trabalho ii proc de sinais
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Trabalho Prtico IIProcessamento de Sinais
Alan Antnio Moreira,1 Rafael Lanza Gonalves,39Richard Lourran Rodrigues Carvalho,43
2013
Resumo
Este trabalho apresenta as solues dos exerccios propostos obtidos pelos alunos, o objetivo destetrabalho foi aplicar Transformada Z e de Fourier e Projeto de Filtros Digitais, conceitos aprendidosna disciplina de Processamento de Sinais, em ambiente MatLab, e alm dos problemas propostos, apresentado as interpretaes pertinentes a cada resultado obtido.
Palavras-chaves: Transformada Z. Fourier. Filtro. FIR.
ParametrizaoA parametrizao, onde aplicvel dever ser feita pelos nmeros de chamada dos alunos na
disciplina, inicados como 1, 2, 3, sendo 1 < 2 < 3.
O valor mximo nas funes ser calculado pela mdia simples:
max =(1 +2 +3)
3 =1 + 39 + 43
3 = 27, 66 (1)
A frequncia analgica devera estar situada entre [100, 100], cujo valor deve ser o primeiromltiplo inteiro da seguinte frequncia:
0 = max(1, 2, 3) = max(1, 39, 43) = 43 * 10 = 430 (2)
A frequncia de amostragem () e escalas dos grficos devem ser, adequadamente, escolhidaspelo grupo. Observao: 0 = 2 0
Problemas Propostos
1. Considere o sistema no tempo discreto descrito pela Equao 3:
() = 12 + 39 43
3 + 22 2 (3)
1
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a) Determine se o sistema estvel (sugesto: funo zplane). Justifique.Soluo:A funo Zplane do MatLab nos ajuda a visualizar a estabilidade do sistema pois para queo haja estabilidade a Regio de Convergncia(ROC) da Equao 3 deve conter o circulounitrio, ou seja, todos os polos devem estar dentro do circulo unitrio por se tratar deuma sequncia unilateral direita.
Figura 1 Localizao dos Polos no Plano Z
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
b) Expresse a funo de transferncia na forma de zeros/polos/ganho.Soluo: Com a funo tf2zp foi possvel encontrar os valores abaixo para os zeros e polosda Equao 3.
1 ****************************************************************2 Exercicio 1 LETRA B, Funcao de Transferencia na forma Z/p/k *3 ****************************************************************45 zero =67 40.07308 1.07309
1011 polo =1213 1.0000
2
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14 2.000015 1.0000161718 ganho =1920 1
Atravs da Figura 1 podemos verificar com exatido os valores encontrados. Com isso aEquao 4 funo de transferncia na forma de zeros/polos/ganho.
() = ( + 40.07)( 1.073)( 1)( + 2)( + 1) (4)
c) Expresse a funo de transferncia atravs da decomposio em fraes parciais.Soluo:Desta vez foi utilizado a funo residuez que retorna os valores dos resduos e polos paramontar a Equao 5 retirada do help do MatLab quando o grau do numerador maior queo do denominador.
() = 11 11 + +
1 1
() = 391 + 21 +40.5
1 + 1 0.5
1 1 (5)
1 ********************************************************2 Exercicio 1 LETRA C,Decomposicao3 de fracoes Parciais *4 ********************************************************56 r =78 39.00009 40.5000
10 0.5000111213 p =1415 2.000016 1.000017 1.0000181920 k =2122 [1]2324 ********************************************************
2. Considere o sistema no tempo discreto descrito pela seguinte expresso:
1() =2
2 + 0, 2 + 0, 01 (6)
a) Determine a funo de transferncia2() de um sistema de mesmo comportamento, pormque cause um atraso de (3 1) amostras.Soluo: O atraso calculado pela Equao 7 foi aplicado a 1() como visto na Equao 9.
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3 1 = 43 1 = 42 (7)
{ [ ]} = =42
= 142
(8)
2() =1
42 + 0.241 + 0.0140 (9)
Abaixo segue a resoluo pelos comandos no Matlab.
1 ********************************************************2 Exercicio 2 LETRA A *3 ********************************************************4 ex2a_H2z =56 1/(z^40*(z^2 + z/5 + 1/100))78 ********************************************************
b) Construa a resposta ao impulso para os sistemas 1() e 2().Soluo:Verificamos as respostas utilizando a transformada inversa na Equao 10 e pgina 4.
1 {1()} = 1[] = (0.1)(+ 1)[] (10)1 {2()} = 2[] = (1)( 41)10(42)([+ 40]) (11)
Na Figura 2 obtemos a construo da resposta ao impulso.
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Figura 2 Resposta ao impulso do sistema 2() e 1()
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
3. Construa o grfico das verses amostradas dos sinais abaixo indicados. Use a funo fft (Fastfourier Tranform) para analisar os seus espectros de frequncia:
a) Multisenoidal:() = max
(sin
(120
)+ sin (0) + sin (100)
)(12)
Soluo: Na Figura 3 foram plotadas trs senoides com mesma amplitude e com frequnciasdiferentes, 215,430 e 4300 respectivas em cada grfico e o quarto grfico apresentaa soma destes sinais discretos, a frequncia de amostragem utilizada foi 60, bem acima damaior frequncia analgica do sinal final.
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Figura 3 Sinal Multisenoidal discreto
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
Uma outra forma de exibir a soma dos sinais atravs da analise de espectro, com a funofftn - N-dimensional discrete Fourier Transform. que retorna a transformada de fourier.Ver Figura 4.
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Figura 4 FFT de sinal Multisenoidal
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
b) Cossenoidal:() = max cos (0) +
max2 cos (20) (13)
Soluo:A Figura 5 a soma de dois sinais cossenoidais, com amplitudes max e max2 , e frequnciasde 430 e 860, os sinais foram plotados no domnio de tempo discreto com frequnciade amostragem de 20 para uma melhor visualizao.
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Figura 5 Sinal Cossenoidal discreto
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
Mesmos mtodos utilizados na letra A deste exerccio.
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Figura 6 FFT da soma dos sinais cossenoidais
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
c) Multisenoidal + Rudo:() = () + () (14)
Soluo:Para gerar o ruido foi utilizado a funo randn responsvel por gerar um vetor de mesmotamanho do vetor de tempo, utilizado para gerar o sinal multissenoidal, com valores alea-trios. No primeiro grfico da Figura 7 vemos o ruido e o sinal multissenoidal separados,no segundo grfico soma dos dois sinais e o ultimo grfico o segundo sinal discretizado.
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Figura 7 Sinal Multisenoidal com Rudo
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
interessante notar a diferena do espectro de frequncia do sinal sem rudo da Figura 4,agora h em toda faixa espectral da Figura 8 pequenas amplitudes que representa o ruidoem toda a faixa, alm claro das amplitudes nas frequncias do sinal.
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Figura 8 FFT Sinal Multisenoidal com Rudo
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
4. Projete um filtro FIR, passabaixas, de ordem 28, com frequncia de corte 0.
a) Trace os grficos da Resposta em Frequncia. Interprete os resultados.Soluo:O cdigo abaixo cria o filtro FIR utilizando a funo fircls1 pela Figura 9 podemos notarque o filtro passabaixas e que realmente tem um ganho de fase linear. Manipulando osvalores da funo fircls1 nota-se que quanto maior a ordem do filtro, que neste caso 28(N+1), mais ele se aproxima do ideal. Este filtro como pode ser visto tem ganho unitriona sua banda passante e atenuao bem definida em sua zona de corte.
1 %***************************************************2 %% Exercicio 4 Projeto um filtro FIR %%%%%%%%%%%3 %*Exercicio 4 Letra A********************************4 Wo=2*pi*Mo;5 fc=Mo*2;6 fs=60000;7 wn=fc/fs;89
10 FIR = fircls1(27,wn,0.999,0.0001);11 figure(10)12 freqz(FIR,1,512)13 title('Exercicio 4 Letra a aamrlgrlrc 2/2013','FontSize',14);14 %saveas(gcf,'artigo\exercicio4a.jpg')15
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16 %********************************************************
Figura 9 FFT de sinal Multisenoidal sem Rudo
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
b) Faa a excitao do filtro com os sinais construdos nos itens 3a e 3c. Plote os sinais deentrada e sada do filtro.Soluo: Na Figura 10 o mesmo sinal utilizado no exerccio 3, letra a e letra b, em vermelhoo sinal filtrado de forma quase senoidal pois a senoide de maior frequncia atenuado bemcomo o rudo desta faixa.
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Figura 10 FFT de sinal Multisenoidal sem Rudo
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
c) Construa o espectro de frequncia dos sinais de entrada e sada, interprete os resultados.Soluo: Nas figuras abaixo foram plotados dois sinais, no domnio da frequncia, atravsda Transformada de Fourier e observa-se a ao do filtro atenuando as altas frequncias.
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Figura 11 FFT de sinal Multisenoidal sem Rudo - Exerccio 3, letra a
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
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Figura 12 FFT de sinal Multisenoidal com Rudo
Fonte: Criado pelos autores em MatLab
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ResumoParametrizao