regimes de escoamento

HIDRÁULICA – Marllus Gustavo F. P. das Neves

Regimes de Regimes de escoamentoescoamento


Energia específicaEnergia específica

2

2

2gA

QyE


Muitos fenômenos em canais podem ser analisados com o princípio da energia

H = z + y + U2/(2g)

Carga Altimétrica Carga

Piezométrica

Carga Cinética

A partir do fundo do canal (Bakmeteff em 1912)

Energia ou carga específica E = y + U2/(2g)

Aquela disponível numa seção, tomando como referência um plano horizontal passando pelo fundo do canal, naquela seção


Q

Datum

yNova referência(z = 0)

z

Energia (carga) específica: é a distância vertical entre o fundo do canal e a linha de energia

Adotando = 1 e da continuidade

2

2

2gA

QyE


Curvas y x E para Q = cteCurvas y x E para Q = cte

e y x Q para E = ctee y x Q para E = cte


Fixando-se uma vazão Q

2

2

2gA

QyE

E = E1 + E2 E2 = Q2/[2gA2]

E1 = yonde

f(y)

Energia mínima Ec yc Profundidade Crítica

E ∞


Para um dado valor E > Ec

2 profundidades yf > yc e yt

< ycProfundidades alternadas

ou recíprocas

2 regimes de escoamento recíprocos

yt inferior, torrencial, rápido ou supercrítico

yf superior, fluvial, lento ou subcrítico


Duas situações (declividades):1)Mesma vazão Q (uma curva)2)Mesma Energia3)Duas profundidades

Mesma hc


diminuição no nível de energia disponível:Regime supercrítico diminuição de yRegime subcrítico aumento de y


Até agora uma curva de energia associada a uma vazão

Acontece que em um canal não passa somente uma vazão

O aumento de Q produz um aumento de y e também de yc

Uma determinada y pode ser subcrítica ou supercrítica, dependendo da Q em trânsito

cc E32

y

para um canal família de curvas, cada uma uma vazão


Para que servem estes conceitos?


É também de interesse prático a curva y x Q para E = cte = E0

2

2

0 2gAQ

yE y)(E2gAQ 022

y)(E2gAQ 0

Canal retangular de largura b e tomando a vazão por unidade de largura q

y)y(E2gq 0 Não há água

Água em repouso


Supor estrutura retangular, de largura b, curta e queda livre a jusante desprezível

Energia disponível E0


Número de FroudeNúmero de Froude

hr

gy

UF


2

2

2gA

Qy

dyd

dydE

Da equação de energia específica

dydA

gA

Q1

dydE

3

2

Bdy

A

Como dA = Bdy

3

2

gA

BQ1

dydE

Aplicando a equação da continuidade

3

2

gA

BAU1

dydE


h

2

gyU

1dydE

Ou ainda

2Fr1dydE

Fr é o número de Froude

Fazendo B = A/yh

Igualando a expressão anterior a zero

Fr = 1

Energia é mínima (regime crítico)

y < yc dE/dy < 0 1-Fr

2 < 0 Fr > 1y > yc dE/dy > 0 1-Fr

2 > 0 Fr < 1

Além disso:

yc

Ec


Fr

1 crítico

> 1 supercrítico< 1 subcrítico

Exercício: um canal retangular de base 5m tem as profundidades dadas em 1 e 2 e a vazão, determinar o regime de escoamento quanto à energia específica nestas seções

hr

gy

UF


Interpretações do Número Interpretações do Número de Froudede Froude


1) É a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais

2) Razão entre a energia cinética e a energia potencial

3) Razão entre a velocidade do escoamento e a velocidade de propagação das perturbações superficiais

hr

gy

UF


x y

z Volume elementar de um fluido = xyz em queda livre

O peso (força de gravidade)

zyxρg

força de inércia

vyvxρvtz

yxρtv

zyxρ

1) É a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais


ρgΔxΔyΔz

ρvΔxΔyΔv

gravidade de Forçainércia de Força

Δz gv vΔ

gravidade de Forçainércia de Força

l g

vΔz g

v vΔ 2Dimensionalmente

l dimensão característica do escoamento


Como o numerador envolve velocidade energia cinética

Como o denominador envolve profundidade energia potencial

Fr = 1 equilíbrio entre energias cinética e potencial

2) Razão entre a energia cinética e a energia potencial


Canal aberto com uma parede móvel na extremidade e líquido inicialmente em repouso

Deslocamento na parede

Velocidade da onda em relação ao líquido celeridade

VC se move com a onda

3) Razão entre U e a velocidade de propagação das perturbações superficiais


Aplicando as equações básicas sob as idealizações: - Escoamento permanente e incompressível

Da equação da continuidade Δyy

ΔycΔV

- Uniforme numa seção - sem efeitos viscosos e de tensão superficial - Variação hidrostática de pressão - Forças de corpo inexistentes


Da equação da quantidade de movimento

ΔVcΔy2y

Δy1g

Combinando as duas

y

Δy1

2y

Δy1gyc2

A distribuição hidrostática de pressão é válida em ondas de águas rasas y << y

gyc


Se o líquido se move com velocidade V. A celeridade é c e a velocidade que um observador num ponto fixo do solo percebe é

gyVVw

gyV

gyV

Fr < 1,0 (regime subcrítico)

Fr > 1,0 (regime supercrítico)

Celeridade absoluta da onda


subcrítico ondas podem se mover para montantesupercrítico ondas não podem se mover para montante

gyVVw


c c


Regime crítico e Regime crítico e controle hidráulicocontrole hidráulico


hgyU 1gy

UF

hr

Como visto anteriormente, o escoamento crítico ocorre quando

Fazendo yh = A/B e substituindo U por Q/A B

Ag

A

Q2

2

BA

gQ 32

Q2B = gA3Ou ainda

Tanto a área quanto a largura B são função de y e este deve ser igual a yc

Podemos obter analiticamente expressões para yc em seções com geometria conhecida


3c2 BygBQ

Para seções retangulares (A = By)

32

2

cgB

Qy

Por razões de ordem prática q = Q/B

32

c gq

y

Exemplo: Determine yc em um canal triangular, com taludes 1:1, transportando 14 m3/s


Exemplo: mostre que, para um canal retangular

cccc E32

you y23

E


Conceito de seção de Conceito de seção de controlecontrole


Condição crítica limite entre os regimes fluvial e torrencial

Assim, quando há mudança de regime, y tem que passar por yc

Há diversas situações onde isto ocorre:

mudança de declividade

Passagem subcrítico supercrítico

I < Ic

I > Ic

y = yc

Esc. junto à crista de vertedores


Passagem supercrítico subcrítico

I < Ic

I > Ic y = yc

canal com mudança de declividade

Saídas de comporta

Mudança de regime y passa por yc


Nas seções de transição y = yc

há uma relação unívocaRelação esta conhecidaSeção de controle: é a seção onde se conhece a relação y x Q

Existem outros tipos de controle ...

Seção de controle onde ocorre yc tipo crítico


Sn

ARQ

32

tipo canal y determinada pelas características de atrito ao longo do canal ocorrência de escoamento uniforme


Artificial associado uma situação na qual y é condicionada por uma ocorrência distinta do regime críticoExemplo: ocorrência associada ao nível de um

reservatório, um curso d’água, uma comporta, etc.


Controles de montante e Controles de montante e de jusantede jusante


É também de interesse prático a curva y x Q para E = cte = E0

2

2

0 2gAQ

yE y)(E2gAQ 022

y)(E2gAQ 0

Canal retangular de largura b e tomando a vazão por unidade de largura q

y)y(E2gq 0 Não há água

Água em repouso


A noção de controle hidráulico nos faz identificar quando ocorre controle de montante e de jusante



O que acontece se colocarmos uma comporta a jusante e liberarmos a água aos poucos?

O que acontece se colocarmos uma comporta a montante e liberarmos a água aos poucos?


Voltando ...

Escoamento subcrítico controle de jusante

Escoamento supercrítico controle de montante


Escoamento subcrítico controle de jusante, perturbações a jusante podem ser sentidas a montante

perturbação

Escoamento supercrítico controle de montante, pois as ondas não podem ir para montante


Exercício: Um canal retangular com largura de 8m transporta uma vazão de 40 m3/s. Determinar a yc e Uc


Escoamentos Escoamentos uniforme e uniforme e

gradualmente gradualmente variadovariado


Tipo de escoamento utilizado em projetos de canais

• Ponto de vista da energia Perda de carga devida ao escoamento turbulento é balanceada exatamente pelo decréscimo de energia potencial

• Ponto de vista das forças Força da gravidade é balanceada pela força de atrito nas paredes e no fundo do canal


O EU pode ocorrer em canais muito longos, retos e prismáticos


Equações básicasEquações básicas


Idealizações:1) Escoamento permanente e uniforme;2) Escoamento à profundidade constante (profundidade normal);3) Escoamento incompressível;4) Escoamento paralelo e à declividade

baixa5) Interação entre o fluido e a atmosfera

desprezível perímetro em contato com a atmosfera não vai ser incluída no perímetro molhado

Continuidade, quantidade demovimento e energia


222111 ρAVρAV 2211 AVAV

Como A1 = A2 21 VV

Continuidade


Quantidade de movimento

Escoamento paralelo distribuição de pressão hidrostática


Inclinação do canal pequena: ≈ 0 ≈ sen ≈ tg ≈ So

12x VVρQR

Resultante das forças em x

12xBxS VVρQFF

forças de superfície

forças de corpo

Da equação da continuidade

0FF xBxS

Quantidade de movimento


força de corpo peso componente Wsenforça de superfície força de atrito Ff

A força de pressão líquida é zero

0Wsenθ-Ff

WsenθFf

suppf AF τ

Área superficial de contato (paredes e fundo)

lPF pf τ


ΔH2gV

zγp

2gV

zγp 2

22

22

11

1

ΔH2gV

zy2gV

zy2

222

21

11

Para o escoamento permanente, incompressível e uniforme

o21 LSzzΔH •Perda de carga = desnível•As linhas: de energia, piezométrica e de fundo do canal paralelas

Energia


2gV2


Características do escoamento uniforme (EU)

•A profundidade, a área molhada, a velocidade, a rugosidade e a forma da seção transversal permanecem constantes;•A linha de energia, a superfície da água e o fundo do canal são paralelos


Equações de Equações de resistência: Chézy e resistência: Chézy e

de Manningde Manning


A força de resistência é dada por: lPF pf τ

Chézy (1769) Assumindo p proporcional à U2:

Ff = k l PV2, onde P é o perímetro molhado


Substituindo na equação da QM e sabendo que W=AL (Aárea molhada)

SRkγ

V h

21

onde C =

(/k)1/2

SRCV h

Resultados experimentais mostram que a dependência da inclinação (V ~ S1/2) é razoável, mas a dependência com o Rh não é adequada

Coeficiente de rugosidade


Equação de Manning (1889) descreveu melhor a relação citada

SRn1

V 2/3h S

nAR

Q3

2

No Sistema Internacional (SI) Coeficiente

de rugosidade


Assumindo w proporcional à U2:Ff = kLPU2, onde P é o perímetro molhado

Equação de Chézy (1769)

Substituindo na equação da QM e sabendo que W=AL (Aárea molhada)

RSkγ

U2

1

onde C = (/k)1/2

RSCU

Equação de Manning (1889)

SRn1

U 32

De natureza completamente empíricaNo Sistema Internacional (SI)Relação entre C e n no SI:

61

Rn1

C


Estimação do Estimação do coeficiente de coeficiente de

resistênciaresistência


Aspectos teóricos e Aspectos teóricos e práticospráticos


Os valores precisos de n são sempre difíceis de obter exceto para canais artificiais novos mas, normalmente, a estrutura da superfície dos canais é complexa e variável


Assim como fator de atrito (condutos forçados), o coeficiente n relaciona a tensão de atrito com as características da superfície em contato com o fluido

Existem modos para obter n em função do fator de atrito para um tubo equivalente


Da equação de Darcy-Weisbach

Equação da energia do EU

Substituindo D por 4Rh (lembrar que, para conduto circular, Rh = D/4)


C e n dependem de f depende de Re e de Mas é muito mais difícil determinar em canaisA partir de um valor de Re f constante

aplicação das equações em escoamentos HR

Por causa dessa dificuldade utilizamos valores médios de n


Procura-se um coeficiente constante que leve em conta os fatores que o influenciam•Rugosidade da superfície•Vegetação•Irregularidade do canal•Obstrução•Alinhamento do canal•Erosão e sedimentação•Cota e descarga

http://geografia7d2010.blogspot.com.br/2011/06/rios.html


Método do SCS, método Método do SCS, método de Cowan ou método da de Cowan ou método da

incrementaçãoincrementação


Parte-se de um valor básico de n

O valor básico é tabelado e serve para um canal reto, uniforme e liso depois são feitas correções no valor básico, considerando os fatores mencionados

Também chamado método de Cowann = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) n5

básico

Irregularidades: erosões, assoreamentos, depressões,...

Variações de seção transversal

Obstruções: matacões, raízes, troncos,...

Vegetação: densidade, altura,...

Grau de meandrização


Tabela de valores de nTabela de valores de n


Tabela publicada por Ven Te Chow em 1959. Possui uma relação extensa de valores, função do tipo de canal e das condições deste

Versões resumidas em todos os livros de hidráulica

As tabelas a seguir foram obtidas no livro Curso de Hidráulica, de Eurico Trindade Neves


Natureza das Paredes

Condições

Muito

boas

Boas Regulare

s

Más

Tubos de ferro fundido sem revestimento 0,012 0,013 0,014 0,015

Idem, com revestimento de alcatrão 0,011

0,012*

0,013* -

Tubos de ferro galvanizado 0,013 0,014 0,015 0,017

Tubos de bronze ou de vidro 0,009 0,010 0,011 0,013

Condutos de barro vitrificado, de esgotos 0,011

0,013*

0,015 0,017

Condutos de barro, de drenagem 0,011

0,012*

0,014* 0,017

Alvenaria de tijolos com argamassa de cimento;

condutos de esgotos, de tijolos

0,012 0,013 0,015* 0,017

Superfícies de cimento alisado 0,010 0,011 0,012 0,013

Superfícies de argamassa de cimento 0,011 0,012 0,013* 0,015

Tubos de concreto 0,012 0,013 0,015 0,016

Valores de n para Condutos Livres Fechados

* Valores aconselhados para projetos


Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto


Condições

Muito

boasBoas

Regulare

sMás

Condutos de aduelas de madeira 0,010 0,011 0,012 0,013

Calhas de pranchas de madeira

aplainada0,010

0,012*0,013 0,014

Idem, não aplainada 0,011

0,013*0,014 0,015

Idem, com pranchões 0,012

0,015*0,016 -

Canais com revestimento de

concreto0,012

0,014*0,016 0,018

Alvenaria de pedra argamassada 0,017 0,020 0,025 0,030

Alvenaria de pedra seca 0,025 0,033 0,033 0,035

Alvenaria de pedra aparelhada 0,013 0,014 0,015 0,017

Calhas metálicas lisas

(semicirculares)0,011 0,012 0,013 0,015

Idem corrugadas 0,0225 0,025 0,0275 0,030

Canais de terra, retilíneos e

uniformes0,017 0,020 0,0225* 0,025



Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto (continuação)


Condições

Muito boas Boas Regulares Más

Canais abertos em rocha, uniformes 0,025 0,030 0,033* 0,035

Idem, irregulares; ou de paredes de pedras 0,035 0,040 0,045 -

Canais dragados 0,025 0,0275* 0,030 0,033

Canais curvilíneos e lamosos 0,0225 0,025* 0,0275 0,030

Canais com leito pedregoso e vegetação nos

taludes0,025 0,030 0,035* 0,040

Canais com fundo de terra e taludes

empedrados0,028 0,030 0,033 0,035



Arroios e Rios

Condições

Muito

boasBoas

Regulare

sMás

(a) Limpos, retilíneos e uniformes 0,025 0,0275 0,030 0,033

(b) Idem a (a), porém com vegetação e pedras 0,030 0,033 0,035 0,040

(c) Com meandros, bancos e poços pouco profundos,

limpos0,035 0,040 0,045 0,050

(d) Idem a (c), águas baixas, declividades fracas 0,040 0,045 0,050 0,055

(e) Idem a (c), com vegetação e pedras 0,033 0,035 0,040 0,045

(f) Idem a (d), com pedras 0,045 0,050 0,055 0,060

(g) Com margens espraiadas, pouca vegetação 0,050 0,060 0,070 0,080

(h) Com margens espraiadas, muita vegetação 0,075 0,100 0,125 0,150

Valores de n para Condutos Livres Naturais Abertos (Arroios e Rios)


Outros métodosOutros métodos


Fotográfico comparar nosso trecho de rio com seções catalogadas (US Geological Survey)

Medição de velocidades a partir da distribuição de velocidades para o escoamento turbulento HR, fazendo-se duas medições: a 0,8D e a 0,2D onde D é a profundidade do fluxo

Empírico relaciona-se n com algum diâmetro do elemento de rugosidade, vindo da curva de distribuição granulométrica


Cálculos com o Cálculos com o escoamento escoamento

permanente e permanente e uniformeuniforme


Dois casos práticos:1)Verificação do funcionamento hidráulico2) Dimensionamento hidráulico

Caso 1 Qual a capacidade de condução de um canal de determinada forma, declividade e rugosidade, sabendo qual é a profundidade?

Caso 2 Quais as dimensões que deve ter o canal, de determinada forma, rugosidade e declividade para conduzir uma determinada vazão?

Qual a profundidade normal (yN ou y0)?


Manning (SI)

nSR

U3

2

Sn

ARQ

32

Condutância hidráulica ou fator de conduçãoDeterminação da profundidade normal por

tentativa e erro ou gráficos

Sn

ARQ

32

S

nQAR 3

2

Função de yN

constante


Supondo um canal trapezoidalA = (b + zy)yP = b + 2y (1+z2)1/2

PA

PA

AAR3

53

2

32

y

bz

1

S

nQ

z12yb

y2yb

32

2

35

35

Para resolver: adotam-se valores de yN, até igualar os ladosOu constrói-se um gráfico y x AR2/3 e localiza-se o ponto desejado que satisfaça o lado direito


Pode-se utilizar de gráficos adimensionais. Por exemplo, para um canal de seção trapezoidal:yN/D ou yN/b x AR2/3/D ou AR2/3/b

Métodos numéricos também podem ser usados (Newton, Bisecção,...)

As calculadoras científicas atuais podem também resolver este tipo de problema


Exercício: calcular yN de um canal trapezoidal: largura de fundo de 3m, declividade 0,0016, n = 0,013. Ele tem que ter a capacidade de transportar 7 m3/s. O talude é de 1,5:1

Valor da constante

2,275S

nQ

Em uma planilha, faz-se variar y

interpolando

yN = 0,793 m

y A(m2) P(m) Rh(m) AR2/3

0,750 3,09 5,70 0,542 2,0580,755 3,12 5,72 0,545 2,0820,760 3,15 5,74 0,548 2,1070,765 3,17 5,76 0,551 2,1320,770 3,20 5,78 0,554 2,1580,775 3,23 5,79 0,557 2,1830,780 3,25 5,81 0,560 2,2090,785 3,28 5,83 0,562 2,2340,790 3,31 5,85 0,565 2,2600,795 3,33 5,87 0,568 2,2860,800 3,36 5,88 0,571 2,3130,805 3,39 5,90 0,574 2,339


Seção circular

Existem duas profundidades de escoamento que fornecem a mesma vazão quando 0,929 < Q/Qmax < 1

Qmax não ocorre quando o tubo está repleto com fluido mas sim quando y = 0,938D (ou θ = 5,28 rad = 303º).


Canais de rugosidade Canais de rugosidade compostacomposta


Algumas vezes temos que estimar o valor de n equivalente ou representativo de uma seção, cuja rugosidade varia ao longo do perímetro

O que se faz então é dividir o perímetro em N partes, cada uma das quais com seu valor de n

Depois, calcula-se o n equivalente ne

Horton (1933) mais utilizadaEinstein e Banks (1950)U1 = U2 = ... = UM

Ponderação pelo perímetro molhado

32

N

1i

3/2ii

e P

nP

n


Descarga normal em Descarga normal em canais de seção compostacanais de seção composta


Quando o escoamento atinge a planície de inundação, P aumenta muito rapidamente

32

N

1i

3/2ii

e P

nP

n

superestima n

Alternativas:1) Ponderar n pela área de cada

subseção;2) Calcular a condutância hidráulica

em cada subseção e depois somá-las


Ponderação pela área

A

Ann

N

1iii

e

Soma de condutâncias hidráulicas

SKQ

N

1iiKK i

2/3ii

i n

RAK

1

2/311

1 n

RAK

2

2/322

2 n

RAK


Seções de perímetro Seções de perímetro molhado mínimo e molhado mínimo e

vazão máximavazão máxima


y

b

O que há em comum nas 3 seções retangulares com as dimensões abaixo? E o que há de diferente?

b = 2 mY = 3 m

b = 3 mY = 2 m

b = 2,3 mY = 2,61 m

Sn

ARQ

32


Dimensionamento de canais simples e rápido do ponto de vista hidráulico

Mas envolve outros fatores técnicos, construtivos e econômicosPresença de avenidas construídas ou projetadasLimitação de profundidade (lençol freático, etc.)...

Procuram eficiência hidráulica e do ponto de vista econômico (superfície de revestimento é mínima)

Sempre que possível usar seções de perímetros molhados mínimos ou vazão máxima ou de eficiência máxima


A área e o perímetro molhados são:A = (b + zy)yP = b + 2y (1+z2)1/2

y

bz

1Utilizando a razão de aspecto m = b/y

2zy)y(mA

Trapézio de perímetro molhado mínimo

Derivada de P em relação a m e igualando a zero

zz12m 2

substituindo na fórmula de P

Isolando y

yz12mP 2

zm

Az12mP 2


Ou ainda zz12yb 2

Para um canal retangular 2yb

y

yy

b


Resultados não desejados que podem ocorrer:

1) Seções profundas custos de escavação maiores, de rebaixamento de NA, não compensando a economia no revestimento

2) velocidades médias incompatíveis com o revestimento

3) Seções com b << y dificuldades construtivas


Algumas Algumas recomendações de recomendações de

projetoprojeto


1) O projetista deve prever o “envelhecimento” do canal nprojeto = 10 a 15% maior que ntabelado

2) Deixar uma folga de 20 a 30% acima do nível máximo de projeto, sobretudo para canais fechados

3) Preferir o método de soma de condutâncias hidráulicas para cálculo de seções compostas

SKQ

N

1iiKK

i

2/3ii

i n

RAK


As subseções são divididas por linhas verticais imaginárias, não computadas para o cálculo de Pi

1

2/311

1 n

RAK

2

2/322

2 n

RAK

4) A velocidade média num intervalo que evite deposições e erosões (tabela a seguir)


5) Observar a inclinação máxima dos taludes


Escoamento Escoamento permanente e permanente e gradualmente gradualmente

variadovariado


Caracterização do Caracterização do EGVEGV


Escoamento permanente no qual as características variam no espaço escoamento variado

O contorno influencia mais que o atrito com as paredes

O atrito influencia mais

Mudanças graduais escoamento gradualmente variado (EGV)Mudanças bruscas bruscamente variado


EGV declividade de fundo e da superfície livre não são mais as mesmasDa mesma forma gradiente energético não é mais paralelo ao gradiente do canal

Ocorrência de EGV:- trechos iniciais e finais de canais- transições verticais e horizontais graduais- canais com declividade variávelInteresse do engenheiro saber como se comporta linha d’água


Declividade variável

trecho final de canal

Natureza do EGV mesma do uniforme:Força motriz gravidade;Força resistente atrito ao longo do canal


Quando há um EGV em regime subcrítico, em trechos a montante de um controle artificial curva de remanso

Em uma determinada seção:y profundidade da águayN profundidade normaly – yN remanso


Idealizações

•Canal de pequena declividade;•Distribuição hidrostática de pressão (linhas de corrente aproximadamente paralelas);• perda de carga equação de resistência do escoamento uniforme• n independe de y e é constante ao longo do canal• A distribuição de velocidade é fixa cte

Sn

ARQ

2/3

2

2/3f AR

QnS

Sf (gradiente energético) varia de seção para seção


Equação diferencial Equação diferencial do EGVdo EGV


Das idealizações e da equação da energiaH = y + V2/2g + z ou H = E + z, onde E é a energia específica

Tomando a derivada de H em relação a x (exprime a variação espacial)

dxdz

2gV

dxd

dx

dy

dxdH 2

O termo d(V2/2g)/dx pode ser decomposto:V = Q/A,A = f(y) e y = g(x) A = f(g(x))


Isto resulta em:

onde B largura da superfície livre

dxdy

AB

gAQ

-2gV

dxd

2

22

Bdy

A

dA=Bdyyh = A/B

Assim

dx

dyF

dx

dy

ygA

Q-

2gV

dxd 2

rh

2

22

3

22r

gA

BQF


Voltando à equação original

-Sf

- Fr2dy/dx

-S0dxdz

2gV

dxd

dx

dy

dxdH 2

02rf SF1

dx

dyS

Equação diferencial do escoamento gradualmente variado (EDEGV)

2r

f0

F1

SS

dxdy


Substituindo o termo de Sf pela equação de Manning e o termo de Fr pela sua equação

2

32f

AR

nQS

3

22r

gA

BQF

3

2

4/32

22

0

gABQ

1

RAnQ

S

dxdy


Análise das linhas Análise das linhas d’águad’água


3

2

4/32

22

0

gA

BQ1

RA

nQS

dx

dyExpressão utilizada para estudos qualitativos da linha d’água

Vamos criar duas funções f1 e f2, tal que

2

10 f1

f1S

dx

dy

0

4/32

22

1SRA

nQf

3

2

2gA

BQf


f1 e f2 são funções de y decrescentes análise da linha d’água análise do numerador e do denominador da equação diferencial

2

10 f1

f1S

dx

dy

04/32

22

1SRA

nQf

3

2

2gA

BQf


Análise do numerador S0, Q e n = cte

Escoamento uniforme

04/32

22

1SRA

nQf

2

10 f1

f1S

dx

dy

0

0dx

dy


Regime crítico

2

10 f1

f1S

dx

dy

0

3

2

2gA

BQf

Regime supercrítico

Reg

ime

sub

crít

ico

Análise do denominador idem


Análise da declividade S0 variável

Para cada S0, há uma yN

Se S0 for igual a Sc yN = yc

yN

- declividade fraca ou moderada-forte ou severa-crítica

A análise de S0 3 tipos de canais:


fraca

nula

forte


2

10 f1

f1S

dx

dy

Análise da linha d’água, utilizamos o que foi dito antes da seguinte forma:

f1 > 1 e f2 > 1 dy/dx>0 y cresce

f1 < 1 e f2 < 1 dy/dx>0 idem

f1 > 1 e f2 < 1 dy/dx<0

y decresce

f1 < 1 e f2 > 1 dy/dx<0

y decresce


Classificação dos Classificação dos perfis do EGVperfis do EGV


Os perfis de linha d’água dependem:1)da relação entre a declividade de fundo e a declividade crítica2) da relação entre y, yN e yc

Os perfis de linha d’água


Perfis M (Mild Slope)Perfis M (Mild Slope)Declividade fracaDeclividade fraca


2

10 f1

f1S

dx

dy

região 1

região 2

região 3


Na região 1y yN dy/dx 0y ∞ dy/dx S0

2

10 f1

f1S

dx

dy

Na região 2y yN dy/dx 0y yc dy/dx ∞

Na região 3y 0 dy/dx limite finitoy yc dy/dx ∞


Na região 2: Perto de yc, as Linhas de Corrente (LC) não são mais retas e paralelas, contrariando as idealizações linha tracejada

2

10 f1

f1S

dx

dy


Na região 3: poderá haver ressalto com mudança brusca da curva M3 para o escoamento uniforme ou para a curva M1

2

10 f1

f1S

dx

dy


Ocorrências dos perfis MM1 montante de uma barragem

M2 montante de uma queda brusca


Ocorrências dos perfis MM3 mudanças de inclinação, saídas de

comporta com abertura inferior a yc


Perfis S (Steep Slope)Perfis S (Steep Slope)Declividade severa ou Declividade severa ou

forteforte


2

10 f1

f1S

dx

dy

região 1

região 2

região 3


Na região 1y yc dy/dx ∞y ∞ dy/dx S0

2

10 f1

f1S

dx

dy

Na região 2y yc dy/dx ∞y yN dy/dx 0

Na região 3y yN dy/dx 0y 0 dy/dx limite finito


Ocorrências dos perfis SS1 montante de uma barragem,

estreitamentos, mudanças de S0


Ocorrências dos perfis SS2 canal de forte S0, alimentado por reservatório, mudança de S0

S3 jusante de barragens e comportas


Perfis C (Critical Slope)Perfis C (Critical Slope)Declividade críticaDeclividade crítica

Perfis H (Horizontal)Perfis H (Horizontal)Perfis A (Adverso)Perfis A (Adverso)


Perfis C: caso limite dos perfis S – S0 diminuiPerfis A e H: casos limites dos perfis M quando S0 tende para 0 ou para um valor negativo, respectivamente

S

C

MH

A


2

10 f1

f1S

dx

dy

região 3

região 1


As curvas de remanso são o caso limite das curvas M, quando S0 0H2 e H3 ocorrem em situações análogas à curvas M2 e M3

2

10 f1

f1S

dx

dy


Neste caso, A2 e A3 são similares a H2 e H3


Regras geraisRegras gerais


1. Em um canal uniforme, um observador se deslocando no sentido da corrente vê a altura d’água diminuir, desde que a linha d’água esteja entre yc e yN.

Se a linha d’água estiver fora da área entre yc

e yN observador vê a altura d’água crescer


yc

yN

interior exterior


2.Quando a linha d’água se aproxima de yN, ela o faz assintoticamente


3.Quando a linha d’água se aproxima de yc, ela tende a cruzar esta profundidade em um grande mas finito ângulo


4. aplicação do conceito de seção de controle: regime subcrítico controle a jusante (M1 em barragem, M2 em queda brusca) regime supercrítico controle a montante (M3 em comporta de fundo)


5. curvas próximas

S

C

MH

A


Esboçar a linha d’água



resposta


yN

ycEsboçar a linha

d’água

S0 = 0 S0 > Sc S

0 < S

c

H3

H2

S2

M3

R

R

regimes de escoamento

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