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Ciências Naturais

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Tabela formatada

EDISON THA-

DEU BICHARA

PALAVRAS INICIAIS

Prezado Estudante,

É com grande satisfação que estamos dando início, a mais uma etapa letiva, o estudo da disci-

plina denominada Tópicos de Física I.

Ensinar Física não tem sido uma tarefa fácil, principalmente, quando pensamos em um curso

que fuja das características tradicionais. Estamos nos referindo, por exemplo, à pretensão de se con-

substanciar um ensino dotado de uma metodologia essencialmente ativa voltada para o desenvolvi-

mento de habilidades e conceitos. Muitos são os obstáculos enfrentados quando se tenta levar adi-

ante uma proposta metodologicamente mais avançada. Uma das dificuldades que o professor se de-

para no planejamento de ensino, é a escolha de um texto, dentre aqueles em profusão no mercado,

que melhor se adéqüe às necessidades do curso pretendido. Longe de negar a existência de bons

textos, no entanto, vem se tornando difícil, pela semelhante estrutura apresentada por esses materi-

ais, a tarefa de reunir em um único texto ou até mesmo, razoavelmente, em alguns deles, as qualida-

des didático-pedagógicas almejadas. Pensando nisso, resolvemos fazer algo diferente. Não em cons-

truir um texto que viesse a solucionar os problemas mencionados, todavia, concretizar a idéia de um

texto que fosse eficaz na articulação de um conjunto de recursos e procedimentos que, no momento

atual, são colocados a nossa disposição. Portanto, na medida do que consideramos possível fazer,

apresentamos este módulo. Ao escrevê-lo, em uma linguagem clara e objetiva, visamos, sobretudo,

facilitar e democratizar o acesso ao estudo da Física. Tornar esse estudo cada vez mais agradável é

nosso principal objetivo.

Com o intuito de otimizar a utilização deste material sugerimos as seguintes orientações:

TÓPICOS DE FÍSICA

I

Ciências Naturais

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i. Ler atentamente cada tópico de interesse, anotando as eventuais dúvidas para poste-

rior esclarecimento.

ii. Recorrer, quando necessário, à bibliografia recomendada para consulta e aprofunda-

mento.

iii. Contextualizar os conceitos relacionando-os a sua experiência.

iv. Problematizar o conteúdo, formulando questões que sejam decorrentes da leitura rea-

lizada ou aquelas que atendam a sua curiosidade.

v. Tentar solucionar as questões selecionadas dentro dos padrões de formalidade estu-

dados.

Tentar resolver os problemas propostos no texto.

Ciências Naturais

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Tabela formatada

Resumo da Unidade 1. : nesta unidade, trataremos da conceituação de vetores e

Escalares, bem como da aplicabilidade do estudo de vetores na resolução de problemas;

estudaremos, também, os aspectos inerentes ao movimento em uma dimensão e ao movi-

mento em um Plano.

Resumo da Aula 1.1: nesta aula, você aprenderá a diferenciar vetores de escalares; a

realizar operações com vetores utilizando o método geométrico e o método analítico; a

aplicar esses métodos na resolução de problemas

Vetores e Escalares e Cinemática da Partícula.

A Física clássica é a parte da Física que abrange, de modo geral, os conhecimentos e teorias

incluídos na Física até os fins do século XI, e se caracteriza por uma formulação teórica baseada nos

conceitos e princípios da Mecânica Clássica (newtoniana) e do eletromagnetismo maxwelliano. A

Mecânica, por sua vez, se divide em três partes:

Cinemática- Estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com suas causas.

Dinâmica- Estuda o movimento dos corpos levando em consideração as suas causas.

Estática- Estuda os corpos em repouso.

Iniciaremos este capítulo com o estudo de vetores, tendo em vista a importância desse estudo

para o entendimento de conteúdos posteriores.

Estudo dos Vetores

Tudo que pode variar quantitativamente constitui uma grandeza física. As grandezas físicas

são classificadas em escalares e vetoriais. Os vetores são grandezas que, para serem caracterizadas,

exigem a especificação de um módulo, uma direção e um sentido e que se combinam segundo certas

Unidade

I

Au-la

Ciências Naturais

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regras. São exemplos de grandezas vetoriais: força, velocidade, aceleração, intensidade de campo

elétrico e indução magnética.

As grandezas que ficam bem caracterizadas apenas por um número e uma unidade, tendo

conseqüentemente apenas um valor numérico, são denominadas escalares. São exemplos de grande-

zas escalares: massa, comprimento, tempo, densidade, energia e temperatura. Os escalares são regi-

dos pelas regras da álgebra ordinária.

Notação de um vetor

Um vetor será denotado por uma seta sobre a letra que o representa, . Este símbolo repre-

senta todas as características do vetor, a saber: módulo, direção e sentido. Quando interessar seu

módulo por | |. Em muitas situações, por conveniência e simplicidade, em se tratando de nos refe-

rirmos, unicamente, ao módulo de um vetor, o representaremos por uma letra desprovida da seta e

das barras que denotam o módulo. Assim, por exemplo, o módulo do vetor qualquer será indicado

apenas pela letra .

OPERAÇÕES COM VETORES

Como já fizemos referência, anteriormente, as operações com vetores não obedece às regras

das operações com escalares, e sim às regras especiais.

Adição de vetores pelo método geométrico

Dados os vetores e , como mostra a fig.1. O vetor soma, representado por = + , é obtido

ligando-se a origem do vetor , à extremidade do vetor .

Figura 1

Considere os vetores e . veja a fig.2. O vetor soma = + pode ser obtido da seguinte ma-

neira: traça-se uma paralela ao vetor pela extremidade de . Em seguida traça-se uma paralela ao

��

�� 𝑟 𝑟 = �� + ��

Ciências Naturais

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Tabela formatada

vetor pela extremidade de Finalmente, liga-se a origem comum dos vetores e ao ponto de

encontro das paralelas traçadas. Este último segmento traçado é o vetor soma ou resultante . Neste

caso, o módulo do vetor resultante pode ser encontrado aplicando-se a lei dos co-senos: ²= ² +

² + 2abcosα. Se os vetores e fossem perpendiculares se aplicaria o teorema de Pitágoras: ²=

²+ ². O procedimento acima é conhecido como regra do paralelogramo.

Figura 2

Vale salientar que o método geométrico de adição de vetores pode ser utilizado para mais de

dois vetores.

O módulo de um vetor é a intensidade ou medida do mesmo, tomada em determinada unida-

de, com escolha adequada de uma escala.

Subtração de vetores

Dados os vetores e , = - = +(- , onde o vetor – tem mesmo módulo e direção do

vetor b, mas de sentido oposto. Veja fig.3.

Figura 3

��

- ��

- ��

�� - 𝑏

Ciências Naturais

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Adição de vetores pelo método analítico.

O método analítico consiste em decompor vetores em relação a um sistema de coordenadas

particular.

Vamos considerar inicialmente a decomposição de vetores no plano. Observe a fig.4.

Para obter as componentes do vetor , traça-se pela extremidade do vetor perpendiculares

aos eixos e . Estas perpendiculares determinam nos eixos coordenados e , que são as

componentes do vetor Este método pode ser estendido para vetores no espaço tridimensional. As

componentes de um vetor são escalares. Um vetor pode ter várias componentes. Basta observar que

um vetor pode mudar de direção.

Observando a fig.4, é fácil perceber que =| | e = | | e | |² = ²+ ². O ân-

gulo α que a direção do vetor forma com o eixo pode ser encontrado pela relação, tgα = / ,

donde, temos, α= arctg ( / ).

Para a adição analítica de vetores, (Resnick, 1978, p.21) explicita a seguinte regra:

Decompomos cada vetor em um sistema dado de coor-

denadas; a soma algébrica das componentes, ao longo de

cada eixo, é a componente do vetor soma ao longo da-

quele eixo; o vetor soma pode ser reconstruído, uma vez

que suas componentes são conhecidas. Este método de

adicionar vetores pode ser generalizado para qualquer

número de vetores e para um espaço tridimensional.

��

y

𝑣𝑦 𝑣

α

𝑣𝑥 0 x

Ciências Naturais

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Tabela formatada

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1- Um vetor forma um ângulo de 30° com o eixo o vertical conforme mostra a

fig.5. Sabendo que | |= 10m, determine as componentes escalares do vetor

SOLUÇÃO

Observando a figura 5 =

, de onde resulta = 10 = 10

√

= 5√ m.

Para encontrar a componente , temos =

, que fornece = 5m.

Figura 5

2- Sabendo que as componentes escalares do vetor são = 4m e 4√ m,

determine o ângulo α que o vetor forma com a sua componente . Observe a fig.6.

Figura 6

SOLUÇÃO

Ciências Naturais

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Note, que o cálculo da tangente do ângulo α, é o caminho mais curto para se resolver a ques-

tão. Assim, =

=

√

= √ . Portanto, α= 60°.

3- Sabendo que o produto escalar de dois vetores é definido por =| ||

, onde α é o ângulo que vetor forma com o vetor , e que o produto vetorial = ,

sendo |= || | , mostre que = e = 0, para qualquer vetor

SOLUÇÃO

= | || | = = ·. O produto escalar pode ser entendido como

o produto do módulo do vetor pela componente do vetor na direção do próprio vetor .

= | || | = · 0= . 0= 0

Note que produto escalar de dois vetores é um escalar. O produto vetorial de

por , que é indicado por é outro vetor. O sentindo do produto vetorial x pode ser

determinado por um procedimento prático, convencionado e conhecido por regra da mão di-

reita. (Resnick, 1978,p.24-25) descreve-a da seguinte maneira: Imagine um eixo perpendicular

ao plano determinado por e e que passe pela origem desses vetores. Envolva este eixo com

os dedos da mão direita, empurre com as pontas dos dedos o vetor para que este se superpo-

nha ao vetor , descrevendo o menor ângulo entre eles, e mantenha ereto o polegar; o polegar

ereto indica o sentido do produto vetorial x

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1-Um vetor ter vários conjuntos de componentes? Justifique a sua resposta.

2-Prove, utilizando o método geométrico, que a adição de vetores goza das propriedades co-

mutativa e associativa.

3-Para se decompor um determinado vetor, a origem deste, obrigatoriamente, tem que coin-

cidir com a origem do sistema de coordenadas considerado? Justifique a sua resposta.

4-Os vetores e formam um ângulo de 30°. Sabendo-se que | |= 4u e | |= 3u, determine

o vetor resultante = + Represente = – e determine | – |.

5-Um vetor forma um ângulo de 60° com o eixo . Determine as componentes do vetor .

Dado | |= 7m.

6-Determine o módulo, direção e sentido do vetor resultante nos casos abaixo:

a)

Ciências Naturais

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Tabela formatada

Dados:

| | = 40 u , | |= 30 u

Dados:

| | = 4 cm , | | = 2 cm e | | = 3 cm

7-No tocante à adição de vetores, o método analítico apresenta alguma vantagem em relação

ao método geométrico? Justifique a sua resposta.

8-Um vetor pode ser escrito em termos de componentes e de vetores unitários. Escreva-o

desta forma considerando um vetor do plano e depois sendo um vetor do espaço tridimensional.

Consulte a bibliografia recomendada neste módulo.

9- Escreva, em linguagem simbólica, a regra para a adição analítica de um número qualquer de

vetores no espaço tridimensional.

Ciências Naturais

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10- Utilizando a regra da mão direita determine o sentido do produto vetorial x e do pro-

duto vetorial x

11-Sejam os vetores e diagonais de duas faces consecutivas de um paralelepípedo retângu-

lo, como mostra a figura abaixo. Calcule: . , x . Determine as compontes do produto vetorial

x . Faça o esboço de uma figura que seja possível visualizar as componentes do vetor x .

Ciências Naturais

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Tabela formatada

Resumo da Aula 1.2: aqui, você aprenderá o significado da velocidade e da

aceleração; descrever as equações do movimento uniformemente variado, bem como, apli-

car essas equações para resolver problemas.

Vetores e Escalares e Cinemática da Partícula.

MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO

OS MODELOS E AS PARTÍCULAS

Os modelos possuem inegável valor aplicativo nas diversas áreas do conhecimento. Os mode-

los são obtidos mediante o chamado processo extrapolação, que consiste, pela conveniência do es-

tudo, em supor, eliminadas ou alteradas, as características físicas e propriedades de determinadas

grandezas, substâncias e máquinas, podendo-se, assim, tornar tudo isso elementos ideais para o que

se objetiva. Velocidade infinita, velocidade zero, alavancas perfeitas, gases ideais e superfícies perfei-

tamente polidas são, entre outros exemplos, modelos usados com muita freqüência na Física. No

momento, interessa-nos as massas reduzidas a um ponto geométrico ou partículas. Vários fenôme-

nos cinemáticos podem ser estudados considerando corpos como partículas. O cálculo de distâncias

interplanetárias, a velocidade atingida por uma bola momentos depois de ser chutada por um atleta,

a velocidade de uma cápsula de artilharia momentos depois do disparo. Nestes exemplos, planetas,

bola e cápsula podem ser consideradas como partículas, onde poderíamos supor, pela conveniência

do estudo, eliminadas a massa destes corpos, como também desprezar determinados movimentos

executados por estes corpos, como possíveis rotações e vibrações. No caso da bola, o provável mo-

vimento giratório que ela sofre, quando do seu deslocamento no espaço, pode ser desprezado. Da

mesma forma, podemos supor eliminado o movimento de rotação que os planetas fazem em torno

de seu eixo. Assim sendo, considerar corpos como partículas constitui um importante recurso aplica-

do à Física no estudo do movimento dos corpos.

Unidade

I

Au-la

Ciências Naturais

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MOVIMENTO, REPOUSO E REFERENCIAL

Todos nós temos, intuitivamente, a ideia de movimento ou de repouso. Dizemos, por exem-

plo, que um ônibus está parado, que o carro está em movimento, falamos que alguém conhecido

acabou de passar por você e atravessou a rua, afirmamos que o pássaro saiu da gaiola e parou em

cima do telhado da casa. De Fato, as sensações e noções relativas ao repouso e movimento estão,

freqüentemente, em nosso cotidiano. No entanto, se dissermos que é possível, ao mesmo tempo, um

objeto está em movimento e em repouso, para muitas pessoas, esta afirmação, pode não fazer o

menor sentido. Em Física, o movimento é relativo ao referencial considerado. Um objeto pode estar

em repouso em relação a determinado referencial e em movimento em relação a outro. Um carro,

por exemplo, com velocidade de 100 km/h. Podemos afirmar que em relação ao condutor do veículo,

o carro está em repouso. O carro não se afasta e nem se aproxima do seu condutor. Isto significa que,

no decorrer do tempo, a posição do carro não varia em relação ao motorista. Assim, em relação ao

motorista, tomado como referencial, o carro está repouso. Contudo, em relação a uma árvore situa-

da na paisagem, agora tomada como referencial, o carro está em movimento, ou mais precisamente,

a posição do carro, em relação à árvore, varia no decorrer do tempo.

Vetor Posição, Deslocamento, Velocidade Vetorial Média e Velocidade Escalar Média

Seja a curva S, mostrada na (fig.1A), a trajetória descrita por uma partícula no plano x0y. O ve-

tor é chamado de vetor posição. Observemos que o vetor posição possui origem coincidente com a

origem do sistema de referência considerado, e extremidade na curva S. Podemos dizer que dado um

ponto da curva existe um vetor posição que nos leva até ele, em determinado instante t do movi-

mento estimado.

(Figura 1A)

r

x 0

s

y

Ciências Naturais

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Tabela formatada

A (fig.2A) mostra a partícula se deslocando do ponto A para o ponto B, percorrendo um espa-

ço ∆s. A posição da partícula no ponto A, no instante t₁, é caracterizada pelo vetor posição ₁ e no

ponto B, no instante t₂, pelo vetor posição ₂. O vetor deslocamento no intervalo de tempo ∆t = t₂ –

t₁ consumido é dado por ∆ = ₂- ₁. Vale salientar que o deslocamento é um vetor, necessitando, por-

tanto, de módulo, direção e sentido para ser caracterizado. É Importante notar que ∆s |∆ |.

Figura 2 A

O vetor velocidade média, representado por , é a razão entre o deslocamento ∆ e o inter-

valo de tempo ∆t correspondente: = ∆ ⁄ ∆t. O módulo do vetor velocidade média da partícula

(fig2A) é dado pelo quociente |= |∆ |⁄ ∆t. Este é expresso em unidade de distância dividida por

unidade de tempo. Por exemplo, metro por segundo ou quilômetro por hora. O vetor velocidade mé-

dia tem a direção e sentido do deslocamento.

A velocidade escalar média de uma partícula é a razão entre o espaço ∆s percorrido pela

mesma, e o intervalo de tempo correspondente ∆t, em símbolos, =

· É oportuno perceber a

distinção entre os conceitos de velocidade vetorial média e velocidade escalar média. Essa diferença

reside no fato de que o cálculo da velocidade vetorial média envolve o vetor deslocamento total ∆ ,

enquanto o cálculo da velocidade escalar média envolve o espaço total percorrido ∆S.

O cálculo da velocidade média de uma determinada partícula, quer seja trata-se de velocidade

escalar ou vetorial, não oferece muitos subsídios a respeito do movimento, tendo em vista as grande-

zas envolvidas, espaço total percorrido ou deslocamento total e tempo total Assim sendo, por exem-

plo, não é possível saber se movimento foi uniforme ou variado; se a partícula percorreu uma trajetó-

ria curvilínea ou retilínea. A seguir, estudaremos o conceito de velocidade instantânea. O cálculo da

velocidade instantânea vai possibilitar muito mais detalhes sobre o movimento.


Ciências Naturais

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1- Calcule a velocidade escalar média de uma partícula que se move ao longo de um de arco

de circunferência de raio R=0,5m. Sabe-se que a partícula leva 3s para realizar o referido percurso.

SOLUÇÃO

Como a trajetória descrita pela partícula é um arco de circunferência, o espaço total percorri-

do é dado por ∆S= 2∏R. Como R=0,5m, ∆S=2. ∏. 0,5m= ∏m. Portanto, =

=

m ⁄s.

2-(FGV-SP) Numa corrida de Fórmula 1 a volta mais rápida foi feita em 1 minuto e 20 segun-

dos, a uma velocidade média de 180

. Qual o comprimento da pista em metros?

SOLUÇÃO

Primeiramente, vamos tornar as unidades, envolvidas no problema, consonantes com o sis-

tema MKS. Assim, temos t= 80s e = 50

· Chamando de d o comprimento da pista, teremos,

d=50.80= 4000m.

3-Um caminhão vai de uma cidade A para uma cidade B, em 2h, com uma velocidade de 50

km/h, e da cidade B até uma cidade C, em 3h, com uma velocidade de 60 km/h. Qual é a velocidade

escalar média desenvolvida pelo caminhão no percurso da cidade A até a cidade C?

SOLUÇÃO

Vimos que a velocidade escalara média é definida por =

, onde d é a distância total percor-

rida e t é o tempo total gasto para percorrê-la. Precisamos calcular a distância total percorrida pelo

caminhão da cidade A até a cidade C. Inicialmente, calculemos a distância no trecho AB. Vamos cha-

má-la de É fácil ver que = . ; onde

é a velocidade escalar média do caminhão

no trecho AB e é tempo gasto pelo caminhão para percorrer o trecho AB. Assim, temos = 50.

2= 100 km. Vamos, agora, calcular . Analogamente, temos que = . = 60. 3= 180 km.

Observemos que d= + = 100 + 180 = 280 km e t= + = 2 + 3 = 5h. Portanto,

=

=

=

= 56 km/h.

EXERCÍCIO PROPOSTOS

Ciências Naturais

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Tabela formatada

1-A (fig.2A) mostra o movimento de uma partícula ao longo de uma curva S situada no plano

x0y. Ela se move do ponto A para o ponto B, percorrendo um espaço ∆s. A posição da partícula no

ponto A, no instante t₁, é caracterizada pelo vetor posição ₁ e no ponto B, no instante t₂, pelo vetor

posição ₂. Mostre utilizando a adição de vetores pelo método geométrico, que o vetor que repre-

senta o deslocamento da partícula é dado por ∆ = ₂- ₁.

2-(FUVEST-SP) Após chover na Cidade de São Paulo, as águas da chuva desceram do rio Tietê

até o rio Paraná, percorrendo cerca de 1000 km. Sendo 4

a velocidade média das águas, em quan-

tas horas, o percurso mencionado será cumprido pelas águas?

CONCEITO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Na seção anterior, vimos o que significa a velocidade escalar média de uma partícula. Enfati-

zamos, também, que o cálculo desta velocidade não nos fornece maiores informações sobre o movi-

mento. Em determinado percurso, por exemplo, uma partícula pode sofrer alterações em sua veloci-

dade; seu valor pode permanecer constante por algum tempo, diminuir ou aumentar em outros ins-

tantes, de maneira que se tivermos somente a informação de que a partícula completou determina-

do trajeto de 100 quilômetros em duas horas, nenhum dado ou registro nós teríamos a respeito da

velocidade da partícula nos instantes intermediários; apenas, poderíamos afirmar que a velocidade

escalar média da partícula foi de 50 km/h. Lembrando, ao leitor, que a velocidade escalar média de

uma partícula é por definição a razão entre o espaço total percorrido e o intervalo de tempo decorri-

do correspondente.

Estudar o movimento de uma partícula é determinar, em cada instante, os elementos cinemá-

ticos que lhes são inerentes, ou seja, em cada momento, do movimento estudado, encontrar a posi-

ção da partícula, sua velocidade e aceleração. A determinação da velocidade instantânea, como já

dissemos, confere um maior detalhamento de dados sobre o movimento. Vale, ainda, ressaltar e

lembrar que quando falamos em velocidade instantânea, estamos nos referindo a uma grandeza ve-

torial com todas as características lhes são próprias: módulo, direção e sentido; ainda que estas ca-

racterísticas não estejam explícitas no contexto. Quando fizermos referência à velocidade escalar

média ou à velocidade escalar instantânea, estamos, também, diante de uma grandeza vetorial, no

entanto, estamos fazendo menção ao valor absoluto ou módulo da velocidade considerada. A veloci-

dade escalar instantânea se refere ao valor ou intensidade da velocidade em um determinado instan-

te. O condutor de um veículo, por exemplo, pode olhar para o velocímetro e observar o valor da ve-

locidade indicada. Este valor de momento é a intensidade ou módulo da velocidade instantânea.

Uma abordagem mais aprofundada da velocidade instatânea envolve o conceito de derivada,

tema trabalhado na Matemática superior e que está fora dos objetivos deste texto.

Ciências Naturais

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ACELERAÇÃO MÉDIA E A ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA DE UMA PARTÍCULA

A aceleração é uma grandeza física vetorial decorrente da variação da velocidade. Se a veloci-

dade de uma partícula sofre variação no decorrer tempo, dizemos que a partícula está acelerada ou

que ela possui determinada aceleração. Consideremos, agora, uma partícula se que se move com

velocidade variável. Suponhamos que, no instante t₁, ela esteja no ponto A, com velocidade ₁, e no

instante t₂, alcance o ponto B, com velocidade ₂. A aceleração média da partícula, durante o movi-

mento de A para B é definida pelo quociente entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo

correspondente. A aceleração média é um vetor, pois, é obtida da divisão do vetor ∆ pelo escalar ∆t.

Será denota denotada por =

=

(5)

Notemos que o cálculo da aceleração média, não nos permite maiores informações sobre o

movimento. Como por exemplo, não é possível determinar outros valores da aceleração da partícula

nos pontos intermediários, ou seja, para t no intervalo (t₁; t₂). Por esta razão, recebe a denominação

de aceleração média.

A aceleração instantânea é a aceleração da partícula em determinado instante t. Calcular a

aceleração instatânea é determinar a variação da velocidade ocorrida em um determinado instante

puntual t. Pelos mesmos motivos, já explicitados anteriormente, uma abordagem mais precisa da

acelaração instantânea não será realizada neste texto.

A aceleração é expressa em unidades de velocidade dividida por unidade de tempo. O que

equivale à unidade de distância por unidade de tempo ao quadrado. Por exemplo: m| , km|

cm| .

ACELERAÇÃO EM UMA DIMENSÃO

Analogamente, ao que fizemos para definir o vetor velocidade, a aceleração em uma dimen-

são será a aceleração que se realiza ao longo de um dos eixos coordenados: eixo das abscissas ou

eixo das ordenadas. Nesta seção trataremos da aceleração ao longo do eixo das abscissas ou acelera-

ção na horizontal. Exite a aceleração bidimensional, esta se realiza simultaneamente ao longo do eixo

das abscissas e do eixo das ordenadas. A aceleração bidimensional será estudada posteriormente.

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO: ACELERAÇÃO CONSTANTE

Consideremos uma partícula se deslocando com velocidade variável em uma trajetória retilí-

nea (o eixo ). Suponhamos que sua velocidade varie uniformemente com o tempo. Dizemos que a

partícula possui aceleração constante, e ainda, que para qualquer intervalo de tempo, a variação da

velocidade é uniforme. Não é difícil perceber que sendo a aceleração constante, a aceleração média é

igual à aceleração instantânea para qualquer intervalo de tempo.

Ciências Naturais

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Tabela formatada

Seja a velocidade da partícula no instante t₁=0, e v a velocidade da partícula em um instan-

te posterior t₂=t#0. A aceleração a é assim definida: a = ∆ : ∆t= (v - ) ⁄ t-0. Resolvendo esta equação

para v, obtemos v = + at (6). Sendo a aceleração constante, vale a seguinte equação: v = ( + v)

⁄2 (7). A equação (7) é a velocidade média v entre t=0 e t=t

A posição da partícula pode ser obtida pela relação s= + vt (8)

A partícula ocupa a posição para t=0 e à posição s para o instante t=t. Substituindo o valor

de v obtido na equação (7 ), na equação (8 ), resulta,

s= + t ( + v ⁄2 (9)

Agora, substituindo v da equação (6), na equação (9), logo,

s= + t + 1⁄2 (a (10)

Finalmente, resolvendo a equação (6) para t, e substituindo na equação (9), encontramos,

= + 2a( s- ) (11)


1-Um avião parte do repouso, e percorre, antes de levantar vôo, 1 km da pista com uma ace-

leração constante de 60

. Calcule a velocidade do avião ao decolar.

SOLUÇÃO

O problema relaciona ∆s = s- s₀ v São dados: a

, =0 e ∆S =1 km=1000m. Pede-

se encontrar v . Portanto, devemos utilizar à equação (14), = + 2a(s- s₀). Substituindo

nesta equação os devidos valores, teremos: = 2.60.1000, que resulta v 346,41

·.

2- No momento em que o velocímetro de uma automóvel marca 72

, o motorista percebe

um obstáculo a sua frente e aciona os freios. Sabendo-se que o carro pára após percorrer 10 metros, determine a aceleração ocasionada pelos freios. (b) Qual o intervalo de tempo decorrido durante a desaceleração?

SOLUÇÃO

Este problema envolve, também, à aplicação da equação (14), = + 2a . Neste caso te-

mos:v = 0, = 10m e = 72

= 20

. Pede-se encontrar Portanto, fazendo às devidas substi-

tuições, na equação (14), obtemos: 0 = 10. Donde resulta a=-20

Ciências Naturais

18

Para calcular o tempo de desaceleração, sabendo que v=0,

e a=-

20

que a equação (9) v= +at é a mais indicada. Assim, resolvendo-a para t

e substituindo os valores correspondentes à v, e a, teremos, t=v- , donde resulta t=

= 1s.

FUNÇÕES DA VELOCIDADE EM FUNÇÃO DO TEMPO

No movimento uniformemente variado a expressão v = + at define as funções da velocida-

de em função do tempo. Esta função nos fornece a cada instante t o valor da velocidade em determi-

nado movimento.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Um movimento se realiza obedecendo a seguinte expressão da velocidade: v = 6 + 5t. Seja o

MKS o sistema de unidades adotado. Determine as seguintes informações acerca do movimento:

a) A velocidade inicial do móvel.

b) A aceleração do móvel.

c) A velocidade do móvel, no instante t = 8s

d) O tipo de movimento.

SOLUÇÃO

a) A velocidade inicial do móvel é de 6m/s.

b) A aceleração é a= 5m/ .

c) No instante t=8s, temos v= 6 + 5.8= 46m/s

d) O movimento é o MRUV. Observemos que o módulo da velocidade vai aumentando no de-

correr do tempo, logo o movimento é acelerado.

EXPRESSÃO DA POSIÇÃO EM FUNÇÃO TEMPO NO MRUV

Ciências Naturais

19


Tabela formatada

A expressão s= + t + 1⁄2 (a nos fornece a cada instante t a posição do móvel em certo

movimento.


A cada instante t, a posição de um móvel é dada pela expressão s= 6+ 4t + 5 . Adote o MKS

como o sistema de unidades a ser utilizado. Determine as seguintes informações acerca do movimen-

to:

a) Espaco inicial e velocidade inicial do móvel.

b) A aceleração desenvolvida pelo móvel.

c) A variação do espaço nos 4s iniciais.

d) a expressão da velocidade em função do tempo.

SOLUÇÃO

a) Temos = 6m e = 4m/s. Estes são, respectivmente, o termo idependente de t e o coefi-

ciente de t.

b) Notemos 1⁄2 a = 5, logo temos a = 10m/ .

c) A variação do espaço é dada por ∆s = s - . Do item (a) temos = 6m. Vamos, agora, calcu-

lar o valor de s em t=4s. Substituindo t=4s em s= 6+ 4t + 5 , teremos s= 6 + 4.4+ 5. = 102m.

Portanto, ∆s= 102m – 6m = 96m.

d) Dos itens (a) e (b) obtemos = 4m/s e a = 10m/ . Logo, temos a seguinte expressão da

velocidade: v= 4 + 10t. Observemos que o módulo da velocidade vai aumentando no decorrer tempo.

Trata-se, portanto, de um movimento acelerado.

GRÁFICO DA VELOCIDADE EM FUNÇÃO DO TEMPO NO MRUV

As funções da velocidade em função do tempo são definidas por v(t)= +at. O gráfico de v x t, no MRUV, se apresenta como mostra a figura abaixo. A declividade da reta é definida pela tangente

do ângulo α, o que nos fornece a aceleração constante do movimento: = a

=

Ciências Naturais

20

GRÁFICO DA POSIÇÃO EM FUNÇÃO TEMPO NO MRUV

As funções da posição em função do tempo são definidas por s (t) = + t + 1⁄2 (a O gráfico de s x t, no MRUV, se apresenta como mostra a figura abaixo. A declividadde da reta tangente ao ramo de parábola, nos fornece a velocidade em cada instante t do movimento. Esta velocidade é denominada de velocidade instantânea. É importante notar que quanto mais o ângulo α tender para 90 graus, mais a declividade, da reta tangente à curva, cresce e, quanto mais o ângulo α tender para zero grau, mais a declividade decresce.

Ciências Naturais

21


Tabela formatada

EXERCÍCIO PROPOSTO

1- (Resnick,1978, p.56) um méson é disparado com uma velocidade constante de 5 X , em uma região onde um campo elétrico produz sobre o méson uma aceleração de 1,25 X , na mesma direção e sentido contrário à velocidade inicial. Que distância o méson percorrerá até parar? Quanto tempo o méson levará para parar?

Ciências Naturais

22

Resumo da Aula 3.1: nesta aula, você será capaz de descrever o movimento

queda livre, utilizar, adequadamente, as equações desse movimento na resolução de pro-

blemas; resolver problemas relacionados ao movimento de um projétil.

Vetores e Escalares e Cinemática da Partícula

MOVIMENTO EM QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO NA VERTICAL

Consideremos um corpo sendo abandonado de uma determinada altura da superfície terres-

tre. Desprezando a resistência do ar e alguma pequena variação da aceleração com a altitude; o mo-

vimento do corpo, sobre essas condições ideais,é chamado movimento em queda livre. A aceleração

do corpo na queda permanece constante e seu módulo igual à aproximadamente g=9,8m⁄ , não

importando o peso e a constituição desse corpo. Isto ocorre para os casos em que a altura que se

encontra o corpo não seja muito grande.

Tomemos o plano cartesiano x0y como sistema de referência convenientemente ligado a ter-

ra. Assim, o movimento do corpo em queda livre se dará ao longo do eixo . O vetor aceleração da

gravidade, , apontará verticalmente para o centro da terra e terá mesma orientação, por conveni-

ência, do eixo . Para cima sentido positivo e para baixo (significando para o centro da terra) senti-

do negativo. Assim, convencionando o sentido de percurso da trajetória como positivo para cima, o

vetor acelaração da gravidade apontará sempre para o centro da terra, sentido negativo, mudando

apenas o sinal da velocidade escalar. No movimento queda livre temos a velocidade escalar negativa

e a aceleração escalar negativa. No movimento vertical, no caso em que o corpo é lançado vertical-

mente para cima, temos a velocidade escalar positiva e a aceleração escalar continua negativa. Por

fim, com a orientação que nós estabelecemos para a trajetória, a aceleração escalar será sempre ne-

gativa e a velocidade escalar será positiva para cima e negativa para baixo ( sentido negativo do

xo .

Unidade

I

Au-la

Ciências Naturais

23


Tabela formatada

Seguem, abaixo, as equações do lançamento na vertical. O sinal negativo de g está consonan-

te com a convenção de sinal por nós estabelecida.

= -gt,

y=

(

+ )t,

y= -

g

=

– 2gy,

Vale ressaltar, que como o movimento na vertical se dá com aceleração constante, podemos,

aqui, utilizar as equações do movimento retilíneo uniformemente variado. As equações acima descri-

tas foram obtidas das equações do MRUV fazendo a substituição a=-g, trocando s por y e introduzin-

do o índice y .

Ao movimento que se realiza ao longo do eixo y e é dotado de certa velocidade inicial , es-

tamos denominando de lançamento na vertical. Notemos que o movimento em queda livre difere do

lançamento na vertical, por apresentar velocidade inicial igual a zero.


1- Um objeto é lançado verticalmente para cima, Partindo do chão, com uma velocidade de

. Em que tempo ele atinge a altura máxima? Adote g =

SOLUÇÃO

Quando o objeto atinge a altura máxima temos = 0. Sabemos que = , então a

equação = - gt nos fornece t = 15s.

2- Um corpo é largado do alto de um edifício de 20 metros de altura. (a) Qual a velocidade do

corpo ao atingir o solo? (b) Quanto tempo o corpo leva para chegar ao solo? Despreze a resistência

do ar e considere g= 10

.

SOLUÇÃO

Para encontrar o tempo de queda, a equação (13), adaptada ao movimento queda livre, é a

recomendada, y= t -

Resolvendo-a para t e substituindo os valores dados, teremos t = √

=

2s. Para determinar a velocidade do corpo ao atingir o solo, a equação = - gt.

Esta fornece = - 20

.

Ciências Naturais

24


1-Obtenha as equações do movimento em queda livre. Sugestão: faça as substituições e ade-

quações devidas nas equações do movimento unidimensional com aceleração constante.

2-Que velocidade atinge um determinado corpo, após quatro segundos de ter sido largado de

uma altura de cem metros?

MOVIMENTO EM UM PLANO : MOVIMENTO DE PROJETÉIS

A figura 4A mostra o movimento de uma partícula no plano x0y. A partícula descreve uma

trajetória curvilínea. Observemos o posicionamentos dos vetores velocidade e aceleração, represen-

tados, respectivamente, por e . Vemos, também, as componentes destes vetores, escritas em

termos de vetores unitários e .

Figura 4A

MOVIMENTO DE PROJETÉIS

Ciências Naturais

25


Tabela formatada

Trataremos agora, do movimento de projéteis. Este movimento ocorre em um plano perpen-

dicular à trajetória da partícula, e se dá com aceleração constante. Temos nesse caso, a superposição

de dois movimentos, simultaneamente na vertical e na horizontal. Se tomarmos como referência o

plano x0y, o movimento ocorre ao longo dos eixos perpendiculares e . A aceleração desse mo-

vimento permanece constante tanta em direção como em modulo. A componente horizontal da

aceleração é nula, e em conseqüência, ao longo dessa direção, o módulo da velocidade não varia.

Vale lembrar, que o vetor velocidade é em cada ponto tangente à trajetória da partícula. Na direção

vertical, a velocidade varia uniformemente com o tempo, a componente da aceleração é também

constante, aponta para baixo e seu módulo é igual a g= 9,8⁄ .

Uma bala disparada por um canhão, uma bola chutada por um atleta em um jogo de football

e tantos outros eventos com as mesmas características, são casos onde há movimento de projéteis.

A (fig6A) mostra uma partícula sendo lançada de um determinado ponto, por conveniência,

suponhamos que esse ponto seja a origem do sistema de eixos no plano cartesiano x0y; = 0.

A partícula descreve uma trajetória curvilínea. Seja , o vetor velocidade da partícula no instante

t=0, ou seja, o instante em que o projétil é lançado. O vetor faz um ângulo com o semi-eixo

positivo As componentes do vetor são, então e

sen . Chama-

remos estas equações de 15A e 15B respectivamente.

Sendo = 0 e + t, segue = cos =

, isto significa que a velocidade, ao longo

do eixo permanece constante; como se podia esperar.

Ciências Naturais

26

A componente da velocidade, em um instante posterior t=t, ao longo do eixo ode ser

obtida fazendo =-g, na equação, + , (15C) - assim, =

sen . Lembre-se que sen

O módulo do vetor velocidade resultante, em qualquer instante, é dado por:

√

= | | (16)

O ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal, naquele instante, é

= arctg

(17)

A equação (18) x = + +

a componente horizontal da posição da partícula,

em qualquer instante, fazendo = 0, e = 0, pois sabemos que a componente

horizontal da aceleração é constante e igual a zero, e que a partícula partiu do repouso, = 0,

em t= 0. Assim, x = t = )t. (19)

Em relação à componente da posição da partícula, ao longo do eixo , substituímos = 0,

= -g e sen , na equação (20), y = +

t +

e obtemos,

Y = sen t -

(21)


1-Uma bala é disparada por um canhão sob um ângulo de com a horizontal e com veloci-

dade inicial de Qual o alcance da bala? Em quanto tempo ela o atinge? Considere

g

Fazendo y=0, = =

na equação (21), Y = sen t -

Temos então, 0= 50 t - 5 , donde, 0 = 5 t (10 – t). O que fornece, 5 t =0 ou 10 – t = 0, ou equivalen-

temente, t = 0 ou t = 10. Portanto, t = 10s é o resultado que nos convém. Isto significa que a bala leva

um tempo de 10s para atingir o solo.

O alcance horizontal da bala é dado pela equação (19), x = t = )t. Substituindo

nesta equação, t = 10s e = 100.

√

, obtemos x = 866 m.

2- Uma esfera rola sobre uma mesa horizontal, abandonando-a com velocidade horizontal

, e toca o solo após

√

s, num ponto situado a 10 metros da mesa. Dado g=

: (a) A

altura da mesa. (b) A velocidade .

Ciências Naturais

27


Tabela formatada

SOLUÇÃO

Como =0, a equação a ser aplicada para o cálculo da altura da mesa assume a seguinte

forma: Y=

. Substituindo, nesta equação, os valores de g e t, obteremos y= 2m.

Como =1 e x=10m, a equação x = nos fornece = 5√ . Notemos

que é a medida do ângulo que o vetor forma com a horizontal.


1- Mostre que o movimento de um projétil descreve uma trajetória parabólica.

2- Um projétil é lançado do solo sob um ângulo de com a horizontal e com velocidade ini-

cial de Considere g . Calcule:

a. A altura máxima alcançada.

b. A posição do projétil no instante 4s.

c. O tempo que o projétil permanece no ar.

d. O alcance.

e. A velocidade do projétil em 2s.

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Consideremos uma partícula se deslocando ao longo de uma circunferência. Temos aí, um

exemplo de movimento em que a velocidade e a aceleração da partícula permanecem constantes em

módulo, mas variam continuamente em direção. É importante notarmos, que as equações do Movi-

mento Uniformemente variado não podem ser aplicadas para o movimento circular uniforme, pois

este não se dá com aceleração constante, embora esta, como já dissemos, permaneça constante em

módulo. Como a aceleração e velocidade são vetores, as variações de direção, que aí ocorrem, de-

vem ser consideradas. Portanto, o movimento circular uniforme não se dá com aceleração constan-

te. No MCU o vetor velocidade é sempre tangente á trajetória e aponta no sentido do movimento. O

vetor aceleração tem sempre a direção radial e sentido da periferia para o centro. Por isso, é deno-

minada de aceleração radial ou centrípeta. A aceleração centrípeta pode ser obtida, aproximada-

mente, pela relação : =

.


Ciências Naturais

28

1-Um automóvel se desloca em uma trajetória circular com uma velocidade de ⁄ . Sa-

bendo-se o raio trajetória percorrida pelo automóvel é de 5m, qual é a intensidade da aceleração

desenvolvida por ele?

Evidentemente, o que se pede é o módulo da aceleração centrípeta. Assim sendo, temos,

|= (

)

= 980


1- No movimento circular uniforme existe relação fixa geral entre as direções dos vetores

? Há movimento na direção do vetor aceleração?

Ciências Naturais

29


Tabela formatada

Resumo da Aula 2.1: nesta aula, trataremos de estudar os conceitos de força e

massa e de enunciar a 1ª e a 2ª leis do movimento de Newton.

Resumo da Unidade 2: nesta unidade, você terá oportunidade de estudar as leis do

movimento de Newton e suas aplicações.

Dinâmica da Partícula: caso sem atrito e com atrito.

DINÂMICA DA PARTÍCULA

No capítulo anterior, fizemos o estudo de Cinemática; esta, como vimos, busca descrever

o movimento sem se preocupar com suas causas determinantes. Abordamos o movimento de uma

partícula em uma dimensão e no plano. Neste capítulo discutiremos o que ocasiona o movimento,

preocupação da parte da Mecânica chamada Dinâmica. Restringiremos nosso estudo, a objetos

grandes que se movam com velocidades muito menores que a da luz, com o objetivo de não extra-

polarmos o domínio da Mecânica Clássica. O movimento de partículas com velocidades muitíssimo

elevadas nos envolveria com a teoria quântica ou com a teoria da relatividade. A Mecânica Clássica

constitui um caso especial dessas teorias.

O movimento de uma partícula é determinado pela natureza e pela disposição de outros

corpos, que constituem sua vizinhança, ou seja, os corpos mais próximos da partícula apreciada.

Aqueles mais distantes exercem efeitos sobre a partícula que, muito freqüentemente, podem ser

considerados como desprezíveis. Uma mola, uma corda, uma superfície áspera, uma barra magnéti-

ca, a terra, são exemplos de corpos que poderão compor uma determinada vizinhança.

Conceito de força

No senso comum, chamamos de força, um puxão ou um empurrão que se imprime a um de-

terminado objeto. Cientificamente, à luz da Física, força é definida uma grandeza vetorial. Isto signi-

Unidade

II

Au-la

Ciências Naturais

30

fica, portanto, além de necessitar de módulo, direção e sentido para ser especificada, precisa se

submeter às leis da adição vetorial, já estudadas por nós, no capítulo sobre vetores.

PRINCÍPIO DA INÉRCIA OU PRIMEIRA LEI DE NEWTON

Alguns estudiosos, antes da época de Galileu, acreditavam que para manter um corpo em

movimento, como por exemplo, mover-se em uma linha reta com velocidade constante, fosse

necessário que algum estímulo externo atuasse continuamente sobre ele, caso contrário, o corpo

naturalmente pararia. Galileu mostrou que se pusesse um determinado corpo de prova a deslizar

em uma suposta superfície plana horizontal rígida e perfeitamente polida, ele manteria seu esta-

do de movimento com velocidade constante, não necessitando, portanto de nenhuma outra força

para que ele assim permanecesse. Este fato foi integralmente aproveitado por Isaac Newton e

constituiu a sua primeira lei do movimento, assim enunciada:

Se a força resultante sobre um corpo é nula, este permanece em repouso ou em movi-

mento uniforme.

Ou equivalentemente,

Todo corpo tende a permanecer em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo

uniforme, a menos que alguma força venha modificar tal estado.

Importante notar, em termos de implicação, que na primeira lei, não existe diferença en-

tre a ausência de quaisquer forças e a presença de forças cuja resultante seja nula.

SEGUNDA LEI DE NEWTON

A resultante das forças que atuam em um corpo é igual ao produto de sua massa pela ace-

leração adquirida. Em símbolos, = m. (22)

A Equação (22) é denominada de equação fundamental da Mecânica Clássica. Escrevendo-

a em termos das componentes escalares de (força resultante) temos:

= m. , = m. , = m. (23)

Ciências Naturais

31


Tabela formatada

Resumo da Aula 2.2: aqui você aprenderá a enunciar a terceira lei de Newton e

a aplicá-la na resolução de problemas.


TERCEIRA LEI DE NEWTON

A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção e senti-

dos contrários.

SISTEMA DE UNIDADES MECÂNCAS

No sistema MKS a unidade de força e o Newton (N), a unidade de massa é o quilograma

(kg). No CGS, a unidade de força é o dina, símbolo, dyn.

Um dina (1dyn) é igual a N

Um Newton é a força capaz de provocar uma aceleração de ⁄ em uma massa de 1

kg.


Exemplo 1

Um corpo de massa 10 kg é colocado em movimento em uma superfície horizontal plana e

lisa, com velocidade inicial de Qual a intensidade e o sentido da força resultante que de-

ve ser exercida sobre o corpo, para pará-lo em 10s.

Pela segunda lei de Newton, = m. ; a aceleração desenvolvida pelo corpo pode ser cal-

culada pela relação, = + ; substituindo

= , t=10s e resolvendo-a para

, resulta = Assim, = 10. (-5) = -50 N.

Unidade

II

Au-la

Ciências Naturais

32

Portanto, a intensidade da força é igual a 50N e tem sentido oposto ao movimento do

corpo, é o que indica o sinal negativo de

Exemplo 2

Um bloco de massa colocado sobre um plano inclinado de , está ligado por uma

corda, que passa sobre uma polia sem atrito, a um segundo bloco de massa suspenso verti-

calmente (fig. 7A). Suponhamos que a componente horizontal do peso do corpo de massa seja

maior que o peso do corpo de massa (a) Qual a aceleração de cada bloco?

Seja A, o corpo de massa e seja B a denominação do corpo de massa . Vamos anali-

sar a vizinhança de cada bloco, ou seja, vamos identificar as força que atuam em cada bloco e tra-

tá-los separadamente. Como o bloco A desce e o bloco B sobe.

Para o bloco A:

= gsenα – t = , = 0, pois o peso do bloco A anula a normal. Isto é N- = 0

=

Para o bloco B: e t - . Observe que

= =

Somando membro a membro as equações acima temos,

- )g = + ) , o que resulta, =


Ciências Naturais

33


Tabela formatada

1- Um corpo de massa m é abandonado sobre um plano liso inclinado cujo ângulo com a ho-

rizontal é . Considere g= A- Mostre que a aceleração independe da massa do corpo.

B- Determine a intensidade da reação normal de apoio.

2- Um bloco de massa m= 50 kg é empurrado em um plano inclinado perfeitamente liso,

exercendo-se sobre ele uma força de 100N. Determine a aceleração do bloco. Sabe-se que o pla-

no inclinado forma com a horizontal um ângulo de . Adote g = .

3- Na (fig.8A) os corpos A e B têm massas iguais a m. O plano inclinado é perfeitamente liso e

forma com a horizontal um ângulo de . Determine a aceleração do sistema e a tensão no fio.

4- Um passageiro de massa m =70 kg está num elevador que desce verticalmente com acele-

ração constante de Qual e módulo da força que o peso do elevador exerce no passagei-

ro?

5- Um bloco de massa m= 5 kg, desliza sobre um plano horizontal perfeitamente liso (fig.9A).

Qual a aceleração do corpo? Sabe-se que módulo de é 20N e que o módulo de é 4N.

Ciências Naturais

34

6- Uma esfera de massa m= 4 g, está suspensa por um fio. Sobre ela aplica-se uma força hori-

zontal de modo que o fio faça um ângulo de em repouso. Qual o módulo dessa

força? Qual a tensão no fio?

Ciências Naturais

35


Tabela formatada

Resumo da Aula 2.3: nesta unidade, você aprenderá a resolver problemas de

dinâmica da partícula em situações que envolvam o atrito.


FORÇA DE ATRITO

O Atrito é uma força que atua paralelamente à interface comum de corpos em contato e

sempre se opõe ao movimento. Quando um corpo está em repouso relativo sobre um plano e

tentamos deslocá-lo, a força que o impede de mover-se é denominada de força de atrito estático.

Quando o atrito é provocado por corpos em movimento relativo, a força de atrito é denominada

de atrito cinético.

Quanto mais ásperas forem as superfícies, maior será o atrito entre elas. Embora o atrito

provoque desgastes e deformações em muitos materiais e superfícies, é indiscutível sua utilidade

no nosso cotidiano. Como poderíamos andar, segurar um objeto, andar de automóvel, se o atrito

não existisse? A transmissão de movimento, pelo uso de polias em motores, também não poderia

existir se o atrito não pudesse ser usado. Estes, como tantos outros exemplos, poderíamos citar

para destacar a importância do atrito em nossa vida.

Suponhamos que um corpo esteja em repouso relativo numa superfície plana horizontal e

sofra a ação de uma força . Se aumentarmos a intensidade dessa força tentando colocá-lo em

movimento relativo, aumenta também a força de atrito estático impedindo-o de mover-se. Con-

tinuando assim, as duas forças tende a equilibrar-se. Isto ocorrendo, o corpo fica na iminência de

iniciar o movimento. Neste momento, a força de atrito estático assume o valor máximo, e é de-

nominada de força máxima de atrito estático ( ). A partir desse instante, qualquer acréscimo

que se dê à intensidade de o corpo começa a deslizar.

Portanto, = ,

, significam, respectivamente, o corpo em repou-

so relativo, na iminência de deslizar e em movimento relativo

Quando um corpo está deslizando sobre outro, a força de atrito estático ( deixa de exis-

tir, passando a atuar a força de atrito cinético (

Unidade

II

Au-la

Ciências Naturais

36

As forças de atrito estático e cinético são, respectivamente, definidas por e =

. Onde é o coeficiente de atrito estático e o coeficiente de atrito cinético e , a força

normal. O coeficiente de atrito µ é uma constante de proporcionalidade e uma grandeza adimensio-

nal. Para um par de superfícies secas e não lubrificadas, empiricamente, a força de atrito

é proporcional à força normal ( força que cada corpo exerce sobre o outro, perpendicularmente, à

interface comum) e é aproximadamente, dentro de amplos limites, independente da área de contato.

O valor real do coeficiente de atrito µ depende da natureza das superfícies em contato.


1- Uma força de 6,0 kgf. empurra um bloco que pesa 2,5 kgf. contra uma parede vertical. O

coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é 0,60 e o de atrito cinético é 0,40. Suponha

que inicialmente o bloco esteja em repouso. A) O bloco começará a mover-se? B) Qual a força exerci-

da pela parede sobre o bloco?

A força de atrito estático (fig.10A) é dada por = . Como o bloco está inicialmente em

repouso, temos - =0 e - =0. O que resulta = . Daí segue-se que a intensidade de

é 3,6 kgf. Como a intensidade de é maior do que a intensidade de o bloco permanecerá em re-

pouso. A forca normal (força exercida pela parede sobre o bloco) tem a mesma intensidade

e sentido apontando para fora da parede. |

DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

Um corpo em movimento circular uniforme sofre a ação de uma força que provoca uma

aceleração, de valor aproximadamente dado por =

Pela segunda lei de Newton, essa força tem

módulo, F=ma =m

. A força é responsável pelo movimento circular uniforme, tem direção radial

Ciências Naturais

37


Tabela formatada

Resumo da Aula 3.1: nesta aula, você aprenderá o significado da energia ciné-

tica e energia potencial de um sistema.

Resumo da Unidade 3: aqui, você terá a oportunidade de estudar à energia e entender

como ocorre a sua conservação.

e sentido da periferia para o centro; motivo pelo qual é denominada de força centrípeta. A informa-

ção de que uma força é centrípeta não é suficiente para esclarecermos sobre a natureza da força. A

força centrípeta pode ser de natureza elástica, eletrostática, gravitacional, etc.

TRABALHO E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

TRABALHO E ENERGIA

Trabalho Realizado por uma Força Constante

Quando um corpo de massa m sofre a ação de uma força constante, esta produz nesse corpo,

uma aceleração constante. Assim sendo, nesse caso, para estudar o movimento de um corpo, pode-

mos aplicar as equações do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado estudadas anteriormente.

Lembrando, ao leitor, que esse movimento se dá com aceleração constante. Suponhamos que a força

constante desloque o corpo de uma distância d, ao longo de uma trajetória retilínea. O trabalho

realizado pela força sobre o corpo é definido como produto do módulo da força pela distância d

que o corpo percorreu. Em símbolos,

W= Fd

Quando a força constante não tem o sentido de movimento do corpo. O trabalho reali-

zado por sobre o corpo é definido como o produto da componente da força na direção do deslo-

camento pela distância que o corpo percorreu. Observando a (fig11A) temos, W= (F )d.

Unidade

III

Au-la

Ciências Naturais

38

Um corpo pode sofrer a ação de várias forças. Na situação anterior, fizemos referência ao tra-

balho realizado pela força constante No entanto, se outras forças atuarem no corpo, o trabalho

realizado, por cada uma delas, deve ser calculado separadamente. Assim, podemos dizer que o traba-

lho total realizado sobre corpo é a soma dos trabalhos feitos por todas as forças. Notemos que ne-

nhuma força realiza trabalho sobre um corpo que não se move e que quando α=0°, a expressão ac i-

ma se torna a anterior, W= Fd.

O trabalho realizado sobre determinado corpo pode ser negativo ou positivo. Ele será negati-

vo se a força que atua sobre o corpo tiver sentido oposto ao do movimento do corpo, e positivo, evi-

dentemente, se a força tiver o sentido do deslocamento do corpo. O trabalho negativo é denominado

de trabalho resistente. O trabalho positivo recebe o nome de trabalho motor.

O trabalho é uma grandeza escalar. No sistema MKS, a unidade de trabalho é um joule= 1

Newton. Metro, símbolo J. No Sistema CGS a unidade é um erg=1 dyna. Centímetro. A unidade de

trabalho é o trabalho realizado por uma força unitária ao deslocar um corpo de uma unidade na sua

própria direção.


1- Sobre um corpo de massa m=10 kg, inicialmente em repouso, sofre a ação de uma força

constante F=40N, na direção do deslocamento. Determine o trabalho realizado pela força nos primei-

ros 10 segundos de movimentos.

SOLUÇÃO

Ciências Naturais

39


Tabela formatada

Sabemos que o trabalho realizado W pela força sobre o corpo de massa m é dado por

w=F.d. Observemos que força tem a direção do deslocamento. A força produz no corpo uma

aceleração de intensidade a =

= 4 . Percebemos que a força move o corpo de uma dis-

tância d= t +

a , em t = 10s. Como = 0, temos d =

·. 4. 100= 200m. Portanto, W= 40.200=

8000J. Como a força favorece o deslocamento do corpo, temos um exemplo de trabalho motor.

2- (Resnick, 1978, p.153). Um corpo de massa m acelera-se uniformemente, partindo do re-

pouso até a velocidade no tempo Mostre que o trabalho realizado sobre o corpo, como função

do tempo t em função de e , é dado por

m

.

SOLUÇÃO

O corpo parte do repouso e possui aceleração uniforme. Suponhamos que no temo , o cor-

po percorra uma distância d. Temos que o trabalho realizado sobre corpo é definido por w=F.d=

(m.a)d. Dentre as equações do movimento uniformemente variado temos: + a , d= +

. Como = 0, temos:

e d=

. Fazendo estas substituições em w=F.d=

(m.a)d, obteremos W= m

=

=

m

TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL — CASO UNIDEMENSIONAL

O trabalho realizado por uma força variável ,nos apectos inerentes ao cálculo infinitesimal,

não será estudado neste texto. No entanto, vamos, no exercício abaixo, calcular o trabalho realizado

pela força elástica não constante de uma mola, como mostra a fig. 12A. Neste caso, o valor numérico

deste trabalho é igual área da região delimitada pela reta F=kx, o eixo e a reta x= .


1-Qual o trabalho realizado sobre uma mola, por uma força que a distende de uma posição

para uma posição ao longo do eixo ? A mola está presa na parede como mostra a fig.12A.

Ciências Naturais

40

Admitamos que o sentido positivo de seja da parede para fora. Por conveniência façamos

que =0 coincida com a posição da mola origem, ou seja, a mola não distendida, e que = x coinci-

da com a posição da mola distendida. Veremos a seguir, que o módulo da força é F=kx. Como a

força elástica da mola não é uma força constante, não podemos aplicar a relação, W= Fd. Assim, o

valor numérico do trabalho realizado pela força elástica da mola, é dado pelo cálculo da área som-

breada mostrada na figura abaixo. Portanto, temos: w =

=

. Quando a mola estiver alongada

ou comprimida, o trabalho será resistente, w<0, a força se opõe ao deslocamento da mola. Quando a

mola estiver voltando para posição de equilíbrio, o trabalho, neste percurso, será motor, w>0, a força

favorece ao deslocamento da mola.

Lei de Hooke

Consideremos a situação proposta no exercício acima. A lei de Hooke nos diz que o módulo

da força que a mola exerce sobre o objeto da vizinhança, que a distende de um comprimento x, é

aproximadamente, F=-kx. Onde k é uma constante denominada constante elástica da mola. Molas

Ciências Naturais

41


Tabela formatada

muito fortes têm valores de k elevados. O sentido de é sempre oposto ao movimento da mola.

Quando a mola estiver distendida de um comprimento x, x , será negativa. Quando a mola esti-

ver comprimida de x, x será positiva. Vale lembrar, que a mola não distendida, ou seja, em

estado de repouso, sua extremidade coincide com x origem do sistema de coordenadas, conve-

nientemente, adotado. A força exercida pela mola é uma força restauradora, porque está sempre

orientada para a origem.

POTÊNCIA

A ideia que nós temos de trabalho no senso comum se distancia bastante do significado for-

mal que tem o trabalho no estudo da Física. No nosso cotidiano atribuímos o trabalho às pessoas,

dizemos que um colega trabalha 10 horas por dia, que um certo profissional trabalha mais do que

outro. Relacionamos o trabalho com o esforço ou ação das pessoas. São muitas as ações por nós de-

senvolvidas que denominamos de trabalho. Ao contrário, em Física, como vimos a pouco, o trabalho

tem um significado preciso e bem definido. Formalmente, o trabalho assume um sentido mais técni-

co e utilitário quando o relacionamos com o tempo em que o mesmo se realiza. Este fato nos remete

ao conceito de potência, é o que veremos a seguir.

Chamamos de potência média, que denotamos por: a razão entre trabalho W reali-

zado por certa força e o intervalo de tempo ∆t, conseqüentemente, decorrido. =

. No

sistema MKS, a unidade de potência é o Watt (W) =

. No sistema CGS, a unidade de po-

tência é igual a

=

. Quando o intervalo de tempo ∆t for extremamente pequeno, temos a

potência instantânea (Pot), que é definida como o trabalho realizado em certo instante puntual t.

Existem outras importantes unidades de potência, o cavalo vapor (cv) e horse Power (HP).

Temos: 1 cv = 735 watts e 1 HP é igual a, aproximadamente, 746 watts.

Na Eletricidade temos quilowatt-hora (kWh), unidade de trabalho muito importante. Temos 1

kWh = 3,6 . j. O quilowatt (kW) é, também, uma unidade de potência, e constitui um múltiplo

do watt (w), isto é, 1 kW = .

EXERCÍCIO PROPOSTO

Mostre que 1 kWh = 3,6 . j. Sugestão: lembre-se que W = ∆t= 1 kW. h. Substitua,

nesta equação; 1 kW = e 1h=3600s. Daí, segue-se o resultado.

Ciências Naturais

42


Uma força constante atua sobre determinado corpo, provocando neste, um deslocamen-

tento ∆s. Se os referidos vetores e ∆s são paralelos e possuem o mesmo sentido, estabeleça uma

relação entre potência e velocidade.

SOLUÇÃO

Nas condições dadas, vimos que o trabalho realizado pela força constante é definido por

w=F.∆s. Dividindo ambos os termos desta equação por ∆t, obtemos:

=

. Notemos que o primei-

ro membro desta equação é o trabalho realizado no intervalo de tempo ∆t, isto é, a potência média.

Como

= (velocidade média), o segundo membro da supracitada equação torna-se igual a F

Portanto, a equação

=

pode, assim, ser escrita: = F .

Quando ∆t for extremamente pequeno, teremos a equação que define a potência instantâ-

nea: Pot = Fv, onde v é a velocidade instantânea.

ENERGIA CINÉTICA E TEOREMA DO TRABALHO E ENERGIA

Suponhamos que uma partícula de massa m sofra a ação de uma força resultante constan-

te . Esta força produzirá na partícula uma aceleração constante . Seja o eixo , a direção comum

da força e da aceleração . Com as condições que acabamos de descrever, vamos responder a

seguinte pergunta: qual o trabalho realizado pela força sobre a partícula, quando esta é deslocada

de uma distância x? É Importante lembrar que, sendo constante a aceleração da partícula, as equa-

ções do movimento uniformemente variado podem ser usadas para responder a nossa pergunta.

Assim, substituindo, =

e x=

t, em W = x= max, que expressa o trabalho realizado sobre a

partícula, teremos w=

m -

.

A expressão,

m , é denominada energia cinética da partícula, e a representaremos por ,

assim,

m , onde é a velocidade da partícula no instante t. Denotaremos por

=

a

energia cinética da partícula quando a velocidade é em t=0. Assim, o trabalho realizado sobre a

Ciências Naturais

43


Tabela formatada

Resumo da Aula 3.2: aqui, você aprenderá o que é um sistema conservativo e

não conservativo. Terá, também, a oportunidade de aplicar o princípio da conservação da

energia mecânica na resolução de problemas.

Resumo da Unidade 3: aqui, você terá a oportunidade de estudar à energia e

entender como ocorre a sua conservação.

partícula pode ser expresso da seguinte maneira, W - . Esta equaçãoexpressa o Teorema do

Trabalho-Energia, que é assim enunciado: o trabalho realizado pela força resultante sobre uma partí-

cula é igual à variação da energia cinética da partícula.

Trabalho e Conservação da Energia

A CONSERVAÇÃO DE ENERGIA

A energia cinética de um corpo pode ser entendida como a capacidade que ele possui de rea-

lizar trabalho em virtude de seu movimento. Quando um corpo se desloca e chega ao final de um

percurso fechado como a mesma capacidade de trabalho que tinha quando iniciou o movimento,

podemos afirmar que nele só atuam forças conservativas. Para melhor ilustrarmos e exemplificarmos

o que acabamos de colocar, consideremos uma mola presa a uma parede. Em um plano horizontal

completamente liso, é lançado, sobre a extremidade livre da mola, um corpo de massa m que a com-

prime de uma distância x em relação à origem. Neste instante, a força elástica da mola, que é tam-

bém restauradora, provoca à inversão de sentido do movimento do corpo, fazendo-o retornar à posi-

ção da extremidade livre da mola em repouso. Admitamos que massa mola seja muito menor que

massa m corpo. O que nos leva considerar a energia cinética do sistema (corpo de massa m e mola)

toda concentrada no corpo. Pressupomos, ainda, que a mola satisfaça à lei Hooke, F= - kx. Quando o

corpo atinge a extremidade livre mola, a ação retardadora da força elástica da mola ocasiona a dimi-

nuição ininterrupta da velocidade e da conseqüente energia cinética do corpo, até que o corpo pára e

sua energia cinética se anula. A partir deste momento, a força elástica impulsiona o corpo a retornar

a posição de repouso do sistema, ou seja, o corpo volta a ocupar a posição da extremidade livre da

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III

Au-la

Ciências Naturais

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mola quando a mola está em repouso. Neste trajeto de volta, o corpo ganha velocidade e retorna a

origem do sistema com a mesma energia cinética que tinha no instante em que começou o trajeto de

ida de compressão da mola. As forças que se comportam como a força elástica da mola, são chama-

das de forças conservativas. A gravidade constitui outro exemplo de força conservativa. Um corpo

lançado verticalmente para cima retorna a posição de origem com a mesma velocidade e energia

cinética do início do lançamento. Estamos considerando desprezível o efeito da resistência do ar so-

bre o corpo. Quando um corpo chega ao final de um percurso fechado com maior ou menor energia

cinética que tinha quando iniciou o movimento, dizemos há pelo menos uma força não conservativa

atuando sobre ele.


1-Explique porque o atrito é uma não força conservativa.

2-Mostre que os conceitos abaixo, relativos às forças conservativas e não conservativas são

equivalentes.

i. Uma força é conservativa quando ela atua sobre uma partícula que mantém ao final de um

percurso fechado qualquer, a energia cinética que tinha quando iniciou sua trajetória. Uma

força será não conservativa quando ela atua sobre uma partícula que chega ao final de um

percurso fechado qualquer, com maior ou menor energia cinética que tinha quando do início

do movimento.

ii. Uma força é conservativa se for nulo o trabalho realizado por ela sobre uma partícula que

descreve qualquer percurso fechado Uma força será não conservativa se o trabalho realizado

por ela sobre uma partícula, ao longo de um percurso fechado, for não nulo.

iii. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela, sobre uma partícula que se move

entre dois pontos, depender somente destes pontos e não da trajetória percorrida. Uma força

será não conservativa se o trabalho realizado por ela, sobre uma partícula que se desloca en-

tre dois pontos, depender da trajetória compreendida entre os pontos.

ENERGIA POTENCIAL E ENERGIA MECÂNICA

Consideremos inicialmente o sistema (mola+corpo de massa m) nas condições e configura-

ção descritas na seção anterior. É oportuno esclarecer, ao leitor, que quando falamos em configura-

ção do sistema, estamos nos referindo à forma em que o sistema se apresenta para nós a cada ins-

tante de interesse do estudo. Por exemplo, dizer que o sistema se apresenta em sua configuração

Ciências Naturais

45


Tabela formatada

inicial, é o mesmo que dizer que a extremidade livre da mola ocupa a posição coincidente com da

mola em estado de repouso, posição, essa, denominada de origem do sistema. Nessa perspectiva,

qualquer mudança que ocorra na configuração do sistema, é uma decorrência da variação da posição

do corpo ocasionada pela compressão ou alongamento da mola de qualquer comprimento x em rela-

ção em relação á origem. Reciprocamente, qualquer variação que ocorra na posição do corpo acarre-

ta em mudança na configuração do sistema. Vale lembrar que esse fato é justificável pelo pressupos-

to do corpo ser totalmente inelástico e a massa da mola desprezível se comparada com massa do

corpo. Percebemos, então, que pelo parâmetro de x se medem tanto a posição do corpo quando a

configuração do sistema. Á Luz das considerações tecidas, ao invés de falar que o corpo muda de po-

sição, é preferível dizer que a configuração está variando. A idéia de configuração do sistema nos

remete ao conceito de energia potencial. Esta forma de energia pode ser entendida como energia de

configuração. Portanto, além da energia cinética que comparece em virtude das conseqüentes mu-

danças de configuração do sistema, outra modalidade de energia se faz presente, a energia de confi-

guração ou energia potencial. Como a força da mola é uma força conservativa e não há sentido falar

em energia potencial associada à força não conservativa, podemos afirmar que, nas circunstâncias

consideradas, a soma das variações dessas duas formas de energia, enquanto variar a configuração

do sistema, é nula,

+ ∆ = 0.

Desta forma, se a energia cinética do sistema variar de então a energia potencial

do sistema deve variar de um valor igual e oposto. Este fato, formulado de outra maneira, leva-nos a

afirmar que à medida que a energia cinética do sistema sofre qualquer variação é compensada

por uma variação igual e oposta de sua energia potencial , de maneira que a soma de ambas per-

manece constante durante todo o movimento: + = constante. A energia potencial é considera-

da uma energia de armazenamento, podendo, então, ser completamente recuperada e transformada

em energia cinética.

ENERGIA MECÂNICA TOTAL

Vimos anteriormente que + = constante, enquanto o sistema mudar de configuração.

Dando como exemplo o caso do sistema (massa + mola), a medida em o corpo muda de posição,

comprimindo ou alongando a mola, a soma da energia cinética com a energia potencia permanece

constante. Esta constante é denominada energia mecânica total.

Como se trata de um sistema conservativo e sabemos que a energia potencial depende ape-

nas da posição corpo, podemos escrever a equação acima da seguinte maneira:

m + =

Sendo , a energia mecânica do total.

Ciências Naturais

46

Ainda mais claramente, podemos afirmar que o corpo, enquanto se move, permanece com a energia mecânica total do início do movimento, ou seja, a equação acima pode assim ser

ta:

m + =

m

+ . Como possuem valores fixos, o segundo membro da

equação acima, que é a energia mecânica total, permanece constante durante o movimento. No pri-meiro membro da equação, é a velocidade do corpo na posição . Esta equação estabelece a lei de conservação de energia mecânica para forças conservativas.


1-Um pêndulo de massa m é levado à posição horizontal e então abandonado. Sabendo que o fio tem um comprimento L= 1m. Calcule a velocidade do pêndulo quando passar pela posição de altu-

ra mínima. Adote g=10

.

S0LUÇÃO

Estamos diante de um sistema conservativo. Neste caso, a energia mecânica total do sistema se conserva. A mecânica total do sistema com o pêndulo da posição horizontal é igual à energia me-cânica total do sistema quando o pêndulo passar pela posição de altura mínima. Em símbolos: mgL

=

m Resolvendo esta equação para , resulta = √ . Substituindo os valores correspondentes

à g e L, teremos: √ = 2√ .


1-Um skatista se movimenta em pista, cuja trajetória é mostrada na figura abaixo. Sabendo-se que ele parte do repouso de um ponto A situado a uma determinada altura L do solo; pergunta-se qual a menor distância que o skatista deve se encontrar do solo para seja possível cumprir, inte-gralmente, o percurso Almejado? ( sair de A, passar por B e retornar a C).

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Tabela formatada

Resumo da Aula 3.3: aqui, você entenderá o que ocorre com a conservação da

energia quando há interação de forças não conservativas no sistema considerado.

Resumo da Unidade 3: aqui, você terá a oportunidade de estudar à energia e entender

como ocorre a sua conservação.

Trabalho e Conservação da Energia

CONSERVAÇÃO DE ENERGIA: A ENERGIA TOTAL É CONSTANTE

Vimos, anteriormente, que se as forças atuantes sobre uma partícula forem conservativas a

energia mecânica total permanece constante. Sejam , , ,..., , n forças conservativas que

agem sobre a partícula. O trabalho realizado sobre a partícula, quando esta se move de um ponto a

outro, pela resultante = + + + +...+ , soma vetorial dessas n forças, é a soma algébrica do

trabalho realizado, individualmente, por cada força, e pelo teorema do trabalho-energia podemos

escrever: ...+ = ∆ .

Consideremos o caso em que além das forças conservativas, , , ,..., , que atuam

sobre a partícula, haja o atrito entre outras forças não conservativas. Sendo assim, a equação acima

assume a seguinte forma: ∑ + +∑ = ∆ . As parcelas que constam do primeiro desta equa-

ção são, respectivamente, o trabalho total realizado pelas forças conservativas, o trabalho realizado

pela força de atrito e trabalho total produzido por todas as outras forças não conservativas.

A energia pode transformar-se em outra forma de energia, mas não pode ser criada ou des-

truída, permanecendo constante em sua totalidade. A repercussão deste princípio de conservação

da totalidade da energia, na equação acima, nos permite escrevê-la da seguinte maneira: 0 = ∆ +

∑ + Q +∑ Onde a última parcela do segundo membro, desta equação, representa a varia-

ção total de outras formas de energia. Com efeito, pois o trabalho total realizado pelas forças conser-

vativas é igual ao decréscimo total da energia potencial, ∑ =-∑ O trabalho realizado pela for-

ça de atrito é igual ao decréscimo da energia térmica, -Q. Da mesma forma, que o trabalho total

realizado por todas demais forças não conservativas que atuam sobre a partícula é igual ao decrésci-

mo total de outras formas de energia, ∑ = - ∑

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III

Au-la

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1- (Resnick, 1978, p.180). Um prego está colocado á uma distância d abaixo do ponto

de suspensão do pêndulo. Mostrar que d deve valer pelo menos 0,6L para que a esfera

descreva um círculo completo tendo o prego como centro.

SOLUÇÃO

Observando a (fig.13A) vemos que L = d + r, onde d = L - r.O ponto superior B é o mais difícil

da trajetória. Para que a esfera descrevaum circulo completo, tendo o prego como centro, é necessário

que ela passe pelo ponto B com determinada velocidade. Existe uma velocidade mínima para a qual a

esfera possa realizar o trajeto proposto. Pelo principio da conservação da energia mecânica, temos:

EmA = EmB; assim, podemos escrever: mgL = mg2r +

mv

2 , daí segue-se que gL = g2r +

, Por esta

equação L é mínimo quando v for mínimo, pois g e r são constantes. Seja v este valor mínimo da

velocidade; temos, também que v2 = gr, tendo em vista que o fenômemo somente será possível se a

acelaração centrípeta for a própria gravidade g. Substituindo v2 = gr, na equação : gL = g2r +

,

obteremos L =

r , o que resulta, r =

= 0,4L. Como d = L - r , temos d = L – 0,4L = 0,6L.. Portanto,

d deve valer pelo menos 0,6L., Já que L é mínimo.

FIGURA 13 A

A

B

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Tabela formatada

BIBLIOGRAFIA

ALONSO, M, FINN, E. J. Física: um curso universitário. V.1. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1991.

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RESNIK, R; HALLIDAY, D & WALKER, J. Coleções Fundamentos da Física. V.1. 4ed. Rio de janeiro: LTC,

2006.

RESNIK, R; HALLIDAY, D. FÍSICA. V.1. 4ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1978.

TIPLER, P. FÍSICA. V.1. 2ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982.

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