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ESCOAMENTO POTENCIAL INCOMPRESSÍVEL

• Escoamentos Potenciais referem-se a uma classe de escoamentos que o campo de velocidades é determinado pelo gradiente da função potencial, ϕ:

zW e

yV ;

xU V

∂ϕ∂

=∂ϕ∂

=∂ϕ∂

=→ϕ∇=r

• Para o campo de velocidades satisfazer a eq. da massa a função potencial deve satisfazer uma equação de Laplace:

00V 2 =ϕ∇=ϕ∇⋅∇→=⋅∇r

• Por outro lado, se o campo de velocidades é gerado por um potencial, então a vorticidade ω do fluido é nula:

0V ≡ϕ∇×∇=ω→×∇=ωrrr


CONDIÇÕES DE CONTORNO

• Observe que V não é resolvido, mas sim seu potencial, ϕ.• Como toda equação elíptica, é necessário informação em todo o contorno.

• As condições de contorno podem ser de duas espécies: 1. Dirichlet ou valor de ϕ especificado no contorno.2. Neuman ou valor do grad ϕ, normal a fronteira, especificado.

Y

X

ϕou

dϕ/

dxes

peci

ficad

os ϕou dϕ/dx

especificados

ϕ ou dϕ/dy especificados

ϕ ou dϕ/dy especificados

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CONSEQUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO

• Considere um corpo sólido. Neste caso somente pode-se especificar a velocidade normal ao corpo.

• Se o sólido for impermeável ou não poroso, então, dV/dn = 0.• Não se pode impor nenhuma condição para a velocidade tangencial ao corpo. Consequentemente o escoamento potencial não satisfaz a condição de aderência junto a uma superfície sólida.

0n =∂ϕ∂nr


CONSEQUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO

• Para um fluido Newtoniano, o tensor da tensão, T, é expresso pormeio do tensor das deformações: T = 2µS

• O tensor de deformação do escoamento potencial não é nulo, isto é,

[ ] 0 V V21S T ≠∇+∇=

rr

• Apesar de S ≠ 0, T = 0 p/ escoamento potencial. • De fato se diz que simula um escoamento com ausência de viscosidade. Isto se deve ao fato de não ser possível especificar uma velocidade paralela ao contorno.

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EQ. N.S -> EULER -> POTENCIAL -> BERNOULLI

• A eq. de Navier Stokes,

• sem os termos viscosos se reduz à Eq. de Euler:

• Com o auxílio da identidade, a Eq. de Euler pode ser re-escrita:

• Para o escoamento potencial, ω =0, logo a eq. Euler se reduz para Bernouli (regime permanente)

gVP1VVtV 2 rrsrr

+∇ν+∇ρ

−=∇+∂∂

ω×−

∇=∇

rrsrV

2VVV

2

gP1VVtV rsrr

+∇ρ

−=∇+∂∂

ω×=

+

ρ+∇+

∂∂ rrr

VgzP2

VtV 2

constgzP2

Vt

0gzP2

Vt

22=+

ρ++

∂ϕ∂

→=

+

ρ++

∂ϕ∂

∇


CAMPO DE PRESSÃO X BERNOULLI

• Uma vez resolvido o campo potencial ϕ, pode-se determinar o campo de velocidades fazendo-se o gradiente de ϕ,

e também o campo de pressões empregando-se Bernoulli,

onde V2 representa o produto escalar

zW e

yV ;

xU V

∂ϕ∂

=∂ϕ∂

=∂ϕ∂

=→ϕ∇=r

constgzP2

V 2=+

ρ+

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EXISTE ESCOAMENTO POTENCIAL?

• Sim. Normalmente escoamentos externos, em regiões afastadas da parede onde a vorticidade não se difundiu das paredes par o fluido. Quando estas condições prevalecem, o modelo potencial faz uma boa representação do escoamento.

• Aplicações aeronáuticas: asas e fuselagens são frequentemente modeladas por meio de escoamento potencial para se obter a distribuição de pressão.

• Escoamentos com fortes transientes onde os termos viscosos são muito menores que os transientes: impacto de corpos em um líquido (splashes), corte de metais por jato de água, ...


COMPROVAÇÃO DA EXISTÊNCIA ESC. POTENCIAL

Região sem vorticidade, escoamento potencial.

Região com vorticidade, efeitos viscosos importantes.

Zoom

Camada Limite

Escoamento Potencial

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FUNÇÕES POTENCIAIS SIMPLES

• Três funções potenciais, ϕ(x,y) cujos gradientes podem ser associados aos tipos de escoamentos listados abaixo.

• Note que ∇2ϕ = 0 é automaticamente satisfeito pela escolha das funções abaixo. Não é necessário impor c.c.. Elas também são conhecidas por ‘Kernel’ de Laplace.

( ) yVxUy,x ⋅+⋅=ϕ ( ) LogR2my,xπ

=ϕ ( ) θπ

Γ=ϕ

2y,x

y

x

y

x

y

x

ESCOAMENTO UNIFORME

FONTE/SORVEDOUROintensidade m

VÓRTICE LIVREintensidade Γ


ESCOAMENTO POTENCIAL NO PHOENICS

• Escoamento potencial no PHOENICS pode ser resolvido por duas maneiras:

- Desativando os termos convectivos e de fonte e resolvendo a equação do potencial. Os campos de velocidade são deduzidos a partir da subrotina GXPOTV chamada pelo comando POTVEL = T. O mesmo se aplica para escoamentos compressíveis por meio da subrotina GXPOTC.

- Por meio da analogia entre escoamentos de baixo Reynolds e o potencial, também conhecidos como Hele Shaw Flows. Neste caso resolve-se a equação de Darcy e se obtêm os campos de velocidade e pressão simultâneamente.

Veja na ´Encyclopeadia´ Potential Flow.

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WORKSHOP - ESCOAMENTO POTENCIAL

• Nestes workshops se trabalhará com a primeira metodologia para resolver escoamento potencial. As atividades desenvolvidas serão:

•WKSH#1 - Criar a variável POT, ajustar o Slab Wise solver para resolver somente os termos difusivos. Criar as condições de contorno para a variável POT.

•WKSH#2 – repetir WKSHP#1 porém utilizar o solver ´whole field´. Observar a taxa de convergência

• WKSH#3 – Obter o campo de velocidades com POTVEL=T, introduzir inclinação no objeto e observar as mudanças.

•WKSH#4 – introduzir porosidades


WKSHP#1 - POTENCIAL

• No VR faça uma malha uniforme NZ=NY=40 e NX=1. O tamanho do domínio é de 1.0m x 1.0m x 1.0m (default).

• Introduza um ´blockage´ CUBE 14 de dimensões: 1.0, 0.20, 0.03 na posição: 0.0, 0.4, 0.5. O objeto não está submetido a rotação, (0,0,0).

• Em OUTPUT coloque o monitor de convergência para 1,16,20

• Dê um nome para seu q1: wksh-pot(1) e salve ´working file´ .

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WKSHP#1 – POTENCIAL (cont)Abra arquivo q1 e digite o texto em itálico:GRUPO 7 –> NAME(150) = POT;SOLVE(POT)* cria variável POT no índice 150 e aplica o solver em POT*GRUPO 8 –> TERMS(POT,N,N,Y,N,Y,N)* habilita somente os termos difusivos do solver* GRUPO 9 –> RHO1=1.0; ENUL=1.0(* faz a densidade e viscosidade serem iguais a 1*GRUPO 13 -> PATCH( UPSTRM, LOW, 1, 1, 1, 40, 1, 1, 1, 1)

COVAL( UPSTRM, POT, FIXFLU, 4.0)*c.c. face west, estabelece que a velocidade U1 na face é uniforme = 4.0*

PATCH( DWSTRM, HIGH, 1, 1, 1, 40, 40, 40, 1, 1)COVAL( DWSTRM, POT, FIXVAL, 0.0)

*c.c. face east, estabelece que POT é constante e igual a 0*GRUPO 15 -> LSWEEP = 50; RESFAC = 1.0E-01 *solicita 50 iterações e faz RESFAC =0.1 *ATENÇÃO: 1) SALVE Q1; 2)VR ->FILE -> RELOAD WORKING FILES; 3) RUN!


WKSHP#1 – POTENCIAL (cont)

• Após 50 iterações o campo de ϕ ainda não está convergido.

• Os resíduos não diminuíram o suficiente.

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WKSHP#2 - POTENCIAL

Abra arquivo q1 e digite o texto em itálico:

GRUPO 7 –> SOLUTN(POT, Y,Y,Y,N,N,Y)*Habilita o solver ´whole field´ para POT*

* Y in SOLUTN argument list denotes:* 1-stored 2-solved 3-whole-field* 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging

• Ele se aplica pois o problema não possui acoplamentos não lineares, a informação do contorno é transmitida a todos os pontos do domínio durante cada iteração

ATENÇÃO: 1) SALVE Q1; 2)VR ->FILE -> RELOAD WORKING FILES; 3) RUN!



• 7 SWEEPS são suficientes! O mesmo efeito seria obtido com o solver slab-wise se o plano fosse XY.

•Contornos de potencial constante.

• Na face LOW do domínio, ϕ = 0 conforme estabelecido na c.c.

• Observe que no bloqueio não há variação normal de ϕ, isto é, dϕ/dn = 0 então Vnormal = 0.

• Se ϕLOW = 4, ϕHIGH = 0 e ZWLAST = 1.0, então aWwest = (4-0)/1 = 4.0 conforme estabelecido na c.c.

y

x

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WKSHP#3 – POTENCIAL(cont)

Abra arquivo q1 e digite o texto em itálico:GRUPO 7 –> STORE(V1,W1)* Solicita armazenamento de V1 e W1, elas serão calculadas a partir Gradϕ*.GRUPO 19 –> POTVEL = T* comando lógico que ativa a subrotina GXPOTV no GROUND que calcula as velocidades V1 e W1 a partir do gradiente de ϕ:

W1 = dϕ/dzV1 = dϕ/dy *




• Velocidade W1.

• Bloqueio é simétrico em Y, seu campo de velocidades também é.

• Regiões de estagnação estão localizadas nas faces LOW e HIGH do bloqueio.

• As regiões de máx. velocidade estão nas faces north e south do bloqueio

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WKSH#4 - POTENCIAL

• Uso de porosidade para fazer o efeito de um bloqueio.• No PHOENICS há dois tipos de porosidades: de ÁREA ou VOLUME.

• A Porosidade é um multiplicador da ÁREA ou VOLUME da grade• Porosidade de ÁREA: EPOR, NPOR, HPOR • Porosidade de VOLUME: VPOR

( ) ( ) 0Az

Az

HP

a

hh

hLP

a

ll

l

HL

=ϕ−ϕβδΓ

+ϕ−ϕδΓ

43421321 L P H

β = 0

• Se β = 0 então aH = 0 logo o fluxo na face h = 0 também é. Isto significa que dϕ/dz na face h é zero, ou seja a velocidade normal a parede é nula como deveria ser!


WKSH#4 – POTENCIAL (cont)

• Carregue o caso wksp-pot(3) no VR

• Mude o nome do q1 para: wksp-pot(4)

• Delete o bloqueio, CUBE 14

• Salve ´working file´

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WKSH#4 – POTENCIAL (cont)Abra arquivo q1 e digite o texto em itálico:GRUPO 7 –> STORE(HPOR)•Faz armazenamento HPOR que terá seu valor modificado*

GRUPO 11 -> PATCH( PL1, INIVAL, 1, 1, 16, 25, 20, 20, 1, 1)INIT( PL1, HPOR, 0, -1.0)INIADD = T

*PATCH especifica a região IX,IY,IZ,ISTEP onde vai ser atribuído o valor inicial para HPOR.

*INIT faz HPOR = -1.0 na região especificada pelo PATCH**INIADD = T diz que as especificações são aditivas. Por default HPOR = 1 para todo campo, fazendo HPOR = -1 na região resultará em HPOR nulo.

*Se INIADD = F poderia fazer HPOR = 0 diretamente caso este fosse o último comando especificando alguma coisa com HPOR.



WKSH#4 – POTENCIAL (cont)

•Velocidade W1.

• Bloqueio por meio da porosidade HPOR resultou numa velocidade W1 nula na região onde ele existe.

• Diferenças entre wksh#3 ocorrem pq. Trata-se de um bloco .

• Basta bloquear com porososidade o mesmo n. de volumes do bloco se obtêm o resultados iguais.

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ATIVIDADES EXTRAS

Existem muitas outras formas interessantes de se explorar os casos apresentados que por questões de tempo não foram possíveis de se trabalhar.

Outros casos interessantes são:

• Introduzir rotação no bloco e explorar o PARSOL

• Introduzir novas formas da biblioteca de formas do VR

• Fazer uma grade 3D

• Explorar situações com NPOR e EPOR

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