119

Tópicos Especiais em Matemática III

Profª Ms. Jussara Patrícia Andrade Alves Paiva juspaap@ig.com.br

Profª Drª Rogéria Gaudencio do Rêgo

rogeria@mat.ufpb.br

Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br)

Site da UFPBVIRTUAL: www.virtual.ufpb.br Site do curso: www.mat.ufpb.br/ead

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Ementa

A introdução à Resolução de Problemas; A Resolução de Problemas no processo ensino-

aprendizagem. O uso de materiais didáticos – os jogos no ensino de Matemática; os jogos na sala de aula.

Descrição

Os conhecimentos que o aluno constrói ao longo de sua vida originam-se inicialmente de suas

relações imediatas com o mundo e, desta forma, são predominantemente fruto de sua percepção física em um primeiro momento para, posteriormente, na medida em que os processa ou os relaciona com outros conhecimentos já elaborados, se transformarem e ganharem dimensão mais abstrata.

Deste modo, ampliando as discussões que iniciamos nas disciplinas Tópicos Especiais em Matemática I e II, na qual tratamos de alguns conteúdos da Aritmética, Álgebra e Geometria, aqui iremos tratar sobre a Resolução de Problemas e o uso de jogos como metodologias para o ensino da Matemática, e trazer elementos para sua reflexão teórica e sugestões de ação para sua prática, como futuro docente.

Certamente não é possível tratarmos aqui de todos os conteúdos ou possibilidades de abordá-los em sala de aula, em razão das limitações que a disciplina tem, considerando diversos aspectos, mas esperamos que o aqui apresentado se constitua como uma frutífera semente para outras investigações que realizar sobre o conhecimento que o aluno irá construir, com sua ajuda e mediação, por meio das metodologias abordadas nesta disciplina.

Além deste texto base, serão disponibilizados na Plataforma materiais diversos, a exemplos de sugestões de jogos; indicação de dissertações e teses que versam sobre o tema; dicas sobre livros ou endereços da Internet, para facilitar o acesso dos cursistas que desejarem ampliar sua formação docente ou que pretendem dar continuidade à sua qualificação, em cursos de Especialização, Mestrado ou Doutorado, os quais exigem uma boa carga de leitura na área na qual se intenciona realizar uma pesquisa.

Aqui destacamos, como o fizemos na disciplina anterior, que consideramos como base para a construção do conhecimento do aluno os princípios construtivistas. Nessa perspectiva, o papel do professor, ao contrário do que equivocadamente pensam algumas pessoas, é ainda mais importante do que em um processo de ensino com características tradicionais, centrado no professor. Quando atua como mediador, o professor precisa realizar a difícil tarefa de se colocar no lugar do outro, neste caso, do aluno, e refletir sobre as limitações e potencialidades que este carrega consigo para a sala de aula. Ao se colocar como

120

facilitador de um processo que é interno e pessoal no outro, faz-se necessário refletir como ele aprende e, portanto, qual o melhor percurso didático-metodológico a ser seguido.

Embora seja um campo de natureza predominantemente abstrata, ações realizadas com o auxílio de materiais concretos manipulativos têm grande importância e alguns serão sugeridos no texto, os quais poderão ser adaptados ou complementados com outros que o cursista irá encontrar em suas pesquisas ou na interação com os colegas.

Mais uma vez destacamos os cuidados necessários para o trabalho com o material concreto em sala de aula, a exemplo do tempo inicial para exploração do mesmo; da determinação de objetivos claros e pertinentes por parte do professor; da garantia do espaço para socialização de formas de raciocínio, questionamentos, procedimentos e conclusões pelos alunos e da produção de textos matemáticos quando do registro individual ou coletivo do conhecimento elaborado. Os diferentes processos e estratégias, formais ou informais, utilizados em sala de aula no momento da proposição de problemas ou desafios, devem ser respeitados e discutidos, em termos de limitações e potencialidades, o que permitirá ao aluno enxergar novas maneiras de ver um mesmo objeto ou fenômeno, enriquecendo sua formação e visão do mundo.

Os materiais de apoio às atividades aqui sugeridas podem ser confeccionados com itens de baixo custo (cartolina, emborrachado, cartão, cola branca, fitas adesivas, entre outros) e de fácil obtenção. Algumas das propostas aqui apresentadas já são conhecidas da maior parte dos educadores, mas foram lembradas em razão de seu grande valor pedagógico.

Objetivos

Nesta Unidade do Curso, apresentaremos sugestões de atividades que estão voltadas para o

desenvolvimento de conceitos específicos de Matemática e de habilidades que visam ampliar a formação geral do aluno, explorando-se: (i) sua capacidade de expressão e comunicação de ideias matemáticas; (ii) estratégias de resolução de problemas; (iii) a concentração, raciocínio, perseverança e criatividade; (vi) a troca de ideias em atividades de grupo e (vii) a compreensão da resolução de problemas e da utilização de jogos e materiais concretos como metodologia.

Unidades Temáticas Integradas

Unidade I A introdução à Resolução de Problemas

Nesta Unidade abordamos o conhecimento sobre a Resolução de Problemas considerando aspectos

históricos da Resolução de Problemas. Trazemos ainda elementos relativos à abordagem da resolução de problemas nos parâmetros Curriculares Nacionais. Na sequência, tratamos da importância da resolução de problemas na Prova Brasil e no ENEM, trazendo exemplos de como é abordada nas questões propostas nesses exames nacionais.

Unidade II A Resolução de Problemas no processo ensino-aprendizagem

Nesta Unidade apresentamos uma discussão acerca do ensino por meio de resolução de problemas,

discutindo sobre o que é um problema; a sua classificação; discutindo estratégias de como resolver um problema. Discutimos de forma ampla a utilização da resolução de problemas na sala de aula, considerando

121

também aspectos de como não se deve trabalhar com a resolução de problemas. Por fim apresentamos algumas sugestões de problemas para serem utilizados na sala de aula.

Unidade III O uso de Materiais Didáticos – Os Jogos no Ensino da Matemática

Nesta Unidade apresentamos uma discussão acerca da utilização de materiais didáticos no processo

ensino-aprendizagem. Discorremos também sobre a utilização de jogos didáticos ao longo da história. Em seguida tratamos da importância dos jogos matemáticos na formação dos alunos. Por fim, discutimos sobre como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para matemática abordam os jogos didáticos.

Unidade IV Os Jogos na Sala de Aula

Nesta Unidade tratamos de modo mais específico sobre a elaboração e a utilização de jogos na sala

de aula. Discorremos sobre as potencialidades didáticas dos jogos e sua conexão com outras metodologias de ensino. Por fim, apresentamos algumas sugestões de jogos que podem ser utilizados na sala de aula.

122

Unidade I - A introdução à Resolução de Problemas

1. Situando a temática

Apesar da expressão “resolução de problemas” nos remeter imediatamente à Matemática, na

verdade resolver problemas faz parte do cotidiano de qualquer pessoa e compreende uma atividade importante para todas as áreas de conhecimento. A importância da Resolução de Problemas vai muito além da Matemática, pois sua prática pode contribuir para o desenvolvimento das potencialidades cognitivas de nossos alunos. Para muitos educadores, um dos principais objetivos da educação deve ser o de preparar o aluno para resolver problemas. Essa competência, em um mundo dinâmico e com o volume de informações que se tem hoje, pode fazer a diferença, seja para atuação no mercado de trabalho, seja para o pleno exercício da cidadania.

O aluno que desenvolve a capacidade de resolver problemas matemáticos aumenta a sua autoconfiança; aprende a raciocinar passo a passo; a efetuar a análise de situações com as quais se depara; a utilizar conceitos e procedimentos matemáticos mais facilmente e, o que é mais importante, estará melhor capacitado a aplicar a Matemática a questões do dia-a-dia e em outros contextos.

2. Problematizando a Temática

Quando pensamos sobre o tema, alguns questionamentos surgem, tais como: Como esta

metodologia de ensino foi vista ao longo do tempo? Quais as demandas de formação docente, considerando-se os desafios relativos aos atuais sistemas de avaliação, baseados na capacidade do aluno para resolver problemas?

3. Conhecendo a Temática

3.1 Resolução de Problemas na história

A relação entre resolução de problemas e Matemática vem desde a antiguidade. Na verdade o

próprio surgimento do que hoje entendemos como Matemática ocorreu a partir da busca sistemática e racional de solução para problemas do cotidiano com os quais se depararam diferentes povos. De uma forma abrangente, pode-se dizer que a resolução de problemas esteve na base da criação dos processos de contagem e do conceito de número. A resolução de problemas práticos levou ao desenvolvimento da Matemática pelos egípcios, mesopotâmios, chineses, gregos e romanos.

Ao longo dos séculos, porém, os textos que continham diversos problemas matemáticos apresentavam uma visão muito limitada na perspectiva da aprendizagem da capacidade de resolvê-los, mesmo os livros-texto relativos aos conteúdos de Matemática, escritos no século XIX e início do século XX.

Com a migração da sociedade rural para uma sociedade industrial, aumentou a necessidade de mais pessoas terem conhecimento matemático e, portanto, cresceu a importância do ensino desta disciplina. No início do século XX, ele era predominantemente baseado na repetição de procedimentos e na memorização de regras, fórmulas e definições. A ação do professor era enfaticamente expositiva e ao aluno cabia reproduzir as informações que memorizava. O desempenho do aluno era avaliado por meio de testes que mensuravam a quantidade de informações que conseguia armazenar e em sua rapidez na execução de

123

cálculos. Com o passar dos anos e a constatação de que o modelo tradicional não funcionava, os educadores matemáticos começaram a defender que o ensino não poderia mais ser baseado na repetição e memorização, mas na compreensão dos conteúdos matemáticos (ONUCHIC, 1999).

Na década de 1940, a comunidade de educadores e pesquisadores apresentou especial interesse pela Resolução de Problemas, considerando seu ensino e aprendizagem, e surgiram os primeiros resultados de estudos realizados sobre o tema, tendo como marco o livro “How to solve it”, de George Polya, publicado em 1945. Este livro é considerado um clássico da Resolução de Problemas e ainda hoje é adotado como referência para as investigações na área. Foi traduzido em diversos idiomas, incluindo o português, sendo editado no Brasil com o título: “A Arte de Resolver Problemas”.

No início da década 1950, os trabalhos realizados sobre essa temática enfatizavam a aplicação de uma exaustiva quantidade de questões para os alunos, atribuindo mais importância às respostas dos problemas do que aos processos adotados para respondê-los. Entretanto, ainda nessa década, muitos educadores passaram a defender que o ensino de resolução de problemas deveria centrar-se mais na valorização das estratégias do que na obtenção de resultados.

Nas décadas de 1960 e 1970, o ensino de Matemática no Brasil e em muitos países foi influenciado pelo Movimento da Matemática Moderna (MMM), que enfatizava o trabalho com base na linguagem da teoria dos conjuntos, na axiomatização, nas estruturas algébricas e na lógica. O Movimento valorizava o ensino de símbolos e de propriedades e o uso de uma terminologia complexa. Segundo Pinto (2005), neste período os exercícios e as atividades deixaram de ser apresentadas na forma de perguntas ou problemas e passaram a apresentar-se na forma de sentenças para completar, diagramas para relacionar elementos, afirmações para distinguir as verdadeiras das falsas, exigindo do aluno pouco raciocínio e muito domínio da nova simbologia.

Muitas críticas foram feitas a esse Movimento, questionando-se seu excessivo formalismo, e se realmente nele se buscava preparar o aluno para atuar no mundo do trabalho ou para formar um cidadão útil a sociedade em que vivia. Em pouco tempo constatou-se que o Movimento fracassara, embora muitas décadas sejam necessárias para promover a superação dos problemas dele advindos.

A resolução de problemas ganhou espaço no sistema escolar do mundo inteiro a partir do fim da década de 1970, embora vários estudos sobre o tema já tivessem sido realizados nas décadas anteriores. Um marco dessa nova valorização da resolução de problemas ocorreu no ano de 1980, com a publicação pelo National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, do documento “An Agenda for Action: recommendations for school Mathematics of the 1980’s”, que apontava como a primeira e mais importante das suas recomendações a resolução de problemas como foco do ensino de Matemática.

Dentre as ações recomendadas por este documento destacavam-se as seguintes: o currículo de Matemática deveria ser organizado em torno da resolução de problemas; os professores de Matemática deveriam criar ambientes de sala de aula onde a resolução de problemas pudesse prosperar; e deveriam ser desenvolvidos materiais curriculares apropriados para ensinar a resolver problemas em todos os níveis de escolaridade. Segundo Onuchic (1999), este documento também ressalta que na aprendizagem da Matemática, além dos aspectos cognitivos, deve-se dar relevância a aspectos sociais, antropológicos e linguísticos, o que aponta para novos rumos curriculares.

Em 1989, no contexto de um novo documento do NCTM, “Curriculum and evaluation standards for school mathematics”, a resolução de problemas é apresentada como o objetivo principal de toda a atividade Matemática, defendendo-se no texto que os alunos devem investigar e compreender os conteúdos matemáticos por meio da resolução de problemas. Posteriormente, em 1991, o NCTM publicou o “Professional Standards for Teaching Mathematics”, com recomendações sobre como estruturar as atividades em sala de aula, de maneira que os alunos pudessem aprender a Matemática descrita na publicação anterior. Em 1995, o NCTM publicou o “Assessment Standards for School Mathematics”, que

124

indicava sugestões sobre como professores e educadores podiam se apoiar para construir práticas de avaliações que pudessem contribuir para o desenvolvimento eficiente de uma Matemática para todos.

No Brasil, no final da década de 1980 e na década de 1990, surgiram diversos estudos sobre a utilização da resolução de problemas no processo de ensino-aprendizagem. Entre eles destacam-se os trabalhos de autores como Lourdes de la Rosa Onuchic e Luiz Roberto Dante.

Com base nos “standards” publicados pelo NCTM e de forma complementar à Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), de 1996, foram editados em 1998 os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o Ensino Fundamental, sendo fruto de um trabalho que contou com a participação de especialistas de diversas instituições de pesquisa e ensino. Posteriormente, em 2000, foram editados também os PCN para o Ensino Médio (PCNEM) e seu texto complementar (os PCNEM+).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais foram elaborados procurando, de um lado, respeitar diversidades regionais, culturais e políticas existentes no país e, de outro, considerar a necessidade de construir referências nacionais comuns ao processo educativo de todas as regiões brasileiras. Esses documentos são apresentados não como uma proposta de currículo pronto e acabado, mas como subsídio para apoiar a escola na elaboração do seu programa curricular (PCN, Ensino Fundamental, 3º e 4º Ciclos). Entre as grandes novidades dos PCN está a discussão sobre a necessidade de um processo de aprendizagem contextualizado com base na realidade dos alunos, preparando-os para o exercício de uma cidadania plena, e também a adoção dos temas transversais Ética, Meio Ambiente, Trabalho e Consumo, Pluralidade Cultural e Orientação Sexual, para serem explorados em todas as disciplinas da Educação Básica.

Os PCN para o Ensino Fundamental apresentam, entre seus objetivos, o de questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, a seleção de procedimentos, além da verificação da adequação destes. Assim, constata-se a importância dada à resolução de problemas não apenas para a própria Matemática, mas também para as outras áreas de conhecimento.

3.2 Resolução de Problemas e os PCN

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), editados em 1998, continuam norteando o Ensino

Fundamental no Brasil, embora muitos de seus preceitos ainda estejam distantes da realidade de nossas salas de aula. Dentre eles destacamos o uso sistemático e adequado de metodologias de ensino alternativas ao ensino tradicional. Nos PCN específicos para Matemática no Ensino Fundamental, indica-se que a resolução de problemas deve ser vista como ponto de partida para o processo ensino-aprendizagem da disciplina. O documento ressalta, ainda, o cuidado que o professor deve ter diante da possibilidade de interpretar equivocadamente certas práticas pedagógicas, o que pode levá-lo a distorções como, por exemplo, a utilização da resolução de problemas de forma isolada, a partir de listas de problemas, cuja solução dependa basicamente da escolha de técnicas, fórmulas ou procedimentos memorizados pelos alunos.

Nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006), na parte que trata especificamente dos conhecimentos matemáticos, ressalta-se a importância de colocar o aluno como ator principal do processo educacional e a defesa de que a aprendizagem de um novo conceito pode acontecer por meio da apresentação de situações-problemas. Ao discutir sobre os diferentes propósitos da formação matemática na Educação Básica, afirma-se que “ao final do ensino médio, espera-se que os alunos saibam usar a Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano”.

Entretanto, seja na época da edição nos PCN ou hoje, verifica-se que a abordagem utilizada não é muito diferente. A resolução de problemas não desempenha o seu verdadeiro papel como metodologia para o ensino-aprendizagem de Matemática, pois, para um grande número de alunos, resolver problemas

125

significa identificar qual a operação envolvida e aplicar o algoritmo correspondente. É muito comum, nas nossas salas de aula ouvir dos alunos, diante de problemas do tipo padrão, questionamentos como: “professor qual é a conta?” ou, “professor a conta é de mais ou de menos?”. É preciso ressaltar, na aplicação da resolução de problemas em sala de aula, a importância do desafio, da necessidade de verificar possibilidades e validar processos de solução, e não apenas desenvolvê-la como uma atividade que visa determinar um resultado, após a aplicação direta de definições e técnicas.

De acordo com os PCN, a resolução de problemas deve ser vista como um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, que pode ser resumido nos seguintes princípios:

- a situação-problema deve ser o ponto de partida da atividade matemática e não as definições e exemplos. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;

- o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

- a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

Aprofundando o seu conhecimento

Leia, na íntegra, o texto dos PCN sobre o desenvolvimento da resolução de problemas como

alternativa metodológica para o ensino de matemática. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – 3º e 4º Ciclos do Ensino Fundamental (p.39)

A resolução de problemas e o ensino-aprendizagem de Matemática Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de informações, educadores

matemáticos apontam a resolução de problemas como ponto de partida da atividade matemática. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos.

A prática mais freqüente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensinado. Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas. Desse modo, o que o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e demonstrações.

Consequentemente, o saber matemático não se tem apresentado ao aluno como um conjunto de conceitos inter-relacionados, que lhes permite resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Nesse caso, a concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende por reprodução/imitação.

A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos

126

mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança.

A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática.

A resolução de problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, pode ser resumida nos seguintes princípios:

- a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;

- o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

- aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da Matemática;

- um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular;

- a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

Considerados esses princípios, convém precisar algumas características das situações que podem ser entendidas como problemas.

Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, mas é possível construí-la.

Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas, porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução.

O que é problema para um aluno pode não ser para outro, em função dos conhecimentos de que dispõe. Resolver um problema pressupõe que o aluno: - elabore um ou vários procedimentos de resolução (como realizar simulações, fazer tentativas, formular

hipóteses); - compare seus resultados com os de outros alunos; - valide seus procedimentos. Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando

procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do conhecimento envolvido.

Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam provar os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução.

127

O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos – que admitem diferentes respostas em função de certas condições - evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos.

Texto disponível em <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf>

As orientações defendidas nos PCN, assim como as presentes nas Diretrizes Nacionais para a

Educação Básica, estabeleceram marcos referenciais que posteriormente foram adotados, como veremos no presente texto, no sistema de avaliação da Educação Básica criado pelo MEC, em particular quanto à capacidade de resolução de problemas matemáticos pelo aluno.

3.3 A resolução de problemas na Prova Brasil e no ENEM.

A resolução de problemas tem sido o foco dos sistemas de avaliação de ensino, como o Sistema

Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), aplicado pelo Ministério da Educação (MEC), e também do Programa Internacional de Avaliação de Alunos (Pisa), desenvolvido pelos países participantes da Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), entre eles o Brasil.

O SAEB é compreendido por um conjunto de avaliações que visam estabelecer um diagnóstico do

ensino nacional, em larga escala, tendo por base uma matriz de descritores estruturada sobre o foco da resolução de problemas. De acordo com o Relatório SAEB 2001 (p.19), “essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução”.

Dialogando e Construindo Conhecimento

O Relatório do exame SAEB, aplicado em 2001, a uma amostra do universo de estudantes brasileiros, revela que mais da metade dos alunos da 4ª. Série do Ensino Fundamental (atual 3º. Ano), então avaliados, apresentavam apenas habilidades matemáticas elementares, bem aquém do esperado para alunos nesse nível de escolaridade. No mesmo quadro de deficiência encontrava-se a maioria dos alunos da 8ª. Série do Ensino Fundamental (atual 9º. Ano) e da 3ª. Série do Ensino Médio, indicando que eles haviam incorporado pouco conhecimento aos elaborados até o final da fase de escolaridade anterior.

Às dificuldades geradas pela falta de domínio de conteúdos matemáticos, somam-se as decorrentes

da dificuldade de lidar com a resolução de questões que fujam dos padrões explorados em sala de aula ou das situações propostas quando da apresentação do conteúdo.

PARA SABER MAIS: conheça os descritores da Prova Brasil para Matemática do 5º ano e do 9º ano do Ensino Fundamental disponíveis na pasta de textos complementares, na Plataforma da Disciplina.

128

De acordo ainda com o mesmo documento citado (p.19), A Matriz de Referência de Matemática do Saeb 2001 privilegia a resolução de problemas. Dessa forma, deve-

se levar em conta o fato de a aprendizagem só se realizar quando um aluno é capaz de utilizar uma noção apreendida para resolver um problema diferente daquele que deu origem à construção da noção, bem como quando questiona as resoluções efetuadas e as respostas encontradas. Por isso, o teste busca constituir-se, prioritariamente, por situações em que a resolução de problemas seja significativa para o aluno.

A Prova Brasil faz parte do SAEB e é aplicada pelo Ministério da Educação (MEC), a todos os

alunos do 5º ano e do 9º ano do Ensino Fundamental da rede pública de ensino das áreas urbanas do país, nas áreas de Língua Portuguesa e Matemática. Na primeira, o foco está na capacidade de leitura do aluno; na segunda, em sua capacidade de resolver problemas. A matriz de referência para a elaboração das questões é a mesma adotada para as provas do SAEB que, como já afirmamos, são aplicadas a apenas uma parcela dos estudantes das séries avaliadas na Prova Brasil, além de alunos do último ano do Ensino Médio.

Na matriz de referências de Matemática adotada para a prova, os Descritores estão relacionados por

campo de conhecimento, semelhantes aos identificados nos PCN: espaço e forma (descritores D1 a D5); grandezas e medidas (descritores D6 a D12); números e operações/álgebra e funções (descritores D13 a D25) e tratamento da informação (descritores D26 a D28). Para que você possa se situar melhor na discussão acerca da estrutura das questões propostas e sua relação com os descritores adotados, vamos analisar algumas das questões de Matemática da Prova Brasil, disponibilizadas no sítio do INEP/MEC.

Dialogando e Construindo Conhecimento

As questões relacionadas ao primeiro descritor do tema Espaço e Forma, por exemplo,

tomando por base o que é avaliado nos testes do SAEB e da Prova Brasil, visam identificar se o aluno é capaz de reconhecer a localização ou movimentação de uma pessoa ou objeto no espaço, considerando pontos de vista diversos, por meio da descrição e representação de sua posição.

Desse modo, os itens envolvem noções referentes: à localização ou movimentação, com base

em um ponto de partida presente em um mapa, gráfico, croqui ou roteiro, utilizando-se comandos simples de lateralidade (esquerda, direita, atrás, acima, abaixo, entre outros); à identificação da posição de um objeto ou pessoa; ou à indicação de um trajeto para ir de um lugar a outro.

As questões da Prova Brasil são elaboradas da maneira indicada, de modo a contemplar o maior

número possível de descritores dos diversos campos da matemática considerados.

PARA SABER MAIS: acesse os documentos relativos à Prova Brasil de Matemática para as séries avaliadas, no site abaixo indicado, inteirando-se dos diversos descritores adotados, bem como da estrutura sugerida para as questões relacionadas a cada um deles.

http://provabrasil.inep.gov.br/index.php?option=com_content&task=view&id=20&Itemid=18

129

Para ilustrar, observe os problemas apresentados em seguida, tendo o primeiro deles o seguinte enunciado: Ricardo anda de bicicleta na praça perto de sua casa, representada pela figura abaixo (Prova Brasil, 5º Ano):

Se ele der a volta completa na praça, andará (A) 160 m (B) 100 m. (C) 80 m. (D) 60 m. Este problema, além de exigir do aluno que ele tenha familiaridade com ideias relativas a

grandezas, exige medições e cálculos de perímetro do percurso indicado, destacando-se o fato de que não foi demandada uma definição formal, mas a aplicação do conceito de perímetro. Tal estrutura sustenta-se no que é defendido pelo SAEB, quanto à necessidade de trabalhar a resolução de problemas em sala de aula tendo como objetivo capacitar o aluno para a aplicação das ideias centrais relativas aos conceitos matemáticos, em situações diversas e, em particular, às ligadas ao cotidiano, e não apenas para a memorização de definições. No caso da questão apresentada, vale ressaltar a exploração de um valioso instrumento para o trabalho com conteúdos matemáticos: a malha quadriculada, na qual podem ser elaborados conhecimentos relativos aos conceitos de perímetro e área; números racionais; porcentagem e tratamento da informação.

Observe outro exemplo de questão da Prova Brasil, indicada para a mesma série do Ensino Fundamental: Um fazendeiro tinha 285 bois. Comprou mais 176 bois e depois vendeu 85 deles. Quantos bois esse fazendeiro tem agora?

(A) 266 (B) 376 (C) 476 (D) 486 A questão envolve as operações de adição e subtração com números naturais, com base em uma

sequência de ações de modificação do valor numérico inicial, devendo o aluno estabelecer uma relação entre as operações citadas e situações reais, sendo vários os procedimentos que poderiam ser adotados para sua resolução. O enunciado tem uma estrutura simples, com base em frases curtas, e nele não há excesso de dados, além do fato de que estes se encontram na sequência em que podem ser diretamente usados pelo aluno. Vale destacar que muitos dos problemas presentes na Prova Brasil possuem enunciados com textos curtos, ou seja, um problema não precisa, necessariamente, ter um texto longo para ser interessante. Ele o será na medida em que levar o aluno a ser desafiado e a pensar em estratégias para resolver a situação proposta.

O fundamental é que o professor leve os alunos a elaborarem conhecimentos matemáticos de modo a poder aplicá-los em contextos diversos, inclusive diferentes dos que se apresentaram quando do estudo do conteúdo em sala de aula. Deve evitar o uso direto e exagerado de regras e procedimentos formais, promovendo situações nas quais o aluno possa levantar e verificar a pertinência de suas hipóteses; mediar seu raciocínio com o uso de materiais concretos, desenhos ou gráficos; e construir conhecimento por meio da ação e da reflexão sobre a ação.

130

Resultados semelhantes aos obtidos pelos alunos submetidos aos testes do SAEB e da Prova Brasil, colocando a maior parte de nossos alunos em faixas preocupantes de desempenho, foram alcançados pelos estudantes avaliados nos testes do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) aplicados até o presente ano. O ENEM é um exame individual, de caráter voluntário, do qual participam anualmente os estudantes que estão concluindo ou que já concluíram o Ensino Médio em anos anteriores e seu objetivo principal é possibilitar uma referência para autoavaliação, a partir das competências e habilidades que o estruturam.

O ENEM procura trazer questões interdisciplinares e contextualizadas, colocando o estudante diante de situações-problemas que exigem dele saber aplicar conceitos para resolvê-las. Entre as competências que o ENEM procura avaliar estão: selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações, representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema; relacionar informações, representadas em diferentes formas e aplicar conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente.

De acordo com o Relatório de desempenho dos alunos na prova do ENEM 2001 (p.152), “elaborada a partir de situações-problema que procuram representar situações do cotidiano e requerem o domínio de leitura compreensiva, uma vez que os principais elementos implicados na solução dos problemas estão enunciados no texto expositivo”, o fraco desempenho dos alunos pode estar ligado às suas dificuldades de compreensão dos enunciados das questões, ou seja, “é possível que o domínio precário dos esquemas cognitivos que possibilitam a leitura compreensiva explique, em parte, os resultados, na faixa de desempenho “insuficiente a regular””.

De acordo com o documento, “os resultados de 2001 evidenciam que a maioria dos participantes ainda não desenvolveu a estrutura fundamental para interagir de forma autônoma com o mundo que o cerca, que é a leitura compreensiva, base de toda nossa comunicação e expressão” (p.158). A capacidade de ler e compreender o que se apresenta em um texto é fundamental para o desenvolvimento de sua competência para lidar com a resolução de problemas matemáticos, que ficará comprometida caso tal capacidade seja deficiente.

Assim como nos casos das provas de avaliação de desempenho já discutidas, o ENEM tem como foco a capacidade de leitura e interpretação do aluno, bem como de resolução de problemas envolvendo conhecimentos das diversas áreas estudadas no Ensino Médio. Para exemplificar, analise o enunciado das duas questões apresentadas em seguida, presentes em avaliações do ENEM. A primeira delas é a seguinte:

Uma pessoa de estatura mediana pretende fazer um alambrado em torno do campo de futebol de

seu bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a trena para realizar a medição. Para resolver o problema, a pessoa cortou uma vara de comprimento igual a sua altura. O formato do campo é retangular e foi constatado que ele mede 53 varas de comprimento e 30 varas de largura. Uma região R tem área AR, dada em m2, de mesma medida do campo de futebol, descrito acima.

A expressão algébrica que determina a medida da vara em metros é

131

O enunciado da segunda questão é este: A cada ano, a Amazônia Legal perde, em média, 0,5% de suas florestas. O percentual parece pequeno, mas equivale a uma área de quase 5 mil quilômetros quadrados. Os cálculos feitos pelo Instituto do Homem e do Meio Ambiente da Amazônia (Imazon) apontam um crescimento de 23% na taxa de destruição da mata em junho de 2008, quando comparado ao mesmo mês do ano 2007. Aproximadamente 612 quilômetros quadrados de floresta foram cortados ou queimados em quatro semanas. Nesse ritmo, um hectare e meio (15 mil metros quadrados ou pouco mais de um campo de futebol) da maior floresta tropical do planeta é destruído a cada minuto. A tabela a seguir mostra dados das áreas destruídas em alguns Estados brasileiros.

Supondo a manutenção desse ritmo de desmatamento nesses Estados, o total desmatado entre

agosto de 2008 e junho de 2009, em valores aproximados, foi de:

(A) inferior a 5.000 km2 (B) superior a 5.000 km2 e inferior a 6.000 km2 (C) superior a 6.000 km2 e inferior a 7.000 km2 (D) superior a 7.000 km2 e inferior a 10.000 km2 (E) superior a 10.000 km2 O que podemos observar de comum entre as duas questões aqui trazidas para discussão? Percebe-se

que os textos dos enunciados são extensos, o que pode levar a uma dificuldade imediata para aqueles alunos que não estão habituados a trabalhar com situações-problema que tenham esta estrutura. Nos problemas utilizados no ENEM percebe-se a preocupação de propor questões interdisciplinares e contextualizadas, que podem demandar do aluno a utilização de conceitos de várias áreas de conhecimento ao mesmo tempo, prática que também não é muito comum em nossas salas de aula.

Considerando-se a possibilidade do ENEM ser cada vez mais utilizado como forma de ingresso nas universidades públicas brasileiras, a tendência é que este se constitua como modelo para as demais provas de ingresso vestibular que, em geral, mantém um padrão tradicional e superado de avaliação. Deste modo, pelas diversas razões até aqui apresentadas em defesa da resolução de problemas como estratégia metodológica para o ensino de Matemática, ao final da Educação Básica o aluno deve estar apto a resolver situações-problemas, identificando as informações matemáticas que permeiam o nosso cotidiano, utilizando-as de modo crítico e pertinente.

Ressaltamos, ainda, que as avaliações promovidas por meio da prova do SAEB, da Prova Brasil e do ENEM, têm o objetivo de fazer um diagnóstico em larga escala do sistema educacional brasileiro, avaliando habilidades e competências adquiridas pelos alunos ao longo da Educação Básica. Do mesmo modo, ao trabalhar em sala de aula com a aplicação de problemas, o professor deve adotar uma abordagem o mais abrangente possível, explorando os vários aspectos envolvidos nas questões propostas e nas

132

diferentes estratégias de resolução, procurando estimular o desenvolvimento das potencialidades intelectuais e afetivas do aluno.

Ampliando seu Conhecimento

4. Avaliando o que foi construído

Atividades: 1) Elabore um resumo do texto “A resolução de problemas e o ensino-aprendizagem de

Matemática” dos Parâmetros Curriculares Nacionais, destacando as principais ideias nele defendidas. 2) Relate como foi sua experiência relacionada à resolução de problemas, quando você era aluno

dos Ensinos Fundamental e Médio. Como seu professor de Matemática trabalhava em sala de aula? Como eram os problemas propostos? Como era sua postura diante deles?

5. Referências

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros

curriculares nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1998. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. ENEM, Disponível em

<http://public.inep.gov.br/enem/Enem2009_matematica.pdf> ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de

problemas. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999.

DICA 1: Procure saber mais sobre a Prova Brasil no portal do MEC, acessando por meio do endereço eletrônico: <www.mec.gov.br>

DICA 2: Procure saber mais sobre o Enem na internet, acessando o endereço eletrônico: <http://historico.enem.inep.gov.br/>

133

Unidade II - A Resolução de Problemas no processo ensino-aprendizagem

1. Situando a temática

A resolução de problemas vem sendo alvo de estudos e pesquisas há vários anos, porém, como já

comentamos anteriormente, sua efetivação no ensino da Matemática ainda não alcançou a amplitude recomendada. É importante ressaltar que muitos professores não tiveram na formação básica e nem na formação profissional a oportunidade de lidar com a resolução de problemas como uma metodologia de ensino.

Analisando-se a relação entre ensino de Matemática e resolução de problemas, verifica-se que há basicamente três modos diferentes de abordá-la: ensinar sobre resolução de problemas; ensinar a resolver problemas e ensinar por meio da resolução de problemas (SCHOEDER e LESTER, apud ONUCHIC, 1999). O primeiro modelo, ensinar sobre resolução de problemas, consiste em evidenciar o estudo sobre os modelos e procedimentos utilizados para a resolução de problemas, ressaltando a estrutura desses procedimentos como, por exemplo, o apresentado por Polya (2006), do qual trataremos adiante.

No segundo modelo, ensinar a resolver problemas, o professor se concentra nas formas como os problemas matemáticos podem ser resolvidos e como chegar à sua resposta. Concentra-se o processo no ato de ensinar a resolver corretamente os problemas e como utilizar processos, procedimentos e conhecimentos matemáticos para isso. Já no ensino por meio da resolução de problemas, estes são vistos não só como ponto de partida para a aprendizagem da Matemática mas, também, como o meio principal de fazê-lo. Nessa perspectiva, o ensino de determinado conteúdo matemático começa com uma situação problema e, a partir dela, são desenvolvidas discussões que levam à elaboração daquele conteúdo pelos alunos. Essa aprendizagem pode ser entendida como um movimento onde se parte de um problema do mundo real, para sua posterior representação matemática.

2. Problematizando a Temática

O processo ensino-aprendizagem por meio de Resolução de Problemas é atualmente um dos

caminhos metodológicos mais considerados e incentivados pelos pesquisadores da área, os quais defendem que esse modelo ajudaria a desenvolver a estrutura cognitiva do aluno, exercitar sua criatividade e torná-lo capaz de aprender significativamente podendo, assim, aplicar o conhecimento adquirido em diferentes contextos da própria Matemática e em outras áreas de conhecimento, além de situações da vida cotidiana. Nessa perspectiva de trabalho, que enfatiza o processo de resolução, é possível ao professor analisar a forma como o aluno pensou; identificar quais as estratégias que ele utilizou; identificar quais as dificuldades que ele encontrou ao longo do processo.

Embora o espaço de sala de aula, seja um lugar especial onde os conceitos podem ganhar vida e o aluno construir seus conhecimentos, trabalhar com resolução de problemas não é tarefa fácil. Os professores, em geral, apontam diversas dificuldades para isso, dentre as quais se destacam:

- a grande quantidade de alunos na sala; - a quantidade de conteúdos que precisam ser trabalhados ao longo do ano letivo; - o tempo demandado para a correção de problemas na sala de aula; - as dificuldades dos alunos relativas à leitura dos enunciados dos problemas. Além dessas dificuldades apontadas pelos professores, muitos especialistas apontam outras como a

falta de uma formação inicial dos professores na aplicação da resolução de problemas e o receio de que sejam levantadas questões que eles não saibam responder.

134

Entretanto, mesmo que não se possa contestar que muitas dessas dificuldades sejam reais, elas podem ser minimizadas pela utilização adequada da resolução de problemas. Portanto, a discussão pode começar pelas seguintes questões:

- Quando trabalhar com problemas? - É mesmo possível ensinar por meio da Resolução de Problemas? - Quais as dificuldades mais comuns e como podem ser evitadas nesse processo? - Qual a melhor forma de trabalhar com a resolução de problemas em sala de aula? - Que cuidados são necessários para a formulação e a solução de problemas? - Que tipos de problemas posso utilizar?

3. Conhecendo a Temática

3.1 O Ensino por meio de resolução de problemas A resolução de problemas tem inspirado vários pesquisadores a pensarem em estratégias didáticas

centradas no processo de solução, para serem utilizadas em salas de aula. Para isso, é importante que se proponha a maior diversidade possível de problemas, para estimular o aluno a buscar diferentes formas de resolvê-los, seja por meio de algoritmos, desenhos, esquemas, ou da oralidade.

Em uma perspectiva tradicional de ensino de Matemática, o professor trabalha o conteúdo, propõe alguns exercícios de aplicação direta de procedimentos e definições e o que denomina de problemas de aplicação. O processo de ensino/aprendizagem resume-se, neste modelo, a basicamente duas ações: 1) propor questões e 2) resolver as questões propostas - o que é, em geral, feito pelo próprio professor. Em seguida os alunos fazem o registro da resposta apresentada por ele, sem que seja questionada sua compreensão.

Nesta perspectiva, a atitude predominantemente valorizada é a busca do algoritmo para resolver questões padrões o que faz com que a maioria dos nossos estudantes se habitue ao uso mecânico de regras e fórmulas. Isto não é trabalhar com a resolução de problemas. Resolver problemas exige adotar uma atitude de investigação em relação ao que foi proposto e o questionamento às respostas obtidas. Desde as séries iniciais do Ensino Fundamental, o professor deve trabalhar em sala de aula com problemas que sejam motivadores para os alunos, procurando elaborar questões que envolvam sua realidade e interesses.

O estudante deve ser levado ao questionamento do problema, de seus dados, das suas condicionantes, do plano de resolução e das respostas obtidas. Desta forma, prepara-se o espírito crítico que desejamos para os nossos alunos. Por outro lado, do professor exige-se uma nova postura em sala de aula. Ele precisa ser paciente, aprender a ouvir o aluno, seguir o seu raciocínio, compreender quando o mesmo está pronto para solucionar a questão, orientá-lo quando ele perder o fio da meada, incentivando-o a procurar novos caminhos com suas próprias pernas. E, sobretudo, valorizar os diversos momentos em que é possível trabalhar com a leitura, interpretação e produção de textos pelos alunos.

Aprender a resolver problemas é um processo que não resulta automaticamente do domínio de um conteúdo específico. Exige tempo para as descobertas, para a aquisição de segurança para a tomada de decisões e para a maturação. É uma prática que desenvolvemos ao longo da vida, pois nunca estaremos prontos para enfrentar qualquer tipo de problema com o qual nos depararemos e seu enfrentamento poderá proporcionar a oportunidade de aprender algo novo.

Assim, os objetivos principais da utilização da metodologia de resolução de problemas, como principal abordagem para o ensino de Matemática são os de levar os alunos a pesquisar e compreender os conteúdos matemáticos; formular situações problemas e identificar problemas no dia a dia; desenvolver e

135

aplicar estratégias para resolver uma grande variedade de problemas; verificar e interpretar os resultados relativos ao problema inicial e adquirir confiança em utilizar a Matemática de maneira significativa.

3.2 Mas, o que é um problema? Nesta seção, abordaremos a questão apresentada em seu título, ressaltando-se, porém, que não é

possível estabelecer para ela uma resposta única e completa, já que isto depende do contexto em que a mesma está inserida.

Para uma primeira aproximação, traremos a definição encontrada em dicionários da Língua Portuguesa, que consideram problema como “questão não resolvida e que é objeto de discussão, em qualquer domínio do conhecimento” (Dicionário Aurélio), ou como uma “situação difícil, algo de difícil explicação ou solução, uma questão a ser solucionada” (Dicionário Houaiss).

Uma definição clássica é a que considera problema como uma situação que um indivíduo ou um

grupo precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve a solução (LESTER,apud ONUCHIC 1999). Assim, um problema pode ser entendido como um obstáculo que se apresenta diante do indivíduo, ao enfrentar determinada situação e, para ultrapassá-lo faz-se necessário lançar mão de seus conhecimentos.

De um modo geral, temos um problema quando estamos diante de uma situação reconhecida como

tal, que nos pede uma resposta, e nós não temos como encontrá-la de forma imediata. Portanto, o problema do qual estamos falando é aquele que demanda um processo de reflexão na procura de meios para resolvê-lo e um problema matemático seria todo problema que envolve algum tipo de raciocínio matemático na sua solução. A resolução de problemas está, desta forma, associada à aquisição e desenvolvimento de procedimentos, compreendidos como um conjunto de ações organizadas, com o objetivo de se alcançar determinadas metas.

Mas como selecionar, no conjunto de estratégias de que disponho, as mais adequadas para resolver

um problema proposto? Elas estão organizadas cognitivamente de acordo com a natureza da questão que enfrento? Antes disso, é possível classificar os problemas? Em caso afirmativo, o que deve ser usado como referência para tal categorização?

3.3 Classificando os problemas: um entre vários caminhos possíveis

Existem diversas propostas de classificação de problemas, que variam bastante de autor para autor,

dependendo da abordagem que adotam ou da compreensão que têm sobre o tema. Uma forma de classificar os problemas é distingui-los em função das atividades que as pessoas realizam para a sua resolução. Assim, os problemas poderiam utilizar o pensamento reprodutivo, que consiste apenas na aplicação de métodos já conhecidos, ou aplicar o pensamento produtivo, que consiste na produção de novas soluções a partir da reorganização dos elementos do problema (POZO e ENCHEVERRÍA, 1998).

Outra classificação bastante difundida foi elaborada por Dante (2000), que identificou seis tipos de

problemas, com as características destacadas no quadro a seguir.

136

CLASSIFICAÇÃO CARACTERÍSTICAS

1. Exercícios de reconhecimento

Tem como objetivo fazer com que os alunos reconheçam, identifiquem, lembrem de algum conceito, definição ou propriedade.

Ex.: Dados os números -2; 4; 0,75; 2,3; 0; 4/7, quais são números naturais?

2. Exercícios de algoritmos

Tem por objetivo a aplicação de um algoritmo previamente estudado. Muito utilizado para treinar a aplicação dos algoritmos das operações elementares.

Ex.: Utilize a propriedade distributiva para simplificar a seguinte expressão algébrica. 3(x – 5) – 2x + 1.

3. Problemas padrões

Tem por objetivo a aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos, e em geral, não exige qualquer estratégia. São os tradicionais problemas de final de capítulo nos livros didáticos. A solução do problema já está contida no próprio enunciado, e a tarefa básica é transformar a linguagem usual em linguagem matemática, identificando as operações ou algoritmos necessários para resolvê-lo. Em geral esses problemas não dasafiam os alunos a desenvolverem estratégias.

Ex.: Para realizar um trabalho de artesanato são necessários 2400 palitos de picolés. Sabendo que cada saco contém, em média, 40 palitos e que cada caixa contem 10 sacos, quantas caixas serão utilizadas neste trabalho.

4. Problemas-processo ou heurísticos

Tem por objetivo levar o aluno a pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia que poderá levá-lo à solução. Em geral desafiam os alunos a pensarem em estratégia de reolução e, por isso, tornam-se mais interessantes do que os problemas padrões. Permitem que o aluno desenvolva sua criatividade, a sua iniciativa e seu espírito explorador. Na aplicação desses problemas, em muitos casos, a estratégia e os procedimentos utilizados são mais importantes que a própria resposta correta dos mesmos.

Ex: Quatro amigos se encontram e trocam cumprimentos. Quantos apertos de mão são trocados, se cada um cumprimenta o outro uma única vez? E se ao invés de quatro, fossem cinco amigos, quantos apertos de mão seriam dados?

5. Problemas de aplicação ou situações-problema

Esses têm por objetivo a busca de resposta a alguma situação contextualizada que necessita da Matemática para a sua resolução. Visam matematizar situações do cotidiano. É muito comum, na reslução desses problemas, a utilização de tabelas e gráficos. Podem ser desenvolvidos também por meio de projetos que envolvem a Matemática com outras áreas do conhecimento.

Ex.: Seu Manoel vai construir uma cerca em um canteiro quadrado. Para isso, usará 6 postes verticais em cada lado do canteiro. Quantos postes ele deverá comprar no total?

6. Problemas de quebra-cabeça.

Tem por objetivo desafiar o aluno a perceber um artifício para a obtenção da resposta do problema. A resolução na maior parte das vezes depende da percepção desse artifício do que da utilização de algoritmos matemáticos.

Ex. : Mexendo um palito de fósforo, deixe a igualdade abaixo correta:

Outra classificação tenta dividir os problemas em dois tipos: os convencionais e os não-

convencionais. Os problemas convencionais seriam aqueles de estruturas de texto mais simples, com informações e solução mais direta. São os mais utilizados nos livros didáticos até hoje. Dentro desse

137

aspecto, os problemas muitas vezes são chamados de exercícios. Já os problemas não-convencionais seriam aqueles que se apresentam de forma mais elaborada, com contextualização da situação, requerendo na sua resolução o estabelecimento de estratégias (STANCANELLI, 2001).

Aqui cabe discorrer sobre a distinção entre o que é um problema e o que é um exercício, tratada pela maioria dos autores que investigam sobre o tema. Quando um aluno está fazendo um exercício e quando está resolvendo um problema? De uma forma geral, podemos entender que estamos diante de um exercício quando dispomos ou utilizamos mecanismos que nos levam de forma imediata a uma solução. Na resolução de um problema, em geral, necessitamos de um processo de reflexão ou uma tomada de decisão sobre a sequência de passos a serem seguidos. Essa distinção nem sempre é muito simples, pois às vezes o que é considerado problema para um aluno, para outro é um exercício.

Parte dessa distinção também tem importância o papel que o professor desempenha no ensino. Na resolução de problemas o professor tende a diferir em alguns aspectos do papel tradicional, baseado na transmissão expositiva do conhecimento. Um enunciado com estrutura padrão, que poderíamos classificar como exercício, poderia ser transformado em um problema, a partir da mediação realizada pelo professor. Esta reflexão é importante para a compreensão de que a forma do professor utilizar a resolução de problemas como ferramenta de ensino pode ser mais importante do que a classificação do problema.

Há diversas propostas de classificação de problemas, de acordo com as características que se queira destacar, e a quantidade de critérios existentes, elaborados por diversos autores, é proporcional às críticas que lhes são feitas. Entretanto, independentemente do enquadramento de um problema em determinada classificação, o fundamental é compreender as diversas características que nela são consideradas. O entendimento dessas especificidades é importante para o processo de seleção de um problema para ser utilizado na sala de aula, ou mesmo na escolha de qual a melhor forma de conduzir didaticamente sua resolução, proporcionando a construção de conceitos e o desenvolvimento de competências e habilidades.

3.4 Como resolver um problema

Quando a resolução de problemas passou a constituir um campo próprio de investigação,

considerando-se suas potencialidades e limitações como recurso didático-metodológico, questões relativas à natureza e classificação dos problemas se fizeram presentes e igual atenção recebeu o processo de resolução destes, uma vez que não era mais importante apenas encontrar uma resposta para o que se propunha.

É fácil compreender que o procedimento adotado para resolver um problema pode variar de pessoa para pessoa, o que depende da estrutura do próprio problema e do seu nível de dificuldade para quem o está resolvendo. Além disso, há muitas formas de alguém resolver um mesmo problema. Porém, uma proposta de descrição de um procedimento geral de resolução de problemas, de qualquer natureza, foi apresentada por George Polya (2006), no texto já citado na Unidade anterior. Denominada “Heurística de Polya”, compreende um conjunto de fases que até hoje serve de referência para a discussão sobre o tema, e tem grande utilidade para o planejamento da prática docente relativa ao desenvolvimento da resolução de problemas em sala de aula.

Nós discutiremos cada uma dessas fases, entendendo que elas não são absolutamente rígidas ou infalíveis, uma vez que o processo de resolução de um problema não se limita apenas a seguir instruções passo a passo até se encontrar uma resposta. É um processo complexo e pessoal, mas a explicitação e compreensão dessas etapas ajudam a nos orientarmos na busca de soluções para os desafios postos.

A fase 1 do procedimento heurístico envolve Compreender o Problema. Um professor, certa vez, colocou um problema no quadro e o resolveu. Ao perguntar aos alunos se eles haviam entendido a resposta, um deles afirmou que não tinha entendido nem mesmo a pergunta. Na verdade, compreender bem o problema é a fase inicial e indispensável do processo.

138

É importante a familiarização com os diversos aspectos envolvidos, para que o aluno compreenda o problema. Para isso, podem ser levantadas questões como: sobre o que o problema trata? Estou compreendendo o que o texto quer comunicar? O que se pede, o que se procura no problema? O que se quer resolver nele? Qual é a incógnita e quais são os dados? Quais as condições iniciais? As informações contidas no enunciado são suficientes para determinar a incógnita? É possível fazer uma representação gráfica da situação? É possível estimar uma resposta?

Neste momento é necessário que o aluno seja levado a enxergar o problema sob vários pontos de vista. Ele precisa não só compreendê-lo mas, além disso, desejar resolvê-lo. Daí a importância da escolha do problema de acordo com aspectos cognitivos, culturais e sociais dos alunos. A capacidade de se fazer perguntas relativas ao problema, as quais serão úteis para a determinação de sua solução, pode ser desenvolvida com a ajuda do professor, por meio de questões propostas por ele em um primeiro momento, até que os alunos sejam capazes de, por si só, conduzirem o processo.

A fase 2 da heurística compreende Elaborar um Plano de Ação. Para elaborarmos um plano de ação devemos estabelecer uma conexão entre os dados presentes no problema e o que ele pede. Muitas vezes partimos da linguagem usual e chegamos a uma sentença matemática, ou seja, obtemos a codificação das informações presentes no enunciado na linguagem matemática. Alguns questionamentos podem ajudar nesta etapa, como: você já resolveu um problema parecido com este anteriormente? Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este? É possível fazer o tratamento dos dados por meio de tabela e depois fazer um gráfico ou diagrama? É possível resolver o problema por partes? É possível traçar um ou vários caminhos em busca da solução?

O caminho da compreensão do problema até a ideia de um plano nem sempre é fácil. A ideia do plano pode surgir de forma gradual, pode surgir depois de tentativas fracassadas, ou mesmo de uma ideia repentina e imediata. Isto pode depender do problema, e também dos conhecimentos prévios dos alunos e de suas experiências pregressas na resolução de problemas. Quanto mais problemas diferentes eles resolvem, maior a quantidade de referências que possuem para consultas pessoais.

A discussão sobre os caminhos e estratégias a serem utilizadas pode ser uma das fases mais ricas na utilização didática da resolução dos problemas. Por esta razão, a seleção dos problemas a serem trabalhados em sala de aula deve ser criteriosa e receber especial atenção. A potencialidade de uma questão, do ponto de vista cognitivo, não está na estrutura do enunciado, mas nas suas possibilidades, em termos de diversidade de estratégias de solução, como veremos nos exemplos explorados após a apresentação das fases da heurística. Aqui cabe ressaltar a linha tênue com a qual o professor se depara, pois na discussão do problema não podem ser dadas informações que permitam ao aluno identificar a solução de forma imediata, transformando o problema em exercício.

Na fase 3, que compreende Executar o Plano, é preciso por em prática as estratégias elaboradas, observando, analisando e registrando cada passo a ser dado, efetuando os cálculos e procedimentos necessários. Quanto mais detalhada for a etapa de elaboração do plano, mais fácil será sua execução. O aluno obtém, após a realização desta etapa, o que é convencionalmente chamado de resposta do problema. Aqui podem ser identificadas dificuldades dos alunos com a utilização de alguns algoritmos ou na compreensão de alguns conceitos matemáticos.

Na fase 4, o convite é para Verificar, realizar uma análise retrospectiva do processo. Essa etapa é, sem dúvida, um excelente exercício de aprendizagem e serve também para detectar e corrigir os possíveis equívocos. Ao analisarmos a solução obtida, estamos repassando todo o percurso de resolução do problema, fazendo com que o aluno reveja como pensou inicialmente, como encaminhou a estratégia de solução, como efetuou os cálculos e a pertinência da resposta encontrada, enfim, todo o caminho percorrido até a resposta encontrada. Podemos ainda, nesta fase, levantar alguns questionamentos sobre outras

139

possibilidades de resolução, caminhos que levem, por exemplo, a uma resposta de forma mais rápida ou utilizando outra forma de pensamento.

Ressaltamos que esta etapa muitas vezes não é vivenciada pelos alunos ao resolverem um problema. Pode-se cair na tentação de entender que a obtenção de um resultado encerra o problema, e isto ocorre até mesmo com excelentes alunos. É muito comum, por exemplo, perceberem que não obtiveram a solução esperada em razão da falta de observação de um pequeno detalhe ou na execução de um cálculo simples, por falta de atenção. Nesta etapa pode-se identificar, por exemplo, erros de grandeza, que tornam a resposta incoerente com o que se pede.

Quando se faz o retrospecto surge uma oportunidade ímpar de relacionar o problema resolvido com outros. É importante fazer com que o aluno enxergue que os problemas matemáticos têm relação entre si e podem se relacionar com outras situações que não são necessariamente definidas como problemas.

Para exemplificar as fases da “Heurística de Polya”, vamos resolver o seguinte problema, com estrutura igual à da maioria dos explorados em nossos livros-textos e que se assemelhariam a um exercício, em uma classificação mais rigorosa, dependendo do trabalho anterior feito pelo professor: Maria e Ana têm juntas 16 bonecas. Maria tem 2 bonecas a mais que Ana. Quantas bonecas tem cada uma delas?

Fase 1 - Compreender o Problema: nosso exemplo trata da quantidade de bonecas que duas meninas possuem. O que se procura é determinar a quantidade que tem cada uma delas separadamente. Resolver o problema significa identificar esses valores. Assim, os dados e condições que temos são: Maria e Ana possuem bonecas; as duas juntas têm 16 bonecas; Maria tem 2 bonecas a mais que Ana, ou Ana tem 2 bonecas a menos que Maria.

Observamos que é possível fazer uma representação gráfica da situação dada desenhando-se 16 figuras que representem as bonecas. Vemos também que na busca da compreensão do problema é possível estimar uma resposta. Uma estimativa poderia ser: Maria tem 14 bonecas e Ana tem 2. De fato, 14 + 2 = 16, o que satisfaz uma das condições (a que diz que as duas juntas têm 16 bonecas), mas não satisfaz a outra, pois Maria teria 12 a mais que Ana e não 2, como se afirma no enunciado.

Fase 2 - Elaborar um Plano: para resolver nosso problema podemos traçar vários planos ou estratégias, entre esses podemos citar: i) Uma dramatização: ii) Por tentativa e erro; iii) Redução ao que tem menos; iv) Redução ao que tem mais; v) Representação algébrica; ou vi) Representação Gráfica.

Fase 3 – Execução do Plano: com base nos planos traçados anteriormente, a fase seguinte compreende colocá-los em prática para se obter os resultados desejados.

i) Na execução da Dramatização, podemos proceder do seguinte modo: duas alunas representariam

os dois personagens do problema e objetos concretos, como fichas, representariam as bonecas. Distribuímos uma boneca a cada uma das duas alunas que representam os personagens do enunciado, repetindo o procedimento até restarem apenas duas bonecas. Nesse momento cada aluna terá sete bonecas, e as duas restantes serão dadas à aluna “Maria”, que é a que tem mais, ficando ela com nove bonecas. Como há diversas maneiras de se fazer essa distribuição, isso poderia ser explorado com os alunos.

ii) Por tentativa e erro: nessa opção pode-se escrever dois números cuja soma dê 16, atendendo a

primeira condição do problema, e depois verificar se esses números atendem a segunda condição que é a diferença entre eles ser igual a 2. Repete-se um processo até obter uma alternativa que atenda as duas condições ao mesmo tempo. Em geral esta estratégia não é aceita pelo professor, mas é importante lembrar que ela é válida, uma vez que funciona em inúmeros casos, cabendo mostrar ao aluno as suas limitações, dependendo da natureza do problema ou dos dados envolvidos. Na prática, percorreríamos as diferentes linhas da tabela abaixo.

140

CONDIÇÃO 1 CONDIÇÃO 2 15 + 1 = 16 SIM 15 – 1 = 14 NÃO

14 + 2 = 16 SIM 14 – 2 = 12 NÃO

: : : :

10 + 6 = 16 SIM 10 – 6 = 4 NÃO

9 + 7 = 16 SIM 9 – 7 = 2 SIM iii) Redução ao que tem menos: podemos raciocinar da seguinte maneira, se Maria e Ana tivessem a

mesma quantidade de bonecas, bastaria dividir o total de bonecas por dois. Como Maria tem duas bonecas a mais que Ana, então subtraímos essa diferença do total, e ficamos com 14 bonecas. Dividindo esse resultado por dois encontraremos sete bonecas para a pessoa que tem menos. Assim, a que tem mais teria nove bonecas, somando-se as duas que retiramos inicialmente.

iv) De maneira análoga pode-se fazer a redução ao que tem mais: soma-se a diferença de duas

bonecas ao total, obtendo-se 18 bonecas. Dividindo-se esse resultado por dois encontra-se nove bonecas para a pessoa que tem mais. Assim, a que tem menos teria sete bonecas, retirando-se duas bonecas da diferença. Os registros de cada ação do processo, em ambos os casos, são de natureza aritmética (no caso 1: 16 – 2 = 14; 14 : 2 = 7; 7 + 2 = 9 e no caso 2: 16 + 2 = 18; 18 : 2 = 9; 9 – 2 = 7).

v) Na execução da Representação algébrica atribuem-se variáveis aos dados dispostos no problema.

Assim, n seria o número total de bonecas; M o número de bonecas de Maria; e A o número de bonecas de Ana (as letras podem ser quaisquer outras). Com isso, as condições estabelecidas na forma algébrica seriam: n = 16; M + A = n; M = A + 2 e a resolução poderia ser feita por substituição: como n = 16; (1) M + A = n e (2) M = A + 2, temos que, de (1), M = 16 – A e, substituindo M em (2), segue, A + 2 = 16 – A e A + A = 16 – 2. Portanto, 2A = 14 e A = 7, o que implica que, por (2) M = A + 2 → M = 7 + 2 → M = 9.

vi) A Representação Gráfica poderia ser posta em prática como descrito em seguida: desenhamos

figuras que representam as bonecas e meninas e fazemos a distribuição entre as duas, dentro das condições estabelecidas no problema.

Total de bonecas : Bonecas de Ana Bonecas de Maria Fase 4 – Verificação: nessa etapa analisa-se a solução e verifica-se se o resultado obtido realmente

satisfaz as condições dispostas no problema. No retrospecto o aluno refaz os passos dados na execução do plano, verifica como efetuou os cálculos e como foi concretizada a estratégia da resolução. Em alguns planos traçados esse processo de verificação ocorre concomitantemente com a sua execução do plano, caso do processo de tentativa e erro apresentado para o exemplo dado. Portanto, essa verificação pode funcionar como um processo para dar um feedback ao longo da execução do plano. Essa verificação também pode ocorrer por meio da execução de duas estratégias diferentes, e em seguida com a comparação entre as respostas obtidas.

O percurso ao longo das diferentes fases da heurística de Polya seria o mesmo, considerando-se as

especificidades de cada problema e a possibilidade de realização simultânea de duas ou mais fases ou,

141

ainda, a sua não formalização por escrito ou oralmente, como em geral é executada a fase 2, de elaboração do plano.

Dialogando e Construindo Conhecimento

3.5 Como não trabalhar com a resolução de problemas em sala de aula.

O modelo predominante de ensino através da resolução de problemas, quando este ocorre, é

mecânico, por meio de regras. O seguinte diálogo poderia descrever o que ocorre entre professores de Matemática, falando de como trabalham problemas em sala de aula (exemplo retirado do Curso de Matemática por Correspondência, INEP/FUNBEC, 2a Edição, São Paulo, 1984):

Professor A: “Eu sempre explico primeiro um problema e depois mando as crianças resolverem

vários outros parecidos com ele. Repito, repito, até que elas aprendam”. Professor B: “Discordo deste método, pois assim os alunos não raciocinam, apenas decoram os

problemas”. Professor A: “E você, como faz”? Professor B: “Eu tenho uma dificuldade imensa quando vou trabalhar com problemas. Meus alunos

nem leem o enunciado e já vão perguntando qual a operação ou a fórmula que devem usar. Eles não pensam”.

Esta conversa leva-nos a algumas reflexões: o modo de agir do Professor A pode ser eficaz para se

exercitar o uso de algoritmos, por exemplo, mas não para resolver problemas. Neste processo, as crianças usam o problema resolvido pelo professor como padrão, para então resolverem outros parecidos com ele. Não é necessário pensar, o processo é mecânico. O Professor B também não consegue desenvolver o raciocínio dos seus alunos. Assim como os primeiros, eles não se dispõem a pensar. O que fazer?

A metodologia tradicional de ensino de Matemática, hoje predominante, não incentiva os alunos a raciocinarem. Eles se acostumam a receber tudo pronto do professor, uma vez que a Matemática é apresentada como uma ciência pronta e acabada, sem nada a ser descoberto mas apenas a ser transmitido. O objetivo da aula é passar uma série de informações e ao aluno compete, de maneira passiva, recebê-las. Como consequência, espera que o professor pense no lugar dele, inclusive na hora de resolver problemas.

Muitas vezes os professores acreditam que para ser um bom problema os enunciados das questões devem, necessariamente, possuir textos longos. Como já foi discutido anteriormente, problemas devem desafiar os alunos a buscar soluções.

O professor também deve lutar para não deixar se levar, nem passar para os alunos, mitos sobre a resolução de problemas na sala de aula como, por exemplo (ECHEVERRÍA, 1998, p.46): os problemas

Atividade: 1) Resolva os dois problemas dados a seguir, identificando cada uma das quatro etapas da

resolução, de acordo com a “Heurística de Polya”. a) Dois tanques contêm juntos 900 litros de óleo. Se passarmos 100 litros do 1º para o 2º,

este ficará com o dobro do número de litros do 1º. Quantos litros tinha, no início, o 2º tanque? b) Numa festa havia três vezes mais mulheres do que homens. Depois de certa hora,

saíram 50 homens e 250 mulheres, ficando apenas uma mulher para cada homem. Quantas pessoas estavam no início da festa?

142

matemáticos têm uma e somente uma resposta correta; existe somente uma forma correta de resolver um problema matemático e, normalmente, o correto é seguir a última regra demonstrada em aula pelo professor; os estudantes “normais” não são capazes de entender Matemática, somente podem esperar memorizá-la e aplicar mecanicamente aquilo que aprenderam sem entender; os estudantes que entenderam Matemática devem ser capazes de resolver qualquer problema em cinco minutos ou menos; a Matemática ensinada na escola não tem nada a ver com o mundo real.

Para refletir!

3.6 - A utilização da resolução de problemas na sala de aula

Nesta seção abordaremos alguns exemplos de como a resolução de problemas pode ser utilizada na

sala de aula. Da mesma forma que para a resolução de um problema existem vários caminhos, o mesmo ocorre com as diversas maneiras como o problema pode ser explorado na sala de aula. Assim, a intenção nessa seção não é dizer como os problemas devem ser aplicados, mas levar a discussão sobre as possibilidades de sua exploração.

Um dos principais objetivos do ensino da matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor do que apresentar situações-problema que o envolvam, o desafiem, e o motivem a querer resolvê-las (DANTE, 2000, p. 11). A primeira discussão a ser levantada é em que momento o professor deve utilizar a resolução de problemas. Apenas após discutir determinado conteúdo, em aplicações diretas ou como meio de levar a discussão determinados temas matemáticos que serão utilizados para a construção de novos conceitos?

Tradicionalmente, os problemas são utilizados após a introdução de conteúdos matemáticos, na parte final de um capítulo, para aumentar a assimilação e também verificar se os alunos compreenderam e sabem utilizar procedimentos estudados. Apesar dessa não ser a melhor forma de utilizar a resolução de problemas, é preciso reconhecer que essa é uma abordagem ainda predominante tanto nos livros didáticos hoje editados quanto na prática dos professores.

Atualmente, o que vem sendo indicado pelos educadores matemáticos é a utilização da resolução de problemas como introdução ao estudo dos diversos temas: por meio de problemas os alunos discutiriam diversos elementos matemáticos que serviriam para construir os conceitos e definições a serem estudados.

Por exemplo, para a introdução ao conteúdo de potenciação poderíamos utilizar o seguinte problema: Num programa de condicionamento físico, uma pessoa passa por uma avaliação médica e uma avaliação física. O médico atesta que ela tem condições de fazer o exercício físico e o professor de Educação física avalia a condição física inicial. Então é feito um programa de caminhadas. A pessoa deve iniciar o programa caminhando duas voltas em determinada pista. Na semana seguinte a pessoa caminhará o dobro de voltas da semana anterior. Nas demais semanas, ele deverá seguir o mesmo critério, sempre caminhando o dobro de voltas da semana anterior. Assim, na quinta semana de exercícios quantas voltas essa pessoa dará?

O primeiro passo para a resolução é fazer com que a turma se familiarize com a situação proposta. Neste exemplo, o professor pode pedir que os alunos leiam o enunciado da questão e tentem explicar o que

Atividade: Faça uma reflexão e elabore um texto citando pelo menos três pontos que facilitam e

três pontos que dificultam a utilização da resolução de problema no processo ensino-aprendizagem em Matemática.

143

entenderam e o que não ficou muito claro. Essa estratégia, da leitura pelos alunos, é importante, pois quando o professor lê o problema pode direcionar a compreensão da turma. Muitos professores afirmam que a dificuldade central dos alunos, em relação à resolução de problemas, estaria relacionada à falta de capacidade de leitura e compreensão do texto. Em geral isso não corresponde à boa parte dos casos.

O aluno, por não ter um bom domínio da leitura, não consegue entender aquilo que, sozinho, lê de um texto, em razão da velocidade com que une as palavras ou faz a pontuação nas frases, mas compreende o que se pede quando o professor lê. Ou seja, quando o professor faz a leitura do enunciado de um problema, muitos alunos conseguem identificar a operação a ser realizada e os números a serem utilizados na determinação da resposta, lançando mão, inclusive, de estratégias pessoais de cálculo quando não dominam ainda o conteúdo formal e são incentivados a fazê-lo.

No momento da leitura pelo aluno pode haver uma mediação por parte do professor e, considerando nosso exemplo, podem lhe ser feitas questões como: Quantas voltas a pessoa dará na primeira semana? Quantas voltas dará na segunda semana? Quantas voltas dará na terceira semana? Que operações você utilizará para descobrir os resultados? Como poderíamos registrar isso no papel (tabela ou diagrama)? Como poderíamos fazer para encontrar quantas voltas a pessoa dará na quinta semana?

Neste caso, os alunos poderão trazer diversas estratégias de resolução diferentes. A primeira delas poderia ser utilizando a adição, do seguinte modo:

1ª semana → 2 2ª semana → 2 + 2 = 4 3ª semana → 4 + 4 = 8 4ª semana → 8 + 8 = 16 5ª semana → 16 + 16 = 32 Outros alunos podem utilizar a multiplicação: 1ª semana → 2 2ª semana → 2 x 2 = 4 3ª semana → 2 x 4 = 8 4ª semana → 2 x 8 = 16 5ª semana → 2 x 16 = 32 Podem aparecer diversas formas de resolução, por tentativa, por diagramas, sendo importante que

os alunos reflitam sobre como podem chegar ao resultado e tenham compreendido o procedimento que adotaram, sendo capazes de explicá-lo. Em seguida, pode-se ampliar a utilização do problema para outras situações, por meio de novas questões: na décima semana quantas voltas a pessoa dará? Quantas voltas a pessoa terá realizado até a quinta semana? Se, na primeira semana a pessoa desse três voltas, e a cada semana a quantidade de voltas fosse triplicada, quantas voltas daria na quinta semana?

Espontaneamente pelos alunos, ou por meio da mediação do professor, pode surgir a seguinte forma

de resolver o problema: 1ª semana → 2 2ª semana → 2 x 2 = 4 3ª semana → 2 x 2 x 2 = 8 4ª semana → 2 x 2 x 2 x 2 = 16 5ª semana → 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 A discussão segue na direção de se propor alternativas para representar, de modo conciso, as

multiplicações envolvendo fatores iguais, analisando-se as sugestões apresentadas por eles e explicando-lhes a forma e denominação que já é convencionalmente adotada (potência de um número). É importante

144

que eles entendam que muito do que utilizamos hoje em matemática corresponde a convenções, que visam facilitar a comunicação de ideias, não havendo justificativa lógico-formal para elas. O professor pode adiar a discussão sobre essa nova forma de representação de uma multiplicação com fatores especiais, após desenvolver outras situações problemas que a envolvam, emergindo o conceito da generalização das observações elaboradas pelos alunos no processo de resolução.

Após a discussão acima considerada, pode-se trabalhar com problemas que permitam utilizar a potenciação em outras situações, flexibilizando o raciocínio do aluno e evitando que ele associe um determinado procedimento ou ideia matemática a um único contexto. Neste caso, poderíamos propor o seguinte problema: Uma mensagem de Natal foi espalhada via e-mail. José enviou para João, Pedro e Lucas, e cada um desses enviou para outras três pessoas; cada uma dessas pessoas enviou para outras três, que por sua vez enviaram para outras três pessoas. Assim, questiona-se: quantas mensagens foram enviadas? É possível resolver o problema utilizando a ideia de potência? Em caso afirmativo, de que maneira?

Na resolução do problema dado, o professor pode levar o aluno a aplicar o conceito de potenciação em situações contextualizadas, ajudando-o a desenvolver habilidades de efetuar cálculos relativos à potenciação e resolver problemas que a envolvam. Vale ressaltar que mesmo após já ter sido amplamente discutida e trabalhada a potenciação, deve-se sugerir que os alunos pensem em outras estratégias de resolução para o problema, sem fazer uso desse conceito. Neste momento, é importante explorar os erros cometidos pelos alunos como ferramenta pedagógica, analisando se são erros de compreensão do problema, da correlação da situação com a potenciação, ou se são erros de cálculo ou de falta de atenção. No nosso exemplo o resultado seria: 3 + 32 + 33 + 34 = 3 + 9 + 27 + 81 = 120 mensagens.

Caso o aluno não consiga traçar uma estratégia de solução coerente para o problema, verifique se ele teve dificuldades relativas à compreensão do enunciado. Caso o aluno não consiga expressar o problema por meio de potências, verifique se ele consegue estabelecer naturalmente a correlação entre a situação dada e a potenciação. Alguns alunos podem expressar a solução por meio de uma potenciação, mas errar nos cálculos, apontando lacunas no domínio das operações básicas.

Alguns alunos com certeza darão como resposta 81, que é 34, precisamente o número de mensagens enviadas pelas últimas pessoas. Este “erro” deve ser explorado didaticamente levando os alunos a refletirem sobre como a linguagem do problema pode interferir na sua interpretação.

O erro não deve ser visto como um ponto final da atividade ou um problema insolúvel, pois não se deve privilegiar o resultado em detrimento do processo. Ainda é muito comum nas nossas escolas os professores apenas informarem ao aluno que sua questão está errada, o que não contribui para o processo de aprendizagem ou a superação de lacunas em sua formação. Esta informação não responde perguntas essenciais feitas pelo aluno: por que será que eu errei? O que eu deveria ter feito?

Essas reflexões podem ajudar muito o professor a conduzir os próximos passos a serem dados, levando a turma a trabalhar as dificuldades identificadas, tentando saná-las. Portanto, ressaltamos que se deve valorizar na resolução de problemas, tanto as diversas estratégias apresentadas pelos alunos quanto as possibilidades didáticas de trabalhar com os erros por eles cometidos.

Outra discussão que merece destaque quanto à resolução de problemas na sala de aula é a importância de se trabalhar com situações que façam parte do cotidiano dos alunos, dando significado aos conteúdos estudados. Neste momento, o professor pode também aproveitar para se integrar a outros projetos da escola, bem como atrelar os conteúdos de sua disciplina aos temas transversais propostos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, de modo planejado e consistente. Essa contextualização faz com que o aluno relacione o conteúdo estudado com sua vivência, reconhecendo-o como parte integrante da sua vida e identificando-o em diversas outras situações diferentes das apresentadas na sala de aula.

145

Por exemplo, para trabalhar o conteúdo de números decimais, pode-se aproveitar uma situação-problema que envolva preços de produtos alimentícios, como na seguinte questão: Com base na tabela de preços dada, você deve fazer uma simulação de compra: Você tem R$ 25,00 e deve comprar com essa quantia o maior número de produtos possíveis, sem repetição de produtos. Como fazer isso? Considere, em sua solução que cada “produto” corresponde a um pacote de um quilograma (kg), uma embalagem de um litro (l) ou um pacote de determinada mercadoria (pc).

PRODUTO R$ PRODUTO R$ Arroz (kg) 2,50 Biscoito (pc) 2,00Feijão (kg) 3,20 Macarrão (pc) 1,50Açúcar (kg) 2,80 Laranja (kg) 2,40Farinha (kg) 1,70 Maçã (kg) 3,60Leite (l) 3,50 Mamão (kg) 1,80

Carne de Sol (kg) 12,00 Banana (kg) 1,20Peixe (kg) 13,00 Uva (kg) 4,10Tabelas 01 e 02: Dados fictícios, elaborados com base no valor médio de mercado local.

Para que a atividade fique mais atrativa pode-se utilizar, ao invés da tabela de preços, um encarte de

supermercados (folhetos de propaganda), ou ainda, que em um momento anterior os alunos façam com seus pais o levantamento dos preços dos produtos, para discussão posterior em sala de aula. Podem ser levantadas questões interessantes, a exemplo da diferença de preços de uma mercadoria, de acordo com a marca ou local de venda.

É necessário que os alunos tenham um tempo para resolver a situação na sala de aula. Nesse momento, deve ser incentivada a interação entre eles e a discussão de diversas estratégias para se conseguir o maior número de produtos. Nessa atividade pode ser permitida a utilização de calculadora, uma vez que o objetivo não é treinar o procedimento de cálculo com números decimais, mas dar significatividade a esses cálculos. O uso da calculadora também permite que o aluno tenha mais tempo para desenvolver estratégias para a resolução do problema, sem se preocupar com o volume de contas que fará.

Nessa atividade pode-se adotar uma segunda etapa onde, com base na tabela de preços dada, sejam propostas outras situações-problema para estimular de forma interativa e divertida outros conteúdos importantes como porcentagem, unidades de massa, unidades de volume, entre outros. Uma outra possibilidade é propor que cada aluno crie uma situação-problema com base nas informações contidas na tabela de preços, trocando-as com os colegas para resolução. Nessa etapa o aluno pode desenvolver a capacidade de comunicar–se matematicamente, elaborando e organizando um texto com uma linguagem clara e que possa expressar o que pretende.

Pode-se ainda preparar um roteiro e solicitar que os alunos façam uma pesquisa sobre qual o consumo semanal de sua família com alguns itens alimentícios básicos, calculando o gasto semanal e mensal com esses itens, e relacionando esse gasto com o salário mínimo vigente. Como é fácil notar, há inúmeras possibilidades de trabalhar diversos temas matemáticos com os alunos com base em um mesmo problema inicial.

146

Ampliando seu Conhecimento

Além do já discutido nesta seção gostaríamos de ressaltar alguns pontos importantes para o

professor que pretende utilizar a resolução de problemas na sala de aula, comentados por Luiz Roberto Dante (2000).

- A resolução de problemas não é uma atividade isolada para ser desenvolvida separadamente das aulas regulares, mas deve ser parte integrante do currículo e cuidadosamente preparada para ser realizada de modo contínuo e ativo ao longo do ano letivo, usando as habilidades e os conceitos matemáticos que estão sendo desenvolvidos. Não se aprende a resolver problemas de repente. É um processo vagaroso e contínuo, que exige planejamento e tempo;

- Devemos mostrar ao aluno a necessidade de resolver problemas na vida diária, o valor de enfrentar desafios que exigem grande esforço e dedicação, mesmo que não os solucione corretamente, pois o ato de tentar resolvê-los com empenho já é um grande aprendizado;

- Longas listas de problemas aborrecem. Em lugar de dar estas extensas listas só de vez em quando, dê poucos problemas (dois ou três) com bastante frequência, explorando-os de modo criativo;

- Comece dando problemas bem fáceis aos alunos, de tal modo que todos os resolvam, pois o sucesso em uma atividade nos leva a desenvolver atitudes positivas em relação a ela. Em seguida, apresente alguns problemas de impacto que envolvam as crianças, levando-as a pensar neles e a querer resolvê-los. Lembre-se de que repetidos fracassos levam à desmotivação e à frustração;

- É interessante fornecer informações e dados para que os alunos criem problemas correspondentes, o que pode ser uma notícia de jornal ou revista, a letra de uma música, o folheto de propaganda de uma loja, entre inúmeras outras possibilidades;

- Você pode adotar problemas em que faltem dados, solicitando aos alunos que coloquem os valores ou informações necessários, e que os resolvam;

- É interessante apresentar problemas em que haja excesso de dados, para que os alunos identifiquem aqueles que são úteis à solução do problema e os que não são;

- É conveniente formar um banco de problemas (que denominaremos de Problemoteca) e pedir para que os alunos tragam problemas curiosos ou que considerem interessantes. Escolha um dia da semana para colocar em um mural ou na lousa um problema, e recolher as soluções na semana seguinte, antes de expor o novo desafio. Nesse dia, os alunos devem explicar as soluções trazidas e fazer comentários a respeito delas.

Dialogando e Construindo Conhecimento

Não esqueça !!! Etapas para a resolução de um problema (Polya, 2006) 1 ) Compreensão do Problema 2) Elaboração do Plano 3) Execução do Plano 4) Verificação

Atividade: 1) Pesquise e/ou elabore um problema que possa ser utilizado para trabalhar de

forma introdutória cada um dos seguintes temas: a) Operação de Radiciação; b) Área de uma figura plana; c) Seno (trigonometria).

147

3.7 - Sugestões de problemas para a sala de aula Os problemas apresentados em seguida podem compreender os primeiros elementos de sua

Problemoteca. Explore-os considerando diferentes estratégias para sua resolução, ou modificações no enunciado que possibilitem a exploração de outros conteúdos matemáticos. Procure identificar as demandas cognitivas que cada problema apresenta e, ao trabalhá-los com os alunos, verificar quais as dificuldades que encontraram.

1 - Faltam os números destes problemas. Identifique quais as operações necessárias para resolvê-los se você conhecesse os dados.

- Lauro ganhou mais bolas de gude que Pedro nas quatro partidas disputadas no torneio. Quantas

bolas Lauro conseguiu a mais que Pedro? - Cuca tinha algumas maçãs. Jogou fora as que estavam estragadas e as que sobraram foram

repartidas igualmente para ele e seus três amigos. Quantas maçãs recebeu cada um? 2 - Este problema tem informações desnecessárias (descubra quais são elas). Resolva o problema

usando as informações necessárias. - Eu compro gibis usados por 50 centavos, se forem da Turma da Mônica e por 35 centavos se

forem gibis de super-heróis. Revendo depois por 80 centavos cada um. Qual é meu lucro com a venda de 20 gibis do Homem-Aranha?

4 - Redija um problema que possa ser resolvido através da seguinte sentença: R$50,00 - 3 x R$3,89 = R$38,33. 5 - Redija um problema que possa ser resolvido com o auxílio do desenho abaixo: 6 - Redija um problema que possa ser resolvido através da operação: 943 : 23 = 41. 7 - No planeta Mecron, 7 de cada 20 criaturas são animais, 8 de cada 20 são seres humanos e o

restante são robôs. Há 96 seres humanos em Mecron. Quantos robôs há? 8 - As cores favoritas de João são azul e verde. Ele tem 5 pares de meia de cada cor, todas soltas e

misturadas em uma gaveta. Quantas meias ele deve tirar da gaveta, sem ver a cor, para ter certeza de que formará um par, de qualquer uma das cores? E para ter certeza de que formará um par azul?

9 - Como escrever o número 100 usando quatro algarismos 9 e quaisquer operações que desejar?

210 m

200 m 180 m

330 m

380 m 320 m

CASA PADARIA

CORREIO ESCOLA

148

10 - Jane, Lara, Mona e Nina são quadrigêmeas e sua tia só sabe com quem está falando por causa da cor da roupa de cada uma, sempre diferente uma da outra, mas sempre a mesma cor para cada irmã. Nem Jane nem Mona gostam de lilás. Lara sempre se veste de verde. Mona não gosta de roupas amarelas.

Complete a tabela abaixo, e tente descobrir a cor da roupa de cada irmã.

Mina Lara Jane Mona Verde Não Sim Não Não Lilás Não Não Azul

Amarela Não 11 - A professora de artes pediu que os alunos criassem animais, juntando as duas metades de dois

animais diferentes. Podiam usar a girafa, o elefante, o avestruz, o leão, o camelo e o hipopótamo. Quantos animais diferentes os alunos poderão criar?

12 - Em um concurso de saltos, Elba Rã Malho acabou 1 salto na frente de Raul Gia. Raul Gia não

estava em último lugar, mas terminou um salto à frente de Marília Perereca. Sandra de Sapo acabou 7 saltos na frente de Chicururú Buarque, que terminou 3 saltos atrás de Marília Perereca. Quem ganhou o concurso?

13 - Descubra como podemos fazer esta soma dar certo, sabendo que as letras assumem valores de

0 a 9, e cada uma delas pode ter apenas um valor: P O S S O + P O S S O M E S M O 14 – Sr. José deu R$ 7.800,00 para serem divididos entre sua esposa, cinco filhos e quatro filhas.

Cada filho deve receber o triplo do que receberá cada filha e cada filha receberá o dobro da parte que caberá à mãe. Quanto a mãe receberá, aproximadamente?

15 - Juca convidou 38 colegas para sua festa de aniversário. Seu pai quer fazer uma longa fila de

mesas quadradas, encostadas umas nas outras por um dos lados. Cada lado de uma mesa pode ser ocupado por uma única criança. Qual o número mínimo de mesas que o pai de Juca deverá alugar?

16 - Um grupo de crianças e seus cachorros passeiam em uma praça. Se existem 46 pernas visíveis,

quantas crianças podem estar na praça, se cada criança tem no máximo um cachorro e existe pelo menos um cachorro na praça. É possível encontrar o número máximo de cachorros que poderiam estar na praça?

17- Se a circunferência de centro em A tem 9 cm de raio, quanto medem os

lados do losango?

18- Qual é o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando são quatro horas e quinze minutos?

149

19 - A gasolina comum que compramos nos postos é uma mistura de 25% de álcool e 75% de gasolina pura. Calcule quanto custa a gasolina comum sabendo que o litro de álcool custa R$ 0,60 e o de gasolina pura R$ 1,00.

20 – Um determinado carro flex (que funciona com álcool ou com gasolina) consegue percorrer em

média 10km com um litro de gasolina e 7km com um litro de álcool. Num determinado posto de combustível o litro da gasolina custa R$ 2,50 e o litro do álcool custa R$ 1,80. Assim, neste caso, será mais vantajoso abastecer o carro com álcool ou gasolina?

No trabalho com os problemas propostos, retirados de diversas fontes, lembre-se de todas as

considerações presentes no texto, considerando a necessidade de desenvolvimento das potencialidades do aluno e a possibilidade de promover entre ele e a Matemática uma relação prazerosa.

Nas Unidades seguintes discutiremos uma outra estratégia de ensino de Matemática que tem se destacado nas investigações da área, pelas razões que serão apresentadas no texto. Em particular, procuramos estabelecer uma estreita relação entre a resolução de problemas, explorada na primeira e segunda Unidades do Curso, e o uso de jogos didáticos em sala de aula, de modo que ambas sejam enriquecidas e fortalecidas teoricamente e efetivamente praticadas em sala de aula.

4. Avaliando o que foi construído Atividade: Com base nos descritores da Prova Brasil para matemática do 9º ano do Ensino Fundamental,

analise os problemas de 11 a 20 propostos na seção 3.7 desta unidade, e para cada um deles cite pelo menos um descritor correspondente.

5. Referências BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros

curriculares nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1998. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática, 2000. DINIZ, Maria Ignez (Orgs.) Ler escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender

matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. ENCHEVERRÍA, Maria Del Puy Pérez. A solução de problemas em Matemática. In: POZO, J. I.(org) A

Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: ArtMed. POZO, J. I.; CRESPO, M. A. G. (1998) A Solução de Problemas nas Ciências da Natureza. In: POZO, J.

I.(org) A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: ArtMed. POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto metodológico: tradução e adaptação Heitor

Lisboa de Araújo.- 2 reimpr. – Rio de Janeiro: Interciência, 1995. ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In:

BICUDO, M. A. V. Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. STANCANELLI, Renata; Conhecendo Diferentes Tipos de Problemas; In: SMOLE, Kátia C. S.; DINIZ,

Maria Ignez (Orgs.) Ler escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001 2001

SMOLE , Kátia C. S. ; DINNIZ, Maria Ignez. Ler e aprender matemática. . In: SMOLE, Kátia C. S.; DINIZ, Maria Ignez (Orgs.) Ler escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.

150

Unidade III - O Uso de Materiais Didáticos – Os Jogos no Ensino de Matemática

1. Situando a temática

Muitos livros didáticos destinados ao Ensino Fundamental trazem hoje sugestões de jogos para

desenvolvimento de conteúdos matemáticos em sala de aula. Ainda há muita polêmica sobre seu uso como estratégia metodológica, em razão da vinculação destes à brincadeira e do ensino à atividade séria e alguns professores não se sentem seguros para aplicá-los, por temerem a perda do controle da turma ou as críticas por parte dos colegas ou dos pais. Elementos teóricos serão brevemente expostos no texto e servirão como ponto de partida para as reflexões que podem ser desenvolvidas sobre o tema, sendo necessária a ampliação da leitura e a vivência prática, para que novos elementos sejam acrescentados às suas considerações e análises.

2. Problematizando a Temática Algumas questões básicas podem ser propostas inicialmente: os jogos podem ser utilizados com

proveito no ensino? De que forma? Quais jogos? Quais objetivos podem ser alcançados com seu uso? Leia o texto e tire suas conclusões, ampliando a leitura e conhecimento sobre o tema, acessando as Referências indicadas ou trabalhos de pesquisa já realizados sobre o tema. Antes, porém, registre suas considerações, para posteriormente verificar se algo novo foi incorporado à seu conhecimento, a partir do que será aqui exposto.

3. Conhecendo a Temática

3.1 O material didático no ensino A necessidade de socializar amplamente, com qualidade, os conhecimentos básicos de Matemática

é um dos grandes desafios de nosso sistema educacional, em razão dos problemas que são frequentemente expostos, em particular, pelos sistemas de avaliação da Educação Básica brasileira. O ensino tradicional, ainda predominante nas nossas salas de aula, permite apenas o sucesso de uma minoria dos estudantes, excluindo o restante, se considerarmos como referência a conclusão do Ensino Médio ou o ingresso no Ensino Superior.

Baseado na transmissão de conhecimentos, nele compete ao aluno basicamente apenas memorizar conteúdos e técnicas lecionados seguindo uma sequência de explanação linear, bem como regras e fórmulas que serão cobradas em avaliações baseadas em exercícios padrões semelhantes aos resolvidos em sala de aula. No entanto, em virtude das novas demandas de formação dos alunos da Educação Básica, faz-se necessária a introdução de abordagens de ensino nas quais ele aprenda Matemática de maneira a poder empregá-la adequadamente nas situações diversas com as quais se depara, sejam as internas à própria Matemática, sejam as relativas a outras áreas de conhecimento. É preciso que ele aprenda a gostar dessa disciplina associando-a ao seu dia a dia, e que seja sujeito de uma aprendizagem que leve em consideração o seu contexto social e as suas motivações.

Irene Albuquerque, na introdução de sua obra Metodologia da Matemática, publicada no ano de 1951, afirmava que:

151

Proporcionar à criança o prazer da “redescoberta” é um direito que lhe tem sido negado em detrimento do êxito do próprio ensino. Quando ela é capaz de descobrir uma regra e chegar a enunciá-la, essa regra está sabida para sempre, e o tempo gasto são apenas alguns minutos. Se, ao contrário, na ânsia de economizar tempo e esforço, damos a regra, o “saber pronto” para a criança usar, estamos oferecendo uma tarefa muito mais difícil e desinteressante, e a sua aprendizagem vai tomar-nos vários dias; voltaremos a insistir no mesmo assunto daí a semanas, daí a meses, porque haverá sempre o “esquecimento”; o que nós nunca confessamos a nós mesmos é que a criança esquece justamente porque nunca chegou a aprender.

Ou seja, há mais de meio século a autora evidenciava a necessidade de se promover um ensino pela

descoberta, em substituição a um ensino no qual predomina o processo de memorização sem que haja, necessariamente, uma vinculação efetiva com a aprendizagem. Aquilo que o aluno guarda temporariamente, tendo como motivação única e exclusivamente uma avaliação, é rapidamente esquecido. Abordagens recentes acerca do ensino de Matemática procuram enfocar seu aspecto social de instrumento possível para a resolução de problemas reais, apresentando uma preocupação constante com a contextualização do que é trabalhado em sala de aula (AZEVEDO, 1993).

Qual é, então, o papel do material didático de Matemática nas metodologias de ensino voltadas para um processo de aprendizagem significativa, baseadas no princípio da redescoberta? Para Grossnickle e Brueckner, o material necessário para uma aula depende da natureza das atividades de aprendizagem que serão desenvolvidas.

Se a função da sala de aula é ser um lugar onde as crianças trabalham com exemplos em um exercício

intensivo, para resolver problemas isolados, os materiais necessários são: papel, lápis e livros. A sala de aula, neste caso, é um lugar onde as crianças aprendem a fazer operações mecanicamente, nada mais que isso. Se, por outro lado, a sala de aula for um laboratório de aprendizagem onde as crianças vão experimentar, descobrir significados e processos para essas experiências ou atividades de aprendizagem, materiais adequados são necessários. (1965, p.87)

Aqui denominamos de “materiais didáticos adequados” aqueles utilizados para efetivar o processo

de ensino e aprendizagem de Matemática, possibilitando ao aluno a construção de conhecimento, com base em suas experiências com o mesmo. Manoel Jairo Bezerra destaca na obra O material didático no ensino da matemática, publicada no ano de 1962, suas principais funções (id. p. 10-13):

a) auxiliar o professor a tornar o ensino da matemática mais atraente e acessível; b) acabar com o medo da Matemática que, criado por alguns professores e alimentado pelos pais e

pelos que não gostam de Matemática, está aumentando cada vez mais a dificuldade do ensino dessa matéria e

c) interessar maior número de alunos no estudo dessa ciência. O livro trata ainda das críticas e restrições feitas à época, à utilização do material concreto no

ensino de Matemática, entre elas o fato de que, por tratar-se de uma ciência de caráter predominantemente abstrato, a Matemática não permitiria em seu desenvolvimento em sala de aula, o uso de objetos físicos. Já à época, Jeronez aconselhava aos colegas a experimentarem o uso, antes de fazer a crítica, reclamando da confusão que reinava no espírito dos professores ao conceberem as ações concretas como opostas às considerações abstratas. Destacava que é para aprender a abstrair que partimos do concreto, interiorizando as abstrações por meio das ações externas sobre os objetos.

Algumas críticas ao uso do material didático no ensino de Matemática então apresentadas ainda hoje são repetidas por muitos professores: “já não há tempo para cumprir o programa, quanto mais para apresentar material didático” (BEZERRA, p.21), lembrando Bezerra que não se trata apenas de

152

“apresentar” ou “mostrar” acessórios de ensino, mas de empregá-los no momento e modo adequados, colocando-se, em primeiro plano, a compreensão. Como já lembrava Breslich (BRESLICH, in BEZERRA, 1962, p. 21), é o mau uso de qualquer processo didático que torna o ensino ineficiente.

Para o problema da falta de tempo para o professor criar ou confeccionar o material didático

necessário, Bezerra lembrava a importância da participação do aluno em boa parte deste processo, o que seria complementado com a consulta a textos com resultados de pesquisas sobre o tema, ou a colaboração de especialistas e a troca de idéias e experiências com os colegas de profissão, em uma perspectiva colaborativa. Conversar sobre o que foi feito em sua sala de aula com os colegas, refletindo-se coletivamente sobre o que funcionou ou não, promoverá o crescimento de todos, muito mais rapidamente, sem que seja necessária a repetição de erros e problemas previsíveis.

Dentre os diversos tipos de materiais didáticos que podem ser utilizados no ensino de Matemática,

centraremos nossa discussão nos jogos, entendendo-os aqui como atividades que possuem regras bem definidas, nelas interferindo o fator sorte, assim como estando presente a relação ganhar x perder, embora não seja este o aspecto a ser enfatizado.

3.2 Os jogos didáticos através da história Embora muito se tenha discutido acerca do uso de jogos no ensino, em razão de uma maior

compreensão que se tem hoje das justificativas teóricas para isso, tal prática tem sido defendida ao longo dos séculos, desde a antiguidade, por diversos estudiosos e pesquisadores, a exemplo de Platão, que destacava em seus tratados a importância de se aprender brincando.

No texto, O brinquedo na educação, Considerações históricas, Kishimoto afirma que, com o

advento do Cristianismo, os jogos e brincadeiras foram afastados do processo de ensino/aprendizagem e só retomaram seu lugar nele a partir do Renascimento, sendo explorados no século XVII e se tornando populares no século seguinte.

O início do século XIX presencia o término da Revolução Francesa e o surgimento das inovações pedagógicas. As escolas esforçam-se para colocar em prática princípios de ROUSSEAU, PESTALOZZI e FROEBEL. ROUSSEAU, por exemplo, já aponta duas facetas no brinquedo: o objeto e a ação de brincar. A primeira não merece sua atenção, uma vez que considera os sentidos uma fonte nem sempre fidedigna de conhecimento. É a ação do sujeito, a relação estabelecida pela inteligência, que julga relevante ao desenvolvimento infantil. PESTALOZZI segue o mestre e procura estudar a ação mental da criança, pesquisando as intuições necessárias ao estabelecimento de relações. Mas é com FROEBEL que o jogo, entendido como objeto e ação de brincar, passa a fazer parte da história da educação pré-escolar (KISHIMOTO, p.4).

Além de Froebel, um autor que se destacou no trabalho de elaboração de jogos e materiais

educativos no início do século XIX foi Decroly, médico que se dedicou ao trabalho com crianças especiais. Maria Montessori, à mesma época, também lidando com o mesmo público alvo, desenvolveu uma série de materiais manipulativos para o ensino, até hoje bastante utilizados em nossas escolas. Um exemplo deles é o Material Dourado, criado por ela visando facilitar a apreensão das relações entre as ordens no Sistema de Numeração Decimal, por crianças com necessidades especiais, e que depois passou a ser amplamente utilizado nas escolas de ensino regular.

153

Dialogando e Construindo Conhecimento

No Brasil, o uso de materiais didáticos no ensino de Matemática ganhou força a partir da década de

1940, com ampla divulgação na década de 1950, através de palestras, cursos e exposições. Esse entusiasmo estava presente em pesquisadores de diversos países, a exemplo de G. Cuisenaire (criador das “barras de números coloridos”, ou “barras de Cuisenaire”) e Van Lierde (autor dos algeblocos), na Bélgica; Gattegno (que criou e ajudou a divulgar os geoplanos) e Puig Adam (autor de abordagens geométricas para modelos algébricos), na Inglaterra, e Biguenet (que produziu vários sistemas articulados para transformações no plano – rotações, translações e simetrias), na França. (ADAM, 1958).

As grandes transformações metodológicas e de conteúdo trazidas pelo movimento de renovação de ensino de Matemática das décadas de 1960 e 1970, conhecido como Movimento da Matemática Moderna (MMM), apesar de todos os problemas provocados no panorama educativo internacional, apresentaram a grande virtude de “chamar a atenção para a necessidade de alerta constante sobre a evolução do sistema educativo matemático em todos os níveis” (OZANIZ, p.3). Entretanto entre os principais efeitos produzidos pelo movimento da Matemática Moderna, Miguel de Gusmáz Ozaniz (2001a) destacou:

(1) sobressaíram-se as estruturas abstratas em diversas áreas, especialmente na Álgebra; (2) pretendeu-se aprofundar o rigor lógico, na compreensão, contrapondo esta aos aspectos operativos e

manipulativos; (3) este segundo aspecto conduziu, de forma natural, a ênfase na fundamentação através das noções

iniciais da teoria dos conjuntos e no cultivo da álgebra, onde o rigor poderia mais facilmente ser alcançado; (4) a geometria elementar e a intuição espacial sofreram um esvaziamento pois a geometria é, com

efeito, muito mais difícil de fundamentar rigorosamente; (5) com respeito às atividades desenvolvidas, a consequência natural foi o esvaziamento de problemas

interessantes, nos quais a geometria é abundante, e sua substituição por exercícios próximos da mera tautologia e do reconhecimento de nomes, que é, em boa parte, o que a álgebra pode oferecer neste nível elementar. (id. p.4).

Dialogando e Construindo Conhecimento

A proposta da Matemática Moderna fracassou, como pouco tempo depois se constataria pois,

conforme mostraram as pesquisas na área de desenvolvimento cognitivo, para a maioria dos alunos atingirem um determinado grau de abstração é necessário partir de atividades que envolvam ações sobre elementos concretos. Porém, não é a ação direta sobre o material que leva à produção de conhecimento,

PARA SABER MAIS: procure conhecer bem as potencialidades e limitações do Material Dourado, assim como seu uso no ensino das operações com números naturais e decimais, uma vez que muitos livros textos dirigidos a alunos do Ensino Fundamental o exploram. Visite, por exemplo, o sítio da Revista Nova Escola, no qual podem ser encontradas sugestões de uso desse material, ou leia o livro Didática da Matemática – como dois e dois, de Marília e Mauro Toledo, publicado pela Editora FTD.

PARA SABER MAIS: você encontra muitos textos interessantes, em espanhol, escritos por Miguel de Gusmán Ozaniz, no endereço: http://ochoa.mat.ucm.es/~guzman. Falecido no início do século XXI, o pesquisador trouxe muitas contribuições para a Educação Matemática mundial e seus textos compreendem ricas fontes de pesquisa.

154

mas é a reflexão sobre a ação que possibilita o levantamento de hipóteses e a realização de generalizações e, portanto, a aprendizagem.

As mudanças ocorridas na sociedade, exigindo de todos o domínio de conhecimentos matemáticos formativos e funcionais além de autonomia e capacidade de trabalhar em grupo de maneira cooperativa e com criatividade, impõem ao nosso sistema escolar a adoção de metodologias diversificadas para o ensino, valorizando o uso: de materiais concretos na Matemática, incluindo jogos, quebra-cabeças e desafios matemáticos; de novas ferramentas tecnológicas e da resolução de problemas, dentre outras.

Kishimoto destaca que, apesar da defesa por parte de inúmeros pesquisadores, alguns apontam a permanente contradição que há no jogo didático. Para autores como Vial e Brunelle (in KISHIMOTO), os jogos que têm esse objetivo procuram conciliar elementos opostos, na medida em que tentam associar prazer e estudo. Para eles, os criadores desse tipo de jogo teriam que escolher entre a didática, que tira o prazer do jogo livre, e o jogo em si, que interferiria na apreensão sistemática do conteúdo ao qual se vincula.

De qualquer modo, o uso de jogos no ensino deve levar em consideração uma série de cuidados, entre eles o fato de que é fundamental procurar o equilíbrio entre o prazer e o estudo, de modo que o jogo não perca sua ludicidade natural e o estudo não passe a ser visto como algo que não merece uma atenção séria. Qualquer que seja sua concepção inicial a respeito do tema leia, se possível, outros materiais que lhe permitam aprofundar seu conhecimento acerca dele.

Antes de chegar a uma posição definitiva sobre as limitações e potencialidades desse recurso didático, experimente usá-lo várias vezes em sala de aula, considerando todos os elementos aqui discutidos, e adotando uma postura investigativa e crítica, registrando os aspectos positivos e negativos de suas experiências e tentando entender as razões para cada um deles.

Ampliando seu Conhecimento

3.3 Os jogos matemáticos e sua importância na formação do aluno As novas demandas educacionais, tanto para quem ensina quanto para quem aprende, resultam,

sobretudo, de novas descobertas no campo da psicologia do desenvolvimento e das neurociências e de uma nova compreensão acerca da ludicidade, ambos “enfocados como estratégia do desenvolvimento que leva a uma vida mais plena e prazerosa” (SANTOS, 2001, p. 8)

Segundo Santos, uma nova forma de ver a existência humana coloca a razão e a emoção em um mesmo patamar de importância, o que dá força à ludicidade como instrumento modificador de paradigmas. O lúdico deixou de ser associado apenas à infância, e o “aprender com prazer” passou a fazer parte de todas as etapas de desenvolvimento humano, manifestando-se em especial por meio de brincadeiras, quebra-cabeças, desafios e jogos, sobre os quais discutiremos em seguida.

O professor que deseja implementar o uso de jogos em sua sala de aula, visando tornar mais eficiente e prazeroso o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, deve estar seguro quanto à metodologia a ser introduzida, sua fundamentação teórica, seu alcance e limitações. Deve analisar a situação específica de seus alunos, de sua escola, discutir com os colegas, promover inicialmente eventos

PARA SABER MAIS: leia, na íntegra, o texto de KISHIMOTO, O Brinquedo na Educação: Considerações Históricas, no endereço: http://www.crmariocovas.sp.gov.br/pdf/ideias_07_p039-045_c.pdf

155

extracurriculares, tais como exposições e oficinas, que apontem à comunidade escolar a potencialidade das modificações didático-metodológicas que podem ser adotadas em sala de aula.

Os jogos não precisam estar, necessariamente, voltados para o desenvolvimento de conteúdos curriculares específicos para trazer ganhos cognitivos que auxiliarão o aluno a construir conhecimentos não apenas na Matemática, mas em outras áreas, enriquecendo sua formação geral. A interpretação e uso das regras de um jogo têm um grande valor didático, levando os alunos a aprenderem a questionar, negociar, colocar seu ponto de vista e discutir com os colegas, aprendendo a perder e a ganhar.

Macedo (1992, in EMERIQUE,1999), resume os ganhos decorrentes do uso do jogo considerando os aspectos afetivo, social e cognitivo. Do ponto de vista afetivo, o jogo pode colaborar para o controle da frustração, estimulando o “abrir-se para o outro”; melhorar a relação do aluno com o professor e a Matemática. No campo social, possibilita o desenvolvimento das relações interpessoais e da solidariedade; dirige o desenvolvimento da disciplina, por meio da compreensão, elaboração ou uso de regras e ajuda o aluno a lidar com os procedimentos competitivos, onde poderá aprender a ganhar e a perder, preparando-se para lidar com frustrações e vitórias em outros campos.

Na esfera cognitiva, gera a possibilidade de construção de novos conhecimentos e procedimentos; a descoberta de erros e o planejamento de formas de superação dos mesmos; o levantamento de hipóteses e a capacidade de generalização, entre outras possibilidades. Para Emerique (1991,p.195),

(o) jogo é ordem e cria ordem, pois aponta para os limites a serem aceitos e superados; pode diminuir

resistências, pois rompe com a rigidez, com o autoritarismo, o controle e o mando, democratizando as relações; não se confunde com fetiches metodológicos, fórmulas mágicas ou modismo; exige uma postura consciente e uma abertura para o risco, a ambivalência e o incerto; ao mesmo tempo, pode tornar reais o prazer da descoberta, o encantamento que seduz, a entrega ao novo.

Apesar das constantes e crescentes referências acerca do uso de jogos no ensino, esta é uma prática

ainda pouco difundida e aceita em nossas salas de aula. Entretanto, se a maneira como se joga, como lembra Brotto (1997, em EMERIQUE, 1999) significa nada mais nada menos que a maneira como estamos no mundo, recomendamos àqueles que apresentam ainda alguma resistência à concessão de espaço para o lúdico em sua sala de aula, que experimentem pensar que o jogo não se opõe ao sério mas deve ser seriamente considerado como um recurso didático que pode conferir eficiência, entusiasmo e prazer ao processo de ensino/aprendizagem da Matemática.

3.4 Os jogos nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN) Na década de 1950, muitos livros dirigidos aos professores da Educação Básica, em especial das

séries iniciais, traziam sugestões de uso de jogos para o ensino, em particular para o ensino de Matemática. O Movimento da Matemática Moderna, porém, provocou um retrocesso na discussão sobre o uso de jogos no ensino, o que foi retomado poucas décadas depois, não apenas em razão do fracasso do Movimento da Matemática Moderna, mas subsidiado pelos estudos realizados na área da Psicologia do Desenvolvimento e da Aprendizagem.

No Brasil, o lançamento dos Parâmetros Curriculares Nacionais, no final da década de 1990, proporcionou uma dinâmica maior à discussão. O documento foi elaborado por uma equipe de pesquisadores a convite do MEC e teve ampla repercussão e muitos desdobramentos em políticas nacionais que viriam a ser elaboradas posteriormente, como as voltadas para o livro didático ou para a criação de sistemas de avaliação da Educação Básica. Leia, no destaque, o que está presente nos PCN de Matemática dirigidos ao Ensino Fundamental, em relação ao uso de jogos no ensino desta disciplina.

156

O RECURSO AOS JOGOS Além de ser um objeto sociocultural em que a Matemática está presente, o jogo é uma atividade natural no

desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um “fazer sem obrigação externa e imposta”, embora demande exigências, normas e controle. No jogo, mediante a articulação entre o conhecido e o imaginado, desenvolve-se o autoconhecimento — até onde se pode chegar — e o conhecimento dos outros — o que se pode esperar e em que circunstâncias.

Para crianças pequenas, os jogos são as ações que elas repetem sistematicamente mas que possuem um sentido funcional (jogos de exercício), isto é, são fonte de significados e, portanto, possibilitam compreensão, geram satisfação, formam hábitos que se estruturam num sistema. Essa repetição funcional também deve estar presente na atividade escolar, pois é importante no sentido de ajudar a criança a perceber regularidades.

Por meio dos jogos as crianças não apenas vivenciam situações que se repetem, mas aprendem a lidar com símbolos e a pensar por analogia (jogos simbólicos): os significados das coisas passam a ser imaginados por elas. Ao criarem essas analogias, tornam-se produtoras de linguagens, criadoras de convenções, capacitando-se para se submeterem a regras e dar explicações.

Além disso, passam a compreender e a utilizar convenções e regras que serão empregadas no processo de ensino e aprendizagem. Essa compreensão favorece sua integração num mundo social bastante complexo e proporciona as primeiras aproximações com futuras teorizações.

Em estágio mais avançado, as crianças aprendem a lidar com situações mais complexas (jogos com regras) e passam a compreender que as regras podem ser combinações arbitrárias que os jogadores definem; percebem também que só podem jogar em função da jogada do outro (ou da jogada anterior, se o jogo for solitário). Os jogos com regras têm um aspecto importante, pois neles o fazer e o compreender constituem faces de uma mesma moeda.

A participação em jogos de grupo também representa uma conquista cognitiva, emocional, moral e social para a criança e um estímulo para o desenvolvimento do seu raciocínio lógico. Finalmente, um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver.

O documento completo (PCN de Matemática) pode ser obtido do endereço:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf Até pouco tempo atrás acreditava-se que os alunos aprendiam acumulando as informações dadas

pelo professor, que escrevia, explicava e ensinava regras. As falhas no processo de aprendizagem eram justificadas pela pouca atenção, capacidade ou interesse do aluno ou, raramente, pela falta de didática do professor. Sabemos, entretanto, que cada aluno tem um modo próprio de pensar e que este varia em cada fase de sua vida, estando seu pensamento em constante processo de mudança.

A Psicologia Cognitiva tenta responder às questões surgidas, sem negar completamente a importância da transmissão de informações e regras, mas priorizando a busca da compreensão daquilo que se aprende. A aprendizagem através da compreensão é um processo único, que acontece de forma intra e interpessoal, relacionada tanto a elementos internos quanto externos ao indivíduo, exigindo do raciocínio o que em geral é deixado apenas a serviço da memória.

As ligações do aluno com o mundo possibilitam-lhe relacionar fatos, estruturar ideias e organizar informações, interiorizando-os. Através de experiências pessoais positivas, que podem ser mediadas por materiais concretos, o aluno desenvolve o gosto pela descoberta, a segurança para enfrentar desafios e de vencê-los, desenvolvendo hábitos e costumes que o conduzirão mais tarde a ser um indivíduo autônomo e capacitado a agir e transformar.

157

De acordo com teorias cognitivistas, a aprendizagem ocorre através da coordenação e recoordenação de ações, inicialmente efetuadas sobre objetos concretos aumentando-se, gradativamente, seu nível de abstração e de formalização. Esta aprendizagem será mais presente através da interação social, onde os alunos possam manifestar seus próprios pontos de vista e, quando houver discordância por falta de domínios conceituais ou de habilidades, chegar à superação desta fase junto com seu grupo, coletivamente. O professor orientará e promoverá atividades e será um condutor do conhecimento. Nestas teorias, o uso de jogos e de material concreto tem fundamental importância, se utilizados adequadamente.

A partir de seu uso, planejado criteriosamente, os alunos passam a ter uma nova visão do que seja Matemática, vencendo os mitos e preconceitos negativos de que esta é uma disciplina cujo aprendizado é difícil e para poucos privilegiados, superando os bloqueios de aprendizagem surgidos destas crenças. O ensino é complementado através da formação de ideias, imagens e esquemas surgidos das ações executadas sobre o material e nele o professor tem um papel central, atuando como mediador e tornando a aprendizagem mais eficaz.

De um modo geral, as atividades com jogos e materiais concretos estão voltadas não apenas para o desenvolvimento de conteúdos específicos de Matemática como também de habilidades que enriquecerão a formação geral do aluno, auxiliando-o a:

a) ampliar sua linguagem e promover a comunicação de ideias matemáticas ou de procedimentos de raciocínio, de um modo geral;

b) desenvolver ou compreender estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações e de elaboração de estratégias;

c) estimular sua capacidade de fazer estimativas, usar seu senso numérico e realizar cálculos mentais;

d) iniciar-se nos métodos de investigação científica e na notação matemática formal, nos momentos de registros de jogadas ou no levantamento e teste de hipóteses;

e) estimular sua capacidade de atenção e concentração; f) desenvolver seu raciocínio lógico, por meio da leitura e compreensão, bem como a elaboração de

regras; g) estimular sua perseverança, ensinando-o a enfrentar dificuldades e superá-las; h) dar espaço para sua criatividade, incentivando-o a produzir novos jogos ou modificações nas

regras de jogos já conhecidos, analisando os desdobramentos de tais mudanças; i) promover a troca de idéias e a formação do aluno para atuar em atividades colaborativas, através

da vivência de atividades em grupo; j) ampliar sua percepção espacial, discriminação visual e a formação e fixação de conceitos. Mas, como todo recurso pedagógico, a utilização do material concreto em sala de aula exige

cuidados básicos por parte do professor. É necessário: 1) dar tempo para que os alunos conheçam o material. Em uma primeira etapa é importante que os

alunos o explorem livremente. Apresentadas as regras de um jogo, o professor atua como mediador, pois a interpretação das mesmas é de grande valor didático, inclusive levando o aluno a aprender a questionar, a negociar, a colocar seu ponto de vista e a discutir com os colegas até chegarem a um consenso;

2) criar no aluno o hábito de comunicar e trocar ideias. Os diferentes processos, resultados e as estratégias usadas para obtê-las devem também ser discutidos com a turma. Durante o desenvolvimento das atividades o professor pode guiar os alunos à descoberta de fatos específicos, através de perguntas ou desafios. Cada sessão deve terminar com um registro individual ou do grupo;

3) abrir-se a sugestões e modificações das atividades propostas ao longo de sua realização, uma vez que modificações realizadas nas regras de um jogo já conhecido podem levar à criação de novos jogos. O

158

professor precisa estar atento a novas abordagens ou mudanças de rota no que estava programado, em razão das dúvidas, observações e descobertas dos alunos;

4) realizar uma escolha responsável e criteriosa do material, de acordo com critérios que serão elencados adiante, no texto;

5) planejar com antecedência as atividades, procurando conhecer bem o material a ser utilizado, para que o mesmo possa ser explorado de forma eficiente e de modo adequado às necessidades da turma.

Cabe ao professor conduzir o processo de aprendizagem, escolhendo as atividades a partir do conhecimento dos seus alunos e dos objetivos didáticos previamente definidos. Se possível, contar com a participação do aluno e com a parceria de outros professores na confecção do material. O desenvolvimento de habilidades manuais e do senso estético são aspectos que não podem ser negligenciados, desde que identificadas pelo professor.

4. Avaliando o que foi construído Atividades: 1) Relate como foi sua experiência relacionada à utilização de jogos no ensino da matemática,

quando você era aluno dos Ensinos Fundamental e Médio. Como seu professor de Matemática trabalhava em sala de aula? Como era sua postura enquanto aluno diante desses jogos?

5. Referências

ALVES, Eva M. S. A ludicidade e o ensino de matemática. Campinas, SP: Papirus, 2001. ALBUQUERQUE, Irene de. Metodologia da matemática. RJ: Conquista, 1951. AZEVEDO, Maria Verônica R. de. Jogando e construindo matemática. SP: Unidas, 1993. BEZERRA, Manoel Jairo. O material didático no ensino de matemática. RJ: MEC/caderno

CEDES, 1962. EMERIQUE, Paulo Sérgio. Isto e aquilo: jogo e “ensinagem” matemática. in BICUDO (org)

Desafios e perspectivas em Educação Matemática. SP: UNESP, 1999. GROSSNICKLE, Foster E., BRUECKNER, Leo J. O ensino da aritmética pela compreensão. R J:

Fundo de Cultura,1965 SANTOS, Santa Marli P. (ORG) A ludicidade como ciência. Rio de Janeiro: Vozes, 2001

159

Unidade IV - Os Jogos na Sala de Aula

1. Situando a temática Na Unidade anterior fizemos reflexões sobre a utilização dos jogos como material didático e a sua

importância na formação dos alunos. Apesar de ainda com aspectos polêmicos, a sua utilização na sala de aula tem sido crescente.

Quando se pensa na utilização de jogos como ferramenta de ensino deve-se ter em mente que isto exige um planejamento adequado e uma avaliação constante, para que se possa alcançar os resultados esperados, e manter o equilíbrio entre o prazer e o estudo, de modo que o jogo não perca sua ludicidade natural e o estudo não passe a ser visto como algo que não merece uma atenção séria.

Outro ponto fundamental a refletir sobre a utilização dos jogos na sala de aula é a importância da sua conexão com outras propostas metodológicas, especialmente a perspectiva da resolução de situações problemas, tema debatido em Unidades iniciais deste curso.

2. Problematizando a Temática Quando pensamos na utilização de jogos na sala de aula algumas reflexões podem ser propostas:

Como planejar a utilização de jogos na sala de aula; quais os critérios para escolher os jogos que serão utilizados? Que deve ser feito para não utilizar o jogo de forma inadequada? Quais são as verdadeiras potencialidades dos jogos na sala de aula? Qual a sua conexão com outras metodologias de ensino?

Nesta Unidade procuramos levar você a refletir sobre esses questionamentos, finalizando com sugestões sobre alguns jogos que podem ser utilizados na sala de aula. Pela diversidade de possibilidades didáticas dos jogos não se tem a intenção de exaurir o tema com essas reflexões e sugestões, mas iniciar o debate e estimulá-lo a descobrir e pesquisar sobre diversos jogos que podem ser utilizados na sala de aula.

3. Conhecendo a Temática

3.1 A elaboração e uso dos jogos em sala de aula A seleção de um jogo para ser utilizado como recurso didático deve ser criteriosa e levar em conta

diversos elementos, entre os quais destacamos: 1) a adequação do jogo aos objetivos que se deseja alcançar: a delimitação inicial dos objetivos

didáticos na exploração de um conteúdo é essencial e definirá as estratégias metodológicas a serem adotadas em sala de aula;

2) o nível de dificuldade das regras, e sua indicação para o nível de escolaridade ou idade das

crianças: antes de levar um jogo para a sala de aula, é importante que o professor faça uma leitura e análise cuidadosa das regras, identificando se estas são de fácil compreensão ou não. Isto não implica que devamos trabalhar apenas com jogos com regras fáceis para os alunos de cada série. Se a regras de um jogo são relativamente complexas, elas podem ser apresentadas de modo gradativo, lembrando-se que as explicações, em geral, ficam mais claras quando exploradas por meio de jogadas que servirão para exemplificá-las;

160

3) a quantidade de alunos na turma e a indicação quanto ao número de participantes: jogos que recebem a indicação para dois participantes podem ser trabalhados na sala, dividindo-se a turma em dois grandes grupos, ou com o próprio professor atuando como um dos jogadores e a turma de alunos como o segundo;

4) a disponibilidade do material necessário, de acordo com o número de alunos participantes: a

reprodução de tabuleiros pode ser feita em menor dimensão ou em uma estrutura mais simples, por meio da fotocópia de um modelo básico, de modo que a limitação de materiais não constitua um fator impossibilitador do uso de um jogo. Marcadores podem ser feitos de grãos e sementes e dados tradicionais substituídos por roletas ou fichas numeradas sorteadas aleatoriamente. O importante é que todos tenham a oportunidade de participar;

5) o tempo que se deseja dedicar à atividade: alguns jogos tornam-se excessivamente longos, caso

as regras sejam seguidas à risca. Alterações na pontuação final ou no número de jogadas podem ser propostas, de modo a garantir a manutenção do interesse dos alunos pela atividade, durante o tempo de sua exploração, desde que não haja prejuízos para a estrutura geral do jogo ou às suas potencialidades como material didático.

Recomenda-se sempre utilizar, na confecção dos jogos, o material mais simples e barato possível, evitando-se que o custo represente um fator de impedimento de seu uso em sala de aula. O professor deve ter bom senso para avaliar se o processo de confecção de um jogo pelo aluno envolve a aprendizagem de algum elemento novo e se o investimento neste procedimento compensa, ou se o tempo da aula será melhor aproveitado se o material for elaborado previamente por ele. A confecção do material pode envolver a aprendizagem do uso de instrumentos de desenho, a exemplo de réguas, esquadros e transferidores; do traçado de segmentos com medidas pré-determinadas; da obtenção de retas paralelas ou perpendiculares ou de círculos divididos em partes iguais, entre outros. De qualquer modo, o aluno em geral valoriza mais o material por ele produzido, embora seja importante educá-lo para usar bem os recursos didáticos utilizados em sala de aula, inclusive instruindo-o a guardar tudo o que lhe foi disponibilizado, de modo adequado, para que outros colegas sejam igualmente beneficiados. O material confeccionado pelo professor ou pelos alunos deve ser organizado e armazenado em local adequado, o que pode se restringir a uma simples caixa de papelão, devidamente identificada. Decorá-la e colocar o nome do conteúdo, em letras grandes, ajuda sua localização no momento de uso. Caixas de sapato ou de camisa podem ser úteis para a separação de cada jogo guardado dentro da caixa maior. É interessante elaborar um catálogo do material, o que pode ser feito por meio de fichas preenchidas à mão ou no computador, seguindo o modelo apresentado em seguida, que pode ser adaptado de acordo com a criatividade ou interesses do professor ou da turma.

NOME DO JOGO 1. Número de participantes: 2. Indicação de Série(s): 3. Disciplina(s) explorada(s): 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): 5. Material utilizado: 6. Procedimento: 7. Aprofundamento: 8. Avaliação: Observações Gerais:

161

Para que não seja utilizado de forma inadequada, evitando-se a crítica do uso do “jogo pelo jogo”, o professor deve estar atento a todos os elementos apontados no modelo de Ficha aqui sugerido, tendo bastante claros para si os objetivos do que e do como trabalhar com seus alunos.

Anotações posteriores, após a aplicação em cada turma, podem ser feitas na frente ou no seu verso da ficha, uma vez que a cada uso do material ou jogo, novos questionamentos ou resultados podem surgir. É fundamental estar atento às ações, dúvidas e questionamentos do aluno ao jogar, o que pode e deve ser registrado, para análise e reflexão e, se necessário, posterior reestruturação do material. Acompanhe, no exemplo que segue, como cada item pode ser preenchido.

VINTE E QUATRO PONTOS 1. Número de participantes: toda a turma. 2. Indicação de Série(s): a partir do 5° Ano do Ensino Fundamental. 3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática e Linguagem. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): planejamento

de estratégia; cálculo mental; operações aritméticas; expressões numéricas (ordem das operações em uma expressão).

5. Material utilizado: quatro dados comuns, papel, lápis e uma calculadora (opcional). 6. Procedimento: Quatro alunos lançam os dados e um quinto aluno, ou o professor, registra os números

obtidos no quadro. Todos os alunos deverão, então, tentar obter uma expressão numérica envolvendo os quatro números sorteados (sem repetição) e as quatro operações (não necessariamente todas), que dê, como resultado, o número 24. Por exemplo, se os números sorteados foram 6, 4, 5 e 6, um aluno poderia fazer (4x6) : (6-5) = 24. O número resultante pode ser modificado em outras rodadas.

7. Aprofundamento: registrar no quadro todas as expressões obtidas pelos alunos e discutir com

eles o uso de parênteses na Matemática e em Português; as implicações do uso nos parênteses na definição da ordem das operações; a importância do cálculo mental para o ensino de Matemática e as atividades do cotidiano, entre outros pontos.

8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da capacidade de cálculo e compreensão das jogadas pelo aluno, solicitando-se dele o registro de cada lance e do procedimento por ele adotado.

Observações Gerais: outras operações, como a potenciação, podem ser incluídas, dependendo do nível da turma, ou dos conteúdos já trabalhados em sala de aula. Ex.: se os números sorteados foram 3, 3, 2 e 1, poderíamos fazer: 3 x 23 : 1 = 24.

Observe o segundo exemplo. QUATRO NA LINHA 1. Número de participantes: 2 ou 3 (jogadores ou grupos) 2. Indicação de Série(s): a partir da 3ª Série do Ensino Fundamental 3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática e Linguagem. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): multiplicação;

cálculo mental; planejamento de estratégia; percepção no plano. 5. Material utilizado: tabuleiros (modelos abaixo), marcadores coloridos para o tabuleiro de

múltiplos (uma cor para cada participante – 10 marcadores cada), e dois marcadores de uma terceira cor para o tabuleiro de fatores.

162

6. Procedimento: na sua jogada, o primeiro jogador escolhe dois números do tabuleiro de fatores

(colocando os marcadores sobre eles) e cobre o produto dos dois números no tabuleiro dos múltiplos usando um marcador de sua cor. O segundo jogador pode mudar a posição de apenas um dos marcadores do tabuleiro dos fatores (os dois marcadores podem ficar sobre um mesmo número), cobrindo no tabuleiro dos múltiplos o novo resultado, com um marcador de sua cor. As jogadas são alternadas, continuando o procedimento usado na segunda jogada.

Ganha o jogo o participante ou equipe que obtiver primeiro, no tabuleiro dos múltiplos, uma linha de quatro marcadores de sua cor (na horizontal, vertical ou diagonal). O participante deverá observar bem que número escolher para mudar de lugar no tabuleiro dos fatores, em sua jogada, de maneira que possa obter resultados convenientes para ele e ainda evitar um bom resultado para o adversário, em sua próxima jogada.

7. Aprofundamento: o tabuleiro pode ser ampliado pelos alunos, incluindo-se os múltiplos de 10, 11 e 12, números que seriam dispostos no tabuleiro dos fatores. Os alunos verificariam quais os números que devem ser acrescidos no tabuleiro dos múltiplos. Tal procedimento pode fazer parte do processo avaliativo do uso do jogo, ou do modo como indicado abaixo.

8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da capacidade de cálculo e compreensão das jogadas pelo aluno, solicitando-se dele o registro de cada lance e do procedimento estratégico por ele adotado, justificando cada jogada em função de sua vitória ou da tentativa de evitar a vitória do outro jogador.

Observações Gerais: em geral os alunos apresentam dificuldades relativas à memorização dos fatores básicos relativos à multiplicação (a famosa “tabuada”). O jogo “Quatro na linha” pode motivá-lo para melhorar seu desempenho pessoal nesse aspecto.

Em relação aos jogos que envolvem o domínio da tabuada, ressaltamos que é desejável que o

processo aconteça de modo natural, estimulando-se o aluno a construir fatos mentais que desconhece, a partir daquilo que ele sabe. Por exemplo, se ele tem dificuldade para memorizar o resultado do produto 7 x 8, mas sabe quanto é 7 x 7, promova a mediação, por meio de perguntas, para que ele descubra que 7 x 8 será igual a 7 x 7 somado a 7. Antes de qualquer coisa, é fundamental verificar se o aluno compreende o conceito, pois de nada adiantará memorizar a tabuada se ele não associar a ideia de multiplicação a nenhuma das situações às quais ela pode ser vinculada.

TABULEIRO DOS MÚLTIPLOS 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 12 14

15 16 18 20 21 24

25 27 28 30 32 35

36 40 42 45 48 49

54 56 63 64 72 81

TABULEIRO DOS FATORES 1 2 3 4 5 6 7 8 9

163

Acompanhe agora o terceiro e último exemplo. FAÇA 100 1. Número de participantes: vários grupos, formados por todos os alunos da turma. Os grupos

podem ter duas ou três pessoas. 2. Indicação de Série(s): a partir do 3º Ano do Ensino Fundamental. 3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática e Linguagem. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): compreensão

do sistema decimal; planejamento de estratégia; adição; cálculo mental e/ou escrito 5. Material utilizado: fichas numeradas de 1 a 9 na quantidade necessária, sabendo-se que cada

grupo deverá receber oito fichas, depois que estas forem embaralhadas. 6. Procedimento: depois de embaralhadas, cada grupo deverá receber oito fichas numeradas. De

posse de suas fichas, cada grupo decidirá quais as fichas que irá contar como unidades e quais irá contar como dezenas, somando a pontuação total. Por exemplo, se as fichas de um grupo foram: 2, 3, 3, 4, 5, 7, 8 e 8, o grupo poderia obter: 94 pontos, escolhendo as fichas 2, 3, 5, 7, 8 e 8, como unidades, o que totalizaria 34 pontos (8 + 8 + 7 + 5 + 3 + 3 = 34), e as fichas 4 e 2 como dezenas, o que totalizaria 60 pontos (4 x 10 + 2 x 10 = 60). Objetivo: obter a pontuação a mais próxima possível de 100, mas sem ultrapassar este total

7. Aprofundamento: pode-se propor aos grupos, para complementar a atividade, questões do tipo: como obter a pontuação mais próxima de 100 só com uma ficha? Como obter a pontuação mais próxima de 100 com duas fichas? Como obter a pontuação mais próxima de 100 com três fichas? E assim por diante

8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da capacidade de cálculo e compreensão das jogadas pelo aluno, solicitando-se dele o registro de cada lance e do procedimento estratégico por ele adotado.

Observações Gerais: podem ser trabalhadas as seguintes variantes do jogo: (I) pode-se propor que os grupos tentem encontrar a pontuação a mais próxima possível de 100, podendo-se ultrapassar este valor. (II) Propor aos grupos para tentarem obter o valor mais próximo possível de 1000 pontos, sem ultrapassá-lo, escolhendo quais fichas representarão unidades, dezenas e centenas. Por exemplo, considerando-se as mesmas fichas do exemplo dado anteriormente (2, 3, 3, 4, 5, 7, 8 e 8), poderíamos totalizar 976 pontos, escolhendo as fichas 7 e 2 para centenas (7x100 + 2x100 = 900), a ficha 5 para dezena (5x10 = 50), e as fichas 8, 8, 4, 3 e 3 para unidades (8 + 8 + 4 + 3 + 3 = 26).

Como já destacado quando da indicação de preenchimento das fichas, a aplicação de um jogo em

cada turma compreende um momento ímpar, pois novos questionamentos podem surgir, assim como novas dúvidas. A segurança necessária para que se faça uso do jogo como material didático em sala de aula baseia-se principalmente, como já destacamos, na clareza de quais são os objetivos que se deseja alcançar e qual a relação destes com o planejamento escolar específico ou global. A experiência só pode advir do tempo e sem experimentar o novo, de modo planejado e organizado, jamais ela será constituída. Um aspecto de grande relevância para o trabalho com jogos em sala de aula, diz respeito à possibilidade de exploração do tema “ética” com os alunos, uma vez que esse recurso permite ampla discussão e espaço para prática. Os alunos precisam compreender que no jogo, como na vida, as relações são regidas por regras, que podem ser combinadas, modificadas e negociadas, mas devem ser, uma vez estabelecidas, seguidas. Caso haja a necessidade de quebra de regras no jogo, discussões devem ser promovidas para que se possa compreender a emergência dessa necessidade e as repercussões de uma possível mudança.

Jogando, o aluno entende que há o momento para sua ação e para a ação do outro, respeitando-se os espaços de ambos; que há a melhor forma de ganhar e de perder e que nem sempre vencemos todos os

164

jogos dos quais participamos. Nem por isso somos mais fracos ou menos competentes. Afinal de contas, como afirmou Pierre de Fredi, o Barão de Coubertin, em seu discurso de abertura dos Jogos Olímpicos de 1908, na cidade de Londres: “o importante é competir”.

Dialogando e Construindo Conhecimento

3.2 As potencialidades dos jogos e sua conexão com outras metodologias de ensino Uma das críticas mais frequentes feita ao uso de jogos em sala de aula, é que estes não estariam

servindo para promover a aprendizagem do aluno, mas apenas para passar o tempo da aula ou criar a falsa impressão de que os alunos estariam gostando mais da Matemática quando, na verdade, seu contato com os aspectos formais dos conteúdos seria mínimo.

Uma forma de superar as críticas e promover o uso adequado dos jogos matemáticos em sala de aula seria promover sua conexão com outras abordagens metodológicas e, em especial, com a resolução de problemas. Já abordamos, ainda que de modo superficial, a questão, no momento em que incluímos, na sugestão de Ficha de Registro dos jogos, um item denominado “aprofundamento”. O objetivo da inclusão deste elemento na Ficha é, na verdade, registrar as possibilidades de ampliação da formação do aluno, por meio do uso do jogo em questão, preferencialmente, identificando-se as questões exploratórias que poderiam promovê-la. Procuraremos exemplificar acerca do que desejamos tratar, por meio da exploração do jogo denominado “Cubra 12” (RÊGO e RÊGO, Matematicativa, 2009).

O jogo tem por objetivos facilitar o desenvolvimento: da atenção; da agilidade de raciocínio; da manipulação de quantidades; o cálculo mental envolvendo as quatro operações; e o planejamento de ação e estratégias. É indicado para uso a partir do 3º. Ano do Ensino Fundamental e podem participar dois jogadores ou dois grupos de jogadores.

O material necessário para o jogo é constituído de um tabuleiro, que pode ter a forma indicada na ilustração, marcadores de qualquer cor para os dois participantes (12 para cada) e dois dados comuns, numerados de 1 a 6.

Tabuleiro: Procedimento: cada participante, em sua jogada, lança os dois dados. Os números sorteados nos

dados podem ser utilizados como o jogador desejar, através de operações aritméticas escolhidas e anunciadas por ele no momento da jogada, devendo o mesmo cobrir o valor correspondente ao resultado da operação. Por exemplo, se os números sorteados nos dados forem 3 e 2, o jogador pode cobrir o 5 (fazendo

1 2

3 4

5 6

7 8

9 1

0 1

1 1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Atividade: 1) Pesquise em livros didáticos de matemática um jogo que seja utilizado na sala de aula, e para este preencha a ficha modelo proposta nesta seção, com as informações básicas sobre o jogo.

165

uso da adição: 5=3+2), ou o 1 (usando a subtração: 1=3-2), ou o 6 (com o produto dos números: 6=3x2). Só se poderá efetuar a divisão entre os dois números sorteados se esta for exata. No caso do exemplo dado, isso não era possível, pois a divisão de 3 por 2 não é exata (ou seja, o seu resultado não consta no tabuleiro). Ganha o jogo quem cobrir primeiro todos os seus números de 1 a 12.

O uso deste jogo em sala de aula constitui, pela nossa experiência, um elemento de grande envolvimento por parte da turma. Imediatamente podemos identificar o uso dos elementos apontados quando de sua apresentação, a exemplo do cálculo mental e da atenção, além da identificação das operações possíveis, considerando-se os números sorteados. Apenas estes elementos já poderão justificar sua utilização em turmas de alunos que estão iniciando seu estudo com estes elementos.

Porém, o jogo pode ser melhor ainda explorado, por meio de questões acerca dos valores que possibilitam cobrir cada número: quais os mais fáceis de serem cobertos? Com que valores e operações? Quais os mais difíceis? Para facilitar a compreensão das respostas a estas questões, pode-se efetuar com os alunos o preenchimento das quatro tabelas apresentadas em seguida, correspondentes aos possíveis valores obtidos com os números dos dois dados - de 1 a 6 em cada, para cada uma das quatro operações.

Observe que há trinta e seis quadrados inicialmente em branco, em cada tabela. Em seu

preenchimento, vale lembrar os seguintes pontos: no caso da subtração, para cada par de números devemos subtrair o menor número do maior. Na tabela da divisão, fazer o maior número dividido pelo menor, só preenchendo a casa quando o resultado for um número inteiro. Deste modo, algumas casas ficarão em branco, como no caso citado no exemplo de jogada, envolvendo os números 3 e 2. Mesmo que alguns valores, no caso da subtração e da multiplicação, não estejam presentes no tabuleiro, as duas tabelas devem ser totalmente preenchidas.

Após o preenchimento de todas as tabelas, pelos alunos, pedir-lhes que verifiquem qual o número que aparece mais vezes em cada tabela, qual o que aparece menos vezes, entre outras observações possíveis. Por exemplo, no caso da adição, o 7 aparecerá em 6 dos 36 possíveis valores sendo, neste caso, o que tem mais chances de sair, considerando-se apenas esta operação (7/36). Posteriormente determinar

+ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4

5 6

- 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4

5 6

x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4

5 6

÷ 1 2 3 4 5 61 2 3 4

5 6

166

quantas vezes cada número (de 1 a 12) aparece, considerando as quatro tabelas, isto é, quantas vezes o número aparece entre todos os possíveis valores.

Investigar ainda com os alunos, como deveriam ser os tabuleiros, se desejássemos usar apenas uma das operações ou apenas duas operações, ou outras combinações de operações e números. Por exemplo, usando-se apenas a adição, para que o número 1 pudesse ser coberto deveríamos mudar a regra para o uso dos dois dados, neste caso podendo-se cobrir o valor de apenas um deles ou, ainda, excluindo-se o número 1 do tabuleiro. No caso de usarmos apenas a operação de subtração o tabuleiro deveria ser numerado de 0 a 5, os únicos resultados possíveis neste caso, e assim por diante.

Os alunos poderiam fazer um relatório no qual registrariam todas as suas conclusões, relativas ao uso isolado de cada operação ou o uso combinado delas, duas a duas, produzindo os tabuleiros resultantes, bem como as respectivas regras, os quais poderiam ser expostos em uma Feira de Ciências ou exposição de material didático.

Como forma de ampliar ainda mais esse jogo, poderíamos questionar aos alunos como poderíamos utilizar outras operações, como a potenciação, caso eles já a conheçam. Neste caso, obtendo-se nos dados os valores 2 e 3, por exemplo, poderiam ser cobertos o 8 (8=23) ou o 9 (9=32)). Para alunos do Ensino Médio, que conhecem os fatoriais, com os mesmos números poderia ser coberto, por exemplo, o 12, que seria igual a 3! X 2.

Outras formas de adaptação do jogo incluem mudanças no número de dados ou nos valores numéricos presentes no tabuleiro. Para ilustrar, poderíamos pensar em um jogo no qual se utilizasse o mesmo tabuleiro, mas três dados numerados de 1 a 6, no lugar de apenas dois, passando-se a cobrir o resultado de expressões numéricas com os três números obtidos nos dados e as quatro operações básicas. Por exemplo, se os números sorteados foram 2, 3 e 5, o jogador poderia cobrir o 4 (4=(5-3)x2); ou o 5 (5=5x(3-2)); ou o 10 (10=3+2+5), entre outras opções.

As possibilidades de exploração desse e de vários outros jogos são inúmeras, ricas e bastante diversificadas, mas é fundamental flexibilizar a forma como concebemos o trabalho com a resolução de problemas em sala de aula, em geral atrelada à busca de respostas a questões apresentadas por meio de enunciados formais e bem estruturados, e respondidas sempre por escrito, na forma de sentenças do tipo padrão. A exploração de perguntas que permitem várias respostas, algumas apresentadas inclusive apenas oralmente ou na forma de relatórios ou textos informais, é uma das mais ricas trilhas para o uso de jogos em sala de aula, de forma a potencializar seu uso como recurso didático nas aulas de Matemática, aliando estudo a prazer, com competência.

Outros exemplos de uso de interessantes jogos matemáticos, associados à resolução de problemas, podem ser encontrados no texto: Aprender com jogos e situações-problema, de Lino de Macedo, Ana Lúcia S. Petty e Norimar C. Passos (2000). Além disso, os autores apresentam as etapas para desenvolvimento de um projeto com jogos na escola, destacando a construção de situações-problemas, que permeiam todo o processo. Para estes autores, existem diversas formas de elaborá-las, dentre as quais ressaltam a intervenção oral, os questionamentos ou a apresentação de justificativas para uma jogada ou, ainda, a reprodução de um dado momento do jogo. De acordo com Macedo, Petty e Passos (p.21), as situações-problema têm “como objetivo principal promover análise e questionamento sobre a ação de jogar, tornando menos relevante o fator sorte e as jogadas por ensaio-e-erro”. Além disso, acompanhar a ação da criança em uma situação de jogo ajudaria o professor a identificar onde estariam os entraves e dificuldades do aluno e ajudá-lo a definir estratégias para ajudar a superar os problemas encontrados.

Destacamos, em nosso texto, os excelentes resultados que podem ser obtidos quando vinculamos o uso de jogos à resolução de problemas. Outras metodologias de ensino de Matemática podem ser atrelados

167

de modo igualmente eficiente aos jogos, a exemplo das novas tecnologias, por meio de jogos no computador.

3.3 Sugestões de jogos para utilização na sala de aula.

Os jogos que apresentamos como sugestões não aparecem numa sequência própria para ser

trabalhada em sala de aula. Cada jogo pode oferecer diferentes níveis de complexidade de acordo com as adaptações elaboradas para as diversas séries de ensino.

JOGO DO RESTO 1. Número de participantes: para dois participantes 2. Indicação de Série(s): A partir do 4º Ano do Ensino Fundamental. 3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): Atenção.

Agilidade de raciocínio. Manipulação de quantidades. Divisão. Planejamento de ação. 5. Material utilizado: Tabuleiro numerado de 1 a 50 (figura a seguir), fichas numeradas de 6 a 50,

um dado comum e dois marcadores, um para cada jogador, em cores diferentes. Exemplo de tabuleiro preenchido:

6. Procedimento: No início do jogo os dois marcadores são colocados sobre o número 1 do tabuleiro. Em sua jogada, cada participante escolhe uma das fichas numeradas e lança o dado, movendo seu marcador um número de casas correspondente ao resto da divisão do número da ficha escolhida pelo sorteado no dado.

Por exemplo, se o jogador escolheu a ficha com o número 43 e obteve 5 no dado, andará 3 casas, resto da divisão de 43 por 5, seguindo a numeração do tabuleiro. Ganha quem chegar mais próximo do número 50 após dez rodadas. Pode-se jogar sorteando-se também a ficha em vez desta ser escolhida pelo jogador.

7. Aprofundamento: o tabuleiro pode ser ampliado inserindo-se mais números. Outra possibilidade é trabalhar com os múltiplos

8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da capacidade de manipulação de quantidades, de cálculo e compreensão das jogadas pelo aluno, é importante solicitar dele o registro de cada lance e do procedimento estratégico por ele adotado, justificando cada jogada em função de sua vitória ou da tentativa de evitar a vitória do outro jogador.

Fonte: RÊGO, Rogéria G., RÊGO, Rômulo M., Matematicativa. João Pessoa, PB: Editora Universitária / UFPB, 2004

JOGO DAS COORDENADAS CARTESIANAS 1. Número de participantes: Para dois ou três participantes 2. Indicação de Série(s): A partir do 7º ano do Ensino Fundamental

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

168

3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): Percepção

espacial. Pares Ordenados e localização de pontos no plano. Raciocínio lógico. Simbolização e generalização. Ação Exploratória

5. Material utilizado: Tabuleiro, contas coloridas (uma cor para cada jogador) e roletas (dois círculos divididos em treze partes iguais e numerados de - 6 a 6). Para fazer o tabuleiro é necessário fazer um geoplano 13x13, marcar uma linha no sétimo prego da vertical e no sétimo prego da horizontal, formando os eixos do plano cartesiano. Numerar as coordenadas de -6 a 6, nos dois eixos, e a origem. Como a figura a seguir.

6. Procedimento: Cada participante, em sua jogada, gira os dois marcadores da roleta. Os dois

números sorteados corresponderão às coordenadas do ponto a ser marcado no tabuleiro. Por exemplo, se os números foram 1 e 4, o jogador poderá escolher em que ponto do plano colocará seu marcador: se no ponto (1, 4) (representado pelo círculo preto, no tabuleiro da figura) ou no ponto (4, 1) (círculo cinza da Figura). Se o ponto escolhido já estiver ocupado por um marcador do adversário, este poderá ser retirado e substituído.

Ganha o jogo aquele que obtiver primeiro uma linha de três pontos consecutivos e colineares (sobre uma mesma linha reta - na horizontal, vertical ou diagonal).

7. Aprofundamento: Uma versão mais simples do jogo poderá utilizar apenas o primeiro

quadrante do plano cartesiano e duas roletas circulares divididas em sete partes iguais e numeradas de 0 a 6. 8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da capacidade de localização dos pontos

no plano cartesiano e a compreensão das jogadas pelo aluno, solicitando-se dele o registro de cada lance e do procedimento estratégico por ele adotado, justificando cada jogada em função de sua vitória ou da tentativa de evitar a vitória do outro jogador.

Fonte: RÊGO, Rogéria G., RÊGO, Rômulo M., Matematicativa. João Pessoa, PB: Editora Universitária / UFPB, 2004.

JOGO DAS COLISÕES 1. Número de participantes: para dois participantes 2. Indicação de Série(s): A partir do 6º Ano do Ensino Fundamental. 3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): Percepção

espacial. Sequenciamento. Planejamento de estratégia. Orientação espacial. Raciocínio dedutivo. Discriminação visual.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5-6

Existem pregos nas interseções das linhas pontilhadas e destas com os eixos.

169

5. Material utilizado: Tabuleiro (Figura 79) e sete marcadores para cada jogador (usar uma cor para cada jogador). Ao confeccionar o tabuleiro tenha bastante cuidado com a colocação das setas e linhas verdes. Elas foram estrategicamente distribuídas (atividade adaptada de um jogo proposto pelos matemáticos Roger Eggleton e Aviezri Fraenkel - em GUY,R.K. e WOODROW, R. E. Editores - The lighter side of Mathematics. MAA, USA, 1994) de modo que um dos jogadores pode sempre forçar a vitória.

6. Procedimento: Cada jogador coloca, no início do jogo, suas fichas nas sete casas coloridas de cada lado do tabuleiro. Jogam, alternadamente, movendo uma ficha em cada jogada. As fichas movem-se para um círculo vazio seguindo a direção indicada pelas setas, nas linhas pretas. Nas linhas cinza (sem setas) as fichas podem mover-se nas duas direções. Se, ao mover uma de suas fichas, o jogador puder ocupar uma casa que contém uma ficha do adversário, esta é retirada e o jogador coloca sua ficha no lugar. Duas peças de um jogador não podem ocupar o mesmo círculo. Ganha o jogo aquele que conseguir retirar primeiro todas as fichas do adversário do tabuleiro.

7. Aprofundamento: o tabuleiro pode ser modificado alterando-se as direções, acrescentando-se novas casas, criando-se novas sequências.

8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da orientação espacial do aluno, do planejamento de estratégia escolhido, solicitando-se dele a justificativa de cada jogada em função de sua vitória ou da tentativa de evitar a vitória do outro jogador.

Fonte: RÊGO, Rogéria G., RÊGO, Rômulo M., Matematicativa. João Pessoa, PB: Editora Universitária / UFPB, 2004

BATALHA NAVAL CIRCULAR 1. Número de participantes: 2 ou 4 (Duplas) 2. Indicação de Série(s): a partir da 1º Ano do Ensino Médio 3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática e Linguagem. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): localização de

pontos em círculos orientados; cálculo mental envolvendo ângulos notáveis; localização espacial; leitura e interpretação de textos.

5. Material utilizado: tabuleiro (modelo abaixo), um lápis para marcar os tiros marcadores. Exemplo de tabuleiro preenchido:

170

6. Procedimento: Esse jogo tem por objetivo a localização de pontos em círculos orientados através das medidas dos ângulos notáveis. Cada jogador deve ter um tabuleiro como o que segue. Em seu tabuleiro, sem que o seu oponente veja, o jogador posiciona sua esquadra composta por: 1 porta-aviões (4 “estrelas” em posições contínuas numa reta ou numa circunferência) 2 submarinos (3 “círculos” em posições contínuas numa reta ou numa circunferência) 3 destroyers (2 “triângulos” em posições contínuas numa reta ou numa circunferência) 4 fragatas (1 “quadrado”).

A seguir alternadamente, cada jogador tem direito a "a dar um tiro" falando uma posição da seguinte forma: primeiro o raio da circunferência e depois o ângulo. Por exemplo: (3, 60º) Se o tiro atingir algum dos navios do adversário este diz "acertou" e especifica o tipo de navio e o jogador tem direito a novo tiro até errar. No caso do tiro não acertar nenhum navio o adversário diz "Água" e é sua vez de jogar. O jogo termina quando uma das frotas for totalmente atingida e o vencedor é o jogador que conseguir afundar todos os navios de seu adversário.

7. Aprofundamento: o tabuleiro pode ser ampliado pelos alunos, incluindo-se os valores dos ângulos em radianos. Os alunos verificariam quais os números que devem ser acrescidos no tabuleiro dos múltiplos. Tal procedimento pode fazer parte do processo avaliativo do uso do jogo.

8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da capacidade de localização dos pontos no plano e compreensão das jogadas pelo aluno, solicitando-se dele o registro de cada lance e do procedimento estratégico por ele adotado, justificando cada jogada em função de sua vitória ou da tentativa de evitar a vitória do outro jogador.

Fonte: site do MATHEMA – Formação e Pesquisa, disponível em <http://www.mathema.com.br/> JOGO DOS POLIEDROS 1. Número de participantes: 2 ou 4 (duas duplas) 2. Indicação de Série(s): a partir da 2º Ano do Ensino Médio 3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): Identificar em

uma situação-problema as informações ou variáveis relevantes e elaborar possíveis estratégias para resolvê-la; compreender e emitir julgamento próprio sobre as informações relativas à Matemática; expressar-se com clareza, utilizando a linguagem matemática. Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagens e representações, especificamente aqui as representações e linguagem geométricas; Identificar propriedades e representações de sólidos geométricos; Desenvolver a percepção espacial; Identificar um sólido geométrico como uma figura espacial; e classificar os sólidos em poliedros e corpos redondos

5. Material utilizado: Baralho com 52 cartas (Em anexo nos textos complementares)

6. Procedimento: O objetivo deste jogo é formar famílias de 4 cartas. Cada família é formada pelo nome do sólido geométrico, figura do sólido, a planificação do sólido e uma carta das propriedades. Ao todo existem 10 famílias.

Embaralham-se as cartas e coloca-se o baralho virado para baixo. Um dos jogadores tira uma das cartas do baralho e coloca-a em cima da mesa com a face virada para cima, seguidamente o outro jogador procede do mesmo modo. Caso a carta que sai a um dos jogadores pertence à família de uma das cartas já viradas, deve colocá-la sobre ela. Caso um dos jogadores coloque uma carta na família errada perde a vez

171

de jogar e essa carta é colocada no fim do baralho. Se a carta que sai a um dos jogadores se referir a um não poliedro perde uma vez de jogar. Se a carta que sai disser OBJETO, o seu adversário deverá dizer o nome de um sólido e ele em 20 segundos tem de dizer o nome de um objeto do cotidiano com essa forma. Se a carta que lhe sair for uma carta das propriedades "em branco", ele poderá utilizar essa carta em qualquer altura do jogo para formar uma família, contudo, para utilizá-la deverá dizer algumas propriedades do sólido que o distinga de todos os outros poliedros. O jogo termina quando todas as famílias estiverem formadas.

A pontuação no jogo é da seguinte forma: Sempre que um dos jogadores coloque uma das cartas em cima de outra ganha 1 ponto; Se um dos jogadores completa uma das famílias ganha 4 pontos; Se o jogador não conseguir dizer o nome do objeto em 20 segundos perde 2 pontos. Ganha o jogo quem tiver maior pontuação quando todas as famílias forem formadas.

7. Aprofundamento: A ampliação desse jogo pode ser feita retirando-se ou incluindo-se cartas

referentes a outros poliedros. Outra possibilidade de jogar é retirando-se as cartas das propriedades e das planificações para simplificar o jogo inicialmente, e em seguida, essas cartas podem voltar ao baralho aumentando assim a dificuldade. Essa lógica da utilização de cartas para relacionar conceitos matemáticos pode ser utilizada para outros conteúdos como função.

8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da capacidade dos alunos em identificar os poliedros e relacioná-los às suas respectivas planificações e propriedades.

Fonte: Site MATHEMA – Formação e Pesquisa, disponível em <http://www.mathema.com.br/>. Tiras de propriedades 1. Número de participantes: grupos de 3 ou 4 jogadores 2. Indicação de Série(s): a partir do 6º ano 3. Disciplina(s) explorada(s): Matemática. 4. Conhecimentos ampliados (relativos a conteúdos, procedimentos e atitudes): Reconhecimento

de propriedades geométricas simples de figuras relativas a: ângulos, lados de polígonos, paralelismo e perpendicularismo; Desenvolvimento da linguagem geométrica relativa a geometria plana; Observação e análise de figuras geométricas planas

5. Material utilizado: Formas Geométricas e Tiras de propriedades (em anexo nos textos complementares)

6. Procedimento: As tiras são embaralhadas e cada jogador pega 6 tiras (o número de tiras pode ser

maior, se houver o suficiente). Uma figura é sorteada, e cada jogador seleciona entre suas tiras aquelas que correspondem a propriedades da figura. Cada tira de propriedade selecionada representa um ponto para o jogador.

Nova figura é selecionada e é feita nova distribuição das tiras. Isso pode se repetir de 8 a 10 vezes. O ganhador é aquele que ao final tiver o maior número de pontos.

1 PAR DE LADOS IGUAIS 2 PARES DE LADOS IGUAIS

3 LADOS IGUAIS 4 LADOS IGUAIS

172

7. Aprofundamento: A ampliação desse jogo pode ser feita trocando-se figuras planas por poliedros, e nas tiras escrever propriedades dos poliedros.

8. Avaliação: a avaliação pode ser baseada na observação da capacidade dos alunos em relacionar figuras planas as suas propriedades.

Fonte: site do MATHEMA – Formação e Pesquisa, disponível em <http://www.mathema.com.br/> No trabalho com os jogos propostos, retirados de diversas fontes, lembre-se de todas as

considerações presentes no texto, considerando a necessidade de desenvolvimento das potencialidades do aluno e a possibilidade de promover entre ele e a Matemática uma relação prazerosa.

4 Avaliando o que foi construído

Atividade: 1) Escolha um dos jogos sugeridos na seção 3.3 e com base nele elabore uma situação didática (veja

o roteiro do plano de aula nos textos complementares) envolvendo resolução de problemas.

5. Referências

RÊGO, Rogéria; RÊGO, Rômulo. MATEMATICATIVA. São Paulo: Autores Associados, 2009. 3ª.

Edição. MACEDO, Lino de; PETTY, Ana Lúcia S.; PASSOS, Norimar C. Aprender com jogos e situações-

problema. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.