tópicos de física 1 - estática dos sólidos

7/31/2019 Tpicos de Fsica 1 - Esttica dos slidos

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317Tpico 1 Esttica dos slidos

Parte III ESTTICA

1 Uma partcula encontra-se em equilbrio, submetida a apenasduas foras. O que se pode concluir a respeito delas?

Resposta: Elas tm intensidades iguais, direes iguais e sentidosopostos.

2 E.R. Um ponto material est em equilbrio, submetido a ape-nas trs foras. Qual a condio que as intensidades dessas forasdevem satisfazer?

Resoluo:1a possibilidade: As foras tm direes diferentes. Nesse caso,posicionando-as segundo a regra do polgono, obtemos umtringulo:

F3

F2F1

Para o tringulo existir, necessrio que a medida de cada um dosseus lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois.Ento,a intensidade de cada uma das trs foras tem de ser me-nor que a soma das intensidades das outras duas . Por exemplo:F1 = 3 N, F2 = 4 N e F3 = 6 N.

2a possibilidade: As foras tm direes iguais. Agora, temos umasituao do seguinte tipo:

F1 F2

F3

Isso signif ica quea intensidade de uma das trs foras tem de serigual soma das intensidades das outras duas .

3 Uma partcula submetida a apenas trs foras, de intensidades3 N, 4 N e 20 N, pode estar em equilbrio?

Resoluo:No, porque 20N > 3N + 4N.

Resposta: No

4 Em cada uma das extremidades de um fio considerado ideal,que passa por duas pequenas polias tambm supostas ideais, est sus-penso um corpo de massa igual am. Um terceiro corpo de massam

suspenso do ponto mdioM do f io e baixado at a posio deequilbrio. Determine, em funo de(ver f igura), quanto desceuo terceiro corpo.

2

M

m m

m

Resoluo:

120 60

h

M

P

T = P T = P

No tringulo destacado:

tg 60 = h h =

3 h = 33

Resposta: 33

5 E.R. Na figura, um corpo de peso 120 N encontra-se em equil-brio, suspenso por um conjunto de trs fios ideaisA,Be C. Calcule asintensidades das traes TA, TBe TC, respectivamente nos fiosA,BeC.

A

B

C

N

sen = 0,60cos = 0,80

Tpico 1


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318 PARTE III ESTTICA

Resoluo:A trao no fioAtem a mesma intensidade do peso do corpo:

TA= 120 N

Representemos as foras de trao que os fios exercem no n e faamosa decomposio dessas foras segundo a vertical e a horizontal:

TB

TA

TC

TCx

TCy

Do equilbrio, vem:

TCy = TA TC sen = TA TC 0,60 = 120TC= 200 N

TB= TCx TB= TC cos TB= 200 0,80

TB= 160 N

Nota: Tambm podemos determinar TBe TClembrando que o polgono

das foras de trao exercidas pelos fios no n fechado.

TB

TATC

Assim, temos:

sen =TATC

0,60 =120TC TC= 200 N

cos =TBTC

0,80 =TB

200 TB= 160 N

6 Um ornamento de peso 80 N est suspenso por um cordel,como indica a figura:

30 30

Cordel

No equilbrio, calcule a intensidade da trao no cordel.

Resoluo:

30 30

P = 80 N

Tx Tx

TyTyT T

2 Ty= P2 T sen 30 = P

2 T 12 = 80 T = 80 N

Resposta: 80 N

7 Uma caixa mantida em equilbrio por trs cordasA, B e C,como representa a figura. Coloque em ordem crescente as intensida-des TA, TBe TCdas traes nessas cordas.

A

B

C

60

Resoluo:

TC

TB

60

30

TA

TB< TA< TC

Resposta:TB, TA, TC

8 Uma partcula encontra-se em equilbrio sob a ao de um sis-tema constitudo de apenas trs foras, sendo o peso uma delas. A res-peito das outras duas foras, podemos afirmar que:a) elas so necessariamente horizontais;b) elas so necessariamente verticais;c) apenas uma pode ser vertical;d) elas no podem ser ambas horizontais;e) elas no podem ser ambas verticais;

Resoluo:As outras duas foras tm de equilibrar o peso, que vertical. Portanto,

elas no podem ser ambas horizontais.Resposta: d


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9 (UFPE) Para corrigir o desalinhamento do dente incisivoA deum paciente, um dentista fez passar um elstico por esse dente e oamarrou a dois dentes posteriores, conforme a figura.Sabendo que a tenso no elstico de 10 N e que cos = 0,85, deter-mine o valor em newtons da fora total aplicada pelo elstico sobre odenteA.

A

Resoluo:

A TxTx

TT TyTy

F = 2Ty= 2T cosF = 2 10 0,85

F = 17 N

Resposta: 17

10 E.R. A f igura representa um sistema constitudo de fios e trspolias P1, P2 e P3, todos considerados ideais. A fora F, aplicada naextremidade de um dos f ios, mantm o sistema em equilbrio, sus-tentando uma carga de 1 200 N. Calcule a intensidade da foraF.

F

Carga

P1

P2

P3

Resoluo:Para resolver esse tipo de exerccio, necessrio lembrar que: Nummesmo f io ideal, a trao tem a mesma intensidade em to-

dos os seus pontos. Em qualquer corpo em equilbrio, a fora resultante nula (nas po-lias, a fora resultante seria nula mesmo que no estivessem em

equilbrio, porque, sendo consideradas ideais, tm massas nulas).

Ento, temos:

Carga

2F

F P2 P3F

4F

2F 2F

4F

1 200 N

4F = 1 200NF = 300N

11 (Ufop-MG) O sistema de roldanas da figura est sendo usadopara elevar, em equilbrio, um objeto de pesoP.

P

F

Ento, o mdulo da fora F vale:a) F = Pcos; c) F =

P3 cos; e) F =

P23 cos.

b) F =P3; d) F =

P23;

Resoluo:Temos de supor o sistema ideal.De baixo para cima, as intensidades das traes nos f ios que sustentama primeira, a segunda e a terceira polias so, respectivamente, iguais P2,

P4 e

P8.

Portanto: F =P8 =P23

O expoente3 o nmero de polias mveis.O ngulo no inui na situao proposta.

Resposta: d

12 E.R. Dois homens seguram as extremidades de uma cordaleve, exvel e inextensvel. No ponto mdio da corda, um corpoAdepeso igual a 800 N est suspenso em equilbrio:

A

N

Reta horizontal


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Analise as af irmaes:01. Se o ngulofor igual a 30, a trao nos ramos da corda valer

800 N.02. Se o ngulofor duplicado, a intensidade da trao nos ramos

da corda se reduzir metade.

04. Se os homens forem suf icientemente fortes, conseguiro dispora corda em equilbrio exatamente na horizontal.08. A trao nos ramos da corda ter intensidade mnima quando

eles estiverem na vertical.D como resposta a soma dos nmeros associados s af irmaescorretas.

Resoluo:Representemos as foras que atuam no n e faamos sua decompo-sio na horizontal e na vertical:

800 N

T1

T1x

T1y

T2

T2x

T2y

y

x

Temos, ento:T1x = T2x T1 cos = T2 cos T1 = T2 = TT1y + T2y = 800 T sen + T sen = 800 2T sen = 800

T =400sen

(SI)

01. Correta. Como sen 30 =12, temos T =4001

2(SI), ou seja,

T = 800 N.02. Incorreta. Quando duplicado, sen aumenta, mas no dupli-

ca ( e sen no so proporcionais). Assim,Tse reduz, mas no metade.

04. Incorreta. Quando se tenta levar a corda horizontal,tende azero, sen tende a zero eTtende a infinito. Note ainda que nohaveria as componentes Ty para equilibrar a trao de 800 N sea corda estivesse na horizontal.

08. Correta. O valor mnimo deTacontece quando sen mximo,ou seja, sen =1, o que implica = 90 (ramos da corda dispos-tos verticalmente).

Resposta: 09

13 Considere um fio suposto ideal esticado horizontalmente entreduas estacas. Um pssaro de peso igual a 3,0 N pousa no ponto mdiodo f io, a permanecendo em equilbrio. Calcule a trao em cada umadas metades do fio, sabendo que elas formam um ngulo de 178. Ado-te sen 1 = 0,017.

Resoluo:

1 1

89

TyT T

Ty

P = 3,0 N

2 Ty= P2 T sen 1= P2 T 0,017 = 3,0 T = 88 N

Resposta: 88 N14 Uma pedra de 664 N de peso encontra-se em repouso, suspen-

sa por trs cordas levesA, Be C, como representa a f igura. Calcule asintensidades das traes nessas cordas (TA, TBe TC).Use: sen 30 = 0,50; cos 30 = 0,87; sen 53 = 0,80; cos 53 = 0,60.

A B

C

53 30

Resoluo:

Tc = P Tx= 664 N

y

x

TC

= 664 N

TAx

TAyTA

TB

3053

TBy

TBx

TAx= TBx TA 0,60 = TB 0,87

TA= 1,45 TB (I)

TAy+ TBy= TC

TA 0,80 + TB 0,50 = 664 (II)

De (I) e (II):

TB= 400 N e TA= 580 N

Respostas: TA= 580 N; TB= 400 N; TC= 664 N


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15 (Unicamp-SP) Uma das modalidades de ginstica olmpica adas argolas. Nessa modalidade, os msculos mais solicitados so osdos braos, que suportam as cargas horizontais, e os da regio dorsal,que suportam os esforos verticais. Considerando um atleta cuja mas-sa de 60 kg e sendo os comprimentos indicados na f igura H = 3,0 m,L = 1,5 m e d = 0,5 m, responda (g = 10 m/s2):

d

L

H

a) Qual a tenso em cada corda quando o atleta se encontra pendura-do no incio do exerccio com os braos na vertical?

b) Quando o atleta abre os braos na horizontal, qual a componentehorizontal da tenso em cada corda?

Resoluo:a) Somos forados a supor que as cordas tambm esto na vertical.

Do equilbrio do atleta:2T = P2T = m g2T = 60 10

T = 300 N

T T

P

b)Na vertical:2 Ty= P2 Ty= 600Ty= 300 NDa semelhana dosdois tringulos retn-gulos, temos:

Tx

H

TyT

L2

d2

L d2

HL d

2=

TyTx

Tx=L d

2 TyH

Tx=1,5 0,5

2 3003,0 Tx= 50 N

Respostas: a) 300 N; b) 50 N

16 E.R. Nas situaesa e b ilustradas a seguir, um mesmo blocode massam igual a 10 kg encontra-se na iminncia de escorregar,tracionado elasticamente por uma mola de constante elsticaKiguala 300 N/m.

m

Situao a : bloco apoiado em um planohorizontal na iminncia de escorregar.

m

Situao b : bloco apoiado em um planoinclinado de em relao horizontal(sen = 0,60 e cos = 0,80) na iminnciade subir.

Sabendo que, nas duas situaes, o coeficiente de atrito estticoeentreo bloco e o plano igual a 0,45 e considerandog igual a 10 m/s2, calculea deformao da mola:a) na situaoa;b) na situaob.

Resoluo:Como o bloco encontra-se na iminncia de escorregar, a fora deatrito atuante nele a fora de destaque, dada por Fatd = e Fn, emque Fn a intensidade da fora normal com que o bloco e o plano secomprimem.a) Representando as foras atuantes no bloco, temos:

P

F

Fn

Fat d

Do equilbrio do bloco, vem:Fn = P = m g = 10 10 Fn = 100 NF = Fatd =e Fn = 0,45 100 F = 45 N

Usando a Lei de Hooke, calculamos a deformaox:

F = K x 45 = 300 x x = 15 cm


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b) Representando as foras atuantes no bloco, temos:

P

FFn

Fat dPn

Pt

Do equilbrio do bloco, vem:Fn = Pn = P cos = m g cos = 10 10 0,80 Fn = 80 NF = Pt + Fatd = P sen +e Fn = 10 10 0,60 + 0,45 80 F = 96 N

Usando a Lei de Hooke:

F = K x 96 = 300 x x = 32 cm

17 Uma esfera de ao (E) pesando 200 N encontra-se apoiada emum plano horizontal e amarrada a uma parede vertical por meio de umf io ideal:

C

30E

Um cilindro (C) de peso 100 N ligado a um f io ideal, que passa por

uma polia tambm ideal e vai prender-se esfera. Calcule:a) a intensidade da fora de reao normal do plano horizontal sobrea esfera;

b) a intensidade da fora de trao no fio que liga a esfera paredevertical;

c) a intensidade do peso que o cilindro deveria ter para que a esferaf icasse na iminncia de sair do plano.

Resoluo:

T1

200 N

T2 = 100 NT2y = 50 N

T2x = 50 N

Fn

330

a) Fn + 50 = 200 Fn = 150 N

b) T1 = 50 3 N

c) Teramos : Fn = 0 e T2y= 200 N

sen 30 =T2yT2

12=200T2

T2 = 400 N

Respostas: a) 150 N; b) 503N; c) 400 N

18 Na f igura a seguir, (1) e (2) so duas rampas planas perfeitamen-te lisas que se interceptam em uma reta horizontal, que passa porAe perpendicular ao plano do papel. Nas rampas, apoia-se um prismareto, hexagonal, regular e homogneo, cujo peso P tem intensidade de100 N.

A

(1)

(2)

Plano horizontal

P

Sabendo que sen = 35 e cos =45, determine as intensidades das

foras aplicadas pelo prisma sobre as rampas.Resoluo:

P

F2

F1

cos =F1P

45 =

F1100 F1 = 80 N

sen =F2P

35 =

F2100 F2 = 60 N

Resposta: 80 N na rampa (1) e 60 N na rampa (2).

19 Na situao de equilbrio esquematizada a seguir, os f ios soideais:

A

B

10 kg

sen = 0,6cos = 0,8

Sendo 0,4 o coef iciente de atrito esttico entre o blocoA e o planohorizontal em que ele se apoia, determine a maior massa que o blo-coB pode ter de modo que o equilbrio se mantenha, supondo essamontagem feita:a) na superfcie da Terra; b) na superfcie da Lua.


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Resoluo:Na iminncia de movimento, temos:

Fn = 10 g

PA = 10 g

mB g T2

T1 = 4 g

T3 = m B g

A

T1 = 4 g 4 g


tg =mBg4 g

sencos =

mBg4 g

0,60,8=

mB4 mB= 3 kg

Observe que o resultado no depende da intensidadeg do campogravitacional.

Respostas: a) 3 kg; b) 3 kg

20 Nas montagens esquematizadas a seguir, considere ideais osf ios, as polias e a barra rgida. Em todos os casos, a caixa suspensa tempeso de mduloP.

Teto

(B)(A)

Q

Piso

Q

FA FB

Teto

Piso(D)(C)

Q Q

Barrargida

FC FD

a) Determine as intensidades das foras FA, FB, FCe FD, que equilibramos sistemasA,B,CeD, respectivamente.

b) Para que a caixa, ao ser erguida em equilbrio, sofra um desloca-mento de mdulod, quais devero ser os mdulos dA, dB, dC e dD dos deslocamentos do pontoQ nos sistemasA,B,Ce D, respectiva-mente?

Resoluo:

a) FA= P FB= P FC=P2

No conjunto formado pela caixa, pela barra e pelas trs poliasinferiores:

6 FD= P FD=P6

b) Em todos os casos, o trabalho da fora aplicada emQ igual, poiscorresponde a um mesmo fornecimento de energia potencial gra-vitacional Pd: FAdA= P d PdA= P d dA= d

FBdB= P d PdB= P d dB= d

FCdC= P d P2dC= P d dC= 2 d

FDdD= P d P6dD= P d dD= 6 d

Respostas: a) FA= P, FB= P, FC=P2, FD=

P6 ;

b) dA= d, dB= d, dC= 2d, dD= 6 d

21 (UFRN) O lendrio Macunama, personagem criado por Mrio de Andrade, costuma desfrutar do aconchego de sua redinha

vido por um descanso, Macunama, nosso anti-heri, est semprimprovisando um gancho para armar sua rede. Ele soube que suasegurana ao deitar-se na rede est relacionada com o ngulo, deinclinao dos punhos da rede com a parede e que essa inclinaopode ser mudada alterando-se o tamanho dos punhos, por exemplo,com auxlio de cordas.A f igura abaixo ilustra um desses momentos de descanso da perso-nagem. Nessa figura, a fora T , exercida pela corda da rede sobre gancho do armador, preso na parede, aparece decomposta em com-ponentes, TII(paralela parede) e T (perpendicular parede).

T|

TIIT

P

Representao esquemtica de Macunama dormindo em sua rede.

Considere-se que:I. o peso, P, de Macunama est bem distribudo e o centro de grav

dade do conjunto est no meio da rede;II. as massas da rede e da corda so desprezveis;III. o armador pode ser arrancado somente em decorrncia de um

maior valor da componente T , da fora T .Podemos afirmar que, para uma maior segurana, Macunama deveescolher uma inclinaorelativamente:a) pequena, pois T =P2sen;

b) pequena, pois T =P2tg;

c) grande, pois T =P

2cos;

d) grande, pois T =P2cotg.


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Resoluo:

T

T

P

P2

tg =T1P2

P T1 =P2 tg

Resposta: b

22 A f igura a seguir representa uma corrente de peso igual a40 N, cujas extremidades esto em um mesmo nvel horizontal, pre-sas em dois suportes.

Considerando iguais a 45 os ngulosindicados na figura, determinea intensidade da fora:a) que a corrente exerce em cada suporte;b) de trao no ponto mais baixo da corrente.

Resoluo:a)

P

Ty

Tx

T Ty

Tx

T

2Ty= P 2T sen = P 2T 22 = 40 T = 202 N

b) Numa das metades da corrente, temos, na horizontal:

T

Tx

T = Tx= T cos = 20 2 22 T = 20 N

Respostas: a) 20 2 N; b) 20 N

23 Considere as foras F1, F2 e F3 e os pontosA,B,C,DeO, todos noplano desta pgina.

Corpo

em que asforas esto aplicadas

CA

B

OD

F1

F3

F2

Julgue corretas ou incorretas as afirmaes a seguir. Em cada uma de-las, imagine a existncia de um eixo de rotao perpendicular ao planoda f igura passando pelo ponto citado.01. Os braos de F1, F2 e F3, em relao aO, medemOA , OB e OC

respectivamente.02. Os braos de F1, F2 e F3, em relao aO, medemOA sen, zero e

OC respectivamente.04. Os braos de F1, F2 e F3, em relao aA, medem zero,AO e AC

respectivamente.08. Em relao aO, o momento de F1 horrio, o de F2 nulo e o de F3

anti-horrio.16. Em relao aC, o momento de F1 horrio, o de F2 anti-horrio e

o de F3 nulo.32. Em relao aD, os momentos deF1 e deF3 so horrios e o deF2

anti-horrio.D como resposta a soma dos nmeros associados s af irmaescorretas.

Resoluo:Os braos so distncias do polo s linhas de ao das foras.01. Incorretas.02. Correta.04. Correta.08. Correta.16. Correta.32. Correta.

Resposta: 62

24 E.R. A fora F, de mdulo 20 N, e os pontosA,Be Cesto to-

dos no plano do papel. Os pontos representam as interseces entreo plano do papel e trs eixos perpendiculares a ele.

3 m

2 m

AC

BF

Convencionando positivos os momentos horrios, calcule o momen-to escalar de F em relao aA,BeC.

Resoluo:Em relao aA, a fora F d tendncia de rotao no sentido horrio.Sendo F = 20 N e b = 3 m, temos:

M = +F b = 20 3 M = 60 N m

Em relao aB, a fora F d tendncia de rotao no sentido anti--horrio. Sendo F = 20 N e b = 2 m, temos:

M = F b = 20 2 M = 40 N m

Em relao aC, a fora F no d tendncia de rotao, pois b = 0:

M = F b = 20 0 M = 0


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25 Considerando positivos os momentos horrios, calcule os mo-mentos das foras paralelas F1, F2 e F3 em relao ao pontoO.Dados: F1 = 200 N; F2 = 250 N; F3 = 50 N.

2 m 8 m

O

F2

F1 F3

Resoluo: MF1 = 200 N 2 m = 400 N m

MF2 = 0

MF3 = 50 N 8 m = 400 N m

Resposta: 400 N m, zero e 400 N m, respectivamente.

26 (Fuvest-SP) Trs homens tentam fazer girar, em torno do pinof ixoO, uma placa retangular de larguraa e comprimento 2a, queest inicialmente em repouso sobre um plano horizontal, de atri-to desprezvel, coincidente com o plano do papel. Eles aplicam as

foras FA = FB e FC = 2FA nos pontosA, B e C, como representadasna f igura.

A B

CO

a

a a

FA FB

FC

Designando, respectivamente, por MA, MBe MC as intensidades dos mo-mentos dessas foras em relao ao pontoO, correto af irmar que:

a) MA= MB> MCe a placa gira no sentido horrio;b) MA< MB= MCe a placa gira no sentido horrio;c) MA= MB< MCe a placa gira no sentido anti-horrio;d) 2MA= 2MB= MCe a placa no gira;e) 2MA= MB= MCe a placa no gira.

Resoluo:Em relao a 0: FAe FBproduzem momentoshorrios e, para ambas, o brao igual

aa. Ento, temos: MA= MB, em que MAe MBso mdulos.

FCno produz momento, pois seu brao nulo : M

C= 0.

Resposta: a

27 Qual das foras aplicadas na extremidade da chave, todas demesma intensidade, mais ef iciente para girar o parafuso no sentidohorrio?

F1

F2

F3

F4

F5

Resoluo:

F3

F4

= b 4b 3

0

O brao mximo igual a (hipotenusa do tringulo destacado). Obrao b3, por exemplo, cateto do mesmo tringulo.Portanto, F4 mais eficiente para girar o parafuso no sentidohorrio.

Resposta: F4

28 (UFRJ) Um jovem e sua namorada passeiam de carro por umaestrada e so surpreendidos por um furo num dos pneus.O jovem, que pesa 75 kgf, pisa a extremidade de uma chave de roda

inclinada em relao horizontal, como mostra a figura 1, mas s cosegue soltar o parafuso quando exerce sobre a chave uma fora iguala seu peso.

75 kgf

30 cm

Figura 1 20 cm


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A namorada do jovem, que pesa 51 kgf, encaixa a mesma chave, masna horizontal, em outro parafuso, e pisa a extremidade da chave, exer-cendo sobre ela uma fora igual a seu peso, como mostra a figura 2.

51 kgf

30 cmFigura 2

Supondo que este segundo parafuso esteja to apertado quanto oprimeiro e levando em conta as distncias indicadas nas figuras, veri-f ique se a moa consegue soltar esse segundo parafuso. Justifique suaresposta.

Resoluo:

F igura 1: M1 = 75 kgf 0,20 m = 15 kgf mF igura 2: M2 = 51 kgf 0,30 m = 15,3 kgf mComo M2 > M1 , a moa consegue.

Resposta: Consegue porque o torque da fora de 51 kgf mais in-tenso que o da fora de 75 kgf.

29 E.R. Uma barra prismtica homognea AB de comprimentoigual a 4,0 m e peso igual a 100 N apoia-se sobre a cunhaC, colocadaa 0,50 m deA. A barra f ica em equilbrio, como representa a figura,quando um corpoX suspenso em sua extremidadeA:

AC

B

X

Calcule:a) o peso do corpoX; b) a reao da cunhaCsobre a barra.

Resoluo:Representemos as foras que atuam na barra:

AC

B

G 2,0 m1,5 m0,50 m

T

Pb

R

Pb o peso da barra, aplicado em seu centro de gravidadeG(pontomdio da barra homognea);

T a trao exercida emApelo f io; essa fora tem a mesma inten-sidade do peso deX(T = PX);

R a reao da cunha sobre a barra.Para o equilbrio de translao da barra, temos:

R = T + Pbou

R = PX+ Pb R = PX+ 100 (I)

Para o equilbrio de rotao da barra, a soma algbrica dos momentosescalares de todas as foras nela aplicadas deve ser nula em relao aqualquer polo. Em relao aC, por exemplo, devemos ter:

MT + MR + MPb = 0

Convencionando positivos os momentos no sentido horrio,temos:

T AC + R 0 + Pb CG = 0PX 0,50 + 100 1,5 = 0

PX= 300 N (a)De (I), vem:

R = PX+ 100 = 300 + 100

R = 400 N (b)

Nota: O equilbrio de rotao pode ser considerado em relao aqualquer

polo, independentemente de passar ou no por ele um eixo de rotaoreal. Em relao aA, por exemplo, teramos:

MT + MR + MPb= 0

T 0 R 0,50 + 100 2,0 = 0

R = 400 N

30 (UFV-MG) Um menino e uma menina esto brincando sobre umaprancha homognea, conforme ilustra a figura. A posio das crianasestabelece uma condio de equilbrio. Qual a massa do menino?

2,5 m 2,0 m

E

E = eixode

rotao20 kg

Resoluo:Em relao aE, temos, em mdulo:

m g2,0 = 20g2,5 m = 25 kg

Resposta: 25 kg

31 Uma pessoa precisava separar 400 g de acar para fazer umdoce, mas no tinha uma balana. Pegou, ento, um cabo de vassourae o apoiou em uma escada, de modo a f icar em equilbrio na horizontal(o pontoO o centro de gravidade do cabo).

20 cm x

Sal

Sacoplstico

Escada

Cabo devassoura

O

Usando um barbante, suspendeu no cabo um saco fechado de sal decozinha, de 1 kg (1 000 g), a 20 cm do ponto de apoio (O). Usando outrobarbante, suspendeu um saco plstico vazio e foi despejando acar

nele at o cabo f icar novamente em equilbrio na horizontal. Calcule adistnciax que determina a posio em que o saco plstico deve sercolocado para que se consiga a quantidade de acar desejada.


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Resoluo:Tomando os momentos em relao aO, em valor absoluto, e operandocom as massas para evitar complicaes desnecessrias, temos:

1 000 g20 cm = 400 gx x = 50 cm

Resposta: 50 cm32 Uma barra cilndrica e homognea, dividida em seis partes

iguais, cada uma delas de comprimentod, encontra-se em equilbriona horizontal, como na figura.

A B C D E F

a) Suspendendo-se um corpo de peso igual a 6 N no ganchoB, qualdeve ser o peso de um outro corpo suspenso do ganchoFpara quea barra se mantenha em equilbrio como na figura?

b) Se um corpo de peso igual a 6 N for suspenso emB, e outros doiscorpos, cada um pesando 3 N, forem suspensos emD e E, a barracontinuar em equilbrio como na figura?

Resoluo:a) M = 0 em relao ao ponto de suspenso da barra:

+ + 6 2d PF 3d = O PF= 4N

b) No.M em relao ao ponto de suspenso da barra:

+ + 62d 3d 32d = + 3d

Portanto, a barra vai girar no sentido anti-horrio.

Respostas: a) 4 N; b) No. A barra vai girar no sentido anti-horrio.

33 (ITA-SP) Um brinquedo que as mames utilizam para enfeitar quar-tos de crianas conhecido como mbile. Considere o mbile de luas es-quematizado na figura. As luas esto presas, por meio de fios de massasdesprezveis, a trs barras horizontais, tambm de massas desprezveis. Oconjunto todo est em equilbrio e suspenso de um nico pontoA. Se amassa da lua 4 de 10 g, ento a massa da lua 1, em kg, igual a:

AL 2L

L 2LL 2L

12

3 4

a) 180. b) 80. c) 0,36. d) 0,18. e) 9.

Resoluo: m4 = 10g

Tomando os momentos em mdulo e operando com massas, temos,de baixo para cima: m3 L = m4 2Lm3 = 20g e m3 + m4 = 30g

m2 L = (m3 + m4) 2 Lm2 = 60 g e m2 + m3 + m4 = 90g

m1 L = (m2 + m3 + m4) 2 Lm1 = 180 g m1 = 0,18 kg

Resposta: d

34 E.R. Uma barra cilndrica homognea, de peso 200 N e 10,0 mde comprimento, encontra-se em equilbrio, apoiada nos suportesAeB, como representa a f igura.

BA

2,0 m

a) Calcule as intensidades RAe RBdas reaes dos apoiosAeBsobrea barra.

b) Usando-se uma corda leve, um bloco metlico de peso 400 N dependurado na barra em um pontoC direita deB. Determine amxima distnciax deBaCde modo que a barra no tombe.

Resoluo:a) Representando as foras que atuam na barra, temos:

BA

5,0 m

8,0 m

+

RA

RB

P

Em relao aA:MR

A

+ MP + MRB

= 0RA 0 + 200 5,0 RB 8,0 = 0

RB= 125 NComo RA+ RB= P:

RA+ 125 = 200 RA= 75 N

b) A mxima distncia pedida corresponde situao em que abarra est na iminncia de tombar. Nessa situao, ela se apoiaexclusivamente no suporteBe, portanto, a reao do suporteA,RA, nula.Representando as foras na barra, temos:

B

3,0 m x

+

C

P (P = 200 N)

T (T = 400 N)

RB

Em relao aB:M

RB+ M

P+ M

T= 0

RB 0 200 3,0 + 400 x = 0 x = 1,5 m


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35 Sobre duas estacasAeB, distantes 2,0 m uma da outra, apoia-seuma viga prismtica e homognea de comprimento 6,0 m e massa 72kg. Um pedreiro de massa 60 kg encontra-se em repouso na posioindicada, a 50 cm da estacaA.

A B

2,0 m 50 cm

a) Calcule as intensidades das foras que a viga recebe das estacas(g = 10 m/s2).

b) O pedreiro comea a caminhar lentamente para a direita. Qual omximo afastamento dele em relao ao ponto de apoio da viga naestacaBsem que ela tombe?

Resoluo:a)

2,0 m 2,0 m 2,0 m

1,0 m

0,50 m

600 N720 N

RB

RA

A B

Em relao aA(em mdulo):600 0,50 + 720 1,0 = RB 2,0 RB= 510 N

RA+ RB= 600 + 720RA+ 510 = 1 320 RA= 810 N

b) Na iminncia da viga tombar, RA= 0 :

B

720 N

600 N

1,0 m x

RB

Em relao aB:600 x = 720 1,0 x = 1,2m

Respostas: a) RA= 810 N; RB= 510 N; b) 1,2 m

36 (Cesgranrio-RJ) Uma barra homognea de comprimento= 1,0 m est em equilbrio na posio horizontal, sustentada por umanica corda fixada no pontoC, como mostra a figura. Em suas extremi-dadesAe Besto pendentes duas massas, m1 = 100 g e m2 = 150 g.

CA B

m 1 m 2

Considerando a massa da barra 100 g e a acelerao da gravidade localg = 10 m/s2, determine:a) a tenso na corda fixa barra no pontoC;b) a distncia do pontoCat o pontoA.

Resoluo:

C

Tm = m 1 = 0,10 kg

m 2 = 0,15 kg50 cm

x

A

m 1g m 2gmg

100 cm

a) T = m1 g + m g + m2 g = 1,0 + 1,0 + 1,5 T = 3,5 Nb) Em relao aA(em mdulo):

m g 50 cm + m2 g 100 cm = T x1,0 50 + 1,5 100 = 3,5 x

x = 57 cm

Respostas: a) 3,5 N; b) 57 cm

37 A f igura a seguir representa duas roldanas de raios r = 10 cm eR = 40 cm presas em um mesmo eixo que pode rotar praticamentesem atrito.

Rr

Vista frontal

M

Vista lateral

M F F

Cordas leves esto enroladas nessas roldanas. Em uma delas, est sus-penso um bloco de massaM igual a 50 kg e o sistema mantido emequilbrio pela fora vertical F aplicada na outra corda. Considerandog = 10 m/s2, calcule a intensidade de F .

Resoluo:Em relao ao eixo do sistema, temos, em valor absoluto:F R = M g rF 40 cm = 50 10 10 cm

F = 125 N

Resposta: 125 N


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38 Uma barra rgida e homognea, de peso 20 N e 2,0 m de com-primento, articula-se no eixo lubrif icadoO. Nela, est suspensa umacargaC, de peso 100 N, a 1,5 m do eixoO. A fora verticalF mantmo sistema em equilbrio.

C

O

F

Calcule a intensidade:a) da fora F ; b) da fora que a barra recebe do eixo.

Resoluo:

2,0 m

0

1,5 m

FE F

1,0 m

H HA H

20 N

100 N

a) Em relao aO, temos, em mdulo:20 1,0 + 100 1,5 = F 2,0 F = 85 N

b) A fora resultante na barra nulaFE+ F = 20 + 100

FE+ 85 = 120 FE= 35 N

Respostas: a) 85 N; b) 35 N

39 E.R. Considere um corpo em equilbrio submetido ao deapenas trs foras , F1, F2 e F3, que precisam ser coplanares. Dado queelas tmdirees diferentes , mostre que suas linhas de ao so con-correntes, necessariamente, nummesmo ponto.Resoluo:Suponhamos que as linhas de ao de duas dessas foras (F1 e F2,por exemplo) sejam concorrentes num pontoO e que isso noacontea com a fora F3:

O

b

F1

F2

F3

No equilbrio, a soma algbrica dos momentos de todas as foras temde ser nula e isso tem de acontecer em relao aqualquer polo, in-clusive aO.Em relao aO, os momentos de F1 e F2 so nulos, mas o momentodeF3, no.

Assim, conclumos que a linha de ao de F3 tambm passa porO, pois,se isso no acontecesse, a soma dos trs momentos em relao aOnoseria nula e a condio de equilbrio de rotao no estaria respeitada

40 A figura abaixo representa um quadro retangular e homogneodependurado em uma parede e em equilbrio. Qual das retas,a,b,c oud, melhor representa a linha de ao da fora que a parede exerce noquadro?

Quadro

Barbante

Parede

d

a

b

c

Resoluo:As trs foras concorrem em um mesmo ponto.

d

F

P

T

Resposta: d

41 A f igura a seguir representa uma escada homognea, em equi-lbrio, apoiada em uma parede vertical muito lisa. Reproduza a figue trace nela o vetor que determina a direo e o sentido da fora que aescada recebe do cho.

Cho

Resposta:


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42 A f igura representa um paraleleppedo homogneo em repou-so num plano inclinado.M o ponto mdio do segmento PQ.A fora normal resultante que o paraleleppedo recebe do plano estaplicada:

PM

Q

a) no pontoM;b) no pontoQ;c) entreP eM;

d) entreMe Q;e) talvez no pontoP.

Resoluo: Considerando a fora normal e a fora de atrito como sendoduas

foras e lembrando que, num corpo em equilbrio submetido a ape-nastrs foras de direes diferentes, elas concorrem num mesmoponto, temos a situao representada acima.

Fat Fn

P

A fora de contato total Fc = Fat + Fn que o paraleleppedo recebe doplano inclinado tem de ser oposta ao peso e alinhada com ele.

Fn(componentenormal de F c)

Fc

P

Portanto, Fn est aplicada entreMeQ.

Resposta: d

43 A f igura a seguir representa uma esfera homognea em equi-lbrio, sustentada por um fio e apoiada em uma parede vertical nascondies geomtricas ilustradas. Reproduzindo a f igura:

a) indique as foras atuantes na esfera;b) desenhe a situao de equilbrio supondo a parede perfeita-mente lisa.

Resoluo:a)

Observe que as trs foras

atuantes na esfera concor-rem num mesmo ponto.

P

R

T

b) Se no houvesse atrito, a reao da parede seria exclusivamentenormal:

P

T

Fn

Respostas: a)

P

R

T ; b)

44 Na f igura, temos uma barra homognea de espessura e largura

pequenas e uniformes, em forma deL, articulada sem atrito emA. Aparte vertical da barra tem 1,0 m de comprimento, enquanto a partehorizontal mede 3,0 m. Sendo de 120 N o peso total da barra, calcule aintensidade da fora horizontal F, que mantm a barra em equilbrio.

A

F

Resoluo:4 m 120 N3 m P P = 90 N

A

P

1,5 m

1,0 m

F

1,5 m

Em relao a A:P 1,5 = F 1,0 F = 135 N

Nota : O peso da parte vertical da barra tem momento nulo em relao

aA

porque est alinhado com esse ponto.Resposta: 135 N


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45 A barra AC da f igura est em equilbrio na horizontal, suspensapelo seu ponto mdioB.

A CB

necessariamente verdade que:a) a barra homognea;b) as partes AB e BC tm o mesmo peso;c) os momentos dos pesos das partes AB e BC, em relao aB, tm o

mesmo valor absoluto;d) a massa da parte AB maior que a da parte BC;e) h mais de uma alternativa correta.Resoluo:

possvel que a barra seja homognea, caso em que os pesos das par-tes AB e BC so iguais.Entretanto, tambm possvel que ela no seja homognea e tenhauma das metades mais pesadas que a outra. Nesse caso, os braos dospesos das duas metades em relao aBsero diferentes, mas, para es-tar em equilbrio, os valores absolutos dos momentos desses pesos emrelao ao referido ponto sero necessariamente iguais.

Resposta: c

46 (UFC-CE) Na f igura a seguir, uma tbua de massa desprezvel ecomprimento L = 3,0 m articulada em uma de suas extremidades pormeio de uma dobradiaD. Sua outra extremidade est presa (a umaaltura y = 0,30 m acima da dobradia) a uma mola ideal, de constanteelstica k = 600 N/m (f iguraa). Um menino, de peso P = 300 N, partindoda dobradia, caminha uma distnciaxsobre a tbua, at ela adquirir oequilbrio, em posio horizontal (figurab). Suponha que a mola, ao sedistender, tenha se mantido vertical. Determine o valor dex.

xDD

y

a b

k k

Resoluo:

x

L

D

P

Fe = ky

Em relao a D:P x = Fe L = k y L

x = k y LP =600 0,30 3,0

300

x = 1,8 mResposta: 1,8 m

47 (PUC-RS) A f igura representa um balde vazio dependuradoem uma barra rgida por meio de uma corda. A barra articuladasem atrito emAe est ligada ao teto por outra corda. As traes queas cordas, consideradas ideais, exercem na barra so as foras F1 e F2 indicadas.

DA

F1

F2

D3

Introduzindo-se no balde uma quantidade de areia de 60 N de peso,qual o aumento da intensidade da fora F1?

Resoluo:Em relao ao pontoA, a areia produz um acrscimo de momento ho-rrio de mdulo igual a 60 D. Ento, o aumentoF1 da intensidade deF1 deve produzir um acrscimo de momento anti-horrio, de mduloF1

D3, igual a 60 D:

F1 D3 = 60 D F1 = 180 N

Resposta: 180 N

48 (Cesgranrio-RJ)

MA B

Na f igura acima, uma haste AB, homognea e de seo reta uniforme,medindo 2,4 m, suspensa pelo seu ponto mdioM, por meio de umarame.Na extremidadeB, h um recipiente de massa desprezvel contendogua, enquanto, na extremidadeA, h um camundongo de massa250 g. Nessa situao, a haste se mantm em repouso na posiohorizontal.Em determinado instante, o recipiente comea a vazar gua na razode 75 g/s e, em conseqncia disso, o camundongo passa a se moverno sentido deA paraM, de modo a manter a haste na sua posioinicial. Para isso, qual deve ser o mdulov da velocidade do camun-dongo, em m/s?

Resoluo:Sejam:m1: massa de gua que vaza por segundo (m1 = 75 g);m2: massa do camundongo (m2 = 250 g);g: mdulo da acelerao da gravidade;s: deslocamento do camundongo em cada segundo.


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Em cada segundo, em relao aM e em valor absoluto, a perda demomento horrio (m1g MB) tem de ser igual perda de momento anti--horrio (m2 gs):m2 gs = m1 g MB250s = 75 1,2 s = 0,36 mEnto: v = 0,36 m/s

Resposta: 0,36 m/s

49 Uma viga prismtica e homognea, de 5,0 m de comprimentoe 120 kg de massa, encontra-se em equilbrio presa em uma corda eapoiada no cho, como mostra a f igura 1. Na figura 2, uma pessoa de50 kg se dependura na viga, mantendo-a em equilbrio na horizontal.

Corda navertical

Cho

2 ,0 m

Cho

3,0 mx

Figura 1 Figura 2Calcule:a) o comprimentox indicado na figura 2;b) a intensidade da fora que a viga recebe do cho na figura 1, consi-

derando g = 10 m/s2.

Resoluo:a)

500 N 1 200 N

0,5 mx

0

Em relao aO, temos, em valor absoluto:

1 200 0,5 = 500 x x = 1,2 m

b) Para que a resultante das foras seja nula, sendo T e P verticais,F necessariamente vertical.

0A B

cho

0 ,5 m

2 ,5 m

F

P

T

Em relao aO, temos, em valor absoluto:P OA = F OB1 200 0,5 cos = F 3,0 cos

F = 200 NRespostas: a) 1,2 m; b) 200 N

50 E.R. Na f igura, temos uma roda, de peso igual a 1003 kgf eraior igual a 2,0 m, que deve ser erguida do plano horizontal (1) parao plano horizontal (2). Calcule a intensidade da fora horizontal,aplicada no centro de gravidade da roda, capaz de ergu-la, sa-bendo que o centro de gravidade da roda coincide com seu centrogeomtrico.

(2)

Roda

h = 1,0 m(1)

r

Resoluo:Na f igura a seguir, esto representados o peso P da roda e a forahorizontal F que vai ergu-la. A fora que ela recebe emO no estrepresentada porque vamos usar esse ponto para o clculo dos mo-mentos. Desse modo, o momento dessa fora ser nulo.Observemos que a roda, assim que comear a subir, deixar de rece-ber fora normal do plano (1).

r

(2)

1,0 m(1)

1,0 mbP

ObF

P

F

No tringulo destacado, temos:

r = 2,0 m

bP

bF = 1,0 m

r2 = b2F + b2P (Teorema de Pitgoras)

2,02 = 1,02 + b2P bP= 3,0m

Para a roda ser erguida, em relao ao pontoO, o mdulo do mo-mento horrio de F tem de ser maior que o mdulo do momentoanti-horrio de P:

F bF> P bPF 1,0 > 1003 3,0 F > 300 kgf

51 (Fuvest-SP) Uma pirmide reta, de alturaHe base quadrada deladoL, com massam uniformemente distribuda, est apoiada sobreum plano horizontal. Uma fora F com direo paralela ao lado AB aplicada no vrticeV. Dois pequenos obstculosO, f ixos no plano, im-pedem que a pirmide se desloque horizontalmente. A fora F capazde fazer tombar a pirmide deve ser tal que:

H

OO

V

A B

F g


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a) | F | >m g HL2

2

+ H 2; d) | F | >

m g

L2

H ;

b) | F | > m g; e) | F | >m g

L2

L2

2

+ H 2.

c) |F | >m g H

L2

;

Resoluo:F

0

H

P

L2

Em relao aO, o mdulo do momento horrio de F deve ser maiorque o mdulo do momento anti-horrio de P :

F H > m gL2 F >m g L2

H

Resposta: d

52 Uma barra leve encontra-se em equilbrio dependurada emduas molas M1e M2, de constantes elsticas iguais a 200 N/m e 600 N/mrespectivamente. Uma fora F , vertical para baixo, aplicada na barra,atingindo-se uma nova situao de equilbrio na qual a barra perma-nece na horizontal.

d

60 cm

M1

Barra

M2

F

Calcule:a) a distnciad indicada na figura;b) o deslocamento da barra da primeira para a segunda situao de

equilbrio supondo a intensidade de F igual a 120 N.Resoluo:a) K 1 = 200 N/m e K 2 = 600 N/m

x

d

O

60 d

F1 F2

F

Em relao aO, temos, em valor absoluto:F1 d = F2 (60 d), comd em cm.K 1 x d = K 2 x (60 d)200 d = 600 (60 d) d = 45 cm

b) F = F1 + F2 = K 1 x + K 2 x120 = 200x + 600x

x = 0,15 m = 15 cm

Respostas: a) 45 cm; b) 15 cm

53 Uma viga prismtica e homognea, de 6,0 m de comprimento e360 N de peso, posicionada apoiando-se em uma parede e no solocomo representa a figura.

Solo 3,6 m

4,8 m

Parede

Supondo:a) que exista atrito entre a viga e a parede, mas no entre a viga e o sol

responda: possvel que ela fique em equilbrio, como na figura?

b) que no exista atrito entre a viga e a parede, calcule, no equilbrioas intensidades das componentes da fora de contato que a vigarecebe do solo (fora normal Fn e fora de atrito Fat).

Resoluo:a)

No possvel porque a fora resultante noser nula na horizontal: no existe nenhumafora para equilibrar Fn.

Fat

Fn

Fn

P

b)

Resultante nula vertical:Fn = P Fn = 360 NEm relao aO, temos, em valorabsoluto:P bP= Fn bFn 360 1,8 = Fn 4,8

Fn = 135 N

b Fn = 4,8 m

b p = 1,8 m

O

Fn

Fn

Fat

P

Resultante nula na horizontal: Fat = FnFat = 135 N

Respostas: a) No possvel porque a fora resultante no ser nulana horizontal: no existe nenhuma fora para equilibrar Fn.b) Fn = 360 N; Fat = 135 N


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54 E.R. (FEI-SP) No esquema, AB representa uma viga prismticae homognea de peso P = 30 kgf e CD representa um cabo horizontalde peso desprezvel:

Q

A

B

DC

So dados AD = 300 cm, DB = 100 cm e = 45. A viga articula-da sem atrito emAe suporta emBum corpo de peso Q = 120 kgf.Determine o esforo no cabo e as componentes horizontal e verticalda fora que a viga recebe na articulao emA.

Resoluo:ImpondoM = 0 em relao aA, podemos ignorar a fora que a vigarecebe da articulao (momento nulo). Desse modo, as nicas forasde interesse nesse clculo esto esquematizadas na figura a seguir:

A

B

D

c

a

Gb+

TQ

P

Q = 120 kgf P = 30 kgf

a = AG cos = 200 cm 22

= 100 2 cm

b = AD cos = 300 cm 22

= 150 2 cm

c = AB cos = 400 cm 22

= 200 2 cm

FazendoM = 0 em relao aA, temos:P a + Q c T b = 0

30 1002 + 120 2002 T 1502 = 0T = 180 kgf

Na articulao, a viga recebe uma fora cuja componente horizon-tal Rx equilibra T e cuja componente vertical RYequilibra P e Q:

P

TQRy

Rx

Rx= T Rx= 180 kgf

Ry= P + Q = 30 + 120 Ry= 150 kgf

55 Uma barra AB, prismtica e homognea, de peso 200 N e com-primento 2,0 m, encontra-se em equilbrio na horizontal. Ela est co-nectada a uma parede por meio de uma corda leve BP e sustenta umcubo homogneo de peso 300 N, como representa a figura:

BA

80 cm

P

Supondo que a barra se articule praticamente sem atrito emA, deter-mine as componentes horizontal e vertical da fora recebida por elanessa articulao. A distncia AP igual a 2,2 m.

Resoluo: Foras na barra:

Fy

FxA

0,80 m

1,0 m

300 N

200 N

Tx

TyT

Em relao aA:300 0,80 + 200 1,0 = Ty 2,0 Ty = 220 N

tg =TYTX

APAB=TYTX

2,22,0=220TX

Tx= 200N

A fora resultante na barra nula:

Fx= Tx Fx= 200 N

Fy+ Ty= 300 + 200 Fy+ 220 = 500 Fy= 280 N

Resposta: Horizontal: 200 N para a direita;Vertical: 280 N para cima.

56 E.R. Uma bicicleta equipada com um cmbio de vrias mar-chas possui algumas rodas dentadas (coroas) ligadas ao pedal e ou-tras ligadas ao eixo da roda traseira (roda motriz). Essas coroas tmraios (Ri) diferentes. Para cada par de coroas acopladas pela corrente,temos uma marcha. Com relao diversidade dos raios das coroas,qual a melhor escolha (melhor marcha):a) numa subida muito acentuada, situao em que o fundamental

conseguir subir, e no desenvolver altas velocidades?b) quando se pretende desenvolver altas velocidades, numa pistahorizontal?


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Resoluo:Em todo o desenvolvimento desta resoluo, expressaremos os tor-ques em relao ao centro das coroas. Alm disso, as coroas seroconsideradas em equilbrio de rotao, isto , em movimento derotao com velocidade angular constante. Assim, em mdulo, os

torques horrio e anti-horrio sero sempre iguais.Nas f iguras a seguir, esto representadas as foras relevantes anli-se que vamos fazer. bom lembrar que, com as coroas em equilbriode rotao, a intensidade (F2) da trao em todos os pontos da cor-rente a mesma.

R2

F2F2

F2

F2

b 1

Pedal

F1

Co r r e n t e

Coroa CoroaR1

R2

Solo

CoroaF2

R3

F3F3

Roda traseira

No sistema constitudo pelo pedal e pela coroa nele ligada, temos:

F1 b1 = F2 R1 F2 =F1 b1R1

No sistema constitudo pela roda traseira e pela coroa correspon-dente, temos:

F3 R3 = F2 R2 F3 R3 =F1 b1R1

R2

constante {

F3 = F1 R2R1

b1R3

a) A ltima expresso obtida permite concluir que, para um deter-minado valor de F1, quantomaior for R2 e menor for R1, maiorser F3, ou seja, mais intensa ser a fora motriz que a bicicletareceber do solo. Ento, essa a melhor combinao:Menor coroa ligada ao pedal e maior coroa da roda traseira.

Como vimos no Tpico 4 de Cinemtica, as frequncias de rotao dascoroas combinadas so inversamente proporcionais aos seus raios:

v1 = v2 1 R1 = 2 R2 2 1 R1 = 2 2 R2 2 1

=R1R2

2 = 1 R1R2

Note, ento, que R1 menor e R2 maior minimizam 2, que a frequn-cia da roda traseira (roda motriz). Por isso, altas velocidades no soconseguidas nessa situao.b) Nesse caso, devemos maximizar 2. Para tanto, interessam omaior

valor de R1 e omenor valor de R2. Ento, a melhor combinao :Maior coroa ligada ao pedal e menor coroa da roda traseira.

Nota: Veja que R1 maior e R2 menor tornam F3 pequena. Isso, entretanto,

no importante, porque no so necessrias foras de grande in-tensidade para acelerar a bicicleta numa pista horizontal.

57 (Enem) Com relao ao funcionamento de uma bicicleta demarchas, em que cada marcha uma combinao de uma das coroasdianteiras com uma das coroas traseiras, so formuladas as seguinteaf irmativas:I. Numa bicicleta que tenha duas coroas dianteiras e cinco traseiras, t

mos um total de dez marchas possveis, em que cada marcha representa a associao de uma das coroas dianteiras com uma das traseiras.

II. Em alta velocidade, convm acionar a coroa dianteira de maior racom a coroa traseira de maior raio tambm.

III. Em uma subida ngreme, convm acionar a coroa dianteira de mnor raio e a coroa traseira de maior raio.

Entre as afirmaes acima, esto corretas:a) I e III apenas. c) I e II apenas. e) III apenas.b) I, II e III. d) II apenas.

Resposta: a

58 E.R. Localize o centro de gravidade da chapa homognea e deespessura uniforme, representada na f igura:

50 x (cm)300

48y (cm)

Resoluo:Podemos dividir a chapa em duas partes: uma triangular, de massam1e rea A1, cujo centro de gravidade est no baricentro do tringulo(ponto de encontro das medianas), e outra retangular, de massa m2 erea A2, cujo centro de gravidade est no cruzamento das diagonais.

500

48y (cm)

x (cm)20 30 40

16

24 m 2

m 1

de 30 cm13

de 48 cm13


20/34


A1 =30 48

2 A1 = 720 cm2 x1 = 20 cm x2 = 40 cm

A2 = 20 48 A2 = 960 cm2 y1 = 16 cm y2 = 24 cmComo a chapa homognea e tem espessura uniforme, a razo entreas massas de suas partes e as respectivas reas constante:

m1A1

= m2A2 m1 = m2 A

1A2

(I)

Temos: xCG=m1 x1 + m2 x2

m1 + m2(II)

Substituindo (I) em (II), obtemos:

xCG=m2

A1A2

x1 + m2 x2

m2 A1A2

+ m2

xCG=A1 x1 + A2 x2

A1 + A2(III)

Analogamente, temos:yCG=

A1 y1 + A2 y2A1 + A2

(IV)

Substituindo em (III) e (IV) os valores de A1, A2, x1, x2, y1 e y2, obtemos:

xCG=720 20 + 960 40

720 + 960 xCG= 31,4 cm

yCG=720 16 + 960 24

720 + 960 yCG= 20,6 cm

59 (Mack-SP) Na f igura a seguir, para que a placa homognea e deespessura uniforme permanea em equilbrio indiferente ao ser sus-pensa pelo pontoA, as distnciasx e y devem valer, respectivamente:

6,0 cm

A

y

x

12,0 cm

6,0 cm

a) 3,0 cm e 2,0 cm. d)143 cm e 83 cm.

b) 2,0 cm e 3,0 cm. e)83 cm e 143 cm.

c) 6,0 cm e 3,0 cm.Nota: O pontoA o centro de gravidade da placa.

Resoluo:

y (cm)

x (cm)

2,0

0 3,0 6,0 8,0 12,0

3,0

6,0

de 6,0 cm13

de 6,0 cm13

A rea da parte quadrada o dobro da rea da triangular. Ento, sem a massa da triangular, a da quadrada 2m:

xCG=2m 3,0 + m 8,0

2m + m xCG=

143 cm

yCG=2m 3,0 + m 2,0

2m + m yCG=

83 cm

Resposta: d

60 (UFRN) Rafael gosta de fazer pegadinhas com seus colegas.Ele comeou demonstrando um exerccio fsico de flexibilidade, to-cando os ps sem flexionar os joelhos (f igura 1). O bem-humoradoRafael, com ar de gozao, disse que seus colegas no seriam capa-zes de fazer esse exerccio sem perder o equilbrio do corpo e, porisso, daria a chance de eles realizarem o exerccio encostados naparede (f igura 2).

Figura 1 Exerccio feitopor Rafael.

Figura 2 Colega de Rafaelencostado na parede, tentandorepetir o exerccio.

Esse procedimento proposto por Rafael, em vez de auxiliar, dif icultaainda mais o equilbrio corporal da pessoa, pois a parede faz com que:a) o centro de gravidade da pessoa seja deslocado para uma posio

que impede o equilbrio.b) a fora normal exercida na pessoa, pela parede, seja maior que a

fora que a pessoa faz na parede.c) o torque exercido na pessoa, pela parede, seja maior que o tor-

que que a pessoa faz na parede, ambos em relao aos ps dapessoa.

d) o centro de gravidade da pessoa no coincida com o seu prpriocentro de massa.

Resoluo:Para o corpo da pessoa se manter em equilbrio, a vertical que passapelo seu centro de gravidade precisa interceptar a menor superfcieconvexa determinada pelos pontos de apoio dos ps no cho:

Isso no acontece quando a pessoa permanece encostada na parede.

Resposta: a


21/34


61 De que tipo o equilbrio dos cones homogneosA,BeCrepre-sentados na figura:estvel , instvel ouindiferente ?

A B C

Respostas: A: estvel; B: instvel; C: indiferente.

62 Nas f iguras abaixo, temos um disco, cujo centro de gravidade CG, que pode girar praticamente sem atrito em torno do pino de sus-tentaoS.

r uma reta vertical

CG

S

r

(A)

CG

S

r

(C)

CGS

(B)

CG

S(D)

r

A cada figura, associe uma das alternativas seguintes:a) Posio de equilbrio estvel.b) Posio de equilbrio instvel.c) Posio de equilbrio indiferente.d) Posio em que o disco no est em equilbrio.

Respostas: a) A; b) C; c) B; d) D

63

Existe um boneco que insiste em f

icar em p aps sofrer qual-quer abalo. Imaginando sua base hemisfrica de raioRe centroO, po-demos afirmar que esse brinquedo exemplifica bem o equilbrio:

R Hemisfrio

O

a) estvel, e seu centro de gravidade (CG) est acima deO.b) estvel, e seu CG est abaixo deO.c) indiferente, e seu CG est emO.d) estvel, e seu CG est no contato com o cho.e) instvel, e seu CG est abaixo deO.

Resoluo:

Fn0

P

A

MAHCG

Quando o boneco tombado, o peso P produz um momento em rela-

o ao poto de apoioAe ele volta a ficar de p.Resposta: b

64 Suponha que, para arrancar um mouro fincado no cho, umhomem, puxando-o diretamente com as mos, tivesse de exercer neleuma fora de intensidade 1 800 N, no mnimo.

Viga

2,5 m 0,50 m

Tora

Mouro

Usando uma viga amarrada no mouro e apoiada em uma tora, comosugere a figura, determine a mnima intensidade da fora que o ho-mem precisa exercer na viga para arrancar o mouro. Para simplif icar,desconsidere o peso da viga e suponha que a fora total exercida nela

pelo homem esteja aplicada no ponto mdio entre suas mos.Resoluo: Foras na viga:

FH

FM

FT

0

2,5 m0,50 m

E relao aO:

FH 3,0 = FM 0,50 FH 3,0 = 1

800 0,50FH= 300 N

Resposta: 300 N

65 (UFMS) Um carrinho de pedreiro, de peso total P = 1 000 N, mantido em equilbrio esttico na posio mostrada na figura. Analisas af irmaes a seguir e d como resposta a soma dos nmeros asso-ciados s afirmaes corretas.

60 cm40 cm

P

(01) O mdulo da fora exercida pelo carregador igual ao do peso dcarrinho.

(02) O mdulo da fora exercida pelo carregador 400 N.(04) A fora resultante sobre o carrinho nula.(08) O mdulo da fora normal exercida pelo solo sobre o carrinho

menor que 1 000 N.


22/34


Resoluo: Foras no carrinho:

40 cm

60 cm

FC

Fn

0

P

Em relao aO:P 40 cm = Fc 100 cm1 000 N 40 cm = Fc 100 cm Fc = 400 N

Fn + Fc = P Fn + 400 = 1 000 Fn = 600 N

Portanto, so corretas as af irmaes 02, 04 e 08.

Resposta: 14

66 E.R. Na f igura, temos trs tijolos idnticos de 24 cm de com-primento empilhados.Determine os mximos valores dex e dey para que a pilha ainda semantenha em equilbrio, como mostra a figura.

A

24 cm

x

y

BC

Resoluo:Para que a pilha se mantenha em equilbrio, devemos impor que otijoloAesteja em equilbrio sobreBe que o conjunto AB esteja emequilbrio sobreC.Para o tijoloAestar em equilbrio sobreB, preciso que a linha deao do peso deAintercepte a regio de apoio deAsobreB. Assim,o mximo valor dex 12 cm:

A

xmxB

PA

xmx= 12 cm

Para o conjunto AB estar em equilbrio sobreC, preciso que a linhade ao do peso de AB intercepte a regio de apoio de AB sobreC.

ymx6 cm

12 cm

PAB

Assim, temos:

ymx= 18 cm

67 (ITA-SP) Considere um bloco de based e alturah em repousosobre um plano inclinado de ngulo. Suponha que o coef iciente deatrito esttico seja suficientemente grande para que o bloco no des-lize pelo plano. O valor mxi-mo da alturah do bloco paraque a based permanea emcontato com o plano :a) d/.b) d/sen.c) d/sen2 .d) d cotg.e) d cotg/sen.

Resoluo:

h

d

Iminnciade tombarCG


tg = dh 1

cotg =dh h = d cotg

Resposta: d

68 (UFRJ) A figura 1 mostra o brao de uma pessoa (na horizontal)que sustenta um bloco de 10 kg em sua mo. Nela, esto indicados osossos mero e rdio (que se articulam no cotovelo) e o msculo bceps.

Osso mero

Msculo bceps

Osso rdio

Figura 1

h

d


23/34


A f igura 2 mostra um modelo mecnico equivalente: uma barra hori-zontal articulada emO, em equilbrio, sustentando um bloco de 10 kg.A articulao emO tal que a barra pode girar livremente, sem atrito,em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura emO. Na figura 2,esto representados por segmentos orientados:

a fora F exercida pelo bceps sobre o osso rdio, que atua a 4 cm daarticulaoO; a fora f exercida pelo osso mero sobre a articulaoO; o peso p do sistema braomo, de massa igual a 2,3 kg e aplicado

em seu centro de massa, a 20 cm da articulaoO; o peso P do bloco, cujo centro de massa se encontra a 35 cm da

articulaoO.Calcule o mdulo da fora F exercida pelo bceps sobre o osso rdio,considerando g = 10 m/s2.

4 cm

20 cm

35 cm

m = 2,3 kg

M = 10 kg

Figura 2

O

f

F

p P

Resoluo: p = 23 N; P = 100 N; F = ?

Em relao aO:F 4 cm = p 20 cm + P 35 cm F 4 = 23 20 + 100 35

F = 990 N

Resposta: 990 N

69 A f igura a seguir representa duas caixas idnticas,A e B,apoiadas em uma mesa horizontal real. Entre elas, h uma barra queno toca a mesa:

A B

F

Qual das duas caixas se move primeiro quando uma fora horizon-tal F de intensidade crescente aplicada na extremidade superiorda barra?

Resoluo:

b B

bA

FAFA

FB

FB

O

A B

F

A barra empurraBpara a direita, recebendo uma reao para a esquer-da, e empurraApara a esquerda, recebendo uma reao para a direita.Considerando a barra ainda em equilbrio, temos, em relao aOe emvalor absoluto:FAbA= FBbBComo bB bA FB FA, conclumos que a caixaBse move antes.Podemos chegar mesma concluso de um modo mais simples: estando a barra em equilbrio, temos:FB= F + FAEnto, FB maior que FAe a caixaBmove-se antes.

Resposta: B

70 Na f igura, temos duas paredes verticais, um f io ideal de 5 mde comprimento preso aos pontosA e B das paredes, uma poliaideal e um corpoC, suspenso em equilbrio do eixo da polia, de400 N de peso:

A

3 m

B

O

C

Responda:a) Qual a intensidade da trao no fio?b) A intensidade da trao no fio depende do desnvel entreAeB?

Resoluo:a)

T sen T sen

T cos T cos

P = 400 N

TT

A

D E

B


24/34


2 T sen = P

T = 4002 sen (I)

O tringulo BED retngulo. Como DE = 3 m e DB = 5 m, temosBE = 4 m

Assim:

sen = BEDB

= 45

Em (I):T = 400

2 45 T = 250 N

b) No depende porque esse desnvel no participa do clculo deT.

Respostas: a) 250 N; b) No depende porque esse desnvel no par-ticipa do clculo deT.

71 (IME-RJ) Trs molas,a,b e c, tm comprimento naturala = 0,5 m,

b = 0,6 m ec = 0,7 m e constante elstica k a = 10 N/m, k b = 15 N/me k c = 18 N/m. Elas so ligadas entre si e estiradas entre duas paredesdistantes 2,0 metros uma da outra, onde as extremidades esto f ixa-das, conforme a figura a seguir. Qual o comprimento de cada uma dasmolas estiradas, em equilbrio?

a

2,0 m

b c

Resoluo:Comprimento natural da associao de molas:0,5 m + 0,6 m + 0,7 m = 1,8 mSendo xa, xb e xc as deformaes das molas, devemos ter:xa + xb + xc = 2,0 m 1,8 m = 0,2 m (I)Como a fora elstica tem a mesma intensidadeF nas trs molas ex =Fk , temos, em (I):

F10+

F15+

F18= 0,2 9 F+ 6 F + 5 F = 18

20 F = 18 F = 0,9 NAssim, sendoa,b e c os comprimentos das molas deformadas:

xa =F10=

0,910 xa = 9 cm a =a + xa

a = 59 cm

xb =F15=

0,915 xb = 6 cm b =b + xb

b = 66 cm

xc =F18=

0,918 xc = 5 cm c =c+ xc

c = 75 cm

Respostas: a = 59 cm; b = 66 cm; c = 75 cm

72 (Fuvest-SP) Trs cilindros iguais,A,Be C, cada um com massaMe raioR, somantidos empilhados com seus eixos hori-zontais, por meio de muretas laterais ver-ticais, como mostra a figura. Desprezandoqualquer efeito de atrito, determine, emfuno deMeg:a) o mdulo da foraFABque o cilindroAexerce sobre o cilindroB;b) o mdulo da foraFPBque o piso exerce sobre o cilindroB;c) o mdulo da fora FMCque a mureta exerce sobre o cilindroC.Nota: Suponha que os cilindrosBe C, ao serem introduzidos no sistema, f ica-

ram apenas justapostos, sem qualquer compresso entre eles.

Resoluo:

30

30

30

FPB

Fx

Fy

FyF F

CB

A

FF

Mg

MgMg

Fy

FMB FMC

a) FAB= FEquilbrio deA:

2 Fy= M g Fy=M g2 F cos 30 =

M g2 F

32 =

M g2

FAB= F =M g 3

3

b) Equilbrio deBanalisado na vertical:FPB= M g + Fy

FPB= M g +M g2 FPB=

3 M g2

c) Equilbrio deBanalisado na horizontal:FMC= FMBFMB= Fx+ F sen 30 =

M g 33

12

FMC= FMB=M g 3

6

Respostas: a) M g 33 ; b)3 M g

2 ; c)M g 3

6

A

B C


25/34


73 Uma bolinha de ao, de pesoP, encontra-se em repouso presaem um f io suposto ideal, de comprimento, e apoiada em um hemisf-rio f ixo de raioR, praticamente sem atrito. Sendod a distncia do polodo hemisfrio ao ponto de suspenso do f io, determine a intensidadeda fora de trao exercida pelo fio em funo deP, ,d e R.

R

d

Resoluo:

d

R

P

TyT

FnFny

FnxTx

x

R x

Fnx = Tx Fn cos = T sen Fn =T sencos (I)

Ty+ Fny = P T cos + Fn sen = P (II)

(I) em (II): T cos + T sencos sen = P (III)

Nos tringulos destacados:

cos = d + x , sen = R cos

e sen = R xR

Em (III):

T(d + x)

+T R cos

(R x)R

cos = P

T =(d + x)

+ T(R x)

= P

T (d + x) + T (R x) = P

T = Pd + R

Resposta: Pd + R

74 A figura representa uma esfera macia de chumbo, de pesoP, sus-pensa em repouso de um cabo cilndrico que est prestes a se romper.O raio da seo transversal do cabo e o raio da esfera so respectivamente iguais ar e R.Qual deve ser o raiorda seo transversal de um outro cabo, feito domesmo material, para suportar, tambm na iminncia de ruptura, umaoutra esfera macia de chumbo de raio igual a 2R?

Resoluo:A carga mxima que o cabo pode suportar proporcional rea de suseo transversal.Se a outra esfera tem raio dobrado, seu peso 23 P, ou seja, 8P.Ento:P

r2= 8 P

r 2 r = 22r

Resposta: 2 2r

75 (Faap-SP) Uma viga de peso desprezvel apoiada por suas ex

tremidadesAe B, sendo que um homem de pesoP anda sobre ela:

A Bx

L

A intensidade RAda reao do apoioA dada pelo grfico a seguir, emquex a distncia deAao homem:

2 80

560

140

RA (N)

x (m)

Calcule, ento:a) o pesoP do homem;b) o comprimentoLda viga.

Resoluo:RA RB

xP

A B

L x


26/34


Quando x = 2 m, RA= 560 N. Em relao aB, temos, em mdulo:RAL = P (L x)560 L = P (L 2) (I)

Quando x = 8 m, RA= 140 N. Em relao aB, temos:140 L = P (L 8) (II)

Resolvendo o sistema de equaes (I) e (II), obtemos:

a) P = 700 N e

b) L = 10 m

Respostas: a) 700 N; b) 10 m

76 (Mack-SP) Uma tbua rgida colocada sobre um cilindrof ixo, f icando em equilbrio e na iminncia de escorregar, como mos-tra a f igura. Determine o coef iciente de atrito esttico entre a tbuae o cilindro.

60

Resoluo:

30

P

Pt

Pn

FnFat d

60

Pt = Fatd = e Fn

Pn = Fn

tg 30 =PtPn

=e FnFn

e = tg 30 0,58

Resposta: 0,58

77 (FEI-SP) A figura indica, em corte, um prisma e um cubo homo-gneos, de pesos iguais a 6,0 N e 5,5 N, respectivamente, sobre o tra-vesso horizontal de uma balana em equilbrio. O cubo suspensopor um cabo de massa desprezvel que, passando por uma polia ideal,sustenta um contrapesoA.

20 cm

45 cm 15 cm 40 cm70 cm

A

Calcule o peso deAe a trao no cabo.

Resoluo:

G O

45 cm

15 cm

45 cm = 30 cm

90 cm

Pcubo PA

Pprisma

23

Em relao aO, temos:(Pcubo PA) 90 = Pprisma 45

(5,5 PA) 90 = 6,0 45

PA= 2,5 N e T = 2,5 N

Resposta: 2,5 N; 2,5 N

78 A f igura representa uma seo transversal de um semicilindrohomogneo de pesoPe base de raior, apoiado em uma superfcie pla-na e horizontal. O centro de gravidade do semicilindro (CG) e o pontoS pertencem referida seo. O slido citado se mantm em equilbrio,como na f igura, quando uma carga de pesoQ est suspensa do pon-to S por meio de uma corda leve. Sendod a distncia do pontoCaocentro de gravidade CG, determineQem funo deP,d,r e do ngulo

indicado.

Carga

Cr

CG

S


27/34


Resoluo:

C

d

CG bP bQ

r

S

Q

P

O

bP= d senbQ= r cosOs momentos deP e Q, em relao aO, tem mdulos iguais:Qba = PbP

Q r cos

= P d sen

Q =P d tg

r

Resposta: Q =P d tgr

79 (Aman-RJ) Veja a f igura seguinte. A trao mxima que a cordasuperior pode suportar de 4002 N e a compresso mxima que aescora pode aguentar de 6002 N. A corda vertical suf icientemen-te resistente para tolerar qualquer peso envolvido no problema.

45

45

P

O maior peso de um corpo em repouso que pode ser sustentado pelaestrutura da f igura, considerando desprezvel o peso da escora, :

a) 800 N. b) 1

000 N. c) 200 N. d) 600 N. e) 400 N.Resoluo:

45

45

O

P

FP

T

Para a escora estar em equilbrio de rotao, a resultante F , de P T , precisa estar alinhada com o pontoO.

O tringulo destacado issceles. Portanto: F = T medida quePcrescer,TeFtambm crescero e Tmxser atingida

antes de Fmx

. No tringulo destacado: P = T2Ento: Pmx= Tmx 2= 400 2 2 Pmx= 800 N

Resposta: a

80 (UFPI) Um arame homogneo de 23 cm de comprimento do-brado, como indica a figura, em que a = 5 cm.

x

a

Para que o arame apoiado se mantenha em equilbrio, o comprimentox deve ser, aproximadamente, de:a) 6 cm. d) 14 cm.b) 9 cm. e) 15 cm.c) 11 cm.

Resoluo:

bO

a =

5 c m

x

P1

P2 P3

a + b + x = 23 b + x = 18 b = 18 x (I) Equilbrio de rotao do arame em relao aO:

P1 b + P2 b2 = P3

x2 (II)

Como o pesoP de um pedao de arame proporcional ao seu compri-mento(P = k ), temos, de (II):

(k a) b + (k b)b2 = (k x)x2 2 a b + b2 = x2 (III)

Substituindo (I) em (III), temos:2 a (18 x) + (18 x)2 = x2 (18 x) (28 x) = x2 18 28 46 x + x2 = x2 46 x = 18 28 x 11 cm

Resposta: c

81 (UFPE) A f igura mostra uma barra homognea, de comprimentoL = 1,0 m, presa ao teto nos pontosAe Bpor molas ideais iguais, deconstante elstica k = 1,0 102N/m. A que distncia do centro da barra,em centmetros, deve ser pendurado um jarro de massa m = 2,0 kg, dmodo que a barra permanea na horizontal? Adote g = 10 m/s2.


28/34


Centro

h = 0,10 m

k1 k2

m

k1 = k 2 = k

A

B

Resoluo: Para a barra f icar em equilbrio na horizontal, as deformaes x2e x1

das molas de constantes elsticas respectivamente a k 2 e k 1 devemsatisfazer a relao:x2 = x1 + h

Foras na barra:

k1x1k2x2

Pbarra

m g

dO

L2

L2

Em relao aO:

k 1 x1 L2 + m g d = k 2 x2

L2 k

L2 (x2 x1) = m g d

d =

k L2 h

m g =1,0 102 0,50 0,10

2,0 10

d = 0,25 m = 25 cm

Resposta: 25 cm

82 (ITA-SP) Considere o bloco cbico homogneo de ladod e mas-sam em repouso sobre um plano inclinado de ngulo, que impedeo movimento de um cilindro homogneo de dimetrod e massam idntica do bloco, como mostra a figura. Suponha que o coef icientede atrito esttico entre o bloco e o plano seja suf icientemente grandepara que o bloco no deslize pelo plano e que o coeficiente de atritoesttico entre o cilindro e o bloco seja desprezvel.

d

O valor mximo do ngulodo plano inclinado, para que a base dobloco permanea em contato com o plano, tal que:a) sen = 12.

b) tan = 1.

c) tan = 2.d) tan = 3.e) cotg = 2.

Resoluo:

d

O

+

FatFn

FcPxPy

Quando o bloco est na iminncia de tombar, a fora normal que elerecebe do plano est aplicada emO. Na f igura, Pxe Pyso as intensida-des dos componentes do peso do bloco e Fc (tambm igual a Px) a

intensidade da fora que o cilindro exerce no bloco.Em relao aO, temos:

(Fc + Px)d2 Py

d2 = 0

2 m g sen d2 = m g cos d2

cossen = 2 cotg = 2

Resposta: e

83 (Olimpada Brasileira de Fsica) Uma haste leve apoiada nospontosA e B; do seu extremo direito pende um balde com 50de

gua e, do seu extremo esquerdo, pende outro balde com 10 de gua, por meio de fios de massas desprezveis, conforme o desenho.As massas dos baldes podem tambm ser desconsideradas.

A B

2,00 m

0,60 m 0,40 m

Quais as quantidades mnima e mxima de gua que devem ser trans-feridas do balde da direita para o da esquerda para que o sistema fiqueem equilbrio?

Resoluo: Analisando o sistema, nas condies da figura dada, constatamos

que ele no se encontra em equilbrio: a barra vai tombar, girando

no sentido horrio. A quantidade mnima pedida f ica determinada considerando-se osistema em equilbrio, apoiado apenas no suporteB:

h


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P1 P2

0,40 m1,60 m

B

P2 0,40 = P1 1,60 P2 = 4 P1V2 = 4 V1, em que V1 e V2 so volumes.V2 = 4 V1V2 + V1 = 60

V1 = 12 e V2 = 48

Portanto, 2 de gua devem ser transferidos da direita para aesquerda.

A quantidade mxima pedida f ica determinada considerando-se osistema em equilbrio, apoiado apenas no suporteA:

P1 P2

1,40 m0,60 m

A

P2 1,40 = P1 0,60 V2 1,40 = V1 0,60 7V2 = 3 V17V2 = 3 V1V2 + V1 = 60

V2 = 18 e V1 = 42

Portanto, 32de gua devem ser transferidos da direita para aesquerda.

Resposta: 2e 32, respectivamente.

84 Na f igura abaixo, temos um cano metlico horizontal e duas ar-

golas leves,Ae B, nas quais est amarrado um f io considerado ideal,de 1,20 m de comprimento. Desse fio, est suspenso, em equilbrio,um corpoCde massa 10 kg por meio de uma pequena polia tambmconsiderada ideal.

A

d

B

C

Determine a mxima distnciad permitida entre as argolas para queo sistema permanea em equilbrio, sendo 0,75 o coeficiente de atritoesttico entre cada argola e o cano.Resoluo:As argolas devem estar na iminncia de escorregar.

A

B

h

d

T T

T

10 g

FnFat mx

Tx

Ty Ty

Ty

Tx

Tx

Na argola B:Tx= Fatmx= e Fn = e Ty= 0,75 Ty


h

60 cm de fio

d

2tg = TxTy =0,75 T

yTy = 34

Ento:

tg =d2h

34 =

d2 h

h =2 d3

602 = h2 + d22 3 600 =2 d3

2+ d2

2 3 600 =4d

2

9 +d24

d = 72 cm

Resposta: 72 cm

85 A f igura representa umveculo visto de cima, em re-pouso numa superfcie planae horizontal. O veculo pesa1 200 kgf e o ponto CG seucentro de gravidade.Determine as intensidades dasforas que as rodas recebemda superfcie onde se apoiam.

Resoluo:Por terem braos iguais em relao ao eixox, as foras nas rodas trasei-ras tm a mesma intensidade Ft, o mesmo ocorrendo com as foras nasrodas dianteiras, que tm intensidade Fd:

Eixo xP = 1 200 kgf

Eixo y

2,0 m

1,0 m

1,0 m

CG

1,0 m

Ft Ft

Fd Fd

Em relao ao eixoy, temos, em valor absoluto:2 Ft 1,0 = 2 Fd 2,0 Ft = 2 Fd (I)Como a fora resultante no veculo nula:2 Ft + 2 Fd = P2 Ft + 2 Fd = 1 200 Ft + Fd = 600 (II)Substituindo (I) em (II):

2 Fd + Fd = 600 Fd = 200 kgf De (I):Ft = 2 Fd = 2 200 Ft = 400 kgf

Resposta: 200 kgf em cada roda dianteira; 400 kgf em cada rodatraseira.

1,0 m

2,0 m

CG

1,0 m

Traseira Dianteira

1,0 m


30/34


86 (IME-RJ) Uma escada de 4,0 m de comprimento est apoiadacontra uma parede vertical com a sua extremidade inferior a 2,4 m daparede, como mostra a figura. A escada pesa 20 kgf e seu centro degravidade est localizado no ponto mdio. Sabendo que os coeficien-tes de atrito esttico entre a escada e o solo e entre a escada e a paredeso, respectivamente, 0,50 e 0,20, calcule:a) a altura mxima, em relao ao solo, a que um homem de 90 kgf de

peso pode subir sem provocar o escorregamento da escada;b) a distncia mxima da parede a que se pode apoiar a parte inferior

da escada vazia sem provocar escorregamento.C

2,4 m

3,2 m4,0 m

A B

Resoluo:

PE= 20 kgf

PH= 90 kgf es = 0,50ep = 0,20

3,2 mPH

PEh

+

A B

C

x

2,4 m

Fat s

Fns

FnpFat p

Como a escada est na iminncia de escorregar:Fats = es Fns = 0,50 FnsFatp = ep Fnp = 0,20 Fnp

Equilbrio de translao:Fatp + Fns = PH+ PE 0,20 Fnp + Fns = 110 (I)Fnp = Fats Fnp = 0,50 Fns (II)

De (I) e (II), vem:Fns = 100 kgf Fnp = 50 kgf

Ento: Fats = 50 kgf Fatp = 10 kgf

Equilbrio de rotao (em relao aB):Fnp 3,2 + Fatp 2,4 PH x PE 1,2 = 050 3,2 + 10 2,4 90 x 20 1,2 = 0

x =169 m

h

x= 3,2

2,4(semelhana de tringulos)

h =3,22,4x =3,22,4

169 h = 2,4 m

b) Novamente, a escada est na iminncia de escorregar.

PE= 20 kgf Fats = 0,50 FnsFatp = 0,20 Fnp

a

b

4,0 mPE

+

BFat s

Fns

FnpFat p

Equilbrio de translao:Fnp = Fats Fnp = 0,50 Fns (I)Fatp + Fns = PE 0,20 Fnp + Fns = 20 (II)

De (I) e (II), vem:F

ns= 20

1,1kgf e F

np= 10

1,1kgf

Ento: Fats =101,1kgf e Fatp =

21,1kgf

Equilbrio de rotao (em relao aB):Fatp b + Fnp a PE

b2 = 0

21,1 b +

101,1 a 20

b2 = 0 a =

9b10 (III)

a2 + b2 = 16 (Teorema de Pitgoras) (IV)Substituindo (III) em (IV):81 b2100 + b

2 = 16 b = 3,0 m

Respostas: a) 2,4 m; b) 3,0 m

87 Uma barra cilndrica e homognea, de comprimento igual a300 cm, encontra-se em equilbrio sustentada por uma corda de com-primento igual a 400 cm e apoiada em uma parede vertical pratica-mente sem atrito, como representa a figura.

x

Corda

BarraParede

Determine a distnciax entre o ponto da parede onde a corda estamarrada e o ponto da parede onde a barra se apoia.

Resoluo:Na barra atuam apenas trs foras (peso, trao e normal), de direesdiferentes. Como sabemos, essas foras so concorrentes num mesmoponto. SeB o ponto mdio da barra, entoC o ponto mdio dacorda eD o ponto mdio de PQ.No tringulo AQD:

AD2

= QD2

+ AQ2

32 = x2 + AQ2AQ2 = 9 x2


31/34


No tringulo AQP:

P

x

C

B

A

x

Q

DFn

T P

AP2 = PQ2 + AQ242 = (2x)2 + 9 x2

x = 1,53 m = 153 cm

Resposta: 153 cm

88 Um bloco prismtico e homogneo, de alturah e base quadradade ladob, encontra-se em repouso em um piso plano e horizontal.

Cb

A

B

D

h

F

Uma fora F , de intensidade crescente a partir de zero, aplicada noponto mdio da aresta AB, perpendicularmente face ABCD. Sendoe o coef iciente de atrito esttico entre o bloco e o piso, determine arelao entreb eh para que o bloco tombe antes de escorregar.

Resoluo:

h

b

m g

Fat

Fn

F

Fatd = e Fn = e m g

O bloco s escorrega se:F Fatd, ou seja, se F e m g (I)

Na iminncia de tombar, o bloco se encontra totalmente apoiado

em uma regio do plano onde est sua aresta inferior direita.Para tombar, o mdulo do momento horrio de F , em relao aO,deve superar o mdulo do momento anti-horrio do peso m g:

h

m gFn

Fat

O

b2

b2

F

F h m gb2 F m g b2 h (II)

Para tombar antes de escorregar, a condio (II) deve ser verif icada an-tes da (I), ou seja:m g b2 h e m g b

2 e h

Resposta: b 2 e h

89

Uma chapa retangular homognea, de espessura uniforme, lar-guraa e comprimentoh, est em repouso apoiada em uma superfcieplana e horizontal, sob a ao de uma fora horizontalF, como repre-senta a figura. Essa fora e o centro de gravidade da chapa esto emum mesmo plano vertical.

h

a

O

F

SendoP a intensidade do peso da chapa, determine:a) a intensidade da fora F , em funo dea,h,P e do nguloindica-

do na figura;b) o nguloE( um valor de), correspondente posio de equilbrio

instvel da chapa (fora F ausente), em funo dea eh.

Resoluo:a) Vamos determinar, em relao aO, o mdulo do momento de F:

bF

h

h

a

a

O

b 1

b 2

F

MF= FbF= F (b1 + b2)

MF= F (h cos + a sen)(horrio)


32/34


Vamos determinar, agora, em relao aO, o mdulo do momen-to do peso da chapa:

h

bP

D

CB

a

OA

h2 P

MP= PbP= P (OA BC)MP= P (OB cos BD sen)

MP= Pa2 cos

h2 sen

(anti-horrio)

Do equilbrio de rotao da chapa:MF= MP F (h cos + a sen) =

P2 (a cos h sen)

F =P2 a cos h sena sen + h cos

b) Na posio de equilbrio (no caso, instvel), a vertical traada pelocentro de gravidade da chapa deve passar pelo ponto de apoioO:

a

O

h

CG

E

E

a2

h2

tgE=a2h2

= ah

E= arc tgah

Respostas: a) MF= F (h cos + a sen); MP= Pa

2cos h

2sen ;

F =P2 a cos h sena sen + h cos ; )arc tg

ah

90 (UFMS) Na f igura (I) abaixo, tem-se um disco homogneo, deraio (R) e peso (W), f ixo em um plano xy vertical de eixos ortogonais.A f igura (II) mostra que foi retirado, do primeiro disco da f igura (I), umdisco de dimetro (R) cujo centro est horizontalmente alinhado como centro do primeiro disco.

y

x

(I)

y

x

(II)

correto af irmar que:(01) as coordenadas do centro de massa da pea da f igura (II) so

7R6 ; R .

(02) da f igura (I) para a figura (II), o centro de massa se deslocou nosentido oposto ao eixox de uma distncia d =7R6 .

(08) as coordenadas do centro de massa do disco da f igura (I) so(R ; R).

(16) o peso da pea da figura (II) W2 .

(32) as coordenadas do centro do vazio de dimetro (R) na f igura (II)so R

4; R .

D como resposta a soma dos nmeros associados s af irmaes

corretas.Resoluo:

R

R

(l) (ll)

RO x

yy

x

R

R2

Disco da f igura (I): Coordenadas do centro de massa: x1 = R e y1 = R rea: A1 = R2 Massa: M1Disco retirado, imaginando-o posicionado no vazio da pea da f i-gura (II): Coordenadas do centro de massa:

x2 =R2 e y2 = R

rea:

A2 = R

2

2= R

2

4=

A1

4 Massa: M2 =

M14 , pois as massas e as reas so proporcionais.


33/34


Pea da f igura (II): Coordenadas do centro de massa: x3 = ? e y3 = R (por simetria)

rea: A3 = A1 A2 =3 A14

Massa: M3 =3 M1

4 Peso:3 W4Para determinar x3, podemos imaginar o disco da f igura (I) como sendoa pea da figura (II), com seu vazio preenchido pelo disco retirado:

x1 =M2x2 + M3x3

M2 + M3 R =

M14

R2 +

3 M14 x3

M1 x3 = 7 R6

Finalizando:(001) Correta: x3 = 7 R6 e y3 = R(002) Falsa: o centro de massa se deslocou de x1 = R para x3 = 7 R6 , nosentido do eixo x.(008) Correta.

(016) Falsa.(032) Falsa.

Resposta: 9

91 Um paraleleppedo homogneo de massam, base quadradade aresta2b e altura2h encontra-se em movimento retilneo uni-formemente variado, escorregando numa superfcie plana e hori-zontal. Em certo instante, passa a atuar nele uma fora constanteF ,na mesma direo e no mesmo sentido do movimento. A linha deao dessa fora e o centro de massa (CM) do corpo so coplanarese ela distaa de CM. Sendo o coef iciente de atrito cintico entre oparaleleppedo e a superfcie em que se apoia eg a intensidade docampo gravitacional:

CM 2h

2b

a

F

v

a) determine a intensidade de F para que o corpo no tombe;b) determine o mximo valor decompatvel com o no-tombamen-

to (F = 0);c) supondo satisfeita a condio do itemb, qual o valor dea que

garante o no-tombamento, independentemente da intensidadedeF?

Resoluo:a) Vamos considerar o corpo na iminncia de tombar, caso em que,

para um determinado valor dea,F mxima. Nessa situao, a for-a normal e a fora de atrito recebidas pelo corpo esto aplicadasna aresta dianteira de sua base, simbolizada pelo pontoP na f iguraa seguir.

Fmx

a

v

h

P

b

Fat c

Fn

CM

m g

Em relao aocentro de massa , a soma dos momentos nula:Fmxa + Fatc h = Fn bFmxa + m g h = m g b

Fmx=m g (b h)

a

Portanto: 0 F m g (b h)ab) Consideremos o corpo na iminncia de tombar em virtude, exclus

vamente, da fora de atrito, ou seja, com F = 0.Em relao ao centro de massa, temos:Fatc mxh = Fn b mxm g h = m g b mx=

bh

Portanto: bhc) Sea for igual a zero, F no produzir momento em relao ao cen-

tro de massa, qualquer que seja sua intensidade.

Nesse caso, o tombamento s poderia ser causado pela fora deatrito. Portanto, satisfeita a condio do itemb, com a = 0 o corponunca tombar.Note, na mesma resoluo do primeiro item, queFpoder tender ainf inito desde quea tenda a zero.

a = 0

Respostas: a) 0 F m g (b h)

a ; b) bh; a = 0

92 (Aman-RJ) Um armrio de massa 20 kg colocado sobre pe-quenas rodasAe Bequidistantes das extremidades. As rodas permi-

tem um movimento livre de atritos sobre o pavimento horizontal. Ocentro de gravidade (CG) do armrio situa-se na posio mostrada nf igura. Considere 10 m/s2 a acelerao devida gravidade. Se umafora F de mdulo150 N for aplicadahorizontalmente emum ponto acima docentro de gravidade,podemos af irmar queo armrio f icar naiminncia de tombarpara a frente quandoa distnciaHmedir:

a) 1,20 m. b) 1,30 m. c) 1,45 m. d) 1,50 m. e) 1,80 m.

CGH

A B

0,3 m 0,3 m

0,8 m

F


34/34


Resoluo:

h

F

H

A B

P Fn 0,8 m

0,3 m

0,3 m

0,3 m

CG

Em relao ao centro de gravidade:F h = Fn 0,3150 h = 200 0,3 h = 0,4 m

H = h + 0,8 = 0,4 + 0,8 H = 1,2 m

Resposta: a

93 (ITA-SP) Considere um automvel de pesoP, com trao nasrodas dianteiras, cujo centro de massa est emC, movimentando-senum plano horizontal. Considerando g = 10 m/s2, calcule a aceleraomxima que o automvel pode atingir, sendo o coef iciente de atritoentre os pneus e o piso igual a 0,75.

Sentido domovimento

0,6 m

2,0 m 1,4 m

C

Resoluo:

0,6 mP

CD T

Fat

Sentido domovimento

2,0 m 1,4 m

D + T = P T = P D (I)

Para no ocorrer a rotao do veculo, em mdulo e em relao aocentro de massa, o momento horrio total tem de ser menor ouigual ao momento anti-horrio:Fat 0,6 + D 0,20 T 1,4

De (I): 0,6 Fat + 2,0 D (P D) 1,4 Fat 1,4 P 3,4 D

0,6

Fatmx=1,4 P 3,4 D

0,6 (II)

Note queD menor implica Fatmx maior (Fatmxno a fora de des-taque).

De (II):1,4 P 3,4 D0,6 D 1,4 P 3,4 D 0,6 0,75 D

D 1,4 P3,85 Dmn=1,4 P3,85 (III)

Fatmx= m amx

De (II) e (III):

1,4 P 3,4 1,4 P3,850,6 = m amx

amx= 2,7 m/s2

Resposta: 2,7 m/s2

tópicos de física 1 - estática dos sólidos

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