mi como Função de e, para Arranjo Quadra~ gular - E= 0,45, Re = 10000 97

18. Valor de m2 de Arranjo

como Função de e, para Qualquer Tipo E= 0,45, Re = 10000

19. Variação de IIIE* 11 como Função de e para Arranjo

98

Triangular - E= 0,45, Re = 10000 99

20. Variação de 11 JE* 11 como Função de e, para Arranjo Quadrangular - E= 0,45, Re = 10000 100

xi

21. Variação de q, para Re = 10000 e Arranjo Triangu-

lar - s = 0,45

2 2 . Variação de q, para Re = 10000 e Arranjo Quadran-

gular - s = 0,45

23 . Variação de o para Re = 10000, e Arranjo Triang:i::

lar s = 0,45

24. Variação de o para Re

gular - s = 0,45

10000, e Arranjo Quadra~

25. O Dispositivo de Testes

26. Os Módulos de Testes

27. Dimensões (Internas) Básicas do Dispositivo

28. Tomada de Pressão

29. Esquema do Circuito de Medidas

30. Viscosidade do Ar

31. Comparação de mi Medido e Calculado, s = 0,53,

e= 90º

32 . Comparação de mi Medido e Calculado, s = O, 53,

e = 90°

33. Comparação de m* Medido e Calculado, s = 0,53 2

34. Comparação Entre o Valor de o Medido e Calculado

35. Comparação Entre o Valor de

36. Comportamento da Função ç V

q, Medido e Calculado

37. Posição do Vetor Velocidade em Relação ao Gradi­

ente de Pressão

38. Comparação dos Valores de o de Acordo com Bottgenbach e a Presente Teoria

39. Comparação dos Valores de o de Acordo com Bottgenbach e a Presente Teoria

40. Esquema para o Exemplo

41. Coeficiente de Arraste para uma Chicana - Arranjo

Quadrangular, s = 0,45

Pâg.

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

xii

42. Coeficiente de Arraste para uma Chicana - Arranjo

Triangular, E= 0,45

Pâg.

122

CAP!TULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

Feixes de barras ou tubos em arranjo uniforme sao comu

mente encontrados no núcleo de reatores nucleares e em trocado­

res de calor convencionais. Na superfície externa destas bar­

ras ou tubos escoa, usualmente em regime turbulento, um fluido,

o qual destina-se a remover o calor destas superfícies.

A figura 1 mostra os perfis de geraçao de potência no

núcleo de um reator rápido superconversor (Fast Breeder Reactor).

A baixa taxa de geração de calor na zona fértil radial (Radial

Breeding Blanket) deu origem ao conceito de canais abertos para

os reatores rápidos proposto por Weiss et.al. 1 • Desta maneira,

o refrigerante é forçado a tomar a direção radial, formando li­

nhas de corrente tridimensionais devido a presença de barreiras

semi-permeáveis colocadas paralelamente aos elementos combustí­

veis, envolvendo o núcleo ativo (zona interna de material fís -

sil), e da regulagem das válvulas de entrada e saída do refrig~

rante. Ziegler 2 adota o mesmo conceito, mas coloca barreiras

transversais aos elementos combustíveis. Este escoamento, mos­

trado na figura 2, é verificado experimentalmente por Bottgen­

bach3 que propoe equaçoes para a resistência ao fluxo. Butter­

worth4 propõe um método para o desenvolvimento de um modelo pa­

ra escoamentos tridimensionais em barras paralelas.

2

1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Vários trabalhos foram feitos para a determinação de

fatores de atrito e de parâmetros de transferência de calor em

escoamentos tanto na direção axial das barras como na direção

transversal.

No estudo do escoamento na direção transversal, Grimin

son 5 determinou curvas para o fator de atrito para tubos dispo~

tos em linha ou alternados, como os mostrados na figura 3 sob

a denominação de arranjos quadrangulares e triangulares, bem

como parâmetros de transferência de calor. Pierson 6 estudou vá

rios tipos de arranjos de tubos a fim de determinar como o tipo

de arranjo influencia o fator de atrito e a transferência de

calor (Número de Nusselt). Zukauskas 7 faz uma análise do campo!

tamento do fluido ao passar transversalmente por um arranjo de

tubos, apresentando também uma revisão dos resultados obtidos

por outros autores. Jakob 8 estudou os mesmos dados que

Griminson obtendo relações para o fator de atrito em arranjos

quadrangulares ou triangulares.

No caso do escoamento na direção axial, vários traba -

lhos devem ser citados: Lewis e Buettiker 9 fazem uma revisão das

soluções das equações de Navier - Stokes para este escoamento.

Nijsing et.al. 10 fazem uma análise teórica do escoamento em um

arranjo triangular, levando em consideração parâmetros como es-

paçamento, Números de Reynolds e de Prandtl. Eifler e

Nijsing 11 repetem experimentalmente este estudo, obtendo boa

concordância nos resultados. Tong 12 faz uma rev~são dos estu-

3

dos experimentais feitos para obtenção de fatores de atrito e

parâmetros de transferência de calor. Maubach e Rehrne 13 estu­

dam a influência da rugosidade das barras. Carajilescov 1 " faz

um estudo analítico da turbulência, determinando fluxo axial e

secundário e distribuição da tensão de cisalhamento na parede

das barras. Rowe 15 faz medidas da velocidade e da turbulência

em seus dispositivos de teste usando a técnica de anernometriade

Laser-Doppler, apresenta também expressões para o fator de atri

to em cada um destes dispositivos.

As expressoes de Rowe para o fator de atrito no escoa­

mento ao longo das barras, bem corno as de Jakob para o escoamen

to na direção transversal das mesmas serão usadas em capítulos

posteriores para a determinação das equações constitutivas.

1.3 OBJETIVOS DO TRABALHO

Este trabalho destina-se a desenvolver um modelo para o

cálculo de escoamentos em sistemas como trocadores de calor de

carcaça e tubo com defletores (Shell and Tube) e em reatores ra

pidos como os propostos por Weiss et.al e Ziegler.

Consiste no estudo de um sistema de barras de seçao cir

cular constante em arranjo uniforme (rod bundle), com paredes li

sas e sem espaçadores, tais como grades ou arames. Entre estas

barras escoa um fluido newtoniano, em regime permanente. Este

escoamento é turbulento, incompressível, plenamente desenvolvi­

do, e não há transferência de calor.

Para o desenvolvimento do modelo parte-se da hipótese

4

de que o sistema seja um meio contínuo onde se encontram duas

fases - a fase fluida e a fase sólida (as barras). Isso permi­

te que sua análise seja feita através da Teoria das Misturas 16,

que trata sistemas multifásicos (como nuvens de bolhas, leitos

fluidizados e outros meios porosos) como meios contínuos.

Esta análise pode ser dita "macroscópica" pois trata o

sistema como um todo, em contraposição a uma análise "microscó­

pica", que investigaria, por exemplo o perfil de velocidade en­

tre as barras.

Assim sendo, ao longo deste trabalho serao usadas infor

maçoes "microscópicas" para o estudo "macroscópico", Ao ser

descrito o sistema que é objeto deste estudo, tomou-se um enfo­

que microscópico, descrevendo-se cada uma das fases individual­

mente. Porém, ao se falar em mistura, determinados aspectos mi croscópicos perdem significado, por exemplo: fluido newtoniano

é a descrição do mesmo enquanto fora da mistura, pois nesta, o

escoamento é considerado invíscido, isto é, o fluido é ideal.Is

to pode ser observado na equação de Darcy 17 para o escoamento

em meios porosos*

v = - K grad p

que também pode ser escrita

1

K V - grad p

(1.3-1)

(1.3-2)

onde o termo ~/K e a força de amortecimento da massa porosa, K

é uma constante do meio.

* Ver nomenclatura

s

A fim de considerar a condiçio de fronteira~ velocida

de nula nas paredes de contorno, e assim tornar mais precisa a

análise de meios porosos, Brinkman 17 sugere a introduçio na e­

quaçio de Darcy do termo viscoso da equaçio de Navier-Stokes,a~

sim a equaçio (1.3-1) fica

grad p ; - K1 v + K2 lap v (1.3-3)

Desta maneira, Brinkman estabelece que para valores al

tos de K1 o escoamento pode ser descrito apenas pela equaçao de

Darcy, e para valores de K muito pequenos, o escoamento 1

pode

ser descrito pela equaçio de Navier-Stokes. Neste caso, K2

e

igual a viscosidade do fluido.

6

CAP!TULO 2

FUNDAMENTOS TEÕRICOS

2.1 EQUAÇÕES DE BALANÇO

Seja um sistema como o proposto na Introdução, compos­

to de duas fases, a fase sólida e a fase fluida, cada uma delas

contínua, coexistentes e interpenetrantes.

A Teoria das Misturas 16 estabelece as equaçoes para os

balanços de massa e de quantidade de movimento 18 para cada uma

das fases. Como uma das fases, a sólida, é fixa, as equaçõess~

rao apenas para a fase fluida, dispensando o uso de Índices.

A equaçao para o balanço de massa e dada na sua forma

geral por

onde

D ---2. + p div v = G Dt

p e a massa específica do fluido

v e a velocidade do fluido no meio

G e a taxa de geração de massa

(2.1-1)

Estabelecendo-se escoamento em regime permanente, o

fluido incompressível e que não ocorra geração de massa por meio

de reação química entre as fases, a equação (2.1-1) fica

div V= Ü (2.1-2)

O balanço da quantidade de movimento para a fase flui­

da e dado pela equação

7

Dv p ; diva+ m - G (v J) + P F (2.1-3)

onde

a e a tensão parcial no fluido

m e a força resistiva

J ~

e a velocidade de transferência de massa

F e a força de campo

Pelas hip6teses citadas e considerando que as forças de

campo sejam apenas devidas a aceleração da gravidade, a equação

(2.1-3) toma a forma

p(grad y) y; div z + ~ + p ~ (2.1-4)

A tensão parcial a e devida 19 a pressão e a tensão ex-

tra do fluido, assim

(2.1-5)

Assim

diva; - grad (p !l + div T (2.1-6)

Definindo-se como porosidade E a fração de volume ocu­

pada pelo fluido tem-se que

p ; E p (2.1-7)

A força resistiva~ pode ser definida como a força que

uma fase exerce sobre a outra, assim

m /fluido m ls6lido (2.1-8)

8

Pela Teoria das Misturas, a força resistiva e resultan

te da força de arraste oferecida ao escoamento pelas barras, p~

rém, através de uma análise microscópica vê-se que a mesma e de

corrente das forças viscosas em torno das barras.

Assim, a equaçao (2.1-4) pode ser escrita como

s p (grad v) v = - grad (p !) +

+ div T + m + s p g (2.1-9)

Como nao há transferência de calor, a equaçao para o

balanço de energia degenera na equação de balanço de quantidade

de movimento.

2.2 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

As equaçoes de balanço para esse estudo sao

div V = Ü (2. 2-1)

s p (grad ~) v = - grad (p !) + div T +

+ m + E p g (2.2-2)

Ses, p e g forem conhecidos tem-se um sistema inde -

terminado de duas equações a quatro incógnitas, sendo estas ~.

p, T em.

Estabelecendo-se que o escoamento seja uniforme e ne­

gligenciando as forças de corpo, no caso a gravidade, a equação

(2.2-2) fica

9

O= - grad (p 1) + div T + m (2.2-3)

Pelo Teorema de Wang 20 para a representação de funções

tensoriais isotrópicas e simétricas, a tensão extra T pode ser

descrita como

1 = 1, .•• N (2.2-4)

onde Yi sao funções escalares isotrópicas e ri sao funções ten­

soriais dadas pelas N combinações das M variiveis no argumento.

Para o caso, tomando-sei= 1 e M = O, obtém~se o tensor uniti­

r10 l, assim

rl = 1 (2. 2-5)

Para 1 = 2 e M = 1 variivel do argumento, tem-se

r 2

= V @ V (2.2-6)

Wang também estabelece que as y. devem ser funções do ]_

invariante de seus argumentos. Assim, o invariante de um esca

lar, no caso E, é o próprio escalar. Ji o invariante de um ve-

tor é o produto escalar dele por ele mesmo, portanto,

tomar a norma de v, pois

lli::11 = lv V

pode-se

(2.2-7)

Desta maneira, pode-se expressar a tensão extra por

T Y, (E, 11:::11) 1 + Y2 (E, 11:::11) Ci::@:::) (2.2-8)

Tem-se então que

10

div T = grad y, (E, 11~11) + (~@~) grad Y2 (E, 11~11)

+ Y2 E ,11~11) div (~@~) (2.2-9)

Pela hipótese de escoamento uniforme, sendo E constan-

te

grad Y1 = O

grad Y2 o (2.2-10)

div (::'.@::'.)=O

Logo 18

div T = O (2.2-11)

Esse resultado soe valido para o escoamento macrosco­

pico invíscido da Teoria das Misturas, não sendo válido para um

escoamento analisado microscopicamente. Pela equação (2.l-6)v~

se que na equaçao para o balanço de quantidade de movimento so­

mente a pressao p participa da tensão parcial o.

Assim, a equação (2.2-3) pode ser escrita como

m = grad p (2 .2-12)

Esta equaçao mostra que a causa da queda de pressaoque

um escoamento uniforme através de um meio poroso sofre ê devida

a força resistiva. Assim, para cada tipo de meio poroso estuda

do, deve-se procurar uma expressao para~· que pode ser determ!

nada a partir da equação (2.2-12). Esta expressão característi

ca de cada meio é chamada "Equação Constitutiva".

Equações constitutivas 21 sao aquelas que descrevem o

comportamento material em um dado sistema e seguem três princí-

11

pios: determinismo, açao local e indiferença em relação ao refe

rencial material. Por determinismo compreende-se que a forçar~

sistiva é determinada pela história dos movimentos jâ efetuados

pelo sistema. O princípio de ação local estabelece que o movi­

mento fora de um determinado contorno arbitrariamente pequeno em

torno de um dado ponto material pode ser ignorado ao determina~

se a força resistiva nesse ponto. Por fim, o princípio de indi

ferença em relação ao referencial material estabelece que dois

observadores diferentes obteriam valores idênticos se estudas -

sem a força resistiva tomando diferentes referenciais.

A força resistiva pode ser representada por 18

m = R V (2.2-13) -x -

Onde ~X e o tensor resistividade, e e da forma

1 Rll Rl2 Rl3 l R

1 R21 R22 R23

J (2.2-14)

-X

l R31 R32 R33

e o Índice x refere-se à configuração (microscópica) do meio a

nalisado, isto e, o tipo de meio poroso analisado, e mais espe­

cificamente ao tipo de arranjo adotado.

Colocando-se o sistema de coordenadas ortogonais como

indica a figura 4, e orientando-o de maneira que a disposição

das barras seja simétrica em relação a todos os planos formados

pelo sistema de coordenadas, isto e, usando-se como referência

a informação microscópica da disposição e forma das barras, tem

se que o tensor R é simétrico 22, e

-X

R .. lJ

12

o

e a equaçao (3.12) fica simplificada

Rll o o

R ; o R22 o -x o o R33

l f J (2.2-15)

(2.2-16)

Admitindo-se que o vetor velocidade v e paralelo ao

plano z1

z 2 a equaçao (2.2-16) perde o termo R33

, assim

o l

R22 J (2. 2-17)

Logo, a força resistiva pode ser expressa em termos de

suas componentes como

., -1 Rll o l

m ; ;

-m2 J o Rl2 J

(2.2-18)

ou

ml ;

Rll vl (2,2-19)

m2 ;

R22 v2 (2.2-20)

13

2.3 ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE BALANÇO

A fim de garantir a aplicabilidade da análise feitanes

te trabalho a qualquer sistema como o descrito na Introdução,as

equações de balanço devem ser adimensionalizadas.

Introduzindo-se UR e definindo-a como Velocidade de Re

ferência e D como Diâmetro Equivalente e

D = 4 e

Área da Seção Reta

Perímetro Molhado

pode-se definir como Velocidade Adimensional

V

v* =

e coordenada adimensional como

z z* =

De

A pressao adimensional

p* = p

p iiURii 2

2

(2.3-1)

(2.3-2)

(2.3-3)

(2 .3-4)

A equaçao para o balanço de massa adimensionalizada fi

ca, para v* - paralelo

a az*

1

ao

v* 1

plano z * z * 1 2

+ a az*

2

v* 2

o (2.3-5)

Tomando-se a equaçao (2.1-9) e simplificando-a através

da equação (2.2-11), tem-se

14

E p (grad v) v = - grad (p 1) + m + E p ~

Multiplicando-se ambos os lados da equaçao por

2 D e

(2.3-6)

obtém-se o mesmo que a aplicação das equaçoes (2.3-2), (2-3-3)e

(2.3-4). Assim a equação adimensionalizada para o balanço de

quantidade de movimento fica

(grad ~*) ~* = - grad (p* !) + m* + g* (2.3-7)

Tomando-se v* paralelo ao plano ZiZz a equaçao

(2.3-7) torna-se

e cl v* cl v* ) v* ~l :2 = cl z * cl z *

1 2

e cl p* cl p* : 2) + m* m* + = - :1 + :1 + :2 cl z * cl z * 1 2 1 2

+ g* E.'. 2 (2.3-8)

Assim

g* 2 (2.3-9) = g ll~RII

e 2 D

m* e (2.3-10) = m

p li \JR 112

Dessa maneira, m* pode ser representado por

m* = R* v* (2.3-11) -X

15

CAP!TULO 3

ALGUNS PARÂMETROS GEOM~TRICOS

Este capítulo destina-se a dar significado físico as

definições feitas, dentro do sistema real proposto.

São utilizados basicamente dois tipos de arranjos, qu~

drangular e triangular, cuja nomenclaruta está indicada na fig~

ra 3.

RAZÃO DE ASPECTO 8 - é a relação entre a distância entre cen­

tros das barras e o diâmetro das mesmas

À 8 = d

(3-1)

POROSIDADE E - e a relação entre o volume ocupado pelo fluido e

o volume total do meio, podendo ser calculada a partir da area

da seção reta do arranjo de barras, como mostrado na figura 3.

Para um arranjo quadrangular, a porosidade e dada por

E

ou

E

e para arranjo triangular

E =

ou

E =

li 1--482

l _ 0,785 f3 2

1 -48 2

li

cos

1 0,907 -82

(3:- 2)

(3-3)

30° (3-4)

(3-5)

16

DIÂMETRO EQUIVALENTE De é definido pela expressão 12 (2.3-1)

D e

4 Área da Seção Reta

Perímetro Molhado

que para o arranjo quadrangular pode ser indicada por

Ild 2 (À 2 - )

D e

4

o que em termos de porosidade fica

D = e

E:

1- E:

4

II d

d

No caso de arranJo triangular D é dado por e

À2 cos30°

2

II d

2

o que posto em função de E: resulta

Chamando-se

D e

=

E: = d

1-E:

E:

1- E:

Ild 2

8

De pode ser indicado, para os dois tipos de arranJo por

D = r; d e

(3-6)

(3-7)

e 3-s)

(3-9)

(3-10)

(3 -11)

e 3 -12)

POROSIDADE FICTfCIA ~ - no capítulo 4 sera introduzida a por~ X

sidade fictícia com a finalidade de corrigir a velocidade de re

ferência na expressão para a perda de carga no escoamento trans

17

versal a um arranJo de barras. Assim, ç e definido por

(3-13)

Pode-se calcular ç , isto é a porosidade fictícia pa­o

ra arranjo quadrangular pela relação

ço À (À - d) =

E À2

a qual em termos de E apenas fica

[ 1 -1

ço = E-, 1,128 (1-E)o,s J

ç6 e calculada por

que corno função de E fica

(À-d) À cos 30°

E(À 2 COS 30°)

e 3- 14)

e 3-1s)

e 3-16)

(3-17)

VELOCIDADE DE REFERENCIA u -R

é a velocidade tornada corno pa­

Pode drão para a adirnensionalização das equações de balanço.

ser igual a norma da velocidade quando o escoamento for unifor­

me, ou calculada a partir do quociente da vazão volumétrica de

fluido pela área da seção reta da região por onde passa o flui­

do. t utilizada também para o cálculo do Número de Reynolds.

18

CAP!TULO 4

A FORÇA RESISTIVA

4.1 A PERDA DE CARGA

Da equaçao (2.2-12) pode-se determinar uma maneira de

se obter uma expressão para a força resistiva. Este seria o

cálculo da perda de carga por unidade de comprimento em um esco

amento através de um arranjo de barras nas direções axial e

transversal.

A fórmula de Darcy para a perda de carga em dutos ou ~

canais fechados com comprimento L e

Lip = f* pv 2 L (4.1-1) 2 D

e

Semelhantemente pode-se escrever esta fórmula para o

escoamento perpendicular a um feixe de barras como

Lip f* pv 2

m

2 N (4. 2-2)

Onde v e a velocidade máxima do fluido ao passar en-m

tre as barras e N é o número de fileiras de tubos que foram cru

zadas pelo fluido. Esse tipo de escoamento é analisado usual -

mente como sendo através de obstáculos.

Para tornar as equaçoes (4.1-1) e (4.1-2) funções das

mesmas variáveis, pode-se fazer com que

L

D e

N (4.1-3)

19

e corrigir a velocidade na equaçao (4.1-2) através de um fator

~ definido no capítulo 3 por

V = V m

(4.1-4)

e chamado ''Porosidade Fictícia", e tomará valor igual a um para

o escoamento na direção axial.

Assim, as equaçoes (4.1-1) e (4.1-2) podem ser escri -

tas da mesma maneira

o

proximado

t,p =

gradiente

por

d

az. l

p =

f* ~- 2

de pressao

Q.E L

= f~ l

pv2 L

2 D e

em uma

ç:2 l

direção

pv 2 1

2 De

lf i" pode

(4.1-5)

ser a-

(4.1-6)

De acordo com o critério de adimensionalização exposto

no capítulo anterior, o gradiente de pressão adimensional na di

reção 11 i 11 é

d

az~ l

Assim

p*

d

dZ~ l

f~ l

p*

pv. 2 l

= f* ~~2 l

e

(v~) 2 l

) (4 .1-7)

(4.1-8)

20

4.2 DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES.CONSTITUTIVAS

Pelas equaçoes (2.2-12) e (2.2-13) tem-se que

m* :;;; grad p* = R* -x v* (4.2-1)

Pela equaçao (4.1-8), pode-se escrever m* em termos ele

componentes como

m~ l

a az~

l

p* = f* ~~2 (v~)2 l l

(4.2-2)

Estabelecendo-se que as componentes do tensor resisti­

vidade R* são funções da porosidade e da norma da velocidade a -X

dimensional, como no Teorema de Wang, tem-se que

R* = R* (E, li~* 11 ) -X -X (4.2-3)

Como

v* = llv*llsene 1 (4.2,-4)

e

v* = li J* 11 cos e 2

(4.2-5)

e lembrando-se que ~2 = 1, pode-se escrever a equaçao (4.2-2)

com auxílio das equaçoes (4.2-3), (4.2-4) e (4.2-5) nas dire -

çoes "1 11 e "2"

m* 1 = R * ( E , li~* 11 ) v

1* =

11

f* 2

(4.2-6)

cose li~* li v* 2

(4.2-7)

21

Resta agora determinar os coeficientes fÍ e f 2 nas e­

quaçoes (4.2-6) e (4.2-7), o que será feito a seguir.

4.3 DEFINIÇÃO DE FATOR DE ATRITO

O fator de atrito no escoamento dentro de um tubo e de

finido pela expressão

f* = llp

(4 .3-1)

L pv 2

D 2

que pode ser interpretado como relação entre as forças de pres­

sao e de inércia, sendo igual ao dobro do Número de Euler.

Para tubos lisos de seçao circular, Moody apresenta a

correlação 12

1 2 log Re II* - 0,8 (4.3-2)

que é uma relação funcional da forma

Eu = f (Re) (4.3-3)

A relação (4.3~3) foi utilizada nos trabalhos de Rowe15

e Jakob 8 para a determinação dos fatores de atrito nos escoamen

tos em arranjos de barras de seção circular nas direções axial

e transversal.

22

4.4 ESCOAMENTO AXIAL

Rowe 15 testou seis dispositivos, com cinco porosidades

diferentes mostrados na figura 5, resultando a expressão da for

ma

(4.4-1)

Nesta expressao os coeficientes a 1 e a 2 sao resultan -

tes de cada dispositivo e estão indicados na tabela 1 como fun

çao de sua porosidade.

TABELA 1 - COEFICIENTES DA EXPRESSÃO DE ROWE

E a, ª2 0,55 0,1566 - 0,1869 O , S 3

1 0,2182 - 0,2196

' 0,49 0,2625 - 0,2410 0,43 1 0,2112 - 0,2110

i O , 4 2 0,3746 - 0,2725

Para E= 0,49 Rowe propoe duas expressoes

f* = 0,2008 Re-O,Zl 4Z

e

f* = 0,3431 Re- 0 •2678

o valor apresentado na tabela e a média das duas expressoes.

Os dados de Rowe estão plotados na figura 6 onde se p~

de observar seu comportamento. Dela se pode aferir que tantoos

coeficientes lineares como os coeficientes angulares das retas

mostradas sejam funções da porosidade E,

23

Escrevendo-se a expressao de Rowe apos ser aplicada a

função logaritmo a ambos os lados resulta

log f* = a 2 log Re + log a 1 (4.4-2)

da qual pode-se tirar duas funções f 1 (E) e f2

(E) as quais sao

definidas como

(4.4-3) (coeficiente linear)

(coeficiente angular) (4.4-4)

Ambas podem ser determinadas por meio de regressão li­

near23 a partir dos dados da tabela com os coeficientes para as

expressões de Rowe. O resultado obtido por meio desse

numérico são as expressões

f 1 (E) = -1,724 E+ 0,205

f 2 (E) = 0,366 E - 0,403

mostradas nas figuras 7 e 8 respectivamente.

método

(4.4-5)

(4.4-6)

Sendo assim, a equaçao (6.2-7) pode ser escrita como

m* 2 11~* li v*

2 (4.4-7)

Mas o Número de Reynolds nesta equaçao refere-se ave­

locidade na direção axial, então, pela equação (4.2-3), a equa­

ção (4.4-7) fica

onde

24

f 1 (e:) D 11:::11 cos e f 2(e:) m* = 10 ( e ) cos e 11 v* 11 v*

2 - 2 \)

Redefinindo o Número de Reynolds por

Re = llv li De

\)

A equaçao (4.4-7) fica

m* = 2

f 1 (e:) f 2(e:) f 2 (e:)+l 10 Re (cose) 11!*11 v

Assim

(4.4-8)

(4.4-9)

(4 .4-10)

f 1 (e:) f 2(e:) f 2(e:)+l = 10 Re (cose) lly* li

(4 .4-11)

Portanto, a força resistiva será escrita como

mz = 10C-l,724e:+0,205) Re(0,366e:-0,403)(cose)C0,366e:-0,597)

li y* 11 v* 2

(4.4-12)

Rzz = 10C-1724e:+0,205)Re(0,366e:-0,403) (cose) (0,366e:-0,597)

li!* li (4.4-13)

Como se pode observar na figura 5, as expressões (4.4-

12) e (4.4-13) são resultantes de arranjos quadrangulares, tri­

angulares e misto, dessa maneira, a força resistiva para um es­

coamento na direção axial de um arranjo de barras de seção cir­

cular é função apenas da porosidade e da velocidade.

25

4. 5 ESCOAMENTO TRANSVERSAL

Jakob 8, ao analisar os mesmos dados que Grirninson 5 ,ob-

teve duas correlações, urna para

ra arranjo quadrangular

f* = Re-0,16 [O, 25 + t,.

e

f* = Re-0,15 0,044 +

arranjo triangular e outra p~

0,1175

J (4.5-1)

cs-1)1,os

0,08 s 1 (4.5-2) 1,13

(S-l) o ,43 + J s

(Para as duas equaçoes 5000 < Re < 40000)

nas quais o Número de Reynolds refere-se ao diâmetro da vareta

(nâo ao diâmetro equivalente) e à velocidade máxima do fluidoen

tre as varetas.

Invertendo-se as equaçoes (4-3) e (4-5) obtém-se para

arranjo triangular e quadrangular, respectivamente

0,952 (4.5-3)

s = 0,886

(4.5-4)

Substituindo-se estes valores nas equaçoes (4.5-1) e

(4.5-2), obtém-se

26

0,1175 f* = O, 25 + n

fº ,952 -111,08

Re-0,16

L

í f* = O, 044 + o

LCl-slo,5 (4.5-5)

-------º~''--0_7_0_9 _________ Re -0, 15

[ 1]0,43+1,725(1-E)O,S

Cl-EJo,5 o,886 _

(1-E)o,5

(4.5-6)

Colocando-se as equaçoes (4.5-5) e (4.5-6) na forma lo ~ .

garitmica tem-se

onde

e

log f* n

log f 0

0,044 +

L

= g1 (E) - 0,16 log Re (4.5-7)

= h1 (E) - 0,15 log Re (4.5-8)

0,1175 (4.5-9)

~,952 1Jl,08 J L(l-E)o,5

0,0709

í 0,886 -1]

L c1-s)o,5

o,43+1,725(1-E)o, 5

(4.5-10)

27

Traçando-se por pontos as curvas dadas pelas equaçoes

(4.5-9) e (4.5-10) tem-se por meio de regressão linear 23 mostra

das nas figuras 9 e 10

gl(E) = - 1,148 E+ 0,369 (4.5-11)

h1 (E) = 3,003 E+ 1,34 (4.5-12)

Deve-se agora, como já estabelecido, corrigir a veloci

dade e o diâmetro no Número de Reynolds das equações (4.5-5) e

(4.5-6).

A equaçao (4.2-6) pode ser escrita, para arranjo trian

gular, aplicando-se as equações (3.12) e (3.13), como

Logo

Logo

g ( E) = 10 1 c;;2 ( sen e

V

1 l-o, 16 e li *li * sen y v 1

(4.5-13)

(4.5-14)

Para arranjo quadrangular a equaçao (4.2-6) torna-se

h1 (E) = 10 e;- 2

o ( llyll

i'; sen e

D e 1 )-0,15 sene lly*II vi

V

(4.5-15)

(4.5-16)

28

Retirando-se das equaçoes (4.5-14) e (4.5-16) os ter -

mos~ e ç pode-se escrever

(4.5-17)

(4.5-18)

as quais fornecem as expressoes

g 2 (E) = 0, 261 E + 0 , 20 7 (4.5-19)

e

h 2(€) = -1,458 E + 1,464 (4.5-20)

mostradas nas figuras 11 e 12.

Assim, as equaçoes (4.5-14) e (4.5-16) sao escritas co

mo

t, * gl(s) g2 (s) Re-0,16 (sene)0,84 li~* li v* ml = 10 10 1

(4.5-21)

e

º* h1 (s) h 2(s)

Re-0,15 (sene)o, 35 11 ~* li v* ml = 10 10

1

(4.5-22)

Chamando-se

(4.5-23)

(4.5-24)

então

29

g(E) = -0,887 E+ 0,576 (4.5-25)

e

h(E) = -4,461 E+ 2,840 (4.5-26)

cujo comportamento e mostrado nos grâficos das figuras 13 e 14.

Assim, as equaçoes (4.5-25) e (4.5-26) ficam

Íl * 10(-0,881 E + O ,576) Re-0,16 (sene)0,84 11 y* li v* ml = 1

(4.5-27)

m O. 10 (-4,467 E + 2,840) Re-0,15 (sene)º· 85 /ly* li = v* 1 1

(4.5-28) onde

R/l* = 10 (-0,881 E + 0,576) Re-0,16 (sene) O' 84 li;:"* 11 11

(4.5-29)

Rº* 10(-4,467 E + 2,840) Re-0,15 (sene)º· 85 li;:"* 11 = 11

(4.5-30)

4.6 O TENSOR RESISTIVIDADE

Nas seçoes 4.4 e 4.5 foram determinadas as funções con~

titutivas para os escoamentos através de um arranjo de barras de

seçao circular nas direções axial e transversal,

A força resistiva para o escoamento na direção axial

mostrou ser função da velocidade adimensional e da porosidade cb

meio, não importando o tipo de arranjo adotado.

30

Já no escoamento na direção transversal deve-se consi­

derar a configuração do meio, isto é, deve ser levada em consi­

deração a informação microscópica do tipo de arranjo adotado.Is

to se deve ao fato de que a velocidade de referência adotada por

Jakob ser a velocidade máxima entre as varetas, diferente para

os dois tipos de arranjos analisados.

Assim, a equaçao para a força resistiva adimensional de

ve ser escrita, para cada configuração de barras ou tubos anali

sada, como função de 11:::11 e E.

O Número de Reynolds que surge nas expressoes para a

força resistiva (4.4-12), (4.5-27) e (4.5-28), deve ser encara­

do como um parâmetro microscópico, pois perde seu significado na

Teoria empregada.

Para escoamento através de um arranjo triangular, o

tensor resistividade fica

10 (-0,887E+0,576) Re-0,16 (sene)0,84 ll:::*II o

0 10 (-1, 724E+0,205)Re(0,366E-0,403) (cose) (0,366E+0,597)

11 :::* li

(4.6-1)

Para arranjo quadrangular

31

10 (-4,461E+2,840) Re-0,15 (sene)0,85 li~!! o

R * =

0 10 (-1, 724E+0,20S)Re(0,366E-0,403) (cose) (0,366s+0,597)

li~* 11

(4.6-2)

As expressoes (4.6-1) e (4.6-2) indicam que o gradien­

te de pressão, isto é, a força resistiva, tem a direção diferen

te do vetor velocidade quando o ângulo de incidência do fluido

(velocidade), e, é diferente de zero ou noventa graus. A fig~

ra 15 mostra a nomenclatura dos ângulos que esses vetores fazem

com o eixo de uma vareta.

Como a força resistiva e dada por

m* = R* v* -x (4.6-3)

pode-se examinar seu comportamento para uma situação tomada co­

mo exemplo. Sejam portanto, dois sistemas tais como o que foi

exposto na introdução deste trabalho - um com arranjo triangu -

lar, outro com arranjo quadrangular, e ambos com a mesma porosi

dade E= 0,45.

Através de cada um destes arranjos um fluido escoa com

Número de Reynolds 10000.

Nas figuras 16, 17 e 18 observa-se o comportamento das

componentes da força resistiva em* 2

em relação ao

ângulo de incidência do fluido. Note-se que no escoamento a­

xial mz não é função da configuração.

Nas figuras 19 e 20 pode-se verificar o comportamento

32

da norma da força resistiva como função do ângulo de incidência

do vetor velocidade nos dois tipos de arranjo estudados.

Os gráficos das figuras 21 e 22 indicam a variação do

ângulo do gradiente de pressao, isto é, da força resistiva, com

o ângulo de incidência do vetor velocidade em arranjos triangu­

lar e quadrangular respectivamente.

A diferença entre os ângulos da velocidade e da força

resistiva nos dois tipos de arranjo estudado está nas figuras

23 e 24.

33

CAPfTULO 5

COMPARAÇÃO COM EXPERIMENTO

5.1 DESCRIÇÃO DA EXPERIÊNCIA

Para verificação do modelo estabelecido neste trabalho

foi projetada uma pequena experiência 24• Foi construído um dis

positivo no qual eram instaladas quatro seções de teste diferen

tes, cada qual feita em forma de módulo, mostrados nas figuras

25 e 26.

Nesses módulos, foram colocadas varetas de alumínio com

seçao circular e diâmetro 3,2mm, afastadas entre si por anéis

plásticos de espessura 0,52mm adaptados nas extremidades de ca­

da vareta. Essas varetas foram colocadas no interior dos módu­

los em ângulos de 30°, 45°, 60° e 90°, em arranjo aleatório,su~

tentadas por hastes de latão e apoiadas nos extremos em colchões

de borracha macia.

O esquema do dispositivo com suas dimensões básicas es

tá mostrado na figura 27.

Através desse dispositivo, fez-se passar ar impulsion~

do por um túnel de vento marca Intertech Corporation - Low Tur­

bulence Wind Tunnel. Este equipamento está situado na Laborató

rio Pesado de Fenômenos de Transporte do Programa de Engenharia

Mecânica da COPPE/UFRJ.

Para dirigir-se o ar para o dispositivo, foi feita uma

moldura retangular com bordas de seção semicircular feitas de

34

P.V.C. A seguir o ar era dirigido para a seçao de testes atra

vés de um distribuidor ali colocado com a finalidade de unifor­

mizar o fluxo de ar antes de atingir o feixe de varetas.

Após a seçao de testes foi colocada uma peça com forma

de tronco de pirâmide, cuja base maior era adaptada ao túnel de

vento, e a base menor à seção de testes.

Na parede lateral de cada módulo foram feitas 3 toma -

das de pressao. Benedict 25 indica a geometria e a relação en­

tre as dimensões, mostradas na figura 28, que devem ser adota -

das, assim

sendo escolhido

Dt = 2 dt

0,5 < it/dt < 6,0

dt =

tt

dt

1 mm

= 5,0

(5.1-1)

(5.1-2)

(5.1-3)

(5.1-4)

As tomadas foram feitas na parede adjacente as varetas,

dispostas em ângulo de noventa graus, separadas nas direções a­

xial e transversal às varetas de uma distância igual a 10 d, is

to é, 32mm.

Na parte externa da parede, foi colocada sobre cada to

mada uma conexao para unir cada uma delas aos tubos destinados

a enviar o sinal de pressão da tomada ao manômetro.

A figura 29 indica o circuito de mangueiras que leva o

sinal de pressao a um micro-manômetro eletrônico de marca Fur-

ness Control Limited, modelo MDC. Este aparelho, com escalas

35

(lX), (2X) e (SX), e fundo de escala, em (lX) equivalente a uma

polegada de coluna de água, foi conectado a um multímetro digi­

tal de marca Hewlett-Packard modelo 3490-A.

A velocidade do ar foi medida por meio de um tubo de

Pitot de marca Dwyer (F.W. Dwyer Manufacturing Co.), conectado

a um micro-manômetro CGS Scientific Corp. modelo MM-3 tipo

Prandtl com tubo inclinado móvel, contendo como líquido manomé­

trico Butanol-1.

A razao de serem usados dois manômetros diferentes, r~

sidiu no fato de as pressões de velocidades serem muito baixas,

e o micro-manômetro eletrônico, influenciado pela grande varia­

çao da temperatura do ar no local de teste ao longo do dia e as

oscilações na voltagem da rede elétrica, perturbava o resultado

medido. Por esta razão, usou-se o micro-manômetro tipo Prandtl

para a velocidade. Este Último não foi usado na medição de qu~

das de pressao por ter resposta muito lenta, demorando muito a

estabilizar o nível do fluido manométrico.

Com o objetivo de reduzir-se a influência da temperat~

ra do meio externo nos micro-manômetros, estes foram revestidos

de isolante térmico isopor. Este procedimento diminuiu a varia

ção de temperatura nos aparelhos, reduzindo a flutuação na lei tu

ra do multímetro digital e tornando mais lenta a variação na

densidade do Butanol-1.

Para a determinação da pressao de velocidade, a densi­

dade do Butanol-1 foi calculada através da expressão 26

36

0,8239 - 6,99 . 10- 4 T - 3,2 . 10- 7 r 2 (5.1-5)

onde Te dada em graus centígrados e pB e obtida em g/cm3 .

Por meio do dispositivo de regulagem existente junto ao

ventilador do túnel pôde-se variar a velocidade do ar na seçao

de testes. Para cada velocidade foi medida a queda de pressao

nas direções axial e transversal às varetas, tomando-se como re

ferência a tomada situada no vértice do conjunto de tomadas de

pressao, indicada na figura 31 pelo número 3.

Os resultados obtidos estão na tabela 2 junto com as

características de cada módulo. As velocidades e quedas de

pressão foram representadas pelos grupos adimensionais caracte­

rísticos

p q D

E e Re ; (5.1-6)

µ

QE. D

llp* 2 Eu 2 e ; ; (5.1-7)

L e .9. ) 2 p E

Nas expressoes (5.1-6) e (5.1-7) a densidade e calcula

da através da seguinte relação 28

; 0,001293 H (5.1-8)

1 + 0,00367 T 76

onde H é a pressao atmosférica dada em cm de coluna de mercúrio,

T é a temperatura em graus centígrados e a densidade pé obtida

em g/cm3 .

Para o cálculo do Número de Reynolds, a viscosidade foi

37

determinada a partir da expressao

µ = (0,05 T + 17,14) . 10- 5 A (5.1-9)

obtida por Regressão Linear 7 a partir de valores tabelados na

referência 27 e indicados junto com a expressão (5.1-9) na fig~

ra 30.

TABELA 2 - RESULTADOS DA EXPERIÊNCIA

Módulo - 90°

5974 2 mm

A 8,043 mm 2 1 vareta

AsÓlido

E = 0,53

D = 3,59 e

Módulo - 45°

Atotal

Al vareta

A sólido

E = O , 5 3

De = 3, 6 5

Módulo - 60°

1\otal

Al vareta

AsÓlido

E = 0,56

D = 4,0 e

2 2815,05 mm

mm

5162 2

mm

8,043 2 mm

2412, 9 2 mm

mm

5605 2

mm

8,043 2 mm

2469,2 mm 2

Re

1230,24

1220,65

1183,41

1054,85

Re

1334,95

1293,0

1185,70

1031,31

Re

1117,41

935,07

m* 1

0,698

0,713

0,709

0,730

m* 1

2,967

2, O 10

mi

1,082

0,989

0,945

0,935

m* 2

0,650

0,07

0,071

0,076

m* 2

0,703

0,125

38

5.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Dos quatro módulos construídos, foi abandonado o de 30°

devido as dificuldades de montagem. o o Os de 45 e 90 apresenta-

o ram porosidade E= 0,53 e o de 60 apresentou E= 0,55. Essa

diferença na porosidade foi ocasionada pela distribuição aleató

ria das varetas, o que não permitiu um controle preciso destefa

tor.

Como, para uma mesma porosidade, o valor da queda de

pressao é maior para o escoamento transversal através de um ar­

ranjo quadrangular do que para um arranjo triangular, o resulta

do mostrado na figura 31 era esperado devido à desordem das va­

retas no módulo.

Resultado semelhante é mostrado na figura 32 onde es­

tão os valores obtidos na direção transversal do módulo de 45~

A figura 33 indica a diferença entre os valores medidos e o cal

culado na direção axial do módulo de 45°, ~

Esta diferença e a-

tribuida ao fato de que as varetas em arranjo aleatório formem

canais, na direção axial, com largura e ângulo diferente de cal

culado.

Este fenômeno foi também a causa dos valores obtidos

com o módulo de 60°, cuja porosidade medida foi maior e os valo

res obtidos na experiência foram incompatíveis com os resulta -

dos obtidos nos outros módulos.

Mesmo assim, os dados de 60° foram utilizados, junta -

mente com os de 45°, para comparação com o valor dos ângulos a

e* mostrados nas figuras 34 e 35, as quais indicam haver boa

concordância entre os valores medidos e os valores calculados.

39

CAP!TULO 6

COMPARAÇÃO COM DADOS DA LITERATURA

Bottgenbach 3 testou uma série de dispositivos com var~

tas de 2 cm de diâmetro e distância entre centros de 2,4cm. To

das elas apresentavam arranjo quadrangular e ângulo de incidên-

eia o o o o o de fluxo de 30 , 45 , 60 , 75 e 90 . Este autor apresenta

a expressão para o gradiente de pressão como

grad p = - .e. llyll l v 2

onde o fator _ç_ é dado por

413 Re- 0 •14 sino, 9 e

=

( 6. 1)

o

o 3,74 Re- 0 •0626 (cos(0,96))- 2

( 6. 2)

Sendo este resultado apresentado em forma dimensional

nao e possível fazer-se uma comparação direta desses valores.En

tretanto, a figura 36 permite observar o comportamento das ex -

pressoes acima, bem semelhante ao mostrado na figura 20.

Na figura 37 pode-se observar o comportamento de ô com

relação ao ângulo de incidência da velocidade e nos dispositi -

vos de Bottgenbach.

Na figura 38 é feita a comparaçao entre os valores de

ô teóricos e experimentais de Bottgenbach para Re = 200000 com

os obtidos usando-se as expressões (4.4-12) e (4.5-28).

40

Essa comparaçao e feita novamente da mesma maneira p~

ra o ângulo~ do gradiente de pressão na figura 39. Deve-se ob

servar que as expressões (6.1) e (6.2) são aplicáveis somente

ao sistema estudado por Bottgenbach descrito neste capítulo, a

fim de verificar uma teoria proposta por Ziegler 2• Os resulta­

dos teóricos de Bottgenbach mostrados nas figuras 38 e 39 foram

obtidos através do método numérico.

As curvas obtidas com a presente teoria mostradas nas

figuras 38 e 39 resultam da extrapolação do valor de mf* acima

de Re ~ 40000.

Butterworth 4 apenas propoe um método para a obtenção de

um modelo para o escoamento tridimensional de fluidos através de

arranjos de tubos, não chegando a expressões analíticas para a

força resistiva.

41

CAP!TULO 7

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

O presente trabalho fornece como resultado final um m~

delo constitutivo para a força resistiva que um fluido recebe ao

escoar através de um arranjo de barras de seção circular. Isto

permite levantar a indeterminação que surge ao se estudar as e­

quaçoes de balanço. As funções constitutivas foram obtidas a

partir da literatura; e modificadas a fim de se adaptarem a Teo

ria das Misturas, usada com sucesso neste trabalho.

A adimensionalização das equaçoes de balanço permite a

utilização deste modelo em qualquer sistema como o proposto na

introdução deste trabalho.

A comparaçao com os resultados obtidos no experimento e

com os resultados de Bottgenbach demonstra a eficiência do mode

lo.

Os resultados também indicam que a força resistiva pa­

ra escoamento axial independe do tipo de arranjo das varetas,ao

passo que para escoamento puramente transversal a força resisti

va depende do tipo de arranjo e, para uma dada porosidade, e

maior para arranjo quadrangular do que para arranjo triangular.

A consequência direta deste fato é que ao se analisar um escoa­

mento completo deve-se levar em consideração a informação mi­

croscópica do tipo de arranjo adotado.

Por fim, é proposto um exemplo, mostrado no Apêndice I.

Seus resultados mostram como a presença da chicana influencia o

42

campo de pressao em um escoamento através de um arranJo quadra~

gular e de um arranjo triangular para vários valores do Número

de Reynolds. Com estes dados foi possível também obter-se cur­

vas para o Coeficiente de Arraste de uma chicana.

Algumas sugestões podem ser feitas tendo em vista o

cálculo hidráulico e térmico deste tipo de sistema. Inicialmen

te corrigindo-se os valores de f*, considerando-se a existência

de transferência de calor, através de correlações de Seider e

Tate, Rohsenow e Clark, e outros trabalhos citados por Tong 12•

Outro aspecto seria o da transferência de calor, anall

sada a partir da equação de Balanço de Energia 16, estudada par~

!elamente às equações de balanço de massa e quantidade de movi­

mento.

Mudanças nas variáveis dependentes ao longo do tempo

também são importantes e devem ser estudadas, bem como sua vari

ação com relação a posição.

Entre as hipóteses feitas no início deste trabalho, es

tava a de rigidez da fase sólida, entretanto, flutuações na

pressao e tensões de cisalhamento induzidas por fenômenos como

separação, vorticidade, turbulência, etc. podem induzir vibra­

ções na estrutura elástica causando um desgaste indesejável e

cargas estruturais dinâmicas 9. Isto explica a importância de se

estudar este problema, no qual as condições de contorno para o

escoamento do fluido e para a vibração da estrutura são acopla­

das.

43

APENDICE I

EXEMPLO

44

EXEMPLO - CAMPO DE PRESSÃO DEVIDO A PRESENÇA DE UMA CHICANA

I.l DESCRIÇÃO DO SISTEMA FÍSICO

A figura 40 representa um sistema de varetas submetido

a um escoamento uniforme na direção axial com velocidade U . O 00

sistema é limitado apenas por uma parede paralela às barras,nos

outros contornos o arranjo de barras se extende até o infinito.

Perpendicularmente à parede é colocada uma placa de al

tura 2a, comprimento muito longo e espessura muito pequena. Es­

ta chicana corta as varetas também perpendicularmente e não há

fluxo através dela.

à grande distância dessa chicana o escoamento permane­

ce inalterado, mas ao se aproximar da mesma e desviado,provoca~

do um grande acréscimo na queda de pressao.

Chicanas sao usadas no projeto de trocadores de calor

e no modelo de escoamento em reatores rápidos proposto por

Ziegler 2 e se destinam a aumentar a turbulência e o tempo depe!

manência do fluido refrigerante junto as superfícies de trocacle

calor.

O objetivo deste exemplo é mostrar a aplicação do mod~

lo desenvolvido neste trabalho. Isto será feito calculando-se

o campo de pressao ao longo de uma linha a jusante da chicana,

paralela a mesma.

Para a solução deste exemplo será determinado o poten­

cial complexo para o escoamento, a fim de determinar-se expres-

45

soes para a velocidade nas direções axial e transversal e então

aplicar as equações (4.4-12), (4.5-27) e (4.5-28) para determi­

nar a queda de pressão que o fluido sofre 28•

1.2 SOLUÇÃO DO ESCOAMENTO

Durand 29 apresenta o potencial complexo para o escoa -

mento perpendicular a uma placa. Colocando-se o sistema de coor

denadas sobre o sistema proposto, o potencial complexo fica

íl(z) ; - U00

lz 2 + 4a 2 (I. 2-1)

onde U00

e a velocidade nao perturbada e z e a coordenada compl~

xa

(I.2-2)

A separaçao do potencial complexo em partes real e i­

maginária também é indicada por Durand, assim

íl(z) ; cj) + 1 1/J

e as componentes da velocidade determinadas por

u ;

do que resulta então

- -ª± ax

(R + Q + 2 y 2)

2 AQ

(I.2-3)

(I. 2-4)

(I. 2-5)

(I. 2-6)

46

V = u"' y (R + Q - 2 x 2) (I. 2-7)

2 AQ

onde

R 2 2 + 4 2 (I.2-8) = X - y a

-) 2 2 Rz (I.2-9) Q = 4 X y +

A \/ R + Q (I. 7.-10) = 2

I.3 SOLUÇÃO DO MODELO

Para se obter a queda de pressao causada pela presença

da chicana será feita a integração da equação para o balanço de

quantidade de movimento desse ponto a montante da chicana em

que a velocidade é igual a 90 por cento do valor de U até o "'

ponto a jusante onde a velocidade do fluido é novamento 90 por

cento de U00

,

Como simplificação sera adotado

div T = O

haja visto 18 pouco se saber sobre a tensão extra.

Tomando-se a equaçao (I.2-6), fazendo-se u

y = O obtém-se

o,9 u"' - - u"' X v x2 + 4 ª2

então

0,81::::

x 2 + 4 a 2

(I.3-1)

0,9U00

e

(I.3-2)

(I .3-2)

Assim

Logo

2 X

47

= 17,053 a 2 (I.3-3)

= 4,129 a (I.3-4)

e a expressao que dá o ponto em que u e igual a noventa por cen

to do valor de U00

•

A integração da equaçao de balanço da quantidade de mo

vimento ao longo da parede e da chicana foi feita através do Mé

todo Numérico de Simpson. Para isso foram desenvolvidos dois

programas Fortran. Estes programas fazem ambos basicamente as

mesmas operaçoes, apenas um destina-se ao cálculo de um arranjo

quadrangular, e o outro a um arranjo triangular. Nestes progr~

mas, o valor do gradiente de pressao e calculado no plano mos­

trado na figura 34, porem a integração é feita sobre um plano

"adimensionalizado" através do critério mostrado no capítulo 4.

Os programas PREX 1/2 para solução deste exemplo estão

no fim deste Apêndice juntamente com as respectivas listagens.

O fluxograma, que é comum a ambos, também se encontra no fim

deste Apêndice.

I.4 DESCRIÇÃO DOS PROGRAMAS

I.4.1 CÁLCULO DE PARÂMETROS GEOM~TRICOS E ANAL!TICOS

Calcula a porosidade, o diâmetro equivalente, a posi -

çao onde a velocidade do fluido atinge 90% do valor de U (X90) 00

e adimensionaliza as grandezas geométricas.

48

I.4.2 CÁLCULO DA PRESSÃO NO PONTO ZERO

Faz a integração da Equação de Balanço de Quantidade de

Movimento para a direção axial ao longo da parede (primeira pa~

te) e para a direção transversal ao longo da chicana em ambos

os lados (segunda e terceira partes). A queda total de pressao

até o Ponto Zero é obtida somando-se as pressões obtidas nas

três partes citadas.

I. 4. 3 DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE PRESSÃO E'! -X90 E Y ENTRE ZERO

E " 2 A"

Integra a Equação de Balanço de Quantidade de Movimen­

to para a direção transversal, determinando a queda de pressao

em cada ponto.

I.4.4 SUBROTINA VELOZ

Calcula as expressoes (I.2-8), (I.2-9) e (I.2-10), Pa­

ra a aplicação nas equações de balanço, as equações (I.2-6) e

(I.2-7) são adimensionalizadas dividindo-as por

As derivadas das componentes da velocidade são dadas

por

AQ( 3R + -ª..Q ) -au (R + Q + 2 Y2) ax ax

= - uoo u X ax 2 AQ

00 z Az Qz

49

2 (A ~ 3A) - (R + Q + 2 y) + Q (I.4.4-1) dX dX

J AQ e 3R + ~ + 4 y )

au ay ºY = u X

ay 00

2 A 2 Qz

- (R + Q + 2 yz) ( A ~ + Q 3A ) ay ay

(I .4 .4-2)

AQ ( 3R + i9. - 4 x) av u dX dX

= 00 y

ax z Az Qz

2 (A~ + Q 3A) l - (R + Q - 2 X) ax dX

1

e r. 4. 4- 3)

J

AQ ( oR + ~ 2 dV uoo (R + Q - 2 X ) + U ay ay

= 00 y 3y 2 A Q l 2 A 2 Qz

2 (A~ + Q 3A) l - (R + Q - 2 X) ay 3y

_l

(I .4 .4-4)

~ 3x

~ 3y

3A

3x

3A

3y

Onde

=

=

=

=

2

2

1

3R

3x

3R

3y

/Q

1

/Q

1

4 IA

1

4 IA

50

= 2 X

= - 2 y

(8 X 2 y + 2 x R)

(8 2 2 x R) X y -

( 3R + ~ )

ax

( 3R 3y

ax

+

I.4.5 SUBROTINA SIMPS

(I .4 .4-5)

(I. 4.4-6)

(I.4.4-7)

(I. 4. 4-8)

(I.4.4-9)

(I .4.4-10)

Entra em todas as fases do programa principal para fa­

zer a integração das equações pelo Método de Simpson'º·

I.S RESISTENCIA OFERECIDA POR UMA CHICANA

Um problema derivado deste exemplo proposto e o da de­

terminação do coeficiente de arraste de uma chicana como a pro­

posta.

51

Batchelor 31 dá a expressao para o Coeficiente de Arras

te como

CD = F

1 u2 p A 2

00

(I.5-1)

Subs ti tuindo-s e F/A por l'lp

CD = l'lp

1 u2 p 2

00

(I.5-2)

Tomando-se

l'lp = l'IP l 1 - (I.5-3)

onde o Índice "l" refere-se ao escoamento calculado nos progra­

mas PREX e o Índice "2" a um escoamento puramente axial.

Na equaçao (I.5-3) l'lpl1

é a média das quedas de pre~

sao calculadas para cada valor de Reynolds.

O resultado para arranjo quadrangular está na figura

41 e para arranjo triangular na figura 42.

52

LER d, S, a, m, n

CALCULAR E,De,a*,X90,A90

ESCREVER E, De•ª* X90, A90

l 8----;__,L_E_R_RE~Y_N_o_L_D_s_,

f O FIM DO ARQU.!_

vo ?

! NÃO

CALCULAR h (eixo "x")

CÁLCULO DOS PONTOS AO LONGO DO EIXO "x"

SUBROTINA "VELOZ"

CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO EM CA­

DA PONTO

NÃO CAL­

CULOU EM TO DOS OS PON

TOS ? -

SIM

G)

PARE

NÃO

53

SUBROTINA SIMPS

PSIMPS = P PARCIAL 1

CALCULAR h (CHICANA)

CÁLCULO DOS PONTOS DA CHI­CANA (DIREITA)

SUBROTINA VELOZ

CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO EM CADA

PONTO À DIREITA DA CHICANA

CALCULO EM TODOS OS

PONTOS?

SIM

SUBROTINA S IMPS

PSIMPS = P PARCIAL 2

CÁLCULO DOS PONTOS DA CHICANA ,....._____, (ESQUERDA)

SUBROTINA VELOZ

CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO EM CADA

PONTO À ESQUERDA DA CHICANA

8

54

0 NÃO ALCULOU

EM TODOS OS PONTOS

?

l SIM

SUBROTINA SIMPS

J 1 PSIMPS = P PARCIAL 3

l PRESSÃO NO PONTO ZERO =

p PARCIAL 1 + P PARCIAL 2 + P PARCIAL

1

/ ESCREVER REYNOLDS/

P (ZERO)

1

1 P PARCIAL 4=0 ~ 1

~ DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE \_J ~ ; 1 AT~ M

CÁLCULO DOS PONTOS ENTRE CA DA INTERVALO

SUBROTINA VELOZ

CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO DE QUAN TIDADE DE MOVIMENTO EM CADA PONTO -

NÃO CALCULOU EM TODOS OS

PONTOS?

SIM

SUBROTINA SIMPS

3

55

P PARCIAL 4 = P PARCIAL 4 + PSIMPS

P PONTO= P(ZERO) + P PARCIAL 4

ESCREVER !NDICE DO PONTO, COORDENADAS, COM­PONENTES DA VELOCIDADE E PRESSÃO

NÃO ALCULO

EM TODOS OS INTERVALOS

?

56

Pf.lL(,kAM f'f<FXI ( I~,P1.T.c liTPl'.T,TM'F"i=INPLJT,TAPtt,:úUTPlJT)

e e e e e ( P>H1GRA"'A t-Xf!"f'L(' - (Ai"I--C i>F PHFSSA(I uEVlOll A PkESENCA Df:. l.Jl'A C (t,lLA!'>IA

e e e C CAkACHf<lSTilAS - ARf<A~J(' <,UAl'><A•,c,L,LAt<, f<E-blAO SE,..I-!Nflt-,ITA

e e e

e e C CALCLLC H PAkA,..E-Tf.lllS bF<"fTk!COS E Ato.ALITICOS e

JK=l f.lfAr(<i.•) G.HFT,AA•"•"

C OHSfRVA(~l, - t. Stt,f-'f-<f- t,f-M•R /:'l,f IIO(VALOfl PAR) FP"i=l-0,7H"i/HFT**2 DF1,:t-f'S<H,/ ( 1-E- PS) A Aí':?<:· A A /(•f(l

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wf'!H (ln l?) f'Fl, li:' FUktvAT(ClX,"DlAMlTf<CJ t-ícl,]VAL.f:Nlf=",F7,3l

•RIH (h, 13) AAP 13 FCf',.AT(4X,"Ch!CA"A CAf.lt-t-N5l<•"AL)=",F7,3)

•klH (h, 14) x<iO.A'lO 14 FUk~Al (ClX,"XCJu="•F7,3,/,ClX. 11 A<iO=",F7,3,///) oo RFAI' (<;,*) f<FY

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C f'Hl"f !f-<i 1-APH - AO l('"b(, f,c, Fl ~l• X e e Au'-'H,H, l A PkfCISAl• r,A l"Tfc;f;/\(A(l AO LUN(,() (JE "X"

"-=10*[· f-'=?*J\40/!'< eu ;;>o J=I ,N I=J-1

e

X (J) :XQ0-1*1-< Y(Jl=O

57

CALL \/FLUI (J,X,Y,M,C ,A,DHX,OHY,UQX,CQY,UAX,UAY,U,V,DUX, X [J li Y , 1, v X , IJ li Y , A /l )

P(Jl=IO**(-J.7?4*FPS+0.?0~)*kFY**(U.3hh*tPS-0,403)*U*U-?* XtlF(J*UL,X*l-

?0 cmTII\.UF CAl l SJMPS p,.P.H,PS,í,h,) Pf'J:f'S r-. =h /':,

e SFbDhDA MARTt - Al [L',Gl rA Ct-<ICINA, PELA U!Ht!TA e

e

1-<=?*A/l/N 00 30 J=l•" l=J-1 y (,.J) =!•14 X(Jl=O CALL VFLUZ (J,X,Y,M,L,A,OHX,uHY,U(,X,Dt,Y,UAX,1 AY,U,11,ULX,

XDLY,Ullx,OVY,A8) P(J)=l0**(-4.4h7*tP5+?.H4)*PFY••(-O,!':il*V*V-t*OEY*0VY*V

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l=v-1 Ylvl=I *S•l*I-' X IJl=-xq11

58

CALL VFIUl (J,x,y.~.~.A,O~X,UPY,U~X,U~Y,uAX,üAY,U,V,ülJX, XOlJY,LVA,ílVY,AA)

TFT:ATAN(V/lll Vt,.=S~t-'T(l1**?•V**~l P(Jl=líl**(-4,4h7*FPS+?,~4l*MFY**(-0,JC,l*(Slh!TETll**(O,H~

X ) *V" <> V- ( P V X* L +()V Y <, V l hO CC1'TlNlJF

CAll SJMPS (• ,P,hl"',,[\flJl l-'P4:l-'P4 +PS v=K fJ I c.J l =1- ZF +PP4 i1R!Tt (h,4)) J,X(Jl ,Yl•••ll ,U,V,Plvl

41 Fü~'°'ATillX,13,?X,F~.3,êX,F8,3,2X,F~.4,2X,Fh,4,2X,f~,4,/) <,O CU"T!MiF

GG TI QO Ff\lí'

59

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CARACTFP[STIC'AS POPOSIOArE= .4'i llJA"ltTkC Ft.LIVAL.FNH= Ct-<IC/lfl.A ( Aíil"IFNS!Of'JALl = XQO: 4] • ?'l(I ACJO= ">l.?01

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H -41,?'lO 16,0011

q -4),?QO lR,000

1 o -41,?'lG ?0,000

u V 1-'

-.QflOt., -.OOR3 27 •. 3394

-,9014 -,OJ/,4 27,3331

-,9041 -.0?4? 27,3234

-,'l07'i -.03]6 27,31]6

-,91 l" -,03Wo 27,2996

-,911i3 -,044fi 27,2904

-,9?1" -.0">04 27.2872

-.9?73 -,O'i<,2 27,294/i

- • 'n ,3 -,Q'-,'l2 ?7,3177

-.Q)Qf- -,Ot-?4 27,3626

73

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PONTC, }. y l V p

1 -41.?QO "·ººº -.900', -.0083 26.4771

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3 -41,?<lü 6.000 -.9041 -.0?42 26.461?

4 -41,?QO 11.000 -.qn7" -.Oêllb 26.4494

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1:, -41.?90 1?.000 -.9lh3 -.044/:1 2t>.4285

7 -41.?<lO 14.000 -.<l?l'- -.0'>04 2t>.42!::>S

f< -41.?QO l 6 • O O O -.Q?73 -·º""2 26.4332

q -41.?90 111.ooc -.9331 -.0'>92 26.4':,6",

10 -41.?00 20.000 -.9396 -.0624 26.':,017

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PONTO }. y u V p

1 -41.?qO ?.000 -.900':, -.OliA3 2S.'IOOH

? -4} .?90 4.000 -.90!9 -.0164 25.894',

3 -4}.?Qll 6 • O O O -.cio4, -.0?4? 2':,.8849

4 -41.?90 "·ººº -.'107', -.0316 25.1<732

', -4 l .?90 10.000 -.9] l', -.03R':, 2':>.8614

f, -41.?90 12.000 -.'llf>3 -.044H 2':i.11!'>24

7 -41.200 14.000 -.9?)'> - • 0':,04 25.8496

1-\ -41.?90 lf>.000 -.9273 -.0':,52 25.8574

9 -4} .?90 lh.OOtJ -.<i, n -.o,-,q2 <'!:>.8809

1 e -41.?90 20.000 -.'l]Qf, -.0624 2!">.9263

74

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PONTO ~ y li V p

l -41.?Q(I 2. 00 O -.QOO" -.0083 25.4730

2 -41.?QO 4.000 -.'lll] '1 -.Olh4 25.4667

3 -41.?Qll 6.000 - • 4 04 1 -.0242 25.4571

4 -4].?QO "·ººº -.91171., -.0316 25.4454

<, -41.?QO 10.00(i -.'llJ', -.03f'', 25.4337

11 -41.?40 12.000 -.9163 -.0448 25.4248

7 -41.240 14.000 - .Q? 1., -.0504 25.4221

f' -41.?QO 111.000 -.9?73 -,0',52 25.4299

9 -41.2Qll IH.000 -.q1:n -,O'iQ2 25.4536

l li -41,?QO ?0.000 - • Q 19f, -,01124 25,4992

NUMFRO r:F htYNOl!'S= 3ooor,r P(ZFRU)= 2". 117

PONTC., ~ y li V p

-41.2QO 2.000 -,'lQ(lt., -,001'3 25,1353

? -41.?40 4,00C -,QOJ'l -,0164 25,1291

3 -41.240 f, 0 000 -,9043 -.0242 2'>.1195

4 -4J.?QO 8,000 -.Q07L, -,0316 2':>.1078

', -4l,2QO 10,000 -.Ql I" -.0385 25,0962

f, -41.240 12.noo -,Q}f,3 -,0448 25,0873

7 -4J.?QO 14,000 -.Q?J", -,O'i04 25.0847

f' -4}.?QO 16,000 -.9273 - , O':i52 25,0927

q -41.2Qll 111,000 -,Q331 -.0">92 í:'5.116'>

1 O -4 J .?QO 20.000 -."39(, -.06?4 25.1621

75

i'Jll"'HW [lf fJ(- Y NOL PS= 3',000,(l P(lfRU): ?4, f\f,0

PONTO X y li V p

1 -41,?GO 2,000 -,QOO', -,OOH3 24,H5RO

2 -4],?QO 4,00(1 -,QOJ4 -,Olh4 ?4,H5!7

3 -4],?QO t,,1)1)[} -,Qll43 -.0?4? 24,R42!

4 -41,?<iO 8,000 -,'í(J7', -.03]1, 24,8305

', -41,?GO 10,000 -,Yl l'"' -,03fi5 ?4,8189

h -4],?CQ 12,000 -,QJ63 -,()448 24,1'101

7 -4] ,?QO 14,UOC -,Yí'}'i -.0504 24,8075

H -41,?Q(I Jt,,000 -.4?73 -,0">5? 24,1'156

4 -41,?Q(, lfi,()()(l -.91 i3 -.0:,9? 24,8395

1 () -41,?QO 20.noo -,Q"JQIS -,0624 24,88':,3

NUMFRt, l'F f<t YNOL PS= 40000,0 P(Zff<lll= ?4,f,?6

PONT<, X y li V p

1 -41,?GO 2,000 -,QIJO<, -,001<3 24,623h

? -41,?<iO 4,oon -,QO\" -,0164 24,6173

3 -4],?YO 6,000 -.4043 -.0?4i' 24,6077

4 -4],;>QO 8,()()0 -,407", -,0316 24,l:,Y6!

':, -4\,?QO 10.noo -,<JJ}', -,03R5 24,'i846

f, -41,?QO J?,1100 -,4163 -,0441' 24,5758

7 -41,?'lO 14,000 -,9?] ', -.0:,04 24.5733

fi -41,?00 1 6 • o o o -,4?73 -.oc,,2 24,5814

4 -4],2QO IH,000 -,91"l3 - • Q",Q? 24,6054

10 -41,?QO ?0,000 -,Q1Qt, -,Oh24 24,t,513

77

NlJf.'FRO DF nYNOLflS= 80000,0 p (lf-k()) = ?3,4Ql

PONTO X y li V p

1 -4),?QO 2,0110 -,Qf)Q'-, -,0083 23,4892

2 -41,?QfJ 4 , O [I O -,901Q -,Olf,4 23,4830

3 -41,?QO h,COO -,9043 -,0242 23,4735

4 -4 l ,?40 8,000 -,407':, -,03)6 23,4620

'i -41,?90 10,000 -,411':> -.038!:> 23,4506

h -4 l ,2QO 12,000 -.9)63 -,0448 23,44?0

7 -41,?Q(l 14,000 -,Q2)'i -.0504 23,4397

8 -4 1, ?9 O Jn,ooo -,9?73 -.0':>5? 23,4482

9 -41,?QO 18,000 - .,n:n -,0">92 23,4725

10 -41,?GO ?U,000 -,41Gn -,0624 23,'il88

MWFRO Df RFYNOLPS= JOOOOG,r P(Zffiül= ? 3, l "í4

PONTG X y L, V p

l -4),290 2,000 -,Q(l(l', -,001'<3 23,l':ll7

2 -4),?90 4,000 -,9019 -,Olh4 23,1455

3 -41,?0ll h,000 -,4043 -,0242 23,1360

4 -41,?90 H,OOG -,cio7.-., -,0316 23,1245

':, -4 l ,2QO 10.000 -,911'> -,038':, 23,1131

I', -41,?GO 12.000 -,9]1',3 -,0448 23,)046

7 -41,?90 14,000 -,9?1" -,0504 23,1025

8 -4),?90 lh,000 -.9273 -,0552 23,1110

9 -41,?GO 18,000 -,9133 -,0592 23,1355

10 -41,?00 20,(100 - , 91Yt, -,0624 23,1819

78

CORRESPONDENCIA DAS VARIÁVEIS FORTRAN COM AS

VARIÁVEIS DO PROBLEMA

A A

AA a

AAD 2a*

A90 x* 1 90

BET s D d

DEQ D e

DAX aA/ax

DAY aA/ay

DQX aq;ax

DQY aQ/ay

DRX aR/ax

DRY aR/ay

DUX au/ax

DUY au/ay

EPS E:

H Comprimento do intervalo de integração no Méto do Simpson

p p*

PPl p* parcial 1

PP2 p* parcial 2

PP3 p* parcial 3

PP4 p* parcial 4

PS p* Simpson

Q Q

R R

!NDICES

79

REY Re

S Comprimento do intervalo entre cada ponto no

campo de pressão

TET e

u u

V V

VN li:::· li X X

X90 Xlgo

y y

I, J, JK, M, N

80

APtNDICE II

FIGURAS

q(r)

r9"A Z~na interna de matenol ~f1ss11. 1111 Zona externo de material 1111fiss11.

;zona fért II .rod1ol

81

-- ____ ....._ __ ,tz)

m Espap, para gas

D z..,. fwrtll aX1al · utferioc

de flNÕo.

supenor ,

FIG. 1 - ESTRUTURA DO NOCLEO DE UM REATOR RÃPIDO E DISTRIBUI­

ÇÃO DE DENSIDADE DE POTENCIA

82

CÂMARA DE SAIDA

t I / TANQUE DO REATOR

.

t .,_,--0:-tt-VALVULA REGJLADORA

DE FLUXO

. r CHICANA PERMEAVEL

1-R-- cÂMAIIIA ANELAR

' \ \ CAMARA DE ENTRADA

FIG. 2 - LINHAS DE CORRENTE NO NOCLEÇ DE ill+ REATOR RÃPIDO

SEGUNDO ZIEGLER

83

QllllaM.NIULAR

A

, AREA lOTM.

FIG. 3 - TIPOS DE ARRANJOS DE BARRAS

o • i1

84

FIG. 4 - POSIÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS

/

o li) N . ..,

/o.75Õ 1. 250" ---,--

' : 1 ~ N -

= ~ N -

=o rn ... d

CANAL B.

d= 111

, é =0,53

CANAL D d• 1" , t =0,42

4.00011

85

0,917 11

CANAL A

d= 111, E =0,55

d= 1,25 11, f =0,43

4.00011

1.08311

CANAL C

d= 111

, E =0,49

CANAL E d• 1" 1 1 =0,49

FIG. 5 - DIME:-.JSOES DOS DISPOSITIVOS DE ROWE

- 2 io

-1 ---·---,-------------

3 4

FIG. 6 - FATORES DE ATRITO PARA A DIREÇl\O AXIAL SEGUNDO ROWE

l ___ ~

----~----

5 log Re

oc o

87

f,<U

- l,[]...J.. ___________________ ~

-0,!I

O,!I 1. o

r = - o. 11s!I

t' 1 o = - 1.12~ E t 0,20!1

IG. 7 - f 1(s) - ca1FICIENTE PARA DIREÇÃO AXIAL

88

.o.' L------- -

• •

• •

~o

f = 0.6SB~

f-2 ( f) = 0,366é _ 0,403,J

FIG. 8 - f 2 (E) - COEFICIENTE PARA DIREÇÃO AXIAL

1,0 --------

0,5 +---

o

89

-t-------1

0,5

r -= o. 999

1

l 1

1,0

FIG. 9 - g 1 (E) - COEFICIE~TE PARA EQUAÇÃO (4.5-21)

9 ()

- 1,, ,( é)

0,5

1,0

r = •O, 998

h., (E) = - 3, 003 f.. -1- 1. 310

FIG. 10 - g2

[E) - COEFICIENTE PARA EQUAÇÃO (4.5-21)

91

1,0 ~----· -i --

o 0,5 l,Ó

V'= O, 997

0,261 E + O, Z07

FIG. 11 - h2

(E) - COEFICIENTE PARA EQUAÇÃO (4.5-22)

1,0

0,5

92

---- - -- -,-1

1

1

1

1

0,5 1,0

r.. -~ 99,-

ftz(é) =- /458 E r 1,464

FIG. 12 - h 7 (E) - COEF[CIEJ\TE PARA EQUAÇÃO (4.5-22) -

93

1,0

:/' ( f I , • º· 8 87 l ,- o, !5 76

FIG. 13 - g(E) - [OEFICIE'iTE PARA ARRANJO TRIANGULAR

94

h ( f)

1,5-+-----

1,0-+----------'l----+------------j

Q,::,...J.----------++-----------!

1,0

h ( f.) = - 4,461 f + 2,840

FIG. 14 - h(E) - COEFICIENTE PARA ARRANJO QUADRANGULAR

<[ a: a: <[ aJ

<[ o

o X

w

1

95

z ..

FIG. 15 - NOMENCLATURA DE ÂNGULOS E POSIÇÃO DO SISTEMA DE

COORDENADAS EM RELAÇÃO A UMA BARRA

A li' JJ1'

96

1

1 ! 1 i 1 1

0,5_,_______.___J 1- LJ [ __ '. 1 . 1

1 ; 1 1 1

1

1 _l...._.,.

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90

FIG. 16 - VALOR DE mi COMO FUNÇÃO DE e, PARA ARRANJO

TRIANGULAR - s = 0,45 , Re = 10000

97

i l --4

1

1,0-+---+-~-+- -~ __ ______,, -

1

05+--,-----+---il---l----t ~-~~ 1 : I 1

1 !

FIG. 17 - VALOR DE mi COMO FUNÇAO DE e, PARA ARRANJO

QUADRANGULAR E= 0,45 - Re = 10000

98

O,I -t------,• ·-·- T- - -r·--. .,.

1

1 r-r-n 1

1

1

1 1

ops+----+ --- -- -------+-~!

10 l ) 30 40 50 60 70 80 . o

FIG. 18 - VALOR DE m2 COMO FUNÇÃO DE e, PARA QUALQUER TIPO

DE ARRANJO - E= 0,45 , Re = 10000

99

'·º +--~~----~-1 --....-----..---,- __

FIG. 19 - VARIAÇÃO DE 1[1:_1*11 COMO FUNÇÃO DE 6, PARA ARRANJO

TRIANGULAR E= 0,45, Re = 10000

•• 111-.4 11 ~

100

1,5 --+---~I -1-1 - r--r-1~~1----~ 1 ! i 1 ! i

1

1 1

1

,,,v-+---+I_ -------.--~--+-----++--- L-----+--~ 1

1

1

0,5-+------~+----,,__________.-----+------+----+--W

1

1

1

FIG. 20 - VARIAÇÃO DE ))1:1* )) COMO FUNÇÃO DE 8 PARA ARRANJO

QUADRANGULAR - E: 0,45 , Re: 10000

90

80

70

60

50

30

20

LO

101

-----r---- - -- - - ,

/ V-

1 /'

1

, 1

/

/ ,

i

'

t---1 / 1 1

i

'

i 1 1

1 '

i

li i i

1 , 1

~/ ! 1 1

' '

' 1

/ i 1

i 1 j

!

IO 20 30 40 50 60 70 80 90 e-

FIG. 21 - VARIAÇÃO DE~ PARA Re = 10000 E ARRANJO TRIANGULAR

E: = 0,45

o

102

1 . ! í 80 +---+--r-,-- --+----+. --+--·r- --+--+----l

i 1 1 1

70

60 -

-+--l--1--~- -

++- i -i-+--+-~ 50 _ i---

1

4u-t---+-+-

30-t-f--r -+ t---f--i- . f -H :nt-+--L- -- -- -t- - l--+-- ~---+----+-----!

1 1 I / 1

. - --1- - - ---+-- --+-- - --- -+---' 1 ·. 1 1

10 20 O 40 50 60 70 80 90

FIG. 22 - VARIAÇÃO DE ;, PARA Re 10000 E ARRANJO QUADRANGU-

LAR - E; 0,45

103

10 20 30 410 50 60 70 80 90

FIG. 23 - VARIAÇAO DE ó PARA Re = 10000, E ARRANJO TRIANGU­

LAR - E= 0,45

104

90 ' ' . ' 1

' '

80 ! ' ' !

' i ' 1

70 '

1 ! 1 -ir '' i ' 1

1 1 -- ' 1 1

! ~i 1

w '

I '"' !

' Aft i

• ' i ! I"' 1

3- i ----+- 1 ·- :" 1 !

i 1

20 . i !

' ""'i 1 1 '

10 !

i ~i i 1 1 ' '

IO 20 30 40 50 60 70 80 90 ()-

FIG. 24 - VARIAÇÃO DE o PARA Re = 10000, E ARRANJO QUADRAN-

GULAR E = 0,45

1 1• 1 l 1 l 1 1 1

--' 1

105

FIG. 25 - O DISPOSITIVO DE TESTES

•

'

106

FIG. 26 - OS MÓDULOS DE TESTE

60 100

1 1 _, 1 1

_J

1 1

---l 1 1 1

500

DIREÇAO DO FLUXO

FIG. 27 - DIMENSÕES (INTERNAS) BÃSICAS DO DISPOSITIVO

----------------- -------------

UI o

-CONEXAO COM O TUNEL

1

_J

Lt

PAREDE

Lt =

lt =

dt =

~t =

10 mm

5,0 mm

1,0 mm

108

2,0mm

FIG. 28 - TOMADA DE PRESSÃO

AO MANÔMETRO

LATÃO

ACRILICO

DUREPOXI

_,

109

SEÇÃO DE TESTE

2

3 o---1 o 1

1 1

19 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

í ____ J t,_t 1 r--- - _ _J

1 1

~ MICROMANÔMElRO

~MDC

: 1 : 1

' ' ' .

I= MULTIMETRO DIGITAL

0 _ TOMADAS D E PRESSÃO

1 - DIREÇÃO TRANSVERSAL

2- " AXIAL •

3_ REFERENCIA

LINHA DE PRESSÃO ,

ELETRICA

' . VALVULA DE CONTROLE

TUBO DE c:::;i-----

1 1 1 1 1 1

1 1

1

1

1

1

1

o

D

1

1

1 1

PITOT

MICROMANÔMETRO MM"-3

FIG. 29 - ESQUEMA DO CIRCUITO DE MEDIDAS

24

20

17, 14 16

12

} ~,

>--

o

----·

--

·- .

18 40

FIG. 30 - VISCOSIDADE DO AR

Jfz,o,s• = (005 i.z +

-------. - --

- .-. --- -

54

17, 14 ) -5

X 10

r = º· 99032

~"'P = 0,0501;+17, 1 40

----- -

-· --

~ .. ------·-

o e

74

10 ,o 9 8 7 6

5

4

3

2

1, o o. o

9 -1

o. 7

o,-

o,s

111

·------- ~------ ----MA.,*'

' -

1

ó - -d>=

'

---

-. 0.4 - --- ------·-- --. --- ·--0,3

0,2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

,o~ °RJI. 0,1

l<Í RIMENTAL - E = 0,53

' e = 90° ( TRANSVERSAL) A EXPE

ICO - rn * p RA ARRANJO UADRANGULAR TEÕR 1 A Q

-·-·-· TEÕR ICO - mi PARA ARRANJO TRIANGULAR

FIG.31 - COMPAR AÇÃO DE 111* MEDIDO E CALCULADO- E=0,53, 8 1

1 1

1

1

'

1

!

1

i '

1

!

'

i

1

'

112 - --- --- - ----------------;

'* ,MA ' 1 I0,0-----------------~----------.1

------------ -~-----------+-~-~-1 1

- - ---- ----+ ---- ------1

'----- .. - --- --

1

1,0 ~=======--- --=--- -----_------_-_ -_-__ ----+---_-___ - __ -_-_ __:=__--=-------1, 1

µe.11l.,.:,, =---11.~..,,___ ~---------------+-,, --------1 1

1-------+-----~I --­·- --------

0,1 1--------'-l _l~I __,_I __,_I --'--1 ~'--'-1-----, -_--_-,_-~..,,,,....i 11

1

103 D<'- ke

A EXPERIMENTAL E= 0,53, 8 = 45º (TRANSVERSAL)

-·-

FIG.

TEÕRICO - mi PARA ARRANJO QUADRANGULAR

TEÕRICO - mÍ PARA ARRANJO TRIANGULAR

32 - COMPARAÇÃO DE mi MEDIDO E CALCULADO : 90° 1

113

1---~ê· ----- - - -- --------------- ---------1 = ,___ ____ - -- -·--- - - ---------------1---------1

---- -- _______________ J_ --------I _____ , :

1 1 ~--- --- - - ---- ------ --- - - ~I ---------1, 1

1

. _i__ --j: 1 1

1---·- -- ---------- - -·--·-----

1--------------- - - - - --- - ·--- - - --- --

1 ~ i 1

0,01 1- r i --- --------- --------+---------'[" 1

------ --- ---- --------------------- -----r- -- -~- --- --~ -------- --t- --~~I

1

~- - - ---- -··- -- ------------i---------1-1

001 1 j I i 1 L--------l.------'----'---'---'--'-..1.-"'-,1-------'----J Re

1 A EXPERIMENTAL

104

E= 0,53 , 8 = 45° (AXIAL)

i- TEÕRICO m2 1 FIG. 33 - COMPARAÇÃO DE m7 MEDIDO E !=~L_CULADO __ E_=_0.:_,5_3 __ --'

o

114

90 1

80 : ' 1 ' '

7: i 1

""" 1

' ' 1

! i .... / i--,.....

/ 1 ~, '

Al'I 1 1

I

!"-& 1

-- ~+---

2,- ~ I 1

"" 10

/ "" ;

TEÕRICO (ARRANJO QUADRANGULAR) E~ 0,54

E O, 53} 0,55

Re :;; 1200

FIG. 34 - COMPARAÇÃO ENTRE O VALOR DE o MEDIDO E CALCULADO

o 9

8 o

·~ 60

5•

40

2:

10

115

'

! yv; ~ i , . y 1 --r

;• -+---~ ~-

;-----+ --/ ! ' __ _;___j

'

·+ -----t-··~ ., 1

1

I

/ -

/ 10 20 30 40 50 60 70 80 90

TEÕRICO (ARRANJO QUADRANGULAR) ~ 0,54

b. ~ = O, 5·3}

[J E= 0,55

-Re 1200

"

FIG. 35 - COMPARAÇÃO ENTRE O VALOR DE <j> MEDIDO E CALCULADO

116

110 t----.---,-----,----.-----.-----,---,,------,---,

90

t 80

t'.,. Rt! = 20 ' 7 Re = soHI 70

Re = (.O 108

Re: z.oto' 60

I.J-' EQUIVALENTE A &

•

FIG. 36 - COMPORTA:--IENTO DA FUNÇÃO ç V

ao·

50•

40'

30'

20'

10'

117

o''.JL.-.-..---.---,c--r--.-.----.---t­• so' ao· 10· oo' ro· 40• 30• 20· 10· o _.,.

9radp w

d'= 45°

gradp

\J- = 90•

µ'---------w 1 grodp

I.J' - .EQUIVALENTE A 6Y

d _ E6iU!VALElvTE A cf

FIG. 37 - POSIÇÃO DO VETOR VELOCIDADE EM RELAÇÃO AO GRADIEN­

TE DE PRESSÃO

10

1

118

~t---+--+--. -".!--+.-+------!

1

r--L- 0

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90

'v BOTTGE:'JBACH EXPERIMENTAL

0 BOTTGENBACH TEÕRICO

PRESENTE TEORIA

ARRANJO QUADRANGULAR E = 0,45 , Re 200000

1 FIG. 38 - COMPARAÇÃO DOS VALORES DE li DE ACORDO COM

1 BQTTGENBACH E A PRESENTE TEORIA

90

8~

(1.

---••

-

.....

·-

119

.

-V- ~1 lll 0

/ b 'íl

I 0

~=+ ----- ~-

1

1

' ' ' i

~ ~1 --f--

-~ ~.

i 10 20 30 40 50 60 70 80 90

"l BOTTGENBACH EXPERIMENTAL

o BOTTGENBACH TEÕRI CO

PRESENTE TEORIA

ARRANJO QUADRANGULAR E:=0,45 Re 200000

FIG. 39 - COMPARAÇÃO DOS VALORES DE 'q, í:lE ACORDO COM

BOTTGENBACH E A PRESENTE TEORIA

_ 10

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 -4 - 3 - 2 - 1

-----------

2 i.. a.

CHICANA I

- x 90 (Ponto Zlt'O) / /

FIG. 40 - ESQUEMA PARA O EXEMPLO

------ -- ---·· ·---

u. -

--

-- EIXO DE UMA \ARETA

X 90 X

-- --------------~

121

C:t> IOO --

90 a~ -~, -.. 1

i 4'

--

1 --~l '

20~--- ---~ '

1

1

1

10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 105 i2.e

FIG. 41 - COEFICIENTE DE ARRASTE PARA UMA CHICANA - ARRANJO QUADRANGULAR, E; 0,45

122

C:i, IOO V

IFIG.

!

1

90 8"

70 ,,,,

!'il

AI

: -

--

r

10 2 3 4 5 6 7 a 9 1Ó Pe.

42 - COEFICIENTE DE ARRASTE PARA UMA CHICANA - ARRANJO

TRIANGULAR, E = 0,45

123

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