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1. INTRODUÇÃO

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Organizar uma lista de conteúdos de matemática para serem trabalhados na educação básica é, com certeza, a parte menos complicada da tarefa que tem como objetivo produzir um documento que trate de diretrizes para o ensino da matemática. O dificil é elencar e integrar as habilidades a serem desenvolvidas pelos alunos, no momento de aprendizagem dos diferentes conteúdos.

Diferentes diretrizes, tanto aquelas disponibilizadas pelas Secretarias de Educação Estaduais, como aquelas disponibilizadas pelo MEC, tratam de detalhar habilidades. Os itens destacados nos diferentes documentos não são muito diferentes, pois os objetivos maiores da educação matemática são essencialmente os mesmos.

Neste documento, também vamos tratar de diretrizes curriculares para o ensino de matemática. Através da apresentação da relação de conteúdos elencados, pretendemos explicitar as habilidades a serem desenvolvidas.

O detalhamento da apresentação dos conteúdos tem, também, a intenção de ajudar o professor na organização das suas aulas. Um assunto recorrente nas reuniões de professores é a questão da “falta de tempo para cumprir a grade de conteúdos”. Dependendo do número de horas semanais de aulas de matemática que o professor tem à disposição, a falta de tempo realmente torna-se um aspecto a ser considerado e, assim sendo, conteúdos mais importantes para a formação dos alunos precisam ser priorizados. Na tomada de decisão sobre as prioridades é bom ter em mente uma pergunta: o conteúdo a ser trabalhado provoca o desenvolvimento de habilidades matemáticas?

No artigo “Habitos de pensamento: um principio organizador para o curriculo” de Goldenberg (1998) tem-se uma interessante proposta sobre hábitos de pensamento que deveriam acompanhar o curriculo de matemática escolar. A lista de hábitos de pensamento proposta por Goldenberg pode ajudar a responder a pergunta colocada acima. Os hábitos de pensamento são: visualizar; reconhecer padrões ou invariantes; fazer experiencias e explorações; criar e ser inventor; fazer conjeturas; descrever, formal e informalmente, relações e processos; raciocinar por continuidade. A esta lista acrescentaríamos mais um hábito: fazer experimentos de pensamento, sem medo, pois errar e tirar conclusões a partir do erro são atitudes que fazem parte do processo de busca de solução de um problema.

Neste documento, vamos tratar do ensino da matemática do sexto ao nono ano do Ensino Fundamental. Iniciamos com o detalhamento, ano a ano, de conteúdos e de correspondentes habilidades a serem desenvolvidas.

1 . INTRODUÇÃO

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Os conteúdos foram organizados nos eixos temáticos: número, aritmética e álgebra; geometria, medida e álgebra; estatística e probabilidade. Em seguida, fazemos considerações que tratam de indicar de que forma, no aprendizado da matemática, os conteúdos podem ser trabalhados de forma mais integrada, de modo a contemplar diferentes habilidades. Este é um princípio que acompanhou a organização da grade de conteúdos e habilidades e a escolha de eixos, em parte, reflete isso - conteúdos de álgebra estão no eixo que inicia com os números e também no eixo que inicia com a geometria.

De imediato, adiantamos algumas das características da proposta que vamos apresentar:

• organização de conteúdos visando a um ensino mais integrado dos diferentes tópicos;

• detalhamento de habilidades que valorizam os raciocínios matemático e estatístico; raciocínios generalizadores, raciocínios indutivos e dedutivos são contemplados, sistematicamente, dentre as habilidades;

• desenvolvimento em espiral de habilidades - no sexto ano ainda são explorações que envolvem raciocínio empírico, que preparam para o raciocínio que explica e generaliza. É de forma, gradativa, que propomos um avanço nas explicações e nas argumentações a serem trabalhadas pelo professor;

• detalhamento de conteúdos e habilidades de forma mais sistêmica: as habilidades a serem desenvolvidas no contexto da aritmética já preparam os alunos para o pensamento algébrico; as formas planas da geometria, ao serem postas na linguagem da álgebra, integram o desenvolvimento do pensamento geométrico e algébrico; a presença da geometria espacial ao longo dos quatro anos mostra a importância do desenvolvimento das habilidades de visualização no entendimento do espaço 3D;

• na geometria, a valorização das construções com régua e compasso e uma maior ênfase na geometria espacial, e assim tópicos de geometria espacial estão presente em todos os anos;

• maior ênfase nos conteúdos de estatística e probabilidade, sendo eles encadeados em sintonia com os conteúdos matemáticos que estão sendo trabalhados em cada ano escolar;

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• antecipação de itens que normalmente são tratados no Ensino Médio (justificado abaixo):

– prismas e pirâmides; cilindros e cones

– reta, círculo e parábola na linguagem da álgebra (uma introdução a geometria analítica)

– função como uma relação entre duas variáveis, em contextos concretos e específicos

• constante recomendação de uso de material concreto e manipulativo, especialmente no momento de introdução de novos conceitos; e na medida do possível, recomendação de que sejam usados recursos digitais – software e objetos de aprendizagem, de preferência após o uso de material concreto. Um software que é constantemente recomendado é o GeoGebra1 .

A antecipação de itens que seriam do Ensino Médio para o Ensino Fundamental não significa aumentar o elenco de conteúdos a serem ensinados. A intenção, com essa antecipação é, essencialmente, tratar de situações que são interessantes e que provocam o uso de conteúdos já trabalhados e, desta forma, provocam uma maior versatilidade nas habilidades matemáticas que estão em desenvolvimento no EF. Estamos incluindo na grade de conteúdos do EF II itens de geometria espacial, que normalmente são trabalhados no EM. Existe uma ideia formada, e seria interessante investigar suas origens, de que geometria espacial é assunto do EM. Parece ser voz-corrente que formas 2D são mais simples de serem entendidas do que formas 3D. Se olharmos para as representações 2D de tais formas, isto é verdade. Por isso o trabalho com geometria espacial deve sempre contemplar a manipulação de material concreto e a observação de formas 3D que estão no mundo; para o avanço na abstração das formas 3D é interessante usar software de geometria dinâmica (por exemplo o GeoGebra). É assim que os alunos vão construir imagens mentais e vão ampliar suas habilidades para resolver problemas que envolvem formas 3D. Nos tópicos que estão sendo propostos, as exigências não são de conteúdo, mas de visualização, para bem aplicar conceitos e propriedades de formas 2D, já estudados.

1 O download do software pode ser feito em https://www.geogebra.org/

1 . INTRODUÇÃO

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Quanto à Estatística é preciso reconhecer que ela está presente em muitos aspectos de nossas vidas: os testes de eficácia de remédios e vacinas, o planejamento de tráfego, o controle de qualidade na indústria, as avaliações educacionais em larga escala, os estudos de planejamento econômico, demográfico e de segurança são alguns entre muitos exemplos de situações que afetam o nosso dia-a-dia e onde esta área do conhecimento se faz necessária. Ou ainda, ao ler um jornal ou ao ouvir resultados de pesquisa de opinião que falam de margem de erro, estamos frente a situações quotidianas em que a Estatística se faz presente. Reconhecer e entender a variabilidade e a incerteza para a tomada de decisão são habilidades estatísticas fundamentais para o exercício pleno da cidadania no século XXI. É na direção da promoção de tais habilidades que este documento trás orientações dentro dos princípios apresentadas no documento “Reflexões a respeito dos conteúdos de probabilidade e estatística na escola” da Associação Brasileira de Estatística (ABE). Dentre os princípios elencados no documento destacamos: a apresentação dos conceitos estatísticos em forma espiral, tanto na própria atividade como a cada nível de ensino; a organização dos conteúdos, nos diferentes níveis educacionais, contemplando o planejamento de estudo (incluindo construção de instrumentos e desenhos de amostragem), a análise de dados, a variabilidade ou heterogeneidade, a incerteza, a comunicação dos resultados; a introdução dos conceitos da Estatística através de questão investigativa que possa gerar um projeto (de caráter interdisciplinar) que exige discussão sobre etapas do planejamento e que exige análise exploratória que faz uso de tabelas, medidas e gráficos. Assim , neste documento, a proposta para o ensino de estatística vai além da simples construção de histogramas e de gráficos de linha, da simples aplicação de fórmulas para o cálculo de media, mediana e moda. Da mesma forma, para o ensino de probabilidade vai além de simples experimentos em espaços equiprováveis finitos (os tradicionais experimentos com moedas e dados). Também em consonância com documento da ABE, os conteúdos, ao longo dos quatro anos do EF II, são apresentados em diferentes níveis de aprofundamento e os mesmos conceitos são revisitados com diferentes ênfases.

Este documento foi elaborado a muitas mãos. Muitas das ideias que aqui estão, especialmente nos eixos que envolvem aritmética, geometria, álgebra e funções, foram discutidas e afinadas no grupo de professores, de escolas e de universidades, que levou a frente o projeto MatDigital, uma iniciativa da SBM no periodo 2012-2013. Como colaboradores, em diferentes momentos da redação deste texto, tivemos os professores Humberto Bortolossi (UFF), Marlusa Benedetti (Colegio de Aplicação da UFRGS) e Sergio Amaral Lopes(Rede Estadual de Ensino- MG).Também

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participaram como leitores críticos da proposta, na parte que trata de conteúdos de geometria, os professores-alunos do Mestrado em Ensino de Matemática do PPGEMat do Instituto de Matemática da UFRGS, no semestre 2015/01.

O eixo que trata de Estatística e Probabilidade foi elaborado com a colaboração dos professores Humberto Bortolossi (UFF), Luciane Velasque (UNIRIO), Maria Tereza Serrano Barbosa (UNIRIO) e Nei Rocha (UFRJ).

Consideramos que com este documento tem-se um ponto de partida para a importante discussão,que já está acontecendo e que resultar na consolidação de diretrizes para a educação básica, que atendam as expectativas de professores de diferentes realidades escolares.

Fábio Simas (UNIRIO, RJ)

Gláucia Helena Malta (Rede Municipal de Ensino, RGS)

Leticia Rangel (CAP, UFRJ)

Maria Alice Gravina (Instituto de Matemática, UFRGS)

1 . INTRODUÇÃO

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2. TABELAS DE CONTEÚDOS

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Séries Números, aritmética e álgebra

Geometria, medida e álgebra

Estatística e Probabilidade

• Númerosnaturais• Frações• Númerosdecimais

• Retas,triângulosequadriláteros• Ânguloecírculo• Cuboeparalelepípedo:elementose

planificação• Perímetro,áreaevolume:retângulo

eparalelepípedo• Grandezasemedidas

• Asideiasdevariabilidadeedeincerteza

• Variabilidadededadosequestõesdenaturezaestatística

• Variáveisquantitativas(nocontextodosnúmerosnaturais)evariáveisqualitativas

• Coletadedados,organizaçãoesínteseemtabelas,pictogramasegráficosdebarra

• Noçãointuitivadeeventopossível/impossível,provável/improvável

• Númerosinteiros• Introduçãoaosnúmerosracionais• Introduçãoalinguagemdaálgebra• Proporcionalidadediretaeinversa;

porcentagem

• Congruência• Triângulosequadriláteros:elementos

epropriedades• Fórmulasdeárea• Prismasepirâmides:elementos,

planificação,áreadesuperficie

• Medidasdeposição:média,mediana,moda

• Medidadedispersão:amplitudetotal• Tabelasegráficosdefrequência

relativa• Experimentosempíricoseoconceito

deprobabilidadecomonúmeroracionalouporcentagem

• Númerosracionais• Introduçãoaosnos.irracionais• Álgebraeoperações• Álgebraeresoluçãodeproblemas

• Semelhança• Aplicaçõesdesemelhança• Cilindroecone:elementos,

planificaçãoeáreadesuperficie• Intersecçãodesólidoseplanos

• Populaçãoeamostraaleatória• Medidasdescritivas(média,mediana

,moda,amplitude)emdiferentesamostrasaleatóriasdeumapopulaçãoemdoisoumaisgruposdeamostras

• Experimentosempíricoseprobabilidadeparaeventosequiprováveisenãoequiprováveis

2. TABELAS DE CONTEUDO

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• NúmerosReais• Introduçãoàsfunções• Funçõeslinear,quadráticaecúbica

• Geometriadedutiva• Trigonometrianotriânguloretângulo• Prismaecilindro:volume• Introduçãoageometriaanalítica

• Noçõesdediferentestiposdeamostragem

• Estimativaamostraleerro• Aplicações:censopopulacionale

escolar,testesdequalidade,pesquisaeleitoral

• ProbabilidadeeEstatística:coletadedados,organizaçãoesíntesepormeiodaamostragemeanáliseexploratóriadosdados,emquestõesdoquotidianodosalunos

TÓPICOS SUPLEMENTARES• PoliedrosepoliedrosdePlatão• Formasgeométricaseprocessosrecursivos:oprincípiodofractalgeométrico(formas2Dcomperímetrocadavezmaioreárea

cadavezmenor;formas3Dcomáreacadavezmaiorevolumecadavezmenor)• Representação2Ddeobjetos3D:princípiosdodesenhoemperspectiva• Superfíciesderevolução:cilindro,coneeesfera• Aparábolaeaelipsecomolugargeométricoeasequaçõesemsistemadecoordenadascartesianas• Círculoeânguloinscrito;quadriláterosecírculoscircunscritos,quadriláterosecírculoscircunscritos• Isometriasnoplano:translação,reflexão,rotação• Parametrizaçãoderetasecírculos

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3. DETALHAMENTO DE CONTEÚDOS E HABILIDADES

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6º ANO

EIXO NÚMERO, ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

1. NÚMEROS NATURAIS

Estrutura de tópicos Habilidades

1.1. Números naturais para contar, medir e tratarinformação.

1.2. Sistema decimal (posicional) de numeração,comparaçãoeordenação,aretanumérica.

1.3. Potênciasdenúmerosnaturaisegrandesnúmeros.1.4. Operações de adição, subtração, multiplicação e

divisão;algoritmos;1.5. Estimativas;1.6. Númerosprimos.1.7. Divisibilidade:fatoração,múltiplosedivisores,resto

dedivisão;númerosprimoseafatoraçãoemprimos;máximodivisorcomumemínimomúltiplocomumnaresoluçãodeproblemas;critériosdedivisibilidadepor2,5e10.

1.8. Regularidadesemsequênciasdenaturaisecontagemcomprincípiodemultiplicação.

• Compreenderosistemadenumeraçãodecimal.• Decomporumnúmeronaturaldadocomosomadeprodutosdeumnaturalmenorque10

porumapotênciadedez.• Identificarnúmerosnaturaiscompontosdareta.• Resolverproblemasconcretosutilizandoasoperaçõesdeadição,multiplicaçãoesubtração

denúmerosnaturais(eresultadonatural)emdiferentescontextos.Ex.juntareacrescentarquantidades;retirar,completarecomparar;adiçãodeparcelasiguais,arranjoretangular,comparação/proporçãoecombinatória/princípiofundamentaldacontagem.

• Efetuar as operaçõesde adição, subtração (comdiferençapositiva) emultiplicação e adivisãoeuclidianadenúmerosnaturais.

• Aplicarestimativasdeformacríticaemsituaçõesconcretas.• Resolver problemas concretos utilizando a divisão. Ex.: repartição (ideia de “quantas

partes”)emedida(ideiade“quantoscabem”).• Representareperceberarepresentaçãodamultiplicaçãosucessivadenúmerosnaturais

naformadepotência.• Resolver problemas de aritmética em que é necessário decompor um número natural

comosoma.• Expressar e reconhecer a expressão das potências 10^3, 10^6, 10^9 e 10^12

respectivamentecomomil,milhão,bilhãoetrilhão.• Resolverproblemasqueenvolvamdivisoresoumúltiploscomunsdenúmerosnaturais.• Identificarseumnúmeronaturaldadoéounãodivisívelpor2,5e10.

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Observações:

Pode-se aproveitar as ideias de multiplicação e de potência para preparar o caminho para diferentes tipos de crescimento (taxas de variação linear, quadrático e exponencial) através de sequências, por exemplo, agrupar quadrados em retângulos de 10 em 10 para obter retângulos de comprimentos 0, 10, 20, 30, etc. Agrupando quadrados iguais, quantas são as peças utilizadas para formar novos quadrados? Teremos a sequência com 0, 1, 4, 9, 16, etc. quadrados de modo que o estudante perceba que, com uma variação de 1 em uma variável, a outra fica somada a 10 na primeira sequência e na outra a mesma variação da primeira variável acarreta um produto por 10 na segunda. Estas atividades podem auxiliar na construção da ideia de generalizações e raciocínio algébrico que será trabalhado no próximo ano. Neste momento bastaria introduzir a ideia de sequências e problemas como “quantos serão os quadrados na próxima etapa?”. A fatoração pode ser aplicada para resolver problemas inversos daqueles de obter o produto de números dados. Ex.: Dados 36 quadrados, quantos retângulos diferentes podem ser formados utilizando-se todas as peças?

Se o tempo permitir o professor pode apresentar os critérios de divisibilidade por 3 e por 9. A abordagem destes critérios pode ampliar o conhecimento do estudante sobre o sistema de numeração decimal posicional.

Este pode ser um bom momento para iniciar a resolução de problemas que preparem a transição da aritmética para álgebra, que será trabalhada no 7o ano. Isto é, problemas que podem ser resolvidos com o apoio de ilustrações concretas, mas que exigem raciocínios de equivalência de igualdades e podem ser facilitados com o uso de uma incógnita. Ex.: com 96 metros de cerca como dimensionar um canteiro para uma horta, sabendo que ela é retangular e que um dos lados deve ser o dobro do outro? Usando o sistema monetário: na organização de material escolar decidiu-se comprar para cada dois cadernos um lápis, sendo o preço unitário do caderno 7,00 e do lápis 1,50. Gastou-se 457,00. Com a compra, se consegue atender uma turma de 28 alunos com o conjunto “2 cadernos+1 lápis”? Diversos problemas desse tipo podem ser encontrados nas provas da OBMEP.

6º ANO

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2. fRAÇõES

Tópicos Habilidades

2.1. O conceito de fração: fração como parte de umtodo,fraçãocomomedida,fraçãocomorazão,fraçãocomooperador.

2.2. Representaçãofracionária;comparação,ordenaçãoeequivalênciadefrações.Fraçõesimpróprias.Fraçõesnaretanumérica.

2.3. Operações com fração: adição de frações,multiplicaçãoedivisãodefraçãopornúmeronatural.

2.4. Porcentagem associada ao conceito de fração:100%(todo),50%(metade),25%(quartaparte)e10%(décimaparte).

• Identificaremsituaçõesconcretasosdiversossignificadosdefrações,incluindoasfraçõesimpróprias;

• Reconhecerfraçõesequivalentes;• Somarfrações;• Multiplicaredividirfraçõespornúmerosnaturais;• Identificarqualéamaiordentreduasfraçõesdadas;• Localizarumafraçãonareta;• Obterarepresentaçãodecimaldeumafração;• Relacionarasfrações½,¼e1/10comseusrespectivospercentuais(50%,25%e10%)em

situaçõesconcretas.

Observações:

As operações com frações ainda não precisam ser tratadas com generalidade. Pode-se trabalhar com exemplos concretos e esquemas pictóricos, para ilustrar e criar a intuição do significado de soma de duas frações e multiplicação de uma fração por número natural. A representação das operações usando símbolos pode ser deixada para o final desta etapa.

Situações cotidianas podem dar significado à ideia de razão e de frações equivalentes e à noção de proporcionalidade, embora esse seja um tema do 7o ano. Ex.: Numa receita devemos usar dois copos de farinha para cada xícara de leite, um carro viaja com velocidade de 50 Km por hora, uma planta cresce 2 cm por ano. A porcentagem pode surgir como uma razão que toma como referência o “100” (o desconto é na razão 10 reais para cada 100 reais, e então diz-se que o desconto é de 10%, dez para cada cento). Recomenda-se não apresentar a notação de porcentagem até que esteja clara a linguagem de “por cento” significando “fração (ou razão) com denominador 100”. Neste sentido o conteúdo pode ser bem articulado com o eixo “Estatística e Probabilidade” e noções de mecânica. Também podem se articular em problemas com a necessidade da álgebra para resolver problemas de aritmética mais elaborados. Ex.: João consegue correr 12 metros por minuto, nos 18 primeiros minutos e depois mantém um ritmo de 9 metros por minuto; se João correu 3200 metros, quanto tempo ficou correndo?

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3. NÚMEROS DECIMAIS

Estrutura de Tópicos Habilidades

3.1. Fraçãodecimalerepresentaçãodecimal3.2. Fração em representação decimal (números

positivos)elocalizaçãonaretanumérica3.3. Operações com representação decimal de fração:

soma e subtração de números decimais com duascasas; multiplicação e divisão de números decimaiscomduascasasporumnatural;primeirosalgoritmosparaoperaçõesnarepresentaçãodecimal.

• Discutir estratégias de resolução e algoritmos das operações para racionais cujarepresentaçãodecimalenvolvanomáximoduascasasdecimais.

• Relacionarafraçãodecimalcomarepresentaçãodecimaldeumnúmero.• Obterarepresentaçãodecimaldeumafraçãocomresultadocomatéduascasasdecimais;• Obterafraçãoirredutívelquecorrespondeaumnúmerocomatéduascasasdecimaisnão

nulas.Ex.:Dado1,45obter29/20;• Representarnaretanuméricaasfraçõesdecimais.• Efetuarasoperaçõesdeadição,subtração,multiplicaçãoedivisãodenúmerosdecimais

comnúmerosdeatéduascasasdecimais.

Observações:

O sistema monetário e outros sistemas de medida (de comprimento, de capacidade e de massa) podem dar origem a atividades produtivas neste ponto. Recomenda-se a realização de atividades de divisões p/q na calculadora para que os estudantes observem e interpretem os resultados (Ex.: 1 / 2 = 0,5; 2/5 = 0,4; 3/5= 0,6; 4/5=0,8).

6º ANO

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EIXO GEOMETRIA, MEDIDA E ÁLGEBRA

1. RETAS, TRIâNGULOS E qUADRILÁTEROS

Tópicos Habilidades

1.1. Posição relativa de retas no plano; desenhos comréguaeesquadro

3.2. Triânguloeseuselementos(vértice,lado);triânguloequiláteroetriânguloisósceles;desenhoscomréguaeesquadro

3.3. Quadrilátero e seus elementos (vértice, lado);paralelogramo, retângulo, losango e quadrado;desenhocomréguaeesquadro

• Reconhecerretasperpendicularescomoaquelasquedividemoplanoemregiõesiguais.• Usaralinguagemde“retasparalelas”,“retasperpendiculares”e“retasconcorrentes”em

situaçõesconcretas.• Desenharutilizandoréguaeesquadroretasparalelaseperpendiculares.• Reconheceredesenharparalelogramos, retângulos,quadradose triângulosequiláteros,

isósceleseescalenoscomréguaeesquadro.• Expressar as características dos quadriláteros trabalhados (paralelogramo, losango,

retânguloequadrado)comalinguagemdeparalelismo,perpendicularidadeecomprimentosdoslados.

• Justificarasinclusõesdequadradoéumretângulo,quadradoéumlosango,retânguloéumparalelogramoelosangoéumparalelogramocombasenasdefiniçõesdecadaumadasfiguras.

Observações:

Os alunos já sabem do EF 1 nomear diferentes formas planas, agora analisarão e elencar as características correspondentes às diferentes definições. Recomenda-se o uso de material concreto e instrumentos de desenho e medida (régua, esquadro, compasso e transferidor). Sugere-se iniciar um estudo de posições relativas de retas no plano com atividade de desenho com régua e esquadro. Duas retas desenhadas com a régua, provavelmente, serão simplesmente concorrentes; para desenhar retas paralelas é preciso usar a régua e o esquadro (deslizar a régua apoiada no esquadro – aqui está sendo usada a propriedade “se em duas retas cortadas por uma transversal os ângulos alternos internos são congruentes, então as retas são paralelas”. Esta propriedade será vista no sétimo ano). Para desenhar retas perpendiculares é preciso usar o ângulo reto do esquadro. Inicialmente, a noção de perpendicularidade pode ser intuitiva e corresponder à posição das retas que, no desenho, se faz uso do “ângulo reto” do esquadro. Ou, mais precisamente, pode-se dizer que duas retas são perpendiculares quando dividem o plano em 4 regiões iguais. Mais adiante será introduzida a noção de ângulo e sua medida. Atividades com dobraduras podem ser produtivas neste estudo de posições relativas de retas no plano.

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A partir das posições relativas de retas pode-se iniciar o trabalho com triângulos e quadriláteros. Três retas concorrentes não todas no mesmo ponto determinam um triângulo e, dependendo da posição das retas, ele pode ter particularidades. Quatro retas no plano podem delimitar um quadrilátero e, de novo, dependendo da posição, os quadriláteros têm particularidades. Usando a regua e o esquadro pode-se então construir o paralelogramo e o retângulo (sem a necessidade de medir segmentos); para construir o quadrado e o losango, o recurso à medida de segmento é necessário.

6º ANO

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2. âNGULO E CíRCULO

Tópicos Habilidades

2.1. Ângulo como mudança de direção e de “giro”(rotação)

2.2. Medidadeânguloetransferidor2.3. Círculo,seuselementoseousodocompasso2.4. Círculosepolígonosregulares

• Identificarângulocomomudançadedireçãoede“giro”.• Expressaradefiniçãodeângulocomoduassemi-retascomorigemcomum.• Usarotransferidorparamedireconstruirângulosdemedidasdadas.• Definirdecírculocomolugargeométrico.• Identificarenomearseuselementoscentro,raio,diâmetroecorda• Desenharcírculousandoocompasso• Desenharusandootransferidorearéguapolígonosregularesde3,4,5,6,8,9e10lados

inscritosnacircunferênciaecalcularoângulocentraldeterminadoporumladoemcadaumdoscasos.

Observações:

A linguagem cotidiana do “o dobrar a direita ou a esquerda” pode ser um ponto de partida para a introdução do conceito de mudança de direção e material concreto tipo “duas varetas” articuladas em uma das pontas, e mantidas com uma abertura constante, pode ser usado para desenhar trajetos do tipo “andar e girar”, para direita ou esquerda, conforme indicação dada pelo par de varetas. Atividade em que os alunos se movimentam segundo a regra do “andar e girar” contribuem para o entendimento do conceito de ângulo e é interessante fazer a primeira atividade sem referência à medida do ângulo. Isto ajuda a esclarecer que ângulo é o conjunto de pontos formado pela união de duas semi-retas com origem comum. Uma ideia equivocada, que os alunos mantêm ao longo da vida escolar e´ a de que ângulo é a pequena marcação usada para indicar a sua abertura, nos desenhos que estão nos livros. Assim é importante iniciar o trabalho com o conceito de ângulos com muita atenção a sua definição (semirretas com origem em comum). Aqui já se pode falar em ângulo reto como sendo aquele determinado por duas retas perpendiculares. Entendido o conceito, é o momento de introduzir a medida de ângulos em graus e de aprender a usar o transferidor. Então os trajetos podem ter descrição mais precisa e variada, tipo “andar um passo e girar para a direita 30 graus”2 . Este é um bom momento para entender as medidas dos ângulos dos dois tipos de esquadro (60-90-30 e 45-90-45). Usando a noção de medida, pode-se voltar a brincadeira do “andar e girar”, usando por exemplo os ângulos de 30, 45, 60, 90 e 120 e, descobrir que estão sendo percorridos polígonos regulares com 12, 9, 6,4 e 3 lados.

Uma sugestão de atividade: desenhar um círculo com o compasso e usando o transferidor e a régua, desenhar polígonos regulares com 3,4,5,6 e

2 Esta atividade é inspirada na “tartaruga Logo”, com o seu “para frente”, “para direita”, “para esquerda”

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8 lados inscritos no círculo (o uso de divisores de 360 facilita no manuseio do transferidor). Nesta atividade o aluno trabalha com os ângulos centrais dos polígonos, e esta pode ser uma boa hora para se nomear os diferentes polígonos (pentágono, hexágono e octógono). Também é interessante pedir ao aluno que identifique os sucessivos giros de raios do círculo de forma a determinar alguns polígonos; tem-se na atividade uma nova forma de entendimento para o pentágono, hexágono e octógono (podem ser vistas como figuras obtidas a partir de “giros de raios do círculo”).

6º ANO

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3. CUBO E PARALELEPíPEDO: ELEMENTOS E PLANIfICAÇÃO

Tópicos Habilidades

3.1. Cubo,paralelepípedoeoutrasformas3D3.2. Planificaçãodocuboedoparalelepípedo.3.3. Sólidosformadosporempilhamentodecubinhos.3.4. Figuras 2D que representam o cubo e o

paralelepípedo

• Reconhecerparalelepípedos,pirâmides,cones,cilindroseesferasnocotidianoeidentificarutilidadesnasdiferentesformas(embalagens,luminárias,painéisdepropaganda,etc.).

• Reconhecer diferentes planificações do cubo e do paralelepípedo e saber montar edesmontarestessólidosusandoasplanificações.

• Reconheceresaberdesenharasvistasfrontal,lateralesuperiordesólidosformadoporcubinhos.

• Observarcaracterísticasderepresentações2D(desenho)dealgumasformas3D(cuboeparalelepípedo.

Observações:

No estudo de formas 3D, é interessante começar com o reconhecimento de formas que estão presentes no cotidiano e explorar suas características. Neste momento inicial de observação as formas já podem ser nomeadas: cubo, bloco retangular ou paralelepípedo, esfera, cone. Pode-se identificar utilidades nas diferentes formas: por que as caixas de papelão que embalam produtos são, no geral, blocos retangulares? Por que tem embalagens com a forma de cilindro? Por que as pantalhas de abajur são “troncos” de cone? Por que a bola de futebol de couro é feita com polígonos? Os nomes dos elementos das diferentes formas devem ser introduzidos pouco a pouco (Ex.: base, vértice, lado).

O estudo mais sistemático de formas 3D, no sexto ano, pode ficar restrito ao cubo e ao paralelepípedo, e é recomendável sempre usar material concreto. Aqui se nomeiam seus elementos – vértices, arestas e faces, e diagonais (de faces e internas). O trabalho de planificação pode começar com o “desmontar” de embalagens; depois se pode fazer o inverso, usando diferentes planificações pode-se pedir aos alunos que descrevam como “enxergam a montagem do cubo” (com linguagem tipo “primeiro dobram-se quatro quadrados para obter a parte lateral do cubo, depois se dobra o quadrado do fundo e o quadrado da tampa”)

Atividade com sólidos feitos com cubinhos e o desenho das diferentes vistas (frontal, lateral e superior, em papel quadriculado) desenvolvem a observação e a visualização e também podem desenvolver o raciocínio generalizador se o professor trabalha com uma certa lei de formação dos

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sólidos (Ex.: paralelepípedos, pirâmides, … e cada grupo de alunos pode desenhar um determinado sólido e depois é feita uma análise coletiva). Em um segundo momento pode-se fazer a pergunta inversa: dadas as vistas, como é o sólido? (Talvez os alunos descubram que dadas as três vistas, mais de um sólido pode ser obtido) .3

3 No site do Instituto Freudhental tem interessante coletânea de objetos digitais sobre esta atividade. É pertinente utilizar material concreto para estabelecer as “regras” da atividade e depois, com o uso dos objetos digitais muitas experiências podem ser feitas.

6º ANO

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4. PERíMETRO, ÁREA E vOLUME: RETâNGULO E PARALELEPíPEDO

Tópicos Habilidades

4.1. Noçãodeperímetro,áreaevolume4.2. Comparação de figuras com mesmo perímetro e

diferentesáreas.4.3. Comparaçãodefigurascommesmaáreaediferentes

perímetros.4.4. Comparaçãodesólidosresultantesdeempilhamento

decubinhoscommesmovolumeediferentesáreas.

• Calcularperímetrodefigurasconstruídasemmalhaquadriculada(comladossobreamalha)oucom“palitos”.

• Calcular área de figuras construídas em papel quadriculado (com lados na malhaquadriculada).

• Calcularvolumedeparalelepípedoformadodecubinhos.• Construirdiferentesretângulosdemesmoperímetro.• Construirdiferentesretângulosdemesmaárea;• Reconhecerque retânguloscomáreasdiferentespodemteromesmoperímetroeque

retânguloscomperímetrosdiferentespodemteramesmaárea.• Construirsólidosdiferentescommesmovolume.

Observações:

Sugerimos que as primeiras ideias sobre perímetro, área e volume façam uso de material concreto: barbante, quadrados 1X1, malha quadriculada, cubos 1x1x1, régua. Neste momento não é preciso trabalhar com medidas. Pode ser interessante trabalhar com estes conceitos de forma simultânea. Por exemplo: usando coleção de quadrados 1x1 os alunos iniciam construindo formas variadas e então já podem observar o perímetro das formas. Visando uma certa sistematização, podem ser colocadas as perguntas: com o mesmo número de quadrados 1X1, quantos são os retângulos que se pode “montar”? Quais são os perímetros dos retângulos encontrados? É importante tomar na coleção um número n de quadrados 1x1 de modo que n tenha muitos divisores, pois isto fornece um maior número de retângulos com diferentes perímetros. Também é interesse ter-se, dentre as possibilidades de retângulos, o quadrado, pois assim os alunos podem observar que é o retângulo na forma de quadrado que resolve o problema de perímetro mínimo (p. ex. N = 36), neste momento de forma empírica. Vale relacionar aqui com a fatoração de um número natural, que é vista neste mesmo ano. Ex.: Com 12 quadrados 1x1 podemos construir retângulos de lados 1x12, 2x6 e 3x4, são as fatorações de 12. Naturalmente surge a pergunta: Os retângulos de lados 3x4 e 4x3 são iguais? Motivando a noção de congruência que será vista no próximo ano. Já com 7 quadrados 1x1, apenas podemos formar um retângulo de lado 7x1. De forma similar pode ser desenvolvida a atividade na qual os retângulos têm sempre o mesmo perímetro, usando o barbante e depois o papel quadriculado, para então observar, novamente de forma empírica, que a maior área acontece quando o retângulo é um quadrado. Com tais atividades os alunos começam a entender que perímetro e área não tem relação de dependência (é muito comum os alunos afirmarem que “se o perímetro muda então a área muda, e vice-versa”). Pode ser interessante instigar os estudantes a pensarem se

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qualquer valor de área pode ser obtido com um certo perímetro. De modo similar se pode trabalhar com área lateral e volume de paralelepípedo que é composto com cubos 1x1x1, de forma tal que os alunos se convençam de que paralelepípedos compostos com o mesmo número de cubos 1x1x1 podem ter áreas laterais diferentes, e vice-versa4.

Mesmo sendo conteúdo do 7º ano, após as experiências com material concreto, pode-se introduzir as expressões a.b e a.b.c para área do retângulo composto de quadrados 1x1 e volume do paralelepípedo composto de cubos 1x1x1, respectivamente. Este é um momento para valorizar a linguagem da álgebra e propor questões a serem resolvidas sem o uso de material concreto. Por exemplo: encontre dois retângulos com áreas iguais à 60 unidades de área; encontre dois paralelepípedos com volume igual à 180 unidades de volume. Para resolver estas questões os alunos precisam trabalhar com os divisores de um número inteiro.

4 Este estudo de perímetro, área e volume, com a questão adicional de valores extremos, vai ser retomado no nono ano, no estudo de função.

6º ANO

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5. GRANDEzAS E MEDIDAS

Tópicos Habilidades

5.1. Medidaeunidadedemedida.5.2. Unidade monetária e o sistema monetário em

representaçãodecimal.5.3. Unidade de tempo (usual) e o sistema de tempo

padrão; fuso horário operações nos diferentessistemasdemedidas.

5.4. Unidadesdemedidaparacomprimento,paraáreaeparavolume(usuais)esistemasdemedida.

5.5. Unidadesdemassaecapacidadeusuaisesistemasdemedidas;conversãodecapacidadeparavolume.

5.6. Operaçõesnosdiferentessistemasdemedidas

• Sistematizar os números não inteiros, a partir de situações do dia a dia nas quais osnúmerosracionaispositivosaparecemcomrepresentaçãodecimal,porexemplo,aquelasenvolvendodinheiro.

• Sistematizaramedida,envolvendounidadesusuaisdecomprimento,deárea,devolume,semousodefórmulas.

• Explorardeformaconcretaaconversãodecapacidadeparavolumeeaimpossibilidadedeconversãodemassaparavolume.

• Saberusarasmedidasconvencionaisemsituaçõesvariadas,emdiferentescontextos.• Saberoperarcomasunidadesdemedida.

Observações:

Atividades com perímetro, área e volume, ainda sem o uso das unidades convencionais de medida (sugeridas acima) preparam para a noção de medir e de unidade de medida. O sistema métrico decimal deve ser introduzido com material concreto: os alunos devem ver o metro, o metro quadrado e o metro cúbico. Para desenvolver uma boa ideia destas unidades de medida é interessante fazer estimativas tipo: quantos “palmos” formam um metro uma distância correspondente a 6 passos, quanto caminho em metros? Em um elevador com um metro quadrado de área cabem quantas pessoas? Qual é altura de uma sala? Qual o tamanho de uma sala em metros cúbicos? Medições com a régua e trena usando cm e mm também devem ser feitas. Nas conversões de unidades, atenção especial deve ser dada às que são usuais: mm para cm, cm para m, m para km; e o mesmo para m^2 e m^3.

As demais unidades de medida de capacidade, massa e tempo também podem ser introduzidas com manipulação de material concreto. Estimativas que podem ser feitas: quantos copos de água fazem um litro? Em uma xícara de água tem-se quanto de 1 litro? Em uma colher de água tem-se quanto em ml? Em uma xícara de farinha tem-se quanto em gramas? Analisar as conversões dadas em “copos de medidas” é uma atividade que ajuda no entendimento das unidades e que também desenvolve a intuição sobre “quantidade correspondente a certa medida”. Perguntas que podem provocar

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diferentes estratégias de resolução e diferentes conversões: quantos grãos tem em um quilo de arroz?

A resolução de problemas práticos, do dia a dia costuma ser interessante para os estudantes. Por ex.: se 225 grs. de um produto custam R$ 12,00, quanto custa um quilo? Qual o gasto mensal com passagem de ônibus? Como calcular os gastos da cesta básica? Estas atividades podem ser integradas ao estudo de frações, números decimais, áreas e volume em geometria.

6º ANO

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EIXO ESTATíSTICA E PROBABILIDADENa proposta que segue, está se tomando como pressuposto que ao final do quinto ano do EF os alunos já sabem ler e interpretar dados em

tabelas simples e ou expressos em gráficos de barras. Que eles também já sabem coletar e organizar dados bastante simples. Exemplos de tais dados, de natureza qualitativa ou quantitativa, seriam: preferência em relação a times de futebol, distribuição de meninos e meninas na sala de aula, preferência de alimentos na turma de alunos. Também está sendo suposto que os alunos já trabalharam com as ideias que são o germe do pensamento probabilístico, tais como muita certeza/pouca certeza, provável/improvável.

Tópicos Habilidades

1.1. Asideiasdevariabilidadeedeincerteza1.2. Variabilidade de dados e questões de natureza

estatística1.3. Variáveis quantitativas (no contextodosnúmeros

naturais)evariáveisqualitativas1.4. Coletadedados,organizaçãoesínteseemtabelas,

pictogramasegráficosdebarra1.5. Noção intuitiva de evento possível/impossível,

provável/improvável

• Reconhecersituaçõesdevariabilidadeedeincertezasnocotidiano• Reconhecerquestõesdenaturezaestatística.• Diferenciarvariáveisqualitativasdevariáveisquantitativas• Realizarcoletadedados(simples)pararesponderquestãoestatística• Organizaresintetizardadosemtabelas,pictogramasegráficodebarra,usandonúmeros

naturais.• Ler,interpretar,criticareargumentarapartirdedadosapresentadosemrepresentações

diversas (tabelas,pictogramas, graficos de barras), em particular a partir de dadosapresentadosnamídia

• Reconhecereventosprováveis/improváveis,possíveis/impossíveisemdadoscoletadoseorganizadosemtabela,pictogramaougráficodebarra.(p.ex,apartirdeumatabelaqueinformeostimespelosquaisosalunosdaturmatorcem,questionarsobreoqueémaisprovável–sortearumalunoquetorceparaotimexouparaotimey?)

Observações:

Um trabalho escolar que integra estatística e probabilidade no estudo de problemas (simples) da vida dos alunos, com coleta, organização, síntese e matematização de dados é de fundamental importância no processo de letramento estatístico e já pode ser feito a partir do sexto ano.

Os alunos já podem dar inicio ao exercício de formular questões que são de natureza estatística e tratar então de respondê-las. Exemplos de

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algumas questões: “Qual é a idade média dos alunos da turma?”; “Como é o consumo de refrigerante na nossa turma?” ou “Como são as distancias percorridas pelos alunos, da nossa turma, para chegar na escola?”. É importante dar espaço para os alunos construírem suas próprias estratégias de ataque ao problema e para a discussão sobre a eficiência e o alcance das estratégias que estão propondo, tanto em termos operacionais quanto em termos da coleta dos dados. No sexto ano, a organização e a síntese dos dados coletados se dá ainda na forma de tabela e de gráfico de barras, ainda com medidas absolutas, e as medidas pertencem, essencialmente, ao conjunto dos números naturais ou ao conjunto dos números decimais com duas casas após a vírgula. Com o mesmo teor de informação, a interpretação de tabelas e de gráficos de barra, veiculados na mídia, também pode ser parte de atividades a serem propostas aos alunos.

6º ANO

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7º ANO

EIXO NÚMERO, ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

1. NÚMEROS INTEIROS

Tópicos Habilidades

1.1. Ordemerepresentaçãonaretanumérica.1.2. Operações: adição e subtração, multiplicação e

divisão.1.3. Númerosnaformadepotênciasdeinteirospositivos

e negativos; operações com potências (base eexpoente);ordensdegrandezadeumnúmerointeiro;notaçãocientífica.

1.4. As raízes quadradas de números inteiros, osquadrados perfeitos; a insuficiência dos númerosnaturais.

1.5. 1.5 Números inteiros no cotidiano: temperaturas,saldobancáriocurvasdenível(altitude),fusohorário.

• Reconheceranecessidadedosnúmerosnegativosemsituaçõespráticas.Ex.:Temperaturaabaixodezero,Altitudeabaixodoníveldomar,saldodevedor,etc.

• Identificarosnúmerosinteirosnegativosnaretareal.• Expressaraordenaçãodosnúmerosnegativosemsituaçõesdomundo real.Ex.: -3oC

>-7oCexpressandoofatodeque-3oCémaisquenteque-7oC.• Resolver problemas em que sejam necessárias operações de adição, subtração e

multiplicaçãocomnúmerosinteirosnegativos.• Identificaradiferençadedoisnúmerospositivoscomoaadiçãodeumpositivocomum

negativo.Ex.:35=3+(-5).• Relacionar potências com expoente natural a situações práticas, como problemas

geométricosenvolvendounidadesdemedidadeáreasevolumes(porexemplo,centímetroquadradoecentímetrocúbico).

• Identificardiferentesordensdegrandezasemsituaçõesconcretaseexpressarissoatravésdepotênciascomexpoentespositivosenegativos.

• Resolverproblemasconcretosqueenvolvamasoperaçõescomnúmerosnegativos.• Reconhecerqueexistemnúmerosnaturaiscomraiznaturaleoutrosquenãopossuemraiz

natural.

Observações:

Além das motivações do mundo real em que os inteiros negativos surgem para traduzir quantidades menores que zero (temperatura, altitude, dívida, etc.), pode-se apresentá-los como elementos necessários para que o conjunto numérico seja fechado pela operação de subtração também

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(até agora o estudante conhece os naturais, que são fechados pela adição). Deste modo o estudante pode, aos poucos, saborear o desenvolvimento da matemática como ciência. No mesmo espírito, a extensão dos inteiros para os racionais se faz necessária para que o conjunto numérico pelo estudante conhecido, seja fechado pela operação de divisão (por um número diferente de zero). Então, caso sejam ensinados, os números complexos surgirão de maneira natural como raízes quadradas de números negativos.

7º ANO

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2. INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS RACIONAIS

Tópicos Habilidades

2.1. Generalizaçãodoconceitodefração:osracionais.2.2. Representaçãodosracionaisnareta;ordem.2.3. Expansãodecimaldeumnúmeroracional;operações

comnúmerosdecimais.2.4. Raízesquadradaseaproximaçõesracionais.2.5. 2.5 A insuficiência dos racionais para expressar

comprimentos.

• Reconhecerosnúmerosracionaiscomoumaextensãodoconjuntonuméricoatéentãoconhecido.Identificandoainclusãodasfraçõesnãointeiras.

• Identificar as operações demultiplicação e divisão de racionais positivos emmodelosgeométricoseemproblemasdodiaadia.

• Sistematizar operações com racionais na forma fracionária, abordando todos os casos,chegandoàs“formulaçõesgenéricas”a/bxc/d=ac/bdea/b:c/d=ad/bc.

• Compreenderosalgoritmosearelevânciadeestratégias,comoautilizaçãodesituaçõescontextualizadas,materiaisconcretoserecursosmultimídias,queauxiliemnainterpretaçãodestasoperações.

• Obter, pelo método das divisões sucessivas, a representação decimal de um númeroracionaldadodaformap/q,mesmoquesetratedeumadízimaperiódica.

• Reconhecerainsuficiênciadosnúmerosracionaisparamedircomprimentos.Ex.:Adiagonaldoquadradodelado1nãoéumnúmeroracional.

Observações:

Não é esperado que o estudante consiga justificar que raiz de 2 não é um número racional. Apesar de ser enriquecedor que ele reconheça uma prova por absurdo e reflita sobre seu significado, basta apresentar exemplos que o convençam que a sequência 1,4; 1,41; 1,414, 1,4142, etc. aproxima cada vez melhor a raiz de 2. Uma discussão sobre a incomensurabilidade entre 1 e raiz de 2 pode conduzir o estudante a compreender o conjunto dos números racionais como aquelas medidas (e seus simétricos) que são comensuráveis com a unidade. Este conteúdo será melhor consolidado no 9o ano.

Nas situações em que o professor não justifica uma afirmação, mas antes apresenta uma série de exemplos ilustrativos, recomenda-se que se deixe claro para o estudante que o argumento não configura uma prova, mas apenas um indício de que a afirmação seja verdadeira. Isso serve para evitar que ele acredite que basta apresentar exemplos para justificar uma afirmação.

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3. INTRODUÇÃO à LINGUAGEM DA ÁLGEBRA

Tópicos Habilidades

3.1. Sequências numéricas em contexto geométrico;relação entre variáveis, variáveis independente edependente

3.2. Equaçãodegrauumcomumaeduasincógnitasnoconjuntodosinteiros;

3.3. Grandezas diretamente proporcionais e constantedeproporcionalidadedireta;grandezasinversamenteproporcionais e constante de proporcionalidadeinversa.

3.4. Razão,escalaseporcentagem.

• Observarpadrõesegeneralizarusandoalinguagemdaálgebraemexemplossimples.Ex.:Dadaasequênciaderetângulosdedimensões2x1,3x2,4x3,5x4,...,quaisasdimensõesdoretângulodasequênciaquepossuiárea1816?Obteraexpressãogeralparaasequência.

• Modelar e resolver, através de manipulações algébricas simples, problemas usando alinguagemdaálgebracomumavariávelinteira.Ex.:Quaissãoasdimensõesdeumcanteiroretangularcomumladosendoodobrodooutroutilizando96metrosdecerca?

• Modelar problemas usando linguagem algébrica com duas variáveis inteiras e resolveratravésdeinspeção.Ex.:CompreiagendasdostiposAeB.SeaagendadotipoAcusta20reaiseaagendadotipoBcusta15reaisegastei480reais,quantasagendasdecadatipoforamcompradas?

• Efetuarmanipulaçõesalgébricassimplesemequaçõesalgébricasdeumavariáveldegrauum.

• Reconhecerproporcionalidadedireta, inversa em situaçõesdomundo real e identificarsituaçõesemquenãoháproporcionalidade.Ex.:Escalasemmapas,diferentesunidadesdemedida,porcentagem,etc.

• Expressarrelaçãodeproporcionalidadeentreduasvariáveiscomlinguagemalgébrica.Ex.:Operímetro‘‘p’’doquadradodelado‘‘a’’ép=4a.Entãoquadradosdelados1,2,3,4e5possuemperímetros4,8,12,16e20,respectivamente.Ouumcarroqueandaaumavelocidadeconstante‘‘v’’,gastaumtempo‘‘t’’parasedeslocar5Km.Entãov.t=5.

• Resolverproblemasaplicandoopensamentoalgébrico.• Saberdiferenciarincógnitadevariável.• Entenderquealinguagemalgébricaéumrecursoimportanteparaequacionarumproblema

eparaestabelecerrelaçãoentrevariáveis.

Observações:

No início da formação para o uso da linguagem algébrica é importante trabalhar com problemas e situações que realmente exijam o uso de símbolos, letras dentre eles. Vale mencionar que muitos dos problemas que são usualmente propostos para introduzir a linguagem da álgebra podem ser resolvidos com raciocínios aritméticos e é assim que o aluno resolve, pois é mais simples e direto .

7º ANO

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O estudo da proporcionalidade, agora sistemático, pode iniciar retomando situações em que os alunos trabalharam com relação entre variáveis que são diretamente proporcionais no sexto ano, sem que houvesse uma tal explicitação. Isto acontece, por exemplo, na resolução de problemas envolvendo sistemas de medidas (preço x quilo, quilômetro x metro, minutos x hora, ...). Também na geometria, no caso dos perímetros do quadrado e do círculo; também na porcentagem k% tem-se a proporcionalidade dada pela razão k/100. O entendimento da proporcionalidade direta também depende da observação de relações que não são de proporcionalidade. Assim é importante discutir com os alunos situações em que não acontece a proporcionalidade (Ex: área do quadrado x medida do lado, altura da criança x idade da mesma) e também chamar atenção de que não é relação do tipo crescente que caracteriza a proporcionalidade. Na resolução de problemas, é importante deixar que os alunos encontrem as igualdades de razões, sem fazer uso da “regra de três”. Procedimentos de resolução de problemas “automatizados” devem ser evitados, principalmente no momento em que o aluno está aprendendo um novo conceito. Neste estudo deve ficar claro para o aluno que a proporcionalidade direta entre y e x, na linguagem da álgebra, é dada por y/x=constante. Como aplicações do conceito de proporcionalidade podem ser retomados problemas que envolvem razões (velocidade de 80 km /hora, vasão d ́água de 10 litros /minuto, produção de carros/mês). Mapas, maquetes e escalas também são atividades a serem consideradas neste momento de estudo da relação de proporcionalidade Da mesma forma deve ser trabalhada a proporcionalidade inversa. Ou seja, explorando situações em que a relação acontece e situações em que não acontece, e ao final deve ficar claro para o aluno que a proporcionalidade inversa entre y e x, na linguagem da álgebra, é dada por y.x=constante.

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EIXO GEOMETRIA, MEDIDA E ÁLGEBRA

1. CONGRUêNCIA

Tópicos Habilidades

1.1. Ângulos opostos pelo vértice; ângulos alternosinternos.

1.2. Triângulo e seus elementos (vértice, lado, ângulo,altura);desigualdadetriangular;somadosângulosdeumtriângulo.

1.3. Casosdecongruênciadetriângulos(LAL,LLL,ALA);arigidezdotriângulo.

1.4. Ângulos do triângulo equilátero e isósceles;quadriláteros e propriedades, ângulos internos depolígonosregulareseladrilhamentos.

• Identificarigualdadedeângulosopostospelovérticeeângulosalternosinternosemretasparalelasemsituaçõesgeométricas.

• Localizarosângulosinternoseexternosnumtriângulo.• IdentificartriânguloscongruentesusandooscasosdecongruênciaLAL,LLLeALA.• Reconheceraspropriedadesdeângulosdetriângulosisósceleseequiláteros.• Justificar propriedades geométricas simples utilizando congruências e relações entre

ângulos. Ex.: Um triângulo isóscele possui dois ângulos iguais. Um triângulo com doisângulos iguaispossuidois lados iguais.Asomadosângulos internosdeumtriânguloé180º.Etc.

• Calcularosângulosinternosdepolígonosregulares;fazerladrilhamentosdoplanousandopolígonosregulares.

• Resolverproblemassimplesutilizandocongruênciaseângulosempolígonos.

Observações:

As primeiras condições de congruência de ângulos são: o caso de ângulos opostos pelo vértice e o caso de ângulos alternos internos em retas paralelas. Feito isto, pode-se explicar por que no triângulo a soma dos ângulos internos é 180 graus. De início pode ser através da atividade prática de fazer dobras no triângulo de forma que seus ângulos internos componham um ângulo raso; mas depois é interessante ir acostumando os alunos com pequenos argumentos dedutivos e no caso é aquele que faz uso da congruência de ângulos alternos internos em retas paralelas.

Recomenda-se tomar certo tempo no trabalho de identificação dos ângulos do triângulo e do quadrilátero; isto porque agora os ângulos são determinados por lados das figuras planas. Atividade de desenho para destacar os ângulos internos e externos destas figuras podem ser propostas aos alunos.

Os casos de congruência de triângulos podem ser trabalhados de forma empírica. Através da construção com varetas e ângulos os alunos podem

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se convencer que dois triângulos construídos com a informação LAL podem ser colocados um sobre o outro, de forma coincidente; da mesma forma deve ser feito o convencimento no caso de informação LLL ou ALA. É importante destacar, para cada um dos casos, as informações de congruência que são decorrentes dos casos de congruência. Por exemplo, no caso LLL, após as explorações, enunciar que “se dois triângulos têm lados em congruência, então os ângulos correspondentes também são congruentes”.

A partir dos casos de congruência, pode ser iniciado o ensino de argumentos (simples) que explicam algumas propriedades geométricas. Por exemplo: o triângulo isóscele pode ser decomposto em dois triângulos retângulos congruentes e tem dois ângulos congruentes; o triângulo equilátero tem três ângulos congruentes entre si; o triângulo inscrito no círculo com um dos lados igual ao diâmetro tem um ângulo reto. Também são argumentos simples que mostram que o quadrado pode ser decomposto em 4 triângulos isósceles congruentes; que retângulo e paralelogramo podem ser decompostos em dois triângulos congruentes. Também pode ser feito o trabalho de decomposição de polígonos regulares em triângulos isósceles e a partir disso calcular os ângulos internos dos polígonos. Este cálculo de ângulos internos encaminha para o trabalho com ladrilhamentos no plano usando polígonos regulares de 3,4 e 6 lados), que pode se desdobrar em atividade de ladrilhamento artístico, usando princípios geométricos muito simples (são os mosaicos de Escher).

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2. TRIâNGULOS, qUADRILÁTEROS E CíRCULO: ELEMENTOS E PROPRIEDADES

Tópicos Habilidades

2.1. Desigualdadetriangular2.2. Quadrado, retângulo, losango e paralelogramo:

propriedadesdelados,ângulosediagonais.2.3. Construções geométricas: ponto médio, retas

perpendiculares, triângulo equilátero e triânguloisósceles; polígonos regulares inscritos no círculo(triângulo,quadradoehexágono)

• Utilizaracondiçãoparaexistênciadeumtriângulo(desigualdadetriangular)emproblemasdegeometria.

• Reconheceraspropriedadesdasdiagonaisdosdiferentesquadriláteros.Ex.Asdiagonaisdo paralelogramo se intersectam nos pontos médios, As diagonais do retângulo têmcomprimentosiguais.Asdiagonaisdolosangosãoperpendiculares.

• Justificar propriedades geométricas simples utilizando congruências e relações entreângulos.Ex.:Asdiagonaisdeumquadradose intersectamemseuspontosmédios.Osângulosopostosdeumparalelogramosãoiguais.Etc.

• Construircomréguaecompassoejustificarqueaconstruçãofeitaéaquiloquesepretendiaemexemplossimples.Ex.:opontomédiodeumsegmento;retaperpendicularaumaretadadaporumpontotambémdado;triânguloequiláterodeladodado;

Observações:

A condição de existência de um triângulo (qualquer lado é menor que a soma dos outros dois) pode ser trabalhada de forma empírica e de modo a convencer os alunos, usando varetas coloridas e desenho com régua e compasso. Atividades com régua e compasso ajudam na compreensão dos conceitos, evitando as recorrentes concepções equivocadas5. Vale ressaltar a importância de se justificar as construções geométricas feitas com régua e compasso, a fim de garantir que o objeto construído é, de fato, o que se pretendia construir desde o início. Além daquelas sugeridas nas habilidades, havendo tempo recomenda-se a construção de polígonos regulares inscritos em circunferências.

5 Por exemplo, retas paralelas ou perpendiculares só são reconhecidas como tal se em posição particular; quadrado e triângulo equilátero são reconhecidos se em posição particular; figuras em diferentes posições, congruentes, não são reconhecidas como tal.

7º ANO

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3. fÓRMULAS DE ÁREA

Tópicos Habilidades

3.1. Equivalência de áreas: decomposição, via recorte,de paralelogramo em retângulo; de triângulo emretângulo;de losangoem retângulo,de trapézioemretângulo.

3.2. Composição de um quadrado a partir de doisquadradosviarecortes:oteoremadePitágoras.

3.3. As fórmulas de área do quadrado, retângulo,triânguloequadriláterosparticulares.

3.4. Perímetroeáreadocírculo,onúmeroPi.3.5. 3.5Ampliaçãoderetângulo,círculoeparalelepípedo

eefeitosnasmedidasdeáreaedevolume

• Decomporquadrado,retângulo,losangoeparalelogramoemtriângulos.• Decomporumparalelogramoemtriânguloseretânguloerecomporobtendoumretângulo.

Utilizarestadecomposiçãoparajustificarafórmuladaáreadoparalelogramo.• Entenderosrecortesquepodemserfeitosnotriângulo,nolosango,noparalelogramoeno

trapézioparatransformá-losemretângulos.• UtilizaroTeoremadePitágoraspararesolverexercíciosdegeometria.• Reconhecerquea razãodocomprimentodacircunferênciacomoseudiâmetroéuma

constante.• Resolverexercíciosutilizandoafórmuladocomprimentodacircunferência.• Resolverproblemasusandoas fórmulasdeáreaeperímetrodocírculo, as fórmulasde

volumedocuboedoparalelepípedo.• Reconhecerqueumaumentonarazãokdasmedidaslinearesresultaemaumentodeárea

narazãok.keaumentodevolumenarazãok.k.k

Observações:

A área do quadrado de lado um pode ser tomada como um. Este é um ponto de partida natural. Neste momento, as fórmulas de áreas do quadrado e o retângulo, podem ser explicadas utilizando-se figuras que tem lados com medidas inteiras e então contar o total de quadradinhos fazendo a multiplicação a.a ou a.b.. Para o triângulo, losango e paralelogramo, recortes que transformam estas formas em retângulos explicam as diferentes fórmulas. Para as fórmulas de áreas serão necessários os conceitos de altura relativa a um lado do triângulo e do paralelogramo.

Atividades com os “quebra-cabeças” podem convencer os estudantes sobre a veracidade do Teorema de Pitágoras. Recortes feitos nos quadrados construídos sobre os lados dos catetos do triângulo, feitos com critério, produzem peças que compõem o quadrado construído sobre a hipotenusa. A descrição dos critérios de recortes, por si só, já é uma atividade em geometria6. Feita esta atividade de “recortes” pode ser enunciado o teorema na linguagem da álgebra a.a = b.b. + c.c, e aqui se tem um momento de trabalho com medida de segmentos que é expressa como raiz quadrada de número natural. Usando congruência de triângulos e o Teorema de Pitágoras é possível calcular a altura do triângulo equilátero em função do lado.

6 Ver a atividade “O teorema de Pitágoras através de recortes” no site EDUMATEC, em http://www.edumatec.mat.ufrgs.br

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O perímetro e a área do círculo podem ser introduzidos através da exploração empírica. Atividades de medida do perímetro, do raio e de cálculo da razão perímetro/raio ajudam o aluno a aceitar que a esta razão é constante7. Uma relação pode ser estabelecida com a álgebra neste ponto: o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro são grandezas diretamente proporcionais com razão de proporcionalidade pi. A área do círculo pode ser explicada também com experimentos práticos: cortar o círculo em fatias e montar figura que se aproxima de paralelogramo, tendo como medida da base [Pi x medida do raio] e medida da altura a medida do raio; ou imaginar o círculo como sendo composto de círculos concêntricos, feitos com cordão, e desenrolar do maior para o menor de forma a compor um triângulo retângulo com um cateto medindo o perímetro do círculo e o outro medindo o raio8.

Uma atividade que pode ser proveitosa é observar que o aumento na razão k nas medidas lineares resultam em aumento de área na razão k.k e aumento de volume na razão k.k.k. Esta discussão pode ser feita a partir do quadrado, retângulo e paralelepípedo e depois avançar para outras formas.

Exercícios que integram diferentes conteúdos podem ser propostos: como dimensionar uma sala para que ela tenha 48 m^2? Como aumentar em 20% a área de uma sala que tem dimensão 6mx8m? Como aumentar as dimensões de uma caixa tipo bloco retangular de modo a obter uma caixa com o dobro do volume? Como dimensionar uma caixa para embalar doze latas cilíndricas com diâmetro igual a 12 cm e altura igual a 20 cm? Se nas latas tem-se óleo de soja, qual vai ser o peso aproximado da caixa?

7 No GeoGebra pode-se ampliar o universo de medidas e trabalhar com números até 15 casas decimais

8 Esta foi a ideia de Arquimedes. Ver explicação no vídeo “Pela trilha de Arquimedes”

7º ANO

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4. PRISMAS E PIRâMIDES: ELEMENTOS, PLANIfICAÇÃO E ÁREA DE SUPERfíCIE

Tópicos Habilidades

4.1. Prismas retos: seus elementos (vértices, arestas efaces)eplanificações

4.2. Pirâmide reta: seus elementos (vértices, arestas,faces,altura)eplanificações

4.3. Problemasdeáreadesuperfíciedeprismaepirâmide

• Reconhecerprismasepirâmideseidentificarosvértices,arestasefaces.• Planificarprismasepirâmideseidentificarestasformasapartirdesuasplanificações.• Calcularáreadesuperfíciedeprismaepirâmide.

Observações:

Esta etapa consiste de uma aplicação de conteúdos já estudados e a exigência maior é quanto à visualização espacial. Não são introduzidos novos conteúdos. Nas planificações tem-se formas 2D já conhecidas – triângulos, retângulos e quadrados. Recomenda-se montar e desemontar as formas 3D usando material concreto, em seguida, usar softwares de geometria dinâmica recursos para contribuir na construção das imagens mentais9. Novamente, pode-se integrar o estudo com outros eixos, por exemplo: calcular a quantidade de material para fazer uma pirâmide de base quadrada e com faces triângulos equiláteros; calcular a quantidade de material para fazer um prisma de base hexagonal.

9 Ver por exemplo o software Poly em http://www.peda.com/poly/ ou o site CDME em http://www.uff.br/cdme/

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EIXO ESTATíSTICA E PROBABILIDADE

Tópicos Habilidades

1.1. Medidasdeposição:média,mediana,moda1.2. Medidadedispersão:amplitudetotalcomoprimeira

noção1.3. Tabelasegráficosdefrequênciarelativa(gráficode

barraegráficodesetores)1.4. Experimentosempíricoseintroduçãoaoconceitode

probabilidadecomonúmeroracionalouporcentagem1.5. Estimativa de probabilidade de eventos

sistematizados em tabelas de frequência relativa.Construção de tabela de frequências relativas einterpretaçãodestascomoprobabilidadesempíricas.

• Identificar questões de natureza estatística que envolvam variáveis quantitativas equalitativas.

• Calculareinterpretarmédia,mediana,modaeamplitude,reconhecendoaspotencialidadeselimitaçõesdessasmedidasdescritivas,deacordocomoconjuntodedados

• Organizaresintetizardadosemtabelasegráficosdefrequênciarelativa(gráficodebarra,gráficodesetores)

• Ler, Interpretar e criticar dados apresentados em representações diversas e saberargumentarapartirdessasanálises,emparticularparainformaçõesveiculadasnamídia

• Entenderqueafrequênciarelativaobtidaapartirdegrandenúmeroderepetiçõesdeumdadoexperimentoaleatório(oufazendosimulações)éumaestimativadeprobabilidade

• Reconheceraprobabilidadecomoumnúmeroquemedecerteza/incertezaequepodeserexpressonaformadefraçãooudeporcentagem,sendosempreumnúmeronointervalo[0,1]

• Aplicaroconceitodeprobabilidadeemproblemasqueenvolvemasintetizaçãodedadosemtabeladefrequência;interpretarproblemasenvolvendotabeladefrequênciasrelativasusandooconceitodeprobabilidade

Observações:

Nesta etapa, as medidas de posição - média, mediana, moda - e a amplitude merecem ser exploradas em diferentes conjunto de dados, de forma que os alunos entendam as potencialidades e limitações de cada um destes conceitos no que diz respeito a fornecer informação. Por exemplo, se os dados de idade de uma população não são muito discrepantes, então a média fornece uma boa informação sobre a idade média da população; já se os dados são discrepantes, é preciso escolher com cuidado a medida a ser usada.

A abordagem das medidas de posição oferece a oportunidade de tratar a comparação, a ordenação e as operações básicas. Já o conceito de

7º ANO

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amplitude permite uma abordagem importante da operação de subtração. A operação de subtração que caracteriza a definição de amplitude traz o significado de “distância” e não o mais comumente tratado nessa etapa da aprendizagem, que é o de “retirar algo”.

Também é interessante ver com os alunos que duas populações com mesma amplitude podem ter características muito diferentes (caso em que os extremos são bastante discrepantes X caso em que os extremos não são discrepantes na população).

É importante observar que, no sétimo ano, a síntese de dados já pode ser feita através de frequência relativa, pois neste momento os alunos já conhecem o conceito de porcentagem. Também é o momento de iniciar um estudo sistemático de probabilidade, através de variados experimentos empíricos, com eventos equiprováveis e não-equiprováveis. Neste momento a probabilidade deve ser tratada como uma medida de certeza/incerteza que se expressa através de número racional ou porcentagem (dois conceitos que são estudados no sétimo ano). Alguns exemplos de experimentos que podem ser realizados com os alunos são: lançamento de ´moeda´, admitindo os eventos equiprováveis cara e coroa; lançamento de ´dados´ honestos, com eventos equiprováveis {1,2,3,4,5,6}; retirar bolas de uma urna em que há bolas pretas, brancas e vermelha em quantidades diferentes pode ser um exemplo inicial de experimento com eventos não equiprováveis.

Na realização de experimentos empíricos para o cálculo de frequências relativa é interessante usar a simulação em algum software (por exemplo, o GeoGebra). É através de um grande número de repetições que o aluno vai entender que a probabilidade é uma medida teórica de certeza/incerteza. Não é simples o entendimento de que a frequência relativa obtida em grande número de repetições de um experimento aleatório é uma estimativa para a probabilidade. Por exemplo, na realização de um experimento em uma turma de 30 alunos, em que cada aluno joga 30 vezes uma moeda muito provavelmente, a frequência obtidas após os 900 lançamentos será um número próximo de 1 / 2 .

Também é interessante aplicar o conceito de probabilidade em problemas que envolvem a sintetização de dados em tabela de frequência relativa. Por exemplo, a partir de uma tabela que informa a distribuição de idades de meninos e de meninas e em uma certa turma , pode-se colocar perguntas do tipo “em um sorteio nessa turma, qual a probabilidade de ter-se uma menina com 11 anos?“

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8º ANO

EIXO NÚMERO, ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

1. NÚMEROS RACIONAIS

Tópicos Habilidades

1.1. Ordemenúmerosracionaisnaretanumérica1.2. Operações com números racionais: soma e

subtração, multiplicação e divisão, potenciação eradiciação

1.3. Númerosracionaisedízimasperiódicas1.4. 1.4 Representação decimal e notação científica,

ordensdegrandezamicroemacro

• Localizarnúmerosracionaisnaretareal.• Efetuar as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e potenciação entre

númerosracionaiscomfluência.• Expressaremformadefraçãoumnúmeroapresentadonaformadecimal.Ex.:0,125=1/8;

0,33333=1/3,etc.• Saberoperarnacalculadoraesaberinterpretarresultados• Identificardiferentesordensdegrandezasexpressasemlinguagemcientífica,emsituações

concretas.Ex.:1,235x10^23ou1,235x10^(-23).• Expressardiferentesordensdegrandezasutlizandopotênciasnegativasdedez.

Observações:

No 7o ano o estudante aprendeu a obter a expressão decimal de um número racional. Neste momento, ele vai fazer o caminho inverso: dada uma expressão decimal finita ou periódica, obter a representação fracionária deste número. Não é desejável que o professor apresente fórmulas para a obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica. Os cálculos podem ser feitos diretamente cada vez utilizando a linguagem algébrica. Apresentar exercícios diferentes podem desestimular o uso de fórmulas. Ex. 0,03333.... 0,323232... ou 1,2343434.... Neste momento pode ser enriquecedor apresentar o paradoxo de Zenão e discutir as diferentes representações dos números racionais. Ex.: 0,9999... = 1. É importante que fique claro para o estudante (apesar de não ser necessário que se efetue uma prova geral) que todo número racional possui representação decimal finita ou periódica e, reciprocamente, que todo número (da reta) com representação decimal finita ou periódica é racional.

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2. INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS IRRACIONAIS

Tópicos Habilidades

2.1. Ainsuficiênciadosracionaisparamedir2.2. Localizaçãoderaízesquadradasnaretanumérica2.3. Raízes quadradas e cálculo por aproximação;

operaçõescomraízes;operaçõesnacalculadora2.4. Expansãodecimaldenúmerosirracionais

• Entenderainsuficiênciadosnúmerosracionaisparamedirsegmentos• Expressaralgunsnúmerosirracionais:raízesquadradaseonúmeropi• Identificar na reta numérica, com régua e compasso, os irracionais que são as raízes

quadradasdenaturaisquenãosãoquadradosperfeitos.• Identificar as expansões decimais periódicas e não periódicas como representação,

respectivamente,denúmerosracionaiseirracionais.• Usar números racionais para aproximar números irracionais. Por exemplo, truncando a

expressãodecimalderaizde2,mostra-sequeraizde2estáentre1.4e1.5eexplicarcomoprosseguirparaobterumaaproximaçãomelhor.

Observações:

Os números reais vêm sendo construídos como comprimentos de segmentos até aqui. Por isso para introduzir os números irracionais sugerimos um trabalho com a insuficiência dos números racionais para medir segmentos. Os primeiros números irracionais podem ser trabalhados a partir do teorema de Pitágoras – são os números cuja somas dos quadrados dos catetos não é um quadrado perfeito. Por exemplo, no triângulo retângulo com ambos os catetos medindo 1 e 1 tem-se que o quadrado da hipotenusa mede 2 e, portanto, não tem como expressar a medida da hipotenusa como um número racional. Um argumento do professor explicando que é impossível ter a igualdade p.p = 2 .q.q (usar argumento de fatoração em primos ou de paridade de números) pode ser apresentado aos alunos. É interessante construir na reta alguns dos números irracionais que são do tipo raiz quadrada, usando régua e compasso (uma atividade de geometria). Também é recomendado fazer cálculos aproximados destes números, inicialmente sem uso da calculadora, porque este procedimento ajuda os alunos a entenderem o processo de aproximações sucessivas, usando-se intervalos que contêm o número e que são cada vez menores (usar divisões em 10 partes).

Atividade de localização de números reais na reta ajuda no entendimento deste conjunto numérico. Por exemplo, ver que entre dois números racionais sempre tem mais um racional (de fato infinitos), e aqui basta tomar a média aritmética dos dois números; ou que entre dois números racionais sempre tem um irracional (de fato infinitos). Por exemplo, entre “23,145” e “23,146” tem o irracional “23,14501001000100001….,” onde os três pontinhos significam que entre o último “1” colocado e o próximo, haverá um zero a mais do que havia entre o último e o penúltimo “1”. Atividade de construção de expansão decimal de um número via sorteio de um dado pode convencer o aluno de que a frequência dos irracionais é maior do que

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a dos racionais (via sorteio, dificilmente vai aparecer periodicidade na expansão). Atividades com calculadoras também são recomendadas. É comum, por exemplo, pelo fato de uma calculadora apresentar como resultado para a divisão 1÷17 o número 0.058823529411765, alguns alunos afirmarem equivocadamente que 1/17 é um número irracional, pois concluem que tal resultado não é uma dízima periódica. A limitação da máquina, aliada a desatenção com relação à definição de número racional, levam a interpretação equivocada. Outra ideia equivocada recorrente: ao se darem conta que raízes quadradas de números primos (os primeiros números naturais são primos) são números irracionais, alguns alunos fazem uma confusão lógica e ficam achando que apenas as raízes de números primos são irracionais. Esta concepção pode ser desfeita, pedindo-se para que os alunos, usando a possibilidade de imaginar dízimas não periódicas, exibam números irracionais entre dois racionais dados.

Observar que existem mais números irracionais que números racionais e discutir isso construindo um número real entre zero e um apenas com dígitos zero e um lançando uma moeda (cara para zero e coroa para um) pode ser muito enriquecedor e levar o estudante a concluir que a chance de se obter um número racional é quase nula.

Logicamente a expressão decimal não-periódica e infinita dos irracionais pode ser obtida do fato de que racionais e irracionais esgotam as medidas possíveis de comprimentos (e seus simétricos) e os racionais possuem representação decimal finita ou periódica. Neste ponto é importante que o professor fique atento para que a definição de número real não seja cíclica. Isto é, definir números reais como a união de racionais e irracionais e definir os irracionais como os reais que não são racionais.

8º ANO

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3. ÁLGEBRA E OPERAÇõES

Tópicos Habilidades

3.1. Propriedades das operações no conjunto dosnúmerosreaisemlinguagemalgébrica.

3.2. Composição e decomposição em produtos;propriedades associativa e comutativa da adiçãoe multiplicação e propriedades distributivas damultiplicaçãoemrelaçãoàadiçãoesubtração

3.3. Potenciaseprodutosnotáveis

• Entender as propriedades das operações no conjunto dos números reais através dalinguagemalgébrica

• Entenderossímboloseahierarquiadasoperações• Terdesenvolturacom(algumas)manipulaçõesalgébricas• -Saberefetuarprodutosnotáveisviaálgebraeviarelaçõesdeárea• Justificaralgebricamenteasfórmulasdosprodutosnotáveis:• (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,(a-b)^2=a^2-2ab+b^2e(a+b)(a-b)=a^2–b^2.• Completarquadradosemsituaçõesalgébricasespecíficas.Ex.:Dadox^22x,obter(x-1)^21.

Observações:

No oitavo ano é adequado usar a linguagem da álgebra para sistematizar as operações e suas propriedades nos conjuntos numéricos. Situações particulares e concretas já vem sendo trabalhada desde o sexto ano, e agora é o momento de provocar nos alunos os raciocínios generalizadores. Por exemplo, as operações com potencias e propriedades já podem ser justificadas em casos gerais. É recomendável desencorajar a memorização de relações algébricas, tais como os produtos notáveis; o mais importante e´ entender porque valem tais relações, e para isto propriedades que já foram usadas em contexto numérico concreto é que precisam ser aqui retomadas. Interpretações geométricas de determinadas igualdades algébricas (as clássicas decomposições de quadrados em retângulos e quadrados menores que explicam os produtos notáveis) podem ajudar os alunos a entenderem as manipulações algébricas que explicam as relações.

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4. ÁLGEBRA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Tópicos Habilidades

4.1. Regularidades, leis de formação e linguagemalgébrica

4.2. Expressões algébricas, valor de uma expressãoalgébrica

4.3. Equaçãodegrauumcomumaincógnitanoconjuntodosnúmerosreais

4.4. Equaçãodegraudoiscomumaincógnitanoconjuntodos números reais, completamento de quadrados,raízes da equação (incluido soluções irracionais),fatoraçãodeequaçãodegraudois

4.5. Porcentagem e matemática financeira: capital,montante,jurossimplesecomposto

• Expressarregularidadesnalinguagemdaálgebra(contagem,leisdeformaçãodesequênciasnuméricas,relaçãoentrevariáveis).

• Modelarproblemasdomundorealqueenvolvamequaçõesdostiposax+b=coua(x+b)=c,ondea,becsãonúmerosreaisespecíficosdados.

• Resolver, comfluência,equaçõesdostiposax+b=coua(x+b)=c,ondea,bec sãonúmerosreaisespecíficosdados.

• Modelarproblemasdomundorealqueenvolvamequaçõesdegraudoisemumavariável.Ex.:Umretângulodeárea96m^2possuiperímetrode40m,quaissãoos ladosdesteretângulo?

• Resolver equações de segundo grau e uma variável utilizando o completamento dequadrados.

• Entenderosconceitosdejurosimplesejurocomposto• Resolverproblemassimplesdematemáticafinanceiramodelandoeresolvendoequações.

Observações:

Um trabalho com leis de formação de sequencias e suas expressões em linguagem da álgebra é um bom caminho para trazer, aos alunos, entendimento sobre o uso e a importância de tal linguagem. A atividade pode ser contemplada pode ter dois enfoques: a partir da sequência geométrica (por ex, quadradinhos compondo figuras), encontrar a expressão algébrica do n-ésimo termo da sequência, ou seja , escrever em função de n o número de quadradinhos que compõem a n-ésima figura; um segundo enfoque seria – sabendo o número de quadradinhos que compõem a figura , determinar que termo da sequência ela é – e aqui recai-se em exercício de resolução de equação .

Vale destacar que no oitavo ano são maiores as exigências no equacionamento de problemas e também nas manipulações algébricas que resolvem equações. É o momento, por excelência, de iniciar a resolução de problemas que envolvem equação de grau dois com uma incógnita. Técnicas de resolução da equação de grau dois devem ser discutidas (completamento de quadrados e fatoração).

Uma introdução a matemática financeira já pode ser feita, trabalhando-se com os conceitos de capital, montante, juros simples e composto.

8º ANO

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EIXO GEOMETRIA, MEDIDA E ÁLGEBRA

1. SEMELHANÇA

Tópicos Habilidades

1.1. Figurassemelhantesemmalhaquadriculadaerazãodesemelhança

1.2. Critériosdesemelhançaparatriângulos(AAA,LLL,LAL)

1.3. Semelhançacomoumatransformação1.4. Problemaseaplicações

• Reconhecervisualmentefigurassemelhantesefigurasnãosemelhantesnocotidiano.Ex.:miniaturadeumobjeto,ampliaçãodeumafoto.

• Desenharfigurassemelhantesemmalhaquadriculadaecalculararazãodesemelhança.• Utilizaroscritériosdesemelhançadetriângulosemproblemasdageometria.• Entenderprocedimentosparaproduzirformassemelhantes(2De3D),taiscomoprojeção

ehomotetia

Observações:

Recomenda-se começar com atividades concretas de desenhar figuras semelhantes em malhas quadriculadas e retomar o conceito de proporcionalidade para introduzir a razão de semelhança. Olhar para figuras que são sempre semelhantes entre si (quadrado e círculo) e figuras que se parecem, mas não são semelhantes entre si (Ex.: retângulo, losango) ajuda no entendimento do conceito.

Naturalmente o caso particular de semelhança de triângulos será o ponto central do estudo e o entendimento dos critérios de semelhança (AAA, LLL e LAL) pode ser de forma empírica10 (fazer experimentos com triângulos, seja com material concreto, seja com programas de geometria dinâmica). Vale a pena dar atenção à semelhança de triângulos retângulos, pois nas aplicações esta é a relação de semelhança que mais aparece. As implicações do tipo “se ….então” que surgem nos casos de semelhança podem preparar o caminho para as argumentações lógico dedutivas que serão trabalhadas no 9º ano. Por exemplo, se dois triângulos têm ângulos em congruência, então é certo que os lados estão em proporção. E vice-versa.

Há diversas atividades onde se faz necessário o uso dos critérios de semelhança de triângulos. Por exemplo: obter figuras no plano via ampliação a partir de um ponto dado (a transformação de homotetia) pode ser feita com o instrumento pantógrafo (seja com o instrumento físico, seja com o instrumento virtual). Atividades com sombras de figuras, também remetem a semelhança de triângulos e aqui é interessante a discussão sobre

10 O estudo de semelhança, no oitavo ano, ainda é de forma empírica, com muita experimentação. É no nono ano, após a discussão do teorema de Tales, é que algumas das propriedades aqui estudadas podem ser retomadas, no contexto de argumentos dedutivas mais cuidadosas.

Page 48: Tópicos Habilidades

qual deve ser a posição da figura em relação ao plano de projeção para que se produza uma imagem semelhante. Nesta atividade também pode ser trabalhado o conceito de proporcionalidade inversa: quanto mais próxima está a figura do centro da projeção, maior é a sua sombra.

Havendo tempo pode-se justificar ao menos um dos casos de semelhança utilizando o Teorema de Tales (das paralelas cortadas por transversais).

8º ANO

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2. APLICAÇõES DE SEMELHANÇA

Tópicos Habilidades

2.1. Semelhançadetriângulosnotriânguloretângulo.2.2. Relaçõesmétricasnotriânguloretângulo.2.3. Figurassemelhanteserazãoentreáreas2.4. Sólidossemelhanteserazãoentrevolumes2.5. Construção com régua e compasso: segmento

medindoraizquadradaden

• Justificarusandosemelhanças(ouáreas)asrelaçõesmétricasnotriânguloretângulo.Ex.NumtriânguloABCde ladosAB=c,BC=a,CA=beânguloretoemA,chamamosdehocomprimentodaalturarelativaàhipotenusa,men(nosentidoCB)aspartesemqueaalturadivideahipotenusa.Asrelaçõessãobc=ah,b=mh,c=nh,a²=b²+c²,h²=mn.

• Expressarasrazõesentreperímetro,áreaevolumedeformassemelhantesconhecidas(2De3D).Ex.: segmentos, triângulos, retângulos,paralelepípedos (áreaevolume),pirâmide(área).

• Aplicaroscritériosdesemelhançadetriângulosnaresoluçãodeproblemas(Ex.:calculardistânciasinacessíveisusandotriângulossemelhantes)

• Aplicarsemelhançaparacalculardistânciasreaisapartirdemapasemaquetescomescalas;• EntenderosargumentosqueexplicamdiferentesdemonstraçõesdoteoremadePitágoras• Construir com régua e compasso segmentos medindo raiz quadrada de n (natural) e

identificarosnúmerosquesãoirracionais.

Observações:

A história da Matemática pode ser uma grande aliada no Ensino de Matemática. Por exemplo, a engenhosidade usada por Eupalinos para resolver o problema de abrir um túnel na ilha da Samos (hoje Grécia) – foi usando a semelhança de triângulos retângulos que ele resolveu o problema11.

Espera-se que nesta etapa sejam retomados os conceitos de perímetro, área e volume no estudo de semelhança. Trabalham-se as razões de semelhança, nas diferentes situações, de início, no cubo e no paralelepípedo. Entendidas estas razões r, r² e r³, pode-se dar início à resolução de problemas envolvendo estes conceitos. Por exemplo, quando se corta uma pirâmide quadrada, através de plano perpendicular a altura e passando pelo seu ponto médio, como fica o volume da pirâmide menor? Como cortar uma pirâmide de forma a ter-se a pirâmide menor com a metade do volume12? Tem-se a planta baixa de uma casa e a construtora quer aumentar em 20% a sua área. Supondo que a planta é um retângulo, calcule possíveis dimensionamentos do retângulo de forma a atender os 20%. Ainda nesta questão das diferentes razões, uma pergunta que pode desencadear uma interessante discussão é: por que o gigante do livro “As aventuras de Gulliver” não poderia existir como um ser humano? A questão do peso a ser

11 Ver explicação na Revista do Professor de Matemática

12 Se estes exercícios são resolvidos com a ajuda de softwares de geometria dinâmica, em função do dinamismo que se tem na construção, outras tantas perguntas podem ser colocadas

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suportado por sessões de suas pernas, a ser expressa na forma de razão, dá a resposta a pergunta.

O cálculo (aproximado) de distâncias inacessíveis é uma outra aplicação de triângulos semelhantes. Por exemplo, para calcular a altura de um prédio, se é possível medir a distância que está o observador do prédio. Um triângulo retângulo com um dos ângulos iguais ao ângulo de visada do observador (triângulo ”maquete”) resolve o problema de calcular “x” na igualdade de razões a/b=c/x, pois a e b são as medidas do triângulo “maquete” e c é distância do observador ao prédio: é possível estimar a distância que foi tirada uma foto aérea de uma cidade? Uma outra atividade interessante é entender o funcionamento de ampliação/redução de diferentes ferramentas (zoom in/zoom out no Google Maps; percentual de redução em uma cópia na máquina xerox; percentual de redução de figuras em editores de desenho)

As relações métricas no triângulo retângulo podem (e recomenda-se que sejam) explicadas a partir de semelhança de triângulos. Aqui se tem um momento de argumentação matemática simples e a exigência maior está em estabelecer a correspondência entre os ângulos que estão em congruência nos três triângulos retângulos a serem considerados. Feito isto, a explicação do teorema de Pitágoras via relações algébricas é imediata.

Sempre é interessante mostrar para os alunos que diferentes argumentos podem ser usados para explicar alguma propriedade (isto pode ser um incentivo para que eles produzam suas próprias explicações). Tem-se no caso do teorema de Pitágoras uma tal situação: uma interpretação geométrica das relações métricas mostra que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos é igual à área do quadrado construído sobre hipotenusa (basta dividir o quadrado sobre a hipotenusa usando a reta suporte da altura do triângulo relativa hipotenusa, e comparar a área dos retângulos com a área dos outros dois quadrados) e esta explicação do teorema de Pitágoras merece ser apresentada para os alunos. Um outro argumento que explica o teorema de Pitágoras é aquele que está no livro “Os Elementos de Euclides” e ele pode ser entendido pelos alunos. O argumento faz uso da propriedade “paralelogramos de mesma base e altura tem a mesma área” e é através da transformação dos quadrados construídos sobre os catetos em paralelogramos de mesma área que se dá a argumentação.

As resoluções de problemas através de relações métricas podem ser tanto no plano como no espaço. Por exemplo: calcular a altura de um triângulo equilátero, calcular o comprimento das diagonais do cubo, calcular a altura de uma pirâmide de base quadrada que tem como faces triângulos equiláteros.

8º ANO

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3. CILINDRO E CONE: ELEMENTOS, PLANIfICAÇÃO E ÁREA DE SUPERfíCIE

Tópicos Habilidades

3.1. Elementosdocilindroedocone3.2. Áreadesuperfíciedocilindroefórmulas3.3. Proporcionalidadeeáreadesetorcircular3.4. Áreadesuperfíciedoconeefórmulas3.5. Resolução de problemas envolvendo áreas de

superfíciesdocilindroedocone

• Identificaroselementosdocilindroedocone: raiodabase,diâmetrodabase,alturaegeratriz.

• Planificareexpressarempalavrasaplanificaçãodocilindroedocone.• Calcularasáreasdocilindroedoconeutilizandosuasplanificações.• Expressarasfórmulasdeáreadesuperfíciedocilindroedoconeedosetorcircular.

Observações:

É recomendado iniciar o trabalho com material concreto, pois isto ajuda muito na visualização e no entendimento dos elementos geométricos a serem considerados no momento de resolução de problemas. Em um segundo momento, os softwares de geometria dinâmica podem substituir as experimentações com material concreto. Como antes, o que se tem de novo neste tópico é, essencialmente, uma maior exigência na visualização de situações geométricas no espaço. No tópico que trata cilindro e cone, nas planificações e áreas retomam-se conceitos que já foram estudados: área de retângulo e círculo. O conceito novo é setor circular e sua área. Aqui é mais um momento de trabalho com proporcionalidade: a área do setor é proporcional a medida do ângulo do setor. É importante nomear elementos destes sólidos: raio da base, altura e geratriz. A resolução de exercícios dentro deste tópico é a atividade mais importante, pois ela exige a aplicação de conteúdos já estudados. Alguns exemplos de exercícios: qual a área da superfície de um cilindro inscrito em cubo com aresta 10 cm? Se um cubo está inscrito em um cilindro de altura 10 cm, qual a medida da aresta do cubo? Como dimensionar um cone para que a altura seja igual ao diâmetro da base que mede 10 cm?

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4. INTERSEÇÃO DE SÓLIDOS E PLANOS

Tópicos Habilidades

4.1. Retaseplanosdeterminadosporelementosdocuboedoprisma

4.2. Seçõesdocubo,doprismaedocilindro4.3. Seçõesdapirâmide,doconeedaesfera4.4. Problemassobreáreasdeseções

• Identificar retas paralelas, retas perpendiculares e retas ortogonais determinadas porvértices,arestasediagonaisdocubo.

• Identificarplanosparaleloseperpendicularesdeterminadosporpontos,arestasefacesdocuboedoprisma

• Identificarretasperpendiculareparalelasaplanosnocuboenoprisma.• Identificarposiçõesrelativasderetaseplanosdadosporelementosdoprisma,docilindro,

doconeedaesfera.• Identificaredescreverformas2D(seções)resultantesdeintersecçãodeplanosesólidos.• Equacionareresolverproblemasdeáreasdeseções.

Observações:

Também no tópico “Interseção de sólidos e planos” não se tem maior exigência quanto a conteúdos novos. Como no tópico anterior, tem-se aqui a aplicação de conceitos já estudados, em situação 3D. Os sólidos são o cubo, pirâmide, cilindro, cone e esfera; os elementos a serem considerados são os vértices, as arestas, as faces, a altura, o raio, o diâmetro e a geratriz. Continua sendo aconselhável trabalhar com material concreto, para facilitar a visualização e o entendimento dos elementos geométricos a serem considerados no momento de resolução de problemas.

É interessante iniciar este estudo com discussão sobre as possibilidades para determinação de um plano: três pontos não alinhados, duas retas concorrentes, duas retas paralelas, e ainda reta e ponto que não pertence a reta. Depois se pode analisar as retas e planos que são determinados pelos vértices, arestas e faces do cubo; em uma primeira análise podem ser identificadas retas perpendiculares, paralelas e ortogonais, bem como planos paralelos e planos perpendiculares; e ainda retas perpendiculares a planos e retas paralelas a planos. Este primeiro exercício de visualização espacial prepara para o estudo de seções no cubo, tais como: seção dada pelo plano determinado por duas diagonais de faces (aqui se tem possibilidades e impossibilidades a serem analisadas); seção dada pelo plano perpendicular a diagonal interior do cubo (aqui a forma da seção muda, conforme o plano se desloca na diagonal); seção dada pelo plano determinado por diagonal de face e vértice em face oposta convenientemente escolhido (com este tipo de intersecção se pode obter um tetraedro dentro do cubo). Cortes em outros sólidos também podem ser explorados: prisma, pirâmide, cone e esfera.

8º ANO

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Exercícios de cálculo de áreas de seções podem ser propostos aos alunos, e julgamos serem desafiadores porque neles se tem também a exigência de uso de linguagem algébrica. Alguns exemplos de problemas que dependem das relações métricas no triângulo retângulo e de visualização espacial: conhecendo-se as dimensões de uma pirâmide de base quadrada, determinar a sua altura; ou, conhecendo-se as dimensões da base e a altura determinar a medida das arestas das faces laterais. Alguns enunciados envolvendo seções: conhecendo-se as medidas das arestas de pirâmide (regular) de base quadrada, determinar a área da seção dada por plano determinado pelo vértice e diagonal da base; determinar as áreas de seções no cubo, obtidas com a intersecção de plano que passa por duas das diagonais do cubo (aqui, tem-se também um exercício de análise de possibilidades). Um outro exercício: determinar a seção da esfera de raio igual 1 que tem área igual à metade da área da seção de área máxima (de início os alunos podem pensar que é a seção obtida pelo plano perpendicular ao raio passando pelo ponto médio do raio).

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EIXO ESTATíSTICA E PROBABILIDADE

Tópicos Habilidades

1.1. Populaçãoeamostraaleatória1.2. Aplicaçãodemedidasdescritivas (média,mediana,

moda, amplitude) em diferentes amostras aleatóriasdeumapopulaçãoemdoisoumaisgruposdeamostras

1.3. Espaçosamostraisequiprováveisenãoequiprováveis1.4. Experimentosempíricoseprobabilidadeemespaços

amostraisequiprováveisenãoequiprováveis1.5. Espaço amostral e probabilidade usando dados

organizadosemdetabeladefrequênciarelativa

• Diferenciarpopulaçãoeamostra• Entenderarelaçãoentreamostraaleatóriaepopulaçãorepresentada• Ler, interpretar, criticare argumentar informaçõesdadasemgráficoseem tabelasque

relacionamduasvaráveis(2qualitativas,2quantitativasou1qualitativae1quantitativa)• Compararmedidasdescritivasemdiferentesamostrasdeumapopulaçãoemdoisoumais

grupos.Porexemplo.....• Construirespaçoamostralparaexperimentossimples,noscasosdeequiprováveisenão-

equiprováveis(enumerarosresultadospossíveis,porexemplo,cara-coroanolanácmentodeumamoedaobterosnúmeros1,2,3,4,5ou6nolançamentodeumdadoperfeito,retirarbolasdeumaurnacombolaspretasebrancasemquantidadesdiferentes,semreposição)esaberidentificareventos.

• Construirespaçoamostralecalcularprobabilidadeapartirdedadosdetabeladefrequência• Estimar probabilidades envolvendo ‘e’, ‘ou’ e condicionais a partir de tabelas de dupla

entrada

Observações:

No oitavo ano é o momento de dar-se muita atenção ao vocabulário a ser dominado pelos alunos. Em estatística se fala em amostra de uma população; já em probabilidade se fala em espaço amostral – o conjunto de todos os possíveis eventos. A diferenciação entre estas duas expressões – amostra de uma população e espaço amostral – merece ser bem trabalhada. Também é o momento em que os alunos podem trabalhar com coleta de dados em situações de maior complexidade.

8º ANO

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9º ANO

ÁREA: NÚMERO, ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

1. NÚMEROS REAIS

Tópicos Habilidades

1.1. Conjunto dos números reais; alguns númerosirracionais(Pi,raízesquadradaseonúmerodeouro)

1.2. Operações no conjunto dos números reais;radiciaçãoepotenciação

1.3. Aproximações,estimativaseerroseaproximações;notaçãocientífica;operaçõescomcalculadora

• Saberassociarnúmerosreaisapontosdareta,tantoracionaiscomo(alguns)irracionais;saberordenarnúmerosreais

• Saberoperarcomosnúmerosreais(soma,subtração,multiplicaçãoedivisão);saberoperarcompotênciaseraízesdenúmerosreais

• Saber fazerestimativas,entenderanotaçãocientífica, saberusarasoperaçõesdeumacalculadora

Observações:

No nono ano é o momento de sistematizar os tópicos já estudados sobre o conjunto dos números reais. Trata-se da consolidação das habilidades para operar com números reais, tanto com números na forma p/q quanto com números na forma decimal. Também é importante retomar os exemplos de números irracionais (raízes quadradas, número Pi, número de ouro). É interessante discutir novamente a fórmula que calcula a área de um quadrado, agora estendendo o raciocínio para o caso de lado com medida fracionaria; o caso de lado com medida irracional pode ser tratado de forma intuitiva, usando a ideia de que tão próximo quanto se queira de um número irracional tem-se um número racional. Outras situações em que se faz presente a ideia de limite de sequência de números reais também merecem ser discutidas novamente ( 0, 333333..... = 1/3 ; 0,999999........=1, ; as aproximações para raiz quadrada de natural). Situações de uso de notação científica devem ser retomadas, nisso usando exemplos que envolvem medidas em escalas macro e micro (escala do universo, escala das moléculas) . Cálculos envolvendo aproximações, estimativas e erros também devem ser praticados. Ao final do EF é mais do que recomendável que os alunos tenham um bom domínio das operações com números reais, especialmente os racionais. Também é interessante que saibam interpretar informações que estão na mídia, bem como resolver problemas práticos, tanto fazendo cálculos como fazendo estimativas.

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2. INTRODUÇÃO àS fUNÇõES

Tópicos Habilidades

2.1. Relações entre variáveis em contextos variados;variáveis discretas e variáveis contínuas; o conceitodefunçãoemcontextosespecíficos

2.2. Representaçõesdeuma funçãoatravésde tabelasegráficos

2.3. Crescimento e decrescimento; modelos (emcontexto)decrescimentolineareexponencial

• Reconheceremexemplospráticos relações funcionaisentreduasvariáveis. Istoé,paracadavalordeumadelascorrespondeapenasumvalordaoutravariável.

• Representarexemplosdefunçõesutilizandotabelas,gráficoseleideformação.• Reconhecereexpressarquandoumavariáveléumafunçãocrescente(oudecrescente)de

outravariável.• Descreveralgebricamenterelaçãoentrevariáveisemsituaçõespráticasdocotidianoeem

situaçõesgeométricas.• Entenderdiferentesrepresentaçõesdeumafunção(incluindoa“lei”emcasossimples)• Saberdarexemplosdefunçõescrescentesefunçõesdecrescentes• Entenderadiferençaentrecrescimentolinearecrescimentoexponencial

Observações:

Vale a pena explorar muitas situações de variabilidade, de forma a identificar diferentes variáveis discretas e contínuas. Não é o objetivo no fazer um tratamento abstrato do conceito de função (domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e função inversa serão estudados no Ensino Médio). O objetivo é que os alunos entendam o conceito em situações concretas e práticas. Antes de se preocupar com as leis das funções, é recomendável investigar a relação entre as variáveis. Ex.: quando uma aumenta uma variável, o que acontece com a outra? O crescimento tem algum limite? os crescimentos são diferentes? êm crescimentos diferentes? Outras situações de variação que podem ser exploradas (de forma qualitativa): crescimento populacional; aquecimento do planeta; crescimento de usuários da internet; propagação de doenças; movimento de marés (modelo periódico).

Fazer o esboço dos gráficos, sem mesmo saber a “lei” da função também ajuda no entendimento de relações entre variáveis; também é interessante fazer atividade em que o aluno, a partir do gráfico, informa como é o comportamento entre as variáveis. Com o software GeoGebra se pode explorar relações entre variáveis em diversas situações geométricas (medidas de comprimento e de área). Feita uma primeira análise qualitativa, pode-se construir o construir o gráfico para então analisar, com mais cuidado, o tipo de crescimento /decrescimento da função. Como última etapa da atividade pode-se pensar na determinação da lei da função, e dependendo do nível de exigência, isto pode ficar para o EM.

9º ANO

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3. fUNÇÃO LINEAR, qUADRÁTICA E CÚBICA

Tópicos Habilidades

3.1. Proporcionalidadesdiretaeafunçãof(x)=a.x3.2. Proporcionalidadeinversaefunçãoy=a/x3.3. Funçãoquadrática3.4. Funçãocúbica(exemplos)

• Interpretarumafunçãoy=axcomodefinindoumaproporçãoentreasvariáveisxey.• Construirográficodeumafunçãoafimdadasuaexpressão.• Expressarfunçõesemsituaçõesconcretasatravésdaexpressãodesualei.Ex.:Dadoum

quadradodelado‘‘a’’,perímetro‘‘p’’eárea‘‘a’’,obterasexpressõesp=4.aeA=a^2.Dadoumcubodelado‘‘a’’temosqueseuvolumeédadoporv=a^3.

• Reconhecerasdiferentestaxasdevariaçãonosexemplosconstruídos.Istoé,paravariaçõesconstantesnocomprimentodoladodeumquadrado(oucubo),qualéavariaçãoobtidanoperímetroenaáreadoquadrado(respectivamente,novolumedocubo)?

• Utilizarafunçãoafimparamodelaromovimentoretilíneouniforme.Ex.Umveículoquesemovenumaestradacomvelocidadeconstanteiguala80km/h,percorres=80tquilômetroapósthoras.SeaviagemseinicianoKm20daestradaeoveículosemovenosentidodecrescimentodaquilometragem,entãonoinstantet,eledeveestarlocalizadonaposiçãos=80t+20.

• Diferenciar crescimentoeproporcionalidadedireta;decrescimentoeproporcionalidadeinversa.

• Saber fazer o gráfico das funções y =ax e y=a/x e dar exemplos de variáveis que secomportamsegundoestas“leis”

• Construirográficodeumafunçãoquadráticaespecíficadada.• Obterpormeiodemanipulaçõesalgébricasopontoextremo(máximooumínimo)deuma

funçãoquadrática.

Observações:

O estudo de funções no nono ano pode ser mais detalhado apenas para as funções afim e quadrática. Isto porque estas funções já surgiram em outros contextos nos anos anteriores, mesmo sem serem mencionados. A função quadrática pode ser introduzida com a área do quadrado e do círculo. Pode ser interessante desenhar no mesmo sistema de coordenadas os gráficos correspondentes ao perímetro e área do quadrado para que o aluno entenda a diferença entre os dois crescimentos. Recomenda-se que a forma do gráfico da função quadrática seja vista sob o ponto de vista geométrico – a parábola como lugar geométrico de pontos P que satisfazem a condição “distância de P a ponto fixo F = distância de P à reta fixa d”.

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Isso deve evitar a falta lógica recorrente quando se define o gráfico da função quadrática como uma parábola e depois se define uma parábola como o gráfico da função quadrática.

A função quadrática geral pode surgir em situação de resolução de problema. Aqui pode ser retomado o problema de analisar a variação da área de retângulos que tem o mesmo perímetro (discussão iniciada no sexto anos com retângulos em malha quadriculada). A formulação do problema recai em função quadrática e então é o momento de discutir sobre os zeros da função, sobre o vértice como sendo ponto de máximo ou mínimo, sobre “completamento de quadrados” como um recurso que vai facilitar o traçado do gráfico, sobre a determinação das coordenadas do vértice a partir da média aritmética dos zeros da função.

Um outro problema que pode ser resolvido é o de variação do perímetro quando a área é constante, mesmo não estando a função no universo das que foram elencadas para o nono ano. Um estudo qualitativo da situação pode convencer o aluno que o retângulo de perímetro mínimo é o quadrado e com algumas manipulações algébricas isto pode ser demonstrado.

Quanto a função cúbica, o ponto é essencialmente estabelecer a correspondência com o volume do cubo em função da aresta. Comparar esta função com a função quadrática, desenhando os gráficos no mesmo sistema de coordenadas, ajuda o aluno no entendimento de que x^3 pode ser menor do que x^2 (no geral, para os alunos x^2 é sempre menor do que x^3!)

Problemas de área e volume podem ser propostos no contexto de função. Por exemplo: fazer o gráfico da função que descreve o volume de um cilindro que tem a altura igual ao raio, tendo o raio como variável independente e marcar dois raios r1 e r2 no eixo x tal que o cilindro de raio r2 tem o dobro do volume do cilindro de raio r1.

9º ANO

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Temas Suplementares - Matemática Discreta

EIXO GEOMETRIA, MEDIDA E ÁLGEBRA

1. GEOMETRIA DEDUTIvA

Tópicos Habilidades

1.1. Mediatrizdesegmentoebissetrizdeângulo1.2. Triângulosepontosnotáveis1.3. Quadriláterosepropriedadesdeladoseângulos1.4. TeoremadeTalesesemelhançadetriângulos1.5. 1.5Construçõescomréguaecompasso(divisãode

segmentoempartesiguais,parábola,retânguloáureo)

• Entender argumentos dedutivos que explicam como se obtém os pontos notáveis dotriângulo

• EntenderoteoremadeTalesnocasodesegmentoscomensuráveis• Entender algumas das aplicações do teorema deTales: o casoAAA de semelhança de

triângulos;adivisãodeumsegmentoempartesiguais.• Saber fazer algumas construções com régua e compasso e saber explicar porque o

procedimento funciona:construçãodamediatrizdeumsegmentoedabissetrizdeumângulo;construçãodesegmentoquemeden^(1/2);construçãodaparábolaapartirdadefiniçãodelugargeométrico;construçãodarazãoáureaedoretânguloáureo.

Observações:

No nono ano é o momento de trabalhar, de forma mais sistemática, com a argumentação que explica propriedades da geometria. Nos anos anteriores, argumentações que explicam algumas propriedades da geometria já foram feitas. Recordamos algumas das propriedades para as quais apontou-se a pertinência de explicações: a soma dos ângulos de um triângulo; a caracterização das diagonais dos diferentes tipos de quadriláteros; as fórmulas de área do retângulo e de volume do paralelepípedo; as fórmulas de área do triângulo e dos diferentes quadriláteros; as relações métricas no triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras.

Alguns dos tópicos que podem ser trabalhados dentro da geometria dedutiva: a mediatriz de segmento e a bissetriz de ângulo como lugares geométricos; os teoremas que dizem respeito aos pontos notáveis de um triângulo (circuncentro, incentro e baricentro); o teorema de Tales no caso de segmentos comensuráveis; a proporcionalidade dos lados de triângulos semelhantes no caso AAA como uma decorrência do teorema de Tales; algumas construções com régua e compasso acompanhadas de explicação, e dentre elas destacamos a construção da mediatriz de um segmento e do bissetriz e um ângulo, a divisão de um segmento em partes iguais, a construção da parábola a partir de sua definição como lugar geométrico, a razão áurea e o retângulo áureo.

Page 60: Tópicos Habilidades

Observamos que é interessante fazer a construção da parábola a partir de sua definição como lugar geométrico, pois isto vai ajuda o aluno a entender que o nome “parábola deve ser reservado para uma curva que tem uma propriedade particular, dada na pela sua definição como lugar geométrico. É observado, recorrentemente, que os alunos chamam de “parábola” qualquer curva que lembre a forma da parábola, por exemplo a curva solução de y = x^4.13

13 No momento de estudar a função quadrática, também no nono ano, é interessante iniciar com a parábola como lugar geométrico, colocar sobre ela um conveniente sistema de coordenadas de forma a obter a equação y = a x^2, e então iniciar o estudo da função quadrática

9º ANO

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2. TRIGONOMETRIA NO TRIâNGULO RETâNGULO

Tópicos Habilidades

2.1. Ângulosetriângulossemelhantes2.2. Razõestrigonométricas:seno,cossenoetangente2.3. Seno,cossenoetangentedealgunsângulos2.4. Relaçõestrigonométricas2.5. Resoluçãodeproblemas

• SaberusarocritériodesemelhançaAAAeconcluirsobreaproporcionalidadedoslados• Entenderqueasrazõestrigonométricasdependemsomentedeumângulofixo• Saber construir com régua e transferidor: triângulo retângulo para calcular o seno ou

cossenodeumdadoângulo;oângulocorrespondenteaumdadovalordesenooucosseno• Saberequacionareresolverproblemasusandoasrazõestrigonométricas,emparticularos

problemasdedistânciasinacessíveis

Observações:

No tópico que trata de trigonometria no triângulo retângulo, as explicações de propriedades também podem estar presentes e as razões trigonométricas são estabelecidas através de semelhança de triângulos. Uma vez definidas as razões seno e cosseno é apropriado fazer atividades com régua e transferidor: dado um certo ângulo calcular o valor aproximado do seno e cosseno; e inversamente, dado um valor de seno ou cosseno, construir aproximadamente o ângulo correspondente. Este tipo de atividade ajuda na compreensão das razões trigonométricas. A razão “tangente” também deve ser considerada. Não é preciso ir além destas três razões trigonométricas.

Na parte de resolução de problemas de distâncias inacessíveis é interessante fazer variações nas condições iniciais do problema. Por exemplo, no cálculo da largura de um rio podemos iniciar com a condição: as margens do rio são linhas retas paralelas e tem-se uma árvore (um marco) na margem oposta àquela em que está o observador. Neste caso, pode-se caminhar na margem do rio até se obter um ângulo de visada de 45 graus (o ângulo é determinado pela “linha margem ”-observador-árvore). Sendo o triângulo imaginários isósceles, tem-se que a largura do rio é igual a medida do que foi caminhado. Se não podemos caminhar livremente na margem do rio, constrói-se um triângulo retângulo imaginário com um certo ângulo e a partir deste é construído um triângulo semelhante em que se pode medir os lados. Neste caso é a proporcionalidade entre os lados do triângulo que resolve o problema. E a última resolução é aquela que faz uso de razões trigonométricas e tabela de valores. Esta atitude de olhar para diferentes formas de resolver o problema ilustra como o avanço no conhecimento em matemático pode facilitar a resolução de um problema. Na última estratégia, conhecendo-se o que foi caminhado, a partir de uma posição em que o observador e a árvore formam linha perpendicular a margem em que se encontra o observador, já se pode calcular a largura do rio usando a razão trigonométrica tangente. Exercícios variados sobre cálculo de distâncias

Page 62: Tópicos Habilidades

usando trigonometria devem ser propostos. Aqui no nono ano são situações que podem ser resolvidas com triângulos retângulos e trigonometria. Para situações que dependem de triângulos que não são retângulos é preciso usar as leis do seno e cosseno, este um assunto a ser tratado no Ensino Médio.

9º ANO

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3. PRISMA E CILINDRO: vOLUME

Tópicos Habilidades

3.1. Elementosdoprismaedocilindro3.2. OprincípiodeCavalierieovolumedoprisma3.3. OprincípiodeCavalierieovolumedocilindro3.4. Problemasdevolume

• Saberidentificarenomearelementosdoprismaecilindro:altura,diâmetro,base.• Sabercalcularovolumedeumprismaedeumcilindro.• Saberequacionareresolverproblemasquetratamdevolumesdeprismasecilindros

Observações:

O volume de prisma e cilindro é normalmente um assunto tratado no EM. Mas uma vez entendido que o volume de um paralelepípedo é dado por a.b.c, onde a, b e c são as medidas dos lados das três dimensões, e destacando que esta fórmula pode ser interpretada como [área da base x altura], não é difícil convencer os alunos que as fórmulas do volume de prisma e cilindro são dadas pelo mesmo tipo de produto. Para este convencimento deve ser usado o Princípio de Cavalieri: sólidos de mesma altura e com áreas de seções iguais tem o mesmo volume. Aqui o uso de material concreto é importante, e a primeira situação pode ser no plano: um quadrado composto com varetas pode ser transformado em paralelogramo sem mudar a área, para isto deslizando-se as varetas com cuidado. Depois vem o paralelepípedo de base quadrada formado por “pilha de quadrados”; transformando-se os quadrados em outras formas 2D obtém-se outros prismas que, sem dúvida, terão o mesmo volume14 (p. ex, transformar o retângulo em triângulo ou quadrado, e aqui se está retornando a atividade de equivalência de áreas, trabalhada no sétimo ano).

Conhecendo as fórmulas de volume do prisma e do cilindro, os alunos podem resolver questões do tipo: dado um cilindro inscrito em um cubo, qual é a razão entre os volumes? Dado um prisma de base regular inscrito em um cilindro, qual é a razão entre os volumes? Como se comportam os volumes de prismas de mesma altura e com mesma área lateral conforme aumenta o número de lados do polígono regular da base? ; cilindros de mesmo volume podem ter área de superfície diferentes? Esta última pergunta pode remeter para o problema de minimizar a área de superfície de um cilindro que se mantém com volume constante (o cilindro que tem diâmetro igual à altura resolve este problema, e algumas manipulações algébricas mostram isto).

14 É fácil encontrar vídeo na Internet que explicam o Princípio de Cavalieri. Ver “Pela trilha de Arquimedes”, produzido na UNICAMP e disponível em https://www.youtube.com/watch?v=fP4gOLlsst4

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4. INTRODUÇÃO à GEOMETRIA ANALíTICA

Tópicos Habilidades

4.1. Sistemadecoordenadascartesianas,distânciaentrepontos

4.2. Equação da reta, coeficiente angular e coeficientelinear

4.3. Equaçãodaretadadosdoispontos;equaçãodaretadadainclinaçãoeumponto

4.4. Equaçãodocírculo4.5. Resolução de problemas envolvendo sistemas de

duas equações de grau um com duas variáveis; eequaçõesderetaecírculo

• Entenderacorrespondênciaentrepontodoplanoepardenúmeros.• Saberdeterminaraequaçãodareta(casoinclinaçãoeumponto;casodoispontos)• Saberdesenharumaretanosistemadecoordenadasapartirdasuaequação• Entenderascondiçõesparaparalelismoeperpendicularismoderetas,atravésdasequações

dasretas• Saberdeterminaraequaçãodeumcírculo(casoscentroeraio,ecentroeponto)eapartir

daequaçãosaberdesenharocírculonosistemadecoordenadas.• Saberequacionareresolverproblemassobreretasecírculosusandoequações.

Observações:

Como parte dos tópicos para o nono ano, pode-se se ter uma introdução a geometria analítica, pois é um assunto que integra raciocínios algébricos e geométricos, sem grandes exigências de novas habilidades. É um tópico que até pode ser pensado como de aplicação da álgebra nos primeiros elementos geométricos: a reta e o círculo. Com explicações que fazem uso de propriedades de triângulos podem ser obtidas as equações da reta e do círculo. Vejamos como: a expressão da distância entre dois pontos é obtida através do teorema de Pitágoras; é uma relação de semelhança entre triângulos que explica porque uma reta passando pela origem do sistema tem equação y = a. x; o movimento de translação vertical aplicado a reta que passa pela origem dá sentido a equação y = a x + b para a nova reta; a relação entre coeficientes angulares de retas perpendiculares pode ser explicada através de congruência de triângulos; a equação do círculo é obtida através de argumento que usa o teorema de Pitágoras.

Outras formas de obter a equação da reta também podem ser discutidas, e os raciocínios geométricos são da mesma natureza dos que estão sendo proposto acima: a equação obtida a partir de dois pontos dados; a equação obtida a partir de dada inclinação e de um dado ponto. Aqui, de novo, as explicações dependem de propriedades de triângulos.

O tratamento algébrico de retas e círculos possibilita o trabalho com uma nova gama de problemas: determinação de pontos de intersecção de retas, de retas e círculos, de círculos e círculos (e aqui se volta a resolução de equações de grau um e dois). O sistema de equações de duas variáveis

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pode ser interpretado geometricamente e isto ajuda no entendimento da resolução algébrica a ser feita, em um segundo momento.

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EIXO ESTATíSTICA E PROBABILIDADE

Tópicos Habilidades

1.1. Noçõesdediferentestiposdeamostragem1.2. Estimativaamostraleerro1.3. Questõesestatísticastaiscomocensopopulacional

e escolar, testes de qualidade, pesquisa eleitoral.Outras???

1.4. Probabilidade e Estatística em questões doquotidianodosalunos:coletadedados,organizaçãoesíntesepormeiodaamostragemeanáliseexploratóriadosdados.

• Entenderesaberavaliarasvantagenseasdesvantagensdediferentestécnicasdecoletadeamostras:aleatóriasenãoaleatórias;amostrasaleatóriasestratificadas(porexemplo,peloanoescolar,cidadesgrandesepequenas)

• Entenderqueoerrodeumaestimativaamostraldependedotamanhodaamostraedavariabilidadedapopulaçãoemrelaçãoaoqueestásendomedido

• Ler, interpretar,criticareargumentarusandodadosreais,taiscomocensopopulacionalecensoescolar(estatísticacompopulação),testedequalidadedefabricação(estatísticacomamostra),pesquisaeleitoral(estatísticacomamostra)

• Saber analisar, de forma crítica, afirmações estatísticas veiculadas namídia através dedados,gráficoseresumosestatísticos.Porexemplo,aspesquisasdeopinião

• Saberfazerinferências(simples)apartirdetratamentoestatísticodedadoscoletados???

Observações:

Para o trabalho que envolve a estabelecer diferentes tipos de amostra de uma determinada população é interessante lançar perguntas e, inicialmente, deixar que os alunos definam critérios para escolha de amostras. Por exemplo: Como medir o consumo de coca-cola na escola ? Como medir o hábito dos alunos da escola de ir ao cinema,? Como medir os hábitos de leitura dos alunos da escola ? Como medir a preferencia por time de futebol ? É importante que os alunos sintam a complexidade que se pode ter no tratamento de dados que vão responder a uma questão estatística e que então sintam que é preciso se ter ferramentas que ajudem a tratar os dados.

Uma ponto crucial no tratamento estatístico de um problema é a construção de instrumento de medida que vai ser usado e isto inclui, por exemplo: a determinação de conjunto de perguntas que delimitam a questão; a escolha do tipo de pergunta – aberta ou fechada; tipo de variável a ser considerada (qualitativa ou quantitativa); avaliar a possibilidade e a contribuição de fazer um estudo piloto de coleta de dados com o instrumento construído para avaliar se as perguntas fornecem os elementos a serem analisados de modo a responder a questão sob investigação. Uma introdução a questões estatísticas tais como censo populacional e escolar ou controle de qualidade de produtos pode ajudar o aluno a avançar no seu letramento estatístico.

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