escoamento multifasico

8/3/2019 Escoamento Multifasico

1/90

Universidade Federal de Santa Catarina

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Mecanica

Estudo do Escoamento

Multifasico em Medidores de

Vazao do tipo Pressao

Diferencial

Proposta de Tese

por

Emilio Ernesto Paladino

Orientador: Prof. Clovis Raimundo Maliska, PhD

Co - Orientador: Prof. Julio Cesar Passos, Dr

Florianopolis, Dezembro de 2001


2/90

Conteudo

1 Introducao 1

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Revisao Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Modelagem de Escoamentos Multifasicos . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Sistemas de medicao de vazao em escoamentos multifasicos . . . . . 10

2 Formulacao do Problema 14

2.1 Regimes de Escoamentos Multifasicos em Dutos . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Regimes de Escoamento em Dutos Verticais . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Regimes de Escoamento em Dutos Horizontais . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Equacionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Modelos Matematicos 28

3.1 Modelagem de Escoamentos Multifasicos (Estado-da-Arte) . . . . . . . . . 28

3.1.1 Modelo de Varios Fluidos (Multi-Fluid model) . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2 Modelo Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.3 Modelo de Varios Campos (Multi-Field model) . . . . . . . . . . . . 34

3.1.4 Modelo de Tres Campos (Three-Field model) . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.5 Forcas de Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Modelo Utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 Algumas Consideracoes sobre a Turbulencia em Escoamentos Mul-

tifasicos Dispersos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.2 O pacote CFX4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

i


3/90

4 Proposta de Trabalho 53

4.1 Sistemas de medicao de vazao para escoamentos multifasicos . . . . . . . . 53

4.1.1 Sistemas baseados em separacao de fases . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.2 Medidores Multifasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Estudo Numerico de Escoamentos Multifasicos em Constricoes . . . . . . . 60

4.2.1 Efeitos da Bi - dimensionalidade do Escoamento . . . . . . . . . . . 61

4.2.2 Estudo de Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Estudo Experimental de Escoamentos Multifasicos em Constricoes . . . . . 65

4.3.1 Visualizacao e Estudo Qualitativo do Escoamento . . . . . . . . . . 65

4.3.2 Medicao de Pressao Diferencial em Constricoes . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Infra-estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Contribuicoes e Conclusoes 74

ii


4/90

Lista de Figuras

2.1 Regimes de escoamento em dutos verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Regimes de escoamento em dutos horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Regimes de escoamento para sistemas oleo - agua . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Passos para a obtencao das equacoes promediadas (Enwald et al. (1996)) . 23

2.5 Volume de controle generico contendo dois fluidos inmiscveis com interface

movel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Volumes de Controle para a promediacao das equacoes de conservacao . . . 25

3.1 Modelo detalhado para escoamento pistonado (Podowski (1999)) . . . . . . 30

3.2 Modelos para escoamentos multifasicos dispersos . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Origem da transferencia de quantidade de movimento interfacial . . . . . . 32

3.4 Exemplo de diferentes estruturas geometricas para o modelo de varios cam-

pos (Podowski (1999)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Passagem de uma esfera solida atraves de um plano material . . . . . . . . 36

3.6 Campos de velocidades considerados no modelo de tres campos . . . . . . . 37

3.7 Escalas de comprimento dos gradientes de velocidade local e promediada . 45

4.1 Esquema de um sistema de medicao com separador de fases (Ribero (1996)) 55

4.2 Sistema de medicao de vazao para escoamentos multifasicos baseados em

diferentes sensores (Mehdizadeh & Farchy (1995)) . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Bancada de testes experimental para escoamentos agua - ar . . . . . . . . . 66

4.4 Detalhe da seccao de testes de constricoes da bancada experimental . . . . 68

4.5 Evolucao das velocidade das fases liquida e gasosa para g = 10% e g = 40% 70

4.6 Perfis transversais de velocidade na sada contracao para g = 40% . . . . 71

iii


5/90

4.7 Evolucao da pressao para g = 10% e g = 40% . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.8 Distribuicoes de fracao de vazio e modulo do vetor velocidade . . . . . . . 73

iv


6/90

Lista de Smbolos

Simbolos

NP Numero de fases total

S Termo fonte de

Xi Funcao indicadora de fase

Escalar generico

mij Vazao de massa transferida da fase i para a fase j

Dissipacao de energia cinetica turbulenta

Energia cinetica turbulenta

Di Tensor deformacao da fase i

J Fluxo difusivo de

MI Termo de transferencia interfacial

Ti Tensor tensao da fase i

U Vetor velocidade

VI Velocidade da interface

Vetor Vorticidade

f Forca de campo

v


7/90

i Viscosidade da fase i

i Densidade da fase i

p Pressao

ri Fracao volumetrica da fase i

Subscritos

I Relativo a interface

i Relativo a fase i (Quando aparecem ambos indica fase dispersa)

j Relativo a fase j (Quando aparecem ambos indica fase continua)

Superescritos

m Relativo a mistura (Modelo Homogeneo)

Indica flutuacao sobre valor medio

T Indica transposto

Turb Indica turbulento

vi


8/90

Resumo

Medidores de vazao baseados em pressao diferencial sao comumente utilizados em

sistemas de transporte de petroleo e gas natural. A precisao destes sistemas e de fun-

damental importancia em aplicacoes como gerenciamento de reservatorios, sistemas de

deteccao de vazamentos, controle de processos de producao e medicao fiscal. Quando

estes sistemas de medicao de vazao sao utilizados em escoamentos monofasicos, tanto a

estrutura do escoamento quanto as relacoes entre pressao e vazao sao conhecidas, porem

em escoamentos multifasicos, estas relacoes sao mais complexas devido a aparicao de

novos parametros de escoamento como velocidades relativas, fracao de vazio, interacao

interfacial, etc.. Este trabalho propoe um estudo teorico e experimental de escoamen-

tos multifasicos dispersos em medidores de vazao baseados em pressao diferencial, como

placas orifcio e tubos Venturi. Para o estudo teorico, se propoe a utilizacao do mo-

delo de varios fludos cuja formulacao e baseada num enfoque Euleriano - Euleriano do

escoamento da mistura bifasica. Algumas modificacoes dos modelos comumente encontra-

dos na literatura sao propostas, principalmente para o termo de transferencia interfacial

cuja correta modelagem e de grande relevancia na capacidade preditiva do modelo de

varios fludos. Ainda, sao propostos alguns estudos de caso de forma a determinar a de-

pendencia da pressao diferencial com alguns parametros de escoamento como fracao de

vazio e velocidade relativa entre fases. Dentro da proposta experimental, se preve um

estudo qualitativo a partir da visualizacao do escoamento de agua - ar em constricoes e a

obtencao de alguns valores de pressao diferencial em funcao da vazao volumetrica e fracao

de vazio para serem comparados com resultados numericos.

vii


9/90

Abstract

Differential pressure based flow meters are commonly used in petroleum and natural

gas transport systems. The accuracy of these systems is mainly required in applications

like reservoir management, leak detection, production process control and fiscal metering.For one phase flows, the flow structure and the relation between differential pressure - flow

rate are widely knew, but for the multiphase case these relations became more complex

due to new flow parameters like relative velocity between phases (slip velocity), void

fraction, interphase interaction, etc.. The aim of this work is to study theoretically and

experimentally the characteristics of the dispersed multiphase flow in differential pressure

flow meters such as Venturi meters and orifice plates. For the theoretical approach, the

Multi-fluid model, based on an Eulerian - Eulerian view of the multi-phase mixture, will

be used. Some modifications of the common models are proposed, mainly focused on the

interfacial momentum transport term which correct modelling is of great relevance in the

predictive capacity of the Multi-fluid model. Still, there are proposed some case studies in

order to evaluate the the dependency of differential pressure with some flow parameters

like void fraction and slip velocity. In the experimental approach, it is proposed an

qualitative study by visualizing the flow of water air in constrictions and there will be

measured values of differential pressure for different flow rates and void fraction in order

to compare them with numerical results.

viii


10/90

Captulo 1

Introducao

Escoamentos multifasicos sao encontrados em diversas areas tecnologicas. Entre ou-

tros exemplos podemos citar as industrias qumica, alimentcia, sistemas de conversao de

energia, processamento de materiais e industria do petroleo e gas, sendo esta ultima o

foco principal deste trabalho.

Em sistemas de transporte de petroleo e gas podem ser encontrados escoamentos

multifasicos em diferentes regimes dependendo dos parametros de escoamento, como ve-

locidade e fracoes volumetricas. Nestes sistemas e de fundamental importancia a medicao

precisa da vazao volumetrica sendo transportada, principalmente quando as seguintes

questoes estrategicas da industria do petroleo, sao consideradas:

Gerenciamento de reservatorios

Transferencia de proprietario do produto transportado

Sistemas de deteccao de vazamentos (SDV)

Fiscalizacao

O oleo ou gas transportado pode mudar de proprietario sucessivas vezes entre a sada

do poco e o processamento (refino) e e de interesse para cada proprietario conhecer com

a maior precisao possvel a quantidade transferida. Ainda, e importante para a empresa

produtora conhecer com exactidao a produtividade dos seu pocos para decidir, por exem-

plo, se um determinado processo de extracao continua sendo rentavel. Tambem, no caso

1


11/90

CAPITULO 1. INTRODUCAO 2

de um sistema de recuperacao secundaria por injecao de agua, e de grande relevancia a

medicao, nao apenas da vazao volumetrica total, mas tambem das proporcoes de agua,

oleo e gas sendo extradas do reservatorio.Como em todo sistema de medicao, e de interesse comum o constante melhoramento

na precisao dos valores das variaveis que se desejam medir, porem em alguns casos como

Sistemas de deteccao de Vazamentos e Fiscalizacao, a precisao e um fator de fundamental

relevancia. No caso de Sistemas de Deteccao de Vazamentos, o tempo de resposta do

sistema, perante um vazamento, depende diretamente da precisao na medicao de vazao e a

quantidade vazada e proporcional a este tempo de resposta. Portanto, quanto mais precisa

for a medicao da vazao, mais facilmente o vazamento sera detectado. Por outro lado, em

medicao fiscal, os requerimentos na precisao da medicao, dependem normalmente das

exigencias do organismo fiscalizador ate 1 % (Boyer & Lemonnier (1996)). Atualmente,

para escoamentos monofasicos esta precisao e alcancavel com os medidores comumente

utilizados (Tubo Venturi, placa de orifcio, Coriolis, etc.), porem, em sistemas multifasicos,

como os encontrados no transporte de petroleo e gas, o estado-da-arte da tecnologia de

medidores de vazao nao se encontra em um estagio de desenvolvimento tal que permita

alcancar a precisao adequada para as diversas condicoes de escoamento.

Segundo Boyer & Lemonnier (1996) e Ribero (1996) as alternativas existentes para

medicao de vazao em escoamentos multifasicos podem ser enquadradas dentro destes tres

conceitos fundamentais:

1. Realizar as medicoes sem perturbacao do escoamento, independentemente do regime

em que este se encontre.

2. Homogeneizar a mistura (gerar um escoamento em regime disperso) e medir a vazao

da mistura bifasica.

3. Separar as fases e medir a vazao de cada fase.

Deve-se deixar claro que a perturbacao do escoamento, citada no ponto 1, nao se

refere ao metodo de medicao (intrusivo ou nao-intrusivo), mas a perturbacao do regime de

escoamento1, ou seja a homogeneizacao do escoamento na seccao do duto. Para a primeira

1Ver captulo 2


12/90


alternativa se requereriam equipamentos extremamente sofisticados (de difcil utilizacao

em campo) e ainda assim os valores medidos nao teriam a precisao adequada. Por outro

lado, a alternativa de separar as fases tambem nao seria adequada para medicao em campo

(oleodutos ou dutos de extracao em aguas profundas), ja que os equipamentos necessarios

para a separacao de fases sao complexos e de alto custo de construcao e manutencao.

Alem, disso, sao de grande peso e volume tornando-os inviaveis para aplicacoes off-shore.

Assim, a segunda opcao aparece como a mais viavel para sistemas de medicao de vazao

em exploracao e transporte de petroleo e gas. Nestes casos, e de fundamental importancia

o conhecimento detalhado dos fenomenos fluido - dinamicos que acontecem no dispositivo

de medicao. No capitulo 4 sera abordado em maior detalhe o estado-da-arte dos sistemas

de medicao de vazao para escoamentos multifasicos.

1.1 Motivacao

O autor viu-se inicialmente motivado a trabalhar em modelagem de escoamentos mul-

tifasicos em dutos com o objetivo de desenvolver um estimador de estados para sistemas

multifasicos para ser utilizados em sistemas de deteccao de vazamentos. Em comunicacao

com pessoal da area de dutos da empresa PETROBRAS, em particular da area de Sis-

temas de Deteccao de Vazamentos (SDV), nos foi informado que o problema principal

na aplicacao de sistemas de deteccao e vazamentos em sistemas multifasicos nao esta nos

estimadores de estado, mas nos dispositivos de medicao de pressao e vazao, ja que existe

uma grande deficiencia em referencia a precisao destes sistemas de medicao quando se

trata de sistemas multifasicos.

Devido a esta deficiencia em sistemas de medicao de vazao e a grande necessidade

da industria do petroleo de dispor de sistemas de medicao de vazao adequados, de baixo

custo e precisao adequada, surge a motivacao principal para estudar sistemas de medicao

de vazao para escoamentos multifasicos, focalizando este estudo na fluido-dinamica dos

sistemas de medicao mais comumente utilizados em producao e transporte, como placa

de orifcio e medidores de Venturi.


13/90


1.2 Objetivos do trabalho

A partir do exposto na seccao anterior, surge o objetivo principal deste trabalho que

e estudar as particularidades dos escoamentos multifasicos em constricoes com o intuito

de determinar relacoes precisas entre parametros de escoamento normalmente envolvidos

na determinacao da vazao multifasica atraves de constricoes, como pressao diferencial,

fracoes de vazio, velocidades relativas entre fases, etc.. Para isto, serao propostas e ana-

lisadas leis constitutivas para a transferencia de quantidade de movimento interfacial e

relacoes de pressao entre as fases, com o intuito de melhorar a capacidade preditiva dos

modelos para escoamentos multifasicos atualmente utilizados. Tambem sera feito um es-tudo experimental do escoamento agua-ar que tem como objetivo fundamental estudar

qualitativamente a fenomenologia fsica dos escoamentos dispersos, e ainda obter valores

de pressao diferencial para diferentes valores do numero de Reynolds, fracoes de vazio e

configuracoes geometricas, para comparacao com resultados numericos.

1.3 Revisao Bibliografica

Pelo fato deste trabalho estar centrado em duas grandes areas, a saber, Sistemas

de Medicao de Vazao para Escoamentos Multifasicos e Modelagem Matematica de Es-

coamentos Multifasicos, esta seccao sera dividida em duas partes; uma primeira onde

sao descritos os trabalhos referentes a modelagem matematica e numerica de escoamen-

tos multifasicos, fundamentalmente em constricoes e, na segunda parte, serao descritos

alguns trabalhos relatando aspectos tecnologicos dos sistemas de medicao de vazao em

escoamentos multifasicos. E importante deixar claro que existe uma enorme quantidadede trabalhos na literatura referentes a modelagem matematica e numerica de escoamentos

multifasicos. Assim, serao aqui abordados os trabalhos que focalizem o estudo de esco-

amentos em constricoes e aqueles que, sendo de carater mais geral, sejam considerados

relevantes nesta linha de pesquisa.


14/90


1.3.1 Modelagem de Escoamentos Multifasicos

Thang & Davis (1979) apresentam um estudo da estrutura do escoamento bifasico,

agua - ar em tubos de Venturi com diferentes relacoes de area. A partir de uma agulha

de prova, sao medidos os perfis de velocidade das bolhas, fracao de vazio, e distribuicao

de tamanho de bolhas. Este dispositivo permite medir a resitividade do meio em que esta

imerso dando como resposta um sinal do tipo

(x, t) =

1 Quando a agulha esta imersa na fase gasosa,

0 Quando a agulha esta imersa na fase lquida.

(1.1)

A partir do processamento estatstico deste sinal e possvel calcular as variaveis menci-

onadas acima. Um aspecto interessante do trabalho, e que e pouco abordado na literatura,

para escoamentos em constricoes, e a descricao da estrutura bidimensional do escoamento

bifasico descrevendo os perfis transversais de fracao de vazio e velocidade. Outro re-

sultado interessante e a observacao da coalescencia das bolhas na parte convergente e a

fragmentacao ao longo da parte divergente.

Drew (1983) examina as caractersticas comuns dos modelos para escoamentos mul-

tifasicos dispersos considerando a fase dispersa como um meio continuo (enfoque Eule-

riano - Euleriano). Neste trabalho sao deduzidas em forma detalhada as equacoes da

conservacao da massa e quantidade de movimento para sistemas multif asicos a partir das

promediacao das equacoes de Navier-Stokes e as condicoes de interface. Tambem sao

apresentadas relacoes constitutivas para as tensoes viscosas e turbulentas das diferentes

fases e para os termos de transferencia de quantidade de movimento interfacial, mostrando

na parte final do trabalho, a independencia do sistema coordenado de referencia, destas

relacoes.

Lewis & Davidson (1985) apresentam um estudo experimental do escoamento dis-

perso agua - ar em diferentes bocais e placas de orifcio. A principal conclusao obtida a

partir destes experimentos e que a pressao diferencial medida para um bocal convergente e

bem maior daquela obtida para uma placa de orifcio com a mesma fracao de vazio, sendo

que ambos dispositivos tem a mesma pressao diferencial para a mesma vazao no caso

monofasico. Ou seja, a influencia da presenca de uma determinada quantidade de gas no


15/90


escoamento e bem mais importante para um bocal do que para uma placa de orifcio. Os

valores de pressao diferencial diferem bastante dos preditos pelas correlacoes existentes,

porem, estes resultados sao comparados, apenas para o caso do bocal, j a que o modelo

e unidimensional, com resultados teoricos obtidos a partir de um modelo de dois fluidos

simplificado. Este modelo e deduzido a partir de um balanco de forcas sobre uma bolha

submersa em um escoamento acelerado de liquido. As menores pressoes diferenciais para

a placa de orifcio sao atribudas ao aumento do coeficiente de contracao no caso bifasico.

Uma das propostas para o trabalho de tese e estudar a estrutura do escoamento bifasico

em placas de orifcio de forma a ter mais informacoes acerca deste tipo de fenomeno.

Drew & Lahey (1987) abordam mais profundamente a questao da independencia

do sistema de referencia das forcas interfaciais, fundamentalmente das forcas chamadas

comumente na literatura de non-drag forces, isto e, as forcas que aparecem sobre a fase

dispersa diferentes da forca de arrasto. Esta ultima, varia linearmente com a velocidade

relativa e, portanto, e facilmente demonstravel a sua objectividade. As outras forcas tais

como , massa virtual e sustentacao2 dependem da aceleracao relativa entre fases e a vor-

ticidade da fase continua sendo assim difcil demonstrar a objectividade. Neste trabalho,

se propoe, atraves de uma formulacao potencial do escoamento nao estacionario e com

presenca de vorticidade sobre uma esfera, descrever a forma matematica destas forcas e

analisar sua objectividade. Numa comunicacao posterior Drew & Lahey (1990) mostram

um erro nas hipoteses colocados no trabalho anterior concluindo que a demonstracao e

valida no casos em que a vorticidade da fase continua e pequena. Em sntese, a cor-

reta colocacao matematica das forcas interfaciais nao e um dos objetivos fundamentais

deste trabalho, porem e importante mencionar que ate hoje este em um topico bastante

controverso na literatura.

Kowe et al. (1988) apresentam uma analise detalhada das forcas que aparecem so-

bre uma bolha num escoamento nao uniforme e nao estacionario, i.e., acelerado local e

espacialmente. A partir desta analise, e derivado um modelo de tres campos. Este modelo

consiste em dividir o meio bifasico em tres campos interatuantes; as bolhas ocupando o

volume V cuja velocidade e v, liquido deslocado pelas bolhas, ocupando o volume CmV

2

Todas estas forcas serao descritas em detalhe no capitulo 3


16/90


e com velocidade v, e o liquido intersticial que escoa longe das bolhas, ocupando o

volume V VCmV escoando com velocidade u0. Esta analise facilita a determinacao

das forcas mencionadas e, desta forma, das relacoes para transferencia de quantidade de

movimento interfacial. Segundo este enfoque, e preciso introduzir uma pressao intersti-

cial P0, diferente da pressao media P, sendo a diferenca entre as duas proporcional ao

quadrado da velocidade relativa entre as fases, (uGuL)2 (Slip Velocity). Por ser conside-

rado de interesse para a area e utilizado em varios trabalhos para calculo de escoamentos

multifasicos em dutos e constricoes, este modelo sera descrito em forma mais detalhada

no capitulo 3.

Kuo & Wallis (1988) fazem um estudo teorico e experimental de escoamentos de bo-

lhas em bocais convergentes-divergentes utilizando um modelo de dois fluidos simplificado.

E apresentada uma descricao das forcas de arraste, massa virtual, empuxo e expansao da

bolha (variacao do diametro). Esta ultima forca e geralmente desprezada em modelos

para escoamentos multifasicos, por ser de menor ordem que as forcas de massa virtual e

arraste, de fato, os experimentos sao dirigidos de forma a esta forca nao ser significativa.

Tambem e apresentada uma seccao dedicada a uma recompilacao de correlacoes para co-

eficientes de arraste para diferentes condicoes de escoamento. A proposta deste trabalho

e analisar experimentalmente as diferentes forcas de interface a partir de um experimento

que consiste em fazer um seguimento da posicao, de uma unica bolha lancada dentro

do bocal, no qual esta escoando um liquido. O aparato experimental permite variar o

diametro das bolhas e as velocidades medias do liquido. A partir do conhecimento da

posicao da bolha em funcao do tempo, e possvel conhecer a velocidade pontual da bolha.

Os resultados sao comparados com um modelo unidimensional de dois fluidos

Couet et al. (1991) propoem um modelo unificado que contempla os casos limites

de monofasico e homogeneo dentro do conjunto de equacoes proposto. O modelo tambem

e baseado na velocidade intersticial (modelo de tres campos apresentado por Kowe et al.

(1988)) e e aplicado ao escoamento em uma contracao, considerando escoamento de agua

e ar e oleo e agua, podendo em ambos os casos qualquer uma das fases ser dispersa. Este

ponto e interessante ja que considera o caso em que a fase dispersa e mais densa do que a

continua. Na literatura, e observado que, em geral, as aplicacoes sao feitas considerando


17/90


escoamentos de ar disperso em agua, sendo a fase dispersa a de menor densidade.

Ishii et al. (1993) propoem um novo modelo obtido a partir da integracao das forcas

de pressao que aparecem sobre uma bolha que se movimenta num escoamento irrotaci-

onal. Esta forma de deduzir as equacoes de conservacao permite levar em consideracao

as forcas que aparecem devido a deformacao ou mudancas no tamanho das bolhas. Esta

forca, tambem considerada em outros trabalhos, e pequena quando comparada com outras

forcas de interface, para escoamentos em dutos. Os autores tambem demostram a hiper-

bolicidade do sistema de equacoes governantes. Finalmente, os resultados sao comparados

com dados experimentais obtidos anteriormente pelos mesmos autores.

Enwald et al. (1996) apresentam um estudo amplo do modelo de dois fluidos apli-

cado a leito fluidizado descrevendo o sistema bifasico do ponto de vista Euleriano - Eule-

riano, i.e., a fase solida e considerada como um meio continuo escoando e trocando calor,

massa e quantidade de movimento com a fase fluida (gas). Assim, o trabalho resume

de forma geral as tecnicas de promediacao das equacoes mais comumente empregadas e

apresenta equacoes constitutivas para para as tensoes de cizalhamento e a pressao, princi-

palmente na fase solida onde estes conceitos, que surgem a partir da hipotese do continuo,

devem ser extendidos para a fase dispersa. Tambem sao discutidas leis de fechamento

para as forcas interfaciais e mostrado um estudo dos modelos mais comuns para a forca

de arrasto. Finalmente, sao discutidos os modelos de turbulencia para as fases gasosa e

particulada.

Alajvegovic et al. (1998) mostram uma modelagem de um duto de ebulicao (boiling

channel) utilizando o codigo CFX4. Sao apresentados diversos testes, tanto em termos

de modelagem matematica quanto numerica. Neste aspecto e apresentada uma modi-

ficacao do algoritmo de interpolacao de Rhie-Chow Rhie & Chow (1983) considerando o

fato que em escoamentos multifasicos aparecem novos campos escalares, alem da pressao,

os quais sao susceptveis de oscilacoes devidas ao arranjo co - localizado (checkboard oss-

cilations) como sao as fracoes volumetricas. Tambem e apresentado um metodo de sub -

relaxacao para melhorar as condicoes de convergencia em escoamentos com transferencia

de calor e mudanca de fase. Na mesma linha de pesquisa, sendo desenvolvida no Rens-

selaer Polytecnic Institute, que procura a modelagem multidimensional de escoamentos


18/90


bifasicos em dutos em diferentes regimes de escoamento, Podowski (1999) apresenta uma

modelagem em CFX4 de um escoamento bifasico em um duto. Sao apresentados alguns

modelos de transferencia interfacial para regime slug (pistonado), anular e disperso (bo-

lhas). Um aspecto interessante deste trabalho e a comparacao entre os termos de interface

para os regimes pistonado e disperso, mostrando a similaridade do termo de arrasto,para

os diferentes regimes de escoamento, quando e feita uma media na seccao do duto.

Dias et al. (1998) analisam a estrutura de um escoamento bifasico agua - ar num

bocal convergente utilizando uma agulha de prova, similar a descrita por Thang & Davis

(1979). Atraves desta metodologia sao medios os perfis transversais de velocidade da

fase gasosa, fracao de vazio e distribuicoes de diametros de bolhas. Tambem e descrito

no trabalho um modelo numerico unidimensional. A partir deste modelo e apresentado

um estudo da evolucao dos valores das forcas interfaciais e os balancos de quantidade de

movimento na fase liquida, ao longo do bocal. Um aspecto que contrasta com o trabalho

de Thang & Davis (1979) e a conclusao da nao existencia de fragmentacao ou coalescencia

de bolhas ao longo do bocal. A questao da fragmentacao ou coalescencia de bolhas, no

que se refere a sua modelagem e a sua influencia na estrutura do escoamento multif asicos

em constricoes, e um dos aspectos que se pretende estudar no trabalho de tese.

Karema & Lo (1999) realizam um estudo dos metodos de acoplamento para a

interface, i.e., analisa os diferentes algoritmos utilizados para o tratamento numerico das

forcas interfaciais. Estas forcas sao, de forma geral, funcao das velocidades das diferentes

fases, assim, aparecerao nas equacoes para a fase i velocidades da fase j e vice - versa.

A forma mais simples de tratar este problema e de maneira explcita, ou seja, utilizar

valores disponveis das velocidades para o calculo das forcas interfaciais, porem, para

alguns regimes de escoamento, este acoplamento e forte gerando instabilidades numericas

quando e tratado em forma explicita. Este trabalho discute a aplicabilidade dos diferentes

metodos de acoplamento e descreve em forma detalhada o algoritmo IPSA-C que resulta

da combinacao do metodo para tratamento de forcas interfaciais SINCE com o metodo

para o tratamento do acoplamento pressao - velocidade SIMPLE-C.

Soubiran & Sherwood (2000) mostram um estudo teorico do escoamento de bolhas

num tubo Venturi, considerando o escoamento potencial da fase continua. S ao considera-


19/90


das as forcas de arraste, pressao e massa virtual, atuando sobre as bolhas. Estas bolhas sao

consideradas pequenas em relacao ao diametro do tubo e de forma esferica (considerando-

se a tensao superficial suficientemente grande). O campo de velocidades da fase continua

e avaliado de duas formas, inversamente proporcional a area do duto (perfil plano de velo-

cidades) e escoamento irrotacional axi - simetrico. Ainda e considerado que as bolhas nao

influem no escoamento da fase continua, i.e., os campos de velocidade sao desacoplados

com o objetivo de facilitar a avaliacao das trajetorias e as forcas que aparecem sobre as

bolhas.

1.3.2 Sistemas de medicao de vazao em escoamentos multifasicos

Doroshenko (1974) realiza uma comparacao entre resultados experimentais de coe-

ficientes de descarga para misturas de agua e ar em bocais convergentes-divergentes padro-

nizados obtidos com valores recomendados pelas Regulacoes Sovieticas de 1964 para estes

dispositivos. Os valores dos coeficientes de descarga sao obtidos para fracoes volumetricas

de ar entre 10 e 40% observando-se apreciaveis diferencias entre estes e os recomendados

nas Regulacoes, especialmente para baixos Reynolds e altos valores de contracao da seccao

transversal.

Mattar et al. (1979) examinam e verificam experimentalmente algumas correlacoes

existentes para escoamento bifasico em placas de orifcio. O estudo e feito focalizando-se

no calculo da vazao multifasica correlacionando-a a partir dos valores das vazoes de gas e

liquido escoando separadamente, para as quais as relacoes entre pressao diferencial e vazao

sao conhecidas. Assim, e sugerida uma equacao para a vazao bifasica como QT P = a+bQlQg

onde os valores de a e b sao obtidos experimentalmente.A metodologia de correlacionar parametros de escoamento bifasico a partir dos seus

similares do escoamento das fases em forma separada e amplamente usada por pesqui-

sadores da area, e tem como precursores os pesquisadores Lockart e Martinelli. Estes

pesquisadores, correlacionaram a queda de pressao em dutos retos a partir das pressoes

do escoamento das fases separadas. Para isto introduziram um parametro de grande

utilizacao na area de escoamentos multifasicos X =

pl/pl chamado parametro de

Lockart e Martinelli (ver por exemplo Collier & Thome (1995, cap. 2)).


20/90


Nederveen et al. (1989) fazem uma revisao de metodos de medicao para gas con-

tendo fracoes de liquido. O motivo do estudo e que para a companhia produtora de gas

holandesa Nederlandse Ardolie Maatschappij comecou a ser antieconomica a utilizacao de

separadores em campos produtores pequenos, surgindo a necessidade de medir em forma

direta, e com certa precisao, a vazao de gas contendo pequenas fracoes de liquido. Assim, o

trabalho relata testes feitos em campo utilizando um medidor de Venturi, injetando agua

em dois pontos alternativamente, no meio da secao do duto e na parede. A conclusao

principal obtida a partir dos resultados das experiencias e que as correlacoes propostas

pelos diferentes autores3, a pesar de diferir nos coeficientes experimentais, resultam e va-

lores muito similares para as fracoes de liquido estudadas (ate 0,04%). Tambem foram

comparados dados de referencia com os obtidos por um medidor de desprendimento de

vortice para o qual se observou que os erros na medicao cresciam conforme crescia a velo-

cidade relativa entre fases. Um dado interessante apresentado neste trabalho e o fato que

a companhia mencionada calcula uma poupanca de U$ 500.000 por cada pequeno campo

de producao a partir da eliminacao de separadores de fase.

Williams (1994) Apresenta uma revisao de sistemas de medicao comerciais, tanto

em estagio de aplicacao, quanto em estado de desenvolvimento (obviamente ate a data

de publicacao do trabalho). Primeiramente discute as vantagens e dificuldades do que

a autora chama de Medicao Multifasica, i.e., medicao da vazao de escoamento sem

separacao de fases. Em seguida mostra um historico dos sistemas comerciais baseados

neste conceito para finalmente apresentar o estado-da-arte dos sistemas comerciais para

medicao multifasica. Este trabalho aborda novamente a questao dos custos e dificuldades

referentes a instalacao e manutencao de sistemas de separacao de fases.

Mehdizadeh & Farchy (1995) apresentam uma metodologia para medicao de vazao

do escoamento de oleo, agua e gas, utilizando diferentes sensores de escoamento. O

trabalho mostra uma revisao sucinta de metodos para depois introduzir uma metodologia

de medicao que consiste em utilizar tres medidores de vazao e um medidor de corte de agua

na fase liquida baseado em micro - ondas que mede as fra coes volumetricas, a partir das

propriedades dieletricas de cada fluido. Primeiramente, o escoamento e dirigido atraves de

3

Estas correlacoes apresentam, em geral, a forma da correlacao descrita por Mattar et al. (1979)


21/90


um medidor volumetrico de deslocamento positivo que mede a vazao total; seguidamente

sao utilizados dois tubos de Venturi com diferentes relacoes de area e a partir destas

tres medicoes, sao calculadas a vazoes volumetricas de gas e lquido e a densidade do

lquido. Finalmente, a partir do valor do corte de agua e a vazao de lquido podem ser

calculada as vazoes de oleo e agua. Este sistema possui um boa relacao entre simplicidade

e performance e sera descrito em forma mais detalhada no captulo 4.

Boyer & Lemonnier (1996) apresentam uma descricao basica do metodo de medicao

de vazao atraves do tubo de Venturi e o modelo de tres campos. Este trabalho propoe me-

dir vazao forcando um regime disperso a partir de um misturador tipo OPTIMIX e logo

medir a vazao em um tubo de Venturi a partir de correlacoes obtidas para escoamentos

multifasicos dispersos. Primeiramente e descrito o modelo de Lewis & Davidson (1985)

que, sendo este um modelo de dois fluidos, e utilizado como modelo de referencia deste

tipo para comparacao. Depois, o artigo apresenta uma comparacao entre resultados ex-

perimentais de Doroshenko (1974), o modelo de tres campos apresentado por Kowe et al.

(1988), porem com algumas modificacoes. Finalmente, sao apresentadas comparacoes

com resultados experimentais de Kuo & Wallis (1988) e com o modelo classico de tres

campos apresentado por Kowe et al.. O resultado principal deste trabalho e um estudo

do desvio da vazao predita pelo modelo homogeneo e a vazao real em funcao do diametro

da fase dispersa, isto permite estimar o tamanho maximo de bolha dado pelo misturador

de forma a estimar a vazao utilizando correlacoes obtidas a partir do modelo homogeneo.

Ribero (1996) apresenta um revisao de metodos de medicao de vazao para escoamen-

tos multifasicos descrevendo os tres enfoques mais comuns que sao, Homogeneizacao,

Separacao das fases e Medicao em Linha sem Perturbacao. Estes enfoques serao

descritos em detalhe no capitulo 4 onde serao vistos os diferentes sistemas de medicao de

vazao utilizados para escoamentos multifasicos. Tambem, neste trabalho, sao descritos

quatro sistemas de medicao; o classico medidor de Venturi acompanhado de um medidor

de fracao de vazio baseado em raios gama, no qual o escoamento deve ser homogeneizado,

o metodo de separacao de fases, o metodo baseado em diferentes sensores, apresentado

por Mehdizadeh & Farchy (1995) e um medidor de capacitancias multiplas que se aplica

apenas a regimes pistonados. Estes sistemas serao tambem descritos no captulo 4.


22/90


Se observa, a partir da revisao da literatura apresentada, que alguns pontos como:

Estrutura bidimensional do escoamento multifasico em constricoes

Estudo teorico do escoamento bifasico em placas de orifcio

Influencia das propriedades dos fludos

entre outros, precisam de maior aprofundamento. Estes pontos serao descritos em detalhe

no captulo 4 de forma a contextualizar a proposta de estudo para o trabalho de tese.


23/90

Captulo 2

Formulacao do Problema

O proposito deste captulo e descrever a fenomenologia fsica dos escoamentos mul-

tifasicos. Serao descritos os escoamentos multifasicos internos e seus diferentes regimes de

escoamento de forma a introduzir a fenomenologia dos escoamentos dispersos, que serao

o foco deste trabalho. Em seguida sera feita a formulacao matematica apresentando as

equacoes promediadas para a descricao do sistema multifasico. No capitulo seguinte, serao

discutidas a leis de fechamento e os modelos mais comumente utilizados para escoamentos

dispersos.

Segundo Soo (1995), um sistema multifasico consiste em uma fase fluida, ou meio

fluido e uma fase particulada ou dispersa de qualquer numero de componentes qumicos.

A fase continua pode tratar-se de um meio lquido ou gasoso e a fase dispersa pode estar

constituda por partculas solidas, bolhas de gas (exceto, claro, no caso da fase continua ser

gasosa) ou gotas de lquido. Obviamente, esta definicao se refere a escoamentos em regime

disperso, porem em escoamentos em dutos aparecem tambem outros regimes dependentes

de variaveis como fracao volumetrica ou velocidade das diferentes fases. Assim, o autor

prefere definir Sistema Multifasico como uma regiao do espaco onde coexistem dois ou

mais fluidos inmiscveis separados por uma ou mais interfaces.

14


24/90

CAPITULO 2. FORMULACAO DO PROBLEMA 15

2.1 Regimes de Escoamentos Multifasicos em Dutos

Sao amplamente conhecidos na literatura as diferentes configuracoes geometricas ado-

tadas por um sistema lquido - gas escoando dentro de um duto, porem quando trata-se

de um sistema lquido-lquido ou sistemas trifasicos, as configuracoes nao sao tao bem

determinadas. Descreveremos a seguir as configuracoes mais conhecidas para sistemas

lquido - gas para dutos verticais e horizontais. Depois descreveremos sucintamente uma

classificacao de padroes de escoamento para sistema oleo - agua apresentada por Chen &

Guo (1999) ja que estes sistemas sao de interesse fundamental neste trabalho.

2.1.1 Regimes de Escoamento em Dutos Verticais

Escoamento de Bolhas (Bubbly Flow) (Fig. 2.1-a) Este regime esta includo

dentro dos chamados escoamento dispersos que serao foco da modelagem matematica neste

trabalho. Nesta configuracao a fase gasosa se encontra distribuda em bolhas discretas ao

longo da fase continua liquida, podendo ser estas bolhas desde pequenos di ametros com

forma esferica ate diametros maiores apresentando formas mais alongadas. Como veremos

nas seccoes seguintes, as forcas que aparecem sobre as bolhas dependem fortemente do

formato das bolhas.

Escoamento Pistonado (Slug Flow) (Fig. 2.1-b) Aqui as bolhas sao da ordem

do diametro do duto, a parte superior da bolha possui forma esferica e o gas e separado

da parede do duto por um fino filme de lquido descendo de forma lenta. Duas bolhas

sucessivas sao separadas por partes liquidas (slugs) que podem conter bolhas de menor

diametro em forma dispersa.

Escoamento Agitado (Churn Flow) (Fig. 2.1-c) Acontece quando o escoamento

pistonado se instabiliza e as grandes bolhas se quebram dado lugar a um escoamento

caotico no centro de duto, deslocando o lquido contra as paredes. Este regime possui

uma caraterstica oscilatoria entre escoamento pistonado e anular, por isto e comumente

chamado slug-annular flow.

Escoamento Anular com Bolhas (Wispy - Annular Flow) (Fig. 2.1-d) Neste

regime o lquido se concentra em um camada relativamente grossa sobre as paredes com

um nucleo de gas contendo uma quantidade consideravel de lquido disperso em forma de


25/90


gotas. Ainda, na regiao liquida sobre as paredes existem bolhas de gas dispersas, i.e., e

uma mistura de um escoamento disperso de gotas no centro e um escoamento disperso de

bolhas nas paredes.

Escoamento Anular (Annular Flow) (Fig. 2.1-e) Neste regime o lquido escoa

pelas paredes formando um anel fino e o gas escoa pelo centro do duto, ambas fases

com escassa ou nenhuma presenca de gotas ou bolhas dispersas. Em alguns casos o anel

de lquido pode-se instabilizar dando lugar a penetracao de gotas de lquido no nucleo

gasoso porem, a diferenca com o regime anterior, e que as gotas se encontram em grupos

separados ao inves de estarem presentes em forma continua no nucleo de gas.

2.1.2 Regimes de Escoamento em Dutos Horizontais

Em dutos horizontais e inclinados, a determinacao de um regime de escoamento e

mais complexa devido a assimetria do escoamento causada pela acao da gravidade.

Escoamento de Bolhas (Bubbly Flow) (Fig. 2.2-a) E similar ao descrito ante-

riormente para dutos verticais, porem as bolhas tendem a escoar na parte de cima do

duto quando a fase dispersa e menos densa do que a continua. Quando as velocidades de

escoamento aumentam, a fase dispersa tende a ocupar toda a seccao do duto.

Escoamento Pistonado (Plug Flow) (Fig. 2.2-b) E similar ao escoamento pis-

tonado (slug flow) em dutos verticais porem novamente as bolhas tendem a escoar pela

metade superior do duto. Neste caso esta condicao assimetrica e mantida independente-

mente da velocidade de escoamento devido ao maior tamanho das bolhas.

Escoamento Estratificado (Stratified Flow) (Fig. 2.2-c) Acontece em velocidades

muito baixas de lquido e gas, as duas fases escoam separadas por uma interface suave,sem ondulacoes.

Escoamento Ondulatorio (Wavy Flow) (Fig. 2.2-d) Quando no escoamento es-

tratificado a velocidade do gas aumenta, aparecem oscilacoes na interface, gerando um

padrao caotico de escoamento. Quando estas ondas comecam a ser maiores e a fracao de

lquido aumenta, este comeca a molhar a parede superior do duto gerando grandes bolhas

de gas presas entre duas ondas, aparecendo um regime similar ao pistonado, (Plug Flow)

porem com bolhas maiores, ja que este regime se da com maiores fracoes volumetricas de


26/90


Figura 2.1: Regimes de escoamento em dutos verticais


27/90


gas (Fig. 2.2-e).

Escoamento Anular (Annular Flow) (Fig. 2.2-f) Se aumentamos mais ainda a

velocidade do vapor se formara um nucleo de gas com um filme de lquido na periferia do

duto formando um anel.

Disperso em gotas (Drop Flow) Para fracoes de lquido muito baixas e velocidades

de escoamento altas, a fase gasosa escoa em forma continua e o lquido em forma de gotas

dispersas. Este regime tambem acontece em dutos verticais. Na pratica do transporte

de gas natural, este regime pode ser encontrado em escoamentos de gas com presenca de

condensados em baixas fracoes volumetricas. Porem, em velocidades normalmente prati-

cadas nestes sistemas de transporte, o lquido tende a decantar, formando um escoamento

estratificado.

Regimes de Escoamento em Sistemas Agua - Oleo

Devido ao objetivo deste trabalho, que e a modelagem de escoamentos multifasicos

em sistemas de medicao de vazao para sistemas de transporte de petroleo e gas, apre-

sentaremos tambem um descricao das configuracoes adotadas por sistemas agua - oleo.

Embora os padroes de escoamento, perda de carga, distribuicao de fracao volumetrica e

outros parametros de escoamento sejam amplamente conhecidos para sistemas lquido -

gas escoando em dutos, os sistemas lquido - lquido tem recebido pouca atencao. Isto

porque em muitos casos os estudos fenomenologicos realizados em sistemas lquido - gas,

podem ser extendidos para escoamentos de lquidos inmiscveis, porem cuidados devem

ser tomados; segundo Trallero et al. (1996), a estrutura de escoamento de sistemas oleo

- agua em dutos e diferente de mistura de lquido - gas, principalmente devido a maiorcapacidade de transferencia de quantidade de movimento interfacial e menores efeitos de

empuxo gravitacional, dado pela diferenca de densidade entre as fases, que e de menor

ordem de grandeza nestes sistemas.

Na literatura, os regimes destes sistemas sao classificados em dois grandes grupos,

dependendo de qual fluido constitui a fase continua, aparecendo assim os regimes baseados

em oleo (oil based) e o baseados em agua (water based) onde as fases continuas sao o oleo

e a agua, respectivamente. Assim, alguns trabalhos de pesquisa incluem a determinacao


28/90


Figura 2.2: Regimes de escoamento em dutos horizontais


29/90


do ponto de inversao que e o ponto em que a fase continua passa de oleo para agua ou

vice - versa. Este ponto de inversao, que e funcao de parametros como velocidade de cada

fase e fracao volumetrica e propriedades dos fluidos como viscosidade e tensao superficial

e de fundamental importancia na avaliacao das perdas de carga, seja em dutos de sec cao

constante ou constricoes, ja que a queda de pressao em um e outro caso pode ter variacoes

de ate mil vezes para oleos pesados.

Mesmo tendo diferencas quantitativas, os regimes de escoamento para sistemas oleo -

agua apresentam configuracoes geometricas similares aos apresentados acima para siste-

mas lquido - gas. Varios trabalhos (Trallero et al. (1996), Arirachakaran et al. (1989), en-

tre outros) apresentam descricoes dos regimes de escoamento para estes sistemas. No tra-

balho de Trallero et al. a classificacao dos regimes e feita baseando-se em dois fenomenos;

a fase continua e a configuracao estratificada ou dispersa do escoamento. Surgem assim,

padroes como dispersao de oleo em agua, dispersao de agua em oleo, estratificado e es-

tratificado com mistura na interface. O autor achou mais interessante, e de car ater mais

geral, a classificacao mostrada por Arirachakaran et al. que se baseia fundamentalmente

nas configuracoes geometricas adotadas pelo escoamento, ja que a modelagem matematica

e baseada nestas configuracoes, i.e., uma vez feita a modelagem para um escoamento, por

exemplo disperso, podem-se variar facilmente as caratersticas da fase continua, variando-

se as propriedades dos fluidos, que sao dados de entrada do modelo. Nesta classificacao,

mostrada na Fig. 2.3, aparecem cinco padroes. O escoamento estratificado pode ter

mistura na interface, colocando-se a fase menos densa na parte superior do duto. No

regime misturado se tem uma dispersao (oleo em agua ou agua em oleo) na parte de

cima o de baixo do duto dependendo da densidade relativa da fase continua e uma por cao

do duto onde se tem uma fase pura (fase livre). Temos tambem o escoamento anular,

similar ao ja descrito acima, onde tanto no centro como no anel pode-se ter fases dispersas

ou puras. No regime intermitente as fases ocupam o duto alternativamente podendo

tambem ser puras ou dispersoes. Finalmente, temos o escoamento totalmente disperso,

chamado tambem homogeneizado, podendo ter dispersoes de oleo em agua ou agua em

oleo. Como visto, esta classificacao inclui a apresentada por Trallero et al., porem contem-

pla um numero maior de configuracoes geometricas as quais sao um fator determinante


30/90


na modelagem do escoamento destes sistemas.

Figura 2.3: Regimes de escoamento para sistemas oleo - agua

Deve-se deixar claro que a abordagem teorica e experimental a ser feita neste traba-

lho considera os regimes dispersos, porem e feita a descricao dos regimes mais comuns

que aparecem em escoamentos multifasicos em dutos com o intuito de contextualizar os

regimes dispersos de escoamento a serem abordados aqui. Como ja foi comentado ante-

riormente, em sistemas de medicao de vazao sao forcados regimes dispersos atraves de

misturadores antes do escoamento ingressar no medidor propriamente dito.


31/90


2.2 Equacionamento

O proposito desta seccao e descrever a formulacao matematica geral a partir do

enfoque Euleriano - Euleriano para escoamentos multifasicos deixando para o captulo

seguinte a discussao dos detalhes referentes a modelagem de escoamentos dispersos e a

aplicacao destes modelos as constricoes utilizadas para medicao de vazao.

Para a obtencao das equacoes governantes sera adotada, neste trabalho, a metodologia

utilizada nos manuais teoricos do pacote CFX4 ja que este sera o software utilizado

para implementar os modelos. Esta metodologia consiste em utilizar uma equacao de

conservacao para uma variavel generica, na manipulacao matematica e numerica, paradepois particularizar para as equacoes de Navier - Stokes, conservacao da energia, etc..

Isto e muito comum quando se utiliza a metodologia de Volumes Finitos (Patankar (1980),

Maliska (1995), Ferziger & Peric (1999)) ja que, normalmente, esta equacao generica e

discretizada atraves do balanco nos volumes de controle para esta variavel generica e logo

sao particularizadas as equacoes discretizadas para as diferentes variaveis.

O procedimento padrao para a obtencao das equacoes promediadas e mostrado na

Fig.2.4. Neste trabalho este procedimento sera descrito em forma qualitativa e sao deixa-dos de lado o detalhes algebricos. Este procedimento algebrico pode ser encontrado por

exemplo em Drew (1983) ou Enwald et al. (1996) entre outros trabalhos.

Considerando o volume de controle generico mostrado na Fig. 2.5, onde coexistem

dois fluidos imiscveis separados por um interface I que se movimenta com velocidade VI

e os fluidos com velocidades Ui, (i = 1, 2), a equacao de conservacao instantanea, para

um sistema euleriano, de uma variavel generica e dada por,

t(ii) + (iUii Ji) = S

i (2.1)

onde Ui e o campo de velocidades, J e o fluxo difusivo de i e Si e o termo fonte para

a fase i.

Na equacao acima, para a fase i, fazendo = 1 obtem-se a equacao da conservacao

da massa, para = u, v, ou w obtem-se a equacoes da conservacao da quantidade de

movimento nas diferentes direcoes e com = T obtem-se a equacao da conservacao da


32/90


Figura 2.4: Passos para a obtencao das equacoes promediadas (Enwald et al. (1996))

energia. No caso da conservacao da massa, o fluxo difusivo J e o termo fonte Si = 0, sao

nulos. Para as equacoes da conservacao da quantidade de movimento e energia, as formas

destes termos dependem do tipo de problema que esteja sendo resolvido (compressvel ou

nao, com ou sem dissipacao viscosa, etc.).

Se o sistema de equacoes fosse ser resolvido nesta forma, seriam precisas condicoes

de acoplamento de interface, i.e., condicoes de contorno na interface dos fluidos. Na

literatura, estas sao chamadas de condicoes de salto (jump conditions) e, para um variavel

generica , sao dadas por,

NPi=1

(ii(Ui VI) ni + Ji ni) = SI (2.2)

Nesta equacao, o termo i(UiVI)ni representa uma vazao massica mi que atravessa

a interface. Assim, o primeiro termo equivale ao transporte convectivo de atraves da

interface e o segundo ao transporte difusivo. Por exemplo, no caso do transporte de

quantidade de movimento a condicao de salto e dada por,


33/90


Figura 2.5: Volume de controle generico contendo dois fluidos inmiscveis com interfacemovel

NPi=1

(iUi(Ui VI) ni + Ti ni) = ni (2.3)

onde Ti e o tensor tensao na fase i, e a tesao superficial e e a curvatura da interface.

O termo fonte SI corresponde a geracao de na interface e os exemplos mais

comuns sao os casos do transporte de quantidade de movimento e entropia. No primeiro

caso, o desbalancamento das forcas na interface e dado pela forca exercida pela tensao

superficial, i.e., a diferenca entre forcas inerciais e viscosas em ambos lados da interface

e balancada pela tensao superficial. Observe que no caso estatico, se separamos o tensor

tensao em forcas de pressao e viscosas, a equacao (2.3) resulta na equacao de Laplace.

No caso da entropia, sabe-se que em qualquer salto em propriedades do escoamento como

temperatura ou concentracao, produz uma geracao de entropia por irreversibilidades.

Assim, neste caso o termo fonte considera a geracao de entropia devido aos gradientes nas

interfaces, contudo sao poucos os modelos que consideram este fato, que tambem nao seraconsiderado neste trabalho. A tensao superficial e considerada em alguns modelos que

admitem diferentes pressoes para cada fase, porem e relatado na literatura que nos casos

em que os diametros medios das fases dispersas superem os 0.5 mm, a tensao superficial

pode ser desconsiderada.

As equacoes promediadas sao obtidas a partir da integracao das equacoes instantaneas

num volume de controle atraves de um procedimento similar ao utilizado na modelagem

da turbulencia. A ideia e realizar um integracao num volume de controle que seja repre-


34/90


sentativo do padrao do escoamento, obtendo-se um sistema de equacoes de conservacao

para cada fase. O volume de controle adoptado para realizar a promediacao depende fun-

damentalmente de dois fatores, o regime de escoamento e a dimensionalidade do domnio

de analise. A figura a seguir (Fig. 2.6) mostra alguns exemplos de volumes de controle

adotados para a promediacao das equacoes para diferentes regimes de escoamento.

Figura 2.6: Volumes de Controle para a promediacao das equacoes de conservacao

Em regimes dispersos, os volumes devem ser tais que a dimens ao caraterstica seja

muito maior que o diametro representativo das bolhas ou gotas. No caso do regime pisto-

nado uma forma de aplicar o modelo de dois fluidos a este regime, utilizada por Podowski

(1999), e utilizar um volume de integracao fino porem com comprimento equivalente a

um periodo1. No caso dos regimes estratificados, o volume de integracao deve ocupar a

1o regime pistonado e de natureza periodica


35/90


seccao completa do duto, ja que nao e possvel encontrar uma regiao do domnio com um

padrao regular de escoamento.

Para realizar a promediacao num volume contendo duas ou mais fases e interessante

introduzir um parametro chamado funcao indicadora de fase, definida como

Xi(r, t) =

1 se r fase i

0 de outra forma

(2.4)

Esta funcao facilita o tratamento matematico do sistema, quando e realizada a inte-

gracao no volume de controle escolhido para a promediacao (ver Fig. 2.6). Alem disto,

esta funcao e naturalmente definida para escoamentos bifasicos, ja que indica o sinal de

sada que teria uma agulha de prova experimental, submersa num escoamento de liquido

- gas. Logo, multiplicando as equacoes de conservacao pela funcao de fase Xi e fazendo

uma media integral no volume de controle, obtem-se uma equacao como,

t

(riii) + ri iUii Ji + JTurbi = riSi + ( mijj mjii) + MiI (2.5)Para a obtencao desta equacao, foram considerados dois tipos de ponderacoes, a vo-

lumetrica e a massica, definidas respectivamente como,

i = Xii / Xi (2.6)

ii

= iXii / iXi (2.7)

onde indica media integral volumetrica.

Para o termo de difusao turbulenta JTurbi foi utilizada a decomposicao de Reynolds

onde as variaveis instantaneas sao consideradas como sendo a soma do valor medio mais

um flutuacao, assim este termo e expressado em funcao das flutuacoes da velocidade como,

JTurbi = iXiu

i

i / iXi (2.8)


36/90


Observe que no modelo de dois fluidos sao feitas dois tipos de medias, uma primeira

onde se considera o fato de se terem interfaces com formas complexas e com fortes va-

riacoes temporais, porem as equacoes promediadas podem ser aplicadas a regimes lamina-

res e turbulentos; e um segunda promediacao onde se levam em consideracao as flutuacoes

turbulentas dentro de cada fase. Assim, como sera visto nas proximas seccoes, sob de-

terminadas condicoes fsicas, e dependendo dos parametros de interesse na modelagem, e

possvel considerar diferentes regimes para as diferentes fases, como por exemplo, as duas

fases turbulentas ou uma laminar e outra turbulenta2, etc..

Deve-se prestar especial atencao ao termo MiI ja que, em geral, a capacidade predi-

tiva do modelo para o escoamento multifasico depende da boa modelagem deste termo.

Dizemos boa e nao correta porque mesmo existindo uma forma padronizada de se

modelar este termo para alguns regimes (fundamentalmente os dispersos), estes modelos

nao possuem uma forma fechada o que e foco, na atualidade, de numerosas pesquisas na

area de escoamentos multifasicos. Este termo representa as trocas interfaciais de calor,

massa e quantidade de movimento, ou seja, a transferencia de propriedades entre uma e

outra face atraves da interface, sem incluir a transferencia convectiva, i.e., a transferencia

dada pela energia, quantidade de movimento, etc., carregada por uma parcela de massa

que muda de fase, mijj mji i. Assim, em ausencia de mudanca de fase, o termo MiI

considera todas as trocas interfaciais. No capitulo seguinte serao discutidos os modelos

matematicos gerais para escoamentos dispersos e as propostas dos diferentes autores para

modelar as trocas interfaciais.

2este caso e comum na literatura, onde em regimes dispersos e aplicado um modelo de turbulencia(por ex. ) a fase continua, enquanto o escoamento da fase dispersa e considerado laminar


37/90

Captulo 3

Modelos Matematicos

O proposito deste capitulo e discutir os modelos matematicos apresentados na li-

teratura para escoamentos bi- ou multifasicos em regime disperso, e suas aplicacoes as

constricoes utilizadas em sistemas de medicao de vazao.

3.1 Modelagem de Escoamentos Multifasicos (Estado-

da-Arte)

A forma de modelar matematicamente o escoamento de sistemas multifasicos de-

pende fortemente do regime de escoamento. Portanto, existem diferentes enfoques para

modelar matematicamente os escoamentos multifasicos. Collier & Thome (1995) separam

os metodos de analise em tres tipos fundamentais, Modelos Homogeneos, Modelos

de Fases Separadas e Modelos de Padrao de Escoamento. Os do primeiro tipo,

podem ser aplicados basicamente no caso de escoamentos dispersos ja que pressupoe que

ambas fases se movimentas com a mesma velocidade e o equacionamento e similar ao

caso monofasico com pseudo-propriedades calculadas a partir de medias ponderadas pelas

fracoes volumetricas das diferentes fases. Os Modelos de Fases Separadas, que serao o

foco da parte teorica deste trabalho, consideram que cada fase possui seu proprio campo

de velocidades, porem cada fase e vista como um meio continuo ocupando todo o domnio

de calculo e e resolvido um sistema de equacoes de conservacao para cada fase acopla-

dos atraves de termos representativo das interacoes entre fases (transferencia de massa,

28


38/90

CAPITULO 3. MODELOS MATEMATICOS 29

quantidade de movimento e energia). Este modelo pode ser aplicado a qualquer regime

desde que sejam utilizadas leis constitutivas para os termos de interface adequadas. Obvi-

amente, este modelo se adaptara melhor aos casos em que em que as fases se aproximem

mais de um meio continuo, como no caso de regimes dispersos. Para padroes de escoa-

mento mais complexos, pode-se utilizar o modelo de varios campos que sera descrito nas

seccoes seguintes. Finalmente, os modelos de Padrao de Escoamento podem ser aplicados,

a priori, a qualquer regime de escoamento, ja que modela cada fase separadamente junto

com as condicoes de transferencia interfacial ponto a ponto, i.e., sem considerar medias

volumetricas como no caso de modelos de fases separadas. Assim, estes modelos conse-

guiriam prever a configuracao geometrica do escoamento. Obviamente, em casos em que

a interface possua formas muito complexas ou variacoes temporais muito bruscas, este

modelo se torna impossvel de ser aplicado. Assim, atualmente, estes modelos sao aplica-

dos apenas a escoamentos com padroes mais simples como os estratificados ou formas

simplificadas do regime pistonado (ver Fig. 3.1). Esta figura, representa um exemplo de

aplicacao de um modelo detalhado a uma bolha de Taylor para o regime pistonado. No

trabalho de Podowski (1999) este modelo e utilizado para extrair informacoes do escoa-

mento local ao redor destas bolhas que servem como dados de entrada para o modelo de

varios campos, em particular para modelar o termo de transferencia interfacial MiI.

A figura a seguir (Fig. 3.2) apresenta uma sntese dos modelos atualmente utilizados

para escoamentos multifasicos dispersos.

Como comentado acima, a caracterizacao principal dos modelos matematicos e feita

de acordo com a consideracao ou nao das velocidades relativas entre fases. Os modelos

chamados homogeneos sao aqueles que consideram uma unica velocidade para todas as

fases, e portanto e utilizada uma unica equacao da conservacao da quantidade de movi-

mento. Estes modelos podem ainda considerar uma equacao da conservacao da massa

para cada fase, e assim avaliar as distribuicoes de fracao volumetrica de cada fase. O mo-

delo homogeneo e valido em casos em que as velocidades das diferentes fases se equalizem

em distancias suficientemente curtas. Isto acontece quando em escoamentos dispersos,

a forca de arraste, exercida pela fase continua sobre a dispersa, e grande e nao existem

forcas de campo (gravidade). Por outro lado, existem dois tipos de modelos que utilizam


39/90


Figura 3.1: Modelo detalhado para escoamento pistonado (Podowski (1999))

varias equacoes da conservacao da quantidade de movimento; os que consideram diferentes

velocidades para cada fase e aqueles que consideram uma distribuicao de velocidades para

cada campo, onde estes ultimos podem ser diferentes fases ou configuracoes geometricas

de uma mesma fase. Estes modelos sao descritos em detalhe nas seccoes seguintes. Ainda,

na parte final desta seccao, sera descrito o modelo de tres campos, o qual, a pesar de ser

baseado no conceito Euleriano - Euleriano, apresenta um enfoque diferente aos modelos

mencionados.

3.1.1 Modelo de Varios Fluidos (Multi-Fluid model)

Sera descrito inicialmente o modelo de varios fluidos, tambem chamado de fases se-

paradas, por ser o de carater mais geral. Os modelos homogeneo e de varios campos sao

uma particularizacao e generalizacao, respectivamente, deste modelo. Para todos os mo-

delos descritos serao discutidas apenas as equacoes de conservacao da massa e quantidade

de movimento, ja que neste trabalho os escoamentos serao considerados isotermicos, sem

mudanca de fase e sem transferencia de massa.

O modelo de varios fluidos considera cada fase como sendo um meio continuo ocupando


40/90


Figura 3.2: Modelos para escoamentos multifasicos dispersos

todo o domnio de calculo, onde a quantidade presente de cada fase em cada ponto do

domnio e dada pela fracao volumetrica de cada fase. Este modelo considera um sistema de

equacoes de conservacao para cada fase pudendo calcular diferentes campos de velocidades

para as diferentes fases.

As equacoes de conservacao da massa e quantidade de movimento promediadas para

este modelo sao,

t(rii) + (riiUi) = 0 (3.1)

t(riiUi) + (ri(iUiUi Ti + T

Turbi ) =

rip + (piIpi)ri + MiI +NP

j=1

( mijUj mji Ui) + rif (3.2)

Detalhes da obtencao deste sistema de equacoes podem ser encontrados em Drew

(1983) ou Enwald et al. (1996). O termo MiI representa todas as forcas interfaciais

excepto a dada pela troca de massa atraves da interface. Drew (1983) obtem a forma

geral destas forcas durante o processo de promediacao das equacoes em termos de medias


41/90


das variaveis instantaneas como sendo,

MiI = (p piI)Xi TiIXi (3.3)

Esta equacao permite ver o significado fsico do termo MiI e e representado grafica-

mente na figura abaixo (Fig. 3.3). O primeiro termo representa a forca normal a interface

dada pela diferenca entre a pressao de fase e a de interface, e o segundo representa a

transferencia de quantidade de movimento interfacial devido as forcas viscosas interfaci-

ais.

Figura 3.3: Origem da transferencia de quantidade de movimento interfacial

O vetor Xi e perpendicular a interface e aponta para fora da fase i . Multiplicando es-

calarmente o tensor tensao na interface pelo Xi obtem-se a forca superficial na interface,

em forma pontual. Assim, quando se realiza uma media integral num volume, aparece

uma forca interfacial por unidade de volume, mas, deve-se deixar claro que a origem desta

forca e devido a contribuicao das forcas superficiais em cada ponto da interface.

As equacoes 3.1 e 3.2, em conjunto com as condicoes de contorno adequadas para cada

caso, representam o modelo de varios fluidos. Equacoes constitutivas sao necessarias para

o fechamento do sistema, isto e expressar as tensoes viscosas e turbulentas, (Ti, TTurb) e a

forcas de interface MiI, em funcao de variaveis de calculo (Ui, pi, ri, etc.) e propriedades

dos fluidos. Estas equacoes serao estudadas nas seccoes seguintes, focando-se nas forcas


42/90


interfaciais, que sao objeto de numerosas pesquisas relativas a modelagem de escoamentos

multifasicos e serao um dos objetivos de pesquisa deste trabalho.

3.1.2 Modelo Homogeneo

O modelo homogeneo e baseado na hipotese de que determinadas variaveis de esco-

amento podem ser consideradas iguais para todas as fases. Assim, a ideia e utilizar uma

unica equacao de conservacao para todas as fases, com se fosse uma mistura. A hipotese

de homogeneidade pode ser feita para qualquer variavel de escoamento (velocidade, tem-

peratura, concentracao, etc.). Neste modelo, a fracoes volumetricas, continuam sendo

diferentes para cada fase. Assim precisa-se de uma equacao da conservacao da massa

para cada fase. Logo, para o caso da conservacao da quantidade de movimento, tem-se,

t(mUm) + ((mUmUm Tm + T

Turbm ) = p + f (3.4)

onde m indica parametros da mistura e a velocidade Um e uma velocidade media da

mistura dada por, Um = NPj=1 riiUi. Para um fluido newtoniano e utilizando um

modelo de turbulencia baseado em viscosidade turbulenta e a equacao da conservacao da

quantidade de movimento resulta,

t(mUm) + ((mUmUm

ef fm (U + U

T)))) = rmp + f (3.5)

Observe-se que, neste caso, a mistura deve ter comportamento newtoniano. E comum

que misturas de dos ou mais fluidos que tem comportamento newtoniano nas condi coes de

escoamento da mistura, quando escoam em forma conjunta, adoptem um comportamentonao - newtoniano. Este e um caso bastante comum em transporte de petroleo quando se

tem uma dispersao muito fina de agua em oleo, o que da lugar a formacao de espumas.

Neste caso, e possvel de ser feita a hipotese de homogeneidade de velocidades, ja que

o fato da dispersao ser fina possibilita a rapida equalizacao das velocidades, porem esta

mistura possu um comportamento fortemente nao - newtoniano.

A partir deste procedimento, surgem naturalmente as correlacoes para as pseudo-

propriedades da mistura como sendo,


43/90


m =

NPj=1

rii (3.6)

m =

NPj=1

rii (3.7)

Estas correlacoes sao apenas uma media das propriedades de cada fase, ponderada

pelas fracoes volumetricas das mesmas, porem existem varias outras correlacoes que se

adaptam de melhor maneira para diversas aplicacoes com diferentes regimes de esco-

amento, geometrias, comportamento reologico da mistura, etc. (ver Collier & Thome

(1995, cap. 2)). Estas correlacoes valem apenas para as propriedades intrnsecas dos flui-

dos, ja que o modelo para a viscosidade turbulenta da mistura depender a do modelo de

turbulencia utilizado. A hipotese de homogeneidade, pode ser aplicada indiferentemente

a qualquer processo de transporte. Por exemplo, para o caso em que duas fases possuam

densidades muito diferentes o que daria lugar a velocidades relativas consider aveis porem

com difusividades termicas similares poderia-se considerar um unico campo de tempera-

turas para as duas fases. Ou o caso inverso, onde em um escoamento dominado pelas

forcas de arraste pode ser considerado um unico campo de velocidades porem com fortes

gradientes termicas entre fases.

3.1.3 Modelo de Varios Campos (Multi-Field model)

O entendimento deste modelo e simples quando estabelecidas e entendidas correctamente

as hipoteses do modelo de varios fluidos, ja que e uma generalizacao daquele. Este consiste

basicamente em resolver uma equacao de conservacao para cada campo, onde um campo

pode representar fases ou diferentes configuracoes geometricas dentro de uma determinada

fase. Este conceito possibilita modelar um escoamento onde uma mesma fase aparece, por

exemplo, em forma continua e dispersa. Podowski (1999) apresenta uma aplicacao deste

modelo para o problema do escoamentos bifasico em duto em ebulicao (Boiling Duct), que

consiste em estudar um escoamento de um lquido mudando de fase no interior de um duto


44/90


aquecido nas paredes, e cuja caraterstica principal e o aparecimento, ao longo do duto,

dos diferentes regimes de escoamento descritos no captulo 2. Assim, este problema requer

um modelo que possua a capacidade de prever campos de velocidades e temperaturas para

diferentes regimes de escoamento. Na figura 3.4 e mostrada a representacao do modelo de

quatro campos, sendo estes, lquido disperso, gas disperso, lquido continuo e gas continuo.

Figura 3.4: Exemplo de diferentes estruturas geometricas para o modelo de varios campos

(Podowski (1999))

Uma vez definidos os campos, se requerem relacoes constitutivas para as forcas de

interface entre os diferentes campos. E precisamente aqui onde reside a vantagem deste

modelo, ja que diferentes modelos para as forcas de interface podem ser aplicados a uma

mesma fase dependendo da configuracao geometrica desta. Assim, e possvel por exemplo

especificar uma forca de arraste do lquido sobre o gas para quando este esta em forma

dispersa e uma outra forma desta forca para o caso em que o lquido se encontre emforma dispersa. As equacoes governantes deste modelo sao as mesmas que o modelo de

varios fluidos (Eqs. 3.1 e 3.2), onde a diferenca entre os modelos reside nas equacoes

constitutivas para o termo de interface MiI.

3.1.4 Modelo de Tres Campos (Three-Field model)

Este modelo apresentado por Kowe et al. (1988) sera aqui descrito porque, embora

seja aplicavel apenas a regimes dispersos, e utilizado amplamente por pesquisadores da


45/90


area e, em particular, foi utilizado em numerosos trabalhos para analise de escoamentos

em constricoes (Kuo & Wallis (1988), Couet et al. (1991), Boyer & Lemonnier (1996)).

O modelo de Tres Campos consiste em dividir o meio bifasico em tres campos intera-

tuantes

As bolhas ocupando o volume V cuja velocidade e v

O lquido deslocado pelas bolhas, ocupando o volume CMV e com velocidade v

O lquido intersticial que escoa longe das bolhas, ocupando o volume V V

CM

V escoando com velocidade u0.

onde V e o volume total ocupado pela mistura bifasica, e a fracao volumetrica da fase

dispersa e CM e o coeficiente de massa virtual. Este coeficiente representa a parcela de

massa que e carregada na passagem das bolhas atraves da fase continua. Este fenomeno

e ilustrado na figura a seguir extrada de Kowe et al. (1988).

Figura 3.5: Passagem de uma esfera solida atraves de um plano material

A ilustracao mostra uma esfera solida passando atraves de um plano de pontos mate-

riais (fluido) e a parte sombreada representa a massa arrastada por esta esfera. Assim,


46/90


quando um corpo se desloca atraves de um meio fluido, arrasta consigo uma parcela de

massa deste meio. No caso de um escoamento de bolha num meio lquido, estas carre-

garao uma parcela de massa da fase lquida que se movimentara com a velocidade da

bolha. E neste ponto onde, segundo os autores do trabalho, reside a principal vantagen

deste modelo. No modelo de varios fluidos, se considera que toda a fase lquida se mo-

vimenta com um campo de velocidades, obtido a partir das equacoes promediadas para

essa fase, enquanto neste modelo e considerado que apenas lquido intersticial se movi-

menta com a velocidade media da fase continua e o lquido perto das bolhas se movimenta

com a velocidade das mesmas, constituindo um modelo mais realstico para escoamentos

dispersos.

A figura 3.6 mostra esquematicamente os diferentes campos de velocidades considera-

dos neste modelo. Segundo este enfoque, e preciso introduzir uma pressao intersticial P0,

associada ao campo de velocidades do lquido intersticial diferente da pressao media P,

sendo a diferencia entre as duas proporcional ao quadrado da velocidade relativa entre as

fases, (uG uL)2.

Figura 3.6: Campos de velocidades considerados no modelo de tres campos

A velocidade u mostrada na Fig. 3.6 corresponde a velocidade local da fase liquida,

enquanto uL corresponde a velocidade media obtida atraves da promediacao da velo-

cidade intersticial do lquido e u0 e a velocidade do liquido arrastado pela fase dispersa

v.


47/90


Na opiniao do autor, quando modelados de forma correta os termos de interface, o

modelo de varios fluidos nao apresenta desvantagens com respeito a este modelo. O fato de

modelar a conservacao da quantidade de movimento da fase lquida a partir de um unica

equacao, e nao considerar que uma parcela desta fase se movimenta com a velocidade da

fase dispersa, fara apenas com que a velocidade media da fase liquida seja maior que a

velocidade intersticial, porem continua sendo um valor representativo da velocidade da

fase liquida como um todo. A velocidade obtida a partir do modelo de varios fluidos e

equivalente a representada pela linha tracejada na figura 3.6.

3.1.5 Forcas de Interface

De forma geral, a excecao do modelo homogeneo, os modelos descritos requerem

equacoes constitutivas para as forcas de interface. Na literatura, as forcas interfaciais sao

comumente divididas em dois tipos; a forca de arrasto e outras forcas (drag force e non-

drag forces). Esta distincao e feita a partir do fato de que quando um corpo e submerso

numa corrente fluda, as forcas que nao de arrasto (massa virtual e sustentacao sao as

mais comumente consideradas) aparecem mesmo quando a fase continua e considerada

inviscida.

Varios autores (Drew (1983), Drew & Lahey (1987), Kowe et al. (1988), entre outros)

analisam estas forcas de interface e apresentam modelos de calculo. Drew (1983) apresenta

uma deducao eminentemente matematica sem colocar maior enfase na fsica dos fenomenos

de interface. A proposta deste autor e deduzir equacoes constitutivas para as tensoes

viscosas e turbulentas Ti + TTurbi , para a diferenca de pressao interfacial piI pi e para

as forcas de interface MiI, em funcao das varaveis de calculo, como ri, Ui, velocidadesrelativas UiUj e suas derivadas temporais e espaciais, ri, DUi/Dt, Di =

12

(Ui+UTi )

(tensor deformacao), etc.. Para isto o autor coloca algumas condicoes as quais estas leis

constitutivas devem respeitar, a saber,

Equipresenca. Cada variavel descrita por alguma lei constitutiva deve, a priori,

depender de todas as outras variaveis, a nao ser que se prove a independencia (ou

dependencia fraca) de alguma delas.


48/90


Bom comportamento matematico. A forma matematica das leis de fechamento,

devem garantir que as equacoes diferenciais resultantes tenham uma unica solucao

e estavel.

Independencia do sistema de referencia. As leis constitutivas devem ser indepen-

dentes do sistema de referencia utilizado.

Estas condicoes, e as formas gerais para as equacoes constitutivas, sao tambem am-

plamente discutidas no trabalho de Enwald et al. (1996), porem, neste caso, sao aplicadas

a modelagem de leitos fluidizados (solido disperso em gas). A questao da independencia

do sistema de referencia de algumas formas matematicas para as equacoes constitutivas,

fundamentalmente para as forcas interfaciais e discutida ate hoje por varios autores e nao

vamos neste trabalho nos aprofundar nessa discussao.

Drew (1983), e posteriormente outros varios autores, propoem leis constitutivas como

sendo combinacoes lineares de variaveis independentes do sistema de referencia. Por exem-

plo, e sabido que algumas variaveis tensoriais, como o tensor deformacao, ou gradientes

de variaveis escalares sao independentes do sistema de referencia. Porem nesse trabalho e

mostrado que variaveis como velocidade ou aceleracao (de cada fase) nao satisfazem esta

condicao, nao podendo assim, qualquer lei constitutiva depender destas em forma direta.

Por outro lado, e mostrado que velocidades e aceleracoes relativas entre fases, sim, sao

independentes do sistema de referencia e, como veremos a seguir, as forcas de interface sao

normalmente modeladas a partir destas variaveis. Neste trabalho serao utilizadas estas

mesmas formas matematicas para estas equacoes, propondo apenas algumas modificacoes

para os coeficientes, respeitando assim, os princpios acima descritos.

As forcas de interface geralmente levadas em consideracao na modelagem de escoamen-

tos multifasicos dispersos, sao as forcas de Arraste, de Massa Virtual, de Sustentacao

e de Dispersao Turbulenta. As tres primeiras aparecem quando um corpo solido e sub-

merso numa corrente fluida viscosa, independentemente de se o regime de escoamento e

laminar ou turbulento, enquanto a forca de dispersao turbulenta, indica a dispersao da

fase gasosa (bolhas) devido a turbulencia da fase continua.

Diferentes autores, focam a construcao de modelos matematicos para as forcas interfa-

ciais, basicamente, de duas formas diferentes, porem que resultam equacoes constitutivas


49/90


similares. Em varios trabalhos, Drew e co-autores1, alem de outros autores, modelam

estas forcas a partir de um ponto de vista continuo, ou seja, mesmo sendo estas for cas

analisadas fisicamente como as forcas que aparecem sobre uma partcula numa corrente

fluida, a forma matematica destas e colocada como uma equacao constitutiva para um

meio continuo. Como ja comentado, existem numerosos trabalhos que discutem a objecti-

vidade das formas matematicas para o termo de transferencia de quantidade de movimento

interfacial ( Drew (1983), Drew & Lahey (1987), Drew & Lahey (1990)). Nesses traba-

lhos, e maior a preocupacao com esta questao do que com o significado fsico deste termo.

Portanto, sera apresentado aqui uma forma geral para o termo de interface com a qual os

autores concordam. Assim para o termo de transferencia interfacial tem-se,

MiI = A1(Uj Ui) + A2(DjUj

Dt

DiUiDt

) + A3(Uj Ui) [Uj (Uj)T] (3.8)

Os coeficientes Ai (i = 1, 2, 3) sao funcoes escalares dos invariantes mencionados acima.

Mesmo sendo este um enfoque do ponto de vista continuo, os autores se valem de uma

visao das forcas atuantes sobre uma partcula simples submersa numa corrente fluida

para avaliar os coeficientes Ai. O primeiro termo na equacao acima (Eq. 3.8) representa

a forca de arrasto, o segundo representa a forca de massa virtual e o ultimo termo a forca

de sustentacao. Expressando o tensor gradiente de velocidades em termos de deformacao

e vorticidade temos para o ultimo termo,

A3(Uj Ui) [Uj (Uj)T] = A3(Uj Ui) (U ) (3.9)

que e a forma classica para forca de sustentacao que aparece na literatura.

Outros autores procuram deduzir este termo diretamente, a partir da generalizacao,

para um conjunto de partculas, da forca sobre uma unica partcula. Assim, varios traba-

lhos (Kowe et al. (1988), Kuo & Wall

escoamento multifasico

Documents